microsoft office 2000...អ រម ភកថ វស មភ ពជ ផ ន ក យដស ខ ងគ...
TRANSCRIPT
Augustin Louis Cauchy
អារមភកថា
វសមភាពជាផនែកមយដសខានកែងគណតវទយា ។ មនតតមផតប ណ ណ ោះ ណទយ ណោយសារផតលកខណៈពណសសជាណតរើនននវសមភាពបានណ វើឲយលហាតតប ណេទយណនោះណលររបរាងណ ើងជាញកញាបណៅកែងការតប ងតបផែងនានាពណសស ណនាោះ គ ការតប ងសសសពផកកតមតជាត នង អនតរជាតជាណដើម ។ ណេតណនោះ ការយលដងពើវសមភាពពតជាមានសារៈសខាន សសតមាបបអនៗផដលរង កាា យជាសសសពផកមយរប ។ ណសៀវណៅវសមភាព 360 ណនោះតតវបានណរៀបណរៀងណ ើងសតមាបនតលជា មលោា នតគោះណលើផនែកវសមភាពណៅដលមតតអែកអាន ។ ណសៀវណៅណនោះតតវបាន ណរៀបណរៀងណ ើងជាលកខណៈណមណរៀនននវសមភាពផដលកែងណនាោះខបាទយបានណរៀបណរៀង ណតត តសខានណៅណលើវសមភាពជាមលោា នមយរននផដលណពញនយមណៅកែងការ តប ងតបផែងដរជាវសមភាពននមយម (QM-AM-GM-HM), វសមភាព Cauchy-Schwarz, វសមភាពននតណតមៀប (Rearrangement), វសមភាព Jensen នង វសមភាពជាណតរើនណទយៀត ។ ណលើសពើណនោះណៅណទយៀតខបាទយបាន បញច លនវតរនរមយរននដរជា ការតាងផបបពើែគណត ការតាងផបបតតើ ណកាណមាតត នង ការតាងផបប Ravi ជាណដើម ។ គរកតសមាា លនងផដរថា ណដើមើបទាញយកតបណោែនឲយបានណតរើនពើលហាតមយ រ កណសៀវណៅមយការសណងេតណលើលកខណៈទយណៅរបសលហាតទាងណនាោះពតជាមាន សារៈសខានខាា ងស ។ ការយលពើលកខណៈទយណៅណនោះណតបៀបដរជាគនាោះ រ កនណសារមយផដលែយអែកឲយចាកណសារណបើកទាវ រណរញណៅរកភាពរ ើករណតមើន ។ ណទាោះបើជាមានការតតតពនតយោ ងម តរតោ ងកណោយកេសឆាង ណោយអណរតនាមយរននតបាកដជាណកើតមានណ ើង ។ ណេតណនោះ ណយើងខសមអរ គណទយកជាមនរាលមតរោះគនពើតគបមែឈោា នអែកសកាទាងអសណដើមើបផកលអឲយ ណសៀវណៅមយកាលណនោះកាា យជាណសៀវណៅវសមភាពដលអតបណសើរ ។
េែណពញ នងៃទយើ ១៦ ផខ សើហា ឆែ ២០១៤ ណរៀបណរៀងណោយ ជា ពសដា
មាតកា
1. ការេជាចននវជជមាន……………………………………………………. ទពេ ១
2. វសមភាពងាយ………………………………………………………….. ទពេ ១០
3. ទមមង Engel ននវសមភាព Cauchy-Schwarz………………... ទពេ ១៦
4. វសមភាពននមធយម……………………………………………………... ទពេ ២៦
5. វសមភាព Cauchy-Schwarz………………………………………. ទពេ ៥៣
6. វសមភាពននតរមមៀប…………………………………………………... ទពេ ៥៩
7. វសមភាព Jensen………………………………………..…………... ទពេ ៧៤
8. វសមភាពស រមមទ………………………………………………………. ទពេ ៩០
9. វធសាសរសតជនស…………………………………………………………. ទពេ ៩៨
10. ភាពអ ម សសន……………………………………………………………. ទពេ ១៣២
| 1
រ ៀបរ ៀងរោយ ជា ពសដឋ វសមភាព 360
ការេជាចននវជជមាន
ចព ោះ xជាចននពត ពេបាន 0
2x សមភាព ល ោះតរាតត 0x ។
វសមភាពតររោណ (Triangle Inequality) ព ើ a , b ជាពើរចននពត ពេបាន baba សមភាពពពល 0ab ។ សមរមាយ ព ើមើប ងហា ញថាសព ើ ខាងពលើពតព ើងតរានតត ងហា ញថា
22baba
ព ើងមាន 222222
22 bbaababababa 2ba
សមភាពព ើតព ើងពពល 0 ababab រ a , b មានសញញា ចាា ។
ទតមងទរៅនៃវសមភាពតររោណ ចព ោះ 1x , 2x , … , nx ជាចននពត ព ើងបាន
nn xxxxxx ...... 2121 សមភាពព ើតព ើងពពល
ix , ni ,1 មានសញញា ចាា ។
| 2
រ ៀបរ ៀងរោយ ជា ពសដឋ វសមភាព 360
លហាត ១ ពេឲយ a , b , c , d ជាចននពត ពពញល ខខ ឌ cbda ។ ងហា ញថា 0 cbaddbcadcba ។
(Czech and Slovak Republics,2004) ចរ លើយ ព ើងមាន dcbacbda ពេបាន cbaddbcadcba
acabcdbdcdbcadabbdbcadac bdbcadac 2222 dcbdca 22
0222 badcba
សមភាពព ើតព ើងល ោះតរាតត dcba លហាត ២ ពេឲយ 2222
,,, addccbbadcbaf ។ ចព ោះ dcba ងហា ញថា
cdbafdcbafdbcaf ,,,,,,,,, ។ ចរ លើយ ព ើងមាន dcbafdbcaf ,,,,,,
2222dcdbbaca
dcbcbcbacb 22 02 dacb
| 3
រ ៀបរ ៀងរោយ ជា ពសដឋ វសមភាព 360
ពេបាន dcbafdbcaf ,,,,,, (1) មយាងព ៀត cdbafdcbaf ,,,,,,
2222acaddbcb
adccddcbcd 22 02 abcd
ពេបាន cdbafdcbaf ,,,,,, (2) ាម (1),(2) ព ើងបាន cdbafdcbafdbcaf ,,,,,,,,, លហាត ៣ ពេឲយ a , b , cជាចននពតវជជមានព ទៀងផទទ ត 1abc ។ ងហា ញថា
1555555
caac
ca
bccb
bc
abba
ab ។
(IMO Shortlist,1996) ចរ លើយ ព ើងមាន bababababa
225522330
ពេបាន 2222
2
2255abcbacba
abc
abbaba
ab
abba
ab
cba
c
ពតរ ោះ 1abc
តរា ចាា ព ើងបាន cba
a
bccb
bc
55
cba
b
caac
ca
55
| 4
រ ៀបរ ៀងរោយ ជា ពសដឋ វសមភាព 360
ពេត ពនោះ caac
ca
bccb
bc
abba
ab
555555
1
cba
cba
លហាត ៤ ងហា ញថា 0 cbaaccbbacba (*) ។ ចរ លើយ ព ើ a , b រ 0c ពេបាន (*) ពត
ពតរៅពើពនោះ WLOG1 សនមតថា 0 cba ពេបាន 1a
b , 1a
c
ព ើងបាន (*) សមមល
01111 a
c
a
b
a
c
a
c
a
b
a
b
a
c
a
b
01111 a
c
a
b
a
c
a
c
a
b
a
b
a
c
a
b
011
a
c
a
b
a
c
a
b
a
c
a
b
a
c
a
b ពត
ពតរ ោះ a
c
a
b
a
c
a
b ,
a
c
a
b
a
c
a
b 11
លហាត ៥
រ តមមៃតច តមន
100
1i
ix ចព ោះ xជាចននពត ។
ចរ លើយ ចព ោះ 50,1k ព ើងបាន kkxkx 2101101
1 Without Loss of Generality
| 5
រ ៀបរ ៀងរោយ ជា ពសដឋ វសមភាព 360
ពតរ ោះ baba សមភាពពពល 0101 kxkx kkx 101, ពេបាន 991001 xx
97992 xx …………………………
15150 xx
អងគ នង អងគពេបាន 2500509997...312
100
1
i
ix
សមភាពពពល
50
1
51,50101,
k
kkx
ចពនោះ តមមៃតច តមន
100
1i
ix េ 2500 សមភាពល ោះតរាតត 51,50x
លហាត ៦
ព ោះតរា វសមើការ
92211
42
2
xx
x ។
(IMO,1960) ចរ លើយ
92
211
42
2
xx
x មានន កាលណា
0211
021
x
x
,00,
2
1x
| 6
រ ៀបរ ៀងរោយ ជា ពសដឋ វសមភាព 360
ព ើងមាន
92211
42
2
xx
x
92211211
211422
22
x
xx
xx
92211
21142
22
x
x
xx 922112
xx
92212121 xxx2
721 x
4
4921 x
8
45 x
ចពនោះ
8
45,00,
2
1x
លហាត ៧
ងហា ញថា 4
14
2 nn , INn ។ x ាងឲយត ា សភាេមន x ។
ចរ លើយ ព ើងមាន 14444
222 nnnnn
12422
nnnn ពេបាន nnn 24
2
ព ើងបាន nnnnnnn 2444222
nnnnn 24422
ងហា ញថា 4
124
2 nnn
| 7
រ ៀបរ ៀងរោយ ជា ពសដឋ វសមភាព 360
ព ើងមាន 4
124
4
124
22 nnnnnn
16
144
22 nnnn
16
10 ពត
ចពនោះ 4
14
2 nn
លហាត ៨ ចព ោះ a , b , 0c នង p , q ព ទៀងផទទ ត 1 qp ។ ងហា ញថា a , b , cជារងហា សតរជងមនតរតើពកា ម កាលណា 222
pqcqbpa ។ ចរ លើយ ព ើងមាន pqqp 11 ព ើងបាន 222
pqcqbpaQ 222
11 cppbppa 222222
bpcbapc ពេបាន 222222
4 cbcba bccbabccba 22
222222
2222cbacba
cbacbacbacba 0Q កាលណា 0 ( ពតរ ោះ 0
2c )
0 cbacbacbacba
| 8
រ ៀបរ ៀងរោយ ជា ពសដឋ វសមភាព 360
0 baccbaacb (*) ព ើពើរ ា ងចពណាម acb , cba , bac អវជជមាន
0 a , 0b រ 0c ទ ពើសមមត មម ពេត ពនោះ (*) ពត កាលណា
0 acb , 0 cba នង 0 bac acb , cba នង bac ចពនោះ a , b , cជារងហា សតរជងមនតរតើពកា ម កាលណា
222pqcqbpa
លហាត ៩ ពេឲយ 0 cba នង 1 cba ។ ងហា ញថា 153
222 cba ។
( មព ជា,2014) ចរ លើយ ព 0 cba នង 1 cba ព ើងបាន 222222222
22253 ccbcbacba
cabcabcba 222222
11
22 cba
ចពនោះ 153222 cba
លហាត ១០ ពេឲយអន េមន f តព n
n xaxaaxf ...10 មានពមេ
ia ពពញល ខខ ឌ 00 aai ចព ោះ ni ,1 ។
| 9
រ ៀបរ ៀងរោយ ជា ពសដឋ វសមភាព 360
n
n
n
n xbxbxbbxf2
210
2...... ។
ងហា ញថា 21 12
1fbn ។
( មព ជា,2008) ចរ លើយ
ព ើងមាន n
n xaxaaxf ...10 210
2...
n
n xaxaaxf ព n
n
n
n xbxbxbbxf2
210
2......
ពតរ ៀ ព ៀ ពមេ មន 1nx ព ើងបាន
0020111211 ...... aaaaaaaaaaaab nnnnn 10102011 ...2 aaaaaaaaab nnnn nnnn aaaaaaaaa ............ 00201
nn aaaaaa ...... 2110 22
10 1... faaa n
ចពនោះ 21 12
1fbn
| 10
រ ៀបរ ៀងរោយ ជា ពសដឋ វសមភាព 360
វសមភាពងាយ
ដដើមើបឈានដៅដលវសមភាពងាយដនេះ ដយើងសដងេតដមើលសមភាពពើជគណត ដមានសារៈសខានមយជាមនសន គ
222333
2
13 accbbacbaabccba (*)
សមរាយ រដបៀបទើ ១ ដយើងមាន abccba 3
333
cbaabcba 333
cbaabcbacbacba 322
bcacabcbacba 222
222
2
1accbbacba
រដបៀបទើ ២ យក xP ជាពហធាដដកទើ ៣ ដដលមានរស cba ,, ដយើងបាន
cxbxaxxP abcxcabcabxcbax
23 ជនស cba ,, កនង xP ដគបាន
023
abcacabcabacbaa 0
23 abcbcabcabbcbab
| 11
រ ៀបរ ៀងរោយ ជា ពសដឋ វសមភាព 360
023
abcccabcabccbac បក អងគ នង អងគ cbacbacba
222333
03 abccbacabcab
abccba 3333 0
222 cabcabcbacba
abccba 3333 bcacabcbacba
222
abccba 3333 222
2
1accbbacba
រដបៀបទើ ៣
ដបើដដដទមើណងលដាប ៣ abccba
b
a
c
a
c
b
c
b
a
D 3333 (1)
មយាងដទៀត b
a
c
a
c
b
cba
cba
cba
D
Dcba
b
a
c
a
c
b
1
1
1
cabcabcbacba 222
(2) តាម (1),(2) ដយើងបាន
abccba 3333 bcacabcbacba
222
222
2
1accbbacba
សដងេតដលើសមភាព (*) ដបើ 0 cba ដគបាន abccba 3
333 (i)
| 12
រ ៀបរ ៀងរោយ ជា ពសដឋ វសមភាព 360
ដបើ a , b , 0c ដគបាន abccba 3333 1
សមភាពដកើតដ ើងលេះតាដត cba លហាត ១ ដាក 333
xzzyyx ជាផលគណកតាា ។ ចមមលើយ ដបើយក yxa , zyb , xzc ដគបាន 0 cba តាម (i) ដយើងបាន xzzyyxxzzyyx 3
333 លហាត ២
សាយបញជា កថា 33 5252 ជាចននសនទាន ។ ចមមលើយ
យក IR5252 33 x 05252 33 x
ដបើយក xa , 3 52 b , 3 52 c
ដគបាន 0 cba
តាម (i) ដយើងបាន 33525235252 xx
0433
xx 041
2 xxx
ដយើងបាន 1x ជាចននសនទាន 1 វសមភាព Cauchy រ AM-GM ចដ េះបើចននពតវជាមាន
| 13
រ ៀបរ ៀងរោយ ជា ពសដឋ វសមភាព 360
លហាត ៣ ឧបមាថា cba ,, ជារងាា ស ជងននតើដោណមយ ។ សាយបញជា កថា
cbaabccba
,,max2
33
333
។
ចមមលើយ ដដាយ វសមភាពមានលកខណៈសើដមទើដ ៀបនងអដេរ a , b , c WLOG ឧបមាថា cba
ដយើងបាន cbaabccba
,,max2
33
333
aabccba
3
333
2
303
333 abccba
03333
bcacba
02
1 222 cbcabacba ពត
ដ េះ cba ,, ជារងាា សជងននតើដោណមយ
| 14
រ ៀបរ ៀងរោយ ជា ពសដឋ វសមភាព 360
លហាត 1. ដគឲយ zyx ,, ជាបើចននគតបដពញលកខខណឌ
xyzxzzyyx 222 ។ សាយបញជា កថា
333zyx ដចកដាចនង 6 zyx ។
2. យក cba ,, ជាបើចននពតបដពញលកខខណឌ 042 33 cba ។ បងាា ញថា 0 cba ។
3. រកសណចណច yx, ដដលបដពញលកខខណឌ 1333
xyyx ។ 4. តាង S ជាសណននចននគត x ដដល abccbax 3
333
( cba ,, ជាចននគត ) ។ បងាា ញថា ដបើ Syx , ដគបាន Sxy ។ 5. ដគដោយ cba ,, ជាបើចននគតវជាមានដផេងគនន នង k ជាចននគតវជាមាន ។ បងាា ញថា ដបើ 13
2 kcabcab ដគបាន
kabccba
33
333
។
6. ចដ េះគបចននពត x , y , z បងាា ញថា zxyzxyzyx 222 ។
7. ដបើ a , b , cជាចននពតវជាមាន បងាា ញថា cbaabc
cba 111222
។
8. (Romania,2007) ចដ េះគប x , y , zជាចននពតវជាមាន សាយបញជា កថា
xzzyyxxyzzyx
4
3
3
333
។
9. (UK,2008) រកតនមៃអបបបរមានន 222
zyx ដបើដគដងថា x , y , zជាបើចននពត
| 15
រ ៀបរ ៀងរោយ ជា ពសដឋ វសមភាព 360
បដពញលកខខណឌ 13333
xyzzyx ។ 10. ដដាេះសាយសមើោរ 011 333 xxx ។
11. ដគឲយ r ជាចននពតបដពញលកខខណឌ 31
3
3 r
r ។
គណនា 3
3 1
rr ។
| 16
រ ៀបរ ៀងរោយ ជា ពសដឋ វសមភាព 360
ទមរង Engel នៃវសរភាព Cauchy-Schwarz (Arthur Engel’s Minima Principle)
ទរសតបរ ចព ោះ 1a , 2a ,…, na ជាចននពត នង 1x , 2x , … , nx
ជាចននពតវជជមានពេបាន
n
n
n
n
xxx
aaa
x
a
x
a
x
a
...
......
21
2
21
2
2
2
2
1
2
1 ,
2n ។
សទាយ ចព ោះ 2n ព ើងបាន
21
2
21
2
2
2
1
2
1
xx
aa
x
a
x
a
21
2
21211
2
2212
2
1 xxaaxxxaxxxa
0
2
1221 xaxa សមភាពព ើតព ើងល ោះតរាតត 2
2
1
1
x
a
x
a
ឧបមាថា ពតដល kn េ
k
k
k
k
xxx
aaa
x
a
x
a
x
a
...
......
21
2
21
2
2
2
2
1
2
1
ស ា រណើ 1 kn
ព ើងមាន
k
k
k
k
xxx
aaa
x
a
x
a
x
a
...
......
21
2
21
2
2
2
2
1
2
1
1
2
1
21
2
21
1
2
1
2
2
2
2
1
2
1
...
......
k
k
k
k
k
k
k
k
x
a
xxx
aaa
x
a
x
a
x
a
x
a
| 17
រ ៀបរ ៀងរោយ ជា ពសដឋ វសមភាព 360
121
2
121
...
...
kk
kk
xxxx
aaaa
សមភាពព ើតព ើងល ោះតរាតត 1
1
2
2
1
1 ...
k
k
x
a
x
a
x
a
លហាត ១ ចព ោះ 1a , 2a , … , na នង 1b , 2b , … , nb ជាចននពត បងហា ញថា 2
2211 ... nnbababa 22
2
2
1
22
2
2
1 ...... nn bbbaaa ។ (វសមភាព Cauchy-Schwarz)
ចមរលើយ
ព ើងមាន 2
2
2
2
2
22
2
1
2
1122
2
2
1 ......n
nn
nb
ba
b
ba
b
baaaa
22
2
2
1
2
2211
...
...
n
nn
bbb
bababa
ពេបាន 2
2211 ... nnbababa 22
2
2
1
22
2
2
1 ...... nn bbbaaa
សមភាពព ើតព ើងល ោះតរាតត n
n
b
a
b
a
b
a ...
2
2
1
1
លហាត ២
ចព ោះ a , b , cជាចននពតវជជមាន បងហា ញថា2
3
ba
c
ac
b
cb
a ។
(វសមភាព Nesbitt)
| 18
រ ៀបរ ៀងរោយ ជា ពសដឋ វសមភាព 360
ចមរលើយ
ព ើងមាន bcac
c
abbc
b
acab
a
ba
c
ac
b
cb
a
222
cabcab
cba
2
2
ពោ cabcabcbacabcabcba 302222
ពេបាន 2
3
2
3
cabcab
cabcab
ba
c
ac
b
cb
a
លហាត ៣ 1a , 2a , … , na , 1b , 2b , … , nb ជាចននពតវជជមានបពពញល ខខណឌ
nn bbbaaa ...... 2121 ។ បងហា ញថា
n
nn
n aaaba
a
ba
a
ba
a
...
2
1... 21
2
22
2
2
11
2
1 ។
(APMO,1991) ចមរលើយ
ព ើងមាន nn
n
ba
a
ba
a
ba
a
2
22
2
2
11
2
1 ...
nn
n
bbbaaa
aaa
......
...
2121
2
21
2
...
...2
... 21
21
2
21 n
n
n aaa
aaa
aaa
| 19
រ ៀបរ ៀងរោយ ជា ពសដឋ វសមភាព 360
លហាត ៤ ពេឲយ a , b , cជាចននពតវជជមានបពពញល ខខណឌ 1abc ។
បងហា ញថា 2
3111333
bacacbcba
។
(IMO,1995) ចមរលើយ
ព ើងមាន bacacbcba
333
111
bcac
c
bcab
b
acab
a
222
111
cabcab
cba
2
1112
22 abc
cabcab
2
3
2
33 2
abc
លហាត ៥ ចព ោះ a , b , cជាចននពតវជជមាន បងហា ញថា
1222
ba
c
ac
b
cb
a ។
(Czech and Slovak Republics,1999) ចមរលើយ
ព ើងមាន bcac
c
abbc
b
acab
a
ba
c
ac
b
cb
a
222222
222
| 20
រ ៀបរ ៀងរោយ ជា ពសដឋ វសមភាព 360
13
2
cabcab
cba
ពតរ ោះ cabcabcba 3
2 លហាត ៦ ពេឲយ w , x , y , zជាចននពតវជជមាន បងហា ញថា
3
2
32323232
yxw
z
xwz
y
wzy
x
zyx
w ។
(Moldova,2007) ចមរលើយ
ព ើងមាន yxw
z
xwz
y
wzy
x
zyx
w
32323232
xywyyz
y
wxxzxy
x
wzwywx
w
323232
222
yzxzwz
z
32
2
xzwyzwyzxywx
zyxw
4
2
បងហា ញថា 3
2
4
2
xzwyzwyzxywx
zyxw
ព ើងមាន 3
2
4
2
xzwyzwyzxywx
zyxw
xzwyzwyzxywxzyxw 232222 ពត
ពតរ ោះ ាម AM-GM ពេបាន wxxw 222 , xyyx 2
22
| 21
រ ៀបរ ៀងរោយ ជា ពសដឋ វសមភាព 360
yzzy 222 , zwwz 2
22
wyyw 222 , xzzx 2
22
ប អងគ នង អងគព ើងបាន xzwyzwyzxywxzyxw 23
2222 លហាត ៧ x , y , zជាចននពតវជជមាន បងហា ញថា
4
3222
yzxz
z
xyzy
y
zxyx
x ។
(Croatia,2004) ចមរលើយ
ព ើងមាន yzxz
z
xyzy
y
zxyx
x
222
zxyzxyzyx
zyx
3222
2
បងហា ញថា 4
3
3222
2
zxyzxyzyx
zyx
ព ើងមាន 4
3
3222
2
zxyzxyzyx
zyx
zxyzxyzyx 222 ពត
លហាត ៨ ចព ោះតរេប a , b , cជាចននពតវជជមាន ។ តរា បញជជ ថា
| 22
រ ៀបរ ៀងរោយ ជា ពសដឋ វសមភាព 360
7
1
111011101110
ba
c
ac
b
cb
a ។
(ភនពពញ,2009) ចមរលើយ
ព ើងមាន ba
c
ac
b
cb
a
111011101110
bcac
c
abbc
b
acab
a
111011101110
222
cabcab
cba
21
2
ពោ cabcabcba 32
ព ើងបាន ba
c
ac
b
cb
a
111011101110
7
1
21
3
cabcab
cabcab
| 23
រ ៀបរ ៀងរោយ ជា ពសដឋ វសមភាព 360
លហាត i. (វសមភាព QM-AM )
ចព ោះតរេបចននពតវជជមាន 1x , 2x , … , nx បងហា ញថា
n
xxx
n
xxx nn
...... 21
22
2
2
1 ។
ii. (Hungry,1996) ពេឲយ a , b ជាចននពតវជជមានបពពញល ខខណឌ 1 ba ។
បងហា ញថា 3
1
11
22
b
b
a
a ។
iii. (MOSP,2000) a ,b , x , y , zជាចននពតវជជមាន ។ បងហា ញថា
babyax
z
bxaz
y
bzay
x
3 ។
iv. (South Africa,1995) a , b , c , d ជាបនចននពតវជជមាន ។ បងហា ញថា
dcbadcba
6416411 ។
v. ចព ោះ a ,b , c , d ជាចននពតវជជមាន បងហា ញថា / 444
8 baba
ខ/ 1. cbaaccbba
9222
2.
cbaaccbba
111
2
1111 (Ireland,1998)។
| 24
រ ៀបរ ៀងរោយ ជា ពសដឋ វសមភាព 360
េ/ cbaac
ac
cb
cb
ba
ba
222222
ឃ/ 2
ba
d
ad
c
dc
b
cb
a
ង/ 2
5
ba
e
ae
d
ed
c
dc
b
cb
a ។
vi. (Belarus 1999) ពេឲយ a ,b , 0c តដល 3
222 cba ។ បងហា ញថា
2
3
1
1
1
1
1
1
cabcab ។
vii. (IMO Shortlist,1990) ពេឲយ a , b , c , d ជាចននពតវជជមានតដល 1 dacdbcab ។
បងហា ញថា 3
13333
cba
d
bad
c
adc
b
dcb
a ។
viii. (Thailand,2006) a , b ជាចននពតវជជមាន នង ,0k ។ ណត M ធបផ ត
ពបើពេដងថា ba
M
akbbka
11 ។
ix. (Greece,2007) ពេឲយ a , b , cជារងហា សតរជងននតរតើពោណម ។ បងហា ញថា
cabcabbacc
acb
acbb
cba
cbaa
bac
444
។
x. (Korea,2007) ណតតនមៃវជជមាន k ទងអសតដលអាចមានពបើពេដងថា
| 25
រ ៀបរ ៀងរោយ ជា ពសដឋ វសមភាព 360
2007
1
kab
c
kca
b
kbc
a ពតចព ោះតរេបចននពតវជជមាន
a , b , c ។ xi. (Greece,2008)
ពេឲយ 1x , 2x , … , nx ជាចននេតវជជមាន ។ បងហា ញថា
n
t
kn
n
n xxxxxx
xxx...
...
...21
21
22
2
2
1
តដល nxxxk ,...,,max 21
នង nxxxt ,...,,min 21 ។ ពតើសមភាពព ើតព ើងពៅពពលណា ?
| 26
រ ៀបរ ៀងរោយ ជា ពសដឋ វសមភាព 360
វសមភាពនៃមធយម (Mean Inequalities)
ទរសតបរ ចព ោះ 1a , 2a , … , na ជាចននពតវជជមាន ពេយក
n
xxxQM n
22
2
2
1 ... , n
aaaAM n
...21 ,
nnaaaGM ...21 នង
naaa
nHM
1...
11
21
ពយើងបាន HMGMAMQM សមភាពល ោះតរាតត
naaa ...21 ។ QM ពៅថា មធយមរសកាពរ (Quadratic Mean) AM ពៅថា មធយមនពវនត (Arithmetic Mean) GM ពៅថា មធយមធរណើ មាតរត (Geometric Mean) HM ពៅថា មធយមអាម នច (Harmonic Mean) ។ សទាយ ពយើងនងតរាយបញជជ ក AM-GM ពោយពតរបើវចារកពណើ នតបបកស ើ (Cauchy) សតរមាបតនែកពៅសល(QM-AM នងGM-HM)សមមតតអែកអានាកលបងតរាយ ពោយខលនឯង។ ទតរមងននវចារកពណើ នតបបកស ើ
| 27
រ ៀបរ ៀងរោយ ជា ពសដឋ វសមភាព 360
ក/ បងហា ញថា 2p ពត ខ/ ឧបមាថា np ពត រច ទាញថា np 2 ពត នង 1np ពត ពេបាន np ពត ចព ោះតរេប 2n ។
ចព ោះ 2n ពេបាន វសមភាពឲយ 2121 2 aaaa
02
21 aa ពត សមភាពល ោះតរាតត 21 aa
ឧបមាថា ពតដល kn េ kkk aaakaaa ...... 2121
បងហា ញថា kkkk aaakaaaa 2
221221 ...2...... ពយើងមាន kkk aaaaa 2121 ......
kkkk
kk aaakaaak 22121 ......
kkkk
kk aaaaaak 22121 ......
kkk aaaak 2
221 ......2 ពត បងហា ញថា 1
121121 ...1... k
kk aaakaaa ចព ោះ 1a , 2a , … , 01 ka ាង 1
121 ... k
kk aaaa
ពយើងបាន kkk aaakaaa ...... 2121
kk
k
kk aakaaa1
21 ...
kk kaaaa ...21 ពេបាន 1
121121 ...1... k
kk aaakaaa ពត ដចពនោះ n
nn aaanaaa ...... 2121
| 28
រ ៀបរ ៀងរោយ ជា ពសដឋ វសមភាព 360
សមភាពល ោះតរាតត naaa ...21 លហាត ១ ពេឲយ naaa ,...,, 21 ជាចមាល សមយនន
IR,...,, 21 nbbb ។
បងហា ញថា nb
a
b
a
b
a
n
n ...2
2
1
1
na
b
a
b
a
b
n
n ...2
2
1
1 ។
ចមមលើយ ពោយ naaa ,...,, 21 ជាចមាល សមយនន nbbb ,...,, 21 ពយើងបាន
n
i
i
n
i
i ba11
ាម AM-GM ពយើងបាន n
b
a
nb
a
b
a
b
an
i
i
n
i
i
n
n
1
1
2
2
1
1 ...
នង n
a
b
nb
a
b
a
b
an
i
i
n
i
i
n
n
1
1
2
2
1
1 ...
លហាត ២ ពេឲយ a , b , 0c បពពញលកខខណឌ 1abc ។
បងហា ញថា 31
1
1
1
1
1
c
ca
b
bc
a
ab ។
ចមមលើយ
| 29
រ ៀបរ ៀងរោយ ជា ពសដឋ វសមភាព 360
ពយើងមាន c
ca
b
bc
a
ab
1
1
1
1
1
1
cabc
ca
babc
bc
aabc
ab
111
ab
ca
cca
bc
bbc
ab
a 1
11
1
11
1
11
ាម AM-GM ពយើងបាន c
ca
b
bc
a
ab
1
1
1
1
1
1
3
1
11
1
11
1
113
ab
ca
cca
bc
bbc
ab
a
31
33 abc
ដចពនោះ 31
1
1
1
1
1
c
ca
b
bc
a
ab
លហាត ៣ ពេឲយ a , b , 0c ។
បងហា ញថា cbaaccbbacba
91112
111 ។
ចមមលើយ
ាម AM-HM ពយើងបាន bababa
ba
4112
2
11
(1)
ដចគនែ តដរ cbcb
411 (2)
acac
411 (3)
បក (1),(2),(3) ពេបាន
accbbacba
1114
1112
| 30
រ ៀបរ ៀងរោយ ជា ពសដឋ វសមភាព 360
accbbacba
1112
111 (*)
ម ាងពទៀត cba
accbba
2
3
3
111
cbaaccbba
91112 (**)
ាម (*),(**) ពយើងបាន
cbaaccbbacba
91112
111
លហាត ៤ យក a , b , cជាចននពតវជជមានបពពញលកខខណឌ 1 cba ។
បងហា ញថា ក/ 6411
11
11
cba
ខ/ 811
11
11
cba ។
ចមមលើយ ក/ រពបៀបទើ ១
ពយើងមាន 11111
a
c
a
b
a
cba
a
ាម AM-GM ពយើងបាន 42
411
a
bc
a
| 31
រ ៀបរ ៀងរោយ ជា ពសដឋ វសមភាព 360
តរាយដចគនែ ពេបាន 42
411
b
ca
b , 4
241
1
c
ab
c
64641
11
11
14
222
cba
abcabc
cba
រពបៀបទើ ២
abccabcabcbacba
111111111
11
11
1
ាម AM-GM ពយើងបាន
abcabcabccba
13311
11
11
1
3 23
3
3
11
abc
មា ងពទៀត 31
33
3 abc
abccba
ដចពនោះ 64411
11
11 3
cba
ខ/
ពយើងមាន a
c
a
b
a
cb
a
cba
a
1111
1
ាម AM-GM ពយើងបាន a
bc
a
21
1
តរាយដចគនែ ពេបាន b
ca
b
21
1 ,
c
ab
c
21
1
| 32
រ ៀបរ ៀងរោយ ជា ពសដឋ វសមភាព 360
ដចពនោះ 8
81
11
11
1
abc
abcabc
cba
លហាត ៥
ចព ោះតរេប a , b , 0c បងហា ញថា 2
3
ba
c
ac
b
cb
a (*)។
(វសមភាព Nesbitt) ចមមលើយ ាង cbx , acy , baz
ពយើងបាន 2
2zyx
cbacbazyx
ពេបាន 2
xzya
,
2
yxzb
,
2
zyxc
(*) 2
3
2
1
z
zyx
y
yxz
x
xzy
6z
y
z
x
y
x
y
z
x
z
x
y ពត ាម AM-GM
ដចពនោះ 2
3
ba
c
ac
b
cb
a
រពបៀបទើ ២ ាម AM-GM ពយើងបាន 33 baaccbbaaccb
332 baaccbcba (1)
| 33
រ ៀបរ ៀងរោយ ជា ពសដឋ វសមភាព 360
ព ើយ 3111
3111
baaccbbaaccb (2)
េ ណ (1),(2) ពយើងបាន 9111
2
baaccbcba
2
9111
ba
c
ac
b
cb
a
2
3
ba
c
ac
b
cb
a
លហាត ៦ ពេឲយ 1x , 2x , … , nx ជាចននពតវជជមានបពពញលកខខណឌ
11
1...
1
1
1
1
21
nxxx
។ បងហា ញថា nn nxxx 1...21 ។
ចមមលើយ
ាង 1
1
i
ix
y ចព ោះ ni ,1
i
i
i
iy
y
yx
11
1
ព ើយ
ij
ji
i
i yyy 11
ាម AM-GM ពយើងបាន 111
n
ij
ji yny
ពេបាន
i
i
i
i
i
i
i
i
i
y
y
y
yx
11
| 34
រ ៀបរ ៀងរោយ ជា ពសដឋ វសមភាព 360
i
i
i
n
ij
j
y
yn 11 n
i
i
i
i
n
n
y
yn
1
1
ដចពនោះ nn nxxx 1...21 លហាត ៧ ពេឲយ 2n នង 1x , 2x , … , nx ជាចននពតវជជមានបពពញលកខខណឌ
1998
1
1998
1...
1998
1
1998
1
321
xxx
។
បងហា ញថា 19981
...21
n
xxxnn ។
(Vietnam,1998) ចមមលើយ
ពយើងមាន 1998
1
1998
1...
1998
1
1998
1
321
xxx
11998
1998...
1998
1998
1998
1998
321
xxx
ាង ii yx
1
1
1998
1998 ចព ោះ ni ,1
ពយើងបាន 01998
i
i
xy នង
i iy1
1
1
ាមលហាត ១ ពេបាន nn nyyy 1...21
nn nxxx
11998
...19981998
21
| 35
រ ៀបរ ៀងរោយ ជា ពសដឋ វសមភាព 360
nn
n nxxx
11998
...21
ដចពនោះ 19981
...21
n
xxxnn
លហាត ៨ ពេឲយ 1a , 2a , … , na ជាចននពតវជជមាន តដល 1...21 naaa ។
បងហា ញថា 1
2121
2121 1
1...11...
...1...
n
nn
nn
naaaaaa
aaaaaa (*)។
(IMO Shortlist,1998) ចមមលើយ ាង nn aaaa ...1 211
ij
ji aa1 នង 1i
ia
យក 1
1
i
ix
a ចព ោះ 1,1 ni i
i
ia
ax
1
ពេបាន i ix
11
1
ាម លហាត ១ ពយើងបាន 1
121 ...
n
nn nxxxx
1
1
1
2
2
1
1 1...
11
n
n
n na
a
a
a
a
a
1
1
1
2
2
1
1 1
11...
11
n
n
n
n
n
na
a
a
a
a
a
a
a
1
2121
2121 1
1...11...
...1...
n
nn
nn
naaaaaa
aaaaaa
| 36
រ ៀបរ ៀងរោយ ជា ពសដឋ វសមភាព 360
លហាត ៩
ពេឲយ x , 1y ។ តរាយបញជជ កថា 811
22
x
y
y
x ។
(Russia,1992) ចមមលើយ រពបៀបទើ ១ ាង 1 xa , 01 yb 1 ax , 1 by
ពេបាន a
b
b
a
x
y
y
x2222 11
11
ាម AM-GM ពយើងបាន aaaa 412122
ដចគនែ តដរ bbbb 412122
ពយើងបាន 824411
22
a
b
b
a
x
y
y
x
រពបៀបទើ ២
ាម AM-GM ពយើងបាន
112
11
22
y
y
x
x
x
y
y
x (*)
ចព ោះ 1a ពយើងបាន 21
0112
a
aa
ព ត ពនោះ (*) 822211
22
x
y
y
x
លហាត ១០ ពេឲយ x , y , zជាចននពតវជជមានបពពញលកខខណឌ 3 zyx ។
| 37
រ ៀបរ ៀងរោយ ជា ពសដឋ វសមភាព 360
បងហា ញថា zxyzxyzyx ។ (Russia,1994)
ចមមលើយ ាម AM-GM ពយើងបាន xxxx 3
2
yyyy 32
zzzz 32
បកអងគ នង អងគពយើងបាន
zyxzyxzyx 32222
22222 zyxzyxzyx
zxyzxyzyx លហាត ១១ ពេឲយ x មនតមនជាចននេត ព ើយ 1x ។ តរាយបញជជ កថា
2
9
xx
x
x
xx
xx
x
x
xx (*)។
(Mediterranean,2007) ចមមលើយ ាង xa , xr
ពយើងបាន (*) សមមល 2
9
2
2
2
2
ra
r
r
ra
ra
a
a
ra
2
5
222
ra
r
ra
a
r
a
a
r
| 38
រ ៀបរ ៀងរោយ ជា ពសដឋ វសមភាព 360
ពោយ 2r
a
a
r
ព ើយ rara 2 , rara 2 សមភាពពកើតព ើងតរពមគនែ កាលណា 0 ra ( ជាករណើ មនអាច )
ពេបាន 2
31
22
ra
r
ra
a
ra
r
ra
a
ពយើងបាន 2
5
2
34
222
ra
r
ra
a
r
a
a
r ពត
ដចពនោះ
2
9
xx
x
x
xx
xx
x
x
xx
លហាត ១២
ពេឲយ a , b , 0c ។ បងហា ញថា
abcabcacabccbabcba
1111333333
។
(USAMO,1997) ចមមលើយ ពយើងមាន 0
2 baba ចព ោះ a , b , 0c
022
baba baabba
33
ពេបាន cbaababcba
1133
(1)
ដចគនែ តដរ ពយើងបាន cbabcabccb
1133
(2)
| 39
រ ៀបរ ៀងរោយ ជា ពសដឋ វសមភាព 360
cbacaabcac
1133
(3)
បក (1),(2),(3)ពយើងបាន
abcacabccbabcba
333333
111
cbacacbabccbaab
111
abccbaabc
cba 1
ដចពនោះ abcabcacabccbabcba
1111333333
លហាត ១៣ ពេឲយ 0ix ចព ោះ ni ,1 ។ តរាយបញជជ កថា
2
21
21
1...
11... n
xxxxxx
n
n
។
ចមមលើយ ាម AM-GM ពយើងបាន
nn xxxnxxx ...... 2121
នង nn xxx
n
xxx ...
1...
11
2121
ពេបាន
n
nxxx
xxx1
...11
...21
21
| 40
រ ៀបរ ៀងរោយ ជា ពសដឋ វសមភាព 360
2
21
21
...... n
xxx
nxxxn
n
n
លហាត ១៤ ពេឲយ 1a , 2a , … , 0na នង naaas ...21 ។
បងហា ញថា ក/ 1
2
1
n
n
as
sn
i i
ខ/ 11
nna
asn
i i
i
េ/
n
i i
i
n
n
as
a
1 1 ។
(Australia,1993) ចមមលើយ
ក/ ពយើងមាន 1
2
1
n
n
as
sn
i i 2
1
1 nas
sn
n
i i
(*) ពោយ
n
i
ias1
ពេបាន
n
i
in
n
i
i
s
as
s
as
s
as
s
as
s
a
nn1
211 ...1
ពយើងបាន (*) សមមល 2
11
nas
s
s
as n
i i
n
i
i
ពត
ាម លហាត ១០
| 41
រ ៀបរ ៀងរោយ ជា ពសដឋ វសមភាព 360
ដចពនោះ 1
2
1
n
n
as
sn
i i ខ/ ពយើងមាន 1
1
nna
asn
i i
i
nna
sn
i i
2
1
1 2
1
na
sn
i i
(*)
ពោយ
n
i
i
s
a
1
1 ពតរ ោះ
n
i
ias1
ពេបាន (*) សមមល 2
11
na
s
s
a n
i i
n
i
i
ពត ាម លហាត ១០
េ/ ាម ក ពយើងបាន 1
11
2
1
2
1
n
n
as
a
n
n
as
s n
i i
in
i i
1
2
1
n
nn
as
an
i i
i
nn
n
as
an
i i
i
1
2
1
1
n
n
ដចពនោះ
n
i i
i
n
n
as
a
1 1
លហាត ១៥
ចព ោះ 1n ជាចននេត បងហា ញថា 3
2
2
1...
1
11
nnn ។
ចមមលើយ
| 42
រ ៀបរ ៀងរោយ ជា ពសដឋ វសមភាព 360
ាម AM-HM ពយើងបាន nnn
n
n
nnn
2...1
1
1
2
1...
1
11
nnnn
n
3
2
2
21
1
nnnn
11
3
2
2
1...
1
11 ពោយ 11
1 n
ដចពនោះ 3
2
2
1...
1
11
nnn
លហាត ១៦ ពេឲយ x , y , zជាចននពតវជជមានពនទៀងផទទ ត 1xyz ។
បងហា ញថា 4
3
111111
333
yx
z
xz
y
zy
x ។
(IMO Shortlist.1998) ចមមលើយ
ាម AM-GM ពយើងបាន 4
3
8
1
8
1
11
3xzy
zy
x
ពេបាន
cyccyccyc
xx
zy
x
4
3
4
31
4
1
11
3
4
312
4
1
11
3
cyccyc
xzy
x
សមភាពល ោះតរាតត 1 zyx
| 43
រ ៀបរ ៀងរោយ ជា ពសដឋ វសមភាព 360
លហាត ១៧ ពេឲយ x , y , zជាចននពតវជជមាន ។ បងហា ញថា
3
22111
xyz
zyx
x
z
z
y
y
x
។
(APMO,1998) ចមមលើយ
ពយើងមាន
3
22111
xyz
zyx
x
z
z
y
y
x
3
2
xyz
zyx
x
z
z
y
y
x
x
y
y
z
z
x ពត
ពតរ ោះ ាម AM-GM ពយើងបាន
yxz
xzy
zyx
x
z
z
y
y
x
x
y
y
z
z
x 111111
3111
zyxzyx
3
3
3
xyz
zyx
3
332
xyz
xyzzyxzyx
3
2
xyz
zyx
| 44
រ ៀបរ ៀងរោយ ជា ពសដឋ វសមភាព 360
ដចពនោះ 3
22111
xyz
zyx
x
z
z
y
y
x
សមភាពល ោះតរាតត zyx លហាត ១៨ ពេឲយ a , b , c , 0d ។ បងហា ញថា
3
2222
44
abdcdabcdabcdcba
។
ចមមលើយ ាម AM-GM ពយើងបាន
abdcdabcdabc cbaddabc
cbda
dacb
22
22
4
dcbadacb
42
2dcbadcba
16
3dcba
ពេបាន 44
3dcbaabdcdabcdabc
ម ាងពទៀត ាម AM-QM ពេបាន 44
2222dcbadcba
| 45
រ ៀបរ ៀងរោយ ជា ពសដឋ វសមភាព 360
ដចពនោះ 3
2222
44
abdcdabcdabcdcba
សមភាពល ោះតរាតត dcba លហាត ១៩ ពេឲយ x , y , zជាចននពតវជជមានបពពញលកខខណឌ 3
555 zyx ។
បងហា ញថា 33
4
3
4
3
4
x
z
z
y
y
x ។
ចមមលើយ
ពយើងមាន 5510551055102555222 xzzzyyyxxzyx
9
ាម AM-GM ពយើងបាន 19
100
1055
3
4
193610 xxyxy
x
19
100
1055
3
4
193610 yyzyz
y
19
100
1055
3
4
193610 zzxzx
z
បកអងគ នង អងគពយើងបាន
19
100
19
100
19
1002555
3
4
3
4
3
4
19310 zyxzyxx
z
z
y
y
x
19
100
19
100
19
100
3
4
3
4
3
4
192710 zyxx
z
z
y
y
x
បងហា ញថា 319
100
19
100
19
100
zyx
| 46
រ ៀបរ ៀងរោយ ជា ពសដឋ វសមភាព 360
ាម AM-GM ពយើងមាន
5
19
19
100
19
100
19
100
19
100
20...1191 xxxxx tY
ពយើងបាន
cyccyc
xx519
100
20191 57332019 19
100
cyc
x
ពេបាន 319
100
19
100
19
100
zyx
ដចពនោះ 33
4
3
4
3
4
x
z
z
y
y
x សមភាពល ោះតរាតត 1 zyx
លហាត ២០ ពេឲយ ABCជាតរតើពកាណសមសងមានរងហវ សតរជង a ។ យក M ជាចណ ចមយ ពៅកែ ងតរតើពកាណពនោះ ព ើយ D , E , F ជាចពណាលតកងនន M ពលើតរជង BC , CA នង AB ពរៀងគនែ ។ បងហា ញថា
ក/ aMFMEMD
36111
ខ/ aMDMFMFMEMEMD
33111
។
| 47
រ ៀបរ ៀងរោយ ជា ពសដឋ វសមភាព 360
សទាយ ក/ ាង MDx , MEy , MFz ពយើងមាន ABMCAMBCMABC
azayaxah តដល ah2
3 (កមពសតរតើពកាណ ABC )
zyxh 1
ាម AM-GM ពយើងបាន
zyxzyx
zyxh
111111
993 xyz
xyz
ពេបាន ahzyx
369111
សរ បមក aMFMEMD
36111
ខ/ ាម AM-GM ពយើងបាន
xzzyyxxzzyyx
111
993
xzzyyx
xzzyyx
1 Viviani’s lemma
| 48
រ ៀបរ ៀងរោយ ជា ពសដឋ វសមភាព 360
ពេបាន 9111
2
xzzyyxh
ahxzzyyx
33
2
9111
លហាត ២១ យក ah , bh , ch ជាកមពសេសពចញពើកពល A , B , C ពរៀងគនែ ននតរតើពកាណ ABC តដលចារកពតរៅរងវងតដលមាននចត I កា r ។
បងហា ញថា ក/ 1cba h
r
h
r
h
r
ខ/ rhhh cba 9 ។
សមរាយ ក/
ពយើងមាន aa h
r
ah
ra
ABC
IBC
ដចគនែ តដរ bh
r
ABC
ICA ,
ch
r
ABC
IAB
ពយើងបាន
1ABC
ABC
ABC
IAB
ABC
ICA
ABC
IBC
h
r
h
r
h
r
cba
| 49
រ ៀបរ ៀងរោយ ជា ពសដឋ វសមភាព 360
ខ/
ាម AM-GM ពយើងបាន 9111
cba
cbahhh
hhh
91
cba hhhr
ដចពនោះ rhhh cba 9 លហាត ២២ ពេឲយ ABC មយមានកមពស AD , BE , CF ព ើយ Hជាអរតសងននតរតើពកាណ
ពនោះ ។ បងហា ញថា ក/ 9HF
CF
HE
BE
HD
AD
ខ/ 2
3
HC
HF
HB
HE
HA
HD ។
សមរាយ ក/ ាង ABCS , HBCS 1 , HCAS 2 នង HABS 3
| 50
រ ៀបរ ៀងរោយ ជា ពសដឋ វសមភាព 360
ABC នង HBC ជាតរតើពកាណតដលមានបាតរម
ពយើងបាន AD
HD
S
S1
ដចគនែ តដរ BE
HE
S
S2 ,
CF
HF
S
S3
ពេបាន 1321
S
S
S
SSS
CF
HF
BE
HE
AD
HD
ាម AM-GM ពយើងបាន 9
HF
CF
HE
BE
HD
AD
CF
HF
BE
HE
AD
HD
សរ បមក 9HF
CF
HE
BE
HD
AD
ខ/
ពយើងមាន 32
1
1
1
SS
S
SS
S
HDAD
HD
HA
HD
ដចគនែ តដរ 13
2
SS
S
HB
HE
,
21
3
SS
S
HC
HF
ពយើងបាន 21
3
13
2
32
1
SS
S
SS
S
SS
S
HC
HF
HB
HE
HA
HD
ាមវសមភាព Nesbitt 2
3
21
3
13
2
32
1
SS
S
SS
S
SS
S
ដចពនោះ 2
3
HC
HF
HB
HE
HA
HD
| 51
រ ៀបរ ៀងរោយ ជា ពសដឋ វសមភាព 360
លហាត 1. កណតតនមលតចបន តនន 3
1 xx ពបើ 10 x ។ 2. យក a , b , cជាចននពតវជជមានបពពញលកខខណឌ 1 cba ។
រកតនមលអបបបរមានន cba
abc111
។
3. យក a , b , cជារងហវ សតរជងននតរតើពកាណមយ ។ បងហា ញថា
cabcabbacacbcba
9111 ។
4. ពេឲយ a , b , cជាចននពតវជជមានបពពញលកខខណឌ 1abc ។
បងហា ញថា 3111
c
ac
b
cb
a
ba ។
5. ឧបមាថា a , b , cជារងហវ សតរជងននតរតើពកាណមយ ។ បងហា ញថា cbacba
cbabacacbcba ។ 6. ពេឲយ a ,b , cជាចននពតមនអវជជមានតដល 2 cba ។
បងហា ញថា 2222222 accbba ។
7. ពេឲយ a , b , c , d ជាចននពតវជជមាន ។ បងហា ញថា
bdacdadcdcbcbaba
411112222
។
8. ពេឲយ a , b , c , d ជាចននពតមនអវជជមានបពពញលកខខណឌ 5 edcba ។ បងហា ញថា
5 eabdeacdebcdabc ។ 9. ពេឲយ a , b , cជាចននពតវជជមានពនទៀងផទទ ត 3 cba ។
| 52
រ ៀបរ ៀងរោយ ជា ពសដឋ វសមភាព 360
បងហា ញថា 2
3
111222
a
c
c
b
b
a ។
| 53
រ ៀបរ ៀងរោយ ជា ពសដឋ វសមភាព 360
វសមភាព Cauchy-Schwarz ទរសតបរ ចព ោះ 1a , 2a , … , na , 1b , 2b , … , nb ជាចននពត ពេបាន
n
i
i
n
i
i
n
i
ii baba1
2
1
2
2
1
។
សទាយ
យក
n
i
i
n
i
ii
n
i
i
n
i
ii bbaxaxbxaxf1
2
11
22
1
22
ព ោះ 0xf ពោយ 01
2
n
i
ia
ពយើងបាន 00'
2
1
2
1
2
1
n
i
i
n
i
i
n
i
ii baba
n
i
i
n
i
i
n
i
ii baba1
2
1
2
2
1 សមភាពពពល 0 ii bxa ii bxa ចព ោះ ni ,1 ព ល េ naaau ,...,, 21
, nbbbv ,...,, 21 កលើពនអ ែគនា
លហាត ១ ពេឲយ a , b , 0c ។ បងហា ញថា
0222
222
2
222
2
222
2
bac
abc
acb
cab
cba
bca ។
ចមមលើយ
| 54
រ ៀបរ ៀងរោយ ជា ពសដឋ វសមភាព 360
ពយើងមាន 0222
222
2
222
2
222
2
bac
abc
acb
cab
cba
bca
3
2222
2
cyc cba
ba ពត
ព ោះ តាមវសមភាព Cauchy-Schwarz ពេបាន
22
2
22
2
222
2
2 cb
b
ca
a
cba
ba
ពយើងបាន 3
222
2
22
2
222
2
cyccyccyc cb
b
ca
a
cba
ba
លហាត ២
ពេឲយ x , y , 1z ព ទៀងផទទ ត 2111
zyx។ បងហា ញថា
111 zyxzyx ។ (Iran MO,1998)
ចមមលើយ
ពយើងមាន 1111
2111
z
z
y
y
x
x
zyx
តាម វសមភាព Cauchy-Schwarz ពយើងបាន 2
11
cyccyccyccyc
xx
xxx
ដចពនោះ 111 zyxzyx
| 55
រ ៀបរ ៀងរោយ ជា ពសដឋ វសមភាព 360
លហាត ៣
ពេឲយ a , b , 0c ។ កណតតមមៃតចបតមនba
c
ac
b
cb
a
543 ។
ចមមលើយ តាមវសមភាព Cauchy-Schwarz ពយើងបាន
55
44
33
ba
c
ac
b
cb
a
baaccbcba
543
baaccbbaaccb
543
2
1
25432
1
ពេបាន ba
c
ac
b
cb
a
543 125432
1 2
ដចពនោះ តមមៃតចបតមន ba
c
ac
b
cb
a
543 េ
125432
1 2
សមភាពលោះតាអត 523
baaccb
លហាត ៤ យក a , b , cជារងហា សរងមនតើពោណមយ ។ បងហា ញថា
cbabacacbcba ។ (APMO,1996)
ចមមលើយ
| 56
រ ៀបរ ៀងរោយ ជា ពសដឋ វសមភាព 360
តាមវសមភាព Cauchy-Schwarz ពយើងបាន bacbcbaacbcba 22
ាយដចគនា ពយើងបាន cbacacb 2
acbabac 2 បក ងគ នង ងគពេបាន cbabacacbcba 22
ដចពនោះ cbabacacbcba សមភាពលោះតាអត cba
លហាត ៥ ពេឲយ a ,b , cជាចននពត ។
ពេយក 22cbcbx , 22
acacy នង 22
babaz ។ បងហា ញថា 222
cbazxyzxy (VMEO,2006)
ចមមលើយ
ពយើងមាន 22
22
24
3
cb
ccbcbx
ព ើយ 22
22
24
3
ca
cacacy
តាមវសមភាព Cauchy-Schwarz ពយើងបាន
| 57
រ ៀបរ ៀងរោយ ជា ពសដឋ វសមភាព 360
2222
24
3
24
3 ca
ccb
cxy
cacbc
224
1
4
32
ពេបាន cyccyccyccyc
acacbcxy22
224
1
4
3
ដចពនោះ 222cbazxyzxy
លហាត ៦ ពបើសមើោរ 012
234 bxxaxx មានរសជាចននពតយា ងពោច
ណាសមយ ។ ាយបញជា កថា 822 ba ។
(Tournament of the Towns,1993) ចមមលើយ ពបើ xជារសមនសមើោរ ពយើងបាន 012
234 bxxaxx
12243 xxbxax
តាមវសមភាព Cauchy-Schwarz ពេបាន
22423222612 xxbxaxbaxx
36
22422 12
xx
xxba
បងហា ញថា 8
1226
224
xx
xx
ពយើងមាន 8
1226
224
xx
xx 0122 x ពត
| 58
រ ៀបរ ៀងរោយ ជា ពសដឋ វសមភាព 360
ដចពនោះ 822 ba
| 59
រ ៀបរ ៀងរោយ ជា ពសដឋ វសមភាព 360
វសមភាពនៃតមមៀប (Rearrangement Inequalities)
វសមភាពនៃតមមៀបមៃេះអាចតវបាៃមៅថា វសមភាពនៃចមលា ស ។
ទរសតបរ មេមលៃ n2 ចៃៃពតដែលកណតមោយ naaa ...21 ៃង nbbb ...21 ។ ចម េះេបចមលា ស naaa ,...,, 21 នៃ
naaa ,...,, 21 មេបាៃវសមភាព
n
i
ii
n
i
ii baba11
(1)
n
i
iin
n
i
ii baba1
1
1
(2)
ចម េះ (1) សមភាពមកើតម ើងល េះាដត ii aa , ni ,1 ចដណក (2) សមភាពមកើតម ើងល េះាដត ini aa 1 , ni ,1
សទាយ ចម េះ nbbb ...21 ៃង 1a , 2a , … , na ជាចៃៃពត ាង nnssrr bababababaS .........2211 ៃង nnsrrs bababababaS .........2211 ( S ជាផលបក S ដែលបតរទើាងរវាង ra ៃង sa ) មយើងបាៃ srrsssrr babababaSS
rsrs aabb មេបាៃ SS កាលណា rs aa
| 60
រ ៀបរ ៀងរោយ ជា ពសដឋ វសមភាព 360
ាមលកខណៈមៃេះ មេបាៃ S មលៃតនមាធបផ ត មពល naaa ...21 ៃង មលៃតនមាតចបផ តមពល naaa ...21
ែចមៃេះ ទសតើបទតវបាៃាយបញជា ក ករ ដល ១ (Corollary) ចម េះេបចមលា ស naaa ,...,, 21 នៃ naaa ,...,, 21 មេបាៃ
nnn aaaaaaaaa ...... 2211
22
2
2
1 ។ ករ ដល ២ (Corollary) ចម េះេបចមលា ស naaa ,...,, 21 នៃ naaa ,...,, 21 មេបាៃ
na
a
a
a
a
a
n
n
...2
2
1
1 ។
| 61
រ ៀបរ ៀងរោយ ជា ពសដឋ វសមភាព 360
លហាត ១ យក a , b , cជារងវា ស រងនៃតើមកាណមយ ។ បងវា ញថា
abccbacbcabacba 3222
។ (IMO,1964)
ចមមលើយ មោយ វសមភាពមលៃលកខណៈស ើមមទើមធៀបៃង a ,b , c WLOG ឧបមលថា abc មេបាៃ cbacbcabacba
(ការាយទ កជាលហាត) ាមវសមភាពនៃតមមៀប មយើងបាៃ
cbacbacbacba 222
cbaacbaccbacbba (1) cbacbacbacba
222 cbabcbacabacbca (2)
បក (1) ៃង (2) មយើងបាៃ abccbacbacbacba 62
222
ែចមៃេះ abccbacbcabacba 3222
លហាត ២ ចម េះ a ,b , cជាចៃៃពតវរាមលៃ ។ ាយបញជា កថា
2
3
ba
c
ac
b
cb
a ។
| 62
រ ៀបរ ៀងរោយ ជា ពសដឋ វសមភាព 360
(វសមភាព Nesbitt) ចមមលើយ រមបៀបទើ ១ មោយ វសមភាពមលៃលកខណៈស ើមមទើមធៀបៃង a , b , c WLOG សៃមតថា cba
មយើងបាៃ baaccb
cbacba
111
ាមវសមភាពនៃតមមៀបមេបាៃ
ba
a
ac
c
cb
b
ba
c
ac
b
cb
a
(1)
ba
b
ac
a
cb
c
ba
c
ac
b
cb
a
(2)
បក (1),(2) មយើងបាៃ 32
ba
c
ac
b
cb
a
ែចមៃេះ 2
3
ba
c
ac
b
cb
a
រមបៀបទើ ២ ាមករ ដល ២ នៃវសមភាពតមមៀបមេបាៃ
3
ba
cb
ac
ba
cb
ac (1)
3
ba
ac
ac
cb
cb
ba (2)
បក (1) ៃង (2) មយើងបាៃ
62
12
12
1
ba
c
ac
b
cb
a
| 63
រ ៀបរ ៀងរោយ ជា ពសដឋ វសមភាព 360
ែចមៃេះ 2
3
ba
c
ac
b
cb
a
លហាត ៣ មបើ naaa ...21 ៃង nbbb ...21 បងវា ញថា
n
bbb
n
aaa
n
bababa nnnn
......... 21212211 ។
(Tchebyshev’s Inequality) ចមមលើយ ាមវសមភាពនៃតមមៀបមយើងមលៃ
nnnn babababababa ...... 22112211
132212211 ...... babababababa nnn
242312211 ...... babababababa nnn …………………………………………………………………….
11212211 ...... nnnnnn babababababa បកអងគ ៃង អងគមេបាៃ nnnn bbbaaabababan ......... 21212211
ែចមៃេះ n
bbb
n
aaa
n
bababa nnnn
......... 21212211
សមភាពមកើតម ើងល េះាដត naaa ...21 រ nbbb ...21 លហាត ៤ មេឲយចៃៃពត nxxx ...21 ៃង nyyy ...21 ។
| 64
រ ៀបរ ៀងរោយ ជា ពសដឋ វសមភាព 360
មបើ nzzz ,...,, 21 ជាចមលា សនៃ nyyy ,...,, 21 ។ បងវា ញថា
n
i
ii
n
i
ii zxyx1
2
1
2 ។
(IMO,1975) ចមមលើយ
មោយ nzzz ,...,, 21 ជាចមលា សនៃ nyyy ,...,, 21 មេបាៃ
n
i
i
n
i
i zy1
2
1
2
មយើងបាៃ
n
i
ii
n
i
ii zxyx1
2
1
2
n
i
n
i
iii
n
i
i
n
i
n
i
iii
n
i
i zzxxyyxx1 1
2
1
2
1 1
2
1
222
n
i
ii
n
i
ii zxyx11
ពត ាមវសមភាពនៃតមមៀប
លហាត ៥ មេឲយ 1x , 2x , … , nx ជា n ចៃៃេតវរាមលៃមផេងគនា ។ បងវា ញថា
nn
xxx n 1...
2
1
1
1...
2122
2
2
1 ។
(IMO,1978) ចមមលើយ យក naaa ,...,, 21 ជាចមលា សនៃ nxxx ,...,, 21 ដែល naaa ...21
222211
1,...,
1
1,
1,...,,
nnbbb n
ចម េះ naaa ,...,, 21 ជាចមលា សនៃ naaa ,...,, 21 ដែល ini xa 1 ,
| 65
រ ៀបរ ៀងរោយ ជា ពសដឋ វសមភាព 360
,ni 1 ាមវសមភាពនៃតមមៀបមយើងបាៃ
nn
n bababan
xxx ......
21221122
2
2
1
nnn bababa 1211 ...
22
2
2
1 ...21 n
aaa n
មោយ 11 a , 22 a , …, nan មយើងបាៃ
nn
n
n
xxx n 1...
2
1
1
1...
2
2
1
1...
2122222
2
2
1
លហាត ៦ យក a ,b , cជារងវា សរងនៃតើមកាណមយ ។ បងវា ញថា
0222
acaccbcbbaba ។ (IMO,1983)
ចមមលើយ សកាករណើ abc (ករណើ មផេងមទៀតាយែចគនា ) មេបាៃ cbacbacbacba
ៃង cba
111
ាមវសមភាពនៃតមមៀបមេបាៃ
c
cbac
b
bacb
a
acba
| 66
រ ៀបរ ៀងរោយ ជា ពសដឋ វសមភាព 360
b
cbac
a
bacb
c
acba
cba
b
cac
a
bcb
c
abacba
0
b
cac
a
bcb
c
aba
ែចមៃេះ 0222
acaccbcbbaba លហាត ៧ ចម េះចៃៃពត 1x , 2x , … , nx ៃង 1y , 2y , … , ny ។ បងវា ញថា
n
i
i
n
i
i
n
i
ii yxyx1
2
1
2
2
1
សមភាពមកើតម ើងល េះាដត IR
ដែល ii yx , ni ,1 ។ (វសមភាព Cauchy-Schwarz)
ចមមលើយ មបើ 0...21 nxxx រ 0...21 nyyy មេបាៃ 00 ពត
ករណើ មផេងពើមៃេះ ាង n
i
ixS ៃង n
i
iyT
យក S
xa i
i ៃង T
ya i
in ចម េះ ni ,1
ាមករ ដល ១ នៃវសមភាពតមមៀបមយើងបាៃ
n
i
i
n
i
in
i
i aT
y
S
x 2
1
2
12
2
12
2
2
| 67
រ ៀបរ ៀងរោយ ជា ពសដឋ វសមភាព 360
nnnnnnn aaaaaaaaaa 21122211 ......
ST
yxn
i
ii
12
ែចមៃេះ
n
i
i
n
i
i
n
i
ii yxyx1
2
1
2
2
1
សមភាពមកើតម ើងល េះាដត
, ដែល
សមគា ល វសមភាព Cauchy-Schwarz កអាចមធាើការាយបញជា កាមសមភាព Lagrane (Lagrane’s Identity) បាៃផងដែរ េ
មេបាៃ ម េះ
លហាត ៨ យក , , ជាចៃៃពតវរាមលៃបមពញលកខខណឌ ។
បងវា ញថា ។
(IMO,1995) ចមមលើយ
ini aa ii yx ni ,1T
S
n
i
n
j
ijji
n
i
i
n
i
i
n
i
ii yxyxyxyx1 1
2
1
2
1
2
2
1 2
1
n
i
i
n
i
i
n
i
ii yxyx1
2
1
2
2
1
01 1
2
n
i
n
j
ijji yxyx
a b c 1abc
2
3111333
bacacbcba
| 68
រ ៀបរ ៀងរោយ ជា ពសដឋ វសមភាព 360
មោយវសមភាពមលៃលកខណៈស ើមមទើមធៀបៃង a , b , c WLOG សៃមតថា
ាង , , ៃង
មយើងបាៃ
មោយ
ាមវសមភាពនៃតមមៀបមេបាៃ
(1)
(2)
បក (1) ៃង (2) មយើងបាៃ
ាម AM-GM មេបាៃ ពត
abc
ax
1
by
1 zyx
cz
11xyz
bacacbcba
333
111
yx
z
xz
y
zy
x
111111
333
yx
z
xz
y
zy
x
222
yx
z
xz
y
zy
xzyxzyx
yx
zx
xz
yz
zy
xy
yx
z
xz
y
zy
x
222
yx
zy
xz
yx
zy
xz
yx
z
xz
y
zy
x
222
2
222zyx
yx
z
xz
y
zy
x
2
3
2
33
222
xyzyx
z
xz
y
zy
x
| 69
រ ៀបរ ៀងរោយ ជា ពសដឋ វសមភាព 360
លហាត ៩ យក , , ជាចៃៃពតវរាមលៃ ។ បងវា ញថា
។
(APMO,1998) ចមមលើយ
មយើងមលៃ
(*)
ាង , , ( ម េះ ជាបមលណវធើកា ងនៃ )
(*)
មបើយក
មយើងបាៃ ៃង មលៃលោបែចគនា
(មបើមកើៃ មកើៃែចគនា មបើច េះ ច េះែចគនា )
a b c
312111
abc
cba
a
c
c
b
b
a
312111
abc
cba
a
c
c
b
b
a
3
2
abc
cba
a
b
b
c
c
a
a
c
c
b
b
a
3xa
3yb 3
zc
IR
xyz
zyx
x
y
y
z
z
x
x
z
z
y
y
x333
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
32
x
y
y
z
z
x
x
z
z
y
y
xaaaaaa ,,,,,,,,,, 654321
z
x
x
y
y
z
y
x
x
z
z
yaaaaaa ,,,,,,,,,, 654321
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
654321 ,,,,,,,,,,x
y
y
z
z
x
x
z
z
y
y
xbbbbbb
654321 ,,,,, aaaaaa 654321 ,,,,, bbbbbb
| 70
រ ៀបរ ៀងរោយ ជា ពសដឋ វសមភាព 360
ម ើយ ជាចមលា សមយនៃ ាមវសមភាពនៃតមមៀបមេបាៃ
xyz
zyx333
2 ពត
654321 ,,,,, aaaaaa 654321 ,,,,, aaaaaa
yx
xz
xz
zy
zy
yx
x
y
y
z
z
x
x
z
z
y
y
x2
2
2
2
2
2
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
zx
xy
xy
yz
yz
zx2
2
2
2
2
2
xy
z
zx
y
yz
x222
xz
y
yx
z
zy
x222
| 71
រ ៀបរ ៀងរោយ ជា ពសដឋ វសមភាព 360
លហាត i. ចម េះេប , , ជាចៃៃពតវរាមលៃ បងវា ញថា
។ ii. មេឲយ , , ជាបើចៃៃពតវរាមលៃបមពញលកខខណឌ ។
ាយបញជា កថា ក/
ខ/ ។
iii. ចម េះេប , , ជាបើចៃៃពតវរាមលៃមៃសៃយ បងវា ញថា
ក/
ខ/ ។
iv. យក , , ជារងវា សរងនៃតើមកាណមយ ។ បងវា ញថា
។
v. មបើ ៃង ។
បងវា ញថា ក/
ខ/ ។
vi. មបើ ៃង ។
a b c
accbbacba222333
a b c 1abc
accbbacabcabcba222333333
2
cbaa
c
c
b
b
a
a b c
c
a
b
c
a
b
a
c
c
b
b
a
2
2
2
2
2
2
abc
cba
cba
222
111
a b c
3
cba
c
bac
b
acb
a
IR,...,, 21 naaa naaaS ...21
1...
2
2
1
1
n
n
as
a
as
a
as
a
n
n
1...
2
21
n
n
as
s
as
s
as
s
n
IR,...,, 21 naaa 1...21 naaa
| 72
រ ៀបរ ៀងរោយ ជា ពសដឋ វសមភាព 360
បងវា ញថា
vii. (វសមភាព QM-AM) ចម េះេបចៃៃពតវរាមលៃ , , … , បងវា ញថា
។
viii. (វសមភាព AM-GM-HM) យក , , … , ។ ាយបញជា កថា
សមភាពមកើតម ើងមពល ។ ix. មេឲយ , , … , ជាចៃៃពតវរាមលៃបមពញលកខខណឌ
។
បងវា ញថា ។
x. (China,1989) មេឲយ , , … , ជាចៃៃពតវរាមលៃបមពញលកខខណឌ
។ បងវា ញថា
។
xi. មេឲយ , , ជាបើចៃៃពតវរាមលៃបមពញលកខខណឌ ។
122...
22 2
2
1
1
n
n
a
a
a
a
a
a
n
n
1x 2x nx
n
xxx
n
xxx nn
...... 21
22
2
2
1
1x 2x IRnx
n
xxxxxx
xxx
n nnn
n
......
1...
1121
21
21
nxxx ...21
1a 2a na
1...21 naaa
n
n
n
nn
aaaaaa
1...
11...
21
11
2
1
1
1a 2a na
1...21 naaa
n
n
n aaana
a
a
a
a
a
...
1
1
1...
1121
2
2
1
1
a b c 1 cba
| 73
រ ៀបរ ៀងរោយ ជា ពសដឋ វសមភាព 360
បងវា ញថា ក/ ខ/ ។
xii. (IMO Shortlist,1990) មេឲយ , , , ជាចៃៃពតវរាមលៃដែល ។
បងវា ញថា ។
xiii. មេឲយ , , … , ( ) ជាចៃៃពតដែលផលបកនៃ កា ងចមណាម ចៃៃមៃេះធជាងចៃៃមយមទៀតដែលមៅសល ។
ាង ។ បងវា ញថា ។
5141414 cba
21141414 cba
a b c d 1 dacdbcab
3
13333
cba
d
bad
c
adc
b
dcb
a
1x 2x nx 2n 1n
n
n
k
kxs1
n
k k
k
n
s
xs
x
1
2
22
| 74
រ ៀបរ ៀងរោយ ជា ពសដឋ វសមភាព 360
វសមភាព យនសន (Jensen’s Inequalities)
នយមនយ អនគមន ហៅថា ផតហ ើចហ ល ោះ ហបើចហ ោះគគប
នង ហគបាន ។
មាននយថាគាបនន ចហ ល ោះអាបសើស នង សថតហៅហគាមអងកតដែ ភជា បពើចណច ហៅចណច (ែចរប)។ Lemma
ហបើ ផតហ ើ ហគបាន ចហ ។
សមរាយ ហយើងមាន ផតហ ើ ហយើងបាន ចហ ោះ
IR,: baf baI ,
1,0t byxa
xftytfxttyf 11
f x y
xfx, yfy,
f ba,
22
yfxfyxf
bayx ,,
f ba,
xftytfxttyf 11 bayx ,,
| 75
រ ៀបរ ៀងរោយ ជា ពសដឋ វសមភាព 360
ហបើ ហគបាន
មររសតបរ (វសមភជព Jensen)
ហបើ ផតហ ើ នង , , … , ដែ ហគបាន
(១) ចហ ោះគគប , , … , ។ សមរាយ ហយើងមាន ផតហ ើ ហយើងបាន
…………………………………………………………………
សាា ល តាម (១) ហបើយក ហគបាន
n
xfxfxf
n
xxxf nn
...... 2121 (*)
2
1t
22
yfxfyxf
f ba, 1t 2t 1,0nt 11
n
i
it
nnnn xftxftxftxtxtxtf ...... 22112211
1x 2x baxn ,
f ba,
nn xtxtxtf ...2211
nn
n
nn
nn
n xtt
xt
t
xt
t
xttf
1...
111 112211
nn
n
nn
nn
n xtt
xt
t
xt
t
xtft
1...
111 112211
nn
n
nn
nn
n xtt
xft
t
xft
t
xftt
1...
111 2211
nn xftxftxft ...2211
nttt ...21
| 76
រ ៀបរ ៀងរោយ ជា ពសដឋ វសមភាព 360
គរកតសមាា ផងដែរថា (*) កអាចគាយបញជា កហោយហគបើ Lemma ខាងហ ើ នង វចារកហណើ នដបបកសើផងដែរ ។ អនគមនហបាោ ងកមាន កខណៈែចគនា ដែរ គគគននដតបតរទសហៅ ហៅ ។ ហគអាចហគបើហែរ ើហវ ោប ២ ហែើមើបបងហា ញថា អនគមនមយហបាោ ង រ ផត គ ហបើ 0 xf ចហ ោះ fIx ហបាោ ងហ ើ I ហបើ 0 xf ចហ ោះ fIx ផតហ ើ I ។
លហាត ១ ហបើ , , បងហា ញថា ក/ ខ/ ។
ចមលើយ អនគមន ជាអនគមនផតហ ើ ,0 តាមវសមភជព Jensen ហយើងបាន
ក/ 22
333baba
ហេតហនោះ
ខ/ 33
3333cbacba
ែចហនោះ
a b IRc
3334 baba
33339 cbacba
3xxf
22
bfafbaf
3334 baba
33
cfbfafcbaf
33339 cbacba
| 77
រ ៀបរ ៀងរោយ ជា ពសដឋ វសមភាព 360
លហាត ២ រកតនមលតចបផតនន ហបើចហ ោះ ហយើងបាន
។
ចមលើយ
អនគមន
ចហ ោះ ហគថា ហបាោ ងហ ើ តាមវសមភជព Jensen ហយើងបាន
3
33
22
baba
3333 4 baba ហែើមើបឲយ ចហ ោះ ោះគតាដត 3333 44 kbakba ហេតហនោះ
លហាត ៣ ហគឲយ , , ។
បងហា ញថា ។
ចមលើយ អនគមន ជាអនគមនផតហ ើ
ហគ ោះ , 0t
k 0, ba
333 bakba
09
2
3
13
5
3
2
3
xxfxxfxxf
0x f ,0
22
baf
bfaf
333 bakba 0, ba
3
min 4k
x y 0z
zyxzyx 6111222
12 ttf ,0
0
1
13
2
t
tf
| 78
រ ៀបរ ៀងរោយ ជា ពសដឋ វសមភាព 360
តាមវសមភជព Jensen ហយើងបាន
133
1112222
zyxzyx
91112222 zyxzyx
បងហា ញថា ហយើងមាន
ពត
ហេតហនោះ
លហាត ៤ យក ជាអនគមនផតហ ើ ។ ចហ ោះគគប , , ហយើងបាន
(*)។
( វសមភជព Popoviciu)
សមរាយ (*) ជាវសមភជពសើហមគទើហ ៀបនង x , y , z
33
zyxf
zfyfxf
zyxzyx 692
zyxzyx 692
0962
zyxzyx
032 zyx
zyxzyx 6111222
f ba, x y baz ,
33
zfyfxfzyxf
2223
2 xzf
zyf
yxf
| 79
រ ៀបរ ៀងរោយ ជា ពសដឋ វសមភាព 360
WLOG សនមតថា
ហបើ នង
ហោះ ហផទៀងផទទ ត
នង
បកអងា នង អងាហយើងបាន tszyxzyx
3
2
2
2
ហោយ ផតហ ើ ហេតហនោះ ហគបាន
ហេើយ
បកអងា នង អងាហគបាន
គាយែចគនា ករណើ
zyx
zzxzyxzyx
y
233
zzyzyx
23
1,0, ts szszyxzx
1
32
tztzyxzy
1
32
2
3 ts
f ba, bazyx ,,,
zfszyx
sfzx
f
1
32
zftzyx
tfzy
f
1
32
22
yfxfyxf
33
zfyfxfzyxf
2223
2 xzf
zyf
yxf
3
zyxy
| 80
រ ៀបរ ៀងរោយ ជា ពសដឋ វសមភាព 360
លហាត ៥ ចហ ោះ , , បងហា ញថា
។
ចមលើយ
អនគមន
ចហ ោះគគប f ជាអនគមនផតហ ើ ,0 តាមវសមភជព Popoviciu ហយើងបាន
ែចហនោះ
ba
c
ac
b
cb
a
c
ba
b
ac
a
cb4
លហាត ៦ យក , , ជាចននពតវជាមាន ។ បងហា ញថា
(*)។
ចមលើយ (*) ជាវសមភជពអមោដសន WLOG សនមតថា
ហគបាន (*) សមម
a b 0c
ba
c
ac
b
cb
a
c
ba
b
ac
a
cb4
021
11
32
xxf
xxf
xxxf
0x
baaccbcbacba
4449111
a b c
cbaba
c
ac
b
cb
a
4
9222
1 cba
4
9
111222
c
c
b
b
a
a
| 81
រ ៀបរ ៀងរោយ ជា ពសដឋ វសមភាព 360
ពនតយ ជាអនគមនផតហ ើ
ហគ ោះ
តាមវសមភជព Jensen ហយើងបាន
3
13 fcfbfaf
ហោយ
ហេតហនោះ
ែចហនោះ
លហាត ៧
ចហ ោះ , បងហា ញថា (*)។
ចមលើយ ហបើ រ ហគបាន (*) ពត ហបើ , ហគបាន , ចហ ោះ ,
ហយើងបាន (*) សមម
21 x
xxf
,0
01
244
x
xxf
33
cfbfafcbaf
4
3
3
11
3
1
3
12
f
4
9
111222
c
c
b
b
a
a
cbaba
c
ac
b
cb
a
4
9222
x0 y 1xyyx
1
2
1
1
1
1
22
0x 0y
x0 1yu
ex
v
ey
u 0v
vuvueee
1
2
1
1
1
1
22
| 82
រ ៀបរ ៀងរោយ ជា ពសដឋ វសមភាព 360
អនគមន កណតហោយ ជាអនគមនហបាោ ងហ ើ
ហគ ោះ
0
1
1
524
2
xx
x
ee
exf ចហ ោះគគប
តាមវសមភជព Jensen ហយើងបាន
vuvueee
1
2
1
1
1
1
22
ែចហនោះ
លហាត ៨
ហគឲយ , , … , , , , … , ជាចននពតវជាមានដែ ។
បងហា ញថា (*)។ (វសមភជព Weighted AM-GM)
ចមលើយ ហោយ ជាអនគមនផត ហគ ោះ 0 x
exf ចហ ោះគគប 0x តាម វសមភជព Jensen ហយើងបាន
f x
exf
1
1 ,0
0x
22
vuf
vfuf
xyyx
1
2
1
1
1
1
22
1x 2x nx 1t 2t nt 11
n
i
it
nn
t
n
tttxxtxtxxx n ...... 221121
21
xexf
nnn xtxtxtt
n
tteeexxx
lnlnln
21 ...... 221121 nn xtxtxte
ln...lnln 2211
221 ln
1
ln
2
ln
1 ...xxx
etetet
nn xtxtxt ...2211
| 83
រ ៀបរ ៀងរោយ ជា ពសដឋ វសមភាព 360
សាា ល
ហបើ ហគបាន (*) ាល យជាវសមភជព AM-GM ។
លហាត ៩ យក , , ជារងហា សគជងននគតើហាណមយ ។ បងហា ញថា
។
ចមលើយ ហោយ a , b , cជារងហា សគជងននគតើហាណមយ ហយើងបាន 0 cba , 0 acb នង 0 bac តាម Weighted AM-GM ហយើងបាន
ែចហនោះ
លហាត ១០
ហគឲយ , ជាចននពតវជាមាន ។ ហបើ , ហផទៀងផទទ ត ។
បងហា ញថា ។
(វសមភជព Young )
nttt n
1...21
a b c
cbacbacbabacacbcba
cba
c
cba
b
cba
a
c
bac
b
acb
a
cba
c
bacc
b
acbb
a
cbaa
cba
1
1
cba
cba
cbacbacbabacacbcba
x y a 0b 111
ba
bay
bx
axy
11
| 84
រ ៀបរ ៀងរោយ ជា ពសដឋ វសមភាព 360
សមរាយ
តាម Weighted AM-GM ហយើងបាន
លហាត ១១ យក , , … , នង , , … , ជាចននពតវជាមានហេើយ ,
បហពញ កខខណឌ ។ បងហា ញថា
។
(វសមភជព Holder)
ចមលើយ
ហបើ នង តាម វសមភជព Young
ហយើងបាន
យក , , នង
ហគបាន ,
bba
ayxxy
11
bay
bx
a
11
1x 2x nx 1y 2y ny a
0b 111
ba
bn
i
b
i
n
i
an
i
a
iii xxyx
1
11
1
1
11
n
i
a
ix 11
n
i
b
iy
b
i
a
iii yb
xa
yx11
n
i
i
n
i
i
n
i
ii yb
xa
yx111
11
111
ba
n
i
a
i Ax1
n
i
a
i By1 a
i
i
A
xx
1
b
i
i
B
yy
1
11
1
A
x
x
n
i
a
in
i
a
i 11
1
B
y
y
n
i
b
in
i
a
i
| 85
រ ៀបរ ៀងរោយ ជា ពសដឋ វសមភាព 360
ហយើងបាន
ែចហនោះ
លហាត ១២ ហគឲយ , , … , , , , … , ជាចននពតវជាមាន នង ។
បងហា ញថា ។
(វសមភជព Minkowski)
ចមលើយ ហយើងមាន
ចហ ោះ , តាម វសមភជព Holder ហយើងបាន
ហគបាន
n
i
ii
ba
n
i ba
iin
i
ii yx
BABA
yxyx
111
111
1
11
bn
i
b
i
n
i
an
i
a
iii xxyx
1
11
1
1
1a 2a na 1b 2b nb 1p
pn
i
p
k
pn
i
p
k
pn
k
p
kk baba
1
1
1
1
1
1
11
p
kkk
p
kkk
p
kk babbaaba
n
k
p
kkk
n
k
n
k
p
kkk
p
kk babbaaba1
1
1 1
1
0q 111
qp
qn
k
pq
kk
pn
k
p
k
n
i
p
kkk baabaa
1
1
1
1
11
1
qn
k
pq
kk
pn
k
p
k
n
i
p
kkk babbab
1
1
1
1
11
1
| 86
រ ៀបរ ៀងរោយ ជា ពសដឋ វសមភាព 360
ចហ ោះ
ហយើងបាន
សាា ល ហបើ សមភជពហកើតហ ើង
ហបើ ហគបាន
លហាត ១៣ ចហ ោះ , បងហា ញថា
។
(IMO Shortlist,1998)
ចមលើយ
អនគមន កណតហោយ ផតហ ើ
ហគ ោះ ,
ហោយ យក , , តាមវសមភជពJensen ហយើងបាន
pn
k
p
k
pn
k
p
k
qn
k
pq
kk
n
k
p
kk bababa
1
1
1
1
1
1
1
1
ppq 1
pn
i
p
k
pn
i
p
k
pn
k
p
kk baba
1
1
1
1
1
1
1p
10 p pn
i
p
k
pn
i
p
k
pn
k
p
kk baba
1
1
1
1
1
1
1ir ni ,1
1...1
1...
1
1
1
1
2121
nnn rrr
n
rrr
f x
exf
1
1 IR
0
1
1
132
x
xx
x
x
e
eexf
e
exf
IRx
1irix
i er 0ix ni ,1
| 87
រ ៀបរ ៀងរោយ ជា ពសដឋ វសមភាព 360
ែចហនោះ
លហាត ១៤ ហគឲយ , , ជាចននពតវជាមាន ។ បងហា ញថា
។
(IMO,2001)
ចមលើយ
ហោយ 1888
222
abc
c
cab
b
bca
a ជាវសមភជពអមោដសន
WLOG សនមត
អនគមន ជាអនគមនផតហ ើ
តាម វសមភជព Jensen ហយើងបាន Mfabccfcabbfbcaaf 888
222 ដែ
cyccyc
aabcbcaaM32
248
បងហា ញថា ហយើងមាន
nnxxx
n
xxx eeene
1
1...
1
1
1
11
1
1
2121 ...
1...1
1...
1
1
1
1
2121
nnn rrr
n
rrr
a b c
1888
222
abc
c
cab
b
bca
a
1 cba
x
xf1
IR
1Mf
11 MMf
| 88
រ ៀបរ ៀងរោយ ជា ពសដឋ វសមភាព 360
3
324
cyccyc
aaabc
02
cyc
bac សមភជពហព
ែចហនោះ
លហាត ១៥
ហគឲយ , , … , ជាចននពតវជាមានហផទៀងផទទ ត ។
បងហា ញថា ។
(China,1998)
ចមលើយ
ជាអនគមនផតហ ើ ហគ ោះ
តាម វសមភជពJensen
ហយើងបាន
cba
1888
222
abc
c
cab
b
bca
a
1x 2x nx 11
n
i
ix
11
1
1
n
x
x
x
n
i
in
i i
i
x
xxf
1 1,0 0 xf
n
fxn
fxfnx
x
n
n
i
i
n
i
i
n
i i
i 111
1
1
111
1
1
nn
111
n
n
x
xn
i i
i
| 89
រ ៀបរ ៀងរោយ ជា ពសដឋ វសមភាព 360
បងហា ញថា
តាម វសមភជព Cauchy-Schwarz ហយើងបាន
ែចហនោះ
n
i
ixn1
nxnxn
i
i
n
i
i 11
11
1
1
n
x
x
x
n
i
in
i i
i
| 90
រ ៀបរ ៀងរោយ ជា ពសដឋ វសមភាព 360
វសមភាព ស មមទរ (Symmetric Inequalities)
នយមនយ អនគមន nអថេរ naaaf ,...,, 21 មានលកខណៈសថមទរ រ ឆះ លះទាតែ nn aaafaaaf ,...,,,...,, 2121 ចថ ះទគបចមាស n ,...,2,1 នន n,...,2,1 ។ ថេែថនះ ថប naaaf ,...,, 21
ថ ទៀងផទទ ែលកខខណឌ ណាមយ ថ ះ naaaf ,...,, 21 កថ ទៀងផទទ ែ លកខខណឌ ថ ះតែរ ។ វសមភាពននអនគមនសថមទរ ថៅថាវសមភាពសថមទរ ។ ថោយ ជារ ករនងលោបទគបថល ( មាននយថាទគបធាែទងអសនន
សរធតែអាចថទបៀបថ ៀបគនា បានថោយរ ករនង ) ថេែថនះ ថែមបទាយ វសមភាពសថមទរថយងអាចថរៀបអថេរទងអសននវសមភាពាមលោប (ឧទេរណ ) ថ ល គ ការសនមែថនះមន ថអាយបាែបង នវលកខណរថៅរបសវសមភាពថរ (WLOG: Without loss of generality) ។ ទរសតបរ (វសមភាព Schur) ចថ ះ , , នង ថយងបាន
រ 0
cyc
rzxyxx សមភាពលះទាតែ រ ,
(នង ចមាសថេងថរៀែ) ។ សទាយ ថោយ វសមភាពសថមទរចថ ះអថេរ , ,
IR
IR
naaa ...21
x y 0z IRr
0 yxxzzzyxyyyxzxxrrr
zyx yx 0z
x y z
| 91
រ ៀបរ ៀងរោយ ជា ពសដឋ វសមភាព 360
WLOG សនមែថា ចថ ះ ថយងបាន (1) ថេយ
(2) ាម (1),(2) ថគបាន 0
cyc
rzxyxx
ចថ ះ ថយងបាន (3) នង
(4) ាម (3),(4) ថយងបាន 0
cyc
rzxyxx
ែចថនះ 0cyc
rzxyxx សមភាពថពល
រ , (នង ចមាសថេងថរៀែ) សាា ល ចថ ះ , វសមភាព Schur សមមល ក/ accacbbcbaababccba 3
333 ខ/ bacacbcbaabccba
2223333
គ/ ។ (សមាកលបងរករាងពថសសថេងថរៀែននវសមភាព Schur)
ថោយវសមភាព Schur ជាវសមភាពតែលទែវបានទញថចញពលកខណៈសថមទរ ែចថនះ ភាគថទចនននវសមភាពសថមទរ(ែថទក ជាង រ ថសមនង ៣)សរធតែអាចថទប
វសមភាព Schur ថែមបទាយបញជា ក ។
zyx
0r
0 yzxzzr
011
rrrrrr
yxzyxzyyzxx
0 zyxyyzxyxxrr
0r
0 zxyxxr
yxyyxzyxyzxzrrrr
0 yxyzrr
zyx
yx 0z
1r
bacacbcbaabc
| 92
រ ៀបរ ៀងរោយ ជា ពសដឋ វសមភាព 360
លហាត ១ ថគឲយ a , b , cជារងវា សទរងននទែថកាណមយ ។ បងវា ញថា
abcscscbsbasa 333 ។
( sជាកនះបរមាទែននទែថកាណ ) សទាយ ថយងមាន abcscscbsbasa
333 0
222 bcaccabcbbcabaa ពែ
ាមវសមភាព Schur លហាត ២ ថគឲយ a , b , cជាចននពែវរាមាន ។ បងវា ញថា
cbacba
ab
c
ca
b
bc
a 111622227
222
។
សទាយ
ថយងមាន
cbacba
ab
c
ca
b
bc
a 111622227
222
bcaccbabcabaabccbaabc222222333
32 23232323222333333
3 acbcabcbabcacbaaccbba 2323
abcbac 0 ពែ ាមវសមភាព Schur ចថ ះអថេរ a , b , c នង ab , bc , ca លហាត ៣ ថគឲយ a , b , cជាចននពែវរាមាន ។ បងវា ញថា
bcac
abc
cbab
cab
caba
bca
ba
c
ac
b
cb
a
222
។
សទាយ
| 93
រ ៀបរ ៀងរោយ ជា ពសដឋ វសមភាព 360
ថយងមាន
bcac
abc
cbab
cab
caba
bca
ba
c
ac
b
cb
a
222
03
333
accbba
accacbbcbaababccba
0 bcacccbabbcabaa ជាវសមភាព Schur
លហាត ៤ ថគឲយ a , b , cជាចននពែមនអវរាមាន ។ បងវា ញថា
cbababa
c
acac
b
cbcb
a
1
444444222222
។
សទាយ ាម វសមភាព Cauchy-Schwarz ថយងបាន
222222444444 baba
c
acac
b
cbcb
a
abcbacacbcba
cba
3444222222
2
បងវា ញថា cbaabcbacacbcba
cba
1
3444222222
2
ថយងមាន cbaabcbacacbcba
cba
1
3444222222
2
abcbacacbcbacba 34442222223
2222223333 bacacbcbaabccba
ជាវសមភាព Schur
| 94
រ ៀបរ ៀងរោយ ជា ពសដឋ វសមភាព 360
លហាត ៥ ថគឲយ a , b , cជាបចននពែ ។បងវា ញថា
bacacbcbacbacba 555222666
3
2 ។
សទាយ ាមវសមភាព AM-GM នង Schur ថយងបាន
cyccyccyc
cbaacbaa22462226
233
cyccyc
caabaa246246
cyc
cba5
2
លហាត ៦ ថគឲយ a , b , cជាចននពែមនអវរាមានថ ទៀងផទទ ែ 2 cba ។ បងវា ញថា 333444
cbaabccba ។ សទាយ ាមវសមភាព Schur ថយងបាន
0 bcaccabcbbcbbaarrr
ចថ ះ 2r ថយងបាន bacacbcbacbaabccba
333444 cbacbacbaabccba
3334442
ថោយ 2 cba ែចថនះ 333444
cbaabccba លហាត ៧ ថគឲយ a , b , cជាចននពែមនអវរាមាន ។ បងវា ញថា
| 95
រ ៀបរ ៀងរោយ ជា ពសដឋ វសមភាព 360
1222222
22
2
22
2
22
2
baba
c
acac
b
cbcb
a (1)។
សទាយ ាមវសមភាព Cauchy-Schwarz ថយងបាន
cyc cbcb
a22
2
22
cyc
cyc
cbcba
a
222
2
2
22
ថែមបបងវា ញថា(1)ពែថយងទគននតែបងវា ញថា
cyccyc
cbcbaa222
2
222
cyccyccyc
baaabca224
2
ាមវសមភាព Schur ចថ ះ 2r នង AM-GM ថយងបាន
cyccyccyccyc
babaabaabca22224
2 ពែ
ែចថនះ 1222222
22
2
22
2
22
2
baba
c
acac
b
cbcb
a
លហាត ៨ ថគឲយ a , b , cជាចននពែមនអវរាមាន ។ បងវា ញថា
cbababa
c
acac
b
cbcb
a
22
3
22
3
22
3
(*)។
សទាយ ាមវសមភាព Cauchy-Schwarz ថយងបាន
cyc cyc
cyc
cbcba
cba
cbcba
a
bbcb
a22
2222
22
4
22
3
| 96
រ ៀបរ ៀងរោយ ជា ពសដឋ វសមភាព 360
ថែមបបងវា ញថា (*) ពែ ថយងទគននតែបងវា ញថា
cyccyccyc
acbcbaa22
2
2
ថយងមាន
cyccyccyc
acbcbaa22
2
2
cyccyccyccyc
aabccbacbabaa 322224
cyccyccyc
cbaaabca34 ជាវសមភាព Schur
លហាត ៩ ថគឲយ a , b , cជាចននពែមនអវរាមាន ។ បងវា ញថា
333222222222cbababacacacbcbcba
(*) ។ សទាយ ាម វសមភាព AM-GM ថយងបាន
cyccyc
cbcbaacbcba222222
cyc
bccbaa222
2
1
ថែមបបងវា ញថា (*) ពែថយងទគននតែបងវា ញថា
cyc
bccbaa222
2
1cyc
a3
ថយងមាន cyc
bccbaa222
2
1cyc
a3
022223
cyccyc
bccbaaa
| 97
រ ៀបរ ៀងរោយ ជា ពសដឋ វសមភាព 360
cyccyc
baababca 033 ពែាមវសមភាព Schur
លហាត ១០ ថគឲយ a , b , cជាចននពែមនអវរាមាន ។ បងវា ញថា
222
22
3
22
3
22
3
cbababa
c
acac
b
cbcb
a
។
សទាយ ាមវសមភាព Cauchy-Schwarz ថយងបាន
cyc
cyc
cbcba
cba
cbcb
a
22
2222
22
3
ថេែថនះ ថែមបបងវា ញថា វសមភាពពែថយងទគននតែបងវា ញថា 22222
cbacbcbacyc
ាមវសមភាព Cauchy-Schwarz ថយងបាន
cyccyccyc
cbcbaacbcba22
2
22
តែ ាមវសមភាព Schur ថយងបាន
cyccyccyc
cbcbaaa22
2
2
034
cyccyccyc
cbaaabca
2
222
cyccyccyc
acbcbaa
ែចថនះ 22222cbacbcba
cyc
| 98
រ ៀបរ ៀងរោយ ជា ពសដឋ វសមភាព 360
វធសាសរតជន (The Substitution Strategy)
វធសាសរតជនជាវធសាសរតមយដមានសារៈខានបផតកនងការដ ោះ
សរសាយលហាតវ មភាពដដលមានភាពមគសាម ញខាល ង ។ ប ដនតមនដមនរាល ការជនទងអទធដតផតលមកវញនវភាពងាយសរលដ ោះដទ ។ កនងដផនកដនោះដយងមដលកយកនវរដបៀបននការជមយចននសរមាបមនអនក អានដដមបទកជាមល ា ន ។ i. ការជនបែែពជគណត ( Algebraic Substitution ) លហាត ១ ដប , , ជាចននពតវជជមានតចជាង 1 ដដល ។
បងាា ញថា (*) ។
ចម លើយ តាង , , , , ដយងបាន ដគបាន , ,
ដេតដនោះ (*)
ពត តាម AM-GM
a b c 2 cba
8111
c
c
b
b
a
a
ax 1 by 1 cz 1 x y 0z
13 cbazyx
zyxa 1 xzyb 1 yxzc 1
8
z
yx
y
xz
x
zy
xyzxzzyyx 8
| 99
រ ៀបរ ៀងរោយ ជា ពសដឋ វសមភាព 360
លហាត ២ យក , , ជាចននពតវជជមានបដពញលកខខណឌ ។
បងាា ញថា ។
(IMO,1995) ចម លើយ យក , 0
ដយងបាន
តាម វ មភាព Cauchy-Schwarz នង AM-GM ដយងបាន
ដចដនោះ មភាពលោះសរតាដត
a b c 1abc
2
3111333
bacacbcba
1,,2 abcxyzcazbcyabx zyx ,,
bacacbcba
333
111
zyyz
x
yxxy
z
zxxz
y
yx
z
zx
y
zy
x
222
2222
zyxyxzxzyyx
z
zx
y
zy
x
2
3
22
2222
zyx
zyx
zyx
yx
z
zx
y
zy
x
2
3111333
bacacbcba
1 cba
| 100
រ ៀបរ ៀងរោយ ជា ពសដឋ វសមភាព 360
លហាត ៣ ដគដអាយ ជាចននពតវជជមានបដពញលកខខណឌ ។ បងាា ញថា
។
(IMO,2000) ចម លើយ
តាង , ,
ដយងបាន (*) មមល
(1) ដប (1) ពត ដប (1) អាចរដរ ពត ដសររោះ
ដចដនោះ មភាពលោះសរតាដត
លហាត ៤ ដគឲយ , , ជាចននពតវជជមាន ។ បងាា ញថា
cba ,, 1abc
11
11
11
1
ac
cb
ba
y
xa
z
yb
x
zc
1111
x
y
x
z
z
x
z
y
y
z
y
x
xyzyxzxzyzyx
0 yxzxzyzyx
0 yxzxzyzyx
222222zyxyxzxzyzyx
222xzyxxzyzyx
222yxzyyxzxzy
222zyxzzyxyxz
11
11
11
1
ac
cb
ba
1 cba
a b c
| 101
រ ៀបរ ៀងរោយ ជា ពសដឋ វសមភាព 360
(*) ។
(India,2002) ចម លើយ
តាង , , ដគបាន
ដយងបាន
ដេយ
ដគបាន (*)
(1)
តាម AM-GM ដយងមាន ដសរបទសរមង Engel ននវ មភាព Cauchy-Schwarz នង AM-GM ដយងបាន
ដេតដនោះ (1) ពត ii. ការជនបែែតតមកាណមាតត ( Trigonometric Substitution ) មភាពសរតដកាណមាសរតងាយៗមយចនន ។
ដប , , ជារងាា មននសរតដកាណមយ ដយងបាន
ab
cb
ca
ba
bc
ac
a
c
c
b
b
a
b
ax
c
by
a
cz 1xyz
zyxa
c
c
b
b
a
x
z
z
y
y
xzyx
ab
cb
ca
ba
bc
ac
1
1
1
1
1
1
01
1
1
1
1
1
x
z
z
y
y
x
0111111222
yzxyzx
3222222
zyxzyxyzxyzx
3222
yzxyzx
zyx
xyzzyxzyxzyx
3
3
3
32
222
2sin
2sin
2sin41coscoscos:1
I
| 102
រ ៀបរ ៀងរោយ ជា ពសដឋ វសមភាព 360
វ មភាពសរតដកាណមាសរតមយចននជយកនងការសរសាយបញជជ ក ។ ដប , , ជារងាា មននសរតដកាណមយ ដគបាន
2cos
2cos
2cos4sinsinsin:2
I
sinsinsin42sin2sin2sin:3 I
coscoscos22sinsinsin:222
4 I
12
sin2
sin2
sin22
sin2
sin2
sin:222
5
I
12
tan2
tan2
tan2
tan2
tan2
tan:6
I
tantantantantantan:7 I
2cot
2cot
2cot
2cot
2cot
2cot:8
I
2
33sinsinsin:1 N
8
33sinsinsin:2 N
2
3
2sin
2sin
2sin:3
N
8
1
2sin
2sin
2sin:4
N
2
3coscoscos:5 N
8
1coscoscos:6 N
| 103
រ ៀបរ ៀងរោយ ជា ពសដឋ វសមភាព 360
សមរាយ
ដយងមាន ជាអនគមនដបា ងដល
តាមវ មភាព Jensen ដយងបាន
តាម AM-GM ដយងបាន
2
3
2cos
2cos
2cos:7
N
8
33
2cos
2cos
2cos:8
N
4
9sinsinsin:
222
9 N
4
3
2sin
2sin
2sin:
222
10
N
4
3coscoscos:
222
11 N
4
9
2cos
2cos
2cos:
222
12
N
32
tan2
tan2
tan:13
N
332
cot2
cot2
cot:14
N
3cotcotcot:15 N
1N xxf sin ,0
33
f
fff
3sin
3
sinsinsin
2
33sinsinsin
:2N
| 104
រ ៀបរ ៀងរោយ ជា ពសដឋ វសមភាព 360
ដច ដយងបាន
ដសរប នង AM-GM ដគបាន
ដយងមាន
ដចដនោះ
3
3
sinsinsinsinsinsin
8
33
3
2
333
:3N 1N
63
222
f
fff
6sin3
2sin
2sin
2sin
2
3
2sin
2sin
2sin
:4N3N
8
1
2sin
2sin
2sin:4
N
2
3coscoscos:5 N
coscoscos23
coscoscos23
coscoscos23
sinsincoscoscoscos23
2222coscos1sinsin2sinsin
coscos2cos2cos2
0coscos1sinsin22
2
3coscoscos
| 105
រ ៀបរ ៀងរោយ ជា ពសដឋ វសមភាព 360
ដយងមាន
ដចដនោះ
ដយងមាន ជាអនគមនដបា ងដល
ដ យ
តាមវ មភាព Jensen ដយងបាន
ដចដនោះ
:6N
coscoscos2
1coscoscos
2cos
2
1coscos
2
1
2
2
cos8
1cos
2
1cos
2
1
8
1cos
8
1 2
8
1coscoscos:6 N
2
3
2cos
2cos
2cos:7
N
xxf cos
2,0
2,0
2,
2,
2
63
222
f
fff
2
3
6cos3
2cos
2cos
2cos
2
3
2cos
2cos
2cos
| 106
រ ៀបរ ៀងរោយ ជា ពសដឋ វសមភាព 360
ដ យ
ដសរប នង AM-GM ដយងបាន
តាម នង ដយងបាន
តាម នង ដយងបាន
ដយងមាន
តាម
ដយងបាន
ដយងមាន
តាម
ដយងបាន
ដយងមាន xxf tan ជាអនគមនផតដល
តាមវ មភាព Jensen ដយងបាន
8
33
2cos
2cos
2cos:8
N 0
2cos,0
2cos,0
2cos
7N8
33
2cos
2cos
2cos
:9N 4I6N
4
9sinsinsin
222
:10N 5I 4N4
3
2sin
2sin
2sin
222
:11N
222222sinsinsin3coscoscos
:9N4
9sinsinsin
222
4
3
4
93coscoscos:
222
11 N
:12N
2sin
2sin
2sin3
2cos
2cos
2cos
222222
:10N4
3
2sin
2sin
2sin
222
4
9
4
33
2cos
2cos
2cos
222
32
tan2
tan2
tan:13
N
2,0
| 107
រ ៀបរ ៀងរោយ ជា ពសដឋ វសមភាព 360
ដចដនោះ
ដយងមាន xxf cot ជាអនគមនផតដល
តាមវ មភាព Jensen ដយងបាន
ដចដនោះ
ដយងមាន នង បកអងគ នង អងគដយងបាន
sincos1sinsinsin2 sincos1sinsinsin2
sinsin
sin
cos1
sin2
ដគបាន
3
1
6tan
6tan
3
2tan
2tan
2tan
32
tan2
tan2
tan
332
cot2
cot2
cot:14
N
2,0
36
cot6
cot3
2cot
2cot
2cot
332
cot2
cot2
cot
3cotcotcot:15 N
sinsincoscoscos1
sinsincoscoscoscos
cos1sinsin2
sin
cos
sinsin
sincotcotcot
| 108
រ ៀបរ ៀងរោយ ជា ពសដឋ វសមភាព 360
មណើ ដប , , ជារងាា មននសរតដកាណមសរច1មយ ដគបាន
។ តមាយ
, , ជារងាា មននសរតដកាណសរច
ដគបាន , ,
ដ យ ជាអនគមនផតដល
តាមវ មភាព Jensen ដយងបាន
ដេតដនោះ
1 ជាសរតដកាណដដលមានមទងបជាមសរច
sin
cos
cos1
sin2
sincos1
cos2cos2sin4
2
122
sincos1
cos1sin3
2
122
3
sincos1
cos1sin3
2
122
33tantantan:16 N
2,0
xxf tan
2,0
333
tan3
tan3
tantantan
33tantantan
| 109
រ ៀបរ ៀងរោយ ជា ពសដឋ វសមភាព 360
តរតែរ ដប , , ដគបាន , , ជារងាា មននសរតដកាណមយ
លោះសរតាដត ។
តមាយ ដប , , ជារងាា មននសរតដកាណមយ ដ ោះ
ដយងបាន
ដេតដនោះ
ដប
ដប ដគបាន ដសររោះ
ដ ោះ
ដយងបាន , , ជារងាា មននសរតដកាណមយ WLOG នមតថា ដ យ
ដគបាន
,0
12
tan2
tan2
tan2
tan2
tan2
tan
22cot
22tan
2tan
2tan
2tan
2tan
2tan1
2cot
2cot
12
cot2
cot
12
tan2
tan2
tan2
tan2
tan2
tan
12
tan2
tan2
tan2
tan2
tan2
tan
3
3
2tan1
2tan3
2
0
2tan
3
:,20
12
tan2
tan2
tan2
tan2
tan2
tan
| 110
រ ៀបរ ៀងរោយ ជា ពសដឋ វសមភាព 360
ដត
ដ ោះ ចដរោះ
ដ យ
ដយងបាន ដរល គ ដេតដនោះ , , ជារងាា មននសរតដកាណមយ រមែៀែជនបែែតតមកាណមាតត ដបបចននពត , , ដផទៀងផទទ តលកខខណឌ មានទសរមងដចមភាពសរត ដកាណមាសរតណាមយ ដេយមានដដនកណតដចអនគមនសរតដកាណមាសរតដ ោះ ដគអាចជនចននទងដ ោះដ យអនគមនសរតដកាណមាសរត។ ការជនដនោះមន ដធាឲយបាតបងលកខណៈទដៅដ ោះដទ ដេយដែមទងដធាដអាយវ មភាពដដល មគសាម ញពបាកដ ោះសរសាយដសរបជាមានរាងងាយ ។
ដេតដនោះការចងច មភាពសរតដកាណមាសរតពតជាខានណាដដមប ឈានដៅដលការតាងដបបសរតដកាណមាសរត ។
i. ចដរោះ ដគអាចតាង sinkx ,
រ coskx ចដរោះ ii. ដប ដគអាចតាង , iii. ដប , , ដផទៀងផទទ ត
12
tan2
tan2
tan2
tan2
tan2
tan
2tan
2tan
k
2
Zk
222220 kk
'
x y z
2xk
2,
2
,0
122 yx sinx cosy
x y 0z 1 zxyzxy
| 111
រ ៀបរ ៀងរោយ ជា ពសដឋ វសមភាព 360
ដគអាចតាង , , ដដល , ,
ជារងាា មននសរតដកាណមយ រ តាង , , ដដល , , ជារងាា មននសរតដកាណមសរចមយ
iv. ដប , , បដពញលកខខណឌ
រ ដគអាចតាង , ,
ដដល , , ជារងាា មននសរតដកាណមយ រ តាង , , ដដល , , ជារងាា មននសរតដកាណ
មសរចមយ v. ដប , , បដពញលកខខណឌ
ដគអាចតាង , , ដដល , ,
ជារងាា មននសរតដកាណមយ រ តាង , , cosz ដដល , , ជារងាា មននសរតដកាណមសរចមយ
vi. ដប
2
21
k
akak ដគអាចតាង tanka
vii. ដបមានរាង 2
1
2
x
x
,
21
2
x
x
,
2
2
1
1
x
x
ដគអាចតាង tanx
ដគបាន 2sin1
22
x
x , 2tan1
22
x
x , 2cos1
12
2
x
x
2tan
x
2tan
y
2tan
z
cotx coty cotz
x y 0z xyzzyx
1111
zxyzxy 2cot
x
2cot
y
2cot
z
tanx
tany tanz
x y 0z 12222
xyzzyx
2sin
x
2sin
y
2sin
z
cosx cosy
| 112
រ ៀបរ ៀងរោយ ជា ពសដឋ វសមភាព 360
លហាត ១ ដប , , បងាា ញថា (1) ។
(Romania,2002) ចម លើយ
តាង , , ចដរោះ , ,
ដយងបាន (1) មមល ពត ដសររោះ
លហាត ២ ដគឲយ a , b , cជាចននពតវជជមានបដពញលកខខណឌ 1 cba ។ បងាា ញថា 12
222 abccba ។
តមាយ យក xya , yzb នង zxc ដយងបាន
12222
abccba 132222222
xyzxzzyyx ដដល x , y , zជាចននពតវជជមានបដពញលកខខណឌ 1 zxyzxy (*) ដយងមាន 132
222222 xyzxzzyyx
zyxxyzxyzzxyzxy 21322
3 zyx (1)
តាម (*) ដយងយក 2
tanA
x , 2
tanB
y , 2
tanC
z
a b 1,0c 1111 cbaabc
xa2
cos yb2
cos zc2
cos x y
2,0
z
1sinsinsincoscoscos zyxzyx
zyxzyx sinsinsincoscoscos
yxyx sinsincoscos 1cos yx
| 113
រ ៀបរ ៀងរោយ ជា ពសដឋ វសមភាព 360
ដដល A , B , C ជារងាា មននសរតដកាណមយ
ដយងបាន (1) 32
tan2
tan2
tan CBA ពត តាម 13N
លហាត ៣ ដគឲយ a , b , 1,0c បដពញលកខខណឌ 1 cabcab ។
បងាា ញថា
c
c
b
b
a
a
c
c
b
b
a
a222
222
111
4
3
111 ។
ចម លើយ ដ យ a , b , 1,0c បដពញលកខខណឌ 1 cabcab
យក 2
tanA
a , 2
tanB
b , 2
tanC
c ដដល A , B , C ជារងាា មនន
សរតដកាណមសរច
ដយងបាន 2
tan
2tan1
2tan2
2
1
1 22
A
A
A
a
a
ដចគនន ដដរ 2
tan
12
B
b
b
,
2
tan
12
C
c
c
ដគបាន
c
c
b
b
a
a
c
c
b
b
a
a222
222
111
4
3
111
CBACBA
tan
1
tan
1
tan
13tantantan (*)
តាម 7I CBACBA tantantantantantan: ដយងបាន (*) មមល
| 114
រ ៀបរ ៀងរោយ ជា ពសដឋ វសមភាព 360
ACCBBACBA tantantantantantan3tantantan2
0tantantantantantan2
1 222 ACCBBA ពត
លហាត ៤
ដគឲយ x , y , 0z ។ បងាា ញថា zxyxx
x
xyzyy
y
1
yzxzz
z (*)។
ចម លើយ
ដយងមាន zxyxx
x
xyzyy
y
1
yzxzz
z
1
1
1
1
1
1
1
222
z
yzxz
y
xyzy
x
zxyx
ជាវ មភាពអម ដន WLOG នមតថា 1 zxyzxy
យក 2
tanA
x , 2
tanB
y , 2
tanC
z ដដល A , B , C ជារងាា មនន
សរតដកាណមយ
ដយងបាន
2tan
2tan
2tan
2tan
2tan
22 A
CABA
x
zxyx
| 115
រ ៀបរ ៀងរោយ ជា ពសដឋ វសមភាព 360
2sin
1
2 A
ដចគនន ដដរ ដគបាន
2sin
1
22 By
xyzy
ដយងបាន (*) មមល 1
2sin1
2sin
2sin1
2sin
2sin1
2sin
C
C
B
B
A
A
2
2sin1
1
2sin1
1
2sin1
1
CBA
ពត
ដសររោះ តាម AM-HM ដគបាន
2sin1
1
2sin1
1
2sin1
1
CBA
2sin
2sin
2sin3
9
CBA
2
2
33
9
តាម 2
3
2sin
2sin
2sin:3
CBAN
លហាត ៥ ដគឲយ x , y , 0z បដពញលកខខណឌ xyzzyx ។ បងាា ញថា
| 116
រ ៀបរ ៀងរោយ ជា ពសដឋ វសមភាព 360
ក/ 2
3
1
1
1
1
1
1
222
zyx (1)
ខ/ 2
33
111222
z
z
y
y
x
x (2)។
ចម លើយ ក/ ដ យ x , y , 0z បដពញលកខខណឌ xyzzyx តាង Ax tan , By tan , Cz tan ដដល A , B , C ជារងាា មននសរតដកាណមសរច
ដយងបាន AAx
costan1
1
1
1
22
ដចគនន ដដរ BB
costan1
1
2
, C
Ccos
tan1
1
2
ដគបាន (1) 2
3coscoscos CBA ពត តាម 5N
ដេតដនោះ 2
3
1
1
1
1
1
1
222
zyx
ខ/ ដចគនន ដដរ (2) 2
33sinsinsin CBA ពត តាម 1N
ដេតដនោះ 2
33
111222
z
z
y
y
x
x
| 117
រ ៀបរ ៀងរោយ ជា ពសដឋ វសមភាព 360
លហាត ៦
ដគឲយ a , b , c , 0d ដផទៀងផទទ ត 11
1
1
1
1
1
1
14444
dcba។
បងាា ញថា 3abcd ។ (Latvia,2002)
ចម លើយ តាង Aa tan
2 , Bb tan
2 , Cc tan
2 នង Dd tan
2
ចដរោះ A , B , C ,
2,0
D
ដគបាន 11
1
1
1
1
1
1
14444
dcba
1coscoscoscos2222
DCBA តាម AM-GM ដយងបាន
DCBAA22222
coscoscoscos1sin 3 2
coscoscos3 DCB (1)
ដចគនន ដដរ ដគបាន B2
sin 3 2coscoscos3 ADC (2)
C2
sin 3 2coscoscos3 BAD (3)
D2
sin 3 2coscoscos3 CBA (4)
គណអងគ នង អងគនន (1),(2),(3),(4) ដគបាន DCBADCBA
222242222coscoscoscos3sinsinsinsin
422223tantantantan DCBA
| 118
រ ៀបរ ៀងរោយ ជា ពសដឋ វសមភាព 360
443 abcd
ដេតដនោះ 3abcd លហាត ៧ ដគឲយ a , b , cជាចននពតមនអវជជមានបដពញលកខខណឌ
4222
abccba ។ បងាា ញថា 20 abccabcab ។ (USA,2001)
ចម លើយ ដប a , b , 1c 4
222 abccba
ដេតដនោះ ដដមបឲយ 4222
abccba លោះសរតាដតមានយ ងដហាច ណាមយចននតចជាង រ ដមនង 1 ដ យ 4
222 abccba ដមសរទដធៀបនង a , b , c
WLOG ឧបមថា 1a ដគបាន 01 bcaabccabcab (1) យក pa 2 , qb 2 , rc 2 ដគបាន 124
222222 pqrrqpabccba (*)
តាម (*) ដគបាន Ap cos , Bq cos , Cr cos
រ Aa cos2 , Bb cos2 , Cc cos2 ចដរោះ
2,0,,
CBA
ជារងាា មននសរតដកាណមយ ដយងបាន 2 abccabcab
| 119
រ ៀបរ ៀងរោយ ជា ពសដឋ វសមភាព 360
2
1coscoscos2coscoscoscoscoscos CBAACCBBA
ដយងមាន 0cos21 A ដយងបាន CBAACCBBA coscoscos2coscoscoscoscoscos
ACBCBA cos21coscoscoscoscos
ដ យ ACB cos2
3coscos
ដេយ 2
cos1coscos
2
1coscos
ACBCBCB
ដយងបាន
CBAACCBBA coscoscos2coscoscoscoscoscos
2
1cos21
2
cos1cos
2
3cos
A
AAA
ដ ោះ 2 abccabcab (2) តាម (1),(2) ដយងបាន 20 abccabcab លហាត ៨ ដគឲយ a , b , c បដពញលកខខណឌ 1 cba ។ បងាា ញថា
4
331
abc
abc
cab
b
bca
a ។
ចម លើយ យក xya , yzb នង zxc ដដល x , y , 0z
ដយងបាន 4
331
abc
abc
cab
b
bca
a
| 120
រ ៀបរ ៀងរោយ ជា ពសដឋ វសមភាព 360
4
331
yzxyzx
xyz
xyzxyz
yz
zxyzxy
xy
4
331
1
1
11
1222
zy
y
x (**)
ដដល 1 zxyzxy
តាង 2
tanA
x , 2
tanB
y , 2
tanC
z ដដល A , B , C ជារងាា មនន
សរតដកាណមយ
ដេតដនោះ (**) 4
331
2tan1
1
2tan1
2tan
2tan1
1
222
CB
B
A
4
331
2cossin
2
1
2cos
22
CB
A
4
331
2
sin
2
cos1
2
cos1
BCA
2
33cossincos CBA ពត
ដសររោះ CACACBA sincoscoscossincos
CA cos
2
3cos
2
3
3
2
CACA sincos3cossin33
1
CA
22cos
4
3cos
4
3
3
1
| 121
រ ៀបរ ៀងរោយ ជា ពសដឋ វសមភាព 360
CACA2222
sin3coscossin332
1
BBAA2222
sincos2
3sincos
2
3
2
3
2
33
លហាត ៩ ដគឲយ a , b , cជាចននពតវជជមាន ។ បងាា ញថា cabcabcba 9222
222 ។ ចម លើយ តាង Aa tan2 , Bb tan2 នង Cc tan2
ដដល
2,0,,
CBA
ដយងបាន cabcabcba 9222222
ACCBBACBA
tantan2tantan2tantan29coscoscos
8222
CBACBACBA sincossinsinsincoscoscoscos
CBA cossinsin9
4 (*)
ដ យ CBACBACBA sinsincoscoscoscoscos
CBACBA cossinsinsincossin
(*) 9
4coscoscoscoscoscoscos CBACBACBA
តាង 3
CBA ដ យ 0cos,cos,cos CBA
| 122
រ ៀបរ ៀងរោយ ជា ពសដឋ វសមភាព 360
នង xxf cos ជាអនគមនដបា ងដល
2,0
តាម AM-GM នង វ មភាព Jensen ដយងបាន
3
3
cos3
coscoscoscoscoscos
CBACBA
បងាា ញថា 9
43coscoscos
33
ដ យ cos3cos43cos3
33cos3cos33coscos
ដគបាន 9
43coscoscos
33
27
4cos1cos
24 ពត
ដសររោះ តាម AM-GM ដយងបាន
3
1
222
24cos1
2
cos
2
coscos1cos
3
1cos1
2
cos
2
cos
3
1 222
មភាពលោះសរតាដត 12
1tantantan cbaCBA
លហាត ១០
ដគឲយ x , y , 1z ដផទៀងផទទ ត 2111
zyx។
បងាា ញថា 111 zyxzyx ។ (Iran 1998)
| 123
រ ៀបរ ៀងរោយ ជា ពសដឋ វសមភាព 360
ចម លើយ តាង 1 xa , 1 yb នង 1 zc
ដគបាន 122111 222222222
cbaaccbbazyx
យក abp , bcq , car ដ ោះ 12222
pqrrqp តាង Ap cos , Bq cos , Cr cos ដដល A , B , C ជារងាា មនន សរតដកាណមសរចមយ ដយងបាន 111 zyxzyx
cbacba 3222
2
3 rqp
2
3coscoscos CBA ពត
ដេតដនោះ 111 zyxzyx លហាត ១១ ដគឲយ x , y , zជាចននពតវជជមានបដពញដដល 1 zxyzxy ។ បងាា ញថា
9
34111111
222222 yxzxzyzyx (1)។
(Hong Kong,1994) ចម លើយ ដ យ x , y , 0z ដដល 1 zxyzxy
តាង 2
tanA
x ,2
tanB
y ,2
tanC
z ដដល A , B , C ជារងាា មនន
| 124
រ ៀបរ ៀងរោយ ជា ពសដឋ វសមភាព 360
សរតដកាណមយ
ដយងបាន
2tan1
2tan1
2tan11
2222 CBAzyx
តាម
2tan
tan2tan1
tan1
tan22tan
2
2
ដគបាន
CB
CBAzyx
tantan
1
2tan
2tan
2tan411
22
ដចគនន ដដរ
AC
CBAxzy
tantan
1
2tan
2tan
2tan411
22
BA
CBAyxz
tantan
1
2tan
2tan
2tan411
22
ដ ោះ (1)មមល9
3
tantantan
tantantan
2tan
2tan
2tan
CBA
CBACBA (2)
ដ យ CBACBA tantantantantantan ( A , B , C ជារងាា មននសរតដកាណមយ)
ដេតដនោះ (2) មមល 9
3
2tan
2tan
2tan
CBA ពត
ដសររោះ តាម AM-GM ដយងបាន2
tan2
tan2
tan2
tan2
tan2
tanACCBBA
3
2
2tan
2tan
2tan3
CBA
ដ យ 12
tan2
tan2
tan2
tan2
tan2
tan ACCBBA
ដចដនោះ 9
3
2tan
2tan
2tan
CBA
| 125
រ ៀបរ ៀងរោយ ជា ពសដឋ វសមភាព 360
iii. ការជនបែែ Ravi ( Ravi Transformation ) ការជនដបប Ravi គជាការជនដដមបបដលងពវ មភាពននសរជង
សរតដកាណឲយដៅជាវ មភាពននចននពតវជជមាន ។ ដងេតដលរងាង ចរកកនងសរតដកាណ ដដលរងាងដនោះប ោះដៅនង
សរជង , នង សរតង , នង ដរៀងគនន ។ យក , ,
តាមរបដយងបាន , , , ,
នង ដដល
របមក ដប , , ជារងាា សរជងននសរតដកាណមយ បដពញលកខខណឌ , នង ។
លហាត ១ ដប , , ជារងាា សរជងននសរតដកាណមយ ។ សរសាយបញជជ កថា
(*)។ ចម លើយ
rI , ABC
BC CA AB X Y Z
YAAZx BXZBy CYXCz
zya xzb yxc asx
bsy csz 2
cbas
a b c 0,, zyx
yxa xzb yxc
a b c
abccbabacacb
| 126
រ ៀបរ ៀងរោយ ជា ពសដឋ វសមភាព 360
យក , នង ចដរោះ , , ដយងបាន នង (*) ពតតាម AM-GM លហាត ២ ដគឲយ , , ជារងាា សរជងននសរតដកាណមយ ។ បងាា ញថា
(*)។ (APMO,1996)
ចម លើយ យក , នង ចដរោះ , , (*) ពត ដសររោះ តាម QM-AM ដយងបាន
មភាពដកតដ ងលោះសរតាដត
មនសរតមដតរងាា សរជងននសរតដកាណប ដណាណ ោះដទដដលដយងអាចរដរជា
អនគមននន , , 0 ដតដយងកអាចរដរឲយជាបអនគមន , ,
yxa xzb yxc x y 0z
xyzcbabacacb 8
xzzyyxabc
xzzyyxxyz 8
a b c
cbabacacbcba
yxa xzb yxc x y 0z
xzzyyxzyx 222
zyx 222
2
22
2
22
2
22 xzzyyx
2
22
2
22
2
22 xzzyyx
xzzyyx
cbazyx
x y z x y
| 127
រ ៀបរ ៀងរោយ ជា ពសដឋ វសមភាព 360
0 ផងដដរនវ សរកឡានផទសរតដកាណ ការងាងចរកកនងសរតដកាណ ការងាងចរក ដសរៅសរតដកាណ នង កនលោះបរមាសរត ។ ដ យ , នង
ដយងបាន
តាមរបមនតដេរង (Heron’s formula)
តាមរបមនតសរកឡានផទ
ដេយ តាម
លហាត ៣ ដគឲយ , , ជារងាា សរជងននសរតដកាណ ។ ដបដគងសរតដកាណ
មយដទៀតដដលមានរងាា សរជង , , ។
បងាា ញថា ។
(India,2003)
ចមលើយ យក , នង ដយងបានរងាា សរជងននសរតដកាណ សរតវបានដមតងដ យ
z
yxa xzb yxc
zyxcba
s
2
xyzzyxcsbsassABC
zyx
xyz
s
ABCrsrABC
xyzzyx
xzzyyxR
R
abcABC
44
a b c ABC
CBA 2
ba
2
cb
2
dc
ABCCBA4
9
yxa xzb yxc
CBA
| 128
រ ៀបរ ៀងរោយ ជា ពសដឋ វសមភាព 360
, ,
ដយងបាន
តាម AM-GM ដយងបាន ,
នង
ដគបាន
2
32 zyxa
2
23 zyxb
2
32 zyxc
16
2223 xzzyyxzyxCBA
3 232 yxyx 3 2
32 zyzy
3 232 xzxz
ABCxyzzyx
CBA4
9
16
273
| 129
រ ៀបរ ៀងរោយ ជា ពសដឋ វសមភាព 360
លហាត 1. ដគឲយ x , y , zជាចននពតវជជមាន ។ បងាា ញថា
1222
33
3
33
3
33
3
xz
z
zy
y
yx
x ។
2. យក x , y , zជាចននពតវជជមានដផទៀងផទទ ត 1xyz ។
បងាា ញថា 2
3111
yxyxzxzyz ។
(Kazakhstan,2008) 3. ដប 3n នង 1x ,
2x , … , nx ជាចននពតវជជមានបដពញលកខខណឌ 1...21 nxxx ។ បងាា ញថា
11
1...
1
1
1
1
1322211
xxxxxxxxx nn
។
(Russia,2004) 4. a , b , cជាចននពតវជជមានបដពញលកខខណឌ abccabcab ។
បងាា ញថា
133
44
33
44
33
44
acca
ac
cbbc
cb
baab
ba ។
(Poland,2006) 5. ចដរោះ a , b , cជាចននពតវជជមាន បងាា ញថា
333
1222
cbacba
c
ab
b
ca
a
bc
។
(Ireland,2007) 6. ដគឲយ a , b , cជាចននពតវជជមានដផទៀងផទទ ត 8abc ។
| 130
រ ៀបរ ៀងរោយ ជា ពសដឋ វសមភាព 360
បងាា ញថា 01
2
1
2
1
2
c
c
b
b
a
a ។
7. ដគឲយ a , b , cជារងាា សរជងននសរតដកាណមយ ។ បងាា ញថា ក/ cabcabcbacabcab 43
2 ខ/ cabcabcbacabcab 2
222
គ/ 22
3
ba
c
ac
b
cb
a ។
8. យក a , b , cជារងាា សរជងននសរតដកាណមយ ។ បងាា ញថា abccbacbacbacba 3
222 ។
(IMO,1964) 9. ដគឲយ a , b , cជារងាា សរជងននសរតដកាណមយ ។ បងាា ញថា
abccbacbacbacba 3222222222 ។
10. ដគឲយ a , b , cជារងាា សរជងននសរតដកាណមយ ។ បងាា ញថា 0
222 acaccbcbbaba ។
(IMO,1983) 11. ដគឲយ a , b , cជារងាា សរជងននសរតដកាណមយ ។ បងាា ញថា
8
1
ac
ac
cb
cb
ba
ba ។
12. ដគឲយ a , b , cជារងាា សរជងននសរតដកាណមយបដពញលកខខណឌ 3 cabcab ។ បងាា ញថា 323 cba ។
13. ដគឲយ a , b , cជារងាា សរជងននសរតដកាណមយ ដេយ rជាការងាង
| 131
រ ៀបរ ៀងរោយ ជា ពសដឋ វសមភាព 360
ចរកកនងសរតដកាណដ ោះ ។ បងាា ញថា rcba 2
3111 ។
14. ដគឲយ a , b , cជារងាា សរជងននសរតដកាណមយ ដេយ sជាកនលោះ បរមាសរតននសរតដកាណដ ោះ ។ បងាា ញថា ក/ abbsas ខ/ ascscsbsbsas
4
cabcab ។
15. យក a , b , cជារងាា សរជងននសរតដកាណសរចមយ ។ បងាា ញថា 222222222
cbacbacbacyc
។
| 132
រ ៀបរ ៀងរោយ ជា ពសដឋ វសមភាព 360
ភាពអម សែន
(The Homogeneity) នយមនយ គេថា អនេមន ជាអនេមនអម សែន (homogenous) គ ើចគ ោះ គេបាន ។
ឧទាហរណ ជាអនេមនអម សែន គ ោះ
ចសណក មនសមនជាអនេមនអម សែនគេ ។
ែមគា ល nn xxxgxxxf ,...,,,...,, 2121 គៅថាវែមភាពអម សែន គ ើ ជាអនេមន អម សែន រ អាចនយាយម ាងគេៀតថាតនើមយៗនន នង nxxxg ,...,, 21 មានដគកគែមើគនា ។
ឧទាហរណ ជាវែមភាពអម សែន គ ោះ តនើមយៗនន
នង មានដគក 2 ដចគនា ។
nxxxf ,...,, 21
1-IRt n
k
n xxxfttxtxtxf ,...,,,...,, 2121
yx
yxyxf
2,
22
yxtftytx
ytxttytxf ,
2,
2222
zxyxzyxf 3,,2
nnn xxxgxxxfxxxh ,...,,,...,,,...,, 212121
nxxxf ,...,, 21
yzzxyyx 222
2
xyyx 222 yzz
2
| 133
រ ៀបរ ៀងរោយ ជា ពសដឋ វសមភាព 360
ដចគនា សដរ ជាវែមភាពអម សែន ។ ចសណកឯ មនសមនជាវែមភាពអម សែនគេ ។ គ ើវែមភាពមយជាវែមភាពអម សែន គ ោះគេអាច គងកើតលកខខណឌ សនែម។ លកខខណឌ សនែមគនោះមនបានគ វើឲយវែមភាពបាត ងលកខណៈេគៅគេ ។ គលើែពើគនោះគៅ គេៀតការ គងកើតលកខខណឌ ថមើគនោះអាចជយឲយវែមភាពមាន េមងងាយជាងមន ។ ដគណើ រការននការ សនែមលកខខណឌ នង គ វើឲយវែមភាព មានេមងងាយជាងមនគនោះ តវបានគៅថា Normalization ។ ចគ ោះវែមភាពនន ើអគថរ , , អាចតវបាន Normalized ( សនែម លកខខណឌ ) គសេងៗដចជា រ រ …។ រគ ៀ Normalization តវបានគ វើគ ើងគៅតាមលហាតនើមយៗ គ ល េ គ វើយា ងណាឲយលហាតវែមភាពសដលតវគ ោះាយមានេមងងាយ(ែល ាយ ញជា ក) ។ ែគងកតវែមភាព ជាវែមភាពអម សែន គយើងអាច Normalize គ យយក គ ោះ គ ើគេយក នង , , គយើងបាន
មាននយថា គ ើ ចគ ោះ គេបាន
3322baabba
ababb 1515
a b c
1 cba 1abc 1 cabcab
cabcabcba 222
1abc 3kabc
kxa kyb 1 xyzkzc
cabcabcba 222
zxyzxyzyx 222
zxyzxyzyx 222
1xyz
cabcabcba 222
| 134
រ ៀបរ ៀងរោយ ជា ពសដឋ វសមភាព 360
លហាត ១ គេឲយ , , ជាចននពតវជាមាន ។ ងាា ញថា
។
ចមមលើយ WLOG ែនមតថា តាម AM-GM គយើងបាន នង គ ោះ
3
81
3
accbbacabcab
ដចគនោះ (*)
ពនយល សនែម គហតអើវបានជាគយើងអាច សនែមនវលកខខណឌ ? គ ោះ គ ើ គេបាន (*) ពត
សទយពើគនោះ តាង , នង ( )
គយើងបាន (*) ពតចគ ោះេ , , លោះតាសត(*)ពតចគ ោះេ ,
, គ ើគយើងយក
តាមែមាយខាងគលើ (*) ពតចគ ោះេ , ,
a b c
3
83
accbbacabcab
3 cabcab
3 cba 1abc
abccabcabcbaaccbba
83 abccba
3
83
accbbacabcab
3 cabcab
0 cba
t
aa
t
bb
t
cc 0t
a b c a
b c 33
accbbacabcab
t
a b c
| 135
រ ៀបរ ៀងរោយ ជា ពសដឋ វសមភាព 360
គហតគនោះ (*) កពតចគ ោះេ , , សដរ ។ លហាត ២
ចគ ោះ , , ងាា ញថា ។
ចមមលើយ
គ យ ជាវែមភាពអម សែន
WLOG ែនមតថា
គយើងបាន ពត
គ ោះ តាម AM-HM គេបាន
ដចគនោះ
លហាត ៣ គេឲយ , , ជាចននពតវជាមាន ។ ងាា ញថា
។
(USA,2003) ចមមលើយ WLOG ឧ មាថា
គយើងបាន
a b c
a b 0c2
3
ba
c
ac
b
cb
a
2
3
ba
c
ac
b
cb
a
1 cba
2
3
ba
c
ac
b
cb
a
2
9111
accbba
2
9
2
9111
cbaaccbba
2
3
ba
c
ac
b
cb
a
a b c
8
2
2
2
2
2
222
2
22
2
22
2
bac
bac
acb
acb
cba
cba
3 cba
22
2
22
2
22
2
2
2
2
2
2
2
bac
bac
acb
acb
cba
cba
| 136
រ ៀបរ ៀងរោយ ជា ពសដឋ វសមភាព 360
គ យ
គេបាន
លហាត ៤ គេឲយ , , ជាចននពតវជាមាន ។ ងាា ញថា
។
(Japan,2002) ចមមលើយ WLOG ែនមតថា
គយើងបាន
22
2
22
2
22
2
32
3
32
3
32
3
cc
c
bb
b
aa
a
21
681
32
96
32
3322
2
22
2
a
a
aa
aa
aa
a
442
681
a
a
8412
3
1
32
322
2
cyccyc
aaa
a
a b c
5
322
2
22
2
22
2
cba
cba
bac
bac
acb
acb
3 cba
5
322
2
22
2
22
2
cba
cba
bac
bac
acb
acb
5
3
3
2322
2
cyc aa
a
5
3
962
12
cyc aa
| 137
រ ៀបរ ៀងរោយ ជា ពសដឋ វសមភាព 360
គ យ
ែមា វែមភាពភាា មកជាមយនវលកខខណឌ វញ គេកអាច សលងវែម
ភាពគ ោះឲយគៅជាវែមភាពអម សែនសដរ គ យគ ើការតាងមយចននដចជា
គ ើ គេតាង , ,
គ ើ គេតាង , នង
គ ើ គេតាង ,
នង
ទ ពើ អម សែន1 គហើយ គយើងអាច Normalize វែមភាពទាងគ ោះឲយមាន េមងងាយ ។ លហាត ៥ គេឲយ , , ជាចននពតវជាមាន គពញលកខខណឌ ។
1 អម សែន េជាការ សលងវែមភាពមយឲយកាា យជាវែមភាពអ ម សែនគ យគ ើ លកខខណឌ សដលគេឲយ ។
cyc cyc aa
aa
aa 962
2121
962
522
cyc aa
aaa
9625
121
5
122
2
cyc
a0
5
12
1abcy
xa
z
yb
x
zc
1 cbazyx
xa
zyx
yb
zyx
zc
1222 cba
222zyx
xa
222zyx
yb
222zyx
zc
x y z 1 zyx
| 138
រ ៀបរ ៀងរោយ ជា ពសដឋ វសមភាព 360
ងាា ញថា ។ ចមមលើយ គយើងអាចអម សែនវែមភាពគនោះតាមលកខខណឌ
តាង , ,
គយើងបាន
(*) (*) ជាវែមភាពអម សែន ែនមតថា (*)ែមមល ពត គ ោះ តាម AM-GM គយើងមាន
ដចគនោះ
xyzzxyzxy 9
1 zyx
cba
ax
cba
by
cba
cz
xyzzxyzxy 9
3222
9
cba
abc
cba
ca
cba
bc
cba
ab
abccabcabcba 9
1abc
9 cbacabcab
cbacabcab
abcacbccbabcaba 3222222
3b
c
a
c
a
b
c
b
b
a
c
a936
xyzzxyzxy 9
| 139
រ ៀបរ ៀងរោយ ជា ពសដឋ វសមភាព 360
លហាត 1. គេឲយ a , b , c ជាចននពតវជាមាន ។ ងាា ញថា
cbabac
bac
acb
acb
cba
cba
12
4
2
4
2
4
233
3
33
3
33
3
។
2. គេឲយ a , b , c , d ជាចននពតមនអវជាមាន ។ ងាា ញថា
222222222bad
c
adc
b
dcb
a
2222222
1
2
33
dcbacba
d
។
3. គេឲយ a , b , cជាចននពតមនអវជាមាន ។ ងាា ញថា
2
2
33
cba
abc
ba
c
ac
b
cb
a ។
4. គេឲយ a , b , c , d ជាចននពតវជាមាន ។ ងាា ញថា
dacaba
bcd
cdbdad
abc
2
1
dcbcac
dab
dbcbab
cda ។
5. គេឲយ a , b , cជាចននពតមនអវជាមាន ។ ងាា ញថា
ក/ 222
2
2
2
2
22
2
2
2
2
2
abc
abc
cab
cab
bca
bca
ខ/ 222
2
2
2
2
22
2
2
2
2
2
abc
abc
cab
cab
bca
bca ។
6. គេឲយ a , b , cជាចននពតមនអវជាមាន ។ ងាា ញថា
| 140
រ ៀបរ ៀងរោយ ជា ពសដឋ វសមភាព 360
9444444
cba
bac
ca
acb
bc
cba
ab
។
7. គេឲយ ia ជាចននពតវជាមានចគ ោះ ni ,1 ។ ងាា ញថា n
nn aaanaaa ...... 2121 ។ 8. គេឲយ a , b , cជាចននពតវជាមាន ។ ងាា ញថា
3
5
2333
cba
abc
ba
c
ac
b
cb
a ។