МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РЕСПУБЛИКИ КАЗАХСТАН ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени ШАКАРИМА г. СЕМЕЙ

Документ СМК 3 уровня УМКД УМКД 042-39. 1.ХХ/03- 2013

УМКДУчебно-методические

материалы по дисциплине«Средства автоматизации НИР»

Редакция №____от_____

УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИИ КОМПЛЕКСДИСЦИПЛИНЫ

«СРЕДСТВА АВТОМАТИЗАЦИИ НАУЧНО-ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКОЙ РАБОТЫ»

для специальности 6М060200 – «Информатика»

УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ

Семей2014

СОДЕРЖАНИЕ

1 Глоссарий2 Лекции3 Практические занятия4 Самостоятельная работа магистранта

Глоссарий

АВТОМАТИЗАЦИЯ , применение технических средств, экономико-математических методов и систем управления, освобождающих человека частично или полностью от непосредственного участия в процессах получения, преобразования, передачи и использования энергии, материалов или информации. Автоматизируются: 1) технологические, энергетические, транспортные и др. производственные процессы; 2) проектирование сложных агрегатов, судов, промышленных сооружений, производственных комплексов; 3) организация, планирование и управление в рамках цеха, предприятия, строительства, отрасли, войсковой части, соединения и др.; 4) научные исследования, медицинское и техническое диагностирование, учет и обработка статистических данных, программирование, инженерные расчеты и др. Цель автоматизации - повышение производительности и эффективности труда, улучшение качества продукции, оптимизация управления, устранение человека от работы в условиях, опасных для здоровья. Автоматизация - одно из основных направлений научно-технического прогресса. АВТОМАТИЗИРОВАННАЯ СИСТЕМА УПРАВЛЕНИЯ (АСУ) , совокупность математических методов, технических средств (ЭВМ, средств связи, устройств отображения информации и т. д.) и организационных комплексов, обеспечивающих рациональное управление сложным объектом (процессом) в соответствии с заданной целью. АСУ состоит из основы и функциональной части. В основу входят информационное, техническое и математическое обеспечение. К функциональной части относят набор взаимосвязанных программ, автоматизирующих конкретные функции управления (планирование, финансово-бухгалтерскую деятельность и др.). Различают АСУ объектами (технологическими процессами - АСУТП, предприятием - АСУП, отраслью - ОАСУ) и функциональными автоматизированными системами, напр., проектирования, расчетов, материально-технического и др. обеспечения. НАУЧНАЯ ОРГАНИЗАЦИЯ ТРУДА (НОТ) , процесс совершенствования организации труда на основе достижений науки и техники, физиологии и гигиены труда. НОТ направлена на улучшение организационных форм использования живого труда. Как отрасль исследований возникла в начале 20-х гг. НАУЧНО-ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЕ ИНСТИТУТЫ (НИИ) , учреждения для проведения научных исследований и разработок. Первые НИИ возникли в кон. 19 - нач. 20 вв. К сер. 20 в. НИИ стали основной формой организации коллективной научной деятельности в

большинстве стран. Необходимость решения сложных междисциплинарных научных задач привела к созданию комплексов НИИ и научных центров, международных НИИ и т. п. ИССЛЕДОВАНИЕ научное , процесс выработки новых знаний, один из видов познавательной деятельности. Характеризуется объективностью, воспроизводимостью, доказательностью, точностью; имеет два уровня - эмпирический и теоретический. Наиболее распространенным является деление исследований на фундаментальные и прикладные, количественные и качественные, уникальные и комплексные. ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ РЕАКТОР , ядерный реактор, активная зона которого является источником нейтронного и ?-излучений, используемых для проведения исследований в различных областях науки и техники. Большинство исследовательских реакторов - реакторы на тепловых нейтронах, в основном гетерогенного типа. Мощность нейтронного излучения ~ 1012 - 1015 нейтронов/(см2·с) ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА , раздел математики, включающий круг вопросов, связанных с производством вычислений и использованием ЭВМ. В более узком понимании вычислительная математика - теория численных методов решения типовых математических задач. ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЙ КОМПЛЕКС , взаимосвязанная совокупность средств вычислительной техники, в которую входит не менее 2 процессоров, объединенных системой управления и имеющих общую память, единое математическое обеспечение и общие периферийные устройства. ЭКСПЕРИМЕНТ (от лат . experimentum - проба, опыт), метод познания, при помощи которого в контролируемых и управляемых условиях исследуются явления природы и общества. ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНАЯ ФОНЕТИКА , инструментальные методы изучения звуков речи. 

Лекция 1. Методология научного исследования

План1. Характеристики научной деятельности  Описание характеристик научной деятельности начнем с ее

особенностей.  Говоря об особенностях научной деятельности, необходимо

различать индивидуальную научную деятельность - как процесс научной работы отдельного исследователя - и коллективную научную деятельность - как деятельность всего сообщества ученых, работающих в данной отрасли науки, или как работу научного коллектива исследовательского института, научных групп, научных школ и т.д. Они различны.  Особенности индивидуальной научной деятельности:  1. Научный работник должен четко ограничивать рамки своей деятельности и определять цели своей научной работы. В науке, так же как и в любой другой области профессиональной деятельности, происходит естественное разделение труда. Научный работник не может заниматься «наукой вообще», а должен вычленить четкое направление работы, поставить конкретную цель и последовательно идти к ее достижению. О проектировании исследований мы будем говорить ниже, а здесь необходимо отметить, что свойство любой научной работы заключается в том, что на пути исследователя постоянно «попадаются» интереснейшие явления и факты, которые сами по себе имеют большую ценность и которые хочется изучить подробнее. Но исследователь рискует отвлечься от стержневого русла своей научной работы, заняться изучением этих побочных для его исследования явлений и фактов, за которыми откроются новые явления и факты, и это будет продолжаться без конца. Работа таким образом «расплывется». В итоге не будут достигнуты никакие результаты. Это является типичной ошибкой большинства начинающих исследователей, о которой необходимо предупредить. Одним из главных качеств научного работника является способность сосредоточиться только на той проблеме, которой он занимается, а все остальные - «побочные» - использовать только в той мере и на том уровне, как они описаны в имеющейся на сегодняшний день научной литературе.  2. Научная работа строится «на плечах предшественников». Прежде чем приступать к любой научной работе по какой-либо проблеме, необходимо изучить в научной литературе, что было сделано в данной области предшественниками.  3. Научный работник должен освоить научную терминологию и строго выстроить свой понятийный аппарат. Дело не только в том, чтобы писать сложным языком как, часто заблуждаясь, считают многие начинающие научные работники: что чем сложнее и непонятнее, тем якобы научнее. Достоинством настоящего ученого является то, что он пишет и говорит о самых сложных вещах простым языком. Дело и в другом. Исследователь должен провести четкую грань между обыденным и научным языком. А различие заключается в том, что к обыденному разговорному языку не предъявляется особых требований к точности используемой терминологии. Однако, как только мы начинаем говорить об этих же понятиях на научном

языке, то сразу возникают вопросы: «А в каком смысле используется такое-то понятие, такое-то понятие и т.д.? В каждом конкретном случае исследователь должен ответить на вопрос: «В каком смысле он использует то или иное понятие».  В любой науке имеет место явление параллельного существования различных научных школ. Каждая научная школа выстраивает свой собственный понятийный аппарат. Поэтому, если начинающий исследователь возьмет, к примеру, один термин в понимании, трактовке одной научной школы, другой - в понимании другой школы, третий - в понимании третьей научной школы и т. д., то получится полный разнобой в использовании понятий, и никакой новой системы научного знания тем самым исследователь не создаст, поскольку, что бы он ни говорил и ни писал, он не выйдет за рамки обыденного житейского знания.  4. Результат любой научной работы, любого исследования должен быть обязательно оформлен в «письменном» виде (печатном или электронном) - в виде научного отчета, научного доклада, реферата, статьи, книги и т.д. Это требование обусловливается двумя обстоятельствами. Во-первых, только в письменном виде можно изложить свои идеи и результаты на строго научном языке. В устной речи этого никогда не получается. Причем написание любой научной работы, даже самой маленькой статьи, для начинающего исследователя представляет большую сложность, поскольку то, что легко проговаривается в публичных выступлениях или же мысленно проговаривается «про себя», оказывается «ненаписуе- мым». Здесь та же разница, что и между обыденным, житейским и научным языками. В устной речи мы и сами за собой и наши слушатели не замечают логических огрехов. Письменный же текст требует строгого логического изложения, а это сделать намного труднее. Во-вторых, цель любой научной работы - получить и довести до людей новое научное знание. И если это «новое научное знание» остается только в голове исследователя, о нем никто не сможет прочитать, то это знание окажется невостребованным и, по сути дела, пропадет.  Кроме того, количество и объем научных публикаций являются показателем, правда, формальным, продуктивности любого научного работника. И каждый исследователь постоянно ведет и пополняет список своих опубликованных работ.  Особенности коллективной научной деятельности:  1. Плюрализм научного мнения. Поскольку любая научная работа является творческим процессом, то очень важно, чтобы этот процесс не был «зарегламентирован». Естественно, научная работа каждого исследовательского коллектива может и должна планироваться и довольно строго. Но при этом каждый исследователь, если он достаточно грамотен, имеет право на свою точку зрения, свое мнение, которые должны, безусловно, уважаться. Любые попытки диктата,

навязывание всем общей единой точки зрения никогда не приводило к положительному результату. Вспомним, к примеру, хотя бы печальную историю с Т.Д. Лысенко, когда отечественная биология была отброшена на десятилетия назад.  В том числе, существование в одной и той же отрасли науки различных научных школ обусловлено и объективной необходимостью существования различных точек зрения, взглядов, подходов. А жизнь, практика потом подтверждают или опровергают различные теории, или же примиряют их, как, например, примирила таких ярых противников, какими были в свое время Р. Гук и И. Ньютон в физике, или И.П. Павлов и А.А. Ухтомский в физиологии.  2. Коммуникации в науке. Любые научные исследования могут проводиться только в определенном сообществе ученых. Это обусловлено тем обстоятельством, что любому исследователю, даже самому квалифицированному, всегда необходимо обговаривать и обсуждать с коллегами свои идеи, полученные факты, теоретические построения - чтобы избежать ошибок и заблуждений. Следует отметить, что среди начинающих исследователей нередко бытует мнение, что де «я буду заниматься научной работой сам по себе, а вот когда получу большие результаты, тогда и буду публиковать, обсуждать и т.д.». Но, к сожалению, такого не бывает. Научные робинзонады никогда ничем путным не кончались - человек «закапывался», запутывался в своих исканиях и, разочаровавшись, оставлял научную деятельность. Поэтому всегда необходимо научное общение.  Еще одним условием научного общения для любого исследователя является его непосредственное и опосредованное общение со всеми коллегами, работающими в данной отрасли науки - через специально организуемые научные и научнопрактические конференции, семинары, симпозиумы (непосредственное или виртуальное общение) и через научную литературу - статьи в печатных и электронных журналах, сборниках, книги и т.д. (опосредованное общение). И в том и в другом случае исследователь, с одной стороны, выступает сам или публикует свои результаты, с другой стороны - слушает и читает то, чем занимаются другие исследователи, его коллеги.  3. Внедрение результатов исследования - важнейший момент научной деятельности, поскольку конечной целью науки как отрасли народного хозяйства является, естественно, внедрение полученных результатов в практику. Однако следует предостеречь от широко бытующего среди людей, далеких от науки, представления, что результаты каждой научной работы должны быть обязательно внедрены. Вообразим себе такой пример. Только по педагогике ежегодно защищается более 3000 кандидатских и докторских диссертаций. Если исходить из предположения, что все полученные результаты должны быть внедрены, то представим себе бедного

учителя, который должен прочитать все эти диссертации, а каждая из них содержит от 100 до 300 страниц машинописного текста. Естественно, никто этого делать не будет. Механизм внедрения иной.  Результаты отдельных исследований публикуются в тезисах, статьях, затем они обобщаются (и тем самым как бы «сокращаются») в книгах, брошюрах, монографиях как чисто научных публикациях, а затем в еще более обобщенном, сокращенном и систематизированном виде попадают в вузовские учебники. И уже совсем «отжатые», наиболее фундаментальные результаты попадают в школьные учебники.  Кроме того, далеко не все исследования могут быть внедрены. Зачастую исследования проводятся для обогащения самой науки, арсенала ее фактов, развития ее теории. И лишь по накоплении определенной «критической массы» фактов, концепций, происходят качественные скачки внедрения достижений науки в массовую практику. Классическим примером является наука микология - наука о плесенях. Кто только десятилетиями ни издевался над учеными-микологами: «плесень надо уничтожать, а не изучать». И это происходило до той поры, пока в 1940 году А. Флеминг не открыл бактерицидные свойства пенициллов (разновидности плесени). Созданные на их основе антибиотики позволили только во время  Второй мировой войны спасти миллионы человеческих жизней, а сегодня мы себе не представляем, как бы без них обходилась медицина.  Нормы научной этики. Отдельный вопрос, который необходимо затронуть - вопрос о научной этике. Нормы научной этики не сформулированы в виде каких-либо утвержденных кодексов, официальных требований и т.д. Однако они существуют и могут рассматриваться в двух аспектах - как внутренние (в сообществе ученых) этические нормы и как внешние - как социальная ответственность ученых за свои действия и их последствия.  Этические нормы научного сообщества, в частности, были описаны Р. Мертоном еще в 1942 г. как совокупность четырех основных ценностей:  - универсализм: истинность научных утверждений должна оцениваться независимо от расы, пола, возраста, авторитета, званий тех, кто их формулирует. Таким образом, наука - изначально демократична: результаты крупного, известного ученого должны подвергаться не менее строгой проверке и критике, чем результаты начинающего исследователя;  - общность: научное знание должно свободно становиться общим достоянием;  - незаинтересованность, беспристрастность: ученый должен искать истину бескорыстно. Вознаграждение и признание необходимо рассматривать лишь как возможное следствие научных достижений, а

не как самоцель;  - рациональный скептицизм: каждый исследователь несет ответственность за оценку качества того, что сделано его коллегами, он не освобождается от ответственности за использование в своей работе данных, полученных другими исследователями, если он сам не проверил точность этих данных. То есть, в науке необходимо, с одной стороны, уважение к тому, что сделали предшественники; с другой стороны - скептическое отношение к их результатам: «Платон мне друг, но истина дороже» (изречение Аристотеля).  В отличие от внутренней, профессиональной этики, внешняя этика науки реализуется в отношениях науки и общества как социальная ответственность ученых. Эта проблема практически не стояла перед учеными до середины ХХ века - до появления ракетно-ядерного оружия, генной инженерии, гигантских экологических катастроф и других явлений, сопровождающих научно-технический прогресс. Сегодня ответственность ученого за последствия своих действий все возрастает и возрастает.  Принципы научного познания. Современная наука руководствуется тремя основными принципами познания: принципом детерминизма, принципом соответствия и принципом дополнительности. Принцип детерминизма имеет, можно сказать, многовековую историю, хотя он претерпел на рубеже ХІХ-ХХ веков существенные изменения и дополнения в своем толковании. Принципы соответствия и дополнительности были сформулированы в период рубежа ХІХ и ХХ веков в связи с развитием новых направлений в физике - теории относительности, квантовой механики и т.д., и, в свою очередь, в числе других факторов обусловили перерастание классической науки ХУІІІ-ХІХ веков в современную науку.  Принцип детерминизма. Принцип детерминизма, будучи общенаучным, организует построение знания в конкретных науках. Детерминизм выступает, прежде всего, в форме причинности как совокупности обстоятельств, которые предшествуют во времени какому-либо данному событию и вызывают его.  То есть, имеет место связь явлений и процессов, когда одно явление, процесс (причина) при определенных условиях с необходимостью порождает, производит другое явление, процесс (следствие).  Принципиальным недостатком прежнего, классического (так называемого лапласовского) детерминизма является то обстоятельство, что он ограничивался одной лишь непосредственно действующей причинностью, трактуемой чисто механистически: объективная природа случайности отрицалась, вероятностные связи выводились за пределы детерминизма и противопоставлялись материальной детерминации явлений.  Современное понимание принципа детерминизма предполагает наличие разнообразных объективно существующих форм

взаимосвязи явлений, многие из которых выражаются в виде соотношений, не имеющих непосредственно причинного характера, то есть прямо не содержащих момента порождения одного другим. Сюда входят пространственные и временные корреляции, функциональные зависимости и т.д. В том числе, в современной науке, в отличие от детерминизма классической науки, особенно важными оказываются соотношения неопределенностей, формулируемые на языке вероятностных законов или соотношения нечетких множеств, или интервальных величин и т.д. (см., например, [170]).  Однако все формы реальных взаимосвязей явлений в конечном счете складываются на основе всеобщей действующей причинности, вне которой не существует ни одно явление действительности. В том числе, и такие события, называемые случайными, в совокупности которых выявляются статистические законы. В последнее время теория вероятностей, математическая статистика и т. д. все больше внедряются в исследования в общественных, гуманитарных науках.  Принцип соответствия. В своем первоначальном виде принцип соответствия был сформулирован как «эмпирическое правило», выражающее закономерную связь в форме предельного перехода между теорией атома, основанной на квантовых постулатах, и классической механикой; а также между специальной теорией относительности и классической механикой. Так, например, условно выделяются четыре механики: классическая механика И. Ньютона (соответствующая большим массам, то есть массам, много большим массы элементарных частиц, и малым скоростям, то есть скоростям, много меньшим скорости света), релятивистская механика - теория относительности А. Эйнштейна («большие» массы, «большие» скорости), квантовая механика («малые» массы, «малые» скорости) и релятивистская квантовая механика («малые» массы, «большие» скорости). Они полностью согласуются между собой «на стыках». В процессе дальнейшего развития научного знания истинность принципа соответствия была доказана практически для всех важнейших открытий в физике, а вслед за этим и в других науках, после чего стала возможной его обобщенная формулировка: теории, справедливость которых экспериментально установлена для той или иной области явлений, с появлением новых, более общих теорий не отбрасываются как нечто ложное, но сохраняют свое значение для прежней области явлений как предельная форма и частный случай новых теорий. Выводы новых теорий в той области, где была справедлива старая «классическая» теория, переходят в выводы классической теории.  Необходимо отметить, что строгое выполнение принципа соответствия имеет место в рамках эволюционного развития науки. Но, не исключены ситуации «научных революций», когда новая

теория опровергает предшествующую и замещает ее.  Принцип соответствия означает, в частности, и преемственность научных теорий. На необходимость следования принципу соответствия приходится обращать внимание исследователей, поскольку в последнее время в гуманитарных и общественных науках стали появляться работы, особенно выполненные людьми, пришедшими в эти отрасли науки из других, «сильных» областей научного знания, в которых делаются попытки создать новые теории, концепции и т.п., мало связанные или никак не связанные с прежними теориями. Новые теоретические построения бывают полезны для развития науки, но если они не будут соотноситься с прежними, то ученые в скором времени вообще перестанут понимать друг друга.  Принцип дополнительности. Принцип дополнительности возник в результате новых открытий в физике также на рубеже ХІХ и ХХ веков, когда выяснилось, что исследователь, изучая объект, вносит в него, в том числе посредством применяемого прибора, определенные изменения. Этот принцип был впервые сформулирован Н. Бором: воспроизведение целостности явления требует применения в познании взаимоисключающих «дополнительных» классов понятий. В физике, в частности, это означало, что получение экспериментальных данных об одних физических величинах неизменно связано с изменением данных о других величинах, дополнительных к первым (узкое - физическое - понимание принципа дополнительности). С помощью дополнительности устанавливается эквивалентность между классами понятий, комплексно описывающими противоречивые ситуации в различных сферах познания (общее понимание принципа дополнительности).  Принцип дополнительности существенно изменил весь строй науки. Если классическая наука функционировала как цельное образование, ориентированное на получение системы знаний в окончательном и завершенном виде, на однозначное исследование событий, исключение из контекста науки влияния деятельности исследователя и используемых им средств, на оценку входящего в наличный фонд науки знания как абсолютно достоверного, то с появлением принципа дополнительности ситуация изменилась.  Важно следующее:  - включение субъектной деятельности исследователя в контекст науки привело к изменению понимания предмета знания: им стала теперь не реальность «в чистом виде», а некоторый ее срез, заданный через призмы принятых теоретических и эмпирических средств и способов ее освоения познающим субъектом;  - взаимодействие изучаемого объекта с исследователем (в том числе посредством приборов) не может не привести к различной проявляемости свойств объекта в зависимости от типа его взаимодействия с познающим субъектом в различных, часто

взаимоисключающих условиях. А это означает правомерность и равноправие различных научных описаний объекта, в том числе различных теорий, описывающих один и тот же объект, одну и ту же предметную область. Поэтому, очевидно, булгаковский Воланд и говорит: «Все теории стоят одна другой».  Важно подчеркнуть, что одна и та же предметная область может, в соответствии с принципом дополнительности, описываться разными теориями. Та же классическая механика может быть описана не только по известной по школьным учебникам физики механикой Ньютона, но и механикой У. Гамильтона, механикой Г. Герца, механикой К. Якоби. Они различаются исходными позициями - что берется за основные неопределяемые величины - сила, импульс, энергия и т.д. [121]. Точно так же в психологии: существует множество психологий: если за основу берется образ - гештальт- психология, если поведение - бихевиоризм и т.д. [193].  Или, например, в настоящее время многие социальноэкономические системы исследуются посредством построения математических моделей с использованием различных разделов математики: дифференциальных уравнений, теории вероятностей, нечеткой логики, интервального анализа и др. При этом интерпретация результатов моделирования одних и тех же явлений, процессов с использованием разных математических средств дает хотя и близкие, но все же разные выводы [170, 172]. В целом, в соответствии с указанными выше тремя принципами научного познания, различия между классической и «неклассической», современной наукой могут быть представлены в виде Табл. 2 [84].  Авторов данной книги в течение многих лет занимал вопрос: а почему именно эти три принципа научного познания (хотя некоторые авторы выделяют более широкую совокупность принципов научного познания)? Не два, не пять и т.д. Эти три принципа общепризнанны, никто не подвергает их сомнениям или дополнениям.

Табл. 2. Сравнительная характеристика двух эпох развития науки

  Наконец, ответ был найден. И достаточно простой. Целью научного исследования является получение нового научного знания. Это новое научное знание соотносится (см. Рис. 4):  - с объективной реальностью - принцип детерминизма;  - с предшествующей системой научного знания - принцип соответствия;  - с познающим субъектом - исследователем - принцип дополнительности («без субъекта нет объекта»).

Рис. 4. Логика выделения принципов научного познания

  Такой подход оказывается весьма продуктивным не только для объяснения принципов организации научной деятельности, но и для вычленения принципов организации в других видах деятельности, в частности - для вычленения принципов организации художественной деятельности (глава 4), учебной деятельности (глава 5) и игровой деятельности (глава 6).

Лекция 2. Средства и методы научного исследования

  Средства и методы являются важнейшими составляющими компонентами логической структуры организации деятельности. Поэтому они составляют крупный раздел методологии как учения об организации деятельности.  Следует отметить, что публикаций, систематически раскрывающих средства и методы деятельности, практически нет. Материал о них разбросан по различным источникам. Поэтому мы решили достаточно подробно рассмотреть этот вопрос и попытаться выстроить средства и методы научного исследования в определенной системе. К тому же средства и большинство методов относятся не только к научной, но и к практической деятельности, к учебной деятельности и т. д.  Средства научного исследования (средства познания). В ходе развития науки разрабатываются и совершенствуются средства познания: материальные, математические, логические, языковые [43]. Кроме того, в последнее время к ним, очевидно, необходимо добавить информационные средства как особый класс. Все средства познания - это специально создаваемые средства. В этом смысле материальные, информационные, математические, логические, языковые средства познания обладают общим свойством: их конструируют, создают, разрабатывают, обосновывают для тех или иных познавательных целей.  Материальные средства познания - это, в первую очередь, приборы для научных исследований. В истории с возникновением материальных средств познания связано формирование эмпирических методов исследования - наблюдения, измерения, эксперимента.  Эти средства непосредственно направлены на изучаемые объекты, им принадлежит главная роль в эмпирической проверке гипотез и других результатов научного исследования, в открытии новых объектов, фактов. Использование материальных средств познания в науке вообще - микроскопа, телескопа, синхрофазотрона, спутников Земли и т.д. - оказывает глубокое влияние на формирование понятийного аппарата наук, на способы описания изучаемых предметов, способы рассуждений и представлений, на используемые обобщения, идеализации и аргументы.  Информационные средства познания. Массовое внедрение вычислительной техники, информационных технологий, средств

телекоммуникаций коренным образом преобразует научно-исследовательскую деятельность во многих отраслях науки, делает их средствами научного познания. В том числе, в последние десятилетия вычислительная техника широко используется для автоматизации эксперимента в физике, биологии, в технических науках и т.д., что позволяет в сотни, тысячи раз упростить исследовательские процедуры и сократить время обработки данных. Кроме того, информационные средства позволяют значительно упростить обработку статистических данных практически во всех отраслях науки. А применение спутниковых навигационных систем во много раз повышает точность измерений в геодезии, картографии и т.д.  Математические средства познания. Развитие математических средств познания оказывает все большее влияние на развитие современной науки, они проникают и в гуманитарные, общественные науки.  Математика, будучи наукой о количественных отношениях и пространственных формах, абстрагированных от их конкретного содержания, разработала и применила конкретные средства отвлечения формы от содержания и сформулировала правила рассмотрения формы как самостоятельного объекта в виде чисел, множеств и т. д., что упрощает, облегчает и ускоряет процесс познания, позволяет глубже выявить связь между объектами, от которых абстрагирована форма, вычленить исходные положения, обеспечить точность и строгость суждений. Математические средства позволяют рассматривать не только непосредственно абстрагированные количественные отношения и пространственные формы, но и логически возможные, то есть такие, которые выводят по логическим правилам из ранее известных отношений и форм.  Под влиянием математических средств познания претерпевает существенные изменения теоретический аппарат описательных наук. Математические средства позволяют систематизировать эмпирические данные, выявлять и формулировать количественные зависимости и закономерности. Математические средства используются также как особые формы идеализации и аналогии (математическое моделирование).  Логические средства познания. В любом исследовании ученому приходится решать логические задачи:  - каким логическим требованиям должны удовлетворять рассуждения, позволяющие делать объективно-истинные заключения; каким образом контролировать характер этих рассуждений?  - каким логическим требованиям должно удовлетворять описание эмпирически наблюдаемых характеристик?  - как логически анализировать исходные системы научных знаний, как согласовывать одни системы знаний с другими системами знаний (например, в социологии и близко с ней связанной психологии)?

  - каким образом строить научную теорию, позволяющую давать научные объяснения, предсказания и т.д.?  Использование логических средств в процессе построения рассуждений и доказательств позволяет исследователю отделять контролируемые аргументы от интуитивно или некритически принимаемых, ложные от истинных, путаницу от противоречий.  Языковые средства познания. Важным языковым средством познания являются, в том числе, правила построения определений понятий (дефиниций). Во всяком научном исследовании ученому приходится уточнять введенные понятия, символы и знаки, употреблять новые понятия и знаки. Определения всегда связаны с языком как средством познания и выражения знаний.  Правила использования языков как естественных, так и искусственных, при помощи которых исследователь строит свои рассуждения и доказательства, формулирует гипотезы, получает выводы и т.д., являются исходным пунктом познавательных действий. Знание их оказывает большое влияние на эффективность использования языковых средств познания в научном исследовании.  Рядоположенно со средствами познания выступают методы научного познания (методы исследования).  Методы научного исследования. Существенную, подчас определяющую роль в построении любой научной работы играют применяемые методы исследования.  Методы исследования подразделяются на эмпирические (эмпирический - дословно - воспринимаемый посредством органов чувств) и теоретические (см. Табл. 3).  Относительно методов исследования необходимо отметить следующее обстоятельство. В литературе по гносеологии, методологии повсеместно встречается как бы двойное разбиение, разделение научных методов, в частности, теоретических методов. Так, диалектический метод, теорию (когда она выступает в функции метода - см. ниже), выявление и разрешение противоречий, построение гипотез и т.д. принято называть, не объясняя почему (по крайней мере, авторам таких объяснений в литературе найти не удалось), методами познания. А такие методы как анализ и синтез, сравнение, абстрагирование и конкретизация и т.д., то есть основные мыслительные операции, - методами теоретического исследования.  Аналогичное разделение имеет место и с эмпирическими методами исследования. Так, В.И. Загвязинский [70, 71] разделяет эмпирические методы исследования на две группы:  1. Рабочие, частные методы. К ним относят: изучение литературы, документов и результатов деятельности; наблюдение; опрос (устный и письменный); метод экспертных оценок; тестирование.  2. Комплексные, общие методы, которые строятся на применении одного или нескольких частных методов: обследование; мониторинг;

изучение и обобщение опыта; опытная работа; эксперимент.

Табл. 3. Методы научного исследования

  Однако название этих групп методов, наверное, не совсем удачно, поскольку затруднительно ответить на вопрос: «частные» - по отношению к чему? Так же и «общие» - по отношению к чему? Разграничение, скорее всего, идет по другому основанию.  Разрешить это двойное разделение как в отношении теоретических, так и в отношении эмпирических методов возможно с позиции структуры деятельности.  Мы рассматриваем методологию как учение об организации деятельности. Тогда, если научное исследование - это цикл деятельности, то его структурными единицами выступают направленные действия. Как известно, действие - единица деятельности, отличительной особенностью которой является наличие конкретной цели. Структурными же единицами действия являются операции, соотнесенные с объективно-предметными условиями достижения цели. Одна и та же цель, соотносимая с действием, может быть достигнута в разных условиях; то или иное действие может быть реализовано разными операциями. Вместе с тем одна и та же операция может входить в разные действия (А.Н. Леонтьев).  Исходя из этого мы выделяем (см. Табл. 3):  - методы-операции;  - методы-действия.  Такой подход не противоречит определению метода, которое дает Энциклопедический словарь [227]:

  - во-первых, метод как способ достижения какой-либо цели, решения конкретной задачи - метод-действие;  - во-вторых, метод как совокупность приемов или операций практического или теоретического освоения действительности - метод-операция.  Таким образом, в дальнейшем мы будем рассматривать методы исследования в следующей группировке:  Теоретические методы:  - методы - познавательные действия: выявление и разрешение противоречий, постановка проблемы, построение гипотезы и т. д.;  - методы-операции: анализ, синтез, сравнение, абстрагирование и конкретизация и т. д.  Эмпирические методы:  - методы - познавательные действия: обследование, мониторинг, эксперимент и т. д.;  - методы-операции: наблюдение, измерение, опрос, тестирование и т. д.  Теоретические методы (методы-операции) . Теоретические методы-операции имеют широкое поле применения, как в научном исследовании, так и в практической деятельности.  Теоретические методы - операции определяются (рассматриваются) по основным мыслительным операциям, которыми являются: анализ и синтез, сравнение, абстрагирование и конкретизация, обобщение, формализация, индукция и дедукция, идеализация, аналогия, моделирование, мысленный эксперимент.  Анализ - это разложение исследуемого целого на части, выделение отдельных признаков и качеств явления, процесса или отношений явлений, процессов. Процедуры анализа входят органической составной частью во всякое научное исследование и обычно образуют его первую фазу, когда исследователь переходит от нерасчлененного описания изучаемого объекта к выявлению его строения, состава, его свойств и признаков.  Одно и то же явление, процесс можно анализировать во многих аспектах. Всесторонний анализ явления позволяет глубже рассмотреть его.  Синтез - соединение различных элементов, сторон предмета в единое целое (систему). Синтез - не простое суммирование, а смысловое соединение. Если просто соединить явления, между ними не возникнет системы связей, образуется лишь хаотическое накопление отдельных фактов. Синтез противоположен анализу, с которым он неразрывно связан. Синтез как познавательная операция выступает в различных функциях теоретического исследования. Любой процесс образования понятий основывается на единстве процессов анализа и синтеза. Эмпирические данные, получаемые в том или ином исследовании, синтезируются при их теоретическом

обобщении. В теоретическом научном знании синтез выступает в функции взаимосвязи теорий, относящихся к одной предметной области, а также в функции объединения конкурирующих теорий (например, синтез корпускулярных и волновых представлений в физике).  Существенную роль синтез играет и в эмпирическом исследовании.  Анализ и синтез тесно связаны между собой. Если у исследователя сильнее развита способность к анализу, может возникнуть опасность того, что он не сумеет найти места деталям в явлении как едином целом. Относительное же преобладание синтеза приводит к поверхностности, к тому, что не будут замечены существенные для исследования детали, которые могут иметь большое значение для понимания явления как единого целого.  Сравнение - это познавательная операция, лежащая в основе суждений о сходстве или различии объектов. С помощью сравнения выявляются количественные и качественные характеристики объектов, осуществляется их классификация, упорядочение и оценка. Сравнение - это сопоставление одного с другим. При этом важную роль играют основания, или признаки сравнения, которые определяют возможные отношения между объектами.  Сравнение имеет смысл только в совокупности однородных объектов, образующих класс. Сравнение объектов в том или ином классе осуществляется по принципам, существенным для данного рассмотрения. При этом объекты, сравнимые по одному признаку, могут быть не сравнимы по другим признакам. Чем точнее оценены признаки, тем основательнее возможно сравнение явлений. Составной частью сравнения всегда является анализ, так как для любого сравнения в явлениях следует вычленить соответствующие признаки сравнения. Поскольку сравнение - это установление определенных отношений между явлениями, то, естественно, в ходе сравнения используется и синтез.  Абстрагирование - одна из основных мыслительных операций, позволяющая мысленно вычленить и превратить в самостоятельный объект рассмотрения отдельные стороны, свойства или состояния объекта в чистом виде. Абстрагирование лежит в основе процессов обобщения и образования понятий.  Абстрагирование состоит в вычленении таких свойств объекта, которые сами по себе и независимо от него не существуют. Такое вычленение возможно только в мысленном плане - в абстракции. Так, геометрическая фигура тела сама по себе реально не существует и от тела отделиться не может. Но благодаря абстрагированию она мысленно выделяется, фиксируется, например - с помощью чертежа, и самостоятельно рассматривается в своих особых свойствах.  Одна из основных функций абстрагирования заключается в выделении общих свойств некоторого множества объектов и в

фиксации этих свойств, например, посредством понятий.  Конкретизация - процесс, противоположный абстрагированию, то есть нахождение целостного, взаимосвязанного, многостороннего и сложного. Исследователь первоначально образует различные абстракции, а затем на их основе посредством конкретизации воспроизводит эту целостность (мысленное конкретное), но уже на качественно ином уровне познания конкретного. Поэтому диалектика выделяет в процессе познания в координатах «абстрагирование - конкретизация» два процесса восхождения: восхождение от конкретного к абстрактному и затем процесс восхождения от абстрактного к новому конкретному (Г. Г егель). Диалектика теоретического мышления и состоит в единстве абстрагирования, создания различных абстракций и конкретизации, движения к конкретному и воспроизведение его.  Обобщение - одна из основных познавательных мыслительных операций, состоящая в выделении и фиксации относительно устойчивых, инвариантных свойств объектов и их отношений. Обобщение позволяет отображать свойства и отношения объектов независимо от частных и случайных условий их наблюдения. Сравнивая с определенной точки зрения объекты некоторой группы, человек находит, выделяет и обозначает словом их одинаковые, общие свойства, которые могут стать содержанием понятия об этой группе, классе объектов. Отделение общих свойств от частных и обозначение их словом позволяет в сокращенном, сжатом виде охватывать все многообразие объектов, сводить их в определенные классы, а затем посредством абстракций оперировать понятиями без непосредственного обращения к отдельным объектам. Один и тот же реальный объект может быть включен как в узкие, так и широкие по объему классы, для чего выстраиваются шкалы общности признаков по принципу родо-видовых отношений. Функция обобщения состоит в упорядочении многообразия объектов, их классификации.  Формализация - отображение результатов мышления в точных понятиях или утверждениях. Является как бы мыслительной операцией «второго порядка». Формализация противопоставляется интуитивному мышлению. В математике и формальной логике под формализацией понимают отображение содержательного знания в знаковой форме или в формализованном языке. Формализация, то есть отвлечение понятий от их содержания, обеспечивает систематизацию знания, при которой отдельные элементы его координируют друг с другом. Формализация играет существенную роль в развитии научного знания, поскольку интуитивные понятия, хотя и кажутся более ясными с точки зрения обыденного сознания, мало пригодны для науки: в научном познании нередко нельзя не только разрешить, но даже сформулировать и поставить проблемы до тех пор, пока не будет уточнена структура относящихся к ним

понятий. Истинная наука возможна лишь на основе абстрактного мышления, последовательных рассуждений исследователя, протекающих в логической языковой форме посредством понятий, суждений и выводов.  В научных суждениях устанавливаются связи между объектами, явлениями или между их определенными признака- ми. В научных выводах одно суждение исходит от другого, на основе уже существующих выводов делается новый. Существуют два основных вида выводов: индуктивные (индукция) и дедуктивные (дедукция).  Индукция - это умозаключение от частных объектов, явлений к общему выводу, от отдельных фактов к обобщениям.  Дедукция - это умозаключение от общего к частному, от общих суждений к частным выводам.  Идеализация - мысленное конструирование представлений об объектах, не существующих или неосуществимых в действительности, но таких, для которых существуют прообразы в реальном мире. Процесс идеализации характеризуется отвлечением от свойств и отношений, присущим объектам реальной действительности и введением в содержание образуемых понятий таких признаков, которые в принципе не могут принадлежать их реальным прообразам. Примерами понятий, являющихся результатом идеализации, могут быть математические понятия «точка», «прямая»; в физике - «материальная точка», «абсолютно черное тело», «идеальный газ» и т.п.  О понятиях, являющихся результатом идеализации, говорят, что в них мыслятся идеализированные (или идеальные) объекты. Образовав с помощью идеализации понятия такого рода об объектах, можно в дальнейшем оперировать с ними в рассуждениях как с реально существующими объектами и строить абстрактные схемы реальных процессов, служащие для более глубокого их понимания. В этом смысле идеализация тесно связана с моделированием.  Аналогия, моделирование. Аналогия - мыслительная операция, когда знание, полученное из рассмотрения какого- либо одного объекта (модели), переносится на другой, менее изученный или менее доступный для изучения, менее наглядный объект, именуемый прототипом, оригиналом. Открывается возможность переноса информации по аналогии от модели к прототипу. В этом суть одного из специальных методов теоретического уровня - моделирования (построения и исследования моделей). Различие между аналогией и моделированием заключается в том, что, если аналогия является одной из мыслительных операций, то моделирование может рассматриваться в разных случаях и как мыслительная операция и как самостоятельный метод - метод-действие.  Модель - вспомогательный объект, выбранный или преобразованный в познавательных целях, дающий новую

информацию об основном объекте. Формы моделирования разнообразны и зависят от используемых моделей и сферы их применения. По характеру моделей выделяют предметное и знаковое (информационное) моделирование.  Предметное моделирование ведется на модели, воспроизводящей определенные геометрические, физические, динамические, либо функциональные характеристики объекта моделирования - оригинала; в частном случае - аналогового моделирования, когда поведение оригинала и модели описывается едиными математическими соотношениями, например, едиными дифференциальными уравнениями. При знаковом моделировании моделями служат схемы, чертежи, формулы и т.п. Важнейшим видом такого моделирования является математическое моделирование (см. более подробно ниже).  Моделирование всегда применяется вместе с другими методами исследования, особенно тесно оно связано с экспериментом. Изучение какого-либо явления на его модели есть особый вид эксперимента - модельный эксперимент, отличающийся от обычного эксперимента тем, что в процессе познания включается «промежуточное звено» - модель, являющаяся одновременно и средством, и объектом экспериментального исследования, заменяющего оригинал.  Особым видом моделирования является мысленный эксперимент. В таком эксперименте исследователь мысленно создает идеальные объекты, соотносит их друг с другом в рамках определенной динамической модели, имитируя мысленно то движение, и те ситуации, которые могли бы иметь место в реальном эксперименте. При этом идеальные модели и объекты помогают выявить «в чистом виде» наиболее важные, существенные связи и отношения, мысленно проиграть возможные ситуации, отсеять ненужные варианты.  Моделирование служит также способом конструирования нового, не существующего ранее в практике. Исследователь, изучив характерные черты реальных процессов и их тенденции, ищет на основе ведущей идеи их новые сочетания, делает их мысленное переконструирование, то есть моделирует требуемое состояние изучаемой системы (так же, как любой человек и даже животное, строит свою деятельность, активность на основе формируемой первоначально «модели потребного будущего» - по Н.А. Бернштейну [18]). При этом создаются модели-гипотезы, вскрывающие механизмы связи между компонентами изучаемого, которые затем проверяются на практике. В этом понимании моделирование в последнее время широко распространилось в общественных и гуманитарных науках - в экономике, педагогике и т.д., когда разными авторами предлагаются различные модели фирм, производств, образовательных систем и т.д.

  Наряду с операциями логического мышления к теоретическим методам-операциям можно отнести также (возможно условно) воображение как мыслительный процесс по созданию новых представлений и образов с его специфическими формами фантазии (создание неправдоподобных, парадоксальных образов и понятий) и мечты (как создание образов желанного) [195].  Теоретические методы (методы - познавательные действия). Общефилософским, общенаучным методом познания является диалектика - реальная логика содержательного творческого мышления, отражающая объективную диалектику самой действительности. Основой диалектики как метода научного познания является восхождение от абстрактного к конкретному (Г. Гегель) - от общих и бедных содержанием форм к расчлененным и более богатым содержанием, к системе понятий, позволяющих постичь предмет в его сущностных характеристиках. В диалектике все проблемы обретают исторический характер, исследование развития объекта является стратегической платформой познания. Наконец, диалектика ориентируется в познании на раскрытие и способы разрешения противоречий.  Законы диалектики: переход количественных изменений в качественные, единство и борьба противоположностей и др.; анализ парных диалектических категорий: историческое и логическое, явление и сущность, общее (всеобщее) и единичное и др. являются неотъемлемыми компонентами любого грамотно построенного научного исследования.  Научные теории, проверенные практикой: любая такая теория, по существу, выступает в функции метода при построении новых теорий в данной или даже в других областях научного знания, а также в функции метода, определяющего содержание и последовательность экспериментальной деятельности исследователя. Поэтому различие между научной теорией как формой научного знания и как метода познания в данном случае носит функциональный характер: формируясь в качестве теоретического результата прошлого исследования, метод выступает как исходный пункт и условие последующих исследований.  Доказательство - метод - теоретическое (логическое) действие, в процессе которого истинность какой-либо мысли обосновывается с помощью других мыслей [101]. Всякое доказательство состоит из трех частей: тезиса, доводов (аргументов) и демонстрации. По способу ведения доказательства бывают прямые и косвенные, по форме умозаключения - индуктивными и дедуктивными. Правила доказательств:  1. Тезис и аргументы должны быть ясными и точно определенными.  2. Тезис должен оставаться тождественным на протяжении всего доказательства.

  3. Тезис не должен содержать в себе логическое противоречие.  4. Доводы, приводимые в подтверждение тезиса, сами должны быть истинными, не подлежащими сомнению, не должны противоречить друг другу и являться достаточным основанием для данного тезиса.  5. Доказательство должно быть полным.  В совокупности методов научного познания важное место принадлежит методу анализа систем знаний (см., например, [43]). Любая научная система знаний обладает определенной самостоятельностью по отношению к отражаемой предметной области. Кроме того, знания в таких системах выражаются при помощи языка, свойства которого оказывают влияние на отношение систем знаний к изучаемым объектам - например, если какую-либо достаточно развитую психологическую, социологическую, педагогическую концепцию перевести на, допустим, английский, немецкий, французский языки - будет ли она однозначно воспринята и понята в Англии, Германии и Франции? Далее, использование языка как носителя понятий в таких системах предполагает ту или иную логическую систематизацию и логически организованное употребление языковых единиц для выражения знания. И, наконец, ни одна система знаний не исчерпывает всего содержания изучаемого объекта. В ней всегда получает описание и объяснение только определенная, исторически конкретная часть такого содержания.  Метод анализа научных систем знаний играет важную роль в эмпирических и теоретических исследовательских задачах: при выборе исходной теории, гипотезы для разрешения избранной проблемы; при разграничении эмпирических и теоретических знаний, полуэмпирических и теоретических решений научной проблемы; при обосновании эквивалентности или приоритетности применения тех или иных математических аппаратов в различных теориях, относящихся к одной и той же предметной области; при изучении возможностей распространения ранее сформулированных теорий, концепций, принципов и т.д. на новые предметные области; обосновании новых возможностей практического приложения систем знаний; при упрощении и уточнении систем знаний для обучения, популяризации; для согласования с другими системами знаний и т. д.  Далее, к теоретическим методам-действиям будут относиться два метода построения научных теорий:  - дедуктивный метод (синоним - аксиоматический метод) - способ построения научной теории, при котором в ее основу кладутся некоторые исходные положения аксиомы (синоним - постулаты), из которых все остальные положения данной теории (теоремы) выводятся чисто логическим путем посредством доказательства. Построение теории на основе аксиоматического метода обычно называют дедуктивным. Все понятия дедуктивной теории, кроме фиксированного числа первоначальных (такими первоначальными

понятиями в геометрии, например, являются: точка, прямая, плоскость) вводятся посредством определений, выражающих их через ранее введенные или выведенные понятия. Классическим примером дедуктивной теории является геометрия Евклида. Дедуктивным методом строятся теории в математике, математической логике, теоретической физике;  - второй метод в литературе не получил названия, но он безусловно существует, поскольку во всех остальных науках, кроме вышеперечисленных, теории строятся по методу, который назовем индуктивно-дедуктивным: сначала накапливается эмпирический базис, на основе которого строятся теоретические обобщения (индукция), которые могут выстраиваться в несколько уровней - например, эмпирические законы и теоретические законы - а затем эти полученные обобщения могут быть распространены на все объекты и явления, охватываемые данной теорией (дедукция) - см. Рис. 6 и Рис. 10. Индуктивно-дедуктивным методом строится большинство теорий в науках о природе, обществе и человеке: физика, химия, биология, геология, география, психология, педагогика и т. д.  Другие теоретические методы исследования (в смысле методов - познавательных действий): выявления и разрешения противоречий, постановки проблемы, построения гипотез и т. д. вплоть до планирования научного исследования мы будем рассматривать ниже в конкретике временной структуры исследовательской деятельности - построения фаз, стадий и этапов научного исследования.  Эмпирические методы (методы-операции) .  Изучение литературы, документов и результатов деятельности. Вопросы работы с научной литературой будут рассмотрены ниже отдельно, поскольку это не только метод исследования, но и обязательный процессуальный компонент любой научной работы.  Источником фактического материала для исследования служит также разнообразная документация: архивные материалы в исторических исследованиях; документация предприятий, организаций и учреждений в экономических, социологических, педагогических и других исследованиях и т. д. Изучение результатов деятельности играет важную роль в педагогике, особенно при изучении проблем профессиональной подготовки учащихся и студентов; в психологии, педагогике и социологии труда; а, например, в археологии при проведении раскопок анализ результатов деятельности людей: по остаткам орудий труда, посуды, жилищ и т. д. позволяет восстановить образ их жизни в ту или иную эпоху.  Наблюдение - в принципе, наиболее информативный метод исследования. Это единственный метод, который позволяет увидеть все стороны изучаемых явлений и процессов, доступные восприятию наблюдателя - как непосредственному, так и с помощью различных приборов.

  В зависимости от целей, которые преследуются в процессе наблюдения, последнее может быть научным и ненаучным. Целенаправленное и организованное восприятие объектов и явлений внешнего мира, связанное с решением определенной научной проблемы или задачи, принято называть научным наблюдением. Научные наблюдения предполагают получение определенной информации для дальнейшего теоретического осмысления и истолкования, для утверждения или опровержения какой-либо гипотезы и пр.  Научное наблюдение складывается из следующих процедур:  - определение цели наблюдения (для чего, с какой целью?);  - выбор объекта, процесса, ситуации (что наблюдать?);  - выбор способа и частоты наблюдений (как наблюдать?);  - выбор способов регистрации наблюдаемого объекта, явления (как фиксировать полученную информацию?);  - обработка и интерпретация полученной информации (каков результат?) - см., например, [107].  Наблюдаемые ситуации подразделяются на:  - естественные и искусственные;  - управляемые и не управляемые субъектом наблюдения;  - спонтанные и организованные;  - стандартные и нестандартные;  - нормальные и экстремальные и т. д.  Кроме того, в зависимости от организации наблюдения оно может быть открытым и скрытым, полевым и лабораторным, а в зависимости от характера фиксации - констатирующим, оценивающим и смешанным. По способу получения информации наблюдения подразделяются на непосредственные и инструментальные. По объему охвата изучаемых объектов различают сплошные и выборочные наблюдения; по частоте - постоянные, периодические и однократные. Частным случаем наблюдения является самонаблюдение, достаточно широко используемое, например, в психологии.  Наблюдение необходимо для научного познания, поскольку без него наука не смогла бы получить исходную информацию, не обладала бы научными фактами и эмпирическими данными, следовательно, невозможно было бы и теоретическое построение знания.  Однако наблюдение как метод познания обладает рядом существенных недостатков. Личные особенности исследователя, его интересы, наконец, его психологическое состояние могут значительно повлиять на результаты наблюдения. Еще в большей степени подвержены искажению объективные результаты наблюдения в тех случаях, когда исследователь ориентирован на получение определенного результата, на подтверждение существующей у него гипотезы.

  Для получения объективных результатов наблюдения необходимо соблюдать требования интерсубъективности, то есть данные наблюдения должны (и/или могут) быть получены и зафиксированы по возможности другими наблюдателями.  Замена прямого наблюдения приборами неограниченно расширяет возможности наблюдения, но также не исключает субъективности; оценка и интерпретация подобного косвенного наблюдения осуществляется субъектом, и поэтому субъектное влияние исследователя все равно может иметь место.  Наблюдение чаще всего сопровождается другим эмпирическим методом - измерением  Измерение. Измерение используется повсеместно, в любой человеческой деятельности. Так, практически каждый человек в течение суток десятки раз проводит измерения, смотря на часы. Общее определение измерения таково: «Измерение - это познавательный процесс, заключающийся в сравнении ... данной величины с некоторым ее значением, принятым за эталон сравнения» (см., например, [134]).  В том числе, измерение является эмпирическим методом (методом-операцией) научного исследования.  Можно выделить определенную структуру измерения, включающую следующие элементы:  1) познающий субъект, осуществляющий измерение с определенными познавательными целями;  2) средства измерения, среди которых могут быть как приборы и инструменты, сконструированные человеком, так и предметы и процессы, данные природой;  3) объект измерения, то есть измеряемая величина или свойство, к которому применима процедура сравнения;  4) способ или метод измерения, который представляет собой совокупность практических действий, операций, выполняемых с помощью измерительных приборов, и включает в себя также определенные логические и вычислительные процедуры;  5) результат измерения, который представляет собой именованное число, выражаемое с помощью соответствующих наименований или знаков [265].  Гносеологическое обоснование метода измерения неразрывно связано с научным пониманием соотношения качественных и количественных характеристик изучаемого объекта (явления). Хотя при помощи этого метода фиксируются только количественные характеристики, эти характеристики неразрывно связаны с качественной определенностью изучаемого объекта. Именно благодаря качественной определенности можно выделить количественные характеристики, подлежащие измерению. Единство качественной и количественной сторон изучаемого объекта означает

как относительную самостоятельность этих сторон, так и их глубокую взаимосвязь. Относительная самостоятельность количественных характеристик позволяет изучить их в процессе измерения, а результаты измерения использовать для анализа качественных сторон объекта.  Проблема точности измерения также относится к гносеологическим основаниям измерения как метода эмпирического познания. Точность измерения зависит от соотношения объективных и субъективных факторов в процессе измерения.  К числу таких объективных факторов относятся:  - возможности выделения в изучаемом объекте тех или иных устойчивых количественных характеристик, что во многих случаях исследования, в частности, социальных и гуманитарных явлений и процессов затруднено, а, подчас, вообще невозможно;  - возможности измерительных средств (степень их совершенства) и условия, в которых происходит процесс измерения. В ряде случаев отыскание точного значения величины принципиально невозможно. Невозможно, например, определить траекторию электрона в атоме и т. д.  К субъективным факторам измерения относятся выбор способов измерения, организация этого процесса и целый комплекс познавательных возможностей субъекта - от квалификации экспериментатора до его умения правильно и грамотно истолковывать полученные результаты.  Наряду с прямыми измерениями в процессе научного экспериментирования широко применяется метод косвенного измерения. При косвенном измерении искомая величина определяется на основании прямых измерений других величин, связанных с первой функциональной зависимостью. По измеренным значениям массы и объема тела определяется его плотность; удельное сопротивление проводника может быть найдено по измеренным величинам сопротивления, длины и площади поперечного сечения проводника и т. д. Особенно велика роль косвенных измерений в тех случаях, когда прямое измерение в условиях объективной реальности невозможно. Например, масса любого космического объекта (естественного) определяется при помощи математических расчетов, основанных на использовании данных измерения других физических величин.  Особого внимания заслуживает разговор о шкалах измерения.  Шкала - числовая система, в которой отношения между различными свойствами изучаемых явлений, процессов переведены в свойства того или иного множества, как правило - множества чисел [183, 210].  Различают несколько типов шкал. Во-первых, можно выделить дискретные шкалы (в которых множество возможных значений оцениваемой величины конечно - например, оценка в баллах - «1»,

«2», «3», «4», «5») и непрерывные шкалы (например, масса в граммах или объем в литрах). Во-вторых, выделяют шкалы отношений, интервальные шкалы, порядковые (ранговые) шкалы и номинальные шкалы (шкалы наименований) - см. Рис. 5, на котором отражена также мощность шкал - то есть, их «разрешающая способность». Мощность шкалы можно определить как степень, уровень ее возможностей для точного описания явлений, событий, то есть, той информации, которую несут оценки в соответствующей шкале. Например, состояние пациента может оцениваться в шкале наименований: «здоров» - «болен». Большую информацию будут нести измерения состояния того же пациента в шкале интервалов или отношений: температура, артериальное давление и т. д. Всегда можно перейти от более мощной шкалы к более «слабой» (произведя агрегирование - сжатие - информации): например, если ввести «пороговую температуру» в 37 С и считать, что пациент здоров, если его температура меньше пороговой и болен в противном случае, то можно от шкалы отношений перейти к шкале наименований. Обратный переход в рассматриваемом примере невозможен - информация о том, что пациент здоров (то есть, что его температура меньше пороговой) не позволяет точно сказать, какова его температура.

Рис. 5. Классификация шкал измерений

  Рассмотрим, следуя в основном [158, 168, 183], свойства четырех основных типов шкал, перечисляя их в порядке убывания мощности.  Шкала отношений - самая мощная шкала. Она позволяет оценивать, во сколько раз один измеряемый объект больше (меньше) другого объекта, принимаемого за эталон, единицу. Для шкал отношений существует естественное начало отсчета (нуль). Шкалами отношений измеряются почти все физические величины - линейные размеры, площади, объемы, сила тока, мощность и т. д.  Все измерения производятся с той или иной точностью. Точность измерения - степень близости результата измерения к истинному значению измеряемой величины. Точность измерения характеризуется ошибкой измерения - разностью между измеренным

и истинным значением.  Различают систематические (постоянные) ошибки (погрешности), обусловленные факторами, действующими одинаково при повторении измерений, например - неисправностью измерительного прибора, и случайные ошибки, вызванные вариациями условий измерений и/или пороговой точностью используемых инструментов измерений (например, приборов).  Из теории вероятностей известно, что при достаточно большом числе измерений случайная погрешность измерения может быть:  - больше средней квадратической ошибки (обозначаемой обычно греческой буквой сигма и равной корню квадратному из дисперсии - см. определение ниже в разделе 2.3.2) примерно в 32 % случаев. Соответственно, истинное значение измеряемой величины находится в интервале среднее значение плюс/минус средняя квадратическая ошибка с вероятностью 68 %;  - больше удвоенной средней квадратической ошибки только в 5 % случаев. Соответственно, истинное значение измеряемой величины находится в интервале среднее значение плюс/минус удвоенная средняя квадратическая ошибка с вероятностью 95 %;  - больше утроенной средней квадратической ошибки лишь в 0,3 % случаев. Соответственно, истинное значение измеряемой величины находится в интервале среднее значение плюс/минус утроенная средняя квадратическая ошибка с вероятностью 99,7 %  Следовательно, крайне маловероятно, чтобы случайная погрешность измерения получилась больше утроенной средней квадратической ошибки. Поэтому в качестве диапазона «истинного» значения измеряемой величины обычно выбирают среднее арифметическое значение плюс/минус утроенная среднеквадратическая ошибка (так называемое «правило трех сигма»).  Необходимо подчеркнуть, что сказанное здесь о точности измерений относится только к шкалам отношений и интервалов. Для других типов шкал дело обстоит гораздо сложнее и требует от читателя изучения специальной литературы (см., например, [183, 210, 232]).  Шкала интервалов применяется достаточно редко и характеризуется тем, что для нее не существует естественного начала отсчета. Примером шкалы интервалов является шкала температур по Цельсию, Реомюру или Фаренгейту. Шкала Цельсия, как известно, была установлена следующим образом: за ноль была принята точка замерзания воды, за 100 градусов - точка ее кипения, и, соответственно, интервал температур между замерзанием и кипением воды поделен на 100 равных частей. Здесь уже утверждение, что температура 30С в три раза больше, чем 10С, будет неверным. В шкале интервалов сохраняется отношение длин интервалов (разностей). Можно сказать: температура в 30С отличается от температуры в 20С в два раза сильнее, чем температура в 15С

отличается от температуры в 10С.  Порядковая шкала (шкала рангов) - шкала, относительно значений которой уже нельзя говорить ни о том, во сколько раз измеряемая величина больше (меньше) другой, ни на сколько она больше (меньше). Такая шкала только упорядочивает объекты, приписывая им те или иные баллы (результатом измерений является просто упорядочение объектов).  Например, так построена шкала твердости минералов Мооса: взят набор 10 эталонных минералов для определения относительной твердости методом царапанья. За 1 принят тальк, за 2 - гипс, за 3 - кальцит и так далее до 10 - алмаз. Любому минералу соответственно однозначно может быть приписана определенная твердость. Если исследуемый минерал, допустим, царапает кварц (7), но не царапает топаз (8), то соответственно его твердость будет равна 7. Аналогично построены шкалы силы ветра Бофорта и землетрясений Рихтера.  Шкалы порядка широко используются в социологии, педагогике, психологии, медицине и других науках, не столь точных, как, скажем, физика и химия. В частности, повсеместно распространенная шкала школьных отметок в баллах (пятибалльная, двенадцатибалльная и т.д.) может быть отнесена к шкале порядка.  Частным случаем порядковой шкалы является дихотомическая шкала, в которой имеются всего две упорядоченные градации - например, «поступил в институт», «не поступил».  Шкала наименований (номинальная шкала) фактически уже не связана с понятием «величина» и используется только с целью отличить один объект от другого: телефонные номера, номера госрегистрации автомобилей и т.п.  Результаты измерений необходимо анализировать, а для этого нередко приходится строить на их основании производные (вторичные) показатели, то есть, применять к экспериментальным данным то или иное преобразование. Самым распространенным производным показателем является усреднение величин - например, средний вес людей, средний рост, средний доход на душу населения и т.п. Использование той или иной шкалы измерений определяет множество преобразований, которые допустимы для результатов измерений в этой шкале (подробнее см. публикации [183, 210, 232] по теории измерений).  Начнем с наиболее слабой шкалы - шкалы наименований (номинальной шкалы), которая выделяет попарно различимые классы объектов. Например, в шкале наименований измеряются значения признака «пол»: «мужской» и «женский». Эти классы будут различимы независимо от того, какие различные термины или знаки для их обозначений будут использованы: «особи женского пола» и «особи мужского пола», или «female» и «male», или «А» и «Б», или «1» и «2», или «2» и «3» и т.д. Следовательно, для шкалы

наименований применимы любые взаимно-однозначные преобразования, то есть сохраняющие четкую различимость объектов (таким образом, самая слабая шкала - шкала наименований - допускает самый широкий диапазон преобразований).  Отличие порядковой шкалы (шкалы рангов) от шкалы наименований заключается в том, что в шкале рангов классы (группы) объектов упорядочены. Поэтому произвольным образом изменять значения признаков нельзя - должна сохраняться упорядоченность объектов (порядок следования одних объектов за другими). Следовательно, для порядковой шкалы допустимым является любое монотонное преобразование. Например, если оценка объекта А - 5 баллов, а объекта Б - 4 балла, то их упорядочение не изменится, если мы число баллов умножим на одинаковое для всех объектов положительное число, или сложим с некоторым одинаковым для всех числом, или возведем в квадрат и т.д. (например, вместо «1», «2», «3», «4», «5» используем соответственно «3», «5», «9», «17», «102»). При этом изменятся разности и отношения «баллов», но упорядочение сохранится.  Для шкалы интервалов допустимо уже не любое монотонное преобразование, а только такое, которое сохраняет отношение разностей оценок, то есть линейное преобразование - умножение на положительное число и/или добавление постоянного числа. Например, если к значению температуры в градусах Цельсия добавить 2730С, то получим температуру по Кельвину, причем разности любых двух температур в обеих шкалах будут одинаковы.  И, наконец, в наиболее мощной шкале - шкале отношений - возможны лишь только преобразования подобия - умножения на положительное число. Содержательно это означает, что, например, отношение масс двух предметов не зависит от того, в каких единицах измерены массы - граммах, килограммах, фунтах и т. д.  Суммируем сказанное в Табл. 4, которая отражает соответствие между шкалами и допустимыми преобразованиями.

Табл. 4. Шкалы и и допустимые преобразования

  Как отмечалось выше, результаты любых измерений относятся, как правило, к одному из основных (перечисленных выше) типов шкал. Однако получение результатов измерений не является самоцелью - эти результаты необходимо анализировать, а для этого нередко приходится строить на их основании производные

показатели. Эти производные показатели могут измеряться в других шкалах, нежели чем исходные. Например, можно для оценки знаний применять 100балльную шкалу. Но она слишком детальна, и ее можно при необходимости перестроить в пятибалльную («1» - от «1» до «20»; «2» - от «21» до «40» и т.д.), или двухбалльную (например, положительная оценка - все, что выше 40 баллов, отрицательная - 40 и меньше). Следовательно, возникает проблема - какие преобразования можно применять к тем или иным типам исходных данных. Другими словами, переход от какой шкалы к какой является корректным. Эта проблема в теории измерений получила название проблемы адекватности.  Для решения проблемы адекватности можно воспользоваться свойствами взаимосвязи шкал и допустимых для них преобразований, так как отнюдь не любая операция при обработке исходных данных является допустимой. Так, например, такая распространенная операция, как вычисление среднего арифметического, не может быть использована, если измерения получены в порядковой шкале [183]. Общий вывод таков - всегда возможен переход от более мощной шкалы к менее мощной, но не наоборот (например, на основании оценок, полученных в шкале отношений, можно строить балльные оценки в порядковой шкале, но не наоборот).  Завершив описание такого эмпирического метода, как измерение, вернемся к рассмотрению других эмпирических методов научного исследования.  Опрос. Этот эмпирический метод применяется только в общественных и гуманитарных науках. Метод опроса подразделяется на устный опрос и письменный опрос.  Устный опрос (беседа, интервью). Суть метода понятна из его названия. Во время опроса у спрашивающего налицо личный контакт с отвечающим, то есть он имеет возможность видеть, как отвечающий реагирует на тот или другой вопрос. Наблюдатель может в случае надобности задавать различные дополнительные вопросы и таким образом получать дополнительные данные по некоторым неосвещенным вопросам.  Устные опросы дают конкретные результаты, и с их помощью можно получить исчерпывающие ответы на сложные вопросы, интересующие исследователя. Однако на вопросы «щекотливого» характера опрашиваемые отвечают письменно гораздо откровеннее и ответы при этом дают более подробные и основательные.  На устный ответ отвечающий затрачивает меньше времени и энергии, чем на письменный. Однако такой метод имеет и свои отрицательные стороны. Все отвечающие находятся в неодинаковых условиях, некоторые из них могут получить через наводящие вопросы исследователя добавочную информацию; выражение лица или какой-либо жест исследователя оказывает некоторое воздействие

на отвечающего.  Вопросы, используемые для интервью, заблаговременно планируются и составляется вопросник, где должно быть оставлено место и для записи (протоколирования) ответа.  Основные требования при составлении вопросов:  1) опрос не должен носить случайный характер, а быть планомерным; при этом более понятные отвечающему вопросы задаются раньше, более трудные - позднее;  2) вопросы должны быть лаконичными, конкретными и понятными для всех отвечающих;  3) вопросы не должны противоречить этическим нормам.  Правила проведения опроса:  1) во время интервью исследователь должен быть с отвечающим наедине, без посторонних свидетелей;  2) каждый устный вопрос прочитывается с вопросного листа (вопросника) дословно, в неизменном виде;  3) точно придерживается порядок следования вопросов; отвечающий не должен видеть вопросника или иметь возможность прочитать следующие за очередным вопросы;  4) интервью должно быть кратковременным - от 15 до 30 минут в зависимости от возраста и интеллектуального уровня опрашиваемых;  5) интервьюирующий не должен воздействовать на отвечающего каким-либо способом (косвенно подсказывать ответ, качать головой в знак неодобрения, кивать головой и т. д.);  6) интервьюирующий может в случае надобности, если данный ответ неясен, задавать дополнительно лишь нейтральные вопросы (например: «Что Вы хотели этим сказать?», «Объясните немного подробнее!»).  7) ответы записываются в вопросник только во время опроса.  В дальнейшем ответы анализируются и интерпретируются.  Письменный опрос - анкетирование. В его основе лежит заранее разработанный вопросник (анкета), а ответы респондентов (опрашиваемых) на все позиции вопросника составляют искомую эмпирическую информацию.  Качество эмпирической информации, получаемой в результате анкетирования, зависит от таких факторов, как формулировка вопросов анкеты, которые должны быть понятны опрашиваемому; квалификация, опыт, добросовестность, психологические особенности исследователей; ситуация опроса, его условия; эмоциональное состояние опрашиваемых; обычаи и традиции, представления, житейская ситуация; а также - отношение к опросу. Поэтому, используя такую информацию, всегда необходимо делать поправку на неизбежность субъективных искажений вследствие специфического индивидуального «преломления» ее в сознании опрашиваемых. А там, где речь идет о принципиально важных

вопросах, наряду с опросом обращаются и к другим методам - наблюдению, экспертным оценкам, анализу документов.  Особое внимание уделяется разработке вопросника - анкеты, содержащей серию вопросов, необходимых для получения информации в соответствии с целями и гипотезой исследования. Анкета должна отвечать следующим требованиям: быть обоснованной относительно целей ее использования, то есть обеспечивать получение искомой информации; иметь устойчивые критерии и надежные шкалы оценок, адекватно отражающие изучаемую ситуацию; формулировка вопросов должна быть понятна опрашиваемому и непротиворечива; вопросы анкеты не должны вызывать отрицательных эмоций у респондента (отвечающего).  Вопросы могут носить закрытую или открытую форму. Закрытым называется вопрос, если на него в анкете приводится полный набор вариантов ответов. Опрашиваемый только отмечает тот вариант, который совпадает с его мнением. Такая форма анкеты значительно сокращает время заполнения и делает одновременно анкету пригодной для обработки на компьютере. Но иногда есть необходимость узнать непосредственно мнение опрашиваемого по вопросу, исключающему заранее подготовленные варианты ответов. В этом случае прибегают к открытым вопросам.  Отвечая на открытый вопрос, отвечающий руководствуется только собственными представлениями. Следовательно, такой ответ более индивидуализирован.  Повышению достоверности ответов способствует и соблюдение ряда других требований. Одно из них состоит в том, чтобы респонденту была обеспечена возможность уклониться от ответа, выразить неопределенное мнение. Для этого шкала оценок должна предусматривать варианты ответов: «трудно сказать», «затрудняюсь ответить», «бывает по- разному», «когда как», и т.п. Но преобладание в ответах таких вариантов является свидетельством либо некомпетентности респондента, либо непригодности формулировки вопроса для получения нужной информации.  Для того чтобы получить достоверные сведения об исследуемом явлении, процессе, не обязательно опрашивать весь контингент, так как объект исследования может быть численно очень большим. В тех случаях, когда объект исследования превышает несколько сот человек, применяется выборочное анкетирование.  Метод экспертных оценок. По существу, это разновидность опроса, связанная с привлечением к оценке изучаемых явлений, процессов наиболее компетентных людей, мнения которых, дополняющие и перепроверяющие друг друга, позволяют достаточно объективно оценить исследуемое. Использование этого метода требует ряда условий. Прежде всего - это тщательный подбор экспертов - людей, хорошо знающих оцениваемую область, изучаемый объект и

способных к объективной, непредвзятой оценке.  Существенное значение имеет также выбор точной и удобной системы оценок и соответствующих шкал измерения, что упорядочивает суждения и дает возможность выразить их в определенных величинах.  Зачастую бывает необходимо обучить экспертов пользоваться предложенными шкалами для однозначной оценки, чтобы свести к минимуму ошибки, сделать оценки сопоставимыми.  Если действующие независимо друг от друга эксперты стабильно дают совпадающие или близкие оценки или высказывают близкие мнения, есть основания полагать, что они приближаются к объективным. Если же оценки сильно расходятся, то это говорит либо о неудачном выборе системы оценок и шкал измерения, либо о некомпетентности экспертов.  Разновидностями метода экспертных оценок являются: метод комиссий, метод мозгового штурма, метод Делфи, метод эвристического прогнозирования и др. Ряд этих методов будет рассмотрен в третьей главе настоящей работы (см. также [59, 127, 181, 192, 217]).  Тестирование - эмпирический метод, диагностическая процедура, заключающаяся в применении тестов (от английского test - задача, проба). Тесты обычно задаются испытуемым либо в виде перечня вопросов, требующих кратких и однозначных ответов, либо в виде задач, решение которых не занимает много времени и также требует однозначных решений, либо в виде каких-либо краткосрочных практических работ испытуемых, например квалификационных пробных работ в профессиональном образовании, в экономике труда и т.п. Тесты различаются на бланочные, аппаратурные (например, на компьютере) и практические; для индивидуального применения и группового.  Вот, пожалуй, и все эмпирические методы-операции, которыми располагает на сегодняшний день научное сообщество. Далее мы рассмотрим эмпирические методы-действия, которые строятся на использовании методов-операций и их сочетаний.  Эмпирические методы (методы-действия).  Эмпирические методы-действия следует, прежде всего, подразделить на два класса. Первый класс - это методы изучения объекта без его преобразования, когда исследователь не вносит каких-либо изменений, преобразований в объект исследования. Точнее говоря, не вносит существенных изменений в объект - ведь, согласно принципу дополнительности (см. выше) исследователь (наблюдатель) не может не менять объект. Назовем их методами отслеживания объекта. К ним относятся: собственно метод отслеживания и его частные проявления - обследование, мониторинг, изучение и обобщение опыта.

  Другой класс методов связан с активным преобразованием исследователем изучаемого объекта - назовем эти методы преобразующими методами - в этот класс войдут такие методы, как опытная работа и эксперимент.  Отслеживание, зачастую, в ряде наук является, пожалуй, единственным эмпирическим методом-действием. Например, в астрономии. Ведь астрономы никак не могут пока влиять на изучаемые космические объекты. Единственная возможность - отслеживать их состояние посредством методов-операций: наблюдения и измерения. То же, в значительной мере, относится и к таким отраслям научного знания как география, демография и т.д., где исследователь не может что-либо изменять в объекте исследования.  Кроме того, отслеживание применяется и тогда, когда ставится цель изучения естественного функционирования объекта. Например, при изучении тех или иных особенностей радиоактивных излучений или при изучении надежности технических устройств, которая проверяется их длительной эксплуатацией.  Обследование - как частный случай метода отслеживания - это изучение исследуемого объекта с той или иной мерой глубины и детализации в зависимости от поставленных исследователем задач. Синонимом слова «обследование» является «осмотр», что говорит о том, что обследование - это в основном первоначальное изучение объекта, проводимое для ознакомления с его состоянием, функциями, структурой и т.д. Обследования чаще всего применяются по отношению к организационным структурам - предприятиям, учреждениям и т.п. - или по отношению к общественным образованиям, например, населенным пунктам, для которых обследования могут быть внешними и внутренними.  Внешние обследования: обследование социокультурной и экономической ситуации в регионе, обследование рынка товаров и услуг и рынка труда, обследование состояния занятости населения и т. д. Внутренние обследования: обследования внутри предприятия, учреждения - обследование состояния производственного процесса, обследования контингента работающих и т.д.  Обследование проводится посредством методов- операций эмпирического исследования: наблюдения, изучения и анализа документации, устного и письменного опроса, привлечения экспертов и т. д.  Любое обследование проводится по заранее разработанной подробной программе, в которой детально планируется содержание работы, ее инструментарий (составление анкет, комплектов тестов, вопросников, перечня подлежащих изучению документов и т.д.), а также критерии оценки подлежащих изучению явлений и процессов. Затем следуют этапы: сбора информации, обобщения материалов,

подведения итогов и оформления отчетных материалов. На каждом этапе может возникнуть необходимость корректировки программы обследования, когда исследователь или группа исследователей, проводящих его, убеждаются, что собранных данных не хватает для получения искомых результатов, или собранные данные не отражают картину изучаемого объекта и т. д.  По степени глубины, детализации и систематизации обследования подразделяют на:  - пилотажные (разведывательные) обследования, проводимые для предварительной, относительно поверхностной ориентировки в изучаемом объекте;  - специализированные (частичные) обследования, проводимые для изучения отдельных аспектов, сторон изучаемого объекта;  - модульные (комплексные) обследования - для изучения целых блоков, комплексов вопросов, программируемых исследователем на основании достаточно подробного предварительного изучения объекта, его структуры, функций и т.д.;  - системные обследования - проводимые уже как полноценные самостоятельные исследования на основе вычленения и формулирования их предмета, цели, гипотезы и т.д., и предполагающие целостное рассмотрение объекта, его системообразующих факторов.  На каком уровне проводить обследование в каждом конкретном случае решает сам исследователь или исследовательский коллектив в зависимости от поставленных целей и задач научной работы.  Мониторинг. Это постоянный надзор, регулярное отслеживание состояния объекта, значений отдельных его параметров с целью изучения динамики происходящих процессов, прогнозирования тех или иных событий, а также предотвращения нежелательных явлений. Например, экологический мониторинг, синоптический мониторинг и т.д.  Изучение и обобщение опыта (деятельности). При проведении исследований изучение и обобщение опыта (организационного, производственного, технологического, медицинского, педагогического и т. д.) применяется с различными целями: для определения существующего уровня детальности предприятий, организаций, учреждений, функционирования технологического процесса, выявления недостатков и узких мест в практике той или иной сферы деятельности, изучения эффективности применения научных рекомендаций, выявления новых образцов деятельности, рождающихся в творческом поиске передовых руководителей, специалистов и целых коллективов. Объектом изучения могут быть: массовый опыт - для выявления основных тенденций развития той или иной отрасли народного хозяйства; отрицательный опыт - для выявления типичных недостатков и узких мест; передовой опыт, в

процессе которого выявляются, обобщаются, становятся достоянием науки и практики новые позитивные находки.  Изучение и обобщение передового опыта является одним из основных источников развития науки, поскольку этот метод позволяет выявлять актуальные научные проблемы, создает основу для изучения закономерностей развития процессов в целом ряде областей научного знания, в первую очередь - так называемых технологических наук.  Критерии передового опыта:  1) Новизна. Может проявляться в разной степени: от внесения новых положений в науку до эффективного применения уже известных положений.  2) Высокая результативность. Передовой опыт должен давать результаты выше средних по отрасли, группе аналогичных объектов и т.п.  3) Соответствие современным достижениям науки. Достижение высоких результатов не всегда свидетельствует о соответствии опыта требованиям науки.  4) Стабильность - сохранение эффективности опыта при изменении условий, достижение высоких результатов на протяжении достаточно длительного времени.  5) Тиражируемость - возможность использования опыта другими людьми и организациями. Передовой опыт могут сделать своим достоянием другие люди и организации. Он не может быть связан только с личностными особенностями его автора.  6) Оптимальность опыта - достижение высоких результатов при относительно экономной затрате ресурсов, а также не в ущерб решению других задач.  Изучение и обобщение опыта осуществляется такими эмпирическими методами-операциями как наблюдение, опросы, изучение литературы и документов и др.  Недостатком метода отслеживания и его разновидностей - обследования, мониторинга, изучения и обобщения опыта как эмпирических методов-действий - является относительно пассивная роль исследователя - он может изучать, отслеживать и обобщать только то, что сложилось в окружающей действительности, не имея возможности активно влиять на происходящие процессы. Подчеркнем еще раз, что этот недостаток зачастую обусловлен объективными обстоятельствами. Этого недостатка лишены методы преобразования объекта: опытная работа и эксперимент.  К методам, преобразующим объект исследования, относятся опытная работа и эксперимент. Различие между ними заключаются в степени произвольности действий исследователя. Если опытная работа - нестрогая исследовательская процедура, в которой исследователь вносит изменения в объект по своему усмотрению,

исходя из своих собственных соображений целесообразности, то эксперимент - это совершенно строгая процедура, где исследователь должен строго следовать требованиям эксперимента.  Опытная работа - это, как уже было сказано, метод внесения преднамеренных изменений в изучаемый объект с известной степенью произвола. Так, геолог сам определяет - где искать, что искать, какими методами - бурить скважины, копать шурфы и т.д. Точно так же археолог, палеонтолог определяет - где и как производить раскопки. Или же в фармации осуществляется длительный поиск новых лекарственных средств - из 10 тысяч синтезированных соединений только одно становится лекарственным средством [48]. Или же, например, опытная работа в сельском хозяйстве.  Опытная работа как метод исследования широко используется в науках, связанных с деятельностью людей - педагогике, экономике, и т. д., когда создаются и проверяются модели, как правило, авторские: фирм, учебных заведений и т.п., или создаются и проверяются разнообразные авторские методики. Или же создается опытный учебник, опытный препарат, опытный образец и затем они проверяются на практике.  Опытная работа в некотором смысле аналогична мысленному эксперименту - и там и там как бы ставится вопрос: «а что получится, если ...?» Только в мысленном эксперименте ситуация проигрывается «в уме», а в опытной работе ситуация проигрывается действием.  Но, опытная работа - это не слепой хаотический поиск путем «проб и ошибок».  Опытная работа становится методом научного исследования при следующих условиях:  1. Когда она поставлена на основе добытых наукой данных в соответствии с теоретически обоснованной гипотезой.  2. Когда она сопровождается глубоким анализом, из нее извлекают выводы и создаются теоретические обобщения.  В опытной работе применяются все методы-операции эмпирического исследования: наблюдение, измерение, анализ документов, экспертная оценка и т. д.  Опытная работа занимает как бы промежуточное место между отслеживанием объекта и экспериментом.  Она является способом активного вмешательства исследователя в объект. Однако опытная работа дает, в частности, только результаты эффективности или неэффективности тех или иных инноваций в общем, суммарном виде. Какие из факторов внедряемых инноваций дают больший эффект, какие меньший, как они влияют друг на друга - ответить на эти вопросы опытная работа не может.  Для более глубокого изучения сущности того или иного явления, изменений, происходящих в нем, и причин этих изменений, в

процессе исследований прибегают к варьированию условий протекания явлений и процессов и факторов, влияющих на них. Этим целям служит эксперимент.  Эксперимент - общий эмпирический метод исследования (метод-действие), суть которого заключается в том, что явления и процессы изучаются в строго контролируемых и управляемых условиях. Основной принцип любого эксперимента - изменение в каждой исследовательской процедуре только одного какого-либо фактора при неизменности и контролируемости остальных. Если надо проверить влияние другого фактора, проводится следующая исследовательская процедура, где изменяется этот последний фактор, а все другие контролируемые факторы остаются неизменными, и т.д.  В ходе эксперимента исследователь сознательно изменяет ход какого-нибудь явлением путем введения в него нового фактора. Новый фактор, вводимый или изменяемый экспериментатором, называется экспериментальным фактором, или независимой переменной. Факторы, изменившиеся под влиянием независимой переменной, называются зависимыми переменными.  В литературе имеется множество классификаций экспериментов. Прежде всего, в зависимости от характера исследуемого объекта принято различать эксперименты физические, химические, биологические, психологические и т. д. По основной цели эксперименты делятся на проверочные (эмпирическая проверка некоторой гипотезы) и поисковые (сбор необходимой эмпирической информации для построения или уточнения выдвинутой догадки, идеи). В зависимости от характера и разнообразия средств и условий эксперимента и способов использования этих средств можно различать прямой (если средства используются непосредственно для исследования объекта), модельный (если используется модель, заменяющая объект), полевой (в естественных условиях, например, в космосе), лабораторный (в искусственных условиях) эксперимент.  Можно, наконец, говорить об экспериментах качественных и количественных, основываясь на различии результатов эксперимента. Качественные эксперименты, как правило, предпринимаются для выявления воздействия тех или иных факторов на исследуемый процесс без установления точной количественной зависимости между характерными величинами. Для обеспечения точного значения существенных параметров, влияющих на поведение изучаемого объекта, необходим количественный эксперимент.  В зависимости от характера стратегии экспериментального исследования различают:  1) эксперименты, осуществляемые методом «проб и ошибок»;  2) эксперименты на основе замкнутого алгоритма;  3) эксперименты с помощью метода «черного ящика», приводящие к заключениям от знания функции к познанию структуры объекта;

  4) эксперименты с помощью «открытого ящика», позволяющие на основе знания структуры создать образец с заданными функциями [265].  В последние годы широкое распространение получили эксперименты, в которых средством познания выступает компьютер. Они особенно важны тогда, когда реальные системы не допускают ни прямого экспериментирования, ни экспериментирования с помощью материальных моделей. В ряде случаев компьютерные эксперименты резко упрощают процесс исследования - с их помощью «проигрываются» ситуации путем построения модели изучаемой системы.  В разговоре об эксперименте как методе познания нельзя не отметить и еще один вид экспериментирования, играющий большую роль в естественнонаучных исследованиях. Это мысленный эксперимент - исследователь оперирует не конкретным, чувственным материалом, а идеальным, модельным образом. Все знания, получаемые в ходе мысленного экспериментирования, подлежат практической проверке, в частности в реальном эксперименте. Поэтому данный вид экспериментирования стоит относить к методам теоретического познания (см. выше). П.В. Копнин, например, пишет: «Научное исследование только тогда действительно является экспериментальным, когда заключение делается не из умозрительных рассуждений, а из чувственного, практического наблюдения явлений. Поэтому то, что иногда называют теоретическим, или мыслительным экспериментом, фактически не является экспериментом. Мыслительный эксперимент - это обычное теоретическое рассуждение, принимающее внешнюю форму эксперимента» [103].  К теоретическим методам научного познания должны быть отнесены также и некоторые другие виды эксперимента, например, так называемые математические и имитационные эксперименты [84]. «Сущность метода математического эксперимента состоит в том, что эксперименты проводятся не с самим объектом, как это имеет место в классическом экспериментальном методе, а с его описанием на языке соответствующего раздела математики» [47]. Имитационный эксперимент представляет собой идеализированное исследование посредством моделирования поведения объекта вместо реального экспериментирования [84]. Иначе говоря, эти виды экспериментирования - варианты модельного эксперимента с идеализированными образами. Подробнее речь о математическом моделировании и имитационных экспериментах идет ниже в третьей главе.  Итак, мы попытались описать методы исследования с самых общих позиций. Естественно, в каждой отрасли научного знания сложились определенные традиции в трактовании и использовании методов исследования. Так, метод частотного анализа в лингвистике будет

относиться к методу отслеживания (метод-действие), осуществляемому методами- операциями анализа документов и измерения. Эксперименты принято делить на констатирующие, обучающие, контрольные и сравнительные. Но все они являются экспериментами (методами-действиями), осуществляемыми методами-операциями: наблюдения, измерения, тестирования и т. д.

2.3. Организация процесса проведения исследования  Как уже говорилось выше, научно-исследовательский проект

как цикл научной деятельности включает в себя три основные фазы: фаза проектирования, технологическая фаза, рефлексивная фаза. Соответственно этому процесс исследования мы будем рассматривать в этой логической структуре, по этим трем фазам: проектирование исследования; проведение исследования, включая оформление его результатов; оценку и самооценку, рефлексию его результатов.  Естественно, разбиение процесса исследования на фазы, стадии и этапы - см. Табл. 5 (временная структура исследования) имеет несколько условный характер.

Табл. 5. Фазы, стадии и этапы научного исследования

  В процессе проведения исследования постоянно приходится сопоставлять полученные промежуточные результаты с исходными позициями, с проектом исследования, и, соответственно, уточнять, корректировать и цели, и сам ход исследования. То есть, оценка и рефлексия пронизывают постоянно всю деятельность исследователя. И если мы их помещаем в конце указанной логической цепочки, то только потому, что по завершении одной какой-либо научной работы исследователь, как правило, начинает следующую - новый цикл исследования, но уже на качественно новом уровне - каждое

очередное исследование накапливает опыт научного работника.  Первая фаза - проектирование исследования - от замысла до определения конечных задач исследования и его планирования - в значительной мере осуществляется по общей для всех исследований схеме: замысел - выявление противоречия - постановка проблемы - определение объекта и предмета исследования - формулирование его цели - построение научной гипотезы - определение задач исследования - планирование исследования (составление временного графика необходимых работ). Логическая структура этой фазы общепризнанна. Она выработана на основе многовекового опыта научных исследований по всем отраслям знания и является, очевидно, оптимальной. Хотя, конечно, в каждом конкретном случае могут быть определенные отклонения, вызванные спецификой предмета и направленности исследования. Так, например, в исторических исследованиях логика может быть иной.  Логика второй, собственно исследовательской, технологической фазы работы может быть построена только в самом общем виде - ведь она определяется практически целиком содержанием конкретного исследования, каждое из которых по сути своей уникально.  Более однозначна логика последней стадии второй фазы, поскольку она, в общем-то, едина для большинства исследований и апробирована многолетним опытом: апробация результатов, литературное оформление работы. Также более однозначна логика построения третьей фазы - рефлексии, оценки и самооценки результатов исследования.

Лекция 4. Компьютер как инструмент научной работы

Вычислительная мощь компьютера позволяет использовать его как средство автоматизации научной работы. Для решения сложных расчетных задач используют программы, написанные специально. В то же время, в научной работе встречается широкий спектр задач ограниченной сложности, для решения которых можно использовать универсальные средства.К такого рода задачам относятся, например, следующие: подготовка научно-технических документов, содержащих текст и

формулы, записанные в привычной для специалистов форме; вычисление результатов математических операций, в которых

участвуют число вые константы, переменные и размерные физические величины;

операции с векторами и матрицами; решение уравнений и систем уравнений (неравенств); статистические расчеты и анализ данных; построение двумерных и трехмерных графиков; тождественные преобразования выражений (в том числе упрощение),

аналитическое решение уравнений и систем; дифференцирование и интегрирование, аналитическое и численное;

решение дифференциальных уравнений; проведение серий расчетов с разными значениями начальных условий и

других параметров.К универсальным программам, пригодным для решения таких задач, относится, например, программа MathCad, которая представляет собой автоматизированную систему, позволяющую динамически обрабатывать данные в числовом и аналитическом (формульном) виде. Программа MathCad сочетает в себе возможности проведения расчетов и подготовки форматированных научных и технических документов.

Построение выражений и графиков в MathCad

Научно-технические документы обычно содержат формулы, результаты расчетов в виде таблиц данных или графиков, текстовые комментарии или описания, другие иллюстрации. В программе MathCad им соответствуют два вида объектов: формулы и текстовые блоки. Формулы вычисляются с использованием числовых констант, переменных, функций (стандартных и определенных пользователем), а также общепринятых обозначений математических операций. Введенные в документ MathCad формулы автоматически приводятся к стандартной научно-технической форме записи. Графики, которые автоматически строятся на основе результатов расчетов, также рассматриваются как формулы. Комментарии, описания и иллюстрации размещаются в текстовых блоках, которые игнорируются при проведении расчетов.Чтобы буквенные обозначения можно было использовать при расчетах по формулам, этим обозначениям должны быть сопоставлены числовые значения. В программе MathCad буквенные обозначения рассматриваются как переменные, и их значения задаются при помощи оператора присваивания (вводится символом «:»). Таким же образом можно задать числовые последовательности, аналитически определенные функции, матрицы и векторы.Если все значения переменных известны, то для вычисления числового значения выражения (скалярного, векторного или матричного) надо подставить все числовые значения и произвести все заданные действия. В программе MathCad для этого применяют оператор вычисления (вводится символом «=»). В ходе вычисления автоматически используются значения переменных и определения функций, заданные в документе ранее. Удобно задать значения известных параметров, провести вычисления с использованием аналитических формул, результат присвоить некоторой переменной, а затем использовать оператор вычисления для вывода значения этой переменной.Изменение значения любой переменной, коррекция любой формулы, означает, что все расчеты, зависящие от этой величины, необходимо проделать заново. Такая необходимость возникает при выборе подходящих значений параметров или условий, поиске оптимального варианта, исследовании зависимости результата от начальных условий. Электронный документ, подготовленный в программе MathCad, готов к

подобной ситуации. При изменении какой-либо формулы программа автоматически производит необходимые вычисления, обновляя изменившиеся значения и графики. Например, если документ содержит формулы х := 4; √x = 2, то, изменив значение переменной х, мы сразу же увидим, что изменился и результат расчета: х := 9; √х =3.При проведении расчетов с использованием реальных физических величин учитывают их размерность. Чтобы расчет был корректен, все данные должны быть приведены в одну систему единиц — в этом случае результат расчетов получится в этой же системе. Здесь скрывается характерный источник ошибок при расчетах вручную. В программе MathCad единицы измерения (в любой системе) присоединяют к значению величины с помощью знака умножения. Данные автоматически преобразуются в одну и ту же систему единиц (по умолчанию СИ) и обрабатываются в этом виде. Размерный результат выдается вместе с полученной единицей измерения.При работе с матрицами приходится применять такие операции, как сложение матриц, умножение, транспонирование. Часто возникает необходимость в обращении матриц и в декомпозиции (разложении в произведение матриц специального вида). Для квадратных матриц представляет интерес поиск собственных значений и собственных векторов. Программа MathCad позволяет выполнить все эти операции с помощью стандартных обозначений математических операторов (сложение, умножение) или встроенных функций.Уравнения и системы уравнений, возникающие в практических задачах, обычно можно решить только численно. Методы численного решения реализованы и в программе MathCad. Блок уравнений и неравенств, требующих решения, записывается после ключевого слова given (дано). При записи уравнений используется знак логического равенства (комбинация клавиш CTRL+=). Значения переменных, удовлетворяющие системе уравнений и неравенств, находятся с помощью стандартной функции find.При обработке результатов экспериментов часто встречаются задачи статистического анализа серий данных. Для такого рода задач программа предоставляет средства интерполяции данных, предсказания дальнейшего поведения функции, а также построения функций заданного вида, наилучшим образом соответствующих имеющемуся набору данных. При статистическом анализе можно также использовать стандартные функции распределения вероятности и генераторы случайных величин с заданным распределением.При аналитических вычислениях результат получают в нечисловой форме в результате тождественных преобразований выражений. Простейшие преобразования — это раскрытие скобок, приведение подобных членов, применение тригонометрических тождеств.Более сложные преобразования позволяют находить аналитические решения некоторых уравнений и систем. Для такого рода вычислений в программе MathCad используют оператор аналитического вычисления (клавиатурная комбинация CTRL+.), а также команды меню Symbolics (Аналитические вычисления). Переменные при аналитических

вычислениях рассматриваются как неопределенные параметры. Результат можно использовать для анализа решения при различных значениях этих переменных. При аналитическом решении уравнений и систем за одну операцию можно найти все существующие решения.Дифференцирование и интегрирование заданных функций вручную — обычно несложная, но трудоемкая операция. В программе MathCad для вычисления производной, а также неопределенных и определенных интегралов могут использоваться символические вычисления с помощью меню Symbolics > Variable (Аналитические вычисления > Переменная). Если функция не задана аналитически или не позволяет получить первообразную в виде формулы, имеется возможность численного дифференцирования и численного расчета определенных интегралов.Численные методы используют и для решения дифференциальных уравнений. С помощью программы MathCad можно решать уравнения и системы уравнений первого порядка с заданными начальными условиями. Уравнение более высокого порядка надо сначала преобразовать в систему уравнений первого порядка.

ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКОВЧтобы построить двумерный график в координатных осях Х - Y, надо дать команду Insert > Graph > X-Y Plot (Вставка > График > Декартовы координаты). В области размещения графика находятся заполнители для указания отображаемых выражений и диапазона изменения величин. Заполнитель у середины оси координат предназначен для переменной или выражения, отображаемого по этой оси. Обычно используют диапазон или вектор значений. Граничные значения по осям выбираются автоматически в соответствии с диапазоном изменения величины, но их можно задать и вручную.В одной графической области можно построить несколько графиков. Для этого надо у соответствующей оси перечислить несколько выражений через запятую.Разные кривые изображаются разным цветом, а для форматирования графика надо дважды щелкнуть на области графика. Для управления отображением построенных линий служит вкладка Traces (Линии) в открывшемся диалоговом окне. Текущий формат каждой линии приведен в списке, а под списком расположены элементы управления, позволяющие изменять формат. Поле Legend Label (Описание) задает описание линии, которое отображается только при сбросе флажка Hide Legend (Скрыть описание). Список Symbol (Символ) позволяет выбрать маркеры для отдельных точек, список Line (Тип линии) задает тип линии, список Color (Цвет) — цвет. Список Туре (Тип) определяет способ связи отдельных точек, а список Width (Толщина) — толщину линии.Точно так же можно построить и отформатировать график в полярных координатах. Для его построения надо дать команду Insert > Graph > Polar Plot (Вставка > График >Полярные координаты).Для построения простейшего трехмерного графика, необходимо задать матрицу значений. Отобразить эту матрицу можно в виде поверхности — Insert > Graph > Surface Plot (Вставка > График > Поверхность),

столбчатой диаграммы — Insert > Graph > 3D Bar Plot (Вставка > График > Столбчатая диаграмма) или линий уровня — Insert > Graph > Contour Plot (Вставка > График > Линии уровня).Для отображения векторного поля при помощи команды Insert > Graph > Vector Field Plot (Вставка > График > Поле векторов) значения матрицы должны быть комплексными. В этом случае в каждой точке графика отображается вектор с координатами, равными действительной и мнимой частям элемента матрицы. Во всех этих случаях после создания области графика необходимо указать вместо заполнителя имя матрицы, содержащей необходимые значения.

Для построения параметрического точечного графика командой Insert > Graph > 3D Scatter Plot (Вставка > График > Точки в пространстве) необходимо задать три вектора с одинаковым числом элементов, которые соответствуют х-, у- и z-координатам точек, отображаемых на графике. В области графика эти три вектора указываются внутри скобок через запятую.

Рис.1 Пятикратно перекрученная замкнутая лента, заданная параметрически

Аналогичным образом можно построить поверхность, заданную параметрически. Для этого надо задать три матрицы, содержащие, соответственно, х-, у- и г-координаты точек поверхности. Теперь надо дать команду построения поверхности Insert > Graph >Surface Plot(BcT3BKa > График > Поверхность) и указать в области графика эти три матрицы в скобках и через запятую. Таким образом можно построить практически любую криволинейную поверхность, в том числе с самопересечениями.1.2 Основные возможности пакета MathCadДокумент программы MathCad называется рабочим листом. Он содержит объекты:формулы и текстовые блоки. В ходе расчетов формулы обрабатываются последовательно, слева направо и сверху вниз, а текстовые блоки игнорируются.

Ввод информации осуществляется в месте расположения курсора. Программа MathCad использует три вида курсоров. Если ни один объект не выбран, используетсякрестообразный курсор, определяющий место создания следующего объекта. При вводе формул используется уголковым курсор, указывающий текущий элемент выражения. При вводе данных в текстовый блок применяется текстовый курсор в виде вертикальной черты.ВВОД ФОРМУЛ

Формулы — основные объекты рабочего листа. Новый объект по умолчанию является формулой. Чтобы начать ввод формулы, надо установить крестообразный курсор в нужное место и начать ввод букв, цифр, знаков операций. При этом создается область формулы, в которой появляется уголковый курсор, охватывающий текущий элемент формулы, например имя переменной (функции) или число. При вводе бинарного оператора по другую сторону знака операции автоматически появляется заполнитель в виде черного прямоугольника. В это место вводят очередной операнд.Для управления порядком операций используют скобки, которые можно вводить вручную. Уголковый курсор позволяет автоматизировать такие действия. Чтобы выделить элементы формулы, которые в рамках операции должны рассматриваться как единое целое, используют клавишу ПРОБЕЛ. При каждом ее нажатии уголковый курсор «расширяется», охватывая элементы формулы, примыкающие к данному. После ввода знака операции элементы в пределах уголкового курсора автоматически заключаются в скобки.Элементы формул можно вводить с клавиатуры или с помощью специальных панелей управления. Панели управления открывают с помощью меню View (Вид) или кнопками панели управления Math (Математика). Для ввода элементов формул предназначены следующие панели:

панель управления Arithmetic (Счет) для ввода чисел, знаков типичных математических операций и наиболее часто употребляемых стандартных функций;

панель управления Evaluation (Вычисление) для ввода операторов вычисления и знаков логических операций;

панель управления Graph (График) для построения графиков; панель управления Matrix (Матрица) для ввода векторов и матриц и

задания матричных операций; панель управления Calculus (Исчисление) для задания операций,

относящихся к математическому анализу; панель управления Greek (Греческий алфавит) для ввода греческих букв

(их можно также вводить с клавиатуры, если сразу после ввода соответствующего латинского символа нажимать сочетание клавиш CTRL+G, например [a][CTRL+G] — a, [W][CTRL+G]-Q);

панель управления Symbolic (Аналитические вычисления) для управления аналитическими преобразованиями.

Введенное выражение обычно вычисляют или присваивают переменной. Для вывода результата выражения используют знак вычисления, который выглядит как знак равенства и вводится при помощи кнопки Evaluate Expression (Вычислить выражение) на панели инструментов

Evaluation (Вычисление).

Рис. 2 Панели инструментов программы MathCAD ввода формулЗнак присваивания изображается как «:=», а вводится при помощи кнопки Assign Value (Присвоить значение) на панели инструментов Evaluation (Вычисление). Слева от знака присваивания указывают имя переменной. Оно может содержать латинские и греческие буквы, цифры, символы «'», «_» и « », а также описательный индекс. Описательный индекс вводится с помощью символа «.» и изображается как нижний индекс, но является частью имени переменной, например Vinit. «Настоящие» индексы, определяющие отдельный элемент вектора или матрицы, задаются по-другому.Переменную, которой присвоено значение, можно использовать далее в документе в вычисляемых выражениях. Чтобы узнать значение переменной, следует использовать оператор вычисления.ВВОД ТЕКСТА

Текст, помещенный в рабочий лист, содержит комментарии и описания и предназначен для ознакомления, а не для использования в расчетах. Программа MathCad определяет назначение текущего блока автоматически при первом нажатии клавиши ПРОБЕЛ. Если введенный текст не может быть интерпретирован как формула, блок преобразуется в текстовый и последующие данные рассматриваются как текст. Создать текстовый блок без использования автоматических средств позволяет команда insert > Text Region (Вставка > Текстовый блок).

ФОРМАТИРОВАНИЕ ФОРМУЛ И ТЕКСТАДля форматирования формул и текста в программе MathCad используется панель инструментов Formatting (Форматирование). С ее помощью можно индивидуально отформатировать любую формулу или текстовый блок, задав гарнитуру и размер шрифта, а также полужирное, курсивное или подчеркнутое начертание символов. В текстовых блоках можно также задавать тип выравнивания и применять маркированные и нумерованные списки.

В качестве средств автоматизации используются стили оформления. Выбрать стиль оформления текстового блока или элемента формулы можно из списка Style (Стиль) на панели инструментов Formatting (Форматирование). Для формул и текстовых блоков применяются разные наборы стилей.Чтобы изменить стиль оформления формулы или создать новый стиль, используется команда Format > Equation (Формат > Выражение). Изменение стандартных стилей Variables (Переменные) и Constants (Константы) влияет на отображение формул по всему документу. Стиль оформления имени переменной учитывается при ее определении. Так, переменные хил: рассматриваются как различные и не взаимозаменяемы.При оформлении текстовых блоков можно использовать более обширный набор стилей. Настройка стилей текстовых блоков производится при помощи команды Format t Style (Формат > Стиль).РАБОТА С МАТРИЦАМИ

Векторы и матрицы рассматриваются в программе MathCad как одномерные и двумерные массивы данных. Число строк и столбцов матрицы задается в диалоговом окне Insert Matrix (Вставка матрицы), которое открывают командой Insert > Matrix (Вставка > Матрица). Вектор задается как матрица, имеющая один столбец.После щелчка на кнопке ОК в формулу вставляется матрица, содержащая вместо элементов заполнители. Вместо каждого заполнителя надо вставить число, переменную или выражение.Для матриц определены следующие операции: сложение, умножение на число, перемножение и прочие. Допустимо использование матриц вместо скалярных выражений: в этом случае предполагается, что указанные действия должны быть применены к каждому элементу матрицы, и результат также представляется в виде матрицы. Например, выражение М+ 3, где М — матрица, означает, что к каждому элементу матрицы прибавляется число 3. Если требуется явно указать необходимость поэлементного применения операции к матрице, используют знак векторизации, для ввода которого служит кнопка Vectorize (Векторизация) на панели инструментов Matrix (Матрица).Для работы с элементами матрицы используют индексы элементов. Нумерация строк и столбцов матрицы начинается с нуля. Индекс элемента задается числом, переменной или выражением и отображается как нижний индекс. Он вводится после щелчка на кнопке Subscript (Индекс) на панели инструментов Matrix (Матрица).Пара индексов, определяющих элемент матрицы, разделяется запятой. Иногда (например, при построении графиков) требуется выделить вектор, представляющий собой столбец матрицы. Номер столбца матрицы отображается как верхний индекс, заключенный в угловые скобки, например М<0>. Для его ввода используется кнопка Matrix Column (Столбец) на панели инструментов Matrix (Матрица).Чтобы задать общую формулу элементов матрицы, типа Мi,j : i + j,используютдиапазоны. Диапазон фактически представляет собой вектор, содержащий арифметическую прогрессию, определенную

первым, вторым и последним элементами. Чтобы задать диапазон, следует указать значение первого элемента, через запятую значение второго и через точку с запятой значение последнего элемента. Точка с запятой при задании диапазона отображается как две точки (..).Если разность прогрессии равна единице (то есть, элементы просто нумеруются), значение второго элемента и соответствующую запятую опускают. Например, чтобы сформировать по приведенной выше формуле матрицу размером 6x6, перед этой формулой надо указать i:= 0..5 j := 0..5. При формировании матрицы путем присвоения значения ее элементам, размеры матрицы можно не задавать заранее. Всем неопределенным элементам автоматически присваиваются нулевые значения. Например, формула М5,5 := 1 создает матрицу М размером 6x6, у которой все элементы, кроме расположенного в правом нижнем углу, равны 0.

СТАНДАРТНЫЕ И ПОЛЬЗОВАТЕЛЬСКИЕ ФУНКЦИИПроизвольные зависимости между входными и выходными параметрами задаются при помощи функций. Функции принимают набор параметров и возвращают значение, скалярное или векторное (матричное). В формулах можно использовать стандартные встроенные функции, а также функции, определенные пользователем.Чтобы использовать функцию в выражении, надо определить значения входных параметров в скобках после имени функции. Имена простейших математических функций можно ввести с панели инструментов Arithmetic (Счет). Информацию о других функциях можно почерпнуть в справочной системе. Вставить в выражение стандартную функцию можно при помощи команды Insert > Function (Вставка > Функция). В диалоговом окне Insert Function (Вставка функции) слева выбирается категория, к которой относится функция, а справа — конкретная функция. В нижней части окна выдается информация о выбранной функции. При вводе функции через это диалоговое окно автоматически добавляются скобки и заполнители для значений параметров.Пользовательские функции должны быть сначала определены. Определение задается при помощи оператора присваивания. В левой части указывается имя пользовательской функции и, в скобках, формальные параметры — переменные, от которых она зависит. Справа от знака присваивания эти переменные должны использоваться в выражении. При использовании пользовательской функции в последующих формулах ее имя вводят вручную. В диалоговом окне Insert Function (Вставка функции) оно не отображается.

РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ И СИСТЕМДля численного поиска корней уравнения в программе MathCAD используется функция root. Она служит для решения уравнений вида f(x) = 0, где f(x) — выражение, корни которого нужно найти, а х — неизвестное. Для поиска корней с помощью функции root, надо присвоить искомой переменной начальное значение, а затем вычислить корень при помощи вызова функции: root(f(x),x). Здесь f(x) — функция переменной х,используемой в

качестве второго параметра. Функция root возвращает значение независимой переменной, обращающее функцию f(x) в 0.Если уравнение имеет несколько корней (как в данном примере), то результат, выдаваемый функцией root, зависит от выбранного начального приближения.Если надо решить систему уравнений (неравенств), используют так называемый блок решения, который начинается с ключевого слова given (дано) и заканчивается вызовом функции find (найти). Между ними располагают «логические утверждения», задающие ограничения на значения искомых величин, иными словами, уравнения и неравенства. Всем переменным, используемым для обозначения неизвестных величин, должны быть заранее присвоены начальные значения.Чтобы записать уравнение, в котором утверждается, что левая и правая части равны, используется знак логического равенства — кнопка Boolean Equals (Логически равно) на панели инструментов Evaluation (Вычисление). Другие знаки логических условий также можно найти на этой панели.Заканчивается блок решения вызовом функции find, у которой в качестве аргументов должны быть перечислены искомые величины. Эта функция возвращает вектор, содержащий вычисленные значения неизвестных.

АНАЛИТИЧЕСКИЕ ВЫЧИСЛЕНИЯС помощью аналитических вычислений находят аналитические или полные решения уравнений и систем, а также проводят преобразования сложных выражений (например, упрощение). Иначе говоря, при таком подходе можно получить нечисловой результат. В программе MathCAD конкретные значения, присвоенные переменным, при этом игнорируются — переменные рассматриваются как неопределенные параметры. Команды для выполнения аналитических вычислений в основном сосредоточены в меню Symbolics (Аналитические вычисления).Чтобы упростить выражение (или часть выражения), надо выбрать его при помощи уголкового курсора и дать команду Symbolics > Simplify (Аналитические вычисления >Упростить). При этом выполняются арифметические действия, сокращаются общие множители и приводятся подобные члены, применяются тригонометрические тождества, упрощаются выражения с радикалами, а также выражения, содержащие прямую и обратную функции. Некоторые действия по раскрытию скобок и упрощению сложных тригонометрических выражений требуют применения команды Symbolics > Expand (Аналитические вычисления > Раскрыть).Команду Symbolics > Simplify (Аналитические вычисления > Упростить) применяют и в более сложных случаях. Например, с ее помощью можно:

вычислить предел числовой последовательности, заданной общим членом;

найти общую формулу для суммы членов числовой последовательности, заданной общим членом;

вычислить производную данной функции;

найти первообразную данной функции или значение определенного интеграла.

Другие возможности меню Symbolics (Аналитические вычисления) состоят в выполнении аналитических операций, ориентированных на переменную, использованную в выражении. Для этого надо выделить в выражении переменную и выбрать команду из меню Symbolics > Variable (Аналитические вычисления > Переменная). Команда Solve (Решить) ищет корни функции, заданной данным выражением, например, если выделить уголковым курсором переменную х в выражении а×х2 + b×х + с, то в результате применения команды Symbolics > Variable > Solve (Аналитические вычисления > Переменная > Решить), будут найдены все корни:

Другие возможности использования этого меню включают: аналитическое дифференцирование и интегрирование:

Symbolics > Variable >Differentiate (Аналитические вычисления > Переменная > Дифференцировать) и Symbolics > Variable > Integrate (Аналитические вычисления > Переменная >Интегрировать);

замена переменной: Symbolics > Variable > Substitute (Аналитические вычисления >Переменная > Подставить) — вместо переменной подставляется содержимое буфера обмена;

разложение в ряд Тейлора: Symbolics > Variable > Expand to Series (Аналитические вычисления > Переменная > Разложить в ряд);

представление дробно-рациональной функции в виде суммы простых дробей с линейными и квадратичными знаменателями: Symbolics t Variable > Convert to Partial Fraction (Аналитические вычисления > Переменная > Преобразовать в простые дроби).

Наконец, самым мощным инструментом аналитических вычислений является оператор аналитического вычисления, который вводится с помощью кнопки Symbolic Evaluation (Вычислить аналитически) на панели инструментов Evaluation (Вычисление). Его можно, например, использовать для аналитического решения системы уравнений и неравенств. Блок решения задается точно так же, как при численном решении (хотя начальные значения переменных можно не задавать), а последняя формула блока должна выглядеть как find(х,у,...)®,где в скобках приведен список искомых величин, а далее следует знак аналитического вычисления, отображаемый в виде стрелки, направленной вправо.Любое аналитическое вычисление можно применить с помощью ключевого слова. Для этого используют кнопку Symbolic Keyword Evaluation (Вычисление с ключевым словом) на панели инструментов Evaluation (Вычисление). Ключевые слова вводятся через панель

инструментов Symbolics (Аналитические вычисления). Они полностью охватывают возможности, заключенные в меню Symbolics (Аналитические вычисления), позволяя также задавать дополнительные параметры.

Лекция 4. Основные возможности пакета MathLAB Рабочее пространство системы MATLAB и её командное окно

Когда Вы запускаете MATLAB и начинаете производить вычисления, в командном окне показываются вводимые с клавиатуры числа, переменные (через их имена), результаты вычислений. Обычно вычисления повторяются вновь и вновь: вводятся с клавиатуры новые числовые данные и новые символьные выражения. В результате в окне MATLABа не хватает свободного места и производится "скроллирование" ("протяжка"; "прокрутка") — все строки сдвигаются на одну позицию вверх, так что самая верхняя строка покидает область видимости, а в самом низу окна появляется свободная строка для ввода новых данных. Естественно, эта строка содержит знак приглашения >>.Та информация, что покинула видимую часть окна, никуда не исчезает. Её всегда можно просмотреть снова, если осуществить прокрутку содержимого окна стандартным графическим средством управления — полосой прокрутки (по английски — Scrollbar). Для этого нужно щелкнуть мышью на этой полосе, или протащить с помощью мыши ползунок полосы прокрутки в нужном направлении (вверх или вниз).Можно также осуществлять прокрутку содержимого командного окна системы MATLAB с помощью следующих клавиш клавиатуры: PageUp, PageDown, Ctrl+Home (одновременное нажатие клавиш Ctrl и Home) и Ctrl+End.Клавиши "Стрелка вверх" и "Стрелка вниз", в любом текстовом редакторе осуществляющие перемещение курсора вверх-вниз и прокрутку содержимого окна, в системе MATLAB работают по-другому. Эти клавиши позволяют вернуть в строку ввода ранее введённые с клавиатуры команды и другую входную информацию, то есть вся эта информация запоминается в специальной области памяти. Эту область памяти называютстеком команд, так самая последняя входная информация при её прокрутке клавишой "Стрелка вверх" появится первой. Затем появится предпоследняя команда и так далее. Клавиша "Стрелка вниз" осуществляет прокрутку команд в противоположном направлении.В итоге можно сказать, что вся видимая информация в окне системы MATLAB располагается в двух принципиально разных зонах: зоне просмотра и зоне редактирования.В зоне просмотра уже ничего нельзя исправить, хотя в неё и можно поместить курсор, однако реакцией на ввод с клавиатуры будет автоматическое перемещение курсора (то есть точки ввода) в строку ввода, расположенную в зоне редактирования. В зоне просмотра можно

выделять (селектировать) с помощью мыши любую информацию и копировать её в Буфер обмена операционной системы Windows (то есть в Clipboard), чтобы потом вставить её либо в документ текстового редактора (например, редактора Word), либо опять-таки в строку ввода.Зона редактирования обычно занимает одну (последнюю) строку командного окна системы MATLAB, в которой показан знак приглащения >>. Её мы и называем строкой ввода. Однако при необходимости эту логическую "строку" можно распространить на несколько физических строк командного окна MATLABа. Для этого нельзя просто нажать клавишу ENTER, так как при этом ввод информации будет закончен и MATLAB приступит к вычислениям и дальнейшему показу результата. Поэтому для продления ввода с показом вводимой информации на следующих физических строках требуется нажать ENTER только после трёх или более точек.Однако и в этом случае зона редактирования распространяется только на самую последнюю строку (теперь она уже не содержит знак приглашения >>), а в предыдущих физических строках логической строки ввода изменить уже ничего нельзя. Логическая строка ввода не может содержать более 256 символов.Все значения переменных, вычисленные в течение текущего сеанса работы системы MATLAB, сохраняются в специальной области памяти компьютера, называемойРабочим пространством (английскийское название — Workspace).В системе MATLAB присутствуют все основные элементарные функции: степенные, показательные, тригонометрические и обратные к ним. Любая функция характеризуется своим именем, списком входных аргументов (перечисляются через запятую и стоят внутри круглых скобок, следующих за именем функции) и вычисляемым (выходным) значением.Помимо операции возведения в степень, реализуемой с помощью знака ^, есть ещё функция извлечения квадратного корня sqrt, функция exp для возведения в степень числа e, функция pow2 для возведения в степень числа 2. Также присутствуют обратные к ним функции: log — натуральный логарифм, log10 — логарифм по сонованию10, log2— логарифм по сонованию 2. В системе MATLAB можно быстро получить справочную информацию по любой элементорной функции, выполнив командуhelp имя_функцииТригонометрические функции представлены весьма полно: sin, cos, tan (тангенс), cot(котангенс), asin (арктангенс), acos (арккосинус), atan (арктангенс), acot (арккотангенс). Имеются также и менее употребительные функции типа секанса, косеканса и т. д., а также гиперболические функции (являются комбинацией экспонент).Упомянем ещё функции, связанные с целочисленной арифметикой. Например, функции округления: round (округление до ближайшего целого), fix (усечение дробной части числа), floor (округление до меньшего целого), ceil (округление до большего целого).

Кроме того, есть ещё функции mod (остаток от деления с учётом знака), rem (остаток в смысле модульной арифметики), sign (знак числа), factor (разложение числа на простые множители), isprime (истинно, если число простое), primes (формирование списка простых чисел), rat (приближение числа в виде рациональной дроби), lcm (наименьшее общее кратное), gcd (наибольший общий делитель).И, наконец, есть функции, вычисляющие некоторые стандартные результаты изкомбинаторики: функция perms вычисляет число перестановок, а функция nchoosek — число сочетаний. Например, число сочетаний из 10 по 3 легко находится вызовом функции:Многие из перечисленных функций имеют область определения, отличную от множества всех действительных чисел R. В случаях, когда для функции задаётся недопустимое значение аргумента, или совершается попытка выполнить недопустимую операцию, мы получаем предупреждающее сообщение, напримерWarning: Divide by zero.при попытке деления на нуль. А в качестве результата выводитсяans = Infгде Inf символизирует бесконечность. Тот же результат получается при попытке вычислить логарифм от нуля.Однако, чаще всего, при задании аргумента, выходящего за область определения функции действительного переменного (например, отрицательный аргумент для квадратного корня) система MATLAB автоматически выходит в область комплексных чисел, и вычисляет значение аналогичной комплексной функции.Построение двумерных графиков функций

В результате вычислений в системе MATLAB обычно получается большой массив данных, который трудно анализировать без наглядной визуализации. Поэтому система визуализации, встроенная в MATLAB, придаёт этому пакету особую практическую ценность.Графические возможности системы MATLAB являются мощными и разнообразными. В первую очередь целесообразно изучить наиболее простые в использовании возможности. Их часто называют высокоуровневой графикой. Это название отражает тот приятный факт, что пользователю нет никакой необходимости вникать во все тонкие и глубоко спрятанные детали работы с графикой.Например, нет ничего проще, чем построить график функции одной вещественной переменной. Следующие командыx = 0 : 0.01 : 2;y = sin( x );вычисляют массив y значений функции sin для заданного набора аргументов.После этого одной единственной командойplot( x , y )

удаётся построить вполне качественно выглядящий график функции:

MATLAB показывает графические объекты в специальных графических окнах, имеющих в заголовке слово Figure (изображение, внешний вид, фигура).При построении графиков функций сразу проявляется тот факт, что очень большую часть работы MATLAB берёт на себя. Мы в командной строке ввели лишь одну команду, а система сама создала графическое окно, построила оси координат, вычислила диапазоны изменения переменных x и y; проставила на осях метки и соответствующие им числовые значения, провела через опорные точки график функции некоторым, выбранным по умолчанию, цветом; в заголовке графического окна надписала номер графика в текущем сеансе работы.К недостаткам указанных способов построения нескольких графиков в пределах одних и тех же осей координат относится использование одного и того же диапазона изменения координат, что при несопоставимым значениях двух функций приведёт к плохому изображению графика одной из них.Если всё же нужно одновременно визуализировать несколько графиков так, чтобы они не мешали друг другу, то это можно сделать двумя способами. Во-первых, можно построить их в разных графических окнах.Вторым решением рассматриваемой задачи показа сразу нескольких графиков без конфликта диапазонов осей координат является использование функции subplot. Эта функция позволяет разбить область вывода графической информации на несколько подобластей, в каждую из которых можно вывести графики различных функций.Например, для ранее выполненных вычислений с функциями sin, cos и exp, строим графики первых двух функций в первой подобласти, а график третьей функции - во второй подобласти одного и того же графического окна:subplot(1,2,1); plot(x,y,x,z)subplot(1,2,2); plot(x,w)в результате чего получаем графическое окно следующего вида:

Диапазоны изменения переменных на осях координат этих подобластей независимы друг от друга.Функция subplot принимает три числовых аргумента, первый из которых равен числу рядов подобластей, второе число равно числу колонок подобластей, а третье число - номеру подобласти (номер отсчитывается вдоль рядов с переходом на новый ряд по исчерпанию).Если для одиночного графика диапазоны изменения переменных вдоль одной или обоих осей координат слишком велики, то можно воспользоваться функциями построения графиков в логарифмических масштабах. Для этого предназначены функции semilogx, semilogy и loglog. Подробную информацию по использованию этих функций всегда можно получитьпри помощи командыhelp имя_функциинабираемой с клавиатуры и выполняемой в командном окне системы MATLAB.Итак, уже рассмотренные примеры показывают, как подсистема высокоуровневой графики MATLABа легко справляется с различными случаями построения графиков, не требуя слишком большой работы от

пользователя.

Лекция 5. Обзор наиболее популярных математических пакетов программ

MATHCADMathcad — система компьютерной алгебры из класса систем автоматизированного проектирования, ориентированная на подготовку интерактивных документов с вычислениями и визуальным сопровождением, отличается легкостью использования и применения для коллективной работы.Mathcad был задуман и первоначально написан Алленом Раздовом из Массачусетского технологического института (MIT), соучредителем компании Mathsoft, которая с 2006 года является частью корпорации PTC (Parametric Technology Corporation).Mathcad имеет простой и интуитивный для использования интерфейс пользователя. Для ввода формул и данных можно использовать как клавиатуру, так и специальные панели инструментов.Некоторые из математических возможностей Mathcad (версии до 13.1 включительно) основаны на подмножестве системы компьютерной алгебры Maple (MKM, Maple Kernel Mathsoft). Начиная с 14 версии — использует символьное ядро MuPAD.Работа осуществляется в пределах рабочего листа, на котором уравнения и выражения отображаются графически, в противовес текстовой записи в языках программирования. При создании документов-приложений используется принцип WYSIWYG (What You See Is What You Get — «что видишь, то и получаешь»).Несмотря на то, что эта программа в основном ориентирована на пользователей-непрограммистов, Mathcad также используется в сложных проектах, чтобы визуализировать результаты математического моделирования, путем использованияраспределённых вычислений и традиционных языков программирования. Также Mathcad часто используется в крупных инженерных проектах, где большое значение имеет трассируемость и соответствие стандартам.Mathcad достаточно удобно использовать для обучения, вычислений и инженерных расчетов. Открытая архитектура приложения в сочетании с поддержкой технологий .NETи XML позволяют легко интегрировать Mathcad практически в любые ИТ-структуры и инженерные приложения. Есть возможность создания электронных книг (e-Book).Количество пользователей в мире — около 1.8 млн.Основные возможности

Рис. 3 Трёхмерный график, построенный в MathcadMathcad содержит сотни операторов и встроенных функций для решения различных технических задач. Программа позволяет выполнять численные и символьные вычисления, производить операции с скалярными величинами, векторами и матрицами, автоматически переводить одни единицы измерения в другие.Среди возможностей Mathcad можно выделить:

Решение дифференциальных уравнений, в том числе и численными методами

Построение двумерных и трёхмерных графиков функций (в разных системах координат, контурные, векторные и т. д.)

Использование греческого алфавита как в уравнениях, так и в тексте Выполнение вычислений в символьном режиме Выполнение операций с векторами и матрицами Символьное решение систем уравнений Аппроксимация  кривых Выполнение подпрограмм Поиск корней многочленов и функций Проведение статистических расчётов и работа с распределением

вероятностей Поиск собственных чисел и векторов Вычисления с единицами измерения Интеграция с САПР системами, использование результатов вычислений

в качестве управляющих параметровС помощью Mathcad инженеры могут документировать все вычисления в процессе их проведения.Mathcad относится к системам компьютерной алгебры, то есть средств автоматизацииматематических расчетов. В этом классе программного обеспечения существует много аналогов различной направленности и принципа построения. Наиболее часто Mathcad сравнивают с такими программными комплексами, как Maple, Mathematica, MATLAB, а также с их аналогами MuPAD, Scilab, Maxima и др. Впрочем, объективное сравнение осложняется в связи с разным назначением программ и идеологией их использования.Система Maple, например, предназначена главным образом для выполнения аналитических (символьных) вычислений и имеет для этого один из самых мощных в своем классе арсенал специализированных

процедур и функций (более 3000). Такая комплектация для большинства пользователей, которые сталкиваются с необходимостью выполнения математических расчетов среднего уровня сложности, является избыточным. Возможности Maple ориентированы на пользователей — профессиональных математиков; решения задач в среде Maple требует не только умения оперировать какой-либо функции, но и знания методов решения, в нее заложенных: во многих встроенных функциях Maple фигурирует аргумент, задающий метод решения.Тоже самое можно сказать и о Mathematica. Это одна из самых мощных систем, имеет чрезвычайно большую функциональную наполненность (есть даже синтезированиезвука). Mathematica обладает высокой скоростью вычислений, но требует изучения довольно необычного языка программирования.Разработчики Mathcad сделали ставку на расширение системы в соответствии с потребностями пользователя. Для этого назначены дополнительные библиотеки и пакеты расширения, которые можно приобрести отдельно и которые имеют дополнительные функции, встраиваемые в систему при установке, а также электронные книги с описанием методов решения специфических задач, с примерами действующихалгоритмов и документов, которые можно использовать непосредственно в собственных расчетах. Кроме того, в случае необходимости и при условии наличия навыков программирования в C, есть возможность создания собственных функций и их прикрепления к ядру системы через механизм DLL.Mathcad, в отличие от Maple, изначально создавался для численного решения математических задач, он ориентирован на решение задач именно прикладной, а не теоретической математики, когда нужно получить результат без углубления в математическую суть задачи. Впрочем, для тех, кому нужны символьные вычисления и предназначено интегрированное ядро Maple (с версии 14 — MuPAD). Особенно это полезно, когда речь идет о создании документов образовательного назначения, когда необходимо продемонстрировать построение математической модели, исходя из физической картины процесса или явления. Символьное ядро Mathcad, в отличие от оригинального Maple (MuPAD) искусственно ограничено (доступно около 300 функций), но этого в большинстве случаев вполне достаточно для решения задачинженерного характера.Более того, опытные пользователи Mathcad обнаружили, что в версиях до 13 включительно есть возможность не слишком сложным способом задействовать почти весь функциональный арсенал ядра Maple (так называемые «недокументированные возможности»), что приближает вычислительную мощность Mathcad к Maple.Особенности интерфейса

Основное отличие Mathcad от аналогичных программ — это графический, а не текстовый режим ввода выражений. Для набора команд, функций, формул можно использовать как клавиатуру, так и кнопки на многочисленных специальных панелях инструментов. В

любом случае — формулы будут иметь привычный, аналогичный книжному, вид. То есть особой подготовки для набора формул не нужно. Вычисления с введенными формулами осуществляются по желанию пользователя или мгновенно, одновременно с набором, либо по команде. Обычные формулы вычисляются слева направо и сверху вниз (подобно чтению текста). Любые переменные, формулы, параметры можно изменять, наблюдая воочию соответствующие изменения результата. Это дает возможность организации действительности интерактивных вычислительных документов.В других программах (Maple, MuPAD, Mathematica) вычисления осуществляются в режиме программного интерпретатора, который трансформирует в формулы введенные в виде текста команды. Maple своим интерфейсом ориентирован на тех пользователей, кто уже имеет навыки программирования в среде традиционных языков с введением сложных формул в текстовом режиме. Для пользования Mathcad можно вообще не быть знакомым с программированием в том или ином виде.Mathcad задумывался как средство программирования без программирования, но, если возникает такая потребность — Mathcad имеет довольно простые для усвоения инструменты программирования, позволяющие, впрочем, строить весьма сложные алгоритмы, к чему прибегают, когда встроенных средств решения задачи не хватает, а также когда необходимо выполнять серийные расчеты.[6]

Отдельно следует отметить возможность использования в расчетах Mathcad величин с размерностями, причем можно выбрать систему единиц: СИ, СГС, МКС, английскую или построить собственную. Результаты вычислений, разумеется, также получают соответствующую размерность. Польза от такой возможности трудно переоценить, поскольку значительно упрощается отслеживание ошибок в расчетах, особенно в физических и инженерных.Особенности при работе с графикой

В среде Mathcad фактически нет графиков функций в математическом понимании термина, а есть визуализация данных, находящихся в векторах и матрицах (то есть осуществляется построение как линий так и поверхностей по точкам с интерполяцией), хотя пользователь может об этом и не знать, поскольку у него есть возможность использования непосредственно функций одной или двух переменных для построения графиков или поверхностей соответственно. Так или иначе, механизм визуализации Mathcad значительно уступает таковому у Maple, где достаточно иметь только вид функции, чтобы построить график или поверхность любого уровня сложности. По сравнению с Maple, графика Mathcad имеет еще такие недостатки, как: невозможность построения поверхностей, заданных параметрически, с непрямоугольной областью определения двух параметров; создание и форматирование графиков только через меню, что ограничивает возможности программного управления параметрами графики.Однако следует помнить об основной области применения Mathcad — для задач инженерного характера и создание учебных интерактивных

документов, возможностей визуализации вполне достаточно. Опытные пользователи Mathcad демонстрируют возможность визуализации сложнейших математических конструкций, но объективно это уже выходит за рамки назначения пакета.Расширение функциональности

Возможно дополнение Mathcad новыми возможностями с помощью специализированных пакетов расширений и библиотек, которые пополняют систему дополнительными функциями и константами для решения специализированных задач:

Пакет для анализа данных (англ. Data Analysis Extension Pack) — обеспечивает Mathcad необходимыми инструментами для анализа данных.

Пакет для обработки сигналов (англ. Signal Processing Extension Pack) — содержит более 70 встроенных функций для аналоговой и цифровой обработки сигналов, анализа и представления результатов в графическом виде.

Пакет для обработки изображений (англ. Image Processing Extension Pack) — обеспечивает Mathcad необходимыми инструментами для обработки изображений, анализа и визуализации.

Пакет для работы с функциями волнового преобразования (англ.Wavelets Extension Pack) — содержит большой набор дополнительных вейвлет-функций, которые можно добавить в библиотеку встроенных функций базового модуля Mathcad Professional. Пакет предоставляет возможность применить новый подход к анализу сигналов и изображений, статистической оценки сигналов, анализа сжатия данных, а также специальных численных методов. Функциональность включает одно- и двухмерные вейвлеты, дискретные вейвлет-преобразования, мультианализ разрешения и многое другое. Пакет объединяет более 60 функций ключевых вейвлетов. Включены ортогональные и биортогональные семейства вейвлетов, среди прочего — вейвлет Хаара, вейвлет Добеши, симлет, койфлет и B-сплайны. Пакет также содержит обширную диалоговую документацию по основным принципам вейвлетов, приложения, примеры и таблицы ссылок.

Библиотека строительства (англ.Civil Engineering Library) — включает справочник англ. Roark's Formulas for Stress and Strain (Формулы Роарка для расчета напряженийи деформаций), настраиваемые шаблоны для строительного проектирования и примеры тепловых расчётов.

Электротехническая библиотека (англ. Electrical Engineering Library ) — содержит стандартные вычислительные процедуры, формулы и справочные таблицы, используемые в электротехнике. Текстовые пояснения и примеры облегчают работу с библиотекой — каждый заголовок имеет гиперссылку на оглавление и указатель, и его можно найти в системе поиска.

Библиотека машиностроения (англ. Mechanical Engineering Library) — включает справочник англ. Roark's Formulas for Stress and Strain (Формулы Роарка для расчета напряжений и деформаций), содержащий более пяти тысяч формул, вычислительные процедуры из справочника McGraw-Hill и метод конечных элементов. Текстовые пояснения, поисковая система и примеры облегчают работу. В состав

библиотеки включена электронная книга Дэвида Пинтура «Введение в метод конечных элементов».

Взаимодействие с другими программамиMathcad интегрируется с программами SmartSketch, VisSim/ Comm PE, Pro/ENGINEER.Приложение SmartSketch позволяет инженерам, дизайнерам, архитекторам, чертежникам,системным и сетевым администраторам работать с точными чертежами и графиками.VisSim/Comm PE — это Windows-приложение для моделирования аналоговых, цифровых или смешанных систем сообщения на сигнальном или физическом уровне.Использование компонентов

В документах-программах Mathcad есть возможность вставки модулей (component) других приложений для расширения возможностей визуализации, анализа данных, выполнение специфических вычислений.Для расширенной визуализации данных предназначен компонент Axum Graph. Для работы с табличными данными — Microsoft Excel.Компоненты Data Acquisition, ODBC Input позволяют пользоваться внешними базами данных.Предлагаются также бесплатные модули (add-in) для интеграции Mathcad с программами Excel, AutoCAD.Для статистического анализа предназначен компонент Axum S-PLUS Script.Значительное расширение возможностей пакета достигается при интеграции со сверхмощным приложением MATLAB.Комплектации

Версии Mathcad могут отличатся комплектацией и лицензией пользователя. В разное время поставлялись версии Mathcad Professional, Mathcad Premium, Mathcad Enterprise Edition (отличаются комплектацией). Для академических пользователей предназначена версия Mathcad Academic Professor (обладает полной функциональностью, но отличается лицензией пользователя и имеет в несколько раз меньшую стоимость).Некоторое время выпускались также упрощенные и заметно «урезанные» студенческие версии программы.Системные требования Процессор : 32-битный или 64-битный (x86-64, EM64T) с тактовой

частотой 400 МГц или выше (рекомендуется 700 МГц). 256 МБ оперативной памяти (рекомендуется 512 Мб). 1,75 Гб свободного дискового пространства (350 Мб для Mathcad, 1,4 Гб

для временных файлов во время установки). Привод CD-ROM или DVD (только для установки с диска). Графическая карта  SVGA или выше. Монитор  XGA с разрешением 1024×768 (или выше) c 24-битными (или

больше) цветами. Мышь  или другое совместимое указывающее устройство.

Программное обеспечение:

Операционная система : Windows XP (SP1, SP2, SP3), Windows Vista (SP1), Windows 7или Windows XP x64 (SP2), Windows Vista x64 (SP1), Windows 7 x64

Microsoft .NET Framework 3.5 MSXML  4.0 SP2 Microsoft Data Access Components  2.8 Internet Explorer  5.0

2 MATLABMATLAB (сокращение от англ. «Matrix Laboratory») — пакет прикладных программ для решения задач технических вычислений и одноимённый язык программирования, используемый в этом пакете. MATLAB используют более 1 000 000 инженерных и научных работников, он работает на большинстве современных операционных систем, включая Linux, Mac OS, Solaris (начиная с версии R2010b поддержка Solarisпрекращена) и Microsoft WindowsMATLAB – это высокоуровневый язык технических расчетов, интерактивная среда разработки алгоритмов и современный инструмент анализа данных.MATLAB по сравнению с традиционными языками программирования (C/C++, Java, Pascal, FORTRAN) позволяет на порядок сократить время решения типовых задач и значительно упрощает разработку новых алгоритмов.MATLAB представляет собой основу всего семейства продуктов MathWorks и является главным инструментом для решения широкого спектра научных и прикладных задач, в таких областях как: моделирование объектов и разработка систем управления, проектирование коммуникационных систем, обработка сигналов и изображений, измерение сигналов и тестирование, финансовое моделирование, вычислительная биология и др.Ядро MATLAB позволяет максимально просто работать с матрицами реальных, комплексных и аналитических типов данных; со структурами данных и таблицами поиска. Содержит встроенные функции линейной алгебры (LAPACK, BLAS), быстрого Фурье преобразования (FFTW), функции для работы с полиномами, функции базовой статистики и численного решения дифференциальных уравнений; расширенные математические библиотеки для Intel MKL. Все встроенные функции ядра MATLAB разработаны и оптимизированы специалистами и работают быстрее или так же, как их эквивалент на C/C++.Ключевые возможности: Платформонезависимый высокоуровневый язык программирования

ориентированный на матричные вычисления и разработку алгоритмов Интерактивная среда для разработки кода, управления файлами и

данными Функции линейной алгебры, статистики, анализ Фурье, решение

дифференциальных уравнений и др. Богатые средства визуализации, 2-D и 3-D графика.

Встроенные средства разработки пользовательского интерфейса для создания законченных приложений на MATLAB

Средства интеграции с C/C++, наследование кода, ActiveX технологииMATLAB как язык программирования был разработан Кливом Моулером (англ. Cleve Moler) в конце 1970-х годов, когда он был деканом факультета компьютерных наук в Университете Нью-Мексико. Целью разработки служила задача дать студентам факультета возможность использования программных библиотек Linpack и EISPACK без необходимости изучения Фортрана. Вскоре новый язык распространился среди других университетов и был с большим интересом встречен учёными, работающими в области прикладной математики. До сих пор в Интернете можно найти версию 1982 года, написанную на Фортране, распространяемую с открытым исходным кодом. Инженер Джон Литтл (англ.John N. (Jack) Little) познакомился с этим языком во время визита Клива Моулера в Стэнфордский университет в 1983 году. Поняв, что новый язык обладает большим коммерческим потенциалом, он объединился с Кливом Моулером и Стивом Бангертом (англ. Steve Bangert). Совместными усилиями они переписали MATLAB на C и основали в 1984 компанию The MathWorks для дальнейшего развития. Эти переписанные на С библиотеки долгое время были известны под именем JACKPAC. Первоначально MATLAB предназначался для проектирования систем управления (основная специальность Джона Литтла), но быстро завоевал популярность во многих других научных и инженерных областях. Он также широко использовался и в образовании, в частности, для преподавания линейной алгебры и численных методов.Язык MATLAB

Язык MATLAB является высокоуровневым интерпретируемым языком программирования, включающим основанные на матрицах структуры данных, широкий спектр функций, интегрированную среду разработки, объектно-ориентированные возможности и интерфейсы к программам, написанным на других языках программирования.Программы, написанные на MATLAB, бывают двух типов — функции и скрипты. Функции имеют входные и выходные аргументы, а также собственное рабочее пространство для хранения промежуточных результатов вычислений и переменных. Скрипты же используют общее рабочее пространство. Как скрипты, так и функции не компилируются в машинный код и сохраняются в виде текстовых файлов. Существует также возможность сохранять так называемые pre-parsed программы — функции и скрипты, обработанные в вид, удобный для машинного исполнения. В общем случае такие программы выполняются быстрее обычных, особенно если функция содержит команды построения графиков.Основной особенностью языка MATLAB является его широкие возможности по работе с матрицами, которые создатели языка выразили в лозунге «думай векторно» (англ.Think vectorized).

Пример кода, являющегося частью функции magic.m, генерирующего магический квадрат M для нечётных значений размера стороны n: [J,I] = meshgrid(1:n); A = mod(I+J-(n+3)/2,n); B = mod(I+2*J-2,n); M = n*A + B + 1;Пример кода, загружающего одномерный массив A значениями массива B в обратном порядке (только если вектор A определен, и число его элементов совпадает с числом элементов вектора B): A(1:end) = B(end:-1:1);

Рис. 4 График sinc-функции, нарисованный с помощью MATLABМатематика и вычисления

MATLAB предоставляет пользователю большое количество (несколько сотен) функций для анализа данных, покрывающие практически все области математики, в частности:

Матрицы и линейная алгебра — алгебра матриц, линейные уравнения, собственные значения и вектора, сингулярности, факторизация матриц и другие.

Многочлены  и интерполяция — корни многочленов, операции над многочленами и их дифференцирование, интерполяция и экстраполяция кривых и другие.

Математическая статистика  и анализ данных — статистические функции,статистическая регрессия, цифровая фильтрация, быстрое преобразование Фурье и другие.

Обработка данных — набор специальных функций, включая построение графиков, оптимизацию, поиск нулей, численное интегрирование (в квадратурах) и другие.

Дифференциальные уравнения  — решение дифференциальных и дифференциально-алгебраических уравнений, дифференциальных уравнений с запаздыванием, уравнений с ограничениями, уравнений в частных производных и другие.

Разреженные матрицы — специальный класс данных пакета MATLAB, использующийся в специализированных приложениях.

Целочисленная арифметика — выполнение операций целочисленной арифметики в среде MATLAB.

MATLAB предоставляет удобные средства для разработки алгоритмов, включая высокоуровневые с использованием концепций объектно-ориентированного программирования. В нём имеются все необходимые

средства интегрированной среды разработки, включая отладчик и профайлер. Функции для работы с целыми типами данных облегчают создание алгоритмов для микроконтроллеров и других приложений, где это необходимо.В составе пакета MATLAB имеется большое количество функций для построения графиков, в том числе трёхмерных, визуального анализа данных и создания анимированных роликов.Встроенная среда разработки позволяет создавать графические интерфейсы пользователя с различными элементами управления, такими как кнопки, поля ввода и другими. С помощью компонента MATLAB Compiler эти графические интерфейсы могут быть преобразованы в самостоятельные приложения, для запуска которых на других компьютерах необходима установленная библиотека MATLAB Component Runtime.Пакет MATLAB включает различные интерфейсы для получения доступа к внешним подпрограммам, написанным на других языках программирования, данным, клиентам и серверам, общающимся через технологии Component Object Model или Dynamic Data Exchange, а также периферийным устройствам, которые взаимодействуют напрямую с MATLAB. Многие из этих возможностей известны под названием MATLAB API.Пакет MATLAB предоставляет доступ к функциям, позволяющим создавать, манипулировать и удалять COM-объекты (как клиенты, так и серверы). Поддерживается также технология ActiveX. Все COM-объекты принадлежат к специальному COM-классу пакета MATLAB. Все программы, имеющие функции контроллера автоматизации (англ.Automation controller) могут иметь доступ к MATLAB как к серверу автоматизации (англ. Automation server).Наборы инструментов

Для MATLAB имеется возможность создавать специальные наборы инструментов (англ.toolbox), расширяющих его функциональность. Наборы инструментов представляют собой коллекции функций, написанных на языке MATLAB для решения определённого класса задач. Компания Mathworks поставляет наборы инструментов, которые используются во многих областях, включая следующие:

Цифровая обработка сигналов , изображений и данных: DSP Toolbox, Image Processing Toolbox, Wavelet Toolbox, Communication Toolbox, Filter Design Toolbox — наборы функций, позволяющих решать широкий спектр задач обработки сигналов, изображений, проектирования цифровых фильтров и систем связи.

Системы управления : Control Systems Toolbox, µ-Analysis and Synthesis Toolbox, Robust Control Toolbox, System Identification Toolbox, LMI Control Toolbox, Model Predictive Control Toolbox, Model-Based Calibration Toolbox — наборы функций, облегчающих анализ и синтез динамических систем, проектирование, моделирование иидентификацию систем управления, включая современные алгоритмы управления, такие как робастное управление, H∞-управление, ЛМН-синтез, µ-синтез и другие.

Финансовый анализ: GARCH Toolbox, Fixed-Income Toolbox, Financial Time Series Toolbox, Financial Derivatives Toolbox, Financial Toolbox, Datafeed Toolbox — наборы функций, позволяющие быстро и эффективно собирать, обрабатывать и передавать различную финансовую информацию.

Анализ и синтез географических карт, включая трёхмерные: Mapping Toolbox.

Сбор и анализ экспериментальных данных: Data Acquisition Toolbox, Image Acquisition Toolbox, Instrument Control Toolbox, Link for Code Composer Studio — наборы функций, позволяющих сохранять и обрабатывать данные, полученные в ходе экспериментов, в том числе в реальном времени. Поддерживается широкий спектр научного и инженерного измерительного оборудования.

Визуализация и представление данных: Virtual Reality Toolbox — позволяет создавать интерактивные миры и визуализировать научную информацию с помощью технологий виртуальной реальности и языка VRML.

Средства разработки: MATLAB Builder for COM, MATLAB Builder for Excel, MATLAB Builder for NET, MATLAB Compiler, Filter Design HDL Coder — наборы функций, позволяющих создавать независимые приложения из среды MATLAB.

Взаимодействие с внешними программными продуктами: MATLAB Report Generator,Excel Link, Database Toolbox, MATLAB Web Server, Link for ModelSim — наборы функций, позволяющие сохранять данные в различных видов таким образом, чтобы другие программы могли с ними работать.

Базы данных: Database Toolbox — инструменты работы с базами данных.

Научные и математические пакеты: Bioinformatics Toolbox, Curve Fitting Toolbox,Fixed-Point Toolbox, Fuzzy Logic Toolbox, Genetic Algorithm and Direct Search Toolbox,OPC Toolbox, Optimization Toolbox, Partial Differential Equation Toolbox, Spline Toolbox, Statistic Toolbox, RF Toolbox — наборы специализированных математических функций, позволяющие решать широкий спектр научных и инженерных задач, включая разработку генетических алгоритмов, решения задач в частных производных, целочисленные проблемы, оптимизацию систем и другие.

Нейронные сети : Neural Network Toolbox — инструменты для синтеза и анализ нейронных сетей.

Нечёткая логика : Fuzzy Logic Toolbox — инструменты для построения и анализа нечётких множеств.

Символьные вычисления : Symbolic Math Toolbox — инструменты для символьных вычислений с возможностью взаимодействия с символьным процессором программыMaple.

Мусатаева И.С. «Средства автоматизации НИР»

2

Лекция №8. Введение в визуализацию. Элементы дифференциальной геометрии.

Введение в визуализацию. Обзор прикладных графических пакетов. Пространственные кривые. Поверхности. Квадратичные формы поверхности. Кривизна. Главные кривизны. Средняя и полная кривизны.

Компьютерная графика, ставшая самостоятельным научным направлением, проникает сегодня во все сферы интеллектуальной деятельности человека, включая кино и телевидение, издательские системы, космос и авиацию, медицину, экологический мониторинг, научные исследования и образование. Многие алгоритмы машинной графики названы по фамилиям авторов – алгоритмы отсечения Сазерленда (Sazerland), прямые Брезенхейма и Брассини, кривые Безье, поверхности Кунса, Цао Ена и т.д. Этот список постоянно пополняется новыми алгоритмами, и соответственно именами их авторов.

Научный аспект компьютерной графики связан с моделированием динамических процессов, диагностикой и распознаванием образов.

Традиционными объектами для методов визуализации являются скалярные и векторные поля, поскольку именно в терминах таких полей описываются решениязадач, которые интересуют исследователей. Скалярными полями представляются, например, температура, плотность и давление, векторными – скорость,напряженности электрического и магнитного поля. Минимальная размерность евклидова пространства, содержащего область определения поля, называетсяразмерностью поля и определяет сложность визуализации. Наиболее распространенные задачи оперируют с двух- и трех- мерными объектами, однакосуществуют задачи, требующие изучения полей большей размерности, в частности, задача тензорной геометрии. В зависимости от изучаемого явления, наряду с самимполем, исследователя могут интересовать отдельные характеристики этого поля. Приведем несколько простых иллюстрирующих примеров. При обработке рентгеновского снимка врача интересуют области наибольшей

плотности, соответствующие патологическим явлениям. При изучении аэродинамического обтекания автомобиля инженерами

исследуются режимы образования рециркуляционных зон в зависимости отскорости обтекания.

Из вышеперечисленного можно сделать вывод, что объекты, представляющиеинтерес для исследователя, существенно зависят от изучаемой задачи и для каждого конкретного случая при визуализации необходимо смещать акценты в зависимости от выбора проблемы. Естественно, существует набор методов визуализации, предлагаемый стандартными пакетами программ. Каждый конкретный пользователь такого пакета должен выбрать подходящий ему метод или комбинацию методов, наиболее адекватно изображающие искомые характеристики изучаемого объекта.

Кратко опишем возможности некоторых распространенных пакетов программ.

Пакет IDL (Interactive Data Language) обладает большими графическими возможностями, которые делают его в некотором смысле универсальным. Он позволяет создать индивидуальную графическую среду для конкретной задачи. В частности, в рамках этого пакета возможно:

построение графиков разнообразных функций одной переменной; использование различных типов осей;

Мусатаева И.С. «Средства автоматизации НИР»

3

построение графиков функций и поверхностей в различных системах координат;

4

Мусатаева И.С. «Средства автоматизации НИР»

использование специальных видов графического представления функции (точки массива, векторные графики, линии уровня)

определение системы координат пользователем; графическое изображение трехмерных поверхностей с

функциональной закраской; визуализация решений обыкновенных дифференциальных уравнений; построение пересекающихся в пространстве объектов; построение трехмерных объектов; задание и создание своей палитры; создание своего визуализационного окна; импортирование графиков из других пакетов и программных систем; анимационное представление графических зависимостей; создание и проигрывание анимационных файлов.

Отличительная особенность IDL заключается в переносимости на различные платформы. Кроме того система обладает

мощным и лаконичным языком программирования; редактором для подготовки и редактирования документов и программ; современным многооконным пользовательским интерфейсом с

возможностью работы в диалоговом режиме; подробной информативной справочной системой; способностью обеспечивать многопользовательскую поддержку.

Maple – система компьютерной математики, которая позволяет выполнять не только символьные, но и численные расчеты, причем это сочетается с превосходной графикой.

Эта система включает в себя

мощный язык программирования (он же язык для интерактивного общения с системой);

редактор для подготовки и редактирования документов и программ; современный многооконный пользовательский интерфейс с

возможностью работы в диалоговом режиме; мощную справочную систему; ядро алгоритмов и правил преобразования математических выражений; численный и символьный процессоры; систему диагностики; библиотеки встроенных и дополнительных функций; пакеты функций сторонних производителей и поддержку некоторых

других языков программирования и программ.

Синтаксис структурных операторов языка Марle напоминает смесь Бейсика и Паскаля.

Остановимся на основных графических возможностях пакета Maple.

построение графиков многих функций одного переменного; различные типы осей (с линейным и логарифмическим масштабом); графики функций в декартовой и полярной системе координат;

5

Мусатаева И.С. «Средства автоматизации НИР»

специальные виды графиков (точки массива, векторные графики, линии уровня)

системы координат, определяемые пользователем; графики трехмерных поверхностей с функциональной закраской; графики, представляющие решения дифференциальных уравнений; построение пересекающихся в пространстве объектов; задание палитры; импорт графиков из других пакетов и программных систем; анимация графиков; создание и проигрывание анимационных файлов.

Matlab – ядро Марle используется и в пакета Matlab.

Для описания методов визуализации необходимо абстрагироваться от конкретной задачи и перейти к каким-то достаточно универсальным математическим объектам. Скалярные и векторные поля наиболее подходят для этих целей. С их помощью мы может формулировать методы изображения, не вдаваясь в природу исследуемого процесса и объекта. Любое скалярное поле, будь то плотность вещества или давление, при визуализации изображается одинаковым образом, затем производится, если это необходимо, дополнительная обработка в зависимости от цели исследования. Таким образом, необходимо ввести некоторые понятия из дифференциальной геометрии и теории векторных полей.

Будем говорить, что в трехмерном евклидовом пространстве задана гладкая или регулярная поверхность S, если задано векторное уравнениеr r(u,v), (u,v) U V,

, U и V - интервалы изменения переменных u, v, и

существуют непрерывные производные r

r

,u u

r r

, удовлетворяющиеv v

условию ru rv 0 . Для каждой точки

r1 регулярной поверхности существует,

причем единственная, касательная плоскость, определяемая уравнением(r r1 ) (ru rv ) 0 . В каждой точкеединственная прямая, проходящая через

r1 регулярной поверхности S существует

r1 перпендикулярно к касательной

плоскости, которая называется нормалью. Вектор единичной нормали N = , тогда

уравнение нормали можно записать в виде

r r t

ru

rv

tN .

1 r ru v

Для регулярной поверхности S можно ввести понятия ориентированного элементаповерхности, являющегося вектором dS (ru rv )dudv N dS , и просто

элементаплощади dS

dSru

rv

dudv .

2

6

Мусатаева И.С. «Средства автоматизации НИР»Если на поверхности S рассматривается кривая r

r(u(t),v(t)),то естественно

ввести следующие величины: дифференциал радиус-вектора квадрат дифференциала длины дуги

ds2 dr E(u,v)du2 2F(u,v)dudv G(u,v)dv2

dr rudu rvdv,

(1),где

u u

v v

u v

u

v

2 2 2

E(u,v) r r x y z

u u

F(u,v) r r

x x y y z zu v u v u

vu v

2 2 2

G(u,v) r r x y z

v v

Формула (1) задает первую основную квадратичную форму поверхности, которая всегда является положительно определенной.

В каждой точке кривой r r (u(t),v(t))

вектор кривизны может быть единственным

образом представлен в виде суммы двух векторов, один из которых лежит в касательной плоскости, а другой направлен вдоль нормали к поверхности Sd2rds2kn k (N

dr ) k N .

G ds N

N-единичный вектор нормали к поверхности, n-единичный вектор главной нормали d r d r d2r

кривой С. kG k

ds ,n,N

k

ds , ds2

,N-кривизна проекции,

кривой С наd2r dr dN

касательную плоскость, kN k(n N) N ds2 ds ds

сечения.

-кривизна нормального

Для того чтобы записать выражение kN в криволинейных координатах u,vрассмотрим дифференциал dN N du N dv и введем обозначения

L(u,v) r N ruu ,ru ,rv

EG F2

M(u,v) r N

ruv ,ru ,rv ,u v

N(u,v) r N

EG F2

rvv ,ru ,rv

EG F2

тогда dr dN L(u,v)du2 2M(u,v)dudv N(u,v)dv2

Все производные во второй квадратичной форме берутся в точке (u,v).В этих обозначениях кривизна нормального сечения в точке (u,v) поверхности S имеет

вид kN

dr

d

N ds2

Ldu2

2Mdudv

Ndv 2

Edu2 2Fdudv Gdv2

. Точка поверхности, в которой kN

имеет одно и то же значение для всех нормальных сечений (L:M:N=E:F:G) называетсяомбилической. В каждой неомбилической точке существуют два нормальных сечения,которым соответствуют наибольшая k1 и наименьшая k2 величина кривизны kN -главные кривизны поверхности S в точке (u,v). Плоскости главных нормальныхсечений взаимно перпендикулярны. Величины k1 ,

k2

являются собственными

числами обобщенной задачи и собственными значениями матрицы (A-kB), гдеL M

A

,M N

E F B .

F G

Симметрические функции

LN M2

H 1

(k1 k2 ) 1 EN 2FM

GL ,2 2 EG F2

K k1k2

EG F2

называются соответственно средней и полной кривизной.

Как известно, величины H, K,координат.

k1 и k2не зависят от выбора криволинейных

В зависимости от того будет ли квадратичная форма определенной,полуопределенной или неопределенной в точке (u,v), эта последняя является эллиптической точкой, в которой K k1k2

0( все нормальные сечения

выпуклы или вогнуты, пример – точки эллипсоида); параболической точкой (пример – точки цилиндра); гиперболической точкой (пример – точки однополостного гиперболоида).

Лекция № 6. Свойства скалярных и векторных полей.

Векторные поля. Теоремы о дивергенции, роторе и связанные с ними свойства скалярных и векторных полей. Теорема Гельмгольца.

По определению скалярное поле есть скалярная функция Ф(r) Ф(x, y, z)

вместе с областью определения аргументов. Поверхности Ф(r) c

называются

поверхностями уровня (изоповерхностями). Они позволяютгеометрически представить структуру скалярного поля.

Векторное поле задается векторной функцией

F (r) F (x, y, z)

вместе с

областью определения аргументов. Силовые (векторные) линии в каждой точке rимеют направление вектора

поляF (r)

и определяются дифференциальными

уравнениями dr F (r) 0 . Векторное поля может быть геометрически представлено своими векторными линиями, относительная плотность которых в каждой точке rпропорциональна F (r) .В прямоугольной декартовой системе координат линейный оператор определяется формулой

i x

j k .y z

Градиент скалярной функции точкиgrad Ф(r) Ф .Дивергенция векторной функции точки

Ф(r)

F (r)

есть векторная функция точки

есть скалярная функция точки,

определяемая как

div F (r) F .

Ротор векторной функции точки F (r)

есть векторная функция точки, определяемая

как rot F (r) F .Напомним важнейшие теоремы векторного анализа.

Предполагаем, что область V является ограниченной и односвязной, поверхность S замкнутая и регулярная, а все функции и их частные производные непрерывны в замкнутой области V S .

1. F (r)dv F (r)dSV S

2. F (r)dv F (r) dS

V S

3. Ф(r)dv Ф(r)dSV S

4. 2Ф Ф2

dv Ф ФdS

Ф Ф dS .

V S S nФ

5. 2Фdv Ф dS = dS .

n

V S n

Если векторная функция F (r)

однозначна и имеет непрерывные частные

производные в конечной односвязной области V, лежащая в области V поверхность S односвязна и регулярна и ограничена замкнутой регулярной кривой С, тогда верны следующие утверждения:

1. F (r) dS F (r) dr , ориентация dS должна быть

согласована сS C

обходом контура.

2. (F (r)) dS F (r) dr .

S C

Векторное поле

F (r)

называется безвихревым в области V, если в каждой точке этой

области F (r) 0.

Поле F (r)

является безвихревым тогда и только тогда, когда

- F (r)

есть градиент некоторой скалярной функции Ф(r) в каждой точке области V.

Функцию Ф(r) часто называют скалярным потенциалом безвихревого поля.

Векторное поле F (r)

называется соленоидальным в области V, если в каждой точке

этой области F (r) 0.

Поле F (r)

является соленоидальным тогда и только

тогда, когда F (r) есть ротор некоторой функции точки

A(r) в каждой точке областиV. Функцию

A(r) часто называют векторным потенциалом соленоидального поля.

Теорема Гельмгольца.Пусть V – конечная открытая область пространства, ограниченная регулярнойповерхностью S положительная которой непрерывна в каждой точке поверхности.Если дивергенции и ротор F

(r)определены в каждой точке r области V, то всюду в

V функция

F (r)

может быть представлена в виде суммы безвихревого поля F1 (r) и

соленоидального поля F2 (r) .F (r) F1 (r) F2 (r) F (r) 0, F (r) 0

.

1 2

y

4x

Лекция №9. Визуализация скалярных полей.

Задача триангуляции. Постановка и обзор методов ее решения. Ячеечные методы (cell-based), метод предиктор-корректора (predictor-corrector), алгоритм"марширующих кубов", алгоритм Канейро, алгоритм Скалы.

Данная лекция посвящена сравнительному анализу алгоритмов визуализирующих заданную поверхность с помощью аппроксимации её треугольниками. Это так называемая задача триангуляции. Проблема визуализации поверхности, заданной различными способами возникает во многих областях математики, физики, медицины: Визуализация экспериментальных данных. При проведении физических экспериментов очень часто возникает необходимость отобразить информацию сразу со всех датчиков. Например, при измерении температуры среды необходимо отобразить область с температурой, выше заданной. Функциональное представление. В некоторых математических задачах или расчетах необходимо визуализировать геометрический объект, заданный с помощью одной вещественной непрерывной описывающей функции нескольких переменных в виде F(X)> 0. Также может возникнуть общая задача, в которой описывающая функция задана с помощью множества точек, в которых известно её значение.

Рис.1 Функциональное представление. Визуализирован объект, заданный функцией f(x,y,z)=0

f (x, y, z) 1

2 2 x 3, 92

y 2 1, 44 x 3, 9 2 y 2 1,

44 z 8

6,5

Медицина. Использование компьютеров дало возможность развиваться новым направлениям томографической интроскопии, таким как компьютерная томография (CT-computed tomography), магнитная резонансная томография (MRI-magnetic resonance imaging) и позитронная эмиссионная томография (PET-positron emission tomography). С помощью томографической аппаратуры можно получить снимки множества сечений тела пациента, которые характеризуют особенности его анатомии и физиологии. Эти снимки с чрезвычайной четкостью показывают различные органы, причем изображения органов не налагаются друг на друга. Методы визуализации позволяют реконструировать трехмерную структуру органов по множеству параллельных сечений.

Под визуализацией трехмерных скалярных полей понимается визуализация поверхности, заданной уравнением функции от трех аргументов и фиксированного значения этой функции - уровня.

(x, y, z) | f ( x, y, z) c,

где f(x,y,z) - это заданная функция, а с - заданный уровень. Множество точек, удовлетворяющее этой формуле, и есть искомая поверхность. Однако удобнее восстанавливать не саму поверхность, а поверхность, аппроксимирующую искомую с помощью треугольников. Такой способ визуализации называется триангуляцией.При решении задачи визуализации важную роль играет способ задания функции, которая описывает искомую поверхность. В большинстве прикладных задач функция задается таблично на регулярной сетке или имеет явное отображение, описываемое заданной формулой. Но часто возникают задачи, в которых поверхность задана неявным образом или таблица значений задана на нерегулярной сетке. Такие задачи могут возникать во многих приложениях, например, в задаче измерения расстояния до поверхности с помощью облучения или в задаче реконструкции трехмерной структуры с помощью множества контуров-срезов (в медицинских исследованиях). В таких задачах предлагается использовать следующий алгоритм действий: поверхность S, заданная выборкой X, аппроксимируется касательными плоскостями, проходящими через каждую точку выборки X. Затем искомая функция, задающая поверхность, считается следующим образом: для каждой точки P пространства R функция в этой точке равна расстоянию до ближайшей касательной плоскости, взятому со знаком плюс, если точка находится внутри объема, ограниченного построенными плоскостями, или со знаком минус, если точка находится вне этого объема. Затем проводится триангуляция поверхности, заданной с помощью получившейся функции.

Обычно сравниваются алгоритмы по следующим критериям:

Скорость работы Ошибка аппроксимации Количество сгенерированных треугольников (большое количество получаемых

треугольников, несомненно, негативно влияет на скорость отрисовки искомой поверхности, при этом тратится большое количество памяти).

Качество генерируемых треугольников

Для пояснения этого критерия необходимо ввести некий термин – «мера правильности треугольника». Это есть отношение меньшей стороны треугольника к большей стороне. Таким образом, мера правильности треугольника может принимать значения от нуля до единицы (для равностороннего правильного треугольника). Чем«компактнее» треугольник - тем правильнее освещение. Если учесть тот факт, чтобольшое количество треугольников невыгодно, то получается, что «идеальный» треугольник - тот, у которого максимальная площадь при заданном периметре. Это равносторонний треугольник. Таким образом, мера правильности треугольника обуславливает корректность освещения.

Обзор методов решения задачи триангуляции

Ячеечные методы (cell-based)

В методах такого типа происходит разбиение области триангуляции на ячейки –параллелепипеды или треугольные пирамиды. Далее производится триангуляция

поверхности в каждой ячейке отдельно. Причем каждая ячейка триангулируется одним из заданных ранее способов, т.е. значения координат для треугольников просто берутся из заранее заданной таблицы.Для применения методов этого типа необходимо задать допустимую ошибку аппроксимации, исходя из которой, следует выбрать размер ячейки - куба или тетраэдра (если быть точным - то треугольной пирамиды, т.к. тетраэдрами нельзя замостить пространство без пропусков и наложений.) После этого с помощью уже известных таблиц триангуляции можно получить искомое множество треугольников. При этом процедура триангуляции каждой ячейки сводится к анализу значений функции в вершинах этой ячейки - другими словами, определяется, какие вершины лежат внутри поверхности, а какие - снаружи. На основе этого можно сделать вывод о достаточности определения функции только в вершинах ячеек.Наиболее известные ячеечные алгоритмы: метод Канейро (Caneiro), метод,предложенный Гуэзеком (Gueziec), метод Скалы (Skala), метод «Марширующих кубов».

Метод типа предиктор-корректор (predictor-corrector)

Методы из этого класса основаны на добавлении к уже имеющемуся множеству точек триангуляции ещё одной, лежащей на касательной плоскости к заданной функции (это положение предиктора (predictor) - предсказанное) и затем передвижению её до визуализируемой поверхности (это положение корректора (corrector) - скорректированное).При использовании методов из этого класса необходимо знать значение функции во всех точках пространства и найти хотя бы одну точку, принадлежащую искомой поверхности. Метод заключается в наращивании треугольников - на каждой итерации метода к уже существующему множеству треугольников добавляется еще один, построенный на ребре крайнего треугольника и предсказанной (а затем скорректированной по кривизне поверхности) точки на поверхности.

Алгоритм "марширующих кубов"

Алгоритм «Марширующих кубов», предложенный Лоренсеном, можно разбить на два этапа:1. разбиение области G пространства R3 на конечное множество

ячеек,поиск ячеек пересекаемых искомой

поверхностью;2. аппроксимация поверхности в найденных

ячейках.Две эти подзадачи являются независимыми. Рассмотрим их подробнее.

Первый этап

На этом этапе необходимо:1. разбить область G на

ячейки,2. выбрать ячейки, которые пересекаются с искомой

поверхностью.После того как область G будет разбита на ячейки, значения функции, задающейповерхность, будут известны только в вершинах этих ячеек. Таким образом, на этом этапе ячейка является главной структурной единицей во всех алгоритмах.В тех задачах, в которых функция, задающая поверхность задана таблицей на регулярной сетке, проблема разбиения области G на ячейки сразу отпадает, ввидуоднозначности ее решения - ячейка должна быть параллелепипедом - для того, чтобы знать значения функции в вершинах ячейки. Если же функция задана явно, то ячейкуможно выбрать произвольной формы и размера. Однако следует учесть некоторые

проблемы, связанные с аппроксимацией искомой поверхности в ячейке. Если размер ячейки будет очень большим, то возможна большая потеря точности.

Рис.2. На схеме квадрат обозначает ячейку, овал - некий изгиб искомой поверхности.

Как видно из рис.2, при большом размере ячейки некоторые части искомойповерхности просто не будут видны. Однако выбирать ячейки очень маленькогоразмера не очень хорошо с точки зрения быстродействия метода. Поэтому размер ячейки надо выбирать не меньше допустимой погрешности построения искомой поверхности.Форма ячейки в алгоритме «Марширующих кубов» - параллелепипед. Однако это неединственно возможный вариант. Форма ячейки определяет дальнейшую триангуляцию ячейки. Пусть форма ячейки - многогранник с N вершинами, тогда сопоставим каждой ячейке N-битовый индекс, а каждой вершине - один бит в индексе. Причем, если вершина ячейки находится вне объема ограниченного искомой поверхностью, то значение этого бита <0>, иначе <1>. Тогда количество разных типовтриангуляции будет 2N. Отсюда видно, что использовать в качестве ячейки, например,икосаэдр не оптимально. Многогранник с наименьшим количеством вершин - треугольная пирамида. Именно она используется в качестве ячейки в алгоритмах Канейро, Скалы.Итак, допустим, что область G уже разбита на ячейки. Тогда главной проблемойстановится поиск ячеек пересекаемых искомой поверхностью. Пусть С - множество ячеек, тогда Cv - множество ячеек, пересекаемых поверхностью F(P)=v. Тогда можно считать, что поверхность пересекает ячейку, если существуют такие P1 и P2 - вершины ячейки, чтоF ( p1 ) F ( p2 )

(*)

Это условие выполняется, если справедливо неравенствоMinF ( pi ) MaxF

( p j ) i j

где pi и pj - вершины ячейки.

(**)

Таким образом, проблема свелась к следующему: из множества ячеек C выбратьподмножество ячеек Cv, удовлетворяющих условию (**). Рассмотрим далее проблему аппроксимации поверхности в ячейке.

Второй этап

Как уже было сказано, пространство разбивается на ячейки, и отбираются только те ячейки, в которых надо производить аппроксимацию. Таким образом, задачей второго этапа является аппроксимация поверхности в одной ячейке. Наиболее оптимальный способ аппроксимации - триангуляция. Посчитаем, сколько способов триангуляции имеет параллелепипед. Пусть имеется 8-битовый индекс. Тогда сопоставим каждой вершине один бит в индексе. Причем, если вершина ячейки находится вне объема ограниченного искомой поверхностью, то значение этого бита <0>, иначе <1>. Тогдаколичество разных типов триангуляции будет 28=256. Однако из рис.3 видно, что

способ триангуляции с индексом ( i ) совпадает со способом триангуляции с индексом( i

j ).

Рис.3 Cпособы триангуляции

Итого получается 128 различных способов триангуляции. Однако, используя симметрию и вращение, все 128 способов можно свести к 14:

Получив способ триангуляции, можно уже аппроксимировать поверхность в ячейке. К этому моменту уже известно количество треугольников, а для каждого треугольника известны ребра ячеек, на которых лежат его вершины. Остается найти точку на ребре ячейки, в которой поверхность ее пересекает. В случае явно заданной функции точку можно с большой точностью найти методами поиска корня, а в случае заданной таблично функции искомая точка находится с помощью линейной интерполяции двух вершин.

Алгоритм Канейро

Алгоритм Канейро [2], основанный на разбиении пространства на треугольные пирамиды, как и алгоритм «Марширующих кубов», состоит из двух этапов:

1. разбиение пространства на конечное множество ячеек, затем поиск ячеек пересекаемых искомой поверхностью;2. аппроксимация поверхности в найденных

ячейках.

Первый этап

Как уже было сказано, алгоритм использует в качестве ячеек треугольные пирамиды. Для этого пространство разбивается на параллелепипеды в соответствии с сеткой, на которой задана функция, а затем каждый параллелепипед разбивается на треугольные пирамиды. Такой же подход применяется в алгоритмах Скалы. Разбиение параллелепипеда на треугольные пирамиды по методу Канейро показано на рис. 4.

Рис. 4 Разбиение параллелепипеда на треугольные пирамиды

Однако при подобном разбиении <швы> <разрезов> не совпадают. Другими словами, стороны треугольников, полученных в результате триангуляции соседних ячеек, не

будут совпадать, что повлечет за собой появление <дырок>. Для решения этой проблемы предлагается разбивать параллелепипеды в <шахматном порядке> - по очереди меняя шаблон разбиения: с показанного на рис.4 на зеркальный, как показано на рис.5

Рис. 5 Разбиение параллелепипеда на треугольные пирамиды

Второй этапЗадача второго этапа - аппроксимация поверхности в ячейке. Для алгоритмов Канейро, Скалы, второй этап один и тот же - производится триангуляция треугольной пирамиды в соответствии со значениями функции в вершинах.Подсчитаем, число способов триангуляции треугольной пирамиды. Пусть имеется4-битовый индекс. Тогда сопоставим каждой вершине один бит в индексе, таким же образом, как и для параллелепипеда. Тогда количество разных типов триангуляции будет 24=16. Однако, используя симметрию и вращение, число способов можно свести к 3.

Рис. 6 Способы триангуляции треугольной пирамиды

Алгоритм Скалы

Алгоритм Скалы, относящийся к разряду ячеечных методов, был разработан для визуализации трехмерных скалярных полей, заданных с помощью функции,

определенной в каждой точке пространства. Однако, метод разбиения пространства на ячейки таков, что дает возможность использовать этот алгоритм для визуализации скалярных полей, заданных на регулярной сетке.

Рис. 7 Построение ячейки у параллелепипеда

Для разбиения пространства на ячейки метод Скалы использует узлы регулярной сетки, находящиеся в вершинах параллелепипеда, полученного тем же способом, что и в выше рассмотренных методах, и дополнительную точку, находящуюся на пересечении диагоналей этого параллелепипеда. Для вычисления значения функции в этой точке предлагается использовать линейную интерполяцию значений функции в вершинах параллелепипеда. Для каждого параллелепипеда, полученного из узлов регулярной сетки, строится ячейка способом, показанным на рис. 7. При таком разбиении для каждой ячейки используются <срединные> точки <соседних> параллелепипедов. На рис.10 это точки I,K,D. Итог этого разбиения - 12 треугольных пирамид (DEAC, DABC, DFBC, DFEC, IEAC, IAHC, IGHC, IEGC, KAHC, KHJC, KJBC, KABC).

Лекция №10. Визуализация линий тока. (Визуализация векторных полей.)

Определение линий тока. Алгоритм нахождения линий тока. Алгоритм построения линий тока. Если в каждой точке пространства М поставить в соответствие вектор r , в

результате получим векторное поле. В декартовой системе координатдвумерное векторное поле можно записать в видеr ( x, y) P( x, y)i

Q(x, y) j . Скалярные функции P, Q однозначно

определяют векторное поле. Через каждую точку М проходит одна линия тока. За исключением точек, где

поле не определено или r (M ) 0 , линии тока не пересекаются. В декартовых

координатах уравнение линий тока имеет вид

d x d y .P(x, y) Q( x, y)

Алгоритм нахождения линий тока

Алгоритм основывается только на информации, которая явно дана в узлах расчетной сетки. Внутри ячеек сетки информации нет. По определению линий тока, известно, что

в любой точке среды проходит только одна линия тока. Поэтому нужно определить правила, по которым можно быстро интерполировать векторное поле внутри ячейки, то есть интерполировать две координатные компоненты.Для нахождения линий тока векторного поля предлагается применить двумерный аналог метода Фонга. Алгоритм нахождение линий тока базируется на билинейной интерполяции вдоль отрезков прямой.

Описание алгоритмаПервый этап. Сначала происходит инициализация базовой точки на областиопределения векторного поля, которая будет определять одну линию тока. Механизм инициализации базовой точки может быть разный. Итак, пусть задана базовая точка ( xb , yb ) .Второй этап. Нужно определить, какой ячейке сетки принадлежит базовая точка. На этом этапе работают алгоритмы локализации точки. Время локализации точки зависит от типа разностной сетки. Можно предложить два метода:

1. Последовательный полный перебор ячеек. Рассмотрим текущуючетырехугольную ячейку с индексами: (i, j), (i+1, j), (i+1, j+1), (i, j+1). Вычисляется габаритный прямоугольник, описывающий ячейку. Если базовая точка не принадлежит описывающему прямоугольнику, то базовая точка не принадлежит ячейке, в противном случае, применяем следующий способ. Поскольку узлы ячеек легко ориентировать по часовой стрелке или против нее, то ребра можно рассматривать в виде векторов, относительно которых можно определить положение базовой точки. Если для каждого вектора базовая точка будет, в зависимости от ориентации, слева или справа, то она принадлежит ячейке.

Ymax

y

yb

Ymin

(i, j)

X min

(i, j 1)

( xb , yb )

x xb

(i 1, j 1)

(i 1, j)

X max

Рис 8. Текущая четырехугольная ячейка и габаритный описывающий прямоугольник.

2. В этом случае возможен полный перебор, только в худшем случае.Рассматриваются горизонтальная ( y yb )

и вертикальная ( x xb )

прямые,

которые пересекаются в базовой точке. Рассмотрим текущую четырехугольную ячейку с индексами: (i, j), (i+1, j), (i+1, j+1), (i, j+1). Сначала рассматриваются координаты абсцисс узлов ячейки. Если существуют узлы

с координатамиx1 , x2

:x1 xb

x2

или x1 xb x2 , то необходимо проверить факт

пересечения с вертикальной прямой. Если пересечения нет, то переходим к следующей ячейке. Проверка факта пересечения с вертикальной прямой аналогична проверке факта пересечения с горизонтальной, если ячейка же не пересекает вертикальную прямую, то переходим к следующей ячейке. Если

v v v v v v v

ячейка пересекает обе прямые, то ячейка анализируется первым способом. Естественно, такой подход сокращает число исследуемых ячеек.Следует заметить, эти методы пригодны только для выпуклых ячеек.

Y(i, j 1)

(i, j)( xb , yb

)

(i 1, j 1)

(i 1, j)

X

Рис 9. Текущая четырехугольная ячейка с ориентированными ребрами.

Третий этап.Пусть нам известно, что базовая точка принадлежит ячейке с индексами (i, j), (i+1, j), (i+1, j+1), (i, j+1). Векторное поле задано в узлах, поэтому нам надо восполнить значение векторной величины U в базовой точке.Предлагается применить алгоритм билинейной интерполяции по горизонтали или повертикали. Не ограничивая общности, допустим, что i=0, j=0, то есть рассматривается ячейка (0, 0), (1, 0), (1, 1), (0,1). Введем обозначения v1 (0,1),v2 (1,1), v3 (1, 0), v4 (0, 0) . Координаты векторов в узлах обозначим:( x , y ), ( x , y ), ( x , y ), ( x , y

).4 4 1 1 2 2 3 3

Алгоритм геометрического восполнения

заключается в билинейной интерполяции двух векторных векторов.

Ymax

y yb

Ymin

B

(0, 0) v4

(0,1) v1

( xb , yb )

C

(1,1) v2

(1, 0) v3

X min x xb

X max

Рис. 10 Текущая ячейка с базовой точкой, внутренними отрезками сканирующих прямых BC и DE.

1

C

1

C

1 4 2

v

v

v

v

Алгоритм графического восполнения векторных величин внутри ячеек осуществляется вдоль прямой сканирования, которая проходит через локализованную базовую точку ( xb , yb ) текущей ячейки.Для сканирующей прямой находятся точки пересечения с ребрами ячейки. Обозначим их B, C. Теперь в эти точки необходимо интерполировать значения U из узлов ребер. Интерполирование значение векторной величины U подразумевает интерполирование координат вектора ( x, y) . Воспользуемся линейной интерполяцией:

xB txv (1t)x ,

4

x t*

x2

(1 t* )x ,3

yB tyv (1 t) y ,

4

y t*

y2

(1 t* ) y ,3

где параметры t, t* : 0 t 1, 0 t* 1; t v B v B , t* v C v C .Вторая интерполяция. Линейно интерполируем значение координат векторов из точек В, С в точку ( xb , yb )

xb pxB (1 p) xC ,

yb pyB (1 p) yC , 0 p 1, p

.AB AC , A ( xb , yb )

В результате мы получили приближенное значение искомой векторной величины U в базовой точке.Четвертый этап. Мы определили направление движения линии тока от базовой точки. Теперь нужно найти приближенную кусочно-линейную траектория линии тока.

Метод 1.Эмпирически задается длина элементарного шага смещения от базовой точки вдольвектора U. Например, длина шага ориентировочно определяется

некоторым соотношением габаритов области определения. Зная направление шага и его длину,однозначно определяется следующая точка линии тока A1 . Если

векторAA1 не

пересекает ни одного ребра ячейки, то точка A1 лежит в текущей ячейке, тогда нужноповторить третий этап, в другом случае линия тока переходит в другую ячейку, и она определяется однозначно по пересеченному ребру. Следовательно, меняется текущая ячейка, и мы переходим к третьему этапу. Продолжая, таким образом, последовательно определяем линию тока.Метод 2.Этот способ является более быстрым, но менее точным, он базируется на одной линейной интерполяции вдоль ребра ячейки. Из базовой точки выпускается вектор по найденному направлению до пересечения с каким-нибудь ребром ячейки. Точкапересечения A1 считается следующей точкой линии тока, и она переходит вследующую ячейку. Далее переходим к третьему этапу, в этом методу происходит только одна интерполяция векторной величины вдоль пересекаемого ребра. Врезультате в точке A1 получает значение величины U. Затем из

точкиA1 выпускается

вектор в новом найденном направлении до пересечения с ребром данной ячейки. Процесс повторяется.

Следует учесть, из базовой точки мы строим линии тока, двигаясь вперед, в этом случае мы строим линию тока не полностью. По описанному алгоритму легкопродолжить линию тока в обратном направлении от базовой точки. Для этого необходимо использовать вектор, обратный вектору элементарного смещения.

c

Лекция №10. Множества Жюлиа, множество Мандельброта и их компьютерное представление.

Комплексные динамические системы. Итерации рациональной функции R(z)=P(z)/Q(z). Периодическая точка и периодическая траектория (цикл), собственное значение точки z0 . Классификация периодических точек. Бассейн притяжения. Определение и фундаментальные свойства множества Жюлиа. Динамика в окрестности нейтральных периодических точек. Параболический случай. Множества Жюлиа для трансцендентных отображений. Множество Мандельброта для квадратичного отображения. Построение множества Мандельброта

Вероятно, нельзя привести пример такого компьютерного эксперимента, который впечатлением от результатов превосходил бы то чувство удивления и восхищения, которое вызывает графическое построение множеств Жюлиа и множества Мандельброта на плоскости.Ограничимся рассмотрением функции, которая представляет собой полиномы одного комплексного переменного. Пусть

n n 1

f (z) an z

an1

z... a1 z a0 ,

an 0.

полином степени n 2

коэффициенты которого комплексные числа. Множество

Жюлиа функции f, обозначаемое J(f), определяется какJ ( f ) {z :

f ( n ) (z) ,

n }

Таким образом, множество Жюлиа f есть граница множества точек z, стремящихся к бесконечности при итерировании f(z). Множество названо в честь французского математика Гастона Жюлиа (1893-1978), который одновременно с Пьером Фату (1878- 1929) в 1917-19 гг. написал основополагающие статьи по итерированию функций комплексного переменного. Еще раз мы видим впечатляющий пример математических исследований, которые далеко опередили свое время в том смысле, что потребовалось более 50 лет, прежде чем компьютерная графика достигла уровня, позволяющего наблюдать эти математические объекты. Можно написать простую программу для построения заполняющего множества Жюлиа. Заполняющее множество Жюлиа состоит из точек, орбиты которых пойманы, в отличие от границы этого множества, которое и является настоящим множеством Жюлиа. Заполняющие множества более привлекательны визуально и именно по этой причине наиболее часто реализуются программно. Такая программа наилучшим образом работает в случае множества Жюлиа, обладающих притягивающей периодической орбитой. В первую очередьрассмотрим множества Жюлиа квадратичных функций комплексная константа.

f (z) z2 c, с-

Приведем примеры изображений множеств Жюлиа для различных с.

c n

c

c

c=0.32+0.043i c= - 0.39054-0.58679i

Множество МандельбротаМы убедились в том, что множество Жюлиа функции z2

c,обладают большим

разнообразием. Действительно, для каждого нового значения с мы получаем впечатляющие изображения. Тем не менее, на самом деле существуют всего два типамножеств Жюлиа. Каждое множество Жюлиа функции либо вполне несвязно.

f (z) z 2

c,либо связно,

Множество Мандельброта служит индикатором двух типов множеств Жюлиа функцииz2 c . Каждая точка в множестве Мандельброта представляет значение с, длякоторого множество Жюлиа J ( fc

)связно. Каждая точка из дополнения к множеству

Мандельброта представляет значение с, для которого

J ( fc

)вполне несвязно.

Множество Мандельброта М для полинома f (z) z 2

c,определяется как

M {c C :{ f ( n )

(0)} ограничена}.

Лекция №11. Системы итерированных функций (СИФ).Метрика Хаусдорфа. Фрактал как аттрактор СИФ. Сжимающие отображения на пространстве фракталов. Примеры СИФ, задаваемые композиций аффинных отображений. Теорема Барнсли о коллаже. "Дуновение ветра" - непрерывная зависимость аттракторов СИФ от параметров. Анимация фрактальных изображений.

Опишем хорошее пространство, в котором и будем изучать геометрию фракталов. Мыбудем работать в некотором полном метрическом пространстве, таком как ( R2 ,эвклидова метрика) или (С, сферическая метрика), которое будем обозначать (X, d).Для описания фракталов удобнее ввести пространство к описанию которого мы и перейдем.

Определение 1. Пусть (X, d) - полное метрическое пространство. Тогда H(X)обозначает пространство, элементами которого являются компактные подмножества X, исключая пустое множество.Для того, чтобы оценивать близость между элементами H(X), введем так называемую метрику Xаусдорфа следующим образом.Определение 2. Пусть (X, d) - полное метрическое пространство x X, B H(X )

,тогда расстояние от точки x до множества B определяется какd ( x, B) min{d ( x, y) : y B}.

1

Определение 3. Пусть (X, d) - полное метрическое пространство,

A, B H ( X ) , тогда

d ( A, B) max{d ( x, B) : x A} называется расстоянием от множества А до множества В.

Для иллюстрации этого определения рассмотрим следующий пример:

A {x , x : x2 x2 4}1 2 1 2

B {x , x : x2 x 2 1}1 2 1 2

x2

2 x1

Тогда легко видеть, что d ( A, B) max{d (x, B) : x A} 1,d (B, A) max{d ( x, A) : x B} 0.Можно сравнить также расстояния d ( Россия, Москва) и d ( Москва, Россия ). Определение 4. Пусть (X, d) - полное метрическое пространство. Тогда хаусдорфоворасстояние между элементами A, B H (

X )определяется как

h( A, B) d ( A, B) d (B, A) max{d ( A, B); d (B, A)}.Оказывается, что функция h(A,B) удовлетворяет всем аксиомам метрики, и (H(X),h) является метрическим пространством. Более того, справедливаТеорема 1. Если (X, d) - полное метрическое пространство, то (H(X),h) - тоже полноеметрическое пространство относительно метрики Хаусдорфа. Более того, если

{An H ( X )}n1

- последовательность Коши, то имеет следующую структуру

A lim An H ( X )

n

что lim xn x} .n

A {x X : последовательность Коши {xn : xx An } такая,

Мы обратимся теперь к одному из наиболее замечательных и глубоких достижений в теории фракталов - системам итерированных функций или IFS (Iterated Function Systems). Математические аспекты теории были разработаны Джоном Хатчинсоном (John E. Hutchinson, Fractals and Self Similarity, Indiana University Mathematics Journal, v.30, N 5. 1981, pp. 713-717.), a сам метод стал хорошо известен благодаря Майклу Барнсли (Мichael Barnsley, Fractals Everywhere, Academic Press, Boston, 1988).Подход на основе систем итерированных функций представляет хорошую теоретическую базу для математического исследования многих классических фракталов, а также их обобщений.

Следует иметь в виду, с самого начала, что результат применения IFS называемыйаттрактором, не всегда является фракталом. Это может быть любой компакт, включая интервал или квадрат. Тем не менее, изучение систем итерированных функций важно для теории фракталов, так как с их помощью можно получить удивительное множество красивых фрактальных изображений.

Для определения IFS рассмотрим вначале ковер Серпинского, который строится следующим образом

n=0, S0

n=1, S1

удаляется средняя часть.n=2, S2

Это множество было придумано Вацлавом Серпинским в 1915 году, а сам термин«ковер (gasket) Cерпинского» принадлежит Бенуа Мандельброту.Рассмотрим теперь произвольное аффинное преобразование Т пространство Rn ,которое можно представить в следующем виде: T (x ) Ax a,

x Rn

В случае плоского пространства R2 имеем

Так, например, для ковра Серпинского аффинные преобразования показаны на следующем рисунке

T3

T1

T2

В матричной форме они имеют следующий вид

22

1

1

x1 1 2 0T x1 0

,1 x 0 1 2x 0

2 2 x1 1 2 0T x1

1 2,

x2 0 1 2x2

0

x 1 2 0 x

1 4 T1 x

01 2

x

3 4

2 2 Рассмотрим теперь два других метода построения ковра Серпинского: детерминированный и рандомизированный.В детерминированном алгоритме рассматривают следующую последовательностьмножеств:E0 - компактное множество (произвольное),

E 1 T1 (E0 ) T2 (E0 ) T3 (E0 )En T1 (En 1 ) T2 (En 1 ) T3 (En1 )Если в качестве E0 выбрать замкнутую треугольную область S0 , то множества En

построенные указанным способом, будут те же, что и при удалении центральных треугольных частей.В рандомизированном алгоритме в качестве начального множества выбирают одну точку:x0 - начальная точка (произвольная)

x1 T1 ( x0 ) or T2 (x0 ) or T3 (x0 )xn T1 ( xn-1 ) or T2 (xn-1 ) or T3 (xn-1 )На каждом шаге вместо того, чтобы применять сразу три преобразованияT1

(S),T2 (S ),

T3 (S) , мы используем только одно, выбранное случайным образом.

Следовательно, на каждом шаге получаем ровно одну точку. Оказывается, что после некоторого переходного этапа точки, полученные в результате выполнения рандомизированного алгоритма, в точности заполняют ковер Серпинского. Замечательным свойством алгоритма, основанного на теории IFS, является то, что ихрезультат (аттрактор) совершенно не зависит от выбора начального множества

E0 или

начальной точки x0 . В случае детерминированного алгоритма это означает, что в

качестве E0 можно взять любое компактное множество на плоскости: предельноемножество будет по-прежнему совпадать с ковром Серпинского. В случае

23

рандомизированного алгоритма, вне зависимости от выбора начальной точки после некоторых итераций точки начинают заполнять ковер Серпинского.В общем случае, для того, чтобы построить систему итерированных функций (IFS)введем в рассмотрение совокупность сжимающих отображений, т. е. такихотображений, что

x0 ,

d (T ( x),T ( y) sd ( x, y), 0 s 1,

x, y X

Рассмотрим набор сжимающих отображенийT1 с коэффициентом сжатия s1 1T2 с коэффициентом сжатия s2 1Tm с коэффициентом сжатия sm 1действующих на X. Эти m отображений используются для построения одного сжимающего отображения T в пространстве H(X) всех непустых компактов из X.Преобразование Хатчинсона T : H H

определяется следующим образом

T(E) T1 (E) T2 (E ) ... Tm (E),

E H .

Это преобразование ставит в соответствие «точкам» из H также «точки» из H, причем под «точками» здесь понимается компактные множества.Теперь можно ввести центральноеОпределение 5. Системой итерированных функций (IFS) называется совокупностьвведенных ранее отображений вместе с итерационной схемой:E0 - компактное множество (произвольное)E1 T (E0 )En T (En1 ),

Основная задача теории IFS - выяснить, когда IFS порождает предельное множество E:E limEn

n

в смысле сходимости в метрике Хаусдорфа. Если предел существует, то

множество Е называется аттрактором системы итерированных функций. Причем аттрактор часто ( но не всегда !) оказывается фрактальным множеством. Очевидно, для того чтобы обеспечить сходимость, требуется наложить определенные ограничения на введенные выше преобразования, к примеру запретить точкам уходить на бесконечность.Мы уже представили основные идеи, необходимые для установления условий сходимости. Если нам удастся показать, что T является сжимающим отображением на метрическом пространстве (H(X), h), то мы сможем применить теорию сжимающих отображений. В этом случае аттрактор Е будет представлять неподвижную точку отображения Т.СправедливыТеорема 2. Преобразование Т является сжимающим отображением на H(X). Его коэффициент сжатия равен: s max{s1 ,..., sm } ;иТеорема 3. Пусть T1 ,T2 ,...T

m

- сжимающие отображения на Rn . Для произвольного

начального множества E0 H , система итерированных функцийEn T (E n

1 ),n 1, 2...,

сходится в метрике Xаусдорфа единственному

множеству E H . Множество Е называется аттрактором IFS. Обратно, множество Е

можно представить в виде: E lim T ( n ) (E

n 0 ) , где T ( n )

(E0 ) T (T (...T (E0 ))) .

Реализация IFS Пусть IFS задано аффинными преобразованиями:

i ii

a b e T ( x) x

,i 1,..., m.

ci d i f i Будем хранить все коэффициенты в одной матрице С размера m 6

a1 b1 c1 d 1

e1

f1

C a2 b2

c2 d2

e2

f2

am bm cm dm

em

fm

которая называется таблицей IFS кода.Рандомизированный алгоритм отличается от детерминированного, главным образом, двумя факторами. Во-первых, начальное множество содержит всего одну точку. Во- вторых, на каждом шаге используется только одно аффинное преобразование из всей совокупности преобразований, задающих IFS, которое выбирается случайным образом. Полученное множество также содержит ровно одну точку, которая сразу же выводится на экран и используется для вычисления следующей итерации. Следовательно, отпадает необходимость хранить все точки, кроме текущей.Аффинное преобразование T (x ) Ax a уменьшает ( или увеличивает) площади в|det(A)| раз. Для того, чтобы в процессе случайного выбора преобразования с малым детерминантом не появлялись слишком часто, имеет смысл производить выбор с вероятностями, пропорциональными детерминантам. Для этого определим веса

n

p1 , p2 ,..., pm

:p j | det( Aj ) | / | det( Ai ) |,

i1

j 1...m

где Ai - матрица аффинногопреобразования

Ti

,i 1,...m .Очевидно,

p1 .... pm 1, то есть определенные нами весасуть вероятности. В

рандомизированном алгоритме преобразование Ti

выбирается с вероятностью

pi .

Приведем пример IFS c помощью которой можно получить фрактальное изображение.

Лекция №12. Основные понятия, используемые при анализе изображений.

Вводится понятие о различных типах изображений. Описываются особенности зрительной системы человека.

Изображения можно разделить на два больших класса: семантические, т.е. смысловые:

и текстурные:

В процессе длительной эволюции зрительная система человека приспособилась обнаруживать, опознавать и классифицировать не любые произвольные распределения яркости, спроецированные зрачком на сетчатку глаза, а лишь те, которые создаются объектами внешнего мира. В этом легко убедиться, если попытаться обнаружить шумовой узор («шумовой объект») на фоне шумового поля. Эта задача решается с трудом, путем поэлементного сравнения обоих изображений, тогда как на другом рисунке любой объект (колеса, сиденье ...) находится легко и быстро. Отмеченная особенность зрения широко используется в природе для целей камуфляжа. Так, например, неправильной формы полосы на шкуре тигра делают его плохо различимым в зарослях.

Характерной особенностью изображений реальных объектов является то, что они состоят из областей, разделенных более или менее резкими световыми границами, внутри которых яркость и цвет изменяются сравнительно медленно. Эти световые границы (контуры) передают форму объекта и являются основой для его опознавания. Из опыта известно, что информации, содержащейся в контурах, как правило, вполне достаточно для безошибочного узнавания объекта. Так, например мы легко узнаем лицо знакомого человека по контурному рисунку.

Лекция №11. Постановка проблемы выделения перепадов яркости и разрывов численного решения.

Излагается общий подход к проблеме определения положения сильных разрывов при численном решении задач динамики сплошной среды с помощью однородных разностных схем. Сущность подхода состоит в привлечении идей и методов теории цифровой обработки изображений, в частности методов выделения перепадов яркости.

В настоящее время сквозной расчет разрывных решений широко используется при численном моделировании газодинамических течений. Такой подход реализован в многочисленных разностных схемах, в методе конечного объема, в методе конечных элементов. При использовании схем сквозного счета сильные разрывы решения«размазываются», то есть в результате разрыв в численном решении представляетсобой область с большими градиентами.

Размер этой области по направлению к нормали к поверхности разрыва составляет несколько интервалов пространственной расчетной сетки (зависит от конкретной схемы, порядка схемы …). Такой вид решения затрудняет интерпретацию полученных результатов, поскольку глобальная точность численного моделирования поведения сплошной среды значительно зависит от того, с какой точностью передается поведение ее разрывов.

Рассмотрим следующее соответствие терминов, используемых в разностныхсхемах и при цифровой обработке изображений.

Численное решение Цифровое изображениеШаблон разностной схемы Окно изображенияЯчейка пространственной сетки Пиксель (воксел)Сильный разрыв Перепад яркостиРазмазывание разрыва Расфокусировка изображенияПаразитные осцилляции решения “Шумы” изображенияЛокализация разрыва Детектирование перепадовСглаживание решения Сглаживание функции интенсивности

Лекция №13. Этапы обработки изображений.

Описываются основные этапы предварительной обработки изображений. Приводится ряд применяемых на этих этапах алгоритмов.

Основные этапы обработки изображения заключаются в следующем.

ФОРМИРОВАНИЕ ИЗОБРАЖЕНИЯВвод изображенияПредварительная обработка изображения

СЕГМЕНТАЦИЯ ИЗОБРАЖЕНИЯ

АНАЛИЗ ИЗОБРАЖЕНИЯВычисление признаковРасчет дискриминантных функцийКлассификация

В нашем случае ввод изображения – это получение численного решения. То

есть, пусть получено численное решение 2-мерной задачи – набор 2-мерных массивов

параметров (давление, плотность …). Будем интерпретировать каждый массив как цифровую форму изображения. То есть имеется матрица S, значение sij – яркость в заданном пикселе.

Операции предварительной обработки состоят в том, что на входе операции имеется изображение, и после выполнения операции также получается изображение.

При применении операций анализа изображения на входе – изображение, а результатом распознавания может быть, например, совокупность чисел, являющихсязначениями некоторого набора признаков, характеризующих изображение. Например, признаками могут быть: площадь объекта, периметр объекта, координаты центратяжести объекта и т.д. Это может быть также и текстовая информация.

В предварительной обработке изображения можно выделить два основных типаопераций: преобразование координат и преобразование яркостей. Примеры преобразования координат: выделение области с увеличением (zoom), изменение масштаба, сдвиг, поворот, отражение.

Для создания эффекта искажения изображения можно применитьпреобразование «волна», заключающееся в смещении пикселей исходного изображения согласно правилу:

2 x x1 x x0 sin x y y y

sin 2 y

1 0

y

где x, y – декартовы координаты пикселя в исходном изображении, x1, y1 – его декартовы координаты в преобразованном изображении, x0, y0 – задаваемые амплитуды, x, y – длины искажающих волн по соответствующим координатам.

Рассмотрим преобразования яркости. Простейшая операция преобразованияяркости – поэлементное преобразование. В этом случае значение яркости пикселяпосле обработки определяется только значением его яркости до обработки. То есть результат обработки не зависит от значений яркости соседних элементов.

Примерами таких операций преобразования ахроматического изображения, имеющего 256 градаций яркости, являются, например:бинаризация: F(x)=0, если x<c, F(x)=255, если xc; инвертирование: F(x)=256-x;

0, 0 x c1

выделение поддиапазона: 256x c1 /c2

c1 ,c1 x c2 , где c1, c2 – задаваемые

константы.

255, c2 x 255

Алгоритмы свертки изображения “затрагивают” и другие пиксели. На практике чаще всего используются свертки с окном 33. Приведем примеры часто используемых масок.

Низкочастотный фильтр – подавляет высокие частоты и пропускает низкие:

1 2 3 2 12 6 8 6 2

01

05 0 1 0 0 1 0 1 1 1 1 1 1 1 2 1

1 1 1 ,1

1

2 1 ,1

13 1 ,

1 1

11,

1 1 2 1 ,

1

22 2 ,

1

38 12 8 3 .

5 5 5 6

01

00 1

5

70 0 1

9 10 140 1 1 1 1 1 1 1

1002 1 2 6

1 28 6 23 2 1

Отличительная особенность: сумма всех элементов равна 1 и центральный элемент не меньше остальных элементов. При использовании таких фильтров происходит размывание границ.

Высокочастотный фильтр – повышает резкость изображения, но подчеркивает импульсные шумы:

0 1 0 1

1

1 1 2 1

1 5 1, 1 9 1, 2

5 2 .

0 1 0 1

1

1 1 2 1

То есть, например, если решение получено по разностной схеме, дающий осцилляции в окрестности разрыва, разумно провести сглаживание решенияизображения, а затем уже, если понадобится, применять высокочастотный фильтр.

Свертки с курсовыми градиентами позволяют подчеркивать границы только определенного направления, например:

1 1«Север» 1 2

1 1

1 11 , «Юго-запад» 11 1

1 12 11 1

Лекция №14. Выделение разрывов в численном решении.

Излагаются требования, предъявляемые к алгоритмам обнаружения перепадов яркости. Приводятся соответствующие алгоритмы.

Поскольку нас интересует положение разрывов, то особый интерес представляет сегментация изображения. Алгоритмы, предназначенные для обнаружения перепадов яркости (детекторы перепада) должны удовлетворять требованиям:

1) быть достаточно экономными в смысле вычислительных затрат (машинное время, память);2) быть изотропными – обнаруживать перепад независимо от его ориентации;3) обладать устойчивостью к шумам;4) быть универсальными (не зависеть от конкретной задачи);5) качество выходной информации должно удовлетворять требованиям,предъявляемым процедурами дальнейших обработок.

Будем применять локальные методы, основанные на вычислении градиентафункции интенсивности изображения. Рассмотрим функцию

f x1 , x2 ,соответствующую какому-либо параметру течения, например плотности на сетке из M1 M 2 точек. В качестве функции f можно брать и другой параметр, например энергию или температуру.

29

Е. Ю. Ечкина, С. Б. Базаров,

1

И. Н. Иновенков «Визуализация в научных исследованиях»

В каждой точке (i,j) воспользуемся детектором перепадов Собела для окна изображения 3 3 :

1 2 1 1 0 1 f i1, j 1 f i, j1

f i1, j 1

H1

00 0 , H 2 20 2,F

f i1, j f i,

j

f i1, j ,

1 2 1 1 0 1 f i1, j 1 f i, j1 f i1, j1

и вычислим выражения – дискретные свертки данного окна изображения с масками H1 и H2 ( x1 и x2 – шаги расчетной сетки по координатам x и y соответственно):S1

H1

* F f

i1, j1

2 f

i, j1 fi1, j1

f

i1, j1 2 f

i , j1

fi1, j1 ,

S2 x2 / x1 H2 * F x2

/ x

fi1, j1

2 f

i1, j fi1, j1

f

i1, j1

2 f

i1, j fi1, j1

,1

тогда величина градиента gi , j f функции f в точке i, j: gi, j S 2 S 2 , а

ориентация вектора градиента в центре ячейки i, j: i j

8x21 2

arctanS1 / S2 .

Вычислим среднее значение градиента по всему расчетному полю:T gi j / M1

M2 i , j

и из множества всех точек i 1,2,..., M1 , j 1,2,..., M2

выберем те, в которых gi j T

(то есть точки, в которых градиент превышает среднее

значение). Обозначим это множество точек через N1.

Поскольку при решении по схеме сквозного счета разрывы “размазаны”, то во множество N1 попадают не только пиксели истинных перепадов, но и близлежащие. Для их исключения применим метод подавления немаксимумов, при котором

30

rl

исключается конкуренция между собой соседних точек, расположенных вдоль перепада. Принимая во внимание, что i j определяет направление, нормальное к

поверхности разрыва, определим две соседних с i, j

ячейки il , jl

и ir , jr ,

задающих ближайшее к этой нормали направление. При этом если A A A p /

,то il , jl

и ir , jr меняем местами (такое упорядочивание, отвечающее закону

возрастания энтропии на ударной волне, будет использовано на этапе классификации разрывов). Из точек множества N1 оставим такие, в которых одновременно

1 2

i

выполняются условия gi, j gil jl , gi j gir jr , и обозначим это множество точек через

N2.

Реально на практике значение i j аппроксимируется одним из восьми направлений из центра пикселя (i,j) на центры соседних ячеек, при этом углы i j 0 заменяются на

2

. Пример с конкретными значениями

il , jl

и

ir , jr

схематично выглядит

следующим образом.

i 1, j 1 i, j 1

i 1, j 1

i 1, jil i 1, jl j

i, ji j 0 , Al Ar ir

i 1, ji 1, jr

j

i 1, j 1 i, j 1

i 1, j 1

Рассмотрим максимальную разность между значениями углов – направлений нацентры соседних ячеек maxarctanx2 / x1 , / 2 arctanx2 / x1 .

Длясохранения свойства линейной протяженности перепада исключим изолированные выбросы интенсивности изображения. А именно из точек множества N2 оставим те, вкоторых il jl i

j

, ir jr

–i j

одновременно. Поиск изолированных

артефактов осуществляется рассмотрением круговой окрестности каждой точки

радиусом R Q

x 2

x 2

. Точка удаляется из множества в том случае, если в этой

окрестности нет других точек перепада (обычно используется константа Q1.5). Обозначим множество оставшихся точек через N3.

Y

Z fi-1, j+1, k+1fi-1, j, k+1

fi, j+1, k+1fi, j, k+1

fi+1, j+1, k+1fi+1, j, k+1

X fi-1, j-1, k+1 fi, j-1, k+1 fi+1, j-1, k+1

fi-1, j+1, k fi, j+1, k fi+1, j+1, kF= fi-1, j, k fi, j, k fi+1, j, k

fi-1, j-1, k fi, j-1, k fi+1, j-1, k

fi-1, j+1, k-1 fi, j+1, k-1 fi+1, j+1, k-1fi-1, j, k-1 fi, j, k-1 fi+1, j, k-1fi-1, j-1, k-1 fi, j-1, k-1 fi+1, j-1, k-1

3 / 3 0 3 / 3 2 / 2 0 2 / 2 3 / 3 0 3 / 3

2 / 2 0 2 / 2Hx= -1 0 1

2 / 2 0 2 / 2

3 / 3 0 3 / 3 2 / 2 0 2 / 2 3 / 3 0 3 / 3

Заметим, что существуют и детекторы перепада яркости, использующие окноi, j 1 i 1, j 1

изображения F22

i, j i 1, j

, например детектор Робертса с масками

1H3 1

1 1

1, H4

1

1, но все они крайне чувствительны к шумам изображения.

1

Следует также отметить, что распознавание контуров объектов человеком даже с не очень хорошим зрением аналогично применению масок размерностью как минимум 3232.

Лекция №14. Выделение разрывов в трехмерном численном решении.

Приводится алгоритм локализации разрыва численного решения в трехмерном случае.

Методика легко распространяется на трехмерный случай. Рассмотрим окно изображения f размером 3 3 3 , центрированное в вокселе (i,j,k)

и применим к нему для вычисления составляющей градиента Gx оператор

Операторы для вычисления компонент Gy и Gz получаются при соответствующих изменениях ориентации Hx. Свойством этих операторов является то, что они дают наилучший (по методу наименьших квадратов) плоский контур между двумя областями различной интенсивности в трехмерной окрестности. Величина градиентаопределяется как gf x, y, zGx G

y

Gz .

2 2 2

Рассмотрим тестовый пример ступенчатого перепада, когда в качестве изображения берется массив данных на равномерной по всем трем координатам сетке, в котором от нуля отличны только значения в точках, лежащих на ребрах произвольного куба (для определенности полагаем все их равными единице). Те точки, в которых выполняется

неравенство gi, j,k

g i j ki1...Mx , j1...M y ,k 1...Mz

/ M x M y M z , приведены на рисунке

(Mx, My, Mz – количество ячеек расчётной сетки по соответствующим координатам).На таком идеальном перепаде использование окна 3 3 3граней “толщиной” в три ячейки.

приводит к выделению

Для утончения размазанного перепада яркости возможно применение следующей

процедуры. Пусть N

0

– множество всех точек изображения. Число точек во

множестве будем обозначать буквой L, тогда число точек множества N 0 –

LN 0M x M y M z . Во множество N

включаем те точки множества

N 1, в которых выполнено условие

gi, j,k g i j k

/ LN 1. При

i, j ,kN 1

применении такой итеративной процедуры (применение которой, заметим, возможно и в случае двумерных изображений) происходит “удаление” более слабых (по интенсивности) разрывов с одновременным утончением относительно более сильных.

Лекция №15. Классификация разрывов численного решения.Описываются требования к алгоритмам распознавания. Приводится алгоритм распознавания типов газодинамических разрывов.

Наряду с положением разрыва течения необходимо знать его тип: Например, выделенный нами разрыв – это ударная волна или контактный разрыв. То есть необходимо уметь извлекать не только геометрическую, но и физическую информацию. Распознавание основано на сходстве образов, принадлежащих одному и тому же классу образов, и различии между образами, принадлежащим различным классам. Дискриминантные методы распознавания используют определенные математические формализмы для описания исходных данных образа.

Классификация образов – отнесение их к заранее известному типу. Требованияк признакам:1) инвариантность (все объекты, принадлежащие одному классу, обладают этим

признаком);2) информативность (устранение такого признака из алгоритма классификации

существенно увеличивает меру неопределенности при классификации);3) универсальность (независимость формы функциональных зависимостей, по

которым вычисляются признаки, от специфики конкретной решаемой задачи);4) минимальность общего количества признаков (не использовать

малоинформативные);

l

l

5) инвариантность признаков к местоположению и ориентации объектов.

Построение признаков, репрезентативных для соответствующего класса.

Рассматривается течение невязкого сжимаемого идеального нетеплопроводного газа. Описание такого течения проводится в переменных Эйлера. Двумерные нестаци- онарные уравнения берутся в виде следующей системы:

t

u

x

v 0 , y

u

t x

u 2 p

y

uv 0 ,

v

t x

uv

y

v 2 p0 ,

e

t

e pu

x

e pv 0 . y

Здесь t – время, x, y – декартовы координаты, u, v – компоненты вектора скорости по xи y соответственно, – плотность, p – давление, e – удельная полная энергия. Система

2 2 uзамыкается уравнением состояния в виде: p

1e

v , где – показатель ади-

2

абаты газа.

На любом разрыве выполняются условия (D – скорость рассматриваемого разрыва, u u n, u ):

l r D

l un

l r

un r

, (1)2 2

l u n r u nD lu n

p l

r u n p r , (2)

l r l r

l u

n

– D u

r u n

– D u

, (3)

l u n

l l r r

D e l p l / l u l D2

r u n

D e r p r / r u r D2 . (4)

Соотношения (1)-(4) выполняются также в точках, где решение непрерывно, в частности на волнах сжатия и волнах разрежения.

На ударных волнах существует поток вещества через разрыв:

l u

n

D r

u n

– DJ 0 . Отсюда и из (3) следует отсутствие

разрыва

тангенциальной составляющей вектора скорости u l

u r

. Согласно теореме

Цемплена u n l u n r . Выполняются условия Рэнкина-Гюгонио: (1), (2) иe l p l / l u n – D / 2 e r p r / r u n – D

/ 2 . Если uu

0 – это

2 2l r l r

нормальная, u l

u r

0 – косая ударная волна.

На контактных разрывах нет потока газа через поверхность разрыва J=0.Привлекая (1) и (2) получим непрерывность давления p l p r 2 2

на контактном разрыве

и условия l

r el e r

0 , u n

l u

n r

. В случае чисто контактного разрыва

выполняется соотношение: u l

u r

, а в случае тангенциального разрыва –

u lu r

.

a

1

1, t / x 1 ,

Точки разрывов (xi,yj) являются объектами, подлежащими классификации. В каждойточке множества N3 вычислим выражения для a 1a

7

— дискретных аналогов

признаков типов разрывов ( t – расчетный шаг по времени):

a 1i, j1 sign u n / n i j ,a 2i, jsign i j

– i j

sign i j

– i j ,

l l r r l l r r

b 3i, jx 1/ p i j / p / n

i j , B 3

a 3i, jb 3i, j/ B 3 ,

maxi, jN

3

b 3 ,

b 4i, jt u n / n i j ,B 4

a 4i, jb 4i, j/ B 4 ,

max b 4i, jN 3

1, A l A r

/ maxA l , A r 1

a 50, A A

/ maxA , A

,

l r l r 1

1, t / x 1

u 6 0, t / x 1 u

l u

r

l u

r

2,

2

a 7 0, t / x u

u r 3

u r 3 1, 2 , 3 – задаваемые положительные константы.Выбор первого признака обусловлен тем, что в зоне размазанной ударной волны и в

зоне волны сжатия должно выполняться условие un / n 0 . Величина un / n

вычисляется по формуле un /

nij

un / xij

cosij un / yij

sinij ,

u n / x ij 1 / 2x 1H3F22 u n , i, j, u n/ yij

1 / 2x 2 H4 F22u n,

i, j .i, j 1 i 1, j 1

Используется окно изображения F22

i, j i 1, j

и маски

1 1 1 1

Второй признак использует то, что на ударной волне

sign l r sign l r 2 , а на контактном разрыве

H3

1 1,

H4

1

1 .

sign l r sign l r

0 . Здесь

p /

– 1 , а в формулах участвуют не1 1 1

сами параметры, а усредненные значения i j H5 F22 ,i, j, H5

4 1 1. Ситуация

i j

– i j

0,

i j

– i j0 исключена уже на этапе сегментации.

l l r r l l r r

Третий и четвертый признаки отражают факт непрерывности давления на контактном разрыве и разрыве нормальной составляющей скорости на ударной волне.

Пятый признак служит отличению точек разрыва от точек, принадлежащим подобластям непрерывного течения (например, волнам сжатия), шестой – чистоконтактных разрывов от тангенциальных разрывов, а седьмой – прямых ударных волн

k

2

от косых ударных волн. Для большинства задач подходят значения констант 1 2 30.01.

Классификация по минимуму расстояния.Введем следующие классы: С1 – нормальные ударные волны, С2 – косые ударные

волны, С3 – тангенциальные разрывы, С4 – чисто контактные разрывы, С5 – волнысжатия. Зададим z z 1, z 2 , z 3, z 4 , z 5, z 6 ,

z 7 ,k

– эталонные векторы классов (для

одного класса может быть несколько эталонных векторов):z C 1 C 2 C 3 C 3 C 4 C 4 C 4 C 4 C 5 C 5 C 5 C 5z 1 2 2 0 2 0 2 0 2 2 2 2 2z 2 2 2 0 0 0 0 0 0 2 2 2 2z 3 1 1 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1z 4 1 1 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1z 5 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0z 6 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 0 1z 7 0 1 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1

Точка (i,j) принадлежит классу C k 0

, если dista i j ,z k 0 mina i j ,z k ,

где

a a 1, a 2 , a 3, a 4 , a 5, a 6, a 7 ,i j ,

dist

a mz m m1,7

(евклидово расстояние в

семимерном пространстве признаков).

В качестве примера на рисунке приведена классификация разрывов численного решения задачи о дифракции ударной волны на плоском прямом угле. Приведены точки разрывов, полученные в процессе распознавания: 1 - дифрагированная ударная волна (косая), 2 - первоначальная ударная волна (прямая), 3, 6 - тангенциальные разрывы, 4 - вторичная ударная волна (косая), 5 - чисто контактный разрыв, 7 - маховская волна (прямая).

Отметим, что системы автоматического извлечения информации могут также использоваться для непосредственного управления процессом расчета (например, для сгущения разностной сетки в окрестностях разрывов).

Вариант теоретической части экзамена.

Для каждого вопроса предлагается 4 ответа, 3 из которых неправильные, а 1 правильный. Студент отмечает крестом правильный ответ. Верный ответ оценивается в 3 балла, неверный оценивается (-1) балл, отсутствие ответа дает 0 баллов.

Вопрос Ответ

1. A=(xz+1,yz,xy) B=(0,x-y,y)B=rotA B=(x-y,x-z,z)

B=(x-y,x-y,0) B=(x,y,0)

2. Какое поле является B=(3/2x-5y, -3/2y-3z, x2-y2)соленоидальным B=(3/2x-5y,3/4y2+3,x2)

B=(x2+3y,y2+3x,3z) B=(x3+3xy,3y-3x2y,-3yz)

3. Если квадратичная форма в точке Эллиптической точкой(u,v) является полуопределенной, то Параболической точкойэта точка является Гиперболической точкой

Нейтральной точкой4. Что является пределом отношения Кривизнаугла поворота касательной на дуге, Кручениестягивающейся к данной точке, к Градиентдлине этой дуги. Геодезическая линия5. Какое поле является безвихревым B=(-2/3xz, 4/3yz, z2-x2/3-2/3y2)

B=(-2/3xz, -4/3yz, z2-x2/3-2/3y2) B=(y, x+z, 2y) B=(2y,x+z, 2y)

6. Векторные линии в каждой точке F (r )=constимеют направление векторного поля drF(r )=0F ( r) и определяются уравнением dr F( r)=0

F (r )=r7. В каких случаях кручение во всех Для плоских линийточках линии равно нулю. Для прямых линий

Для линий у которых градиент вкаждой точке равен нулю

Для линий у которых rot в каждойточке равен нулю

8. Определить размерность подобия 3/2фрактала Коха ln3n=0 lg 5/lg 3

5/3

n=1

9. Определить размерность подобия lg 24/lg 5модифицированного ковра ln 5Серпинского 5/3n=0 2

n=1

n=2

10. Таблица аффинного a b c d e fпреобразования, переводящего 1 0 4 3 2 1треугольник АВС с вершинами А(1,0), 1 -1 4 3 2 -8В(-1,-1), С(1,0) в треугольник PQR свершинами P(0,3), Q(0,-8), R(3,2)имеет следующий вид

2 -1 3 4 1 -11 1 4 -3 2 8

11. Метрика Хаусдорфа h(A,B)= 0A={(x,x), -1x0} 5B={(x,0), -1x1} 1

1/212. Метрика Хаусдорфа h(A,B)= A={(x,y), x2/4+4y2=1}B={(x,y), 4(x-2)2+y2/4=1}

23,50

1/213. Множество Жюлиа отображения f(z)=z2 +4iz-4 представляет собой

отрезок -1Re z 1Im z=2

Окружность |z|=1 Окружность |z+2i|=1 Квадрат 0Re z 2

-2Im z 0

1 2 11

14. Маска 14 2 2 2 является:1 2 1

высокочастотным фильтром оператором Лапласа низкочастотным фильтром оператором Робертса

15. Пусть имеется изображение F (256градаций яркости). Операцией егоинвертирования является преобразование

F(x)=256+x F(x)=256-x F(x)=x*256 F(x)=x-256

16. Маска1

1 2 3 2 12 6 8 6 23 8 12 8 32 6 8 6 21 2 3 2 1

является: высокочастотным фильтром оператором Лапласа низкочастотным фильтром оператором Робертса

100

0 1 017. Маска 1 5 1 является:

0 1 0

высокочастотным фильтром оператором Лапласа низкочастотным фильтром оператором Робертса

18. Понятие «шаблон разностнойсхемы» в терминах цифровой обработки изображений аналогичнопонятию

пиксел перепад яркости окно изображения «шум» изображения

19. Операция преобразования0, x c

изображения F x является1, x c

операцией

инвертирования выделения поддиапазона бинаризации расфокусировки

20. Изотропность алгоритмаобнаружения перепада яркостиозначает его

высокое быстродействие независимость от ориентации устойчивость к шумам экономию памяти ЭВМ

0 1 0

21. Маска 1 4 1 является:0 1 0

высокочастотным фильтром оператором Лапласа низкочастотным фильтром оператором Робертса

Примеры экзаменационных заданий.

1. Задание по теме «Фракталы»А) Построение конструктивных фракталов. Кривая Коха. Фрактал

Минковского. Фрактал Леви.Б) Построение множества Жюлиа для полиномиальных и трансцендентных

отображений.f (z) z 2 C,f (z) z3 C,f (z) z3 Cz,

f (z) e z b,f (z) c1 sin z c2 .

В) Построение множества Мандельброта для полиномиальных отображений.

f (z) z 2 C,f (z) z3 C,f (z) z3 Cz.

Г) Построение различных фракталов с помощью СИФ.Анимация изображений с помощью теоремы о «дуновении

ветра».

2. Задание по теме «Методы автоматического анализа изображений».

Демонстрируемая программа должна читать входной файл в формате BMP (“grayscale 8-bit”=256 градаций серого) произвольного размера и проводить сегментацию данного изображения. Необходима также возможность применения к исходному изображению сглаживающей маски и сегментация сглаженного изображения.

Рекомендуется для детектирования перепадов при окне изображения f размером 3 3 –

fi 1, j 1F fi 1, j

fi 1, j 1

fi, j 1fi, j

fi, j 1

fi 1, j

1 fi 1,

j fi 1, j 1

воспользоваться масками

1 2H1 0 0

1 2

1

10 и H 2 21

1

0 10 2 .0 1

.

В этом случае дискретные свертки данного окна изображения (считаем пиксели

квадратами, сторона которых равна единице):S1 H1 * F fi 1, j 1 2 fi, j 1 fi 1, j 1 fi 1, j 1 2 fi, j 1 fi 1, j 1 ,

S2 H 2 * F fi 1, j 1 2 fi 1, j fi 1, j 1 fi 1, j 1 2 fi 1, j fi 1, j 1 1

Величина градиента gi, j f функции f в точке i, j: g

S 2 S 2 .

i, j 8 1 2

1 1 1H

1 1 2 1 .1 1 1

Среднее значение градиента по всему расчетному полю: T gi j / M1 M2 . Из

i, j

множества всех точек i 1,2,..., M1 , j 1,2,..., M2 выбираются те, в которых gi j

T .Сглаживание изображения рекомендуется осуществлять применением маски

10

Если программа также читает и файлы цветного изображения, то его необходимо преобразовать в изображение «256 градаций серого» по формуле

F = 0.3 Red + 0.59 Green + 0.11 Blue

3. Задание по теме «Изображение скалярных и векторных полей» Изобразить с помощью алгоритма «марширующих кубов» скалярные поля.

Приложение. Краткие сведения OPENGL.OpenGL - Open Graphics Library, открытая графическая библиотека. Термин "открытый" - означает независимый от производителей. OpenGL является на данный момент одним из самых популярных программных интерфейсов (API) для разработки приложений в области двумерной и трехмерной графики. Стандарт OpenGL был разработан и утвержден в 1992 году ведущими фирмами в области разработки программного обеспечения, а его основой стала библиотека IRIS GL, разработанная Silicon Graphics. На данный момент реализация OpenGL включает в себя несколько библиотек (описание базовых функций OpenGL, GLU,GLUT,GLAUX и другие), назначение которых будет описано ниже.

Основные возможности OpenGL

Набор базовых примитивов: точки, линии, многоугольники и т.п.

Видовые и координатные преобразования

Удаление невидимых линий и поверхностей (z-буфер)

Использование сплайнов для построения линий и поверхностей

Наложение текстуры и применение освещения

Добавление специальных эффектов: тумана, изменение прозрачности,сопряжение цветов (blending), устранение ступенчатости (anti- aliasing).

Как уже было сказано, существует реализация OpenGL для разных платформ, для чего было удобно разделить базовые функции графической системы и функции для отображения графической информации и взаимодействия с пользователем. Были

созданы библиотеки для отображения информации с помощью оконной подсистемы для операционных систем Windows и Unix (WGL и GLX соответственно), а также библиотеки GLAUX и GLUT, которые используются для создания так называемых консольных приложений.

Архитектура и особенности синтаксисаС точки зрения архитектуры, графическая система OpenGL является конвейером, состоящим из нескольких этапов обработки данных:

Аппроксимация кривых и поверхностей

Обработка вершин и сборка примитивов

Растеризация и обработка фрагментов

Операции над пикселами

Подготовка текстуры

Передача данных в буфер кадра

Вообще, OpenGL можно сравнить с конечным автоматом, состояние которого определяется множеством значений специальных переменных (их имена обычно начинаются с символов GL_) и значениями текущей нормали, цвета и координат текстуры. Все эта информация будет использована при поступлении в систему координат вершины для построения фигуры, в которую она входит. Смена состояний происходит с помощью команд, которые оформляются как вызовы функций.

Для обеспечения интуитивно понятных названий в OpenGL полное имя команды имеет вид:

type glCommand_name[1 2 3 4][b s i f d ub us ui][v](type1 arg1,…,typeN argN)

Таким образом, имя состоит из нескольких частей:

gl это имя библиотеки, в которой описана эта функция: для базовых функций OpenGL, функций из библиотек GLU, GLUT, GLAUX это gl, glu, glut, aux соответственно.

Command_name имя команды [1 2 3 4]число аргументов команды [b s i f d ub us ui ]тип аргумента:

символ b означает тип GLbyte (аналог char в С\С++), символ f тип GLfloat (аналог float), символ i– тип GLint(аналог int) и так далее.

Полный список типов и их описание можно посмотреть в файле gl.h

Структура консольного приложенияБудем рассматривать построение консольного приложения при помощи библиотеки GLUT или GL Utility Toolkit, получившей в последнее время широкое распространение. Эта библиотека обеспечивает единый интерфейс для работы с окнами вне зависимости от платформы, поэтому описываемая ниже структура приложения остается неизменной для операционных систем Windows, Linux и многих других.

Функции GLUT могут быть классифицированы на несколько групп по своему назначению:

Инициализация

Начало обработки событий

Управление окнами

Управление меню

Регистрация вызываемых (callback) функций

Управление индексированной палитрой цветов

Отображение шрифтов

Отображение дополнительных геометрических фигур (тор, конус и др.)

Инициализация проводится с помощью функции glutInit(int *argcp, char **argv)

Переменная argcp есть указатель на стандартную переменную argc описываемую в функции main(), а argv– указатель на параметры, передаваемые программе призапуске, который описывается там же. Эта функция проводит необходимые начальныедействия для построения окна приложения, и только несколько функций GLUT могут быть вызваны до нее. К ним относятся:

glutInitWindowPosition (int x, int y) glutInitWindowSize (int width, int height)glutInitDisplayMode (unsigned int mode)

Первые две функции задают соответственно положение и размер окна, а последняя функция определяет различные режимы отображения информации, которые могут совместно задаваться с использованием операции побитового “или” (|):

GLUT_RGBA Режим RGBA. Используется по умолчанию, если не указаны явно режимы GLUT_RGBA или GLUT_INDEX. GLUT_RGB то же, что и GLUT_RGBA. GLUT_INDEX режим индексированных цветов (использование палитры). Отменяет GLUT_RGBA. GLUT_SINGLE окно с одиночным буфером. Используется по умолчанию. GLUT_DOUBLE окно с двойным буфером. Отменяет GLUT_SINGLE. GLUT_DEPTH Окно с буфером глубины.

Это неполный список параметров для данной функции, однако для большинства случаев этого бывает достаточно.

Двойной буфер обычно используют для анимации, сначала рисуя что-нибудь в одном буфере, а затем меняя их местами, что позволяет избежать мерцания. Буфер глубины или z-буфер используется для удаления невидимых линий и поверхностей.

Функции библиотеки GLUT реализуют так называемый событийно-управляемый механизм. Это означает, что есть некоторый внутренний цикл, который запускается после соответствующей инициализации и обрабатывает, одно за другим, все события, объявленные во время инициализации. К событиям относятся: щелчок мыши, закрытие окна, изменение свойств окна, передвижение курсора, нажатие клавиши, и "пустое" (idle) событие, когда ничего не происходит. Для проведения периодической проверки совершения того или иного события надо зарегистрировать функцию, которая будет его обрабатывать. Для этого используются функции вида:

void glutDisplayFunc (void (*func) (void))

void glutReshapeFunc (void (*func) (int width, int height))

void glutMouseFunc (void (*func) (int button, int state, int x, int y))

void glutIdleFunc (void (*func) (void))

То есть параметром для них является имя соответствующей функции заданного типа. С помощью glutDisplayFunc() задается функция рисования для окна приложения, которая вызывается при необходимости создания или восстановления изображения. Для явного указания, что окно надо обновить, иногда удобно использовать функцию void glutPostRedisplay(void)

Через glutReshapeFunc() устанавливается функция обработки изменения размеров окна пользователем, которой передаются новые размеры.

glutMouseFunc() определяет обработчика команд от мыши, а glutIdleFunc() задает функцию, которая будет вызываться каждый раз, когда нет событий от пользователя.

Контроль всех событий происходит внутри бесконечного цикла в функции void glutMainLoop(void) которая обычно вызывается в конце любой программы, использующей GLUT.

Вершины и примитивыОпределение атрибутов вершины

Под вершиной понимается точка в трехмерном пространстве, координаты которой можно задавать следующим образом:

void glVertex[2 3 4][s i f d](type coords)

void glVertex[2 3 4][s i f d]v(type *coords)

Координаты точки задаются максимум четырьмя значениями: x, y, z, w, при этом можно указывать два (x,y) или три (x,y,z) значения, а для остальных переменных в этих случаях используются значения по умолчанию: z=0, w=1. Как уже было сказано выше, число в названии команды соответствует числу явно задаваемых значений, а последующий символ – их типу.

Координатные оси расположены так, что точка (0,0) находится в левом нижнем углу экрана, ось x направлена влево, ось y- вверх, а ось z- из экрана. Это расположение осей мировой системы координат, в которой задаются координаты вершин объекта, другие системы координат будут рассмотрены ниже.

Однако чтобы задать какую-нибудь фигуру одних координат вершин недостаточно, и эти вершины надо объединить в одно целое, определив необходимые свойства. Для этого в OpenGL используется понятие примитивов, к которым относятся точки, линии, связанные или замкнутые линии, треугольники и так далее. Задание примитива происходит внутри командных скобок:

void glBegin(GLenum mode)

void glEnd(void)

Параметр mode определяет тип примитива, который задается внутри и может принимать следующие значения:

GL_POINTS каждая вершина задает координаты некоторой точки.

GL_LINES каждая отдельная пара вершин определяет отрезок; если задано нечетное число вершин, то последняя вершина игнорируется.

GL_LINE_STRIP каждая следующая вершина задает отрезок вместе с предыдущей.

GL_LINE_LOOP отличие от предыдущего примитива только в том, что последний отрезок определяется последней и первой вершиной, образуя замкнутую ломаную.

GL_TRIANGLES каждая отдельная тройка вершин определяет треугольник; если задано не кратное трем число вершин, то последние вершины игнорируются.

GL_TRIANGLE_STRIP каждая следующая вершина задает треугольник вместе с двумя предыдущими.

GL_TRIANGLE_FAN треугольники задаются первой и каждой следующей

парой вершин (пары не пересекаются).

GL_QUADS каждая отдельная четверка вершин определяет четырехугольник; если задано не кратное четырем число вершин, то последние вершины игнорируются.

GL_QUAD_STRIP четырехугольник с номером n определяется вершинами с номерами 2n-1, 2n, 2n+2, 2n+1.

GL_POLYGON последовательно задаются вершины выпуклого многоугольника.

Можно определить нормаль в вершине, используя команды

void glNormal3[b s i f d](type coords)

void glNormal3[b s i f d]v(type coords)

Внутри командных скобок glBegin() и glEnd() можно производить вызов лишь нескольких команд, в которые входят glVertex..(), glColor..()glNormal..(), glRect..(), glMaterial..() и glTexCoord..().

Последние две команды будут рассматриваться ниже, а с помощью команды void glRect[s i f d]( GLtype x1, GLtype y1, GLtype x2, GLtype y2 ), void glRect[s i f d]v( GLtype *v1, GLtype *v2 ) можно нарисовать прямоугольник в плоскости z=0 с координатами противоположных углов (x1,y1) и (x2,y2), либо набор прямоугольников с координатами углов в массивах v1 и v2.

Кроме задания самих примитивов можно определить метод их отображения на экране, где под примитивами в данном случае понимаются многоугольники.

Однако сначала надо определить понятие лицевых и обратных граней.

Под гранью понимается одна из сторон многоугольника, и по умолчанию лицевой считается та сторона, вершины которой обходятся против часовой стрелки. Направление обхода вершин лицевых сторон можно изменить вызовом команды void glFrontFace(GLenum mode) со значением параметра mode равным GL_CW, а отменить- с GL_CCW.

Чтобы изменить метод отображения многоугольника используется команда void glPolygonMode(GLenum face, Glenum mode)

Параметр mode определяет, как будут отображаться многоугольники, а параметр face устанавливает тип многоугольников, к которым будет применяться эта команда и может принимать следующие значения:

GL_FRONT для лицевых граней

GL_BACK для обратных граней

GL_FRONT_AND_BACK для всех граней

Параметр mode может быть равен:

GL_POINT при таком режиме будут отображаться только вершины многоугольников.

GL_LINE при таком режиме многоугольник будет представляться набором отрезков.

GL_FILL при таком режиме многоугольники будут закрашиваться текущим цветом с учетом освещения и этот режим установлен по умолчанию.

Кроме того, можно указывать, какой тип граней отображать на экране. Для этого сначала надо установить соответствующий режим вызовом команды glEnable(GL_CULL_FACE), а затем выбрать тип отображаемых граней с помощью команды void glСullFace(GLenum mode)

Вызов с параметром GL_FRONT приводит к удалению из изображения всех лицевых граней, а с параметром GL_BACK- обратных (установка по умолчанию).

Важно отметить, что для корректного построения перечисленных примитивов необходимо удалять невидимые линии и поверхности, для чего надо включить соответствующий режим вызовом команды glEnable(GL_DEPTH_TEST).

Массивы вершин

Если вершин много, то чтобы не вызывать для каждой команду glVertex..(), удобно объединять вершины в массивы, используя команду

void glVertexPointer( GLint size, GLenum type, GLsizei stride, void *ptr )

которая определяет способ хранения и координаты вершин. При этом size определяет число координат вершины (может быть равен 2, 3, 4), type определяет тип данных (может быть равен GL_SHORT, GL_INT, GL_FLOAT, GL_DOUBLE). Иногда удобно хранить в одном массиве другие атрибуты вершины, и тогда параметр stride задает смещение от координат одной вершины до координат следующей; если stride равен нулю, это значит, что координаты расположены последовательно. В параметре ptr указывается адрес, где находятся данные.

Аналогично можно определить массив нормалей, цветов и некоторых других атрибутов вершины, используя команды

void NormalPointer(GLenum type, GLsizei stride, void*pointer)

void ColorPointer(GLintsize, GLenum type, GLsizei stride, void *pointer)

Для того, чтобы эти массивы можно было использовать в дальнейшем, надо вызвать команду

void glEnableClientState(GLenum array)

с параметрами GL_VERTEX_ARRAY, GL_NORMAL_ARRAY, GL_COLOR_ARRAY

соответственно. После окончания работы с массивом желательно вызвать команду

void glDisableClientState(GLenum array)

47

с соответствующим значением параметра array.

Для отображения содержимого массивов используется команда

void glArrayElement(GLint index)

которая передает OpenGL атрибуты вершины, используя элементы массива с номером index. Это аналогично последовательному применению команд вида glColor..(…), glNormal..(…), glVertex..(…) c соответствующими параметрами. Однако вместо нее обычно вызывается команда

void glDrawArrays(GLenum mode, GLint first, GLsizei count)

рисующая count примитивов, определяемых параметром mode, используя элементы из массивов с индексами от first до first+count-1. Это эквивалентно вызову команды glArrayElement() с соответствующими индексами.

В случае если одна вершина входит в несколько примитивов, то вместо дублирования ее координат в массиве удобно использовать ее индекс.

Для этого надо вызвать команду

void glDrawArrays(GLenum mode, GLsizei count, GLenum type, void *indices)

где indices– это массив номеров вершин, которые надо использовать для построения примитивов, type определяет тип элементов этого массива: GL_UNSIGNED_BYTE, GL_UNSIGNED_SHORT, GL_UNSIGNED_INT, а count задает их количество.

Списки изображений.

Если нужно несколько раз обращаться к одной и той же группе команд, эти команды можно объединить в так называемый список изображений (display list) и вызывать его при необходимости. Для того, чтобы создать новый список изображений надо поместить все команды, которые должны в него войти между командными скобками:

void glNewList(GLuint list, GLenum mode)

void glEndList()

Для различения списков используются целые положительные числа, задаваемые при создании списка значением параметра list, а параметр mode определяет режим обработки команд, входящих в список:

GL_COMPILE команды записываются в список без выполнения

GL_COMPILE_AND_EXECUTE команды сначала выполняются, а затем записываются в список

После того, как список создан, его можно вызвать командой

void glCallList(GLuint list)

указав в параметре list идентификатор нужного списка. Чтобы вызвать сразу несколько списков, можно воспользоваться командой

void glCallLists(GLsizei n, GLenum type, const GLvoid *lists)

вызывающей n списков с идентификаторами из массива lists, тип элементов которого

48

указывается в параметре type. Это могут быть типы GL_BYTE, GL_UNSIGNED_BYTE, GL_SHORT, GL_INT, GL_UNSIGNED_INT >и некоторыедругие. Для удаления списков используется команда

void glDeleteLists(GLint list, GLsizei range)

которая удаляет списки с идентификаторами ID из диапазона list <=ID<= list+range-1.

49

Преобразования координат и проекции

В OpenGL используются как основные три системы координат: левосторонняя, правосторонняя и оконная. Первые две системы являются трехмерными и отличаются друг от друга направлением оси z: в правосторонней она направлена на наблюдателя, а в левосторонней – в глубь экрана. Расположение осей x и y аналогично описанному выше. Левосторонняя система используется для задания значений параметрам команды gluPerspective(), glOrtho(), которые будут рассмотрены ниже, а правосторонняя или мировая система координат во всех остальных случаях. Отображение трехмерной информации происходит в двумерную оконную систему координат.

Для задания различных преобразований объектов сцены в OpenGL используются операции над матрицами, при этом различают три типа матриц: видовая, проекций и текстуры. Все они имеют размер 4x4. Видовая матрица определяет преобразования объекта в мировых координатах, такие как параллельный перенос, изменение масштаба и поворот. Матрица проекций задает как будут проецироваться трехмерные объекты на плоскость экрана (в оконные координаты), а матрица текстуры определяет наложение текстуры на объект.

Для того, чтобы выбрать, какую матрицу надо изменить, используется команда

void glMatrixMode(GLenum mode)

вызов которой со значением параметра mode равным GL_MODELVIEW, GL_PROJECTION, GL_TEXTURE включает режим работы с видовой, проекций и матрицей текстуры соответственно. Для вызова команд, задающих матрицы того или иного типа необходимо сначала установить соответствующий режим.

Для определения элементов матрицы текущего типа вызывается команда

void glLoadMatrix[f d](GLtype *m)

где m указывает на массив из 16 элементов типа float или double в соответствии с названием команды, при этом сначала в нем должен быть записан первый столбец матрицы, затем второй, третий и четвертый.

Команда

void glLoadIdentity(void)

заменяет текущую матрицу на единичную. Часто нужно сохранить содержимое текущей матрицы для дальнейшего использования, для чего используют команды

void glPushMatrix(void)

void glPopMatrix(void)

Они записывают и восстанавливают текущую матрицу из стека, причем для каждого типа матриц стек свой. Для видовых матриц его глубина равна как минимум 32, а для двух оставшихся типов как минимум 2.

Для умножения текущей матрицы слева на другую матрицу используется команда

void glMultMatrix[f d](GLtype *m)

где m должен задавать матрицу размером 4x4 в виде массива с описанным расположением данных. Однако обычно для изменения матрицы того или иного типа удобно использовать специальные команды, которые по значениям своих параметров создают нужную матрицу и перемножают ее с текущей. Чтобы сделать текущей

50

созданную матрицу, надо перед вызовом этой команды вызвать glLoadIdentity().

51

В целом, для отображения трехмерных объектов сцены в окно приложения используется следующая последовательность действий:Координаты Видовые Усеченные Нормализованны

еОконные

объекта =>

координаты =>

координаты =>

координаты =>

координаты

Рассмотрим каждое из этих преобразований отдельно.

Видовое преобразование

К видовым преобразованиям будем относить перенос, поворот и изменение масштаба вдоль координатных осей. Для проведения этих операций достаточно умножить на соответствующую матрицу каждую вершину объекта и получить измененные координаты этой вершины:

(x’, y’, z’, 1)T =M * (x, y, z, 1)T

где M матрица видового преобразования. Перспективное преобразование и проектирование производится аналогично. Сама матрица может быть создана с помощью следующих команд:

void glTranslate[f d](GLtype x, GLtype y, GLtype z)

void glRotate[f d](GLtype angle, GLtype x, GLtype y, GLtype z)

void glScale[f d](GLtype x, GLtype y, GLtype z)

glTranlsate..() производит перенос объекта, прибавляя к координатам его вершин значения своих параметров.

glRotate..() производит поворот объекта против часовой стрелки на угол angle (измеряется в градусах) вокруг вектора ( x,y,z ).

glScale..() производит масштабирование объекта (сжатие или растяжение), домножая соответствующие координаты его вершин на значения своих параметров.

Все эти преобразования будут применяться к примитивам, описания которых будут находиться ниже в программе. В случае если надо, например, повернуть один объект сцены, а другой оставить неподвижным, удобно сначала сохранить текущую видовую матрицу в стеке командой glPushMatrix(), затем вызвать glRotate..() с нужными параметрами, описать примитивы, из которых состоит этот объект, а затем восстановить текущую матрицу командой glPopMatrix().

Кроме изменения положения самого объекта иногда бывает нужно изменить положение точки наблюдения, что однако также приводит к изменению видовой матрицы. Это можно сделать с помощью команды

void gluLookAt (GLdouble eyex,

GLdouble eyey,

GLdouble eyez,

GLdouble centerx,

GLdouble centery,

GLdouble centerz,

GLdouble upx,

GLdouble upy,

52

GLdouble upz)

где точка (eyex,eyey,eyez) определяет точку наблюдения, (centerx, centery, centerz) задает центр сцены, который будет проектироваться в центр области вывода, а вектор (upx,upy,upz ) задает положительное направление оси у, определяя поворот камеры. Если, например, камеру не надо поворачивать, то задается значение (0,1,0), а со значением (0,-1,0) сцена будет перевернута.

Фактически, эта команда совершает перенос и поворот объектов сцены, но в таком виде задавать параметры бывает удобнее.

Проекции

В OpenGL существуют ортографическая (параллельная) и перспективная проекция. Первый тип проекции может быть задан командами

void glOrtho(GLdouble left, GLdouble right, GLdouble bottom, GLdouble top, GLdouble near, GLdouble far)

void gluOrtho2D(GLdouble left, GLdouble right, GLdouble bottom, GLdouble top)

Первая команда создает матрицу проекции в усеченный объем видимости(параллелограмм видимости) в левосторонней системе координат. Параметры командызадают точки (left, bottom, -near) и (right, top, -near), которые отвечают левому нижнему и правому верхнему углам окна вывода. Параметры near и far задают расстояние до ближней и дальней плоскостей отсечения по дальности от точки (0,0,0) и могут быть отрицательными.

Во второй команде, в отличие от первой, значения near и far устанавливаются равными–1 и 1 соответственно.

Перспективная проекция определяется командой

void gluPerspective(GLdouble angley, GLdouble aspect, GLdouble znear, GLdouble zfar)

которая задает усеченный конус видимости в левосторонней системе координат.Параметр angley определяет угол видимости в градусах по оси у и должен находитьсяв диапазоне от 0 до 180. Угол видимости вдоль оси x задается параметром aspect, который обычно задается как отношение сторон области вывода. Параметры zfar и znear задают расстояние от наблюдателя до плоскостей отсечения по глубине и должны быть положительными. Чем больше отношение zfar/znear, тем хуже в буфере глубины будут различаться расположенные рядом поверхности, так как по умолчанию в него будет записываться ‘сжатая’ глубина в диапазоне от 0 до 1 (см. следующий пункт).

Область вывода

После применения матрицы проекций на вход следующего преобразования подаются так называемые усеченные (clip) координаты, для которых значения всех компонент (xc, yc, zc, wc)

T находятся в отрезке [-1,1]. После этого находятся нормализованные координаты вершин по формуле:

(xn, yn, zn)T=(xc/wc, yc/wc,

zc/wc)T

Область вывода представляет из себя прямоугольник в оконной системе координат, размеры которого задаются командой:

void glViewPort(GLint x, GLint y, GLint width, GLint height)

Значения всех параметров задаются в пикселах и определяют ширину и высоту области вывода с координатами левого нижнего угла ( x,y ) в оконной системе координат. Размеры оконной системы координат определяются текущими размерами окна приложения, точка (0,0)находится в левом нижнем углу окна.

Используя параметры команды glViewPort(), вычисляются оконные координаты центра области вывода (ox, oy) по формулам ox=x+width/2, oy=y+height/2.

Пусть px=width, py=height, тогда можно найти оконные координаты каждой вершины:

(xw, yw, zw)T = ( (px/2) xn+ ox , (py/2) yn+ oy , [(f-n)/2] zn+(n+f)/2 )T

При этом целые положительные величины n и f задают минимальную и максимальную глубину точки в окне и по умолчанию равны 0 и 1 соответственно. Глубина каждой точки записывается в специальный буфер глубины (z-буфер), который используется для удаления невидимых линий и поверхностей. Установить значения n и f можно вызовом функции

void glDepthRange(GLclampd n, GLclampd f)

Команда glViewPort() обычно используется в функции, зарегистрированной с помощью команды glutReshapeFunc(), которая вызывается, если пользователь изменяет размеры окна приложения, изменяя соответсвующим образом область вывода.

Материалы и освещение

Для создания реалистических изображений необходимо определить как свойства самого объекта, так и свойства среды, в которой он находится. Первая группа свойств включает в себя параметры материла, из которого сделан объект, способы нанесения текстуры на его поверхность, степень прозрачности объекта. Ко второй группе можно отнести количество и свойства источников света, уровень прозрачности среды. Все эти свойства можно задавать, используя соответствующие команды OpenGL.

Свойства материала

Для задания параметров текущего материала используются команды

void glMaterial[i f](GLenum face, GLenum pname, GLtype param)

void glMaterial[i f]v(GLenum face, GLenum pname, GLtype *params)

С их помощью можно определить рассеянный, диффузный и зеркальный цвета материала, а также цвет степень зеркального отражения и интенсивность излучения света, если объект должен светиться. Какой именно параметр будет определяться значением param, зависит от значения pname:

GL_AMBIENT параметр params должен содержать четыре целых или вещественных значения цветов RGBA, которые определяют рассеянный цвет материала (цвет материала в тени).

Значение по умолчанию: (0.2, 0.2, 0.2, 1.0).

GL_DIFFUSE параметр params должен содержать четыре целых или вещественных значения цветов RGBA, которые определяют цвет диффузного отражения материала.

Значение по умолчанию:(0.8, 0.8, 0.8, 1.0).

GL_SPECULAR параметр params должен содержать четыре целых или вещественных значения цветов RGBA, которые определяют цвет зеркального отражения материала.

Значение по умолчанию: (0.0, 0.0, 0.0, 1.0).

GL_SHININESS параметр params должен содержать одно целое или вещественное значение в диапазоне от 0 до 128, которое определяет степень зеркального отражения материала.

Значение по умолчанию: 0.

GL_EMISSION параметр params должен содержать четыре целых или вещественных значения цветов RGBA, которые определяют интенсивность излучаемого света материала.

Значение по умолчанию: (0.0, 0.0, 0.0, 1.0).

GL_AMBIENT_AND_DIFFUSE эквивалентно двум вызовам команды glMaterial..() со значением pname GL_AMBIENT и GL_DIFFUSE и одинаковыми значениями params.

Из этого следует, что вызов команды glMaterial[i f]() возможен только для установки степени зеркального отражения материала. В большинстве моделей учитывается диффузный и зеркальный отраженный свет; первый определяет естественный цвет объекта, а второй – размер и форму бликов на его поверхности.

Параметр face определяет тип граней, для которых задается этот материал и может принимать значения GL_FRONT, GL_BACK или GL_FRONT_AND_BACK.

Если в сцене материалы объектов различаются лишь одним параметром, рекомендуется сначала установить нужный режим, вызвав glEnable() c параметром GL_COLOR_MATERIAL, а затем использовать команду

void glColorMaterial(GLenum face, GLenum pname)

где параметр face имеет аналогичный смысл, а параметр pname может принимать все перечисленные значения. После этого, значения выбранного с помощью pname свойства материала для конкретного объекта (или вершины) устанавливается вызовом команды glColor..(), что позволяет избежать вызовов более ресурсоемкой команды glMaterial..() и повышает эффективность программы.

Источники светаДобавить в сцену источник света можно с помощью команд

void glLight[i f](GLenum light, GLenum pname, GLfloat param)

void glLight[i f](GLenum light, GLenum pname, GLfloat

*params)

Параметр light однозначно определяет источник,и выбирается из набора специальных символических имен вида GL_LIGHTi, где i должно лежать в диапазоне от 0 до GL_MAX_LIGHT, которое не превосходит восьми.

Оставшиеся два параметра имеют аналогичный смысл, что и в команде glMaterial..(). Рассмотрим их назначение (вначале описываются параметры для первой команды, затем для второй):

GL_SPOT_EXPONENT параметр param должен содержать целое или вещественное число от 0 до 128, задающее распределение интенсивности света. Этот параметр описывает уровень сфокусированности источника света.

Значение по умолчанию: 0 (рассеянный свет).

GL_SPOT_CUTOFF параметр param должен содержать целое или вещественное число между 0 и 90 или равное 180, которое определяет максимальный угол разброса света. Значение этого параметра есть половина угла в вершине конусовидного светового потока, создаваемого источником.

Значение по умолчанию: 180 (рассеянный

свет).

GL_AMBIENT параметр params должен содержать четыре целых или вещественных значения цветов RGBA, которые определяют цвет фонового освещения.

Значение по умолчанию: (0.0, 0.0, 0.0, 1.0).

GL_DIFFUSE параметр params должен содержать четыре целых или вещественных значения цветов RGBA, которые определяют цвет диффузного освещения.

Значение по умолчанию: (1.0, 1.0, 1.0, 1.0)для LIGHT0 и (0.0, 0.0, 0.0, 1.0) для остальных.

GL_SPECULAR параметр params должен содержать четыре целых или вещественных значения цветов RGBA, которые определяют цвет зеркального отражения.

Значение по умолчанию: (1.0, 1.0, 1.0, 1.0)для LIGHT0 и (0.0, 0.0, 0.0, 1.0) для остальных.

GL_POSITION параметр params должен содержать четыре целых или вещественных, которые определяют положение источника света. Если значение компоненты w равно 0.0, то источник считается бесконечно удаленным и при расчете освещенности учитывается только направление на точку (x,y,z), в противном случае считается, что источник расположен в точке (x,y,z,w).

Значение по умолчанию: (0.0, 0.0, 1.0, 0.0).

GL_SPOT_DIRECTION параметр params должен содержать четыре целых или вещественных числа, которые определяют направление света.

Значение по умолчанию: (0.0, 0.0, -1.0, 1.0).

При изменении положения источника света следует учитывать следующие факты: если положение задается командой glLight..() перед определением ориентации взгляда (командой glLookAt() ), то будет считаться, что источник находится в точке наблюдения. Если положение устанавливается между заданием ориентации и преобразованиями видовой матрицы, то оно фиксируется и не зависит от видовых преобразований. В последнем случае, когда положение задано после ориентации и видовой матрицы, его положение можно менять, устанавливая как новую ориентацию наблюдателя, так и меняя видовую матрицу.

Для использования освещения сначала надо установить соответствующий режим вызовом команды glEnable (GL_LIGHTNING), а затем включить нужный источник командой glEnable(GL_LIGHTn).

Модель освещения

В OpenGL используется модель освещения Фонга, в соответствии с которой цвет точки определяется несколькими факторами: свойствами материала и текстуры, величиной нормали в этой точке, а также положением источника света и наблюдателя. Для корректного расчета освещенности в точке надо использовать единичные нормали, однако команды типа glScale..(), могут изменять длину нормалей. Чтобы это учитывать, используется уже упоминавшийся режим нормализации нормалей, который включается вызовом команды glEnable(GL_NORMALIZE).

Для задания глобальных параметров освещения используются команды

void glLightModel[i f](GLenum pname, GLenum param)

void glLightModel[i f]v(GLenum pname, const GLtype *params)

Аргумент pname определяет, какой параметр модели освещения будет настраиваться и может принимать следующие значения:

GL_LIGHT_MODEL_LOCAL_VIEWER параметр param должен быть булевским и задает положение наблюдателя. Если он равен FALSE, то направление обзора считается параллельным оси –z, вне зависимости от положения в видовыx координатах. Если же он равен TRUE, то наблюдатель находится в начале видовой

системы координат. Это может улучшить качество освещения, но усложняет его расчет.

Значение по умолчанию: FALSE.

GL_LIGHT_MODEL_TWO_SIDE параметр param должен быть булевским и управляет режимом расчета освещенности как для лицевых, так и для обратных граней. Если он равен FALSE, то освещенность рассчитывается только для лицевых граней. Если же он равен TRUE, расчет проводится и для обратных граней. Значение по умолчанию: FALSE .

GL_LIGHT_MODEL_AMBIENT параметр params должен содержать четыре целых или вещественных числа, которые определяют цвет фонового освещения даже в случае отсутствия определенных источников света.

Значение по умолчанию:(0.2, 0.2,

0.2,1.0). Текстуры

Наложение текстуры на поверхность объектов сцены повышает ее реалистичность, однако при этом надо учитывать, что этот процесс требует значительных вычислительных затрат. Под текстурой будем понимать некоторое изображение, которое надо определенным образом нанести на объект. Для этого следует выполнить следующие этапы:

выбрать изображение и преобразовать его к нужному формату

загрузить изображение в память

определить, как текстура будет наноситься на объект и как она будет с ним взаимодействовать.

Рассмотрим каждый из этих этапов.

Подготовка текстурыПринятый в OpenGL формат хранения изображений отличается от стандартного формата Windows DIB только тем, что компоненты (R,G,B) для каждой точки хранятся в прямом порядке, а не в обратном и выравнивание задается программистом. Считывание графических данных из файла и их преобразование можно проводить и вручную, однако удобней воспользоваться функцией, входящей в состав библиотеки GLAUX (для ее использования надо дополнительно подключить glaux.lib), которая сама проводит необходимые операции. Это функция

AUX_RGBImageRec* auxDIBImageLoad(string file)

где file– название файла с расширением *.bmp или *.dib. В качестве результата функция возвращает указатель на область памяти, где хранятся преобразованные данные.

При создании образа текстуры в памяти следует учитывать следующие требования.

Во-первых, размеры текстуры как по горизонтали, так и по вертикали должны представлять собой степени двойки. Это требование накладывается для компактного размещения текстуры в памяти и способствует ее эффективному использованию. Использовать только текстуры с такими размерами конечно неудобно, поэтому перед загрузкой их надо преобразовать. Изменение размеров текстуры проводится с

помощью команды

void gluScaleImage(GLenum format,

GLint widthin,

GL heightin,

GLenum typein,

const void *datain,

GLint widthout,

GLint heightout,

GLenum typeout,

void *dataout)

В качестве значения параметра format обычно используется значение GL_RGB или GL_RGBA, определяющее формат хранения информации. Параметры widthin, heightin, widhtout, heightout определяют размеры входного и выходного изображений, а с помощью typein и typeout задается тип элементов массивов, расположенных по адресам datain и dataout. Как и обычно, то может быть тип

GL_UNSIGNED_BYTE, GL_SHORT, GL_INT и так далее. Результат своей работы функция заносит в область памяти, на которую указывает параметр dataout.Во-вторых, надо предусмотреть случай, когда объект по размерам значительно меньше наносимой на него текстуры. Чем меньше объект, тем меньше должна быть наносимая на него текстура и поэтому вводится понятие уровней детализации текстуры. Каждый уровень детализации задает некоторое изображение, которое является как правило уменьшенной в два раза копией оригинала. Такой подход позволяет улучшить качество нанесения текстуры на объект. Например, для изображения размером 2mx2n можно построить max(m,n)+1 уменьшенных изображений, соответствующихразличным уровням детализации.

Эти два этапа создания образа текстуры в памяти можно провести с помощью

команды void gluBuild2DMipmaps(GLenum target,

GLint components,

GLint width,

GLint height,

GLenum format,

GLenum type,

const void *data)

где параметр target должен быть равен GL_TEXTURE_2D, components определяет количество цветовых компонент текстуры, которые будут использоваться при ее наложении и может принимать значения от 1 до 4 (1-только красный,2-красный и alpha, 3-красный, синий, зеленый, 4-все компоненты).

Параметры width, height, data определяют размеры и расположение текстуры соответственно, а format и type имеют аналогичный смысл, что и в команде gluScaleImage().

В OpenGL допускается использование одномерных текстур, то есть размера 1xN, однако это всегда надо указывать, используя в качестве значения target константу GL_TEXTURE_1D. Существует одномерный аналог рассматриваемой команды- gluBuild1DMipmaps(), который отличается от двумерного отсутствием параметра

height.

При использовании в сцене нескольких текстур, в OpenGL применяется подход, напоминающий создание списков изображений. Вначале, с помощью команды

void glGenTextures(GLsizei n, GLuint*textures)

надо создать n идентификаторов для используемых текстур, которые будут записаны в массив textures. Перед началом определения свойств очередной текстуры следует вызвать команду

void glBindTexture(GLenum target, GLuint texture)

где target может принимать значения GL_TEXTURE_1D или GL_TEXTURE_2D, а параметр texture должен быть равен идентификатору той текстуры, к которой будут относиться последующие команды. Для того, чтобы в процессе рисования сделать текущей текстуру с некоторым идентификатором, достаточно опять вызвать команду glBindTexture() c соответствующим значением target и texture. Таким образом, команда glBindTexture() включает режим создания текстуры с идентификатором texture, если такая текстура еще не создана, либо режим ее использования, то есть делает эту текстуру текущей.

Методы наложения текстурыПри наложении текстуры, как уже упоминалось, надо учитывать случай, когда размеры текстуры отличаются от размеров объекта, на который она накладывается. При этом возможно как растяжение, так и сжатие изображения, и то, как будут проводиться эти преобразования может серьезно повлиять на качество построенного изображения. Для определения положения точки на текстуре используется параметрическая система координат (s,t), причем значения s и t находятся в отрезке [0,1]. Для изменения различных параметров текстуры применяются команды:

void glTexParameter[i f](GLenum target, GLenum pname, GLenum param)

void glTexParameter[i f]v(GLenum target, GLenum pname, GLenum

*params)

При этом target имеет аналогичный смысл, что и раньше, pname определяет, какое свойство будем менять,а с помощью param или params устанавливается новое значение. Возможные значения pname:

GL_TEXTURE_MIN_FILTER параметр param определяет функцию, которая будет использоваться для сжатия текстуры. При значении GL_NEAREST будет использоваться один (ближайший), а при значении GL_LINEAR четыре ближайших элемента текстуры.

Значение по умолчанию: GL_LINEAR.

GL_TEXTURE_MAG_FILTER параметр param определяет функцию, которая будет использоваться для увеличения (растяжения) текстуры. При значении GL_NEAREST будет использоваться один (ближайший), а при значении GL_LINEAR четыре ближайших элемента текстуры.

Значение по умолчанию: GL_LINEAR.

GL_TEXTURE_WRAP_S параметр param устанавливает значение координаты s, если

оно не входит в отрезок [0,1]. При значении GL_REPEAT целая часть s отбрасывается, и в результате изображение размножается по поверхности. При значении GL_CLAMP используются краевые значения: 0 или 1, что удобно использовать, если на объект накладывается один образ.

Значение по умолчанию: GL_REPEAT.

GL_TEXTURE_WRAP_T аналогично предыдущему значению, только для координаты t.

Использование режима GL_NEAREST значительно повышает скорость наложения текстуры, однако при этом снижается качество, так как в отличие от GL_LINEAR интерполяция не производится.

Для того, чтобы определить, как текстура будет взаимодействовать с материалом, из которого сделан объект, используются команды

void glTexEnv[i f](GLenum target, GLenum pname, GLtype param)

void glTexEnv[i f]v(GLenum target, GLenum pname, GLtype

*params)

Параметр target должен быть равен GL_TEXTURE_ENV, а в качестве pname рассмотрим только одно значение GL_TEXTURE_ENV_MODE, которое наиболее часто применяется. Параметр если param может быть равен:

GL_MODULATE конечный цвет находится как произведение цвета точки на поверхности и цвета соответствующей ей точки на текстуре.

GL_REPLACE в качестве конечного цвета используется цвет точки на текстуре.

GL_BLEND конечный цвет находится как сумма цвета точки на поверхности и цвета соответствующей ей точки на текстуре с учетом их яркости.

Координаты текстурыПеред нанесением текстуры на объект осталось установить соответствие между точками на поверхности объекта и на самой текстуре. Задавать это соответствие можно двумя методами: отдельно для каждой вершины или сразу для всех вершин, задав параметры специальной функции отображения.

Первый метод реализуется с помощью

команд void glTexCoord[1 2 3 4][s i f d](type

coord) void glTexCoord[1 2 3 4][s i f d]v(type

*coord)

Чаще всего используется команды вида glTexCoord2..(type s, type t), задающие текущие координаты текстуры. Вообще, понятие текущих координат текстуры аналогично понятиям текущего цвета и текущей нормали, и является атрибутом вершины. Однако даже для куба нахождение соответствующих координат текстуры является довольно трудоемким занятием, поэтому в библиотеке GLU помимо команд, проводящих построение таких примитивов, как сфера, цилиндр и диск, предусмотрено также наложение на них текстур. Для этого достаточно вызвать команду

void gluQuadricTexture(GLUquadricObj*quadObject, GLboolean textureCoords)

с параметром textureCoords равным GL_TRUE, и тогда текущая текстура будет автоматически накладываться на примитив.

Второй метод реализуется с помощью команд

void glTexGen[i f d](GLenum coord, GLenum pname, GLtype

param)

void glTexGen[i f d]v(GLenum coord, GLenum pname, const GLtype *params)

Параметр coord определяет для какой координаты задается формула и может принимать значение GL_S, GL_T; pname определяет тип формулы и может быть равен GL_TEXTURE_GEN_MODE, GL_OBJECT_PLANE, GL_EYE_PLANE. С помощьюparams задаются необходимые параметры, а param может быть равен GL_OBJECT_LINEAR, GL_EYE_LINEAR, GL_SPHERE_MAP. Рассмотрение всех

возможных комбинаций значений аргументов этой команды заняло бы слишком много места, поэтому в качестве примера рассмотрим, как можно задать зеркальную текстуру. При таком наложении текстуры изображение будет как бы отражаться от поверхности объекта, вызывая интересный оптический эффект. Для этого сначала надо создать два целочисленных массива коэффициентов s_coeffs и t_coeffs со значениями (1,0,0,1) и (0,1,0,1) соответственно, а затем вызвать команды:

glEnable(GL_TEXTURE_GEN_S); glTexGeni(GL_S, GL_TEXTURE_GEN_MODE, GL_EYE_LINEAR); glTexGendv(GL_S, GL_EYE_PLANE, s_coeffs); и такие же команды для координаты t с соответствующими изменениями.

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 1Основы работы с MathCAD

MathCAD работает с документами. С точки зрения пользователя, документ - это чистый лист бумаги, на котором можно размещать блоки трех основных типов: математические выражения, текстовые фрагменты и графические области.Расположение нетекстовых блоков в документе имеет принципиальное значение – слева направо и сверху вниз.

Математические выражения

К основным элементам математических выражений MathCAD относятся типы данных, операторы, функции и управляющие структуры.

ОператорыОператоры - элементы MathCAD, с помощью которых можно создавать математические выражения. К ним, например, относятся символы арифметических операций, знаки вычисления сумм, произведений, производной и интеграла и т.д. Оператор определяет:

1. действие, которое должно выполняться при наличии тех или иных значений операндов;

2. сколько, где и какие операнды должны быть введены в оператор.Операнд – число или выражение, на которое действует оператор. Например, в выражении 5! + 3 число 3 и выражение 5! – операнды оператора + (плюс), а число 5 операнд оператора факториал (!). После указания операндов операторы становятся исполняемыми по документу блоками. В Приложении 2 данного пособия приведен список наиболее часто используемых операторов.

Типы данныхК типам данных относятся числовые константы, обычные и системные переменные, массивы (векторы и матрицы) и данные файлового типа. Константами называют поименованные объекты, хранящие некоторые значения, которые не могут быть изменены. Переменные являются поименованными объектами, имеющими некоторое значение, которое может изменяться по ходу выполнения программы. Тип переменной определяется ее значением; переменные могут быть числовыми, строковыми, символьными и т. д. Имена констант, переменных и иных объектов называют идентификаторами. Идентификаторы в MathCAD представляют собой набор латинских или греческих букв и цифр.

В MathCAD содержится небольшая группа особых объектов, которые нельзя отнести ни к классу констант, ни к классу переменных, значения которых определены сразу после запуска программы. Их правильнее считать системными переменными, имеющими предопределенные системой начальные значения (см. Приложение 1). Изменение значений системных переменных производят во вкладке Встроенные переменные диалогового окна Math Options команды Математика Опции.Обычные переменные отличаются от системных тем, что они должны быть предварительно определены пользователем, т. е. им необходимо хотя бы однажды присвоить значение. В качестве оператора присваивания используется знак :=, тогда как знак = отведен для вывода значения константы или переменной.Если переменной присваивается начальное значение с помощью оператора :=, вызывается нажатием клавиши : (двоеточие) на клавиатуре, такое присваивание называется локальным. До этого присваивания переменная не определена и ее нельзя использовать. Однако с помощью знака (клавиша ~ на клавиатуре) можно обеспечить глобальное присваивание (см. Пример 1 Рисунка 1). MathCAD прочитывает весь документ дважды слева направо и сверху вниз. При первом проходе выполняются все действия, предписанные локальным оператором присваивания (), а при втором – производятся действия, предписанные локальным оператором присваивания (:=), и отображаются все необходимые результаты вычислений (=).Существуют также жирный знак равенства = (комбинация клавиш Ctrl + =), который используется, например, как оператор приближенного равенства при решении систем уравнений, и символьный знак равенства (комбинация клавиш Ctrl + .).Дискретные аргументы - особый класс переменных, который в пакете MathCAD зачастую заменяет управляющие структуры, называемые циклами (однако полноценной такая замена не является). Эти переменные имеют ряд фиксированных значений, либо целочисленных (1 способ), либо в виде чисел с определенным шагом, меняющихся от начального значения до конечного (2 способ).

1. Name := Nbegin .. Nend,

где Name – имя переменной, Nbegin – ее начальное значение, Nend – конечное значение, .. – символ, указывающий на изменение переменной в заданных пределах (вводится

Рисунок 1. Математические выражения

клавишей ;). Если Nbegin < Nend, то шаг переменной будет равен +1, иначе –1.

2. Name := Nbegin, (Nbegin + Step) .. Nend

Здесь Step – заданный шаг изменения переменной (он должен быть положительным, если Nbegin < Nend, или отрицательным в обратном случае).Дискретные аргументы значительно расширяют возможности MathCAD, позволяя выполнять многократные вычисления или циклы с повторяющимися вычислениями, формировать векторы и матрицы (Пример 3 Рисунка 1).Массив - имеющая уникальное имя совокупность конечного числа числовых или символьных элементов, упорядоченных некоторым образом и имеющих определенные адреса. В пакете MathCAD используются массивы двух наиболее распространенных типов: одномерные (векторы); двумерные (матрицы).

Порядковый номер элемента, который является его адресом, называется индексом. Индексы могут иметь только целочисленные значения. Они могут начинаться с нуля или единицы, в соответствии со значением системной переменной ORIGIN (см. Приложение 1). Векторы и матрицы можно задавать различными способами: с помощью команды Вставка Матрица, или комбинации клавиш Ctrl + M,

или щелчком на кнопке панели Матрица, заполнив массив пустых полей для не слишком больших массивов;

с использованием дискретного аргумента, когда имеется некоторая явная зависимость для вычисления элементов через их индексы (Пример 3 Рисунка 1).

ФункцииФункция – выражение, согласно которому проводятся некоторые вычисления с аргументами и определяется его числовое значение.Следует особо отметить разницу между аргументами и параметрами функции. Переменные, указанные в скобках после имени функции, являются ее аргументами и заменяются при вычислении функции значениями из скобок. Переменные в правой части определения функции, не указанные скобках в левой части, являются параметрами и должны задаваться до определения функции (см. Пример 2 Рисунка 1).Главным признаком функции является возврат значения, т.е. функция в ответ на обращение к ней по имени с указанием ее аргументов должна возвратить свое значение.Функции в пакете MathCAD могут быть встроенные (см. Приложение 3), т. е. заблаговременно введенные разработчиками, и определенные пользователем. Способы вставки встроенной функции:

1. Выбрать пункт меню Вставка Функция.2. Нажать комбинацию клавиш Ctrl + E.

3. Щелкнуть на кнопке .Текстовые фрагменты

Текстовые фрагменты представляют собой куски текста, которые пользователь хотел бы видеть в своем документе. Существуют два вида текстовых фрагментов: текстовая область предназначена для небольших кусков текста - подписей,

комментариев и т. п. Вставляется с помощью команды Вставка Текстовая регион или комбинации клавиш Shift + " (двойная кавычка);

текстовый абзац применяется в том случае, если необходимо работать с абзацами или страницами. Вставляется с помощью комбинации клавиш Shift + Enter.

Графические областиГрафические области делятся на три основных типа - двумерные графики,

трехмерные графики и импортированные графические образы. Двумерные и трехмерные графики строятся самим MathCAD на основании обработанных данных.

Для создания декартового графика:1. Установить визир в пустом месте рабочего документа.2. Выбрать команду Вставка График Х-У график, или нажать комбинацию

клавиш Shift + @, или щелкнуть кнопку панели Графики. Появится шаблон декартового графика.

3. Введите в средней метке под осью Х первую независимую переменную, через запятую – вторую и так до 10, например х1, х2, …

4. Введите в средней метке слева от вертикальной оси Y первую независимую переменную, через запятую – вторую и т. д., например у1(х1), у2(х2), …, или соответствующие выражения.

5. Щелкните за пределами области графика, что бы начать его построение.Трехмерные, или 3D-графики, отображают функции двух переменных вида Z(X,

Y). При построении трехмерных графиков в ранних версиях MathCAD поверхность нужно было определить математически (Рисунок 2, способ 2). Теперь применяют функцию MathCAD CreateMesh.

CreateMesh(F (или G, или f1, f2, f3), x0, x1, y0, y1, xgrid, ygrid, fmap)Создает сетку на поверхности, определенной функцией F. x0, x1, y0, y1 – диапазон изменения переменных, xgrid, ygrid – размеры сетки переменных, fmap – функция отображения. Все параметры, за исключением F, - факультативные. Функция CreateMesh по умолчанию создает сетку на поверхности с диапазоном изменения переменных от –5 до 5 и с сеткой 2020 точек.

Пример использования функции CreateMesh для построения 3D-графиков приведен на

Рисунок 2. Пример построения на одном рисунке двух 3D-графиков разного типа

Рисунок 3. Построение 3D Точечных графиков

Рисунке 2, способ 1. На Рисунке 2 построена одна и та же поверхность разными способами, с разным форматированием, причем изображены поверхности и под ними те же поверхности в виде контурного графика. Такое построение способно придать рисунку большую наглядность.Нередко поверхности и пространственные кривые представляют в виде точек, кружочков или иных фигур. Такой график создается операцией Вставка График 3D Точечный, причем поверхность задается параметрически – с помощью трех матриц (X, Y, Z) (см. Рисунок 3, способ 2), а не одной как в примере на Рисунке 2. Для определения исходных данных для такого вида графиков используется функция CreateSpace (см. Рисунок 3, способ 1).

CreateSpace (F , t0, t1, tgrid, fmap)Возвращает вложенный массив трех векторов, представляющих х-, у-, и z-координаты пространственной кривой, определенной функцией F. t0 и t1 – диапазон изменения переменной, tgrid – размер сетки переменной, fmap – функция отображения. Все параметры, за исключением F, - факультативные.

Построение пересекающихся фигурОсобый интерес представляет собой возможность построения на одном графике ряда разных фигур или поверхностей с автоматическим учетом их взаимного пересечения. Для этого надо раздельно задать матрицы соответствующих поверхностей и после вывода шаблона 3D-графика перечислить эти матрицы под ним с использованием в качестве разделителя запятой (Рисунок 4).

Создание анимационного клипа MathCAD имеет встроенную переменную FRAME, чье единственное назначение -

управление анимациями: Создайте объект, чей вид зависит от FRAME. Убедитесь, что установлен режим автоматического расчета (Математика

Автоматическое Вычисление). Выберите Вид Анимация для вызова одноименного диалогового окна.

Рисунок 4. Построение двух пересекающихся поверхностей и одновременно контурного графика одной из них

Заключите в выделяющий пунктирный прямоугольник часть рабочего документа, которую нужно анимировать.

Установите нижние и верхние границы FRAME (поля От: и До:). В поле Скорость введите значение скорости воспроизведения (кадров/сек). Выберите Анимация. Сейчас анимация только создается. Сохраните анимацию как АVI файл (Сохранить как). Воспроизведите сохраненную анимацию Вид Воспроизведение.

Порядок выполнения лабораторной работы 1

Упражнение 1. Вычислить:

|-10| = 10! = .

Это и все остальные задания снабдить комментариями, используя команду Вставка Текстовая область.

Упражнение 2. Определить переменные: a := 3.4, b := 6.22, c  0.149 (причем переменную с - глобально) и выражения:

.

Вычислить выражения. С помощью команды ФорматРезультатФормат чиселЧисло знаков

изменить точность отображения результатов вычисления глобально.

Упражнение 3. Вывести на экран значение системной константы и установить максимальный формат ее отображения локально.

Упражнение 4. Выполнить следующие операции с комплексными числами:

Z := -3 + 2i |Z| = Re(Z) = Im(Z) = arg(Z) =

= = 2 Z = Z1 := 1 + 2i Z2 := 3 + 4i

Z1 + Z2 = Z1 - Z2 = Z1 Z2 = Z1/Z2 =

Упражнение 5. Выполнить следующие операции:

i := 1 .. 10 = = = =

x := 2 = =

Упражнение 6. Определить векторы d, S и R через дискретный аргумент i. Отобразить графически таблично заданные функции Si(di) и Ri(di), используя команду ВставкаГрафикX-Y Зависимость. Чтобы оформить график, необходимо выполнить следующие команды: Щелкнуть левой клавишей мыши на графике, чтобы выделить его. Затем

щелкнуть правой клавишей мыши, при этом появится контекстное меню в котором необходимо выбрать команду Формат (появится диалоговое окно “Formatting Currently Selected X-Y Plot”).

Нанести линии сетки на график (Оси X-Y Вспом. линии) и отобразить легенду (СледСкрыть легенду)

Отформатировать график так, чтобы в каждой узловой точке графика функции Si(di) стоял знак вида (СледСимволbox), а график функции Ri(di) отобразить в виде гистограммы (СледТипbar).

Упражнение 7. Построить декартовы (X-Y Зависимость) и полярные (Полярные Координаты) графики следующих функций:

Для этого необходимо определить как дискретный аргумент на интервале от 0 до 2 с шагом /30. Определить по графику X-Y Зависимость координаты любой из точек пересечения графиков Y() и P(), для этого необходимо: Выделить график и выбрать из контекстного меню Масштаб (появится

диалоговое окно “X-Y Zoom”) для увеличения части графика в области точки пересечения.

На чертеже выделить пунктирным прямоугольником окрестность точки пересечения графиков Y() и P(), которую нужно увеличить.

Нажать кнопку Масштаб+, чтобы перерисовать график. Чтобы сделать это изображение постоянным, выбрать ОК. Выбрать из контекстного меню Трассировка (появится диалоговое окно

“X-Y Trace”). Внутри чертежа нажать кнопку мыши и переместить указатель мыши на точку,

чьи координаты нужно увидеть. Выбрать Copy X (или Copy Y), на свободном поле документа набрать Xper :=

(или Yper :=) и выбрать пункт меню ПравкаВставка.Вычислить значения функций Х() и Y() при :=2.

Упражнение 8. Используя команду ВставкаМатрица создать матрицу Q размером 66, заполнить ее произвольно и отобразить графически с помощью команды ВставкаГрафикПоверхности.

Упражнение 9. Построить график поверхности (Поверхности) и карту линий уровня (Контурный) для функции двух переменных

, двумя способами:

1. С помощью функции CreateMesh (сетка размером 40 40, диапазон изменения t от –5 до 5, - от 0 до 2).

2. Задав поверхность математически, для этого: Определить функцию X(t,) Задать на осях переменных t и по 41 точке

i:=0..40 j:=0..40

для переменной ti со значениями, изменяющимися от -5 до 5 с шагом 0.25 ti := -5 + 0.25  i, а для переменной j - от 0 до 2 с шагом /20 j := /20  j.

Определить матрицу Мi j := X(ti,j) и отобразить ее графически.С помощью команды Формат контекстного меню вызвать диалоговое окно

“Формат 3-D графика” и изменить: характеристики просмотра (ОбщееВидВращение, Наклон), цвета и линии поверхности (Внешний ВидСвойства линии, Свойства

заливки), параметры осей (Оси), вид заголовка графика (Название).

Упражнение 10. Отобразить графически пересечение поверхностей и

. Матрицы для построения поверхностей задать с помощью

функции CreateMesh, значения факультативных параметров не указывать. Выполнить

однотонную заливку для поверхностей, выбрав из контекстного меню команду Формат. Также из контекстного меню выбрать эффекты Туман, Освещение, Перспектива.

Упражнение 11. Используя переменную FRAME и команду Вид Анимация, создать анимационные клипы с помощью данных приведенных в Таблице 1.

Таблица 1

Варианты упражнения 11

№вариан

таПеременные и

функции FRAME Тип графика

1x := 0, 0.1 .. 30f(x) := x + FRAME

от 0 до 20 График ПолярныеКоординаты

2i :=0 .. FRAME + 1gi :=0.5 i cos(i)hi :=i sin(i)ki :=2 i

от 0 до 50 3D точечный графикграницы на осях Min Max

x - 50 50y - 50 50z 0 50

В метке для ввода матрицы укажите (g,

h, k)

3 i :=0 .. 20 j := 0 .. 20f(x,y) := sin(x2

+ y2 + FRAME)xi := -1.5 + 0.15 iyj := -1.5 + 0.15 jMi,j := f(xi , yj)

от 0 до 50 График Поверхности

В метке для ввода матрицы укажите M

4r := FRAMER := 6n := 0 .. 20 m := 0 .. 20

vn := wm :=

xm n := (R + r cos(vn)) cos(wm)ym n := (R + r cos(vn)) sin(wm)zm n:= r sin(vn)

от 0 до 20 ГрафикПоверхности

(границы на всех осях установить

от -11 до 11)В метке для ввода матрицы

укажите (x, y, z)

Контрольные вопросы1. С помощью какого оператора можно вычислить выражение?2. Как вставить текстовую область в документ Mathcad?3. Чем отличается глобальное и локальное определение переменных? С помощью каких

операторов определяются?4. Как изменить формат чисел для всего документа?5. Как изменить формат чисел для отдельного выражения?6. Какие системные (предопределенные) переменные Вам известны? Как узнать их

значение? Как изменить их значение?7. Какие виды функций в Mathcad Вам известны?8. Как вставить встроенную функцию в документ Mathcad?9. С помощью каких операторов можно вычислить интегралы, производные, суммы и

произведения?10. Как определить дискретные переменные с произвольным шагом? Какой шаг по

умолчанию?11. Как определить индексированную переменную?12. Какие виды массивов в Mathcad Вам известны?13. Какая системная переменная определяет нижнюю границу индексации элементов

массива?14. Опишите способы создания массивов в Mathcad.15. Как просмотреть содержимое массива, определенного через дискретный аргумент?16. Как построить графики: поверхности; полярный; декартовый?17. Как построить несколько графиков в одной системе координат?18. Как изменить масштаб графика?19. Как определить координату точки на графике?20. Как построить гистограмму?21. Какие функции используются для построения трехмерных графиков?22. Как создать анимацию в Mathcad?23. Какое расширение имеют сохраненные файлы анимаций?

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 2Решение уравнений средствами Mathcad

Как известно, многие уравнения и системы уравнений не имеют аналитических решений. В первую очередь это относится к большинству трансцендентных уравнений. Доказано также, что нельзя построить формулу, по которой можно было бы решить произвольное алгебраическое уравнение степени выше четвертой1. Однако такие уравнения могут решаться численными методами с заданной точностью (не более значения заданного системной переменной TOL).

Численное решение нелинейного уравнения

Для простейших уравнений вида f(x) = 0 решение в Mathcad находится с помощью функции root (Рисунок 5).

root( f(х1, x2, …), х1, a, b )Возвращает значение х1, принадлежащее отрезку [a, b], при котором выражение или функция f(х) обращается в 0. Оба аргумента этой функции должны быть скалярами. Функция возвращает скаляр.Аргументы:f(х1, x2, …) - функция, определенная где-либо в рабочем документе, или выражение. Выражение должно возвращать скалярные значения.х1 - - имя переменной, которая используется в выражении. Этой переменной перед использованием функции root необходимо присвоить числовое значение. Mathcad использует его как начальное приближение при поиске корня. a, b – необязательны, если используются, то должны быть вещественными числами, причем a < b.

Приближенные значения корней (начальные приближения) могут быть:1. Известны из физического смысла задачи.2. Известны из решения аналогичной задачи при других исходных данных.3. Найдены графическим способом.

Наиболее распространен графический способ определения начальных приближений. Принимая во внимание, что действительные корни уравнения f(x) = 0 - это точки пересечения графика функции f(x) с осью абсцисс, достаточно построить график функции f(x) и отметить точки пересечения f(x) с осью Ох, или отметить на оси Ох отрезки, содержащие по одному корню. Построение графиков часто удается сильно упростить, заменив уравнение f(x) = 0 равносильным ему уравнением:

1 Доказательство этого факта связано с именами замечательных математиков Абеля (1802-1829) и Галуа (1811-1832).

,

где функции f1(x) и f2(x) - более простые, чем функция f(x). Тогда, построив графики функций у = f1(x) и у = f2(x), искомые корни получим как абсциссы точек пересечения этих графиков.

Пример. Графически отделить корни уравнения:

x lg x = 1. (1)

Уравнение (1) удобно переписать в виде равенства:

lg x= .

Отсюда ясно, что корни уравнения (1) могут быть найдены как абсциссы точек

пересечения логарифмической кривой y = lg x и гиперболы y = . Построив эти кривые,

приближенно найдем единственный корень уравнения (1) или определим его содержащий отрезок [2, 3].

Отсутствие сходимости функции rootЕсли после многих итераций Mathcad не находит подходящего приближения, то появится сообщение (отсутствует сходимость). Эта ошибка может быть вызвана следующими причинами: Уравнение не имеет корней.Корни уравнения расположены далеко от начального приближения.

Рисунок 5. Решение уравнений средствами Mathcad

Выражение имеет локальные max и min между начальным приближением и корнями.Выражение имеет разрывы между начальными приближениями и корнями.Выражение имеет комплексный корень, но начальное приближение было

вещественным.Чтобы установить причину ошибки, исследуйте график f(x). Он поможет выяснить

наличие корней уравнения f(x) = 0 и, если они есть, то определить приблизительно их значения. Чем точнее выбрано начальное приближение корня, тем быстрее будет root сходиться.

Рекомендации по использованию функции rootДля изменения точности, с которой функция root ищет корень, нужно изменить

значение системной переменной TOL. Если значение TOL увеличивается, функция root будет сходиться быстрее, но ответ будет менее точен. Если значение TOL уменьшается, то функция root будет сходиться медленнее, но ответ будет более точен. Чтобы изменить значение TOL в определенной точке рабочего документа, используйте определение вида . Чтобы изменить значение TOL для всего рабочего документа, выберите команду Математика Параметры… Переменные Допуск сходимости (TOL).

Если два корня расположены близко друг от друга, следует уменьшить TOL, чтобы различить их.

Если функция f(x) имеет малый наклон около искомого корня, функция root(f(x), x) может сходиться к значению r, отстоящему от корня достаточно далеко. В таких случаях для нахождения более точного значения корня необходимо уменьшить значение TOL. Другой вариант заключается в замене уравнения f(x) = 0 на g(x) = 0

.

Для выражения f(x) с известным корнем а нахождение дополнительных корней f(x) эквивалентно поиску корней уравнения h(x) = f(x)/(x - a). Подобный прием полезен для нахождения корней, расположенных близко друг к другу. Проще искать корень

Рисунок 6. Определение корней полинома

выражения h(x), чем пробовать искать другой корень уравнения f(x) = 0, выбирая различные начальные приближения.

Нахождение корней полинома

Для нахождения корней выражения, имеющего вид

vnxn + ... + v2x2 + v1x + v0,

лучше использовать функцию polyroots, нежели root. В отличие от функции root, функция polyroots не требует начального приближения и возвращает сразу все корни, как вещественные, так и комплексные.

Polyroots(v)Возвращает корни полинома степени n. Коэффициенты полинома находятся в векторе v длины n + 1. Возвращает вектор длины n, состоящий из корней полинома.Аргументы:v – вектор, содержащий коэффициенты полинома.

Вектор v удобно создавать использую команду Символы Коэффициенты полинома. Рисунок 6 иллюстрирует определение корней полинома средствами Mathcad.

Решение систем уравнений MathCAD дает возможность решать также и системы уравнений. Максимальное число уравнений и

переменных равно 50. Результатом решения системы будет численное значение искомого корня.Для решения системы уравнений необходимо выполнить следующее:

Задать начальное приближение для всех неизвестных, входящих в систему уравнений. Mathcad решает систему с помощью итерационных методов.

Напечатать ключевое слово Given. Оно указывает Mathcad, что далее следует система уравнений.

Введите уравнения и неравенства в любом порядке. Используйте [Ctrl]= для печати символа =. Между левыми и правыми частями неравенств может стоять любой из символов <, >, и .

Введите любое выражение, которое включает функцию Find, например: а:= Find(х, у).

Find(z1, z2, . . .)Возвращает точное решение системы уравнений. Число аргументов должно быть равно числу неизвестных.

Ключевое слово Given, уравнения и неравенства, которые следуют за ним, и какое–либо выражение, содержащее функцию Find, называют блоком решения уравнений.

Следующие выражения недопустимы внутри блока решения:Ограничения со знаком .

Дискретный

аргумент или

выражения, содержащие дискретный аргумент в любой форме.Неравенства вида a < b < c.

Блоки решения уравнений не могут быть вложены друг в друга, каждый блок может иметь только одно ключевое слово Given и имя функции Find.Функция, которая завершает блок решения уравнений, может быть использована аналогично любой другой функции. Можно произвести с ней следующие три действия:Можно вывести найденное решение, напечатав выражение вида:

Find(var1, var2,…) =.

Определить переменную с помощью функции Find:

a := Find(x) – скаляр,

var := Find(var1, var2,…) – вектор.Это удобно сделать, если требуется использовать решение системы уравнений в другом месте рабочего документа.

Определить другую функцию с помощью Find

f(a, b, c, …) := Find(x, y, z, …).

Эта конструкция удобна для многократного решения системы уравнений для различных значений некоторых параметров a, b, c,…, непосредственно входящих в систему уравнений.

Сообщение об ошибке (Решение не найдено) при решении уравнений появляется, когда: Поставленная задача может не иметь решения.Для уравнения, которое не имеет вещественных решений, в качестве начального

приближения взято вещественное число и наоборот.В процессе поиска решения последовательность приближений попала в точку

локального минимума невязки. Для поиска искомого решения нужно задать различные начальные приближения.

Возможно, поставленная задача не может быть решена с заданной точностью. Попробуйте увеличить значение TOL.

Рисунок 7. Решение систем уравнений в MathCAD

Пример 1 Рисунка 7 иллюстрирует решение системы уравнений в MathCAD.

Решение матричных2 уравненийРассмотрим систему n линейных алгебраических уравнений относительно n неизвестных х1, х2, …, хn:

(2)В соответствии с правилом умножения матриц рассмотренная система линейных уравнений может

быть записана в матричном виде

Ах = b, (3)

где:

.

(4)

Матрица А, столбцами которой являются коэффициенты при соответствующих неизвестных, а строками – коэффициенты при неизвестных в соответствующем уравнении, называется матрицей системы; матрица-столбец b, элементами которой являются правые части уравнений системы, называется матрицей правой части или просто правой частью системы. Матрица-столбец х, элементы которой - искомые неизвестные, называется решением системы.Если матрица А - неособенная, то есть det A 0 то система (2), или эквивалентное ей матричное уравнение (3), имеет единственное решение.В самом деле, при условии det A 0 существует обратная матрица А-1. Умножая обе

2 Матричным уравнением называется уравнение, коэффициенты и неизвестные которого – прямоугольные матрицы соответствующей размерности.

Рисунок 8. Решение матричных уравнений

части уравнения (3) на матрицу А-1 получим:

(5)

Формула (5) дает решение уравнения (3) и оно единственно.Системы линейных уравнений удобно решать с помощью функции lsolve.

lsolve(А, b)Возвращается вектор решения x такой, что Ах = b.

Аргументы:А - квадратная, не сингулярная матрица.b - вектор, имеющий столько же рядов, сколько рядов в матрице А.

На Рисунке 8 показано решение системы трех линейных уравнений относительно трех неизвестных.

Приближенные решения

Функция Minerr очень похожа на функцию Find (использует тот же алгоритм). Если в результате поиска не может быть получено дальнейшее уточнение текущего приближения к решению, Minerr возвращает это приближение. Функция Find в этом случае возвращает сообщение об ошибке. Правила использования функции Minerr такие же, как и функции Find.

Minerr(z1, z2, . . .)Возвращает приближенное решение системы уравнений. Число аргументов должно быть равно числу неизвестных.

Если Minerr используется в блоке решения уравнений, необходимо всегда включать дополнительную проверку достоверности результатов.

Символьное решение уравнений

В Mathcad можно быстро и точно найти численное значение корня с помощью функции root. Но имеются некоторые задачи, для которых возможности Mathcad позволяют находить решения в символьном (аналитическом) виде.

Решение уравнений в символьном виде позволяет найти точные или приближенные корни уравнения:Если решаемое уравнение имеет параметр, то решение в символьном виде может

выразить искомый корень непосредственно через параметр. Поэтому вместо того, чтобы решать уравнение для каждого нового значения параметра, можно просто заменять его значение в найденном символьном решении.

Если нужно найти все комплексные корни полинома со степенью меньше или равной 4, символьное решение даст их точные значения в одном векторе или в аналитическом или цифровом виде.Команда Символы Переменные Вычислить позволяет решить уравнение

относительно некоторой переменной и выразить его корни через остальные параметры уравнения.

Чтобы решить уравнение символьно необходимо: Напечатать выражение (для ввода знака равенства используйте комбинацию клавиш

[Ctrl]=).Выделить переменную , относительно которой нужно решить уравнение, щелкнув на

ней мышью.Выбрать пункт меню Символы Переменные Вычислить.

Нет необходимости приравнивать выражение нулю. Если MathCAD не находит знака равенства, он предполагает, что требуется приравнять выражение нулю.Чтобы решить систему уравнений в символьном виде, необходимо выполнить следующее:

Напечатать ключевое слово Given.Напечатать уравнения в любом порядке ниже слова Given. Удостоверьтесь, что для

ввода знака = используется [Ctrl]=.Напечатать функцию Find, соответствующую системе уравнений.Нажать [Ctrl]. (клавиша CTRL, сопровождаемая точкой). Mathcad отобразит

символьный знак равенства .Щелкнуть мышью на функции Find.

Пример 2 Рисунка 7 иллюстрирует символьное решение системы уравнений в MathCAD.

Порядок выполнения лабораторной работы 2Упражнение 1. Построить график функции f(x) (Таблица 1) и приблизительно определить один из корней уравнения. Решить уравнение f(x)= 0 с точностью = 10 – 4 с помощью встроенной функции Mathcad root;

Таблица 1Варианты упражнения 1

№ вари-анта

f(x)№

вари-анта

f(x)

1 9

2 10 arccos -x

х 2, 3]

3 11

4 12

5 13

6 14

7 15х5 – х - 0,2х 1, 2]

8

Упражнение 2. Для полинома g(x) (Таблица 2) выполнить следующие действия: 1) с помощью команды Символы Коэффициенты полинома создать вектор V,

содержащий коэффициенты полинома;2) решить уравнение g(x) = 0 с помощью функции polyroots;3) решить уравнение символьно, используя команду Символы Переменные

Вычислить.Таблица 2

Варианты упражнения 2

№ вари-

анта

g(x)

№вари-

анта

g(x)

1 x4 - 2x3 + x2 - 12x + 20 9 x4 + x3 - 17x2 - 45x - 100

2 x4 + 6x3 + x2 - 4x - 60 10 x4 - 5x3 + x2 - 15x + 50

3 x4 - 14x2 - 40x - 75 11 x4 - 4x3 - 2x2 - 20x + 25

4 x4 - x3 + x2 - 11x + 10 12 x4 + 5x3 + 7x2 + 7x - 20

5 x4 - x3 - 29x2 - 71x -140 13 x4 - 7x3 + 7x2 - 5x + 100

6 x4 + 7x3 + 9x2 + 13x - 30 14 x4 + 10x3 +36x2 +70x+ 75

7 x4 + 3x3 - 23x2 - 55x - 150 15 x4 + 9x3 + 31x2 + 59x+ 60

8 x4 - 6x3 + 4x2 + 10x + 75

Упражнение 3. Решить систему линейных уравнений (Таблица 3):1) используя функцию Find;2) матричным способом и используя функцию lsolve.

Таблица 3

Варианты упражнения 3

№ вари-анта

Система линейных уравнений

№ вари-анта

Система линейных уравнений

1 9

2 10

Продолжение таблицы 3

№ вари-анта

Система линейных уравнений

№ вари-анта

Система линейных уравнений

3 11

4 12

5 13

6 14

7 15

8

Упражнение 4. Преобразовать нелинейные уравнения системы из Таблицы 4 к виду f 1(x) = y и f 2 (y)= x. Построить их графики и определить начальное приближение решения.  Решить систему нелинейных уравнений с помощью функции Minerr.

Таблица 4

Варианты упражнения 4

№ Система нелинейных № Система нелинейных

вари-анта уравнений

вари-анта уравнений

1 9

2 10

3 11

4 12

5 13

6 14

7 15

8

Упражнение 5. Символьно решить системы уравнений:

Контрольные вопросы1. Назовите способы нахождения начального приближения.2. Какие функции для решения одного уравнения в MathCAD вы знаете? В чем их отличие?3. Какие аргументы функции root не обязательны?4. В каких случаях MathCAD не может найти корень уравнения?5. Какая системная переменная отвечает за точность вычислений?6. Как изменить точность, с которой функция root ищет корень?7. Как системная переменная TOL влияет на решение уравнения с помощью функции root?8. Назовите функции для решения систем уравнений в MathCAD и особенности их применения.9. Опишите структуру блока решения уравнений.10. Какой знак равенства используется в блоке решения? Какой комбинацией клавиш вставляется в документ?11. Какие выражения не допустимы внутри блока решения уравнения?12. Опишите способы использования функции Find.13. В каких случаях MathCAD не может найти решение системы уравнений?14. Дайте сравнительную характеристику функциям Find и Minerr.15. Какие уравнения называются матричными?16. Как решать матричные уравнения? Назовите способы решения матричных уравнений.17. Как символьно решить уравнение или систему уравнений в MathCAD? Какой знак равенства используется? Какой комбинацией клавиш вставляется в документ?18. Назовите особенности использования символьного решения уравнений.

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 3Символьные вычисления

Системы компьютерной алгебры снабжаются специальным процессором для выполнения аналитических (символьных) вычислений. Его основой является ядро, хранящее всю совокупность формул и формульных преобразований, с помощью которых производятся аналитические вычисления. Чем больше этих формул в ядре, тем надежней работа символьного процессора и тем вероятнее, что поставленная задача будет решена, если такое решение существует в принципе (что бывает далеко не всегда). Ядро символьного процессора системы MathCAD — несколько упрощенный вариант ядра известной системы символьной математики Maple V фирмы Waterloo Maple Software, у которой фирма MathSoft (разработчик MathCAD) приобрела лицензию на его применение, благодаря чему MathCAD стала (начиная с версии 3. 0) системой символьной математики. Символьные вычисления выполняются столь же просто (для пользователя), как вычисление квадрата х. Символьные операции можно выполнять двумя способами:

Непосредственно в командном режиме (используя операции меню Символы); С помощью операторов символьного преобразования (используя палитру

инструментов Символы ).Рассмотрим первый способ.

Выделение выражений для символьных вычислений

Чтобы символьные операции выполнялись, процессору необходимо указать, над каким выражением эти операции должны производиться, т. е. надо выделить выражение. Для ряда операций следует не только указать выражение, к которому они относятся, но и наметить переменную, относительно которой выполняется та или иная символьная операция. Само выражение в таком случае не выделяется. Таким образом, для выполнения операций с символьным процессором нужно выделить объект (целое выражение или его часть) синими сплошными линиями.Символьные операции разбиты на пять характерных разделов. Первыми идут наиболее часто используемые операции. Они могут выполняться с выражениями, содержащими комплексные числа или имеющими решения в комплексном виде.

Символьные операции

Операции с выделенными выражениями Если в документе есть выделенное выражение, то с ним можно выполнять различные операции, представленные ниже:

Расчеты — преобразовать выражение с выбором вида преобразований из подменю;

Символические [Shift] F9 – выполнить символьное преобразование выделенного выражения;С плавающей запятой… – вычислить выделенное выражение в вещественных числах;Комплексные – выполнить вычисления в комплексном виде;

Упростить — упростить выделенное выражение с выполнением таких операций, как сокращение подобных слагаемых, приведение к общему знаменателю, использование основных тригонометрических тождеств и т д.;Расширить — раскрыть выражение [например, для (Х + Y) (Х - Y) получаем X 2- Y 2];Фактор — разложить число или выражение на множители [например, X 2- Y 2 даст

(Х + Y) (Х - Y)];Подобные — собрать слагаемые, подобные выделенному выражению, которое может быть отдельной переменной или функцией со своим аргументом (результатом будет выражение, полиномиальное относительно выбранного выражения);Коэффициенты Полинома — по заданной переменной найти коэффициенты полинома, аппроксимирующего выражение, в котором эта переменная использована.

Операции с выделенными переменными Для ряда операций надо знать, относительно какой переменной они выполняются. В этом случае необходимо выделить переменную, установив на ней маркер ввода. После этого становятся доступными следующие операции подменю Переменные:

Вычислить — найти значения выделенной переменной, при которых содержащее ее выражение становится равным нулю; Замена — заменить указанную переменную содержимым буфера обмена; Дифференциалы — дифференцировать выражение, содержащее выделенную переменную, по этой переменной (остальные переменные рассматриваются как константы); Интеграция — интегрировать все выражение, содержащее переменную, по этой переменной; Разложить на составляющие... — найти несколько членов разложения выражения в ряд Тейлора относительно выделенной переменной; Преобразование в Частичные Доли — разложить на элементарные дроби выражение, которое рассматривается как рациональная дробь относительно выделенной переменной.

Операции с выделенными матрицами Операции с выделенными матрицами представлены позицией подменю Матрицы, которая имеет свое подменю со следующими операциями: Транспонирование — получить транспонированную матрицу; Инвертирование — создать обратную матрицу; Определитель — вычислить детерминант (определитель) матрицы. Результаты символьных операций с матрицами часто оказываются чрезмерно громоздкими и поэтому плохо обозримы.

Операции преобразования В позиции Преобразование содержится раздел операций преобразования, создающий подменю со следующими возможностями:

Фурье — выполнить прямое преобразование Фурье относительно выделенной переменной; Фурье Обратное — выполнить обратное преобразование Фурье относительно выделенной переменной; Лапласа — выполнить прямое преобразование Лапласа относительно выделенной переменной (результат — функция переменной s); Лапласа Обратное — выполнить обратное преобразование Лапласа относительно выделенной переменной (результат — функция

Рисунок 9. Стиль Вычислений

переменной t); Z — выполнить прямое Z-преобразование выражения относительно выделенной переменной (результат — функция переменной z); Обратное Z — выполнить обратное Z-преобразование относительно выделенной переменной (результат — функция переменной n) .

Стиль представления результатов вычислений

На наглядность вычислений влияет стиль представления их результатов. Следующая команда позволяет задать тот или иной стиль: Стиль Вычислений... — задать вывод результата символьной операции под основным выражением, рядом с ним или вместо него (Рисунок 9).

Примеры символьных операций в командном режиме

Большинство символьных операций легко выполняются, так что ниже мы остановимся лишь на некоторых примерах. Символьная операция Расчеты обеспечивает работу с математическими выражениями, содержащими встроенные в систему функции и представленными в различном виде: полиномиальном, дробно-рациональном, в виде сумм и произведений, производных и интегралов и т. д. (Рисунок 10). Операция стремится произвести все возможные численные вычисления и представить выражение в наиболее простом виде. Она возможна над матрицами с символьными элементами. Производные и определенные интегралы, символьные значения которых вычисляются, должны быть представлены в своей естественной форме. Особо следует отметить возможность выполнения численных вычислений с повышенной точностью — 20 знаков после запятой. Для перехода в такой режим вычислений нужно числовые константы в вычисляемых объектах задавать с обязательным указанием десятичной точки, например 10.0 или 3.0, а не 10 или 3. Этот признак является указанием на проведение вычислений такого типа. На Рисунке 10 показаны типовые примеры действия операции Расчеты.Здесь слева показаны исходные выражения, подвергаемые символьным преобразованиям, а справа — результат этих преобразований. Операция Расчеты одна из самых мощных. Как видно из Рисунка 6, она позволяет в

Рисунок 10. Символьные вычисления Рисунок 11. Разложение функции в ряд Тейлора

символьном виде вычислять суммы (и произведения) рядов, производные и неопределенные интегралы, выполнять символьные и численные операции с матрицами. Эта операция содержит подменю. Команда Символические тут наиболее важная. Назначение других команд очевидно: они нужны, если результат требуется получить в форме комплексного или действительного числа. К примеру, если вы хотите вместо числа получить 3.141..., используйте команду С плавающей запятой…. В режиме символьных вычислений результат может превосходить машинную бесконечность системы — см. пример на вычисление ехр(1000.0) на Рисунке 10. При этом число точных значащих цифр результата практически не ограничено (или, точнее говоря, зависит от емкости ОЗУ). Операция Разложить на составляющие... возвращает разложение в ряд Тейлора выражения относительно выделенной переменной с заданным по запросу числом членов ряда n (число определяется по степеням ряда). По умолчанию задано п = 6. В разложении указывается остаточная погрешность разложения. На Рисунке 11

представлено применение этой операции для разложения функции . Минимальная

погрешность получается при малых х (см. графическое представление функции и ее ряда).

Операторы вычисления пределов функций

Для вычисления пределов функций в систему введен символьный оператор limit. Помимо ввода с наборной панели Матанализ, его в трех формах можно ввести нажатием следующих комбинаций клавиш:[Ctrl] L — ввод шаблона оператора вычисления предела функции при х, стремящемся к заданному значению, [Ctrl] A — ввод шаблона вычисления предела функции слева от заданной точки, [Ctrl] B — ввод шаблона вычисления предела функции справа от заданной точки.

На Рисунке 12 показаны примеры вычисления пределов. При вычислении пределов нужно заполнить шаблоны, входящие в главный шаблон для вычисления пределов, а затем ввести функцию, имя переменной, по которой ищется предел, и значение переменной — аргумента функции.Для получения результата установите после блока вычисления предела стрелку с острием, направленным вправо. Предел (если он существует) будет вычислен и появится в шаблоне у острия стрелки. Если функция не имеет предела, вместо результата появится надпись Undefine.

Задание операторов пользователя

Рисунок 12. Вычисление пределов

Еще одна экзотическая возможность, присущая новым версиям системы MathCAD, — задание новых операторов пользователя. Такой оператор задается практически так же, как функция пользователя, но вместо имени выбирается какой-либо подходящий знак. Например, можно задать оператор деления в виде:

- задание нового оператора деления; — применение функции деления;

— применение нового оператора деления.

При кажущейся простоте такого задания здесь есть проблемы. Встроенные в систему операторы нельзя переопределить. Поэтому набор доступных знаков для обозначения новых операторов ограничен. Нельзя задать новый оператор деления знаком / (он уже использован), но можно взять знак поскольку этот символ системой не используется.

Вторая проблема связана с вводом символа нового оператора. Скорее всего, его напрямую ввести нельзя. Придется воспользоваться типовыми приемами ввода новых символов в документы Windows. Один из этих приемов — использование приложения, выдающего таблицу символов, с возможностью его экспорта из этой таблицы в документ другого приложения (в нашем случае — в документ MathCAD). Можно также воспользоваться подходящим знаком из набора MATH SYMBOL, имеющегося в составе Шпаргалок, доступ к которым дает Ресурс Центр (? Ресурс Центр Справочный стол и краткое руководство Дополнительные математические символы). На Рисунке 8 показан такой вариант задания нового оператора пользователя. Для перетаскивания знака можно скопировать его в буфер обмена с помощью операции Копировать, а затем ввести в документ, используя операцию Вставка. После того как оператор задан, его можно использовать, как функцию и как оператор. Примеры показаны на Рисунке 13. Для применения нового оператора надо вывести его шаблон с помощью панели математических знаков (она также показана Рисунке 13). В

нашем случае следует нажать кнопку этой панели — она выводит особый шаблон вида   . Введите операнды, например 6 и 3 в крайние прямоугольники, а символ оператора — в средний. Поставив после этой конструкции знак равенства, увидите результат — число 2.

Можно задать и другие операторы, например, для работы с одним операндом. Так, вы можете задать оператор для пересчета значения температуры по шкале Цельсия, с тем чтобы определить соответствующее ему значение по шкале Фаренгейта, следующим образом

Затем, используя кнопку наборной панели символов отношения, можно выполнять операцию пересчета в виде.

Есть области математики и физики, где задание новых операторов необходимо, поскольку является частью специфического языка их описания.

Порядок выполнения лабораторной работы 3

Упражнение 1. Используя операцию Символы Расчеты С плавающей запятой…, представьте:

1) число в 7 позициях;2) число 12, 345667 в 3 позициях.

Упражнение 2. Выведите следующие числа в комплексной форме, используя операцию Расчеты Комплексные меню Символы:

1) ;

2) tg (a );

3) ;4) для выражения 3) последовательно выполните операции Расчеты

Комплексные и Упростить меню Символы.

Упражнение 3. Для полинома g(x) (см. Таблица 1) выполнить следующие действия: 1) разложить на множители, используя операцию Символы Фактор;2) подставьте выражение x = y + z в g(x), используя операцию Символы

Переменные Замена (предварительно скопировав подставляемое выражение в буфер обмена, выделив его и нажав комбинацию клавиш Ctrl + C);

3) используя операцию Символы Расширить, разложите по степеням выражение, полученное в 2);

4) используя операцию Символы Подобные, сверните выражение, полученное в 3), по переменной z.

Таблица 1Варианты упражнения 3

№ вари-анта

g(x)№

вари-анта

g(x)

1 x4 - 2x3 + x2 - 12x + 20 9 x4 + x3 - 17x2 - 45x - 100

2 x4 + 6x3 + x2 - 4x - 60 10 x4 - 5x3 + x2 - 15x + 50

Рисунок 13. Задание оператора пользователя с выбором имени из набора знаков

3 x4 - 14x2 - 40x - 75 11 x4 - 4x3 - 2x2 - 20x + 25

4 x4 - x3 + x2 - 11x + 10 12 x4 + 5x3 + 7x2 + 7x - 20

5 x4 - x3 - 29x2 - 71x -140 13 x4 - 7x3 + 7x2 - 5x + 100

6 x4 + 7x3 + 9x2 + 13x - 30 14 x4 + 10x3 +36x2 +70x+ 75

7 x4 + 3x3 - 23x2 - 55x - 150 15 x4 + 9x3 + 31x2 + 59x+ 60

8 x4 - 6x3 + 4x2 + 10x + 75

Упражнение 4. Разложите выражения на элементарные дроби используя операцию Символы Переменные Преобразование в частичные доли:

1) ; 2) ;

3) ; 4) .

Упражнение 5. Разложите выражения в ряд с заданной точностью, используя операцию Символы Переменные Разложить на составляющие:

1) ln ( 1 + x), х0 = 0, порядок разложения 6;

2) sin (x)2, х0 = 0, порядок разложения 6.

Упражнение 6. Найти первообразную аналитически заданной функции f(x) (Таблица 4), используя операцию Символы Переменные Интеграция.

Упражнение 7. Определить символьное значение первой и второй производных f(x) (Таблица 4), используя команду Символы Переменные Дифференциалы.

Таблица 4Варианты упражнений 6 и 7

№ вари-анта

f(х)№

вари-анта

f(х)№

вари-анта

f(х)

1 6 x2 11 (2x + 3) sin x

2 7 122

3 1/(x ) 8 2 13 1/(1 + x + x2)

4 9 (x + 1) sin x 14

5 x2 10 5x + x lg x 15

Упражнение 8.

1) Транспонируйте матрицу М

с помощью операции Символы Матрицы Транспонирование.

2) Инвертируйте матрицу

с помощью операции Символы Матрицы Инвертирование.

3) Вычислите определитель матрицы М

с помощью операции Символы Матрицы Определитель.

Упражнение 8. Вычислите пределы:

1)

2)

3) 4)

5)6)

7) 8)

Упражнение 9. Задайте операторы пользователя:

1) Для пересчета единиц электрической энергии (кВтч в Дж, эВ в Дж) если известно, что

1 кВтч = 3,6 106 Дж;

1 эВ = 1,602 10-19 Дж.

2) Для пересчета единиц магнитной индукции (Вб/см2 в Т, Гс в Т) если известно, что

1 Вб/см2 = 1 104 Т;

1 Гс = 1 10-4 Т.

3) Для пересчета единиц мощности (эрг/с в Вт, кгсм/c в Вт) если известно, что

1 эрг/с = 1 10-7 Вт;

1 кгсм/c = 9,80665 Вт.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ1. Назовите способы выполнения символьных операций в MathCAD.2. Что необходимо сделать с выражением перед применением символьных

преобразований в командном режиме?3. Перечислите символьные операции с выделенными выражениями.4. Перечислите символьные операции с выделенными переменными.5. Перечислите символьные операции с выделенными матрицами.6. Перечислите символьные операции преобразования.7. Какие параметры определяет стиль представления результатов вычислений и где

он задается?8. В каких случаях результат символьных преобразований помещается в буфер

обмена?

9. Каким образом можно вычислить предел в MathCAD?10. Для чего необходимо задание операторов пользователя?11. Как задать оператор пользователя?

Рекомендуемая литература.

Основная:1. Введение в научное исследование по педагогике: Учеб. пособие для студ. пед. ин-тов / Ю. К. Бабанский, В. И.Журавлев, В. К. Розов и др. / Под ред. В.И.Журавлева. - М., 1988.2. Лакин Г.Ф. Биометрия. - М.: Высш. шк., 1980.3. Масальгин Н. А. Математико-статистические методы в спорте. М., ФиС, 1974.4. Методика и техника статистической обработки первичной социологической информации. Отв. ред. Г. В. Осипов. М., «Наука», 1968.5. Методы педагогических исследований. Лекции для студентов педагогических институтов. Под ред. В. И. Журавлева. М., «Просвещение», 1972.Дополнительная:6. Mathcad 6.0 Plus. Финансовые, инженерные и научные расчеты в среде

Windows 95./Перевод с англ. - М.: Информационно-издательский дом “Филинъ”, 1996. -712 с.

7. Дьяконов В.П. Справочник по MathCAD PLUS 6.0 PRO. - М.: “СК Пресс”, 1997. - 336 с.: ил.

8. Дьяконов В.П., Абраменкова И.В. MathCAD 8 PRO в математике, физике и Internet. - М.: “Нолидж”, 2000. - 512 с.: ил.

9. Кудрявцев Е.М. MathCAD 2000 Pro. – М.: ДМК Пресс, 2001. – 576 с.: ил.10. Очков В.Ф. Mathcad 7 Pro для студентов и инженеров. - М.:

КомпьютерПресс, 1998. - 384 с.: ил.11. Плис А.И., Сливина Н.А. Mathcad 2000. Лабораторный практикум по

высшей математике. - М.: Высш. шк., 2000. - 716 с.: ил.12. Ханова А.А., Макарова И.Г. Лабораторный практикум по

математическому моделированию и методам в расчетах на ЭВМ. - Астрахань: Изд-во АГТУ, 1998. - 93 с.

13. Ханова А.А. Численное решение уравнений и систем. - Астрахань: Изд-во АГТУ, 2001. - 44 с.

14. Ханова А.А. Символьные вычисления в среде MathCAD. - Астрахань: Изд-во АГТУ, 2001. - 34 с.

15. Д. В. Могиленских и др. «Визуализация линий тока и методы комплексной визуализации дискретных векторных полей». VII Забабахинские научный чтения. Международная конференция. 2003.

16. Ю.М.Баяковский, А.В.Игнатенко, А.И.Фролов. «Графическая библиотека OpenGL». Учебно-методическое пособие, МГУ ВМиК, 2003 г.

17. Б. Мандельброт. Фрактальная геометрия природы . Ижевск: РХД. 2001 [31] Х.-О. Пайтген, П. Х. Рихтер. Красота фракталов. М.: Мир. 1993.

18. Р. М. Кроновер. Фракталы и хаос в динамических системах. М.: Постмаркет. 2000.

19. А. Д. Морозов. Введение в теорию фракталов. Ижевск.: Институт компьютерных исследований. 2004.