midas family program은 주식회사 마이다스아이티에서 개발한 · civil, midas fea,...

We Analyze and Design the Future

MIDAS Family Program은

주식회사 마이다스아이티에서 개발한

구조해석 및 설계, 지반 및 터널해석, 가시설전용 해석 및 설계용 소프트웨어 패키지입니다.

MIDAS Family Program과 관련 책자는

컴퓨터 프로그램 보호법과 저작권법에 의하여 보호를 받고 있습니다.

프로그램이나 관련 자료에 대한 문의는 아래 연락처를 참조 바랍니다.

본 사용자 지침서의 작성에 인용된 상표(trademark) 및 등록상표(registered trademark)는

다음과 같습니다.

ADINA is a trademark of ADINA R&D, Inc.

AutoCAD is a registered trademark of Autodesk, Inc.

SAP2000 is registered trademark of Computer and Structure, Inc.

Excel is a trademark of Microsoft Corporation.

IBM is a registered trademarks of International Business Machines Corporation.

Intel 386, 486, and Pentium are trademark of Intel Corporation.

MIDAS is a trademark of MIDAS Information Technology Corporation.

MSC/NASTRAN is a registered trademark of the National Aeronautics and Space Administration(NASA).

NISAⅡis a trademark of Engineering Mechanics Research Corporation.

ScreenCam is a trademark of Lotus Development Corporation.

Sentinel is a trademark of Rainbow Technologies, Inc.

Windows is a trademark of Microsoft Corporation.

Internet Explorer is a trademark of Microsoft Corporation.

경기도 성남시 분당구 삼평동 633 판교세븐벤처밸리 마이다스아이티동Phone : 031-789-2000 Fax : 031-789-2100 E-mail : [email protected] http : //www.midasuser.com

Modeling, Integrated Design & Analysis Software

프로그램 검증과 사용전 유의 사항

MIDAS Family Program은 개발단계에서 수천종의 예제 문제를 통하여 이론치 그리고 타 S/W와의 비교검증

을 마친바 있으며 최신의 이론을 내장하여 우수한 해석결과를 산출합니다.

그리고 1989년 개발 이후 관공서를 포함해 국내외 5,000여 프로젝트에 적용하여 정확성과 효용성이 입증되

었습니다.

MIDAS Family Program은 사단법인 한국전산구조공학회와 사단법인 한국터널공학회의 엄격한 검증과정을

거친 프로그램입니다.

그러나 방대한 양의 이론과 설계지식이 집적되는 구조해석 및 설계 프로그램의 특성상, MIDAS Family

Program을 사용함으로써 발생될 수 있는 어떠한 이익과 손실에 대해서도 MIDAS Family Program의 개발

후원자와 개발자 그리고, 검증참여기관에게는 권리와 책임이 없습니다.

따라서 프로그램을 사용하기 전에 사용자지침서에 대한 충분한 이해과정이 필요하며 프로그램의 수행결과에

대해서도 사용자의 검증이 반드시 필요합니다.

DISCLAIMER

Developers and sponsors assume no responsibility for the use of MIDAS Family Program (midas

Civil, midas FEA, midas UMD, midas Abutment, midas Pier, midas Deck, midas GTS, SoilWorks, GeoXD,

midas Gen, midas ADS, midas Modeler, midas Drawing, midas Desiign+, midas SDS, midas eGen, midas

NFX, Nastran FX ; hereinafter referred to as “MIDAS package”) or for the accuracy or validity of any

results obtain from the MIDAS package.

Developers and sponsors shall not be liable for loss of profit, loss of business, or financial loss

which may be caused directly or indirectly by the MIDAS package, when used for any purpose

or use, due to any defect or deficiency therein.

감사의 글

MIDAS Family Program은 포스코그룹의 창사 이래 엔지니어링과 건설분야에서 축적한 구조설계 및 설계기

술을 집적하여 지반, 터널 및 가시설분야로 영역을 확대하여 국내의 여러 교수님들과 기술자 여러분들의 도

움으로 만들어진 것입니다.

본 프로그램의 개발과 사용자지침서의 작성에 도움을 주신 학계 교수님, 그리고 관련 분야의 기술자여러분께

감사드립니다.

특히, 프로그램 개발 전반에 걸쳐 조언과 알고리즘을 제공해 주신 서울산업대 정완진 교수, VSL Korea의 이

만섭 사장, COWI Korea의 박찬민 사장, 박정호 실장, 박인교 부장, Parsons Brinckerhoff의 이승우 박사, 울

산대학교 차수원 교수님께 깊이 감사 드립니다.

그리고 본 프로그램의 개발을 위해 지원을 아끼지 않으신 대한토목학회, 한국강구조공학회, 한국전산구조공학

회의 여러분께도 본 지면을 빌어 감사의 말씀을 올립니다.

폐사는 본 프로그램이 우리나라 구조해석 및 설계 분야의 기술 신장과 대외 기술 경쟁력 확보에 다소나마 기

여할 수 있기를 바랍니다.

주식회사 마이다스아이티

머리말

midas Civil은 토목구조물의 구조해석과 설계를 빠른 시간내에 완성할 수 있도록 개발된 “토목전용 구조해석

및 최적설계 프로그램”이며, Civil은 “Civil structure analysis/design”을 의미합니다.

midas Civil과 MIDAS Family Program에 대하여

midas Civil은 1989년부터 개발되기 시작한 MIDAS Family Program 중 하나입니다. MIDAS Family

Program은 구조물 해석 및 설계에 수반되는 단위설계 업무의 전 과정을 자동화하기 위한 목적으로 개발된

package software로서 다음과 같이 구성되어 있습니다.

토목분야

midas Civil 토목분야 범용 구조해석 및 최적설계 시스템

midas FEA 건설분야 비선형 해석 및 상세해석 시스템

midas UMD 토목분야 단위 부재 설계 프로그램

midas Abutment 교대설계(계산서, 도면, 수량) 자동화 시스템

midas Pier 교각설계(계산서, 도면, 수량) 자동화 시스템

midas Deck 콘크리트 바닥판 설계(계산서, 도면, 수량) 자동화 시스템

지반분야

midas GTS 지반 및 터널구조물 전용 해석 시스템

SoilWorks 지반분야 최적 설계용 토탈 솔루션

GeoXD 가시설 구조설계 및 도면생성 시스템

건축분야

midas Gen 건축분야 범용 구조해석 및 최적설계 시스템

midas ADS 전단벽식 아파트 전용 구조해석 및 설계 시스템

midas Modeler 3D 구조해석모델 자동 생성 프로그램

midas Drawing 구조도면 및 물량산출 자동 생성 프로그램

midas Design+ 부재설계 및 구조도면 자동생성 프로그램

midas SDS 바닥판/기초판 구조해석 및 설계 시스템

midas eGen 저층 건축물 전용 구조설계 프로그램

기계분야 midas NFX 최적설계용 다분야 통합해석 솔루션

Nastran FX 기계분야 토탈 구조해석 시스템

midas Civil의 장점과 특징에 대하여

midas Civil은 포스코 그룹의 실무 및 연구 기술진을 중심으로 관련 학계의 교수 여러분과 업계의 실무자 여

러분들의 조력으로 개발된 프로그램이며 윈도우즈기반의 객체 지향적 특성과 기존 Gen의 장점을 최대한 반

영하여 Visual C++ 로 개발 되었기 때문에 빠르고 쉽게 익혀서 실무에 적용할 수 있습니다.

특히, 정교하게 설계된 GUI(Graphic User Interface)기능과 도화처리(Graphic display)기능을 이용하여 구조

모델의 형상과정을 입력 단계 별로 확인할 수 있으며, 출력결과를 바로 문서화할 수 있도록 개발되었습니다.

또한 midas Civil은 개발 과정에서 수천종의 검증용 문제를 통하여 모든 기능에 대해 이론치 및 타 범용 프로

그램과의 비교 검토를 마쳤으며, 이미 다양한 실무 프로젝트에 적용되어 신뢰성과 효용성에 대한 검증이 이

루어진 바 있습니다.

이들 중에서 대표적인 검증 예제를 발췌하여 작성한 Verification을 홈페이지(www.midasuser.com)에 등재하

였습니다. 해석 결과의 정확도를 결정하는 유한요소의 알고리즘 측면에서도 최신의 이론을 적용하였기 때문

에 타 유사 프로그램에 비해 우수한 결과를 산출합니다.

끝으로

midas Civil은 국내의 수많은 기술자들과 학계에 계신 교수님들의 노력과 협조로 잉태된 것입니다.

이제부터 midas Civil을 사용하실 여러분의 성공적인 성과를 기대하며, 사용상 불편한 점이나 개선사항이 있

으면 연락 바랍니다.

끝으로 midas Civil을 개발하는 동안 참여해 주신 여러분께 감사 드리며, 특히 헌신적인 희생을 감내하여 주

신 개발자와 가족 여러분께 지면을 빌어 감사의 말을 전합니다.

사용자지침서에 대하여

midas Civil의 사용자지침서는 다음과 같이 2권의 책자와 Online manual로 구성되어 있습니다.

제 1권, Getting Started

프로그램의 개요와 프로그램 사용 전에 알아야 할 사항

제 2권, Analysis Reference

수치해석모델과 요소 및 해석기능에 대한 해설

Online Manual

프로그램에 내장되어 있으며 각 기능에 대한 자세한 사용법과 각 입력항목에 대한 설명

midas Civil의 특성과 기능을 효과적으로 이해하고 습득하기 위해서는 다음과 같은 순서에 따라 지침서에 포

함된 내용을 먼저 이해한 후에 프로그램을 사용하는 것이 바람직합니다.

우선 midas Civil의 구조해석 기능에 대한 해설내용을 포함하고 있는 제 2권을 보시기 바랍니다.

midas Gen이나 타 프로그램에 대한 사용경험이 있는 경우에는 이 과정을 생략하고, 프로그램 사용 중에 참

고가 필요할 때 원하는 부분을 찾아보시면 됩니다.

제 2권에 기술된 내용들은 midas Civil로 유한요소해석을 수행하는데 필요한 기초적 고려사항과 설계과정에

서 기본적으로 숙지해야 하는 내용들을 포함하고 있습니다. 실제로 구조해석 이론과 사용 프로그램에 대한

이해가 부족한 상태에서 구조해석을 수행할 경우, 오류가 포함될 확률이 90%를 상회하는 것으로 외국 저널

등에 심각하게 보고되고 있습니다.

제 1권의 “설치하기”부분을 보시고 안내된 절차에 따라 midas Civil을 설치하십시오.

그리고 midas Civil을 사용하는데 필요한 기본개념을 포함하고 있는 제 1권의 나머지 부분들을 읽어 보시기

바랍니다.

제 1권에는 모델링을 위한 “작업환경 설정하기”, “데이터 입력하기”, “모델화면 다루기”, “선택기능과 활성화/비

활성화기능” 등과 같이 midas Civil의 효과적인 운용을 위해 반드시 숙지해야 할 GUI 환경에 대한 사용법과

“모델링하기”, “해석하기”, “해석결과 분석하기” 등 실제 해석 작업에 필수적으로 수반되는 기능들에 대한 설명

이 포함되어 있습니다.

참고로 각 기능에 대한 자세한 사용법과 각 입력항목에 대한 설명은 midas Civil의 help메뉴에 내장된

Online manual의 “midas Civil의 기능” 부분에 기술되어 있습니다.

MIDAS IT의 홈페이지(www.midasuser.com)에는 midas Civil의 주요 해석기능에 대하여 다양한 예제를 통하

여 이론치 또는 타 구조해석 프로그램의 결과치와 비교, 검증한 내용을 담은 verification examples가 등재되

어 있습니다. 검증예제들은 대부분 대학의 학과과정에서 접할 수 있는 간단한 문제들로 구성되어 있기 때문

에 구조해석에 입문하는 초보 사용자들이 구조해석에 관한 개념을 파악하고 이해하는데 자료로 활용될 수 있

습니다.

MIDAS IT의 홈페이지(www.midasuser.com)에는 이외에도 “프로그램 기술자료”, “교육센터>온라인학습”, “교

육센터>세미나 다시보기”, “질문과 답변” 그리고 “전문가 칼럼” 등의 코너를 운용하고 있습니다. midas Civil의

사용법은 물론 실무를 수행하는데 필요한 구조기술을 전파하고 기타 유용한 자료를 실시간으로 제공하여, 항

상 사용자 여러분 옆에 존재하는 살아있는 매뉴얼의 역할을 수행하고자 최선을 다하고 있습니다.



CONTENTS Part 1 midas Civil의 수치해석 모델

Chapter 1. 수치해석 모델 ····························

Chapter 2. 좌표계와 절점 ····························

Chapter 3. 유한요소의 종류 ·························· 3-1 트러스요소 (Truss Element) / 006 3-2 인장력 전담요소 (Tension-only Element) / 010 3-3 케이블 요소(Cable Element) / 012 3-4 압축력 전담요소 (Compression-only Element) / 016 3-5 보요소 (Beam Element) / 018 3-6 평면응력요소 (Plane Stress Element) / 022 3-7 평면변형요소 (2D Plane Strain Element) / 031 3-8 축대칭요소 (2D Axisymmetric Element) / 041 3-9 판요소 (Plate Element) / 048 3-10 입체요소 (Solid Element) / 058

Chapter 4. 요소 입력시 주요 고려사항 ················· 4-1 트러스요소, 인장력 전담요소, 압축력 전담요소 / 075 4-2 보요소 / 078 4-3 평면응력요소 / 081 4-4 평면변형요소 / 083 4-5 축대칭요소 / 084 4-6 판요소 / 085 4-7 입체요소 / 087 4-8 직교이방성재질 입력시 주요 고려사항 / 088

001

003

005

072


CONTENTS Chapter 5. 요소의 강성 데이터 ·······················

5-1 단면적 (Area : Cross Sectional Area) / 091 5-2 유효전단면적 (Asy, Asz : Effective Shear Area) / 092 5-3 비틀림강성 (Ixx: Torsional Resistance) / 094 5-4 단면2차모멘트 (Iyy, Izz: Area Moment of Inertia) / 101 5-5 단면상승모멘트 (Iyz: Area Product Moment of Inertia) / 103 5-6 단면1차모멘트 (Qy, Qz: First Moment of Area) / 106 5-7 전단계수 (Qyb, Qzb: Shear Factors of Shear Stress due to Bending) / 107 5-8 합성단면의 강성계산 / 108

Chapter 6. 경계조건 ································ 6-1 경계조건 / 109 6-2 자유도 구속조건 / 110 6-3 탄성경계요소 / 113 6-4 범용경계요소(General Spring Supports) / 116 6-5 Distributed Spring(Winkler Spring) / 118 6-6 탄성연결요소 / 121 6-7 범용연결요소 (General Link) / 122 6-8 요소의 단부해제조건 / 130 6-9 강성역 / 132 6-10 주절점과 종속절점(강체연결기능) / 145 6-11 지지점의 강제변위 / 154

089

109


CONTENTS Part 2 midas Civil의 구조해석 기능

Chapter 1. 구조해석 기능 ····························

Chapter 2. 정적해석 ································

Chapter 3. 자유진동 해석 ···························· 3-1 고유벡터 해석 / 160 3-2 Ritz벡터 해석 / 166

Chapter 4. 감쇠의 고려 ····························· 4-1 감쇠의 개요 / 171 4-2 비례감쇠 / 175 4-3 Rayleigh 감쇠 / 177 4-4 변형율 에너지에 기초한 모드 감쇠 / 181 4-5 모드별 감쇠 / 185 4-6 요소별 Rayleigh 감쇠 / 186 4-7 감쇠행렬의 구성 / 187 4-8 범용연결요소의 선형감쇠의 고려 / 188

Chapter 5. 응답스펙트럼 해석 ························

159

160

171

189

157


CONTENTS Chapter 6. 시간이력해석 ·····························

6-1 모드 중첩법 / 194 6-2 직접적분법 / 196 6-3 다중지점 지진입력 하중에 대한 해석 / 200

Chapter 7. 좌굴해석 ································

Chapter 8. 비선형해석 ······························ 8-1 개요 / 208 8-2 기하비선형 해석 / 210 8-3 P-Delta / 216 8-4 경계비선형 해석 / 221 8-5 경계비선형 시간이력해석 (Boundary Nonlinear Time History Analysis)

/ 224 8-6 재료비선형 해석 (Material Nonlinear Analysis) / 254 8-7 정적증분해석 (Pushover 해석) / 275

Chapter 9. 비선형 시간이력해석 ······················ 9-1 개요 / 338 9-2 비탄성 요소 / 347 9-3 비선형 이력 모델의 개요 / 355 9-4 일축-힌지 이력모델(Hysteresis Model for Uni-axial Hinge) / 358 9-5 다축-힌지 이력모델(Hysteresis Model for Multi-axial Hinge) / 398 9-6 파이버 모델 / 406

193

203

208

338


CONTENTS Chapter 10. 시공단계해석 ····························

10-1 개요 / 431 10-2 시간의존적 재질 / 433 10-3 시공단계의 정의 및 구성 / 444 10-4 비선형 시공단계 해석 / 449 10-5 현수교 평형상태 해석 / 452

Chapter 11. 수화열해석 ······························ 11-1 열전달해석 (Heat Transfer Analysis) / 458 11-2 열응력해석(Thermal Stress Analysis) / 463 11-3 수화열 해석과정 / 467

Chapter 12. PSC 해석 ······························ 12-1 프리스트레스트 콘크리트의 해석 / 470 12-2 프리스트레스의 손실 / 472 12-3 프리스트레스 하중 / 479

Chapter 13. 이동하중해석 ···························· 13-1 차선과 차선면 / 484 13-2 차량이동하중 / 493 13-3 차량하중의 재하조건 / 508

431

458

470

481


CONTENTS Chapter 14. 구조물의 지점침하를 자동 고려한 해석 ······

Chapter 15. 강합성단면의 합성전∙후 해석 ··············

Chapter 16. 최적화기법을 사용한 미지하중의 해 ········

Chapter 17. 임의형상 기둥의 부재설계 ················· 17-1 확대모멘트 계산 / 525 17-2 기둥부재 설계 / 529 17-3 임의 단면에 대한 3차원 축력-모멘트 상관도 분석 / 533 17-4 임의 단면에 대한 기둥의 전단설계 / 537

Chapter 18. Wave Load 하중생성 ···················· 18-1 개요 / 539 18-2 파랑이론 / 543 18-3 파랑이론의 적용한계/ 550 18-4 Flow Chart / 551

518

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520

525

539


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Analysis for Civil Structure

Part 1 midas Civil의 수치해석 모델


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We Analyze and Design the Future 1

구조물의 구조해석 모델은 절점과 유한요소 그리고 경계조건 데이터로 구성됩니다.

절점은 구조부재의 위치를 지정하는데 사용되고, 유한요소는 구조부재를 수치해석적

데이터로 입력하는데 사용되며, 경계조건은 해석대상의 구조모델과 인접 구조체와의

연결상태를 고려하는 데 사용됩니다.

구조해석이란, 구조물의 거동을 분석하기 위해 수치해석 모델을 이용하여 예견되는

가상적 상황에 대한 이론적 모의실험을 수행하는 것입니다.

그러므로 성공적인 해석작업을 위해서는 구조물의 구조적 성질과 외부환경적 조건에

대한 정확한 묘사가 전제되어야 합니다. 여기서 외부환경적 요인인 하중조건은 적용

법규 또는 확률론적 접근방법에 의해 결정된 결과를 따르면 되지만, 구조물의 구조적

성질에 대해서는 수치해석 모델을 구성하고 있는 유한요소의 종류 및 모델링기법에

따라 해석결과가 크게 달라질 수 있습니다.

따라서 실제 구조물의 거동에 영향을 미치는 강성성분에 대해 충분히 파악한 후, 해

당 강성을 실제구조물과 가능한 한 근접하게 반영될 수 있도록 유한요소를 선택하여

야 합니다.

그러나 실제의 구조물은 일반적으로 복잡한 형상과 여러 가지 물성치를 가진 재료로

구성되기 때문에, 구조물이 지니고 있는 모든 강성성분과 질량성분을 정확하게 수치

해석 모델에 반영한다는 것은 매우 어려운 작업이며 비경제적일 수 있습니다.

따라서 해석하고자 하는 목적을 벗어나지 않는 한도 내에서 수치해석 모델을 단순화

하거나 조정할 필요가 있습니다.

예를 들어 교량주형을 모델링할 때 판형요소(평면응력요소 또는 판요소)를 사용하는

것보다 선요소(트러스 요소, 보요소 등)를 사용하는 것이 소요시간측면이나 설계적용

측면에서 보다 효과적입니다.

Chapter 1. 수치해석 모델

Chapter 1 | 수치해석 모델

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2We Analyze and Design the Future

유한요소(Fnite Element)란 구조물을 구성하는 각 구조요소의 구조적 특성을 수학적

인 방법으로 이상화한 것이기 때문에 해당 구조요소의 특성을 모든 경우에 대해 완

벽하게 묘사하기는 어렵습니다.

따라서 전술한 바와 같이 사용하고자 하는 유한요소의 특성을 충분히 파악하고, 각

유한요소간의 접합시 나타나는 거동을 정확하게 분석하여 설계에 적용하는 것이 바

람직합니다.



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midas Civil에서는 다음과 같은 좌표계를 사용하고 있습니다.

전체좌표계 (Global Coordinate System)

요소좌표계 (Element Coordinate System)

절점좌표계 (Node Local Coordinate System)

전체좌표계는 오른손법칙을 따르는 X, Y, Z축의 직교좌표계(Conventional Cartesian

Coordinate System)를 사용하며, 대문자로 “X, Y, Z”축으로 표현합니다. 절점데이터,

절점과 관련하여 입력되는 대부분의 데이터, 절점변위 그리고 반력 등이 본 좌표계를

따르게 됩니다.

전체좌표계는 구조해석을 수행하고자 하는 구조물의 기하학적 위치를 입력하는데 사

용되며, 이때의 기준점(Reference Point)은 프로그램 내부에서 X=0, Y=0, Z=0인 위치

에 자동으로 설정됩니다. midas Civil에서는 프로그램 화면의 수직방향이 전체좌표계

Z축방향으로 구성되어 있기 때문에 구조물의 수직방향(중력가속도 작용방향의 반대

방향)을 전체좌표계 Z방향과 평행하도록 입력하는 것이 편리합니다.

요소좌표계는 오른손법칙을 따르는 x, y, z축의 직교좌표계를 사용하며, 소문자 “x, y,

z”로 축을 표현합니다.

요소내력, 응력 등과 요소와 관련되어 입력되는 대부분의 데이터가 이 좌표계를 따릅

니다.

절점좌표계(Node local Coordinate System)는 절점에 전체좌표계와 일치하지 않는 임

의의 방향으로 구속조건, 경계스프링 또는 강제변위 등의 경계조건을 입력하거나 임

의의 방향으로 반력을 계산하여 출력하고자 할 경우에 사용됩니다.

절점좌표계는 오른손법칙을 따르는 x, y, z축의 직교좌표계를 사용하며, “x, y, z”축으

로 표현합니다.

Chapter 2. 좌표계와 절점

Chapter 2 | 좌표계와 절점


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그림 1.2.1 전체좌표계와 절점좌표

a node(Xi, Yi, Zi)

Reference point (origin)of the GlobalCoordinate System



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midas Civil에서 사용 가능한 유한요소의 종류(Element Library)는 다음과 같습니다.

트러스요소 (Truss Element)

인장력전담요소 (Tension-only Element, Hook 기능 포함)

케이블요소 (Cable Element)

압축력전담요소 (Compression-only Element, Gap 기능 포함)

보요소/변단면요소 (Beam Element/Tapered Beam Element)

평면응력요소 (Plane Stress Element)

평면변형요소 (2D Plane Strain Element)

축대칭요소 (2D Axisymmetric Element)

판요소 (Plate Element)

입체요소 (Solid Element)

유한요소의 입력은 유한요소종류와 재료적 성질, 강성데이터 그리고 위치, 모양, 크기

를 입력하기 위한 연결절점번호를 입력함으로써 이루어 집니다.

Chapter 3. 유한요소의 종류

Chapter 3 | 유한요소의 종류


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3-1-1 일반사항

이 요소는 2개의 절점에 의해 정의되는 "Uniaxial Tension-Compression 3D Line

Element"로서, 일반적으로 공간트러스(Space Truss) 또는 대각부재(Diagonal Brace)

등을 모델링 하는데 사용되며 요소 축방향의 힘만 전달할 수 있습니다.

3-1-2 요소자유도 및 요소좌표계

요소자유도는 요소좌표계 x방향의 변위자유도만 갖습니다.

요소좌표계는 모든 요소의 부재력 또는 응력의 출력 기준이 되고, 특히 보요소의 전

단강성과 휨강성의 입력방향을 정하는 기준이 되기 때문에 이 개념을 정확히 이해하

는 것이 중요합니다.

트러스나 인장력/압축력 전담요소와 같이 축방향 강성만 가지는 요소의 경우는 요소

좌표계 x축만 의미를 가지며 y, z축은 의미를 가지지 않지만, 그래픽 화면상에 부재

단면의 배치방향을 지정하는데 필요합니다.

midas Civil은 사용자 편의를 위해 요소좌표계 y, z축의 방향을 지정하는데 Beta

Angle(β) 개념을 사용합니다.

모든 선요소의 요소좌표계 x축은 N1 절점에서 N2 절점으로 진행하는 방향이 됩니

다. ( 그림 1.3.2 참조) 선요소의 요소좌표계 x축이 전체좌표계 Z축과 평행하면 Beta

Angle은 전체좌표계 X축과 요소좌표계 z축이 이루는 각도가 됩니다. 각도의 부호는

요소좌표계 x축을 회전축으로 한 오른손법칙을 따릅니다. 그리고, 요소좌표계 x축이

전체좌표계 Z축과 평행하지 않으면 Beta Angle은 전체좌표계 Z축과 요소좌표계 x-z

평면이 이루는 수직각도가 됩니다.

midas Civil에서 선요소란

트러스, 인장력전담, 압축

력전담, 보, 변단면요소와

같이 선형인 요소를 통칭

하며, 면요소(또는 판형요

소)는 평면응력요소, 판요

소, 평면변형요소, 축대칭

요소 등을 의미한다.



mid

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(a) 수직부재인 경우 (요소좌표계 x축이 전체좌표계 Z축과 평행할 경우)

(b) 수평 또는 대각부재인 경우 (요소좌표계 x축이 전체좌표계 Z축과 평행하지 않을 경우)

그림 1.3.1 Beta Angle의 개념도

X′: axis passing through node N1 and parallel with the global X-axis Y′: axis passing through node N1 and parallel with the global Y-axis Z′: axis passing through node N1 and parallel with the global Z-axis

GCS

GCS



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3-1-3 요소관련 기능

Create Elements 요소의 입력

Material 재료적 성질 입력

Section 단면성질 입력

Pretension Loads 프리텐션하중 입력

3-1-4 요소내력 출력내용

요소내력의 출력치에 대한 부호규약은 그림 1.3.2와 같고, 화살표 방향이 양(+)의 방

향을 의미합니다.

그림 1.3.2 트러스요소의 요소좌표계 및 요소내력(또는 응력) 출력치의 부호규약

ECS z-axis

Axial Force

ECS x-axis

ECS y-axis

Axial Force

※ 화살표 방향이 양(+)의 방향을 의미한다.



mid

as C

ivil

그림 1.3.3 트러스요소의 요소내력 및 요소응력 출력 예



mid

as C

ivil

3-2-1 일반사항

이 요소는 2개의 절점에 의해 정의되는 “Tension-only 3D Line Element”로서,

일반적으로 Wind Brace나 Hook Element 등을 모델링 하는데 사용되며, 요소 축방

향의 인장력만 전달할 수 있습니다.

인장력전담요소에서 입력할 수 있는 요소의 종류는 다음과 같습니다.

Truss

인장력전담요소로 인장력만을 받을 수 있는 트러스요소를 정의하는데 사용됩

니다.

Hook

인장력전담요소로 일정한 초기간격(Hook Distance)을 가지며, 이 간격만큼

변위가 발생한 후에 요소의 강성이 발현됩니다.

그림 1.3.4 인장력 전담요소의 형태에 따른 개념도

(a) Truss Type (b) Hook Type

if hook distance = 0 if hook distance > 0



mid

as C

ivil


“트러스요소”와 동일한 요소자유도를 가지며, 요소좌표계도 동일한 체계를 따릅니다.


Main Control Data 인장력전담요소의 반복해석시 사용되는 수렴조건 입력




3-2-4 요소내력 출력 내용

“트러스요소”와 동일한 부호체계를 따릅니다.



mid

as C

ivil

3-3-1 일반사항

이 요소는 2개의 절점에 의해 정의되는 “Tension-only 3D Line Element”로서,

요소 축방향의 인장력만 전달할 수 있으며, 부재의 장력에 따라 강성이 변화하는 케

이블의 특성을 고려하는데 사용됩니다.

케이블요소는 선형해석시 등가 트러스요소로, 기하비선형 해석시 탄성현수선 요소로

자동 전환되어 해석에 적용됩니다.

그림 1.3.5 케이블 요소의 개념도

3-3-2 등가 트러스요소

등가 트러스요소의 강성은 일반 탄성강성과 처짐(Sag)에 의한 강성으로 구성되며 장

력의 변화에 따른 강성은 아래와 같은 식으로 산정합니다.

1

1/ 1/combsag elastic

KK K

2

3

( )1

12

comb

H

EAK

wL EAL

T

elastic

EAK

L ,

3

2 2

12sag

H

TK

w LL

여기서 E : 탄성계수 A : 단면적

L : 길이 w : 단위길이당 자중

T : 장력 LH : 수평 길이



mid

as C

ivil

3-3-3 탄성현수선요소 (Elastic Catenary Cable Element)

midas Civil에서 기하비선형 해석에 적용하는 케이블요소에 대한 접선강성은 다음과

같은 방법으로 계산합니다.

그림 1.3.6과 같이 두 점을 갖는 케이블 요소에 i점에서의 변위 1 , 2 , 3 와 j점에

서의 변위 4 , 5 , 6 가 발생하여 절점력이 0 0 0 0 0 01 2 3 4 5 6, , , , ,F F F F F F 에서

1 2 3 4 5 6, , , , ,F F F F F F 으로 변환되었을 때 절점력과 변위의 평형관계는 다음과 같습니다.

4 1F F

5 2F F

6 3 0 0F F L (단, 0 로 가정 가능)

01 2 3( , , )x x 1 4l l f F F F

01 2 3( , , )y y 2 5l l g F F F

01 2 3( , , )z z 3 6l l h F F F

그림 1.3.6 탄성현수선요소(케이블)의 접선강성 개념도



mid

as C

ivil

케이블의 전체좌표계 방향별 길이에 대한 미분식은 아래와 같고, 변위와 하중에 대한

관계를 정리하면 유연도 행렬([F])을 구할 수 있습니다. 유연도 행렬의 역행렬을 계

산하여 케이블의 접선강성([K])을 구합니다. 케이블의 강성은 한번에 구해지는 것이

아니라 평형 상태에 도달할 때까지 반복적인 해석을 통하여 구할 수 있습니다.

1 2 31 2 3

1 2 31 2 3

x 1 2 31 2 3

y

z

f f fdl = dF + dF + dF

F F F

g g gdl dF dF dF

F F F

h h hdl dF dF dF

F F F

1

2

3

x

y

z

dl dF

dl F dF

dl dF

, 1 2 3

11 12 13

21 22 231 2 3

31 32 33

1 2 3

f f f

F F Ff f f

g g gF f f f

F F Ff f f

h h h

F F F

1

2

3

x

y

z

dF dl

dF K dl

dF dl

, ( 1K F )

유연도 행렬의 각 원소들은 아래 식과 같이 구성됩니다.

011 3 0 3

1 0

1f Lf ln F wL B ln F A

F EA w

2

12 2

3 0 3

1 1F

w B F wL B A F A

1 2

12 2 22 3 0 3

1 1f F Ff

F w B F wL B A F A

1 3 0 3

13 2 23 3 0 3

f F F wL B F Af

F w B F wL B A F A



mid

as C

ivil

21 121

gf f

F

022 3 0 3

2 0

1g Lf ln F wL B ln F A

F EA w

2

22 2

3 0 3

1 1F

w B F wL B A F A

223 13

3 1

g Ff f

F F

131

1

1 1h Ff

F w B A

232 31

2 1

h Ff f

F F

0 3 0 333

3 0

1h L F wL Ff

F EA w B A

1/ 21/ 2 22 2 2 2 21 2 3 1 2 3 0,A F F F B F F F wL

)

TdF K d

(단,

1 1 1 1 1 1

1 2 3 4 5 6

2 2 2 2 2 2

1 2 3 4 5 6

3 3 3 3 3 3

1 2 3 4 5 6T

1 1 1 1 1 1

1 2 3 4 5 6

1 2 2 2 2 2

1 2 3 4 5 6

1

F F F F F F

F F F F F F

F F F F F F

KF F F F F F

F F F F F F

F

ii ij

ii ij

3 3 3 3 3

1 2 3 4 5 6

F F

F F

F F F F F

)



mid

as C

ivil

3-4-1 일반사항

이 요소는 2개의 절점에 의해 정의되는 “Compression-only 3D Line Element”로서,

접촉문제나 지반경계조건 등을 모델링 하는데 사용되며, 요소 축방향의 압축력만 전

달할 수 있습니다. 압축력전담요소에서 입력할 수 있는 요소의 종류는 다음과 같습니

다.

Truss

압축력전담요소로 압축력만을 받을 수 있는 트러스요소를 정의하는데 사용됩

니다.

Gap

압축력전담요소로 일정한 초기간격(Gap Distance)을 가지며, 그 간격만큼

변위가 발생한 후에 요소의 강성이 발현 됩니다.


“트러스요소”와 동일한 요소자유도를 가지며, 요소좌표계도 동일한 체계를 따릅니

다.


Main Control Data 인장력전담요소의 반복해석시 사용되는 수렴조건 입력






mid

as C

ivil


“트러스요소”와 동일한 부호체계를 따릅니다.

그림 1.3.7 압축력 전담요소의 형태에 따른 개념도

if gap distance = 0 if gap distance > 0

(a) Truss Type (b)Gap Type



mid

as C

ivil

3-5-1 일반사항

이 요소는 2개의 절점에 의해 정의되는 보요소(Prismatic/Non-prismatic 3D Beam

Element)로서, 인장 및 압축, 전단, 굽힘, 비틀림 등의 거동에 대한 강성을 갖도록

정식화(Timoshenko Beam Theory) 되어 있습니다.

보요소의 단면이 전체길이에 걸쳐 균일한 경우(Prismatic Beam Element)에는 한개

의 단면을 Section 대화상자에서 입력하고, 비균일단면(Non-prismatic Beam

Element)을 가진 경우에는 양단의 단면 두개를 각각 입력하게 됩니다.

midas Civil에서 비균일단면을 가진 보요소의 단면성질 중 단면적과 유효전단면적,

비틀림강성에 대해서는 요소좌표계 x축을 따라 한쪽 단부에서 반대쪽 단부까지 1차

적으로 변화(Linear Variation)하는 것으로 가정하고, 강축 또는 약축방향에 대한 단

면2차모멘트에 대해서는 사용자의 선택에 따라 1차, 2차 또는 3차(Linear, Parabolic

or Cubic Variation) 함수 형태의 변화를 고려할 수 있습니다.


요소자유도는 요소좌표계 또는 전체좌표계에 관계없이 절점당 세 가지의 이동변위

(Translation) 성분과 세 가지의 회전변위(Rotation) 성분을 가지게 됩니다.

요소좌표계는 트러스요소와 동일한 체계를 따릅니다.



mid

as C

ivil


Create Elements 요소 입력



Beam End Release 양 절점의 접속상태 (단부해제, 강접 또는 힌

지접합 등) 지정

Beam End Offsets 양단의 강체이격거리(rigid end offset distance)

입력

Element Beam Loads 보하중의 입력 (보요소의 중간에 작용하는 집

중 또는 분포하중)

Line Beam Loads 재하범위를 지정하여 보하중을 입력

Assign Floor Loads 바닥판하중을 보하중 형태로 치환하여 입력

Prestress Beam Loads 프리스트레스하중 입력

Temperature Gradient 온도구배 입력

Beam Section Temperature 비선형 온도 분포 하중 입력

Tendon Prestress Loads 텐던을 사용한 프리스트레스 하중 입력



mid

as C

ivil


요소내력의 출력치에 대한 부호규약은 그림 1.3.8과 같고, 화살표 방향이 양(+)의 방

향을 의미합니다.

부재응력의 부호규약은 요소내력과 동일합니다.

단, 휨모멘트에 의한 응력의 경우는 인장일 때 ‘+’ 그리고 압축일 때 ‘-’부호를

가집니다.

그림 1.3.8 보요소의 요소좌표계 및 요소내력(또는 응력) 출력치의 부호규약

Sheary

Shearz

Sheary

Shearz

Axial Force

Axial Force

Torque

ECS z-axis

ECS y-axis

Momenty

Momentz

Torque

Momenty

ECS x-axis

Momentz

1/4pt.

1/2pt.

3/4pt.

※ 내력 출력치의 부호는 화살표 방향이 양(+)의 부호를 가진다.



mid

as C

ivil

그림 1.3.9 보요소의 요소내력 및 요소응력 출력 예



mid

as C

ivil

3-6-1 일반사항

이 요소는 동일평면상에 위치한 3개 또는 4개의 절점에 의해 정의되는 평면응력요소

(3D Plane Stress Element)로서, 평면방향으로만 하중을 받을 수 있고 두께가 요소면

의 전체에 걸쳐 균일한 박판(Membrane)의 모델링에 사용됩니다.

midas Civil에서 이 요소는 비적합모드를 가진 등매개 평면응력이론(Isoparametric

Plane Stress Formulation with Incompatible Modes)을 사용하여 정식화 되었습니다.

따라서 이 요소의 두께방향 응력성분은 존재하지 않으며 두께방향의 변형율은

Poisson Effects에 의해 존재하는 것으로 가정합니다.


요소자유도는 요소좌표계를 기준으로 x, y방향의 변위자유도만을 가지게 됩니다.

요소좌표계는 오른손법칙에 준한 x, y, z축의 직교좌표계를 따르며, 요소좌표계의 방향

은 그림 1.3.10과 같이 설정됩니다.

사각형요소의 경우는 연결절점의 입력순서대로 오른손법칙에 따라 회전할 때(N1→

N2→N3→N4) 요소중심에서 요소면의 수직방향으로 엄지손가락 방향이 요소좌표계 z

축이 됩니다. 그리고 요소좌표계 x축 방향은 N1과 N4를 잇는 선분의 중심에서 N2와

N3을 잇는 선분의 중심까지 직선으로 연결할 때 그 직선의 진행방향이 되며, 요소평

면상에서 오른손 좌표계를 기준으로 x축과 수직을 이루는 축이 요소좌표계 y축이 됩

니다.

삼각형요소의 경우는 면의 중심점에서 N1부터 N2로 진행하는 방향이 요소좌표계의

x방향이 되고, 나머지 y, z축 방향은 사각형요소의 경우와 동일합니다.



mid

as C

ivil

(a) 사각형요소의 요소좌표계

(b) 삼각형요소의 요소좌표계

그림 1.3.10 평면응력요소의 배치 및 요소좌표계

ECS z-axis (normal to the element surface)

Node numbering order for creating the element (N1N2N3N4)

ECS y-axis (perpendicular to ECS x-axis in the element plane)

Center of Element

ECS x-axis (N1 to N2 direction)

N3

N2

N1

N4

Node numbering order for creating the element (N1N2N3)

ECS z-axis (normal to the element surface)



Center of Element N2

N1

N3



mid

as C

ivil




Thickness 요소두께의 입력

Pressure Loads 요소의 변에 수직방향으로 압력하중 입력

평면응력요소의 압력하중은 그림 1.3.11과 같이 각 변에 수

직방향으로 입력됩니다.

그림 1.3.11 평면응력요소의 압력하중

Edge No.1

Edge No.2 Edge No.4

Edge No.3 N4 N3

N1N2



mid

as C

ivil

3-6-4 적분점

3절점 삼각형 요소

이 요소는 1 Point Gauss 적분을 이용하므로, 적분에 적용되는 자연좌표계에서 적분

점 좌표는 (1/3, 1/3) 입니다.

그림 1.3.12 3절점 평면응력요소의 적분점위치

이 요소의 기하학적 형상함수는 1 1N , 2N , 3N 이므로 요소내 특정

위치에서의 좌표값은 형상함수를 이용하여 다음 식과 같이 구할 수 있습니다.

1

,N N

p i i p i ii i

x N x y N y

이 요소의 적분점 좌표인 1/ 3 , 1/ 3 을 형상함수에 대입하면 전체좌표계에서

적분점의 좌표를 구할 수 있습니다.

3

1 2 3 1 2 31

1 1 1 1 11

3 3 3 3 3p i ii

x N x x x x x x x

1 2 3

1

3py y y y

xy

N1

N2

N3

P

1 1,

3 3P



mid

as C

ivil

4절점 사각형 요소


점 좌표 iP 는 다음 그림과 같습니다.


이 요소의 기하학적 형상함수는 다음 식과 같습니다.

1 2 3 4

1 1 1 11 1 , 1 1 , 1 1 , 1 1

4 4 4 4N N N N

이 요소의 적분점 좌표인 iP 를 형상함수에 대입하면 전체좌표계에서 적분점의 좌표

를 구할 수 있습니다. 예를 들어 첫 번째 적분점 좌표 1P 에 대한 전체좌표계에서 x

좌표를 구하면 다음과 같습니다.

4

1 1 2 3 41

12 3 2 3

6p i ii

x N x x x x x

같은 방법으로 각 적분점에 대해 전체좌표계에서 좌표를 구하면 다음과 같습니다.

1

2

3

4

2 3 1 2 3 1

2 3 1 2 31

6 2 3 1

2 3

p

x

xx

x

xsymmetry

xy

1

3

1

3

1

3

1

3

N1

N2

N3

N4

P4P3

P1P2

1

2

3

4

1 1,

3 3

1 1,

3 3

1 1,

3 3

1 1,

3 3

P

P

P

P



mid

as C

ivil

1

2

3

4

2 3 1 2 3 1

2 3 1 2 31

6 2 3 1

2 3

p

y

yy

y

ysymmetry

3-6-5 응력계산법(Extrapolation)

3절점 삼각형 요소의 경우 1 Point Gauss 적분을 하므로 모든 절점에 대해 적분점에

서 계산된 응력을 동일하게 적용합니다.

그림 1.3.14 4절점 평면응력요소에 대한 적분점에서 응력에 대한 외삽법

4절점 사각형 요소의 경우 각 적분점은 요소좌표계의 좌표절점과 다음과 같은 관계

를 갖습니다.

3 , 3s t

요소 내부의 특정 위치에서 응력은 형상함수를 이용하여 구할 수 있습니다.

1, 2, 3, 4N i iN i

1s 1s

1t

1t

1

1

1

1 1

1

1

1



mid

as C

ivil

예를 들어 절점 1에서 응력을 계산하면 다음과 같습니다.

4

1 1 2

1

3 4

1 2 3 4

11 3 1 3 1 3 1 3

4

1 3 1 3 1 3 1 3

14 2 3 2 4 2 3 2

4

N i i

i

N

같은 방법으로 각 절점에서 응력을 구하면 다음과 같습니다.

1 1

2 2

3 3

4 4

2 3 1 2 3 1

2 3 1 2 31

2 2 3 1

2 3

N

N

N

N


평면응력요소의 요소내력 및 응력은 다음과 같이 출력되며 부호와 방향은 요소좌표

계 또는 전체좌표계를 따릅니다. 여기서는 요소좌표계를 기준으로 설명합니다.

연결절점에서의 요소내력 출력

연결절점과 요소중심에서 요소응력 출력

연결절점에서의 요소내력은 절점에서 산출된 각 성분별 변위와 해당요소 강성성분을

곱한 값으로 출력됩니다. 연결절점과 요소중심에서의 응력은 요소내의 적분점(Gauss

Point)에서 연산된 응력을 이용하여 외삽법(Extrapolation)에 의해 산출됩니다.

요소내력의 출력

요소내력의 출력치에 대한 부호규약은 그림 1.3.15와 같고, 화살표방향이 양

(+)의 방향을 의미합니다.



mid

as C

ivil

요소응력의 출력

요소응력의 출력치에 대한 부호규약은 그림 1.3.16과 같고, 화살표방향이 양


그림 1.3.15 평면응력요소의 연결절점에서의 내력출력치 부호규약

(a) 사각형요소의 절점내력

(b) 삼각형요소의 절점내력

Center of Element

Center of Element



mid

as C

ivil

(a) 축응력 및 전단응력 성분 (b) 주응력 성분

:

:

:

:

:

x

x

xy

2

x y x y 21 xy

2

σ

σ

τ

σ +σ σ σσ = + +τ

2 2

σσ =

Axial stress in the ECS x - direction

Axial stress in the ECS y - direction

Shear stress in the ECS x - y plane

Maximum principal stress

Minimum principal stress

:

:

: ( )

2

x y x y 2xy

2

x y 2xy xy

2 2eff 1 1 2 2

+σ σ σ+τ

2 2

σ στ = +τ

2

θ

σ = σ σ σ +σ

Maximum shear stress

Angle between the x - axis and the principal axis,1

von - Mises Stress

그림 1.3.16 평면응력요소의 응력출력위치 및 출력치의 부호규약

※ 요소응력의 출력은 요소좌표계를 따르며 화살표 방향이 양(+)의 방향을 의미한다. σy

σy

σx σx

σ2

σ2 σ1

σ1 τxy

τxy

τxy

y y

x x

τxy

τxy

σx



mid

as C

ivil

3-7-1 일반사항

이 요소는 댐(Dam) 또는 터널(Tunnel) 등과 같이 일정한 단면을 유지하면서 길이가

긴 구조물의 해석에 사용될 수 있으며, 등매개 평면변형이론(Isoparametric Plane

Strain Formulation with Incompatible Modes)을 근거로 개발되었습니다.

이 요소는 다른 종류의 요소와 혼용할 수 없으며 요소의 특성상 선형정적해석에만

적용 가능합니다.

midas Civil에서는 요소가 X-Z 평면상에 위치하도록 입력되며 요소의 두께는 그림

1.3.17과 같이 1.0(단위 폭)으로 자동 고려됩니다.

이 요소는 평면변형적 특성을 근거로 하기 때문에 두께방향 변형율성분은 존재하지

않으며, 두께방향의 응력성분은 Poisson Effects에 의해 존재하는 것으로 가정합니

다.

그림 1.3.17 2차원 평면변형요소의 두께

1.0(Unit thickness)

Plane strain elements



mid

as C

ivil


midas Civil에서 평면변형요소의 요소좌표계는 프로그램 내부에서 요소강성행렬을

계산하거나, 후처리 모드(Post-processing Mode)에서 사용자가 요소좌표계를 기준

으로 응력성분을 도화처리할 때 사용됩니다.

요소자유도는 전체좌표계를 기준으로 X, Z방향의 변위자유도만을 가지게 됩니다.

요소좌표계는 오른손법칙에 준한 x, y, z축의 직교좌표계를 따르며, 요소좌표계의 방

향은 그림 1.3.18과 같이 설정됩니다.

사각형요소의 경우는 연결절점의 입력순서대로 오른손법칙에 따라 회전할 때(N1→N2

→N3→N4) 요소중심에서 요소면의 수직방향으로 엄지손가락 방향이 요소좌표계 z축

이 됩니다. 그리고 요소좌표계 x축 방향은 N1과 N4를 잇는 선분의 중심에서 N2와


면상에서 오른손 좌표계를 기준으로 x축과 수직을 이루는 축이 요소좌표계 y축이 됩

니다.





mid

as C

ivil

그림 1.3.18 평면변형요소의 배치 및 요소좌표계, 절점내력

ESC y-axis (perpendicular to ESC x-axis in the element plane)

Node numbering order for creating the element

(N1N2N3N4)


ECS z-axis (normal to the element surface, out of the paper)

Center of Element

GCS (a) 사각형요소

(b) 삼각형요소 GCS

ECS y-axis (perpendicular ECS x-axis in the element plane

Node numbering order for creating the element (N1N2N3)



Center of Element

X

Z



mid

as C

ivil





평면변형요소의 압력하중은 그림 1.3.19와 같이 각 변에 수직방향으로 입력되며, 압

력하중의 작용면적은 그림 1.3.17과 같이 단위폭(1.0)만큼 자동 고려됩니다.

그림 1.3.19 평면변형요소의 압력하중

edge number 1

edge number 2 edge number 4

edge number 3

GCS

N3

N2 N1

N4



mid

as C

ivil

3-7-4 적분점



점 좌표는 (1/3, 1/3) 입니다.

그림 1.3.20 3절점 평면변형률요소의 적분점위치



1

,N N

p i i p i ii i

x N x z N z



3

1 2 3 1 2 31

1 1 1 1 11

3 3 3 3 3p i ii

x N x x x x x x x

1 2 3

1

3pz z z z

xz

N1

N2

N3

P

1 1,

3 3P



mid

as C

ivil


이 요소는 4 Point Gauss 적분을 이용하며, 적분에 적용되는 자연좌표계에서 적분점

좌표 iP 는 다음 그림과 같습니다.

그림 1.3.21 4절점 평면변형률요소의 적분점위치


1 2 3 4

1 1 1 11 1 , 1 1 , 1 1 , 1 1

4 4 4 4N N N N




4

1 1 2 3 41

12 3 2 3

6p i ii

x N x x x x x

같은 방법으로 각 적분점에 대한 전체좌표계에서 좌표를 구하면 다음과 같습니다.

1

2

3

4

2 3 1 2 3 1

2 3 1 2 31

6 2 3 1

2 3

p

x

xx

x

xsymmetry

x

z1

3

1

3

1

3

1

3

N1

N2

N3

N4

P4P3

P1P2

1

2

3

4

1 1,

3 3

1 1,

3 3

1 1,

3 3

1 1,

3 3

P

P

P

P



mid

as C

ivil


3절점 삼각형 요소의 경우 1 Point Gauss 적분을 하므로 모든 절점에 대해 적분점

에서 계산된 응력을 동일하게 적용합니다.



를 갖습니다.

3 , 3s t


4

1N i i

i

N

예를 들어 절점 1에서 응력에 대해 형상함수에 , 대신 앞의 s, t 를 대입하여 정

리하면 다음과 같습니다.

4

1 1 2

1

3 4

1 2 3 4

11 3 1 3 1 3 1 3

4

1 3 1 3 1 3 1 3

14 2 3 2 4 2 3 2

4

N i i

i

N

1s 1s

1t

1t

1

1

1

1 1

1

1

1



mid

as C

ivil


1 1

2 2

3 3

4 4

2 3 1 2 3 1

2 3 1 2 31

2 2 3 1

2 3

N

N

N

N


평면변형요소의 요소내력 및 응력은 다음과 같이 출력되며 부호와 방향은 요소좌표

계 또는 전체좌표계를 따릅니다. 그림 1.3.23은 요소좌표계의 축방향 또는 주응력방

향의 단위 segment에서 발생되는 응력의 부호규약을 설명한 것입니다.




곱한 값으로 출력됩니다.

연결절점과 요소중심에서의 응력은 요소내의 적분점(Gauss Point)에서 연산된 응력

을 이용하여 외삽법(Extrapolation)에 의해 산출됩니다.


요소내력의 출력치에 대한 부호규약은 그림 1.3.18과 같고, 화살표방향이 양







mid

as C

ivil


:

:

:

:

:

xx

yy

zz

xy yx

1, 2, 3

σ

σ

σ

σ σ

σ σ σ



Axial stress in the ECS z - direction


Principal stresses in the direc

, 0

3 21 2 3

1 xx yy zz

xx xy yy yzxx xz2

xy yy yz zzxz zz

xx xy xz

3 xy yy yz xz zy

xz yz zz

σ - I σ - I σ - I = 0

I = σ σ σ

σ σ σ σσ σ I =

σ σ σ σσ σ

σ σ σ

I σ σ σ σ σ

σ σ σ

tions of the principal axes, 1, 2 and 3

where,

2 2 2

:

: , ,

1: ( ) ( ) ( )

2

:

1 2 2 3 3 1max

eff 1 2 2 3 3 1

oct

=

θ

σ σ σ σ σ στ

2 2 2

σ σ σ σ σ σ σ

σ

Angle between the x - axis and the principal axis,1 in the ECS x - y plane

Maximum shear stress max

von - Mises Stress

Octahedral

2 2 2

1( )

3

1: ( ) ( ) ( )

9

1 2 3

oct 1 2 2 3 3 1

σ +σ +σ

τ σ σ σ σ σ σ

Normal Stress

Octahedral Shear Stress

그림 1.3.23 평면변형요소의 요소내력 및 요소응력 출력 예

※ 요소응력의 출력은 요소좌표계를 따르며 화살표 방향이 양(+)의 방향을 의미한다.



mid

as C

ivil

그림 1.3.24 평면변형요소의 요소내력 및 요소응력 출력 예



mid

as C

ivil

3-8-1 일반사항

이 요소는 형상, 재질, 하중조건 등이 임의 축에 대해 회전대칭 조건을 만족하는 구

조체(Pipe, Cylinderical Vessel Body 또는 Head 등)의 해석에 사용될 수 있으며

등매개변수 정식화이론(Isoparametric Formulation)을 근거로 개발되었습니다.

이 요소는 다른 종류의 요소와 혼용할 수 없으며 요소의 특성상 선형정적해석에만

적용 가능합니다.

축대칭 요소는 3차원 축대칭 모델을 축대칭적 특성을 고려하여 2차원 요소로 이상화

한 것입니다. midas Civil에서는 전체좌표계 Z축이 회전대칭을 위한 기준축이 되고,

전체좌표계 X-Z 평면의 Z축의 오른쪽 평면에 위치하도록 입력되어야 합니다. 이 경

우 반경방향은 전체좌표계 X축 방향이 되며, 모든 절점의 X방향 좌표는 양(X≥0)의

값을 가지도록 모델링 되어야 합니다.

요소의 두께는 그림 1.3.25와 같이 1.0 Radian(단위폭)으로 자동 고려됩니다.

이 요소는 구조물의 축대칭적 특성을 근거로 하기 때문에 원주방향에 대한 변위, 전

단변형률( XY YZ, ) 그리고 원주방향 전단응력( XY YZ, )은 모두 존재하지 않습니다.



mid

as C

ivil

그림 1.3.25 축대칭요소의 단위 폭


midas Civil에서 축대칭요소의 요소좌표계는 프로그램 내부에서 요소강성행렬을 계

산하거나, 후처리 모드(Post-processing Mode)에서 사용자가 요소좌표계를 기준으

로 응력성분을 도화처리할 때 사용됩니다.

요소자유도는 전체좌표계를 기준으로 X, Z방향의 변위자유도만을 가지게 됩니다.

요소좌표계는 오른손법칙에 준한 x, y, z축의 직교좌표계를 따르며, 요소좌표계의 방

향은 그림 1.3.26과 같이 설정됩니다.

사각형요소의 경우는 연결절점의 입력순서대로 오른손법칙에 따라 회전할 때(N1→N2

→N3→N4) 요소중심에서 요소면의 수직방향으로 엄지손가락 방향이 요소좌표계 z축

이 됩니다. 그리고 요소좌표계 x축 방향은 N1과 N4를 잇는 선분의 중심에서 N2와


면상에서 오른손좌표계를 기준으로 x축과 수직을 이루는 축이 요소좌표계 y축이 됩

니다.

Z (axis of rotation)

1.0 radian (unit width)

an axisymmetric element

(radial direction)



mid

as C

ivil



그림 1.3.26 축대칭요소의 배치 및 요소좌표계, 절점내력

GCS


Node numbering order for creating the element (N1N2N3N4)



Center of Element

ECS y-axis (perpendicular to ECS x-axis

i th l t l )

Node numbering order for creating the element (N1 N2 N3)

ECS z-axis (normal to the element surface,

t f th )ECS x-axis (N1 N2 direction)

GCS

Center of Element

※ 요소내력의 출력은 전체좌표계를 따르며 화살표 방향이 양(+)의 방향을 의미한다.

(a) 사각형 요소

(b) 삼각형 요소



mid

as C

ivil





축대칭요소의 압력하중은 그림 1.3.27과 같이 각 변에 수직방향으로 입력되며, 압력

하중의 작용면적은 그림 1.3.25와 같이 1.0 Radian의 폭만큼 자동 고려됩니다.

그림 1.3.27 축대칭요소의 압력하중

edge number 3

edge number 2 edge number 4

edge number 1

GCS



mid

as C

ivil


축대칭요소의 요소내력 및 응력은 다음과 같이 출력되며 부호와 방향은 요소좌표계

또는 전체좌표계를 따릅니다. 그림 1.3.28은 요소좌표계의 축방향 또는 주응력방향의

단위 Segment에서 발생되는 응력의 부호규약을 설명한 것입니다.





연결절점과 요소중심에서의 응력은 요소내의 적분점(Gauss Point)에서 연산된 응력을

이용하여 외삽법(Extrapolation)에 의해 산출됩니다.


요소내력의 출력치에 대한 부호규약은 그림 1.3.26과 같고, 화살표방향이 양







mid

as C

ivil


:

:

:

:

:

xx

yy

zz

xy yx

1, 2, 3

σ

σ

σ

σ σ

σ σ σ





Principal stresses in the direc

,

3 21 2 3

1 xx yy zz

xx xy yy yzxx xz2

xy yy yz zzxz zz

xx xy xz

3 xy yy yz yz

xz yz zz

σ - I σ - I σ - I = 0

I = σ σ σ

σ σ σ σσ σ I =

σ σ σ σσ σ

σ σ σ

I σ σ σ σ

σ σ σ

tions of the principal axes, 1, 2 and 3

where,

2 2 2

0

: , ,

1: ( ) ( ) ( )

2

:

zx

1 2 2 3 3 1max

eff 1 2 2 3 3 1

oct

=

σ

θ

σ σ σ σ σ στ

2 2 2


σ

Angle between the x - axis and the principal axis,1 in the ECS x - y plane


von - Mises Stress

Octa

:

2 2 2

1( )

3

1: ( ) ( ) ( )

9

1 2 3

oct 1 2 2 3 3 1

σ +σ +σ


hedral Normal Stress


그림 1.3.28 축대칭요소의 응력출력치의 부호규약




mid

as C

ivil

그림 1.3.29 축대칭요소의 요소내력 및 요소응력 출력 예



mid

as C

ivil

3-9-1 일반사항

이 요소는 동일평면상에 위치한 3개 또는 4개의 절점에 의해 정의되는 판요소(3D

Plate Element)로서 평면인장/압축거동, 평면전단거동, 두께방향의 휨거동, 두께방향

의 전단거동을 고려할 수 있습니다.

midas Civil에 사용된 판요소의 면외강성은 DKT, DKQ(Discrete Kirchhoff Element)

와 DKMT, DKMQ(Discrete Kirchhoff-Mindlin Element)의 두가지 종류로 구분됩니

다. DKT, DKQ인 경우에는 얇은 판 이론(Kirchhoff Plate Theory)에 의해 개발된 것

이고, DKMT, DKMQ요소는 두꺼운 판 이론(Mindlin-Reissner Plate Theory)에 의해

개발되었으나, 적절한 전단변형율장을 가정함으로서 얇은 요소부터 두꺼운 판요소까

지 우수한 성능을 나타내고 있습니다. 판요소의 면내강성은 3각형인 경우는

LST(Linear Strain Triangle) 이론이 사용하고 있고 4각형인 경우에는 면내 회전자유

도에 대한 강성의 고려여부에 따라 2가지 방법을 사용하고 있습니다. 회전자유도에

대한 강성을 고려하지 않는 경우에는 비적합모드를 포함하는 등매개 평면응력이론

(Isoparametric Plane Stress Formulation with Incompatible Modes)을 사용합니다.

회전자유도에 대한 강성을 고려하는 경우에는 Allman의 2차 변위장 가정을 도입하여

면내 회전자유도를 변위에 반영하는 방법을 사용하고 있습니다. 이때 사각형 판요소

의 경우에는 모든 절점이 동일평면에 존재하지 않는 경우에 발생하는 해석상의 문제

를 해결하기 위해 warping항을 고려할 수 있도록 하였으며, DKQ는 Taylor& Simon

에 의해 개발된 알고리즘을 사용하여 새롭게 보완되었습니다.

판요소 두께의 입력은 면내강성(In-plane Stiffness)을 계산하기 위한 것과 면외강성

(Out-of-Plane Stiffness)을 계산하기 위한 것으로 구분하여 입력할 수 있습니다. 일

반적으로 자중이나 질량의 계산에는 면내강성의 계산을 위한 두께가 사용되며, 면외

강성의 계산을 위한 두께만 입력되는 경우에는 면외방향 두께가 사용됩니다.


요소자유도는 요소좌표계 x, y, z 축 방향의 이동변위자유도와 x, y축에 대한 회전변

위자유도를 가집니다.



mid

as C

ivil

요소좌표계는 오른손법칙에 준한 x, y, z축의 직교좌표계를 따르며 요소좌표계의 방

향은 평면응력요소의 경우와 같이 설정됩니다. (그림 1.3.30 참조)




Thickness 요소두께의 입력

Pressure Loads 요소의 면에 수직한 방향 또는 변에 압력하중 입력

Temperature Gradient 온도구배 입력

(a) 사긱형요소의 요소좌표계

(b) 삼각형요소의 요소좌표계

그림 1.3.30 판요소의 배치 및 요소좌표계

ECS z-axis (normal to the element

Node numbering order for creating the element

ECS y-axis (perpendicular to the ECS x-axis in the element plane)

Center of

ECS x-axis (N1N2

ECS z-axis (normal to the element surface, out of the

Node numbering orderfor creating the element (N1 N2 N3)

ECS y-axis (perpendicular to ECS x-axis in the element

ECS x-axis (N1N2 direction) Center of Element



mid

as C

ivil

3-9-4 적분점



점 좌표는 (1/3, 1/3) 입니다.




1

,N N

p i i p i ii i

x N x y N y



3

1 2 3 1 2 31

1 1 1 1 11

3 3 3 3 3p i ii

x N x x x x x x x

1 2 3

1

3py y y y

xy

N1

N2

N3

P

1 1,

3 3P



mid

as C

ivil



점 좌표 iP 는 다음 그림과 같습니다.



1 2 3 4

1 1 1 11 1 , 1 1 , 1 1 , 1 1

4 4 4 4N N N N




4

1 1 2 3 41

12 3 2 3

6p i ii

x N x x x x x

같은 방법으로 각 적분점에 대해 전체좌표계에서 좌표를 구하면 다음과 같습니다.

1

2

3

4

2 3 1 2 3 1

2 3 1 2 31

6 2 3 1

2 3

p

x

xx

x

xsymmetry

1

2

3

4

2 3 1 2 3 1

2 3 1 2 31

6 2 3 1

2 3

p

y

yy

y

ysymmetry

xy

1

3

1

3

1

3

1

3

N1

N2

N3

N4

P4P3

P1P2

1

2

3

4

1 1,

3 3

1 1,

3 3

1 1,

3 3

1 1,

3 3

P

P

P

P



mid

as C

ivil


3절점 삼각형 요소의 경우 1 Point Gauss 적분을 하므로 모든 절점에 대해 적분점에




를 갖습니다.

3 , 3s t


1, 2, 3, 4N i iN i


4

1 1 2

1

3 4

1 2 3 4

11 3 1 3 1 3 1 3

4

1 3 1 3 1 3 1 3

14 2 3 2 4 2 3 2

4

N i i

i

N

1s 1s

1t

1t

1

1

1

1 1

1

1

1



mid

as C

ivil


1 1

2 2

3 3

4 4

2 3 1 2 3 1

2 3 1 2 31

2 2 3 1

2 3

N

N

N

N


판요소의 요소내력 및 응력은 다음과 같이 출력되며 부호와 방향은 요소좌표계 또는

전체좌표계를 따릅니다. 여기서는 요소좌표계를 기준으로 설명합니다.


연결절점과 요소중심에서의 단위길이당 요소내력 출력

연결절점과 요소중심에서 판의 상단면과 하단면에 대한 응력출력



연결절점과 요소중심에서의 단위길이당 요소내력은 면내평면거동과 면외굽힘거동을

분리하여 해당점에서 계산된 응력을 두께방향으로 적분하여 산출합니다.

단위길이당 요소내력은 철근콘크리트 부재의 설계시 효과적으로 사용될 수 있습니다.

연결절점과 요소중심에서의 응력은 요소내의 적분점(Gauss Point)에서 연산된 응력





단위길이당 요소내력의 출력



mid

as C

ivil

연결절점과 요소중심에서의 단위길이당 요소내력의 출력치에 대한 부호규약

은 그림 1.3.35와 같고, 화살표방향이 양(+)의 방향을 의미합니다.


연결절점과 요소중심에서의 요소응력은 그림 1.3.36 (a)에서와 같이 상단면

(Top Surface)과 하단면(Bottom Surface)에 대해서 출력되고 부호규약은

1.3.36(b)와 같습니다.

(a) 사각형요소의 절점내력

(b) 삼각형요소의 절점내력

그림 1.3.34 판요소의 각 연결절점에서의 내력출력치에 대한 부호규약

※ 요소내력의 출력은 요소좌표계를 따르며 화살표 방향이 양(+)의 방향을 의미한다.



mid

as C

ivil

(a) 내력 출력위치

(b) 출력위치에서의 면내평면거동에 의한 단위길이당의 힘

(c) 출력위치에서의 면외굽힘거동에 의한 단위길이당의 모멘트

그림 1.3.35 판요소의 단위길이당 요소내력의 출력위치 및 부호규약

Angle of principal axis

Center point

Center point

: Out put locations of element forces per unit length

※ 요소내력의 출력은 요소좌표계를 따르며 화살표 방향이 양(+)의 방향을 의미한다.

Angle of principal axis



mid

as C

ivil

(a) 응력출력 위치

(b) 응력 출력치의 부호규약

그림 1.3.36 판요소의 응력출력위치 및 출력치의 부호규약

Center of Element

: Output locations of the element stresses (at each connecting node and the center at top/bottom surfaces)


:

:

:

:

:

x

x

xy

2

x y x y 21 xy

2

σ

σ

τ

σ +σ σ σσ = + +τ

2 2

σσ =




Maximum principal stress

Minimum principal stress

:

:

: ( )

2

x y x y 2xy

2

x y 2xy xy

2 2eff 1 1 2 2

+σ σ σ+τ

2 2

σ στ = +τ

2

θ

σ = σ σ σ +σ

Maximum shear stress

Angle between the x - axis and the principal axis,1

von - Mises Stress



mid

as C

ivil

그림 1.3.37 판요소의 요소내력 및 요소응력 출력 예



mid

as C

ivil

3-10-1 일반사항

이 요소는 임의 3차원 공간상에 위치한 4개, 6개 또는 8개의 절점으로 정의되는 3차

원 입체요소(3D Solid Element)로서, Solid Structure 또는 Thick Shell 등의 모델링에 주

로 사용됩니다.

이 요소는 삼각뿔(Tetrahedron) 또는 삼각기둥(Wedge), 육면체(Hexahedron) 등의 입

체 형상을 가질 수 있고, 절점당 3방향의 이동변위 자유도를 가집니다.

midas Civil에서 이 요소는 비적합모드를 가진 등매개 정식화이론(Isoparametric

Formulation with Incompatible Modes)을 사용하여 정식화 되었습니다.

3-10-2 요소자유도, 요소좌표계, 요소의 종류

midas Civil에서 3차원 입체요소의 요소좌표계는 프로그램 내부에서 요소강성행렬을

계산하거나, 후처리 모드(Post-processing Mode)에서 사용자가 요소좌표계를 기준으

로 응력성분을 도화처리할 때 사용됩니다.

요소자유도는 전체좌표계를 기준으로 X, Y, Z 방향의 이동변위자유도를 가집니다.

요소좌표계는 오른손 법칙에 준한 x, y, z축의 직교좌표계를 따르며, 원점은 요소의 중

심이고, 좌표축의 방향은 면번호 1번의 형상과 동일한 판요소의 요소좌표축 방향과

같습니다.

요소의 종류는 그림 1.3.38에서와 같이 요소 형상에 따라 8절점요소, 6절점요소 그리

고 4절점요소 세 가지가 있으며, 각 요소 종류별로 절점번호의 부여 순서는 N1부터

마지막 번호까지 해당 위치의 절점번호를 순차적으로 입력합니다.



mid

as C

ivil

(a) 8절점요소 (Hexahedron)

(b) 6절점요소 (Wedge)

(c) 4절점요소 (Tetrahedron)

그림 1.3.38 3차원 입체요소의 형상별요소 종류 및 절점번호 부여 순서

Plane no. 2 (triangular plane defined by nodes N4, N5 and N6)

Plane no. 5

Plane no. 3

Plane no. 4

Plane no. 1 (triangular plane defined by nodes N1, N2 and N3)

Plane no. 2

Plane no. 5

Plane no. 1

Plane no. 3

Plane no. 6

Plane no. 4

Plane no. 4

Plane no. 3

Plane no. 2

Plane no. 1



mid

as C

ivil

3-10-3 요소관련 명령어



Pressure Loads 요소의 면에 수직방향으로 압력하중 입력

요소하중은 압력형태로 그림 1.3.39와 같이 요소의 각 면에 입력됩니다

※ 화살표 방향이 양(+)의 방향을 의미한다.

그림 1.3.39 3차원 입체요소의 면에 작용하는 압력하중

Pressure loads acting on the plane no. 2

Pressure loadsacting on theplane no. 4







mid

as C

ivil

3-10-4 적분점

4절점 사면체 요소


좌표는 (1/4, 1/4, 1/4) 입니다.

그림 1.3.40 4절점 4면체 Solid요소의 적분점

적분점 좌표 P 에 대한 전체좌표계에서 좌표를 구하면 다음과 같습니다.

4

1 2 3 4 1 2 3 41

1 1 1 1 1 1 11

4 4 4 4 4 4 4p i ii

x N x x x x x x x x x

4

1 2 3 41

1

4p i ii

y N y y y y y

xy

N1

N4

P

N3

N2

z1 1 1

, ,4 4 4

P

1

2

3

4

1N

N

N

N



mid

as C

ivil

6절점 5면체 요소


좌표 iP 는 다음 그림과 같습니다.



적분점 좌표 1P 에 대한 전체좌표계에서 좌표를 구하면 다음과 같습니다.

6

1 1 2 31

4 5 6

112 4 3 3 3 3 3

36

12 4 3 3 3 3 3

p i ii

x N x x x x

x x x

x y

N4

N5

N6

P1

N1

N2

1

3

1

3

P2P3

P4

P5P6

z

1

2

3

4

5

6

1 1 1, ,

6 6 3

2 1 1, ,

3 6 3

1 2 1, ,

6 3 3

1 1 1, ,

6 6 3

2 1 1, ,

3 6 3

1 2 1, ,

6 3 3

P

P

P

P

P

P

1 12

N

1

2 12

N 3 1

2N

4 12

N 5 1

2N

6 12

N



mid

as C

ivil


1

2

3

4

5

6

12 4 3 3 3 3 3 12 4 3 3 3 3 3

12 4 3 3 3 3 3 12 4 3 3 3

12 4 3 3 3 3 3 12 4 31

36 12 4 3 3 3 3 3

12 4 3 3 3

12 4 3

p

x

x

xx

x

x

xsymmetry

8절점 6면체 요소


좌표 iP 는 그림과 같습니다.


x

y

N8

N5

N6

N2

N3

1

3

1

3

P1

P6

z

N1

N7

1

3

1

3

1

3

1

3 N4

P2

P3P4

P5

P7P8

1

2

3

4

5

6

7

8

1 1 1, ,

3 3 3

1 1 1, ,

3 3 3

1 1 1, ,

3 3 3

1 1 1, ,

3 3 3

1 1 1, ,

3 3 3

1 1 1, ,

3 3 3

1 1 1, ,

3 3 3

1 1 1, ,

3 3 3

P

P

P

P

P

P

P

P



mid

as C

ivil


1 2

3 4

5 6

7 8

1 11 1 1 1 1 1

8 81 1

1 1 1 1 1 18 81 1

1 1 1 1 1 18 81 1

1 1 1 1 1 18 8

N N

N N

N N

N N

적분점 좌표 1P 에 대한 전체좌표계에서 좌표를 구하면 다음과 같습니다.

8

1 1 2 3 41

5 6 7 8

19 5 3 3 3 3 3 3 3

36

3 3 3 3 9 5 3 3 3

p i ii

x N x x x x x

x x x x


1

2

3

4

5

6

7

8

9 5 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 9 5 3 3 3

9 5 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 9 5 3

9 5 3 3 3 9 5 3 3 3 3 3 3 3

9 5 3 3 3 9 5 3 3 3 3 31

36 9 5 3 3 3 3 3 3 3

9 5 3 3 3 3 3

9 5 3 3 3

9 5 3

p

x

x

x

xx

x

x

x

xsymmetry



mid

as C

ivil


4절점 4면체 요소의 경우 1 point gauss 적분을 하므로 모든 절점에 대해 적분점에


그림 1.3.43 6절점 5면체요소에 대한 적분점에서 응력에 대한 외삽법

6절점 5면체 요소의 경우 각 적분점은 요소좌표계의 좌표절점과 다음 식과 같은 관

계를 갖습니다.

1 1 12 1 , 2 , 2 , 3

6 6 6s t u

요소 내부의 특정 위치에서의 응력은 형상함수를 이용하여 구할 수 있습니다.

6

1N i i

i

N


6

1 1 2 31

4 5 6

15 1 3 1 3 1 3

6

5 1 3 1 3 1 3

N i ii

N

P1

P2P3

t

s

1

3

u



mid

as C

ivil


1 1

2 2

3 3

4 4

5 5

6 6

5 5 3 1 3 1 3 5 5 3 1 3 1 3

5 5 3 1 3 1 3 5 5 3 1 3

5 5 3 1 3 1 3 5 5 31

6 5 5 3 1 3 1 3

5 5 3 1 3

5 5 3

N

N

N

N

N

N

8절점 6면체 요소의 경우 각 적분점은 요소좌표계의 좌표절점과 다음과 같은 관계를

갖습니다.

그림 1.3.44 8절점 6면체요소에 대한 적분점에서 응력에 대한 외삽법

3 , 3 , 3s t u

1s 1s

1t

1t

1

1

1

1 1

1

1

1

1

3



mid

as C

ivil

예를 들어 절점 1에서의 응력을 형상함수를 이용하여 구하면 다음과 같습니다.

8

1 1 21

3 4

5 6

7 8

1 2 3 4

5 6 7 8

11 3 1 3 1 3 1 3 1 3 1 3

8

1 3 1 3 1 3 1 3 1 3 1 3

1 3 1 3 1 3 1 3 1 3 1 3

1 3 1 3 1 3 1 3 1 3 1 3

110 6 3 2 2 3 2 2 3 2 2 3

8

2 2 3 2 2 3 10 6 3 2 2 3

N i ii

N


1

2

3

4

5

6

7

8

5 3 3 1 3 1 3 1 3 1 3 1 3 5 3 3 1 3

5 3 3 1 3 1 3 1 3 1 3 1 3 5 3 3

5 3 3 1 3 5 3 3 1 3 1 3 1 3

5 3 3 1 3 5 3 3 1 3 1 31

4 5 3 3 1 3 1 3 1 3

5 3 3 1 3 1 3

5 3 3 1 3

5 3 3

N

N

N

N

N

N

N

N

1

2

3

4

5

6

7

8



mid

as C

ivil


3차원 입체요소의 요소내력 및 응력은 다음과 같이 출력되며, 부호와 방향은 요소좌

표계 또는 전체좌표계를 따릅니다.


연결절점과 요소중심에서 3차원 응력성분 출력

연결절점에서의 요소내력은 절점에서 산출된 각 성분별 변위와 해당 요소의 강성성

분을 곱한 값으로 출력됩니다.

연결절점과 요소중심에서의 응력은 요소내의 적분점(Gauss Point)에서 계산된 응력






요소응력의 출력치에 대한 부호규약은 그림 1.3.46과 같고, 화살표 방향이

양(+)의 방향을 의미합니다.



mid

as C

ivil

※ 요소내력의 출력은 전체좌표계를 따르며 화살표 방향이 양(+)의 방향을 의미한다.

그림 1.3.45 3차원 입체요소의 연결절점에 대한 내력출력치 및 부호규약



mid

as C

ivil



:

:

:

:

:

xx

yy

zz

xz zx

xy yx

σ

σ

σ

σ σ

σ σ




Shear stress in the ECS x - z direction

Shear stress in the ECS x - y di

:

:

yz zy

1, 2, 3

3 21 2 3

1 xx yy zz

σ σ

σ σ σ

σ - I σ - I σ - I = 0

I = σ σ σ

I

rection

Shear stress in the ECS y - z direction

Principal stresses in the directions of the principal axes, 1, 2 and 3

where,

2 2 2

: , ,

1: ( ) ( ) ( )

2

:

xx xy yy yzxx xz2

xy yy yz zzxz zz

xx xy xz

3 xy yy yz

xz yz zz

1 2 2 3 3 1max

eff 1 2 2 3 3 1

oct

=

σ σ σ σσ σ=

σ σ σ σσ σ

σ σ σ

I σ σ σ

σ σ σ

σ σ σ σ σ στ

2 2 2


σ


von - Mises Stress

O

2 2 2

1( )

3

1: ( ) ( ) ( )

9

1 2 3

oct 1 2 2 3 3 1

σ +σ +σ


ctahedral Normal Stress


그림 1.3.46 3차원 입체요소의 연결절점에 대한 응력출력치 및 부호규약



mid

as C

ivil

그림 1.3.47 3차원 입체요소의 요소내력 및 요소응력 출력 예

Chapter 4 | 요소 입력시 주요 고려사항


mid

as C

ivil

“midas Civil의 수치해석 모델”의 서론에서 언급한 바와 같이 구조해석이란 구조물

의 구조적 거동을 파악하기 위해 수치해석 모델을 이용하여 예견되는 가상적 상황에

대한 이론적 모의실험을 수행하는 것이기 때문에 실제상황과 얼마나 근접한 모델을

입력하는가가 해석작업의 성패를 좌우하는 요인이 됩니다.

따라서 해당구조물의 구조적 거동을 가장 근접하게 반영할 수 있는 유한요소의 선택

과 입력과정이 모델링 전반에 걸쳐 가장 중요한 사항이라 할 수 있습니다.

유한요소의 선택과 모델링의 범위는 해석의 목적에 따라 달라지게 되는데, 가령 해석

후 설계작업까지 수행할 경우에는 설계시 필요한 변위, 부재내력, 응력 등의 설계변

수를 구할 수 있도록 절점과 요소분할이 이뤄져야 합니다. 요소내력 및 응력의 출력

치도 추가로 변환할 필요없이 설계에 그대로 사용할 수 있도록 요소를 선택하는 것

이 효과적입니다. 그리고 해석목적이 변위를 구하는 것인지, 요소내력을 구하는 것인

지 또는 고유치해석 수행에 있는지 등에 따라 요소의 선택과 모델링의 범위, 요소분

할의 정도가 달라집니다. 변위를 구하거나 고유치해석만을 수행할 경우에는 모델을

단순화하는 것이 효과적이지만 요소내력을 구할 경우에는 일반적으로 요소를 세분화

하는 것이 바람직합니다.

구조물의 전체거동을 파악하기 위한 고유치해석 문제인 경우에는 국부모드(Local

Mode)의 발생을 억제하기 위하여 모델을 단순화하는 것이 좋습니다. 특히 토목구조

물의 예비설계단계(Preliminary Design Phase)에서는 상세모델보다는 구조물의 전체강

성을 이론적 등가강성을 가진 보요소로 치환하는 것이 효과적입니다.

Chapter 4. 요소 입력시 주요 고려사항



mid

as C

ivil

수치해석 모델을 입력하는데 주요한 고려사항은 다음과 같습니다.

절점의 위치를 선정할 때의 주요 고려사항은 구조물의 기하학적 형상, 재료, 단면의

종류, 하중상태 등으로 절점이 필요한 위치는 다음과 같습니다.

해석결과가 필요한 위치

하중의 입력이 필요한 위치

강성(단면 또는 두께)이 변하는 위치 또는 구획선의 경계

재질이 변하는 위치 또는 구획선의 경계

개구부 주위와 같이 응력의 변화가 심한 위치 또는 구획선의 경계

구조물의 경계부분

구조형상이 변하는 위치 또는 구획선의 경계

선요소(트러스요소, 보요소 ... 등)의 경우는 요소의 크기에 영향을 받지 않지만, 판형

요소(평면응력요소, 평면변형요소, 축대칭요소, 판요소) 또는 입체요소의 경우는 요소

의 크기, 형상, 분포에 따라 결과치에 큰 영향을 받게 됩니다. 판형요소 또는 입체요

소의 크기와 분포방법을 결정할 때, 응력의 변화가 심한 곳과 정확한 해가 요구되는

부분에 대해서는 세분화하고, 예상되는 응력의 분포형태를 고려하여 응력등고선

(Contour)을 따라 분할하는 것이 바람직합니다.

일반적으로 요소의 세분화가 필요한 부위는 다음과 같습니다.

기하학적 불연속부위 또는 개구부 주위

하중의 변화가 심한 부위, 특히 상대적으로 큰 집중하중이 작용하는 위치의

인접부위

강성 또는 물성치가 변하는 부위

불규칙한 경계부위

응력집중이 예상되는 부위

정밀한 요소내력 또는 응력결과가 필요한 부위



mid

as C

ivil

요소의 크기 및 형상을 결정할 때 기본적으로 고려해야 하는 사항은 다음과 같습니

다.

요소의 크기와 모양은 가능한 한 일정하게 유지해야 합니다.

요소크기의 변화가 필요한 부위에 대해서는 로그분포(Logarithmic

Configuration)를 가지도록 합니다.

인접요소간의 요소크기 차이가 1/2이하가 되도록 합니다.

응력을 구할 경우에는 4절점요소(면요소) 또는 8절점요소(입체요소)를 사용하

고, 요소형상비는 1:1일 경우가 최적의 조건이며 불가피할 경우에는 1:4를 넘

지않도록 합니다. 그리고 강성전달 목적이거나 변위를 구할 경우에는 1:10을

넘지 않도록 하는 것이 좋습니다.

이상적인 모서리각도는 요소의 면이 사각형일 때는 90°이고 삼각형일 때는

60°입니다.

불가피한 경우라도 사각면의 모서리각도는 가능한 한 45°이하 또는 135°이상

이 되지 않도록 하며, 삼각면일 경우는 내부각이 30°이하나 150°이상이 되지

않도록 합니다.

사각형일 경우 모서리절점은 가능한 한 동일평면상에 존재하는 것이 좋으며

높이차가 장변길이에 대해 1/100을 넘지 않도록 합니다.



mid

as C

ivil

다음은 요소종류별 주요용도와 사용상 고려해야 할 사항에 대해 서술합니다.

이 요소들은 공간트러스, 케이블, 대각부재 등과 같이 부재의 축방향으로만 힘을 받

는 부재나 접촉면의 모델링에 주로 사용됩니다.

예를 들어 트러스요소는 축방향으로 압축 및 인장을 받을 수 있는 트러스구조의 모

델에 사용될 수 있으며, 인장력전담요소는 Sagging을 무시할 수 있는 케이블 또는

대각부재 중 세장비가 커서 압축력을 거의 전달할 수 없는 Wind Bracing 등과 같은

부재에 사용될 수 있습니다.

그리고 압축력전담요소는 구조체간의 접촉면이나 인장을 받을 수 없는 지반경계조건

등을 반영하는데 응용될 수 있습니다. 프리스트레스를 받는 경우에는 Pretension

Loads를 이용할 수 있습니다.

이 요소들은 회전강성이 없어서 양단의 연결절점에서 회전변위에 대한 자유도를 가

지지 못하기 때문에 이 요소들 또는 기타 회전자유도가 없는 요소끼리 접하는 절점

에서는 해석과정에서 특이성 오류(Singular Error)가 발생됩니다. midas Civil에서는 이

러한 경우 해당절점의 회전자유도를 자동구속시킴으로써 특이성 오류의 발생을 방지

하고 있습니다.

그러나 이 요소들이 회전방향강성을 가진 보요소와 연결될 때는 별도로 특이성 오류

를 방지하기 위한 조치가 필요 없습니다.

그림 1.4.1과 같이 트러스요소끼리 연결할 경우에는 불안정구조체가 되지 않도록 주

의해야 합니다.

그림 1.4.1(a)의 경우는 평면방향으로 하중이 가해질 때 하중을 지지하여 전달할 수

있는 회전강성이 없기 때문에 불안정구조체가 되며 그림 1.4.1(b), (c)의 경우도 마찬

가지로 Y-Z 평면에 대해서는 안정적이지만 하중작용방향인 X-Z 평면방향의 거동에



mid

as C

ivil

대해서는 불안정구조체가 됩니다.

압축력전담요소나 인장력전담요소를 사용할 경우에는 하중의 크기에 따라 요소의 강

성이 발현되지 않을 수 있으므로(예: 인장력전담요소가 압축력을 받는 경우) 주의해

야 합니다.

그림 1.4.1 트러스요소(인장력 또는 압축력전담요소)로 형성된 대표적 불안정구조체의 예

인장력 전담요소와 압축력 전담요소는 비선형탄성(Nonlinear Elastic)요소로서 다음 그

림과 같은 거동을 한다고 가정합니다.

u

P

TensionLimit

(a) 인장력 전담요소 (b) 압축력 전담요소

그림 1.4.2 인장력 전담요소와 압축력 전담요소의 비선형 거동

Force

Force

Force

(a) X-Z 평면에 X방향으로

하중이 작용하는 경우

(b) Y-Z 평면에 X방향으로


(c) Y-Z 평면에 X방향으로




mid

as C

ivil

위의 그림 1.4.2(a)에서와 같이 인장력 전담요소는 인장력만 받을 수 있는 요소로서,

인장력이 Tension Limit보다 작을 경우 일반적인 트러스와 같이 거동하지만 인장력이

Tension Limit보다 크거나 압축을 받을 경우에는 외력에 저항하지 못하는 특징을 가집

니다. 반면, 그림 1.4.2(b)에서와 같이 압축력 전담요소는 압축력만 받을 수 있는 요

소로서, 압축력이 Compression Limit보다 작을 경우 일반적인 트러스와 같이 거동하

지만 압축력이 Compression Limit보다 크거나 인장을 받을 경우에는 외력에 저항하지

못하는 특징을 가집니다.

압축력 전담요소가 인장을 받거나 압축력이 Compression Limit을 초과하는 경우 요소

의 강성은 0이 되며 이는 수치에러를 유발하는 주요한 요인이 됩니다. 이러한 이유로

인장력 전담요소와 압축력 전담요소를 사용할 경우에는 특별한 주의를 요합니다. 다

음 그림은 압축력 전담요소를 사용하는 경우 발생되는 문제를 예시한 것입니다.

(a) 압축력 전담요소에 인장력이 작용하여 구조물이 분리되는 경우

(b) 압축력 전담요소에 인장력이 작용하여도 구조물이 분리되지 않는 경우

그림 1.4.3 구조물의 분리 여부에 대한 해석의 안정성

위의 그림 1.4.3(a)의 경우 왼쪽 구조물은 압축력 전담요소를 통해 하나의 구조물로

연결된 것으로 보입니다. 그러나, 압축력 전담요소에 인장이 발생하도록 하중을 재하

할 경우 오른쪽 그림과 같이 두 개의 구조물로 분리됨을 알 수 있습니다. 이때 분리

된 각각의 구조물이 용인되는(Admissible) 조건을 가진다면 문제가 발생하지 않지만

그림과 같이 용인되지 못하는 조건을 가진 경우에는 수치에러가 발생합니다. 따라서

이러한 경우 분리되는 두 구조물을 사전에 예상하여 경계조건을 적절히 추가하여 용



mid

as C

ivil

인되는 조건을 만족시켜주어야 합니다. 그림 1.4.3(b)의 경우는 압축력 전담요소에 인

장이 발생하더라도 구조물이 두 개의 구조물로 분리되지 않기 때문에 압축력 전담요

소의 비선형거동이 적용된 안정적인 해석이 가능합니다. 이와 같은 문제는 압축력 전

담요소에 Compression Limit보다 큰 압축력이 발생하거나 인장력 전담요소에 압축력

또는 Tension Limit보다 큰 인장력이 발생하는 경우에도 동일하게 적용됩니다.

앞에서 거론된 바와 같이 인장력 전담요소나 압축력 전담요소는 비선형 탄성거동을

하는 요소로써 근본적으로 반복해석을 수행하는 비선형 해석이 필요합니다. 비선형

해석은 근사해석으로써 이전단계 해석 결과와 현재 단계 해석 결과의 비율로서 수렴

비를 산정하며 이를 특정 기준값과 비교하여 수렴여부를 판단합니다. 수렴비를 산정

하기 위해 사용되는 해석 결과로는 증분 변위, 증분 하중, 증분 에너지가 있으며

midas Civil 에서는 증분 변위값을 사용하여 수렴비를 산정하고 이 값이 기준값인

Tolerance값보다 작을 경우 수렴이 된 것으로 판단합니다. 통상적으로 비선형 해석에

서 Tolerance는 1/100~1/1000의 값을 사용하는 것이 일반적이며 midas Civil 은

Default로 1/1000값을 사용하고 있습니다.

인장력 전담요소 및 압축력 전담요소는 일반선형해석, 선형시공단계해석 및 비선형시

공단계해석에서 사용가능하며, Civil 2009 부터는 재료비선형해석 및 기하비선형해석

에서도 사용가능합니다. 그러나, 좌굴해석, P-Delta 해석, Pushover 해석, 수화열해석

에서는 사용할 수 없습니다. 특히, 고유치해석, 응답스펙트럼해석, 시간이력해석, 이

동하중해석, 지점침하해석에서는 일반 트러스로 변환하여 해석을 수행합니다.

단면의 치수에 비해 길이가 긴 균일단면의 골조부재나 변단면부재(Tapered Member)

의 모델링에 주로 사용됩니다. 그리고 보요소는 절점당 6개의 자유도를 가지기 때문

에 자유도가 서로 다른 요소끼리 연결될 때 하중전달용 요소로도 사용될 수 있습니

다.

보요소에 재하할 수 있는 하중의 종류는 골조부재에 작용하는 중간 집중하중, 분포하

중, 온도구배하중 등이며 프리스트레스하중을 고려할 수 있습니다.



mid

as C

ivil

보요소는 인장, 압축, 전단, 굽힘, 비틀림 등의 강성을 가지기 때문에 절점당 6개의

자유도를 가질 수 있습니다. 보요소에서 전단변형을 무시하고자 할 경우에는 단면성

질을 입력할 때 전단면적을 입력하지 않습니다.

보요소의 정식화에는 Timoshenko Beam Theory(중립축에 수직한 단면은 변형 후에

평면을 유지하지만 중립축에 수직일 필요는 없다.)가 사용되었으며 보의 전단변형을

고려할 수 있습니다. 길이에 대한 단면의 폭 또는 높이비가 대략 1/5 보다 커질 경우

에는 전단변형에 의한 영향이 커지게 되므로 판형요소를 사용하여 조밀한 요소망이

형성되도록 모델링하는 것이 바람직합니다.

보요소의 단면성질중 비틀림강성(Torsional Resistance)은 단면의 극관성모멘트(Polar

Moment of Inertia)와는 다르며(원형 또는 원통형 단면의 경우는 동일) 실험적 방법에

의해 결정되기 때문에 비틀림변형의 영향이 클 경우에는 주의해야 합니다.

보요소(또는 트러스요소)는 선요소(Line Element)로 이상화되어 있기 때문에 단면방향

의 크기가 없는 것으로 가정되며, 단면의 성질이 양절점간을 연결하는 중립축에 집중

되어 있는 것으로 간주되기 때문에 부재간의 Panel Zone(기둥과 보부재의 접합부위)

에 의한 효과나 중립축의 불일치에 따른 영향을 고려하지 않습니다. 따라서 Panel

Zone에 의한 효과나 중립축의 불일치에 따른 효과를 고려할 경우에는 강성역(Beam

End Offset) 기능을 이용하거나 기하학적 구속조건을 사용해야 합니다.

부재의 단면이 비균일단면(Non-prismatic Section)일 경우에는 Tapered Section을 사용

하고, 굽은보를 모델링에 반영할 경우에는 가능한 한 여러 개로 분할한 요소를 사용

하는 것이 바람직합니다.　

보요소로 모델링할 부재의 양단부가 핀접합(Pin Connection) 또는 슬롯홀(Slot Hole)

등에 의해 연결될 경우에는 단부자유도해제조건(Beam End Release)을 이용하여 모델

에 반영해야 합니다.　

이때 한 절점의 임의 자유도에 대해 중복하여 단부자유도해제조건을 부여할 경우에

는 해당 자유도의 강성이 없어져서 특이성 오류가 발생될 수 있기 때문에 주의해야

하며, 불가피한 경우에는 해당 자유도에 미소량의 스프링요소(또는 탄성경계요소)를

추가하여야 합니다.



mid

as C

ivil

그림 1.4.4 단부자유도해제조건(Beam End Release)의 적용 예

Rotational DOF released

Girder

Beam Column

Slot hole

Girder

Axial directionDOF. released

(a) 핀접합의 경우 (b) 슬롯홀접합의 경우

Rotational d.o.f. released

Rigid connection

(c) 여러 개의 보요소가 한 절점에 핀접합으로 연결된 경우

Rigid connectionBeam element

Rigid beam elementfor connectivity

All rotational degrees offreedom and verticaldisplacement degree offreedom released

Plane stress or plate elements

beam

wall

(d) 절점자유도가 서로 다른 요소끼리 연결된 경우

여러개의 보요소가 한 절

점에 핀접합으로 만날 경

우 특이성 오류를 피하기

위해 한 개 요소의 끝단은

단부해제조건을 부여하지

않고 나머지요소의 단부에

대해서는 단부자유도해제

조건(Beam End Release)

를 부여한다.



mid

as C

ivil

그리고 절점자유도가 서로 다른 요소끼리 접하는 경우에는 강체 보요소(Rigid Beam

Element)를 사용하면 효과적입니다. 일반적으로 강체 보요소의 강성은 연산오류를 감

안하여 인접한 요소의 탄성계수에 비해 대략 105~108배 정도의 값을 사용하는 것이

타당합니다.

그림 1.4.4(d)에서 벽체와 보부재가 연결될 경우에 벽체를 평면응력요소 또는 판요소

로 모델링하고 보부재를 보요소로 입력하면 평면응력요소(또는 판요소, 입체요소)는

면의 수직방향에 대한 회전강성을 가지지 않기 때문에 보요소를 연결하더라도 보요

소와의 회전방향 자유도에 대한 연결성이 확보되지 않고 핀접합한 것과 같은 결과가

됩니다. 이때 연결성의 확보를 위해 강체 보요소를 사용하게 되는데, 강체 보요소의

단부접합조건은 보요소와 연결되는 단부에 대해서는 별도의 해제조건을 부여하지 않

고, 반대편 단부에 대해서는 회전자유도와 축방향 변위자유도를 해제하는 방법을 사

용합니다.

인장 또는 압축을 받는 막구조나 평면방향으로만 하중을 전달할 수 있는 구조물의

부재에 사용될 수 있습니다.

평면응력요소는 각 변에 대해 수직방향으로 압력하중을 받을 수 있습니다.

평면응력요소는 사각형 또는 삼각형모양을 가지며 평면내의 인장, 압축, 전단강성만

을 가집니다.

사각형요소(4절점 요소)는 요소의 특성상 변위 및 응력에 대해 근접한 결과를 산출하

지만, 삼각형요소(3절점 요소)의 경우 변위는 비교적 정확하나 응력은 정확성이 떨어

지는 경향이 있습니다. 따라서 정밀한 해석결과가 필요한 부위에서는 삼각형요소의

사용을 피해야 합니다.

체눈의 크기를 변화시키고자 하는 경우 사각형요소간의 연결을 위해 삼각형요소가

주로 사용됩니다. (그림 1.4.5 참조)



mid

as C

ivil

평면응력요소는 회전강성이 없어서 연결절점에서 회전변위에 대한 자유도가 없기 때

문에 회전자유도가 없는 요소끼리 접하는 절점에서는 해석과정에서 특이성오류가 발

생됩니다. midas Civil에서는 이러한 경우 해당절점의 회전자유도를 자동구속시킴으로

써 특이성오류의 발생을 방지하고 있습니다.

그리고 회전강성을 가진 보요소나 판요소 등과 연결될 때는 강체구속조건(주절점, 종

속절점기능)을 이용하거나 강체 보요소 등을 이용하여 요소간의 연결성을 유지시키도

록 하여야 합니다.

요소의 적정 형상비(Aspect Ratio)는 요소의 종류, 기하학적 형상, 구조형태 등에 따

라 다릅니다. 그러나 일반적으로는 요소형상비를 가능한 한 1.0에 가깝도록 하고 사

각형요소의 경우는 네 모서리각이 90°에 근접하도록 하는 것이 바람직합니다. 이와

같은 조건으로 모델링하기 어려울 경우에는 응력의 변화가 심한 부분이나 엄밀해가

요구되는 부위만이라도 정사각형에 가깝도록 유지하는 것이 좋습니다.

또한, 요소의 크기는 상대적으로 작을수록 수렴성이 우수합니다.

그림 1.4.5 Crack 모델에서 삼각형/사각형요소를 사용한 예

(a) Crack (b) 유한요소모델

Triangular elements are used for connecting the quadrilateral elements



mid

as C

ivil

평면변형요소는 댐(Dam) 또는 터널(Tunnel)등과 같이 일정한 단면을 유지하면서 길

이가 긴 구조물의 해석에 사용될 수 있으며 다른 종류의 요소들과는 혼용될 수 없습

니다.

평면변형요소는 각 변에 대해 수직방향으로 압력하중을 받을 수 있습니다.

이 요소는 평면변형적 특성을 근거로 하고 있기 때문에 선형정적해석에만 사용할 수

있고 두께방향의 변형율은 존재하지 않으며, 두께방향의 응력성분은 Poisson Effect에

의해 존재하는 것으로 가정합니다.

평면변형요소는 사각형 또는 삼각형모양을 가질 수 있으며 평면내의 인장, 압축, 전

단강성과 두께방향의 인장, 압축강성을 가집니다.

평면변형요소는 평면응력요소와 마찬가지로 삼각형요소보다는 사각형요소를 사용하

는 것이 바람직하며, 요소형상비는 1.0에 가깝도록 하는 것이 좋습니다.



mid

as C

ivil

축대칭요소는 형상, 재질, 하중조건 등이 임의 축에 대해 회전대칭조건을 만족하는

구조체(Pipe, Vessel, Tank, Bin 등)의 해석에 사용될 수 있으며, 다른 종류의 요소들과

는 혼용될 수 없습니다.

축대칭요소는 각 변에 대해 수직방향으로 압력하중을 받을 수 있습니다.

이 요소는 구조물의 축대칭적 특성을 근거로 하고 있기 때문에 선형정적해석에만 사

용할 수 있고 원주방향에 대한 변위, 전단변형률, 전단응력은 “0”으로 가정합니다.

축대칭요소는 평면응력요소와 마찬가지로 삼각형요소보다는 사각형요소를 사용하는

것이 바람직하며, 요소형상비는 1.0에 가깝도록 하는 것이 좋습니다.



mid

as C

ivil

평면방향 거동과 면외휨거동을 일으킬 수 있는 압력용기, 토류벽, 교량의 상판, 구조

물의 바닥 및 기초판 등의 모델에 사용할 수 있습니다.

판요소는 전체좌표계 또는 요소좌표계를 기준으로 임의 방향에 대해 면상에 압력하

중을 받을 수 있습니다.

판요소는 사각형 또는 삼각형 모양을 가지며 평면내의 압축, 인장, 전단강성과 두께

방향의 휨강성, 전단강성을 가집니다.

midas Civil에 사용된 판요소의 면외강성은 DKT, DKQ(Discrete Kirchhoff Element)와

DKMT, DKMQ(Discrete Kirchhoff-Mindlin Element)의 두가지 종류로 구분됩니다. DKT,

DKQ인 경우에는 얇은 판 이론(Kirchhoff Plate Theory)에 의해 개발된 것이고, DKMT,

DKMQ요소는 두꺼운 판 이론(Mindlin-Reissner Plate Theory)에 의해 개발되었으나 적

절한 전단변형률장을 가정함으로서 얇은 요소부터 두꺼운 판요소까지 우수한 성능을

나타내고 있는 요소입니다. 판요소의 면내강성은 3각형인 경우는 LST(Linear Strain

Triangle)이론을 사용하였고 4각형인 경우에는 비적합모드를 포함하는 등매개 평면응

력이론(Isoparametric Plane Stress Formulation with Incompatible Modes)을 사용하여

정식화하였습니다.

판요소 두께의 입력은 면내강성(Inplane Stiffness)을 계산하기 위한 것과 면외강성

(Out of Plane Stiffness)을 계산하기 위한 것으로 구분하여 입력할 수 있습니다. 일반

적으로 자중이나 질량의 계산에는 면내강성의 계산을 위한 두께가 사용되지만 면외

강성의 계산을 위한 두께만 입력되는 경우에는 면외방향 두께를 사용합니다.

그림 1.4.6 구형 또는 원통형 모델에 사용된 판요소의 예

plate element node

angle between adjacent elements



mid

as C

ivil

판요소도 평면응력요소와 마찬가지로 가능한 한 4절점요소를 사용하는 것이 바람직

합니다. 그리고 판요소로 곡면구조(곡률을 가진 판)를 모델링할 때는 인접한 요소간

의 각도가 10°를 넘지 않도록 해야 하며, 엄밀해가 요구되는 부위에서는 2~3°를

넘지 않도록 하는 것이 바람직합니다.

응력의 변화가 심한 부분이나 엄밀해가 요구되는 부위에 대해서는 정사각형에 가까

운 4절점요소로 세분화하는 것이 바람직합니다.

이론적으로는 판의 전체적인 거동이 면외 휨이 지배할 경우에는 얇은 판(Thin Plate)

을 사용하고, 면외 전단변형의 영향도 고려해야할 경우에는 두꺼운 판(Thick Plate)을

사용하는 것이 적합하지만, 위에서 언급했듯이 midas Civil의 Thick Plate는 적절한 전

단변형률장을 가정했기 때문에 대부분의 경우에 Thick Plate를 사용해도 우수한 성능

을 나타냅니다. 다만 구분해서 사용할 때 그 판단이 어려울 경우, 아주 간단하게 모

델의 평면상의 가장 긴 쪽 지간 길이와 두께의 비율이 10일 때를 기준으로 두께가

얇은 경우에는 Thin을, 두꺼운 경우에는 Thick을 사용하는 방법도 있습니다.



mid

as C

ivil

3차원 입체구조물의 모델링에 사용되며, 삼각뿔, 삼각기둥, 육면체 등의 입체모양을

가집니다.

압력하중은 요소의 각 면에 수직방향이나 전체좌표계 X, Y, Z 방향으로 입력이 가능

합니다.

육면체요소(8절점 요소)는 요소의 특성상, 변위 및 응력에 대해 근접한 결과를 산출

하지만, 삼각뿔요소(4절점 요소) 또는 삼각기둥요소(6절점 요소)의 경우에 변위는 비

교적 정확하나 응력은 정확성이 떨어지기 때문에 정밀한 해석결과가 필요한 부위에

서는 사용을 피해야 합니다.

체눈의 크기를 변화시키고자 하는 경우 육면체 요소간의 연결을 위해 주로 사용됩니

다.

입체요소는 회전강성이 없어서 연결절점에서 회전변위에 대한 자유도가 없기 때문에

기타 회전자유도가 없는 요소끼리 접하는 절점에서는 해석과정에서 특이성오류가 발

생됩니다. midas Civil에서는 이러한 경우 해당절점의 회전자유도를 자동구속시킴으

로써 특이성오류의 발생을 방지하고 있습니다.

그리고 회전강성을 가진 보요소나 판요소 등과 연결될 때는 강체구속조건(주절점, 종

속절점기능)을 이용하거나 강체 보요소 등을 이용하여 요소간의 연결성을 유지시키도

록 하여야 합니다.

요소의 적정 형상비(Aspect Ratio)는 요소의 종류, 기하학적 형상, 구조형태 등에 따

라 다릅니다. 그러나 일반적으로는 요소형상비를 가능한 한 1.0에 가깝도록 하고, 육

면체요소의 경우는 8개의 모서리각이 90°에 근접하도록 하는 것이 바람직합니다.

이러한 조건으로 모델링하기 어려울 경우에는 응력의 변화가 심한 부분이나 엄밀해

가 요구되는 부위만이라도 정육면체에 가깝도록 유지하는 것이 좋습니다.

또한, 요소의 크기는 상대적으로 작을수록 수렴성이 우수합니다.



mid

as C

ivil

물체의 물리적 성질이 방향에 따라 달라지지 않는 경우를 등방성(Isotropic) 이라 하

고, 방향에 따라 성질이 달라지는 경우를 이방성(Anisotropic) 이라고 합니다. 이방성

중 서로 직교하는 세 면에 관해서 대칭인 성질을 가질때 직교이방성(Orthotropic) 이

라고 합니다. 예를 들어, 섬유보강 플라스틱(FRP)과 같은 복합 재료는 직교이방성 재

질입니다.

직교이방성 재질은 서로 직교하는 세 방향에 대한 탄성계수와 선열팽창계수, 그리고

직교하는 세 면에 대한 전단탄성계수와 포와송비를 물성치로 가집니다. 이러한 물성

치는 해당 재질에 대한 실험값 또는 제조사에서 제공하는 값을 사용합니다.

직교이방성 재질 사용시 주의점은 다음과 같습니다.

재질특성은 요소의 Local 축을 기준으로 반영이 됩니다. 따라서, 요소의

Local 축과 직교이방성 재질의 방향과의 관계를 고려하여 모델링하는 것이

필요합니다.

요소의 종류에따라 적용되는 탄성계수의 성분은 다음과 같습니다.

1차원 요소의 경우(트러스, 보) : Local-x

2차원 요소의 경우(판, 평면) : Local-x, Local-y

3차원 요소의 경우(입체) : Local-x, Local-y, Local-z

이방성 재질에 입력되는 탄성계수와 프아송비는 아래와 같은 조건을 만족하

여야 합니다.

, ,xy yx yz zyxz zx

x y x z y zE E E E E E

직교 이방성 재질은 다음과 같은 경우에 주로 사용합니다.

철근 배근으로 요소의 Local-x와 Local-y의 강성이 다른 벽체

보강판 등으로 요소의 Local-x와 Local-y의 강성이 달라진 바닥판



mid

as C

ivil

요소의 강성을 계산하는데는 재질데이터와 단면(또는 두께)데이터가 사용됩니다.

재질데이터는 Properties탭>Material그룹>Material Properties 기능을 통해서 입력되

며, 단면데이터는 Properties탭>Section그룹>Section Properties 또는 Thickness 기능

을 통해서 입력됩니다.

요소종류별 요소강성데이터를 위해 필요한 명령어는 표 1.5.1과 같습니다.

요소구분 재질 단면 / 두께 비고

트러스요소 Material Section 트러스요소의 경우는 해석을 하기 위해

서 단면적(Cross Sectional Area)만 필

요하지만 설계작업 또는 부재형상을 화

면상에서 표현하기 위해 단면 형상을

입력해야 한다.

인장력전담요소 Material Section

압축력전담요소 Material Section

보요소 Material Section

보요소가 SRC(철골철근콘크리트)기둥

으로 사용될 경우 강재와 콘크리트가

공존하는데에 따른 등가강성의 계산은

프로그램 내부에서 자동적으로 이루어

진다.

평면응력요소 Material Thickness

판요소 Material Thickness

평면변형요소 Material -

평면변형요소와 축대칭요소의 경우는

각각 단위폭(1.0)과 단위각도(1.0 rad)

의 두께가 프로그램 내부에서 자동적으

로 주어지기 때문에 별도로 단면데이터

를 입력할 필요가 없다. 축대칭요소 Material -

입체요소 Material -

입체요소는 요소를 구성하는 모서리 절

점들에 의해 요소의 크기가 결정되기

때문에 별도로 단면데이터를 입력할 필

요가 없다.

표 1.5.1 요소종류별 요소강성데이터 명령어

Chapter 5. 요소의 강성 데이터

Chapter 5 | 요소의 강성 데이터


mid

as C

ivil

선요소의 단면성질에 대한 정의 및 계산방법은 다음과 같습니다.

선요소(트러스요소, 보요소... 등)의 단면성질을 직접 계산하여 입력할 때는 각각의

단면성질이 구조적 거동에 미치는 영향을 충분히 이해하고 입력해야 합니다.

또한, 부재의 부식이나 마모 등으로 부재단면의 감소요인이 있을 경우에는 이를 반영

하여 단면성질을 계산하여야 합니다.

midas Civil에서는 아래의 3가지 방법을 이용하여 단면성질을 입력할 수 있도록 되

어 있습니다.

1. 단면의 주요치수만 입력하여 midas Civil 내부에서 자동연산하는 방법

2. 모든 단면성질을 사용자가 직접 계산하여 입력하는 방법

3. KS, JIS, AISC 규준에 등록된 단면의 경우, 데이터베이스에서 공칭명을 선택

하여 입력하는 방법

일반단면(Prismatic Section), 비균일 단면(Tapered Section), 합성단면(Combined

Section) 그리고 SRC단면인 경우에는 단면특성을 각각 고유의 단면번호를 사용하여

입력할 수 있으나 시공단면(Construction Section)인 경우에는 미리 입력된 2개의

단면특성을 사용하여 입력하게 됩니다. 시공단면은 철골과 콘크리트의 합성형태로 구

성되어 구조물의 시공단계(큰크리트의 타설 및 양생)에 따라 다른 단면특성을 갖는

경우에 사용됩니다.

다음은 midas Civil 내부에서 단면성질을 계산하는데 사용된 방법과 각 단면성질을

계산할 때 고려해야 하는 일반적인 사항을 서술합니다.



mid

as C

ivil

단면적(Cross Sectional Area)은 부재가 인장 또는 압축력(Axial Force)을 받는 경

우 이에 저항하는 강성(Axial Stiffness)을 계산하거나 부재에 발생한 응력을 계산하

는데 사용되며 계산방법은 그림 1.5.1과 같습니다.

midas Civil 내부에서 단면적을 계산하거나 데이터베이스로부터 입력되는 경우에는

접합부의 볼트접합구멍 또는 리벳접합구멍 등에 의한 단면적의 감소요인은 고려하지

않으므로 필요시 전술한 “단면성질 입력방법 2”를 사용하여 사용자의 판단에 따라

조정된 단면적을 입력해야 합니다.

그림 1.5.1 단면적의 계산 예

Area = ∫dA = A1 + A2 + A3

= (300×15) + (573×10) + (320×12)

= 14070



mid

as C

ivil

전단력에 대한 유효전단면적(Effective Shear Area)은 부재단면의 요소좌표계 y축 또는

z축 방향으로 작용하는 전단력(Shear Force)에 저항하는 강성(Shear Stiffness)의 계산

에 필요합니다.

만약 유효전단면적을 입력하지 않았을 경우 해당 방향의 전단변형이 무시됩니다.

midas Civil내부에서 단면성질을 계산하거나 데이터베이스로부터 입력되는 경우에는

해당 전단강성성분이 자동고려되며 계산방법은 표 1.5.2와 같습니다.

Asy : 요소좌표계 y축 방향으로 작용하는 전단력에 저항하는 유효전단면적

Asz : 요소좌표계 z축 방향으로 작용하는 전단력에 저항하는 유효전단면적



mid

as C

ivil

Section Shape Effective Shear Area Section Shape Effective Shear Area

1. Angle

5

6

5

6

sy f

sz w

A B t

A H t

2. Channel

5(2 )

6sy f

sz w

A B t

A H t

3. I-Section

5(2 )

6sy f

sz w

A B t

A H t

4. Tee

5( )

6sy f

sz w

A B t

A H t

5. Thin Walled Tube

2

2

sy f

sz w

A B t

A H t

6. Thin Walled Pipe

sy w

sz w

A r t

A r t

7. Solid Round Bar

2

2

0.9

0.9

sy

sz

A r

A r

8.Solid Rectangular Bar

5

6

5

6

sy

sz

A BH

A BH

표 1.5.2 단면형상별 유효전단면적



mid

as C

ivil

비틀림강성은 비틀림모멘트에 저항하는 강성으로 식 (1)과 같이 표현됩니다.

xx

TI

(1)

여기서 Ixx : 비틀림강성 (Torsional Resistance)

T : 비틀림모멘트 (Torsional Moment or Torque)

θ : 비틀림각도 (Angle of Twist)

비틀림강성은 상기 식에서와 같이 비틀림에 저항하는 강성이며, 비틀림에 의한 전단

응력을 결정하는 극관성 단면 2차 모멘트(Polar Moment of Inertia)와는 다릅니다.

(단, 원형단면 또는 두께가 두꺼운 원통단면의 경우는 비틀림모멘트와 극관성 단면 2

차 모멘트가 일치합니다.)

그리고 단면의 형태가 개방형단면(Open Section)인지 또는 밀폐형단면(Closed

Section)인지에 따라 비틀림강성의 계산방법이 다르고, 단면의 두께가 얇은지 또는

두꺼운지에 따라서도 계산방법이 다르기 때문에 모든 종류의 단면에 공통적으로 적

용할 수 있는 일반식은 없습니다.

개방형단면의 비틀림강도 계산은 개방형단면을 여러 개의 직사각형 단면으로 분할하

여 식 (2)를 이용하여 계산하고, 그 계산 결과치를 합산함으로써 근사적으로 구할 수

있습니다.

xx xxI i

43

4

163.36 1

3 12xx

b bi ab

a a

단, a ≥ b (2)

여기서 ixx : 분할단면(직사각형)의 비틀림강성

2a : 분할단면의 긴 변의 길이

2b : 분할단면의 짧은 변의 길이



mid

as C

ivil

그리고 얇은 튜브형태의 밀폐형 단면에 대한 비틀림강성의 계산식은 식 (3)과 같습니

다. (그림 1.5.2 참조)

24

/xxs

AI

d t

(3)

여기서 A : 튜브의 단면적

dS : 임의 위치에서 튜브단면 중립선의 미소길이

t : 임의 위치에서의 튜브벽 두께

또한 교량의 박스형 단면과 같이 두꺼운 튜브형태의 밀폐형 단면에 대한 비틀림강성

은 상기의 식(1)과 (3)을 합산함으로써 구할 수 있습니다.

그림 1.5.2 얇은 튜브형 밀폐단면의 비틀림강성 및 전단응력

Torsional resistance : 24

/xx

s s

AI

d t

Shear stress at a given point : 2

T

s

T

At

st : Thickness of tube at a given point



mid

as C

ivil

Section Shape Torsional

Resistance Section Shape

Torsional

Resistance

1. Solid Round Bar

21

2xxI r

2. Solid Square Bar

42.25xxI a

3. Solid Rectangular Bar

43

4

163.36

3 12xx

b bI ab I

a a

(where, a≥b)

표 1.5.3 Solid Section의 비틀림강성

Section Shape Torsional

Resistance Section Shape

Torsional

Resistance

1. Rectangular Tube

(Box)

22( )xx

wf

b hI

b ht t

2. Circular Tube(Pipe)

표 1.5.4 두께가 얇은 폐쇄형 단면의 비틀림 강성

4412 2 2xx

o iDDI



mid

as C

ivil

Section Shape Torsional Resistance

1. Angle

41 2

43

1 4

43

2 4

10.21 1

3 12

10.105 1

3 192

0.07 0.076

2 3 2 2 2

xxI I I D

b bI ab

a a

d dI cd

c c

d r

b b

D d b r r b r d

(where, b < 2(d + r))

2. Tee

IF b<d : t=b, t1=d IF b>d : t=d, t1=b

41 2

43

1 4

43

2 4

1

22

10.21 1

3 12

10.105 1

3 192

0.15 0.10

42

xxI I I D

b bI ab

a a

d dI cd

c c

t r

t b

db r rd

Dr b

(where, d < 2(b + r))

3. Channel

Sum of torsional stiffnesses of 2 angles

4. I-Section

IF b<d : t=b, t1=d IF b>d : t=d, t1=b

4

1 2

43

1 4

3

2

1

22

2 2

10.21 1

3 12

1

3

0.15 0.10

42

xxI I I D

b bI ab

a a

I cd

t r

t b

db r rd

Dr b

(where, d < 2(b + r))

표 1.5.5 두께가 두꺼운 개방형 단면의 비틀림강성

Tee1

Angle 1

Angle 2

Tee2



mid

as C

ivil

Section Shape Torsional Resistance

1. Angle

3 31

3xx w fI h t b t

2. Channel

3 312

3xx w fI h t b t

3. I-Section

3 312

3xx w fI h t b t

4. Tee

3 31

3xx w fI h t b t

5. I-Section

3 331 1 2 2

1

3xx w f fI h t b t b t

표 1.5.6 두께가 얇은 개방형 단면의 비틀림강성



mid

as C

ivil

2개 이상의 형강을 조합하여 하나의 단면으로 만들 경우, 조합하는 형태에 따라 폐

쇄형 단면과 개방형 단면이 동시에 생길 수 있습니다. 이 경우 비틀림강성의 계산은

폐쇄형 단면 부분과 개방형 단면 부분으로 나누어 각각 계산한 다음 그 값을 더하는

방법을 사용합니다.

예를 들면, 이중 H형 단면(Double H-section)의 경우 1.5.3(a)와 같이 단면의 중앙

에는 폐쇄형 단면이 형성되고, 외곽 플랜지들은 개방형 단면이 됩니다.

- 폐쇄형 단면 부분(빗금친 부분)의 비틀림강성

2

1 1

1 1

2( )C

f w

b hI

b h

t t

(4)

- 개방형 단면 부분(돌출된 플랜지 부분)의 비틀림강성

3

1

12 2

3O w w

I b b t t

(5)

- 전체단면에 대한 비틀림강성

xx C OI I I (6)

H형 단면을 2개의 Flat Bar로 보강할 경우에는 그림 1.5.3(b)와 같이 폐쇄형 단면이

2개 이상 생길 수 있으며 이 때의 단면 비틀림강성은 다음과 같이 계산합니다.

플랜지 끝단부의 개방형 단면에 대한 비틀림강성이 전체단면의 비틀림강성에 비해

무시할 정도로 작은 값일 경우, H형 단면의 상 하 플랜지와 보강재로 사용된 2개의

Flat Bar에 의해 형성되는 최외곽의 폐쇄 단면에 대하여 비틀림강성을 계산하면 다

음과 같습니다.

2

1 1

1 1

2( )xx

f w

b hI

b h

t t

(7)



mid

as C

ivil

그리고 전체단면을 구성하는 요소중에서 개방형 단면의 비틀림강성이 무시할 수 없

을 정도로 큰 값일 경우 개방형 단면에 대한 비틀림강성을 계산하여 더합니다.

(a) 폐쇄형과 개방형 단면이 함께 존재하는 경우

(b) 폐쇄형 단면이 2개 이상 존재하는 경우

그림 1.5.3 두개 이상의 형강을 조합한 단면의 비틀림강성



mid

as C

ivil

단면2차모멘트(Area Moment of Inertia)는 휨모멘트(Bending Moment)에 저항하는

강성(Flexural Stiffness)을 계산하는데 사용되며, 해당 단면의 도심축에서 다음의 식

에 따라 계산됩니다.- 요소좌표계 y축에 대한 단면2차모멘트

2

yyI z dA

(8)

- 요소좌표계 z축에 대한 단면2차모멘트

2

zzI y dA

(9)

iA : area

iz : distance from the reference point to the centroid of the section element in the z′-axis direction

iy : distance from the reference point to the centroid of the section element in the y′-axis direction

yiQ : first moment of area relative to the reference point in the y′-axis direction

ziQ : first moment of area relative to the reference point in the z′-axis direction

① ② ③ Total

b 10 2 8 -

h 4 10 3 -

iA 40 20 24 84

iz 2 9 15.5 -

yiQ 80 180 372 63.2

iy 5 5 5 -

ziQ 200 100 120 420

Centroid

Neutral axis

Reference point for the centroid position calculation

②

①

③



mid

as C

ivil

- 　 중립축 위치 계산 ( Z ,Y )

6327.5238

84y

zdA QY

Area Area

4205.0000

84z

ydA QZ

Area Area

- 　 단면 2차 모멘트 계산 (Iyy, Izz )

Section element i

A iZ z iY y 1z

I 2z

I zz

I

① 40 5.5328 1224.5 53.3 1277.8 0 0 333.3 333.3

② 20 1.4672 43.1 166.7 209.8 0 0 6.7 6.7

③ 24 7.9762 1526.9 18.0 1544.9 0 0 128.0 128.0

Total 2794.5 238.0 3032.5 0 468.0 468.0

21 ( )y i iI A Z z ,

3

2 12y

bhI , 1 2yy y yI I I

21 ( )z i iI A Y y ,

3

2 12z

hbI , 1 2zz z zI I I

1yI

2yI

yyI



mid

as C

ivil

단면상승모멘트(Area Product Moment of Inertia)는 비대칭단면의 응력성분을 계산

하는데 사용되며 그 정의는 식 (10)과 같습니다.

yzI y zdA (10)

H, Pipe, Box, Channel, Tee형 단면과 같이 요소좌표계 y, z축 어느 1개의 축에 대

해서 대칭인 경우에는 Iyz=0이 되며, Angle형 단면과 같이 어느 1개 축에 대해서도

대칭이 아닌 경우에는 Iyz≠0 이므로 응력성분 계산시 고려하여야 합니다.

Angle형 단면의 단면상승모멘트의 계산방법은 아래와 같습니다.

Section Element

①

②

centroid

fB t / 2B Y ( / 2)fH t Z

( / 2)fH t Z ( ) wfH t t / 2wt Y

yie

zie

iA

( ) ( / 2 ) {( / 2) }

{( ) } { / 2 ) {( / 2) }

yz i yi zj

f f

w wf f

I A e e

B t B Y H t Z

H t t t Y H t Z



mid

as C

ivil

그림 1.5.4 비대칭형 단면에서의 휨응력 분포도

중립축(Neutral Axis)은 휨모멘트에 의한 부재내 휨응력이 '0(Zero)' 이 되는 위치를

통과하는 축을 말하며, 그림 1.5.4의 우측 그림에서와 같이 n-축이 중립축이 됩니다.

m-축은 n-축에 대하여 수직을 이루는 축입니다.

중립축에서는 휨모멘트에 의한 휨응력이 '0' 이므로 식 (11)로부터 중립축 방향을 구

할 수 있습니다.

( ) ( ) 0y zz z yz z yy y yzM I M I z M I M I

tan y zz z yz

z yy y yz

M I M Iy

z M I M I

(11)

휨모멘트에 의한 단면의 휨응력을 계산하는데 적용되는 일반식은 식 (12)와 같습니다.

2 2

/ /

/ /

y z yz zz z y yz yy

b

yy yz zz zz yz yy

M M I I M M I If z y

I I I I I I

(12)



mid

as C

ivil

만일 H형 단면일 경우에는 Iyz= 0 이 되므로,

y zb by bx

yy zz

M Mf z y f f

I I (13)

여기서,Iyy : 요소좌표계 y축에 대한 단면2차모멘트

Izz : 요소좌표계 z축에 대한 단면2차모멘트

Iyz : 단면상승모멘트

y : 요소단면의 중립축으로부터 휨응력을 계산하고자 하는 위치까지의 요소좌

표계 y축 방향의 거리

z : 요소단면의 중립축으로부터 휨응력을 계산하고자 하는 위치까지의 요소좌

표계 z축 방향의 거리

My : 요소좌표계 y축에 대한 휨모멘트

Mz : 요소좌표계 z축에 대한 휨모멘트

요소좌표계 y축 및 z축 방향으로 작용하는 전단력에 대한 전단응력을 계산하는데 적

용되는 일반식은 식 (14), (15)와 같습니다.

2 2( )y yy z yz y y

y yy z yz yzz yy zz yz yy zz yz

V I Q I Q VI Q I Q

bb I I I I I I

(14)

2 2( )zz y yz zz z

z zz y yz zyy yy zz yz yy zz yz

I Q I QV VI Q I Q

bb I I I I I I

(15)

여기서,Vy : 요소좌표계 y축 방향으로 작용하는 전단력

Vz : 요소좌표계 z축 방향으로 작용하는 전단력

Qy : 요소좌표계 y축에 대한 단면 1차모멘트

Qz : 요소좌표계 z축에 대한 단면 1차모멘트

by : 전단응력을 계산하는 위치에서의 요소좌표계 z축과 직각을 이루는 단면

의 두께

bz : 전단응력을 계산하는 위치에서의 요소좌표계 y축과 직각을 이루는 단면

의 두께



mid

as C

ivil

단면 1차모멘트(First Moment of Area)는 단면의 임의 위치에서의 전단응력을 계산

하는데 사용되며 아래와 같이 계산합니다.

yQ zdA (16)

zQ ydA (17)

단면이 y, z 양축 중에서 어느 한 축에 대하여 대칭일 경우, 임의 위치에서의 전단응

력은 다음과 같이 계산합니다.

y zy

zz z

V Q

I b

(18)

z yz

yy y

V Q

I b

(19)

여기서,Vy : 요소좌표계 y축 방향으로 작용하는 전단력

Vz : 요소좌표계 z축 방향으로 작용하는 전단력

Iyy : 요소좌표계 y축에 대한 단면2차모멘트

Izz : 요소좌표계 z축에 대한 단면2차모멘트

by : 전단응력을 계산하고자 하는 위치에서의 요소좌표계 z축과 직각을 이루

는 단면의 두께

bz : 전단응력을 계산하고자 하는 위치에서의 요소좌표계 y축과 직각을 이루

는 단면의 두께



mid

as C

ivil

전단계수는 휨모멘트에 의한 전단응력을 계산하는데 사용되며 부재단면중 전단응력

을 계산하고자 하는 위치에서의 단면1차모멘트를 동일한 위치의 단면두께로 나눈 값

입니다.

y z y yzy zb

zz z zz z zz

V Q V VQQ

I b I b I

, z

zbz

QQ

b (20)

z y yz zz yb

yy y yy y yy

V Q QV VQ

I b I b I

, y

yby

QQ

b (21)

그림 1.5.5 전단계수의 계산 예

z yyb

yy y yy

zz

V Q VQ

I b I

( )y fQ zdA B t z

y wb t

{( ) }/yb f wQ B t z t

point of shear stress calculation

tw



mid

as C

ivil

midas Civil에서 철골-철근콘크리트 합성부재의 강성은 콘크리트 단면(철근의 단면

은 콘크리트단면에 포함됨)과 철골단면이 구조적으로 완전 합성된 것으로 가정하여

등가환산단면성질(Equivalent Sectional Properties) 형태로 고려됩니다.

등가환산 단면성질의 계산에서 강재의 탄성계수(Es)와 콘크리트의 탄성계수(Ec)는 철

골-철근콘크리트규준(SSRC79(Structural Stability Research Council, 1979, USA))

에 명기된 수치를 사용하되, Ec값은 Eurocode 4에 따라 20% 감소한 값을 사용합니

다.

- 등가환산 단면적

0.80.8c con

eq stl con stl

s

E AArea A A A

E REN

- 등가환산 유효전단면적

0.8c con

eq stl con stl

s

E AsAs As As As

E REN

- 등가환산 단면2차모멘트

0.80.8c con

eq stl con stl

s

E II I I I

E REN

여기서,stl

A : 철골의 단면적

conA

: 콘크리트의 단면적

stlAs

: 철골의 유효전단면적

conAs

: 콘크리트의 유효전단면적

stlI

: 철골의 단면2차모멘트

conI

: 콘크리트의 단면2차모멘트

REN : 콘크리트의 탄성계수(Ec)에 대한 철골의 탄성계수(Es)의 비 (Es/Ec)



mid

as C

ivil

midas Civil에서 경계조건은 다음과 같이 절점 경계조건과 요소의 경계조건으로

구분할 수 있습니다.

절점 경계조건

자유도 구속 (Support)

탄성 경계요소 (Spring Support)

탄성연결요소 (Elastic Link)

비선형연결요소 (General Link)

요소의 경계조건

요소의 단부해제 조건 (Beam End Release, Plate End Release)

강성역 (Beam End Offsets 참조)

강체연결기능 (Rigid Link 참조)

Chapter 6. 경계조건

Chapter 6 | 경계조건


mid

as C

ivil

자유도 구속(Constraint) 기능은 임의 절점의 변위를 구속시키거나 자유도가 부족

한 요소(트러스, 평면응력, 판요소 등)끼리 접합될 때 해당 자유도성분을 구속하는

데 사용됩니다.　

자유도 구속조건은 임의 절점에 전체좌표계(Global Coordinate System) 또는 절점

좌표계(Node Local Coordinate System)를 기준으로 6개 자유도에 대해 입력됩니다.

예를 들어 그림 1.6.1과 같은 평면골조모델에 자유도 구속조건을 부여하는 방법은


이 모델은 전체좌표계 X-Z 평면내에서만 거동이 허용되는 2차원 모델이기 때문에

Boundary탭>Supports그룹>Supports 기능으로 모든 절점에 대해 전체좌표계 Y방

향 변위자유도와 X방향 및 Z방향에 대한 회전자유도를 구속하여야 합니다.

그림 1.6.1 자유도 구속조건이 고려된 평면골조모델

그리고 고정지지조건인 N1 절점에 대해서는 Supports기능으로 전체좌표계 X, Z방

향 변위자유도와 Y방향에 대한 회전자유도를 추가로 구속합니다.

: pinned support condition

GCS : fixed support condition

: roller support condition

angle of inclination

NCS



mid

as C

ivil

핀접합이면서 로울러 지지조건인 N3에 대해서는 Z방향 변위자유도를 추가로 구속

합니다.

절점좌표계에 대해 로울러 지지조건이 부여된 N5 절점에 대해서는 전체좌표계 X

축에 대해 경사각만큼 회전한 절점좌표계를 설정한 다음, Supports기능으로 전체좌

표계 Z축 방향 변위자유도를 구속합니다. 절점좌표계가 선언되어 있는 절점에 입

력되는 구속조건은 절점좌표계를 따라 구속을 수행하게 됩니다.

절점변위를 구속하는 기능은 변위를 무시할 수 있는 지지조건(Supports) 등에 주로

이용되며 임의 절점에 대해 구속조건이 주어지면 해당절점에 대한 반력이 발생합

니다.

절점에서의 반력은 전체좌표계를 기준으로 출력되며, 절점좌표계가 부여된 경우에

는 절점좌표계 기준으로 반력을 출력할 수 있습니다.

그림 1.6.2는 Supports기능을 부족한 자유도의 구속조건에 사용한 예입니다.

그림 1.6.2(a)의 경우는 트러스요소가 축방향의 변위자유도만 가지기 때문에 연결

절점에서의 X방향 변위와 모든 회전방향 변위성분은 구속되었습니다.

그림 1.6.2(b)는 상　하부 플랜지를 보요소로 대신한 예로써 보요소가 절점당 6개

의 자유도를 가지기 때문에 보요소와 연결되는 절점에서는 별도의 구속조건이 필

요없고, 평면응력요소끼리 만나는 절점에 대해서는 평면응력요소가 면내의 거동에

대한 자유도만 가지기 때문에 면외변위성분인 Y방향 변위자유도와 모든 회전자유

도를 구속해야 합니다.



mid

as C

ivil

그림 1.6.2 자유도 구속조건의 사용 예

connecting node (DX, RX, RY and RZ are constrained)

supports (all degrees of freedom are constrained)

(a) 트러스요소끼리 접합된 경우

supports (all degrees of freedom are constrained)

bottom flange (beam element)

in-plane vertical load

web (plane stress element)

top flange (beam element)

●: nodes without constrains ○: DY, RX, RY and RZ are constrainedDX: displacement in the GCS X directionDY: displacement in the GCS Y directionDZ: displacement in the GCS Z directionRX: rotation about the GCS X-axis RY: rotation about the GCS Y-axis RZ: rotation about the GCS Z-axis

(b) H형 외팔보를 상/하부 플랜지를 보요소로 모델링하고 웨브를 평면응력요소로 모델링한 경우



mid

as C

ivil

탄성경계요소는 모델의 경계부분에 위치한 인접구조 또는 지반 등의 강성을 고려

할 때나 자유도가 부족한 요소(트러스, 평면응력, 판요소 등)가 상호 접합될 경우

접합절점에서 발생할 수 있는 특이성 오류(Singular Error)를 방지하기위해 주로 사

용됩니다.

탄성경계요소는 임의 절점당 전체좌표계 기준의 6개 자유도(선방향 3개성분, 회전

방향 3개성분)에 대해 모두 입력이 가능하며 선방향 탄성성분은 단위길이당 힘의

단위로 입력되고 회전방향 탄성성분은 단위각도(Radian)당 모멘트단위로 입력됩니

다.

선방향 탄성경계요소는 해석대상 구조물 하부의 기둥이나 Pile 또는 지반강성을 반

영하는데 유용하게 사용됩니다. 지반을 모델링할 때는 지반반력계수(Modulus of

Subgrade Reaction)에 해당절점의 유효면적(Tributary Area)을 곱한 값이 사용됩니

다. 이때 토질의 특성이 압축에는 유효한 반면, 인장력에 대해서는 저항할 수 없기

때문에 주의해야 합니다.

midas Civil에서는 토질과 접하는 면의 경계조건을 쉽게 모델링할 수 있도록

Surface Spring Supports 기능을 내장하고 있습니다. Boundary탭>Spring Supports

그룹>Surface Spring Supports 기능에서 절점스프링을 선택하고 단위면적당 지반

반력계수를 입력하면, 절점이 차지하고 있는 유효면적과 지반반력계수의 곱으로

강성을 계산하여 절점스프링 형태로 경계조건을 고려합니다. 또한 압축력만을 부

담할수 있는 지반의 특성을 고려한 해석을 수행하고자 할 경우, 탄성연결요소(압축

전담)를 선택하고 지반반력계수를 입력하여 압축력만을 받을 수 있는 탄성연결요

소로 경계조건을 구성하게 됩니다.

표 1.6.1는 실무설계시 일반적으로 접할 수 있는 토질의 종류에 대한 지반반력계

수를 정리한 것으로 표의 상한치와 하한치의 값을 사용하여 각각 해석을 수행한

다음, 불리한 값을 사용하여 설계에 적용합니다.

대상구조물과 접하는 기둥이나 Pile의 축방향 강성성분을 고려할 경우에 탄성경계

요소의 강성은 EA/H로 계산될 수 있고, 여기서 E는 지지부재의 탄성계수, A는 유



mid

as C

ivil

효단면적, H는 유효길이입니다.

(a) Point Spring Support 기능을 사용한 경계조건의 입력

(b) Surface Spring Supports 기능을 사용한 경계조건의 입력

그림 1.6.3 탄성경계요소의 입력 예

회전방향 탄성성분은 해석대상 구조물의 인접경계부위의 회전강성을 반영하는데

주로 사용되며, 인접경계부위가 기둥일 경우에는 αEI/H의 값으로 결정됩니다. 여

기서 α는 기둥의 연결상태에 따라 결정되는 회전강성성분계수이고, I는 유효단면2



mid

as C

ivil

차모멘트, 그리고 H는 기둥의 유효길이입니다.

절점에 사용되는 경계스프링은 일반적으로 각 자유도 방향별로 입력되는데, 정밀

한 해석을 하고자 할 경우 다른 자유도와 연관(Coupled)되는 강성까지 고려해야

합니다. 즉 이동변위가 발생할 때 동시에 발생되는 회전변위 등을 고려하기 위해

서는 적절히 연관된 강성을 고려한 스프링의 입력이 필요합니다. 예를 들어 구조

물의 기초에 사용되는 파일(Pile)을 경계스프링으로 모델링하고자 할 경우에 각 방

향별 강성이외에 연관된 강성을 추가로 입력하여 보다 정밀한 해석을 수행할 수

있습니다.

절점에 입력되는 경계스프링은 일반적으로 전체좌표계를 따르지만 절점에 절점좌

표계가 도입된 경우 절점좌표계를 따릅니다.

해석단계에서 강성행렬의 조합후에 특정자유도에 대한 강성성분이 없을 경우 발생

할 수 있는 특이성 오류(Singular Error)를 피하기 위해 회전탄성성분을 입력할 경

우에는 사용단위계에 따라 차이가 있지만 0.0001 ~ 0.001의 값이 주로 사용됩니다.

midas Civil에서는 이와 같은 특이성오류를 방지하기 위해 해석결과에 거의 영향이

없을 정도의 강성을 자동으로 부여하는 기능을 내장하고 있습니다.

표 1.6.1 토질종류별 대표적 지반 반력계수

토 질 종 류 지반 반력계수(tonf/m3)

연약 점토 1200 ~ 2400

중간정도 점토 2400 ~ 4800

굳은 점토 4800 ~ 11200

느슨한 모래 480 ~ 1600

중간정도 다져진 모래 960 ~ 8000

실트질 중간정도 다져진 모래 2400 ~ 4800

점토질 자갈 4800 ~ 9600

점토질 중간정도 다져진 모래 3200 ~ 8000

다져진 모래 6400 ~ 13000

잘다져진 모래 8000 ~ 19000

실트질 자갈 8000 ~ 19000

"Foundation Analysis and

Design" by Joseph E.

Bowles 4th Edition 참조



mid

as C

ivil

탄성경계요소는 모델의 경계부분에 위치한 인접구조 또는 지반 등의 강성을 고려

할 때나 자유도가 부족한 요소(트러스, 평면응력, 판요소 등)가 상호 접합될 경우

접합절점에서 발생할 수 있는 특이성 오류(Singular Error)를 방지하기위해 주로 사

용됩니다.

탄성경계요소는 임의 절점당 전체좌표계 기준의 6개 자유도(선방향 3개성분, 회전

방향 3개성분)에 대해 모두 입력이 가능하며 선방향 탄성성분은 단위길이당 힘의

단위로 입력되고 회전방향 탄성성분은 단위각도(Radian)당 모멘트단위로 입력됩니

다.

선방향 탄성경계요소는 해석대상 구조물 하부의 기둥이나 Pile 또는 지반강성을 반

영하는데 유용하게 사용됩니다. 지반을 모델링할 때는 지반반력계수(Modulus of

Subgrade Reaction)에 해당절점의 유효면적(Tributary Area)을 곱한 값이 사용됩니

다. 이때 토질의 특성이 압축에는 유효한 반면, 인장력에 대해서는 저항할 수 없기

때문에 주의해야 합니다.

탄성경계요소는 질량 및 감쇠의 설정이 가능합니다. 질량은 고유치해석, 응답스펙

트럼해석, 시간이력해석에 적용됩니다. 감쇠는 응답스펙트럼해석과 시간이력해석에

적용됩니다.

탄성경계요소에 입력되는 감쇠는 해석의 종류에 따라 다음과 같이 고려됩니다.

1. 정적해석 및 고유치해석에서는 감쇠는 무시됩니다.

2. 응답스펙트럼해석에서는 구조물의 감쇠설정을 Strain Energy Proportional로

선택한 경우만 모드감쇠비를 통해 해석에 반영됩니다.

3. 모드중첩법에 기초한 시간이력해석을 수행하는 경우에는 구조물의 감쇠설정을

Strain Energy Proportional로 선택한 경우만 모드감쇠비를 통해 해석에 반영

됩니다.

4. 직접적분법에 의한 시간이력해석을 수행하는 경우에는 구조물의 감쇠설정을

Mass & Stiffness Proportional 혹은 Element Mass & Stiffness

On-line Manual의

“Boundary탭>Spring

Supports그룹>General

Spring Supports”

참조



mid

as C

ivil

Proportional로 설정한 경우, 요소감쇠행렬을 통해서 해석에 반영됩니다. 만약

탄성경계요소에 요소강성 또는 요소질량에 비례하는 감쇠가 지정된 경우에는

다음과 같이 탄성경계요소의 속성에서 지정된 감쇠와 합하여 해석을 수행합니

다.

eff SMu Cu C u K u p

여기서 M : 질량행렬

C : 감쇠행렬

: 탄성경계요소의 감쇠

: 탄성 요소의 강성행렬

: 절점에 대한 변위, 속도 및 가속도 응답

p : 절점에 대한 동적하중

또한, Strain Energy Proportional을 선택한 경우는 탄성경계요소의 감쇠를

반영한 모드감쇠비를 이용하여, 전체 구조물의 감쇠행렬을 구성합니다.

이상에서 설명한 탄성경계요소의 감쇠적용규칙을 정리하면 다음과 같습니다.

Response Spectrum

: Strain Energy Proportional로 선택한 경우만 모드감쇠비를 통해 반영

Modal Analysis에 의한 시간이력해석

: Strain Energy Proportional로 선택한 경우만 모드감쇠비를 통해 반영

직접적분법에 의한 시간이력해석

: Mass & Stiffness Proportional 혹은 Element Mass & Stiffness Proportional로

설정한 경우, 요소감쇠행렬을 통해서 해석에 반영, Strain Energy Proportional

인 경우는 모드감쇠비를 통해 해석에 반영

effC

, ,u u u

SK



mid

as C

ivil

지반과 구조물의 상호작용을 고려하는 가장 쉬운 방법은 지반의 강성을 여러 개의

절점스프링으로 치환하여 해석하는 것입니다. 특히 탄성 지반 위의 기초를 모델링

하는데 가장 널리 사용되는 스프링은 윈클러(Winkler)모델입니다.

midas Civil에서는 Boundary탭>Spring Supports그룹>Surface Spring Supports 기

능에서 분포스프링을 선택하면 윈클러 스프링모델을 사용할 수 있습니다.

이 모델의 기본 가정은 기초가 강성이 있는 구조물과 탄성지반으로 구성되어 있고,

지반이 개별 스프링들로 표현되므로 요소들간에 상호작용 없이 독립적으로 작용한

다는 것입니다.

이와 같은 윈클러 스프링 경계조건은 보나 판 혹은 솔리드의 면에 동일한 방식으

로 부여할 수 있습니다. 보의 경우에는 유효폭을 가진 길이에, 판이나 솔리드의 경

우에는 면에 분포하고 있다는 가정으로 강성을 계산합니다.

여기서는 보를 기준으로 윈클러 스프링의 정식화 과정을 소개합니다.

가상일의 원리(Principle of Virtual Work)에 따라 내적 가상 변형율 에너지(Internal

Virtual Strain Energy)는 다음과 같이 표현할 수 있습니다.

[ ] [ ] [ ] [ ]TvU dV v k v dV

여기서 U : 내적 가상변형율 에너지 (Internal Virtual Strain Energy)

: 가상 변형율(Virtual Strain)

: 응력

V : 부피

v : 가상 변위(Virtual Displacement)

vk : 연직지반반력계수(Modulus of Vertical Subgrade Reaction)



mid

as C

ivil

1q2q

x

y

vk v

L

1 2

그림 1.6.4 Beam on elastic foundation element

내적 가상일과 외적 가상일(External Virtual Work)이 동일하므로 다음과 같은 수식

전개를 할 수 있습니다.

[ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ]T T Tvq f k f q dV q P

[ ] [ ] [ ] [ ]Tvk f f dV q P

[ ] [ ] [ ]rK q P

[ ] [ ] [ ]Tr vK k f f dV

여기서, P : 보요소에 가해지는 외부 하중

f : 변형 형상 함수

q : 절점 변위

rK : 탄성지반위의 보요소를 위한 지반강성행렬

요소의 길이가 L 인 탄성지반위의 보에 대한 윈클러 스프링 강성은 다음과 같고,

이 스프링강성과 요소강성이 더해져서 최종 요소강성 행렬을 구성합니다.

2 2

2 2

156 22 54 13

22 4 13 3[ ]

54 13 156 22420

13 3 22 4

vr

L L

L L L Lk LK

L L

L L L L



mid

as C

ivil

보요소의 내부변위에 따라 스프링의 힘이 작용하기 때문에 보부재력을 보정할 필

요가 있습니다. 이 힘을 구하기 위한 보요소의 임의의 위치 x 에서의 내부변위는

절점변위 q 와 를 기준으로 다음과 같이 계산합니다.

3 2 3 3 2 2 31 1

3 3 2 3 2 22 2

2 3 21( )

2 3 ( )

x Lx L q Lx L x L xv y x

L x Lx q Lx L x

윈클러 스프링에 의한 전단력과 모멘트는 보요소의 내부변위와 지반반력계수를 이

용하여 다음식과 같이 구합니다. 보의 부재력에 이와 같은 윈클러 스프링의 내력

을 더하여 최종 보 부재력이 구해집니다.

0

2 34 3 3 4 3 2

1 1

3 24 3 4 3

2 2

( ) ( )

1 2

2 4 3 2

1

2 4 3

x

v

v

V x k y x dx

L L Lx Lx L x q x x x

k

L L Lx Lx q x x

0 0 0

2 35 4 3 2 5 4 3

1 1

3 25 4 5 4

2 2

35 4 2 5

1

3

( ) ( )( ) ( ) ( )

1 2

2 4 3 2

1

2 4 3

2 3 2

5 4 2 5

x x x

v v v

v

v

M x k y x x x dx k x y x dx k y x x dx

L L Lx Lx L x q x x x

k

L L Lx Lx q x x

L L L Lx x x q x

k

L

2 34 3

1

25 4 5 4

2 2

4 3

2 3

5 4 5 4

Lx x

L L Lx x q x x



mid

as C

ivil

탄성연결요소는 두개의 절점을 사용자가 입력한 강성으로 연결하여 요소처럼 거동

할 수 있도록 하는 기능입니다. 두개의 절점은 트러스나 보요소를 사용하여 연결

할 수도 있지만, 사용자가 원하는 크기와 방향의 강성을 만들기에는 적절하지 못

합니다.

탄성연결요소의 입력은 각각 3방향의 이동 및 회전 강성으로 구성되어 있으며 방

향은 요소좌표계를 따릅니다.

탄성연결요소의 강성 크기는, 선방향은 단위길이당 힘으로 회전방향은 단위각도

(Radian)당 모멘트로 입력되고 요소좌표계의 방향은 그림 1.6.5과 같습니다.

탄성연결요소에는 인장전담이나 압축전담특성을 부여할 수 있는데 이러한 경우에

는 요소좌표계 x방향으로만 강성을 입력할 수 있습니다.

탄성연결요소의 사용 예로는 교량구조물의 상부와 하부교각부를 연결해주는 탄성

받침 등이 있고, 탄성연결요소에 압축전담특성을 부여하여 지반 경계조건으로 사

용할 수 있습니다. 또한 강체 연결기능을 선택하면 Rigid Link와 같이 두 절점을

강체 연결할 수도 있습니다.　

그림 1.6.5 2절점을 연결하는 탄성연결요소의 요소좌표계



mid

as C

ivil

yk

zk

xk

yiL yjL

ziL zjL

그림 1.6.6 범용연결요소의 구성

범용연결요소는 제진장치, 면진장치, 압축 또는 인장 전담요소, 소성힌지, 지반스프

링 등을 모델링하는데 사용되는 요소입니다. 범용연결요소는 그림 1.6.6과 같이 2

개의 절점을 연결하는 6개의 스프링으로 구성됩니다. 요소좌표계는 트러스 요소와

동일한 체계를 따르며, General Link에서 다양한 요소축 설정이 가능합니다.

범용연결요소의 요소자유도는 요소좌표계 또는 전체좌표계에 관계없이 절점당 각

각 세가지의 이동변위(Translation) 성분과 회전변위(Rotation) 성분을 가지게 되며,

6개의 변위 성분은 1개의 재축방향 변형, 2개의 전단 변형, 1개의 비틀림 변형 및

2개의 휨 변형 성분으로 구분됩니다. 6개의 변위 성분은 각각 독립된 6개의 스프

링으로 표현되며, 이 가운데 일부의 스프링만을 선택하여 속성을 부여할 수 있습

니다.

yi yi zi zi

yj yj zj zj

L c L L c L

L c L L c L

, 1.0yi yj zi zjc c c c 단



mid

as C

ivil

범용연결요소의 속성은 General Link Properties에서 정의되며, 해석에 적용하는 방

식에 따라서 크게 Element Type과 Force Type으로 구분됩니다.

Element Type 범용연결요소에는 Spring, Linear Dashpot 및 Spring and Linear

Dashpot의 세가지 Property Type이 제공됩니다. Spring은 6개 성분 별로 선형탄성

인 Stiffness만을 가지며 Linear Dashpot은 6개 성분 별로 선형점성인 Damping만을

갖습니다. Spring and Linear Dashpot은 Spring과 Linear Dashpot이 병렬로 연결된

형태입니다.

Element Type 범용연결요소는 기본적으로 Linear Properties만을 갖는 선형요소로

해석됩니다. Spring은 직접적분법에 의한 비선형시간이력해석 시에 Inelastic Hinge

Properties를 부여하여 비선형 요소로 사용가능하며, 비선형 해석과정에서 요소 강

성행렬을 갱신함으로써 요소의 비선형 거동을 직접적으로 반영합니다. 이는 주로

구조물에 부분적으로 발생하는 소성힌지나 지반의 비선형성을 모델링하기 위해 사

용됩니다.

Force Type 범용연결요소는 제진장치로 이용되는 Visco-elastic Damper, Hysteretic

System, 면진장치로 이용되는 Lead Rubber Bearing Isolator, Friction Pendulum

System Isolator, 압축전담요소인 Gap 및 인장전담요소인 Hook 등의 Property Type

이 제공되며, 비선형 시간이력해석인 경계비선형해석에 사용됩니다. Force Type 범

용연결요소의 각각의 성분은 Linear Properties로서 Effective Stiffness 및 Effective

Damping을 가지며, 사용자가 선택한 성분에 대해서 Nonlinear Properties를 입력할

수 있습니다.

Force Type 범용연결요소는 정적해석, 응답스펙트럼해석에서는 Effective Stiffness를

갖는 선형요소로서 해석되며 Effective Damping는 무시됩니다. 선형시간이력해석에

서는 Effective Stiffness에 기초한 선형요소로서 해석됩니다. 비선형시간이력해석에

서는 Effective Stiffness가 가상의 선형강성 역할을 하며, 요소 강성행렬을 갱신하지

않고, 비선형 속성에 따라 계산된 부재력을 외부 하중으로 치환해 줌으로써 간접

적으로 비선형성을 고려합니다.

범용연결요소의 Linear Properties로서 입력되는 Damping(Element Type) 또는

Effective Damping(Force Type)은 해석의 종류에 따라 다음과 같이 고려됩니다.



mid

as C

ivil

1. 정적해석에서는 Damping 또는 Effective Damping은 무시됩니다.

2. 응답스펙트럼해석에서는 구조물의 감쇠설정을 Strain Energy Proportional

로 선택한 경우만 모드감쇠비를 통해 해석에 반영되며, 요소절점력 계산시

Damping 또는 Effective Damping은 무시됩니다.

3. 모드중첩법에 기초한 선형 및 비선형 해석을 수행하는 경우에는 구조물의

감쇠설정을 Strain Energy Proportional로 선택한 경우만 모드감쇠비를 통

해 해석에 반영되며, 요소절점력 계산시에도 Damping 또는 Effective

Damping을 반영합니다.

4. 직접적분법에 의한 선형 및 비선형 해석을 수행하는 경우에는 구조물의 감

쇠설정을 Mass & Stiffness Proportional 혹은 Element Mass &

Stiffness Proportional로 설정한 경우, 요소감쇠행렬을 통해서 해석에 반

영됩니다. 만약 범용연결요소에 요소강성 또는 요소질량에 비례하는 감쇠

가 지정된 경우에는 다음과 같이 범용연결요소의 속성에서 지정된 감쇠 또

는 유효감쇠와 합하여 해석을 수행합니다.

eff SMu Cu C u K u p


C : 감쇠행렬

effC : Damping 또는 Effective Damping

: 탄성 요소의 강성행렬

, ,u u u : 절점에 대한 변위, 속도 및 가속도 응답


또한, Strain Energy Proportional을 선택한 경우는 범용연결요소의 Damping

또는 Effective Damping를 반영한 모드감쇠비를 이용하여, 전체 구조물의

감쇠행렬을 구성합니다. 단, 요소절점력 계산시는 Damping 또는 Effective

Damping을 반영하지 않습니다.

SK



mid

as C

ivil

이상에서 설명한 범용연결요소의 적용규칙을 정리하면 표1.6.2과 같습니다.

1) Strain Energy Proportional로 선택한 경우만 모드감쇠비를 통해 해석에 반영

2) Mass & Stiffness Proportional 혹은 Element Mass & Stiffness Proportional로 설정한 경우, 요소

감쇠행렬을 통해서 해석에 반영, Strain Energy Proportional인 경우는 모드감쇠비를 통해 해석에 반

영

표 1.6.2 범용연결요소의 적용규칙

범용연결요소의 Linear Properties로서 입력되는 Damping(Element Type) 또는

Effective Damping(Force Type)은 다음과 같이 강성비례형으로 계산하는 것이 일

반적입니다.

Application Type Element Type General Link

Force Type General Link

Property Type

Sp

ring

Lin

ear D

ashp

ot

Sp

ring

an

d

Lin

ear D

ashp

ot

Linear Properties

Stiffn

ess

Dam

pin

g

Stiffn

ess

Dam

pin

g

Effective

S

tiffness

Effective

D

amp

ing

Static Analysis 탄성 - 탄성 - 탄성 -

Response Spectrum 탄성 선형1) 탄성 선형1) 탄성 선형1)

Linear

Time History

Modal Analysis 탄성 선형1) 탄성 선형1) 탄성 선형1)

Direct Integration 탄성 선형2) 탄성 선형2) 탄성 선형2)

Nonlinear

Time History

Modal Analysis 탄성 선형1) 탄성 선형1) 탄성

(가상) 선형1)

Direct Integration 탄성 선형2) 탄성 선형2) 탄성

(가상) 선형2)



mid

as C

ivil

2effC K

여기서 effC : Damping 또는 Effective Damping

K : 범용연결요소의 강성

: 범용연결요소의 감쇠비

: 범용연결요소의 고유진동수

SF K u

u

(a) Damping 또는 Effective Damping을 고려하지 않는 경우의 요소절점력과 변형

eff SF C u K u

u

(b) Damping 또는 Effective Damping을 고려한 경우의 요소절점력과 변형

그림 1.6.7 범용연결요소의 요소절점력과 변형관계



mid

as C

ivil

Damping Method

Damping 또는 Effective

Damping이 입력되지 않은 경

우의 요소력

Damping 또는 Effective

Damping이 입력된 경우의

요소력

Static

Analysis - SF K u SF K u

Response

spectrum

Modal

SF K u SF K u Mass & Stiffness Proportional

Strain Energy Proportional

Modal

Analysis

Modal SF K u

Mass & Stiffness Proportional SF K u SF K u

Strain Energy Proportional eff SF C u K u

Direct

Integration

Modal

SF K u

SF K u

Mass & Stiffness Proportional eff SF C u K u

Strain Energy Proportional SF K u

Element Mass & Stiffness Propor. eff SF C u K u

표 1.6.3 Damping 또는 Effective Damping에 의한 범용연결요소의 요소절점력 계산방법

요소내력의 출력치는 절점당 1개의 축방향력, 2개의 전단력, 1개의 비틀림 모멘트,

2개의 휨 모멘트로 구성되며 부호규약은 보 요소와 동일합니다. 요소절점력과 변

형의 관계는 범용연결요소의 Damping 또는 Effective Damping의 고려 유무에 따라

그림 1.6.7과 같이 계산되며, 요소절점력의 계산방법은 표1.6.2를 기준으로 해석종

류 및 감쇠방법에 따라 표1.6.3과 같이 표현됩니다. 단, 요소질량 또는 요소강성

비례감쇠에 의한 절점력은 무시됩니다.

범용연결요소의 자중은 Self Weight의 Total Weight에 입력합니다. Total Weight에 입

력된 값은 정적하중으로서 Load탭>Load Type그룹>Static Loads>Structure

Loads/Masses그룹>Self Weight에서 지정한 하중에 부가적인 절점하중으로 작용하

며, 절점질량으로 변환됩니다. 또한, 질량을 별도로 정의할 경우는 Use Mass를 선

택하고 Total Mass를 직접 입력하면, Total Weight를 절점질량으로 변환한 값 대신

에 Total Mass로 입력된 값이 사용됩니다. 이와 같이 설정된 질량은 고유치해석 및

동적해석에 반영됩니다. 단, Structure탭>Type그룹>Structure Type Conversion of



mid

as C

ivil

Structure Self-weight into Masses에서 Do not Covert를 선택하면, Total Weight를 절

점질량으로 변환한 값과 Total Mass로 직접 입력된 질량은 양쪽 모두 고유치해석

및 동적해석에 반영되지 않으므로, 주의할 필요가 있습니다.

2개의 전단 스프링은 부재내의 위치를 별도로 입력할 수 있습니다. 입력형식은 첫

번째 절점으로부터의 거리를 전체 부재길이로 나눈 비율인 Shear Spring Location

으로 입력합니다. Shear Spring Location은 해석에서 다음과 같이 반영됩니다.

L

yiL yjL

ziL zjL

yiL , yjL : i, j-node에서 y-axis 방향 전단 스프링까지의 거리

ziL , zjL : i, j-node에서 z-axis 방향 전단 스프링까지의 거리

그림 1.6.8 범용연결요소의 요소좌표계 및 전단 스프링 위치

Shear Spring Location을 지정하지 않은 경우

전단스프링 위치를 지정하지 않으면, 독립적인 스프링 6개를 서로 다른 요

소로 입력한 것과 동일하게 처리됩니다. 이 경우, 전단력은 모멘트의 미분

이라는 일반적인 전단력-모멘트 관계가 성립하지 않습니다. 따라서, 전단

력이 작용해도 양단의 모멘트는 동일합니다.

Shear Spring Location을 지정한 경우

전단 스프링의 위치를 입력하면, 그림1.6.9에 나타낸 것과 같이 휨 스프링

과 전단 스프링의 위치는 동일하게 간주되며, 전단력 작용시 단부에서 서

로 다른 휨모멘트를 가집니다. 휨 변형은 스프링에서만 발생하며, 절점과

휨 스프링 사이는 강체로 거동합니다. 모멘트는 스프링의 위치에 따라서

변하므로 스프링 위치는 회전 변형에 영향을 줍니다. 따라서 부재에 하중

이 재하되지 않는다면 전단력은 부재전체에 걸쳐서 동일하지만, 양단의 모

멘트 차이는 전단력과 입력된 Shear Spring Location의 곱으로 표현됩니다.



mid

as C

ivil

zk

yLyiL yjL

ziyi ziL

zjyj zjL

yk

z zj zi

yiq yjq

zimzjm

zm

yq

x

y

z

i

jv

iv

v

j

j yj zj i yi zi

j i yj zj yi zi

v v L v L

v v L L

y y

y j i yj zj yi zi

yj yi

q k v

k v v L L

q q

( )

( )

z z z

z zj zi

zj yj zj

zi yi zi

m k

k

m L q

m L q

zj ziyi

zj ziyj

m mq

Lm m

qL

zi z yi yi

zj z yj yj

m m L q

m m L q

그림 1.6.9 전단스프링의 위치를 입력한 경우의 전단력과 모멘트 관계



mid

as C

ivil

일반적으로 요소와 요소가 만나게 되면 각각의 요소가 갖고 있는 자유도에 대해

각 요소의 강성으로 서로 연결이 이루어지게 되는데, 이러한 연결을 해제하고자

할 경우에 요소의 단부해제조건을 도입하게 됩니다. 단부해제조건의 입력이 가능

한 요소는 보요소와 판요소이고 각 요소의 단부해제조건의 입력방법과 기능은 다


보요소의 단부해제조건은 요소를 구성하는 두 절점의 모든 자유도에 대하여 입력

이 가능하고, Partial Fixity를 고려하는 계수를 입력하여 연결된 요소의 전체강성

중 일부만 고려하여 해석할 수도 있습니다. 보요소의 두 절점에 회전방향에 대한

단부해제조건을 입력하면 구조적으로 트러스요소와 같은 거동을 하게 됩니다.

판요소의 단부해제조건은 요소를 구성하는 3~4개의 절점에 대해 평면의 수직방향

에 대한 회전자유도를 제외한 모든 자유도에 대해 입력이 가능합니다. 판요소를

구성하는 모든 절점에 면외방향의 휨에 대한 단부해제조건을 입력하면 구조적으로

평면응력요소와 같은 거동을 하게 됩니다.

단부해제가 수행되는 방향은 요소좌표계를 따르므로, 전체좌표계에 대한 강성의

연결해제를 입력할 경우에는 요소좌표계와의 관계에 주의해야 합니다. 또한 요소

의 단부해제에 따른 강성의 변화가 구조해석을 수행하는 과정에서 특이성오류를

발생시킬수 있으므로 전체구조물에 대한 충분한 이해를 필요로 합니다.

그림 1.6.10에서는 보요소와 판요소의 단부해제조건을 적절히 사용하여 교량의 교

각과 상판의 연결부의 경계조건을 모델링하는 방법을 보여주고 있습니다.



mid

as C

ivil

그림 1.6.10 보요소와 판요소의 단부해제조건을 사용한 모델링

(a) 교량의 교각과 상판의 연결부

(b) 보요소를 사용하여 모델링한 경우

(c) 판요소를 사용하여 모델링한 경우

Element 1 – Node 4 end release of Fx & My

Element 2 – Node 4 end release of My

Element 1 – Node 3 & 4 end release of Fx & My

Element 2 – Node 3 & 4 end release of My

②



mid

as C

ivil

토목, 건축구조물에서 골조부재로 구성되는 구조체는 요소중립축간의 교차점 사이

의 거리를 해당요소의 길이로 간주하여 해석을 수행하기 때문에 실제의 경우보다

다소 큰 변위가 계산되고, 단부 및 중앙부의 모멘트 또한 크게 계산됩니다. midas

Civil에서는 이와 같이 단부에 형성되는 편심 및 기둥과 보의 접합부에 형성되는

Panel Zone의 효과를 고려하기 위해 2가지 방법이 사용됩니다. (그림 1.6.11 참조)

1. 기둥부재와 보부재가 만나는 모든 panel Zone에 대해 강성역을 자동고려하

도록 하는 방법

2. 보요소의 양단에 강성역을 직접 입력하는 방법

midas Civil은 보요소(또는 변단면요소)에 대해서만 강성역을 고려합니다.

6-9-1 Panel Zone의 강성을 자동 고려하도록 하는 방법

Panel Zone에서 휨변형과 전단변형 등이 발생되지 않는다고 가정하면 골조부재의

휨변형과 전단변형에 대한 유효강성길이는 아래와 같이 표현할 수 있습니다.

L1 = L - (Ri + Rj)

여기서, L은 부재의 양 중립축 교차점(양단절점) 사이의 길이이고, Ri와 Rj는 양단

의 강성역(Rigid End Offset Length)입니다. 여기서 요소의 길이를 상기의 L1으로만

고려하게 되면, 미소하지만 접합부위에서 발생되는 변형(Rigid Zone Deformation)을

무시하는데 따른 오차가 발생하게 됩니다.

midas Civil은 이와 같은 오차를 사용자가 보정할 수 있도록 강성역 보정계수

(Offset Factor)를 사용하고 있습니다.

L1 = L - ZF(Ri + Rj)

여기서, ZF는 강성역 보정계수를 의미합니다. 강성역 보정계수는 0부터 1.0까지의

값으로 입력되며, 접합부의 기하학적 형상과 보강재의 사용여부에 따라 달라지기



mid

as C

ivil

때문에 사용자가 주의해서 적절한 값을 입력해야 합니다.

강성역 보정계수는 축방향변형(Axial deformation)과 비틀림변형(Torsional

Deformation)에 대해서는 영향을 미치지 않으며, 이들 변형을 계산할 때는 요소의

전체길이(L)가 사용됩니다.

그림 1.6.11 부재가 편심상태로 접합되는 경우의 이격거리

eccentricity in the X-direction

eccentricity

eccentricity in the Y-direction

ecce

ntri

city

in

the

Z-d

irec

tion

(a) 기둥과 보의 연결부에 형성된 강성역

(c) 기둥과 보가 편심접합되는 경우 (b) 기둥이 편심접합되는 경우

Panel Zone

rigid end offset distance of a beam member

rigid

end

offs

et d

ista

nce

of a

col

umn

mem

ber

centerline of a beam coincides with a story level

rigid end offset distance of a beam member

rigid

end

offs

et d

ista

nce

of a

col

umn

mem

ber

Panel Zone



mid

as C

ivil

midas Civil에서 Boundary탭>Etc.그룹>Panel Zone Effects 기능을 이용하면 전체좌

표계 Z축이 중력 반대방향으로 자동 설정되고, 강성역에 대해 이격거리도 자동 고

려됩니다.

강성역은 거더부재와 기둥부재가 접합되는 부위에 대해서만 고려됩니다.

여기서, 기둥부재란 Z축에 평행하게 위치한 보요소를 의미하며, 거더부재란 전체좌

표계 X-Y 평면에 평행한 평면상에 위치한 보요소를 의미합니다.

Panel Zone Effects 기능을 사용하여 강단이력거리을 자동으로 고려하고자 하는 경

우에 부재력 출력위치 “Output Position”에서 “Offset Position”을 선택하면, 요

소강성과 자중 및 분포하중의 고려방법, 그리고 부재력의 출력위치가 강단이력거

리 보정계수에 의해 조정된 이격위치에 따라 변하게 됩니다. 그리고 “ Panel

Zone”을 선택하면 요소강성의 계산에 사용되는 요소의 길이만 강단이력거리 보

정계수에 따라 조정됩니다. 자중 및 분포하중의 고려방법, 부재력의 출력위치를 결

정하는 이격 위치는 Panel Zone의 경계위치(보의 경우는 기둥의 면과 보의 끝단부

가 접하는 위치, 기둥의 경우는 보의 상하부 면과 기둥이 만나는 위치)로 고정됩니

다.

참고로, Panel Zone Effects 기능에서 부재력 출력위치로 “Offset Position”을 선택

하고 강단이력거리 보정계수를 1.0으로 하면, “Panel Zone”을 선택하고 강단이

력거리 보정계수를 1.0으로 하는 것과 동일한 조건이 됩니다. 그리고 부재력 출력

위치로 “Offset Position”을 선택하고 강단이력거리 보정계수를 0.0으로 하면 강

단이력거리을 고려하지 않은 경우와 같은 조건이 됩니다.



mid

as C

ivil

Panel Zone Effects 기능을 사용하여 강단이력거리를 자동으로 고려하고자 하는 경

우에는 부재력 출력위치의 선택에 따라 자중 및 분포하중의 고려방법이나 부재력

의 출력위치가 결정되기 때문에 다음 사항에 유의하여야 합니다.

요소강성의 계산

요소의 강성을 계산할 때, 축방향강성과 비틀림강성에 대해서는 양 절점

사이의 길이가 사용되고, 전단강성과 휨강성을 계산할 때는 부재력 출력위

치의 선택에 관계없이 강단이력거리 보정계수가 고려된 길이(L1 = L -

ZF (Ri + Rj))가 사용됩니다. (그림 1.6.12 참조)

분포하중의 계산

부재력 출력위치를 “Panel Zone”으로 하면, 강단이격위치와 절점 사이의

구간에 재하되는 분포하중은 해당 절점상에 전단력으로만 고려되며, 나머

지 구간에 재하된 분포하중은 그림 1.6.13에서와 같이 전단력과 모멘트로

치환되어 고려됩니다. 부재력 출력위치를 “Offset Position”으로 하는 경우

에는 강성역 보정계수가 고려된 위치(강단이격 조정위치)를 사용하여 계산

합니다.

자중의 고려길이

기둥부재의 자중은 강성역을 고려하지 않은 양 절점 사이의 길이에 대해

고려됩니다. 거더부재의 경우, 부재력 출력위치가 “Panel Zone”일때는 양

절점 사이의 길이에서 양단의 강성역을 제외한 길이(L1 = L - (Ri+ Rj))가

자중의 계산에 사용되고, 부재력 출력위치가 “Offset Position”일때는 강성

역 보정계수에 의해 조정된 길이를 뺀 길이(L1 = L - ZF (Ri+ Rj))가 사

용됩니다. 그리고 이와 같이 결정된 자중은 전술한 분포하중 계산법에 따

라 전단력과 모멘트로 치환되어 해석에 고려됩니다.

부재력의 출력위치

기둥 및 거더부재의 부재력은 부재력 출력위치가 “Panel Zone”이면,

Panel Zone의 끝단부와 Panel Zone 사이의 구간을 4등분한 위치에서 출

력됩니다. 부재력 출력위치가 “Offset Position”이면, 강단이격 조정위치가

주어진 거더부재의 경우는 양 절점 사이의 길이에서 강단이격 조정길이를

뺀 구간을 4등분한 위치에서 출력됩니다. 참고로 부재력 출력위치가

“Panel Zone”이면, 부재력 출력위치가 “Offset Position”이면서 강성역 보

정계수가 1.0인 경우와 부재력의 출력위치가 동일합니다.



mid

as C

ivil

단부자유도 해제조건(Beam End Release)이 고려되었을 때의 강성역

기둥 및 거더부재의 어느 한쪽 또는 양쪽 연결점이 핀접합에 의해 자유도

해제조건이 부여되었을 때 해당 연결점에 대해서도 강성역을 고려합니다.

기둥부재의 강성역 고려방법

기둥부재의 강성역은 기둥의 상단과 하단부에서 각각 계산하게 됩니다.

(그림 1.6.12 참조)

기둥부재와 거더부재의 연결부에서 기둥부재의 강단이력거리는 연결되는

거더부재의 춤(Depth)과 방향에 의해 결정되며 그림 1.6.15에서와 같이 기

둥부재와 보부재가 연결될 경우, 기둥부재의 강단이력거리는 요소좌표계 y

축과 z축방향 각각에 대해 산정됩니다.

기둥부재에 여러 방향으로부터 거더부재가 접합될 경우, 각 방향별 강성역

의 산정방법은 다음과 같습니다. (그림 1.6.16 참조)

2

yRC BD cos θ 2

zRC BD sin θ

yRC : 기둥부재 상부의 요소좌표계 y축 방향에 대한 강성역

zRC : 기둥부재 상부의 요소좌표계 z축 방향에 대한 강성역

BD: 기둥부재에 연결되는 거더부재의 높이(Depth)

θ : 기둥부재의 요소좌표계 z축과 거더부재가 이루는 각도

기둥부재의 각 방향별 강성역은 기둥부재에 연결된 거더부재들에 대해 각

방향별 강성역을 구한 다음, 그 중 가장 큰 값으로 결정합니다.



mid

as C

ivil

Offset Factor effective length for stiffness calculation

1.00 1.00 ( )L A B 0.75 0.75 ( )L A B 0.50 0.50 ( )L A B 0.25 0.25 ( )L A B 0.00 0.00 ( )L A B

Offset Factor: rigid end offset factor entered in “Panel Zone Effects”

(c) 강성고려길이 (기둥의 경우 B=0)

그림 1.6.12 Panel Zone Effects 기능을 사용하여 강단이격거리를 고려할 때

요소의 휨/전단강성의 계산에 사용되는 길이

AB

column centerline axis

column member

Panel Zone

beam member

clear length of beam

length between nodes (L)

Panel Zone

column member


(b) 보부재의 강성역

(a) 기둥부재의 강성역

Panel Zone

column centerline axis(parallel with the z-axis)

Panel Zone

when the centerline of beam section coincides with the story level

when the top of beam is flush with the story level

column centerline axis (parallel with the z-axis)

rigid end offset distance of column (A)

rigid end offset distance of column (A)

Panel Zone

Panel Zone

colu

mn

leng

th(L

)

colu

mn

leng

th(L

)



mid

as C

ivil

Li = 1.0 Ri : “Panel Zone”is selected for the locations of member force output

Li=ZF Ri : “Offset Position”is selected for the locations of member force output

Lj = 1.0 Rj : “Panel Zone”is selected for the locations of member force output

Lj=ZF Rj : “Offset Position”is selected for the locations of member force output

Ri : rigid end offset distance at i-th node

Rj : rigid end offset distance at j-th node

ZF : rigid end Offset Factor

V1, V2 : shear forces due to distributed load between the offset ends

M1, M2 : moments due to distributed load between the offset ends

V3, V4 : shear forces due to distributed load between the offset ends

and the nodal points

(a) 보부재

그림 1.6.13 Panel Zone Effects 기능을 사용하여 강성역을 고려할 때

분포하중의 고려방법 및 부재력 출력위치

L

rigid end offset location at i–th node rigid end offset location at j–th node

distributed load on beam element

i-end

zone in which load is converted intoshear force only at i–th node

zone in which load is converted into both shear and moment

zone in which load is converted into shear force only at j–end

L1 (length for shear/bending stiffness calculation)

locations for member force output()

j–end

Li Lj

V4 V2

V3 V1

M1 M2



mid

as C

ivil

LR=1.0R “Panel Zone” is selected for the location of member force output

LR=ZFR “Offset Position”is selected for the locations of member force output

Where R is the rigid end offset factor

V1, V2 shear forces due to distributed load between the offset end and the

bottomnode

M1, M2 :moments due to distributed load between the offset end and the

bottom node

V3 : shear force due to distributed load between the offset end and the

top node

(b) 기둥부재

그림 1.6.14 Panel Zone Effects 기능을 사용하여 강성역을 고려할 때

분포하중의 고려방법 및 부재력 출력위치

top node

rigid end offset location

dist

ribut

ed lo

ad o

n co

lum

n el

emen

t

L i z

one

in w

hich

dis

trib

uted

load

is

zon

e in

wh

ich

loa

d

is c

on

vert

ed in

to

she

ar

forc

e o

nly

at

the

top

no

de

loca

tions

for

mem

ber

forc

e o

utpu

t(

)

bottom node

L i

L R

L



mid

as C

ivil

(a) 평면도

(b) 정면도

그림 1.6.15 Panel Zone Effect 기능을 사용할 경우, 기둥 부재의 강성역

ECS y axis of column

column member

ECS z – axis of column

column centerline axis (parallel with the GCS Z–axis) beam member 1

beam member 2

Story(Floor)Lev


rigid end offset distance at the top of the column for bending about the ECS z - axis

rigid end offset distance at the top of the column for bending about the ECS y - axis

beam member 2

beam member 1



mid

as C

ivil

where, BD : beam depth

RCz : rigid end offset distance for bending about the minor axis

RCy : rigid end offset distance for bending about the major axis

그림 1.6.16 Panel Zone Effects 기능을 사용할 경우, 기둥부재의 강성역 산정 예

beam member 3


θbeam member 1

beam member 2

ECS z – axis of the column

column member

ECS y – axis of the column

: 250 0 250 0 0.0 0 250.0

: 200 40 200 40 82.6 200 0 117.4

: 150 90 150 90 150

2 2z y

2 2z y

2z y

beam member1 BD RC sin RC cos

beam member2 BD RC sin RC cos

beam member3 BD RC sin RC

150 90 0.0

: MAX(250.0,117.4,0.0) 250.0

MAX(0.0,82.6,150.0) 150.0

2

y

z

cos

rigid end offset distance of the column RC

RC



mid

as C

ivil

거더부재의 강성역 고려방법

거더부재의 강성역은 거더부재 양 끝단에 대한 기둥부재의 높이(Depth)과

폭(Width)에 의해 결정되며 산정식은 다음과 같다.

- 각 방향별 강단이격거리에 의한 이격거리 산정식 (그림 1.6.17 참조)

Depth : 기둥부재의 요소좌표계 z축 방향의 단면길이

Width : 기둥부재의 요소좌표계 y축 방향의 단면길이

: 기둥부재의 요소좌표계 z축과 거더부재가 이루는 각도

그림 1.6.17 Panel Zone Effects 기능을 사용할 경우, 거더부재의 강단이격거리

2 2

2 2Depth cos θ Width sin θRB

beam member 3

beam member 1

beam member 2

ECS z – axis of the column

column depth

ECS y – axis of the column

column width

ECS x – axis of the column

rigid end offset distance for beam member 2





mid

as C

ivil

그림 1.6.18 Panel Zone Effects 기능을 사용할 경우, 거더부재의 강성역 산정 예

beam member

column centerline at i– th node column centerline at j– th node

ECS x – axisof beam

ECS z – axis of column

150, 100 40

150 0 100 075.0

2 2

150 40 100

2

2 2

2

cos sin

cos

depth of column section = width of column section= , for =

rigid end offset distance at i-th node =

rigid end offset distance at j-th node = 40

64.72

2sin



mid

as C

ivil

6-9-2 Beam End Offsets 기능을 이용하여 보요소의 양단에 강성역을

직접 입력하는 방법

Beam End Offsets에서는 다음의 2가지 방법으로 보요소의 양단에 강성역 거리를

직접 입력하게 됩니다.

1. 양절점에서의 이격거리(Offset Length)를 전체좌표계 기준으로 X, Y, Z축

방향의 성분거리로 입력

2. 양절점에서의 이격거리를 요소좌표계 x축 방향의 거리로 입력

첫째 방법은 접합부의 방향별 편심거리를 입력합니다. 요소강성을 계산하거나 분

포하중 또는 자중을 계산할 때 고려되는 거리는 이격된 양절점 사이의 전길이가

고려됩니다. 그리고 부재력의 출력위치 또는 단부자유도해제조건에 대해서도 이격

된 위치를 기준으로 조정됩니다. (그림 1.6.11 (b), (c) 참조)

둘째 방법은 축방향의 편심거리를 입력합니다. 이 방법은 요소강성의 계산과 부재

력의 출력위치 또는 단부자유도해제조건에 대해서는 Panel Zone Effects 기능에서

“Panel Zone" 을 선택하고 강성역 보정계수를 1.0을 입력한 경우와 같은 효과를

가지나, 분포하중에 대해서는 조정된 거리 대신 양절점 사이의 전체길이를 사용합

니다.



mid

as C

ivil

강체연결기능(Boundary탭>Link그룹>Rigid Link)은 구조물의 기하학적 상대거동

을 상호 구속하는 기능입니다.

기하학적 상대거동의 구속은 임의 절점의 자유도에 한 개 또는 그 이상의 절점의

자유도를 종속시킴으로써 이루어지며 여기서 임의 절점을 주절점(Master Node)이

라 하고 자유도가 종속되는 절점을 종속절점(slave node)이라 합니다.

강체연결기능에는 다음과 같이 네 가지 종류가 있습니다.

Rigid Body Connection

Rigid Plane Connection

Rigid Translation Connection

Rigid Rotation Connection

Rigid Body Connection은 주절점과 종속절점들이 3차원 강체로 연결된 것처럼 상

호거동이 구속되는 방법으로, 각 절점간의 거리가 일정하게 유지되며 상호구속방

정식은 다음과 같습니다.

Xs Xm Ym ZmU U R ΔZ R ΔY

Ys Ym Zm XmU U R ΔX R ΔZ

Zs Zm Xm YmU U R ΔY R ΔX

Xs XmR R

Ys YmR R

Zs ZmR R

여기서, m sΔX X X , m sΔY Y Y , m sΔZ Z Z

상기 식에서 첨자 m과 s는 각각 주절점과 종속절점을 의미하며, UX, UY, UZ는 각

각 전체좌표계 기준의 X방향변위, Y방향변위, Z방향변위 성분을, 그리고 RX, RY,

RZ는 각각 전체좌표계 기준의 X방향에 대한 회전변위, Y방향에 대한 회전변위, Z

방향에 대한 회전변위 성분을 의미합니다. 그리고 Xm, Ym, Zm은 주절점의 좌표를



mid

as C

ivil

Xs, Ys, Zs는 종속절점의 좌표를 각각 의미합니다. 이 기능은 강성이 타 구조부재

보다 훨씬 커서 변형효과를 무시할 수 있는 부재의 모델링이나 Stiffened Plate에

서 Plate와 Stiffener를 상호 연결하는데 활용될 수 있습니다.

Rigid Plane Connection은 주절점과 종속절점들이 X-Y평면 또는 Y-Z평면, 또는

Z-X평면들과 평행한 평면상에서 평면강체로 연결된 것처럼 상호거동이 구속되는

방법으로, 평면상에 투영된 각 절점간의 거리가 일정하게 유지되며 상호구속 방정

식은 다음과 같습니다.

- X-Y 평면거동에 대해 Rigid Plane Connection을 부여할 경우

Xs Xm ZmU U R ΔY

Ys Ym ZmU U R ΔX

Zs ZmR R

- Y-Z 평면거동에 대해 Rigid Plane Connection을 부여할 경우

Ys Ym XmU U R ΔZ

Zs Zm XmU U R ΔY

Xs XmR R

- Z-X 평면거동에 대해 Rigid Plane Connection을 부여할 경우

Zs Zm YmU U R ΔX

Xs Xm YmU U R ΔZ

Ys YmR R

이 기능은 평면내 상대거동이 무시될 수 있는 바닥판의 모델링에 주로 활용됩니다.



mid

as C

ivil

Rigid Translation Connection은 주절점과 종속절점들의 X축, Y축 또는 Z축방향 거

동을 상호 구속시키는 방법으로 상호구속 방정식은 다음과 같습니다.

- X축방향 거동에 대해 상호구속할 경우

Xs XmU U

- Y축방향 거동에 대해 상호구속할 경우

Ys YmU U

- Z축방향 거동에 대해 상호구속할 경우

Zs ZmU U

Rigid Rotation Connection은 주절점과 종속절점들의 X축, Y축 또는 Z축에 대한 회

전거동을 상호 구속시키는 방법으로 상호구속방정식은 다음과 같습니다.

- X축에 대한 회전거동을 상호구속할 경우

Xs XmR R

- Y축에 대한 회전거동을 상호구속할 경우

Ys YmR R

- Z축에 대한 회전거동을 상호구속할 경우

Zs ZmR R

다음은 강체연결기능에 대한 이해를 돕기 위해 Rigid Plane Connection 기능을 구

조물 바닥판의 모델에 적용한 예를 개념적으로 서술한 것입니다.

일반적으로 구조물이 횡력을 받을 때 바닥판 내의 모든 위치에서의 횡방향 상대변

위는 다른 구조부재(기둥, 벽, 대각부재)의 상대변위에 비해 거의 무시할 만큼 작

습니다. 이와 같은 바닥판의 강막작용(Rigid Diaphragm Action)은 바닥판 내의 모



mid

as C

ivil

든 면내거동을 상호 구속함으로써 고려될 수 있습니다. 이때 면내거동은 바닥판의

면내 이동변위 2개의 성분과 면의 수직방향에 대한 회전변위성분입니다.

그림 1.6.19 바닥판이 있는 일반구조물이 횡력을 받는 경우

그림 1.6.19에서 구조물에 횡력이 가해질 때 바닥판의 면내강성이 수직기둥부재의

횡방향강성에 비해 무한대로 클 경우, 바닥판의 면내변형은 구조적으로 무시될 수

있고, 따라서 δ1과 δ2는 거의 같은 값을 가지게 됩니다.

floor diaphragm

lateral load

after deformation

before deformation

1 2

1 2

X

X

Z

Y

Z



mid

as C

ivil

그림 1.6.20 바닥판이 있는 단층구조물이 수직축에 대해 비틀림모멘트를 받는 경우

그림 1.6.20의 예에서 바닥판이 있는 단층구조물이 비틀림모멘트를 받을 때, 바닥

판의 면내강성이 수직기둥부재의 강성에 비해 무한히 클 경우, 바닥판 전체가 　만

큼 회전하게 되고 가 됩니다. 따라서 4개의 자유도를 1개의

자유도로 축약시킬 수 있습니다.

그림 1.6.21는 강막작용을 고려하여 절점당 6개씩의 자유도(64), 총 24개의 자유

도를 15개의 자유도로 축약하는 과정을 나타낸 그림입니다.

floor diaphragm

torsional moment



mid

as C

ivil

UX : displacement degree of freedom in the X-direction at the corresponding node

UY : displacement degree of freedom in the Y-direction at the corresponding node

UZ : displacement degree of freedom in the Z-direction at the corresponding node

RX : rotational degree of freedom about the X-axis at the corresponding node

RY : rotational degree of freedom about the Y-axis at the corresponding node

RZ : rotational degree of freedom about the Z-axis at the corresponding node

그림 1.6.21 면내 무한강성을 가진 바닥판의 자유도 축약 개념도



mid

as C

ivil

UXm : X-direction displacement of master node

UYm : Y-direction displacement of master node

RZm : rotation about Z-axis at master node

UXs : X-direction displacement of slave node

UYs : X-direction displacement of slave node

RZs : rotation about Z-axis at slave node

그림 1.6.22 무한강성을 가진 바닥판이 횡력에 의해 변위가 발생하였을 경우

그림 1.6.22에서 무한강성을 가진 바닥판에 횡력에 의한 평면방향변위 및 회전변

위가 동시에 발생하였을 경우 바닥판내의 임의 점에서의 변위는 아래와 같이 계산

됩니다.

Xs Xm ZmU U R ΔY

Ys Ym ZmU U R ΔX

Zs ZmR R



mid

as C

ivil

기구학적 구속기능을 이용하여 자유도를 축약시키게 되면 해석 소요시간을 단축시

키는데도 상당히 효과적입니다. 가령 구조물의 구조해석시 바닥판을 판요소(또는

평면응력요소) 등으로 모델링 한다면 층당 수많은 절점이 필요합니다. 이 경우 횡

방향 자유도만 고려해도 절점갯수×3 만큼의 자유도수가 늘어나기 때문에 몇 개 바

닥만 모델링 하더라도 구조해석 프로그램의 해석능력을 초과하거나, 해석이 가능

하더라도 상당한 시간이 소요됩니다. 일반적으로 해를 구하는데 소요되는 시간은

자유도수의 세제곱에 비례하기 때문에 해의 정확도를 크게 떨어뜨리지 않는 한도

내에서 자유도수를 줄이는 것이 효과적입니다.

그림 1.6.23은 Rigid Body Connection과 Rigid Plane Connection 기능을 이용한 예

를 나타낸 것입니다.

그림 1.6.23(a)는 사각튜브의 구조적 거동을 정밀해석하기 위해 정밀검토가 필요한

부분에 대해서는 판요소로 세분화하고 나머지 부분은 보요소를 사각튜브의 중립축

선상에 모델링하여 두 모델사이를 Rigid Body Connection 기능을 이용하여 강체연

결시킨 예입니다.

그림 1.6.23(b)는 2차원 평면상에 있는 두 개의 기둥이 편심되어 만나는 경우에 절

점에서의 편심효과를 고려하기 위해 Rigid Plane Connection 기능을 이용한 예입니

다. 이와 같이 임의 평면내에 강체연결기능을 사용하고자 할 때에는 반드시 평면

내의 두 개의 선변위성분과 수직방향에 대한 회전변위성분에 대해 기구학적 구속

조건을 부여해야 합니다. 마찬가지로 그림 1.6.23(a)와 같이 모든 방향성분에 대해

강체연결을 할 경우에는 6개 자유도 전부에 대해 기구학적 구속조건을 부여해야

합니다.

기구학적 구속조건을 동적해석모델에 고려하고자 할 경우에는 주절점의 위치가 종

속절점에 입력된 모든 질량성분(자중을 질량으로 환산하여 고려할 경우에는 자중

에 의한 질량성분도 포함)의 질량중심(Mass Center)과 일치하도록 입력되어야 합

니다.



mid

as C

ivil

(a)한 개의 튜브를 보요소와 판요소로 부위별로 모델링하여 상호연결한 경우 (Rigid Body Connection)

(b) 두개의 기둥이 편심되어 만나는 경우 (Rigid Plane Connection)

그림 1.6.23 강체연결기능의 사용 예

rectangular tube modeled with plate elements

Rigid Link

rectangular tube modeled as a beam element

master node ○ : slave nodes (12 nodes) * all 6 degrees of freedom of

the slave nodes are linked to the master node.

* all slave node’s d.o.f in the X-Z plane are linked to the master node(translational displacement d.o.f in the X and Z–directions and rotational d.o.f about the Y-axis

eccentricity eccentricity

master node slave node



mid

as C

ivil

지지점의 강제변위(Specified Displacements)는 구속되어 있는 자유도의 변위량

을 알고 있을 때 그 변위 조건하에서의 구조적 거동을 분석하는데 사용됩니다.　

일반적으로 실무문제에 있어서 이 기능이 효과적으로 사용되는 경우는 다음과 같

습니다.

기존의 구조물에 변형이 발생하여 정밀안전진단이 요구될 경우

특정부위의 거동에 대해 상세모델을 이용하여 정밀분석하고자 할 경우, 구

조물의 전체모델에 대한 해석을 수행하여 해당부위의 변위값을 상세모델

의 경계조건으로 이용할 경우

기존의 구조물에 지점침하가 발생하여 이를 고려한 해석을 수행하고자 할

경우

교량구조물의 지점침하를 고려한 해석을 수행할 경우

midas Civil에서 지지점의 강제변위는 하중조건별로 입력이 가능합니다. 또한 구

속되지 않은 자유도에 강제변위를 입력하면 프로그램 내부에서 자동으로 해당 자

유도에 구속조건을 도입하고 강제변위를 적용하게 됩니다. 만일 강제변위를 부여

하고자 하는 자유도에 구속을 도입하지 않은 해석결과를 원한다면 별도의 모델을

만들어 해석을 수행하여야 합니다.

강제변위를 입력할 때는 미소한 차이에도 구조적 거동이 민감하게 변하기 때문에

정확한 값을 사용하여야 하며, 가능한 한 6개 자유도에 대해 모두 고려하는 것이

바람직합니다. 변형된 구조물의 안전성을 평가할 때와 같이 회전변위를 측정하기

가 어려울 경우에는 이동변위만으로도 근사적 해석이 가능하지만 이 경우에는 해

석 후 해당부위의 변형형상이 구조물의 실제 변형형상과 유사한지 검토하여야 합

니다.

특정부위의 정밀해석을 위해 전체모델의 해석결과로부터 도출된 변위량을 사용할

경우에는 정밀해석 모델의 경계면에 위치한 절점에는 반드시 6개 자유도 모두에

대해 이동변위 및 회전변위성분을 입력해야 하며, 정밀해석 모델 내에 존재하는

모든 하중조건에 대해서도 추가로 고려하여야 합니다.



mid

as C

ivil

강제변위는 일반적으로 전체좌표계를 따라 입력되지만 절점에 절점좌표계가 도입

되는 경우에는 절점좌표계를 따라 입력됩니다.

(a) 전체 모델과 접합부 상세도

(b) 접합부에 대한 상세유한요소 해석모델

그림 1.6.24 강제변위 기능을 이용한 접합부 정밀해석 예

Rigid links (master and slave nodes) are assigned to the boundary sections, and the specified displacements, the displacements obtained from the initial analysis for the entire structure, are assigned to the master node at the centroid of each section.

connection for a detail analysis boundary section column member

boundarysection

beam (girder)member

boundary section

beam (girder) member

boundary section

● : node ○ : boundaries for the detail model (displacements of the total analysis at this node are assigned to the detail model as specified displacements



mid

as C

ivil

그림 1.6.24은 구조물의 모서리 접합부에 대한 정밀해석을 수행한 예로써 그 절차

는 다음과 같습니다.

1. 그림 1.6.24(a)의 전체모델에 대한 해석을 수행한 후 정밀해석을 요하는 접

합부와 경계부분에서의 변위를 발췌합니다.

2. 경계부분 4개소에서 발췌된 24개(각 절점당 6개 성분)의 변위성분을 그림

1.6.24(a)의 모델에 입력합니다. 이때 상세모델의 경계부분에 주절점

(Master Node)과 종속절점(Slave Nodes) 관계를 지정하여 전체모델 중

하나의 절점으로부터 추출한 변위성분을 상세모델의 전 경계면에 영향을

미칠 수 있도록 강체연결기능을 이용하면 편리합니다. 그리고 강체연결기

능을 이용하는데 따른 오차를 줄이기 위해 경계면은 가능한 정밀분석 대상

부위에서 먼거리에 위치해야 합니다.

3. 전체모델에 고려된 하중조건 중에서 상세해석 모델의 범위 내에 포함되는

하중조건을 추가로 입력하고 해석을 수행합니다.

m

idas

Civ

il



Part 2 midas Civil의 구조해석 기능


mid

as C

ivil


하중조건하에서 구조물의 실제거동은 엄밀히 재료적으로 비선형성을 가지게 되지만

구성부재의 내력이 설계규준에서 정하고 있는 허용범위 내에 있는 경우에는 거의 선

형적 거동에 근접하므로 설계목적의 구조해석에서 재료적 비선형성은 일반적으로 고

려하지 않습니다.

midas Civil은 선형해석을 근간으로 하고 있으며 인장 또는 압축력전담요소, P-Delta

해석 등의 기하학적 비선형을 고려할 수 있습니다. midas Civil의 구조해석기능은 기

본적인 선형해석과 비선형해석으로 구성되어 있고, 실무에서 필요로 하는 다양한 해

석기능들을 포함하고 있습니다.

midas Civil의 구조해석기능의 구체적인 내용들은 다음과 같습니다.

정적해석 (Static Analysis)

선형 정적해석 (Linear Static Analysis)

열응력 해석 (Thermal Stress Analysis)

재료비선형 해석 (Material Nonlinear Analysis)

기하비선형 해석 (Geometric Nonlinear Analysis)

대변형 해석 (Large Displacement Analysis)

P-Delta 해석 (P-Delta Analysis)

좌굴해석 (Buckling Analysis)

정적증분해석 (Pushover Analysis)

수화열 해석 (Heat of Hydration Analysis)

시공단계별 해석 (Construction Stage Analysis)

이동하중 해석 (Moving Load Analysis)

영향선 해석 (Influence Line Analysis)

영향면 해석 (Influence Surface Analysis)

동적해석 (Dynamic Analysis)

자유진동해석 (Free Vibration Analysis)

고유벡터해석 (Eigen Vector Analysis)

Ritz벡터 해석 (Ritz Vector Analysis)

Chapter 1. 구조해석 기능

Chapter 1 | 구조해석 기능

mid

as C

ivil


응답스펙트럼 해석 (Response Spectrum Analysis)

시간이력해석 (Time History Analysis)

경계비선형 시간이력해석 (Boundary Nonlinear Time History Analysis)

비탄성 시간이력해석 (Inelastic Time History Analysis)

구조물의 지점침하를 고려한 해석 (Analysis of Structures subjected to Support

Settlement)

강합성단면의 합성 전후 단면성질을 고려한 해석 (Composite Section

Analysis)

최적화 기법을 사용한 미지하중 계산기능 (Calculation of Unknown Loads by

Optimizing Techniques)

midas Civil은 상기의 각종 하중조건에 대한 해석이 동시에 수행되도록 고안되었습니

다. (단, 응답스펙트럼과 시간이력해석은 동시수행 불가)


mid

as C

ivil


midas Civil의 선형정적해석(Linear Static Analysis)에 사용된 기본방정식은 다음과

같습니다.

K U P

여기서, [ ]K : 구조물의 전체강성행렬 (Stiffness Matrix)

{ }U : 모든 자유도의 변위벡터 (Displacement Vector)

{ }P : 작용된 하중벡터 (Load Vector)

midas Civil은 정적 단위하중 조건과 하중조합 수에 제한이 없습니다.

Chapter 2. 정적해석

Chapter 3 | 자유진동해석


mid

as C

ivil

구조물의 동적 특성을 나타내는 지표인 고유진동수와 모드 형상을 계산하는 방법

으로서 midas Civil에서는 고유벡터 해석과 Ritz벡터 해석의 두 가지 방법을 채택하

고 있습니다. 두 방법 모두 구조물의 고유치 문제의 특성방정식을 구성하고 그 해

를 구하는 방법이지만 후자의 해석 결과를 이용하는 것이 응답스펙트럼해석이나

시간이력해석에서 보다 높은 효율성을 갖는 것으로 알려져 있습니다. 다음은 고유

벡터 해석에 관한 설명이며 Ritz벡터 해석에 관해서는 다음 절에서 설명합니다.

midas Civil에서 비감쇠 자유진동(Undamped Free Vibration) 조건하의 모드형상

(Mode Shape)과 고유주기(Natural Periods)를 구하기 위해 사용된 특성방정식은 다


2n n nK M

여기서 [ ]K : 구조물의 강성행렬 (Stiffness Matrix)

[ ]M : 구조물의 질량행렬 (Mass Matrix)

2n : n번째 모드의 고유치 (Eigenvalue)

{ }n : n번째 모드의 모드형상 (Mode Vector)

고유치해석은 구조물 고유의 동적특성을 분석하는데 사용되며 자유진동해석(Free

Vibration Analysis) 이라고도 합니다.

고유치해석을 통해 구해지는 구조물의 주요한 동적특성은 고유모드(또는 모드형상),

고유주기(또는 고유진동수), 그리고 모드기여계수(Modal Participation Factor) 등이

며 이들은 구조물의 질량과 강성에 의해 결정됩니다.

고유모드(Vibration Modes)는 구조물이 자유진동(또는 변형) 할 수 있는 일종의 고

Chapter 3. 자유진동 해석


mid

as C

ivil


유형상이며, 주어진 모양으로 변형시키기 위해 소요되는 에너지(또는 힘)가 제일

적은 것부터 순차적으로 1차 모드형상(또는 기본진동형상), 2차 모드형상, …, n차

모드형상이라고 합니다. 그림 2.3.1은 외팔보의 진동모드를 저차부터(적은 에너지

로 변형시킬 수 있는 모양부터) 순차적으로 나타낸 것입니다.

고유주기는 고유모드와 일대일 대응되는 고유한 값으로 구조물이 자유진동상태에

서 해당 모드형상으로 1회 진동하는데 소요되는 시간을 의미합니다.

참고로 단일자유도계에서 고유주기를 구하는 방법은 다음과 같습니다. 단일자유도

계의 운동방정식에서 하중과 감쇠항을 0으로 가정하여 자유진동 방정식을 만들면

식 (1)과 같은 선형 2차 미분방정식이 됩니다.

( )mu cu ku p t (1)

0mu ku

여기서 u가 진동에 의한 변위이기 때문에 이를 단순히 u Acosωt (여기서 A는

초기 변위치와 관련한 상수)라고 가정하면 위 식은 식 (2)와 같습니다.

2( ) cos 0m k A ωt (2)

상기의 등식이 항상 만족하기 위해서는 좌변의 괄호내의 값이 0 이 되어야 하므로

고유치는 식 (3)과 같은 형태로 구해지게 됩니다.

2 k

m ,

k

m ,

2f

, 1

Tf (3)

여기서, 2 을 고유치(Eigenvalue)라고 하고, 를 회전고유진동수(Rotational

Natural Frequency), f 를 고유진동수(Natural Frequency), T 를 고유주기(Natural

Period)라 합니다.



mid

as C

ivil

(a) 고유모드형상

(b) 고유주기

그림 2.3.1 균일단면을 가진 외팔보의 고유모드형상 및 고유주기

T1=1.78702sec T3=0.10184secT2=0.28515sec

λ3

1st mode 2nd mode 3rd mode


mid

as C

ivil


그리고 모드기여계수는 해당 모드의 영향을 총 모드에 대한 비율로 나타낸 것으로

식 (4)와 같이 표현됩니다.

(4)

여기서 m : 모드기여계수(Modal Participation Factor)

m : 임의의 모드차수 (Mode Number)

iM : 임의의 i 위치의 질량 (Mass)

im : 임의의 i 위치의 m차 모드벡터 (Mode Shape)

일반내진설계기준에서는 해석에 포함되는 모드별 유효질량(Effective Modal Mass)의

합이 전체 질량의 90% 이상을 확보하도록 요구하고 있습니다. 이는 해석결과에

영향을 주는 대부분의 주요모드를 포함하도록 하기 위한 것입니다.

(5)

여기서 mM 은 모드별 유효질량(Effective Modal Mass)입니다.

임의 질량의 자유도가 구속되어 있을 경우 총 질량에는 반영되지만 해당 자유도의

모드벡터가 억제되어 질량성분이 유효질량에는 포함되지 않습니다. 그러므로 모드

별 유효질량을 계산하여 전체질량에 대한 비를 평가하고자 할 경우에는 질량이 입

력된 성분의 자유도가 구속되지 않도록 해야 합니다.

특히 건축구조물에서 지하구조물의 횡변위가 구속된 경우, 해당층의 횡질량성분은

입력할 필요가 없습니다.

구조물의 동적거동을 제대로 분석하기 위해서는 고유치를 결정하는 질량과 강성을

정확하게 반영하는 것이 가장 기본이 되는 작업입니다. 여기서 강성은 구조부재를

유한요소로 모델링 함으로써 거의 모든 강성성분을 비교적 근접하게 반영할 수 있

으나, 질량은 구조부재 자체의 질량이 전체 질량에 비해 적기 때문에 바닥 슬래브

등 모델에 포함되지 않은 재료에 대한 질량성분을 정확하게 파악하여 입력하는 것

2

2

im i

mim i

MM

M

2i im

m

i im

M

M



mid

as C

ivil

이 매우 중요합니다.

질량성분은 절점당 6개의 자유도성분에 따라 일반적으로 이동질량성분

(Translational Masses) 3개와 회전질량성분(Rotational Mass Moment of Inertia) 3개로

입력됩니다. 여기서 회전질량성분은 회전질량관성에 기인한 것으로 내진설계에서

는 지진이 선방향 지진가속도로 가해지기 때문에 동적응답에 직접적인 영향을 미

치지는 않으나, 구조물이 비정형일 때(질량중심과 강성중심이 일치하지 않을 때)는

모드형상을 일부 변형시킴으로써 동적응답에 간접적인 영향을 미치게 됩니다. 질

량성분은 다음과 같이 계산됩니다. (표 2.3.1 참조)

- 이동질량성분

- 회전질량관성모멘트

여기서, r은 전체 무게중심에서 해당 미소질량성분 중심까지의 거리

질량의 입력단위계는 중량을 중력가속도로 나눈 단위([중량(시간2/길이)])와 같으며

회전질량관성모멘트의 단위계는 질량에 길이단위의 제곱을 곱한 단위([중량(시간2/

길이)길이2])와 같습니다. 예를 들면 MKS 또는 English 단위계를 사용할 경우에는

중량에 중력가속도를 나눈 값을 질량으로 입력해야 하며, SI 단위계를 사용할 경우

에는 MKS 단위계에서 사용되는 중량치를 그대로 질량으로 입력합니다. 그리고 탄

성계수나 하중을 입력할 때는 MKS 단위계에서 사용되는 값에 중력가속도를 곱하

여 입력하면 됩니다.

midas Civil에서는 해석작업의 효율성을 고려하여 집중질량(Lumped Mass)을 사용

하고 있습니다. 질량데이터는 Main Menu의 Load탭>Load Type그룹>Static Loads

>Structure Loads/Masses그룹>Nodal Masses 또는 Loads to Masses 기능을 이용하

여 입력됩니다.

midas Civil에서 사용된 고유치 해석방법은 Subspace Iteration Method와 대형 구조

물의 해석에 적합한 Lanczos Method가 있습니다.

2r dm

dm


mid

as C

ivil


Shape Translation Mass Rotational Mass

Moment of Inertial Rectangular Shape

3 3

12 12m

bd dbI

2 2

12

Mb d

Triangular Shape

M area of triangle m x yI I I

Circular Shape

2

4

dM

4

32m

dI

General Shape

M dA m x yI I I

Linear Shape

L mass per unit lengh

LM L

3

12m L

LI

Eccentric Mass eccentric mass : m

M = m

rotational mass moment of inertia

about its mass center :

oI 2

m oI I mr

표 2.3.1 질량데이터의 산정방법

M bd



mid

as C

ivil

Ritz 벡터 해석은 구조물의 동적 특성을 나타내는 고유진동수와 모드형상을 구하

는 방법으로써 이렇게 구해진 고유진동수와 모드형상은 구조물의 동적 특성을 표

현하는데 있어서 고유벡터 해석에 의한 것보다 효율적인 것으로 알려져 있습니다.

이 방법은 다자유도 구조물의 모드 형상을 가정하여 단자유도 구조물로 치환한 뒤

고유진동수를 구하는 Rayleigh-Ritz 방법을 확장한 것입니다.

먼저 n자유도의 구조물 운동방정식에서 변위 벡터가 다음과 같이 p개의 Ritz

Vector의 조합으로 표현된다고 가정합니다. 이 때 p는 n보다 작거나 같습니다.

Mu( t )+ Cu( t )+ Ku( t ) = p( t ) (6)

p

i ii 1

u( t ) ψ z ( t ) Ψz( t )

(7)

여기서 M : 구조물의 질량행렬

C : 구조물의 감쇠행렬

K : 구조물의 강성행렬

( )u t : n자유도 구조물의 변위 벡터

( )z t : 일반화 좌표(Generalized Coordinate) 벡터

( )p t : 동적 하중 벡터

iψ : i번째 Ritz 벡터

( )iz t : i번째 일반화 좌표 T

1 i pΨ= ψ ψ ψ : Ritz 벡터 행렬

위 가정에 의해서 n자유도의 운동방정식은 다음과 같이 p자유도의 운동방정식으로

축소됩니다.

( ) ( ) ( ) ( )Mz t + Cz t + Kz t = p t (8)

여기서, TM Ψ MΨ : 축소된 운동방정식의 질량행렬

TC Ψ CΨ : 축소된 운동방정식의 감쇠행렬


mid

as C

ivil


TK Ψ KΨ : 축소된 운동방정식의 질량행렬

( ) ( )Tp t Ψ p t : 축소된 운동방정식의 동적하중 벡터

축소된 운동방정식에 대해서 다음과 같은 고유치 문제를 구성하고 해석을 수행합

니다.

2i i iKφ Mφ (9)

여기서, iφ : 축소된 운동방정식의 모드 형상

i : 축소된 운동방정식의 고유진동수

위 고유치 문제의 해를 이용하면 고전적 감쇠행렬을 가정할 때 축소된 운동방정식

을 다음과 같이 각 모드의 단자유도 운동방정식으로 분리할 수 있습니다.

2 ( )( ) 2 ( ) ( )

Ti

i i i i i T

Ψ p tq t + q t + q t =

Ψ MΨ

(10)

1

( ) ( )p

i ii

z t φ q t

(11)

여기서, ( )iq t : i번째 모드 좌표

i : i번째 모드 감쇠비

축소된 운동방정식의 고유치 해석해 i 는 원래 운동방정식의 고유진동수에 대한

근사해를 의미합니다.

i i (12)

여기서, i : i번째 모드형상의 근사해

구조물의 모드형상은 운동방정식의 변위벡터와 모드좌표 사이의 사상(寫寫;

Mapping) 관계를 정의해주는 벡터입니다. 따라서 Ritz 벡터 해석에 의한 근사적 모

드 형상은 원래 운동방정식의 변위 벡터 ( )u t 와 모드좌표 ( )iq t 사이의 관계식에

의해 정의되며 그 식은 다음과 같습니다.



mid

as C

ivil

1

( ) ( ) ( )p

i ii

u t Ψz t Ψφ q t

(13)

따라서 i 번째 모드형상의 근사해는 다음과 같이 정의됩니다.

i iφ Ψφ (14)

여기서 iφ : i번째 모드형상의 근사해

Ritz 벡터 해석에 의한 근사적 모드형상 벡터는 고유치해석에 의한 것과 마찬가지

로 원래의 질량 및 강성행렬에 대하여 직교성(Orthogonality)을 갖습니다.

Ritz 벡터 해석에 의한 고유진동수와 모드형상의 근사해는 일반 고유치해석의 해

와 마찬가지로 모드기여계수(Modal Participation Factor)와 모드별 유효질량

(Effective Modal Mass)의 계산에 사용됩니다.

Ritz 벡터 해석 결과를 기초로 모드중첩법에 의한 시간이력해석을 수행하는 경우

에는 상기 모드 운동방정식 (10)을 사용합니다.

구조물의 변형형상을 가정하는 Ritz 벡터는 일반적으로 구조물에 가해지는 하중에

대한 변위를 반복적으로 계산하여 생성하게 됩니다.

먼저 사용자가 초기하중벡터(Initial Load Vector)를 선정합니다. 여기서 기본가정은

동적하중이 시간에 따라 변화하지만 각 자유도별 분포는 사용자가 지정한 초기하

중벡터를 따른다는 것입니다. 다음으로는 선정된 초기하중벡터에 대해서 일차적으

로 정적 해석을 수행하여 첫번째 Ritz 벡터를 구합니다.

(1) (1)Kψ = r

(1) 1 (1)ψ = K r

여기서, K : 구조물의 강성행렬


mid

as C

ivil


(1)ψ : 첫번째 Ritz 벡터

(1)r : 사용자 지정 초기하중벡터

이렇게 해서 얻어진 첫번째 Ritz 벡터를 구조물의 변위로 가정합니다. 그러나 위의

정적해석은 구조물의 동적 응답에 의해서 발생하는 관성력의 영향을 무시하고 있

습니다. 따라서 추가적인 반복계산을 통해 관성력에 의한 변위를 계산하게 됩니다.

먼저 구조물의 가속도 분포는 앞서 계산된 변위벡터, 즉 첫번째 Ritz 벡터를 따른

다고 가정합니다. 따라서 가속도에 의해 발생하는 관성력은 질량벡터를 곱해서 계

산되며, 이 관성력이 구조물에 추가적인 변위를 발생시키는 하중으로 작용한다고

가정하여 다시 정적해석을 수행합니다.

(2) (1)Kψ = Mψ

(2) 1 (1)ψ = K Mψ

여기서, M : 구조물의 질량행렬

(2 )ψ : 두번째 Ritz 벡터

이렇게 해서 얻어진 두번째 Ritz 벡터 역시 정적평형(Static Equilibrium)만을 나타내

는 위 식에서 고려되지 못한 가속도 분포를 나타낸다고 가정하여 상기 과정을 반

복하면서 사용자가 지정한 개수만큼의 Ritz 벡터를 계산합니다.

사용자는 복수의 초기하중벡터를 지정할 수 있으며 각각에 대해서 생성할 Ritz 벡

터의 개수를 개별적으로 지정할 수 있습니다. 단, 생성할 Ritz 벡터의 전체 개수는

구조물 운동방정식에 존재하는 실제 모드 개수를 넘을 수 없습니다. 또한 반복과

정에서 이미 생성된 Ritz 벡터에 대해서 선형종속(Linearly Dependent)인 Ritz 벡터

가 계산되면 이를 삭제하게 됩니다. 이 때문에 더 이상 선형독립(Linearly

Independent)인 Ritz벡터가 계산될 수 없으면 반복과정을 종료하게 되고, 이는 사

용자가 지정한 초기하중벡터만으로는 지정한 개수만큼의 모드를 구할 수 없음을

의미합니다.

midas Civil에서 사용자가 선정할 수 있는 초기하중벡터는 전체좌표계 X, Y 및 Z



mid

as C

ivil

방향 지반가속도에 의한 관성력, 사용자가 입력한 모든 정적하중 조건(Static Load

Case), 비선형 연결요소의 부재력 벡터(Nonlinear Link Force Vector)입니다.

전체좌표계 X, Y 및 Z 방향 지반가속도에 의한 관성력은 주로 해당 방향의 지반가

속도에 발생하는 변위에 관련된 Ritz 벡터를 구하기 위해 사용됩니다.

사용자 입력 정적하중 조건은 특정한 분포를 갖는 동적하중에 대한 Ritz 벡터를

구하고자 할 때에 사용합니다. 통상적인 정적하중 조건(고정하중, 적재하중, 풍하중

등)을 사용하거나 Ritz 벡터 생성을 위한 목적으로 인위적인 정적하중 조건을 만들

어 사용할 수 있습니다.

비선형 연결요소의 부재력 벡터는 각 비선형 연결요소에서 발생하는 부재력의 구

조물에 대한 영향을 반영하는 Ritz 벡터를 생성하기 위한 것입니다. 요소가 가진

6개의 변위 자유도 가운데 사용자가 체크한 것에 대해서만 개별적으로 단위 힘을

갖는 초기하중벡터를 구성하여 Ritz 벡터 생성에 이용합니다. (그러나 비선형 연결

요소를 포함한 구조물의 해석에 있어서 반드시 이를 이용해야 하는 것은 아니며,

사용자의 판단에 따라 주어진 해석조건 하의 구조물 변형형상을 충분히 반영할 수

있는 초기하중벡터를 선정합니다.)

고유치해석과 비교할 때에 Ritz 벡터 해석의 장점은 다음과 같습니다.

Ritz 벡터는 적은 수의 모드를 계산하더라도 실제 하중에 대한 정적해석 해에 기

초하기 때문에 그 안에 고차모드의 영향이 자동적으로 반영되어 있습니다. 예를

들어서 Ritz 벡터 해석에 의해 구해진 1차 모드의 모드형상과 고유치해석에 의해

구해진 1차 모드의 모드형상의 차이는 전자에 반영된 고차모드의 성분을 의미한다

고 할 수 있습니다. 또한 구조물에 작용하는 하중에 의해 가진 되는 모드형상만이

구해지므로 불필요한 모드의 계산이 배제됩니다.

이상과 같은 원리로 Ritz 벡터 해석은 정확한 해석 결과를 얻기 위해 필요한 모드

의 개수를 줄여줍니다. 예를 들면, 특정한 모드별 유효질량의 합계를 확보하기 위

해 필요로 하는 모드의 개수는 일반적으로 Ritz 벡터 해석의 경우가 고유치해석의

경우보다 적은 것으로 알려져 있습니다.


mid

as C

ivil


동적해석에서 구조물의 감쇠는 크게 다음과 같이 분류할 수 있습니다.

비례 감쇠

질량비례형

강성비례형

Rayleigh 형

Caughey 형

비비례 감쇠

에너지 비례형

요소별 감쇠

점성감쇠 (Voigt 형태, Maxwell 형태)

이력형감쇠

마찰감쇠

내부마찰 감쇠(재료감쇠)

외부마찰 감쇠

미끌림 마찰감쇠

일산감쇠

동적해석에서 구조물의 감쇠는 운동 방정식을 구성하는 감쇠행렬을 강성과 질량의

비율로 표현할 수 있는지의 여부에 따라서, 크게 비례 감쇠(Proportional Damping)

와 비비례 감쇠(Non-proportional Damping)로 분류할 수 있습니다.

비비례 감쇠는 구조물의 부분별로 서로 다른 감쇠특성을 갖는 재질을 사용하거나

Chapter 4. 감쇠의 고려

Chapter 4 | 감쇠의 고려


mid

as C

ivil

부가적인 감쇠장치가 도입된 경우에 구조물을 구성하는 각각의 감쇠기구를 별개로

평가하여 각 부분의 감쇠모델로부터 감쇠행렬을 구성하는 방법입니다. 그러나, 실

제 구조물에 있어서 감쇠문제는 매우 복잡하여 세부적인 감쇠 매카니즘을 파악하

기 곤란한 경우가 많습니다.

따라서, 진동해석에서는 고유진동해석으로부터 얻어진 주요한 모드성분의 감쇠 성

질을 적절히 표현하여 얻어진 비례감쇠로 감쇠행렬을 가정하는 경우가 일반적입니

다. 비례감쇠는 ‘고전적감쇠(Classical Damping)’라고도 불리우며, 고유모드행렬을

감쇠행렬 좌우에 곱하였을 때 대각성분만을 갖는 행렬을 구할 수 있으므로 모드별

로 감쇠비를 분리할 수 있습니다.

한편, 비비례 감쇠 특성을 고려하는 경우, 모드별로 감쇠비를 분리할 수 없으므로

구조물의 고유치 해석을 통해 얻어지는 모드 형상에 기초하여 변형율 에너지 개념

을 도입하여 모드별 감쇠비를 구할 수 있습니다.

midas Civil에서 감쇠방법은 응답 스펙트럼 해석에서는 Response Spectrum Load

Cases에서 설정하며, 시간이력 해석에서는 Time History Load Cases에서 설정합니

다. 동적해석의 해석방법에 따라서, 설정가능한 감쇠방법은 다음과 같습니다.

응답 스펙트럼 해석 및 모드중첩법에 의한 시간이력해석의 감쇠설정

Modal

Mass & Stiffness Proportional (질량비례형, 강성비례형, Rayleigh형 감쇠)


직접 적분법에 의한 시간이력해석의 감쇠설정

Modal

Mass & Stiffness Proportional (질량비례형, 강성비례형, Rayleigh형 감쇠)


Element Mass & Stiffness Proportional (Rayleigh형 감쇠)


mid

as C

ivil


또한, 범용연결요소에 선형점성 감쇠인 Damping 혹은 Effective Damping을 설정하

여 구조물에 부가적으로 설치되는 선형감쇠기(Kelvin Model)의 모델링도 가능합니

다. 단, 범용연결요소의 선형 점성감쇠는 응답 스펙트럼 해석 및 모드중첩법에 의

한 해석인 경우, 감쇠방법을 Strain Energy Proportional로 선택한 경우만 모드별 감

쇠비에 반영되어 간접적으로 적용됩니다. 직접적분법에 의한 시간이력해석인 경우,

감쇠방법을 Mass & Stiffness Proportional 혹은 Element Mass & Stiffness

Proportional로 설정한 경우에 요소감쇠행렬을 통해서 해석에 직접적으로 반영되며,

Strain Energy Proportional인 경우는 모드별 감쇠비에 반영되어 간접적으로 적용됩

니다.

다음은 모드중첩법과 직접적분법에서의 감쇠의 고려방법에 대해 설명합니다. 구조

물의 운동방정식은 다음과 같이 구성됩니다.

( ) ( ) ( ) ( )Mu t Cu t u t p tK (1)

여기서, M : 질량행렬

C : 감쇠행렬

K : 강성행렬

( )u t , ( )u t , ( )u t : 절점의 변위, 속도, 가속도

( )p t : 동적하중

응답 스펙트럼 해석 및 모드중첩법에 의한 진동해석의 개념은 식 (1)을 모드의 직

교성을 이용하여 모드 분해하여 식(2)와 같이 모드 분해된 각 모드의 운동 방정식

의 해를 중첩하여 해석합니다. 따라서, 고유치해석이 필수적으로 선행되어야 합니

다.

2 ( )( ) 2 ( ) ( )

T

ii i i i i T

i i

p tq t q t q t

M

+ (2)

여기서, i : i-번째 모드의 모드형상 벡터

i : i -번째 모드의 감쇠비



mid

as C

ivil

i : i -번째 모드의 고유진동수

( )iq t , ( )iq t , ( )iq t : i -번째 모드의 일반화 변위, 속도, 가속도

따라서, 응답 스펙트럼 해석 및 모드중첩법에 의한 진동해석에서는 감쇠의 방법에

관계없이 모드 감쇠비 i 에 의해 감쇠가 고려됨을 알 수 있습니다.

직접적분법에 의한 시간이력해석은 수치적분법에 의해 2계의 운동 방정식 (1)의

해를 직접 구합니다. 따라서, 운동 방정식 구성시에 감쇠행렬을 작성할 필요가 있

습니다.

이하에서는 각 해석방법과 감쇠방법에 대한 감쇠비 i 와 감쇠행렬C 의 작성방법에

대해 설명합니다.


mid

as C

ivil


질량 비례형 감쇠는 공기 저항 등에 의한 외부 점성 감쇠를 표현한 것으로, 감쇠

행렬이 질량에 비례한다고 가정하고 있습니다. 한편 강성 비례형 감쇠는 일산감쇠

효과(진동에너지의 지반에의 방출 효과)가 직접 표현되기 어려우므로 그 효과를 강

성에 비례한다고 가정하기 때문에 고차 모드의 감쇠를 과대평가할 우려가 있습니

다.

비례 감쇠 매트릭스 C 의 일반형태는, Caughey에 의해 다음과 같이 정의됩니다.

N 1 j1

jj 0

C M a M K

(3)

여기서, j, N : 절점의 자유도(모드 차수)

식(1)에서 1M K 는 이하와 같이 비감쇠계의 자유진동식에서 구할 수 있습니다.

M y K y 0 (4)

iaxy u e (5)

로 가정하고, 이것을 식 (4)에 대입하면

2M K u 0 (6)

로 되어 식 (6)로부터 1 2M K 로 됩니다. 여기서, 2 는 모드 수만큼 존재하기

때문에 모드 차수를 고려하여 2s 로 표기합니다.

식 (4)~(6)에서 구한 1M K 을 식 (3)에 대입하고, 좌측에 T

su 을 곱하고 우측에

su 을 곱하면 식 (3)은 다음과 같이 표현됩니다.

N 1 N 1

T T2 j 2 js s s j s s s j s s

j 0 j 0

u C u C a u M u a M

(7)

또한 s차 모드의 감쇠 정수, s 는 다음과 같이 표현할 수 있습니다.



mid

as C

ivil

s s s sC 2 M (8)

식(7), (8)에서 N개의 고유 모드에 대한 감쇠정수 s 는 다음과 같이 결정됩니다.

2 jss j s

s s s

3 2 N 301 s 2 s N 1 s

s

C 1a

2 M 2

1 aa a a , s 1 N

2

(9)

질량 비례형, 강성 비례형태의 감쇠 정수 및 감쇠 행렬은 각각 다음과 같이 표현

됩니다.

0s 0 s s

s

a, C a M 2 M

2

: 질량 비례형 (10)

1 s ss 1

s

a 2, C a K K

2

: 강성 비례형 (11)

질량비례형 혹은 강성비례형 감쇠는 Response Spectrum Load Cases 혹은 Time

History Load Cases에서 Damping Method를 Mass & Stiffness Proportional로 선택하

고, 질량비례형은 Mass Proportional, 강성비례형은 Stiffness Proportional을 선택하

여 설정합니다. 구체적인 설정방법은 Rayleigh감쇠에서 다루고 있습니다.

0C a M

s1 2 3 4

0

2ss

a

s

1C a K

s1 2 3 4

1

2s

sa

s

(a) Mass Proportional Damping (b) Stiffness Proportional Damping

그림 2.4.1 모드별 감쇠율


mid

as C

ivil


Rayleigh형 감쇠는 강성 비례형 감쇠에서의 고차 모드의 감쇠 정수를 수정한 것으

로, 그림 2.4.2(b)에 나타낸 것과 같이 감쇠행렬을 구조물의 질량행렬과 강성행렬

의 선형합으로서 구성합니다. i차모드의 감쇠정수 i 와 고유진동수 i 및 j차 모드

의 감쇠정수 j 와 고유진동수 j 가 주어졌을 때 Rayleigh형 감쇠의 감쇠행렬은

다음과 같이 표현됩니다. 단, i, j차 모드는 구조물의 주요한 2개의 모드를 의미합니

다.

0 1C a M a K (12)

1

20

s 1 ss

aa

(13)

여기서,

i j i j j i

0 2 2j i

2a

(14)

j j i i

1 2 2j i

2a

(15)

1 2 3 4 i j

s

0C a M0

2ss

a

1C a K

1

2s

sa

0 1

2 2s

ss

a a

0 1C a M a K

s s

s

그림 2.4.2 모드별 감쇠율과 고유진동수와의 관계

(a) Mass Proportional Damping과

Stiffness Proportional Damping (b) Rayleigh Damping



mid

as C

ivil

0a 과 1a 은 Response Spectrum Load Cases 혹은 Time History Load Cases에서

다음과 같은 방법으로 설정할 수 있습니다.

1. Direct Specification

사용자가 0a , 1a 값을 직접 입력합니다.

2. Calculate from Modal Damping

고유치해석을 통해 얻어진 진동수 혹은 고유주기, 그리고 i, j차 모드의 감

쇠비를 사용자가 입력하면, 식 (14), (15)를 이용하여 0a , 1a 값을 자동계산

합니다.

예를 들어, i, j차 진동수와 모드의 감쇠비가 각각 1.0if Hz , 1.25jf Hz

0.05i , 0.05j 라 할 때, 0a , 1a 값을 구하면 다음과 같습니다.

고유진동수

1 2

2 2 6.28, 7.85

1.0 0.8

식(14), (15)를 이용한 0a , 1a 의 수계산

2 2

2 6.28 7.85 0.05 7.85-0.05 6.280.349

7.85 -6.280a

2 2

2 0.05 7.85-0.05 6.28=0.007

7.85 -6.281a

midas Civil에서의 0a , 1a 의 자동계산


mid

as C

ivil


Rayleigh형 감쇠는 응답 스펙트럼해석, 모드중첩법 및 직접적분법에 의한 시간이력

해석에서 사용가능하며, Response Spectrum Load Cases 혹은 Time History Load

Cases에서 Damping Method를 Mass & Stiffness Proportional로 선택하고, Mass

Proportional과 Stiffness Proportional을 모두 선택하여 설정합니다. 해석방법에 따른

감쇠의 고려방법은 다음과 같습니다.

4-3-1 응답 스펙트럼 해석 및 모드중첩법에서의 Rayleigh 감쇠의 고려

응답 스펙트럼 해석 및 모드중첩법에 의한 진동해석은 구조물의 운동방정식을고유

치해석시에 설정한 모드의 수만큼 분해하여 각 모드의 운동 방정식을 중첩하여 해

석합니다. 따라서, Rayleigh형 감쇠를 사용할 경우, 주요한 2개의 모드만으로 결정

된 0a , 1a 값을 식(13)에 대입하여 사용하는 모드의 수만큼의 감쇠비를 구할 필요

가 있습니다.

midas Civil에서 주요한 2개의 모드만으로 결정된 0a , 1a 값을 이용하여 모드별 감

쇠비를 구하는 방법은 이하와 같습니다.

예를 들어, 0 0.35a , 1 0.005a 이고, 3차 모드까지를 고려할 경우의 모드별 감쇠

비 s 를 구하면 다음과 같습니다. 단, 고유진동수는 1 4.59215 , 2 9.81814 ,

3 14.57793 라 가정합니다.

1, 2, 3차 모드의 감쇠비 계산

1

20

s 1 ss

aa

1

1 10.35 0.005 4.59215 0.04959

2 4.59215

2

1 10.35 0.005 9.81814 0.04237

2 9.81814

3

1 10.35 0.005 14.57793 0.04845

2 14.57793



mid

as C

ivil

1, 2, 3차 모드의 감쇠비 계산

단, 위와 같이 구한 모드별 감쇠비가 >1s 인 경우는 0.9999s , <0s 인 경우는

0.0s 로 처리됩니다.

4-3-2 직접적분법에서의 Rayleigh감쇠의 고려

직접적분법에서의 Rayleigh형 감쇠는 주요한 2개의 모드만으로 결정된 0a , 1a 값을

이용하여 0 1C a M a K 와 같이 감쇠행렬을 작성하여 운동 방정식을 구성하고,

수치적분법에 의해 해를 구합니다.

직접적분법을 이용한 비선형시간이력해석에서 구조물이 탄성한계를 넘어 소성영역

으로 들어갈 경우, 감쇠행렬 0 1C a M a K 에서 강성 K 를 초기상태의 강성을 그

대로 사용하면 감쇠력이 과대하게 평가될 가능성이 있습니다.

midas Civil에서는 부재가 항복하여 강성이 갱신되면 갱신된 강성을 감쇠행렬 구성

시에 반영하는 기능을 제공합니다. 감쇠행렬 구성시 강성의 갱신은 Rayleigh형 감

쇠에 근거하여 감쇠행렬을 구성하는 Mass & Stiffness Proportional과 Element Mass

& Stiffness Proportional 감쇠인 경우만 적용됩니다.

설정방법은 Time History Load Cases에서 감쇠방법을 Mass & Stiffness Proportional

혹은 Element Mass & Stiffness Proportional을 선택하고, Damping Matrix Update를

Yes로 선택하면 감쇠행렬 구성시 갱신된 강성을 사용하고, No로 선택하면 부재의

상태에 관계없이 초기강성으로 감쇠행렬을 구성합니다.

RAYLEIGH DAMPING COEFFICIENT, TIME LOADCASE = 1 -------------------------------------------------- MASS COEFFICIENT. : 0.35000 STIFFNESS COEFFICIENT. : 0.00500 MODE FREQUENCY DAMPING RATIO NO. [RAD/SEC] ------ ------------- ------------- 1 4.59215E+00 4.95889E-02 2 9.81814E+00 4.23695E-02 3 1.45779E+01 4.84493E-02


mid

as C

ivil


4-4-1 변형율 에너지에 기초한 모드 감쇠의 개요

실제 구조물은 재료에 따라서 감쇠특성이 상이하며 국부적으로 감쇠장치를 설치하

기도 합니다. midas Civil에서는 Element Mass & Stiffness Proportional을 이용하여

요소별로 다른 감쇠 특성을 지정할 수 있습니다. 그러나 요소별로 감쇠 특성을 각

각 고려할 경우, 감쇠 행렬은 대부분 비고전적 감쇠가 되어서 모드 분리가 되지

않습니다. 따라서 응답스펙트럼해석 및 모드중첩법을 이용한 해석에서는 요소별로

서로 다른 감쇠 특성을 반영하기 위해서 변형율에너지의 개념에 기초해 모드별 감

쇠비를 산정합니다.

midas Civil에서는 변형율에너지에 기초한 모드감쇠는 응답스펙트럼해석 및 모드

중첩법, 직접 적분법에 의한 시간이력해석에 사용 가능합니다. 변형율에너지에 기

초한 모드감쇠는 Response Spectrum Load Cases 혹은 Time History Load Cases에

서 Damping Method를 Strain Energy Proportional로 선택하여 설정합니다. 단, 직접

적분법에 의한 시간이력해석에 변형율에너지에 기초한 모드감쇠를 고려할 경우,

감쇠행렬은 Full Matrix형태가 되므로, 모드 중첩법에 비해 계산시간이 과도하게 늘

어나는 문제가 발생할 수 있습니다.

점성감쇠를 갖는 단자유도 진동계의 감쇠비는 조화운동(Harmonic Motion)에서 소

산되는 에너지(Dissipated Energy)와 구조물에 저장되는 변형율에너지(Strain Energy)

사이의 비율로 정의할 수 있으며 다음 식과 같습니다.

4D

S

E

E

(16)

여기서

ED : 소산에너지

ES : 변형율에너지



mid

as C

ivil

u

D SF F F

S

S

FK

u

21

2SE KA

22DE h KA

DF Cu

A

그림 2.4.3 소산에너지와 변형율에너지

다자유도 구조물에 있어서, 특정 모드의 동적거동은 해당되는 고유진동수를 갖는

단자유도 진동계의 동적거동으로 파악될 수 있습니다. 이 때 특정 요소를 대상으

로 소산에너지와 변형율에너지를 계산하는데 있어서 두 가지 가정을 사용합니다.

먼저 구조물의 변형은 모드형상에 비례한다고 가정합니다. i-번째 모드만이 해당 고

유진동수로 조화진동을 하는 구조물에서 요소 절점의 변위 및 속도 벡터는 다음과

같이 쓸 수 있습니다.

, ,

, ,

sin

cos

i n i n i i

i n i i n i i

u t

u t

(17)

여기서 ,i nu : i-번째 모드의 진동에 의한 n-번째 요소 절점 변위

,i nu : i -번째 모드의 진동에 의한 n-번째 요소 절점 속도

,i n : n-번째 요소의 자유도에 해당되는 i-번째 모드의 형상

i : i-번째 모드의 고유진동수

i : i-번째 모드의 위상각(Phase Angle)


mid

as C

ivil


두 번째로, 요소의 감쇠는 요소강성에 비례하는 점성감쇠로 가정합니다.

2 nn n

i

hC K

(18)

여기서 nC : n-번째 요소의 감쇠행렬

nK : n-번째 요소의 강성행렬

nh : n-번째 요소의 감쇠비

위 식의 가정에 의해, 요소의 소산에너지와 변형율 에너지는 다음과 같이 나타낼

수 있습니다.

, , , ,

, , , ,

, 2

1 1,

2 2

T TD i n n i n n i n n i n

T TS i n n i n i n n i n

E i n u C u h K

E i n u K u K

(19)

여기서 ED (i, n) : i-번째 모드의 진동에 의한 n-번째 요소의 소산에너지

ES (i, n) : i-번째 모드의 진동에 의한 n-번째 요소의 변형율에너지

전체구조물의 i-번째 모드 감쇠비는 모든 요소의 i-번째 모드에 해당되는 에너지의

합으로 계산할 수 있으며 다음과 같습니다.

, ,1 1

, ,1 1

,

4 ,

N NT

D n n i n n in n

i N NT

S n i n n in n

E i n h K

E i n K

(20)

4-4-2 변형율 에너지에 기초한 모드 감쇠의 설정 및 계산

midas Civil에서 변형율 에너지에 기초한 모드 감쇠의 설정은, 우선, Group에서 서

로 다른 감쇠 특성을 지정할 요소와 경계를 그룹으로 지정합니다. Group Damping

의 Damping Ratio for Specified Elements and Boundaries내의 Strain Energy

Proportional Damping에서 요소그룹 및 경계그룹별로 Damping Ratio를 지정합니다.

요소그룹 및 경계그룹에 포함되지 않는 부분은 Default Values for Unspecified

Elements and Boundaries의 Strain Energy Proportional Damping에서 Damping Ratio



mid

as C

ivil

를 지정합니다.

고유치해석을 수행하면, 이상의 과정으로 설정한 요소그룹 및 경계그룹별

Damping Ratio를 이용하여 변형율 에너지에 기초한 각 모드별 감쇠비를 계산하며,

Modal Damping Ratio based on Group Damping의 Modal Damping Ratio를 통하여

계산된 결과를 확인할 수 있습니다. 단, Group Damping에서 Calculate Only When

Used를 선택하면, 시간이력해석에서 감쇠방법을 Strain Energy Proportional으로 지

정했을 경우만, 모드별 감쇠비를 계산하므로 주의할 필요가 있습니다.

(a) 요소그룹 및 경계그룹별 Damping Ratio의 설정 (b) 변형율 에너지에 기초하여 계산된 모드별감쇠

그림 2.4.4 Strain Energy Damping의 설정 및 모드별 감쇠

응답스펙트럼해석 및 모드중첩법에 의한 해석에서는 구조물의 운동 방정식을 모드

별로 분해하여, 각 모드의 운동 방정식에 변형율에너지에 기초하여 구한 모드별

감쇠비 s 을 적용하여 해를 구합니다.

직접적분법에 의한 시간이력해석에서는 변형율에너지에 기초하여 구한 모드별 감

쇠비 s 와 고유진동수 i , 모드행렬 등을 이용하여 전체 구조물의 감쇠행렬을 작

성하여 운동 방정식을 구성합니다. 감쇠행렬의 작성방법은 별도로 다루도록 합니

다.


mid

as C

ivil


모드별 감쇠는 각 모드별로 사용자가 직접 감쇠비를 정의하고 정의된 모드별 감쇠

비에 따라서 모드별 응답을 계산합니다. 모드별 감쇠는 응답 스펙트럼해석 및 모

드중첩법, 직접적분법에 의한 시간이력해석에서 사용가능합니다. 단, 직접적분법에

의한 시간이력해석에 모드별 감쇠를 고려할 경우, 감쇠행렬은 비대칭 행렬이 되므

로 모드 중첩법에 비해 계산시간이 과도하게 늘어나는 문제가 발생할 수 있습니다.

모드별 감쇠의 설정은 Response Spectrum Load Cases 혹은 Time History Load

Cases에서 Damping Method를 Modal로 선택하여, Modal Damping Overrides에서 모

드별로 감쇠비를 입력합니다. 모드별로 감쇠비를 입력하지 않는 모드의 감쇠비는

Damping Ratio for All Modes로 입력합니다.

응답스펙트럼해석과 모드중첩법에 의한 해석에서는 구조물의 운동 방정식을 모드

별로 분해하여, 각 모드의 운동 방정식에 사용자가 직접 입력한 모드별 감쇠비 s

을 적용하여 해를 구합니다.

직접적분법에 의한 시간이력해석에서는 입력된 모드별 감쇠비 s 와 고유진동수 s

그리고 모드행렬 등을 이용하여 전체 구조물의 감쇠행렬을 작성하여 운동 방정식

을 구성합니다. 감쇠행렬의 작성은 별도로 다루도록 합니다.



mid

as C

ivil

요소별 Rayleigh 감쇠는 구조물을 구성하는 특정한 부재 또는 경계부분에 요소별

로 다른 감쇠를 적용할 수 있는 기능으로, 구조물에서 감쇠가 서로 다른 재료가

혼재하거나 제진 및 면진장치가 설치되어 있는 경우 등에 사용합니다.

요소별로 감쇠 특성을 각각 고려할 경우, 감쇠 행렬은 대부분 비비례 감쇠가 되어

서 모드 분리가 되지 않습니다. 따라서, 요소별 Rayleigh 감쇠는 감쇠행렬을 직접

작성하는 직접적분법에 의한 시간이력해석시에만 적용가능하며, Time History Load

Cases에서 Damping Method를 Element Mass & Stiffness Proportional로 선택하여

설정합니다.

응답스펙트럼해석 및 모드중첩법을 이용한 해석에서 요소별로 서로 다른 감쇠 특

성을 반영하기 위해서는 Group Damping에서 요소그룹 및 경계조건 그룹별로 지

정된 감쇠비를 설정하여, 고유치해석을 통해 변형율에너지의 개념에 기초한 모드

별 감쇠비를 산정하여 해석을 수행할 필요가 있습니다.

midas Civil에서 요소별 Rayleigh 감쇠의 설정은, 우선, Group에서 서로 다른 감쇠

특성을 지정할 요소와 경계를 그룹으로 지정합니다. Group Damping의 Damping

Ratio for Specified Elements and Boundaries내의 Element Mass & Stiffness

Proportional Damping에서 요소그룹 및 경계그룹별로 Mass Coefficient(α)와

Stiffness Coefficient(β)를 지정합니다. 요소그룹 및 경계그룹에 포함되지 않은 부

분은 Default Values for Unspecified Elements and Boundaries의 Element Mass &

Stiffness Proportional Damping에서 지정합니다.

요소별 Rayleigh 감쇠는 요소별로 입력된 , 값을 이용하여 C M K 와

같이 요소의 감쇠행렬을 작성하여 운동 방정식을 구성합니다. 요소별 Rayleigh 감

쇠는 Rayleigh감쇠에 기초하므로, 부재 n의 n n, 은 Rayleigh감쇠와 동일하게 계

산합니다.

단, 현재의 midas Civil에서는 Mass Coefficient(α)는 지원되지 않으므로, 요소별 강

성비례형 감쇠로 취급됩니다.


mid

as C

ivil


직접적분법에 의한 시간이력해석에서 감쇠방법을 Modal 혹은 Strain Energy

Proportional로 선택한 경우, 감쇠행렬은 Full Matrix 형태가 되며, 입력된 모드별 감

쇠비 s 와 고유진동수 i 그리고 모드행렬 등을 이용하여 전체 구조물의 감쇠행렬

작성할 필요가 있습니다.

전체 구조물의 감쇠행렬은 다음 식으로 구성됩니다.

2 Ti i

C MΦ Φ M

여기서 C : 전체구조물의 감쇠행렬

M : 전체구조물의 질량 행렬

i 전체구조물의 i-번째 모드 감쇠비

: 모드 형상

1 2 .... ....i nf nf : 사용되는 모드 수



mid

as C

ivil

범용연결요소는 제진장치, 면진장치, 압축 또는 인장 전담요소, 소성힌지, 지반스프

링 등을 모델링 하는데 사용되는 요소로서 2개의 절점을 연결하는 6개의 스프링으

로 구성됩니다. 범용연결요소는 선형점성감쇠를 설정하여 구조물에 부가적으로 설

치되는 감쇠기를 모델링 할 수 있습니다.

범용연결요소의 선형점성감쇠는 Element Type인 경우, Linear Dashpot과 Spring

and Linear Dashpot를 선택하여 Linear Properties의 Damping을 통해 설정되며,

Force Type인 경우 Linear Properties의 Effective Damping을 통해 설정됩니다.

범용연결요소의 선형점성감쇠에 관한 상세한 사항은 범용연결요소에서 다루기로

합니다. 여기서는 변형율 에너지에 기초한 모드 감쇠를 고려할 경우 범용연결요소

의 선형점성감쇠를 고려하여 모드별 감쇠비를 구하는 방법에 관해서 설명합니다.

범용연결요소의 선형점성감쇠 Damping 혹은 Effective Damping는 다음과 같이 입

력된다고 가정합니다.

2 effeff eff

eff

C K

여기서 effC : Damping 또는 Effective Damping

effK : 범용연결요소의 강성

eff : 범용연결요소의 감쇠비

eff : 범용연결요소의 고유진동수

위 식의 가정에 의해, 범용연결요소의 변형율 에너지의 계산시에 선형점성감쇠를

반영하면 i-번째 모드 감쇠비는 다음과 같이 표현됩니다.

, , , ,1 1

, ,1 1

, 0.5

4 ,

N NT T

D n n i n n i i n i eff n in n

i N NT

S n i n n in n

E i n h K C

E i n K

위 식으로 계산된 모드별 감쇠비는 응답 스펙트럼해석 및 모드중첩법, 직접적분법

에 의한 시간이력해석에서 동일하게 적용됩니다.


mid

as C

ivil


midas Civil의 응답스펙트럼해석(Response Spectrum Analysis)에서 지반운동이 가해

지는 구조물의 동적 평형방정식은 다음과 같습니다.

여기서 [M] : 질량행렬 (Mass Matrix)

[C] : 감쇠행렬 (Damping Matrix)

[K] : 강성행렬 (Stiffness Matrix)

wg : 지반가속도

이고, u(t)와 ( )u t , ( )u t 은 각각 상대변위, 속도, 가속도를 의미합니다.

응답스펙트럼해석법은 다자유도시스템을 단일자유도시스템의 복합체로 가정하여

미리 수치적분 과정을 통해 계산된 임의 주기(또는 진동수) 영역내의 최대응답치에

대한 스펙트럼(가속도, 속도, 변위 등)을 이용하여 조합 해석하는 방법으로 설계용

스펙트럼을 이용한 내진설계에 주로 활용됩니다.

응답스펙트럼해석법에서는 임의 모드에서의 최대응답치를 각 모드별로 구한 다음,

적정한 조합방법을 이용하여 조합함으로써 최대응답치를 예견하게 됩니다. 예를

들어 내진 해석시 임의 모드의 임의 자유도에 대한 변위와 관성력은 식 (1)과 같

이 계산됩니다.

xm m xm dmd S , xm m xm am xF S W (1)

여기서

m : m차 모드에서의 모드기여계수

mx : 임의 x위치에서의 m차 모드벡터

Sdm : m차 주기에서의 Normalized Spectral Displacement

Sam : m차 주기에서의 Normalized Spectral Acceleration

Wx : 임의 x 위치에서의 질량

구조해석 프로그램에서 임의 주기치에 대한 Spectral Data가 입력되면 해석된 고유

( ) ( ) ( ) ( )gM u t C u t K u t M w t

Chapter 5. 응답스펙트럼 해석

Chapter 5 | 응답스펙트럼 해석


mid

as C

ivil

주기에 해당하는 Spectral Value를 찾기 위해 일반적으로 선형보간법을 사용하기

때문에 Spectral Curve의 변화가 많은 부위에 대해서는 가능한 세분화된 데이터를

사용하는 것이 바람직합니다. (그림 2.5.1 참조) 그리고 Spectral Data의 주기범위

는 반드시 고유치해석시 산출된 최소·최대 주기범위를 포함할 수 있도록 입력되어

야 합니다. 그리고 midas Civil에서는 내진해석시 사용되는 Spectral Data를 규준에

따른 동적계수, 지반계수, 지역계수, 중요도계수, 반응수정계수 등의 입력으로 쉽게

생성할 수 있어 편리합니다. 반응수정계수 값은 부재 설계시 적용되는 것이 보다

일반적인 방법입니다.

midas Civil은 전체좌표계 X-Y 평면의 임의의 방향과 Z방향에 대한 응답스펙트럼해

석이 가능하며, 모드별 해석결과의 조합(Modal Combination)은 사용자의 선택에 따

라 CQC(Complete Quadratic Combination)방법과 SRSS(Square Root of the Sum of

the Squares)방법 등을 사용할 수 있습니다.

각 모드별 응답을 조합하는 방법은 다음과 같습니다.

- SRSS (Square Root of the Sum of the Squares

1 22 2 2max 1 2 nR R R R (2)

- ABS (ABsolute Sum)

max 1 2 nR R R R (3)

- CQC (Complete Quadratic Combination)

(4)

여기서

Rmax : 최대응답치

Ri : 임의 i차 모드에서의 최대응답치

r : i번째 모드에 대한 j번째 모드의 고유진동수 비율

: 감쇠비 (Damping Ratio)

2 3 2

2 2 2 2

8 (1 )

(1 ) 4 (1 )

ij

r r

r r r

j

i

r

,

1 2

max1 1

N N

i ij ji j

R R R

midas Civil에서는 모드별

조합과정에서 삭제된 부호

를 재생하여 응답스펙트럼

해석결과에 반영할 수 있

다.


mid

as C

ivil


상기 식 (4)에서 i = j 이면, 감쇠비()에 관계없이 ρij = 1이 되고, 감쇠비()가 0인

경우 CQC와 SRSS의 결과가 동일한 값을 가집니다.

위 방법 중에서 ABS가 가장 큰 조합치를 산출합니다. SRSS는 고유진동수들이 근

접한 값을 가질 경우, 조합결과가 과대 또는 과소평가 되는 경향이 있기 때문에

종래에는 SRSS가 주로 사용되었으나 최근에는 모드간 확률적인 상관도를 고려할

수 있도록 고안된 CQC방법의 사용이 늘고 있습니다.

예를 들어, 감쇠비가 0.05이고 3개의 자유도를 가진 구조물의 고유진동수와 각 모

드별 변위가 다음과 같이 계산되었을 경우, SRSS와 CQC의 적용결과를 비교하면


- 고유진동수

1 0.46 , 2 0.52 , 3 1.42

- 모드별 최대변위 : Dij (j 고유차수에 대한 i 자유도의 변위성분)

- 각 자유도에 대한 응답치를 SRSS에 의해 구하면

1 22 2 2max 1 2 3 0.042 0.046 0.052R R R R

그리고 CQC를 사용하여 구하면

12 21 0.3985

13 31 0.0061

23 32 0.0080

1 22 2 2max 1 2 3 12 1 2 13 1 3 23 2 32 2 2R R R R R R R R R R

0.046 0.041 0.053

0.036 0.012 0.019

0.012 0.044 0.005

0.049 0.002 0.017

ijD

Chapter 5 | 응답스펙트럼 해석


mid

as C

ivil

상기의 두 가지 결과를 비교해보면 SRSS 방법을 사용할 경우가 CQC에 비해 첫

번째 자유도성분에 대해서는 과소평가되고, 두번째 자유도성분에 대해서는 과대평

가 되었습니다. 따라서 고유진동수들이 상대적으로 근접한 값을 가질 때 SRSS 방

법은 과소 또는 과대평가된 결과를 산출함을 알 수 있습니다.

그림 2.5.1 스펙트럼곡선 및 임의 주기에 대한 스펙트럼데이터의 참조 방법

7 6( 6) 6

7 6x x

S SS T T S

T T

Spe

cial

Dat

a

Period(Sec)

natural period obtained byEigenvalue analysis


mid

as C

ivil


midas Civil의 시간이력해석(Time History Analysis)에 사용된 동적평형방정식은 다음

과 같습니다.

[ ] ( ) [ ] ( ) [ ] ( ) ( )M u t C u t K u t p t

여기서 [M] : 질량행렬 (Mass Matrix)

[C] : 감쇠행렬 (Damping Matrix)

[K] : 강성행렬 (Stiffness Matrix)

p(t) : 동적하중

이고, u(t)와 ( )u t , ( )u t 는 각각 변위, 속도, 가속도를 의미합니다.

시간이력해석은 구조물에 동적하중이 작용할 경우에 동적 평형방정식의 해를 구하

는 것으로, 구조물의 동적특성과 가해지는 하중을 사용하여 임의의 시간에 대한

구조물 거동(변위, 부재력 등)을 계산하게 됩니다. midas Civil에서는 시간이력해석

을 위해 모드중첩법(Modal Superposition Method)과 직접적분법(Direct Integration)을

사용하고 있습니다.

다음은 모드중첩법과 직접적분법에 대한 개략적인 개념과 데이터의 입력시 주의해

야 할 사항을 서술합니다.

Chapter 6. 시간이력해석

Chapter 6 | 시간이력해석


mid

as C

ivil

구조물의 변위를 서로 직교성을 갖는 변위형상의 선형조합 형태로 구하는 방법으

로 다음 식과 같이 표현됩니다. 이 방법에서는 감쇠행렬이 질량행렬과 강성행렬의

선형조합으로 이루어질 수 있다고 가정합니다.

C M K (1)

( ) ( ) ( ) ( )T T T TM q t C q t K q t F t (2)

( ) ( ) ( ) ( )i i i i i i im q t c q t k q t P t ( 1, 2,3, , )i m (3)

( ) ( )m

i ii j

u t q t

(4)

(5)

여기서 21Di i i

, : Rayleigh 계수

i : i 번째 모드의 감쇠비

i : i 번째 모드의 고유주기

Φi : i 번째 모드 형상

qi(t) : i 번째 모드에 의한 단자유도 방정식의 해

시간이력해석에서 구조물의 변위는 식 (4)와 같이 모드 형상과 단일자유도계 방정

식의 해와의 곱으로 결정되고, 변위의 정확성은 사용하는 모드 수에 영향을 받습

니다. 이 방법은 구조해석 프로그램에서 가장 많이 사용되는 것으로 대형구조물의

선형 동적해석에 매우 효과적인 방법입니다. 그러나 비선형 동적해석이나 특별한

감쇠장치가 포함되어 감쇠를 강성과 질량의 선형 조합으로 가정할 수 없을 경우

사용할 수 없는 단점이 있습니다.

모드중첩법을 이용할 경우 요구되는 데이터와 입력시 주의사항은 다음과 같습니다.

( )

0

1( ) sin ( )i i

t ti Di

i Di

P e t dm

(0) (0)( ) (0)cos sini i t i i i i

i i Di DiDi

q qq t e q t t


mid

as C

ivil


전체 해석시간(또는 해석횟수) : 해석하고자 하는 시간이나 해석횟수

해석시간 간격 : 해석에 사용되는 시간간격으로, 해석의 정확성에 상당 한

영향을 미칠 수 있으며, 시간간격의 크기는 구조물의 고차모드의 주기나

하중의 주기와 밀접한 관계를 갖습니다. 해석시간 간격은 식 (5)의 적분항

에 직접적인 영향을 주게 되어 부적절한 값이 입력되는 경우 부정확한 결

과를 나타낼 수 있습니다. 일반적으로 고려하고자 하는 최고차모드 주기의

1/10 정도의 시간간격이 타당합니다. 또한, 해석시간 간격은 입력된 하중

의 시간간격보다는 작아야 합니다.

Tp = 고려하고자 하는 최고차모드 주기

모드별 감쇠비(또는 Rayleigh 계수) : 구조물의 감쇠를 결정하기 위해 필요

로 하는 값으로 전체 구조물의 감쇠비나 각 모드별 감쇠비

동적하중 : 구조물의 절점이나 기초부에 직접 가해지는 동적하중으로 시간

의 함수로 표시되며, 전체 하중 변화를 충분히 나타낼 수 있어야 합니다.

입력되지 않은 시간에서의 하중 값은 선형보간하여 사용합니다.

10pT

t



mid

as C

ivil

직접적분법은 동적평형방정식을 시간에 따라 점진적으로 적분하여 해를 구하는 방

법입니다. 평형방정식의 형태 변화 없이 시간단계마다 적분을 사용하여 해를 구하

게 되고 사용방법에 따라 다양한 적분방법이 사용될 수도 있습니다. midas Civil 에

서는 수렴성이 좋은 Newmark 방법을 사용하여 직접적분법을 수행하고 있습니다.

기본적인 가정과 적분방법은 아래와 같습니다.

[기본가정]

Δ[( ) ]

t t t t t tu u 1 u u t

(6)

ΔΔ [( ) ]Δ

1

2

t t t t t t t 2u u u t u u t

(7)

식 (7)에서 t tu 를 구하고 이 값을 식 (6)에 대입하여 t tu 를 계산하면 식 (8)과

같이 이전 단계의 변위, 속도, 가속도와 현재의 변위로 표현할 수 있습니다.

t t t t t t tu f ( u , u , u , u )

Δt t t t t t tu f ( u , u , u , u ) (8)

식 (8)의 값들을 식 (9)와 같은 동적 평형방정식에 대입하면 이전 단계의 변위, 속

도, 가속도와 현단계 변위에 대한 식으로 나타낼 수 있고, 식 (11)과 같은 식으로

현단계의 변위를 계산할 수 있습니다. 현단계의 변위를 구하면 이 값과 이전 단계

의 값들을 사용하여 식 (12)과 같이 현단계의 가속도와 속도를 계산할 수 있습니

다. 감쇠는 식 (13)과 같이 강성과 질량을 사용하여 비례식으로 계산합니다.

[ ] [ ] [ ]t t t t t t t tM u C u K u p (9)

[ ] [ ] [ ] [ ]( )

[ ]( )

t t t t t t t

0 1 0 2 3

t t t

1 4 5

K a M a C u p M a u a u a u

C a u a u a u

(10)


mid

as C

ivil


[ ]t t t tˆ ˆK u p (11)

[ ] [ ] [ ] [ ]0 1

K K a M a C

[ ]( ) [ ]( )t t t t t t t t t t

0 2 3 1 4 5p p M a u a u a u C a u a u a u

( )t t t t t t t

0 2 3u a u u a u a u t t t t t t

6 7u u a u a u (12)

여기서 20

1

ta

1t

a

2

1

ta

3

11

2a

41a

5

t2

2a

( )

6t 1a

7ta

, : Newmark 적분 변수 ( = 0.5, = 0.25 인 경우에는 항상 안정)

t : 적분 시간간격

[ ]C [ ] [ ]a K b M (13)

여기서 a , b : 감쇠계산을 위한 질량과 강성의 비례상수

강성이나 감쇠의 비선형성을 고려한 해석을 위해서는 대부분의 경우 직접적분방법

을 사용해야 합니다. 직접적분법의 경우는 모든 시간단계에 대하여 해석을 수행하

기 때문에 시간단계의 수에 비례하여 해석시간이 소요됩니다. 직접적분방법의 사

용시에 요구되는 데이터와 입력시 주의사항은 다음과 같습니다.

전체 해석시간(또는 해석횟수) : 해석하고자 하는 시간이나 해석횟수

해석시간 간격 : 해석에 사용되는 시간간격으로, 해석의 정확성에 상당 한

영향을 미칠 수 있으며, 시간간격의 크기는 구조물의 고차모드의 주기나

하중의 주기와 밀접한 관계를 갖습니다. 해석시간 간격은 식 (10)의 적분

항에 직접적인 영향을 주게 되어 부적절한 값이 입력되는 경우 부정확한

결과를 나타낼 수 있습니다. 일반적으로 고려하고자 하는 최고차모드 주기



mid

as C

ivil

의 1/10 정도의 시간간격이 타당합니다. 또한, 해석시간 간격은 입력된 하

중의 시간간격보다는 작아야 합니다.

Tp = 고려하고자 하는 최고차모드 주기

해석시간 간격의 수에 따라 해석 소요시간이 비례하여 증가하기 때문에

필요이상으로 작게 하지 않는 것이 적합합니다.

강성과 질량을 사용한 감쇠의 정의 : 강성과 질량의 비례식으로 감쇠를 정

의합니다.

시간적분방법 : Newmark 방법의 적용 시 필요한 적분변수를 입력합니다.

Constant Acceleration 인 경우에는 모든 조건하에서 발산하지 않고 안정적

으로 수렴한 값을 계산하지만 Linear Acceleration 인 경우에는 조건에 따

라서 수렴하지 않을 수도 있습니다. 가능한 Constant Acceleration에 해당

하는 적분변수를 사용하는 것이 타당합니다.

동적하중 : 구조물의 절점이나 기초부에 직접 가해지는 동적하중으로 시간

의 함수로 표시되며, 전체 하중 변화를 충분히 나타낼 수 있어야 합니다.

입력되지 않은 시간에서의 하중 값은 선형보간하여 사용합니다.

다음은 사용자의 이해를 돕기 위해 구조물의 동적해석에 필요한 기초적인 사항을

서술한 것입니다.

그림 2.6.1은 단일자유도 구조물의 운동을 이상화한 것입니다. 단일자유도계에 작

용하는 힘들에 대한 평형방정식은 다음과 같습니다.

( ) ( ) ( ) ( )I D Ef t f t f t f t (14)

( )If t (관성력)는 구조물의 운동속도가 변화하는데 대해 저항하려는 관성효과를 힘

으로 나타낸 것으로, 크기는 ( )mu t 가 되며 작용방향은 가속도의 반대방향입니다.

( )Ef t (탄성력)는 구조물에 변형이 발생하면 구조계가 이에 저항하여 원위치로 복

귀하려는 성질에 따른 탄성복원력으로, 그 크기는 ( )ku t 이며 작용방향은 변위와

10pT

t


mid

as C

ivil


반대방향입니다. ( )Df t (감쇠력)는 구조물에 추가의 외력을 가하지 않을 경우, 내부

마찰 등으로 인한 운동에너지의 소멸로 운동의 진폭이 점점 작아지는 현상을 고려

하기 위한 구조계 내부의 가상의 힘이며, 그 크기는 ( )cu t 이고, 작용방향은 운동속

도와 반대방향입니다.

(a) 모델 (b) 평형 상태도

그림 2.6.1 단일자유도 구조물 운동계

위의 각 힘들을 정리하면 다음과 같습니다.

( )If mu t

( )Df cu t (15)

( )Ef ku t

위에서 m은 질량, c는 감쇠계수, k는 탄성계수입니다. 그림 2.6.1(b)의 힘의 평형관

계로부터 변위에 대한 단일자유도 구조물의 운동방정식은 다음과 같습니다.

( )mu cu ku f t (16)

위 식에서 ( ) 0f t 으로 두면 자유진동에 대한 방정식이 되고, 여기에 0c 인

조건을 추가하면 비감쇠 자유진동방정식이 됩니다. 그리고 ( )f t 를 임의 시간에 대

한 가진력(또는 가진변위, 속도, 가속도 등)으로 두면 강제진동 해석문제가 되며,

모드중첩법(Mode Superposition Method) 또는 직접적분법(Direct Integration Method)

을 이용하여 해를 구할 수 있습니다.

(elastic force)

(damping force) (external

force)(inertia force)



mid

as C

ivil

장대교량과 같이 지지점이 공간적으로 멀리 떨어져 있는 경우에 구조물에 입력되

는 지진하중에 시간지연효과가 발생하게 됩니다. 이러한 경우에는 각 지지점 별로

해당 지지점에 맞는 지진하중을 입력하여 해석하는 것이 좀더 나은 해를 구할 수

있습니다. 다중지점의 지진하중을 받는 구조물의 운동방정식은 식 (27)과 같습니다.

다중지점의 지진하중 입력을 고려한 해석시에는 모든 변위, 속도, 가속도값이 절대

값에 대하여 계산됩니다. 다중지점 지진하중을 고려한 해석 결과는 여러 개의 지

지점에서 지진하중이 입력되기 때문에 기준점을 정할 수 없어 절대값에 대하여 결

과를 출력합니다. 절대값으로 결과를 출력하면 변위, 속도, 가속도 결과값이 지반

거동을 포함하게 됩니다. 부재력이나 반력의 경우에는 절점간의 상대변위를 사용

하여 계산하므로 절대값이나 상대값 출력에 영향을 받지 않습니다.

0( ) ( ) ( )

( )( ) ( ) ( )

t t tss sg ss sg ss sgs s s

t t tgs gg gs gg gs gg gg g g

M M C C K Ku t u t u t

M M C C K K P tu t u t u t

(17)

여기에서 s 와 g 는 각각 상부구조물과 지점부를 의미합니다. t 는 절대변위를 의미

합니다.

지지점의 운동 ( ), ( ), ( )t t tg g gu t u t u t 은 지지점별로 입력을 해야합니다. 절대변위를

지반변위에 의한 변위( ( )ssu t )와 이를 제외한 동적변위( ( )su t )로 구분하면 식(2)와

같습니다.

( ) ( ) ( )

( ) ( ) 0

t ss s stg g

u t u t u t

u t u t

(18)

( )gu t 는 지지점 변위이며 ( )ssu t 를 정적으로 구조물에 작용하였을 때 발생하는

상부구조물의 변위로서 유사정적변위(Quasi-static Displacement) 라고 하며 식 (19)

와 같은 관계를 갖습니다. ( )sgP t 은 지지점의 변위( ( )gu t )를 구조물에 가하기 위

해 필요한 유사정적 지점하중(Quasi-static Support Force)입니다.


mid

as C

ivil


0( )

( )( )

sss sg s

sgs gg gg

K K u t

K K P tu t

(19)

식 (17)의 첫번째 식을 전개하고 식 (18)를 적용하여 정리하면 식 (20)와 같습니다.

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) 0

s sss s s sg g ss s s sg g

sss s s sg g

M u t u t M u t C u t u t C u t

K u t u t K u t

(20)

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

ss s ss s ss s eff

s seff ss s sg g ss s

ssg g ss s sg g

M u t C u t K u t P t

P t M u t M u t C u t

C u t K u t K u t

(21)

식 (19)의 첫번째 항을 정리하면 식 (6)과 같습니다.

1

( ) ( ) 0

( ) ( )

sss s sg g

ss f g

f ss sg

K u t K u t

u t I u t

I K K

(22)

fI 는 영향행렬이라 하며 지지점의 변위에 의한 구조물의 변위를 나타냅니다. 식

(22)을 식 (21)에 대입하여 정리하면 다음과 같습니다.

( ) ( ) ( )eff ss f sg g ss f sg gP t M I M u t C I C u t (23)

감쇠행렬이 강성비례감쇠 행렬이라고 가정하면 식 (24)로 나타낼 수 있습니다.

( ) ( ) 0ss f sg g ss f sg gC I C u t K I K u t (24)

( ) ( )eff ss f sg gP t M I M u t (25)



mid

as C

ivil

질량이 집중질량이라고 가정하면 식 (21)에서의 운동방정식과 유효지진하중은 식

(26)과 같습니다.

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

ss s ss s ss s eff

eff ss f g

M u t C u t K u t P t

P t M I u t

(26)

참고로 균등 지진하중이 입력되는 경우의 운동방정식은 다음과 같습니다.

( ) ( ) ( ) ( )

( ) 1 ( )

eff

eff g

Mu t Cu t Ku t P t

P t M u t

(27)

최종적인 절대값 기준의 변위, 속도, 가속도는 식 (28)과 같이 계산됩니다.

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

t ss s s

t ss s st ss s s

u t u t u t

u t u t u t

u t u t u t

(28)

다중지점 지진입력에 대한 시간이력해석은 선형시간이력 해석에만 반영되고 있습

니다.


mid

as C

ivil


midas Civil의 선형좌굴해석기능(Linear Buckling Analysis)은 트러스, 보요소 판요소

또는 솔리드요소로 구성된 구조물의 임계하중계수(Critical Load Factor)와 그에 해

당되는 좌굴모드형상(Buckling Mode Shape)을 해석하는데 사용됩니다. 일정한 변형

상태에서구조물의 정적 평형방정식은 다음과 같습니다.

[ ]{ } [ ]{ } { }GK U K U P (1)

여기서 [ ]K : 구조물의 탄성강성행렬

[ ]GK : 구조물의 기하강성행렬

U : 구조물의 전체변위

P : 구조물에 작용하는 하중

구조물의 기하강성행렬은 각 요소의 기하강성행렬을 합하여 계산되고, 각 요소별

기하강성 행렬은 다음과 같이 구해집니다. 여기에서 기하강성행렬은 구조물이 변

형된 상태에서 강성이 변화된 상태를 나타내며 작용하는 하중과 직접적인 관계를

갖습니다. 가령 임의의 부재에 압축력이 작용하면 강성이 감소하는 경향을 가지고,

반면에 인장력이 작용하면 강성이 증가하는 경향을 가집니다.

여기서 : 각 부재별 표준 기하강성행렬

F : 부재력 (축력 - 트러스, 보요소의 경우)

[ ]Gk

[ ] [ ]G Gk F k

[ ] [ ]G GK k

Chapter 7. 좌굴해석

Chapter 7 | 좌굴해석


mid

as C

ivil

- 트러스 부재의 표준 기하강성행렬

- 보 부재의 표준 기하강성행렬

여기서, : 축방향 부재력에 의한 기하강성행렬

: 전단력과 모멘트에 의한 기하강성행렬

여기서, : 변형률과 변위관계 행렬

: 휨 모멘트, 비틀림 모멘트와 전단력으로 구성된 행렬 [ ]S

[ ]G

2[ ] [ ] [ ][ ]TG L

k G S G dL

0

60

56

0 0 .5

0 0 0 0

1 20 0 0

10 151 2

0 0 0 010 15

0 0 0 0 0 0 0

6 1 60 0 0 0 0

5 10 56 1 6

0 0 0 0 0 05 10 5

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

1 1 20 0 0 0 0 0 0

10 30 10 151 1 2

0 0 0 0 0 0 0 010 30 10 15

G

L

symmL

L

L

k

L L

L L

L L

L L

2[ ]Gk

1[ ]Gk

1 2[ ] [ ] [ ]G G Gk k k

0

10 .

10 0

0 0 0 0

1 10 0 0

1 10 0 0 0

G

symmL

Lk

L L

L L


mid

as C

ivil


- 판요소 및 솔리드요소의 기하강성행렬

여기서 : 변형률과 변위관계 행렬

: 요소의 응력 행렬

기하강성행렬을 하중계수와 입력된 하중을 받는 구조물의 기하강성행렬의 곱으로

나타내면 식 (2)와 같습니다.

[ ] [ ]G GK K (2)

여기서 : 임계하중계수

[KG]: 좌굴해석을 위해 입력된 하중을 받고 있는 구조물의 기하강성행렬

[ ]{ } { }GK K u p (3)

[ ] [ ]eq GK K K

위 식과 같은 평형방정식에서 구조물이 불안정한 상태가 되려면 특이해를 가져야

합니다. 즉 등가강성행렬의 행렬식이 영(Zero)이 되는 경우에 좌굴이 발생하게 됩

니다.

[ ] 0eqK ( )cr : 불안정한 평형상태

[ ] 0eqK ( )cr : 불안정한 상태

[ ] 0eqK ( )cr : 안정한 상태

그러므로, 식 (3)에서 좌굴해석을 위한 문제는 식 (4)와 같은 고유치 문제로 귀결

됩니다.

[ ]xx xy zx

xy yy yz

zx yz zz

S

[ ]G

0 0

[ ] [ ] 0 0 [ ]

0 0

TG v

s

k G s G dV

s

Chapter 7 | 좌굴해석


mid

as C

ivil

[ ] 0I GK K , i : 고유치(임계하중계수) (4)

이 문제는 "고유치 해석"에서와 같은 방법으로 풀 수 있습니다.

고유치 해석을 통해 얻어지는 값은 고유치값과 고유모드가 있는데, 고유치값은 임

계하중계수가 되고 고유모드는 임계하중에 해당하는 좌굴형상이 됩니다. 임계하중

은 초기하중으로 주어진 값과 임계하중계수를 곱한 값으로 구해집니다. 임계하중

과 좌굴형상은 입력된 구조물에 임계하중이 작용할 경우, 좌굴모드와 같은 형상으

로 구조물의 좌굴이 발생하게 된다는 것을 의미합니다.

예를 들어 초기하중이 10만큼 작용하는 구조물에 좌굴해석을 수행하여 임계하중계

수 5를 얻었다면, 이 구조물은 50의 하중이 작용할 때 좌굴이 발생하게 됩니다.

그러나, 구조물의 좌굴은 대부분 기하적으로나 재료적으로 대변형이나 비선형상태

에서 발생하기 때문에 실제 문제에 있어서 적용은 제한적이라고 할 수 있습니다.


mid

as C

ivil


midas Civil에서의 선형좌굴해석은 트러스, 보요소, 판요소, 솔리드요소로 제한되며,

해석과정은 다음과 같은 2단계의 해석과정이 수반되고, 해석의 순서도는 그림

2.7.1과 같습니다.

1. 사용자가 입력하는 하중조건하에서 선형정적해석을 수행하는 과정으로, 해

석된 구조 부재의 부재력 또는 응력을 적용하여 해당부재의 기하강성행렬

(Geometric Stiffness Matrix)을 구성합니다.

2. 위에서 계산된 기하강성행렬과 탄성강성행렬을 사용하여 고유치 문제를 계

산합니다.

이 과정에서 얻어지는 고유치값은 임계하중계수가 되고 고유모드는 좌굴형상이 됩

니다.

그림 2.7.1 좌굴해석 개념도

구조물 해석모델 입력

전체 강성행렬 및좌굴해석을 위한 하중행렬 구성

정적해석 수행 및 요소별 기하강성행렬 구성

전체 기하강성행렬 구성

전체강성과 기하강성을 사용한 고유치 해석

Chapter 8 | 비선형 해석


mid

as C

ivil

구조물의 선형-탄성 거동을 해석하는 경우에는 변위와 하중이 서로 비례관계에 있

다는 가정을 전제로 합니다. 이러한 가정은 재하 되는 하중에 대하여 재료의 응력

-변형율 관계가 선형이고, 하중이 구조물의 강성에 비해 상대적으로 작아서 발생

하는 변위가 미소하여 기하학적 형태가 변하지 않는 경우에 적용 가능합니다.

일반적인 설계조건에서는 대부분의 구조물에서 선형가정을 전제로 해석을 수행하

게 되지만 대변형이 발생하는 경우나 응력이 탄성범위를 초과하는 경우에는 반드

시 구조물의 비선형 해석을 수행하여야 합니다.

비선형 해석은 아래와 같이 크게 세 가지로 구분할 수 있습니다.

첫째, 구조물에 상대적으로 큰 하중이 재하 되어 응력이 커지면 응력-변형율 관계

가 비선형으로 변하여 비선형 거동을 하게 되는데 이를 재료 비선형이라고 합니다.

아래 그림 2.8.1과 같은 응력-변형율의 관계로 표현되며 하중재하 방법과 재료에

따라서 다양한 형태의 응력-변형율 관계가 발생합니다.

그림 2.8.1 재료 비선형 해석에 사용되는 응력-변형율 관계

둘째, 구조물에 상대적으로 큰 변형이 발생하고 기하학적 형태가 변하여 변위-변형

Chapter 8. 비선형 해석


mid

as C

ivil


율 관계가 비선형이 되는 경우에 미소변형해석에서 무시하였던 변위-변형율 관계

의 고차항을 포함하여 해석을 하게 되는데 이를 기하학적 비선형이라고 합니다.

기하비선형성은 재료의 선형 상태에서도 발생이 가능하고 변형이 크게 발생할 수

있는 구조물의 경우 설계를 위한 해석에서도 사용됩니다. 기하비선형은 재질과 관

계없이 구조물의 형상에 따라 발생하게 되는데 하중에 따른 변위가 크게 발생하여

구조물의 좌표가 변화하거나 모멘트와 같은 부가 하중이 발생할 경우에는 반드시

고려해야 합니다. (그림 2.8.2 참조)

셋째, 하중에 의한 구조물의 변형에 따라 경계조건이 변화하는 구조물에서 발생하

는 하중-변위의 비선형 관계를 경계비선형이라 합니다. 지반과 접하는 구조물의 압

축전담 경계조건 등에 대한 문제들이 경계비선형 문제에 해당됩니다.

midas Civil에서의 비선형 해석 기능은 비선형 요소(인장/압축 전담 요소)를 사용한

경계비선형 해석기능과 구조물에 상대적으로 큰 변위가 발생하는 경우에 필요로

하는 기하비선형 해석기능을 포함하고 있습니다. 또한 재료의 비탄성을 고려하는

정적재료비선형 및 비탄성 시간이력해석 기능을 포함하고 있습니다.

(a) 구조물의 대변형에 따른 강성의 변화

(b) 변형에 따른 부가 하중의 발생

그림 2.8.2 기하비선형 해석이 요구되는 구조계



mid

as C

ivil

선형해석에서 사용하는 미소변형(ij)은 회전이 작다는 가정하에서 다음과 같이 정

의됩니다.

u는 변위이며 ( , )는 최초 좌표에 대한 미분을 나타냅니다. 그림 2.8.3과 같

이 대변형이 발생하는 경우에 더 이상 Small Strain으로는 구조물의 변형을 정확히

표현할 수 없게 됩니다. 대변형은 다음 식과 같이 회전성분과 회전이 아닌 성분으

로 분리할 수 있습니다. F는 변위텐서(Deformation Tensor), R은 회전변위 텐서

(Rotation Tensor) 그리고 U는 변형텐서 (Stretch Tensor)를 나타냅니다. 실제 구조

물에 발생하는 변형은 U에 따라 결정됩니다.

F RU , ( )f U

그림 2.8.3 대변형에 의한 기하학적 비선형성

위 식의 전체 변형에서 회전성분을 제거하여야 정확한 변형률(Strain)의 계산이 가

능하므로 회전량이 큰 경우 처음부터 정확한 변형률-변위 관계를 알 수는 없습니

다. 즉 선형해석에서 계산된 변위에 따라 변형률이 변하게 되므로 기하학적 비선

형이 도입됩니다.

.j iu,i ju

, .

1( )

2ij i j j iu u


mid

as C

ivil


midas Civil의 기하비선형 해석은 Co-rotational 방법을 사용하는데 이 방법은 변형

되는 요소에 부착되어 요소의 회전에 따라 움직이는 Co-rotational 좌표계에서

Strain을 사용하여 기하학적 비선형성을 고려하는 방법입니다. Co-rotational 좌표계

에서의 변형률-변위 관계는 행렬식 ˆˆ ˆBu 와 같이 표현할 수 있으며 선형해석에

서와 같은 변형률-변위 관계 행렬을 사용할 수 있습니다. 즉 기하학적 비선형이 도

입되어도 선형해석에 사용된 요소의 안정성 및 수렴성이 유지된다는 것을 의미하

므로 우수한 선형요소의 특성이 유지된다는 장점을 가지고 있습니다.

Co-rotational 좌표계에서의 변위 u 는 관계식 1 2 3 1 2 3( , , , , , , )u f e e e e e e e 에 의하여

계산되며 미소변위 u 는 선형화하여 u T u 으로 표현할 수 있습니다. Co-

rotational 좌표계에서의 선형 탄성문제의 경우 동시회전 좌표계에서의 요소내력 intp 는 다음 식으로 구할 수 있습니다.

여기서 는 동시회전 좌표계에서 표현된 응력이고, 위 식에 대해 변분을 취하면

다음 식을 얻을 수 있습니다.

위 식에서 K 는 기하강성행렬 또는 초기응력 강성행렬(Initial Stress Stiffness

Matrix)이고, 내력과 외력의 평형관계를( 0ext intp p ) 사용하면 다음 식과 같은

비선형 평형방정식을 구성할 수 있습니다.

( ) extK K u p

비선형 평형방정식의 해를 구하는 방법으로는 Newton-Raphson 방법과 Arc-length

방법이 있습니다. 일반적인 해석인 경우에는 하중제어 방법인 Newton-Raphson 방

법을 사용하고 Snap-through나 Snap-back과 같은 문제에 대하여는 변위제어 방법

인 Arc-length 방법을 사용하면 적절한 해석을 할 수 있습니다.

ˆ ˆ( )K K u intp

intp 0

ˆT

dv

B dV

^ ^ ^ ^



mid

as C

ivil

midas Civil의 기하비선형 해석에 사용할 수 있는 요소에는 트러스, 보, 판요소가

있으며 기타의 요소가 같이 사용될 경우에는 강성만 고려되고 기하비선형성은 고

려되지 않습니다.

8-2-1 Newton-Raphson 반복법

외력이 작용하는 구조물의 기하비선형 해석에서는 기하강성이 변위의 함수 형태로

나타나고 변위가 다시 기하강성의 영향을 받기 때문에 반복해석이 필요합니다.

Newton-Raphson 방법은 일반적으로 많이 사용되는 방법으로 그림 2.8.4와 같이

주어진 외력과 평형조건을 이루는 변위를 계산하게 됩니다. 하중-변위의 평형방정

식에서 주어진 하중에 대해 평형이 만족되도록 반복 계산할 때마다 강성행렬을 재

구성하고, 이를 이용하여 근사해를 반복적으로 수정하여 허용오차의 범위내의 근

사해를 구합니다.

( )K K u p , TK u p

TK K K , ( )K f u

1 1( )( )T m m m mK u u u R

그림 2.8.4 Newton-Raphson Method


mid

as C

ivil


Taylor 전개식 ( ( ) ( ) ( ) )n n ny x h y x y x h 에 의해 위 식의 좌변을 전개하면, 다음

과 같습니다.

1 11

( ) RT m m m

m

dRK u R F R

du

의 관계를 위 식에 대입하여 정리하면, 다음과 같

습니다.

1 1( ) RT m m m mK u u R R R ( RR : Residual Force)

해석의 과정은 그림 2.8.4에서 묘사됩니다. mu 이 계산되면, 변위를

1m m mu u u 의 식에 의해 보정합니다. 다시 반복 과정을 적용하기 위해 새로

운 접선 강성 ( )T mK u 과, 불균형 하중 1m mR R 을 계산하고 이에 의해 보정된

변위 1mu 를 구합니다.

이상의 반복과정 중에서 한 스텝에서의 변위, 에너지, 혹은 하중의 증분량이 수렴

한계 내에 들어올 때까지 반복하여 해를 계산합니다.

8-2-2 Arc-length 반복법

일반의 반복 과정에서는 하중-변위 곡선이 거의 수평인 경우, 변위 증분의 계산값

이 매우 커질 수 있습니다. 즉, 하중 증분을 고정적으로 두면, 변위는 매우 큰 값

을 갖습니다. Arc-length 방법을 사용하면 이 문제를 해결할 수 있으며, 변위 제어

법을 사용하는 경우와 같이 Snap-through 거동(그림 2.8.5(a) 참조)을 해석할 수 있

습니다. 또한, Arc-length 방법은 변위 제어법으로 해석할 수 없는 Snap-back 거동

도 해석할 수 있습니다. (그림 2.8.5(b) 참조)

Arc-length 방법은 증분 변위의 Norm을 미리 정의된 값으로 구속합니다. 이 증분

의 크기는 반복과정 내에서는 고정적으로 적용되지만, 증분의 시작시에는 고정되

어 있지 않습니다. 증분의 크기를 결정하기 위해서 다음과 같은 과정을 따릅니다.

(그림 2.8.5(c) 참고)

1 1 1 11

( )( ) ( )T m m m T m m mm

dRK u u u K u u u

du



mid

asCi

vil

(a) Snap-through (b) Snap-back

(c) Arc-length Method의 개념도

그림 2.8.5 Arc-length Method

증분 시작시의 외력 벡터를 mR 으로, 외력 벡터의 증분을 i f 로 정의합니다. 하

중 계수 i 는 단위 하중 f에 곱해지고 매 반복단계마다 변하게 됩니다.

1( ) RT i i iK u u R

11 int 1 int( ) ( ( ) ( ))i T i m iu K u f u f u

위 방정식의 해는 다음과 같이 두 부분으로 나눌 수 있고, 증분 변위는 다음과 같

이 구할 수 있습니다.

1 11 int 1 int 1( ) ( ( ) ( )), ( )I II

i T i m i i T iu K u f u f u u K u f

I IIi i i iu u u


mid

as C

ivil


midas Civil에서는 하중 계수 i 를 구면경로법(Spherical Path)을 사용하여 구하고

이 방법의 구속 조건식은 다음과 같습니다.

2Ti iu u l

l 은 구속하고자 하는 변위의 길이이고, 1i i iu u u 의 식을 위 식에 대입하

면 하중 계수 i 는 다음과 같이 계산됩니다.

21 2 3 0a a a

22 2 1 3

1

4

2i

a a a a

a

여기서 1

2 1

23 1 1 1

( )

2( ) 2( )

2( ) ( ) ( )

II T IIi i

I T II T IIi i i i

T I I T I Ti i i i i i

a u u

a u u u u

a u u u u u u l

일반적으로 위 식의 해는 2개 이지만, 복소수 해의 경우에는 구면경로법의 선형

동등해를 사용합니다. 두 실수해 중에서 어느 것을 사용할지 결정하기 위해서, 이

전 반복과정과 현재 과정 사이의 변위 증분 벡터간의 각도 를 다음 식으로 계

산하여 판단합니다.

1

1

( )cos

Ti i

i i

u u

u u

하나의 해가 음의 값이고 다른 해가 양의 값이면 양의 값을 선택하고, 두 해가 모

두 예각이면 선형 해답 3 2i a a 에 가까운 해를 사용합니다.



mid

asCi

vil

midas Civil의 P-Delta 해석 기능은 보요소가 횡력과 축력을 동시에 받을 때 2차

적인 구조적 거동을 고려하기 위한 것으로 기하학적 비선형성(Geometric

Nonlinearity)의 일종입니다.

ACI318 Code나 AISC-LRFD Code에서는 실제적인 부재내력을 설계에 반영하기 위

해 P-Delta 효과를 고려한 구조해석을 요구하고 있습니다.

그림 2.8.6 P-Delta 해석 수행개념도


mid

as C

ivil


midas Civil의 P-Delta 해석 기능은 좌굴문제(Buckling Problem)를 수치해석적인 방

법으로 해를 구할 때 사용되는 개념을 응용한 것으로써, 먼저 주어진 하중조건에

대해 정적해석을 수행한 다음, 각 요소에 발생한 응력을 이용하여 기하강성행렬

(Geometric Stiffness Matrix)을 만들고 수정된 강성행렬을 사용하여 주어진 조건을

만족할 때까지 해석을 반복 수행하게 됩니다.

그림 2.8.6과 같이 동적해석에 P-Delta 효과를 고려할 경우에도 기하강성행렬의 구

성을 위해 정적하중조건의 입력이 필요합니다.

midas Civil에 사용된 P-Delta 해석의 개념은 그림 2.8.7과 같습니다.

외력에 의해 횡방향으로 모멘트와 전단력을 받는 기둥부재가 축력에 의해 인장 또

는 압축을 추가로 받을 때, 인장력은 기둥부재가 모멘트와 전단력에 대해 저항하

게 하는 반면, 압축력은 모멘트와 전단력에 대해 약해지게 합니다.

즉, 인장력은 횡방향 거동에 대한 기둥부재의 강성을 증가시키고, 압축력은 그 강

성을 감소시키는 효과를 가집니다.

만약 압축력에 의한 응력이 아주 커져서 횡방향거동에 대한 강성감소치가 해당 부

재의 횡방향강성과 같아지면 그 부재에 좌굴이 발생하게 되는데 그 때의 압축하중

을 임계좌굴하중(Critical Buckling Load)이라 합니다. 이 효과를 축력과 횡력을 받는

기둥부재에 대해 예를 들면 다음과 같습니다.

그림 2.8.7(a)에서 기둥부재가 인장력과 횡력을 동시에 받는 경우, P-Delta 효과를

고려하지 않을 때(횡변형과 수직하중에 의한 2차 변형효과를 고려하지 않을 때)

모멘트는 기둥부재 끝단의 M=0에서부터 하단의 M=VL까지 일정한 비율로 증가합

니다. 그러나 실제의 경우는 횡력때문에 Δ만큼의 횡변위가 발생하고 이 횡변위 Δ

와 인장력 P에 의해 P·Δ만큼의 모멘트가 감소하게 됩니다. 따라서 기둥부재의 횡

방향 강성이 증가한 것과 같은 효과를 가지게 됩니다.

반대로 압축력과 횡력을 동시에 받는 경우는 P·Δ 만큼의 모멘트가 증가하게 되고,

그 결과 기둥부재의 횡방향 강성이 감소한 것과 같은 영향을 나타내게 됩니다.



mid

as C

ivil

따라서 횡방향 변위는 횡력과 축력의 변수가 됩니다. 이를 수식으로 표현하면 다


/ , O GV K K K K

여기서 KO는 기둥부재 고유의 횡방향 강성을 의미하고, KG는 축력에 따른 강성증

감효과를 나타낸 것입니다. 트러스, 보, 판요소의 기하강성행렬 구성은 “Chapter 7.

좌굴해석"을 참조하시기 바랍니다.

(a) 기둥부재에 인장력과 횡력이 동시에 작용하는 경우

(b) 기둥부재에 압축력과 횡력이 동시에 작용하는 경우

그림 2.8.7 P-Delta 효과를 고려한 기둥부재의 거동

Before deflection After deflection

Free body diagram

P-Delta effect

P-Delta effect

Before deflection After deflection

Free body

P-Delta effect

P-Delta effect


mid

as C

ivil


P-Delta 해석을 단계별로 정리하면 다음과 같습니다.

- 1단계 해석

01Δ V K

- 2단계 해석

( )2 1Δ f P , Δ , 1 2Δ Δ

- 3단계 해석

( , )3 2Δ f P Δ , 1 2 3Δ Δ Δ Δ

- 4단계 해석

4 3Δ f ( P ,Δ ) , 1 2 3 4Δ Δ Δ Δ Δ

- n단계 해석

( , )n n-1Δ f P Δ , 1 2 3 nΔ Δ Δ Δ Δ

midas Civil의 내부에서 수행되는 P-Delta 해석 과정을 각 단계별로 설명하면 다음

과 같습니다.

1단계 해석을 통하여 횡력에 의한 Δ1을 계산한 다음, 축력에 따른 기하강성행렬을

구하고 초기의 강성행렬에 기하강성행렬을 더하여 새로운 강성행렬을 구성합니다.

새로 구성된 강성행렬을 이용하여 P-Delta 효과를 고려한 Δ2를 계산하고 수렴조건

의 만족 여부를 검토합니다. 수렴조건은 P-Delta Analysis Control 에서 주어진 최대

반복수행 횟수 및 허용변위차(Displacement Tolerance)에 대한 검토를 의미합니다.

수렴조건을 만족할 경우에는 반복수행 과정을 종료하게 되고 만족하지 못할 경우

에는 동일한 절차에 따라 수렴조건을 만족할 때까지 상기의 과정을 반복 수행하게

됩니다.

…



mid

as C

ivil

midas Civil의 P-Delta 해석에 사용된 정적 평형방정식을 정리하면 다음과 같습니다.

[ ]{ } [ ]{ } { }GK u K u P

여기서 [ ]K : 변형전 모델의 강성행렬(Stiffness Matrix)

[ ]GK : 매 반복 과정에서 새로 구성되는 부재력과 응력에 따른 기하강성

행렬(Geometric Stiffness Matrix)

{ }P : 정적하중벡터

{ }u : 변위벡터

midas Civil의 P-Delta해석 기능은 다음의 가정하에 수행됩니다.

P-Delta 효과를 고려하기 위한 기하강성행렬은 트러스요소, 보요소, 벽요소

에 대해서만 구성이 가능합니다.

보요소의 횡변위(굽힘 및 전단 변형)는 축력에 의한 Large-Stress Effect에

대해서만 고려됩니다.

P-Delta 해석은 탄성영역에서 유효합니다.

일반적으로 P-Delta 효과를 고려한 해석은 소요시간이 길기 때문에 구조설계의 완

료단계에서 적용하는 것이 바람직합니다.


mid

as C

ivil


8-4-1 비선형요소를 사용한 해석

비선형 요소(인장/압축 전담요소)를 사용한 경계비선형 해석에서는 구조계 전체를

선형으로 가정하고 일부 비선형요소에 대해서만 비선형 거동 특성을 고려 하는 방

법을 사용하고 있으며 내용을 정리하면 다음과 같습니다.

비선형요소를 사용한 정적해석에서 사용할 수 있는 비선형요소에는 인장전담 트러

스요소, Hook 요소, Cable 요소, 압축전담 트러스요소, Gap 요소, Elastic Link의 인

장 또는 압축전담조건 등이 있습니다.

비선형요소를 사용한 구조계의 정적평형 방정식을 정리하면 식 (1)과 같습니다.

[ ]{ } { }NK K U P (1)

여기서 K : 선형구조물의 강성

NK : 비선형요소의 강성

식 (1)과 같은 비선형강성을 포함하는 평형방정식의 해를 구하는 방법으로는 변위

나 부재력 조건에 따른 비선형요소의 강성을 재구성하고 반복해석을 통하여 평형

방정식이 수렴하도록 하는 방법을 사용하고 있습니다.



mid

as C

ivil

8-4-2 비선형요소의 강성( NK )

midas Civil에서 사용되는 비선형요소의 강성은 해석결과로부터 구해지는 변위와

부재력에 의해 결정됩니다. Truss, Hook, Gap 형태의 비선형강성은 양단부의 변위

와 Hook나 Gap의 간격에 따라 부재의 비선형 강성이 결정되고, Cable 형태의 요

소는 해석결과로 발생하는 부재력을 통해 비선형 강성이 결정됩니다

Truss, Hook, Gap 형태의 인장 및 압축전담요소의 비선형강성은 식 (2)와 같이 결

정되고, cable의 비선형강성은 부재에 작용하는 인장력의 변화에 따른 강성의 변화

를 고려하고자 식 (3)과 같이 산정된 유효강성을 통해 비선형 강성이 결정됩니다.

( ) NK f D d (2)

여기서 D : 초기상태의 간격(Hook나 Gap의 간격)

d : 해석결과 발생하는 부재의 길이 변화량

2 2

3

1

1/ 1/(1 )

12

effsag elastic

EAK

L EAK KL

T

(3)

여기서 3

2 3

12,sag elastic

T EAK K

L L

: Cable의 단위길이당 중량

L : 중력방향에 대한 수평길이

T : Cable의 인장력


mid

as C

ivil


비선형요소의 경계조건에 따른 비선형성을 고려하는 해석에서는 구조물 재질의 비

선형성 등을 고려하지 않기 때문에 다음과 같은 몇 가지 적용상의 제약이 있습니

다.

1. 구조물의 재료 비선형성은 고려하지 않습니다.

2. 비선형요소만으로 구성된 구조형태는 하중에 따라 불안정성이 발생할 수

있기 때문에 비선형요소만으로 구성된 절점의 사용은 제한됩니다.

3. 하중에 따라 발생한 변위와 부재력에 의해 요소의 강성이 변화하기 때문에

하중조건결과들의 선형조합은 사용할 수 없습니다.

4. 비선형요소를 사용한 구조물의 동적해석 시에는 선형상태의 강성을 사용하

여 해석을 수행합니다

비선형요소를 사용한 해석과정은 다음과 같습니다.

1. 구조물의 선형강성과 비선형요소의 선형상태의 강성을 사용하여 구조물의

전체강성행렬과 하중벡터를 구성합니다.

2. 전체강성과 하중벡터를 사용하여 정적해석을 수행하고 변위와 부재력을 구

합니다.

3. 구조물의 전체강성을 재구성합니다.

4. 강성을 변화시켜 해석을 수행하는 경우에는 구해진 변위와 부재력을 사용

하여 비선형요소의 강성을 계산하고 전체구조물의 강성을 재구성합니다.

5. 2와 3 과정을 반복하여 해석결과가 수렴조건을 만족할 때까지 수행합니다.



mid

as C

ivil

(Boundary Nonlinear Time History Analysis)

8-5-1 해석 모델 구성

해석 대상 구조물은 비선형연결요소를 포함하는 구조물로서 비선형연결요소를 제

외한 나머지 부재들은 모두 선형 탄성인 것으로 가정합니다. 비선형연결요소는 구

조물의 두 절점 사이를 연결하거나 구조물과 지지점을 연결할 수 있습니다.

하나의 비선형연결요소는 총 6개의 스프링 (1개의 부재 축방향 스프링, 2개의 전단

스프링, 1개의 비틀림 변형 스프링, 2개의 휨 변형 스프링) 으로 구성되며, 이 가운

데 일부의 스프링만을 선택하여 이용할 수 있습니다.

각각의 스프링은 기본적으로 선형 속성을 가지며 사용자의 선택에 의해 비선형 속

성을 가지도록 할 수 있습니다. 선형 속성만을 가지는 스프링은 실제 물리적으로

선형 탄성인 스프링입니다. (이하 선형 스프링으로 표기합니다.) 비선형 속성을 가

지는 스프링은 실제 물리적으로 비선형성을 갖는 스프링을 표현하며 이 스프링이

갖는 선형 속성은 해석 알고리즘 상의 필요에 의해서만 요구되는 속성입니다. (이

하 비선형 스프링으로 표기합니다.)

선형 속성은 요소를 구성하는 각 스프링의 유효강성으로서 비선형연결요소의 요소

강성행렬과 전체 구조물의 강성행렬을 구성하는데 사용됩니다. 비선형연결요소를

포함한 구조물의 선형 및 비선형 정적해석과 선형 동적해석에서는 이 유효강성만

으로 해석을 수행합니다.

비선형 속성은 비선형 스프링의 동적특성을 나타내는 파라미터로서 midas Civil 에

서는 6가지 타입(Visco-elastic Damper, Gap, Hook, Hysteretic System, Lead Rubber

Bearing Isolator, Friction Pendulum System Isolator)의 비선형 속성이 제공됩니다.


mid

as C

ivil


8-5-2 경계비선형 시간이력해석의 개요

경계비선형 시간이력해석은 구조물의 일부분에 비선형성이 국한된 경우에 적용할

수 있는 비선형 시간이력해석 방법으로, 면진 및 제진장치가 설치된 구조물의 비

선형 거동 특성을 파악하기 위한 해석기능입니다. 면진 및 제진장치는 설계하중에

대한 구조물의 소성변형을 방지하거나 최소화 시켜주므로 구조부재들은 탄성거동

하고, 구조물의 비선형 거동은 주로 면진 및 제진장치에서 발생한다고 볼 수 있습

니다. midas Civil의 경계비선형 해석에서는 이러한 점에 근거하여 면진 및 제진장

치를 비선형 경계요소로서, 비선형연결요소(Force Type General Link)를 통해 모델

링 되고, 나머지 부분은 선형 탄성 구조물로 가정됩니다. 편의상 전자를 비선형계,

후자를 선형계라고 칭합니다. 경계비선형 시간이력 해석은 비선형계에서 발생하는

부재력을 선형계에 가해지는 외부 동적하중으로 치환하는 방법으로 해석을 수행합

니다.

그림 2.8.8 경계비선형 해석의 해석방법

midas Civil의 경계비선형 해석은 비선형 모드 중첩법(Nonlinear Modal Time History

Analysis)과 비선형 직접적분법(Nonlinear Direct Integration)에 의해 수행됩니다. 경

계비선형 해석에 사용되는 면진 및 제진 장치는, 각 요소특성이 상미분방정식으로

표현되며, 상미분방정식의 수치해법인 Runge-Kutta Method에 의해 계산됩니다. 구

해진 결과는 유효하중으로 반영하여, 미지수를 구하는 방법으로 계산을 수행합니

다.



mid

as C

ivil

비선형 모드 중첩법은 면진 및 제진장치를 제외한 모든 구조부재가 탄성영역에 있

다는 전제하에 수행되며, 고유치 해석이 반드시 선행되어야 합니다. 또한, 선형 시

간이력 해석과 같이 중첩의 원리에 의해 해석하기 때문에 모든 시간증분마다 전체

구조물에 대한 평형방정식을 풀게 되는 직접적분법에 비해 해석속도가 빠르다는

장점이 있습니다.

한편, 구조부재의 비탄성거동까지를 해석할 경우에는 구조부재도 비탄성 요소로

보고 구조물 전체를 비선형 해석할 필요가 있습니다. 비선형 직접적분법은 비선형

경계요소뿐만 아니라, 구조부재에 비선형 거동까지 고려 할 수 있습니다. 또한, 구

조부재의 비탄성 거동은 비선형 이력모델에 의해서 산정됩니다.

8-5-3 모드 중첩법에 의한 경계비선형 시간이력해석

모드 중첩법에 의한 경계비선형 시간이력해석의 개요

Force Type 범용연결요소가 포함된 구조물의 운동방정식은 다음과 같이 구성됩니

다.

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) - ( )S N P N L NMu t Cu t K K u t B p t B f t f t


C : 감쇠행렬

SK : Force Type 범용연결요소를 제외한 나머지 탄성강성

NK : Force Type 범용연결요소의 유효강성

PB , NB : 변환행렬



( )Lf t : Force Type 범용연결요소에 포함된 비선형 성분의 유효강성에

의한 내력

( )Nf t : Force Type 범용연결요소에 포함된 비선형 성분의 실제 내력


mid

as C

ivil


우변의 ( )Lf t 는 좌변의 NK 에 의해 발생하는 절점력 가운데 Force Type 범용연결

요소의 비선형 성분에 해당되는 것과 상쇄되며 ( )Nf t 만이 동적 거동에 영향을 주

게 됩니다. 유효강성행렬 NK 을 사용하는 이유는 Force Type 범용연결요소의 연결

위치에 따라서 원래 구조물의 강성행렬 SK 만으로는 불안정 구조물이 될 수 있기

때문입니다.

질량행렬과 강성행렬에 대한 모드 형상(Mode Shape)과 고유진동수(Natural

Frequency)는 고유치 해석(Eigenvalue Analysis), 또는 Ritz벡터 해석을 통해 계산할

수 있습니다. 감쇠는 모드감쇠비를 통해 고려됩니다.

모드의 직교성을 이용하여 위의 운동방정식은 다음과 같이 모드좌표계(Modal

Coordinate)의 운동방정식으로 변환됩니다.

2 ( ) ( ) ( )( ) 2 ( ) ( )

T T T

i P i N L i N Ni i i i i T T T

i i i i i i

B p t B f t B f tq t q t q t

M M M

+

여기서 i : i-번째 모드의 모드형상 벡터

i : i-번째 모드의 감쇠비

i : i-번째 모드의 고유진동수

( )iq t , ( )iq t , ( )iq t : i-번째 모드의 일반화 변위, 속도, 가속도

우변의 ( )Nf t 와 ( )Lf t 는 해당 Force Type 범용연결요소의 요소좌표계에서의 실제

변형 및 변형의 변화율에 의해 결정됩니다. 그러나 요소의 실제 변형은 특정 모드

가 아닌 전체 모드의 성분을 모두 포함하고 있습니다. 따라서 상기의 모드좌표계

운동방정식은 모드별로 독립적이라고 할 수 없습니다. 모드해석의 장점을 이용하

기 위해서 각 해석시간 단계에서의 ( )Nf t 와 ( )Lf t 를 가정하게 되면 독립적인 모

드좌표계 운동방정식이 됩니다.

먼저 이전 단계의 해석결과로부터 현재 단계에서의 모드 일반화 변위와 속도를 가

정하고 이를 기초로 현재단계에서의 ( )Nf t 와 ( )Lf t 를 계산합니다. 이로부터 현재

단계에서의 모드 일반화 변위 및 속도를 조합해서 Force Type 범용연결요소의 변

형 및 변형 변화율을 계산합니다. ( )Nf t 와 ( )Lf t 의 계산과 그에 따르는 모드 일반



mid

as C

ivil

화 변위 및 속도의 계산 과정을 다음 수렴오차가 허용치 이내로 들어올 때까지 계

속 반복합니다.

( 1) ( )

( 1)

( ) ( )max

( )

j j

i iq ji

i

q nΔt q nΔt

q nΔt

( 1) ( )

( 1)

( ) ( )max

( )

j j

i iq ji

i

q nΔt q nΔt

q nΔt

( 1) ( )

, ,

( 1)

,

( ) ( )max

( )M

j j

M i M i

f jiM i

f nΔt f nΔt

f nΔt

여기서 ( )

( ),

( Δ )( Δ )

T

i N

T

i i

jj N

M i

B f n t

Mf n t

Δt : 타임스텝 크기

n : 타임스텝

j : 반복계산 스텝

i : 모드 차수

이상의 과정을 각 해석시간 단계별로 반복하며 최대반복회수 및 수렴 허용오차는

Time History Load Cases에서 사용자가 직접 입력합니다. 만약 수렴하지 않으면 자

동적으로 해석시간 간격 Δt 를 세분하여 다시 해석하게 됩니다.

Force Type 범용연결요소의 비선형 특성은 미분방정식으로 표현되며 각 반복과정

에서 비선형 성분에 해당되는 내력을 산정하기 위해서는 이 미분방정식의 수치해

석 해가 필요하게 됩니다. midas Civil에서는 수치해석 방법으로서 Runge-Kutta

Method를 사용하고 있으며 이 방법은 미분방정식의 수치해석에 가장 널리 사용되

는 방법으로서 빠른 해석 속도와 정확성을 가집니다.

고유치 해석시 유의점

비선형 모드 중첩법에 의한 경계비선형 시간이력 해석은 모드해석을 기반으로 하

기 때문에 구조물의 응답을 표현하기에 충분한 수의 모드를 사용할 필요가 있습니

다. 특히 Force Type 범용연결요소의 변형을 표현하기에 충분한 수의 모드를 필요

로 합니다.


mid

as C

ivil


대표적인 경우로 마찰진자형 면진장치의 지진응답해석을 들 수 있습니다. 마찰진

자형 면진장치는 요소의 축방향 성분 내력이 전단방향 성분의 거동을 결정하는 중

요한 인자입니다. 따라서 일반적인 지진응답 해석과는 달리 연직방향 모드의 중요

성이 매우 크며, 연직방향 모드질량의 합계가 전체질량에 가깝도록 충분한 모드

수를 확보할 필요가 있습니다.

고유치해석 방법을 사용할 경우 이와 같은 목표를 달성하기 위해서는 매우 많은

수의 모드를 필요로 할 수 있으므로 해석 시간이 길어질 수 있습니다. Ritz 벡터

해석을 사용하면 각 자유도에 대한 동적하중의 분포를 고려한 모드형상과 고유진

동수를 구해주며, 적은 수의 모드로 고차모드의 영향까지 포함시킬 수 있습니다.

예를 들면 마찰진자형 면진장치의 경우에 Ritz벡터 해석을 위한 입력 대화상자에

서 구조물의 Z방향(중력방향) 가속도나 구조물의 자중에 관계된 정적하중의 단위

하중조건을 선택하면 주로 구조물의 연직방향 거동에 관계되는 고유진동수와 모드

형상을 구할 수 있습니다. 많은 경우에 있어서 Ritz 벡터해석을 이용하는 것이 고

유치해석을 이용하는 것 보다 적은 수의 모드로 더 정확한 해석결과를 산출해 주

는 것으로 알려져 있습니다.

정적하중과 동적하중의 조합

비선형 모드중첩법에 의한 시간이력 해석은 선형 시간이력 해석과는 달리 중첩의

원리가 적용될 수 없습니다. 즉, 정적하중에 대한 해석결과와 동적하중에 대한 해

석 결과를 단순히 합하여 두 하중이 동시에 작용한 결과로 사용할 수 없습니다.

따라서 정적하중과 동적하중의 영향을 동시에 고려하기 위해서는 정적하중을 동적

하중 형태로 입력하여 경계비선형 시간이력해석을 수행해야 합니다.

이를 위해 midas Civil에서는 Time Varying Static Loads 기능을 통해 정적하중을 동

적하중 형태로 입력할 수 있도록 지원합니다.

먼저, Time Forcing Function에 Time Function Data Type이 Normal인 Ramp 함수를

입력합니다. 다음으로 Time Varying Static Load에서 연직방향 정적하중의 Static

Load 및 이미 지정된 Function Name을 입력합니다. Ramp 함수의 형상은 지반가



mid

asCi

vil

속도의 도달시간(Arrival Time) 이전에 정적하중의 재하가 완료되고 이로 인한 진동

이 충분히 감쇠될 수 있도록 지정합니다. 이와 관련하여 정적하중 재하로 인한 진

동의 감쇠에 소요되는 시간을 줄이기 위해 Time History Load Cases에서 해석 초

기에 사용자가 지정한 시간동안 99%의 감쇠율을 적용하는 옵션을 선택할 수 있습

니다. 또한 지반가속도가 작용하는 동안에도 정적하중이 계속 지속되도록 합니다.

그림 2.8.9 정적하중과 동적하중의 조합

8-5-4 직접 적분법에 의한 경계비선형 시간이력해석

직접 적분법에 의한 경계비선형 해석의 해석방법은 비선형계에서 발생하는 비선형

부재력을 선형계에 가해지는 외부 동적하중으로 치환하는 모드 중첩법에 의한 해

석방법과 동일합니다.

직접 적분법에 의한 경계비선형 해석은 모드 중첩법과 달리, 수치적분법에 의해

해석되어야만 합니다. midas Civil에서는 Newmark-β 법에 의한 직접적분법에 의해

해석을 수행합니다.


mid

as C

ivil


직접 적분법에 의한 경계비선형 시간이력해석에서 Force Type 범용연결요소가 포

함된 구조물의 운동방정식은 다음과 같이 구성됩니다.

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) - ( )L NNMu t Cu t u t p t f t f tK


C : 감쇠행렬

NK : Force Type 범용연결요소의 유효강성



( )Lf t : Force Type 범용연결요소의 유효강성에 의한 내력

( )Nf t : Force Type 범용연결요소의 실제 내력

Newmark-β 법에 의해, 증분변위 u 에 관한 평형방정식은 다음과 같이 표현됩니

다.

Eff EffK u p

여기서 EffK : 유효강성행렬

2

1 1Eff NK M C K

tt

Effp : 각 반복해석 단계에서의 유효하중벡터

( ) - ( )( ) ( ) ( ) L NEff f t f tp p t Mu t Cu t

u : 각 반복해석 단계에서의 변위증분벡터

: Newmark-β 법 관련 파라미터



mid

asCi

vil

8-5-5 유효강성

경계비선형 시간이력 해석은 전체 구조물을 선형계와 비선형계로 나누며, 비선형

계에서 발생하는 비선형 부재력을 선형계에 가해지는 외부 동적하중으로 치환하여

해석합니다. 여기서 비선형계를 구성하는 Force Type 범용연결요소의 위치에 따라

선형계 만으로는 불안정 구조가 될 수 있으므로 유효강성을 사용하여 안정한 구조

물로 만든 뒤 시간이력해석을 수행합니다.

만약 Force Type 범용연결요소를 제거할 경우에 구조물이 불안정해진다면, 고유진

동수와 모드형상이 실제의 비선형 거동과 유사하도록 적절한 유효강성을 입력할

필요가 있습니다. 이 경우에 적절한 유효강성은 일반적으로 0보다 크고 비선형 특

성상의 초기강성 보다 작거나 같은 값을 사용합니다. 초기강성은 뒤에서 설명할

요소의 종류별 동적특성에서 Viscoelastic Damper 의 bk , Gap, Hook 및 Hysteretic

System의 k , Lead Rubber Bearing Isolator와 Friction Pendulum System의 yk , bk

가 이에 해당됩니다.

비선형 거동 이전의 응답을 계산하기 위한 선형정적해석 또는 선형동적해석을 수

행하려면 초기강성을 유효강성으로 입력합니다. 근사적인 선형동적해석을 수행하

려면 비선형 연결요소가 비선형 해석시와 유사한 거동을 하도록, 다음 그림과 같

이 예상되는 최대 변형을 기준으로 적절한 할선강성(Secant Stiffness)을 유효강성

으로 입력합니다. 만약 해석결과가 수렴하지 않는 경우에 유효강성 값을 조정하면

수렴하는 결과를 얻을 수도 있습니다.

그림 2.8.10 경계비선형 요소의 유효강성


mid

as C

ivil


8-5-6 Force Type 범용연결요소의 동적특성

midas Civil의 경계 비선형 시간이력 해석기능에서 제공되는 Force Type 범용연결

요소는 점탄성감쇠기(Viscoelastic Damper), 갭(Gap), 후크(Hook), 이력거동 시스템

(Hysteretic System), 납삽입 고무베어링형 면진장치(Lead Rubber Bearing Isolator),

마찰진자형 면진장치(Friction Pendulum System Isolator)의 6가지이며 각각의 동적

특성은 다음과 같습니다.

8-5-7 점탄성감쇠기 (Visco-Elastic Damper)

점탄성 감쇠기는 변형에 비례해서 힘이 발생하는 탄성, 그리고 변형의 속도에 비

례해서 힘이 발생하는 점성을 동시에 갖습니다. 점탄성 감쇠기는 구조물의 감쇠능

력을 증대시켜 지진, 바람 등에 의해 발생하는 동적 응답을 감소시켜 구조물의 안

전성과 사용성을 확보하기 위한 목적으로 사용됩니다.

탄성체는 그림 2.8.11(a)에 나타낸 것과 같이 힘을 가해면 가한 힘에 비례하여 늘

어나고, 가해진 힘을 제거하면 완전히 원래의 형태로 돌아오는 물체를 말하며, 고

무 또는 Spring이 여기에 해당합니다. 점성체는 힘을 가하면 점점 변형하여, 힘이

없어져도 변형된 형태를 유지하는 성질을 가집니다. 그림 2.8.11(b)는 점성체

(Dashpot) 모델과 그 특성을 나타내며, 점토 등이 여기에 해당합니다. 점탄성체는

탄성과 점성 양쪽의 성질을 갖는 물체로서, 그림 2.8.11(c),(d)와 같이 힘을 가하면

변형이 점점 증가하고, 어느 순간 힘을 빼면, 순간적으로 변형이 줄어드는 특징을

가집니다. 점탄성 댐퍼는 점탄성체의 이러한 성질을 이용한 감쇠장치입니다.



mid

as C

ivil

(a) Elastic Object (b) Visco Object

ff

ff

ff

+ =

kd

kd

cd

cd

(c) Viscoelastic Object(Maxwell Model)

(d) Viscoelastic Object(Kelvin Model)

그림 2.8.11 Elastic Object와 Visco Object

ff

defo

rmat

ion

TimeLoading Unloading

kd

cd


mid

as C

ivil


midas Civil의 점탄성 감쇠기(Viscoelastic Damper) 요소는 점탄성 감쇠기의 특성을

가진 6개의 독립적인 스프링으로 구성됩니다.

점탄성 감쇠기의 대표적인 수학적 모델은 선형스프링과 점성감쇠가 직렬로 연결된

Maxwell 모델과, 병렬로 연결된 Kelvin 모델이 있으며, midas Civil의 점탄성 감쇠기

는 Maxwell Model, Kelvin Model, 그리고 Kelvin Model에 스프링이 연결된 Damper

Brace Assembly Model로 구분됩니다.

점탄성 감쇠기의 Damper Brace Assembly Model의 힘-변형 관계 기본식은 다음과

같습니다.

s

d d d d d b bf k d c sign d d k d

d bd d d

여기서 f : 점탄성감쇠기의 요소내력

dk : 점탄성감쇠기 강성

bk : 연결 부재 강성

dc : 점탄성감쇠기 감쇠 상수

s : 점탄성감쇠기의 비선형 감쇠 특성을 정의하는 지수(Exponent)

d : 요소의 두 절점 사이의 변형

dd : 점탄성감쇠기의 변형

bd : 연결부재의 변형

위 식에서 볼 수 있는 바와 같이 점성감쇠는 변형의 변화율에 비례하는 선형 점성

감쇠( 1.0s ) 뿐만 아니라 변형 변화율의 지수승에 비례하는 비선형 점성감쇠

( 0.0 1.0s )로 모델링 할 수 있습니다. 비선형 감쇠 특성 지수 s 는 0.35~1.00 범

위의 값이 일반적으로 사용됩니다. midas Civil에서는 s 값을 0.20~1.00로 제한하고

있습니다.

위 식에서 s

d d dc sign d d 항은 감쇠력을 나타내므로, 힘의 단위를 가지게 됩니다.

그러나, 비선형 감쇠 특성 지수가 1.0s 인 경우, 다음 식과 같이 감쇠력, Ddf 은

N m sec

따라서, mid

합니다. 0v

표현됩니다.

f

여기서, 감쇠

화되므로 힘

Velocity, 0v

의 변환시에

요가 있습니

위 식에 기초

점

점탄

We Analyze a

1s와 같은 단위

as Civil에서는

를 채용하면,

d d dk d c sign

쇠 상수 dc 의

힘의 단위인 N

0 는 일반적으로

에는 변환된 길

니다.

초하여, 점탄성

표

비선형

점탄성 감쇠기의

탄성감쇠기의 변

Reference V

dd

점탄성감쇠기의

and Design the Fu

위가 되는 문제

dd 가 무차원량

감쇠력과 점탄

0

cexp

dd

dd k

v

단위는 본래,

N , tonf 등의

로 1.0값을 입력

이단위에 따라

감쇠기의 비선

표 2.8.1 점탄성 감쇠

형 속성

의 요소내력, f

변형의 변화율,

Velocity , 0v

0v

의 감쇠상수, dc

ture

가 발생하게 됩

량이 되도록, Re

탄성 감쇠기의 힘

b bk d

N m sec 와 같

단위를 갖게

합니다. 단, mi

0v 값이 자동

선형 물성치의 단

쇠기의 비선형 속성

f

dd

d

Chap

됩니다.

eference Velocit

힘-변형 관계는

같지만, 속도항이

됩니다. 따라서

das Civil이 제공

으로 변환되므

단위는 다음과

단위

단 위

N , to

,m sec cm

,m sec cm

무차원

N , to

pter 8 | 비선

ty, 0v 를 채용

는 다음과 같이

이 0v 로 일반

서, Reference

공하는 단위계

로, 주의할 필

같습니다.

위

nf

m sec

m sec

원량

onf

선형 해석

236

mid

as C

ivil


mid

asCi

vil


midas Civil에서 단위계 변환시에 점탄성 댐퍼의 비선형 물성치는 다음과 같이 변

환됩니다.

1. 초기 설정(단위계는 kN, m로 설정)

점탄성 댐퍼의 비선형속성을 다음과 같이 설정합니다.

2. 단위계를 N, cm 로 변환

Reference Velocity, 0v 를 고려하지 않는 경우

10,000dk N cm

1 1000 10 sec

100dC N cm

1s

10,000bk N cm

경우Reference Velocity, 0v 를 고려하는 경우

1 1,000dC kN N

0 1 sec 100 secv m cm



mid

as C

ivil

(a) Maxwell Model

(b) Kelvin Model

(c) Damper Brace Assembly Model

그림 2.8.12 점탄성 감쇠기

Maxwell Model

Maxwell Model은 그림 2.8.12(a)에 나타낸 것과 같이, 선형스프링과 점성감쇠가 직

렬로 연결된 모델로서 Fluid Viscoelastic Device의 해석에 사용됩니다.

Maxwell Model의 힘-변형 관계식은 다음과 같습니다.

0

s

d d b b

df c sign d k d

v


mid

as C

ivil


위 식은 상미분방정식의 초기치 문제가 되므로, Runge-Kutta Method를 사용하여,

미지수인 점탄성감쇠기의 변형 dd 를 구합니다.

Kelvin(Voigt) Model

Kelvin Model은 그림 2.8.12(b)에 나타낸 것과 같이, 선형스프링과 점성감쇠가 병렬

로 연결된 모델로서 Solid Viscoelastic Device의 해석에 사용됩니다.

Kelvin Model의 힘-변형 관계식은 다음과 같으며, 우변의 모든 항이 기지값이므로,

식을 직접 풀어 점탄성 감쇠기에 작용하는 힘을 구할 수 있습니다.

0

s

d d

df k d c sign d

v

Damper Brace Assembly Model

Damper Brace Assembly Model은 Kelvin Model에 스프링이 연결된 모델로서, 그림

2.8.12(c)와 같이 제진용 가새 해석시에 사용됩니다.

Damper Brace Assembly Model의 힘-변형 관계식은 다음과 같습니다. 아래 식은 상

미분방정식의 초기치 문제가 되므로, Runge-Kutta Method를 사용하여 미지수인 점

탄성감쇠기의 변형 dd 를 구합니다.

0

s

d d d d b b

df k d c sign d k d

v

Maxwell Model과 Damper Brace Asssembly Model은 앞서 언급한 바와 같이, 미지

수인 점탄성감쇠기의 변형 dd 을 구하기 위해서 미분방정식의 수치해법인 Runge-

Kutta Method을 사용합니다. midas Civil에서는 비선형 감쇠 특성 지수 s 가 1인 선

형 점성감쇠( 1.0s )를 갖는 경우, 해석의 효율성을 높이기 위해서, Runge-Kutta

Method 대신에, 다음과 같은 근사식을 통하여 미지수인 점탄성감쇠기의 변형 dd

를 구하는 방법을 사용합니다.



mid

as C

ivil

0

0

1( ) ( )

( ) ; ( =1.0)1

db d

dd

d b

ck d t t d t

v td t t s

ck k

v t

단, Maxwell Model : 0.0dk

점탄성 감쇠기의 정적 비선형 해석

정적 비선형해석시에는 댐퍼의 변형 변화율을 0.0dd 으로 두고, 점탄성 감쇠기

의 유효강성 k 을 구하여 계산합니다.

f k d

여기서, Maxwell Model : 0.0k

Kelvin Model : dk k

Damper Brace Assembly Model : b d

b d

k kk

k k

8-5-8 갭 (Gap)

갭은 다른 경계요소와 마찬가지로 6개의 성분으로 구성되며, 요소좌표계에서 6개

자유도 별로 N1절점에 대한 N2절점의 상대변위가 초기간격보다 큰 절대값의 음수

가 되면 해당 성분의 강성이 발현됩니다. 축방향 성분만을 사용하는 경우에는 압

축력전담요소가 되며 접촉문제 등을 모델링 하는데 사용될 수 있습니다.

o

f f

d

k

N1 N2

그림 2.8.13 갭(Gap)


mid

as C

ivil


6개의 성분은 독립적으로 거동하며 다음과 같은 힘-변형 관계식을 갖습니다.

if <0

0 otherwise

k d o d of

여기서 k : 강성

o : 초기간격

d : 변형

8-5-9 후크 (Hook)

후크는 다른 경계요소와 마찬가지로 6개의 성분으로 구성되며, 요소좌표계에서 6

개 자유도 별로 N1절점에 대한 N2절점의 상대변위가 초기간격보다 큰 절대값의

양수가 되면 해당 성분의 강성이 발현됩니다. 축방향 성분만을 사용하면 인장력

전담요소가 되며, Wind Brace나 Hook Element 등을 모델링 하는데 사용할 수 있습

니다.

o

f f

d

k

N1 N2

그림 2.8.14 후크(Hook)

6개의 성분은 독립적으로 거동하며 다음과 같은 힘-변형 관계식을 갖습니다.

( ) if 0

0 otherwise

k d o d of

여기서 k : 강성

o : 초기간격

d : 변형



mid

as C

ivil

8-5-10 이력거동시스템 (Hysteretic System)

이력거동시스템은 1축 소성(Uniaxial Plasticity)의 특성을 가진 6개의 독립적인 성분

으로 구성됩니다. 이력거동 시스템은 이력거동을 통한 에너지 소산장치(Energy

Dissipation Device)를 모델링 하는데 사용되며 대표적인 것으로는 금속항복형 감쇠

기(Metallic Yield Damper)가 있습니다. 금속항복형 감쇠기는 주구조물(Primary

Structure)보다 상대적으로 큰 강성을 가지면서 낮은 항복강도를 갖도록 제작되어

주변 부재보다 먼저 소성변형을 일으킴으로써 주구조물을 보호할 목적으로 사용됩

니다. 강재 댐퍼 등과 비교하여 많은 반복에 대하여 안전한 성능을 발휘할 수 있

고, 진폭 및 진동수에 의존하지 않기 때문에 일정한 마찰력을 얻을 수 있습니다.

f f

d

k

r·kFy

N1 N2

그림 2.8.15 이력거동 시스템

이력거동시스템의 성분 별 힘-변형 관계식은 Park, Wen and Ang(1986)에 의해 제

안된 다음 식에 의해서 표현됩니다.

(1 ) yf r k d r F z

여기서 k : 초기 강성

yF : 항복 강도

r : 항복 후 강성 저하율

d : 두 절점 사이의 변형

z : 이력거동 내부변수


mid

as C

ivil


z 는 이력거동을 나타내는 내부변수로서, Wen(1976)에 의해 제안된 다음의 미분방

정식에 의해 정의됩니다.

1 sgns

y

kz z dz d

F

여기서

, : 이력곡선의 형상을 결정하는 상수, 단, 1.0

s : 항복점의 전이영역(Transition Region)의 크기를 결정하는 상수

d : 두 절점 사이의 변형 변화율

α와 β는 항복후의 거동을 결정하는 상수로서 α+β > 0인 경우에는 Softening

System, α+β < 0 인 경우에는 Hardening System을 모델링 할 수 있습니다. 이력거

동에 의한 에너지 소산량은 이력곡선에 의한 폐곡선의 면적이 커질수록 증가하며

Softening System의 경우에 (β-α)가 작은 값을 가질수록 증가합니다. α와 β의 변화

에 따른 이력거동의 변화 예는 그림 2.8.16과 같습니다.

s는 탄성변형과 소성변형사이의 전이구간, 즉 항복 발생 구간의 형상을 결정짓는

상수로서 큰 값을 가질수록 항복점이 뚜렷해 지고 이상적인 Bi-linear Elasto-Plastic

System에 가까워집니다. s 는 30이하의 값을 사용하는 것이 일반적이며, midas

Civil에서는 s 값을 1.0~50.0으로 제한하고 있습니다. s에 따른 전이구간의 변화 예

는 그림 2.8.17과 같습니다.

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2-1

-0.75

-0.5

-0.25

0

0.25

0.5

0.75

1

d

f

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2-1

-0.75

-0.5

-0.25

0

0.25

0.5

0.75

1

d

f

(a) α = 0.9, β = 0.1 (b) α = 0.1, β = 0.9



mid

as C

ivil

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2-3

-2

-1

0

1

2

3

d

f

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

d

f

(c) α = 0.5, β = -0.5 (d) α = 0.25, β = -0.75

그림 2.8.16 이력거동에 의한 변위-내력 관계 (r = 0, k = Fy = s = 1.0)

s=1

s=2

s=∞

r · k

kk

Fy

d

f

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.00

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

d

f

s = 1.0

s = 10.0s = 2.0

s =100.0

그림 2.8.17 탄성변형과 소성변형 사이의 전이구간 (항복구간)


mid

as C

ivil


8-5-11 납삽입 고무베어링형 면진장치 (Lead Rubber Bearing Type Isolator)

면진장치는 지반의 진동으로부터 구조물을 보호하기 위해 진동의 전달을 차단하는

장치로서 교량의 교각과 상판 사이, 혹은 건축물의 지상구조와 기초 사이에 설치

합니다. 납삽입 고무베어링형 면진장치는 납의 낮은 항복 후 강성에 의해 구조물

의 고유진동수를 지반 진동의 주요 진동수 성분과 격리시키고 이력거동에 의해 면

진장치 내에서 진동에너지를 소산시키는 작용을 합니다.

납삽입 고무베어링형은 2개의 전단 성분에 대해서는 상호 연관된 2축 소성(Biaxial

Plasticity)의 특성을 가지며, 나머지 축력, 비틀림과 2개의 휨 성분에 대해서는 상

호 독립된 선형탄성 스프링의 특성을 갖습니다.

2d2f3f

3d

0K

yKyF

yd

그림 2.8.18 납삽입면진장치의 스프링 구성

납삽입 고무베어링형 면진장치의 두 전단 성분의 힘-변형 관계식은 다음과 같습니

다.

,

,

(1 )

(1 )

y y y y y y y y

z z z z z y z z

f r k d r F z

f r k d r F z

여기서 yk , zk : 요소좌표계 y, z방향 전단 성분의 초기 강성

,y yF , ,y zF : 요소좌표계 y, z방향 전단 성분의 항복 강도



mid

as C

ivil

yr , zr : 요소좌표계 y, z방향 전단 성분의 항복 후 강성 저하율

yd , zd : 요소좌표계 y, z방향 전단 성분의 두 절점 사이의 변형

yz , zz : 요소좌표계 y, z방향 전단 성분의 이력거동 내부변수

yz , zz 는 이력거동을 나타내는 내부변수로서, 1축 소성에 대한 Wen(1976)의 모델

을 확장시킨 Park, Wen, and Ang(1986)의 2축 소성(Biaxial Plasticity) 모델에 의해

다음의 미분방정식으로 정의됩니다.

2

,

2

,

1 sgn sgn

sgn 1 sgn

yy

y y y y y y z z z z z y yy

zz y z y y y y z z z z zz

y z

kdz d z z z d z Fz

kz z z d z z d z dF

여기서

y , y , z , z : 요소좌표계 y, z방향 전단 성분의 이력곡선 형상 관련 상수

yd , zd : 요소좌표계 y, z방향 전단 성분의 변형 변화율

위 모델은 비선형 전단 성분이 1개인 경우 이력거동 시스템(Hysteretic System)에

서 2s 인 경우와 동일해 지며, 각 상수들의 역할도 이력거동 시스템과 동일하므

로 설명은 생략합니다.


mid

as C

ivil


8-5-12 마찰진자형 면진장치 (Friction Pendulum System Type Isolator)

마찰진자형 면진장치는 납삽입고무베어링형과 같은 목적으로 사용되는 면진장치로

써 고유진동수 이동과 이력거동에 의한 에너지 소산에 의해 구조물을 지반진동으

로부터 보호합니다. 마찰진자형 면진장치는 마찰면의 곡률반경에 의해 복원력을

발생시키며 이 곡률반경의 조정을 통해 전체구조물의 고유진동수를 원하는 값으로

이동시킬 수 있습니다. 또한 이력거동에 의한 에너지 소산작용은 마찰면의 미끄러

짐 현상을 통해 이루어집니다.

마찰진자형 면진장치는 2개의 전단 성분에 대해서는 상호 연관된 2축 소성(Biaxial

Plasticity)의 특성을 가지며, 축 성분에 대해서는 갭(Gap)과 동일한 비선형 특성을

가지고 나머지 3개의 성분에 대해서는 상호 독립된 선형탄성 스프링의 특성을 가

집니다.

P

P

P

Pff

R

μ

k

N1 N2

그림 2.8.19 마찰진자형 면진장치 전단스프링

마찰진자형 면진장치의 축 성분의 힘-변형 관계식은 다음과 같이 초기간격이 0인

갭(Gap)과 같습니다.

여기서, 0

0

x x x

x

k d if df P

otherwise

P : 마찰진자형 진동격리장치에 작용하는 축방향 하중

xk : 선형 강성

xd : 변형



mid

as C

ivil

마찰진자형 면진장치의 두 전단 성분의 힘-변형 관계식은 다음과 같습니다.

y y y y

y

z z z z

z

Pf d P

R

Pf d P

R

z

z

여기서 P : 마찰진자형 면진장치에 작용하는 축방향 하중

yR , zR : 요소좌표계 y, z방향 전단 성분의 마찰면 곡률반경

y , z : 요소좌표계 y, z방향 전단 성분의 마찰면 마찰계수

yd , zd : 요소좌표계 y, z방향 전단 성분의 두 절점 사이의 변형

yz , zz : 요소좌표계 y, z방향 전단 성분의 이력거동 내부변수

마찰면의 마찰계수를 나타내는 y , z 는 2개 전단 변형의 속도와 관련되며

Constantinou, Mokha and Reinhorn(1990)에 의해 제안된 다음 식에 의해 결정됩니

다.

여기서 ,

,fast y , ,fast z : 요소좌표계 y, z방향 마찰면의 고속변형 마찰계수

,slow y , ,slow z : 요소좌표계 y, z방향 마찰면의 저속변형 마찰계수

yr , zr : 요소좌표계 y, z방향 마찰계수 변화율

yd ,

zd : 요소좌표계 y, z방향 전단 성분의 변형 변화율

yz , zz 는 이력거동을 나타내는 내부변수로서, 1축 소성에 대한 Wen(1976)의 모델

을 확장시킨 Park, Wen, and Ang(1986)의 2축 소성(Biaxial Plasticity) 모델에 의해

다음의 미분방정식으로 정의됩니다.

2 2

2

y y z zr d r dr

v

2 2

y zv d d

, , ,

, , ,

r v

y fast y fast y slow y

r v

z fast z fast z slow z

e

e


mid

as C

ivil


2

2

1 sgn sgn

sgn 1 sgn

yy

y y y y y y z z z z zy y

z zy z y y y y z z z z zz

z

kdz d z z z d zz P

z kz z d z z d z dP

여기서 yk , zk : 미끄러짐 발생 이전의 요소좌표계 y, z방향 전단 성분의 초기 강

성(연결부재 강성)

y , y , z , z : 요소좌표계 y, z방향 전단 성분의 이력곡선 형상 관련상수

yd ,

zd : 요소좌표계 y, z방향 전단 성분의 두 절점 사이의 변형 변화율

위 모델은 항복강도에 해당하는 값이 축방향하중의 절대값과 마찰계수의 곱으로

표현된 점을 제외하면 납삽입고무베어링과 동일한 형태를 가지므로 각 상수들의

작용에 대한 설명은 생략하며 비선형 전단 성분이 1개인 경우에는 2s 인 1축

소성 특성과 동일해집니다.



mid

as C

ivil

8-5-13 Runge-Kutta Method

경계비선형 해석에서는 상미분방정식의 수치해석 기법으로 Runge-Kutta Method을

사용합니다. 상미분방정식을 풀기 위해서는 구간간격을 설정할 필요가 있습니다.

시간이력해석인 경계비선형 해석에서의 구간간격은 일정한 시간증분 간격이 됩니

다. 그러나, 그림 2.8.20에 나타낸 것과 같이 미분방정식의 해가 급격히 변하는 경

우는 일정한 구간간격으로 해를 구할 때, 심각한 제한성을 가질 수 있습니다. 따라

서, midas Civil에서는 비선형 경계요소의 수치해를 구할 때, Runge-Kutta Method의

수렴성을 향상시키기 위하여, 구간간격인 입력된 시간증분 t 를 세분하는 수렴기

법을 사용합니다. 여기서, 구간간격인 t 를 세분한다는 것은 전체 구조물의 운동

방정식을 풀 때 시간증분 간격을 세분하는 것이 아니고, 일정한 시간증분 t 를 이

용하여 전체 구조물의 운동 방정식을 풀어 변형을 구하고, Runge-Kutta Method를

이용하여 비선형 경계요소의 요소내력을 구할 때, 구간간격인 t 를 세분한다는 의

미입니다.

0 0

( )( , ( ))

( )

dy xf x y x

dxy x y

t t

그림 2.8.20 미분방정식의 초기치 문제


mid

as C

ivil


8-5-14 Cash-Karp (Adaptive Stepsize Control)

차수가 다른 Runge-Kutta법의 예측값을 이용하여 오차를 구하여, 구간 간격을 자

동으로 조절하는 방법입니다. Adaptive Stepsize Control의 기본 개념은 그림 2.8.21

과 같이 오차가 너무 작으면 구간간격 크기를 크게 하고, 오차가 크면 구간간격을

작게 하는 것입니다.

그림 2.8.21 Cash-Karp(Adaptive Stepsize Control)

구간간격의 설정은 Press et al.(1992)에 의해 제한된 다음 식을 사용합니다.

a

newnew present

presenth h

여기서, newh : 새로운 구간 간격

presenth : 현재의 구간 간격

new : 요구되는 정확도( new scal )

present : 계산된 현재의 정확도



mid

as C

ivil

a : 계산된 현재의 정확도

present new : a =0.2

present new : a =0.25

: 전체 허용오차수준

허용오차수준 는 작을수록 오차가 적어지지만, 해석시간과 수렴성을 고려하여

경험치인 1.0e-8 전후의 값을 입력합니다.


mid

as C

ivil


8-5-15 Fehlberg (Stepsize Sub-Division for Non-convergence Control)

이 방법은 초기의 구간간격을 시간증분 t 로 두고 Runge Kutta Method의 4차공식

과 5차공식에 의한 예측값을 이용하여 오차를 구하고, 구해진 오차가 허용오차수

준 를 만족할 때까지 구간간격을 1/2씩 분할하여 해를 구하는 방법입니다.

그림 2.8.22 Fehlberg(Stepsize Sub-Division for Non-convergence Control)

1st Iteration :

2nd Iteration :

3rd Iteration :

4th Iteration :



mid

as C

ivil

탄성과 소성 재료거동을 비교하면, 일반적으로 탄성 거동시에는 구조물에 영구 변

형이 발생하지 않는 반면, 소성 거동에서는 영구적 혹은 비가역적 변형이 발생할

수 있습니다.

8-6-1 소성이론

정적 소성 변형율의 성분은 다음 가정에 따라 구성됩니다.

구성 응답(Constitution Response)은 변형의 속도와 무관합니다.

탄성 응답(Elastic Response)은 소성 변형의 영향을 받지 않습니다.

총 변형율은 다음과 같이 정의합니다.

e p (4)

여기서

: 총 변형율

e : 탄성 변형율

p : 소성 변형율

그리고 수식 구성을 위하여 다음과 같은 기본 개념들이 사용됩니다.

소성 변형의 시작을 규정하기 위한 항복 조건 (Yield Criteria)

소성 변형을 정의하기 위한 흐름 법칙 (Flow Rule)

소성 변형시의 항복면의 변화를 정의하는 경화 법칙 (Hardening Rule)


mid

as C

ivil


항복조건

탄성 응답(Elastic Response)의 영역에 대한 경계를 정의하는 항복함수 (혹은 재하

함수) F는 다음과 같습니다.(그림 2.8.23 참조)

( , , ) ( , ) ( ) 0p pe pF

(5)

여기서

: 현재의 응력

e : 등가(Equivalent) 혹은 유효(Effective) 응력

: p 의 함수인 경화인자

p : 등가(Equivalent) 소성 변형율

소성 이론에서 항복 함수의 값이 양이 되는 응력 상태는 존재할 수 없습니다. 항

복이 발생하면, 응력 상태는 항복 함수가 0으로 감소될 때까지 소성 변형율을 축

적 함으로써 수정되어야 하며, 이 과정을 소성 보정(Plastic Corrector) 단계 혹은

회귀 사상(Return Mapping) 이라고 합니다.

그림 2.8.23 연속 흐름 법칙과 특이점

a Smooth

Plastic potential

g( ) f( ) const.

Corner

a

,

d

d

pd

p fd



mid

as C

ivil

흐름법칙

흐름법칙은 소성변형을 정의하고 다음 식과 같습니다.(그림 2.8.23)

b

p gd d d (6)

여기서

g: 소성 변형의 방향

d : 소성 변형의 크기를 정의하는 소성계수

함수 g는 ‘소성 위치에너지(Plastic Potential)’ 함수라 하고, 일반적으로 응력불변량

(Stress Invariant)의 항으로 정의됩니다. 그리고 g=F면 ‘연속 흐름(Associated Flow)

법칙’이라 하고, g≠F면 ‘비관련 흐름 (Non-associated Flow) 법칙’이라고 합니다.

midas Civil의 모든 모델은 연속 흐름 법칙을 사용합니다. 즉, 소성 변형율 벡터의

방향은 항복면에 수직이므로, 위의 식 (6)은 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.

a

p Fd d d (7)

그림 2.8.23의 모서리나 평평한 면은 소성 흐름의 방향을 단일하게 결정할 수 없

는 특이점(Singular Point)을 나타내며, 이 점들에 대해서는 특별한 고려가 필요합니

다.

경화 법칙 (Hardening Rule)

경화 법칙은 재료가 항복할 때 소성 변형에 따른 항복면의 변화를 정의하는 것입

니다.

경화 법칙은 유효 소성 변형율을 정의하는 방법에 따라 ‘변형율 경화(Strain

Hardening)’와 ‘일 경화 (Work Hardening)’로 나눠집니다. 변형율 경화는 소성 비압

축성(Plastic Incompressibility)의 가정에 따라 정의되므로, 정수압의 영향을 받지 않

는 재료 모델에 적합합니다. 따라서, 소성 일의 정의에 의한 일 경화가 더 일반적


mid

asCi

vil


인 개념입니다.

또한, 경화 법칙은 항복면의 변화 형식에 따라, ‘등방성 경화 (Isotropic Hardening)’,

‘운동형 경화 (Kinematic Hardening)’, 그리고 ‘혼합형 경화 (Mixed Hardening)’로 나

눠집니다(그림 2.8.24).

그림 2.8.24 운동형 경화와 혼합형 경화

Translation and Expansion

2 21F( )Initial Yield Surface

2F( )

Translation only

2F( )

2

1



mid

as C

ivil

8-6-2 구성 행렬 (Constitutive Matrix)

표준 소성 구성행렬을 구성하는 방법은 다음과 같습니다.

응력은 변형율 변화율 벡터의 탄성 부분에 의해 결정됩니다. 즉,

D D a

e p ed d d d d (8)

여기서, De 는 탄성 구성 행렬입니다.

응력은 항상 항복면 상에 있어야 하므로 다음의 일관성 조건(Consistence

Condition)을 만족해야 합니다.

0

a D a D a

Tp T e T e

p

F F FdF d d d d h d (9)

여기서, h는 소성 경화 계수입니다. 따라서, 미소 응력 변화율은 다음과 같이 구할

수 있습니다.

D aa DD

a D a

e T eTe

T ed d

h (10)

완전한 Newton-Raphson 반복 과정이 사용될 때는 일관성(Consistent) 구성 행렬을

사용하면, Newton-Raphson 반복 과정의 이차 수렴 특성으로 인해 더 빠른 수렴을

얻을 수 있습니다.

Raa RR

a Ra

T T

Td d

h (11)

여기서, 1

1

aR I D D I D A D

e e e ed d 입니다.


mid

as C

ivil


8-6-3 응력 적분

응력의 적분을 위해서는 다음의 두 가지 방법이 사용될 수 있습니다.

부증분을 갖는 명시적 전방 오일러 방법(Explicit forward Euler algorithm

with sub-incrementation) (그림 2.8.25, 그림 2.8.26)

암시적 후방 오일러 방법 (Implicit backward Euler algorithm) (그림 2.8.27)

(a) 교차 점 A의 위치

(b) A에서 접선방향으로 C로 이동한 후 D위치로 보정

그림 2.8.25 명시적 전방오일러 방법

AC

B

eCe

C : 보정 후의 응력 상태

D : 인위적 회귀 방법을 적용한 후의 응력 상태

X

e

A

B

X

X : 이전단계의 최종 stress 상태

A : 응력 증분과 항복면의 교차점

B : 탄성 응력 증분이 고려된 시험응력 상태



mid

as C

ivil

그림 2.8.26 부 증분

그림 2.8.27 암시적 후방 오일러

명시적 방법에서 경화 자료와 소성 흐름의 방향은 ‘교차 점’ 즉, 탄성 응력 증분이

항복 면을 지나는 점(그림 2.8.25의 A)에서 계산됩니다. 반면, 암시적 방법에서는

최종 응력 지점(그림 2.8.27의 B)에서 계산됩니다.

명시적 방법은 상대적으로 단순하고, 응력을 직접적으로 적분합니다. 즉, 가우스

x c

1

X : 이전단계의 최종 stress 상태

B : 탄성 응력 증분이 고려된 시험응력 상태

C : 미지의 최종 응력 상태

A

B CD

E

A, B, C, D : 각 부 증분에 의한 응력 보정 이후의

응력 상태

E : 인위적 회귀 방법을 적용한 후의 응력 상태


mid

as C

ivil


점(Gauss Point)에서 반복과정이 필요하지 않으나, 이 방법은 다음과 같은 단점이

있습니다.

조건에 따라서만 안정적입니다.

허용 가능한 정확도를 얻기 위해 응력 보정 중에 부-증분이 필요합니다.

항복 면으로부터 떨어진 정도를 보정하기 위해 인위적인 회귀 방법이 필

요합니다.

또한, 이 방법으로는 일관성 접선 계수 행렬을 구성할 수가 없습니다.

암시적 방법은 부-증분이나 인위적 회귀 없이도 충분히 정확한 결과를 도출하고,

조건에 관계없이 안정적입니다. 그러나, 일반적인 항복 기준에 대해, 가우스 점에

서 반복과정이 필요합니다. 이 방법을 사용하면 일관성 있는 접선 행렬을 구성할

수 있으므로, Newton-Raphson 반복 과정을 사용하면 가우스 점에서 반복 과정을

수행해도 계산적으로 더 효율적입니다.

명시적 방법 (전방 오일러)

1. 변형율 증분을 계산합니다.

B u

d d (12)

여기서 B: 변형율-변위 관계 행렬

du: 변위의 변화량

2. 탄성 시험 응력 상태를 계산합니다.

D

e

B X

d d

d (13)

위 식과 아래식에서의 첨자는 그림 2.8.25를 참조합니다.



mid

as C

ivil

3. 시험 응력이 항복면 내에 있으면 응력 보정은 완료되며, 항복면 밖에 있으면

소성 변형에 의해 항복면으로 돌아와야 합니다.

4. 다음으로 교차 응력이 계산됩니다. 시험 탄성 응력 증분은 허용 가능한 응력

증분과 허용 불가능한 응력 증분으로 나뉘고, 교차 응력은 다음 식을 이용하여

계산됩니다.

1 0

X

B

B X

F r d

Fr

F F

(14)

5. 물리적으로, 추가적인 변형은 응력 지점이 항복면 상에서 이동하도록 합니다.

이는 허용될 수 없는 응력 증분 rd을 m개의 작은 응력 증분으로 나누어 근

사됩니다 (그림 2.8.26). 부 증분의 개수는 오차의 크기에 직접적으로 관계되고,

다음과 같이 계산됩니다.

INT 8 1 eB eA eAm (15)

6. 최종 응력 상태가 항복면 상에 있지 않으면, 다음의 인위적 회귀 방법에 의해

항복면 상에 옮겨져야 합니다.

a D a

D a

CC T e

C C

eD C C C

F

h (16)

항복면의 형상은 각 부-증분의 끝에서 경화 법칙을 사용하여 보정됩니다.

Unloading은 탄성으로 가정됩니다.


mid

as C

ivil


암시적 후방 오일러

암시적 방법에서는 다음 식에 의해 최종 응력을 계산합니다.

D a

eC B Cd (17)

여기서 첨자는 그림 2.8.27을 참조합니다.

C점에서 식 (17)의 값은 알고 있지 않으므로, Newton 반복과정을 사용하여 미지수

를 푸는 방법이 사용됩니다. 따라서 어떤 벡터 r이 현재의 응력과 후방 오일러 응

력 간의 차이를 나타내기 위해 설정됩니다.

r D a

eC B Cd (18)

이제 반복과정은 r을 0으로 감소하기 위해 도입되며, 최종 응력은 항복 기준을 만

족해야 합니다. 고정된 시험 탄성 응력을 사용하여 다음과 같이 새로운 잔류량을

만들기 위해 Taylor 전개를 적용합니다.

r r D a

en o (19)

여기서

: 의 변화량

: d 의 변화량

위 식의 값을 0으로 두고 에 대해 풀면 다음과 같습니다.

r D a

eo (20)

또한 항복 함수에 대해 Taylor 전개를 적용하면, 다음과 같습니다.



mid

as C

ivil

0

a

TT

Cn C o p Co Cp

F FF F F h (21)

여기서, p : 유효 소성 변형율

따라서, 는 다음과 같이 구해지고, 최종적인 응력의 값도 얻을 수 있습니다.

a r

a D a

To o

T e

F

h (22)

8-6-4 소성 재료 모델

4가지 일반적인 소성 모델이 이용 가능합니다.

Tresca, von Mises – 금속과 같이, 소성 비압축성(Plastic

Incompressibility)을 보이는 연성 재료에 대해 적합합니다(그림 2.8.28).

Mohr-Coulomb, Drucker-Prager – 콘크리트나 암석, 지반처럼, 부피 소성 변

형을 보이는 재료에 대해 적합합니다(그림 2.8.29).

그림 2.8.28 Tresca와 von Mises 항복 기준

Hydrostatic axis

von Mises yield surface

2

3

1

Tresca yield surface


mid

as C

ivil


그림 2.8.29 Mohr-Coulomb과 Drucker-Prager 항복 기준

Tresca 기준

Tresca 항복 기준은 금속과 같이 부피 소성 변형을 보이지 않고, 연성인 재료에

대해 적합합니다. 이 기준을 따르면, 최대 전단 응력이 규정된 값에 도달할 때 항

복이 시작됩니다. 그러므로, 주응력(Principal Stress)이 1 2 3 1 2 3, , 이

면, 항복 함수는 식 (23)과 같습니다.

1 3,

pF (23)

응력 상태가 항복면 상의 특이점에 있을 때 수치적 문제가 발생할 수 있으며,

Tresca 기준에 대해 이는 편각 (Lode Angle) 가 30°에 근접할 때 발생할 수

있습니다. 따라서, 이 경우에 대해서는 응력 적분 방법이 보정되어야 합니다.

midas Civil에서는 >29°일 때, 흐름 벡터를 형성하기 위해 Von Mises 항복 기준

이 사용됩니다.

Von Mises 기준

Von Mises 기준은 금속에 대해 가장 일반적으로 수용되는 항복 기준입니다. 이 기

준은 변형 에너지를 기반한 것으로, 항복 함수는 다음과 같습니다.

2, 3

pF J (24)

여기서, J2는 두 번째 편향 응력 상수 (Second Deviatoric Stress Invariant) 입니다.

1

2

3

Drucker-Prager

Mohr-Coulomb

1

2

c

t

3



mid

as C

ivil

Mohr-Coulomb 기준

Mohr-Coulomb 기준은 콘크리트, 지반, 암석과 같은 부피 소성 변형을 보이는 재료

에 적합합니다. Mohr-Coulomb 항복 기준은 Coulomb 마찰 법칙의 일반화로서, 다

음과 같이 정의됩니다.

, tan

nF c (25)

여기서 : 전단 응력의 크기

n : 수직 응력

c: 점성

: 내부 마찰각

점성 c와 내부 마찰각 는 모두 변형율 경화 인자 에 따릅니다.

Tresca 기준과 마찬가지로, 응력 지점이 항복면의 특이점에 있을 때 수치적 문제

가 발생합니다. Mohr-Coulomb 기준에 대해서 이는 편각 (Lode Angle) 가 30°

에 근접하거나 꼭지점에서 발생할 수 있습니다. 따라서, 이 두 경우에 대해서는 응

력 적분 방법이 보정되어야 합니다. midas Civil에서는 >29°일 때, 흐름 벡터를

형성하기 위해 Drucker-Prager 기준이 사용됩니다.

Drucker-Prager 기준

Drucker-Prager 기준은 지반, 콘크리트, 암석 등의 부피 소성 변형을 보이는 재료

에 대해 적합합니다. 이 기준은 Mohr-Coulomb 기준과 근사하고, Von Mises 기준의

확장된 형태입니다. 항복 함수는 정수압 (Hydrostatic Stress) 의 영향을 포함하고,

다음과 같이 정의됩니다.

1 2

2sin 6 cos,

3 3 sin 3 3 sin

cF I J (26)

여기서, I는 첫 번째 응력 상수 (First Stress Invariant) 입니다.

Drucker-Prager 기준에 대해서는, 응력 지점이 항복면의 꼭지점 상에 있을 때 수치

적 문제가 발생합니다.


mid

as C

ivil


8-6-5 경화 법칙

유효 소성 변형율(Effective Plastic Strain)의 정의 방식에 따른 분류

1. 변형율 경화 (Strain Hardening)

변형율 경화에 대해, 유효 소성 변형율은 다음과 같이 정의됩니다.

2 2

3 3 a a

Tp p T

pd d d d (27)

이 유효 소성 변형율은 부피 소성 변형이 없다는 가정 하에서 소성 변형율의 놈

(Norm)을 단일 축 변형율에 맞게 스케일링 한 것입니다. 따라서, 이것은 원칙적으

로는 Tresca나 Von Mises에만 적용되어야 하겠지만, 수치적인 편리함으로 인해 다

른 경우에도 많이 사용됩니다.

2. 일 경화 (Work Hardening)

소성 일의 증분은 다음과 같습니다.

a

T p TpdW d d (28)

단일 축 경우에 대해, 위의 소성 일의 증분은 다음과 같습니다.

1 1 p e pdW d d (29)

따라서, 일 경화에 대한 유효 소성 변형율은 다음과 같이 정의됩니다.

a

T

pe

d d (30)



mid

as C

ivil

항복면의 변화 형식에 따른 분류

1. 완전 소성 (Perfectly Plastic)

완전 소성 재료에 대해, 소성 변형이 일어나고 항복면은 변하지 않습니다. 따라서

항복 함수는 다음과 같이 표현됩니다.

,

eF (31)

여기서 는 상수입니다.

2. 등방성 경화(Isotropic Hardening)

등방성 경화의 경우에는, 그림 2.8.30(a)에서와 같이 항복면이 균일하게 팽창하므

로, 항복 함수는 다음과 같이 표현됩니다.

,

e pF (32)

3. 운동형 경화 (Kinematic Hardening)

운동형 경화의 경우에 항복면은 그림 2.8.30(b)에서 처럼 크기는 변하지 않고 위치

만 이동되므로, 항복 함수는 다음과 같이 표현됩니다.

, ,

eF (33)

여기서

: 항복면 중심 좌표

: 상수

운동형 경화에서는 유발 항복면 중심 좌표 를 결정하는 것이 중요합니다. 경화

인자 를 결정하는 방법은 보통 두 가지가 있는데, 하나는 Prager의 경화 법칙이

고, 다른 하나는 Ziegler의 경화 법칙입니다. Prager의 경화 법칙은 다음과 같이 표

현됩니다.

a

pp pd C d C d (34)

여기서 Cp는 Prager 경화 계수입니다.


mid

as C

ivil


(a) 등방성 경화 (b) 운동형 경화

그림 2.8.30 일차원에서의 경화법칙

이 방법은 응력의 부 공간에서 사용될 때, 몇 가지 문제가 발생할 수 있습니다. 가

령 응력의 어떤 성분이 0이더라도

d 는 0이 아닐 수 있기 때문에 항복면의 이동

만을 나타내지 않을 수 있습니다.

Ziegler의 경화 법칙은 중심의 이동 변화율

d 가 감소된 응력(Reduced-Stress)

벡터

의 방향으로 발생한다고 가정하므로, 이러한 문제가 발생하지 않습니

다. 이 경화 법칙은 다음과 같이 표현됩니다.

z pd d C d (35)

여기서 Cz는 Ziegler 경화 계수입니다.

4. 혼합형 경화 (Mixed Hardening)

혼합형 경화는 등방성 경화와 운동형 경화가 조합된 형태로 다음과 같이 표현됩니

다.

, ,

e pF (36)

A B

O C

A′ B′

a′

a

A

O C

A′

B

B′



mid

as C

ivil

8-6-6 재료비선형 모델 사용시 주요 고려사항

midas Civil에 탑재되어 있는 재료비선형 모델들은 탄소성 모델로써 Von Mises,

Tresca, Mohr-Coulomb, Drucker-Prager로 구성된 네 개의 모델이 있습니다. 이중

Von Mises, Tresca모델은 구속압력에 독립적인 형태의 모델로써 연성재료인 강재의

모델링에 적합한 재료모델입니다. Mohr-Coulomb모델과 Drucker-Prager모델은 구속

압에 종속적인 특성을 가지며 콘크리트나 암반 또는 지반과 같은 취성거동을 하는

재료에 적합합니다. 네 개의 각 모델들은 모두 등방성경화모델(Isotropic Hardening)

과 이동경화모델(Kinematic Hardening)을 가지고 있습니다. 그러나 실무적으로 이

동경화모델은 강재와 같은 연성재료에서 나타나는 거동특성으로써 Von Mises,

Tresca모델에 많이 사용되며 Mohr-Coulomb, Drucker-Prager와 같은 취성모델에는

일반적으로 사용하지 않습니다. midas Civil 에서는 경화거동을 Bilinear거동으로 규

정하고 있으며 Cyclic 하중을 받는 강재에 등방성경화와 이동경화모델을 혼용하는

Mixed 모델을 적용할 경우 다음 그림과 같은 응력경로를 보입니다.

그림 2.8.31 Cyclic 하중을 받는 강재의 거동

시공시 많이 사용되는 일반 구조용강을 해석할 경우는 다음 그림과 같이 완전소성

거동을 가정하는 것이 일반적이지만 항복점을 넘어서는 경우 강성이 0이 되므로

구조물의 모델링 시 특별한 주의를 요합니다.


mid

as C

ivil


Yield Stress

그림 2.8.32 완전 소성거동

콘크리트와 같은 취성모델들은 다음 그림과 같이 인장거동과 압축거동이 다릅니다.

인장거동의 경우 균열모델을 사용하여 거동을 예측하는 것이 일반적입니다. midas

Civil에서는 균열모델과 콘크리트의 압축 거동 시 관측되는 비선형 경화거동에 대

한 모델은 현재 탑재되어 있지 않습니다.

그림 2.8.33 콘크리트의 인장 및 압축거동



mid

asCi

vil

Mohr-Coulomb이나 Drucker-Prager모델의 경우 3차원 주응력 공간 상에서 아래의

두 그림과 같이 육각추나 원추형 형상의 파괴면을 갖습니다. 탄소성 모델의 수치

해석 시 요구되는 응력회귀는 이러한 파괴면의 수직방향을 사용합니다.

(a) Mohr-Coulomb failure surface

(b) -plane (c) meridian plane

그림 2.8.34 Mohr-Coulomb yield surface in Π-plane & meridian plane

3

-σ 1

-σ2

-σ

hydr

osta

tic a

xis

θt0

r

σ1

σ2 σ3

rrc0

hydrostatic axis

de

via

toric

axi

s

c0r = 2√6c cosø3 - sinø

r =t02√6c cosø

3 + sinø

√3c cotø

θ = 6––

θ = 6–


mid

asCi

vil


(a) Drucker-Prager failure surface

(b) -plane (c) meridian plane

그림 2.8.35 Drucker-Prager yield surface in Π-plane & meridian plane

3

-σ 1

-σ2

-σ

hydr

osta

tic a

xisθ

0r

σ1

σ2 σ3

r hydrostatic axisd

evi

ato

ric a

xis

√6α

1

1

√ 3αk

r = √2k0

r = √2k0

√6α

θ = 6––

θ = 6–



mid

as C

ivil

Mohr-Coulomb이나 Drucker-Prager의 경우 꼭지점에서 C-1 불연속성(미분불가능)으

로 인해 회귀방향이 단일 해로 보장되지 않으면서 해가 발산합니다. 즉, 다음 그림

에 표시된 것과 같이 Apex Regime에 응력상태가 존재할 경우 해는 발산합니다.

현재 midas Civil 에서는 이를 고려하고 있지 않습니다.

그림 2.8.36 Apex Regime


mid

as C

ivil


8-7-1 개요

구조물의 내진성능 평가를 위한 비선형 해석법은 비선형 정적해석법과 비선형 동

적해석법으로 분류됩니다. 비선형 동적해석법은 가장 정확한 해석법이라 할 수 있

지만, 일반 엔지니어가 사용하기에는 많은 시간과 노력을 필요로 합니다. 반면에

정적해석법은 지진하중에 대한 구조물의 고유한 동적 특성을 반영하기 어렵다는

단점이 있으나, 해석절차가 간단하여 사용하기 쉽고 해석결과를 개념적으로 쉽게

표현하고 이해할 수 있어서 가장 많이 사용되고 있는 방법입니다.

비선형 정적해석을 일반적으로 Pushover 해석법이라 부릅니다. Pushover 해석은

부재의 재료비선형적인 특성을 고려하여 구조물이 항복한 이후의 거동과 한계상태

를 파악하는 가장 효과적인 해석방법입니다. Pushover 해석은 최근 지진공학과 내

진설계 분야에서 많은 연구와 실무 적용이 이루어지고 있는 성능에 기초한 내진설

계(Performance-Based Seismic Design, PBSD)에서 대표적인 해석방법으로 적용되

고 있습니다. 성능에 기초한 내진설계의 목적은 사용자 및 설계자 모두가 대상 구

조물의 목표성능(Target Performance)을 명확히 설정하고, 이를 구현할 수 있도록

하는 것입니다. 따라서 내진설계를 먼저 수행한 후에 Pushover 해석을 통하여 구

조물의 보유능력을 파악하고 고려하는 지진하중에 대하여 미리 설정된 목표성능이

달성되는지를 평가합니다.

일반적인 내진설계법에서 등가정적하중을 산정할 때 그림 2.8.37과 같은 방법이

주로 사용됩니다. 이 개념은 반응수정계수(R)를 통하여 설계하중을 낮게 산정하고

구조물은 설계하중 이상의 강도를 갖도록 하는 것입니다. 여기서 반응수정계수를

사용하는 이유는 지진하중에 대하여 비탄성 영역에서 발생할 수 있는 구조물의 에

너지 흡수능력을 고려하기 위한 것입니다. 이러한 설계법은 하중을 대상으로 하기

때문에 하중기반설계(Force-Based Design)이라 할 수 있습니다. 그러나 강도의 단

순한 비교만을 통해서는 구조물의 실제적인 거동을 예측하기가 어렵습니다. 또한

구성 부재의 강도만으로 구조물 전체적인 강도 및 변형율을 산정할 수 없습니다.

결과적으로 구조물의 성능이 명확하게 파악되지 않은 상태로 설계될 가능성이 높

습니다.



mid

as C

ivil

성능에 기초한 내진설계에서는 사용자 혹은 발주자, 그리고 설계자가 구조물의 목

표성능을 미리 설정합니다. 즉, 예상되는 지진하중에 대하여 주어진 여건에서 허용

할 수 있는 적절한 피해정도 혹은 에너지 흡수정도를 미리 설정하고, 이를 달성할

수 있도록 하는 것입니다. 그런데 에너지 흡수정도에 따라 구조물의 거동이 달라

지기 때문에 파괴에 이를 때까지 구조물의 변형성능을 예측할 수 있어야 합니다.

이때 성능평가의 대상을 구조물의 손상과 직접적인 연관성이 있는 변위로써 평가

하기 때문에 이를 변위기반설계(Displacement-Based Design)이라 합니다.

그림 2.8.37 하중기반설계법에 따른 지진하중의 산정

구조물의 변형성능을 평가하기 위한 하나의 방법으로 Pushover 해석을 수행하면,

그림 2.8.38과 같은 하중-변형에 대한 능력스펙트럼이 생성됩니다. 그리고 구조물

의 에너지 흡수정도에 따라 비탄성 요구스펙트럼을 산정할 수 있습니다. 능력스펙

트럼과 요구스펙트럼이 교차되는 점은 대상구조물이 해석시 고려한 지진하중에 대

하여 발휘할 수 있는 비선형 최대내력 및 변위를 의미합니다. 이 교차점이 목표성

능의 범위에 존재하면 목표가 달성되었다고 할 수 있습니다.

그림 2.8.38 변위기반설계법에 의한 구조물의 내진성능 평가


mid

as C

ivil


8-7-2 해석방법

구조물에 대한 목표성능은 최소 이상의 법규 및 내진설계기준을 만족하는 상태에

서 사용자와 설계자에 의해서 결정됩니다. 그리고 구조물의 구조성능을 파악하기

위하여 구조해석을 수행하게 되는데, 성능에 기초한 내진설계에서는 크게 다음과

같은 4가지 해석방법을 선택하고 있습니다.

선형 정적해석법(Linear Static Procedure, LSP)

선형 동적해석법(Linear Dynamic Procedure, LDP)

비선형 정적해석법(Nonlinear Static Procedure, NSP)

비선형 동적해석법(Nonlinear Dynamic Procedure, NDP)

midas Civil에서는 선형 정적 및 선형 동적해석법과 비선형 정적해석법 중에서 가

장 대표적인 해석방법이라고 할 수 있는 Pushover 해석을 제공하고 있습니다. 소

성힌지해석법이라고 불리는 Pushover 해석은 항복 이후의 극한내력과 안정상태를

매우 효과적으로 파악할 수 있는 방법입니다. 이 해석법은 고차모드와 동적특성의

영향을 받지 않는 구조물에 주로 사용할 수 있습니다. Pushover 해석에서는 재료

학적 비선형거동을 파악할 수 있으며, P-Delta효과를 고려할 수 있습니다. 재료의

비선형 특성은 부재의 단면에 대한 하중-변위관계를 이용하는 요소모델(Stress-

Resultant Stress Approach)을 도입하여 적용합니다.

Pushover 해석은 미리 설정한 정적하중을 구조물에서 예상할 수 있는 최대 성능

점까지 점진적으로 가하여 저항력과 변위와의 관계인 능력곡선(Capacity Curve)를

산정합니다. 다자유도 구조물에서의 저항력과 변위의 관계는 단자유도 시스템의

응답가속도와 응답변위와의 관계로 표현되는 능력스펙트럼(Capacity Spectrum)으로

전환됩니다. 그리고 지진하중에 대한 응답스펙트럼은 ADRS 형식(Acceleration-

Displacement Response Spectrum)으로 표현되는 요구스펙트럼(Demand Spectrum)

으로 변환합니다. 이 두 개의 스펙트럼을 비교하여 구조물의 비선형 상태에서의

최대 요구내력과 변형능력을 평가하고 목표성능과 비교하여 구조물의 성능수준

(Performance Level)을 결정하게 됩니다.

midas Civil에서는 기본적으로 ATC-40(1996)과 FEMA-273(1997)에서 제공하는 능

력스펙트럼법(Capacity Spectrum Method, CSM)의 원리를 이용하여 구조물의 내진

성능을 평가하고 있습니다. 이들 보고서에서 제시하고 있는 이론 및 적용계수 등



mid

as C

ivil

을 적용하여 구조물 및 부재의 성능을 평가할 수 있도록 하였습니다.

능력스펙트럼법(CSM)의 원리는 그림 2.8.39와 같습니다.

(a) 구조물의 능력곡선(Capacity Curve)과 능력스펙트럼(Capacity Spectrum) 산정

(b) 요구스펙트럼(Demand Spectrum)의 산정 (c) 성능점(Performance Point) 평가

그림 2.8.39 능력스펙트럼법(Capacity Spectrum Method, CSM)의 원리

Pushover 해석에서는 구조물이 보유하고 있는 내진성능을 평가하는 것이 주요 목

적이기 때문에 반드시 1차적으로 해석 및 설계가 완료된 구조물에서만 적용이 가

능합니다. Pushover 해석을 통하여 얻을 수 있는 장점은 다음과 같습니다.

구조물의 항복 이후 거동 및 보유내력의 평가

구조물의 에너지 소산능력 및 변위요구량의 파악

구조물을 구성하는 각 구조요소의 소성화 과정을 순차적으로 산정

보수ㆍ보강을 통하여 구조성능을 높이고자 할 때 필요부재의 경제적인 선

정

aS

dSmaxD

maxAn,2T

a2

2n

d S4

TS

n,1T

nTdS

aSaS

dS

aS

roof

roof


mid

as C

ivil


8-7-3 정적증분해석방법

정증증분해석의 개요

midas Civil의 정적증분해석의 목적은 설정한 하중에 대하여 하중 혹은 변위를 단

계적으로 구조물에 작용시켜, 구조물의 내력과 변위의 관계를 추적하여 구조물의

보유내력, 변형능력, 보유성능을 평가하기 위한 것입니다.

구조물의 내력과 변위의 관계는 그림 2.8.40과 같이 나타낼 수 있습니다. 구조물에

작용한 외력에 대하여 변형이 작은 범위에서 구조물은 거의 탄성거동하며, 내력과

변위의 관계는 선형으로 나타납니다. 그러나 외력이 점진적으로 증가하여 요소의

내력이 항복내력을 초과하면 소성힌지가 발생합니다. 소성힌지는 부재의 균열, 항

복 등에 의한 것으로, 이로 인해 부재의 강성과 내력이 변화하여 비선형거동을 하

게 됩니다.

그림 2.8.40에서 점 A를 초과하면 내력과 변위는 비선형관계가 되므로, 점 A를 탄

성한계라 합니다. 점 A에서 외력을 점차 증가시키면 소성힌지가 구조물 전체로 확

대되어 미소한 외력의 증가에 의해 변형이 급격히 증가하는 점 B의 상태에 이르게

됩니다. 점 B에서 외력을 더욱 증가시키면 더 이상 외력에 저항할 수 없는 지점인

점C에 도달하게 됩니다. 이때 점 C에서의 내력을 최대보유내력이라 합니다.

Inte

rnal

For

ce

그림 2.8.40 내력과 변형변위관계



mid

as C

ivil

수평보유내력이란 구조물이 수평력에 저항하는 능력으로, 구조물이 잠재적으로 보

유하고 있는 내력을 의미합니다.

점 C는 하중을 분할하여 점진적으로 하중을 증가시키는 하중증분해석에서 안정해

를 얻을수 있는 한계점입니다. 따라서, 극한점 이후의 거동을 파악하기 위해서는

변위를 점진적으로 증가시켜 해석하는 변위증분해석을 수행하여야 합니다.

midas Civil의 정적증분해석은 하중을 분할하여 해석하는 하중증분법(Load Control)

과 목표변위를 분할하여 해석하는 변위증분법(Displacement Control)을 제공합니다.

비선형 증분해석 과정

정적증분해석에서는 요소의 소성화에 의한 강성 변화와 이로 인한 각 요소의 내력

변화에 의해 불평형력(Residual Force)이 발생합니다. 이와 같은 불평형력을 해소하

기 위해서는 반복해석(수렴계산)이 필요합니다. midas Civil에서는 반복해석기법으로

Full Newton-Raphson Method를 사용하고 있습니다.

Full Newton-Raphson Method에 의한 비선형 정적증분 해석과정은 다음과 같습니

다.

(1)nF(0)

nK

1nU (3)nU(1)

nU (2)nU (4)

nU U

0Pn

1 0Pn

(2)nK

(1)nK

0P

(1)R(2)R

( )iRn (1)U n (2)U n (3)U

0Pn

( )inF

n (2)U



mid

as C

ivil


(1) 현재증분(n)의 외력벡터 0n P 를 구조물에 작용시키면 그림 2.8.41의 점

A가 얻어집니다. 이때의 비선형 정적방정식은 다음과 같이 표현됩니다.

1 0n n n n K U F P (37)

여기서 nK : 현재증분스텝(n)에서의 구조물의 접선 강성행렬

nU : 현재증분스텝(n)에서의 증분 변위벡터

1nF : 직전증분스텝(n-1)까지의 내력벡터

n : 현재증분스텝(n)에서의 하중 파라메터

0P : 설정된 하중벡터

0n P : 현재증분스텝(n)에서의 외력벡터

식 (37)은 다음과 같이 증분방정식으로 표현할 수 있습니다.

0 1

0

n n n n

n n n

K U P F

K U P (38)

여기서 0n P : 현재증분스텝(n)에서의 증분 외력벡터

식 (38)를 풀어 미지수인 증분 변위벡터 nU 를 구합니다.

(2) 증분 변위벡터 nU 를 이용하여 각 비선형 요소의 접선강성과 내력을 구

합니다. 구해진 각 요소의 접선강성을 조합하여 전체 구조물의 접선강성행렬

( )inK 을 구성합니다. 또한, 각 요소의 내력을 절점력으로 조합하여 내력벡터

( )inF 를 구합니다. 이때, 구조물의 내력과 변형량의 관계는 점 B가 됩니다.

(3) 하중이 0n P 만큼 증가하는 동안 비선형 요소가 항복하면, 요소강성이

변화하여 불평형력 ( )inR 이 발생합니다. 불평형력은 수렴계산을 통하여 해소합

니다.

( ) ( ) ( )0

( ) ( ) ( )

i i in n n n

i i in n n

K U P F

K U R (39)

여기서 ( )inK : 현재증분스텝(n)의 i번째 수렴계산에서의 접선 강성행렬



mid

as C

ivil

( )inU : 현재증분스텝(n) 의 i번째 수렴계산에서의 변위벡터

( )inF : 현재증분스텝(n) 의 i번째 수렴계산에서의 내력벡터 ( )inR : 현재증분스텝(n) 의 i번째 수렴계산에서의 불평형력

식 (39)를 풀어 미지수인 변위벡터 ( )inU 를 구합니다. 각 요소의 내력과 접선

강성을 구하고, 불평형력 ( )inR 을 구하여, 수렴조건이 만족할 때까지 (1)~(3)의

과정을 반복합니다.

(4) 수렴조건이 만족되면(점 C) (1)로 돌아가 다음 증분의 해석을 수행합니다.

불평형력과 수렴계산

식 (39)를 풀어 미지수인 변위벡터 ( )inU 를 구합니다. 각 요소의 내력과 접선강성

을 구하고, 불평형력 ( )inR 을 구하여, 수렴조건이 만족할 때까지 (1)~(3)의 과정을

반복합니다.

(1) 불평형력과 수렴계산

불평형력(Residual Force)은 각 증분에서의 요소강성 변화와 이로 인한 요소

내력의 변화에 의해서, 가해지는 외력과 요소에 발생하는 내력 간의 차이를

의미합니다. 불평형력은 전술한 바와 같이 Newton-Raphson Method에 의한

반복해석(수렴계산)을 통하여 해소되며, 반복해석 조건에 따라서 다음과 같이

처리됩니다.

수렴계산을 수행하는 경우(최대반복회수를 2이상으로 설정한 경우)

Newton- Raphson법에 의해 불평형력이 해소되어 수렴판단 조건을 만족할

때까지 반복해석을 수행합니다. 단, 아래의 a, b의 불평형력은 다음 증분의

외력으로 처리합니다.

a) 최대반복회수만큼 반복해석을 수행한 경우에도 수렴판단 조건을 만족하

지 못하여 잔존하는 불평형력

b) 수렴판단 조건을 만족했지만 여전히 잔존하는 불평형력


mid

as C

ivil


수렴판단 조건을 만족했다고 하더라도 불평형력이 완전히 0이 되는 것은

아닙니다. 단지 무시할 정도로 작아지는 것으로, 잔존 불평형력은 해석결과

에 거의 영향을 미치지 않습니다.

수렴계산을 수행하지 않는 경우(최대반복회수를 1로 설정한 경우)

불평형력은 다음 증분의 외력으로 처리합니다.

따라서, 최대반복수 만큼 반복해석을 수행한 경우에도 수렴판단 조건을 만족

하지 못하여 잔존하는 불평형력이 다음 증분의 외력에 더해지므로, 직전 증분

에서 수렴하지 않았다고 하더라도, 현재 증분에서 수렴하면 전체 해석결과에

미치는 영향은 크지 않습니다.

(2) 수렴판단조건

반복해석을 통하여 불평형력을 해소한다고 하더라고, 불평형력이 완전히 0이

되도록 수렴시키는 것은 수치해석적으로 불가능합니다. 따라서, 불평형력이

어느정도 이하가 되면 수렴되었다고 판단하고 다음 증분으로 넘어가기 위해

서 수렴판단조건을 설정하게 합니다.

반복해석에서 수렴을 판정하는 기준 Norm은 변위, 하중 및 에너지의 세가지

방법을 제공하며, 이 가운데 하나 또는 복수의 Norm을 선택하여 수렴판단에

사용할 수 있습니다. 각 Norm의 정의는 다음과 같습니다.

변위 Norm

( ) ( )

( ) ( )

i T in n

D i T in n

U U

U U (40a)

하중 Norm

( ) ( )

( ) ( )

i T in n

F i T in n

F F

F F (40b)

에너지Norm

( ) ( )

( ) ( )

i T in n

E i T in n

F U

F U (40c)



mid

as C

ivil

여기서 D : 변위 Norm

F : 하중 Norm

E : 에너지 Norm ( )inU : 현재증분스텝(n)의 i번째 반복계산까지 누적된 증분변위벡터 ( )inU : 현재증분스텝(n)의 i번째 수렴계산에서의 변위벡터 ( )i

nF : 현재증분스텝(n)의 i번째 반복계산까지 누적된 증분내력벡터 ( )i

nF : 현재증분스텝(n)의 i번째 수렴계산에서의 내력벡터

(3) 수렴판단조건의 설정

수렴판단 조건은 변위 Norm만을 선택하는 것이 일반적입니다. 복수의 Norm

을 수렴판단 조건으로 설정하면, 하나의 조건을 선택한 경우에 비해서 수렴반

복회수가 증가할 수 있습니다.

Substep에 의한 증분량의 자동분할

구조물의 비선형성이 매우 강한 경우, 수렴해석의 최대반복수까지 수렴하지 않는

경우가 있습니다. midas Civil의 비선형 해석에서는 이와 같이 수렴이 되지 않는 경

우에는 현재 증분량을 자동분할하여 수렴성능을 향상시키는 Substep기능을 제공합

니다.

Substep기능은 현재스텝에서 수렴되지 않은 경우, 수렴된 직전 스텝으로 되돌아가

현재 증분량을 0.5만큼만 계속 분할하여 해석을 수행하는 비선형 해석기법이며, 이

와 같은 분할된 스텝을 Substep이라 합니다.

예를 들어 이전 증분 단계까지 누적된 총 증분(증분 하중파라메터 혹은 증분 변위

량의 합)이 0.5이고, 현재 스텝의 증분량이 0.1인 경우, 수렴조건을 만족하지 않으

면 내부적으로 증분량을 분할하여 0.05로 조절하여 해석을 수행합니다. 이 경우에

도 수렴을 하지 않을 경우 0.025로 증분량을 조절하여 해석을 수행하는 방법입니

다.

Substep에 의한 증분량 자동분할과정은 다음과 같습니다.

최대반복수까지 수렴되지 않은 경우, 현재상태 B*에서 직전스텝에서 수렴


mid

asCi

vil


된 A로 이동합니다.

현재 스텝의 증분량을 2분할하여 증분해석을 수행합니다.

증분량을 2분할한 경우에도 수렴되지 않는 경우, 재차 증분량을 2분할 합

니다.

그림 2.8.42 Substep에 의한 증분량 자동분할

이와 같이 증분량을 Substep으로 분할하는 횟수는 Pushover탭>Control그룹

>Pushover Global Control의 Nonlinear Analysis Option의 Max. Number of

Substeps에서 지정합니다. Max. Number of Substeps의 기본값은 10이며, Substep은

수렴성능 향상을 위한 임시스텝으로 Substep에 대한 결과는 출력되지 않습니다.

Max. Number of Substeps을 “1”로 정의하면, 수렴하지 않는 경우, 증분량을 분할

하지 않습니다.

초기하중의 고려

횡력 혹은 수평력에 대한 구조물의 보유내력을 구하기 위하여 정적증분해석을 수

행하는 경우에, 중력방향하중(고정하중, 적재하중)에 대한 해석을 선행해야 할 필

요가 있습니다. 특히, 휨과 축력이 동시에 작용하는 기둥부재의 경우, 축력의 변동

을 고려하여 항복모멘트를 산정하므로 반드시 초기하중을 고려하여 해석을 수행하

여야 합니다.

정적증분해석에서 초기하중은 Pushover탭>Control그룹>Pushover Global Control



mid

as C

ivil

의 Initial Load에서 설정합니다. 정적증분해석에서 초기하중을 고려하는 경우에는

Pushover탭>Load Case그룹>Pushover Load Cases>Pushover Load Cases 에서

Use Initial Load를 선택합니다.

정적증분해석에서 초기하중의 설정방법은 다음 2가지 방법을 제공합니다.

Nonlinear Analysis for Initial Load

Import Static Analysis / Construction Stage Analysis Results

Nonlinear Analysis for Initial Load는 설정된 초기하중에 대해서 실제 비선형해석

을 수행하는 방법입니다. 정적증분해석은 비선형 증분해석이므로, 선형탄성해석과

같이 하중조합에 의해 각 요소의 내력을 구할 수 없습니다. 따라서, 초기하중을 고

려하는 경우에는 초기하중에 대해서도 비선형 해석을 수행하여야 합니다. 단, 이때

의 증분수는 1스텝으로 고정하여 해석합니다.

Import Static Analysis / Construction Stage Analysis Results는 초기하중과 정적증분

해석의 경계조건이 다른 경우 혹은 시공단계해석의 최종단계를 초기하중으로 고려

할 경우에 에 적용하는 방법입니다. 정적해석 결과 혹은 시공단계해석 결과를 초

기하중으로 설정하는 경우, 선형해석에서는 입력된 초기단면력을 단순히 선형조합

하여 처리 가능합니다. 하지만, 비선형 시간이력해석에서는 입력된 초기단면력을

비선형 요소의 상태판정에 고려하지 않으면, 연속적으로 수행되는 하중조건 사이

의 정합성을 확보할 수 없습니다. 또한, 부재에 발생하는 단면력은 가해지는 외력

에 의해 발생하므로, 입력된 초기단면력을 부재내력으로 평형방정식에 그대로 반

영하면, 평형조건이 성립되지 않습니다.

정적증분해석에서는 입력된 초기단면력에 대해 가상의 변형을 구하여, 비선형 부

재의 상태 판정시에 고려하는 방법으로 비선형 시간이력해석을 수행합니다. 단, 평

형방정식을 구성할때는 초기단면력은 무시되며, 상세한 해석방법은 다음과 같습니

다.

1. 정적증분해석의 초기증분에 들어가기 전에, 초기강성 0K 를 이용하여, 입

력된 초기 단면력에 대해 비탄성 힌지의 가상의 변형 iniD 을 구합니다.

a. 구해진 iniD 이 항복변형 이내에 있으면(탄성범위), 입력된 초기 단면력

을 그대로 해석에 반영합니다.

b. 구해진 iniD 이 항복변형을 초과한 경우, 이력루틴에서 변형 iniD 에 대

한 내력 iniP 를 구하여 해석에 반영합니다. 단, iniD 와 iniP 는 초기증분에

서 1회만 구합니다.


mid

as C

ivil


2. 평형방정식을 풀어, 증분변위 t tu 를 구합니다. 단, 초기 단면력은 내력으

로 입력되므로, 평형방적식을 구성할때는 무시됩니다.

3. 증분변위 t tu 을 이용하여, 비선형 힌지의 변형 D 와 내력 P 를 구합니다.

4. 비선형 부재의 상태판정을 위해 이력루틴에 들어갑니다. 단, 이력루틴에 들

어가기전에 비탄형 힌지의 변형과 부재력은 초기 단면력을 고려하여 다음

과 같이 수정됩니다. *

iniD D D *

iniP P P

5. 이력루틴에서 변형 *D 에 의해 강성과 내력 *P 을 계산합니다.

6. 비탄성 힌지의 해석결과를 출력합니다.

7. 평형방정식을 구성하기 위해서, 변형과 복원력을 다음과 같이 수정합니다. *

iniD D D

*iniP P P

평형방정식을 구성하고, 2. 로 돌아가 마직막 증분까지 이와 같은 해석을 반복합

니다.

0iniP

iniD

)ini(=P

그림 2.8.43 초기단면력의 처리

초기하중을 고려하는 경우에는 초기하중에 의해 발생한 각 요소의 내력은 정적증

분해석에 계승됩니다. 단, 초기하중에 의해 발생한 각 절점의 변위 및 반력/층전단

력을 정적증분해석 결과에 포함시켜 출력할 것인가의 여부는 Pushover Load Case



mid

as C

ivil

에서 선택가능 합니다.

P-Delta 효과

P-Delta해석은 요소가 횡력과 축력을 동시에 받을 때 2차적인 구조적 거동을 고려

하기 위한 기하학적 비선형 해석의 일종입니다. P-Delta효과를 고려하면, 요소의 강

성은 요소 고유의 횡방향 강성 k 에 축력에 따른 강성의 증감효과를 나타내는 기

하강성 Gk 가 더해집니다. P-Delta효과를 고려하는 경우의 비선형 정적방정식은 다

음과 같이 표현됩니다.

1 0G n n nn K K U F P (41)

여기서 K : 구조물 고유의 강성행렬

GK : 기하강성 행렬

정적증분해석에서 P-Delta효과는 다음 식과 같이 강성행렬의 행렬값이 양의 값을

갖는 영역에서만 반영됩니다. 강성행렬의 행렬값이 0 혹은 음의 값을 나타내면 요

소강성 구성시에 기하강성 Gk 를 무시합니다.

0G K K (42)

강성행렬의 행렬값이 0 혹은 음의 값을 나타내는 경우는 다음과 같습니다.

FEMA Type에서 변형이 커져서 부구배 상태에 들어가는 경우 (그림 2.8.41

의 C점 이후)

Multi-Linear Type에서 소성힌지 발생으로 갱신된 강성에 기하강성을 더한

이후 요소강성의 대각성분에 0 또는 음의 값이 나타나는 경우


mid

as C

ivil


해석종료조건

최대 증분회수에 도달하는 경우

Limit Inter-Story Deformation Angle

구조물의 각 층에서 발생하는 층간변형각의 최대값이 설정된 한계 층간

변형각을 초과하는 경우 자동종료합니다. 각 층에서 발생하는 층간변형각

의 산정방법은 다음과 같습니다.

1) 각 층에 설정된 수직부재의 층간변형각의 최대값

2) 층 중심에서의 층간변형각

3) 층의 절점변위의 평균값으로 층간변형각 산정

전단성분 힌지가 최초로 항복한 경우

1) 구조물에 설정된 전단성분 힌지중에서 최초로 항복한 경우 자동종료합니

다.

2) 전단성분 힌지항복시 자동종료 조건은 Pushover탭>Control그룹

>Pushover Global Control의 Analysis Stop에서 Shear Component Yield를

설정합니다.

3) 전단성분 힌지의 자동종료를 위해서는 요소에 전단성분 힌지를 설정할

필요가 있습니다.

축력성분 힌지의 압괴 / 좌굴이 발생한 경우

1) 구조물에 설정된 축력성분 힌지중에서 최초로 압괴 / 좌굴이 발생한 경

우 자동종료 합니다.

2) 축력힌지의 압괴 / 좌굴시 자동종료는 Pushover탭>Assign그룹>Define

Pushover Hinge Type/Properties에서 적용한 Material Type에 따라서 다음

과 같이 처리 됩니다.

a. RC / SRC(encased) : 축력힌지의 압축측 압괴(항복)시 자동종료합니

다.

b. Steel / SRC(filled)

- Input Method>Auto-Calculation

i) 요소가 항복하기 전에 좌굴하는 경우 : 좌굴시 자동종료



mid

as C

ivil

(축력항복내력보다 좌굴내력이 작은 경우)

ii) 요소가 좌굴하지 않는 경우 : 압축측 항복이 발생한 경우에도 자동

종료 하지 않고 계속 해석진행

- Input Method>User Input : 좌굴유무에 관계없이 압축측 항복시 자

동 종료

3) 축력성분 힌지의 압괴 / 좌굴시 자동종료는 Pushover탭>Control그룹

>Pushover Global Control의 Analysis Stop에서 Axial Component

Collapse/ Buckling를 설정합니다.

4) 요소에 축력성분 힌지를 설정할 필요가 있습니다.

5) 축력성분의 인장측 항복시에는 종료하지 않고 계속 해석을 진행합니다.

Current Stiffness Ratio

전체 구조물의 초기강성과 현재의 강성과의 비가 지정된 값에 도달한 경

우 (하중증분 해석만 해당)

초기하중에 대한 해석시에 PMM TYPE이 설정된 기둥의 축력이 항복축력

을 초과한 경우 (중력방향하중에 대해 기둥부재의 축성분이 항복했다는 의

미이므로, 초기하중이 과대하게 설정되었거나, 항복곡면의 설정에 문제가

있다고 판단할 수 있습니다. 따라서, 이와 같은 경우는 메시지 출력 후 강

제 종료 시킵니다.)


mid

as C

ivil


8-7-4 하중증분법에 의한 하중제어 방법

midas Civil 에서 하중증분법은 사용자가 구조물에 작용하는 최대하중을 미리 설정

하고, 최대하중에 도달할 때까지 하중을 적절히 분할하여 점진적으로 증가시키는

해석방법입니다. 즉, 하중증분법에서는 증분화하는 대상이 최대하중 0P 가 됩니다.

각 증분에서의 하중증분량 0n P 은 최대하중 0P 에 증분 파라메터 를 곱하여

산정합니다.

0 1 0 0n n nP P P (43a)

1n n n (43b)

1n n n (43c)

여기서, 0n P : n 스텝에서의 하중증분량

0P : 최대하중 벡터

n : n 스텝에서의 하중 파라메터

1n : n-1 스텝에서의 하중 파라메터

n : n 스텝에서의 증분 파라메터

하중증분해석에 의한 Pushover해석에서는 구조물에 최대내력(구조물이 외력에 저

항 할 수 있는 최대내력, Limit Point)이상의 외력이 작용하면, 하중증분해석으로 더

이상 안정해를 얻을 수 없는 해석불능 상태가 되어 발산하게 됩니다. Pushover해

석에서는 이와 같은 극한점에서 해석을 자동으로 종료하는 기능을 제공합니다.

U

0P

0Pn

nK

1 0P 2 0P

1 0Pn 0Pn

0Pn

0Pn

1 0Pn

그림 2.8.44 하중증분법



mid

as C

ivil

midas Civil에서 하중제어 방법은 Full Newton-Raphson 방법을 따르고 있습니다.

Full Newton-Raphson 방법은 미분의 원리를 이용하여 함수값을 찾는 방법으로 해

에 접근하는 속도가 빠르다는 장점이 있습니다.

하중은 기본적으로 일정한 분포를 가진 횡하중 또는 수평하중입니다. 하중의 분포

는 하중조건 중에서 사용자가 설정한 지진하중(Qud) 이외에도 사용자가 하중조건에

서 설정한 임의의 하중분포도 가능합니다. 또한 특정 절점에서의 절점하중을 포함

하여 하중조건에서 설정한 하중을 정적증분해석시의 하중으로 사용할 수 있습니다

midas Civil에서는 다음의 3가지 하중증분 제어방법을 제공합니다.

Auto Stepping Control

Equal Step Control

Incremental Control Function

Auto Stepping Control

1n

1 n nstep

n nstep

1n

0Pn

1 0P

그림 2.8.45 Auto Stepping Control에 의한 하중증분해석

자동증분 제어방법은 비선형성이 작은 구간에서는 증분간격을 크게 하고, 비선형

성이 큰 구간에서는 증분간격을 작게 제어하는 방법입니다. 자동증분제어에 의한

하중증분해석 방법은 다음과 같습니다.


mid

as C

ivil


(1) 1단계: 탄성한계 계산 ( 1n )

사용자가 설정한 수평하중을 재하하여, 수평하중에 대한 각 요소에 할당된 비

선형 힌지의 내력과 힌지의 항복내력의 비율을 구합니다. 이 비율은 최초로

비선형 힌지에 항복이 발생하는 하중을 의미하며 탄성한계가 됩니다.

yild ini

crnt ini

P Pratio

P P

(44)

여기서 ratio : 비선형 힌지의 항복내력과 수평하중에 의한 내력의 비율

yildP : 비선형 힌지의 항복내력

crntP : 수평하중에 의해 발생된 비선형 힌지의 내력

iniP : 초기하중에 의해 발생된 비선형 힌지의 내력

탄성한계의 90%를 1번째 하중스텝의 하중 파라메터로 설정하여 해석합니다.

1 1 1 0ini ini K U F P P (45)

여기서 1K : 1번째 하중증분스텝의 구조물의 접선 강성행렬

1U : 1번째 하중증분스텝의 증분 변위벡터

iniF : 초기하중에 대한 내력벡터

1 : 1번째 하중증분스텝의 하중 파라메터( 1 0.9 * ratio )

0P : 설정된 정적증분 하중벡터

iniP : 초기하중 벡터

1 0 P : 1번째 하중증분스텝의 외력벡터

(2) 2단계: 등차급수에 의한 증분해석 (1 n nstep )

탄성한계에서 설정된 총하중까지의 하중 파라메터는 다음과 같은 등차급수에

의해 할당됩니다.

1

1

1 1( 1)

1nstep

i

n nnstep n

i

(46)

여기서 n : 현재스텝(n)의 하중 파라메터

1n : 직전스텝(n-1)의 하중 파라메터



mid

as C

ivil

1 : 1번째 증분스텝의 하중 파라메터

nstep : 총 스텝수

i : 등차증분 step 수

현재스텝에서의 외력벡터는 다음과 같이 설정됩니다.

0n n P P (47)

(3) 3단계: 최종 스텝의 증분하중 ( n nstep )

최종 하중증분스텝( nstep )의 외력벡터는 다음과 같습니다.

0nstep nstep P P ; 1.0nstep (48)

그림 2.8.46 자동증분제어에 의한 하중증분해석시의 해석예 (하중 파라메터)

Equal Step Control

설정된 하중을 총 증분수로 나누어 증분해석을 합니다. 따라서, 각 증분에서의 하

중 파라메터의 증분량은 동일하며, 각 증분하중도 동일한 값이 적용됩니다.

Incremental Control Function

사용자가 정의한 함수룰 근거로 각 증분의 하중 파라메터를 구하여, 해석합니다.

설정방법과 해석시에 고려방법은 다음과 같습니다.


mid

asCi

vil


1. Pushover load case에서 총 스텝수 nstep 를 설정합니다.

2. Stepping Control Option>Incremental Control Function을 선택하여 증분함

수를 입력합니다.

No. : 입력되는 하중 파라메터 함수의 X축 정의. 총 증분수와는 무관한 값

으로 총 증분수를 변경하여도 함수를 변경할 필요는 없습니다.

Function : 해석에 직접 사용되는 하중 파라메터

3. 적용예

Case 1 : 각 증분의 하중 파라메터를 증분제어함수에 직접입력

nstep =10으로 설정

Incremental Control Function을 다음과 같이 설정

위와 같이 증분함수를 입력하면, 설정된 Function을 하중 파라메터로 그대

로 적용합니다. 단, 총 증분수를 10으로 설정한 경우입니다.

Case 2 : 하중 파라메터를 총 증분수와 무관한 중분함수로 입력

nstep =10으로 설정

No. Function

1 0.30 2 0.60 3 0.65 4 0.70 5 0.75 6 0.80 7 0.85 8 0.90 9 0.95

10 1.00



mid

as C

ivil

Incremental Control Function을 다음과 같이 설정

위와 같이 증분함수를 입력한 경우에 No.항의 최종값으로 No.항을 나누면

두 함수의 No.값은 같게 되므로, 위의 두 함수는 동일한 조건이 됩니다.

위와 같이 증분함수를 설정한 경우, 해석시의 각 증분에서의 하중 파라메

터는 다음과 같이 반영됩니다. 단, 총 증분수는 10으로 설정

Step No. Load Parameter

1 0.30 2 0.60 3 0.65 4 0.70 5 0.75 6 0.80 7 0.85 8 0.90 9 0.95

10 1.00

No. Function No. Function

0 0.0 또는 0.0 0.30 1 0.6 0.2 0.60 5 1.0 1.0 0.65


mid

as C

ivil


Current Stiffness Ratio에 의한 하중증분해석의 자동종료

하중증분해석에 의한 정적증분해석에서는 구조물에 최대내력(구조물이 외력에 저

항 할 수 있는 최대내력 : 그림 2.8.40의 점 C)이상의 외력이 작용하면, 하중증분

해석으로 더 이상 안정해를 얻을 수 없는 해석불능 상태가 되어 발산하게 됩니다.

midas Civil의 정적증분해석에서는 이와 같은 극한점에서 해석을 자동으로 종료하

는 기능을 제공합니다.

Current Stiffness Ratio는 초기상태(탄성상태)에서의 구조물의 강성행렬과 현재상태

의 강성행렬을 비율로 나타내어, 구조물의 상태를 판단하는 계수입니다.

Current Stiffness Ratio는 구조물의 상태에 따라서, 다음과 같이 표현됩니다.

탄성상태 : 100.0%Cs

최대내력점까지의 상태 : 0.0% 100.0%Cs

최대내력점 상태 : 0.0%Cs

최대내력점이후의 상태 : 0.0%Cs

현재의 증분에서 Cs가 0보다 작게 되면 안정해를 구할 수 없기 때문에 직전 하중

스텝으로 돌아가서 해석을 자동종료 합니다.

Cs =

Cs =

Cs =

Cs =Cs = Cs =

Cs =

:

: . Linear State Cs = 100%

. Stable Range 0% < Cs 100%

그림 2.8.47 Current Stiffness Ratio



mid

as C

ivil

8-7-5 목표변위에 의한 변위제어 방법

midas Civil에서 변위제어는 사용자가 구조물에서 발생할 수 있는 목표변위를 미리

설정하고 구조물에서 목표변위가 달성될 때까지 하중을 증가시키는 방법입니다.

midas에서 변위제어는 사용자가 구조물에서 발생할 수 있는 목표변위를 미리 설정

하고 구조물에서 목표변위를 적절히 분할하여 단계적으로 변위를 증가시켜 해석하

는 방법입니다. 각 증분에서의 변위증분량은 목표변위U 에 증분 파라메터 를

곱하여 산정합니다. 변위제어는 최대보유내력이후의 거동을 파악할 수 있습니다.

1n n nU U U (49a)

1n n nU U U (49b)

여기서, nU : n 스텝까지 누적된 변위벡터

nU : n-1 스텝까지 누적된 변위벡터

n : n 스텝에서의 증분 파라메터

U

0P

1Un

nK

1U U Un n n

Un

1U 1Un Un

Un

Un

그림 2.8.48 변위증분법


mid

as C

ivil


목표변위는 크게 Global Control과 Master Node Control로 설정할 수 있습니다.

Global Control은 구조물에서 발생하는 최대변위가 사용자가 입력한 목표변위를 만

족할 때까지 하중을 증가시키는 방법입니다. 이것은 하중의 방향성과 무관합니다.

Master Node Control은 사용자가 특정한 절점을 지정하고 그 절점에서 사용자가

지정한 방향에 대한 목표변위를 만족하도록 하중을 증가시키는 방법입니다. 성능

에 기초한 내진설계에서는 대부분 최대변위가 발생할 가능성이 있는 절점과 방향

을 고려하여 목표변위를 설정합니다.

목표변위는 구조물 전체높이의 1%, 2%, 4% 정도로 가정합니다. 이 값들은 구조물

의 시스템 수준에서의 최대 층간변위에 해당하는 것으로 구조물의 손상상태와 연

관성이 있습니다. 즉, ATC-40이나 FEMA-273 등에서는 최대 층간변위 1%를

Immediate Occupant Level, 2%를 Life Safety Level, 4%를 Collapse Prevention Level

로 정의합니다. 이 값들은 부재수준에서는 다르게 적용될 수 있습니다.

8-7-6 작용하중

작용하중은 각 층에서의 관성력을 반영할 수 있는 횡력이 되어야 합니다. 따라서

최소한 2가지 이상의 횡력 분포를 작용시키도록 권장하고 있습니다. midas Civil에

서는 3가지 형태의 횡하중 분포(Lateral Load Pattern)를 제공합니다. 정적하중의 형

상에 따른 하중(Static Load Case), 모드형상에 따른 하중분포(Mode Shape), 각 층

의 질량에 비례하는 하중분포(Uniform Acceleration)가 있습니다. 정적하중의 형상에

따른 하중분포를 이용하면 사용자가 임의 형상으로 하중을 분포시킬 수 있습니다.

그리고 모드형상에 따른 분포하중을 사용하기 위해서는 반드시 고유치해석이 선행

되어야 합니다.

정적증분해석에서 작용하중은 각 층에서의 관성력을 반영할 수 있는 횡력이 되어

야 합니다. 따라서, 작용하중은 기본적으로 일정한 분포를 가진 횡하중 또는 수평

하중을 설정하는 것이 일반적입니다. 정적증분해석시에는 최소한 2가지 이상의 횡

력 분포를 작용시키도록 권장하고 있으며, midas Civil에서는 다음의 4가지 형태의

횡하중 분포(Lateral Load Pattern)를 제공합니다.

정적하중의 형상에 따른 하중분포(Static Load Case)

질량에 비례하는 하중분포(Uniform Acceleration)



mid

as C

ivil

모드형상에 따른 하중분포(Mode Shape)

일반화 모드형상과 질량의 곱에 의한 하중분포(Normalized Mode Shape*

Mass)

각 하중분포에 의해 실제 해석에 작용하는 하중은 다음과 같이 산정됩니다.

정적하중의 형상에 따른 하중분포(Static Load Case)

정적하중의 분포는 선형탄성에서 정의된 정적하중을 적용합니다. 하중조건 중에서

사용자가 설정한 지진하중 이외에도 사용자가 하중조건에서 설정한 임의의 하중분

포도 설정가능 합니다. 또한 특정 절점에서의 절점하중을 포함하여 하중조건에서

설정한 하중을 정적증분해석시의 하중으로 사용할 수 있습니다

질량에 비례하는 하중분포(Uniform Acceleration)

힘과 질량의 관계는 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.

m a = P (50)

여기서 m : 질량2/ sec

N

m

a : 가속도 2/ secm

P : 힘 N

질량을 정적인 하중분포로 사용하기 위해서 가속도를 다음과 같이 가정합니다.

21.0 / seca m (51)

식(15)을 식(14)에 대입하면, 질량을 하중으로 표현할 수 있습니다. 즉, 질량에 비례

하는 하중분포는 각 자유도의 질량이 그대로 하중으로 적용됩니다.

1.0i im = P (52)

여기서 im : i번 자유도의 질량

iP : i번 자유도의 외력


mid

as C

ivil


모드형상에 따른 하중분포(Mode Shape)

고유모드는 구조물이 자유진동(또는 변형) 할 수 있는 고유형상을 의미하며, 구조물

의 동적 특성을 나타내는 중요한 지표중의 하나입니다. 특히, 구조물의 1차 모드는

구조물이 진동할 때 가장 적은 에너지(또는 힘)로 변형되는 형상을 의미하기 때문

에, Pushover해석에서 모드형상을 하중분포로 설정하는 경우에는 가력방향의 1차

모드형상을 설정하는 것이 일반적입니다.

정적증분해석에서 모드형상을 하중분포로 설정하는 경우, 가력방향의 모드형상을

하중분포로 설정할 수 있으며, 각 모드의 조합도 가능합니다.

모드형상을 하중분포로 설정할 경우, 실제 해석에 작용하는 하중은 다음과 같이 산

정됩니다.

모드형상은 물리적으로 구조물의 변형, 즉 각 절점의 변위를 의미하므로 변위분포

를 하중분포로 변환할 필요가 있습니다. 식(16)에 나타낸 것과 같이 질량은 하중으

로 표현할 수 있으므로, 식(16)의 관계를 응용하여 모드형상을 하중으로 표현합니

다.

1

1

n

jj

i in

jj

m

= P

(53)

여기서 i : i번 자유도의 모드형상(변위)

iP : i번 자유도의 외력

1

n

jj

m : 모든 자유도에 대한 질량의 총합

1

n

jj

: 모든 자유도에 대한 모드형상(변위)의 총합

일반화 모드형상과 질량의 곱에 의한 하중분포(Normalized Mode shape * Mass)

정적증분해석의 하중재하시에 아래식과 같이 변위를 가정하고, 질량을 곱하여 하중

을 결정하는 방법입니다.

여기서 i

iP

im

일반화된 모

반화 하여 다

여기서 i

따라서, 의

We Analyze a

i i iP = m

: 최대치로 일

: i번 자유도의

: i번 자유도의

드형상 는

다음과 같이 구합

max

MAX

ii

MAX

: i번 자유도의

의 최대값은 1이

and Design the Fu

반회된 i번 자유

외력

질량 (혹은, 층

고유치해석을 통

합니다.

1 2 3x , , ..

모드형상(변위

이 됩니다.

123

ture

유도의 모드형상

층 질량)

통해 얻어진 고

..., i

위)

Chap

상(변위)

고유모드 를 최

123

pter 8 | 비선

(54)

최대값으로 일

(55)

선형 해석

302

mid

as C

ivil


mid

as C

ivil


8-7-7 정적증분해석의 비선형 요소

midas Civil의 정적증분해석에서 제공하는 비선형요소는 2D 보요소(2-Dimensional

Beam Element), 3D 보-기둥요소(3-Dimensional Beam-Column Element), 트러스요소

(Truss Element) 그리고 비선형 범용연결요소 등이 있습니다. 각 요소는 다음과 같

은 특징을 가지고 있습니다.

정적증분해석의 비선형 요소의 개요

(1) 모멘트-회전각 관계 비선형 보요소

요소강성 : 유연도법에 의한 정식화

모멘트성분 힌지 특성 : 모멘트-회전각 관계로 정의

비선형 힌지 : 일축(Single Component) 및 다축-힌지(P-M-M)모델

비선형 힌지의 위치

RC, Steel Type : 요소양단(축, 전단, 비틀림, 모멘트)

골격곡선 : Bilinear, Trilinear, FEMA 타입

비선형 힌지의 초기강성 : 요소의 초기강성행렬(탄성상태)구성시에는 직접 반

영되지 않음. 비탄성 스프링 항복 후에만 해석에 영향을 미침

모멘트성분 힌지의 초기강성 : 6EI/L, 3EI/L, 2EI/L로 가정

(2) 모멘트-곡률 관계 비선형 보요소

요소강성 : 유연도법에 의해 정식화(수치적분)

모멘트성분 힌지 특성 : 모멘트-곡률관계로 정의

비선형 힌지 : 일축(Single Component) 및 다축-힌지(P-M-M)모델

골격곡선 : Bilinear, Trilinear 타입

Lumped Type 요소

요소양단의 소성화만 고려

비선형 힌지의 초기강성 : 요소의 초기강성행렬(탄성상태)구성시에는

직접 반영되지 않음. 비탄성 스프링 항복 후에만 해석에 영향을 미침

비선형 힌지의 위치 : 요소양단(축, 전단, 비틀림, 모멘트)

Distributed Type 요소



mid

as C

ivil

요소전체의 소성화 고려

비선형 힌지의 초기강성 : 요소의 초기강성행렬(탄성상태) 구성시에

직접 반영됨.

비선형 힌지의 위치 : 요소내 적분점

(3) 트러스 및 범용연결요소

비선형 힌지 : 일축(Single Component)모델

비선형 힌지의 위치 : 요소중앙

골격곡선 : Bilinear, Trilinear, FEMA, Slip 타입

비선형 힌지의 초기강성 : 요소의 초기강성행렬(탄성상태)구성시 반영

2D 보요소 및 3D 보-기둥요소

보요소 및 보-기둥요소는 동일한 방법으로 정식화할 수 있기 때문에 그림 2.8.49와

같은 절점력과 절점변위를 대상으로 수식화하며, 유연도법(Flexibility Method)에 의

해 정식화 됩니다. 유연도법은 요소내력(Element Section Force)의 분포에 근거하여

정식화 되므로, 강성도법에 비해서 정확한 해석이 가능합니다. 또한 변위법(강성도

법)에 비하여 적은 수의 요소로 모델링 한 경우에도 강성도법과 거의 같은 정도의

결과를 얻을 수 있는 수치해석적인 이점이 있습니다.

보요소 및 보-기둥요소에서는 다음과 같은 3차원 공간에서의 하중과 변위를 사용

합니다. 보요소는 축력이 작용하지 않는 경우에 사용할 수 있습니다.

{ , , , , , , , , , , , }Txi yi zi xi yi zi xj yj zj xj yj zjF F F M M M F F F M M Mf (56a)

{ , , , , , , , , , , , }T

i i i xi yi zi j j j xj yj zju v w u v w u (56b)

L

그림 2.8.49 2D 보요소 및 3D 보-기둥요소의 절점력 및 절점변위


mid

as C

ivil


비선형 보요소는 모멘트 성분의 비선형 힌지 정의방법에 따라서, 모멘트-회전각 관

계요소와 모멘트-곡률관계 요소로 구분됩니다. 또한, 이들 요소는 비선형 힌지의

위치와 정식화방법에 따라서 집중형 힌지모델(Lumped Type Hinge Model)과 분포형

힌지모델(Distributed Hinge Model)로 구분됩니다.

(1) 비선형 보요소의 해석 과정

비선형 보요소의 해석과정은 다음과 같습니다. 다음의 해석과정에서 수렴계산

과정은 포함되어 있지 않습니다. 실제 해석시에는 아래의 과정에 수렴계산과

정이 추가적으로 수행되므로 주의할 필요가 있습니다.

① 절점변위 계산

식 (57)의 비선형 정적증분방정식을 이용하여 전체구조물의 절점증분변위 벡

터 U 를 구합니다. 전체좌표계에서의 증분변위벡터 U 를 요소좌표계로 변

환하여 요소 양절점의 증분변위 Δu 를 구합니다. 단, 요소의 좌단을 i, 우단

을 j로 나타냅니다.

{ , , , , , , , , , , , }T

i i i xi yi zi j j j xj yj zju v w u v w u (57)

② 증분절점변위를 변형으로 변환(절대변위 상대변위)

요소증분변위 Δu 는 증분하중에 의해 발생한 양절점의 절대변위로서 강체이

동모드(Rigid-Body Mode)가 포함된 변위입니다. 요소가 강체이동하면 변위가

발생해도 변형은 0이 되므로, 강체이동에 의한 내력 역시 0이 됩니다. 따라서,

비선형 힌지의 내력을 계산할 때는 요소의 증분절점변위 Δu 에서 강체이동

모드에 의한 변위를 제외한 변위, 즉 상대변위를 이용하여 계산할 필요가 있

습니다.

비선형 보요소의 요소증분변위Δu 에서 강체이동모드를 제외하면, 1개의 축성

분과 1개의 비틀림성분 그리고 양 절점에서 각각 2개의 변형각이 얻어집니다.

각 성분별 상대변위 u 는 다음과 같이 정의할 수 있습니다.

축성분

양절점의 축방향 변위의 차이가 요소의 축방향 변형입니다.



mid

as C

ivil

j iu u u (58)

비틀림성분

양절점의 비틀림 회전각의 차이로 구합니다.

x xj xi (59)

회전성분

한 절점에서 요소의 회전각은 그림 2.8.50에 나타낸 것과 같이 모멘트와 전단

에 의한 변형각과 강체이동에 의한 회전각으로 구성됩니다.

s (60)

여기서 : 절점에서의 총회전각

: 모멘트와 전단에 의한 변형각

s : 강체이동에 의한 회전각, 단, j isy

w w

L

, j i

sz

v v

L

휨성분 비선형 힌지의 내력-변형관계는 모멘트와 강체이동을 제외한 변형각

으로 정의해야 하므로, 각 절점에서의 변형각은 다음과 같이 정의합니다.

s (61)

j iyi yi

y

w w

L

L

yi

yj

jwji

ww

yi

j i

y

w w

L

yj

j i

y

w w

L

j iyj yj

y

w w

L

iw

그림 2.8.50 요소의 절대변위와 상대변위와의 관계


mid

as C

ivil


식 (58)~(61)의 관계를 이용하여 각 성분별 상대변위의 증분벡터Δu 는 다음

과 같이 얻을 수 있습니다.

{ }T

yi zi yj zj xu u (62)

여기서 j i

j iyi yi

y

j izi zi

z

j iyj yj

y

j izj zj

z

x xj xi

u u u

w w

L

v v

L

w w

L

v v

L

③ 증분변형 Δu 를 이용하여 증분내력 Δq 계산

비선형 힌지의 증분내력 Δq 는 요소의 증분변형 Δu 에 강체이동모드(Rigid-

Body Mode)를 제외한 접선강성행렬 ABk 를 곱하여 구합니다. 증분내력 Δq는 축성분, 비틀림성분, 전단성분의 경우에는 요소중앙, 그리고 모멘트 성분

의 경우에는 양단에서의 내력입니다.

AB AB Δ Δkq u (63)

여기서 { }T

AB yi zi yj zj xn m m m m m q

: 축력, 모멘트성분의 증분내력 벡터

Δu : 비선형 힌지의 증분변형 벡터

ABk : 강체이동모드를 제외한 접선강성행렬

전단성분의 증분내력 Sq 는 증분모멘트를 이용하여 다음과 같이 계산됩니다.

T

S y zq q q (64)

여기서, zi zj

yz

qm m

L

,

yi yjz

y

qm m

L



mid

as C

ivil

④ 증분내력 Δq 과 힌지의 유연도를 이용하여 비선형 힌지의 증분변형계

산

증분내력 Δq 를 비선형 힌지의 증분내력 Δq 로 변환하는 방법은 비선형요소

의 종류(모멘트-회전각요소와 모멘트-곡률관계요소)에 따라서 다릅니다. 이에

대해서는 해당요소에 설명되어 있습니다.

각 성분의 비선형 힌지의 증분내력 Δq 가 구해지면 비선형 힌지의 현재상태

의 유연도를 이용하여 비선형 힌지의 증분변형량 dΔ 를 구합니다.

nd f q Δ Δ (65)

여기서 nf : 비선형 힌지의 유연도( 1/n nkf )

⑤ 성분별 비선형 힌지의 총내력과 총변형 누적

성분별 비선형 힌지의 총내력과 총변형량은 직전스텝까지의 내력과 변형에

현재스텝의 증분내력과 증분변형을 더하여 다음과 같이 구합니다.

1n nd d d Δ (66)

1n nq q q Δ (67)

여기서 1nd : 비선형 힌지의 직전스텝까지의 총변형

1nq : 비선형 힌지의 직전스텝까지의 총내력

⑥ 비선형 힌지의 유연도와 내력의 산정

비선형 힌지의 유연도와 내력은 그림 2.8.51에 나타낸 것과 같이 미리 설정된

골격곡선을 이용하여 다음의 과정으로 산정합니다.

1) 직전스텝(n-1)에서 현재스텝(n)으로 이동하는 사이에 비선형 힌지의 변형

nd 이 항복변형 yd 를 초과했는지 판정합니다. 현재스텝에서 항복변형 yd

를 초과했다는 것은 비선형 힌지의 내력이 항복내력을 초과한 것으로 요

소의 항복을 의미합니다.


mid

as C

ivil


2) 비선형 힌지의 변형 nd 이 항복변형 yd 을 초과한 경우, 강성 nk 는 미리

설정한 강성저감율에 따라서 새로운 강성 *nk 로 갱신합니다. 갱신된 강성

*nk 를 이용하여 유연도 *

nf 를 구합니다.

3) 새로운 강성 *nk 를 이용하여 비선형 힌지의 내력 *

nq 을 구합니다.

4) 불평형력 r 을 계산합니다. 단, *n nr q q

1nd nd

d

q

1nq

nq

nk

yq

*nq

r

*nk

yd

**

1n

n

fk

1n

n

fk

그림 2.8.51 비선형 힌지의 내력과 변형의 관계(골격곡선)

⑦ 비선형 보요소의 요소강성과 내력계산

골격곡선을 통하여 얻어진 비선형 힌지의 유연도와 내력을 이용하여 요소의

유연도 행렬과 요소내력을 구합니다. 요소의 강성행렬은 유연도 행렬의 역행

렬로 계산됩니다.

1n n

K F (68)

여기서 nF : 비선형 보요소의 유연도 행렬

nK : 비선형 보요소의 강성 행렬



mid

as C

ivil

(2) 모멘트-회전각 관계 비선형 보요소

횡력을 받는 골조구조물의 정적증분해석에서는 보요소에 역대칭 모멘트가 작

용하므로 요소양단에 모멘트가 집중되어 소성힌지가 발생합니다. 이와 같은

골조구조물의 해석에서는 탄성 보요소의 양단에 모멘트-회전각 관계로 정의

되는 회전 비탄성 스프링을 설정하여 요소단에서 발생하는 소성힌지를 효과

적으로 모델링한 모멘트-회전각 관계 비선형 보요소가 주로 사용됩니다. 모멘

트-회전각 관계요소는 모멘트 성분의 비선형 힌지가 요소양단에 설정되기 때

문에, 집중형힌지모델(Lumped Type Hinge Model)이라고도 합니다.

모멘트-회전각 관계 비선형 보요소의 성분별 비선형 힌지 특성

모멘트-회전각 관계 비선형 보요소는 소성변형이 가능한 길이가 0인 병진

또는 회전 비탄성스프링을 탄성 보요소에 삽입하며 이를 제외한 나머지 부

분은 탄성 보요소로 모델링합니다.

모멘트-회전각 관계 비선형 보요소의 비선형 힌지의 설정위치는 그림

2.8.48에 나타난 것과 같이 각 성분에 따라 다릅니다. 모멘트 성분은 요소

양단에 방향별로 2개씩 설정되고, 축력, 비틀림성분의 경우는 요소중앙에

1개씩 설정됩니다. 또한, 전단성분은 요소중앙에 방향별로 1개씩 설정됩니

다.

그림 2.8.52에서 스프링으로 표현되는 그림은 실제적인 스프링 요소의 존

재를 나타내는 것이 아니라 해석방법의 의미전달을 위한 것으로 비탄성 스

프링의 위치에서 소성변형이 집중되어 발생함을 의미합니다. 모멘트-회전

각 관계 비선형 보요소의 각 성분별 비선형 힌지 특징은 표 2.8.2와 같습

니다.

xiM xiF

ziFyiF

ziM yiM

xjMxjF

zjFyjF

zjM yjM

그림 2.8.52 모멘트-회전각 관계요소의 비선형 힌지 위치


mid

as C

ivil


*. 단, Masonry Type인 경우, 축력, 전단성분 힌지는 요소중앙에 위치

성 분 비선형 힌지 특성 초기강성 힌지의

설정위치

축력(Fx) 축력-변형(상대변위) EA/L

요소양단 전단력(Fy,Fz) 전단력-전단변형율 GAs

비틀림(Mx) 모멘트-회전각 GJ/L

모멘트(My,Mz) 모멘트-회전각

6EI/L

3EI/L

2EI/L

요소양단

표 2.8.2 모멘트-회전각 관계요소의 성분별 비선형 힌지 특성

모멘트-회전각 관계 비선형 보요소의 유연도 행렬

모멘트-회전각 관계 비선형 보요소의 요소 유연도 행렬은 비탄성 스프링의

유연도 행렬과 탄성보의 유연도 행렬을 더해서 구성됩니다. 이 때 비탄성

스프링의 유연도는 사용자가 정의한 집중형 힌지의 접선 유연도와 초기 유

연도의 차이로 정의되며 요소가 항복하기 전에는 0입니다. 비선형 힌지의

접선 유연도 행렬은 일축(Single Component) 또는 다축-힌지(P-M-M) 모델

에 의거한 상태판정으로부터 결정됩니다.

모멘트-회전각 관계 비선형 보요소의 해석과정은 다음과 같습니다.

① (1)비선형 보요소의 해석과정의 ①~⑥의 과정을 통하여 비선형 힌지의

유연도와 내력을 산정합니다. 단, 모멘트-회전각 관계 비선형 보요소는

증분내력 Δq 를 구한 지점에 비선형 힌지가 위치하므로, Δq 를 비선형

힌지의 증분내력Δq 로 그대로 사용합니다.

② 그림 2.8.53(a)의 골격곡선을 통하여 얻어진 각 성분별 비선형 힌지의 유

연도는 초기상태의 유연도와 비탄성스프링의 유연도로 구분하여 나타낼

수 있습니다.

0n sprf f f ; 0

1 1 1

n sprk k k (69a)

n el sprd d d (69b)



mid

as C

ivil

여기서 nf : 골격곡선을 통하여 얻어진 비선형 힌지의 유연도

0f : 초기 유연도

sprf : 비탄성 스프링의 유연도

nd : 비선형 힌지의 변형

eld : 탄성변형

sprd : 비탄성 스프링의 소성변형

nd

1n

n

kf

eld sprdeld

1

sprf

sprd

00

1k

f

(a) (b) (c)

그림 2.8.53 비선형 힌지의 유연도

③ 비탄성 스프링의 유연도는 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.

0spr nf f f (70)

④ 전체 비선형 보요소의 유연도행렬은 탄성보의 유연도 행렬에 비탄성 스

프링의 유연도 행렬을 더해서 구합니다.

0n sprfF = F + (71)

여기서 nF : 비선형 보요소의 유연도 행렬

0F : 탄성보의 유연도 행렬

sprf : 비탄성 스프링의 유연도 행렬(단, 탄성상태에서는 0)

비탄성 스프링은 비선형 힌지가 항복내력에 도달한 시점에서 발생하므로

탄성범위에서 유연도는 0이 되어, 비선형 힌지가 항복하기 전에는 보요


mid

as C

ivil


소의 유연도 행렬은 탄성보의 유연도와 같습니다. 따라서, 사용자가 설정

한 비선형 힌지의 초기강성은 힌지가 항복하기 전에는 해석결과에 영향

을 미치지 않음에 주의할 필요가 있습니다.

⑤ 모멘트-회전각 관계 비선형 보요소의 강성행렬은 비선형 보요소의 유연

도 행렬의 역행렬을 취하여 구합니다.

모멘트-회전각 관계 비선형 보요소의 모멘트 성분 비선형 힌지의 초기강성

휨 변형 힌지의 모멘트-회전각 관계는 단부의 휨 모멘트 뿐만 아니라 부재

중간의 휨 모멘트 분포에 의해서도 영향을 받습니다. 따라서 휨 변형 힌지

의 모멘트-회전각 관계를 결정하기 위해서는 휨 모멘트의 분포를 가정할

필요가 있습니다. 일반적으로 그림 2.8.54 ~ 그림 2.8.56과 같이 모멘트가

작용하는 단순보를 기준으로 하여 모멘트 분포의 가정에 의해 초기유연도

를 정의하고 초기강성을 설정합니다.

① 직선분포로 가정된 휨모멘트의 양단값이 크기가 같고 방향이 반대인 경

우

aMbM

a

bbM

aM

(a) Deflection Shape (b) Moment Distribution

그림 2.8.54 역대칭 모멘트를 받는 단순보의 변형상태

2차원 탄성 보요소의 힘-변위의 관계는 다음과 같이 표현됩니다.

2 2

3

2 2

12 6 12 6

6 4 6 2

12 6 12 6

6 2 6 4

a a

a a

b b

b b

V vL L

M L L L LEIV vL LL

M L L L L

(72)

그림 2.8.54의 경우, 0a bv v 이고 a b 가 되므로, 윗 식는 다음과

같이 표현됩니다.



mid

as C

ivil

2 2

3 2 2

4 2

2 4a a

b b

M L LEIM L L L

(73a)

따라서,

1 1

3 61 1

6 3

a a

b b

MLMEI

(73b)

여기서, a b , a bM M 이므로, 6a a

LM

EI ,

6b b

LM

EI 로 나타

낼 수 있습니다.

따라서, 역대칭 모멘트를 받는 보요소의 모멘트성분의 초기유연도와 강성은 다

음과 같이 정의합니다.

0 6

Lf

EI , 0

6EIk

L (73c)

② 한쪽 단부에만 모멘트가 작용하는 경우

aMaM

a


그림 2.8.55 한쪽 단부에만 모멘트를 받는 단순보의 변형상태( 0bM )

그림 2.8.55의 경우, 0a bv v 이고 0bM 가 되므로, 식(72)는 다음

과 같이 표현할 수 있습니다.

2 2

3 2 2

4 2

0 2 4aa

b

M L LEI

L L L

(74a)

따라서,

1 1

3 61 1 0

6 3

a a

b

ML

EI

(74b)


mid

as C

ivil


3a a

LM

EI 로 나타낼 수 있습니다. .

즉, 한쪽 단부에만 모멘트를 받는 보요소에 모멘트성분의 초기유연도와 강성

은 다음과 같이 정의합니다.

0 3

Lf

EI , 0

3EIk

L (74c)

③ 양단 모멘트의 크기 및 부호가 모두 같은 경우( b aM M )

aMa

bM aMbbM


그림 2.8.56 양단 모멘트의 크기와 부호가 같은 경우의 단순보의 변형상태

그림 2.8.56의 경우, 0a bv v 이고 b aM M 가 되므로, 식(72)는

다음과 같이 표현 할 수 있습니다.

2 2

3 2 2

4 2

2 4a a

b b

M L LEIM L L L

(75a)

따라서,

1 1

3 61 1

6 3

a a

b b

MLMEI

(75b)

즉, 양쪽 모멘트의 크기와 부호가 같은 경우, 모멘트성분의 초기유연도와 강

성은 다음과 같이 정의합니다.

0 2

Lf

EI , 0

2EIk

L (75c)

(3) 모멘트-곡률 관계 비선형 보요소

모멘트-곡률 관계 비선형 보요소는 요소 내에 여러개의 비선형 힌지를 설정

합니다. 설정한 각 힌지 위치에서 탄소성 여부를 판단하여 힌지의 유연도를

계산한 후에 수치적분을 통하여 요소의 유연도행렬를 구성하고, 요소강성행렬



mid

as C

ivil

을 구합니다. 모멘트-곡률 관계 비선형 보요소의 비선형 힌지는 축성분의 경

우 축력-변형율 관계로 정의하고, 모멘트성분은 모멘트-곡률 관계로 정의합니

다.

보-기둥요소의 비탄성 거동은 주로 요소 단부에 집중되는 경우가 많습니다.

그러나, 일반적인 수치적분법으로 널리 사용되는 Gauss-Legendre적분법은 요

소단부에 적분점을 설정할 수 없습니다. 따라서, midas Civil에서는 요소 단부

에 적분점을 취할 수 있는 Gauss-Lobatto 수치적분법을 사용합니다.

모멘트-곡률관계 비선형 보요소의 성분별 비선형 힌지 특성

midas Civil의 정적증분해석의 모멘트-곡률관계 비선형 보요소는 요소전체

의 소성화를 고려할 수 있는 분포형모델(Distributed Type)과 요소양단에서

의 소성화만을 고려하는 집중형모델(Lumped Type)을 제공합니다.

모멘트-곡률관계 비선형 보요소의 분포형모델(Distributed Type)은 요소양단

에소성힌지의 길이를 정의할 수 있습니다. 힌지의 분포를 요소전체(Entirety)

로 선택하면, 요소전체의 소성화를 고려합니다. 요소양단에 소성힌지의 길

이를 정의하면, 항복시에 힌지길이만 소성화하며 요소내부는 선형탄성으로

처리합니다. 힌지의 분포는 각 성분별로 정의 가능합니다.

① Moment- Curvature Distributed Type

Hinge Distribution : Entirety Type

- 비선형 힌지 : 요소전체에 분포하는 적분점으로 설정(1~20개 설정가능)

- 요소전체의 소성화 고려가능

- 성분별로 적분점의 개수를 각각 설정가능

Hinge Distribution : I-End, J-End, I&J-End

- 비선형 힌지 : 요소양단에 위치한 소성힌지길이로 설정(각1적분점)

- 힌지길이만 소성화되며, 내부는 선형탄성으로 처리

- 성분별로 힌지분포 설정가능

② Lumped Type

- 비선형 힌지의 위치 : 요소양단(모멘트), 요소중앙(축, 전단, 비틀림)

- 요소양단의 소성화만 고려가능

- 모멘트성분 비선형 힌지 : 요소에 3개의 적분점 설정

(단, 중앙의 적분점은 탄성)


mid

asCi

vil


- 축, 전단, 비틀림 : 요소중앙에 1개의 적분점 설정

(a) Distributed Type (b) Lumped Type(모멘트성분)

그림 2.8.57 모멘트-곡률관계 비선형 보요소의 비선형 힌지

③ 소성힌지의 길이(Hinge Length)

- Moment- Curvature Distributed Type만 정의가능

- 요소양단에 설정

- 소성힌지길이로 정의된 이외의 영역은 선형탄성으로 처리

- 소성힌지길이는 요소전체길이에 대한 비율로 정의(0 < Lp/L < 1.0)

단, 양단의 소성힌지길이의 합은 요소전체의 길이를 넘을수 없습니다.

(LpI/L + LpJ/L ≤ 1.0)- 요소양단에 설정

- Beam End Offset 등이 설정한 경우, 요소전체길이는 Offset을 제외

한 순스팬 길이로 간주하여 처리됩니다.

- 소성힌지길이가 정의된 경우에는 Modified Two-Point Gauss-

Radau 수치적분법에 의해 요소강성을 구성합니다.

pIL L

1.0

pJL L

1.0

(a) I-End (b) J-End

pIL L pJL L

1.0

(c) I&J-End

그림 2.8.58 모멘트-곡률관계 비선형 보요소의 소성길이

M M

Integration PointRigidZone

RigidZone

M M


RigidZone(Inelastic Hinge)

Inelastic Hinge

Elastic Hinge



mid

as C

ivil

모멘트-곡률 관계 비선형 보요소의 각 성분별 비선형 힌지 특징은 표 2.8.3과

같습니다.

성 분 비선형 힌지 특성 초기

강성

힌지의 설정위치

(Lumped/Distributed)

축력(Fx) 축력-변형율 EA 요소중앙 / 적분점 위치

전단력(Fy,Fz) 전단력-전단변형율 GAs 요소중앙 / 적분점 위치

비틀림(Mx) 모멘트-곡률 GJ 요소중앙 / 적분점 위치

모멘트(My,Mz) 모멘트-곡률 EI 요소양단 / 적분점 위치

표 2.8.3 모멘트-곡률관계요소의 성분별 비선형 힌지 특성

모멘트-곡률 관계 비선형 보요소의 유연도 행렬

모멘트-곡률 관계 비선형 보요소의 요소 유연도 행렬은 각 적분점에 위치

하는 비선형 힌지의 유연도를 수치적분하여 구합니다. 비선성힌지의 접선

유연도 행렬은 일축(Single Component) 또는 다축-힌지(P-M-M) 모델에 의

거한 상태판정으로부터 결정됩니다.

모멘트-곡률 관계 비선형 보요소의 해석과정은 다음과 같습니다.

① (1)비선형 보요소의 해석과정의 ①~③의 과정을 통하여 요소의 증분내력

Δq 를 구합니다. 각 적분점에 위치한 비선형 힌지의 증분내력 ( )xΔq

는 증분내력 Δq 를 내삽함수(Force Interpolation Function)를 이용하여

다음과 같이 변환하여 구합니다.

- 축력과 모멘트성분의 비선형 힌지의 증분내력

( ) ( )AB ABx x Δ b Δq q (76)

여기서 TAB yi zi yj zjn m m m m Δ =q : 요소의 증분내력

sec ,sec ,sec( )TAB y zx n m m Δq : 비선형 힌지의 증분내력


mid

as C

ivil


1 0 0 0 0

( ) 0 1 0 0 ,

0 0 1 0

xx

L

b : 내삽함수

- 전단성분의 비선형 힌지의 증분내력

,sec

,sec

,sec

zi zjy

z

yi yjz

y

x x

m mq

L

m mq

L

m m

(77)

여기서 yi zi yj zjm m m m , , , : 요소 양단의 증분모멘트

,secyq ,seczq : 전단성분의 비선형 힌지의 증분내력

,secxm : 비틀림성분의 비선형 힌지의 증분내력

② 비선형 보요소의 해석과정의 ④~⑥의 과정을 통하여 비선형 힌지의 유

연도 ( )f x 와 내력을 산정합니다.

③ 각 적분점에서 구한 성분별 유연도 ( )f x 를 수치적분하여 보요소의 유

연도행렬을 구성합니다.

0( ) ( ) ( )

L Tb x f x b x dx F (78)

여기서 ( )f x : 위치 x 에서의 단면의 유연도 행렬

( )b x : 위치 x 에서의 부재력 분포 함수 행렬(내삽함수)

F : 요소 유연도 행렬

L : 요소 길이

x : 단면의 위치

④ 모멘트-곡률관계 비선형 보요소의 강성행렬은 비선형 보요소의 유연도

행렬의 역행렬을 취하여 구합니다.



mid

asCi

vil

트러스요소

트러스요소는 그림 2.8.59와 같이 부재 축방향(x방향)의 압축력 및 인장력을 받을

수 있는 비선형 스프링을 사용합니다.

그림 2.8.59 트러스요소의 절점력

트러스 요소의 비선형 힌지 특징은 표 2.8.4와 같습니다.

성 분 비선형 힌지 특성 초기강성 힌지의 설정위치

축력(Fx) 축력-변형(상대변위) EA/L 요소중앙

표 2.8.4 트러스요소의 비선형 힌지 특성

비선형 범용연결 요소

범용연결요소(General Link)는 두 절점을 연결하는 요소로서, 세 방향의 신장 및

회전을 가지는 6개의 스프링으로 구성됩니다. 정적증분해석에서는 General Link

Properties에서 Spring Type으로 설정한 후에 Pushover Hinge Properties를 할당하

여 범용연결요소의 비선형특성을 정의합니다.

비선형 범용연결요소의 각 성분별 비선형 힌지 특징은 표 2.8.5와 같습니다.

성 분 비선형 힌지

특성 초기강성

힌지의

설정위치

축력(Fx) 축력-변형 사용자정의(EA/L) 요소중앙

전단력(Fy,Fz) 전단력-변형 사용자정의(GAs/L) 요소중앙

비틀림(Mx) 모멘트-회전각 사용자정의(GJ/L) 요소중앙

모멘트(My,Mz) 모멘트-회전각 사용자정의(EI/L) 요소중앙

표 2.8.5 비선형 범용 연결 요소의 성분별 비선형 힌지 특성


mid

as C

ivil


8-7-8 비선형 힌지 특성

midas Civil의 정적증분해석은 요소에 비선형 힌지를 설정하여 힌지의 변형과 그로

인한 내력으로 비선형 힌지의 항복상태를 판정합니다. 비선형 힌지 특성은 각 성

분이 독립적으로 거동하는 일축-힌지모델(Single Component Type)과 축력-모멘트

성분의 상호작용을 고려하는 다축-힌지모델(P-M-M Type)로 구분할 수 있습니다. 비

선형 힌지는 골격곡선(Skeleton Curve)에 의해 정의됩니다. 골격곡선은 해석용 최

소모델 단위인 요소단면에서의 구성재료의 응력-변형율관계, 단면의 모멘트-곡률관

계, 양단의 모멘트-회전각 관계 등의 비선형 거동특성을 이상화된 곡선으로 표현한

것입니다.

비선형 힌지의 내력과 변형의 관계, 즉 골격곡선(Skeleton Curve)상의 힘과 변형의

관계는 비선형 요소의 성분별 비선형 힌지 특성을 나타낸 표 2.8.2~2.8.5를 참고하

시기 바랍니다.

Skeleton Curve의 개요

midas Civil의 정적증분해석에서 제공하는 모든 골격곡선은 하중증분법(Load

Control)과 변위증분법(Displacement Control)에 모두 사용가능하며, 접선강성 행렬

(Tangent Stiffness Matrix)을 사용합니다.

(1) Bilinear Type

대응요소 : 보요소, 벽요소, 트러스, 범용 연결요소

힌지특성 : 일축-힌지 및 다축-힌지 정의 가능

골격곡선의 초기강성 0k : (+), (-)방향 대칭으로만 설정가능

(2) Trilinear Type

대응요소 : 보요소, 벽요소, 트러스, 범용 연결요소



(3) FEMA Type

대응요소 : 모멘트-회전각관계 보요소, 벽요소, 트러스, 범용연결요소




mid

as C

ivil


(4) Slip Type

대응요소 : 트러스, 범용 연결요소

힌지특성 : 일축-힌지정의

초기 Gap 설정가능

Multi-Linear Hinge Type : Bilinear , Trilinear

Multi-Linear 힌지특성은 하중제어와 변위제어 해석에서 모두 적용될 수 있습니다.

하중과 변형관계는 Bilinear와 Trilinear의 두 가지 형식으로 정의 가능함

항복 후 강성과 균열강성은 초기강성에 대한 강성비(Stiffness Ratio)로써

특성을 표현함

요소의 강성감소는 표현되지만 강도저하(부구배)는 표현할 수 없음

(a) Bilinear Type (b) Trilinear Type

그림 2.8.60 Multi-Linear Hinge Type을 이용한 소성힌지 특성


mid

as C

ivil


FEMA Hinge Type

FEMA 힌지특성은 철근콘크리트 부재와 철골부재에 대하여 반복하중(Reversed

Cyclic Load)실험을 통해 저항능력을 평가한 후에 실무에 적용할 수 있도록 이상화

(Idealized)한 것으로 아래 그림과 같이 나타내고 있습니다.

midas Civil의 FEMA 힌지특성은 변위증분해석과 하중증분해석에 적용가능합니다.

하중증분해석에서 일부 요소가 파괴되어 점 C이후가 되더라도, 전체구조물의 내력

이 감소하지 않는다면 해석이 진행됩니다. 단, 요소의 파괴가 점차 진행되어 구조

물의 전체내력이 감소하는 구간 이후에는 안정해를 구할 수 없기 때문에, midas

Civil에서 제공하는 자동종료조건(Current Stiffness Ratio)에 의해 강제종료 됩니다.

그림 2.8.61 FEMA Hinge Type을 이용한 소성힌지 특성

- Point A: 하중이 재하되지 않은 상태

- Slop A-B: 부재의 초기강성(Initial Stiffness) 상태 구간, 재료특성, 부재치수, 철

근량, 경계조건, 응력과 변형수준에 따라 결정

- Point B: 공칭항복강도(Nominal Yield Strength) 상태

- Slop B-C: 변형경화(Strain Hardening) 구간, 일반적으로 초기강성의 5-10%를

가지며 인접한 부재와의 내력 재분배에 중요한 영향을 미침

- Point C: 공칭강도(Nominal Strength), 부재내력에서 강도저하가 시작되는 시점

- Drop C-D: 부재의 초기파괴(Initial Failure)상태, 철근콘크리트 부재의 경우에 주

근이 파단(Fracture)되거나 콘크리트가 파손(Spalling)되는 상태, 철골부재의 경

우 전단내력이 급격하게 감소

- Zero D-E: 잔류저항(Residual Resitance) 상태, 공칭강도의 20% 수준에서 저항

- Point E: 최대변형능력, 중력하중을 더 이상 받을 수 없는 상태



mid

as C

ivil

다축-힌지 모델 : P-M-M Type

다축-힌지 모델은 축력과 2축의 모멘트를 받는 기둥부재의 모델링에 주로 사용되

는 힌지모델입니다. 다축-힌지 모델의 축력-모멘트의 관계는 항복곡면에 의해 정의

되며, 축력의 변동에 따라서 항복모멘트를 산정합니다.

maxP

( )P compression

M

0( )PC t 0MC , maxMY

( )P tension

0MY

maxP

( )P compression

M

,maxMU

( )P tension

(a) RC TYPE(Trilinear) (b) Steel Type(Bilinear)

그림 2.8.62 P-M-M Type 힌지의 항복곡면

2방향 모멘트 및 축력을 받는 경우에는 주어진 축력에 대한 각 축 방향의 항복 모

멘트를 구한 후 다음과 같은 관계식을 사용합니다.

yM

zM

'yMY

'zMY

yMY

zMY

' '

1.0y z

y z

MY MY

MY MY

(79)


mid

as C

ivil


는 1.0~2.0값을 설정하며, 식(79)는 콘크리트와 철골부재에 모두 사용합니다. 단,

H형강인 경우는 강축인 경우, =2.0, 약축인 경우 =1.0값을 채용합니다. 식

(80)는 y축이 강축인 경우의 2방향 모멘트상관관계를 나타냅니다.

2.0 1.0' '

1.0y z

y z

MY MY

MY MY

(80)

RC 부재의 2차 구배 강성저감율

RC 부재를 모멘트-회전각 관계요소로 정의하고, 모멘트성분에 Trilinear Type의 골

격곡선을 정의한 경우, 균열 후의 강성은 항복시 강성저감율 y 를 이용하여 자동

계산 됩니다.

항복시 강성저감율 y 는 그림 2.8.63과 같이 표현되며, 2차구배의 강성저감율 1는 식(81)로 구할 수 있습니다.

cM

yM

0y k

M

0k

c y

1 0k

2 0k

그림 2.8.63 RC부재의 균열후의 강성과 ay와의 관계

(81)

(일본건축학회 [철근콘크리트구조설계규준·동해석])

1y c

yc

y

M M

MM

(82)

2

00.043 1.64 0.043 0.33y t

a dnp

D D



mid

as C

ivil

다축-힌지(PMM Type)의 경우, 축력변동을 고려하여 항복모멘트를 강성하기 때문에

강성저감율 y 의 계산시에도 축력변동의 영향을 고려할 필요가 있습니다. PMM

Type에서 y 의 계산방법은 다음과 같습니다.

1. 항복곡면상에서 현재 스텝에서의 부재축력 iP 과 균열면과의 교차점인 균

열모멘트를 산정합니다.

2. 초기하중(장기하중)에 대한 부재축력 부재축력 0P 과 점a를 지나는 직선을

항복면까지 연장하여 점b를 구합니다.

3. 점b의 모멘트를 예측항복모멘트로 하여, y 산정용 축력 yP 를 구합니다.

maxP

( )P compression

M

0( )PC tMC

( )P tension

MY

0P

iP

yP

그림 2.8.64 PMM TYPE의 ay계산시의 축력산정


mid

asCi

vil


8-7-9 성능점을 이용한 내진성능평가

midas Civil에서는 기본적으로 능력스펙트럼법(CSM)의 원리를 이용하여 구조물의

보유내력과 내진성능을 평가합니다. 구조물의 보유내력은 Pushover 해석을 이용하

여 능력곡선과 능력스펙트럼을 산정하여 평가할 수 있습니다. 그리고 지진하중에

대한 요구스펙트럼은 유효감쇠 원리가 적용된 탄성설계스펙트럼을 이용하여 평가

할 수 있습니다. 이 두 가지 스펙트럼을 하나의 좌표계로 표현하면 교차점이 발생

하며 이 교차점이 바로 구조물의 비선형 최대 요구내력을 의미하는 성능점

(Performance Point)으로 결정됩니다. 성능점에서의 변형정도와 보유내력을 이용하

여 구조물이 보유하고 있는 내진성능과 성능수준을 평가할 수 있습니다.

능력스펙트럼과 요구스펙트럼

구조물의 내진성능과 성능수준을 평가하기 위해 능력스펙트럼(Capacity Spectrum)

과 요구스펙트럼(Demand Spectrum)을 사용합니다. Pushover 해석에서는 하중-변위

관계( V - U )가 생성되며, 응답스펙트럼의 경우에는 가속도-주기(A-T)의 관계가 얻

어집니다. 따라서, 두 가지를 상호 비교하기 위하여 가속도-변위 스펙트럼

(Acceleration-Displacement Response Spectrum)의 관계(ADRS Format)로 다시 표

현하게 됩니다.

(a) 하중-변위관계의 가속도-변위 스펙트럼으로의 변환

(b) 가속도-주기 스펙트럼의 가속도-변위 스펙트럼으로의 변환

그림 2.8.65 능력스펙트럼과 요구스펙트럼의 산정



mid

as C

ivil

하중-변위관계는 그림 2.8.65(a)와 같은 가속도-변위의 관계로 변환되며, 이는 식

(83), (84)와 같은 방식으로 변환됩니다.

k

VA

M (83)

k k

UD

(84)

여기서 k 와 kM 는 각각 해당방향의 k차 모드에 대한 모드참여계수와 유효질량

계수를 의미합니다. 산정식은 각각 식 (85), (86)과 같습니다.

모드참여계수 1

2

1

N

j jk

jk

N

j jk

j

m

m

(85)

모드참여질량

2

1

2

1

N

j jk

jk

N

j jk

j

m

M

m

(86)

식 (83)과 식 (84)는 동역학 이론에서 다자유도(MDOF) 시스템과 단자유도(SDOF)

시스템의 관계를 의미합니다. 즉, A와 D는 단자유도 시스템의 응답을 의미하는 스

펙트럼상에서의 응답가속도와 응답변위를 말하며 V와 U는 다자유도 시스템에서의

밑면전단력과 변위를 의미합니다.

그리고 탄성응답스펙트럼은 단자유도 시스템에서의 변위와 가속도 관계인 식 (87)

을 이용하여 그림 2.8.65(b)와 같은 방법으로 변환됩니다.

2

24

nT

D A

(87)

Ana

mid

as C

ivil

3

alysis for Civil S

29

Structure

성능점 (Per

성능스펙트럼

의합니다. m

법(CSM)에

두가지 방법

정에 의한

기원리를 이

(1) 등가

능력스

에 아래

니다.

용하여

에너지

(88a),

여기서

We Analyze a

rformance Poin

럼과 요구스펙트

midas Civil에서

제시된 Proced

법의 근본적인 원

직접 반복법을

이용한 방법이 P

가감쇠(Equival

스펙트럼법(CSM

래 그림과 같이

CSM에서는 5%

여 구조물의 등가

지의 양은 등가

(88b)와 같이 산

그림

서, ED = 구

ESO = 구

0

1

4D

SO

E

E

0eq + 0.

nd Design the Fut

nt)의 평가

트럼이 만나는

제공하는 성능

dure-A와 Proce

원리는 동일합니

적용하는 것이

Procedure-B 입

lent Damping)

M)에서는 Pusho

이 등가의 면적을

% 감쇠를 가지

가감쇠를 산정합

이선형 곡선에

산정할 수 있습

림 2.8.66 이력거동

구조물의 감쇠에

구조물의 최대변

63.7( y pi

pi p

a d

a d

05

ture

점을 성능점(P

능점의 평가방법

edure-B 방법을

니다. 성능점을

이 Procedure-A

니다.

의 산정

over해석에 의한

을 가지는 이선

는 탄성응답스

합니다. 구조물

서의 이력거동

습니다.

동에 의한 등가감쇠의

의하여 소산되

변형에너지

)y pi

pi

d a

Performance Po

법은 ATC-40의

을 모두 적용할

찾는 과정에서

이며, 연성비 가

한 능력스펙트럼

선형(Bilinear)곡선

펙트럼과 능력스

물의 감쇠에 의하

에 대한 면적을

의 산정

되는 에너지

oint)이라고 정

능력스펙트럼

수 있습니다.

서 유효감쇠 산

가정과 유효주

럼을 산정한 후

선으로 표현합

스펙트럼을 이

하여 소산되는

을 나타내며 식

(88a)

(88b)



mid

as C

ivil

식(88a)를 백분율의 형태로 표현하면 다음 식과 같이 나타낼 수 있습니다.

(89)

여기서, 는 감쇠비(%)를 나타내며, ATC-40에서는 25%를 초과할 경우는

신중한 판단이 요구되며 최대 50%를 초과할 수 없다고 설명하고 있습니다.

(2) 유효감쇠(Effective Damping)의 산정

지진하중을 받는 철근콘크리트 구조물의 이력특성은 강도저하(Stiffness

Degradation)와 강성저하(Strength Deterioration), 슬립 및 핀칭(Slip or Pinching)

등에 의하여 이상화된 이력모델의 특성을 나타내지는 못합니다. 그러므로

ATC-40에서는 철근콘크리트 구조물에서의 이러한 이력거동의 특성을 반영하

기 위하여 감쇠조정계수(Damping Modification Factor)를 사용하여 등가감쇠를

조정합니다. 조정된 등가감쇠를 유효감쇠계수라고 하며 아래식과 같이 산정할

수 있습니다.

(90)

위의 식에서 좌변의 감쇠비 5%는 탄성시스템에 대한 지진요구이므로, 철근콘

크리트 재료의 이력특성을 반영하는 감쇠조정계수는 등가감쇠에 적용됩니다.

그리고 이러한 이력특성으로 인한 구조물의 에너지 소산능력의 저하현상을

반영하기 위하여 분류된 구조물에 따라서 감쇠조정계수를 아래와 같이 세 가

지로 구분하여 적용합니다.

구조거동 형식 등가감쇠 0 (%) 감쇠조정계수( )

Type A (완전한 이력특성) 16.25

> 16.25

1.0

0.511.13

y pi y pi

pi pi

a d d a

a d

Type B (보통의 이력특성) 25

> 25

0.67

0.4460.845

y pi y pi

pi pi

a d d a

a d

Type C (열악한 이력특성) 모든 값 0.33

표 2.8.6 구조물의 이력거동에 따른 감쇠조정계수

0

63.7 ( )5 5y pi y pi

eqpi pi

a d d a

a d

eq

0

63.7( )5 5y pi y pi

eqpi pi

a d d a

a d


mid

as C

ivil


(3) 비탄성 요구스펙트럼의 산정

앞서 산정한 유효감쇠계수를 적용하여 비탄성 응답스펙트럼을 고려합니다. 즉,

유효감쇠계수를 이용하여 응답스펙트럼의 조정계수인 응답감소계수(Spectrum

Reduction Factor, SR)를 산정하며 응답감소계수는 가속도구간 및 속도구간으

로 구분하여 그림 2.8.67과 같이 각각 다르게 적용합니다. 응답감소계수는

Newmark와 Hall(1982)의 지반운동 증폭계수를 이용한 것이며, 가속도구간의

응답감소계수(SRA)와 속도구간의 응답감소계수(SRV)는 아래 식(91)과 같이 산

정합니다. ATC-40 에서는 구조물의 이력거동에 따라 응답감소계수의 하한치

를 표 2.8.7과 같이 제시하고 있습니다.

그림 2.8.67 응답감소계수에 의한 비탄성 응답스펙트럼의 산정

63.73.21 0.68ln 5 0.33

0.442.12

0.56

y pi y pi

pi pi

A

a d d afor Type Aa d

SR for Type B

for Type C

(91a)

63.72.31 0.41ln 5 0.50

0.561.65

0.67

y pi y pi

pi pi

V

a d d afor Type Aa d

SR for Type B

for Type C

(91b)

dS

aSASR

VSR



mid

as C

ivil

구분 κ SRA SRV

Type A (완전한 이력특성) 1.00 0.33 0.50

Type B (보통의 이력특성) 0.67 0.44 0.56

Type C (열악한 이력특성) 0.33 0.56 0.67

표 2.8.7 구조물의 이력거동에 따른 응답감소계수의 하한치

이상과 같은 절차를 통하여 설계지진하중 또는 선형탄성 응답스펙트럼에 대

한 비탄성 요구를 산정할 수 있습니다. 이와 같이 산정된 비탄성 지진요구스

펙트럼과 Pushover 해석을 통해 산정한 구조물의 능력스펙트럼과 비교하여

구조물의 성능점을 산정할 수 있습니다.

(4) 성능점의 산정

Pushover 해석에 의하여 산정된 구조물의 능력스펙트럼과 비탄성 설계응답스

펙트럼의 교차점을 이용하여 재현주기별 지진하중에 대한 구조물의 비탄성

최대 변위와 내력을 의미하는 성능점을 산정할 수 있으며, 또한 구조물의 성

능수준도 평가할 수 있습니다.


mid

asCi

vil


8-7-10 성능점을 산정하는 방법

midas Civil에서는 크게 2가지 방법으로 능력스펙트럼법(CSM)에 의한 성능점을 산

정할 수 있습니다. 이 방법은 ATC-40에서 제시하고 있는 방법으로 기본적인 원리

는 유효감쇠계수를 이용하여 비탄성 요구스펙트럼을 평가하고 능력스펙트럼과의

교차점을 통하여 성능점을 산정하는 방식입니다.

Procedure-A

ATC-40에서 제시하는 기본적인 방법으로서 능력스펙트럼의 초기강성에 대한 기울

기와 5% 탄성 설계응답스펙트럼과의 교차점을 초기 성능점이라고 가정합니다. 초

기 성능점에 대한 등가감쇠를 산정하고, 유효감쇠계수가 적용된 비탄성 설계응답

스펙트럼을 구한 후에 다시 교차점에서의 성능점을 산정합니다. 이러한 방법으로

유효감쇠계수를 적용한 비탄성 설계응답스펙트럼과 능력스펙트럼과의 교차점에서

의 응답변위와 응답가속도와의 변화가 오차범위내에 들어올 때까지 계속적인 반복

작업을 통하여 최종적인 성능점을 산정합니다. Procedure-A 방법을 이용한 성능점

산정의 원리는 그림 2.8.68과 같습니다.

그림 2.8.68 Procedure-A 방법을 이용한 성능점 산정 (ATC-40)



mid

asCi

vil

Procedure-B

ATC-40에서 성능점을 산정하는 두 번째 방법은 먼저 변위연성비를 가정한 후에

이에 대한 구조물의 유효주기를 산정하고 유효주기 직선과 5% 탄성 설계응답스펙

트럼과의 교차점을 초기 성능점으로 가정합니다. 가정한 변위연성비에 대한 방사

선 형태의 유효주기와 비탄성 설계응답스펙트럼과의 교차점들은 궤적을 형성하게

되며, 이 궤적선과 구조물의 능력스펙트럼과의 교차점이 최종적인 성능점으로 설

정됩니다. Procedure-B 방법을 이용한 성능점 산정의 원리는 그림 2.8.69와 같습니

다.

그림 2.8.69 Procedure-B 방법을 이용한 성능점 산정 (ATC-40)

이 방법의 경우에는 변위연성비를 먼저 가정하여 순차적으로 유효감쇠계수를 산정

하기 때문에 교차점에서 발생하는 응답 오차에 대하여 발산할 수 있는 확률이 적

습니다. 앞서 설명한 Procedure-A의 경우에는 성능점을 찾는 과정에서 수렴성이

떨어질 수 있다는 단점이 있는 반면에 Procedure-B는 수렴성이 좋고 탄성 응답스

펙트럼을 감쇠비의 변화에 따라서 여러번 작성할 필요없이 변화된 감쇠비와 진동

주기에 따른 응답스펙트럼 값의 궤적만을 구하면 되므로 보다 간단한 방법이라고



mid

asCi

vil


midas Civil에서 제공하는 두가지 방법에 의한 성능점 산정 과정은 그림 2.8.70,

2.8.71과 같습니다.

그림 2.8.70 Procedure-A 방법에 의한 성능점 평가 (midas Civil)

그림 2.8.71 Procedure-B 방법에 의한 성능점 평가 (midas Civil)



mid

asCi

vil

8-7-11 성능평가

구조물의 변위가 목표성능의 범위내에 포함되는 것이 확인되면, 계속해서 각 개별

부재의 성능을 평가합니다. 이때 midas Civil에서는 FEMA-273이나 ATC-40에서 권

장하는 방법과 유사한 방법으로 부재의 성능을 평가할 수 있도록 하였습니다. 이

들 보고서에서는 성능상태를 그림 2.8.72와 같은 세가지의 단계로 분류하고 있습

니다.

IO = 즉시사용 한계상태 (Immediate Occupancy)

LS = 안전 한계상태 (Life Safety)

CP = 붕괴방지 한계상태 (Collapse Prevention)

그림 2.8.72 부재의 성능평가

8-7-12 Pushover 해석과정

1. 정적해석 및 부재설계 완료

지진하중에 대한 구조물의 보유성능을 검토하기 위해 Pushover해석을 수

행하는 경우, 우선 해석모델에 대한 정적해석과 부재설계를 완료합니다.

2. Pushover해석 제어용 데이터 입력

Pushover탭>Global Control그룹>Pushover Global Control 대화상자를 호

출하여 초기하중, 각 step별 내부반복 최대 계산회수 및 수렴조건을 지정

합니다.


mid

as C

ivil


3. Pushover Load Case 입력

Pushover탭>Load Case그룹>Pushover Load Cases 대화상자를 호출하여

Pushover해석의 최대 계산회수, 증분방법, 초기상태 하중의 사용여부와

Pushover 하중조건을 입력합니다.

먼저 하중제어(Load Control)와 변위제어(Displacement Control)를 선택합니

다. 그리고 초기상태하중을 고려하기 위해 자중을 입력하고, Pushover 하중

조건으로는 Static Load Case, Uniform Acceleration 및 Mode Shape 등을 선

택할 수 있으며, 각 하중형태는 조합이 가능합니다.

4. Hinge Data 정의

Pushover탭>Assign그룹>Assign Hinge Properties>Define Pushover Hinge

Properties 대화상자를 호출하여 비선형요소의 종류,비선형성을 고려할 성

분과 성분별 골격곡선을 정의합니다.

5. 부재에 Hinge Data 지정

Pushover탭>Assign그룹>Assign Hinge Properties>Assign Pushover Hinge

Properties 대화상자를 호출하여 정의된 힌지 데이터를 각 부재에 할당합니

다. 일반적으로 보에는 모멘트 힌지, 기둥에는 축력과 모멘트 힌지를 할당

합니다.

6. Pushover해석 수행

Pushover탭>Perform그룹>Perform Pushover Analysis를 클릭하여

Pushover해석을 수행합니다.

7. 해석결과 확인

해석이 성공적으로 완료되면, Pushover탭>Pushover Results그룹>Pushover

Curve를 클릭하여 Pushover곡선을 출력하고, 각종 Design Spectrum에 대

한 구조물의 성능정도를 검토합니다. 또한, Pushover탭>Pushover Results그

룹>Deformations>Deformed Shape 대화상자에서 Pushover 하중조건을 선

택하여 단계별 변형형상 및 힌지발생상태를 확인합니다. 이때 Animate기능

을 이용하면 힌지 발생과정을 동영상으로 확인할 수 있습니다.

Chapter 9 | 비선형 시간이력해석


mid

as C

ivil

구조물에 지진동이 작용할때, 변형이 작은 범위에서 구조물은 탄성거동 합니다. 그

러나, 외력의 증가에 의해 구조물의 변형이 커지면, 부재응력은 탄성한계를 넘게

되고, 균열, 항복 등의 현상이 발생합니다. 이때 복원력과 변형의 관계는 이력곡선

을 그리며, 이와 같은 복원력특성은 탄소성 복원력특성이라 합니다. 구조물이 대지

진을 받을 때, 골조가 항복하여 소성역에 들어가는 것은 피할 수 없으므로, 대지진

에 대한 구조물의 안전성을 확보하기 위하여 구조물의 소성변형능력과 이력에너지

흡수능력은 매우 중요한 인자가 됩니다. 비선형 시간이력 해석(Nonlinear Time

History Analysis)은 구조부재의 비선형 복원력특성을 단순화한 이력모델을 통하여

구조물의 비선형 거동을 파악하는 시간이력 해석방법입니다. 대상 구조물은 해석

의 효율성을 고려하여 주요 부분에 비선형 요소를 사용하고 나머지 부분은 탄성인

것으로 가정합니다.

9-1-1 비선형 운동방정식

비선형 요소가 포함된 구조물의 운동방정식은 다음과 같이 구성되며, 요소의 비선

형성은 접선 강성법에 의해 정식화 됩니다. 단, 비선형 연결요소는 Element Type

범용 연결요소의 Spring에 Inelastic Hinge Properties를 부여한 요소입니다.

S I NMu Cu K u f f p (1)


C : 감쇠행렬

KS : 비탄성 요소 및 비선형 연결요소를 제외한 나머지 탄성 부재들의 강

성행렬

, ,u u u : 절점에 대한 변위, 속도 및 가속도 응답


fI : 비탄성 요소의 전체좌표계 절점내력

Chapter 9. 비선형 시간이력해석


mid

as C

ivil


fN : 비선형 연결요소에 포함된 비선형 스프링의 전체좌표계 절점내력

비선형 시간이력 해석은 선형 시간이력 해석과 달리 중첩의 원리가 적용될 수 없

습니다. 따라서, 수치적분법에 의해 해석되어야만 하며, 비선형 동적운동방정식의

시간이력 수치적분법은 직접적분법에 의해 수행됩니다. 직접적분법에 의한 응답해

석은 임의의 외력에 의한 강제진동 운동방정식을 직접 수치적분하여 2계의 연립미

분방정식의 해를 구하여, 미지수인 변위, 속도 및 가속도 응답을 구하는 방법입니

다. midas Civil에서는 Newmark-β 법에 의한 직접적분법으로 해석을 수행합니다.

Newmark-β 법은 각 시간증분에서의 변위의 증분을 구하여 누적하는 방식으로 처

리됩니다. 각 시간증분에서 발생하는 불평형력은 Newton-Raphson법에 의한 반복

해석을 통해 해소합니다.

Newmark-β의 기본 가정에 의해 시각 t 에서의 가속도와 변위를 이용하면, t t

에서의 속도와 변위는 다음과 같이 나타냅니다.

1t t t t t tu u tu tu (2)

2 21-

2t t t t t t tu u tu t u t u

(3)

위의 식을 변위로 정리하면 다음 식으로 나타낼 수 있습니다.

1- 1-2t t t t t tu u u tu

t

(4)

22

1 1- -

2t t t t t tu u tu t ut

(5)

변위, 속도, 가속도 증분은 다음과 같이 표현됩니다.

-t t t t tu u u (6)

12t t t t t tu u u tu

t

(7)



mid

as C

ivil

2

1 1 1

2t t t t t tu u u ut t

(8)

Newton-Raphson법에 의한 반복계산시의 증분응답은 다음과 같이 표현됩니다.

( ) ( ) ( 1) ( )i i i iu u u ut

(9)

( ) ( ) ( -1) ( )

2

1-i i i iu u u u

t

(10)

따라서, 시각 t t 에서의 (i)번째 반복해석시의 변위, 속도, 가속도는 다음과 같이

표현됩니다.

( ) ( 1) ( )i i it t t tu u u (11)

( ) ( 1) ( ) ( 1) ( )i i i i it t t t t tu u u u u

t

(12)

( ) ( 1) ( ) ( 1) ( )

2

1i i i i it t t t t tu u u u u

t

(13)

시각 t t 에서의 (i)번째 반복해석시의 비선형 운동 방정식은 다음과 같습니다.

( ) ( ) ( )( )i i it t t t t t t tMu Cu f u p (14)

식(14)에 식(12), (13)을 대입하면, 증분변위 ( )iu 에 관한 평형방정식은 다음과 같이

표현됩니다.

( ) ( ) ( )i i iEff EffK u p (15)

여기서, EffK : 유효강성행렬, ( )

2

1 1 iEff t tK M C K

tt

Effp : 각 반복해석 단계에서의 유효하중벡터


mid

as C

ivil


( 1) ( 1) ( 1)

i i iEff t t t t t t t tp p Mu Cu f

( )it tK : 비탄성 요소를 포함한 접선강성행렬

( )iu : 각 반복해석 단계에서의 변위증분벡터

: Newmark-β 법 관련 파라미터

9-1-2 비선형 정적해석

비선형 시간이력해석에서 질량과 감쇠의 효과를 배제함으로써 비선형 정적해석을

수행할 수 있습니다. Time History Load Cases의 Nonlinear Static은 이와 같은 해

석기능입니다. 비선형 정적해석은 중력하중에 의한 초기조건을 생성하거나

Pushover 해석을 수행하는데 사용할 수 있습니다. 중력하중에 의한 초기조건 생성

에 있어서 비선형 정적해석을 수행하면 이 과정에서 발생할 수 있는 비선형 거동

을 비선형 시간이력 해석에 반영할 수 있게 됩니다. 따라서 비선형 요소의 상태를

판정하는데 있어서 연속적으로 수행되는 하중조건 사이의 정합성을 확보할 수 있

습니다. Pushover 해석은 항복이후의 극한내력과 한계상태를 매우 효과적으로 파

악할 수 있는 간편한 해석방법입니다. 특히 최근에 지진공학과 내진설계 분야에서

많은 연구와 실무 적용이 이루어지고 있는, 성능에 기초한 내진설계(Performance-

Based Seismic Design, PBSD)에서 대표적인 해석방법으로 적용되고 있습니다. 이

해석은 고차모드의 동적특성의 영향을 받지않는 구조물에 주로 사용할수 있습니다.

비선형 정적해석에서 사용되는 해석방법은 Newton-Raphson법을 기본으로 하며,

하중제어 및 변위제어법을 모두 지원합니다. 하중제어는 사용자가 부과한 정적하

중을 재하 스텝 수(Increment Steps)로 나누어 재하합니다. 변위제어는 사용자가

구조물에서 발생할 수 있는 목표변위를 미리 설정하고 목표변위가 달성될 때까지

하중을 증가시키는 방법입니다. 목표변위는 크게 Global Control과 Master Node

Control로 설정할 수 있습니다. Global Control은 구조물에서 발생하는 최대변위가

사용자가 입력한 목표변위를 만족할 때까지 하중을 증가시키는 방법입니다. 이 방

법은 하중의 방향성과 무관합니다. Master Node Control은 사용자가 특정한 절점을

지정하고 그 절점에서 사용자가 지정한 방향에 대한 목표변위를 만족하도록 하중

을 증가시키는 방법입니다. 성능에 기초한 내진설계에서는 대부분 최대변위가 발

생할 가능성이 있는 절점과 방향을 고려하여 목표변위를 설정합니다.



mid

as C

ivil

비선형 정적해석에서는 서로 다른 제어 방법을 가진 하중조건의 연속해석도 가능

합니다. 단, 1) 하중제어에 의한 하중조건을 연속으로 해석할 경우와, 2) 변위제어에

의한 하중조건 후에, 하중제어에 의한 해석을 수행할 경우, 부적한 결과를 얻을 수

있으므로 주의할 필요가 있습니다. 연속해석에 대한 하중조건을 정리하면 다음과

같습니다.

하중 제어 변위 제어 (O)

하중 제어 하중 제어 (X)

변위 제어 변위 제어 (O)

변위 제어 하중 제어 (X)

하중은 시간변동 정적하중(Time Varying Static Load)을 통해 재하되며, 이때 하중

함수는 Time History Functions에서 Time Function Data Type을 Normal로 입력합니

다. 해석과정에서 하중제어의 경우, 하중계수는 0부터 1까지 선형증가합니다. 변위

제어의 경우에는 변위 증분에 따른 하중계수를 자동 계산합니다. 비선형 정적해석

에서 하중계수의 시간이력은 저장 및 출력이 가능합니다.

9-1-3 비선형 시간이력해석에서의 초기 단면력의 고려

midas Civil의 비선형 직접적분법에 의한 시간이력해석에서 중력하중에 의한 정적

해석 결과를 동적해석의 초기조건으로 반영하는 방법은, 1) 중력하중에 대해 비선

형 정적해석을 수행하고 연속해서 시간이력해석을 수행하는 방법과, 2) 중력하중에

대한 정적해석 결과를 초기단면력으로 입력하여 시간이력해석 결과에 반영시키는

방법이 있습니다.

정적해석 결과를 초기단면력으로 입력하는 경우, 선형해석에서는 입력된 초기단면

력을 단순히 시간이력 해석결과와 조합하여 처리 가능합니다. 하지만, 비선형 시간

이력해석에서는 입력된 초기단면력을 비선형 요소의 상태판정에 고려하지 않으면,

연속적으로 수행되는 하중조건 사이의 정합성을 확보할 수 없습니다. 또한, 부재에

발생하는 단면력은 가해지는 외력에 의해 발생하므로, 입력된 초기단면력을 부재

내력으로 평형방정식에 그대로 반영하면, 평형조건이 성립되지 않습니다.


mid

as C

ivil


midas Civil은 입력된 초기단면력에 대해 가상의 변형을 구하여, 비선형 부재의 상

태판정시에 고려하는 방법으로 비선형 시간이력해석을 수행합니다. 단, 동적평형방

정식을 구성할 때는 초기단면력은 무시되며, 상세한 해석방법은 다음과 같습니다.

(그림 2.9.1 참조)

1. 시간이력해석의 초기증분에 들어가기 전에, 초기강성 0K 를 이용하여, 입

력된 초기 단면력에 대해 비탄성 힌지의 가상의 변형 iniD 을 구합니다.

a) 구해진 iniD 이 항복변형 이내에 있으면(탄성범위), 입력된 초기 단면력

을 그대로 해석에 반영합니다.

b) 구해진 iniD 이 항복변형을 초과한 경우, 이력루틴에서 변형 iniD 에 대

한 복원력 iniP 를 구하여 해석에 반영합니다. 단, iniD 와 iniP 는 초기증분

에서 1회만 구합니다.

2. 동적평형방정식을 풀어, 증분변위 t tu 를 구합니다. 단, 초기 단면력은 내

력으로 입력되므로, 동적평형방적식을 구성할때는 무시됩니다.

3. 증분변위 t tu 을 이용하여, 수치적분법으로 , ,t t t t t tu u u 을 산출합니

다. 변위를 이용하여 비선형 힌지의 변형 D 와 복원력 P 를 구합니다.

4. 비선형 부재의 상태판정을 위해 이력루틴에 들어갑니다. 단, 이력루틴에 들

어가기전에 비탄형 힌지의 변형과 부재력은 초기 단면력을 고려하여 다음

과 같이 수정됩니다. *iniD D D , *

iniP P P

5. 이력루틴에서 변형 *D 에 의해 강성과 복원력 *P 을 계산합니다.

6. 비탄성 힌지의 해석결과를 출력합니다.

7. 동적평형방정식을 구성하기 위해서, 변형과 복원력을 다음과 같이 수정합

니다. *iniD D D , *

iniP P P

8. 동적평형방정식을 구성하고, 2.로 돌아가 마직막 시간증분까지 이와 같은

해석을 반복합니다.



mid

as C

ivil

0iniP

iniD

)ini(=P

(a) 초기단면력이 탄성범위인 경우

0iniP

iniP

iniD

(b) 초기단면력이 탄성한계를 넘은 경우

그림 2.9.1 입력된 초기단면력의 처리


mid

as C

ivil


9-1-4 비선형 시간이력해석에서의 초기강성

midas Civil의 비선형 시간이력해석에서 비탄성 부재의 초기강성은 Inelastic Hinge

Properties의 Initial Stiffness에서 다음과 같이 설정할 수 있습니다.

Elastic : 탄성강성을 초기강성으로 사용, 단, 집중형 힌지의 휨 성분은

6EI/L, 3EI/L, 2EI/L중 선택

User : 사용자가 비선형 부재의 초기강성을 직접 입력

Skeleton : 입력된 항복강도와 항복변형으로 초기강성 계산

Elastic과 User인 경우, (+), (-)측에서 동일한 초기강성을 갖습니다.

Skeleton을 선택한 경우, (+),(-)측의 항복변형을 각각 별도로 입력할 수 있습니다.

이 경우 (+),(-)측의 항복강도와 항복변형의 기울기로 각각의 초기강성을 구하여,

해석에는 큰 값을 적용합니다. 단, Orient-Origin, Elastic/Bilinear, Elastic/Trilinear,

Elastic/Tetralinear형 이력은 비대칭으로 입력된 (+), (-)측 초기강성을 그대로 해석에

반영합니다.

9-1-5 Newton-Raphson Method

비선형 시간이력해석의 각 시간증분에서는 비선형 요소의 강성 변화와 부재력 변

화에 의해서 불평형력(Residual Force)이 발생하게 됩니다. 변위 증분을 구하는 과

정에서 부재력과 외력 사이의 불평형력은 다음과 같이 처리됩니다.

1. 수렴계산을 수행하는 경우

Newton- Raphson법에 의해 불평형력이 해소될 때까지 반복해석을 수행

2. 수렴계산을 수행하지 않는 경우

불평형력을 다음 시간증분의 외력으로 처리

반복계산에 의한 불평형력의 해소방법은 그림 2.9.2에 나타낸 것과 같이 Full



mid

as C

ivil

Newton-Rapshon 법을 이용합니다. 반복해석에서 수렴을 판정하는 기준 Norm은

변위, 하중 및 에너지의 세가지가 있으며, 이 가운데 하나 또는 복수의 Norm을 선

택하여 수렴판정에 반영할 수 있습니다. 각 Norm의 정의는 다음과 같습니다.

Tn n

D Tn n

u u

u u

,

, ,

,1 ,1

Teff n eff n

F Teff eff

p p

p p

,

,1 1

Teff n

E Teff

p u

p u

여기서, D : 변위 Norm

F : 하중 Norm

E : 에너지 Norm

Teffp : n번째 반복계산 단계에서의 유효하중 벡터

nu : n번째 반복계산 단계에서의 변위 증분 벡터

nu : n회의 반복계산에 의해 누적된 변위 증분 벡터

Newton-Raphson Method에 의한 수렴계산시, 비선형성이 매우 강한 경우, 반복횟

수가 사용자가 입력한 최대 반복회수에 도달해도 수렴하지 않는 경우가 발생할 수

있습니다. 이와 같은 경우에는 시간증분 t 를 재설정하여 해석하여야만 하지만,

midas Civil에서는 반복해석시에 최대 반복회수에도 수렴되지 않는 경우, 해당 시간

증분의 초기상태로 복귀하여 자동적으로 시간증분 t 를 세분하여 재해석을 수행합

니다.

(0)KEfft t

ut(2)ut t

(0)ut t(1)ut t

(3)ut t

(1)KEfft t

(2)KEfft t

t

t t

Refft t

(1)rt t(2)rt t

Reff

u

rt t

Refft

Refft t

Refft t



mid

as C

ivil


9-2-1 비탄성 보요소

midas Civil의 비탄성 보요소는 비탄성 힌지가 지정된 보요소입니다. 비탄성 보요소

는 유연도법(Flexibility Method)에 의해 정식화되며, 하중이 재하되는 동안 미소변형,

평면보존의 가정을 전제로 하는 Euler Bernoulli Beam Theory를 따릅니다. 비틀림성

분은 축력, 모멘트 성분과 연동하지 않는 것으로 가정합니다.

비탄성 보요소는 기하학적 선형으로 정식화됩니다. 단, 사용자가 초기부재력을

Initial Element Force에서 입력하고, Initial Force Control Data의 Check to Reflect

Initial Axial Forces into Geometric Stiffness를 선택한 경우, 입력되는 초기부재력에

의한 기하강성을 구성하여 요소강성에 더하는 방법으로 고려되며, 해석중에 기하

강성은 갱신되지 않습니다.

구조부재의 비탄성 거동을 추적하고 이를 통해 변위연성능력을 평가하기 위해서는

부재의 항복변형을 초과하는 변형영역에 대한 해석이 필수적으로 필요합니다. 하

지만, 기존의 강성도법(Stiffness-Based Method)은 형상함수(Shape Function)에 기초

하여 정식화 되므로, 비탄성 해석시에 실제 변형형상과 정식화에서 가정된 형상함

수간에 차이가 생길 수 있습니다. 유연도법(Flexibility Method)에 기초한 모델은 단

면형상뿐만 아니라 단면력에도 형상함수를 적용하여 정식화되며, 유연도법에서의

부재내력(Elementsection Force)분포는 실제 분포와 일치하기 때문에 보다 정확한

해석이 가능합니다. 유연도법이 단면력에 대해 선형의 형상함수를 적용하는 것은

포물선 형태의 강성도 변화를 가정하는 것에 해당합니다. 이는 강성도법에서 3차

함수의 변형 형상함수를 사용하는 것이 선형의 곡률분포를 가정하는 것에 비교되

며, 따라서 더 적은 수의 단면으로도 강성도법과 같은 정도의 결과를 낼 수 있는

수치적 이점을 갖습니다. 결과적으로 유연도법을 사용하면 보다 적은 수의 요소로

정확한 모델링이 가능하고 그에 따라 보다 빠른 해석 속도를 얻을 수 있는 것으로

알려져 있습니다.

midas Civil의 비탄성 보요소는 부재의 비탄성 영역의 분포 여부 및 해석방법에 따

라서, 집중형 힌지 모델과 분포형 힌지 모델로 구분됩니다.



mid

as C

ivil

M M

Inelastic Hinge

Elastic Beam

M M


RigidZone

RigidZone

RigidZone

(a) 집중형 힌지모델 (b) 분포형 힌지모델

그림 2.9.3 비탄성 힌지

집중형 힌지모델은 지진하중이 작용하는 경우, 보요소의 역대칭 모멘트에 의해 부

재단에 생기는 소성힌지를 효과적으로 모델링한 방법입니다. 따라서, 비탄성힌지는

휨, 전단 성분인 경우, 요소양단에 위치하게 되고, 축성분 힌지는 요소중앙에 위치

하며, 집중형 힌지모델의 휨성분이력은 휨모멘트-회전각의 관계로 표현됩니다.

분포형 힌지모델은 부재내에 복수의 비탄성 힌지를 할당하여, 각 힌지 위치에서의

탄소성판정에 의해 힌지의 강성을 갱신한 후에 수치적분에 의해 요소강성을 구성

합니다. 분포형 힌지모델의 휨 성분 이력관계는 단면의 휨모멘트-곡률관계로 표현

됩니다.

집중형 힌지는 분포형 힌지에 비하여 계산량이 상대적으로 적다는 이점이 있으나

그림 2.9.4에 나타낸 것과 같이 부재력의 분포를 임의로 가정해야 하므로, 이 가정

을 크게 벗어나는 경우에는 부정확한 결과를 초래할 수 있습니다. 또한, 집중형 힌

지는 비탄성 힌지가 부재양단에 위치하므로, 비탄성 변형 영역의 확장은 무시됩니

다. 반면에 분포형 힌지는 부재내의 비탄성 힌지수에 따라 계산시간이 늘어나는

단점이 있으나, 부재력 분포를 보다 정확하게 반영할 수 있으며, 요소내 임의의 단

면에서 일어나는 비탄성 거동을 파악할 수 있으므로, 집중형 힌지에 비해 정확한

해석이 가능합니다.

midas Civil에서는 하나의 보요소에 속한 힌지들은 동일한 속성을 갖도록 제한하고

있습니다. 따라서, 교량의 상부구조와 같이 변단면(Tapered Beam)을 갖는 부재는

실제 계산시에는 양단의 강성을 평균하여 등단면 보요소(Prismatic Beam)로 처리하

고 있습니다. 따라서, 단면의 변화가 매우 심한 변단면 요소의 경우는 변단면을 등

단면으로 치환하여도 해석결과에 큰 영향이 미치지 않을 정도로 적절히 분할하여

모델링하는 것이 바람직하다.


mid

as C

ivil


집중형 힌지모델

집중형 힌지(Lumped Type Hinge Model)는 소성변형이 가능한 길이가 없는 병진 또

는 회전 비탄성 스프링을 보요소에 삽입하여 모델링되며, Inelastic Hinge Properties

의 Lumped Type으로 정의합니다. 보 요소에서 집중형 힌지를 제외한 나머지 부분

은 탄성 보 요소로 모델링됩니다. 비탄성 스프링은 축변형 성분에 대해서는 부재

중앙, 휨과 전단성분에 대해서는 부재 양 단부에 위치합니다.

M M

Inelastic Hinge

Elastic BeamRigidZone

RigidZoneInelastic Spring

M M

Inelastic Hinge

RigidZone

RigidZoneInelastic Spring

cord rotation

M

angle :

M

M

그림 2.9.4 집중형 힌지 모델

힌지를 정의하는 비탄성 스프링은 축방향 변형의 경우에는 힘-변위 관계로, 휨 변

형의 경우에는 단부에서의 모멘트-회전각 관계로 정의됩니다. 집중형 힌지가 부여

된 보요소의 강성행렬은 유연도 행렬의 역행렬로 계산되며, 전체 보요소의 유연도

행렬은 비탄성 스프링의 유연도 행렬과 탄성보의 유연도 행렬을 더해서 구성됩니

다. 비탄성 스프링의 유연도는 사용자가 정의한 집중형 힌지의 접선 유연도와 초

기 유연도의 차이로 정의되며 항복하기 전에는 영(Zero)이고, 항복하면서 유연도가

발생합니다. 비탄성힌지의 접선 유연도 행렬은 뒤에서 설명하는 일축 또는 다축-힌

지 이력모델에 의해 정의됩니다.

0S H HF F F

B SF F F

1K F =



mid

as C

ivil

여기서 FH : 비탄성힌지의 유연도 행렬

FH0 : 비탄성힌지의 초기 유연도 행렬

FS : 비탄성 스프링의 유연도 행렬

FB : 탄성 보의 유연도 행렬

F : 비탄성보의 요소 유연도 행렬

K : 비탄성보의 요소 강성 행렬

M

θe

θ

1FS0

θ

M

θp

1FH

M

θe θp

θ

1FS

Flexibility &Inelsastic Deformationof Inelastic Springbased on Hysteresis Model

Initial Flexibility &Elastic Deformationof Inelastic Spring

Flexibility &Deformationof Inelastic Hinge

그림 2.9.5 집중형 비탄성힌지의 유연도

휨 변형 힌지의 모멘트-회전각 관계는 단부의 휨 모멘트뿐만 아니라 부재 중간의

휨모멘트 분포에 의해서도 영향을 받습니다. 따라서 휨 변형 힌지의 모멘트-회전각

관계를 결정하기 위해서는 휨 모멘트의 분포를 가정해야 합니다. 그림 2.9.6은 모

멘트 분포 가정과 그에 따른 초기강성입니다.

θM M

θ

θ

M

M M

M

M

M

6EIL

3EIL

2EIL

Moment DistributionDeflection Shape Initial Stiffness

그림 2.9.6 휨 변형에 대한 비탄성 힌지의 초기강성 (전체길이=L, 단면휨강성=EI)


mid

as C

ivil


분포형 힌지모델

분포형 힌지 모델(Distributed Type Hinge Model)은 요소 유연도 행렬계산에 필요한

재축방향 적분점에서의 단면 유연도에 의해 정의됩니다. 분포형 힌지가 부여된 보

요소의 유연도 행렬은 다음 식으로 정의되며 Gauss-Lobbato 적분을 통하여 계산

됩니다. 요소 강성행렬은 유연도 행렬의 역행렬로 계산됩니다. 재축방향 적분점에

서의 부재단면의 유연도는 일축 또는 다축-힌지 이력모델에 의거한 상태판정으로

부터 결정됩니다. 분포형 힌지모델의 각 힌지는 파이버 모델로도 모델링이 가능합

니다. 분포형 힌지 모델은 Inelastic Hinge Properties의 Distributed Type으로 설정합

니다. 비탄성 힌지는 축 성분의 경우에는 단면에서의 힘-변형율 관계로, 휨 성분의

경우에는 모멘트-곡률 관계로 정의됩니다.

0( ) ( ) ( )

L TF b x f x b x dx

1K F =

여기서 f(x) : 위치 x에서의 단면의 유연도 행렬

b(x) : 위치 x에서의 부재력 분포 함수 행렬

F : 요소 유연도 행렬

K : 요소 강성도 행렬

L : 부재 길이

x : 단면의 위치

그림 2.9.7 분포형 힌지 모델



mid

as C

ivil

보-기둥 요소의 비탄성 거동은 주로 부재의 단부에 집중되는 경우가 많습니다. 따

라서, 기존의 Gauss-Legendre 적분법으로는 부재단을 적분점으로 취할수 없기 때

문에, midas Civil에서는 요소단부의 단면을 적분점으로 취할 수 있는 Gauss-

Lobatto 적분법을 사용하여 분포형 힌지 요소의 부재 유연도행렬을 유도합니다.

적분점의 개수는 요소내의 비탄성 힌지의 개수를 의미하며 1개에서 최대 20개까지

설정가능합니다. 적분점의 위치는 그림 2.9.8에 나타낸 것과 같이 적분점의 갯수에

의해 정해지며, 양 단부로 갈수록 적분점 사이의 간격이 좁아지게 됩니다. 단,

Gauss-Lobatto법은 요소 단부에서 적분점을 취하는 관계로, 적분점이 2개의 처리

가 불가능하며, 적분점이 2개인 경우에는 Classical Gauss Integration을 사용하여

유연도 행렬을 구성합니다.

또한, 적분점의 수와 정확도는 반드시 비례하는 것이 아니며, 적분점의 개수가 많

을수록 힌지의 상태 판정에 요구되는 계산량이 증가하는 단점이 있습니다. 적분점

의 수와 해의 정확도를 검토한 연구결과에 의하면, 적분점의 수가 5개 이상일 때

결과 차이가 거의 없는 것으로 알려져 있습니다. 따라서, 요소의 길이와 요소분할

수에 의한 영향은 있겠지만, 대략 5개 이하가 적절합니다.

(a) 적분점=1 (b) 적분점=2

(c) 적분점=3 (d) 적분점=4

(e) 적분점=5 (f) 적분점=6

그림 2.9.8 Gauss-Lobatto Integration에서의 적분점 위치

0.0000 0.1727 0.5000 0.8273 1.00001.0 1.01.00.021

7 21

7

0.00000.1175 0.3574 0.6426 0.88251.00001.0 1.07 2 7

21

7 2 7

21

7 2 7

21

7 2 7

21

0.0000 0.5000 1.00000.01.0 1.0 0.0000 0.2764 0.7236 1.00001.0 1.01.05

5 5

5

0.50000.01.0 1.0 0.2113 0.78871

3 1.01.0 1

3


mid

as C

ivil


9-2-2 비탄성 범용 연결 요소

범용연결요소(General Link)는 요소좌표계의 x, y, z의 3방향 신장 및 회전을 표현

하는 6개의 스프링으로 2절점을 연결하는 요소입니다. midas Civil의 범용연결요소

가운데 Inelastic Hinge Properties을 부여할 수 있는 것은 Element Type의 Spring으

로 제한됩니다. 범용연결요소는 단순히 각 성분별로 탄성강성만을 갖고 있으며

Inelastic Hinge Properties를 부여함으로써 비선형 요소가 되며, 이력모델에 의해 비

탄성 해석을 수행합니다.

비탄성 범용연결요소는 구조물의 특정 부분 또는 지반의 소성변형이 하나의 스프

링에 집중된 것으로 모델링하는 경우에 사용되며, Inelastic Hinge Properties에서

Spring Type으로 정의 됩니다. 범용연결요소는 일반구조부재와 달리 부재의 재료제

원이나 단면특성을 정의할 수 없으므로, 계산에 의해 요소강성을 산정할 수 없습

니다. 따라서, 사용자가 각 성분별로 강성을 정의해야만 하며, 입력된 강성은 비선

형 해석시에 초기강성으로 사용됩니다.

ykzk

xk

그림 2.9.9 범용연결요소의 스프링 강성



mid

as C

ivil

9-2-3 비탄성 트러스 요소

비탄성 트러스 요소는 축방향 강성만을 갖는 요소로서 Inelastic Hinge Properties에

서 Truss Type 으로 정의됩니다. 비탄성 트러스 요소의 비선형성은 축방향 성분만

이 정의 가능하며, Truss Type 비탄성 힌지는 일축힌지 이력모델에 의거한 상태판

정으로부터 강성을 갱신하여, 요소강성을 재구성합니다.

비탄성 트러스 요소는 기하학적 선형으로 정식화됩니다. 단, 비탄성 보요소와 마찬

가지로 사용자가 초기부재력을 Initial Element Force에서 입력하고, Initial Force

Control Data의 Check to Reflect Initial Axial Forces into Geometric Stiffness를 선택

한 경우, 입력되는 초기부재력에 의한 기하강성을 구성하여 요소강성에 더하는 방

법으로 고려됩니다. 단, 해석중에 기하강성은 갱신되지 않습니다.

,n u

그림 2.9.10 비탄성 트러스요소와 축방향 강성


mid

as C

ivil


구조물이 지진하중과 같은 불규칙한 반복하중을 받아서, 균열, 항복 등이 발생하면,

현재까지의 변위이력이 이후의 복원력-변위관계에 영향을 미치기 때문에 정적하중

을 받을때와 달리 매우 복잡한 거동을 나타냅니다. 부재의 1방향하중에 대한 힘과

변형의 관계를 골격곡선이라 합니다. 이력모델은 골격곡선을 기본으로 하여, 정(+),

부(-)의 반복하중이 작용할 때, 제하시(UnLoading)시와 재재하(Re-Loading)시의 힘

과 변형의 관계를 규칙화한 것으로, 비선형해석시에는 부재의 복원력특성을 이력

모델로 정의하는 것이 일반적입니다.

이력모델은 해석용 최소모델 단위인 부재단면의 거동특징을 구성재료의 응력-변형

율관계, 단면의 휨모멘트-곡률관계, 부재단의 휨모멘트-회전각관계 등의 간단한 힘

과 변형의 관계로 이상화한 것으로, 전체 하중이력에 대해서 하중과 변형관계로

표현 가능하여야 하며, 실험시에 시험체에서 관측되는 공통된 특성을 반영할 수

있어야 합니다.

비선형 해석시에는 사용하는 이력모델과 비선형 해석조건의 설정에 의해 해석결과

가 크게 달라질 수 있으므로, 해석결과를 적절히 얻기 위해서는 모델링시에 충분

한 검토를 통하여 사용재료와 부재의 복원력특성을 충실히 반영할 수 있는 이력모

델을 선택하여야만 합니다. 표 2.9.1는 midas Civil에서 제공하는 이력을 용도에 따

라 분류한 것입니다.

표 2.9.1의 축력-모멘트 상호작용에 대한, P-M, P-M-M Type에 대해서는 9-5-2 P-M

및 P-M-M 상관작용에서 다루도록 합니다.

9-3-1 비선형 힌지 속성

비탄성 힌지의 속성은 집중형(Lumped Type), 분포형(Distributed Type), 스프링형

(Spring Type), 트러스형(Truss Type)으로 구분됩니다. 집중형 및 분포형은 보요소에

만 적용되며 용수철형은 범용연결요소(General Link), 트러스형은 트러스요소에 적

용됩니다.



mid

as C

ivil

비탄성힌지 속성은 각 성분 별로 정의된 비선형 거동특성의 집합으로, 보요소인

경우, 비틀림을 제외한 5개성분, 범용연결요소는 6개성분, 트러스 요소는 축성분만

정의 가능합니다. 여기서 비탄성 힌지의 비선형 거동특성은 이력모델에 의해 정

의되며, 각 성분의 특성은 독립적으로 일축-힌지 이력모델(Uni-axial Hinge

Hysteresis Model)에 의해서 정의되거나, 축력-모멘트 성분의 상호작용을 고려한 다

축-힌지 이력모델(Multi-axial Hinge Hysteresis Model)에 의해서 정의될 수 있습니다.

*B : Beam, T : Truss, S : Spring

분 류 이력모델 적용

요소

축력-모멘트

상호작용주요용도

Simplified 이동경화형(Kinematic Hardening/Trilinar) B, T, S P-M, P-M-M 강재

Model 원점지향형(Origin-oriented/Trilinar) B, T, S P-M 교량 상부구조

최대점지향(Peak-oriented/Trilinar) B, T, S P-M 교량 상부구조

노말 2선형(Normal Bilinear) B, T, S P-M 강재, 간략모델화

Degrading 클러프(Clough/Bilinear)형 B, T, S P-M 철근 콘크리트 부재

Model 강성저감3선형(Degrading Tri-linear)형 B, T, S P-M 철근 콘크리트 부재

다케다(Original Takeda Triliear)형 B, T, S P-M 철근 콘크리트 부재

다케다(Original Takeda Tetralinear)형 B, T, S P-M 철근 콘크리트 부재

수정 다케다(Modified Takeda Trilinear)형 B, T, S P-M 철근 콘크리트 부재

수정 다케다(Modified Takeda Tetralinear)형 B, T, S P-M 철근 콘크리트 부재

Nonlinear 탄성 2선형(Elastic Bilinear) B, T, S P-M 교량 상부구조

Elastic 탄성 3선형(Elastic Trilinear) B, T, S P-M 교량 상부구조

탄성 4선형(Elastic Tetralinear) B, T, S P-M 교량 상부구조

Slip 슬립(Slip Bilinear)형 B, T, S P-M 강재, 고무 Support

Model 슬립(Slip Bilinear/Tension)형 B, T, S P-M 강재, 고무 Support

슬립(Slip Bilinear/Compression)형 B, T, S P-M 강재, 고무 Support

슬립(Slip Trilinear)형 B, T, S P-M 강재, 고무 Support

슬립(Slip Trilinear/Tension)형 B, T, S P-M 강재, 고무 Support

슬립(Slip Trilinear/Compression)형 B, T, S P-M 강재, 고무 Support

Special Ramberg Osgood S - 비선형 지반용

Model Hardin Drnevich S - 비선형 지반용

표 2.9.1 midas Civil의 이력모델 분류(1)


mid

as C

ivil


*B : Beam, T : Truss, S : Spring

분 류 이력모델 적용요소축력-모멘트

상호작용 주요 용도

Multi- 탄성형(Elastic) B, T, S - 간략모델화

Linear 이동경화형(Plastic Kinematic) B, T, S - 강재, 간략모델화

Model 다케다형(Plastic Takeda) B, T, S - 철근 콘크리트 부재

피봇형(Plastic Pivot) B, T, S - 철근 콘크리트 부재

표 2.9.1 midas Civil의 이력모델 분류(2)

9-3-2 보요소의 항복강도

비탄성 힌지에 설정되는 이력모델은 항복강도와 항복 후의 강성저감율로 정의됩니

다. 요소의 항복강도는 사용자가 User Input으로 입력하거나, midas Civil의 항복강

도 자동계산기능을 통해서 설정가능합니다. midas Civil의 자동계산기능에 의한, 휨

에 의한 보요소의 항복은 그림 2.9.11과 같이 정의됩니다. 철골 단면의 경우에 1차

항복은 중립축으로부터 가장 먼 위치의 휨 응력이 항복응력에 도달한 것으로 간주

합니다. 2차 항복은 전단면의 휨응력이 항복응력에 도달한 것으로 간주합니다. RC

단면의 경우에 1차 항복은 중립축으로부터 가장 먼 위치의 휨 응력이 콘크리트의

균열응력에 도달한 것으로 간주합니다. 2차 항복은 콘크리트의 압축연단이 극한변

형율에 도달한 것으로 간주하며 이 때 철근의 응력은 항복응력보다 작거나 같습니

다. SRC 단면의 경우에 콘크리트 충전강관 형태인 경우에는 철골단면, 콘크리트

피복형인 경우에는 RC단면의 계산 기준을 적용합니다.

축력과 모멘트의 상관작용을 고려하고자 하는 P-M, P-M-M Type의 경우에는 축력

에 의한 중리축의 이동을 고려하여 축력-모멘트의 상관곡선(항복곡면)을 작성해야

하며, 이 경우에도 자동계산이 가능합니다.



mid

as C

ivil

일축-힌지(Uni-axial Hinge) 모델은 3개의 병진 및 3개의 회전 성분이 상호 독립적

으로 거동하는 힌지입니다. midas Civil에서 일축-힌지를 대상으로 제공되는 이력모

델은 골격곡선(Skeleton Curve)에 기초하고 있는 것들로서, 표 2.9.1의 모든 이력모

델이 일축-힌지로 정의가능합니다. 이들 모델은 비대칭의 단면 혹은 재료 특성에

대응할 수 있도록 1, 2차 항복 강도 및 강성저감률을 정(+), 부(-) 비대칭으로 지정

할 수 있습니다. 단, 이동경화형 모델의 경우, 이력의 특성상 강성저감률은 비대칭

성을 지원하지 않습니다.

이하의 이력모델 설명에 있어서 응답점(Response Point)은 이력모델의 경로상에

위치한 하중-변형 좌표점을 의미합니다. 재하(Loading)는 하중의 절대치가 증가함

을, 제하(Unloading)는 하중의 절대치가 감소함을, 재재하(Re-loading)은 제하 도중

에 하중의 부호가 바뀌면서 절대치가 증가하는 것을 의미합니다. 제하점(Unloading

Point)은 재하에서 제하로 바뀌는 응답점을 의미합니다.

P (+)

y

z

My (+)

Mz (+)1st Yielding

2nd Yielding

Dc

Dt-

+

-

+

CompressionTension

Strain Stress

sc Fy / E s

Fsc Fy

F st Fyst Fy / Es

N .A.

-

+Dc

Dt

-

+

CompressionTension

Strain Stress

sc Fy / Es

Fsc Fy

Fst Fyst Fy / E s

N .A.

D c : Center of Steel Compressive Force

D t : Center of Steel T ensile

(a) Steel


mid

as C

ivil


1st Yielding (Cracking)

2nd YieldingStrain Stress

D c : Center of Concrete Compressive Force

cr ck

ZM k f Z N

A

Mcr : Cracking Momentk : Coefficient for Cracking Moment

(ACI=7.5 in lb -in unit, AIJ=1.8 in kg f-cm unit )fck : Specified Compressive Strength of ConcreteZ : Elast ic Section Modulus

P (+)

y

z

My (+)

Mz (+)

f ck

c

4sf s4

fs1s1

Ds1

Ds4

s2

3s

f s2

f s4

fs1

f s3

fs2Compression

Tens ion

Ds2

Ds3

Dc

cu

fs3

fsi f y fs i f y

c

N.A.

1 fck

(b) RC

그림 2.9.11 보 요소의 항복강도 산정 기준

철근 콘크리트부재의 경우, 콘크리트의 균열, 철근의 항복에 의한 강성저감이 일어

납니다. 또한, 반복하중이 작용하는 경우, 항복후의 제하시에도 강성이 저하되어

하중의 방향이 바뀌면 과거에 경험한 최대변위점을 지향하는 특징이 있습니다. 철

근콘크리트 부재의 복원력 특성을 모델화한 이력모델은 다수 제안되어 있지만, 어

느 모델에도 강성저하와 최대점지향이 필수적으로 고려되어 있습니다. 철근콘크리

트 모델을 대표하는 것이 Takeda 모델이며, Clough형, 강성저감3선형 등도 사용됩

니다.

강재는 한번 어느 방향에서 소성변형을 받은 후 역방향의 하중이 작용하면, 소성

변형을 받지 않은 강재에서 동일한 방향의 하중이 작용한 경우보다 작은 응력에서

소성화하는 것으로 알려져 있습니다. 이것을 바우싱거 효과(Bauschinger Effect)라

고 합니다. 또한 변형율이 크게 되면 응력이 증대하는 성질, 즉 변형율 경화(Strain

Hardening)가 일어납니다. 이와 같은 성질을 갖는 강재의 복원력 특성은 이동경화

형의 Normal Bilinear 이력모델로 표현하는 것이 일반적이며, Normal Trilinear 이력

모델을 적용하는 경우도 있습니다.

콘크리트로 충진된 강재교각의 비선형 특성은 Takeda 이력 혹은, 항복점에서 강성

이 변화하는 이동경화형 Normal Bilinear로 표현됩니다. Normal Bilinear 이력은 철



mid

as C

ivil

근 콘크리트 부재와 달리 강성저하가 일어나지 않는 이력곡선을 그리도록 정의됩

니다.

콘크리트로 충진되지 않은 강재교각은 Normal Bilinear로 표현하는 것이 일반적입

니다. 한편, 교각은 중력하중에 의한 압축력의 작용으로 인해, 압축측에서 항복한

후에 인장측에서 항복이 일어나게 되므로, 압축측과 인장측이 항복에 도달하는 하

중이 다른 것을 고려하여 강부재의 골격곡선을 3개의 직선의 Normal Trilinear로 표

현하는 경우도 있습니다.

9-4-1 Normal Bilinear Type

이력의 개요

초기 재하시의 응답점은 2선형 골격곡선상에서 이동합니다. 제하(Unloading)강성은

탄성강성과 동일하며, 항복 후 강성 저감률은 정(+), 부(-) 비대칭 정의가 가능합니

다. 집중형 및 분포형 힌지 요소, 스프링 요소, 트러스 요소 등에 적용가능합니다.

그림 2.9.12 Normal Bilinear 이력모델


mid

as C

ivil


골격곡선의 정의

이력모델의 비선형특성은 이하의 값으로 정의됩니다.

( )1P , ( )1P : (+),(-)측 제1차항복강도

( )1D , ( )1D : (+),(-)측 제1차항복변형

0K : 초기강성

( )2K , (-)2K : (+),(-)측제2강성.

단, ( ) ( )02 1K K , (-) (-)

02 1K K

( )1 , ( )1 : (+),(-)측 제1차항복후의 강성저감율

노말 2선형(Normal Bilinear Type)의 이력규칙

1. max 1D D 의 경우는 선형탄성으로, 원점을 지나는 탄성구배 0K 의 직선상

에서 이동합니다.

2. 변형 D 가 처음으로 ( )1D 을 넘는 경우, 혹은 현재까지의 최대변형점을 넘

는 경우, 제2차구배 ( )2K , (-)2K 직선상을 이동합니다.

3. ( )1D D , ( )1D D 의 상태에서 제하되는 경우는, Masing의 법칙에 따

라서 탄성구배 0K 로 제하되어, (-)2K , ( )2K 직선상을 이동합니다.

4. 이후, 2∼3의 규칙으로 이동합니다.



mid

as C

ivil

9-4-2 Kinematic Hardening Type

이력의 개요

초기 재하시의 응답점은 3선형 골격곡선상에서 이동합니다. 제하(Unloading)강성은

탄성강성과 동일하며, 하중이 증가하면서 강도가 증가하는 경향을 보이는데, 이는

금속 재료의 바우싱거효과(Bauschinger Effect)를 모델링하는데 사용되는 것입니다.

따라서 콘크리트의 경우에는 에너지 소산량을 과대 평가할 수 있으므로 주의해야

합니다. 항복 후 강성 저감률은 모델의 특성상, 정(+), 부(-) 대칭만이 정의가 가능

하며, 집중형 힌지 및 분포형 힌지 요소, 스프링 요소, 트러스 요소 등에 적용가능

합니다.

P

D

P2(+)

P1(+)

P2(-)

P1(-)

D1(+) D2(+)D1(-)D2(-)

K0

K2(+)

K3(+)

K2(-)

K3(-)

K0K0 K0 K0

그림 2.9.13 Kinematic Hadening 이력모델


mid

as C

ivil




( )1P , ( )1P : (+),(-)측 제1차항복강도

( )2P , ( )2P : (+),(-)측 제2차항복강도

( )1D , ( )1D : (+),(-)측 제1차항복변형

( )2D , ( )2D : (+),(-)측 제2차항복변형

0K : 초기강성

( )2K , (-)2K : (+),(-)측 제2강성.

단, ( ) ( )02 1K K , (-) (-)

02 1K K

( )3K , (-)3K : (+),(-)측 제3강성.

단, ( ) ( )03 2K K , (-) ( )

03 2K K

( )1 , ( )1 : (+),(-)측 제1차항복후의 강성저감율

( )2 , ( )2 : (+),(-)측 제2차항복후의 강성저감율

이동경화형(Kinematic Hardening Type)의 이력규칙

1. max 2D D 의 경우, 통상의 Bilinear로서 거동합니다.

2. max 2D D 의 경우, Trilinear로 이동합니다.

3. 재하시는, Masing의 법칙에 의해 탄성강성의 직성상에서 이동합니다.



mid

as C

ivil

9-4-3 Origin-Oriented Type

이력의 개요

초기 재하시의 응답점은 3구배 골격곡선 상에서 이동합니다. 제1차항복 혹은 제2

차항복후에 제하(Unloading)되는 경우, 원점을 지향하는 직선상을 이동합니다. 제

하과정에서 재재하(Re-loading)되는 경우는, 제하시와 같은 구배의 직선상을 이동

하여, 골격곡선과 만나면, 골격곡선상에서 이동합니다. 입력에 의해, 대칭 및 비대

칭이 정의가능하며, 대응요소는 집중형 힌지 및 분포형 힌지 요소, 스프링 요소,

트러스 요소 등입니다. 또한, Origin-Oriented Type은 (+), (-)측의 초기강성을 비대칭

으로 고려할 수 있습니다.

그림 2.9.14 Origin-Oriented 이력모델


mid

asCi

vil




( )1P , ( )1P : (+),(-)측 제1차항복강도

( )2P , ( )2P : (+),(-)측 제2차항복강도

( )1D , ( )1D : (+),(-)측 제1차항복변형

( )2D , ( )2D : (+),(-)측 제2차항복변형

0K : 초기강성

( )2K , (-)2K : (+),(-)측 제2강성.

단, ( ) ( )02 1K K , (-) (-)

02 1K K

( )3K , ( )3K : (+),(-)측 제3강성.

단, ( ) ( )03 2K K , (-) ( )

03 2K K

( )1 , ( )1 : (+),(-)측 제1차항복후의 강성저감율

( )2 , ( )2 : (+),(-)측 제2차항복후의 강성저감율



mid

asCi

vil

9-4-4 Peak-Oriented Type

이력의 개요

초기 재하시의 응답점은 3구배 골격곡선 상에서 이동합니다. 제1차항복 혹은 제2

차항복후에 제하(Unloading)되는 경우, 반대측의 최대 변형점을 지향하는 직선상을

이동합니다. 반대측이 1차 항복하지 않은 경우는 1차 항복점이 최대 변형점이 됩

니다. 제하과정에서 재재하(Re-loading)되는 경우는, 제하시와 같은 구배의 직선상

을 이동하여, 골격곡선과 만나면, 골격곡선상에서 이동합니다. 입력에 의해, 대칭

및 비대칭이 정의가능하며, 대응요소는 집중형 힌지 및 분포형 힌지 요소, 스프링

요소, 트러스 요소 등입니다. Inelastic Hinge Properties의 Directional Hinge

Properties에서 Input Type을 Strength-Yield Displacement를 선택하여, 정(+),부(-)축

의 1차 항복변위를 이용하여 초기강성을 (+),(-)측 비대칭으로 입력하여 고려할 수

있습니다.

그림 2.9.15 Peak-Oriented 이력모델


mid

as C

ivil




( )1P , ( )1P : (+),(-)측 제1차항복강도

( )2P , ( )2P : (+),(-)측 제2차항복강도

( )1D , ( )1D : (+),(-)측 제1차항복변형

( )2D , ( )2D : (+),(-)측 제2차항복변형

0K : 초기강성

( )2K , (-)2K : (+),(-)측 제2강성.

단, ( ) ( )02 1K K , (-) (-)

02 1K K

( )3K , ( )3K : (+),(-)측 제3강성.

단, ( ) ( )03 2K K , (-) ( )

03 2K K

( )1 , ( )1 : (+),(-)측 제1차항복후의 강성저감율

( )2 , ( )2 : (+),(-)측 제2차항복후의 강성저감율



mid

as C

ivil

9-4-5 Clough Type

이력의 개요

초기재하시의 응답점은 2구배 골격곡선 상에서 이동합니다. 항복 후의 변형의 진

전에 의해 재하강성이 점진적으로 감소하는 Degrading Bilinear형입니다. 콘크리트

는 건조수축 등에 의해 균열이 발생하기 쉬우므로, 균열 전의 상태는 무시하고 전

체 단면에 균열이 발생한 것으로 간주하여, 인장철근의 휨항복에 의한 강성변화만

을 고려하도록 모델링된 이력입니다. 입력에 의해, 대칭 및 비대칭이 정의가능하며,

대응요소는 집중형 힌지 및 분포형 힌지 요소, 스프링 요소, 트러스 요소 등입니다.

( ) ( )max max, D P

( ) ( )max max, D P

P1(+)

P1(-)

D1(+)D1(-)

P

D

그림 2.9.16 Clough 이력모델


mid

as C

ivil




( )1P , ( )1P : (+),(-)측 제1차항복강도

( )1D , ( )1D : (+),(-)측 제1차항복변형

0K : 초기강성

( )2K , (-)2K: (+),(-)측 제2강성.

단, ( ) ( )02 1K K , (-) (-)

02 1K K

( )1 , ( )1 : (+),(-)측 제1차항복후의 강성저감율

( )2 , ( )2 : (+),(-)측 제2차항복후의 강성저감율

( )Kr , (-)Kr: (+),(-)측 재하시의 강성

( )( )

0 0( )max

1DKr K K

D

, (-)

( )0 0(-)

max

1

DKr K K

D

여기서, ( )1D , (-)1D : (+),(-)측 항복변형

( )maxD , (-)

maxD : (+),(-)측의 최대변형

(항복이 발생하지 않은 영역에서는 항복변위로 대체)

: 재하강성 산정용 정수

클러프형(Clough Type)의 이력규칙



2. 변형 D 가 처음으로 ( )1D 을 넘는 경우, 혹은 현재까지의 최대변형점을 넘


3. ( )1D D , ( )1D D 의 상태에서 제하되는 경우는, 제하강성 ( )Kr , (-)Kr

의 구배로 이동합니다.

4. 제하과정에서 하중의 부호가 바뀌면 반대측 최대변형점을 향하여 이동하며,

반대측이 항복하지 않은 경우는, 항복점이 최대변형점이 됩니다.



mid

as C

ivil

9-4-6 Degrading Trilinear Type

이력의 개요

골격곡선은 Trilinear로서, 1차항복후, 2차항복 이전에는 Bilinear로 거동하고, 2차항

복 이후는 변형의 진전에 의해 제하강성이 점진적으로 감소하는 강성저감3선형으

로 거동합니다. 입력에 의해, 대칭 및 비대칭이 정의가능하며, 대응요소는 집중형

힌지 및 분포형 힌지 요소, 스프링 요소, 트러스 요소 등입니다.

그림 2.9.17 Degrading Trilinear 이력모델


mid

as C

ivil




( )1P , ( )1P : (+),(-)측 제1차항복강도

( )2P , ( )2P : (+),(-)측 제2차항복강도

( )1D , ( )1D : (+),(-)측 제1차항복변형

( )2D , ( )2D : (+),(-)측 제2차항복변형

0K : 초기강성

( )2K , (-)2K : (+),(-)측 제2강성.

단, ( ) ( )02 1K K , (-) (-)

02 1K K

( )3K , ( )3K : (+),(-)측 제3강성.

단, ( ) ( )03 2K K , (-) ( )

03 2K K

( )1 , ( )1 : (+),(-)측 제1차항복후의 강성저감율

( )2 , ( )2 : (+),(-)측 제2차항복후의 강성저감율

강성저감 3선형(Degrading Trilinear Type)의 이력규칙



2. 변형 D 가 처음으로 ( )1D 을 넘는경우, 혹은 현재까지의 최대변형점을 넘


3. ( )1D D , ( )1D D 의 상태에서 제하되는 경우는, 탄성구배로 제하되며,

2차항복전에는 Bilinear로서 거동합니다.

4. 2차항복후 제하강성은 다음식으로 계산됩니다.

5. ( ) (-)

max max0 0( ) (-)

max max

11

1

P PKr K K

KD D

, ( ) (-)

( ) (-)

2 21

2 2

P PK

D D



mid

as C

ivil

9-4-7 Takeda Type

이력의 개요

다케다형 이력은 철근콘크리트 부재의 실험에 의해 관찰된 복원력특성을 상세히

모델링한 것으로 강성저감 Trilinear형입니다. 제하강성은 제하점의 골격곡선상에서

의 위치 및 반대편 영역에서의 1차 항복 여부에 의해 결정됩니다. 입력에 의해, 대

칭 및 비대칭이 정의가능하며, 대응요소는 집중형 힌지 및 분포형 힌지 요소, 스프

링 요소, 트러스 요소 등입니다.

그림 2.9.18 Takeda 이력모델


mid

as C

ivil




( )1P , ( )1P : (+),(-)측 제1차항복강도

( )2P , ( )2P : (+),(-)측 제2차항복강도

( )1D , ( )1D : (+),(-)측 제1차항복변형

( )2D , ( )2D : (+),(-)측 제2차항복변형

0K : 초기강성

( )2K , (-)2K : (+),(-)측 제2강성

단, ( ) ( )02 1K K , (-) (-)

02 1K K

( )3K , ( )3K : (+),(-)측 제3강성.

단, ( ) ( )03 2K K , (-) ( )

03 2K K

( )1 , ( )1 : (+),(-)측 제1차항복후의 강성저감율

( )2 , ( )2 : (+),(-)측 제2차항복후의 강성저감율

: 제하강성 파라메터

: 내부 루프 반복시의 강성저감율

다케다형(Takeda Type)의 이력규칙


에서 이동합니다. (Rule:0)

2. a) 변형 D 가 처음으로 ( )1D 을 넘는 경우, 제2차구배 ( )2K , (-)2K 직선상

을 이동합니다. (Rule:1) 최초항복시, 반대측 제1항복점이 반대측의 최대변

형점이 됩니다.

b) 이 직선상에서 제하되는 경우는 반대측의 최대변형점을 향하여 이동합

니다. (Rule:2)



mid

asCi

vil

c) 반대측 최대변형점에 도달하기 전에 재재하되는 경우는 같은 제하직선

을 따라서 진행되며(Rule:3), 골격곡선에 도달하면, ( )2K , (-)2K 구배로 골

격곡선상에서 이동합니다.(Rule: 4)

3. a) D 가 최초로 ( )2D 를 초과한 경우, 제3구배 ( )3K , (-)3K 직선상을 진행

합니다.(Rule: 13)

b) 이 직선상에서, 제하되면 제하구배 ( )Kr , ( )Kr 로 이동합니다.(Rule:

15) 반대측이 제1차항복을 경험하기 전인 경우, 구배 ( )Kr 의 범위는 1P

까지가 되고, 1P 을 초과하면 제2항복점을 향하여 이동합니다. (Rule: 17)

-( )

( )( ) max( )

* 2

bD

Kr KD

,

-( )

( )( ) max( )

*2

bD

Kr KD

여기서, ( ) (-)( )

( ) (-)

2 1

2 1b

P PK

D D

(-) ( )( )

(-) ( )

2 1

2 1b

P PK

D D

제하강성 파라메터 ( 0.4, )Default


mid

asCi

vil


4. 복원력0점을 초과하면, 반대측의 최대변형점을 향하여 이동하고(Rule:18),

반대측 최대변형점을 향하는 직선상에서 제하되는 경우, 내부루프에 들어

갑니다.(Rule:20) 내부루프에서는 복원력0점까지는 ( )unK , ( )

unK 의 구배로

제하되어, 복원력0점을 초과하면 반대측의 직전제하점을 이동합니다.(Rule:

21)

( )unK

( )unK



mid

as C

ivil

9-4-8 Takeda Tetralinear Type

이력의 개요

다케다4선형 이력은 강성저감 Tetralinear로서, 입력에 의해, 대칭 및 비대칭이 정

의가능하며, 대응요소는 집중형 힌지 및 분포형 힌지 요소, 스프링 요소, 트러스

요소 등입니다.

그림 2.9.19 Takeda Tetralinear 이력모델


mid

as C

ivil




( )1P , ( )1P : (+),(-)측 제1차항복강도

( )2P , ( )2P : (+),(-)측 제2차항복강도

( )3P , ( )3P : (+),(-)측 제3차항복강도

( )1D , ( )1D : (+),(-)측 제1차항복변형

( )2D , ( )2D : (+),(-)측 제2차항복변형

( )3D , ( )3D : (+),(-)측 제3차항복변형

0K : 초기강성

( )2K , (-)2K : (+),(-)측 제2강성.

단, ( ) ( )02 1K K , (-) (-)

02 1K K

( )3K , ( )3K : (+),(-)측 제3강성.

단, ( ) ( )03 2K K , (-) ( )

03 2K K

( )1 , ( )1 : (+),(-)측 제1차항복후의 강성저감율

( )2 , ( )2 : (+),(-)측 제2차항복후의 강성저감율

( )3 , ( )3 : (+),(-)측 제3차항복후의 강성저감율



다케다4선형(Takeda Tetralinear Type)의 이력규칙

1. 초기재하시는 Tetralinear 골격곡선상에서 이동합니다.

2. 변형 D 가 ( )3D 을 초과하기 전의 이력규칙은, 다케다형 Trilinear와 동일

합니다.

3. D 가 ( )3D 을 초과한후에는 제4구배 ( )4K , (-)4K 직선상에서 이동합니다.

4. 제4구배 ( )4K , (-)4K 에서 재하되는 경우도 다케다형과 동일한 재하구배

로 이동합니다.



mid

as C

ivil

9-4-9 Modified Takeda Type

이력의 개요

수정 다케다형 이력은 강성저감 Trilinear로서, 입력에 의해, 대칭 및 비대칭이 정의

가능하며, 대응요소는 집중형 힌지 및 분포형 힌지 요소, 스프링 요소, 트러스 요

소 등입니다.

그림 2.9.20 Modified Takeda 이력모델


mid

as C

ivil




( )1P , ( )1P : (+),(-)측 제1차항복강도

( )2P , ( )2P : (+),(-)측 제2차항복강도

( )1D , ( )1D : (+),(-)측 제1차항복변형

( )2D , ( )2D : (+),(-)측 제2차항복변형

0K : 초기강성

( )2K , (-)2K : (+),(-)측 제2강성.

단, ( ) ( )02 1K K , (-) (-)

02 1K K

( )3K , ( )3K : (+),(-)측 제3강성.

단, ( ) ( )03 2K K , (-) ( )

03 2K K

( )1 , ( )1 : (+),(-)측 제1차항복후의 강성저감율

( )2 , ( )2 : (+),(-)측 제2차항복후의 강성저감율



수정 다케다형(Modified Takeda Type)의 이력규칙


에서 이동합니다.(Rule:0)

2. a) 변형 D 가 처음으로 ( )1D 을 넘는 경우, 제2차구배 ( )2K , (-)2K 직선상

을 이동합니다.(Rule:1) 최초항복시, 반대측 제1항복점이 반대측의 최대변

형점이 됩니다.



mid

as C

ivil

b) 이 직선상에서 제하되는 경우는 반대측의 최대변형점을 향하여 이동합

니다. (Rule:2)

c) 반대측 최대변형점에 도달하기 전에 재재하되는 경우는 같은 제하직선

을 따라서 진행되며(Rule:3), 골격곡선에 도달하면, ( )2K , (-)2K 구배로 골

격곡선상에서 이동합니다.(Rule: 4)

( ) ( )max max, D P

( ) ( )max max, D P

3. i) D 가 최초로 ( )2D 를 초과한 경우, 제3구배 ( )3K , (-)3K 직선상을 진행

합니다. (Rule:10)

ii) 이 직선상에서, 제하되면 제하구배 ( )Kr , ( )Kr 로 이동한다.(Rule:11)

반대측이 제2차항복을 경험하기 전인 경우, 반대측의 제2항복점이 반대측

의 최대변형점이 됩니다.

-( )

( ) max0 ( )

max * , 1

bD

Kr K KD


mid

as C

ivil


여기서, ( ) ( )

max max( ) ( )max max

bP P

KD D

： 제하강성 파라메터 ( 0.4, )Default

4. 복원력0점을 초과하면, 반대측의 최대변형점을 향하여 이동하고(Rule:14),

반대측 최대변형점을 향하는 직선상에서 제하되는 경우, 내부루프에 들어

갑니다.(Rule:15) 내부루프에서는 복원력0점까지는 ( )Kr , ( )Kr 의 구배로

제하되어, 복원력0점을 초과하면 반대측 최대점을 향하여 이동합니

다.(Rule:16)

P

D

P1(+)

P2(+)

P2(-)

K3(+)

Rule: 10

Kr(+)

Rule: 11

Rule: 17

Rule: 18

Rule: 12

Rule: 13

( ) ( )max max, D P

( ) ( )max max, D P

Kr(-)

Rule: 15

Kr(+)

Rule: 14

Rule: 16

Rule: 19

Rule: 20



mid

as C

ivil

9-4-10 Modified Takeda Tetralinear Type

이력의 개요

수정 다케다4선형 이력은 강성저감 Tetralinear로서, 입력에 의해, 대칭 및 비대칭

이 정의가능하며, 대응요소는 집중형 힌지 및 분포형 힌지 요소, 스프링 요소, 트

러스 요소 등입니다.

그림 2.9.21 Modified Takeda Tetralinear 이력모델


mid

as C

ivil




( )1P , ( )1P : (+),(-)측 제1차항복강도

( )2P , ( )2P : (+),(-)측 제2차항복강도

( )3P , ( )3P : (+),(-)측 제3차항복강도

( )1D , ( )1D : (+),(-)측 제1차항복변형

( )2D , ( )2D : (+),(-)측 제2차항복변형

( )3D , ( )3D : (+),(-)측 제3차항복변형

0K : 초기강성

( )2K , (-)2K : (+),(-)측 제2강성.

단, ( ) ( )02 1K K , (-) (-)

02 1K K

( )3K , ( )3K : (+),(-)측 제3강성.

단, ( ) ( )03 2K K , (-) ( )

03 2K K

( )4K , ( )4K : (+),(-)측 제4강성.

단, ( ) ( )04 3K K , (-) ( )

04 3K K

( )1 , ( )1 : (+),(-)측 제1차항복후의 강성저감율

( )2 , ( )2 : (+),(-)측 제2차항복후의 강성저감율

( )3 , ( )3 : (+),(-)측 제3차항복후의 강성저감율





mid

as C

ivil

9-4-11 Elastic Bilinear Type

이력의 개요

비선형탄성으로 골격곡선은 Bilinear입니다. 재하와 제하에 관계없이 루프를 그리지

않는 이력으로, Bilinear골격곡선 상에서만 이동합니다. 따라서, 이력상에서의 지진

에너지흡수는 기대할 수 없습니다. 입력에 의해 대칭 혹은 비대칭 정의가 가능합

니다. 집중형 힌지 및 분포형 힌지 요소, 스프링 요소, 트러스 요소 등에 적용가능

합니다. Inelastic Hinge Properties의 Directional Hinge Properties에서 Input Type을

Strength-Yield Displacement를 선택하여, 정(+),부(-)축의 1차 항복변위를 이용하여

초기강성을 (+),(-)측 비대칭으로 입력하여 고려할 수 있습니다.

그림 2.9.22 Elastic Bilinear 이력모델


mid

as C

ivil




( )1P , ( )1P : (+),(-)측 제1차항복강도

( )1D , ( )1D : (+),(-)측 제1차항복변형

0K : 초기강성

( )2K , (-)2K : (+),(-)측 제2강성.

단, ( ) ( )02 1K K , (-) (-)

02 1K K

( )1 , ( )1 : (+),(-)측 제1차항복후의 강성저감율



mid

as C

ivil

9-4-12 Elastic Trilinear Type

이력의 개요

비선형탄성으로 골격곡선은 Trilinear입니다. 재하와 제하에 관계없이 루프를 그리

지 않는 이력으로, Trilinear골격곡선상에서만 이동합니다. 따라서, 이력상에서의 지

진 에너지흡수는 기대할 수 없습니다. 입력에 의해 대칭 혹은 비대칭 정의가 가능


합니다. Inelastic Hinge Properties의 Directional Hinge Properties에서 Input Type을

Strength-Yield Displacement를 선택하여, 정(+),부(-)축의 1차 항복변위를 이용하여

초기강성을 (+),(-)측 비대칭으로 입력하여 고려할 수 있습니다.

그림 2.9.23 Elastic Trilinear 이력모델


mid

as C

ivil




( )1P , ( )1P : (+),(-)측 제1차항복강도

( )2P , ( )2P : (+),(-)측 제2차항복강도

( )1D , ( )1D : (+),(-)측 제1차항복변형

( )2D , ( )2D : (+),(-)측 제2차항복변형

0K : 초기강성

( )2K , (-)2K : (+),(-)측 제2강성.

단, ( ) ( )02 1K K , (-) (-)

02 1K K

( )3K , ( )3K : (+),(-)측 제3강성.

단, ( ) ( )03 2K K , (-) ( )

03 2K K

( )1 , ( )1 : (+),(-)측 제1차항복후의 강성저감율

( )2 , ( )2 : (+),(-)측 제2차항복후의 강성저감율



mid

as C

ivil

9-4-13 Elastic Tetralinear Type

이력의 개요

비선형탄성으로 골격곡선은 Tetralinear입니다. 재하와 제하에 관계없이 루프를 그

리지 않는 이력으로, Tetralinear골격곡선상에서만 이동합니다. 따라서, 이력상에서

의 지진 에너지흡수는 기대할 수 없습니다. 입력에 의해 대칭 혹은 비대칭 정의가

가능합니다. 집중형 힌지 및 분포형 힌지 요소, 스프링 요소, 트러스 요소 등에 적

용가능합니다. Inelastic Hinge Properties의 Directional Hinge Properties에서 Input

Type을 Strength-Yield Displacement를 선택하여, 정(+),부(-)축의 1차 항복변위를 이

용하여 초기강성을 (+),(-)측 비대칭으로 입력하여 고려할 수 있습니다.

그림 2.9.24 Elastic Tetralinear 이력모델



( )1P , ( )1P : (+),(-)측 제1차항복강도

( )2P , ( )2P : (+),(-)측 제2차항복강도

( )3P , ( )3P : (+),(-)측 제3차항복강도

( )1D , ( )1D : (+),(-)측 제1차항복변형

( )2D , ( )2D : (+),(-)측 제2차항복변형

( )3D , ( )3D : (+),(-)측 제3차항복변형


mid

as C

ivil


0K : 초기강성

( )2K , (-)2K : (+),(-)측 제2강성.

단, ( ) ( )02 1K K , (-) (-)

02 1K K

( )3K , ( )3K : (+),(-)측 제3강성.

단, ( ) ( )03 2K K , (-) ( )

03 2K K

( )4K , ( )4K : (+),(-)측 제4강성.

단, ( ) ( )04 3K K , (-) ( )

04 3K K

( )1 , ( )1 : (+),(-)측 제1차항복후의 강성저감율

( )2 , ( )2 : (+),(-)측 제2차항복후의 강성저감율

( )3 , ( )3 : (+),(-)측 제3차항복후의 강성저감율

Elastic Tetralinear Type의 이력규칙

1. 재하와 제하에 관계없이 루프를 그리지 않는 이력으로, Tetralinear골격곡

선상에서만 이동합니다.

2. 부구배에 들어가서, 복원력이 0.0이 되는 점을 초과하면, 변형축 상에서

이동합니다. 또한, 재하될 경우는 아래 그림과 같이 이동하여, 통상의 이력

규칙을 따릅니다.



mid

as C

ivil

9-4-14 Slip Bilinear Type

이력의 개요

골격곡선은 Bilinear로서 항복 후 강성 저감률은 정(+), 부(-) 비대칭 정의가 가능하

며, 집중형 힌지 및 분포형 힌지 요소, 스프링 요소, 트러스 요소 등에 적용가능합

니다.

(a) Slip Bilinear

(b) Slip Bilinear/Tension (c) Slip Bilinear/Compression

그림 2.9.25 Slip Bilinear 이력모델

P

D

P1(+)

D1(+)

( )gap

K0

K2(+)

K0

( )gap

P

D

P1(-)

D1(-)

K0 K0

K2(-)

( )gap

P

D

P1(+)

D1(+)

P1(-)

D1(-)

( )gap

K0

K2(+)

K0

K0 K0

K2(-)


mid

as C

ivil




( )1P , ( )1P : (+),(-)측 제1차항복강도

( )1D , ( )1D : (+),(-)측 제1차항복변형

0K : 초기강성

( )2K , (-)2K : (+),(-)측 제2강성.

단, ( ) ( )02 1K K , (-) (-)

02 1K K

( )1 , ( )1 : (+),(-)측 제1차항복후의 강성저감율

( )gap , ( )

gap : (+),(-)측 Initial Gap



mid

as C

ivil

9-4-15 Slip Trilinear Type

이력의 개요

이력곡선은 Trilinear로서, 항복 후 강성 저감률은 정(+), 부(-) 비대칭 정의가 가능


합니다.

(a) Slip Trilinear

(b) Slip Trilinear/Tension (c) Slip Trilinear/Compression

그림 2.9.26 Slip Trilinear 이력모델

( )gap

P

D

P1(-)

K0 K0

K2(-)

P1(-)

D1(-)D2(-)

K3(-)

P

D

P1(+)

D1(+)

( )gap

K0

K2(+)

K0

P2(+)

D2(+)

K3(+)

( )gap

P

D

P1(+)

D1(+)

P1(-)

( )gap

K0

K2(+)

K0

K0 K0

K2(-)

P2(+)

D2(+)

K3(+)

P1(-)

D1(-)D2(-)

K3(-)


mid

as C

ivil




( )1P , ( )1P : (+),(-)측 제1차항복강도

( )2P , ( )2P : (+),(-)측 제2차항복강도

( )1D , ( )1D : (+),(-)측 제1차항복변형

( )2D , ( )2D : (+),(-)측 제2차항복변형

0K : 초기강성

( )2K , (-)2K : (+),(-)측 제2강성.

단, ( ) ( )02 1K K , (-) (-)

02 1K K

( )3K , ( )3K : (+),(-)측 제3강성.

단, ( ) ( )03 2K K , (-) ( )

03 2K K

( )1 , ( )1 : (+),(-)측 제1차항복후의 강성저감율

( )2 , ( )2 : (+),(-)측 제2차항복후의 강성저감율

( )gap , ( )

gap : (+),(-)측 Initial Gap



mid

as C

ivil

9-4-16 Ramberg-Osgood Type

이력의 개요

Ramberg-Osgood 이력모델은 금속재료의 비선형해석을 위해서 제안된 것으로, 이

력곡선은 Masing의 법칙을 따르고 있습니다. 지반 비선형 Ramberg-Osgood 모델

의 골격곡선과 이력곡선은 다음과 같이 표현됩니다.

골격곡선 : 0

1

G

이력곡선 : 0 0 0

0

12 22

G

max

max

2

2

h

h,

0

2

rG

여기서, : 전단변형율,

: 전단응력,

0G : 전단탄성계수

r : 기준 전단변형율

, : Ramberg-Osgood 모델의 파라메터


mid

asCi

vil




0G , : 초기강성(전단탄성계수)

r : 기준 변형율

maxh : 최대감쇠정수

그림 2.9.27 Ramberg-Osgood 이력모델

0G

0G

0 0( , )

0 0( , )

0

0

Skeleton Curve

Hysteresis Curve



mid

asCi

vil

9-4-17 Hardin-Drnevich Type

이력의 개요

Hardin-Drnevich 모델의 이력곡선은 흙의 정적인 응력-변형율관계에 주로 사용되는

쌍곡선 모델을 그대로 골격곡선에 사용합니다.

골격곡선 : 0

1

r

G

이력곡선 : 0 ( )

1 / 2

m

mm r

G(하강곡선)

0 ( )

1 / 2

m

mm r

G(상승곡선)

여기서, : 전단변형율,

: 전단응력,

0G : 전단탄성계수

r : 기준 전단변형율

( , ) m m : 이력곡선상의 반전점


mid

asCi

vil




0G

: 초기강성(전단탄성계수)

r

: 기준 변형율

0G

0G

0 0( , )

0 0( , )

0

0

그림 2.9.28 Hardin-Drnevich 이력모델



mid

asCi

vil

지진과 같은 복잡한 형태의 하중에 대해서 축력과 2축 휨을 받는 기둥은 3개 성분

사이에 복잡한 상호작용이 존재합니다. 이와 같은 상호작용을 보다 상세하게 모델

링하기 위해서는 하나의 기둥을 입체요소로 세분하여 해석할 수 있으나, 상당한

계산량이 요구되기 때문에 요소의 갯수를 줄이기 위해 다축-힌지 모델(Hysteresis

Model for Multi-axial Hinge)이 일반적으로 사용되고 있습니다. 다축-힌지 모델은 요

소내에 복수의 비선형 힌지를 할당하여 힌지의 상태에 의해 부재의 비탄성거동을

해석하는 모델로서, 파이버 모델(Fiber Model)과 다축-힌지 이력모델로 구분할 수

있습니다.

파이버 모델(Fiber Model)

파이버 모델은 부재내에 비탄성 거동을 모니터링 하는 단면을 섬유로 세

분하여, 단일 보요소로 모델링하는 모델입니다. 따라서, 복수개의 요소로

분할하지 않고도, 정밀한 비선형 거동을 파악할 수 있는 장점이 있습니다.

그러나, 대규모 구조물의 비선형 시간이력해석시에 모든 구조부재를 파이

버 모델로 모델링할 경우, 계산시간이 과도하게 소요되며 및 메모리 문제

가 발생할 수 있습니다.

다축-힌지 이력모델

다축-힌지 이력모델은 축력과 2축 휨성분을 항복곡면에 의해 정의하고, 소

성이론(Plasticity Theory)에 의해, 축력과 2축 휨성분들 사이의 상호작용을

고려하는 모델입니다. 축력과 휨성분은 연성하지만 각각의 성분은 이력모

델로서 정의되므로, 단면을 세분하는 파이버 모델에 비해 힌지의 상태판정

에 소요되는 계산량이 대폭 감소되어 대규모 구조물의 비선형 시간이력해

석에도 적용가능합니다.

midas Civil에서는 다축-힌지 모델로서 파이버 모델과 소성이론을 응용한 이동경화

형 이력모델을 제공합니다.


mid

asCi

vil


9-5-1 이동경화형 (Kinematic Hardening Type)

다축-힌지를 대상으로 하는 이동경화형 이력모델은 2개의 항복면을 사용한 이동경

화 법칙을 따릅니다. 이는 기본적으로 일축-힌지를 대상으로 하는 3선형 이동경화

형 Trilinear이력을 축성분과 2축 휨성분으로 확장시킨 것입니다. 힌지의 상태 판정

및 그에 따른 유연도 행렬 계산은 정해진 항복면에 대한 하중점의 상대적 위치관

계에 의해 결정됩니다. 제하강성은 탄성강성과 동일하며, 2개의 항복면은 항복에

의해 위치만 이동하고 형태나 크기 변화는 없다고 가정합니다.

항복의 판정은 그림 2.9.29에 나타낸 것과 같이 하중점이 1차 항복면 내부에 위치

한 경우에는 탄성상태로 간주합니다. 재하 과정에서 하중점이 1차 항복면과 만나

면 1차 항복이 발생한 것으로 간주하며 계속해서 하중점이 2차 항복면에 도달하면

2차 항복이 발생한 것으로 간주합니다.

(a) Elastic Loading (b) Post Crack (c) Post Yielding (d) UnLoading

그림 2.9.29 항복면의 이동 및 강성변화

힌지의 유연도 행렬은 세 개의 직렬 연결된 스프링의 유연도의 합으로 가정됩니다.

직렬 연결된 스프링은 각각 탄성 스프링과 두개의 비탄성 스프링으로 구성되며 초

기에는 탄성 스프링만 유연도를 갖고 나머지는 강체(Rigid)로 가정합니다. 하중점

이 각각의 항복면과 접할때 마다 관련된 비탄성 스프링의 유연도가 발생하는 것으

로 간주합니다. N-차 항복 후에 유연도 행렬의 계산식은 다음과 같습니다. 여기서

항복면과 관련된 항목은 현재의 하중점이 접하고 있는 항복면에 대해서만 계산됩

니다.

( ) ( )1,(0)

1 ( ) ,( ) ( )

TNi i

s s Ti i s i i

a aF K

a K a



mid

asCi

vil

여기서,

, ( ) , ( ) , ( 1) , (0)

1 1 1 1( 1,2,3; 1,2)

n i n i n i n

n ik r r k

i : 현재의 하중점이 접하고 있는 항복면의 차수

Fs : 힌지의 접선 유연도 행렬

a(i) : i-번째 항복면의 하중점 위치에서의 법선 벡터

kn,(i) : n-번째 성분의 i-번째 직렬 스프링 강성(i=0인 경우에는 탄성강성)

rn,(i) : n-번째 성분의 i-번째 항복 시 강성 저감률(i=0인 경우에는 1.0)

rn,(i) : n-번째 성분의 i-번째 항복 시 강성 저감률(i=0인 경우에는 1.0)

상기 식의 유연도 행렬 Fs는 탄성상태에서는 대각행렬로서 3개 성분이 완전히 독

립적이며 항복 변형 중에는 대각성분에 의해 3개 성분 사이의 상관작용이 발생합

니다. 하중점이 도달 항복면의 외측으로 이동하게 되면 항복면은 하중점과 접해있

는 상태를 유지하도록 함께 이동합니다. 이동 방향은 변형된 Mroz의 경화법칙

(Hardening Rule)을 따릅니다. 하중점이 항복면상에서 내측으로 이동하게 되면 제

하로 판정하며 제하강성은 탄성강성과 동일하다. 제하과정에서 항복면은 이동하지

않습니다.

SSc

C2

S

C1

C1

Mz

My

Mz

My

Sc : conjugate loading point C1 : translation of the 1st yield surface centerS : translation of loading point C2 : translation of the 2nd yield surface center

(a) 1차 항복 이후의 경화 상태 (b) 2차 항복 이후의 경화 상태

그림 2.9.30 경화법칙

1, ( )

, ( ) 2, ( )

3, ( )

0 0

0 0

0 0

i

s i i

i

k

K k

k


mid

asCi

vil


9-5-2 P-M 및 P-M-M 상관작용

기둥이나 교각과 같이 축력과 휨 모멘트가 동시에 작용하는 부재의 경우, 축력과

모멘트의 상관작용에 의해 각 성분이 독립적으로 작용할 때와는 다른 항복강도를

갖게 됩니다. 특히 3차원 시간이력해석에서는 2방향 지진에 의해 기둥 부재 내부

의 2축 휨 모멘트 및 축력 사이에 복잡한 상관작용이 발생하고 이는 구조물의 동

적응답에 큰 영향을 미칠 수 있습니다. midas Civil의 비선형 시간이력 해석에서는

P-M 상관작용 또는 P-M-M 상관작용을 고려한 해석을 수행할 수 있습니다.

P-M 상관작용

P-M 상관작용은 축력의 영향을 고려하여 힌지의 휨 항복강도를 산정함으로써 반

영됩니다. 이 때 2축 휨 모멘트의 상관작용은 무시됩니다. 각각의 시간증분에 대한

힌지 상태판정에 있어서는 축력과 두개의 휨 모멘트는 모두 상호 독립적인 것으로

간주됩니다. 축력을 고려한 휨 모멘트 항복강도의 재산정을 위해서는, 비선형 정적

해석을 수행하여 정적해석에 의한 축력을 계산하고, 연속해서 시간이력 해석을 수

행하도록 각각의 하중을 별도의 하중조건으로 만든 뒤 재하순서 및 하중의 연속성

을 부과하여 해석을 수행하여 합니다.

대상 요소는 P-M 상관작용이 적용되는 힌지 속성이 부여된 비탄성 보요소입니다.

이 때 초기단면력은 시간변동 정적하중(Time Varying Static Load)에 포함되는 모

든 정적하중에 대한 선형탄성 해석결과의 조합으로 가정되며 조합에 사용되는 계

수는 시간변동 정적하중에 입력하는 Scale Factor에 의해 정의됩니다.

P

M

P P

MC MY MC MY MC MYM M

(a)

MC : 1st Yield Moment MY : 2nd Yield Moment S : Loading Point by Static Loads

1st Yield Surface

2nd Yield Surface

(b) (c)

S

S

S

그림 2.9.31 P-M 상관작용에 의한 휨 항복강도 산정



mid

asCi

vil

휨에 대한 항복강도의 계산은 위와 같이 계산된 단면력의 2차원 상관곡선의 상대

적 위치에 의해 결정되며 이는 그림 2.9.31에 나타냅니다. 초기 단면력이 상관곡선

내측에 있으면, 이 하중점의 축력에 해당되는 휨 항복강도를 상관곡선으로부터 계

산합니다. 하중점이 상관곡선 외측에 있으면, 하중점과 원점을 잇는 직선이 항복

면과 교차하는 점에서 휨 항복강도를 계산합니다.

P-M-M 상관작용

P-M-M 상관작용은 다축-힌지 이력모델을 사용함으로써 비선형 시간이력해석에 반

영될 수 있습니다. 다축-힌지 이력모델은 축력 및 2축 휨 모멘트의 상호작용을 소

성이론을 응용해서 구현한 것으로서, P-M-M 상관을 고려하면, 변동축력에 의한 휨

항복강도를 변화시키면서 각 시간증분마다 3개 성분의 변동을 통합적으로 고려한

상태판정을 수행합니다. midas Civil에서는 이동경화형(Kinematic Hardening type)이

지원됩니다.

(a) P-M Type(초기축력) (b) P-M-M Type(변동축력)

그림 2.9.32 P-M과 P-M-M 상관에서의 축력관계


mid

asCi

vil


9-5-3 항복면의 근사화

힌지의 항복강도 산정 또는 상태판정에 있어서 P-M 또는 P-M-M 상관작용을 고려

하기 위해서는 P-M 상관곡선으로부터 3차원 상의 항복면을 정의할 필요가 있습니

다. 그러나 제한된 P-M 상관곡선의 데이터로부터 정확한 3차원 상의 항복면을 정

의하는 것은 어렵기 때문에 이를 단순한 수식으로 근사화할 수 있습니다. midas

Civil에서 P-M 상관곡선은 다음 식을 통해 근사화 됩니다.

bal

max max bal

1.0M P P

M P P

여기서 M : 하중점의 요소좌표계 y축 또는 z축에 대한 모멘트 성분(My 또는 Mz)

Mmax:요소좌표계 y축 또는 z축에 대한 최대 휨 항복강도 (My,max 또는 Mz,max)

P : 하중점의 축력 성분

Pbal : y-축 또는 z-축에 대한 균형파괴시 축하중 (Pbal,y, Pbal,z)

Pmax : 축 항복강도로서 정(+), 부(-) 비대칭 가능.

γ : 곡면 차수

β : 요소좌표계 y축/z축에 대한 곡면 차수로서 정(+), 부(-) 비대칭 가능

midas Civil에서 M-M 상관곡선은 다음 식을 통해 근사화 됩니다.

,max ,max

1.0y z

y z

M M

M M

여기서 My,max : 요소좌표계 y-축에 대한 최대 휨 항복강도

Mz,max : 요소좌표계 z-축에 대한 최대 휨 항복강도

α : 곡선 차수

3차원 항복면은 상기의 근사화된 상관곡선을 만족할 수 있는 다음 수식을 사용합

니다.



mid

asCi

vil

,

,max max ,

,

,max max ,

, , ,

, 1

y

z

y bal yy z y y z

y bal y

bal zzz y z

z bal z

M P Pf P M M g M M

M P P

P PMg M M

M P P

여기서

,max

,max ,max

,

y

y

y y z

y z

y z

M

Mg M M

M M

M M

,max

,max ,max

,

z

z

z y z

y z

y z

M

Mg M M

M M

M M

근사적 상관곡선 차수 βy, βz 및 γ는 사용자 입력 또는 최적 값에 대한 자동계산이

가능합니다. 최적 값은 γ를 1.0 에서 3.0까지 0.1씩 증가시켜 가면서 주어진 γ에

대해 βy 및 βz의 값을 계산하고 이 조합들 가운데 오차를 최소로 하는 것으로 합

니다. βy 및 βz는 각각 P-My 평면 및 P-Mz 평면이 항복면과 교차해서 만들어지는

근사적 상관곡선과 실제 계산된 상관곡선의 면적이 일치하도록 하는 값으로 산정

됩니다. 오차는 상관곡선 산정의 기준 축력에서 근사적 상관곡선과 실제 상관곡선

의 모멘트 차의 절대합으로 정의됩니다.

3차원 항복면에는 삼선형(Tri-linear) 골격곡선에 상응하는 두 개의 항복면이 있으며

편의상 안쪽에 놓여지는 것을 1차 항복면, 바깥쪽에 놓여 지는 것을 2차 항복면이

라고 명칭합니다. RC단면의 경우에 1차 항복면은 단면의 균열에 대응되며 2차 항

복면은 단면의 항복에 대응됩니다. 이 가운데 1차 항복면은 균열곡선을 그림

2.9.33과 같이 근사화하여 사용합니다. 먼저 2차 항복면을 동일 면적을 갖도록 2개

의 직선으로 근사화 합니다. 다음으로는 두 직선 중 사선과 원래의 균열곡선이 형

성하는 삼각형에 접하면서 둘러싸일 수 있도록 1차 항복면의 파라미터를 계산합니

다.


mid

asCi

vil


M

P

Yield Surface

Approximated Crack Surface

x1

x2

yc2 yc1

yt1yt2

x1 = 0.8 · x2

yc1 = 0.9 · yc2

yt1 = 0.9 · yt2

Approximated Yield Surface

Crack Surface

그림 2.9.33 RC 단면의 균열곡면 근사화



mid

asCi

vil

비탄성 힌지의 종류는 일축힌지 이력모델, 소성이론에 근거한 다축힌지 이력모델,

그리고 파이버모델 등으로 분류할 수 있습니다. 일축힌지 이력모델은 축력 혹은 2

축 휨 등의 효과 등을 반영하지 않고 경험적으로 정해진 이력 특성을 사용하는 힌

지모델이며, 부재 힌지의 이력 특성이 구조체에 미치는 영향이 크지 않거나 간편

한 방법으로 결과를 얻고자 할 때 유용한 방법입니다. 반면에 다축힌지 이력모델

은 소성이론의 항복면을 통하여 축력과 2축 휨의 효과를 반영할 수 있는 모델이지

만, 다양한 이력거동의 특성을 재현하는데는 한계가 있습니다. 파이버모델도 다축

힌지 이력모델과 같이 축력과 2축 휨의 효과를 반영할 수 있는 모델이나, 전단력

의 영향이 크지 않은 선부재(Line Element)의 구조적 특성을 효율적으로 이용하는

방법입니다. 휨모멘트를 받는 단면은 변형 후에도 평면을 유지한다는 특성을 이용

하여 정식화 됩니다. 따라서 단면에서 발생하는 변형률은 중립축으로부터의 거리

에 비례하므로, 여기에 곡률을 곱하면 변형률을 구합니다.

파이버모델에서는 분포형 힌지 모델의 각 적분점의 단면을 그림 2.9.34와 같은 형

태의 격자(Fiber) 혹은 층(Layer)의 셀(Cell)로 분할한 후, 각 셀은 동일한 응력을

갖는다는 가정을 사용합니다. 이 때 각 셀은 콘크리트, 철골 혹은 철근 등 사용자

의 선택에 따라 다양한 재료를 사용할 수 있으며, 임의 형상의 단면을 사용하는

것도 가능합니다.

격자모델(Fiber Model) 층모델(Layer Model)

그림 2.9.34 파이버모델의 셀 분할 방법


mid

asCi

vil


각 셀은 독립된 재료 모델을 선정할 수 있습니다. 단면력(모멘트, 축력)은 각 셀의

응력을 적분하며, 단면의 강성(Stiffness)은 단면 유연도(Sectional Flexibility)의 역행

렬로서 얻어지게 됩니다. 그리고 요소 혹은 부재의 강성은 선정된 적분점(집중형

혹은 분포형) 들을 대상으로 적분을 수행함에 의해서 얻어집니다. 따라서 파이버모

델은 휨부재의 역학적 특성을 정확하게 반영하기 때문에, 해석결과의 정확도는 매

우 높다고 할 수 있습니다. 단 단면을 여러 개의 셀로서 분하여야 하기 때문에 해

석에 소요되는 시간이 길어지게 됩니다.

Fiber 모델은 다음과 같은 기본 가정하에 정식화 됩니다.

1. 단면은 변형과정에서 평면을 유지하며 부재 축과 수직을 이루는 것으로 가

정합니다. 따라서 철근과 콘크리트 사이의 부착-미끄러짐(Bond-Slip)은 고려

되지 않습니다.

2. 단면의 도심축은 보요소의 전체 길이에 걸쳐 직선인 것으로 가정합니다.

파이버 모델의 해석 알고리즘은 다음과 같습니다. 각 요소의 적분점 위치에 파이

버 모델이 정의된 단면이 존재한다고 가정하고. 적분점 개수는 최대 20개까지 가

능합니다. 적분 방식은 기본적으로 부재 양 끝단의 결과까지 확인이 가능한

Gauss-Lobatto 방식을 사용하며, 적분점이 2개일 때만 일반 Gauss 적분법을 사용

합니다. 이전 시간증분에서 얻어진 양단의 부재력을 변환과정을 통해 강체거동

(Rigid Body Modes)을 제외한 5개의 자유도에 해당하는, 축력과 양단 2개의 모멘트

(Generalized Element Forces)로 변환합니다. 이렇게 얻어진 축력과 양단의 두 모멘

트를 내삽 함수(Force Interpolation Function)를 사용하여 각 단면 위치에서의 힘을

계산합니다.



mid

asCi

vil

그림 2.9.35 부재의 임의 단면에서의 부재력과 변형

Element Force Vector : 1 2 3 4 5Q , Q , Q , Q , Q TQ

Element Deformation Vector : 1 2 3 4 5q , q , q , q , q Tq

Section Force Vector : z y(x) M (x) M (x) N(x)T

D

Section Deformation Vector : z y(x) χ (x) χ (x) ε(x)T

d

(x) (x) i iD b Q

여기서, (x)b 는 내삽함수(Force Interpolation Function)로서 다음과 같습니다.

x x-1 0 0 0

L L

x x(x) 0 0 -1 0

L L

0 0 0 0 1

b

여기서, L : 부재 길이


mid

asCi

vil


단면의 힘과 유연도(Flexibility)를 연산하여 단면의 변형을 계산합니다. 이렇게 얻은

단면의 축, 휨 변형으로부터 섬유 각각의 축 변형률을 계산하게 되며 그 관계식은


x

ECS x-axis

ECS y-axis

ECS z-axis

zi

yi i-th fiber

ECS y-axis

ECS z-axis

그림 2.9.36 Fiber 모델에서의 단면 분할

y

i i i z

x

χ (x)

ε z -y 1 χ (x)

ε (x)

여기서, x : 단면의 위치

χy(x) : 위치 x에서의 단면의 요소좌표계 y-축에 대한 곡률

χz(x) : 위치 x에서의 단면의 요소좌표계 z-축에 대한 곡률

x(x) : 위치 x에서의 단면의 축방향 변형율

yi : 단면 상에서의 i-번째 섬유의 y-축 위치

zi : 단면 상에서의 i-번째 섬유의 z-축 위치

I : i-번째 섬유의 변형율

각 섬유의 축변형률 i 에 대응되는 섬유의 응력과 접선 강성을 재료별로 정의된

구성관계식(Constitutive Relation)으로부터 얻으며, 섬유의 상태를 판정합니다. 하나

의 단면내의 각 섬유들의 응력들을 적분하여 단면의 축력 및 휨 모멘트를 계산하

며, 각 섬유들의 접선 강성을 적분하여 단면의 유연도를 얻습니다. 한 부재 내 단

면들의 유연도를 적분하여 부재의 유연도를 갱신합니다. 이러한 과정의 강성행렬

과 유연도 행렬은 다음과 같습니다.



mid

asCi

vil

n(x) n(x) n(x)j 2 j ji i i i i i i i i i

i=1 i=1 i=1

n(x) n(x) n(x)j j 2 ji i i i i i i i i i

i=1 i=1 i=1

n(x) n(x) n(x)j j ji i i i i i i i

i=1 i=1 i=1

E A y - E A y z - E A y

(x) - E A y z E A z E A z

- E A y E A z E A

jk

1(x) (x)

j jf k

여기서, (x)jk : j-step, 거리 x에 위치한 단면의 접선강성

(x)jf : j-step, 거리 x에 위치한 단면의 유연도(Flexibility)

n(x) : 거리 x에 위치한 단면 내 총 섬유 개수

(x)jiE : j-step, 거리 x에 위치한 단면 내의 ‘i’ 섬유의 접선강성.

iA : ‘i’ 섬유의 단면적

,i iy z : ‘i’ 섬유의 단면 내 위치

한편 불평형력 산정에 필요한 단면 내력(Section Resisting Force)은 다음과 같이

현 증분에서 각 섬유가 발현하고 있는 응력을 적분하여 얻습니다.

n(x) n(x) n(x)j j ji i i i i i i i

i=1 i=1 i=1

(x) - σ A y σ A z σ A

T

jRD

이와 같은 과정이 각 Newton-Raphson Iteration 내에서 사용자가 정의한 수렴조건

이 만족될 때까지 수행합니다. 한편 파이버 모델에서 단면의 비선형 거동 특성은

비선형 섬유의 응력-변형율 관계에 의해서 정의됩니다. 부재의 비선형적 거동은 모

두 섬유의 응력-변형율 관계로부터 구현되기 때문에 midas Civil에서는 다양한 강

섬유 및 콘크리트 섬유의 재료 모델을 제공하고 있습니다. 이하에서 각 재료의 구

성모델(Constitutive Model)에 관해 설명하고 있습니다.


mid

asCi

vil


9-6-1 강 섬유 구성 모델

Modified Menegotto & Pinto Steel Model

Menegotto & Pinto(1973)1)가 제안한 모델을 Filippou(1983)2) 등이 수정한 모델로 수

치적인 효율성이 높고 실험적 결과와 높은 일치성을 보이는 모델로 평가 받고 있

습니다. 구성모델은 기본적으로 2선형 이동경화(Kinematic Hardening) 법칙에 따라

설정된 점근선으로 접근하는 곡선형상을 갖습니다. 각각 제하(Unloading) 경로 및

변형율-경화(Strain Hardening) 구간에 대응되는 두 점근선 사이의 전이 구간은 곡

선 형상을 갖습니다. 이 전이구간은 두 점근선의 교점과 제하(Unloading)되는 방향

의 최대 변형점이 서로 멀리 떨어져 있을수록 부드러운 곡선이 되고 이러한 특성

을 통해 Bauschinger Effect를 정밀하게 모사할 수 있습니다.

1/

ˆ(1 )ˆˆ

ˆ1RR

bb

여기서, 1

00 0 2

ˆ ˆ, ,r r

r r

aR R

a

: 강 섬유의 변형율

: 강 섬유의 응력

(r, r) : 제하점으로서 초기 탄성상태에서는 (0, 0)으로 가정.

(0, 0) : 현재의 재하 또는 제하 경로를 정의하는 두 점근선의 교점

b : 강성 저감률

R0, a1, a2 : 상수 (곡선형태를 결정하는 값으로 실험으로부터 얻은 최적값

을 default로 사용)

:하중이 재하/제하되는 방향으로 최대변형율과 0의 차(절대값)

단, 최대 변형율의 초기치는 (Fy/E)와 같다고 설정 (그림 2.9.37 참조)

1) ; Menegotto, M. and Pinto, P.E., “Method of Analysis for Cyclically Loaded ReinForced Concrete

Plane Frames Including Changes in Geometry and Non-Elastic Behavior of Elements under

Combined Normal Force and Bending”, Proceedings, IABSE Symposium on Resistance and

Ultimate Deformability of Structures Acted on by Well Defined Repeated Loads, Lisbon, 1973,

pp.15-22. 2) ; Filippou, F.C., Popov, E.P. and Bertero, V.V., Effects of Bond Deterioration on Hysteretic Behavior

of ReinForced Concrete Joints”, EERC Report 83-19, Earthquake Engineering Research Center,

Berkeley, 1983.



mid

asCi

vil

b·E

E

ε

σ

1

(εr, σr)1

(ε0, σ0)1

2

(εr, σr)2

(ε0, σ0)2Fy

그림 2.9.37 강 섬유 구성모델

Bilinear Steel Model

일반적인 이선형(Bilinear) 모델로서 항복이전과 항복이후의 강성을 달라집니다. 항

복이전 재하(Loading), 제하(Unloading)는 탄성강성을 사용하며, 항복이후에는 감소

된 강성으로 재하가 진행됩니다. 항복이후 제하, 재재하(Re-loading)는 탄성강성으

로 진행됩니다.

Trilinear Steel Model

일반적인 삼선형(Trilinear) 모델로서 탄성과 1차 항복이후와 2차 항복 이후의 강성

을 달리 정의할 수 있습니다. 범용성을 갖추기 위해 압축부와 인장부의 1, 2차 항

복 변형률과 기울기를 다르게 정의하여 비대칭 이력을 정의할 수 있습니다. 항복

이전 재하(Loading), 제하(Unloading)는 탄성강성을 사용하며, 항복이후에는 감소된

강성으로 재하가 진행됩니다. 항복이후 제하, 재재하(Re-loading)는 탄성강성으로

진행됩니다.

Asymmetrical Bilinear Steel Model

본 모델은 철근에서 발생할 수 있는 거의 모든 현상을 모사할 수 있도록 고안된

모델로서 모든 강성은 다르게 정의할 수 있으며, 인장측으로는 항복, 파단을 고려

하고, 압축측으로는 항복, 좌굴 후 파괴를 고려할 수 있도록 고안되었습니다.


mid

asCi

vil


그림 2.9.38 Hysteresis Rule of Asymmetrical Bilinear Steel Model

1. 탄성 상태

2. 항복 이후 상태, E2나 E4의 기울기로 진행

3. 인장 항복이후 제하(Unloading)가 발생하여 기울기 E3의 직선과 만나 압축

항복이 발생한 상태, E4의 기울기

4. 항복이후 제하(Unloading)가 진행되고 있는 상태, E1 의 기울기

5. 압축이 좌굴 변형률, 1ε 을 초과하여 진행되는 상태. E5 의 기울기

6. 압축 좌굴 발생 이후, 재재하(Re-loading)가 진행되는 상태, 인장 항복이전

에는 인장 항복점을 향하고, 인장 항복이 이전에 발생하였으면 이전 최대

변형률 점을 향해 진행.

7. 압축좌굴이 완전히 발생하여 더 이상 저항을 못하는 상태

8. 인장 파단이 발생하여 더 이상 저항을 못하는 상태

1∼6 단계 진행 중에 제하(Unloading)가 발생한 상태, E1 의 기울기



mid

asCi

vil

Park Steel Model

Kent & Park(1973)3) 에 의해 수행된 반복하중을 받는 의 실험을 통하여 제안

된 모델입니다. 본 모델은 의 탄성구간, 소성구간과 변형도-경화(Strain

Hardening) 구간의 모사가 가능하며, Ramberg-Osgood 식에 의해 Bauschinger

Effect를 정밀하게 나타내어 실험적 결과와 높은 일치성을 보이는 모델입니다.

1) 재하시의 거동

재하시의 거동은 다음과 같이 구분됩니다. 재하시의 변형도-경화구간에서의

응력-변형도 관계는 Thompson & Park(1980)4) 이 제안한 식을 적용합니다.

sE

sushy

yf

uf

그림 2.9.39 Stress-Strain curve for steel with loading of the same sign

. 탄성구간(O-A) : 0 y

s yf E

3) ; Kent, D. C. and Park, R., “Kent, D. C. and Park, R., inforcing Steel”, Strain, July 1973, pp. 98~103

4) ; Thompson, K. J. and Park, R., clic Load Behavior of Reinforcing Steel”hompson, K. J. and Park, R., clic

Load Behavior of Reinforcing Steelpp. 46~70


mid

asCi

vil


. 소성구간(A-B) : y sh

yf f

. 변형도-경화(strain hardening)구간(B-C) : sh su

2

2 60

60 2 2 30 1sh sh

shy

m mf f

r

2

2

30 1 60 1

15

u yf f r rm

r

u shr

여기서,

: 강 섬유의 변형도

f : 강 섬유의 응력도

sE 강 섬유의 초기강성(탄성계수)

y : 강 섬유의 항복 변형도

sh : 강 섬유의 변형도-경화시작시의 변형도

su : 강 섬유의 종국변형도(파단시)

yf : 강 섬유의 항복응력도

uf : 강 섬유의 극한응력도

2) 제하 및 재재하시의 거동

제하시 및 재재하시의 거동은 Ramberg-Osgood 관계에 의해서 정의되며,

Newton’s Method에 의한 반복계산을 통하여 응력을 구합니다.



mid

asCi

vil

y

yf

sE

4.49 6.030.297

log (1 ) 1ne

Rn e

2.20 0.4693.04

log (1 ) 1ne

Rn e

그림 2.9.40 Stress-Strain curves for steel with reversed loading

1

1R

sis ch

f f

E f

Ramberg-Osgood Function

1000

0.744 0.0710.241

log 1 1000 1 ipch y

e ip

f fe

4.49 6.030.297

log (1 ) 1ne

Rn e

(n=1인 경우)

2.20 0.4693.04

log (1 ) 1ne

Rn e

(n=2인 경우)

여기서,

chf : Ramberg-Osgood 함수의 특성응력도

ip : 이전 재하시의 소성변형도(0 < 0.7097ip )

R : Ramberg-Osgood Parameter

n : Loading Run Number


mid

asCi

vil


(단, 압축측인 경우 1, 인장측인 경우 2의 고정값 사용)

si : 재하시점에서 응력 0에 대한 변형도

단, 이전 재하시에 발생한 소성변형도 ip 값이 0.7097을 초과하면, 수치오류가 발생

하므로, 해석을 강제종료 시킵니다.

-0.005 0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025Steel Strain

-400

-300

-200

-100

0

100

200

300

400

Stee

l Str

ess(

N/m

m2 )

Park's ResultMidas Result

0 0.005 0.01 0.015 0.02Steel Strain

-300

-200

-100

0

100

200

300

400

Stee

l Str

ess(

N/m

m2 )

Park's ResultMidas Result

그림 2.9.41 Stress-Strain curves of Park Steel Model



mid

asCi

vil

9-6-2 콘크리트 구성 모델

Modified Kent & Park Concrete Model

단조증가 압축력을 받는 콘크리트에 대해서 Kent와 Park(1971)5)가 제안한 모델을

Scott(1982)6) 등이 수정한 모델입니다. 아래와 같은 포락곡선(Envelope Curve)식을

사용하며 콘크리트의 인장강도는 무시하고 있습니다. 본 모델은 명료함과 정확성

의 적절한 조화를 이루고 있고, 횡 구속(Confinement Effect)에 의한 콘크리트 압축

강도의 증가 효과를 고려하는 재료 모델로서 널리 알려져 사용되고 있습니다.

2

00 0

0 0

2

1 0.2

c

c

c c u

Kf for

Kf Z Kf for

여기서, : 콘크리트 섬유의 변형율

: 콘크리트 섬유의 응력

0 : 최대응력 발생시의 변형율

u : 종국 변형율

K : 횡구속에 의한 강도 증가율

Z : 변형율 연화(Strain Softening) 시의 기울기

fc’ : 콘크리트 실린더 압축강도(MPa)

5) ; Kent, D.C., and Park, R., “Flexural Members with Confined Concrete”, Journal of the Structural

Division, ASCE, 97(ST7), 1971. 6) ; Scott, B.D., Park, R. and Priestley, M.J.N., “Stress-Strain Behavior of Concrete Confined by

Overlapping Hoops at Low and High Strain Rates”, ACI Journal, Vol.79, No.1, 1982, pp. 13-27.


mid

asCi

vil


K·fc’

ε0

0.2K·fc’

εu

Z·K·fc’

compressivestress

compressivestrainεp εr

그림 2.9.42 Modified Kent & Park 콘크리트 섬유 구성모델

종국 변형율을 초과한 콘크리트는 압괴(Crushing)가 발생한 것으로 가정하여 더 이

상의 하중을 받지 못하는 것으로 해석합니다. Kent와 Park은 직사각형 단면의 기둥

에 대해서 상기의 포락곡선을 정의하는 파라미터를 계산하기 위해 다음과 같은 식

을 사용합니다.

0 0.002

1

0.5

3 0.290.75 0.002

145 1000

s yh

c

cs

c h

K

fK

f

Zf h

Kf s

여기서, fyh : 횡 보강근(Stirrup)의 항복강도(MPa)

s : 횡 보강 철근비 = 횡 보강근의 체적 / 콘크리트 코어의 체적

h’ : 콘크리트 코어의 폭(직사각형의 경우 짧은쪽)

(콘크리트 코어는 횡 보강근의 바깥쪽으로 둘러싸인 영역으로 정의)

sk : 횡 보강근의 간격



mid

asCi

vil

Scott 등(1982)은 횡구속이 존재하는 직사각형 기둥에 대해서 다음과 같은 종국변

형율의 식을 제안하였습니다.

0.004 0.9 /300u s yhf

상기의 포락곡선에서 제하(Unloading)가 발생하는 경우에 제하 경로는 다음 식에

의해서 정의되는 변형율 축선상의 점 (p, 0)을 향하게 되며 이 점에 도달하면 변형

율 축선상을 따라서 인장 영역으로 움직입니다.

2

0 0 0 0

0 0 0

0.145 0.13 2

0.707 2 0.834 2

p r r r

p r r

for

for

여기서, r : 제하 발생점의 변형율

p : 제하 경로상의 목표점의 변형율

만약 다시 압축변형율이 증가하게 되면 이제까지의 제하 경로를 그대로 거슬러 올

라가서 포락곡선에 도달하게 됩니다.

일본 콘크리트 표준시방서 모델

일본 콘크리트 표준시방서에서 제시하고 있는 콘크리트 모델로 다음과 같은 특징

이 있습니다. 압축 최대 응력점을 넘은 경우 연화영역을 가지게 되며, 잔류 소성

변형을 고려하고 있습니다. 제하(Unloading), 재재하(Re-loading)의 경우 강성 저감

효과를 반영하고 있고, 일반적인 보 부재의 경우에 인장 응력의 응력-변형 관계는

무시합니다. 이러한 특성을 바탕으로 압축강도가 50 N/mm2 이하의 경우에는 다음

그림과 같은 응력-변형 이력 관계를 가지게 됩니다.


mid

asCi

vil


0' ( ' ' ) 0 c c pE K

02 '

'

c

peak

fE

max max' 'exp 0.73 1 exp 1.25

' '

peak peakK

maxmax

'' ' 2.86 ' 1 exp 0.35

'

p peak

peak

여기서, ' peak : 압축강도에 대응하는 변위

max' : 이전에 받았던 압축변위의 최대치

' p : 잔류 소성변위

K : 강성 잔존률

그림 2.9.43 일본 콘크리트 표준시방서 콘크리트 섬유 구성모델

E E K

f



mid

asCi

vil

일본 도로교 시방서 콘크리트 모델

일본 도로교 시방서(동해설), V 내진 설계편의 콘크리트 모델로 다음과 같은 특징

이 있습니다. 압축 최대 응력점을 넘은 경우 연화영역을 가지게 되며, 극한 압축변

형률을 초과할 경우 더 이상 저항을 하지 않는다고 가정합니다. 지진하중의 종류

에 따라 극한 압축변형률이 변화하며, 구속철근의 양을 고려하여 연화구간의 기울

기, 최대 압축강도와 극한 압축변형률이 조정됩니다. 한편 잔류 소성 변형을 고려

하고 있으며, 제하(Unloading), 재재하(Re-loading)의 경우 초기강성으로 거동한다

고 가정합니다. 인장측 응력-변형 관계를 가지며 최대 인장강도에 대응되는 변형률

을 초과하는 경우 더 이상 저항을 하지 않습니다.

그림 2.9.44 일본 도로교 시방서 콘크리트 섬유 구성모델

11

1 (0 )

( ) ( )

nc

c c c ccc cc

cc des c cc cc c cu

En

E

c cc

c cc cc

En

E

E

E

E


mid

asCi

vil


3.8 cc ck s sy

0.002 0.033

s sycc

ck

2

11.2

ckdes

s syE

(Type I )

0.2(Type II )

cc

cu cccc

desE

40.018 h

sA

s d

여기서, c : 콘크리트의 응력

cc : 횡구속 철근으로 구속된 콘크리트의 강도

ck : 콘크리트의 설계 기준 강도

c : 콘크리트의 변형률

cc : 최대 압축 응력에 대응되는 변형률

cu : 횡구속 철근으로 구속된 콘크리트의 극한 변형률

cE : 콘크리트의 탄성계수

desE : 연화구간의 하강 구배

s : 횡구속 철근의 체적비

hA : 횡구속 철근 한 개 당 단면적

s : 횡구속 철근간 간격

d : 횡구속 구속장으로, 띠철근이나 중간 띠철근에 의해 분할 구

속된 내부 콘크리트의 변 길이 중 가장 긴 값

sy : 횡구속 철근의 항복점

, : 단면 보정 계수(원형단면=1, 사각,사다리꼴•중공단면 =0.2, 0.4)



mid

asCi

vil

일본 나고야 공단 콘크리트 모델

일본 나고야 공단의 콘크리트 모델로 다음과 같은 특징이 있습니다. 강성 교각에

충전된 콘크리트의 응력-변형 관계이므로 최대 압축 강도에 대응하는 변형률을 초

과한 이후는 최대압축강도를 그대로 유지한다고 가정합니다. 극한 변형률을 초과

한 경우에는 더 이상 저항을 하지 않고, 잔류 소성 변형을 고려하고 있으며, 제하

(Unloading), 재재하(Re-loading)의 경우 초기강성으로 거동합니다. 시방규정에는

인장강도를 무시하도록 하고 있으나, 범용성을 갖추기 위하여 인장측 응력-변형 관

계를 임의로 정의할 수 있도록 구현하였습니다. 최대 인장 변형률을 초과하는 경

우 더 이상 저항을 하지 않는다고 가정합니다.

그림 2.9.45 일본 나고야 공단 콘크리트 섬유 구성모델

20 02 / / c ck c c

여기서, ck : 콘크리트의 설계 기준 강도

bt : 콘크리트의 인장 강도

cu : 콘크리트의 극한 변형률

0 : 최대 압축 응력에 대응되는 변형률

Tri-linear Concrete Model

1, 2차 압축 항복까지 구현 가능하고, 인장 강도를 가지는 일반적인 모델로서 사용

자의 의도에 따라 임의적인 정의가 가능한 모델입니다. 잔류 소성 변형을 고려하


mid

asCi

vil


고 있으며, 제하(Unloading), 재재하(Re-loading)의 경우 초기강성으로 거동한다고

가정합니다.

중국 콘크리트 시방서 모델 (GB50010-2002)

중국 콘크리트 시방서(GB50010-2002)의 단축 콘크리트 응력-변형도 모델입니다.

본 모델은 압축측과 인장측에 각각 최대 응력점을 가지며, 최대 응력점을 넘는 경

우에 연화영역을 가집니다. 중국 콘크리트 시방서 모델의 적용범위는 다음과 같습

니다.

콘크리트 강도 등급 : C20~C80

콘크리트 질량밀도 : 2200~2400kg/m3

정상적인 온도, 습고환경, 정상적인 재하속도

구조해석방법과 극한상태 검토의 필요성에 따라서, 단축강도( * * , c tf f )는 각 표

준치( , ck tkf f ), 설계치 혹은 평균치( , cm tmf f )를 사용할 수 있습니다.

강도의 평균치는 다음과 같이 계산합니다.

= 1 1.645

ckcm

c

ff

= 1 1.645

tktm

t

ff

여기서, c , t : 콘크리트 압축강도

(인장강도의 돌변계수로서 시험통계에 의해 결정)



mid

as C

ivil

그림 2.9.46 콘크리트 압축 응력-변형 곡선

콘크리트 단축 압축의 응력-변형 곡선의 방정식은 다음 식과 같이 결정할 수 있

습니다.

2 3

2

; 3 2 2

; 1

c a a a

c

d

y x x x

xy

x x

여기서, c

x

, *

c

yf

* cf : 콘크리트의 단축 압축강도( ckf , cf or cmf )

c : * cf 에 대응하는 최대점의 압축변형

* 6 700 172 10c cf

a : 단축 압축의 응력-변형 곡선의 상승구간의 파라메터

* 2.4 0.0125 a cf

d : 단축 압축의 응력-변형 곡선의 하강구간의 파라메터

*0.785 0.157 0.905d cf

u 는 응력-변형도 곡선의 하강구간에서 응력이 *0.5 cf 위치에서의 변형을 의미

합니다.


mid

as C

ivil


11 2 1 4

2u

d dc d

*. u 는 응력-변형곡선 하강구간에서 응력이*0.5 cf 일때의 콘크리트 압축변형

*cf (N/mm2) 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60

c (x10-6) 1370 1470 1560 1640 1720 1790 1850 1920 1980 2030

a 2.21 2.15 2.09 2.03 1.96 1.90 1.84 1.78 1.71 1.65

d 0.41 0.74 1.06 1.36 1.65 1.94 2.21 2.48 2.74 3.00

u c 4.2 3.0 2.6 2.3 2.1 2.0 1.9 1.9 1.8 1.8

표 2.9.2 콘크리트 단축 압축 응력-변형곡선 파라메터 값

콘크리트 단축 인장의 응력-변형 곡선의 방정식은 다음 식과 같이 결정할 수 있습

니다.

그림 2.9.47 콘크리트의 단축 인장응력-변형 곡선

6

1.7

; 1.2 0.2

; 1

t

t

t

y x x

xy

x x

여기서, t

x

, *

t

yf



mid

asCi

vil

* tf : 콘크리트의 단축 인장강도( tkf , tf or tmf )

t : * tf 에 대응하는 최대점의 인장변형

* 0.54 665 10t tf

t : 단축 인장의 응력-변형 곡선의 하강구간의 파라메터 값

* 20.312t tf

*tf (N/mm2) 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0

t (x10-6) 65 81 95 107 118 128 137

t 0.31 0.70 1.25 1.95 2.81 3.82 5.00

표 2.9.3 콘크리트 단축 인장 응력-변형곡선 파라메터 값


mid

asCi

vil


Mander 콘크리트 모델

횡방향으로 배근된 구속철근은 콘크리트의 극한강도와 극한변형률을 크게 증가시

키는 효과를 나타냅니다. Mander(1988)7) 는 Sheikh & Uzumeri8)가 제안한 유효구

속단면적 개념 뿐만 아니라, 3차원응력상태를 고려한 콘크리트의 파괴기준을 적용

한 최대압축응력도의 평가식을 제안하고, 원형단면, 정방향단면, 장방형단면에

대한 실험을 통하여 제안모델의 적용성을 검토하였습니다.

Mander모델은 콘크리트의 단면형상에 관계없이 적용할 수 있고, 종방향 철근간격

및 구속철근의 양, 구속철근의 항복강도 및 배근형태 등에 의한 콘크리트의 횡구

속효과를 고려할 수 있습니다.

cut

'ccf

'cof

sp cc2 coco'tf

cE

secE

cε

cfC

ompr

essi

ve S

tres

s,

그림 2.9.48 Stress-Strain Curves of Confined and Unconfined Concrete

종방향 콘크리트 압축응력은 다음과 같이 정의됩니다.

'

1cc

c r

f xrf

r x

7) ; Mander, J.B, Priestley, M.J.N and Park, R., “Mander, J.B, tress-Strain Model For Confined Concrete”,

Journal of Structural Engineering, ASCE, Vol.114, No.8, pp. 1804~1826, 1988

8) ; Sheikh, S.A. and Uzumeri, S.M., “Sheikh, S.A. and Uzumeri, S.M., oncrete Columnsnd Uzumeri, S.Div.,

ASCE, Vol.106, No. ST 5, pp. 1079~1102, 1980



mid

asCi

vil

여기서, 'ccf : 구속 콘크리트의 압축강도

'cof : 횡구속되지 않은 콘크리트 압축강도

c

cc

x

cc : 횡구속된 콘크리트의 최대압축응력에 대응하는 변형률

(longitudinal compressive concrete strain)

'1 5 1

'cc

cc coco

f

f

co : 구속되지 않은 콘크리트강도에 상응하는 변형률

(단, 일반적으로 co =0.002로 추측가능)

sec

c

c

Er

E E

cE : 콘크리트의 탄성계수, '5,000c coE f MPa

'

seccc

cc

fE

구속 콘크리트의 압축강도 '

ccf는 다음과 같이 정의됩니다.

' '' '

' '

7.941.254 2.254 1 2l l

cc coco co

f ff f

f f

여기서, 'lf : 콘크리트의 측면구속응력, ' 1

2l e s yhf k f


mid

asCi

vil


현수교, 사장교 또는 PSC교량과 같은 토목구조물은 시공중과 시공후의 구조계가

달라지며 시공중에도 가교각 및 임시케이블의 설치와 제거, 상판과 주탑의 지지조

건 변화 등에 따라 구조계가 계속 변화합니다. 또한 단계적인 시공에 의해 인접

부재간의 재령이 다르므로 부재의 탄성계수나 강도 등의 재료적 특성도 달라지게

됩니다. 그리고 콘크리트의 크리프(Creep), 건조수축(Shrinkage), 강도증가(Aging)

및 PS 텐던의 이완 등 재료의 시간의존적 특성에 의한 영향으로, 시공중이나 시공

이 완료된 후에도 처짐이 변하고 응력이 재분배되어 구조물의 거동이 매우 복잡해

집니다. 이와 같이 시공의 진행에 따라 계속적으로 구조계가 변화할 경우에 부재

에 따라서는 시공이 완료된 후 하중이 재하되는 시점이 아니라 시공중에 최대응력

이 발생할 수도 있으므로, 구조물의 각 시공단계에 따른 응력의 변화를 예측하기

위해서는 정확히 시공단계를 고려한 시간의존해석이 필요합니다.

midas Civil을 사용하여 시공단계해석을 수행할 때 고려하는 내용은 다음과 같습

니다.

시간 의존적 재료의 특성

서로 다른 재령을 갖는 콘크리트 부재의 크리프

서로 다른 재령을 갖는 콘크리트 부재의 건조수축

시간이 흐름에 따른 콘크리트 부재의 강도발현

시공단계의 표현

임의의 재령을 가지는 부재의 생성 및 소멸

임의의 재하시점을 가지는 하중의 재하 및 소거

경계조건의 변화

Chapter 10. 시공단계해석

Chapter 10 | 시공단계해석


mid

asCi

vil

midas Civil에서 시공단계를 고려한 시간 의존해석을 수행하기 위한 절차는 다음과

같습니다.

1. 구조물을 모델링 합니다. 이때 임의의 시공단계에서 함께 생성 또는 소멸

시킬 요소, 하중 및 경계조건들을 그룹으로 지정합니다.

2. 크리프나 건조수축과 같은 시간의존적인 재질의 특성을 정의합니다. 이때

시간의존적인 재질은 ACI나 CEB-FIP등과 같은 규준을 선택하여 생성하거

나 사용자가 직접 정의할 수 있습니다.

3. 정의한 시간의존재질을 일반재질과 연결합니다. 이를 통하여 시간의 흐름

에 따른 콘크리트 부재의 재질 변화를 자동으로 계산하여 고려합니다.

4. 실제 시공시 고려해야할 시공의 순서를 생각하여 시공단계 및 Time Step을

생성합니다.

5. 미리 만들어놓은 요소그룹, 경계조건그룹, 하중그룹을 이용하여 시공단계를

정의합니다.

6. 원하는 방법으로 해석조건을 지정하고, 구조해석을 수행합니다.

7. 시공단계 해석결과와 완성계 해석결과를 필요한 방법으로 조합합니다.


mid

as C

ivil


midas Civil에서는 콘크리트의 시간의존적 특징중에서 크리프(Creep), 건조수축

(Shrinkage), 강도증가(Aging) 등을 고려할 수 있습니다.

10-2-1 크리프(Creep) 및 건조수축(Shrinkage)

그림 2.10.1과 같이 실제 구조물에서 크리프는 건조수축과 함께 발생됩니다. 따라

서 건조수축, 탄성변형, 크리프를 각각 분리해서 생각할 수는 없습니다. 그러나 실

제 해석 및 설계에서는 편의상 이들을 분리하여 고려합니다.

그림 2.10.1에서 참된 탄성변형(True Elastic Strain)이란 시간과 더불어 증가되는 콘

크리트의 강도에 의한 탄성계수의 증대로 인해 감소되는 탄성변형을 나타낸 것입

니다. 일반적인 경우는 겉보기 탄성변형을 탄성변형으로 보지만 midas Civil에서는

해석시 콘크리트의 강도발현을 고려할 수 있으므로 참된탄성변형으로 해석할 수도

있습니다.

크리프 변형률은 작용시킨 응력에 비례하며, 동일한 응력하에서는 고강도 콘크리

트가 저강도 콘크리트보다 작은 크리프 변형률을 나타냅니다. 크리프 변형률은 탄

성변형률의 1.5~3배 정도에 이르며, 재하 후 첫 몇 개월 동안에 총 크리프 변형률

의 1/2이 진행됩니다. 약 5년 후에는 대부분 Creep이 발생합니다.

그림 2.10.1 시간경과에 따른 콘크리트의 변형율



mid

as C

ivil

콘크리트의 크리프는 다음과 같은 요인에 의하여 변화합니다.

1. 물-시멘트비의 증가는 크리프의 증대를 가져옵니다.

2. 응력을 받을 때 콘크리트 재령이 클수록 크리프는 감소합니다.

3. 콘크리트 주위의 온도가 높을수록, 또 습도는 낮을수록 크리프 변형은 커

집니다.

4. 이 밖에 시멘트의 종류, 골재의 품질, 공시체의 치수 등에도 영향을 받습니

다.

크리프 현상은 대부분의 재료가 가지고 있는 성질이지만, 특히 콘크리트는 다른

재료에 비하여 그 값이 커서 프리스트레스의 시간적 감소 원인의 하나가 되기 때

문에 설계에서 무시할 수 없습니다. 보통의 콘크리트 구조물에서는 주로 자중에

의하여 크리프 현상이 일어나지만 PSC 구조물에서는 프리스트레스에 의하여 추가

로 크리프 현상이 일어납니다.

콘크리트 시편에 일정한 축방향 응력 =1을 콘크리트 재령 0

t 일에 재하하였을

때, 재령 t 일에서 발생하는 1축 변형율을 0( , )J t t 라고 가정합니다.

0 0 0( ) ( ) ( , ) ( , )i ct t t t J t t (1)

여기서, 0( , )J t t 는 단위 응력이 작용할 때의 총 변형율을 의미하며 크리프함수

(Creep Function)라고 정의합니다.

그림 2.10.2 크리프 함수 및 특성 크리프의 정의


mid

asCi

vil


그림 2.10.2에서 보듯이 크리프 함수 0( , )J t t 를 재하시의 초기탄성변형과 크리프

변형의 합으로 나타내면 식 (2)와 같습니다.

0 00

1( , ) ( , )

( )J t t C t t

E t (2)

여기서, ( )0E t 는 하중 재하시의 탄성계수를 나타내며 ( )0

C t, t 는 재령 t에서의 크리

프 변형을 나타내는데 이를 특성 크리프(Specific Creep)라고 합니다. 또한 크리프

함수 0( , )J t t 를 탄성변형과의 비율로 나타내어 식 (3)과 같이 표현할 수 있습니다.

00

0

1 ( , )( , )

( )

t tJ t t

E t

(3)

여기서, 0( , )t t 는 크리프 계수(Creep Coefficient)로서 탄성변형과 크리프 변형과의

비율을 나타내며, 위의 두 식으로부터 특성 크리프와 크리프 계수는 다음과 같은

관계가 성립합니다.

0 0 0( , ) ( ) ( , )t t E t C t t (4)

00

0

( , )( , )

( )

t tC t t

E t

(5)

midas Civil에서는 크리프 계수나 건조수축 변형률의 계산식으로 CEB-FIP나 ACI

등에서 정하고 있는 식들을 사용할 수 있고, 사용자가 실험에 의한 값을 직접 입

력하여 사용할 수 있습니다.

사용자정의는 크리프 계수(Creep Coefficient), 크리프 함수(Creep Function), 특성

크리프(Specific Creep)의 세가지 값 중 사용자가 원하는 형식으로 입력이 가능합니

다.



mid

as C

ivil

그림 2.10.3 사용자 정의 크리프 계수 지정 대화상자

콘크리트의 크리프 함수는 하중이 가해지는 시간에 따라서 각기 다른 형상을 나타

내게 됩니다. 즉, 요소의 재령이 커지면 콘크리트의 강도증가(Aging) 효과에 의하

여 탄성계수가 증가하기 때문에 콘크리트의 즉시 변형은 하중의 재하시기가 늦을

수록 작아집니다. 그리고 하중의 재하시간으로부터 임의의 시간 후의 변형은 하중

의 재하시기가 늦은 시험체의 경우 더 작아지게 됩니다.

그림 2.10.4는 이러한 관계를 나타내고 있습니다. 이렇게 재하시간이 늦어질수록

즉시 변형과 크리프 변형이 감소하는 것은 콘크리트의 수화정도와 강도발현 때문

입니다. 따라서 사용자 정의로 크리프 함수를 입력할 때에는 콘크리트의 강도발현

특성이 잘 반영될 수 있도록 크리프 함수에서 재하시간의 범위가 시간의존해석에

서 존재하는 요소의 재령(재하시간)을 포함해야하고, 서로 다른 재하시간의 크리프

함수를 많이 입력할수록 정확한 해석결과를 얻을 수 있습니다.


mid

as C

ivil


그림 2.10.4 하중 재하 시간의 차이에 따른 크리프 함수

지속하중을 재하 할 때의 콘크리트 재령 4~7 14 28 90 365

크리프 계수 조강 시멘트 3.8 3.2 2.8 2.0 1.1

보통 시멘트 4.0 3.4 3.0 2.2 1.3

표 2.10.1 보통 콘크리트의 크리프 계수

건조수축은 부재에 발생하는 응력과는 무관한 시간의 함수이며, 일반적으로 시간

0t 에서 t 까지 발생한 건조수축에 의한 변형율을 다음과 같이 나타냅니다.

0 0( , ) ( , ) s sot t f t t (6)

여기서, so 는 최종시의 건조수축계수, 0( , )f t t 는 시간의 함수, t는 관측시점, to는

건조수축 발생시점을 의미합니다.



mid

asCi

vil

10-2-2 크리프의 계산 방법

크리프는 응력이 발생한 상태에서 시간이 경과함에 따라 추가적인 응력의 증가없

이 변형이 발생하는 현상으로 응력의 이력과 시간이 중요한 요인으로 작용합니다.

크리프의 특성은 하중이 재하된 시점에서 가장 크게 발생하고 시간이 지날수록 급

격하게 감소하는 경향을 보입니다. 크리프를 정확하게 고려하기 위해서는 응력의

시간에 대한 이력과 시간에 따른 크리프 계수를 사용해야 합니다. 하지만 모든 부

재 응력의 이력을 저장하고 모든 응력이력에 대하여 크리프를 계산하는 것은 데이

터 저장량과 계산량을 크게 증가시키기 때문에 프로그램내에서 크리프를 적절하게

계산할 수 있는 방법들을 사용하고 있습니다. 크리프는 비역학적(Non-mechanical)

변형이므로 구속조건에 따라서 응력이 발생하지 않고 변형만 발생할 수도 있습니

다.

일반적으로 크리프를 고려하는 방법의 하나는 요소별 크리프 계수를 각 단계마다

직접 입력하여 현상태까지 발생한 요소의 응력을 직접 사용하는 방법이고, 다른

하나는 크리프의 특성함수를 수식화하여 응력과 시간에 대한 적분개념을 사용하여

계산하는 방법입니다. 전자의 경우는 각 단계마다 요소별 크리프 계수를 산정하여

입력해야 하고 후자의 경우는 프로그램 내부에서 규준에 따른 크리프 계수를 사용

하여 응력 이력과의 적분식으로 크리프량을 계산하여 사용합니다.

midas Civil에서는 위의 두 가지 방법을 모두 적용할 수 있도록 하였고 한 요소에

두 가지 방법이 모두 입력된 경우에는 요소별 크리프 계수를 입력한 방법을 적용

하도록 하였습니다. 전체적으로는 한가지 방법을 사용하는 것이 타당하지만 마지

막 단계에서의 20 ~ 30년 정도의 시간을 도입하거나 특정한 요소에 대하여 크리프

하중을 고려하고자 할 경우에는 두 가지 방법을 적절하게 병행하여 사용할 수 있

습니다.

요소별 크리프 계수를 산정하여 직접 입력하는 방법은 계수 산정을 어떻게 하느냐

에 따라 결과가 상당히 달라질 수 있으므로 응력이력과 시간에 대한 충분한 자료

를 가지고 크리프 계수를 산정해야 근사적인 값을 구할 수 있습니다. 그러나 경험

이나 실험 등으로 각 단계에서의 크리프 계수를 알고 있다면 직접 입력하여 사용

하는 것이 효율적일 수 있습니다.


mid

asCi

vil


각 시공단계마다 요소별 크리프 계수를 입력한 크리프 하중그룹을 활성화시키면

입력된 크리프 계수와 현재까지 발생한 응력을 사용하여 크리프 하중을 계산하게

됩니다. 이 방법은 사용자가 크리프계수를 직접 입력하여 하중의 크기를 쉽게 이

해할 수 있고 사용이 간편한 장점이 있지만 크리프 계수를 산정해야하는 어려움을

가지고 있습니다.

크리프 계수를 사용하여 크리프 하중을 계산하는 방법은 다음과 같습니다.

0 0 0( , ) ( , ) ( )c t t t t t : 크리프 변형률 (7)

0( ) ( , ) cAP E t t t dA : 크리프 변형에 의한 하중 (8)

여기서 0( )t : 시간 0t 에서의 응력에 의한 변형률

0( , )t t : 시간 0t 에서 t 까지의 크리프 계수

다음은 크리프의 특성함수를 수식화하여 응력과 시간에 대한 적분을 사용하는 방

법입니다. 임의의 시간 0t 에서의 전체 크리프량을 시간 t 까지의 각 단계마다 발생

하는 응력에 의한 크리프량의 중첩적분으로 나타내면 다음식과 같습니다.

00 0 00

0

( )( ) ( , )

t

c

tt C t t t dt

t

(9)

여기서 ( )c t : 시간 t 에서의 크리프 변형률

0 0( , )C t t t : 특성크리프(Specific Creep)

0t : 하중재하시점

위의 식에서 응력이 각 단계에서 일정하다고 가정하면 식 (10)과 같이 전체 변형

률을 단계별로 구분된 변형률의 합으로 표현할 수 있습니다.

1

,1

( , )n

c n j j n jj

C t t

(10)



mid

as C

ivil

위 식을 사용하여 시간 사이에서 발생하는 크리프 변형률의 증분( , c n )

을 정리하여 나타내면 식 (11)과 같습니다.

n 1 n 2

c ,n c ,n c ,n 1 j j n j j j n jj 1 j 1

C( t ,t ) C( t ,t )

(11)

특성크리프를 다음과 같이 Dirichlet 급수의 Degenerate Kernel로 표현하면 응력의

전체 이력을 저장할 필요없이 크리프에 의한 증분변형률을 계산할 수 있습니다.

0( ) /

0 0 01

( , ) ( ) 1 i

mt t

ii

C t t t a t e

(12)

여기서

0( )ia t : 하중재하시간 0t 에 관련된 특성크리프 곡선의 초기형상에 관

련된 계수

i : 시간의 경과에 따른 특성크리프 곡선의 형상에 관한 값

위의 특성크리프 수식을 도입하여 증분변형률을 다시 정리하면 식 (13)과 같습니

다.

0 i 0 i

m n 2( t t ) / ( t t ) /

c ,n j i j n 1 i n 1i 1 j 1

a ( t )e a ( t ) 1 e

(13)

0 i

m( t t ) /

c ,n i ,ni 1

A 1 e

여기서 0

2( ) /

, 1 11

( ) ( )i

nt t

i n j i j n i nj

A a t e a t

1( ) /

, , 1 1 1( )n it t

i n i n n i nA A e a t

,1 0 0( )i iA a t

위와 같은 방법으로 각 단계마다 요소의 증분변형률은 이전단계에서 발생하는 응

력과 이전단계까지 수정된 응력의 누적값을 사용하여 계산할 수 있습니다.


mid

asCi

vil


이 방법은 응력의 변화를 고려한 비교적 정확한 해석을 할 수 있고, 사용자로 하

여금 필요한 물성치만 입력하면 크리프계수를 별도로 계산하지 않아도 내부적으로

자동 계산되는 장점을 가지고 있습니다. 그러나 설계기준에서 제안한 식을 사용하

기 때문에 사용자가 경험에 의한 값들을 요소에 직접 입력할 수 없고 특정한 요소

에 특정한 크리프 값을 입력할 수 없는 문제가 있습니다. 그리고 이 방법은 해석

의 시간간격의 영향을 상당히 받게 됩니다.

일반적인 시공단계는 소요 시간이 크지 않아서 해석에 문제가 없지만 한 개의 단

계에서 큰 시간 간격이 입력될 경우에는 내부적으로 시간간격을 만들어서 크리프

의 효과를 적절하게 계산할 수 있도록 해야 합니다. 크리프의 특성상 시간간격은

로그(Log) 스케일로 분할하는 것이 바람직하며 midas Civil에서는 간격수만 입력하

면 자동으로 로그 스케일로 분할하는 기능을 가지고 있습니다. 타당한 시간간격의

개수는 정해져 있지 않지만 많이 세분하면 할수록 정해에 수렴하게 되므로 큰 시

간 간격이 도입되는 단계에서는 적당한 간격으로 분할해주는 것이 바람직합니다.

10-2-3 건조수축의 개념

건조수축은 콘크리트 부재가 시간에 따라 수축하는 현상으로 각종 설계기준에서

규정하는 건조수축 특성곡선을 사용하여 해석에 반영하고 있습니다. 프레임 부재

의 경우에는 길이방향의 건조수축만 고려하지만 면이나 입체의 경우에는 2축이나

3축까지 포함하고 있습니다.

midas Civil 프로그램에서 건조수축 해석은 CEB-FIP Code, ACI Code, 도로교설계기

준, 실험데이터를 사용한 사용자 정의 등을 사용한 건조수축 특성 곡선을 사용하

여 수행하고 있습니다. 건조수축 특성 곡선을 사용하여 시공단계의 시간 경과에

대하여 변형량을 계산하여 해당 단계에서의 건조수축 변형률로 사용합니다.

2 1 2 0 1 0( , ) ( , ) ( , )sh sh sht t t t t t

여기서 2 1( , )sh t t : 시공단계 t1 에서 t2 까지의 건조수축 변형률

1 0( , )sh t t : 부재의 재령 t0 에서 t1 까지의 건조수축 변형률

2 0( , )sh t t : 부재의 재령 t0 에서 t2 까지의 건조수축 변형률



mid

asCi

vil

건조수축에 의한 하중은 탄성계수, 단면적, 건조수축 변형률의 곱으로 계산하고 축

방향에 대해서만 생성합니다.

primary shF EA

건조수축 변형은 온도, 크리프에 의한 변형과 같이 비역학적인(Non-mechanical) 변

형이기 때문에 부재력 계산시의 변형률은 하중에 의한 변형률에서 건조수축에 의

한 변형률을 감하여 계산합니다.

sec ( )ondary sh primaryF EA F F

그러므로 축 방향 구속이 없는 구조물에서의 건조수축에 의한 효과는 부재력을 만

들지 않고 변위만을 발생시키게 됩니다. 외부하중이 없더라도 구속조건에 의한 건

조수축에 의해 발생하는 부재력은 크리프 변형을 유발할 수 있습니다. 건조수축

변형은 구속조건과 시간에 영향을 받습니다.

10-2-4 시간에 따른 탄성계수의 변화

콘크리트의 압축강도와 탄성계수는 시간에 따라 변화하기 때문에 상당한 시간이

경과한 후에야 비로소 콘크리트 구조물의 고유한 강도를 발휘하게 됩니다. 실제

PSC 구조물이나 교량의 시공에서 콘크리트의 초기 재령을 정확하게 예측하여, 계

획된 구조물의 형상과 강도를 지니도록 하기 위해서는 이러한 Aging 효과를 합리

적으로 모사하는 것이 필수적이라 할 수 있습니다. 한국 도로교 시방서의 제안 식

은 ACI Code 와 유사하고 콘크리트의 압축강도와 탄성계수 식은 다음과 같습니다.

91( )ck

tf t f

a b t

단위질량(mc)이 1450 ~ 2500kg/m3 인 콘크리트의 경우

1.5 3( ) 0.077 ( )c c cuE t m f t (MPa)


mid

as C

ivil


다만, 보통골재를 사용한 콘크리트 (mc= 2300kg/m3)의 경우는

3( ) 8,500 ( )c cuE t f t (MPa)

여기서 91f : 91 일 평균압축강도

( )ckf t : 임의 시간 t 일의 압축강도

( )cE t : 재령 28일의 탄성계수

( ) ( ) 8cu ckf t f t (MPa)

10-2-5 강도발현 함수

midas Civil에서는 콘크리트 부재의 재령에 따른 탄성계수의 변화를 고려함으로써

강도발현 효과를 포함하여 해석할 수 있습니다. 그림 2.10.5와 같이 ACI, CEB-FIP,

또는 콘크리트구조설계기준 등의 규준에 따른 콘크리트의 강도발현 함수를 정의할

수 있고, 사용자가 직접 입력할 수도 있습니다. midas Civil은 이렇게 정의된 강도발

현 함수를 참조하여, 각각의 시공단계에 정의된 시간의 경과에 따른 콘크리트의

강도변화를 자동으로 계산해서 해석을 수행합니다.

그림 2.10.5에서 정의한 시간의존재질(크리프, 건조수축, 강도발현)은 일반재질과의

연결을 통해서 해석에 적용할 수 있습니다.

그림 2.10.5 규준에 따른 콘크리트의 강도발현 함수정의



mid

asCi

vil

midas Civil에는 기본단계(Base Stage)와 시공단계(Construction Stage) 그리고 최종

시공단계(Final Stage)의 세 종류의 Stage가 존재하며 각 Stage의 특성은 다음과

같습니다.

기본단계 (Base Stage)

시공단계가 정의되지 않은 상태에서는 일반적인 해석이 수행되며, 시공단

계가 정의되면 해석은 수행되지 않고 구조모델링 및 요소그룹, 경계조건그

룹, 하중그룹의 정의와 구성이 이루어지는 단계.

시공단계 (Construction Stage)

시공단계 하중에 대한 해석이 실제로 이루어지는 단계이며, 해당 단계에서

활성화되어 있는 경계조건그룹과 하중그룹에 해당하는 경계조건 및 하중

조건을 입력할 수 있는 단계.

최종시공단계 (Final Stage)

시공단계의 최종 단계이며, 시공단계 하중 외에 일반하중 및 이동하중 해

석, 응답스펙트럼 해석 등의 특수 해석이 수행되어지는 단계.

각 시공단계는 요소그룹, 경계조건그룹, 하중그룹의 활성화(Activation)와 비활성화

(Deactivation) 정의에 의하여 구성됩니다. 따라서, 각 그룹들은 동일한 시공단계에

서 활성화 또는 비활성화되는 요소, 경계조건, 하중조건들의 집합이어야 합니다.

각각의 시공단계별로 반영할 수 있는 내용은 다음과 같습니다.

1. 임의의 재령을 가지는 부재의 생성 및 소멸

2. 임의의 재하시점을 가지는 하중의 재하 및 소거

3. 경계조건의 변화


mid

as C

ivil


midas Civil에서 사용되는 시공단계 구성의 개념도는 그림 2.10.6과 같습니다. 시공

단계는 각 단계별 기간(Duration)만 가지고 쉽게 정의될 수 있습니다. 기간이 ‘0’인

시공단계도 가능하며, 시공단계가 정의되면 기본적으로 First Step과 Last Step이

생성됩니다. 실질적인 요소, 경계조건 및 하중의 생성과 소멸은 각각의 Step에서

이루어집니다.

그림 2.10.6 시공단계 구성의 개념

기본적으로 요소의 생성 및 소멸, 경계조건의 변화, 하중의 재하 및 소거 등 모든

변경사항은 매 시공단계의 First Step에서 이루어집니다. 따라서 실제 시공중에 여

러가지 원인에 의하여 구조계의 변화가 발생하면, 구조계의 변화가 발생하는 시기

를 반영하는 시공단계를 생성시켜야 합니다. 즉 구조계의 변화가 잦을수록 시공단

계의 수는 많아지게 됩니다.

요소 및 경계조건 등 구조계의 변화는 매 시공단계의 First Step에서만 이루어 집

니다. 그러나 하중의 변화는 해석의 편의를 위하여 시공단계 내에 추가적인 Step

을 만들어서 그 Step에 하중을 재하 및 소거함으로써 반영할 수 있도록 하였습니

다. 즉, 임의의 시공단계 내에서 지연시간을 가지는 하중을 가할 수 있는데 이 기

능을 사용하면 구조계의 변화 없이 가설재의 설치나 소거로 인한 하중의 변화를

새로운 시공단계를 만들지 않고 쉽게 고려할 수 있습니다.

또한 시공단계 내에 추가적인 Step을 많이 정의하면 크리프와 건조수축을 고려한

시간의존해석시 보다 정확한 해석결과를 얻을 수 있습니다. 그러나 추가 Step을



mid

asCi

vil

너무 많이 정의하면 해석시간이 증가하여 비효율적일 수 있으므로 주의해야 합니

다. 특히 시공단계해석조건(Analysis탭>Analysis Control그룹>Construction Stage

Analysis Control)에서 시간의존적인 특성(크리프, 건조수축, 탄성계수의 변화)을 고

려하지 않도록 설정하고 해석을 수행하면 추가 Step이 많더라도 해석결과에는 영

향을 주지 않습니다.

임의의 시공단계에서 지정한 재령을 가진 요소가 생성된 후 매 시공단계마다 지속

기간만큼의 시간이 흐르게 됩니다. 특정 시공단계에서 요소의 재료적 특성은 시간

이 흐름에 따라서 변화하게 되는데, midas Civil에서는 이렇게 변화되는 재료적 특

성을 매 시공단계 마다 입력하지 않고 요소의 재령만 입력하면 미리 정의한 시간

의존재질(Properties탭>Time Dependent Material그룹)을 참조하여 내부적으로 자동

계산하여 고려합니다.

동일한 시공단계에서 동일한 재령을 가진 두개의 요소를 생성시키면, 그 두개의

요소에는 항상 같은 시간이 흐르게 됩니다. 그러나 같이 생성된 요소라도 특정한

요소만 시간이 흐르게 할 필요가 있는 경우가 있습니다. 이때에는 시간하중(Load

탭>Load Type그룹> Construction Stage>Construction Stage Data그룹>C.S

Loads>Time Loads for Construction Stage) 기능을 사용하면 임의의 시공단계에서

특정 요소에만 시간의 흐름이 적용되도록 할 수 있습니다.

임의의 시공단계에 요소를 생성시킬 경우에 생성될 요소의 재령을 지정하여 주어

야합니다. 재령이 ‘0’인 요소를 생성시킨다는 것은 콘크리트의 타설 순간부터 묘사

를 하는 것입니다. 그러나 일반적으로 구조물을 모형화하여 해석할 때 거푸집 등

의 가설구조물은 모델에 포함시키지 않기 때문에 경화되지 않은 상태의 콘크리트

를 해석한다는 것은 의도하지 않은 결과를 가져올 수 있습니다. 특히 재령이 ‘0’인

요소를 생성시키고 시간에 따른 강도발현을 고려하여 해석을 한다고 하면 콘크리

트 타설 후 24시간까지는 강도를 발현하지 못하므로 의미없는 큰 변위가 계산될

수 있습니다. 따라서 시공단계를 모형화할 때는 일반적으로 거푸집 안의 경화되기

전의 콘크리트는 가설 구조물과 함께 하중으로 고려하고, 거푸집을 제거한 후에

실질적인 요소가 생성된다고 생각하는 것이 올바른 해석 방법입니다.

임의의 시공단계에 요소가 생성되는 경우에 이전 시공단계의 하중이력에 의해서

구조물에 발생한 변위나 내부응력은 영향을 미치지 않습니다. 즉, 새롭게 생성되는

요소는 그 시공단계에서 구조물이 어떠한 하중을 받고 있는지에 관계없이 요소의


mid

asCi

vil


내부 응력이 ‘0’인 상태에서 생성됩니다.

요소를 소멸시킬 때 지정하는 응력의 재분배율이 100%인 경우에는, 소멸되는 요

소의 내부응력이 남아있는 구조물로 모두 재분배가 되어, 구조물을 이루고 있는

다른 요소의 응력이 변화하게 됩니다. 그러나 응력의 재분배율이 0%인 경우에는

소멸되는 요소의 내부 응력이 남아있는 구조물로 전혀 전달되지 않으므로, 다른

요소의 응력이 변화되지 않습니다. 이 응력 재분배율을 적당히 조절하면 요소가

소멸되면서 남아있는 요소에 전달할 응력의 양을 조절할 수 있습니다. 이 기능은

시공단계별 해석에서 각 단계별로 요소가 사라졌다 할지라도 응력의 이완이 완전

히 끝나지 않은 상태 등을 반영할 때 사용됩니다.

경계조건을 활성화시킬 때 옵션에서 "Original"을 선택하면, 경계조건이 활성화되는

절점의 이전 시공단계에서의 변위를 반대방향으로 하여 강제변위하중을 부여하여

절점의 위치를 원래의 위치에 오도록 한 후 경계조건을 생성시키게 됩니다. 반면

활성화 옵션을 "Deformed"로 선택하면 경계조건이 활성화될 절점의 초기 위치가

아닌 변형된 위치에 경계조건을 생성해주게 됩니다.

시공단계를 고려한 시간의존해석에서는 앞 단계에서 발생한 구조계의 변화 및 하

중이력이 뒤에 있는 시공단계의 해석 결과에 영향을 미치게 됩니다. 따라서 midas

Civil에서는 각각의 시공단계별 해석모델을 독립모델로 만들어서 해석을 수행하는

것이 아니라 시공단계별로 구조계 또는 하중의 변화된 것들만 입력하여 해석을 한

후 앞 단계의 해석결과에 누적하여 해석결과를 출력하는 누적모델 개념을 사용하

고 있습니다.

따라서 임의의 시공단계에 하중을 재하하면 이후의 시공단계에서는 재하된 하중을

소거하지 않는한 계속해서 하중이 가해진 상태가 됩니다. 요소의 생성도 임의의

시공단계에서 필요한 모든 요소를 생성시키는 것이 아니라 그 시공단계에 필요한

요소만 생성시킵니다. 요소는 한번 생성이 되면 다시 생성할 수 없으며, 이미 생성

된 요소만을 제거할 수 있습니다.

시공단계해석에 사용되는 하중조건이 “Construction Stage Load”인 경우에는 시공단

계에만 사용되지만 기타의 하중조건들은 시공단계가 끝난 후 일반해석에 적용된다.

시공단계해석에 사용되는 하중조건은 여러개가 있다고 하더라도 그림 2.10.7과 같



mid

as C

ivil

이 하나의 해석결과로 조합됩니다. 이것은 시공단계해석에서는 시간의존재질의 비

선형성으로 인해 하중조건 사이의 선형조합이 불가능하기 때문입니다. 시공단계해

석을 수행하면 그림 2.10.7과 같이 누적된 시공단계 해석 결과와 최대값 결과, 최

소값 결과가 생성됩니다. 이렇게 생성된 시공단계해석결과는 완성계 모델에 대한

일반해석결과와 조합될 수 있습니다.

시공단계해석을 수행하다 보면 가장 마지막 시공단계(완성계)가 아닌 임의의 중간

단계에서 구조적으로 중요한 시공단계가 발생할 수 있습니다. 이러한 중간시공단

계에는 특별한 하중을 고려하여 여러 가지 해석을 수행할 필요가 있습니다. midas

Civil에서는 "Final Stage"지정 기능을 이용해서 임의의 중간 시공단계를 완성계인

것처럼 설정할 수 있습니다. "Final Stage"로 지정된 시공단계는 프로그램 내부에서

는 완성계로 고려되므로 일반하중을 가하여 해석을 수행할 수 있고, 시간이력해석,

응답스펙트럼해석 등 midas Civil의 다양한 해석기능을 적용할 수 있습니다.

그림 2.10.7 시공단계 해석결과의 하중조합 개념도


mid

asCi

vil


대변형이 발생하는 구조물의 시공단계 해석인 경우에는 구조물의 기하비선형성을

고려한 시공단계 해석이 필요합니다. 비선형성을 고려한 시공단계 해석 방법으로

는 각 단계를 독립적인 구조물로 가정하고 해석을 수행하는 방법과 이전단계의 해

석결과를 반영하여 해석을 수행하는 방법이 있습니다. 각 방법에 대한 자세한 설

명은 다음과 같습니다.

10-4-1 시공단계를 독립적으로 해석하는 방법

각 시공단계들을 독립적인 모델로 가정할 수 있는 구조물에 적용이 가능합니다.

각 단계의 구조물, 하중, 경계조건만으로 모델을 구성하여 기하비선형 해석을 수행

하고 현수 구조물 해석에 적합합니다. 각 단계를 독립적으로 가정하기 때문에 이

전 단계의 영향을 받지 않으며 시간의존 특성을 반영할 수 없습니다. 각 단계의

해석은 기하비선형 정적 해석 방법을 사용합니다.

현수교의 역방향 시공단계 해석에 적용이 가능하며 대변형 해석용도의 초기 부재

력을 사용하면 하중평형을 이루는 완성계 상태 구현이 가능합니다. 완성계를 첫

번째 단계로 하고 시공의 역방향으로 시공단계를 구성하면 현수교의 역방향 해석

이 가능합니다.

주요 해석절차를 정리하면 아래와 같습니다.

1. 각 시공단계의 독립적인 해석모델을 구성합니다. 시공단계 별로 활성화된

구조물, 하중, 경계조건 그룹 정보를 사용하여 독립적인 해석 모델을 구성

합니다.

2. 초기부재력이 입력된 경우에는 사용 옵션에 따라 외력과 내력을 생성합니

다.

대변형 해석용도의 초기 부재력 중에서 기하강성 계산을 위한 초기 부재력

(Initial Forces for Geometric Stiffness)을 사용하면 하중의 추가 입력없이 완성

계를 구성할 수 있습니다. 이 경우의 완성계의 외력과 내력은 초기 부재력

을 사용하여 계산합니다. 각 시공단계는 부재를 제거하거나 하중을 추가함



mid

asCi

vil

으로써 구성됩니다.

대변형 해석용도의 초기 부재력 중에서 부재의 평형절점력(Equilibrium

Element Nodal Forces)을 사용하면 외부하중을 사용하여 완성계를 구현할

수 있습니다. 이 경우의 외력은 사용자가 입력한 외부하중이 되고 내력은

절점 평형력을 사용하여 계산합니다. 각 시공단계는 하중이나 부재를 제거

함으로써 구성됩니다.

3. 각 단계별 결과를 정리합니다.

콘크리트의 시간의존특성은 각 단계별 독립적인 해석방법으로 인해 반영할 수 없

습니다.

10-4-2 시공단계를 이전단계에 누적하여 해석하는 방법

시공단계가 일반 선형 시공단계와 같은 방식으로 구성이 되면서 기하비선형성을

고려하여 해석을 수행하는 방법입니다. 각 단계는 이전단계의 평형상태에 구조물,

하중, 경계조건이

추가되는 방법으로 구성됩니다. 이전 단계에서 수렴된 하중과 부재내력으로 사용

하여 현단계의 초기값으로 사용하여 해석을 수행합니다. 크리프나 건조수축과 같

은 콘크리트의 시간의존 특성을 반영할 수 있습니다. 각 단계의 해석은 기하비선

형 정적 해석 방법을 사용합니다.

대변형이 발생하는 구조물의 순방향 시공단계 해석에 적용이 가능하고 주요 해석

절차를 정리하면 다음과 같습니다.

1. 이전 시공단계의 평형상태를 사용하여 현단계의 초기 상태를 계산합니다.

이전 단계의 부재력, 변위, 하중을 사용하여 현 단계의 초기 상태를 계산합

니다. 부재력과 하중을 사용하여 외력과 내력을 계산하고 변위를 사용하여

현단계의 초기 변위 상태를 계산합니다.

2. 현 단계에 추가된 부재와 하중을 사용하여 현단계의 해석모델을 구성합니

다. 이전 단계의 변위를 사용하여 현 단계에서 추가된 부재의 초기 접선

변위를 계산합니다. 현단계에 추가된 하중을 이전 단계의 외력에 더하여


mid

as C

ivil


외력을 구성합니다. 텐던하중/크리프/건조수축 변형에 의한 하중은 내력으

로 포함합니다.

3. 현 단계의 외력과 내력에 대한 비선형 해석을 수행합니다. 정적 기하비선

형 해석방법을 사용하여 평형상태 해석을 수행합니다.

4. 현 단계의 결과를 저장합니다. 현 단계의 결과와 다음 단계의 해석에 필요

한 데이터를 저장합니다.

비선형 시공단계 누적 모델해석에서 적용할 수 있는 트러스, 보요소로 사용이 제

한이 되어 있습니다.

2.10.8 비선형 시공단계 누적 모델 해석 순서도



mid

asCi

vil

midas Civil에서 현수교의 초기형상 결정을 위한 해석 단계는 크게 두 가지로 구분

할 수 있습니다. 첫 번째 단계는 케이블 시스템만의 형상 결정 단계이고 두 번째

단계는 케이블 시스템과 보강형, 주탑 시스템 모두 고려한 전체 구조계의 형상 결

정 단계입니다.

타정식 현수교의 초기형상의 경우는 첫번째 단계인 케이블 시스템만의 형상 해석

만으로도 충분하나 주탑의 초기부재력 산출이나 보다 엄밀한 해석을 위해서, 자정

식 현수교의 경우에는 주 케이블이 보강형에 축력을 발생시켜 보강형에 축방향 변

위가 발생하므로 이 영향을 고려하기 위해서 두번째 단계인 전체 구조계에 대한

형상 결정이 필요합니다.

10-5-1 케이블 시스템만의 현수교 평형상태 결정(현수교 위저드)

현수교의 평형상태 계산을 위한 첫 번째 단계는 현수교 위저드에서 계산이 수행됩

니다.

하중 평형식을 사용하여 케이블 절점좌표와 케이블의 장력을 계산하는 방법을 정

리하면 다음과 같습니다.

교량의 자중과 주 케이블 부재의 장력 사이의 평형방정식으로부터 케이블 좌표와

케이블 부재의 장력을 산정합니다. 이 방식은 수직, 수평 모두에서 새그(Sag)를 갖

는 모노-듀오 현수교의 형상결정도 가능한데, 다음과 같은 기본 가정 하에 해석을

수행하게 됩니다.

행어는 교축 직각방향에 대해서만 경사를 이루고 교축에 대해서는 수직이

다.

주 케이블의 수평장력 중 교축방향 성분은 전 경간에 대해 일정하다.

주 케이블-행어 연결절점와 절점 사이의 케이블 부재는 포물선형태가 아닌

직선형태라 가정한다.

주 케이블 양단 좌표, 중앙경간의 sag, 행어의 보강형 정착점, 보강형의 고

정하중 등은 알고 있는 값으로 가정한다.


mid

as C

ivil


기본적으로 수직, 수평면에 케이블을 투영하여 각각의 평면상에서 장력과 고정하

중의 평형 관계로부터 해석을 수행하게 됩니다.

10-5-2 수직면 내에서의 해석

아래의 그림에서 주 케이블의 수직면 투영 형상을 나타내고 있습니다. 한 경간 내

행어의 전체 개수를 N-1 개라고 하면 다음과 같이 전체구간을 N개의 구간으로 분

할 할 수 있습니다.

그림 2.10.9 X-Z 평면에 투영된 주 케이블 형상과 힘의 평형

여기서 siW 는 보강형과 행어에 의해 케이블에 재하 되는 분포하중이며, ciW 는 케

이블 자중에 의한 수직하중을 의미한다. 힘의 평형조건에 의해 i번째 절점위치에

서 다음과 같은 관계식을 얻을 수 있습니다.

1

11

( 1, 2, ..., 1 )i ii i

i i

d dT T i N

l l

1 21 2

1 2

NN x

N

d d dT T T T

l l l (14)

여기서, iT : 절점 i-1과 절점 i 사이 케이블 요소의 장력



mid

as C

ivil

il : 요소의 길이

xT : 케이블 부재의 수평장력

교량의 횡단면, 즉 Y-Z평면상에서의 힘의 평형은 다음 그림과 같다.

그림 2.10.10 Y-Z 평면에서의 평형상태

위 평형관계식은 다음과 같이 정리할 수 있습니다.

1 11

1

( 1 , 2 ,..., 1 )i i i i Gi ii i i ci

i i i

z z z z z zT T P W i N

l l h

(15)

여기서 iP 는 i 번 행어의 장력이고, ih 는 행어의 길이

식 (15)와 식 (16)으로 부터 다음과 같이 총 N-1개의 연립방정식을 얻을 수 있습니

다.

1 1

1

( 1 , 2 ,..., 1 )

i i i i Gi ix i ci si ci

i i i

z z z z z zT P W W W

d d h

i N

(16)


mid

asCi

vil


여기서 siW 는 보강형과 행어에 의해 케이블에 재하되는 분포하중이며, ciW 는 케이

블 자중에 의한 수직하중을 의미합니다. 위의 식에서 미지수는

iz ( i 1 , 2 ,..., N 1 ) 와 xT 로 총 N개이기 때문에 해를 구하기 위해 한 개의

조건이 더 필요하게 됩니다. 추가적인 조건으로 기지 값인 중앙 경간의 새그(Sag) ,

f 에 대한 다음과 같은 관계식을 사용하도록 합니다.

N N 0

2

1z ( z z ) f

2 (17)

10-5-3 수평면 내에서의 해석

수평면내에서도 수직면내에서의 해석과 동일한 방식으로 힘의 평형관계로부터 다

음과 같이 N-1개의 연립방정식을 얻을 수 있다.

Gi i Gi ii 1 i i i 1x i si

i i 1 i Gi i

y y y yy y y yT P W

d d h z z

( i 1 , 2 ,..., N 1 )

(18)

여기서 수평장력( xT )는 수직면 내에서의 해석에서 얻은 값이며, 주 케이블 양 끝

단의 y 좌표인 0 Ny , y 은 기지 값이므로 총 N-1개의 미지수인 iy

( i 1 , 2 ,..., N 1 ) 는 연립방정식을 풀어서 얻을 수 있습니다.

이상과 같이 평형식을 사용하여 초기 기하형상을 유도하면 각 케이블의 절점 좌표

와, 보강형의 좌표, 주 케이블의 수평장력이 결정할 수 있습니다.

10-5-4 비선형 해석을 사용한 케이블 시스템의 평형상태 계산

현수교 위저드에서 간략한 평형식으로부터 계산한 케이블의 형상과 변형전 길이를

초기값으로 가정하여 케이블 시스템으로 구성하고 비선형 해석을 수행하여 정확한

절점좌표와 케이블의 변형전 길이를 산정합니다. 주 케이블의 양 끝단과 주탑지점,

행어의 아래 끝단 부분을 모두 고정지점으로 처리합니다. 산정된 변형전 길이를

케이블 요소에 적용하면 불균형 하중을 발생시켜 케이블 구조계의 변형이 발생합

니다. 이 케이블 좌표들의 변화를 검토하여 수렴여부를 판단합니다. 수렴상태가 아



mid

asCi

vil

니면 케이블 시스템 절점 좌표와 변형전 길이를 업데이트하여 수렴조건을 만족할

때까지 반복 수행합니다.

그림 2.10.11 케이블시스템만의 해석을 위한 지점처리

그림 2.10.12 케이블 시스템만의 현수교 평형상태 결정 순서도


mid

asCi

vil


10-5-5 현수교 전체구조물의 평형상태 결정

하중평형식과 케이블시스템만의 비선형해석 단계를 거쳐서 계산한 3차원 현수교의

케이블 좌표와 변형전 길이를 기반으로 현수교 전체구조물의 평형상태를 계산하기

위한 방법입니다. 타정식 현수교인 경우에는 케이블시스템으로만 계산한 평형상태

에서 추가적인 변화가 있을 경우에 이 방법을 적용하여 좀더 정확한 평형상태를

계산합니다. 자정식 현수교의 경우에는 주 케이블의 양단부가 고정되어 있지 않고

보강형에 연결되기 때문에 케이블시스템만으로 구한 평형상태를 적용할 수 없습니

다. 자정식의 경우에는 케이블시스템만으로 계산한 평형상태의 정보를 기본값으로

하여 전체구조물에 대한 평형상태해석을 수행해야 합니다. 현수교에서의 평형상태

라고 하는 것은 하중과 케이블의 변형전 길이와 보강형과 주탑의 내력이 평형을

이루어 추가적인 변형이 발생하지 않는 상태를 의미합니다. 전체구조물의 평형상

태해석 과정에서 업데이트 되는 항목으로는 주 케이블의 절점좌표, 케이블의 변형

전 길이, 보강형과 주탑의 내력 등이 있습니다. 현수교 전체구조물의 평형상태는

특정한 유일한 상태에서만 수렴이 되는 것이 아니기 때문에 수렴된 결과를 적용할

것인지에 대한 사용자의 판단이 필요합니다. 현수교의 전체구조물의 평형상태 계

산을 위한 계산 절차는 다음과 같습니다.

그림 2.10.13 현수교 전체구조물 평형상태 결정 순서도

Chapter 11 | 수화열해석


mid

asCi

vil

콘크리트 구조물의 대형화 및 시공방법의 발전에 의한 대량 급속시공의 증가에 따

라 시멘트의 수화열에 의한 온도 응력의 발생이 구조물에 균열을 발생시켜 구조물

의 내구성 뿐만 아니라 구조적인 안정을 저해하는 요인이 됩니다.

이러한 문제를 해결하기 위해 매스콘크리트 구조물의 타설시 온도와 응력의 분포

를 계산하여 균열을 적절히 제어하고자 하는 목적으로 수화열해석을 수행합니다.

수화열해석을 수행해야 할 매스콘크리트 구조물의 치수는 구조형식, 사용재료, 시

공조건에 따라 다르지만 대략 슬래브는 80 100cm 이상이고, 하단이 구속되어 있

는 벽체는 두께 50cm 이상을 기준으로 합니다.

수화열에 의한 온도균열은 초기에 표면부와 중심부의 온도차이에 의해 발생하는

표면균열과 콘크리트 타설이 끝난 후 시멘트 수화열에 의한 온도상승이 최고치에

달한 후 온도강하에 의한 수축이 외적으로 구속되어 발생하는 관통균열로 구분할

수 있습니다. 이러한 수화열 해석은 크게 시멘트의 수화과정에서 발생하는 발열,

대류, 전도 등에 의한 온도분포해석과 발생한 온도, 재령에 의한 탄성계수의 변화,

크리프 및 건조수축 등에 의한 응력해석으로 구분할 수 있으며 각 해석에서 고려

되는 사항들은 다음과 같습니다.

시멘트의 수화과정에서 발생하는 발열, 전도, 대류 등에 의한 시간에 따른 절점온

도 변화를 계산하게 됩니다. 열전달 해석에서 사용되는 주요개념과 midas Civil에서

고려하는 사항들은 다음과 같습니다.

11-1-1 전도 (Conduction)

유체의 경우는 분자의 운동이나 직접적인 충돌, 고체의 경우는 전자의 이동에 의

하여 고온구역에서 저온구역으로 에너지 교환이 일어나는 방식의 열전달 입니다.

Chapter 11. 수화열해석


mid

asCi

vil


전도에 의해 전달되는 열전달율은 열속(Heat Flux)에 수직한 면적과 그 방향 온도

구배의 곱에 비례합니다. (Fourier's Law)

x

TQ kA

x

여기서 xQ : 열전달률

A : 면적

k : 열전도율

T

x

: 온도구배

일반적으로 포화된 콘크리트의 열전도율은 1.21~ 3.11 정도이며 열전도율의 단위는 2/kcal m h C 입니다. 콘크리트의 열전도율은 온도가 증가하면서 감소하는 경향

을 보이지만 대기온도의 범위에서는 큰 영향을 보이지 않습니다.

11-1-2 대류 (Convection)

유체가 고체 위 또는 유로 내를 흐를 때 유체와 고체 표면의 온도가 다르면 표면

에 대한 유체의 상대운동의 결과로 유체와 고체의 표면 사이에서 열이 전달됩니다.

이러한 열전달 방법을 대류라고 합니다.

유체를 표면위로 강제로 흐르게 하는 경우처럼 유체유동을 인위적으로 일으킬 때

의 열전달을 강제대류(Forced Convection)에 의한 열전달이라 하고, 유체의 유동이

유체내의 온도차에 의해 생기는 밀도차에 의한 부력효과 때문에 일어나는 열전달

을 자유대류(Free Convection)에 의한 열전달 이라고 합니다. 이러한 열전달에서는

온도장(Temperature Field)이 유체 유동의 영향을 받기 때문에 실제 경우에 온도분

포와 대류 열전달을 결정하는 것은 매우 복잡합니다.

일반적으로 온도가 T 인 고체표면과 그 위로 흐르는 평균온도가 T 인 유체 사이

의 열전달 계산을 간단히 하기 위해 열전달계수 ch 를 다음과 같이 정의합니다.



mid

asCi

vil

( )cq h T T

열전달계수(hc)는 흐름의 종류, 물체의 기하학적 형상 및 흐름의 접촉면적, 유체의

물리적 성질, 대류접촉면의 평균온도, 위치 등에 따라 복잡하게 변화하기 때문에

정식화하기 매우 어렵습니다.

일반적으로 매스콘크리트의 온도해석에서 사용되는 대류 문제는 콘크리트 표면과

대기의 열교환 형태로 이루어지므로 대기 풍속의 함수로 다음의 경험식을 사용하

기도 합니다.

5.2 3.2c n fh h h v (m/sec)

열전달계수(대류계수)의 단위는 2/kcal m h C 입니다.

11-1-3 발열 (Heat Source)

수화과정에서 발생하는 열량을 모델하기 위한 것으로 매스콘크리트의 수화발열에

의한 단위시간당 단위부피의 내부 발열량은 단열온도 상승식을 미분하고 비열과

밀도를 곱하여 얻을 수 있습니다.

단위시간당 단위부피의 내부발열량 ( 3/kcal m h )

/ 241

24tg cK e

단열온도 상승식( C )

(1 )tT K e

여기서 T : 단열온도( C )

K : 단열최고상승온도( C )

: 반응속도

t : 시간(days)


mid

asCi

vil


11-1-4 파이프쿨링 (Pipe Cooling)

파이프쿨링은 콘크리트 구조물 속에 파이프를 매설하고, 파이프 속으로 온도가 낮

은 유체를 흐르게 하여 열교환을 발생시켜 수화열로 인한 온도상승을 감소시키는

방법입니다.

열교환의 형태는 유체와 파이프 표면사이의 대류에 의한 것이며, 파이프내의 유체

온도는 파이프를 통과하면서 상승하게 됩니다. 유체와 파이프 사이의 대류에 의한

열전달량은 다음과 같습니다.

, , , ,( )2 2

s i s o m i m oconv p s s m P s

T T T Tq h A T T h A

여기서 ph : 파이프의 유수대류계수( 2/kcal m h C )

sA : 파이프의 표면적(m2 )

sT , mT : 파이프 표면과 냉각수의 온도( C )

11-1-5 초기온도(Initial Temperature)

콘크리트 타설시의 온도로 물, 시멘트, 골재의 평균온도이며, 해석의 초기조건이

됩니다.

11-1-6 외기온도(Ambient Temperature)

콘크리트의 타설 후 양생과정에서의 외기온도를 의미합니다. 일정한 온도나 Sine

함수 또는 시간에 대한 온도 형태의 입력이 가능합니다.



mid

asCi

vil

11-1-7 고정온도(Prescribed Temperature)

열전달해석의 경계조건을 구성하게 되며 항상 일정한 온도를 유지하게 됩니다. 대

류조건이나 고정온도가 입력되지 않은 절점은 열의 전달이 전혀 없는 단열상태로

해석을 하게 됩니다. 일반적으로 대칭모델을 사용할 경우 대칭면에서 단열경계 조

건을 사용하게 됩니다.

아래 식은 열전달 해석에 사용되는 기본 평형 방정식이고, 해석결과로는 각 시간

별 절점 온도가 됩니다.

Q h qCT (K H)T F F F

i j

V

C cN N dxdydz

: Capacitance (Mass)

j j ji i ixx yy zz

V

N N NN N NK k k k dxdydz

x x y y z z

i j h

S

H hN N dS

: Convection

Q i

V

F N Qdxdydz : Heat load due to Heat Source/Sink

h i h

S

F hT N dS : Heat load due to Convection

q i q

S

F qN dS : Heat load due to Heat Flux

T : Nodal Temperature

여기서 : 밀도

c : 비열

xxk yyk zzk : 열전도율

h : 대류계수

Q : 발열량

q : 열속


mid

asCi

vil


열전달해석에서 얻어진 절점온도 분포와 시간과 온도에 따른 재질의 변화, 시간에

따른 건조수축, 시간과 응력에 따른 크리프 등을 고려하여 매스콘크리트의 각 단

계별 응력을 계산합니다. 열응력 해석에서 사용되는 주요개념과 midas Civil에서 고

려하는 사항들은 다음과 같습니다.

11-2-1 온도와 시간에 의한 등가재령, 적산온도

콘크리트의 경화 과정에서 발생하는 재질특성의 변화는 온도와 시간의 함수 형태

로 나타나게 됩니다. 이러한 현상을 반영하기 위해 등가재령과 적산온도라는 개념

을 사용하였습니다.

탄성계수 계산시에는 일본 콘크리트 표준시방서(JSCE, 2002) 및 일본 도로교 시방

서(Japanese standard, 2002)를 따르는 경우에는 절대재령을 사용하고 나머지 규준

에서는 등가재령을 사용하였습니다. 그리고, 크리프와 건조수축 계산시에는 일본

콘크리트 표준시방서 및 일본 도로교 시방서를 따르는 경우에는 등가재령을 사용

하고 나머지 규준에서는 절대재령을 사용하였습니다.

등가재령은 기본적으로 CEB-FIP MODEL CODE를 사용하여 산정하였고 일본 도로

교 시방서를 따르는 경우에만 해당 규준에서 정의하는 방법을 사용하였습니다. 숙

성도 이론에 근거하는 적산온도는 Ohzagi식을 사용하였습니다.



mid

asCi

vil

CEB-FIP MODEL CODE에서의 등가재령

1 0

exp4000

13.65273 ( ) /

n

eq ii i

t tT t T

여기서 eqt : 등가재령 (days)

it : 각 해석단계에서의 시간간격 (days)

( )iT t : 각 해석단계에서의 온도 ( C )

0T : 1

일본 도로교 시방서(Japanese standard, 2002)에서의 등가재령

( ) 10

30i

eq i

T tt t

여기서 eqt : 등가재령 (days)



Ohzagi 식에 의한 적산온도

1

( ) 10n

i ii

M t T t

20.0003( ( ) 10) 0.006( ( ) 10) 0.55i iT t T t

여기서 M : 적산온도 ( C )




mid

asCi

vil


11-2-2 등가재령과 적산온도를 사용한 콘크리트 압축강도 계산방법

콘크리트표준시방서(2003)

ckcu fidbta

ttf )()(

여기서 a, b : 시멘트종류에 따른 계수

)(id : 재령 28일에 대한 재령 91일의 강도 증가율

ACI CODE

(28)( )c ceq

tt

a bt

여기서 a, b : 시멘트종류에 따른 계수

(28)c : 28일 압축강도

CEB-FIP MODEL CODE

1/ 2

(28)1

28( ) exp 1

/c ceq

t st t

여기서 s : 시멘트종류에 따른 계수

(28)c : 28일 압축강도

1t : 1 day



mid

asCi

vil

Ohzagi 식

(28)( )c ct y

여기서 2y ax bx c

2.389ln 1.03.5

Mx

a, b, c :시멘트 종류에 따른 계수

(28)c : 28일 압축강도

11-2-3 온도의 변화량에 의한 변형 (Temperature)

열전달해석을 통해서 구해진 각 단계별 절점온도의 변화를 사용하여 온도에 의한

변형과 응력을 계산하였습니다.

11-2-4 건조수축에 의한 변형 (Shrinkage)

콘크리트의 초기 양생이 끝나게 되면 거푸집을 떼어내게 되는데 이때부터 건조수

축이 시작되고 이로 인해 변형과 응력이 추가로 발생하게 됩니다. midas Civil에서

는 ACI CODE와 CEB-FIP MODEL CODE를 사용하여 시멘트의 종류, 구조물의 형

상, 시간에 따른 건조 수축량을 계산하여 열응력 해석에 포함하였습니다.

11-2-5 크리프에 의한 변형 (Creep)

콘크리트에 응력이 발생하게 되면 시간이 흐름에 따라 크리프 변형이 발생하게 되

고 구조물에 추가적인 변형과 응력을 유발하게 됩니다. midas Civil 에서는 ACI

CODE와 CEB-FIP MODEL CODE를 사용하여 크리프에 의한 효과를 고려할 수 있

도록 하였습니다. 이때, 온도에 의해 발생하는 응력이 각 시간 구간에 대해 선형적

으로 변화한다고 가정하여 크리프 변형을 계산합니다.


mid

asCi

vil


1. Properties탭>Time Dependent Material그룹>Time Dependent

Material(Creep/Shrinkage)과 Time Dependent Material(Comp. Strength)를

선택하여 시간의존적 부재재질을 입력하고, Properties탭>Time Dependent

Material그룹>Time Dependent Material Link에서 일반 부재재질과 시간의

존적 부재재질을 연결합니다.

2. Load탭>Load Type그룹>Heat of Hydration>Heat of Hydration Analysis

Data그룹의 하위메뉴에서 수화열 해석에 필요한 데이터를 입력합니다.

3. Analysis탭>Analysis Control그룹>Heat of Hydration Analysis Control에서

시간이산계수, 초기온도, 응력출력위치, 크리프와 건조수축 고려여부를 입

력합니다.

4. Analysis탭>Perform그룹>Perform Analysis메뉴로 해석을 수행합니다.

5. 해석이 완료되면 해석결과를 등고선도, 그래프, 동영상 등으로 확인합니다.

그림 2.11.1 분할타설을 고려한 Extradosed PSC Box 주두부 수화열해석 모델



mid

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vil

그림 2.11.2 열특성 및 시간의존적 재료특성 대화상자

그림 2.11.3 분할타설을 고려하기 위한 Construction Stage 대화상자

(각 시공단계의 요소, 경계조건 등을 정의)


mid

asCi

vil


1st Stage

2nd Stage

3rd Stage

그림 2.11.4 각 시공단계별 해석결과 그래프

Chapter 12 | PSC 해석


mid

asCi

vil

프리스트레스트 콘크리트 구조물의 거동은 작용하는 유효 프리스트레스에 따라 크

게 변화됩니다. 따라서 프리스트레스트 콘크리트 구조물을 해석할 때에는 각각의

시공단계마다 가해지는 다양한 하중이력을 거치는 동안 PS 텐던의 인장력 변화를

정확히 계산해내는 것이 중요합니다. PS 텐던의 인장력은 텐던을 긴장하는 방법에

따른 여러 가지 원인에 의해서 손실됩니다.

프리텐션방식의 경우 인장력의 손실을 단계별로 보면 인장력이 도입되기 전까지는

콘크리트의 건조수축 및 텐던의 이완에 의해 손실이 발생하고, 인장력이 도입될

때에는 콘크리트의 탄성변형에 의하여 손실이 발생하며, 인장력이 도입된 이후에

는 콘크리트의 크리프, 건조수축 및 텐던의 이완과 하중 및 온도의 변화에 의하여

손실이 발생하게 됩니다.

포스트텐션방식의 경우에는 인장력을 도입할 때 텐던과 쉬스사이의 마찰에 의한

손실, 정착구의 활동에 의한 손실이 발생하고, 인장력이 도입된 후에는 콘크리트의

크리프, 건조수축 및 텐던의 이완과 하중 및 온도의 변화에 의하여 손실이 발생하

게 됩니다.

midas Civil을 사용하여 프리스트레스트 콘크리트의 해석을 수행할 때 고려할 수

있는 인장력의 손실은 다음과 같습니다.

프리스트레스를 도입할 때 일어나는 즉시손실(Instantaneous Loss)

프리스트레스 도입 후에 일어나는 시간적 손실(Time Dependent Loss)

midas Civil에서는 보다 정확한 해석을 위하여 PS 텐던이 설치되어 긴장되고 정착

되기 이전까지는 단면적, 휨강성 등의 단면특성치를 계산할 때 총단면(Gross Cross

Section)에서 덕트의 면적을 제외한 순단면(Net Cross Section)을 사용하고, 텐던이

정착된 이후에는 텐던의 단면적을 고려한 환산단면을 사용합니다.

Chapter 12. PSC 해석


mid

asCi

vil


텐던을 고려한 환산단면은 텐던의 강성이 콘크리트보다 훨씬 크기 때문에 단면의

도심이 변화하고, 변경된 도심을 기준으로한 텐던의 편심을 계산하여 텐던의 인장

력을 계산하게 됩니다.

midas Civil에서는 PS 텐던을 해석모델 상에서 고려할 때 트러스 등과 같은 요소로

서 모형화하지 않고 텐던에 의한 프리스트레스를 등가의 하중으로 계산하여 고려

합니다. 이때 위에 설명한 바와 같이 텐던의 강성은 단면계산시 포함됩니다. 등가

하중을 계산하기 위한 텐던의 인장력은 매 시공단계마다 여러가지 원인에 의한 프

리스트레스 손실을 고려하여 계산되므로 해석모델에 재하되는 등가하중에는 앞서

설명한 프리스트레스 손실이 모두 반영됩니다.

midas Civil에서 프리스트레스트 콘크리트의 해석을 수행하기 위한 절차는 다음과

같습니다.

1. 구조물을 모델링합니다.

2. 시간의존재질 및 시공단계를 정의한 후 시공단계별로 요소, 경계조건, 하중

의 변화를 정의하여 시공단계를 생성합니다.

3. PS 텐던의 단면적, 재질, 극한강도, 덕트의 직경, 마찰계수 등 사용할 텐던

의 특징을 정의합니다.

4. 원하는 부재에 텐던을 할당하고 텐던의 배치형상(Profile)을 정의합니다.

5. 텐던에 작용하는 인장력을 정의하고, 긴장하기를 원하는 시공단계에서 긴

장력을 입력합니다.

6. 해석을 수행합니다.



mid

asCi

vil

PS 텐던에 가해진 인장응력은 여러 가지 원인에 의해서 감소하게 됩니다. 텐던의

인장응력이 감소하면 콘크리트에 도입된 프리스트레스트도 감소하게 됩니다. 이러

한 프리스트레스 감소의 원인은 다음과 같습니다.

프리스트레스를 도입할 때 일어나는 즉시손실(Instantaneous Loss)

정착장치의 활동(Anchorage Slip)

PS 텐던과 쉬스 사이의 마찰

콘크리트의 탄성변형(Elastic Shortening)

프리스트레스 도입 후에 일어나는 시간적 손실(Time Dependent Loss)

콘크리트의 크리프

콘크리트의 건조수축

PS강재의 이완(Relaxation)

포스트텐션 방식에서는 이상의 여섯 가지의 프리스트레스 손실 원인을 모두 고려

하지만, 프리텐션 방식에 있어서는 PS 텐던과 쉬스 사이의 마찰은 고려하지 않습

니다. 프리스트레스의 즉시손실 및 시간적손실을 합한 텐던 인장력의 총 손실량은

재킹 힘(Original Jacking Force)의 15~20%의 범위입니다. PSC 부재의 콘크리트 응

력계산에서 가장 중요한 것은 즉시손실 후의 긴장력과 시간적 손실까지 끝난 후에

최종적으로 텐던에 작용하는 긴장력인 eP (Effective Prestress Force)입니다. iP 와

eP 의 관계를 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.

e iP RP

여기서, R을 프리스트레스의 유효율(Effective Ratio)이라고 합니다. 이 유효율의 일

반적인 값은 프리텐션 방식의 경우 R=0.80, 포스트텐션 방식의 경우 R=0.85입니

다.

다음은 위에서 설명한 프리스트레스 손실을 midas Civil에서 고려하는 방법에 대해

서 설명한 것입니다.


mid

asCi

vil


12-2-1 정착장치의 활동에 의한 손실

PS 텐던의 긴장이 완료된 후 인장단을 정착시킬 때 정착장치에 따라서 약간의 정

착부 이동이 발생하게 됩니다. 이로 인하여 PS 텐던의 인장단 부근에서 인장력의

손실이 발생하게 되는데 이것을 정착장치의 활동에 의한 손실이라고 합니다. 이러

한 손실은 포스트텐션 방식뿐 아니라 프리텐션 방식에서도 발생하는데 어떤 경우

든 긴장작업시 초과긴장(Overstressing)함으로써 보정할 수 있습니다.

일반적으로 PS 텐던과 쉬스 사이에 마찰이 있기 때문에 정착장치의 활동으로 인

한 인장력의 손실은 정착장치 근처, 즉 인장단에 가까운 부위에 한정되며, 인장단

에서 멀어지면 그 영향이 미치지 않게 됩니다.

그림 2.12.1에서 정착부에서 정착장치의 활동에 의하여 영향을 받는 긴장재의 길

이( setl )는 마찰손실의 함수로써 마찰손실이 크면 짧아지고 마찰손실이 작으면 길

어지게 됩니다. 정착장치의 활동량을 l 이라 하고, 여기에 강재의 단면적( pA )과

탄성계수( pE )를 곱하면 그림 2.12.1의 삼각형부분의 면적과 같게 되므로 식 (1)이

성립됩니다.

삼각형의 면적( 0.5 setPl ) = p pA E l (1)

긴장재의 단위길이에 대한 마찰손실을 p 라고 하면, 인장력의 손실 P 는 그림

2.12.1로부터 식 (2)와 같이 나타낼 수 있습니다.

2 setP pl (2)

따라서, 정착부에서 정착장치의 활동의 영향을 받는 긴장재의 길이( setl )는 식(1)과

(2)로부터 식 (3)과 같이 유도할 수 있습니다.

p pset

A E ll

p

(3)



mid

asCi

vil

그림 2.12.1 정착장치의 활동이 긴장력에 미치는 영향

그림 2.12.1에서 텐던의 인장력의 분포가 직선으로 나타나지만 실제로는 곡선의

형태로 분포하게 되므로, midas Civil에서는 이러한 인장력의 곡선분포를 고려하여

정착장치의 활동에 의한 프리스트레스의 손실을 계산하고 있습니다.

12-2-2 텐던과 쉬스 사이의 마찰에 의한 손실

포스트텐션방식에서는 PS 텐던과 쉬스 사이의 마찰로 인하여 PS 강재의 인장력이

긴장재의 끝으로부터 멀어질수록 작아집니다. 이러한 마찰손실은 긴장재의 각도변

화(Curvature Effect)에 의한 손실인 곡률마찰(Curvature Friction) 손실과 긴장재의

길이의 영향(Length Effect)에 의한 손실인 파상마찰(Wobble Friction) 손실로 나눌

수 있으며 각각 단위각도당 마찰계수 (Radian)와 단위길이당 마찰계수 k를 사용

하여 나타낼 수 있습니다.

긴장단에서 0P 로 긴장했을 경우 텐던의 곡선길이 만큼 떨어진 곳에서의 총 각

변화가 이면 그 지점에서의 인장력 xP 는 식 (4)와 같이 나타낼 수 있습니다.

( )0

klxP P e (4)


mid

asCi

vil


긴장재의 종류 k(/m) ( /Rad)

부착시킨 긴장재

강선 0.0033~0.0050 0.15~0.25

강봉 0.0003~0.0020 0.08~0.30

고강도 스트랜드 0.0015~0.0066 0.15~0.25

부착시키지

않은 긴장재

수지방수피복 강선 0.0033~0.0066 0.05~0.15

고강도 스트랜드 0.0033~0.0066 0.05~0.15

그리스 도포 강선 0.0010~0.0066 0.05~0.15

고강도 스트랜드 0.0010~0.0066 0.05~0.15

표 2.12.1 k 및 의 값 (도로교 및 콘크리트 설계기준)

긴장재의 종류 덕트의 종류 k(/m) ( /Rad)

PS강선

및 PS 강연선

금속쉬스 0.0066 0.30

아연도금 금속쉬스 0.0050 0.25

그리스 또는 아스팔트로 코팅하고 또 피

복된 것 0.0066 0.30

아연도금된 강성덕트 0.0007 0.25

PS 강봉 금속 쉬스 0.0010 0.20

아연도금 금속쉬스 0.0007 0.15

표 2.12.2 k 및 의 값 (철도교 설계기준)

12-2-3 콘크리트의 탄성변형에 의한 손실

콘크리트에 프리스트레스를 도입하면 콘크리트는 압축되어 그만큼 부재의 길이가

줄어들게 되고 콘크리트에 정착된 텐던의 길이 역시 줄어들게 되어 텐던의 인장응

력이 감소하게 됩니다. 이러한 탄성변형에 의한 손실은 프리텐션방식이나 포스트

텐션방식에서 모두 발생하지만 그 형태는 조금 다르게 나타납니다.

프리텐션방식의 경우에는 인장재(고정지주)의 긴장력(Jacking Force)을 부재에 가하

는 순간 탄성수축이 일어나고 텐던의 길이가 짧아져서 프리스트레스의 손실이 일

어나게 됩니다. 즉, 그림 2.12.2에 나타난 것처럼 인장재에 가하는 긴장력( jP )과

실제로 부재에 가해지는 긴장력( jP )은 다르게 됩니다.



mid

asCi

vil

그러나 포스트텐션방식의 경우 따로 인장대가 있는 것이 아니라 경화한 콘크리트

부재를 받침으로 하여 텐던을 긴장합니다. 따라서 콘크리트 부재가 단축하는 것은

프리텐션방식과 같지만 이 때 텐던의 인장력은 콘크리트 부재가 탄성 단축된 후에

측정되기 때문에 콘크리트의 탄성변형으로 인한 인장력의 감소는 있을 수 없습니

다. midas Civil에서는 임의의 시공단계에서 요소가 생성된 후 긴장력이 가해지는

포스트텐션방식과는 달리 시공단계에서 모형화가 불가능한 프리텐션방식의 경우에

는 콘크리트 탄성변형에 의한 프리스트레스의 손실은 고려하지 않습니다. 따라서

프리텐션방식으로 긴장을 할 때는 하중값 입력시에 인장대에 가하는 긴장력( jP )이

아니라 실제로 부재에 가해지는 긴장력( iP )을 입력해 주어야 합니다.

대부분의 포스트텐션 부재는 많은 수의 긴장재가 배치되어 미리 정해 놓은 긴장

순서에 따라 긴장하고 정착하는 것이 일반적이므로, 콘크리트의 탄성수축도 순차

적으로 일어납니다. 따라서 그림 2.12.3(b)의 Tendon 1과 같이 제일 먼저 정착하는

텐던은 그 시점에서 인장력의 감소가 없지만 두번째 텐던을 정착하면 이 탄성수축

때문에 그림 2.12.3(c)과 같이 첫번째 텐던의 인장력이 감소하게 됩니다. midas

Civil은 매 시공단계마다 텐던의 긴장에 의한 탄성수축으로 발생하는 프리스트레스

의 손실 뿐 아니라 외부하중에 의한 탄성수축으로 발생하는 프리스트레스의 손실

모두 고려하고 있습니다.

그림 2.12.2 탄성수축으로 인한 인장력의 감소 (프리텐션 부재)


mid

asCi

vil


그림 2.12.3 프리스트레스의 순차적인 도입에 의한 인장력의 감소

(포스트텐션 부재)

12-2-4 시간의존적 손실

프리스트레스는 콘크리트의 크리프와 건조수축 및 PS 텐던의 이완(Relaxation) 때

문에 시간의 경과와 더불어 감소하게 됩니다. midas Civil에서는 각각의 시공단계마

다 콘크리트 부재의 시간의존적인 특성을 고려하여 크리프 및 건조수축에 의해 발

생하는 변형을 계산하고 있습니다. 또한 계산된 콘크리트 부재의 변형으로 발생하

는 PS 텐던의 인장응력의 감소도 고려합니다. 계산된 프리스트레스의 시간적 손실

은 매 시공단계마다 그래프를 통하여 쉽게 확인할 수 있습니다.

이완(Relaxation)이란 PS 텐던에 인장응력을 작용시켜서 그 변형률을 일정하게 유

지하면, PS 텐던에 준 인장응력이 시간의 경과와 더불어 점차 감소하는 현상으로

정의되며, 이완에 의한 손실은 재하된 초기응력의 크기, 경과된 시간, 제품의 성질

에 따라 각각 다르게 나타납니다. midas Civil에서는 PS 텐던의 이완을 고려하기

위하여 널리 사용되고 있는 Magura1) 의 식과 CEB-FIP의 식을 사용합니다.

1) ; Magura, D.D., Sozen, M.A., and Siess, C.P., “A Study of Stress Relaxation in Prestressing

Reinforcement,” PCI Journal, Vol. 9, No. 2, April, 1964.



mid

asCi

vil

Magura식을 사용한 Relaxation 계산식

log1 0.55s si

si y

f t f

f C f

여기서, 0.55si

y

f

f (5)

여기서, sif 는 초기응력, sf 는 재하 후 t시간 후의 응력, yf 는 항복응력(0.1%

Offset Yield Stress), C는 제품에 관한 상수로서 일반강재인 경우 10, 저 릴랙세이

션 강재를 사용한 경우 45를 사용합니다. 이 식은 이완의 정의에서 설명한 것처럼

텐던의 응력이 일정하게 유지될 때를 가정하고 있습니다. 그러나 실제 PS 텐던의

인장력은 시간에 따라서 크리프, 건조수축, 외부하중의 변화에 의하여 불연속적으

로 변화하기 때문에 식 (5)를 직접 적용하기에는 어려움이 있습니다. 따라서 midas

Civil에서는 매 시공단계마다 이완에 의한 손실을 제외한 다른 요인에 의한 텐던의

인장력의 변화를 계산한 후에 각각의 시공단계에 해당하는 가상의 초기응력

(Fictitious Initial Prestress)2)을 구한 후 이완에 의한 손실을 계산합니다.

CEB-FIP식을 사용한 Relaxation 계산식

이 식은 시간에 따라서 초기응력의 일정한 비율이 감소하는 것으로 계산합니다.

1100n si n n

RPf f DL DL

- 1,n nt t 1000 (days)

11

16 10n s

n

t tDL ln

, 11

11

16 10n s

n

t tDL ln

- 1000 1,n nt t 500000 (days)

0.2

500000n s

n

t tDL

, 0.2

11 500000

n sn

t tDL

- 1,n nt t 500000 (days)

1 1.0n nDL DL

2) ; Kan, Y.G., “Nonlinear Geometric, Material and Time Dependent Analysis of Reinforced and

Prestressed Concrete Frames”, Ph. D. Dissertation, Department of Civil Engineering, University of

California, Berkeley, June 1977.


mid

asCi

vil


여기서, sif : 초기응력

RP : Relaxation 발생 비율 (%)

1,n nt t : 시공단계 n , n-1 의 시간 (days)

st : 긴장력 도입 시간 (days)

midas Civil에서 PS 텐던에 의해 구조물에 가해지는 프리스트레스 하중을 등가의

하중으로 치환하는 방법은 그림 2.12.4와 같습니다.

iθ

jθ

그림 2.12.4 텐던의 프리스트레스에 의한 등가하중

그림 2.12.4은 하나의 보요소에 텐던이 배치되어 있는 형상을 나타낸 것입니다. 설

명의 편의상 2차원으로 표현하였지만 요소좌표계 xy평면에 대해서도 동일한 방법

으로 계산됩니다. 그림에서 보는 바와 같이 midas Civil에서는 내부적으로 하나의

보요소를 4등분을 하여 등가하중을 계산합니다. 이때 4등분한 요소 내에서의 텐던

형상은 그림 2.12.4(b)와 같이 실제적인 텐던의 형상을 따르며, 다만 구간내에서

등가하중은 그림 2.12.4(c)와 같이 일정하다고 가정합니다. 텐던에 가해지는 인장



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asCi

vil

력 iP 와 jP 는 마찰에 의한 손실 때문에 다르게 되므로, i 와 j 단 양쪽의 3개의

집중하중( xp , ym , zp ) 만으로는 내부적으로 평형이 될 수 없습니다. 따라서 부재

내에서 자체로 평형을 이루도록 등분포하중을 고려합니다. 식 (6)과 (7)에 의해서

양단의 집중하중을 계산하고 식 (8)과 (9)를 이용해서 요소 내부의 등분포하중을

계산합니다.

cos

sin

i i ix

i i iz

i i iy x z

p p

p p

m p e

(6)

cos

sin

j j jx

j j jz

j j jy x z

p p

p p

m p e

(7)

2

0

0

02

i jx x x x

i jz z z z

j i i jy y z z y y

F p w l p

F p w l p

lM m p l w m m l

(8)

2

j ix x

x

i jz z

z

i jy yi

y z z

p pw

l

p pw

l

m mlm p w

l

(9)

midas Civil에서는 매 시공단계마다 크리프, 건조수축, 텐던의 이완 등 프리스트레

스의 시간적 손실 뿐 아니라 외부하중이나 온도의 변화로 인한 구조물의 변형으로

인해 이미 설치된 텐던에서 발생하는 프리스트레스의 손실도 고려하고 있습니다.

먼저 시공단계 해석시 발생하는 변형에 의한 텐던의 인장력의 변화를 계산하고 계

산된 인장력의 변화량을 앞서 설명한 방법대로 등가하중으로 치환하여 요소에 부

여합니다.


mid

asCi

vil


midas Civil의 이동하중 해석기능은 구조물의 설계시 정적차량이동하중(Static

Vehicle Moving Load) 조건을 반영하는데 사용되며 주요한 기능은 다음과 같습니다.

이동하중에 따른 처짐, 부재내력, 반력 등에 대한 영향선(Influence Line)과

영향면 (Influence Surface)의 산출

산출된 영향선과 영향면을 이용하여 주어진 차량이동하중조건에 대한 최

대최소 절점변위, 부재내력, 지점반력의 산출

구조물에 대한 이동하중해석은 차량하중이 이동하면서 유발하는 하중에 대한 해석

을 수행하는 것으로 차량하중의 이동경로 전체에 대해 해석을 수행하여 최대값,

최소값을 계산하고 이동하중조건 결과로 사용합니다.

구조물에 대한 이동하중해석을 수행하기 위해서는 재하해야 할 차량하중, 차량하

중이 재하되는 차선이나 차선면, 차량하중의 재하방법 등을 정의하고, 차선이나 차

선면에 단위하중을 재하하여 영향선이나 영향면을 계산합니다.

영향선은 구조물의 차선을 따라가면서 단위하중을 재하하여 정적해석을 수행하고

각 성분들의 해석결과를 차선상에 나타낸 것입니다. 영향면은 구조물의 차선면내

에 위치한 판요소의 절점에 단위하중을 재하하여 해석한 결과를 하중작용점에 나

타낸 것입니다. 영향선이나 영향면의 계산이 가능한 결과에는 구조모델에 포함된

절점의 변위와 트러스요소, 보요소, 판요소의 부재력과 지점반력이 포함됩니다.

차량이동하중해석의 해석과정을 간략하게 정리하면 다음과 같습니다.

1. 차량하중, 이동하중재하방법, 차선이나 차선면 등을 정의합니다.

2. 차선이나 차선면을 사용하여 단위하중조건을 만들고 각 단위하중에 대한

정적해석을 수행하여 각 성분별 영향선이나 영향면을 계산합니다.

3. 차량하중의 재하방법에 따라 영향선 또는 영향면을 사용하여 차량의 이동

에 따른 해석결과들을 산출합니다.

Chapter 13. 이동하중해석

Chapter 13 | 이동하중해석


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이러한 과정을 거쳐 산출되는 해석결과들은 한 개의 이동하중조건에 대해 최대와

최소의 두 가지 해석결과를 갖게 되고 다른 하중조건들과의 조합이 가능합니다.

이동하중조건이 최대와 최소의 두 가지 해석결과를 갖기 때문에 하중조합을 하게

되면 조합된 결과 역시 최대와 최소의 두 가지 해석 결과를 갖게 됩니다. 해석의

결과로는 절점변위, 지점반력, 트러스, 보, 판요소의 부재내력 등이 출력되며, 이외

의 입력된 요소에 대해서는 강성만 고려되고 해석결과는 산출하지 않습니다

차량이동하중해석에서 사용하는 영향선 또는 영향면의 단위하중은 전체좌표계의 -

Z방향으로 작용하게 되며 이동하중해석 조건의 수는 무제한으로 사용이 가능합니

다.

영향선해석과 영향면해석은 동시에 수행될 수 없으며, 표 2.13.1은 각각의 특징과

용도를 정리한 것입니다.

표 2.13.1 영향선 및 영향면 해석의 용도 및 특징

구 분 영향선 해석 영향면 해석

용 도

주형에 의한 거동이 지배적인 교량

또는 교량의 입면 2차원 해석에 적

용(강박스교 등)

교축직각방향으로 차량이동하중

에 의한 구조적 거동의 변화가

큰 경우 (슬래브교, 라멘교 등)

영향 해석

결과의 표현

차선요소(보요소)상의 영향선으로

표현

차선면요소(판요소)상의 영향면으

로 표현

해석성분 절점변위, 지점반력, 부재내력 절점변위, 지점반력, 부재내력

해석대상요소 트러스, 보, 판요소 (기타요소는 해

석과정에서 강성효과만 기여)

트러스, 보, 판요소 (기타요소는

해석과정에서 강성효과만 기여)

하중

재하

방법

차륜하중 및

차선집중

하중

차선요소(보요소)에 집중하중으로

재하

차선을 구성하는 절점에 집중하

중으로 재하

차선분포

하중

차선요소(보요소)에 분포하중으로

재하

차선면요소(판요소)에 압력하중으

로 재하


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vil


영향선은 보요소상의 차선(Traffic Lane)을 따라가면서 단위하중(수직력 또는 편심

비틀림모멘트)을 재하하여 해석되며, 모델에 포함된 모든 절점과 트러스요소, 보요

소, 판요소, 그리고 지지점에 대해 절점변위, 요소내력, 반력성분으로 산출됩니다.

영향면은 차선면(Traffic Surface Lane)내에 위치한 판요소 절점에 단위하중(수직력)

을 재하한 해석 결과로부터 산출됩니다.

그리고 midas Civil은 산출된 영향선 또는 영향면을 이용하여 한국 도로교설계기준,

AASHTO1), Caltrans2), AREA3) 또는 사용자가 임의로 입력한 차량하중(Vehicle Live

Load) 및 재하조건에 대해서 변위, 반력, 트러스요소, 보요소, 판요소, Link요소에

대한 최대최소 설계치(Design Quantities)를 계산하여 출력하며, 보요소에 대해서는

보 부재력중 축력과 강약축에 대한 모멘트의 각 성분별 최대최소치 뿐 아니라 해

당 최대최소부재력과 동시에 발생하는 기타 내력성분도 산출합니다.

midas Civil은 입력된 다수의 차선과 차선면에 대해 양방향 주행조건, 편심비틀림조

건을 포함한 모든 재하가능 조건과 각 지간(Span)별로 입력된 충격계수(Impact

Fraction)를 고려하여 차량하중을 재하하게 되며, 재하되는 모든 차량하중(차륜, 차

선, 기타)에 대해 가장 불리한 조건에 대한 해석결과를 산출합니다.

해석모델에 트러스요소, 보요소, 판요소 이외의 요소(평면응력요소, 입체요소 등)가

포함되면 이 요소들은 구조물의 해석시 강성효과에만 반영되고 차량하중에 의한

부재력은 산출되지 않습니다.

이와 같은 제약은 차량하중이 재하되면 프로그램 내부에서 하중재하점의 개수만큼

에 해당하는 하중조건이 발생하게 되고, 이를 해석적으로 소화하기 위해서는 해석

소요시간에 대한 문제뿐 아니라 대용량의 데이터에 따른 문제를 해소하기 위한 것

입니다.

1) ; ASSHTO, Standard Specifications for Highways Bridges, The American Association of State

Highway and Transportation Officials, Inc in USA. 2) ;Caltrans, Bridges Design Specifications Manual, State of California, Department of Transportation

in USA. 3) ;AREA, Manual for Railway Engineering , American Railway Engineering Association in USA.



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vil

midas Civil에서 이동하중해석을 수행하기 위한 절차는 다음과 같습니다.

1. 구조물을 모델링 합니다. 이 때 차선을 배치하고자 하는 차선요소는 보요

소(변단면 보요소)를 사용해야 하고, 차선면을 배치하고자 하는 차선면요소

는 판요소를 사용하여 모델링 하여야 합니다.

2. 구조물 모델상에 차량이동경로 및 설계차선수, 차선폭 등을 고려하여 차선

이나 차선면을 배치합니다.

3. 연속교일때 내부지지점의 위치를 지정합니다. 이 과정은 한국 도로교설계

기준과 AASHTO Standard에서 정하고 있는 “연속보에서 차선하중으로 최

대 부모멘트를 구할때는 고려하는 지점의 좌우 두 지간의 분포차선 하중과

두 지간에 가장 불리한 위치에 같은 크기의 집중하중을 각각 두어야 하며

…” 조건을 고려하기 위한 것입니다.

4. 차선이나 차선면상에 재하할 차량하중을 정의합니다. 차량하중은 한국 도

로교설계기준 또는 AASHTO Standard 등에서 정하고 있는 표준차량하중을

사용할 수 있고, 별도로 사용자가 원하는 차륜하중 또는 차선하중을 만들

어서 입력할 수도 있습니다.

5. 요구되는 설계조건을 고려하여 차량하중을 재하 하고자 하는 차선 또는 차

선면과 재하조건을 입력합니다.

6. 해석을 수행합니다.

7. 차량하중조건과 기타 정적　동적하중조건에 대한 해석결과를 조합합니다.

영향선이나 영향면만을 구할 경우에는 두번째 단계까지만 필요하며, 세번째 단계

인 지지점의 입력단계는 최대 부모멘트 연산용 집중차선하중을 지점을 기준으로

좌우 두 지간에 동시에 같은 크기로 재하하는 경우에만 사용되기 때문에 설계시

그러한 조건을 고려하지 않을 경우에는 별도로 입력할 필요가 없습니다.

midas Civil에서 차량하중은 전체좌표계 Z축의 반대방향으로 입력되기 때문에 구조

물의 모델은 중력방향이 전체좌표계 -Z축의 방향이 되도록 입력되어야 합니다.

차량하중은 지정된 차선(Traffic Lane)이나 차선면(Traffic Surface Lane)을 통하여 구


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vil


조물에 재하 됩니다. 그리고 차선이나 차선면은 설계기준에서 요구하는 설계차선

수 및 설계차선폭을 고려하여 교축직각방향으로 여러 개를 배치할 수 있습니다.

일반적인 경우에 차선간의 간격이나 차선과 차선요소간의 간격은 상호 평행하게

배치되지만 곡선형 입체교차로에서와 같이 2개 이상의 도로가 만나는 교차구간에

대해서 반드시 평행되게 배치할 필요는 없습니다.

midas Civil을 이용하여 구조물을 모델링할 때 상부구조를 단일차선 요소열로 모델

링할 수도 있고, 필요에 따라 격자형 모델을 이용할 경우에는 각 종형을 여러 개

의 차선요소열로 모델링할 수도 있습니다. 또한 슬래브나 라멘 형태의 교량인 경

우에는 판요소를 사용하여 모델링 하면 됩니다.

13-1-1 차선 (Traffic Lane)

영향선해석에서 차선은 그림 2.13.1과 같이 한 개의 보요소(이하 변단면 보요소 포

함) 또는 상호 연결 입력되어 있는 일련의 보요소열 상에 놓이거나 보요소열과 편

심을 이루면서 배치됩니다. 여기서 차선을 배치하는데 사용된 보요소열을 차선요

소열이라 합니다.

차선요소열에서 임의 요소의 j (또는 N2)절점의 위치는 반드시 후행하는 요소의 i

(또는 N1)절점으로 사용되거나 동일위치에 있도록 배치되어야 하며, 불가피한 경

우 비록 위치가 일치하지 않더라도 동일 차선요소열의 인접 차선요소간의 길이방

향 이격거리를 최소화하는 것이 해석결과의 정확도 확보에 유리합니다. 가령 일정

간격을 가진 2개 이상의 차륜집중하중이 배치될 때 차륜간격보다 인접 차선요소간

의 이격거리가 클 경우에는 일부 차륜집중하중을 고려할 수 없게 됩니다. 그러나

차선의 폭방향 및 수직방향 이격거리는 크게 영향을 미치지 않습니다. 차선요소의

요소좌표계 z축은 전체좌표계 Z축과 평행하거나 평행에 근접하도록 배치되어야 하

며, 차선요소의 요소좌표계 x축은 전체좌표계 Z축에 평행하게 배치될 수 없습니다.

영향선에서 모든 차량하중은 차선의 중심선에 재하되어 차선요소로 전달됩니다.

그리고 영향선을 구하기 위해 차선과 차선요소의 위치가 일치하면 단위수직하중만

차선을 통해 차선요소로 입력되고, 차선의 위치가 차선요소와 횡방향으로 편심배

치되어 있는 경우에는 단위수직하중과 추가로 단위비틀림 모멘트가 차선요소에 입

력됩니다.



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vil

차선과 차선요소 사이의 편심량(Eccentricity)은 차선요소의 중심에서 요소좌표계

(+)y축 방향(또는 (-)y축 방향)으로 차선위치까지의 수직거리입니다. 그리고 편심량

의 부호는 해당차선의 하중이 요소좌표계 x축에 대해 정방향의 비틀림을 유발하게

되는 경우, 즉 해당차선이 요소좌표계 x축을 기준으로 (-)y축 방향쪽으로 위치하면

양(+)이 되고, (+)y축 방향쪽에 위치하면 음(-)이 됩니다. (“보요소” 참조)

(a) 차선요소와 차선의 배치개념도

(b) 편심량의 부호

그림 2.13.1 차선, 차선요소 및 편심량의 상관관계

positive torsion about ECS x-axis

traffic lane element

vehicle load

traffic lane (centerline)

vehicle load

traffic lane (centerline)

negative torsion about ESC x-axis

ECC (negative) traffic lane element

ECC (positive)

traffic lane (centerline) with negative eccentricity

- - - - : traffic rain (centerline) —— : line of traffic lane elements

traffic lane (centerline) with positive eccentricity

traffic lane element


mid

asCi

vil


편심량은 차선요소 별로 각각 별도로 주어질 수 있기 때문에 차선이 차선요소 열

을 따라가면서 가변적으로 배치될 수 있습니다.

그림 2.13.1와 같이 차선이 입력되면 영향선을 구하기 위해 차선요소에 단위 수직

하중과 단위 비틀림모멘트(편심이 주어졌을 경우)를 작용시키게 되는데, 이때 하중

작용점의 위치는 차선요소의 양단부 절점과 요소길이의 1/4, 1/2, 3/4 위치로 프로

그램 내부에서 자동 설정됩니다. 그리고 이 하중은 i쪽 절점부터 j쪽 절점으로 진

행하면서 순차적으로 가해집니다.

차량이동하중을 고려할 때 모든 해석결과치의 정확도는 상기의 하중작용점(보요소

의 양절점과 길이를 4등분한 점)의 간격에 직접적인 영향을 받기 때문에 보다 정

밀한 해석을 요하는 부위나 차선요소(보요소)의 길이가 너무 긴 경우 요소를 보다

세분하는 것이 바람직합니다.

13-1-2 차선면 (Traffic Surface Lane)

차선면(Traffic Surface Lane)은 이동하중의 2방향 분포효과가 큰 라멘이나 슬래브

구조물에서 차량이 이동하는 영역을 지정하는데 사용되며, 차선면요소와 차선절점

열로 구성됩니다. 차선면은 구조물의 영향면해석과 이를 사용한 차량이동하중해석

에 사용되며, 그림 2.13.2와 같이 일련의 차선면요소와 차선절점열로 구분됩니다.

영향면이란 하중의 재하가 2방향 분포를 갖는 구조물에서 하중재하가 가능한 모든

위치에 단위하중을 작용하여 발생하는 결과값들을 하중재하의 위치에 나타낸 것으

로, 특정한 성분(변위, 반력, 부재력 등)에 대한 하중의 재하위치별 영향을 의미하

며, 이동하중해석에 필수적으로 사용됩니다. 이러한 영향면을 구하기 위한 해석과

정을 영향면 해석이라 하고, 이에 필요한 입력은 하중의 재하가 가능한 영역이 됩

니다. midas Civil에서는 차량이 직접 이동하는 차선면과 사용자가 필요한 영역에

대해 추가적으로 입력된 판요소를 영향면 해석을 위한 하중재하영역으로 간주합니

다. midas Civil은 영향면영역으로 입력한 모든 판요소의 각 절점에 각각 단위 연직

하중을 가하여 정적해석을 수행하고, 이 해석결과로부터 각 성분별(변위, 반력, 부

재력) 영향면을 구합니다.



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vil

차선면요소는 차량이 이동하는 차선면 영역을 지정하는 것으로 차선폭, 차선절점

열과 편심거리로 입력되며 중복입력이 가능합니다. 또한 각 요소별로 경간길이에

따른 충격계수의 입력이 가능하고 차선하중(DL)의 분포압력하중 재하에 사용됩니

다.

그림 2.13.2 차선면의 차선면요소와 차선절점열

차선절점열과 편심거리는 집중차량하중이 이동하는 선을 구성합니다. 차선면의 중

심이 교축방향을 기준으로 차선절점열의 오른쪽에 있으면 양(+)의 편심거리를 갖

게 되고, 차선절점열의 왼쪽에 놓이게 되면 음(-)의 편심거리를 갖게 됩니다. 차선

절점열은 차선면내의 절점으로 입력되며, 입력순서로 차량진행방향을 결정하기 때

문에 반드시 입력순서를 고려하여야 하고, 중복입력은 허용하지 않습니다. 각 절점

별로 경간 길이에 따른 충격계수의 입력이 가능합니다. 차선절점열은 편심거리와

차선폭을 사용하여 차선면을 구성하는데 기준이 되므로, 가능한한 차선면의 중심

에 가까운 절점열을 사용하는 것이 바람직합니다.

지점과 인접한 요소를 입력하여 설계기준에서 요구하는 차선하중(DL)의 추가적인

부(-)모멘트 계산이 가능합니다

midas Civil은 차선 또는 차선면이 입력되면 상기의 과정을 통해 다음과 같은 5가

지 종류의 설계 변수에 대해 영향선 또는 영향면을 산출합니다.

: line of traffic lane nodes : zone of traffic lane surface : centerline of traffic surface lane

range of loading effect in influence surface analysis

axis of bridge

centerline of traffic surface lane

traffic lane node

eccentricity width of traffic lane

traffic surface lane element


mid

asCi

vil


(a) 점 A 위치의 전단력 영향선도

(b) 점 A 위치의 굽힘모멘트 영향선도

(c) 점 B 위치에서의 수직변위 영향선도

(d) 지지점 C 위치에서의 수직반력 영향선도

그림 2.13.3 3개의 지지점을 가진 사장교의 각 성분별 영향선도

MAX. 0.8933

MIN. 0

MAX. –0.0001288

MIN. 0

MAX. 20.7436

MIN. –2.4523

Pylon Cable MAX. 0.6277

MIN. –0.3723



mid

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vil

(a) 좌측 경간 중앙 절점의 변위(Dz)에 대한 영향선도

(b) 중앙교각부의 중앙 절점 반력(Fz)에 대한 영향면도


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vil


(c) 좌측 경간 중앙부 판요소의 모멘트(Mxx)에 대한 영향면도

(d) 좌측 경간 중앙부 판요소의 전단력(Vxx)에 대한 영향면도

그림 2.13.4 2경간 슬래브교에 대한 각 성분별 영향면도



mid

asCi

vil

전체좌표계를 기준으로 모든 절점에서 6개 자유도성분에 대한 변위 영향

선 또는 영향면

전체좌표계를 기준으로 각 지지점에서 6개 자유도성분에 대한 반력 영향

선 또는 영향면

요소좌표계를 기준으로 모든 트러스요소의 축력에 대한 영향선 또는 영향

면

요소좌표계를 기준으로 모든 보요소(또는 변단면 보요소)의 양 절점과 요

소의 길이를 4등분한 위치(5개소)에서 6개 내력성분에 대한 영향선 또는

영향면

요소좌표계를 기준으로 모든 판요소의 단위길이에 대한 8개의 부재내력에

대한 영향선 또는 영향면

상기의 영향선 또는 영향면은 후처리모드(Post-Processing Mode)를 통해 화면상에

도화 처리되거나 프린터로 출력됩니다.

midas Civil은 차량이동하중에 의한 구조적 응답을 계산하는데 영향선 또는 영향면

을 사용하고, 하중작용점 사이의 구간에 대해서는 선형보간한 값을 사용합니다.


mid

asCi

vil


midas Civil에서 차량하중을 입력하는 방법은 다음과 같이 두 가지가 있습니다.

1. 차륜하중과 차선하중을 사용자가 직접 입력하는 방법

2. 한국 도로교설계기준, AASHTO, Caltrans Standard 등에서 정하고 있는 각종

표준차량하중을 입력하는 방법

첫째 방법은, 차륜하중과 차선하중을 사용자가 직접 입력하는 방법입니다. 차륜의

입력시에는 그림 2.13.5와 같이 집중차륜하중과 차축간의 간격을 지정하게 됩니다.

그리고 최후륜축과 인접한 차축간의 간격이 가변적일 때는 차축간격을 입력하는

마지막항에 가변범위의 최소간격과 최대간격을 동시에 입력합니다. 차선하중은 그

림 2.13.6과 같이 위치가변성 차선집중하중과 차선분포하중으로 구성됩니다. 차선

집중하중에는 최대최소모멘트 계산용 하중(PLM), 최대최소전단력 계산용 하중

(PLV), 그리고 모멘트 및 전단력에 대한 구분없이 모든 해석결과에 적용되는 하중

(PL) 등이 있습니다. 차선분포하중은 차선 전체길이에 걸쳐서 작용할 수 있는 것으

로 가정되며, 발생가능한 조건중 가장 불리한 설계치를 산출하는 구간에만 프로그

램 내부에서 조정, 재하됩니다. 대부분의 설계기준에서는 차륜하중과 차선하중이

동시에 작용하지 않는 것으로 정하고 있으나, midas Civil에서는 사용자의 필요에

따라 동시에 작용하는 조건을 고려할 수도 있습니다.

둘째 방법은, 각종 설계기준에서 정하고 있는 표준차량하중의 명칭을 지정함으로

써 프로그램 내부에 등록되어 있는 데이터베이스로부터 표준차량하중을 자동으로

재하하도록 하는 방법입니다. midas Civil의 차량하중 데이타베이스에 대한 내용은

다음 표와 그림을 참조하기 바랍니다.



mid

asCi

vil

규 준 표준차량하중 명칭

한국 도로교설계기준 DB-24, DB-18, DB-13.5,

DL-24, DL-18, DL-13.5

한국 철도설계기준

L-25, L-22, L-18, L-15,

S-25, S-22, S-18, S-15,

HL, EL25, EL22, EL18

AASHTO Standard

H15-44, HS15-44, H15-44L, HS15-44L,

H20-44, HS20-44, H20-44L, HS20-44L,

HS-25, HS-25L, AML

AASHTO LRFD HL-93TRK, HL-93TDM, HS20-FTG

Caltrans Standard P5, P7, P9, P11, P13, P15

PENNDOT PHL-93TRK, PHL-93TDM, PHS20-FTG,

P-82, ML-80, TK-527

China CH-CD, CH-CL, CH-RQ

India Class A, Class B, Class 70R,

Class 40R, Class AA, Footway

Taiwan

HS20-44(MS18), HS15-44(MS13.5), H20-44(M18),

H15-44(M13.5), H10-44(M9), HS-20-44(MS18),

HS-15-44(MS13.5), H-20-44(M18),

H-15-44(M13.5), H-10-44(M9), C-AML

Canada CL-625 Truck, CL-625 Lane

BS HA & HB

Eurocode Load Model 1~4, Fatigue Load Model

Russia SK, SK Fatigue, AK, N14, N11,

Subway Trains, Trancars, NK-80, NG-60

기타차량하중 CE-80(Cooper E80 Train Load)

UIC80(UIC80 Train Load)

표 2.13.2 각 규준별 표준차량하중 명칭


mid

asCi

vil


그림 2.13.5 집중차륜하중의 정의방법

Influence Line

(b) influence Surface

그림 2.13.6 차선하중의 정의방법

centerline of traffic surface

variable location

variablelocation

variable location

concentrated trafficlane load

W distributed traffic lane load

W width of traffic lane

traffic surface lane

W distributed traffic lane load

traffic lane

variable location

variable location

variable location

concentrated traffic lane load

P# : Concentrated wheel load

traffic lane

From minimum Dn-1 to



mid

asCi

vil

Load Class P1

[kN]

P2

[kN]

P3

[kN]

PS

[kN]

PM

[kN]

W

[kN/m]

w

[kN/m2]

DB-24 or DL-24 48 192 192 156 108 12.70 12.70/3

DB-18 or DL-18 36 144 144 117 81 9.50 9.50/3

DB-13.5 or DL-13.5 27 108 108 878 608 0710 0710/3

그림 2.13.7 한국 도로교설계기준의 DB 및 DL 하중

DB load

P1 : front axle load P2 : middle axle load P3 : rear axle load Ps : concentrated lane load for shear calculation Pm : concentrated lane load for moment calculation W : distributed lane load(for influence line) w : distributed lane load (for influence surface) 4.2 m 4.2m ~ 9.0m

DL load

variable location variable location

variable range of loading application(∞)

[ For influence surface ]

wdith of traffic lane

w

DL load

[ For influence line ]

variable location variable location

W

variable range loading application(∞)


mid

asCi

vil


그림 2.13.8 AASHTO Standard H 또는 HS Vehicle Loads, Alternative Military Load

H20-44 Truck load

14

18 kips

32 kips

H20-44 Truck load

14 14' ~ 30'

8 kips

32 kips 32 kips

variable location

variable location

variable (∞)

[ For influence line ]

0.640 kips/ft

18 kips 26 kips

AML Load

[ For influence surface ]

variable (∞)

H20-44L or HS20-44L Lane Load

0.064 kips/ft

18 kips 26 kips

24kips24kips

variable location

variable location



mid

asCi

vil

그림 2.13.9 Caltrans Standard Permit Loads

54 kips

18` 18` 18` 18` ~ 60` 18` 18` 18` 18`

26 kips

54 kips54 kips

P15 Permit Load

54 kips 54 kips 54 kips 54 kips 54 kips

18'18'P5 Permit

26

4848

18'18'18'P7 Permit

26

48 48 48

P9 Permit18' 18' 18' 18'

26

48 48 48 48

P11 Permit18' 18' 18' 18' 18'

26

48 48 48 48 48

P13 Permit

18' 18' 18' 18' 18' 18'

26

48 4848 484848


mid

asCi

vil


Class P1

[kN]

P2

[kN]

P3

[kN]

P4

[kN]

P5

[kN]

P6

[kN]

W

[kN/m]

L-15 75 150 100 75 150 100 50

L-18 90 180 120 90 180 120 60

L-22 110 220 440/3 110 220 440/3 220/3

L-25 125 250 500/3 125 250 500/3 250/3

(a) 표준열차하중 (L하중)

(b) 표준열차하중 (S하중)

(c) HL 표준열차하중 (고속철도)

그림 2.13.10 한국 표준열차하중

Class P1[kN]

S-15 1650/9

S-18 220

S-22 2420/9

S-25 2750/9

80 kN/m 80 kN/m 250 kN 250 kN 250 kN 250 kN



mid

asCi

vil

그림 2.13.11 는 특수목적 차량의 모델링에 사용할 수 있는 Permit 차량입니다. 차

량의 차축의 개수나 바퀴의 개수는 사용자가 임의로 선언할 수 있습니다. Permit

차량은 Permit 이동하중 조건을 사용하여 재하할 수 있습니다. 차량의 바퀴의 위치

마다 자동으로 내부적인 차선을 만들어 영향선 해석을 수행하고 차량의 진행에 따

른 결과를 계산하여 최대/최소값으로 이동하중조건의 결과를 생성합니다. Permit

하중은 각 횡방향 차선에 대하여 독립적인 영향선을 계산하고 이를 활용하여 결과

를 구합니다. Permit 차량은 항상 일체된 차량으로 가정하기 때문에 일반 차량과

달리 영향선의 부호에따라 일부 차축의 하중을 재하하지 않는 경우는 발생하지 않

습니다.

그림 2.13.11 Caltrans Permit Load(User Defined)

Axle 1Center ofVehicle

EccentricityWheel

Center of Ref. Lane

Axle 2 Axle 3

P1

P1

P1

P1P1

P1

P1

P1

P1

P1

P1P1

P1

P1

P1

P1P1

P1

P1

P1

P1

P1

P2

P2

P2

P2

P2

P2

P2

P2

P2

P2

P2

P2

P2

P2

P2

P2

P2

P2


mid

asCi

vil


상기와 같은 방법을 통해 차량하중이 입력되면 차량하중은 전체좌표계 -Z축 방향

으로 재하되고, 계산된 영향선 또는 영향면을 이용하여 지정된 이동하중조건에 따

라 최대최소 설계변수(부재내력, 절점변위, 지점반력)를 산출합니다.

영향선 또는 영향면을 이용하여 최대최소 설계변수를 산출하는 개념은 다음과 같

습니다. 차량집중하중의 경우는 임의 위치의 설계변수를 구하기 위하여 해당 영향

선 또는 영향면의 값과 차량집중하중의 값을 곱하게 되고, 차선분포하중의 경우는

차선 전구간의 영향선(영향면)을 양(+)과 음(-)의 구간 또는 영역으로 구분하여 구

분된 영향선 또는 영향면 영역을 해당구간 또는 영역에 대하여 적분한 값과 차선

분포하중값을 곱함으로써 최대최소 설계변수를 구하게 됩니다. (그림 2.13.12 참조)

(a) 집중차량하중(P)의 재하시 최대최소 휨모멘트의 연산방법

(b) 차선분포하중(W)의 재하시 최대최소 휨모멘트 연산방법

그림 2.13.12 집중 및 분포차량하중의 재하시 최대최소 설계변수의 연산방법

Influence line for bending moment at point B

distributed lane load

concentrated vehicle load

influence line for bending moment at point A

maximum positive moment at point A = P Imax maximum negative moment at point A = P Imin



mid

asCi

vil

그리고 차선하중에서 지지점이 입력되면 한국 도로교설계기준과 AASHTO Code에

서 정하고 있는 “연속보에서 차선하중으로 최대 부모멘트를 구할 때는 고려하는

지점의 좌우 두 지간에 등분포 차선하중과 두 지간에서 가장 불리한 위치에 같은

크기의 집중하중을 각각 두어야 하며…”의 규정에 따라 최대최소모멘트 계산용 차

선집중하중이 재하 됩니다. (그림 2.13.13 참조)

그림 2.13.13 연속보에서 최대부모멘트 연산용 차선하중의 재하방법

concentrated design lane loads placed at the maximum points of influence line to find the maximum negative moment

distributed design lane loads

placed over the negative (-)

loading condition

influence line for negative momement at support B

location of maximum negative moment influence line in span A-B

location of maximum negative moment influence line in span B-C


mid

asCi

vil


차량의 바퀴간의 횡방향폭을 반영하여 이동하중 해석을 하고자하는 경우에는 차선

의 선언시에 Wheel Spacing 을 입력하면 됩니다. Wheel Spacing 을 입력한 경우에

는 Wheel Spacing을 고려하여 그림 2.13.14과 같이 영향선을 생성하고, 각 Wheel

하중을 재하하여 해석을 수행합니다. Wheel Spacing 이 영인 경우에는 1개의 Line

에 대한 영향선을 사용합니다. 입력창에서는 Code에 따라 Default 값을 보여주고

있습니다.

그림 2.13.14 Wheel Spacing 을 입력한 경우의 차량하중의 재하방법



mid

asCi

vil

다축의 집중차륜하중이 한 조로 재하될 때 해석작업의 효율성을 고려하여 midas

Civil에서 사용할 수 있는 재하방법은 다음과 같습니다

1. 이 방법은 다축 집중차륜하중을 구성하고 있는 개개의 집중하중을 순차적

으로 차선을 따라 이동하면서 매 하중작용점에 재하하게 되고, 다축의 집

중차륜하중 중의 나머지 집중하중이 하중작용점 사이에 위치할 경우에는

인접한 두 개의 하중작용점에서의 영향선(또는 영향면) 값을 보간하여 계

산하는 방법입니다. 따라서 이 방법은 주어진 영향선(또는 영향면)의 정확

도 범위 내에서 정확한 설계치를 산출합니다. 그러나 이 방법은 차선을 따

라가면서 모든 하중작용점에 재하하기 때문에 해석소요시간이 길어지는 단

점이 있습니다. 사용자지침서에서는 이 방법을 ‘E’(Exact)라고 약칭합니

다. (그림 2.13.15 참조)

2. 방법 1에서는 개개의 집중하중을 차선을 따라 이동하면서 매 작용점에 재

하하는 반면, 이 방법은 영향선(또는 영향면) 내에서 최대최소 설계변수가

발생한 위치에만 재하시키게 되며 나머지는 방법 1과 같습니다. 사용자지

침서에서는 이 방법을 ‘Q’(Quick)라고 약칭합니다. (그림 2.13.16 참조)

3. 방법 1에서는 다축 집중차륜하중을 구성하고 있는 개개의 집중하중을 순차

적으로 매번 차선을 따라 이동재하하는 반면, 이 방법에서는 1개의 기준차

축을 선정하여 매 하중작용점에 재하하고 나머지 차축에 의한 영향은 보간

한 값을 사용합니다. 여기서 기준차축은 차량무게중심에서 가장 가까운 위

치에 있는 차축으로 midas Civil 내부에서 자동 설정됩니다. 사용자지침서에

서는 이 방법을 ‘P’(Pivot)라고 약칭합니다. (그림 2.13.17 참조)

상기 재하방법중 예비설계 단계에서는 방법 2를 이용하고, 방법 1 또는 3은 최종

설계 단계에서 사용하는 것이 효과적입니다.

또한, 2개 이상의 집중차륜하중이 한 조로 재하될 때, 앞뒤의 하중값 또는 차축간

격이 서로 상이해서 비대칭으로 재하될 경우에는 차량의 주행방향에 따라 차량하

중이 미치는 영향이 다르기 때문에 양방향 주행효과를 고려하여 차선요소에 재하

됩니다.


mid

asCi

vil


그림 2.13.15 ‘E’(Exact) 방법에 따른 집중차륜하중의 재하개념

Stage 3

Axle load applied to the line 2nd point of loading application Axle load applied between the starting point and the 2nd point of loading application

Stage 4

Last stage

Axle load applied between the 2nd & 3rd pointsof loading application Axle load applied to the 2nd point of loading application

Axle load applied to the end point

A moving vehicle load composed of two axle loads &

Axle load applied to the starting point of load application

Stage 1

Starting point of traffic lane

point of loading application

End point of traffic lane

Stage 2

Axle load applied between the starting point and the 2nd point of loading application Axle load applied to the starting point



mid

asCi

vil

그림 2.13.16 ‘Q’(Quick) 방법에 따른 집중차륜하중의 재하개념

Node

A moving vehicle load composed of two axle loads &

location of maximum positive moment

influence line for moment

Axle load applied to the location of maximum positive moment Axle load applied next to the location of maximum positive moment

Traffic lane

location of maximum positive moment

Stage 1

Axle load applied to the location of maximum positive moment Axle load applied next to the location of maximum positive moment

Stage 2

Axle load applied to the location of maximum negative moment Axle load applied next to the location of maximum negative

tStage 4

Axle load applied to the location of maximum negative moment Axle load applied next to the location of maximum negative moment

Stage 3


mid

asCi

vil


그림 2.13.17 ‘P’(Pivot ) 방법에 따른 집중차륜하중의 재하개념

A moving vehicle load composed of two axle loads & if axle load is reference axle

Only the reference axle is sequentially applied to the points of loading application, and the remaining axle is applied between the points of loading application

Stage 1

Stage 2

Stage 3

Stage 4



mid

asCi

vil

교량구조물의 해석시 가장 불리한 조건의 설계변수(부재내력, 변위, 지지점반력 등)

를 도출하기 위해서는 모든 차량이동하중 재하조건이 고려되어야 합니다. 즉, 설계

차량하중의 그룹과 차선수가 여러 개일 경우, 고려해야할 설계차량하중이 동시에

재하되어야 하는 것인지, 아니면 여러 설계차량하중 그룹 중에서 가장 불리한 조

건의 차량하중만 고려되어야 하는지, 그리고 동시에 재하가능한 임의의 차량하중

이 여러 차선중 특정 차선에만 재하되는 것인지, 또한 여러 차선에 차량하중을 동

시에 재하할 경우 감소율은 동시 재하차선수에 따라 얼마나 적용할 것인지 등 설

계변수에 영향을 미치는 모든 조건을 고려하여야 합니다.

midas Civil는 이와 같은 설계조건을 고려하여 순열조합방법을 통해 모든 발생가

능한 조건에 대한 최대최소 설계변수를 산출합니다.

midas Civil에서 최대최소 설계변수를 산출하는데 필요한 데이터는 다음과 같습니

다.

설계차량하중 그룹과 재하할 차선번호

동시에 재하할 수 있는 최소최대차선수

동시에 재하할 차선수에 따른 차량하중 감소율

Permit Load 인 경우에는 특성에 맞는 입력방법 사용

그림 2.13.18 구조물 모델

Centerline of traffic lane 1

CL of 2

CL of 3

CL of 4

(a) 평면도

(b) 입면도


mid

asCi

vil


다음은 midas Civil에서 이동하중 순열조합에 대한 개념을 설명하기 위한 예입니다.

[ 예제1 ] 한국도로교설계기준의 DB-24, DL-24 하중조건을 고려하여 4개 차선을

가진 구조물의 해석

1. 이동하중으로 “한국도로교설계기준 을 선택합니다.

Main Menu에서 Load탭>Load Type그룹>Moving Load>Moving Load

Code>Korea를 선택합니다.

2. 차선을 입력합니다.

Moving Load Analysis Data그룹>Traffic Line Lanes을 선택하면 아래와 같

이 Traffic Line Lanes의 입력상황을 보여주는 대화상자가 활성화됩니다.

새로운 차선을 정의하기 위해선 아래 그림과 같은 차선입력 대화상자를 호

출합니다. Lane Name에 차선 이름을 입력하고, 차선을 이루는 일련의 보요

소를 선택한 후 편심거리(Eccentricity)와 충격계수를 입력하여 차선을 정의

합니다.

차선입력 대화상자



mid

asCi

vil

3. 차량하중을 입력합니다.

Moving Load Analysis Data그룹>Vehicles의 Add Standard에서 원하는 기준

을 선택한 후(여기에서는 Korean Standard Load), 원하는 하중을 선택하여

입력합니다.

차량하중의 정의

DB-24와 DL-24 중에서 불리한 조건을 고려하기 위해 다음 그림과 같이 동

일한 차량하중그룹(Class 1)을 사용합니다.

차량하중그룹입력


mid

asCi

vil


4. 차량하중의 재하방법을 입력합니다.

Main Menu의 Analysis탭>Analysis Control그룹>Moving Load Analysis

Control 에서 그림과 같이 ‘Exact’을 선택하고 차량하중의 재하방법을

지정합니다.

차량하중의 재하방법



mid

asCi

vil

5. 차량하중이 동시에 재하되는 차선수에 대한 차량하중 감소율을 입력합니다.

아래 그림과 같이 동시에 재하되는 차선수가 1에서 4까지 변할 때의 차량

하중감소율을 입력합니다.

차량하중이 동시에 재하되는 차선수에 대한 차량하중 감소율

다음과 같이 차량하중그룹, 재하될 차선, 재하되는 최대ㆍ최소 차선 수를

사용하여 차량하중 재하조건을 입력합니다

차량하중그룹과 차선을 사용한 차량하중 재하조건의 입력

이상의 입력된 조건에 따라 midas Civil에서 자동으로 순열 조합되는 조건

의 개수는 아래의 표와 같이 15가지가 되고, 최대 최소설계변수는 이 15가

지 조건에 대해 가장 불리한 값으로 각각 산출됩니다


mid

as C

ivil


순열조합 조건번호

재하될 차선번호 차량하중

감소율 #1 #2 #3 #4

1 DB-24 or

DL-24 1.0

2 DB-24 or

DL-24 1.0

3 DB-24 or

DL-24 1.0

4 DB-24 or

DL-24 1.0

5 DB-24 or

DL-24 DB-24 or

DL-24 1.0

6 DB24 or DL-24

DB-24 or

DL-24 1.0

7 DB-24 or

DL-24

DB-24 or DL-24

1.0

8 DB-24 or

DL-24 DB-24 or

DL-24 1.0

9 DB-24 or

DL-24

DB-24 or DL-24

1.0

10 DB-24 or

DL-24 DB-24 or

DL-24 1.0

11 DB-24 or

DL-24 DB-24 or

DL-24 DB-24 or

DL-24 0.9

12 DB-24 or

DL-24 DB-24 or

DL-24

DB-24 or DL-24

0.9

13 DB-24 or

DL-24

DB-24 orDL-24

DB-24 or DL-24

0.9

14 DB-24 or

DL-24 DB-24 or

DL-24 DB-24 or

DL-24 0.9

15 DB-24 or

DL-24 DB-24 or

DL-24 DB-24 or

DL-24 DB-24 or

DL-24 0.75

“DB-24 or DL-24”는 두

가지 차량하중조건에 대해

불리한 최대•최소 설계변

수를 산출한다는 의미이

다.



mid

asCi

vil

[ 예제2 ]. “예제1”의 모델을 이용하여 Caltrans Combination Group Ipw에 따라 임의

의 1개 차선에 P13 하중과, 나머지 1개 차선에 AASHTO의 HS Vehicle Load를 재

하하는 이동하중에 대한 해석

1. “예제1”과 같이 차선요소에 차선을 배치합니다.

2. 다음과 같이 차량하중을 입력하고 차량하중그룹을 Class 1(HS20-44, HS20-

44L)과 Class 2(P13)로 분류합니다.

차량하중과 차량하중그룹의 입력

3. 하중재하방법을 “예제 1”과 같이 Exact 방법을 사용합니다

4. 다음과 같이 차량하중그룹, 재하될 차선, 재하되는 최대ㆍ최소 차선 수를

사용하여 차량하중 재하조건을 입력합니다.

차량하중그룹과 차선을 사용한 차량하중 재하조건의 입력


mid

asCi

vil


5. Caltrans Combination Group Ipw에서는 P13 하중은 반드시 임의 1개 차선

에 재하되어야 하고, 나머지 임의 1개 차선에 HS 하중을 재하하도록 정하

고 있으며, HS 하중이 재하되지 않는 조건에 대해서도 검토하도록 하고 있

습니다. 따라서 2단계에서 HS 하중과 P13 하중에 대해서는 별도의 차량하

중그룹을 1, 2로 각각 부여하고, 4단계에서 HS 하중에 대해서는 최대·최소

재하가능 차선수를 0, 1로 그리고 P13 하중의 경우는 반드시 임의 1개 차

선에 재하되어야 하기 때문에 1, 1로 입력합니다. 이상의 조건에 따라

midas Civil에서 자동으로 순열조합되는 조건의 개수는 아래 표와 같이 P13

하중만 재하되는 조건 4가지 그리고 P13과 HS 하중이 동시에 재하되는

조건 12가지로 재하가능한 하중조건은 모두 16가지가 됩니다.



mid

as C

ivil

순열조합 조건번호

재하될 차선번호 차량하중

감소율#1 #2 #3 #4

1 P13 1.0

2 P13 1.0

3 P13 1.0

4 P13 1.0

5 P13 HS20-44 orHS20-44L

1.0

6 P13 HS20-44 orHS20-44L

1.0

7 P13 HS20-44 or HS20-44L

1.0

8 HS20-44 orHS20-44L

P13 1.0

9 P13 HS20-44 orHS20-44L

1.0

10 P13 HS20-44 or HS20-44L

1.0

11 HS20-44 orHS20-44L

P13 1.0

12 HS20-44 orHS20-44L

P13 1.0

13 P13 HS20-44 or HS20-44L

1.0

14 HS20-44 orHS20-44L

P13 1.0

15 HS20-44 orHS20-44L

P13 1.0

16 HS20-44 orHS20-44L

P13 1.0

“HS20-44 or HS20-44L”

는 두가지 차량하중에 대

해 불리한 최대•최소 설계

변수를 산출한다는 의미이

다.


mid

asCi

vil


특수목적 차량인 Permit Vehicle을 사용하여 이동하중조건을 생성하는 경우에는 하

중의 특성에 맞는 데이터 입력이 필요하다. midas Civil 에서 Permit Vehicle 하중

을 사용하여 하중조건을 입력하는 방법은 아래와 같다. Permit Vehicle의 재하시에

는 Wheel Line 마다 독립적인 영향선을 필요하기 때문에 내부적으로 하중형태에

따른 차선을 자동생성한다. 이러한 하중특성 때문에 차량, 차선, 그리고 이동하중

조건이 일대일 대응되도록 한다. Permit Vehicle의 재하위치를 횡방향으로 이동하기

위해서는 추가적인 하중조건을 생성해야 한다. Permit Vehicle은 특정한 차량을 기

준으로 정의하기 때문에 영향선의 부호를 고려한 재하는 하지 않습니다. Permit

Vehicle의 재하는 그림 2.13.15의 Exact 방법을 사용합니다.

그림 2.13.19 Permit Vehicle 을 사용한 이동하중조건 데이터 입력

Chapter 14 | 구조물의 지점침하를 자동 고려한 해석


mid

asCi

vil

일반구조물에서 지점침하조건을 고려한 해석을 수행하기 위해서는 동시에 침하가

발생하는 지점들을 한 개의 침하그룹으로 하고, 각 침하그룹을 단위하중조건으로

하여 정적해석을 수행합니다. 그 후 단위하중조건들을 사용하여 침하가 가능한 경

우의 수에 대한 조합을 만들고, 그 결과들을 비교하여 최대 최소값을 구하여 이 값

들을 최종 설계조건으로 사용하게 됩니다. 이러한 일련의 작업들은 상당한 양의

해석, 하중조합, 결과들의 비교를 통한 최대 최소값의 선택 등의 작업을 필요로 합

니다. midas Civil은 이와 같은 지점침하조건을 프로그램 내부에서 자동적으로 처리

하는 기능을 내장하고 있으며 해석절차는 다음과 같습니다.

1. 사용자에 의해 사전에 입력된 지점침하가 동시에 발생가능한 지점침하그룹

과 침하의 크기를 사용하여 내부적인 단위하중조건을 생성합니다.

2. 각 단위하중조건에 대한 정적해석을 수행합니다.

3. 지점침하가 가능한 모든 경우의 수를 만들고, 그에 따라 해석결과들을 조

합하여 최대　최소값을 산출합니다.

이러한 과정을 거쳐 산출되는 해석결과들은 다른 하중조건의 결과들과 조합이 가

능합니다. 해석의 결과로는 절점변위, 지점반력, 트러스, 보, 판요소의 부재내력,

Link의 부재력 등이 출력되며, 그 이외에 입력된 요소에 대해서는 강성만 고려되고

해석결과는 산출하지 않습니다.

침하가 가능한 지점은 절점으로 입력되고 침하의 크기는 절점에 따라 다르게 입력

할 수 있습니다. 지점침하의 방향은 전체좌표계 Z축 방향을 따라야 하며 지점침하

그룹의 개수는 10개 이하로 제한되나, 1개 지점침하 그룹내에 입력되는 절점의 수

는 제한이 없습니다.

Chapter 14. 구조물의 지점침하를 자동 고려한 해석


mid

asCi

vil


강합성단면의 합성전 후 단면성질의 변화를 고려하기 위해서는 합성전 모델과 합

성후 모델에 대한 구조해석을 독립적으로 수행한 다음, 두 모델의 해석결과를 조

합하여 설계에 적용하는 과정을 거치게 됩니다. midas Civil은 이와 같은 해석과정

을 자동 처리하는 기능을 내장하고 있으며 해석 알고리즘은 다음과 같습니다.

1. 사용자에 의해 사전에 구분 입력된 합성전 단면성질과 해당조건을 고려하

여 정적 해석을 수행하고, 그 해석된 결과를 저장합니다.

2. 합성후 단면특성을 사용하여 합성전 하중조건을 제외한 정적, 동적, 차량이

동, 지점 침하 하중조건 등에 대한 해석을 수행하고 그 결과를 저장합니다.

합성전 하중조건에 사용되는 것은 정적하중 조건이어야 하고 하중조건의 개수는

15개 이하로 제한됩니다.

Chapter 15. 강합성단면의 합성전후 해석

Chapter 16 | 최적화기법을 사용한 미지하중의 해


mid

asCi

vil

대공간 구조물의 설계과정에는 그림 2.16.1과 같이 주어진 설계조건을 만족하는데

필요한 미지의 하중조건을 구하는 문제를 자주 접하게 됩니다. midas Civil에서는

이러한 문제들을 해결할 수 있도록 최적화기법을 도입하여 주어진 구속조건과 선

택한 목적함수에 대하여 최적의 변수값들을 산정해주는 기능을 내장하고 있습니다.

제한조건의 입력은 평형조건(Equality Condition) 및 부등평형조건(Inequality

Condition)에 대하여 가능하고, 목적함수(Object Function)의 종류로는 변수의 절대

값의 합( ), 변수 제곱의 합( )이 있고 변수들의 절대값의 최대값

( 1 2( , , )nMax X X X )의 선택이 가능합니다.

그림 2.16.1(a)는 장경간 보의 설계시 요구되는 모멘트의 분포를 인위적으로 만들

거나 보에 일정량의 초기변위를 부여하는데 필요한 Jack-up 하중을 구하는 문제입

니다.

그림 2.16.1(b)는 장경간 구조물의 시공단계 해석에서 구조물이 특정 변형형상을

가지도록 하는데 필요한 Leveling 하중을 구하는 문제입니다.

그림 2.16.1(c)는 사장교의 설계시 사하중 또는 활하중조건에 대해 주탑 상부의 횡

변위의 크기를 일정한 값 이하로 제한하고, B점과 C점에서의 수직변위가 양(+)의

값을 갖도록 제한하는데 필요한 케이블의 인장력을 구하는 문제입니다.

위와 같은 문제들은 평형조건(Equality Condition)이나 부등평형조건(Inequality

Condition)을 만들게 되며 midas Civil에서는 최적화기법을 사용하여 해석을 수행하

게 됩니다.

2

1

n

ii

X

1

n

ii

X

Chapter 16. 최적화기법을 사용한 미지하중의 해


mid

asCi

vil


다음은 그림 2.16.1(a)와 같은 구조물에서 평형조건(Equality Condition)을 사용하여

A점과 B점에 Jack-up 하중을 구하는 문제의 해석절차입니다.

1. 구하고자 하는 하중 대신 가상의 단위하중을 가하여 요구되는 미지하중의

개수만큼 단위하중조건을 생성합니다.

그림 2.16.1 (a)에서는 Jack-up 하중을 구하고자 하는 지점과 방향으로 단

위하중을 가하는 단위하중조건을 생성합니다.

2. 설계하중조건을 고려한 하중조건을 생성하고 해석을 수행합니다.

그림 2.16.1(a)의 경우에는 설계하중인 균일분포하중을 가하는 하중조건을

생성하고 정적해석을 수행합니다.

3. 제한조건들을 사용하여 평형조건(Equality Condition)을 구성합니다.

그림 2.16.1(a)의 경우에는 다음과 같은 평형조건(Equality Condition)이 구

성됩니다.

1 1 2 2A A AD AM P M P M M

1 1 2 2B B BD BM P M P M M

여기서

AiM : iP 작용방향으로 단위하중을 가한 단위하중조건의 A점 모멘트

BiM : iP 작용방향으로 단위하중을 가한 단위하중조건의 B점 모멘트

ADM : 설계하중조건의 A점 모멘트

BDM : 설계하중조건의 B점 모멘트

AM : 설계하중조건과 미지하중 1 2,P P 의 조합에서 가져야하는 A점 모멘트

BM : 설계하중조건과 미지하중 1 2,P P 의 조합에서 가져야하는 B점 모멘트

4. 선형대수법을 사용하여 평형조건(Equality Condition)을 만족하는 해를 구합

니다. 평형조건(Equality Condition)에서 미지수의 개수와 조건식의 수가 같

은 경우에는 행렬식이나 선형대수법을 사용하여 쉽게 해를 구할 수 있습니

다.

1

1 1 2

2 1 2

A A A AD

B B B BD

P M M M M

P M M M M



mid

asCi

vil

다음은 그림 2.16.1(c)와 같은 구조물에서 부등평형조건(Inequality Condition)을

만족하는 케이블의 인장력을 구하는 문제에 대한 해석절차입니다.

1. 구하고자 하는 하중 대신 가상의 단위하중을 가하여 요구되는 미지하중의

개수만큼 단위하중조건을 생성합니다.

그림 2.16.1(c)의 구조물에서는 인장력을 구하고자 하는 케이블 부재에 단

위크기의 Pre-tension 하중을 도입하는 단위하중조건을 미지의 인장력 개수

만큼 생성합니다.

2. 설계하중조건을 고려한 하중조건을 생성하고 해석을 수행합니다.

그림 2.16.1(c)의 경우에는 설계하중인 균일분포하중을 가하는 하중조건을

생성하고 정적해석을 수행합니다.

3. 제한조건들을 사용하여 부등평형조건(Inequality Condition)을 구성합니다.

그림 2.16.1(c)의 경우에는 다음과 같은 부등평형조건(Inequality Condition)

이 구성됩니다.

1 1 2 2 3 3A A A AD AT T T

1 1 2 2 3 3 0B B B BDT T T

1 1 2 2 3 3 0C C C CDT T T

0iT ( 1,2,3)i

여기서

1A : iT 작용방향으로 Pre-tension 을 도입한 단위하중조건의 A점 수평변위

1B : iT 작용방향으로 Pre-tension 을 도입한 단위하중조건의 B점 수직변위

1C : iT 작용방향으로 Pre-tension 을 도입한 단위하중조건의 C점 수직변위

AD : 설계하중조건의 A점 수평변위

BD : 설계하중조건의 B점 수직변위

CD : 설계하중조건의 B점 수직변위

A :설계하중조건과 케이블 인장력 하중의 조합조건에서 가져야 되는 A점 수평변위


mid

asCi

vil


4. 최적화기법을 사용하여 부등평형조건(Inequality Condition)을 만족하는 해

를 구합니다. 조건에 따라 부등평형조건(Inequality Condition)을 만족하는

미지계수는 많은 해를 가질 수 있습니다. 많은 해들 중에서 필요로 하는

해를 선택해야 하는데 midas Civil에서는 목적함수(Object Function)를 최

소로 하는 변수를 부등평형조건(Inequality Condition)의 해로 사용하게 됩

니다. midas Civil에서의 목적함수(Object Function)는 변수의 선형 합, 변

수의 제곱의 합 그리고 변수들의 절대값의 최대값 등 3가지를 선택할 수

있습니다. 그리고 특정한 변수에 가중치를 입력하여 변수의 중요도를 조정

할 수 있고 변수의 사용 가능한 범위를 입력할 수도 있습니다.

위에서 설명한 최적화기법을 사용하여 필요로 하는 설계 변수들을 구하는 방법을

사용할 경우에는 구조물에 대한 충분한 이해를 필요로 합니다. 평형조건(Equality

Condition)이나 부등평형조건(Inequality Condition)은 경우에 따라 해를 갖지 않

을 수도 있기 때문에 적절한 설계조건의 입력 및 목적함수의 선택을 필요로 합니

다.

(a) 주어진 하중조건에서 A점에서의 모멘트가 M1이 되고, B점에서의 모멘트가 M2가 되는

Jack-up 하중 P1, P2를 구하고자 할 경우

Design condition: MA = M 1

Unknown design variables: P1, P2

Design load

Moment diagram



mid

asCi

vil

(b) 주어진 하중조건에서 A, D, G점의 수직변위가 같고,

B, C, F, F에서의 반력이 같게 되는 Leveling 하중 P1, P2를 구하고자 할 경우

(c) 주어진 하중조건에서 A점의 횡력변위가 Aδ 보다 작고, B, C점에서의

수직변위가 0보다 크게 되는 초기케이블인장력 T1, T2, T1을 구하고자 할 경우

그림 2.16.1 각종 설계조건을 만족하기 위한 미지의 하중조건을 구하는 문제

Design conditions : AX ≤ A

BZ ≥ 0

CZ ≥ 0

Unkown design variables: T1, T2, T3 Cable

Design load

Design conditions : AZ = DZ = GZ

RB = RC = Rξ = Rƒ

Unknown design variables: P1, P2 Design load


mid

asCi

vil


기둥은 계수축하중 Pu와 확대된 최대모멘트 Mc에 대하여 설계됩니다. 여기서 확대

된 최대모멘트 Mc 는 장주효과의 근사방법인 모멘트 확대계수 설계법을 사용하여

계산됩니다. 한국 도로교설계기준 (2005, 2010)에서 철근콘크리트 기둥의 확대모멘

트 계산방법은 다음과 같습니다.

17-1-1 구조물의 횡구속 여부 판정

층안정지수(Q)를 계산하여 구조물의 횡구속 여부를 판정합니다. 구조물의 한 층의

안정지수(Q)가 0.05이하이면 구조물의 그 층은 횡변위가 방지되어 있다고 말할 수

있습니다.

0.05u o

u c

PQ

V l

→ 횡구속 골조

0.05u o

u c

PQ

V l

→ 비횡구속 골조

여기서, ∑Pu : 해당층의 총 연직계수축력

Vu : 해당층의 전단력

∆o Vu : Vu 에 의한 해당층의 상 · 하부의 1차 상대처짐

lc : 골조에서 절점간 거리로 측정된 압축부재의 길이

17-1-2 장주효과의 고려

klu/r 의 값에 따라 장주효과의 고려 여부를 판단합니다.

- 횡구속 구조인 경우

Chapter 17. 임의형상 기둥의 부재설계

Chapter 17 | 임의형상 기둥의 부재설계


mid

asCi

vil

1

2

34 12ukl M

r M → 장주효과 무시

1

2

34 12 100uM kl

M r → 장주효과 고려

100ukl

r → P-∆ 해석

여기서, M1/M2 ≥ -0.5 이어야 하며, 기둥이 단일곡률로 휘는 경우 M1/M2는 정(+)입

니다.

- 비횡구속 구조인 경우

22ukl

r → 장주효과 무시

22 100ukl

r → 장주효과 고려

100ukl

r → P-∆ 해석

klu/r 의 값이 100을 초과하는 모든 압축부재에 대해서는 P-∆ 해석을 해야 합니다.

17-1-3 횡구속 구조물의 확대모멘트

횡구속 구조물의 확대모멘트 Mc는 다음과 같이 계산됩니다.

2c nsM M

여기서, M2 : 기둥의 상·하부 단모멘트 중 큰 값, 2,min 15 0.05uM P h 이상

δns : 횡구속 골조에서 압축부재의 양단 사이의 부재곡률의 영향을 반영한

모멘트 확대계수

1.01

0.75

mns

u

c

CP

P


mid

asCi

vil


2

2c

u

EIP

kl

이 경우, EI값의 산정은 다음의 식을 이용하여도 좋으며, βd=0.6으로 가정하여

EI=0.25EcIg 로 사용할 수도 있습니다.

0.2

1c g s se

d

E I E IEI

또는

0.4

1c g

d

E IEI

βd = 축방향 계수고정하중에 의한 최대 계수축력 / 전체 계수축력, Cm은 등가모멘

트 계수로서 아래 식을 따릅니다.

1

2

0.6 0.4 0.4m

MC

M (횡하중이 없는 경우)

1.0mC (횡하중이 있는 경우)

17-1-4 비횡구속 구조물의 확대모멘트

비횡구속 구조물의 확대모멘트는 모멘트 확대계수 δs를 고려하여 계산된 횡변위

가 가능한 모멘트 δsMs와 횡변위가 방지된 모멘트 Mns의 합으로 계산됩니다.

1 1 1ns s sM M M

2 2 2ns s sM M M

확대된 횡변위가 가능한 모멘트 δsMs는 다음 방법으로 계산됩니다.

1s

s s s

MM M

Q

(단, δs ≤ 1.5)



mid

asCi

vil

10.75

ss s s

u

c

MM M

P

P

(단, δs > 1.5)

여기서, ∑Pu : 해당층의 총 연직계수축력

∑Pc : 해당층의 횡변위를 지지하는 기둥들의 임계축력의 합

2

2c

u

EIP

kl

,

0.2

1c g s se

d

E I E IEI

또는

0.4

1c g

d

E IEI

βd = 해당층의 최대계수지속전단력 / 해당층의 전체 계수전단력단,

35

/

u

u ck g

l

r P f A 인 경우에는 최대모멘트가 기둥 단부가 아닌 기둥의 양단 사이

에서 발생하게 되며, 최대모멘트의 값은 다음과 같습니다.

2 2 2

10.75

mc ns ns s s

u

c

CM M M M

P

P

단, δns 는 1.0 이상입니다.


mid

asCi

vil


기둥부재는 부재 방향에 대하여 압축 또는 인장력이 작용하고 동시에 휨 모멘트를

받는 부재이며, 작용하는 하중의 형태에 따라 다음과 같이 구분할 수 있습니다.

중심 축하중을 받는 기둥

축하중 및 1축 휨모멘트를 받는 기둥

축하중 및 2축 휨모멘트를 받는 기둥

한국 도로교설계기준 (2005, 2010)에서 극한강도 설계법에 의한 기둥부재 설계시,

기둥부재는 세장비에 따라 단주 또는 장주로 구분하여 단면설계(강도검증)를 수행

합니다. 그러므로 세장비가 정해진 한계를 초과하는 장주는 모멘트 확대계수를 구

하여 계수휨모멘트에 곱함으로써 설계용 계수모멘트를 산출합니다. 그리고 이 휨

모멘트 값을 적용하여 단면설계(강도검증)를 수행합니다.

편심이 없는 순수 축하중을 받는 압축재의 최대 축하중강도는 다음 식과 같이 구


0.85 ( )o ck g st y stP f A A f A

여기서 Po : 편심이 없을 때의 공칭 축하중

fck : 콘크리트의 설계기준 압축강도

Ag : 전단면적

Ast : 기둥 주철근의 단면적

fy : 철근의 항복강도

그러나 압축재의 설계축하중 ( Pn)은 압축재에 존재할 수 있는 예측치 못한 편심

하중에 대비해야 합니다. 따라서 순수 압축재에서 단면의 축하중 설계강도를 최대

공칭축하중( Po)의 80 ~ 85% 감소하도록 제한하고 있습니다.

띠철근 기둥 : (max) 0.80n oP P

나선철근 기둥 : (max) 0.85n oP P



mid

asCi

vil

따라서 편심이 없는 순수 축하중을 받는 압축재의 계수축하중은 다음 식을 만족하

도록 설계합니다.

(max) n uP P

축하중과 1축 휨모멘트를 동시에 받는 기둥부재는 힘의 평형조건식과 변형율의 적

합조건을 만족하여야 하며, 다음과 같은 기본조건을 만족시키도록 설계합니다.

(max) (max) , Mn u n uP P M


mid

asCi

vil


midas Civil 에서는 설계단면에 대한 정확한 소요철근량 산출을 위하여 축력-모멘트

상관도 분석을 수행합니다. 그리고 계수축력과 계수휨모멘트에 의한 편심거리를

고려하여 단면설계(강도검증)를 수행하므로 기둥부재가 축인장을 받는 경우에도 설

계가 가능합니다.

그림 2.17.1 축하중과 1축 휨모멘트의 상관도

Pure bending

Region 3 (tensile failure)

balanced failure condition

Region 2 (compression failure)

Region 1 (design axial load stregth)

(max) . n oP P0 80 (tied reinforcement)

(max) . n oP P0 85 (spiral reinforcement)

tP (max)

nP

oP

nP (max)

0 n M

b M

tP

e b

e min



mid

asCi

vil

축하중과 2축 휨모멘트를 동시에 받는 기둥부재는 공칭 축하중(Pn) 및 공칭 휨모

멘트(Mny, Mnz)에 의한 3차원 축력-모멘트 상관도 분석을 수행합니다. 그리고 이 결

과를 근거하여 정밀해에 의한 정확한 소요철근량을 산출하며 다음과 같은 기본조

건을 만족시키도록 설계합니다.

n u ny uy nz uz P P , M M , M M

그림 2.17.2 축하중과 2축 휩모멘트의 상관도

e = Mu/Pu

Mnz

Mny

ey = 0ez= Muy/Pu

Pn(max)

ey = Muz/Pu

ez= 0

+Pn

-Pn

Pb

MbzMby

0


mid

as C

ivil


임의 단면의 3차원 축력-모멘트 상관도 분석은 다음과 같이 수행합니다.

계산시간의 단축을 위하여 단면의 대칭 여부를 미리 판별하여 대칭시에는 대칭부

분만 계산을 수행하며, 타 영역에 대해서는 대칭되는 계산된 값을 적용합니다.

대칭형태는 축대칭, 방사대칭, 역대칭으로 구분되며 분류기준은 콘크리트 단면과

철근의 배근형태를 축을 중심으로 단면1차모멘트와 단면적을 이용하여 자동으로

판별합니다.

그림 2.17.3 대칭 형태에 따른 계산 수행 범위

임의 단면의 경우 형태가 일정하지 않으므로 직사각형 형태의 단면에 주로 적용되

는 Whitney가 제안한 등가 직사각형 응력분포대신 Parabolic-Plateau형식의 응력분

포를 적용하여 축력-모멘트 상관도를 계산합니다.

0<εc<εo

εo εu

fc = 0.85·fck 2 -εc

εo

εc 2

εo

εo =2(0.85 ·fck)

Ec

0.85·fck

εu = 0.003

Strain

Stress

그림 2.17.4 Parabolic-Plateau형식의 응력분포도

1:비대칭 2:방사대칭 3:z축에 대칭(좌우대칭) 4:y축에 대칭(상하대칭)

Y

Z

Y

Z

Y

Z

Y

Z

My

Mz

일치

일치

일치 일치

일치

일치

일치

My

Mz

My

Mz

My

Mz



mid

as C

ivil

임의 형태의 단면에 비선형 응력-변형율을 적용하므로 중립축과 평행하게 단면을

미소요소로 자른 후 각 미소요소에 작용하는 응력은 동일하다고 가정하여 각 요소

의 도심에서의 변위를 이용하여 응력-변형율에서 응력을 산출, 각각의 요소에 대한

작용력을 계산합니다. 계산된 작용력들을 각 요소의 도심에 작용하는 것으로 보

고 모든 요소의 작용력 및 철근의 작용력을 취합하여 공칭 축하중(Pn) 및 공칭 휨

모멘트(Mny, Mnz)를 산출합니다.

해석시 단면의 중심을 도심을 기준으로 하므로 공칭강도 설계시의 중심점을 소성

중심이 아닌 도심을 기준으로 계산을 수행합니다.

Pn = ∑(Cci) + ∑(Fsi)

Mny = ∑(Cci·zci) + ∑(Fsi·zsi)

Mnz = ∑(Cci·yci) + ∑(Fsi·ysi)

여기서, Cci : 각각의 미소요소의 작용력

Fsi : 각각의 철근의 작용력

zci, yci : 단면의 도심에 대한 미소요소 Ci 의 도심의 좌표

zsi, ysi : 단면의 도심에 대한 철근 Si 의 중심좌표

0.85·fck

FS4F

S5FS3F

Si

FS2F

S7

FS1

CC1C

C2ㆍCCiㆍ

ㆍㆍ

εC

εS1

εS2

εS3

εS4

εS5

εSi

εS7

z

yS3

S1

S2

S4

S5

S7

Si

Ci

C1

C2

ㆍ

εCi

zSi

ySi

yCi

zCi

ㆍㆍ

ㆍ단면의 도심

미소요소 Ci의 도심

그림 2.17.5 임의단면에 적용되는 비선형·응력 변형율


mid

as C

ivil


각각의 하중조합에 대해 발생하는 Pu, Muy, Muz에 대한 검토는 계산된 3차원 축력-

모멘트 상관도에서 원점을 기준으로 Pu, Muy, Muz 방향으로 3차원 직선을 그려서

교차하는 평면으로부터 해당 Pn, Mny, Mnz를 산출해 내며, 해당 하중조합의

축력-모멘트 상관도는 교차점의 양 옆에 있는 2개의 계산되어진 3차원 축력-모멘

트 상관도와의 인접된 비율로 산출합니다.

P

M

Pu, Muy, Muz 방향과 교차하는 3차원 축력-모멘트 상관도 상의 평면

인접한 2개의계산되어진축력-모멘트 상관도

인접비율로 산출된축력-모멘트 상관도

그림 2.17.6 ΦPn, ΦMny, ΦMnz 및 인접비율을 이용한 해당 하중조합의 축력-모멘트 상관도



mid

as C

ivil

최대 위험 하중조합에 대해서는 평면상의 교차점이 아닌 정밀한 Pn, Mny,

Mnz를 산출하여 이때 계산된 중립축을 이동하며 해당 하중조합에 대한 하중-모

멘트 상관도를 산출합니다.

P

M

z

y

z

y

z

yz

z

y

순수 압축

균형파괴

상태

압축 파괴 구간

인장 파괴 구간

순수 인장

Pn(max) 0.80 P0

띠철근 기둥 :

그림 2.17.7 기둥강도 상관도 ( P-M 상관도)


mid

asCi

vil


한국 도로교설계기준 (2005, 2010)에서는 전단을 받는 단면은 다음의 식을 만족하

도록 설계합니다.

Vu≤ Vn

여기서 Vu는 해당 단면의 계수전단력이며, Vn은 다음식에 의해 계산되는 공칭 전단

강도입니다.

Vn = Vc + Vs

Vc : 콘크리트에 의한 공칭전단강도

Vs : 전단철근에 의한 공칭전단강도

압축 선단부에서 최 외측 인장철근 사이의 길이를 유효높이 d로 산정하여 사이의

단면적만 전단면적으로 적용하며, 전단면적을 d를 기준으로 동일한 면적의 직사각

형으로 환산하여 적용합니다.

따라서 인장철근의 도심을 기준으로 유효높이를 산출하고 정밀하게 전단면적을 산

출하는 정형단면의 전단설계에 비해 큰 콘크리트의 전단강도를 나타낼 수 있으므

로 사용상에 주의가 필요합니다.

그림 2.17.8 환산 전단단면적



mid

asCi

vil

축방향력을 받는 부재의 경우 콘크리트에 의한 전단강도

압축력을 받는 경우: 1

16 14

uc ck w

g

NV f b d

A

인장력을 받는 경우: 1

16 3.5

uc ck w

g

NV f b d

A

여기서 Nu는 인장력일 때, 부(-)이며, Nu/Ag의 단위는 MPa입니다.

부재축의 직각으로 설치되는 스트럽의 간격은 철근 콘크리트부재의 경우 0.5d 이

하, 600mm 이하로 배치하여야 합니다.

철근이 부담하는 전단강도 Vs가 (√(fck)/3)bw·d 를 초과하는 경우 규정된 철근간

격을 절반으로 감소시켜야 하며, 철근이 부담해야 하는 전단강도 Vs는 2(√

(fck)/3)bw·d이하로 하여야 합니다.

압축부재의 경우에는 단면의 최소치수 이하 및 300mm이하 이어야 합니다.

계수전단력 Vu가 콘크리트에 의한 설계전단강도 Vc/2를 초과하는 경우 최소 단

면적의 전단철근을 배치합니다.

Av = 0.35·bw·s/fy

여기서, bw와 s의 단위는 mm입니다.


mid

as C

ivil


midas Civil에서 제공하는 Wave Load는 해양 구조물에 작용하는 파력에 대해 입

력한 파랑정보를 통해 정적/동적해석을 위한 파랑하중을 생성하는 기능입니다. 일

반적으로 해양구조물의 부재에 걸리는 파력은 Morrison의 식을 이용하여 산정할

수 있습니다.

18-1-1 Wave Parameters의 용어정리

그림 2.18.1 Wave Parameters의 정의

(1) H = 파고

(2) C = L/T = : 파속

(3) L = gT2/2π : 파장(천해 = T tanhL

, 심해 : tanhL

1

(4) η = 파형 (η=0, 정수면), η x, t

(5) h = 수심

(6) k = : 파수 (Wave Number)

(7) σT

⇒ T

(8) σ gk tanh kh : dispersion relationship, ⇒ CL

T tanh gh

Chapter 18. Wave Load 하중 생성

Chapter 18 | Wave Load 하중생성


mid

as C

ivil

상대수심 h/L의 크기로 파의 종류를 분류할 수 있습니다.

(심해파: h/L>1/2, 천해파: 1/25<h/L≤ 1/2, 장파 혹은 극천해파: h/L≤1/25)

18-1-2 해양 구조물의 부재에 작용하는 파력

일반적으로 해양구조물의 부재에 걸리는 파력은 Morrison의 식을 이용하여 산정할

수 있습니다.

dFT dFD dFI = 항력 + 질량력

dFD CD D |u|, dFI CM V

Total force on a vertical pile

F dF 12

CD ρD |u|dz 12

CM ρVDuDt

dz

여기서, :

F : Wave force, 파력(t)

u : Water particle velocity, 수립자 속도(m/s)

ρ : Fluid density, 해수밀도(w/g)

V : Volume of the Pile per Unit Length, 단위길이당 체적

D : Piling diameter or projected area/unit elevation of the cylinder, 부재의 외경(m)

CD : Drag coefficient, 항력계수(0.6~2.0) - 파이프에 대해서 1.0

CM : Inertia coefficient, 질량력 계수(1.5~2.0) - 파이프에 대해서 2.0

CM 1 k 1 ab

dF CMFB, FB ρV : Hydrostatic buoyancy force

즉, 해양구조물에 작용하는 파랑하중을 산정하는 것은 복잡한 해양환경을 모식화

하여 임의 위치에서 수립자 속도와 가속도를 구하는 문제입니다.


mid

as C

ivil


18-1-3 해양파랑의 공학적 성질

(1) 수립자 운동

연직 및 수평방향 수립자 속도성분을 공간의 함수로 나타내 보면, 상호간 90˚의

위상차를 갖습니다.

그림 2.18.2 진행파의 수립자 속도

(2) 수립자 궤적 : 타원 방정식

2 2

1A B

그림 2.18.3 타원형 수립자의 궤적

천해역(상대수심 h/L<1/20)에서는 4

HT gA

h , 1

2

H zB

h

이고 A는 z의 함수가

아니므로 수평방향의 수립자 이동거리는 수심에 따라 모두 일정합니다.

심해역(상대수심 h/L>1/2)에서는 2

kzHA e , B A 이므로 원운동을 하며 수심에 따

라 지수함수적으로 감소합니다.

Direction of progressive wave propagation

x= L

x= L/2 x

z



mid

asCi

vil

그림 2.18.4 상대수심에 따른 진행파의 수립자 궤적

Morrison equation에서는 기본적으로 입사하는 Wave에 비해 Pile의 지름이 크지 않

다( 0.2D

)고 가정하고 Diffraction을 고려하지 않으며, Member 간 Interaction 또

한 고려하지 않습니다. 하지만, Diffraction 효과의 경우 Pile의 지름이 파장에 비해

커지게 되면( 0.2D

) Drag force는 Inertia force 에 비해 무시할만하게 되고, 이 때

는 Pile의 지름 효과를 고려해야 합니다.. 이 경우에 대해서는 MacCamy and

Fuchs(1954)나, Mogridge and Jamieson(1976) 등이 원형 실린더에 대해 해석해를

구한바 있으며 임의 단면에 대해서는 수치해석이 요구된다. 이 결과들을 살펴보면

Morrison equation에서 Inertia Coefficient를 조정하고 Phase lag를 줌으로써 보정을

할 수 있음을 알 수 있습니다. 앞서 주어진 Morrison eq.은 Member에 대해

Normal 방향 성분만을 나타내고 있는데, Tangential 성분(대개 Inertia term은 제외한

drag term만 사용)은 Normal 방향 성분에 비해 그 크기가 작기 때문에 보통

Normal 방향 성분만 고려를 합니다.

10kh

1( )

20

h

L

2kh

1( )

2

h

L

10 2kh

1 1( )20 2

h

L


mid

asCi

vil


파랑이론의 기본적인 가정은 비회전성, 비압축성 유체운동을 가정하므로 유체운동

은 라플라스 방정식으로 로 표현할 수 있습니다.

비점성 비회전유체의 경계조건

(1) 운동학적 경계조건(Kinematic Boundary Condition, KBC)

: 수립자의 운동에 관한 조건, 어떤 경계면에서도 경계면을 통한 흐름은 있을 수

없습니다

① 운동학적 자유수면 경계조건(KFSBC)

② 해저면 경계조건(KBBC)

(2) 역학적 경계조건(Dynamic Boundary Condition, DBC)

: 대기와 해수면과의 경계면인 자유수면은 압력이 일정하게 유지되어야 합니다.

① 역학적 자유수면 경계조건(DFSBC) : 자유수면상의 압력은 파형을 따라 일정해

야 합니다.

(3) 측면 경계조건(Lateral Boundary Condition, LBC)

18-2-1 Airy wave theory : 선형 파동이론

중력파(Gravity wave) 이론 중에서 가장 기본적인 모델로서 Linear wave 라고도 합

니다. 해양파는 실제 불규칙한 운동을 하지만, 이 불규칙한 해양파는 Unidirectional,

Monochromatic 성질을 가지는 정현파(Regular wave)의 중첩으로 나타낼 수 있기

때문에 이 정현파 모델을 통해서 파의 메커니즘을 논할 수가 있습니다.

중력파 모델의 유도는 몇 가지 기본적인 가정 ( Unidirectional, Monochromatic,

Progressive, Infinitely even bottom, Inviscid fluid, Incompressible fluid,

Surface tension 무시, Irrotational motion)을 통해 속도 포텐셜을 상정함으로써

2-D ‘potential boundary value problem’ 으로 정식화 할 수 있습니다.

이 때 지배방정식은 Laplace equation ( 2 0 ) 으로 유도되고, Bottom Condition,

Radiation Condition, Free surface condition 을 만족하는 Potential 을 구하게 되면

유체 Particle 의 속도, 가속도 및 압력 등을 구할 수 있게 됩니다.

하지만, 위에서 언급했던 경계조건 중에서 Free surface condition이 Non-linear로

주어지므로 Exact-solution은 구할 수 없습니다. 따라서 Perturbation method를 사용



mid

asCi

vil

해 Approximated solution을 구하게 되는데, 이 경계 조건 적용 과정에서 Linear

term 만을 고려함으로써 Airy wave 모델이 유도가 됩니다. 따라서 Airy wave theory

는 수심이나 파장에 비해 파고가 상대적으로 작을 때 적용 타당성을 가지게 됩니

다. 최종적으로 얻을 수 있는 결과 중 뒤에서 Wave force를 얻는데 필요한 결과를

정리하면 다음과 같습니다.

- Wave height : H

- Wave length :

- Wave period : 2

T

( =circular frequency)

- Wave number : 2

k

- Water depth : h

Surface Wave form cos( )2

Hkx t

일반 Finite depth 환경일 때

Dispersion relation 2 tanhgk kh

Particle velocity

coshcos( )

2 sinh

H kyu kx t

kh

, sinh

sin( )2 sinh

H kyv kx t

kh

Particle acceleration

2 coshsin( )

2 sinhx

H kya kx t

kh

, 2 sinh

cos( )2 sinhy

H kya kx t

kh

Airy wave theory를 적용할 때 한 가지 주의해야 할 점은 자유표면 경계 조건의 선

형화 과정에서 정수면에 대해 테일러 전개를 했기 때문에, 특정 깊이(y)에서의 입

자의 속도 및 가속도를 구할 때 구하고자 하는 위치가 아니라 그때의 입자 궤적이

가지는 mean position 값을 대입해야 한다는 것입니다. 일반 finite depth 환경에서


mid

asCi

vil


입자의 궤적은 속도 성분의 적분을 통해 다음과 같이 타원 형태로 구해집니다 (무

한수심일 경우 원 궤적을 가지게 됩니다)

Particle trajectory

2 2

1cosh sinh

2 sinh 2 sinhH ky H ky

kh kh

18-2-2 Stokes 5th wave theory: 비선형 파동이론(5차항까지 stokes 급수전개)

18-2-1 에서 살펴봤던 linear wave는 여러 면에서 아주 유용하지만 경계조건을 선

형화 시키기 위해 small-amplitude를 가정함으로써 실제 파형을 반영하기에는 부족

한 점이 많습니다. Linear theory의 확장은 Stokes(2nd order)나 Hunt(3rd oder) 등이

해석해를 구한바 있고, Skjelbreia & Hendrickson (1961)이 5th order theory를 정리했

습니다. 현재 전세계적으로 선급 등이나 여러 협회에서 선박이나 해양구조물의 파

랑하중 등을 구할 때는 5th order 모델을 사용하도록 규정하고 있습니다.

Linear wave는 1st order approximation을 함으로써 sinusoidal 파형을 가지게 됩니

다. 반면 higher-order theory는 finite-amplitude theory로서 좀 더 실제 파형에 가까

운 모델을 만들 수 있습니다. 아래 그림에서 볼 수 있듯이 higher-order 모델의 파

형은 linear에 비해 crest가 좀 더 경사가 지는 반면, trough는 좀 더 평평한 형태를

가지고 있습니다.



mid

asCi

vil

Stokes 5th order wave에서 구해지는 유체의 속도, 가속도 등은 다음과 같습니다.

Surface wave form

cosk 2 422 24( )cos 2B B

3 533 35( ) cos3B B 4

44 cos 4B 555 cos5B

Dispersion relation

2 2 41 2tanh (1 )gk kh C C

( ) 3( ) 5( )

여기서 ijB , iC 등은 Coefficient이고, ( ) 는 Quantitative order를 나타내며

Wave number k 의 함수입니다. 한편, Liner wave에서는 파의 주기, 파고, 수심 등

이 주어지면 Dispersion relation으로부터 Wave number가 바로 구해졌지만, 여기서

는 Wave form 식과 Dispersion relation 식을 Iterative 하게 풀어야만 Wave number

k 와 를 구할 수 있습니다

Particle velocity

u ∂∂x

CP δA δA δA cosh ky cos θ

2 δ A δ A cosh 2ky cos 2θ

3 δ A δ A cosh 3ky cos 3θ

4δ A cosh 4ky cos 4θ

5δ A cosh 5ky cos 5θ

steeper crest

flatter troughlinear theory

higher-order theory


mid

asCi

vil


Particle acceleration

∂u∂t

wCP δA δ A δ A cosh ky cos θ

4 δ A δ A cosh 2ky sin 2θ

9 δ A δ A cosh 3ky sin 3θ

16δ A cosh 4ky sin 4θ

25δ A cosh 5ky sin 5θ

z방향 속도와 가속도도 마찬가지 방법으로 구할 수 있습니다.

18-2-3 Stream Function : 흐름함수를 이용한 비선형 파동이론

앞서 18-2-.2에서 살펴본 higher-order Stokian Wave theory(3rd, 5th order)는 유도

과정뿐만 아니라 식 자체도 상당히 복잡해서 그 이상의 Higher-order로 전개하는

것은 현실적으로 어려움이 많습니다. 이러한 이유로 Computer를 이용해 ‘어떤’

Order로도 전개가 가능한 Wave theory의 필요성이 대두되었습니다. 처음으로

Chappelear(1961)가 Velocity potentail을 이용하여 만든 Theory가 나온 이후,

Dean(1965)이 Stream function을 이용해 Chappelear의 이론 보다 계산이 간단한

Stream function Wave theory를 발표했습니다. 이후에 Cokelet(1977)이 Breaking 직

전의 Wave height 범위까지 아주 정확한 계산이 가능한 이론을 발표했지만, 현재

Design에는 적용되지 않고 있는 것으로 보입니다. 여기에서는 가장 일반적으로 이

용되는 Dean의 이론을 이용 했습니다.

Stream function theory는 앞서의 Wave theory에서 기본적으로 가정했던 Velocity

potential을 대신 Stream function을 사용합니다. Stream function을 이용해 x, y 방향

Fluid velocity 성분을 다음과 같이 정의할 수 있습니다.

수립자 속도 : uz

, vx

이렇게 정의된 Stream function은 앞서의 Velocity potential 과 마찬가지로 지배방정

식인 Laplace equation을 만족하고, 이에 맞는 Stream Function 형태의 경계 조건

들 역시 얻

Water wave

조건을 만족

이 형태의 해

는데, 이를

( )X n 에 대

서도 계산이

하는 다른 모

18-2-4 Cn

Shallow wa

velocity 변화

우, Shallow

가진다고 가

wave)를 Mo

Solitary wa

1870년대에

Translation하

의 Solution이

의 물은 교

(+)값만을 가

We Analyze a

을 수 있습니다

e의 Stream fun

족하는 Nth-orde

Ψ x

해는 한가지 경

‘Approximatel

대한 최적화 문제

이 가능한데, Cu

모델보다는 훨씬

oidal / Solitar

ater 환경이 되

화도 상당히 복

환경을 가정하

가정해야 하므로

odeling하기 위해

ave는 Cnoidal

먼저 발표되었

하는 Steady w

이 Solitary wav

란되지 않는다고

가진다.(즉, 파고

and Design the Fu

다. 편의상 Wav

nction은 시간 te

r stream functio

x, z Cz

N

계조건-Dynam

ly’ 만족하도록

제가 됩니다. 한

urrent가 있을

씬 정교하다고

ry wave : 천해

면 파 자체의

잡해집니다. 앞

하고 그에 맞게

로, Shallow 환

해서는 앞에서와

wave의 아주

었습니다. Finit

ave 모델이 다

ve입니다. Solita

고 가정하여 이

고가 정수면 위에

C

ture

ve celerity C로

erm이 사라진 x

on은 다음과 같

X N sinh nkz c

ic free surface

계수 ( )X n

한편, Stream fu

때 Particle 속도

할 수 있습니다

해역, 주기파(자코

거동뿐만 아니

앞서 살펴본 Sto

전개를 하려면

환경에서 깊이에

와는 다른 Pertu

특수한 경우인

te Amplitude가

른 선형화 과정

ary wave는 Wav

이론적으로 무한

에만 존재합니다

hapter 18 |

로 이동하는 좌표

x, z 만의 함수

같은 형태를 가지

cos nkx

Condition-을

을 정해야 하

unction은 curre

도에 Current 속

다.

코비안 타원적분

라, 깊이에 따른

okian wave pro

짧은 파장이나

에 비해 긴 파

urbation 과정이

인데, 이론 자체

가 형태적 변화

정 없이 얻어졌

ve에서 아주 멀

한 파장을 갖고

다)

Wave Load

표계를 잡으면

수가 되며, 경계

지게 됩니다.

만족하지 못하

하며, 이는 곧

ent를 고려하여

속도 보정만을

분항으로 표현)

른 Pressure와

ofile들 같은 경

나 작은 파고를

파장의 파(Long

이 필요합니다.

체는 Solitary가

없이 그대로

는데, 이 모델

멀리 떨어진 곳

, 파의 위상이

하중생성

548

mid

as C

ivil


mid

asCi

vil


Cnoidal theory는 처음에 Solitary와 같은 Approximation을 통해 얻어졌으나,

Solution의 형태가 Periodic으로 주어집니다. “Cnoidal”이라는 이름은 Surface

elevation이 Jacobian elliptic function의 제곱에 비례하고, Sinusoidal한 특성을 가지

고 있기 때문에 그 합성어 형태로 지어졌다고 합니다. Cnoidal solution의 파 형태를

살펴보면, Shallow water에서 실제 Wave의 특징인 길고 평평한 Trough와 좁은

crest 형태를 잘 나타내고 있음을 알 수 있습니다. 앞서 언급했듯 Cnoidal wave에

서 속도, 가속도, Wave profile 등은 Jacobian elliptic function 의 급수로 표현이 되는

데, 이 함수의 Parameter m (0 1)m 이 1이 되면 Solitary wave가 됩니다.

18-2-5 Solitary wave

The solitary wave 이론은 Cnoidal theory의 제한된 경우에 해당됩니다.

0 ≤ m ≤ 1에서 m=1일 경우 solitary wave가 됩니다.



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asCi

vil

앞서 살펴본 Wave theory들은 각각의 기본 가정에 바탕을 두고 있으므로 이 이론

들을 모든 Wave modeling에 그대로 적용할 수는 없으며, 파장, 파고, 수심 등에 따

라 타당성을 가지는 모델을 알맞게 적용해야 합니다. 다음 두 도표는 Wave theory

적용에 있어 각 이론이 타당성을 가지는 범위를 나타내고 있습니다.

실제 적용에서뿐만 아니라 검증을 위한 예제 환경 모델링 시에도 각 Wave 이론

이 적용될 수 있는 타당한 파고, 파장, 수심 등을 가정하여 모델링해야 합니다.

그림 2.18.5 Dean Graph와 Le Mehaute Graph

참고문헌

[1] T. H. Dawson, Offshore Structural Engineering, Prentice-Hall, Inc., 1983.

[2] R. G. Dean and R. A. Dalrymple, Water Wave Mechanics for Engineers and Scientists, 2nd ver.,

World Scientific, 1991.

[3] J. D. Fenton, The Cnoidal Theory of Water Waves, in Developments in Offshore Engineering,

Gulf Publishing Company, pp 55-100, 1999.

[4] J. D. Fenton, A high-order cnoidal wave theory, Journal of Fluid Mechanics, Vol. 94, pp. 129-161,

1979.

[5] W. H. Press, S. A. Teukolsky, W. T. Vetterling, B. P. Flannery, Numerical Recipes in C, 2nd

edition, Cambridge University Press, 1992.


mid

asCi

vil


midas Civil에서 입력한 파랑정보를 통해 파랑하중을 생성하는 흐름은 다음과 같

습니다.

midas family program은 주식회사 마이다스아이티에서 개발한 · civil, midas fea,...

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