mÍnimos cuadrados. a mxn a x = b sistema inconsistente
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MÍNIMOS CUADRADOS
A mxn
A x = b
Sistema Inconsistente
A x = b
consistenteb está en CA
A x = b
inconsistente
b no está en CA
b
A x* es un vector del espacio columna CA
A x* = proy CAb
A x* = b*
Sistema Consistente
b – A x* mínima
x* es una solución de
A x* = b*
x* es una solución de
aproximación de
A x = b
A fin de encontrar x* a partir de A x* = b*
podríamos partir de
A x* = proyCAb
Existe una mejor manera de conseguirlo
( b – A x* )
es ortogonal a cada vector de CA
Por lo tanto,
( b – A x* ) es ortogonal
a cada vector columnade A
c1 . ( b – A x* ) = 0
c2 . ( b – A x* ) = 0
c1T . ( b – A x* ) = 0
c2T . ( b – A x* ) = 0
AT . ( b – A x* ) = 0
AT b – ATA x* = 0
ATA x* = AT b
ATA x* = AT b
Ecuaciones Normales
A AT matriz nxn simétrica
A mxn y b en Rm
A x = b siempre tiene al menos una solución por mínimos cuadrados ( o por aproximación ) x*
x* es una solución por mínimos cuadrados de
A x = b
si y sólo si
x* es una solución de las ecuaciones normales
ATA x* = AT b
A tiene columnas LI si y sólo si
ATA es Invertible
En este casola solución de aproximación de
A x = b es única y está dada por
x* = ( AT A )-1ATb seudoinversa de A
x - y = 0
x + y = 0 SEL
y = 1 Inconsistente
A x = b
0
1
1
1
1
1
y
x
1
0
0
=
Columnas de A LI
ATA = Invertible
x* única solución por aproximación
0
2
3
0
x* = ( AT A )-1ATb
x* =
x* solución por mínimos cuadrados de A x = b
b – A x*error de
mínimos cuadrados
= b – A x*vector de error de
mínimos cuadrados
vector de error de mínimos cuadrados
1
0
0
0
1
1
1
1
1
- =
3/2
3/1
3/1
b - A x* =
1
2
3
error de mínimos cuadrados
=b – A x* 0,2721655
Observar las ecuacionesdel sistema
x - y = 0 0 – ( 0 -1/3 ) = 1/3 1
x + y = 0 0 – ( 0 +1/3 ) = -1/3 2
y = 1 1 – ( 0 +1/3 ) = 2/3 3
Columnas de A LDATA No es Invertible
las ecuaciones normales
ATA x* = AT b
tienen un número infinito de soluciones
Buscaremos entonces la solución x* de menor longitud
(la más cercana al origen)
APLICACIONES
Ajuste de Curvas por Mínimos Cuadrados
Curvas que se ajustan aproximadamentea los datos
Encontrar la recta que da el mejor ajuste
para los puntos (1,4) , (-2,5), (3,-1) y (4,1)
y = b + mx
4 = b + m
5 = b - 2m
-1 = b + 3m
1 = b + 4m
Sistema Inconsistente
1
1
5
4
4
3
2
1
m
b=
Columnas de A LI
ATA Invertible
x* única solución por aproximación
x* = ( AT A )-1ATy
x* =
y = 3,57 – 0,88 x
88,0
57,3
vector de error de mínimos cuadrados
4
3
2
1
88,0
57,3
1
1
5
4
_
05,1
93,1
33,0
31,1
=
A x*
_
y =
error de mínimos cuadrados
=b – A x* 2,579224
Observar la primera ecuacióndel sistema
4 = b + m4 = 3,57 + (- 0,88)
4 – 2,69 = 1,31= 1
(primer componente del
vector )
Encontrar el mejor ajuste cuadrático para
los puntos
(1,4) , (-2,5), (3,-1) y (4,1)
y = a + bx + cx2
4 = a + b + c
5 = a - 2b + 4c
-1 = a + 3b + 9c
1 = a + 4b + 16cSistema Inconsistente
Columnas de A LI
ATA Invertible
x* única solución por aproximación
1
1
1
1
4
3
2
1
16
9
4
1
c
b
a
1
1
5
4
=
x* = ( AT A )-1ATy
x* =
y = 3,75 – 0,81 x – 0,04 x2
04.0
81,0
75,3
vector de error de mínimos cuadrados
1
1
5
4
16
9
4
1
4
3
2
1
04,0
81,0
75,3
=
y _ A x* =
_
13,1
96,1
21,0
1,1
error de mínimos cuadrados
=b – A x* 2,5244009
Observar la primera ecuacióndel sistema
4 = a + b + c4 = 3,75 +(- 0,81)+(- 0,04)
4 – 2,9 = 1,1= 1
(primer componente del
vector )
El estudio de las curvas de luz visuales de los cometas nos
pueden dar información sobre el tamaño aproximado que tiene el núcleo, la composición química
del cometa, la razón gas-polvo, si el agua domina o no la actividad
gaseosa del núcleo y otros parámetros físico-químicos más
complejos del cometa
Los astrónomos profesionales diferencian entre dos tipos de curvas
de luz :- Visuales, proporcionan información
sobre el agua y la actividad molecular.
- CCD, proporcionan información acerca de la actividad del polvo en el cometa. Debido a las cámaras CCD actuales, se puede conocer la tasa de producción de polvo del cometa.
Las curvas de luz de los cometas suelen representarse
gráficamente a lo largo de 2 ejes:
eje x Tiempo
eje y Magnitud visual o CCD
Cada punto representa una unidad
Visual.
Según la primera ley de Kepler, un cometa debe tener una órbita elíptica, parabólica o hiperbólica
( ignorando la atracción gravitacional de los
planetas ).
En coordenadas polares adecuadas, la posición
( r, θ ) de un cometa satisface una ecuación de
la forma:
r = β - e ( r cos θ )
r = β - e ( r cos θ )
donde :
β es una constante
e es la excentricidad de la órbita :
0 e < 1 para una elipse
e = 1 para una parábola
e > 1 para una hipérbola.
Suponga que las observaciones de un cometa recientemente descubierto proporcionan los
datos siguientes:
θ 0,88 1,10 1,42 1,77 2,14
r 3,00 2,30 1,65 1,25 1,01
Determine el tipo de órbita y pronostique
dónde estará el cometa cuando
θ = 4,6 (radianes).
r = β - e ( r cos θ )
Posiciones del cometa ( r , θ )
( 3,00 , 0,88 ) ( 2.30 , 1,10) ( 1,65 , 1,42 ) ( 1,25 , 1,77 ) ( 1,01 , 2,14 )
3 = β - 1,911453 e2,30 = β - 1,043273 e1,65 = β - 0,247872 e1,25 = β + 0,247360 e1,01 = β + 0,544350 e
e
1
1
1
1
1
544350,0
247360,0
247872,0
043273,1
911453,1
=
01,1
25,1
65,1
30,2
3
A x b
x* = ( AT A )-1ATy
x* =
0 e < 1
La órbita es una elipse
811,0
45,1 βe
1,45 0,81 r = β - e ( r cos θ )
r = 1,45 / 1 + 0,81 cos θ
Produce r = 1,33
cuando θ = 4,6 radianes
FIN
APLICACIONES
Ajuste de Curvas Por Mínimos Cuadrados