144

MODELLI DECISIONALI

FORMULAZIONE GENERALE DEL PROBLEMA DECISIONALE (OTTIMIZZAZIONE)

z vettore di n elementi (variabili di decisione) o funzione

J(z) obiettivo (vettoriale) da ottimizzare (max o min)

Z insieme delle soluzioni ammissibili (che soddisfano i vincoli)

CLASSIFICAZIONE DEI MODELLI DECISIONALI

a1) sistema all’equilibrio equazioni algebriche programmazione matematica

)())(),(()1(

)(),(

xgytutxftx

xgyuxfx

u=u= cost.

all’eq. x = (u) e quindi y = g(x)=(u) l’uscita all’equilibrio è solo funzione dell’ingresso

a1.1) obiettivo e vincoli lineari programmazione lineare (PL)

a1.2) obiettivo e/o vincoli non lineare programmazione non lineare

a2) sistema in evoluzione equazioni algebriche o

differenziali controllo ottimo (regolazione)

min J(z) z

z Z

145

b) variabili intere (al limite, binarie) programmazione a numeri interi (PNI)

c) l’obiettivo è un vettore di funzioni ottimizzazione a molti obiettivi

d) obiettivo dipendente anche da variabili esterne ottimizzazione in ambiente incerto

d1) sono possibili esperimenti sull’ambiente teoria delle decisioni

e) esiste più di un decisore ottimizzazione a molti decisori (teoria dei giochi)

f) soluzione non univocamente legata ai coefficienti

del modello ottimizzazione stocastica g) variabili di decisione intere + soluzioni

ammissibili finite ottimizzazione combinatoria

h) obiettivo separabile (somma di componenti) programmazione dinamica

i) non ci sono vincoli (Z illimitato) ottimizzazione non vincolata.

Non conosciamo un algoritmo che risolva il problema generale in tutti i casi, quindi ogni struttura ha uno o più metodi specifici (cercano di ridurre la complessità = numero di operazioni).

146

PROGRAMMAZIONE MATEMATICA

z vettore delle variabili di decisione (z1,z2,…,zn) J(z) obiettivo da ottimizzare (es. min) g(z) = 0 vincoli di uguaglianza (equazioni)

h(z) 0 vincoli di disuguaglianza (disequazioni). In

generale, zi0, i =1,2,…,n

z°, J°=J(z°) soluzione ottima

J(z)

Z

Z

In generale gli algoritmi sono evolutivi e trovano un minimo locale. Quindi è importante da dove si parte o

che esista un solo minimo in Z.

N.B. J(z)/ z = 0 non è applicabile perché la funzione non è nota analiticamente.

minimo di

frontiera

minimo

locale

minimo assoluto

147

PROBLEMI DI PIANIFICAZIONE

Pianificare ≡ prendere decisione riguardante il funzionamento di un

dato sistema per un periodo di tempo molto lungo (al

limite infinito).

Scopo dell’atto pianificatorio: migliorare una certa realtà.

Pianificatore ≡ Decisore è spesso un “gruppo” o un ente; più

raramente una persona o gruppo di

“responsabili”.

Progetto ≡ pianificazione limitata a problemi

esclusivamente tecnici

Pianificare ≈ progettare tenendo conto degli aspetti

economici, sociali, ambientali, …

Pianificazione razionale: cercare la soluzione più conveniente

tra tutte quelle ammissibili modelli

di ottimizzazione

148

Esempio

Costruzione di un serbatoio artificiale per potenziare l’agricoltura in

una regione.

Domande:

Una diga sola o più dighe?

Dove costruirla?

Quanto grande?

A chi darla in gestione?

Come reperire gli stanziamenti?

Come ridistribuire gli utili?

….

Come si vede da questo esempio, in un unico problema pianificatorio

sono coinvolte tematiche fisiche, economiche, sociali, … : il problema

è cioè “complesso”

Problema di pianificazione ≡ Problema complesso

La complessità non è solo concettuale, ma spesso anche

computazionale (grande numero di variabili ed equazioni da

risolvere).

149

Le variabili di decisione

Le decisioni da prendere sono spesso rappresentate da variabili

continue

Altezza della diga

Superficie da coltivare

Quantità di materiale da produrre

Quantità di inquinante da trattare

Altezza della ciminiera

Capitale da investire

…

In questi casi si ha un’infinità di soluzioni possibili, tra cui va scelta

con un opportuno criterio quella “ottima”

In altri casi le variabili di decisione sono discrete

Fare o non fare un canale tra Milano e il Po

Fare o non fare un’autostrada che collega due punti

Depurare, diluire o scaricare in mare

Scegliere tra n tipi di impianto

In questi casi il numero di soluzioni possibili tra cui si deve scegliere

la migliore è comunque finito.

150

I vincoli

Nel risolvere un problema di pianificazione si deve spesso tener

conto di vincoli di natura fisica, tecnologica, economica, normativa,…

Tali vincoli sono di solito esprimibili con relazioni di uguaglianza o

disuguaglianza tra variabili significative che descrivono il problema.

Vincoli di tipo fisico i volumi d’acqua da trasferire da un

bacino A a un bacino B non devono

superare la capacità della rete idrica

che collega i due bacini.

Vincoli di tipo economico il costo dell’autostrada non deve

superare lo stanziamento dei LLPP.

Vincoli di tipo normativo gli impianti di depurazione devono

essere progettati in modo tale che sia

soddisfatta la normativa vigente sugli

scarichi

151

Gli obiettivi

Spesso esiste un ben preciso obiettivo da minimizzare o

massimizzare:

Minimizzazione del costo

scarto

ingombro

rischio

inquinamento

…..

Massimizzazione del ricavo

guadagno (beneficio)

rendimento

affidabilità

qualità

…..

Altre volte però gli obiettivi sono molti e tra loro “conflittuali”

Min ( (costo impianti di trattamento) , (grado di inquinamento

delle acque) )

Min ( (rischio) , (costo strutture) )

Max ( (utile compagnia aerea) , (affidabilità dei voli) )

Max ( (sviluppo industriale) , (conservazione paesaggio) )

Min (piene su lago regolato) + Max (beneficio utenti a valle)

Min (tempo di trasporto) + Max (affidabilità del trasporto)

152

Aspetto modellistica del problema

Vincoli e obiettivi si possono spesso esprimere analiticamente, una

volta che siano state individuate tutte le variabili z1, z2, …, zn

significative. Il risultato è quasi immancabilmente un problema di

programmazione matematica.

max ( ) z

J z z Z

Ad esempio, a questo problema si perviene quando si vuol

determinare l’equilibrio più “produttivo” di un sistema dinamico

( , )x f x u . Infatti in questo caso si ha:

0 ( , ) equilibrio

( )

u f x u

z x Z y x

y x u U y Y

Insieme delle soluzioni ammissibili

(individuate da tutti i vincoli)

max [J(u,y)]

153

Esempio (massimo prodotto sostenibile)

x = biomassa delle trote in una vasca di allevamento

x = tasso di crescita “totale”

( )x f x u dove f(x) tasso di crescita “naturale”

u tasso di rimozione [kg/giorno]

Equilibrio: f(x)=u (si estraggono ogni giorno un numero di kg di

pesce pari all’aumento della biomassa)

Max [u] massima quantità prodotta (plausibilmente max

guadagno)

max

max ( ) (max. non vincolata)( )

u

x

obiettivo uf x

vincolo u f x

Estensione

T

( ) x = vettore n-dim. (n specie)

b = (0 0 .... 1) (si rimuove solo l'ultima specie)

max u all'equilibrio

x f x bu

MSY (maximum sustainable yield)

massimo prodotto sostenibile

Tipica funzione f(x)

(a densità x troppo elevata

l’animale non riproduce (o

meglio non cresce) o si

innescano facilmente

malattie di tipo epidemico)

154

PROBLEMI LINEARI

Programmazione Lineare (PL) (Linear Programming (LP))

1 1 2 2

11 1 12 2 1 1

1 1 2 2

1 2

min ( ) min ... obiettivo lineare

soggetto a

...

m vincoli lineari di uguaglianza

...

0 0 ... 0 vincoli di non nega

n n

n n

m m mn n m

n

J z r z r z r z

p z p z p z q

p z p z p z q

z z z

tività

Vettorialmente

min ( ) min

soggetto a

= matrice (m n)

0

cioè

min z Z

Z= : , 0 insieme di ammissibilità

T

z z

T

z

J z r z

Pz q P x

z

r z

z Pz q z

155

Esempio 1 (dieta ottima)

n sostanze commestibili

zi quantità sostanza i-esima

ci contenuto calorico sostanza i-esima

pi contenuto proteico sostanza i-esima

λ prezzo sostanza i-esima

1

min min min costo dietan

T

i iz z z

i

z z

Soggetto a

*

*

??? slack

??? slack

0

T

T

p z p

c z c

z

Caso di dieta

fatta da due sole

sostanze z1 e z2.

La dieta deve avere un certo contenuto proteico pari a p*

La dieta deve avere un contenuto calorico pari a c*

zi ≥ 0 per ogni i

156

Esempio 2 (modello di produzione)

In conclusione abbiamo:

prezzo di prezzo di costo divendita acquisto trasformazione

max

0 0 0 vincoli di non negatività

conservazione della ma

i i ij ij

i j i

j i ij

ij i

j

p y q u c x

y x x

x u

ssa

vincoli sulle risorse ( prezzi ombra)ij ij ji

a x y

1 1

y

m m

u y

u

u y

Questa operazione di trasformazione ha

un costo ij iji

c x

157

Come ottenere la forma standard

11 1 1 1

) max ( ) min ( )

) ... n n

a J z J z

b p z p z q

si può scrivere anche così:

11 1 1 1 1

1

...

0 (variabile "slack")

n n n

n

p z p z z q

z

c) Se una variabile zi non è vincolata in segno si può sostituirla

ovunque con la differenza di due nuove variabili vincolate.

zi non vincolata (zn+1 – zn+2)

zn+1 ≥ 0

zn+2 ≥ 0

Con questi (od altri) artifici si può sempre ricondursi in LP alla forma

standard (r, P, q)