miodrag lalić - wordpress.comzanimljiva matematika ..... 38 konkursni zadaci ..... 39 Štampanje...

Miodrag Lalić PROCENTI Svakodnevno se većina od nas susrijeće sa procentnim računom, pa ćemo se sigurnije osjećati ako znamo njegova osnovna svojstva. Primjene procenata ima naročito u proizvodnji, trgovini, bankarstvu, statistici, planiranju, itd. U našim školama učenici o procentu počinju da uče u šestom razredu osnovne škole. Kao uvod daćemo kraći istorijski osvrt. Riječ procenat potiče od latinske riječi pro centum, što bukvalno znači „na sto” ili „od sto”. Ideja za slično izražavanje dijela neke cijele veličine datira još iz starog Vavilona, no ne „od sto” već „od šezdeset”. Procenat je bio u sličnom smislu kao danas poznat i korišćen u starom Rimu. Naime, Rimljani su zvali procentima novce, koje bi dužnik platio zajmodavcu za svaku stotinu sestercija. Od Rimljana su procente preuzeli drugi narodi Evrope. Oni se, dakle, na početku primjenjuju kod novčanih transakcija i u trgovini. Zatim se oblast primjene raširila, sreće se kod poslovnih i finansijskih računa statistike, nauke i tehnike itd. Pretpostavlja se da znak % proizilazi od italijanske riječi cento (sto), koja se u procentnom računu zapisivala skraćeno cto, pa je, putem daljeg uprošćavanja, slovo t prešlo u kosu crtu (/), u aktuelni znak za označavanje procenta (sledeća shema, pokazuje mogući put nastanka simbola %). pro cento → cento → cto → c/o → % Druga verzija o nastanku znaka %, govori da je nastao kao rezultat štamparske greške slovoslagača. U Parizu je 1685. godine obajvljena knjiga – priručnik za komercijalnu matematiku, u kojoj je slovoslagač greškom umjesto cto odštampao %. Procenat se jednostavno definiše: Procenat bilo kojeg broja a je stoti dio tog broja, tj.

aaa 01,01001

100==

Upotreba znaka % može se posmatrati kao zamjena za riječ „procenat” ili za množilac 0,01. Pođimo od primjera iz svakodnevnog života:

Udruženje nastavnika matematike Crne Gore Matematički list za učenike osnovnih škola – „Dijagonala”, broj 5

Godina 2019. Cijena: 1,50 €

Glavni urednik: mr Radomir BožovićOdgovorni urednik: Danijela JovanovićRedakcija: Prof. dr Žarko Pavićević, Prof. dr Radoje Šćepanović, Miodrag Lalić, Prof. dr Milenko Mosurović, Snežana Irić, Aleksandra Vuković, Vanja Đurđić Kuzmanović, Irena Pavićević, Nevena Ljujić Lektura: Milja Božović, prof.Korektura: Danijela Jovanović, prof.Priprema za štampu: Branko GazdićTiraž: 1000Štampa: „Studio Branko“ d.o.o. – Podgorica

Zavod za školstvo je odlukom broj 01 – 1214/2 od 03.09.2018. godine preporučio ča-sopis „Dijagonala“ za korišćenje u osnovnim školama kao pomoćno nastavno sredstvo.

SadržajProcenti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3Logički operatori, logički veznici

i naredba if . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8Zadaci za vježbu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15Odabrani zadaci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22Rješenja konkursnih zadataka iz prošlog broja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24Priprema za čas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28Rad sa tekstualnim zadacima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31Aristotel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36Zanimljiva matematika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38Konkursni zadaci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

Štampanje ovog broja pomogli: „Bemax doo“, „Domen doo“

3

Miodrag Lalić PROCENTI Svakodnevno se većina od nas susrijeće sa procentnim računom, pa ćemo se sigurnije osjećati ako znamo njegova osnovna svojstva. Primjene procenata ima naročito u proizvodnji, trgovini, bankarstvu, statistici, planiranju, itd. U našim školama učenici o procentu počinju da uče u šestom razredu osnovne škole. Kao uvod daćemo kraći istorijski osvrt. Riječ procenat potiče od latinske riječi pro centum, što bukvalno znači „na sto” ili „od sto”. Ideja za slično izražavanje dijela neke cijele veličine datira još iz starog Vavilona, no ne „od sto” već „od šezdeset”. Procenat je bio u sličnom smislu kao danas poznat i korišćen u starom Rimu. Naime, Rimljani su zvali procentima novce, koje bi dužnik platio zajmodavcu za svaku stotinu sestercija. Od Rimljana su procente preuzeli drugi narodi Evrope. Oni se, dakle, na početku primjenjuju kod novčanih transakcija i u trgovini. Zatim se oblast primjene raširila, sreće se kod poslovnih i finansijskih računa statistike, nauke i tehnike itd. Pretpostavlja se da znak % proizilazi od italijanske riječi cento (sto), koja se u procentnom računu zapisivala skraćeno cto, pa je, putem daljeg uprošćavanja, slovo t prešlo u kosu crtu (/), u aktuelni znak za označavanje procenta (sledeća shema, pokazuje mogući put nastanka simbola %). pro cento → cento → cto → c/o → % Druga verzija o nastanku znaka %, govori da je nastao kao rezultat štamparske greške slovoslagača. U Parizu je 1685. godine obajvljena knjiga – priručnik za komercijalnu matematiku, u kojoj je slovoslagač greškom umjesto cto odštampao %. Procenat se jednostavno definiše: Procenat bilo kojeg broja a je stoti dio tog broja, tj.

aaa 01,01001

100==

Upotreba znaka % može se posmatrati kao zamjena za riječ „procenat” ili za množilac 0,01. Pođimo od primjera iz svakodnevnog života:

4 Dijagonala

Primjer 1. Dva prijatelja su jednom prilikom testirali potrošnju goriva kod svojih automobila. Automobil prvog je potrošio 3 litra benzina na 42 km, a drugog 4 litra na 50 km. Koje auto je ekonomičnije? Rješenje: Da bi odgovorili na postavljeno pitanje treba naći količnike.

Prvi auto je potrošio 141

423= , l

141 /km, a drugi

l

252

504= /km. Sad imamo

dilemu koji od dva razlomaka je veći. Da bi odgovorili moramo računati, a to možemo uraditi na više načina: dovođenjem na jednake imenioce, jednake brojioce ili prelaskom u decimalni zapis.

Napišimo ove razlomke u decimalnom zapisu ...071428571,0141= i

08,0252= . Broj 0,071428571 je manji od broja 0,08 i na taj način smo riješili

problem. Saznali smo da je prvo auto ekonomičnije. No, da li smo u potpunosti zadovoljni. Potrebu za tačnošću u ovom slučaju zadovoljićemo ako uzmemo u obzir prve dvije cifre poslije decimalnog zareza 0,07; 0,08, odnosno 7 stotih i 8 stotih. Ovo poslednje su procenti 7% i 8%. Dakle, stigli smo do opšte prihvatljivog i uobičajenog odgovora u današnje vrijeme o potrošnji ova dva automobila 7 l, odnosno 8 l na 100 km. Razlomci sa imeniocem 100 pokazali su se u praksi vrlo primjenljivi u raz-

ličitim oblastima, na primjer 1 cent jednak je 1001 dijelu od 1 eura,

1 cm = 1% m, itd. Procentni račun čine zadaci sa procentima koji imaju veliki praktični značaj, a dijelimo ih na tri osnovna tipa. 1. Izračunavanje procenta od datog broja Primjer 2. U odjeljenju od 25 učenika 48% svih učenika su djevojčice. Koliko u tom odjeljenju ima djevojčica? Rješenje: Računamo 48% od 25 tj. 𝑥𝑥 = 25∙48100 =

484 = 12. Dakle, u odjeljenju

ima 12 djevojčica. Na osnovu prethodnog možemo zapisati pravilo za izračunavanje procenta od datog broja:

Izračunati р% datog broja a znači broj a pomnožiti razlomkom 100p ,

što zapisujemo 100pax = .

Dijagonala 5

Primjer 1. Dva prijatelja su jednom prilikom testirali potrošnju goriva kod svojih automobila. Automobil prvog je potrošio 3 litra benzina na 42 km, a drugog 4 litra na 50 km. Koje auto je ekonomičnije? Rješenje: Da bi odgovorili na postavljeno pitanje treba naći količnike.

Prvi auto je potrošio 141

423= , l

141 /km, a drugi

l

252

504= /km. Sad imamo

dilemu koji od dva razlomaka je veći. Da bi odgovorili moramo računati, a to možemo uraditi na više načina: dovođenjem na jednake imenioce, jednake brojioce ili prelaskom u decimalni zapis.

Napišimo ove razlomke u decimalnom zapisu ...071428571,0141= i

08,0252= . Broj 0,071428571 je manji od broja 0,08 i na taj način smo riješili

problem. Saznali smo da je prvo auto ekonomičnije. No, da li smo u potpunosti zadovoljni. Potrebu za tačnošću u ovom slučaju zadovoljićemo ako uzmemo u obzir prve dvije cifre poslije decimalnog zareza 0,07; 0,08, odnosno 7 stotih i 8 stotih. Ovo poslednje su procenti 7% i 8%. Dakle, stigli smo do opšte prihvatljivog i uobičajenog odgovora u današnje vrijeme o potrošnji ova dva automobila 7 l, odnosno 8 l na 100 km. Razlomci sa imeniocem 100 pokazali su se u praksi vrlo primjenljivi u raz-

ličitim oblastima, na primjer 1 cent jednak je 1001 dijelu od 1 eura,

1 cm = 1% m, itd. Procentni račun čine zadaci sa procentima koji imaju veliki praktični značaj, a dijelimo ih na tri osnovna tipa. 1. Izračunavanje procenta od datog broja Primjer 2. U odjeljenju od 25 učenika 48% svih učenika su djevojčice. Koliko u tom odjeljenju ima djevojčica? Rješenje: Računamo 48% od 25 tj. 𝑥𝑥 = 25∙48100 =

484 = 12. Dakle, u odjeljenju

ima 12 djevojčica. Na osnovu prethodnog možemo zapisati pravilo za izračunavanje procenta od datog broja:

Izračunati р% datog broja a znači broj a pomnožiti razlomkom 100p ,

što zapisujemo 100pax = .

Sad možemo riješiti i nešto složeniji zadatak. Zadatak 1. Nastavnik je na kontrolnom zadatku postavio tri zadatka. Nijedan zadatak nije riješilo 12,5% učenika, samo jedan je riješilo 25%, i isto toliko učenika je riješilo dva zadatka, dok je 12 učenika riješilo sva tri. Koliko je ukupno učenika radilo kontrolni zadatak? Rješenje: Tekstualni zadatak možemo zapisati u obliku jednačine 12,5%𝑥𝑥 + 2 ∙ 25%𝑥𝑥 + 12 = 100%𝑥𝑥, pri čemu je x broj učenika koji su radili kontrolni zadatak. Dalje je 12,5𝑥𝑥100 + 2 ∙

25𝑥𝑥100 + 12 = 𝑥𝑥, odakle rješavanjem

jednačine dobijamao da je x = 32. Znači, ukupno 32 učenika je radilo kontrolni zadatak. 2. Izračunavanje broja iz njegovog procenta Primjer 3. Ako je 3,5% od nekog broja jednako 21. Izračunati taj broj. Rješenje: Označimo sa x traženi broj, pa je 3,5% od x jednako 21. Transformišemo tekst u jednačinu 3,5% x = 21, odakle je

6005,3

21001005,3:21 ===x . Provjera: 21600

1005,3

= .

Zaključimo da pravilo za izračunavanje broja, ako je poznat njegov procenat, glasi: Ako je p% od nepoznatog broja x jednako b, tada x izračunavamo tako

što b podijelimo sa razlomkom 100p , što zapisujemo

100: pbx = .

Zadatak 2. Poslije promjene radnog mjesta radniku je plata povećana za 15%. Kolika mu je bila plata, ako je to povećanje iznosilo 120 €? Rješenje: Slično kao u prethodnom primjeru dobijamo jednačinu 𝑥𝑥 = 120 ∶ 15100, čije rješenje je x = 800. Dakle, radniku je bila plata 800 €. Ovaj zadatak možemo riješiti i na drugi način. Naime, u primjerima i zadacima koje smo dosad riješili srećemo se sa četiri veličine: 100 (konstantan broj), p (procent), G (glavnica) i P (procentni iznos). Veza među njima je opisana proporcijom (osnovnom jednačinom procentnog računa):

G : P = 100 : p Polazeći od osnovne jednačine procentnog računa uočavamo da je G prvobitna plata radnika, P = 120 € i p = 15%. Prema uslovima zadatka jednačina glasi: G : 120 = 100 : 15, a njeno rješenje je G = 800. I na ovaj način smo potvrdili već dobijeno rješenje.

6 Dijagonala

3. Izračunavanje procentnog odnosa dva broja Pođimo od primjera. Primjer 4. Količnik brojeva 35 i 25 izraziti u stotim djelovima. Rješenje: Nađimo količnik datih brojeva 3525 = 1,4. Dobijeni količnik pomnožimo sa 100, pa zaključujemo da je 140% od broja 25 jednako 35. Na drugi način, ako traženi procentni odnos označimo slovom x iz proporcije

25: 35 = 100 : x, dobijamo da je %140%1002535

==x .

Zaključujemo, količnik dva broja se može izraziti u stotim djelovima, što predstavlja njihov procentni odnos i definiše se pravilom: Procentni odnos dva broja 𝒂𝒂 i b izračunavamo tako što njihov količnik 𝒂𝒂𝒃𝒃 pomnožimo sa 100, što zapisujemo 𝒑𝒑 = 𝒂𝒂𝒃𝒃 ∙ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏%. Zadatak 3. Izračunati procenat kisjeline u rastvoru ako je u 22l vode dodato 3l kisjeline. Rješenje: Izračunajmo količnik 322+3 = 0,12, i nakon množenja sa 100 dobijamo da je p = 12%, što predstavlja procenat kisjeline u rastvoru. Rješenje se može dobiti polazeći od odgovarajuće proporcije ili neposredno primjenom prethodnog pravila. Riješimo na dva načina još jedan, nešto složeniji zadatak: Zadatak 4. Svježe grožđe sadrži 80% vode, a suvo 10% vode. Koliko kilograma svježeg grožđa treba da bi se dobilo 44 kg suvog grožđa? Rješenje: Označimo sa x količinu svježeg grožđa potrebnog za dobijanje 44 kg suvog grožđa. U svježem grožđu ima 20% suve materije i 80% vode, dok u 44 kg suvog grožđa ima 90% suve materije i 10% vode. Količina suve materije je ista u svježem i suvom grožđu, što možemo opisati jednačinom

1004490

10020

=x . Rješenje jednačine je x = 198 kg. Da bi se dobilo 44 kg suvog

potrebno je 198kg svježeg grožđa. Riješimo ovaj zadatak. formiranjem proporcije. U 44kg suvog grožđa ima 10% vode, a to označimo sa P. Iz proporcije 44 : P = 100 : 10, dobijamo procentni iznos P = 4,4kg, što je količina vode u suvom grožđu. Suve materije u suvom grožđu ima 44 – 4,4 = 39,6kg.

Dijagonala 7

3. Izračunavanje procentnog odnosa dva broja Pođimo od primjera. Primjer 4. Količnik brojeva 35 i 25 izraziti u stotim djelovima. Rješenje: Nađimo količnik datih brojeva 3525 = 1,4. Dobijeni količnik pomnožimo sa 100, pa zaključujemo da je 140% od broja 25 jednako 35. Na drugi način, ako traženi procentni odnos označimo slovom x iz proporcije

25: 35 = 100 : x, dobijamo da je %140%1002535

==x .

Zaključujemo, količnik dva broja se može izraziti u stotim djelovima, što predstavlja njihov procentni odnos i definiše se pravilom: Procentni odnos dva broja 𝒂𝒂 i b izračunavamo tako što njihov količnik 𝒂𝒂𝒃𝒃 pomnožimo sa 100, što zapisujemo 𝒑𝒑 = 𝒂𝒂𝒃𝒃 ∙ 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏%. Zadatak 3. Izračunati procenat kisjeline u rastvoru ako je u 22l vode dodato 3l kisjeline. Rješenje: Izračunajmo količnik 322+3 = 0,12, i nakon množenja sa 100 dobijamo da je p = 12%, što predstavlja procenat kisjeline u rastvoru. Rješenje se može dobiti polazeći od odgovarajuće proporcije ili neposredno primjenom prethodnog pravila. Riješimo na dva načina još jedan, nešto složeniji zadatak: Zadatak 4. Svježe grožđe sadrži 80% vode, a suvo 10% vode. Koliko kilograma svježeg grožđa treba da bi se dobilo 44 kg suvog grožđa? Rješenje: Označimo sa x količinu svježeg grožđa potrebnog za dobijanje 44 kg suvog grožđa. U svježem grožđu ima 20% suve materije i 80% vode, dok u 44 kg suvog grožđa ima 90% suve materije i 10% vode. Količina suve materije je ista u svježem i suvom grožđu, što možemo opisati jednačinom

1004490

10020

=x . Rješenje jednačine je x = 198 kg. Da bi se dobilo 44 kg suvog

potrebno je 198kg svježeg grožđa. Riješimo ovaj zadatak. formiranjem proporcije. U 44kg suvog grožđa ima 10% vode, a to označimo sa P. Iz proporcije 44 : P = 100 : 10, dobijamo procentni iznos P = 4,4kg, što je količina vode u suvom grožđu. Suve materije u suvom grožđu ima 44 – 4,4 = 39,6kg.

Ponovo koristimo proporciju, pri čemu ćemo sa G označiti količinu sirovog grožđa G : 39,6 = 100 : 20. Rješavanjem proporcije dobijamo da je potrebna količina svježeg grožđa G = 198 kg. 4. Promili Razumljivo je da savremeni čovjek ima praktičnu potrebu za povećanjem stepena tačnosti, kao i da umjesto veoma malih procenata uvede jedinice 10 puta manje, tj. hiljadite djelove koji se označavaju znakom ‰ i zovu se „promili”. Promil potiče od latinske riječi pro mille što znači "od hiljadu" ili „na hiljadu”. Znak ‰ označava 0,001. Sada čitalac analogno procentu lako može definisati pojam promila, odnosno promilnog računa.

Primjer 5. Razlomak (razmjeru) 1005 kratko zapisujemo 5%. Ako razlomak

proširimo sa 10, dobijamo razlomak 50

1000 koji kratko zapisujemo 50‰, a čitamo „50 promila”. Zadatak 5. Troškovi su opteretili robu 15‰, tako da roba košta 2922 €. Koliko iznose troškovi? Rješenje: Označimo sa x osnovnu cijenu robe, pa postavimo jednačinu x + 15‰x = 2922. Rješenje jednačine je x = 2880 €, a troškovi su 2922 – 2880 = 42 €.

Zadaci za samostalan rad:

1. U jednoj čaši je 20% mlijeka, a ostalo je voda, a u drugoj isto takvoj čaši je 80% mlijeka, a ostalo je voda. Koliko će procenata mlijeka biti u šerpi ako se u nju sipaju obije čaše? 2. Na putu dužine s auto poveća brzinu v za 25%. Za koliko će se procenata smanjiti vrijeme potrebno da se pređe put s? 3. Svježa pečurka sadrži 90% vode, a suva 12%. Koliko se suvih pečurki može dobiti od 10 kg svježih, a koliko svježih treba osušiti da bi se dobilo 10 kg suvih? 4. Cijena jednog proizvoda u januaru je smanjena za 20%, a u februaru je snižena cijena povećana za 20%. Da li je novodobijena cijena veća ili manja od prvobitne? 5. Prilikom prevoza 3400 kg mandarina 5‰ se oštetilo. Koliko kilograma mandarina se oštetilo? 6. Za koliko procenata se izmijeni površina pravougaonika, ako se jedna stranica umanji za 10%, a druga se uveća za 10%?

Ponovo koristimo proporciju, pri čemu ćemo sa G označiti količinu sirovog grožđa G : 39,6 = 100 : 20. Rješavanjem proporcije dobijamo da je potrebna količina svježeg grožđa G = 198 kg. 4. Promili Razumljivo je da savremeni čovjek ima praktičnu potrebu za povećanjem stepena tačnosti, kao i da umjesto veoma malih procenata uvede jedinice 10 puta manje, tj. hiljadite djelove koji se označavaju znakom ‰ i zovu se „promili”. Promil potiče od latinske riječi pro mille što znači "od hiljadu" ili „na hiljadu”. Znak ‰ označava 0,001. Sada čitalac analogno procentu lako može definisati pojam promila, odnosno promilnog računa.

Primjer 5. Razlomak (razmjeru) 1005 kratko zapisujemo 5%. Ako razlomak

proširimo sa 10, dobijamo razlomak 50

1000 koji kratko zapisujemo 50‰, a čitamo „50 promila”. Zadatak 5. Troškovi su opteretili robu 15‰, tako da roba košta 2922 €. Koliko iznose troškovi? Rješenje: Označimo sa x osnovnu cijenu robe, pa postavimo jednačinu x + 15‰x = 2922. Rješenje jednačine je x = 2880 €, a troškovi su 2922 – 2880 = 42 €.

Zadaci za samostalan rad:

1. U jednoj čaši je 20% mlijeka, a ostalo je voda, a u drugoj isto takvoj čaši je 80% mlijeka, a ostalo je voda. Koliko će procenata mlijeka biti u šerpi ako se u nju sipaju obije čaše? 2. Na putu dužine s auto poveća brzinu v za 25%. Za koliko će se procenata smanjiti vrijeme potrebno da se pređe put s? 3. Svježa pečurka sadrži 90% vode, a suva 12%. Koliko se suvih pečurki može dobiti od 10 kg svježih, a koliko svježih treba osušiti da bi se dobilo 10 kg suvih? 4. Cijena jednog proizvoda u januaru je smanjena za 20%, a u februaru je snižena cijena povećana za 20%. Da li je novodobijena cijena veća ili manja od prvobitne? 5. Prilikom prevoza 3400 kg mandarina 5‰ se oštetilo. Koliko kilograma mandarina se oštetilo? 6. Za koliko procenata se izmijeni površina pravougaonika, ako se jedna stranica umanji za 10%, a druga se uveća za 10%?

8

Dr Goran Šuković Logički operatori, logički veznici i naredba if

Tip bool – može da ima vrijednosti true (tačno, u C++ je to broj 1) i false (netačno, u C++ je to broj 0). Najčešće se koristi za upoređivanje dvije vrijednosti, primjenom sljedećih operatora:

Matematički Operator u C++

Značenje Primjer

< < Manje od a < b > > Veće od a > b ≤ = b = == Jednako a == b ≠ != Nije jednako (različito) a! = b

Logički veznici: &&, || i !. Ako su p i q promjenljive (ili izrazi) tipa bool, tada važi sljedeće:

p q p&&q (p i q) p||q (p ili q) !p (nije p) false false false false True false true false true True true false false true False true true true true False

int a, b; a = 5; b = 8; bool f ; f = a

Dijagonala 9

Dr Goran Šuković Logički operatori, logički veznici i naredba if

Tip bool – može da ima vrijednosti true (tačno, u C++ je to broj 1) i false (netačno, u C++ je to broj 0). Najčešće se koristi za upoređivanje dvije vrijednosti, primjenom sljedećih operatora:

Matematički Operator u C++

Značenje Primjer

< < Manje od a < b > > Veće od a > b ≤ = b = == Jednako a == b ≠ != Nije jednako (različito) a! = b

Logički veznici: &&, || i !. Ako su p i q promjenljive (ili izrazi) tipa bool, tada važi sljedeće:

p q p&&q (p i q) p||q (p ili q) !p (nije p) false false false false True false true false true True true false false true False true true true true False

int a, b; a = 5; b = 8; bool f ; f = aa);// postoji ce biti true

int g = 1966; boolean prestupna; prestupna = (g%400==0) || ((g%4==0) && (g%100!=0)); // prestupna ce biti true g = 2000; prestupna = (g%400==0) || ((g%4==0) && (g%100!=0)); // prestupna ce biti true g = 1900; prestupna = (g%400==0) || ((g%4==0) && (g%100!=0)); // prestupna ce biti false g = 2003; prestupna = (g%400==0) || ((g%4==0) && (g%100!=0)); // prestupna ce biti false

Primjer: Da li broj x leži između a i b tj. da li je a < x < b (ili, da li x pripada intervalu (a,b))? Primjer: Da li broj x ne leži između a i b (ili da li x ne pripada intervalu (a,b))?

Primjer: Da li postoji trougao čije su dužine stranica a, b i c?

Primjer: Da li je godina prestupna?

int x = 12, a = 5, b = 25; bool p; p = (ac)&&(a+c>b)&&(b+c>a);// postoji ce biti true


Primjer: Da li broj x leži između a i b tj. da li je a < x < b (ili, da li x pripada intervalu (a,b))? Primjer: Da li broj x ne leži između a i b (ili da li x ne pripada intervalu (a,b))?

Primjer: Da li postoji trougao čije su dužine stranica a, b i c?

Primjer: Da li je godina prestupna?

int x = 12, a = 5, b = 25; bool p; p = (ac)&&(a+c>b)&&(b+c>a);// postoji ce biti true


10 Dijagonala

Opšti oblik razgranate strukture (if sa else)

if (uslov) { Naredba 1 ili blok naredbi1 } else

{ Naredba 2 ili blok naredbi2 }

Učitati broj x i štampati vrijednost 𝑧𝑧 = {1, 𝑥𝑥 ≥ 00, 𝑥𝑥 < 0

double x, z; cin >> x; if (x>=0) { z = 1; } else

{ z = 0; } cout

Dijagonala 11

Učitati cio broj n i štampati njegovu recipročnu vrijednost. Ako je učitan broj 0, štampati „1/0“.

int n; cin >> n; if (n==0) { cout x1 >> x2; if (x1 < x2) { y = x1–x2; } else

{ y = x1 + x2; } cout

12 Dijagonala

Učitati x1 i x2. Ako je x1 < x2 štampati x1 – x2, inače štampati x1 + x2.

double x1, x2, y; cin >> x1 >> x2; if (x1 < x2) { y = x1–x2; } else

{ y = x1 + x2; } cout

Dijagonala 13

Učitati x1 i x2. Ako je x1 < x2 štampati x1 – x2, inače štampati x1 + x2.

double x1, x2, y; cin >> x1 >> x2; if (x1 < x2) { y = x1–x2; } else

{ y = x1 + x2; } cout

14 Dijagonala

Učitati broj a i štampati vrijednost izraza 𝑧𝑧 = {2, 𝑎𝑎 ≥ 7

1,4 < 𝑎𝑎 < 70, 𝑎𝑎 ≤ 4

double a, z; cin >> a; if (a >= 7) { z = 2; } else if (4 < a)

{ z = 1; }

else { z = 0; } cout= 7) { z = 2; } else if (4 < a)

{ z = 1; }

else { z = 0; } cout

Dijagonala 15

Učitati broj a i štampati vrijednost izraza 𝑧𝑧 = {2, 𝑎𝑎 ≥ 7

1,4 < 𝑎𝑎 < 70, 𝑎𝑎 ≤ 4

double a, z; cin >> a; if (a >= 7) { z = 2; } else if (4 < a)

{ z = 1; }

else { z = 0; } cout= 7) { z = 2; } else if (4 < a)

{ z = 1; }

else { z = 0; } cout

16 Dijagonala

7. Od 24 ruže, 60 karanfila i 72 gerbera napravljen je najveći mogući broj jednakih buketa. Koliko će biti napravljeno takvih buketa i koliko će buket koštati ako je cijena ruže 3 €, karanfila 2 € i gerbera 1 €?

8. Proizvod tri uzastopna broja je 120. Koji su to brojevi? 9. Dokazati da je broj 222...222 (1989 dvojki) djeljiv sa 18. 10. Odrediti prirodan broj n takav da važi jednakost: 𝑛𝑛 ∙ (𝑛𝑛 + 1) ∙ (2𝑛𝑛 + 1) = 180.

Nikola Radojičić, JU OŠ „Milija Nikčević”, Nikšić

VII razred

I nivo

1) Na koordinatnoj osi prikazati tačke: A(–3); B(4); C(–1); D(0); E(5).

2) Cijele brojeve poređati od najmanjeg do najvećeg: a) –7, 5, 0, –24, –8, 25, –1, –6, 6; b) 14, 9, –12, –36 , 2, –22, 13, –9.

3) Izračunati: a) –3 + 5; b) 5 – 9; c) 2 + 12; d) –11 + 6; e) (–9) + (–7); f) (–19) – (–37); g) (+6) + (+7); h) (–2) – (+7).

4) Osloboditi se zagrada a zatim iračunati vrijednost izraza: a) (–7) + (–8) – (–5) + (–3) – (+9) + (–10); b) (–70) – (–18) – (–25) + (–13) – (+21) + (–11); c) –7 + (–8 – 12) – (–15 + 2) + (–23) – (+1 – 3) + (–17); d) (–23 + 2) – (–18 + 21) + (–3) – (+21 –13) + (6 – 7).

5) Od razlike brojeva 9 i –12 oduzeti zbir brojeva –12 i –6.

6) Zbiru brojeva 12 i –32 dodati njihovu razliku.

7) Izračunati: a) –3 · (+7); b) 5 · (–9); c) –8 · 12; d) –9 · (+6 ); e) (–9) · (–7); f) (–18) : (–3) ; g) (+36) : (–9); h) (–20) : (+4); i) 12 : (–4); j) –50 : 10.

8) Izračunati vrijednost izraza: a) (–7) · (–8) – (–15) : (–3); b) 5 – (–12 : 3) + (–8) : (–5 – 3); c) 25 : (–5) + (–27) : (–9) + (–8·2) – (–35) + (–21); d) –2 · (–8 – 2) – (–24 + 2) + (–3) · (1 – 3) + (–5) · (–9).




VII razred

I nivo









vii razred

I nivo

Dijagonala 17




VII razred

I nivo









9) Riješiti jednačine: a) –2x = 14; b) –12x = –24; c) x : (–9) = 3; d) 3x – 6 = 18; e) 6 – 2x = 12; f) x : (–4) –7 = –3.

10) Koji broj treba dodati broju –17 da bi se dobio proizvod brojeva –5 i 8?

11) Od kojeg broja treba oduzeti razliku brojeva 12 i –4 da bi se dobio količnik brojeva – 30 i 6?

12) Riješiti nejednačine: a) 3x – 10 ≥ –28; b) 25 – 4x < 13; c) x : (–7) + 19 > 8; d) x : (–9 + 4) + 4 = 3 · (–5).

II nivo

1) Izračunati vrijednost izraza: a) –12 + (–8 – 22 –5) – (–15 + 2) + (5 – 3) – (–12 – 13) + (–4 + 7); b) – (–6 – 5 + (–8)) – (–1 + (–2 – 9) – (5 – 3)) – ((–2 – 3) + (–14 + 8)).

2) Izračunati vrijednost izraza: a) – (16 : (–8)) – (–12) : (5 – 3) – 2 · (–5 – 5) + (–7); b) (–6: (–3)) – (–3) · (–5) · (–4) – 7 · (–2) – (–5) : (+5); c) –4 · (–3 – 5) – (–8 + 9) · (–5 – 2) + (–4) · (–7) · (–4 + 8 +(–6)).

3) Riješiti jednačine: a) –12 – 3 – x – 6 = –8 + 7; b) 9 – (2 – x) = 1 – 3; c) 10 + (x – 4) – 17 = –32+9; d) 3 · (x – 3) = –23 – 1; e) 23 – (2x + 7) = 12; f) 17 – 5 · (x : (–4) – 3) = –3; g) (12 – x : (–4)) · (–3) = 15.

4) Riješiti nejednačine: a) 13 – 2 · (2x – 16) < 37; b) (2x – 8) · (3x + 12) < 0; c) (6 – 3x) · (5x – 20) ≥ 0;

5) Izračunati vrijednost izraza: 16 – 3x – 2y ako je: 3 – 2x = 9 i 2 – (10 – y) = 18 : (–9).

6) Izračunati 5x – 4y ako je: x = 25: (–5) – 2·│4–6│–│–6│ i y = 4 – 3 · (–5) – 2·│–7│+│2–3 · (–4)│.

7) Ako se od broja 24 oduzme trostruka vrijednost nekog broja uvećana za 4 dobija se 5. Koji je to broj?

8) Ako se dvostrukom zbiru brojeva –7 i 10 doda dvostruka vrijednost nekog broja dobija se količnik brojeva 36 i –9. Koji je to broj?




VII razred

I nivo









II nivo

9) Riješiti jednačine: a) –2x = 14; b) –12x = –24; c) x : (–9) = 3; d) 3x – 6 = 18; e) 6 – 2x = 12; f) x : (–4) –7 = –3.

10) Koji broj treba dodati broju –17 da bi se dobio proizvod brojeva –5 i 8?

11) Od kojeg broja treba oduzeti razliku brojeva 12 i –4 da bi se dobio količnik brojeva – 30 i 6?

12) Riješiti nejednačine: a) 3x – 10 ≥ –28; b) 25 – 4x < 13; c) x : (–7) + 19 > 8; d) x : (–9 + 4) + 4 = 3 · (–5).

II nivo

1) Izračunati vrijednost izraza: a) –12 + (–8 – 22 –5) – (–15 + 2) + (5 – 3) – (–12 – 13) + (–4 + 7); b) – (–6 – 5 + (–8)) – (–1 + (–2 – 9) – (5 – 3)) – ((–2 – 3) + (–14 + 8)).

2) Izračunati vrijednost izraza: a) – (16 : (–8)) – (–12) : (5 – 3) – 2 · (–5 – 5) + (–7); b) (–6: (–3)) – (–3) · (–5) · (–4) – 7 · (–2) – (–5) : (+5); c) –4 · (–3 – 5) – (–8 + 9) · (–5 – 2) + (–4) · (–7) · (–4 + 8 +(–6)).

3) Riješiti jednačine: a) –12 – 3 – x – 6 = –8 + 7; b) 9 – (2 – x) = 1 – 3; c) 10 + (x – 4) – 17 = –32+9; d) 3 · (x – 3) = –23 – 1; e) 23 – (2x + 7) = 12; f) 17 – 5 · (x : (–4) – 3) = –3; g) (12 – x : (–4)) · (–3) = 15.

4) Riješiti nejednačine: a) 13 – 2 · (2x – 16) < 37; b) (2x – 8) · (3x + 12) < 0; c) (6 – 3x) · (5x – 20) ≥ 0;

5) Izračunati vrijednost izraza: 16 – 3x – 2y ako je: 3 – 2x = 9 i 2 – (10 – y) = 18 : (–9).

6) Izračunati 5x – 4y ako je: x = 25: (–5) – 2·│4–6│–│–6│ i y = 4 – 3 · (–5) – 2·│–7│+│2–3 · (–4)│.

7) Ako se od broja 24 oduzme trostruka vrijednost nekog broja uvećana za 4 dobija se 5. Koji je to broj?

8) Ako se dvostrukom zbiru brojeva –7 i 10 doda dvostruka vrijednost nekog broja dobija se količnik brojeva 36 i –9. Koji je to broj?

18 Dijagonala

9) Koji broj se dobija kada se četvorostrukoj vrijednosti razlike brojeva –25 i –5 doda njihov količnik?

10) Od količnika brojeva –120 i 15 oduzeti proizvod brojeva 4 i –6 umanjen za –8.

Mira Vidić i Dragoslav Spalević, JU OŠ „Milan Vukotić”, Golubovci

VIII razred I nivo

1. U jednoj kutiji je 36 kuglica od kojih su 24 crvene, a ostalo su plave.

Odrediti: a) razmjeru broja crvenih i broja plavih kuglica; b) razmjeru broja plavih i ukupnog broja kuglica; c) koji dio ukupnog broja kuglica čine crvene kuglice? d) za koliko ima manje plavih od crvenih kuglica?

2. Sledeće razmjere zapisati kao razmjere prirodnih brojeva: a) 18 :

512 ; b) 0,8 : 0,004; c) 2

35 ∶ 0,4; d) 2

34 ∶ 1

12 .

3. Darija je na karti urađenoj u razmjeri 1 : 400 000 izmjerila rastojanje između dva grada 25,8 cm. Koliko je rastojanje između ta dva mjesta u prirodi?

4. Izračunati nepoznati član proporcije: 5 ∶ 𝑚𝑚 = 3 ∶ 2; b) 3 4 ∶

58 = 0,5 ∶ 𝑝𝑝; 𝑐𝑐) (1 − 0,2) ∶ (

35 +

12) =

(3 12 −14) ∶ 𝑥𝑥.

5. Marko, Nemanja i Uroš su zaradili 540 eura. Marko je radio 7 sati dne-

vno, Uroš 6 sati, a Nemanja 5. Zaradu su podijelili proporcionalno svojim radnim satima.

a) Koliko novca je zaradio Uroš? b) Koliko puta je više zaradio Marko od Nemanje? c) Koliko novca manje od Uroša je zaradio Nemanja?

6. Od 8 kg jabuka dobije se 10 litara soka. Koliko je jabuka potrebno za 35 litara soka?

7. Trgovac je nabavio 37 kg robe za 740 eura. Koliko kilograma te robe se može nabaviti za 1100 eura?

8. Ako jedan posao 18 radnika završi za 35 dana, koliko dana će na istom poslu raditi 45 radnika?

9. Natalija i Isidora su pošle na izlet biciklima. Vozeći prosječnom brzinom od 20 km/h došli su do teta Nele za 1 sat i 20 min. Kojom bi brzinom trebale voziti da bi isti put prešle za 50 min?

10. Odrediti: a) 25% od broja 128; b) 3,4% broja 58; c) 5% od broja 7 35 ; d) 0,02 % od broja 24.

11. Crna čokolada sadrži 80% kakaoa. Koliko grama kakaoa ima u pakova-nju od 90 gr crne čokolade?

12. Na prijemnom ispitu Nikola je od 17 zadataka tačno uradio 15. Koliki je procenat tačno urađenih zadataka?

13. Prošle školske godine u prvi razred gimnazije upisano je 180 učenika. Ove godine upisano je 20% više. Koliko je sada učenika upisanih u prvi razred?

14. Matija je osvojio 660 bodova, što je 75% bodova potrebnih za nagradu. Koliko je bodova potrebno za nagradu?

II nivo

1. Saturnu i Jupiteru je potrebno, redom, 9h 56 min i 10h 45 min da se se okrenu oko svoje ose. Odrediti razmjeru vremena potrebnog Saturnu i vremena potrebnog Jupiteru da se okrenu oko svoje ose. Razmjeru zapisati kao nesvodljivu.

2. U školi je razmjera broja velikih i broja malih prostorija 3:4. Ako je broj malih prostorija u ovoj školi 20, odrediti broj velikih prostorija.

3. Razmjera broja glasova za dva kandidata na predsjedničkim izborima je bila 5:7. Ako je uspješniji kandidat osvojio 20734 glasa koliko je glasova osvojio njegov protivnik?

4. Dužina i širina poda jedne sobe su 5 m i 3 m, redom. Keramičar je postavio 40 pločica, svaka površine od po 116𝑚𝑚

2, da bi djelimično popločao pod. Odrediti razmjeru popločanog i nepopločanog dijela poda.

5. Maja je preračunala da rastojanju od 40 km između mjesta A i B odgovara rastojanje od 2 cm na jednoj karti. a) U kojoj razmjeri je urađena karta? b) Maja želi da putuje iz mjesta A, u kom živi, do mjesta C. Kolika je uda-

ljenost između ovih mjesta ako su ona na ovoj karti udaljena 72 cm? 6. Jedan sportski klub može da kupi 12 dresova po cijeni od 30 eura po

komadu. Koliko će dresova moći da kupi za istu svotu novca ako prodavac smani cijenu za 6 eura?

7. Ako 6 radnika zaradi 1080 eura za 20 dana, koliko bi novca zaradilo 20 radnika za 8 dana?




VIII razred I nivo




512 ; b) 0,8 : 0,004; c) 2

35 ∶ 0,4; d) 2

34 ∶ 1

12 .



58 = 0,5 ∶ 𝑝𝑝; 𝑐𝑐) (1 − 0,2) ∶ (

35 +

12) =

(3 12 −14) ∶ 𝑥𝑥.













II nivo










viii razred

I nivo

Dijagonala 19




VIII razred I nivo




512 ; b) 0,8 : 0,004; c) 2

35 ∶ 0,4; d) 2

34 ∶ 1

12 .



58 = 0,5 ∶ 𝑝𝑝; 𝑐𝑐) (1 − 0,2) ∶ (

35 +

12) =

(3 12 −14) ∶ 𝑥𝑥.













II nivo













VIII razred I nivo




512 ; b) 0,8 : 0,004; c) 2

35 ∶ 0,4; d) 2

34 ∶ 1

12 .



58 = 0,5 ∶ 𝑝𝑝; 𝑐𝑐) (1 − 0,2) ∶ (

35 +

12) =

(3 12 −14) ∶ 𝑥𝑥.













II nivo










II nivo

20 Dijagonala

8. Petnaest robota može da napravi voz za 6 dana radeći dnevno po 5 sati. Za koliko dana bi 25 robota radeći dnevno po 6 sati završilo isti posao?

9. Fabrika sapuna proizvede 600 proizvoda za 9 dana uz pomoć 20 mašina. Koliko proizvoda se može napraviti za 3 dana uz pomoć 18 mašina?

10. U jednom odeljenju 30% učenika završilo je godinu sa odličnim uspjehom, 50% sa vrlo dobrim, a 6 učenika imalo je dobar uspjeh. Dovoljnih i nedovoljnih učenika nije bilo. a) Koliko je učenika u ovom odjeljenju? b) Koliko je učenika sa odličnim uspjehom?

11. Na sajmu knjiga Janko je knjigu s popustom od 15% platio 67,6 eura. Koliko je knjiga koštala prije pojeftinjenja?

12. Cijena patika je sa 120 eura snižena 10%. Za koliko procenata bi trebalo povećati novu cijenu da bi se dobila stara cijena?

13. Kako će se promijeniti površina pravougaonika ako njegovu duži-nu povećamo za 5% a širinu smanjimo za 2%?

14. Matija je odgovarao na pitanja iz matematike i istorije. On je tačno odgovorio na 72% od ukupno 200 pitanja. Kako god, Matija je tačno odgovorio na 53,3% matematičkih pitanja. Ako je 45% ukupnog broja pitanja bilo iz matematike, koji procenat pitanja iz istorije je Matija tačno odgovorio?

Milica Raičević, JU OŠ „Mirko Srzentić”, Petrovac

IX razred I nivo

1. Odrediti broj dijagonala i zbir unutrašnjih uglova mnogougla kod koga se

iz jednog tjemena može povući 11 dijagonala. 2. Odrediti broj dijagonala mnogougla čiji je zbir unutrašnjih uglova 2700º. 3. Da li uglovi 210º, 187º, 93º, 117º, 88º, 123º i 82º mogu biti uglovi sedmo-

ugla? 4. Odrediti obim pravilnog mnogougla čija dužina stranice iznosi 5 cm, a zbir

unutrašnjih uglova je 2340º. 5. Konstruisati pravilni šestougao čija je stranica dužine 4 cm. 6. Data je kocka ABCDA1B1C1D1.

a. Imenovati ravni određene tjemenima te kocke koje sadrže pravu p(C1,D1).

b. Imenovati ravni određene tjemenima te kocke koje sijeku ravan π(A,A1,D).

c. Odrediti međusobni položaj ravni π1(A,D,A1) i π2(B1, C1, D1).

7. Data je kocka ABCDA1B1C1D1. Imenovati: a. prave određene tjemenima te kocke koje su mimoilazne sa pravom

p(A1,B1); b. prave određene tjemenima te kocke koje sijeku pravu p(A,A1); c. ravni određene tjemenima te kocke normalne na pravu p(B,B1).

8. Neka je dat trougao ABC i na stranici BC tačka D tako da prava p sadrži tačku D. Nacrtati slike na kojima su prikazani svi mogući položaji prave p i q(A,C). Ispod svake slike dati objašnjenje.

9. Tačke A i B nalaze se sa iste strane ravni α. Odrediti dužinu duži AB, ako je rastojanje tačaka A i B do ravni α jednako redom 4cm i 9cm, a dužina njene ortogonalne projekcije iznosi 12 cm.

10. Kosa duž AB nagnuta je prema ravni α pod uglom od 45º i tačka A priprada ravni. Odrediti dužinu duži AB, ako njena ortogonalna projekcija iznosi 6 cm.

II nivo

1. Pokazati da nije tačno tvrđenje: ako je prava p mimoilazna sa pravom q, a prava q mimoilazna sa pravom r, tada su prave p i r mimoilazne.

2. Prava p je normalna na dva prečnika kružnice k(O,r) i prolazi kroz centar O. Dokazati da je prava p normalna na ravan te kružnice.

3. Tačka S ne pripada ravni kvadrata ABCD i jednako je udaljena od njegovih tjemena. Odrediti ortogonalnu projekciju tačke S na ravan tog kvadrata.

4. Tjeme C trougla ABC je normalna projekcija tačke D na ravan tog trougla. Odrediti rastojanje tačaka C i D do stranice AB, ako je AB = 44 cm, BC = 37 cm, CA = 15 cm i CD = 16 cm.

5. Kosa duž AB nagnuta je prema ravni α pod uglom od 60º i tačka A priprada ravni. Odrediti dužinu duži AB, ako je rastojanje tačke B do date ravni 6 cm.

6. Tačke A i B se nalaze sa različitih strana ravni α, a ugao između duži AB i njene ortogonalne projekcije je 30º. Odrediti dužinu duži AB, ako njena ortogonalna projekcija iznosi 5√5 cm.

7. Postoji li mnogougao koji ima 54 dijagonale? 8. Odrediti zbir unutrašnjih uglova mnogougla čiji je broj dijagonala 230. 9. Izračunati veličinu spoljašnjeg ugla pravilnog mnogougla ako je razlika

broja dijagonala i broja stranica 25. 10. Konstruisati pravilni osmougao čija je stranica dužine 3 cm.

Tanja Savić i Nikola Lješnjak, JU OŠ „Marko Miljanov“, Podgorica









IX razred I nivo













II nivo










iX razred

I nivo

Dijagonala 21









IX razred I nivo













II nivo


















IX razred I nivo













II nivo










II nivo

22 Dijagonala

Odabrani zadaci

VI razred

1) Pravougaonik je podijeljen na 12 jednakih kvadrata.

Izračunati obim pravougaonika ako mu je površina 48 𝑐𝑐𝑐𝑐2.

2) Naći najmanji četvorocifren broj djeljiv sa 3, 4 i 25 istovremeno? 3) Deset tačaka rasporediti na 5 pravih, tako da svakoj pravoj pripadaju po 4

tačke. Nacrtati sliku. 4) Ako se broj n podijeli sa 15 dobija se ostatak 9, a ako se broj k podijeli sa

15 ostatak je 2. Koliki je ostatak kada se razlika (n – k) podijeli brojem 15?

5) Odrediti elemente skupa X ako: A = {1,2,3,4}, B = {1,3,5}, C = {2,4,5,6}, D = {1,5,6,7}, X⊂ 𝐴𝐴, X∩(B∪ 𝐷𝐷) ≠ ∅ i (A∩ 𝐶𝐶) ∖ 𝑋𝑋 = ∅.

VII razred

1) Šta je veće: |A| ili |B|, ako A označava rješenje jednačine |x – 2| + 3 = 7, a B vrijednost izraza (3 – 5) : 2 + 2 – (– ( –3))?

2) Broj –180 prikazati kao proizvod četiri različita cijela broja. Na koliko se načina to može uraditi?

3) Zbir uglova i ß (≥ ß) u trouglu ABC je 105°, a njihova razlika 51°. Odrediti uglove trougla ABC.

4) Neka su a, b, c proizvoljni pozitivni brojevi. Pokazati da postoji trougao za čije stranice p, q i r važi: p = a + b, q = b + c i r = a + c.

ODabRaNi ZaDaCi

vi razred

vii razred

Dijagonala 23

VIII razred

1) Cijena cipela je prvo povećana za 10%, a potom umanjena za 10%. Koliko su koštale cipele ako je razlika između te dvije cijene 4,8 eura?

2) Grupa od 9 radnika treba da završi posao za 46 dana. Nakon 6 dana rada, grupi se pridruži još 6 radnika. Koliko dana prije roka je završen posao?

3) Farmerice koštaju 48 eura. Poslije sniženja broj kupaca se povećao za 50%, a prihod uvećao za 25%. Kolika je nova cijena farmerki?

4) Dokazati da ako je kvadrat nekog prirodnog broja n paran broj, tada je i n paran broj.

IX razred

1) Izračunati površinu pravilnog osmougla ako je stranica dužine 4 cm, a srednja dijagonala 8 cm.

2) Kod kojeg je mnogougla broj dijagonala 9 puta veći od broja stranica? 3) Dva jednakokraka trougla ABC i ABD sa zajedničkom osnovicom AB

dužine 16 cm pripadaju stranama diedra čiji je ugao 60°. Odrediti rasto-janje između tačaka C i D ako je AC = 10 cm, a AD = 4√13 cm.

4) Data je funkcija f(x) = x10 – 12x9 + 12x8 – 12x7 + ... –12x3 + 12x2 – 12x + 2019. Odrediti f(11).

Konkursni zadaci iz prošlog broja VI razred

1) Goca i Nina imaju jednak broj jabuka. Goca svoje jabuke prodaje po cijeni 3 jabuke za 1 €, a Nina 2 jabuke za 1 €. Ako sastave jabuke i prodaju ih po cijeni 5 jabuka za 2 €, onda će zaraditi 4 € manje nego da jabuke prodaju pojedinačno. Koliko su jabuka imale Goca i Nina, ako i pri pojedinačnoj i pri zajedničkoj prodaji ne ostane nijedna jabuka?

2) Uporediti razlomke 399799 i

39997999 .

VII razred

1) Koliki je zbir prvih 450 decimala u decimalnom zapisu razlomka 70011

?

2) Zadat je jednakokraki trougao ABC (AB=AC ), tako da je 50BAC . Na stranici BC odabrana je tačka M tako da je 50=BAM , a na stranici AC tačka N tako da je AM=AN. Kolika je veličina ugla CMN ?

vii razred

viii razred

iX razred

KONKURSNi ZaDaCi iZ pROšlOG bROjavi razred

VIII razred





IX razred








39997999 .

VII razred


?


VIII razred





IX razred








39997999 .

VII razred


?


VIII razred





IX razred








39997999 .

VII razred


?


24 Dijagonala

VIII razred 1) Koliko uzastopnih prirodnih brojeva treba sabrati da bi se dobio broj 2019?

Odrediti sva moguća rješenja. 2) Neka je dat jednakostranični trougao ABC i proizvoljna tačka M koja pripada

tom trouglu. Dokazati da je zbir rastojanja tačke M do stranica trougla ABC jednak visini tog trougla.

IX razred 1) Mnogougao sa m stranica ima 1999 dijagonala više od mnogougla sa n stranica.

Odrediti m i n. 2) Tjemena A, B i C jednakostraničnog ΔABC, čija je stranica 4 cm, udaljena su od

ravni redom 1 cm, 2 cm i 3 cm. Ako su A, B i C normalne projekcije tačaka A, B i C na ravan , odrediti površinu trougla ABC.

Rješenja VI razred 1. Broj jabuka koje prodaje Goca djeljiv je sa 3, ali toliko jabuka ima i Nina,

pa taj broj mora biti djeljiv i sa 2. Taj broj mora biti djeljiv i sa 5, zbog uslova prodaje kad sastave obje količine. Kako je NZS za 2,3 i 5 broj 30, zaključujemo da su Goca i Nina prodavale po k30 jabuka. Pri prodaji 3 jabuke za 1 €, Goca bi zaradila k10 eura, dok bi Nina zaradila k15 eura. Ukupna zarada bila bi k25 eura. Ako bi sastavile obje gomile, imale bi k60 jabuka i pri prodaji 5 jabuka za 2 € zaradile bi ( ) kk 2425:60 = eura.

Onda je 42425 += kk , pa je .4=k Prema tome Goca i Nina su imale po 12043030 ==k jabuka.

2. Kako je 7994001

799399

−= i 799940001

79993999

−= , uporedićemo

razlomke 799400 i

79994000 . Dobijamo

79994000

79904000

799400

= , odnosno

79993999

799940001

7994001

799399

=−−= .

Rješenja VII razred

RješeNja KONKURSNih ZaDataKaiZ pROšlOG bROja










2. Kako je 7994001

799399

−= i 799940001

79993999

−= , uporedićemo

razlomke 799400 i

79994000 . Dobijamo

79994000

79904000

799400

= , odnosno

79993999

799940001

7994001

799399

=−−= .


viii razred

iX razred

vi razred

Dijagonala 25










2. Kako je 7994001

799399

−= i 799940001

79993999

−= , uporedićemo

razlomke 799400 i

79994000 . Dobijamo

79994000

79904000

799400

= , odnosno

79993999

799940001

7994001

799399

=−−= .


1. Decimalni zapis razlomka 70011

je 57142801,0...14280157142857,0 = i

sastoji se od pretperioda 01 i šestоcifrenog perioda 571428 koji se ponavlja. Zbir prve dvije decimale je 1. Treba izračunati zbir preostalih 448. Budući da je 448 = 74 · 6 + 4, jer se grupa od 6 cifara pojavljuje 74 puta, a potom još prve četiri cifre perioda. Zbir cifara u periodu je 27, pa je traženi zbir 1 + 74 · 27 + 5 + 7 + 1 + 4 = 2016.

2.

CMA je spoljašnji ugao trougla AMB pa važi: 50+=+ yx (1). ANM je spoljašnji ugao trougla MCN pa važi: += xy (2).

Iz (1) i (2) imamo: 50+=++ xx , odnosno 2 x = 50°, odnosno x = 25°. Veličina ugla CMN je 25 .

Rješenja VIII razred

1. Neka su dati uzastopni brojevi x, x+1, x+2, … , x+n čiji zbir je 2019.

Dobijamo zbir: 𝑥𝑥 + (𝑥𝑥 + 1) + (𝑥𝑥 + 2) + ⋯+ (𝑥𝑥 + 𝑛𝑛) = 2019, pa kada se oslobodimo zagrada i sredimo izraz, dobijamo (𝑛𝑛 + 1)𝑥𝑥 + (1 + 2 +⋯+ 𝑛𝑛) =2019. Kako je suma prvih n prirodnih brojeva jednaka je 1 + 2 +⋯+𝑛𝑛 = 𝑛𝑛(𝑛𝑛+1)2 , dobija se sledeća jednačina:

(𝑛𝑛 + 1)𝑥𝑥 + 𝑛𝑛(𝑛𝑛 + 1)2 = 2019 (𝑛𝑛 + 1) [𝑥𝑥 + 𝑛𝑛2] = 2019, odnosno (𝑛𝑛 + 1)(2𝑥𝑥 + 𝑛𝑛) = 4038.

Ako broj 4038 rastavimo na proste činioce, dobija se: (𝑛𝑛 + 1)(2𝑥𝑥 + 𝑛𝑛) =2 ∙ 3 ∙ 673.







Rješenja VI razred 1. Broj jabuka koje prodaje Goca djeljiv je s

miodrag lalić - wordpress.comzanimljiva matematika ..... 38 konkursni zadaci ..... 39 Štampanje...

Documents