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Migração SísmicaMigração Sísmica

Bruno MendesBruno Mendes

Migração Sísmica pII

Bruno Mendes



Os métodos de migração



Migração Reversa no Tempo - RTM

A técnica utiliza a depropagação do campo de onda registrado pelos receptores em superfície, o sismograma, para realizar a extrapolação em sub-superfície desse campo de onda.

Na depropagação a coincidência entre os tempos registrados na condição de imagem e os tempos de propagação dos campos de onda descendentes determina o posicionamento correto dos refletores na seção sísmica.

Dados: Sismograma

Condição de Imagem - TD(x,z)

Modelo de Velocidades



Condição de Imagem – TD(x,z)

A condição de imagem que usamos consiste dos tempos necessários para que cheguem a cada ponto do modelo o campo de onda de maior amplitude proveniente de uma detonação na superfície, os chamados tempos de trânsito.

22

2 2

1 ( , , )( , , ) ( ; )

( , ) i

u x z tu x z t f t x

c x z t

Para t variando de zero a Tfinal /2

Propague u(x,z,t)*

Se

u(x,z,t) > u(x,z,t-Δt)

Então

umáx(x,z,t) u(x,z,t)

TD (x,z) = t Fim do loop Se

Fim do loop Para



Modelo de velocidade

O modelo de velocidades, ou de impedâncias acústicas, reproduz a distribuição da velocidade das ondas sísmicas, geralmente as ondas compressionais (ondas P) no interior das diversas estruturas geológicas em sub-superfície. E é obtido, tanto por estimativas, usando métodos geofísicos indiretos, quanto por análise de testemunhos.



O Método

( , )x z

fonte

treflexão(x,z) = 1.8s

θθ

superfície

Reflexão no ponto (x,z) e detecção do sinal sísmico na superfície.

detector

γ (km)Offset (km)

γ

Tempo

(s)

1

2

3

4

0

1.8

Traço retirado do sismograma referente à reflexão no ponto (x,z)

Supondo que a aquisição dos dados tenha sido realizada até 4s.

.

Propagação e aquisição:



superfície

Aquisição dos tempos de trânsito da onda direta TD(x,z).

( , )x z

fonte

TD(x,z) = 1s

Condição de Imagem:



Depropagação:

Na depropagação os detectores passam a agir como fontes, reinjetando no modelo o sismograma registrado. Conta-se o tempo de T final = 4s até t = 0.

superfície

( , )x z

fonte

tincidência(x,z) = 0.8s

Depropagação do sismograma e incidência do traço referente ao sinal no ponto (x,z).

Em que instante de tempo o traço referente ao ponto (x,z) citado chegará, partindo da superfície, até ele?

( , ) 4 (2.2 0.8) 1finalTD x z T t s

Ou seja:

(2.2 0.8)t


Bruno MendesBruno Mendes Fluxograma da migração RTM

Imagem migradamig(x,z)

Depropagação

Aplicação da condição de imagem

Loop temporal (Tfinal t=0)

Loop de i=1 á i=M (número total de

receptores)

( , )TD x z

22

2 21

1 ( , , )( , , ) ( , 0, ; )

( , )

M

ii

u x z tu x z t sis x z t x

c x z t

( , 0, )sis x z t ( , )v x z

( , ) ( , , ( , ))mig x z z u x z z t TD x z



Na Migração PSPI o sismograma, que é um dado no domínio espaço – tempo (x-t), é levado para o domínio da frequência-número de onda (k-ω) via Transformada de Fourier e por meio de rotações de fase é extrapolado em profundidade.

Migração PSPI

Tomemos a equação da onda:

2 2 2

2 2 2 2

( , , ) ( , , ) 1 ( , , )0

( , )

u x z t u x z t u x z t

x z v x z t

Teoria

Via Transformadas Inversas esse dado extrapolado é trazido de volta ao domínio x-t, momento onde ocorre a correlação temporal com a condição de imagem TD(x,z).



As soluções dessa equação diferencial são do tipo: ( , , ) ( , 0, )zik z

x xu k z e u k z

Que no domínio kx – ω é dada por:2 2

22 2

( , , )( , , ) 0x

x x

u k zk u k z

z v

Lembrando que:

kz2

e pela fórmula de Euler:

iz e zi ik ze

(cos sin ),z x iy r i

r

Im

Re

y

x z

θ´ zik zz z e logo:

22 2

2z xk kv



As soluções dessa equação diferencial são do tipo: ( , , ) ( , 0, )zik z

x xu k z e u k z

Que no domínio kx – ω é dada por:2 2

22 2

( , , )( , , ) 0x

x x

u k zk u k z

z v

Lembrando que:

kz2

e pela fórmula de Euler:

´ iz e zk z

´ ´ ´ (́cos sin ),z x iy r i

r´

Im

Re

y´

x´

z´

logo:

22 2

2z xk kv



Conhecido como operador phase-shift.( , , ) ( , , )zik z

x xu k z z e u k z

No caso da velocidade variar apenas com a profundidade (v = v(z)) deve-se, segundo o método, realizar a extrapolação em profundidade recursivamente em intervalos Δz, supondo a velocidade constante horizontalmente em cada intervalo. Sendo assim:

Operador do método de migração F-K:

( , , ) ( , 0, )zik zx xu k z e u k z



Para suprir essa carência desenvolveu-se um método que utiliza o operador phase-shift na extrapolação em profundidade. Ele gera vários campos para cada profundidade z, os chamados campos de referência, calculados com base nas velocidades de referência para àquela dada profundidade. Interpolando ao final esses campos para obter o campo num dado ponto àquela profundidade. Contemplando assim variações laterais de velocidade.

Este é o método Phase Shift Plus Interpolation ou PSPI.

Entretanto essas soluções estão restritas a variação de velocidade apenas em profundidade, não sendo tão apropriada, portanto, em modelos com muitas variações laterais de velocidade.



( , 0, ) ( , 0, )tFFTu x z t u x z

( , 0, ) ( , 0, )xFFTxu x z u k z

1

2

1

2

( , 0, )

( , 0, )( , 0, )

...

( , 0, )

ik zz

n

Para vx

Para vxe

x

Para vn x

u k z

u k zu k z

u k z

Extrapola-se então em profundidade cada campo de referência, agora no domínio kx – ω.



1

1

2

1 2

( , , )

( , , )( , , ), ( , , ),..., ( , , )

...Ψ

( , , )

x

x

x FFTx n x

n x

u k z z

u k z zu x z z u k z z u k z z

u k z z

Para uma dada profundidade z + Δz e um dados ponto x nessa profundidade analisa-se entre quais velocidades de referência está sua velocidade real. Com base nessas duas velocidades interpola-se os dois campos de referência ligados a elas para obter o campo extrapolado na posiçao (x,z+Δz ), baseado na equação:

1 11 2

2 1 2 1

( , ) ( ) ( , ) ( )( , , ) 1 ( , , ) ( , , )

( ) ( ) ( ) ( )

v x z vref z v x z vref zU x z z U x z z U x z z

vref z vref z vref z vref z



Feita a interpolação resta-se retornar com os dados para o domínio espaço-tempo. Nessa etapa entra em cena a condição de imagem:

( )( , )( , ) ( , , ) z x

x

i k z k xi TD x zx x

k

mig x z e U k z z e dk d


Bruno MendesBruno Mendes Fluxograma da migração PSPI

Imagem migrada

FFTt e FFTω –

+ +

Rotação de fase via operador phase-shift

Interpolação


Loop em ω e z

Campo extrapolado para v1:

...

IFFT x :

Campo extrapolado para v2:

Campo extrapolado para vn:

( , 0, )u x z t ( , )v x z( , )TD x z

( , , )nu x z z

( , , ) ( , 0, ) zik zx xu k z z u k z e

1( , , )xu k z z 2 ( , , )xu k z z ( , , )n xu k z z


( , 0, )xu k z



Migração Split-Step (Stoffa et al, 1990)

Ao invés de realizar a extrapolação em profundidade do campo de ondas para cada velocidade de referência a técnica utiliza um único campo de referência fazendo uso de uma única velocidade de referência (normalmente a velocidade média) e extrapolando o campo em duas etapas, com os operadores split-step, que são operadores de mudança de fase que atuam alternadamente nos domínios x-ω e kx-ω.

Nessa técnica não é necessário o uso de interpolações, como na migração PSPI, na tentativa de acomodar variações laterais de velocidade, o que a torna menos onerosa computacionalmente.



A técnica tem como ponto de partida a equação da onda utilizando-se agora o campo de vagarosidade s(x,z) ao invés do campo de velocidade v(x,z):

2 2 22

2 2 2

( , , ) ( , , ) ( , , )( , ) 0

u x z t u x z t u x z ts x z

x z t

Via Transformada de Fourier obtemos: 1

( , , ) ( , , )2

i tu x z t u x z e d

E substituindo na equação da onda:

22 2 2

2

1 ( , , )( , , ) ( , ) ( ) ( , , ) 0

2i tu x z

u x z s x z i u x z e dt

0

ξ



O termo ξ deve ser nulo para que a igualdade seja verdadeira, logo:

2 2 2( , , ) ( , ) ( ) ( , , ) 0u x z s x z i u x z

Substituindo este termo na equação da onda no domínio x-ω obtemos:

2 2 2 20 0( , , ) ( ) 2 ( ) ( , ) ( , ) ( , , ) 0p pu x z s z s z s x z s x z u x z

Para solucionar essa equação a técnica utiliza teoria da perturbação, que divide o campo de vagarosidade em dois termos:

0( , ) ( ) ( , )ps x z s z s x z

onde so é a vagarosidade de referência, termo convenientemente escolhido e tido inicialmente como constante, e sp é o termo de perturbação, que têm relação com a variação lateral da vagarosidade.



Denominando: 2 20( , , ) 2 ( ) ( , ) ( , ) ( , , )p px z s z s x z s x z u x z

2 2 20( , , ) ( ) ( , , ) ( , , )u x z s z u x z x z e substituindo na equação

anterior, temos:

que é a equação da onda acrescida de um termo fonte, o qual carrega o termo de perturbação utilizado na correção lateral de velocidade.

Utilizando a solução geral dessa equação e aplicando a condição de contorno em z = 0, o sismograma, chegamos aos chamados operadores de extrapolação Split-Step:

1( , , , ) ( , , ) zoik z

x n x nu k z z u k z e ( , )

1 1( , , ) ( , , , ) pi s x z z

n nu x z u x z z e FFTx

-1



( , )( , ) ( , , ) i TD x zMIG x z u x z e

A imagem final e dada por:

O primeiro operador realiza a mesma função que o operador phase-shift e o segunda realiza a correção no campo extrapolado relativo a variação lateral de velocidade.



Loop em ω e z

Fluxograma da migração Split-Step

+ +

Rotação de fase via operador split-step 1

Rotação de fase via operador split-step 2 (termo de perturbação)

FFTt e FFTω –

IFFT x:


Imagem migrada

( , )TD x z ( , 0, )u x z t ( , )v x z

( , 0, )xu k z

1( , 0, , ) ( , 0, ) zoik z

x xu k z z u k z e

1( , 0, , )u x z z

( , )

1( , , ) ( , 0, , ) pi s x z z

xu x z u k z z e


( , )mig x z



Migração Kirchhoff

“O Método de Kirchhoff expressa o valor do campo de ondas em um ponto qualquer em termos dos valores do campo de ondas e suas derivadas normal e temporal num superfície que engloba esse ponto usando para tal a solução da chamada Integral de Kirchhoff.”

Freire, 1988

A equação da onda no domínio da frequência:

22

2( , )P r fonte

v

Como a fonte só age em um intervalo de tempo muito curto (fonte = δ(t)) podemos fazer uso da Função de Green relacionada ao campo de onda em cada posição para resolver o problema obtendo:

22

1 12( , , ) ( )G r r r r

v



S1

S2

V

y

x

z

A 2º indentidade de Green fornece uma relação entre P e G integrados sobre V e S2 , dada por:

2 2( ) ( )n ndV P G G P dS P G G P Onde e n é unitário normal a S2

ˆn n

Substituindo os valores de e obtemos: 2P 2G

1 1( , ) ( , ) ( , )n nP r dS P r G G P r

Conhecida como Integral de Kirchhoff

Como solução da Integral de Kirchhoff obtemos um operador de extrapolação em profundidade para um meio considerado HOMOGÊNEO no intervalo de integração (entre z e z1).

0

1

01 13

1( , ) ( , )

2 4iK r

S

iK rzP r dS e P r

r



Parâmetros da modelagem por diferenças finitas.

Número de pontos na horizontal 1000

Número de pontos na vertical 375

Numero de tiros 1000

Numero de Canais 1000

Largura (m) 7500

Profundidade(m) 2813

Modelo sintético Marmousi

Intervalo entre receptores 7.5 m

Amostragem em tempo 0.00025 s

Números de amostras por traço 15000

Tempo de registro 3.75 s

Amostragem lateral e em profundidade 7.5 m

Parâmetros do modelo Marmousi

Modelo sintético Marmousi.

Velocidade (m/s)

π



Sismograma sintético de um único tiro na posição x = 500 no interior do modelo Marmousi.

A B



PSPI

SPLIT-STEP

RTM


Bruno MendesBruno Mendes Registro de múltiplas fontes no modelo Marmousi.

+ + ...

Atrasos nulosArranjo fonte-

receptor

x0

xf

0p



PSPI

SPLIT-STEP

RTM

.



Empilhamento de seções migradas via PSPI referentes a 7 registros de múltiplas fontes no modelo Marmousi.

Empilhamento de seções migradas via RTM do modelo Marmousi referentes a 7 registros de múltiplas fontes (com filtro corta baixa).



Modelo sintético Onshore, retirado de Martins (2003)



Numero de tiros 512


Largura (m) 3072

Profundidade (m) 1536

Intervalo entre receptores 6 m




Amostragem lateral e em profundidade 6 m

Parâmetros da modelagem por diferenças finitas.Parâmetros do modelo Onshore

Modelo sintético Onshore.

Velocidade (m/s)



Registro de múltiplas fontes no modelo Onshore..



PSPI

SPLIT-STEP

RTM



Modelo sintético Offshore, retirado de Martins (2003)





Largura (m) 12450





Tempo de registro 4 s


Parâmetros da modelagem por diferenças finitas.Parâmetros do modelo Offshore

Modelo sintético Offshore.

Velocidade (m/s)



Registro de múltiplas fontes no modelo Offshore.



PSPI

SPLIT-STEP

RTM








Modelo de velocidade SEG-EAGE (Corte Saltcc)





Largura (m) 7800


Parâmetros da modelagem por diferenças finitas.Parâmetros do modelo Saltcc



Registro de família de múltiplas fontes do modelo SALTCC.



PSPI

SPLIT-STEP

RTM



OBRIGADO PELA

ATENÇÃO!

“Há pessoas que choram porque as flores tem espinhos e outras que sorriem porque os espinhos tem flores.”

Machado de Assis

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