mir - lml - korovkin p. p. - inequalities - 1975

7/29/2019 MIR - LML - Korovkin P. P. - Inequalities - 1975

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L i t t l e M a t h e m a t i c s L i b r a r y0 0

P . P . K O R O V K I NI N E Q U A L I T I E S

M i r P u b l i s h e r s . M o s c o w


2/74

c"aSIv


3/74

I I O I I Y J I $ I P H b I E J I E H I Z H H H O M A T E M A T H H E

H . H . I C o p o B H A HH E P A B E H C T B AI I 3 j [ A T E J I b G T B O H A Y H A


4/74

L I T T L E M A T H E M A T I C S L I B R A R Y

P . P . K o r o v k i n

I N E Q U A L I T I E ST r a n s l a t e d f r o m t h e R u s s i a n

b yS e r g e i V r u b e l

M I . R P U B L I S H E R SM O S C O W


5/74

F i r s t P u b l i s h e d 1 9 7 5

H a a u M u U c , c o 1 4 m u t c eQ H a ) a T e n a c T B O u H a y x a , 1 9 7 4

Q E n g l i s h t r a n s l a t i o n , M i r P u b l i s h e r s , t 9 7 5


6/74

C O N T E N T S

P r e f a c e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

C h a p t e r 1 . I n e q u a l i t i e s 71 . 1 . T h e W h o l e P a r t o f a N u m b e r . . . . . . . . . . . . . 71 . 2 . T h e A r i t h m e t i c M e a n a n d t h e G e o m e t r i c M e a n . . . . . 1 21 . 3 . T h e N u m b e r . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 91 . 4 . T h e B e r n o u l l i I n e q u a l i t y . . . . . . . . . . . . . 2 31 . 5 . T h e M e a n P o w e r o f N u m b e r s . . . . . . . . . . . . . 2 7

C h a p t e r 2 . U s e s o f I n e q u a l i t i e s 3 22 . 1 . T h e G r e a t e s t a n d t h e L e a s t F u n c t i o n V a l u e s . . . . . 3 22 . 2 . T h e H o l d e r I n e q u a l i t y . . . . . . . . . . . . . . . . 4 02 . 3 . T h e U s e o f I n e q u a l i t i e s f o r C a l c u l a t i o n o f L i m i t s . . . . 4 32 . 4 . T h e U s e o f I n e q u a l i t i e s f o r A p p r o x i m a t e C a l c u l a t i o n o f

Q u a n t i t i e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 9

S o l u t i o n s t o E x e r c i s e s . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 8

5


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P R E F A C E

I n t h e m a t h e m a t i c s c o u r s e o f s e c o n d a r y s c h o o l s s t u d e n t sg e t a c q u a i n t e d w i t h t h e p r o p e r t i e s o f i n e q u a l i t i e s a n d m e -t h o d s o f t h e i r s o l u t i o n i n e l e m e n t a r y c a s e s ( i n e q u a l i t i e so f t h e f i r s t a n d t h e s e c o n d d e g r e e ) .I n t h i s b o o k l e t t h e a u t h o r d i d n o t p u r s u e t h e a i m o fp r e s e n t i n g t h e b a s i c p r o p e r t i e s o f i n e q u a l i t i e s a n d m a d ea n a t t e m p t o n l y t o f a m i l i a r i z e s t u d e n t s o f s e n i o r c l a s s e sw i t h s o m e p a r t i c u l a r l y r e m a r k a b l e i n e q u a l i t i e s p l a y i n g a ni m p o r t a n t r o l e i n v a r i o u s s e c t i o n s o f h i g h e r m a t h e m a t i c sa n d w i t h t h e i r u s e f o r f i n d i n g t h e g r e a t e s t a n d t h e l e a s tv a l u e s o f q u a n t i t i e s a n d f o r c a l c u l a t i n g s o m e l i m i t s .T h e b o o k c o n t a i n s 6 3 p r o b l e m s , 3 5 o f w h i c h a r e p r o v i d e dw i t h d e t a i l e d s o l u t i o n s , c o m p o s i n g t h u s i t s m a i n s u b j e c t ,a n d 2 8 o t h e r s a r e g i v e n i n S e c t i o n s 1 . 1 a n d 2 . 1 , 2 . 3 , 2 . 4a s e x e r c i s e s f o r i n d i v i d u a l t r a i n i n g . A t t h e e n d o f t h eb o o k t h e r e a d e r w i l l f i n d t h e s o l u t i o n s t o t h e g i v e ne x e r c i s e s .T h e s o l u t i o n o f s o m e d i f f i c u l t p r o b l e m s c a r r i e d o u t i n d i -v i d u a l l y w i l l u n d o u b t e d l y d o t h e r e a d e r m o r e g o o d t h a nt h e s o l u t i o n o f a l a r g e n u m b e r o f s i m p l e o n e s .F o r t h i s r e a s o n w e s t r o n g l y r e c o m m e n d t h e r e a d e r s t op e r f o r m t h e i r o w n s o l u t i o n s b e f o r e r e f e r r i n g t o t h e s o l u t i o n sg i v e n b y t h e a u t h o r a t t h e e n d o f t h e b o o k . H o w e v e r , o n es h o u l d n o t b e d i s a p p o i n t e d i f t h e o b t a i n e d r e s u l t s d i f f e rf r o m t h o s e o f t h e p a t t e r n s . T h e a u t h o r c o n s i d e r s i t a s

a p o s i t i v e f a c t o r .W h e n p r o v i n g t h e i n e q u a l i t i e s a n d s o l v i n g t h e g i v e np r o b l e m s , t h e a u t h o r h a s u s e d o n l y t h e p r o p e r t i e s o f i n e q u a -l i t i e s a n d l i m i t s a c t u a l l y c o v e r e d b y t h e c u r r i c u l u m o nm a t h e m a t i c s i n t h e s e c o n d a r y s c h o o l . P . K o r o v k i n .6


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C H A P T E R 1I n e q u a l i t i e s

T h e i m p o r t a n t r o l e o f i n e q u a l i t i e s i s d e t e r m i n e d b y t h e i ra p p l i c a t i o n i n d i f f e r e n t f i e l d s o f n a t u r a l s c i e n c e a n d e n g i -n e e r i n g . T h e p o i n t i s t h a t t h e v a l u e s o f q u a n t i t i e s d e f i n e df r o m v a r i o u s p r a c t i c a l p r o b l e m s ( e . g . t h e d i s t a n c e t o t h eM o o n , i t s s p e e d o f r o t a t i o n , e t c . ) m a y b e f o u n d n o t e x a c t l y ,b u t o n l y a p p r o x i m a t e l y . I f x i s t h e f o u n d v a l u e o f a q u a n t i -t y , a n d O x i s a n e r r o r o f i t s m e a s u r e m e n t , t h e n t h e r e a lv a l u e y s a t i s f i e s t h e i n e q u a l i t i e sx - I A x I < y < x + I A x { .

W h e n s o l v i n g p r a c t i c a l p r o b l e m s , i t i s n e c e s s a r y t o t a k ei n t o a c c o u n t a l l t h e e r r o r s o f t h e m e a s u r e m e n t s . M o r e o v e r ,i n a c c o r d a n c e w i t h t h e t e c h n i c a l p r o g r e s s a n d t h e d e g r e e o fc o m p l e x i t y o f t h e p r o b l e m , i t b e c o m e s n e c e s s a r y t o i m p r o v et h e t e c h n i q u e o f m e a s u r e m e n t o f q u a n t i t i e s . C o n s i d e r a b l ee r r o r s o f m e a s u r e m e n t b e c o m e i n a d m i s s i b l e i n s o l v i n gc o m p l i c a t e d e n g i n e e r i n g p r o b l e m s ( i . e . , l a n d i n g t h e m o o n -c a r i n a s p e c i f i e d r e g i o n o f t h e M o o n , l a n d i n g s p a c e s h i p so n t h e V e n u s a n d s o o n ) .1 . 1 . T h e W h o l e P a r t o f a N u m b e r

T h e w h o l e ( o r i n t e g r a l ) p a r t o f t h e n u m b e r x ( d e n o t e d b y[ x ] ) i s u n d e r s t o o d t o b e t h e g r e a t e s t i n t e g e r n o t e x c e e d -i n g x . I t f o l l o w s f r o m t h i s d e f i n i t i o n t h a t [ x ] < x , s i n c et h e i n t e g r a l p a r t d o e s n o t e x c e e d x . O n t h e o t h e r h a n d ,s i n c e [ x ] i s t h e g r e a t e s t i n t e g e r , s a t i s f y i n g t h e l a t t e r i n e -q u a l i t y , t h e n [ x ] + 1 > x .T h u s , [ x ] i s t h e i n t e g e r ( w h o l e n u m b e r ) d e f i n e d b y t h ei n e q u a l i t i e s [ x ] < x C ' [ x ] + , I . .

7


9/74

F o r e x a m p l e , f r o m t h e i n e q u a l i t i e s3 < n < 4 , 5 < 3 < 6 , - 2 < - Y 2 < - 1 , 5 = 5 < 6i t f o l l o w s t h a t

[ n ] - 3 , 1 3 7 5 , 2 , [ 5 ] = 5 .T h e a b i l i t y t o f i n d t h e i n t e g r a l p a r t o f a q u a n t i t y i s a ni m p o r t a n t f a c t o r i n a p p r o x i m a t e c a l c u l a t i o n s . I f w e h a v et h e s k i l l t o f i n d a n i n t e g r a l p a r t o f a q u a n t i t y x , t h e n t a k i n g[ x ] o r [ x ] + I f o r a n a p p r o x i m a t e v a l u e o f t h e q u a n t i t y x ,w e s h a l l m a k e a n e r r o r w h o s e q u a n t i t y i s n o t g r e a t e r t h a n 1 ,

s i n c e 0 < x - [ x ] < [ x ] + 1 - [ x ] = 1 ,0 < [ x ] + 1 - x < [ x ] + 1 - [ x ] = 1 .F u r t h e r m o r e , t h e k n o w l e d g e o f t h e i n t e g r a l p a r t o f a q u a n t i -t y p e r m i t s t o f i n d i t s v a l u e w i t h a n a c c u r a c y u p t o 12T h e q u a n t i t y [ x ] + 2 m a y b e t a k e n f o r t h i s v a l u e .Y e t , i t i s i m p o r t a n t t o n o t e , t h a t t h e a b i l i t y t o f i n d t h ew h o l e p a r t o f a n u m b e r w i l l p e r m i t t o d e f i n e t h i s n u m b e ra n d , w i t h a n y d e g r e e o f a c c u r a c y . I n d e e d , s i n c e

[ N x ] < N x < [ N x ] + 1 ,t h e n

T h u s , t h e n u m b e r[ N x ] G x [ N x ] + 1N N

[ N x ] 1- ) V + - I N -1d i f f e r s f r o m t h e n u m b e r x n o t m o r e t h a n b y N , . W i t h l a r g eN t h e e r r o r w i l l b e s m a l l . T h e i n t e g r a l p a r t o f a n u m b e r i s

f o u n d i n t h e f o l l o w i n g p r o b l e m s .P r o b l e m 1 . F i n d t h e i n t e g r a l p a r t o f t h e n u m b e r

8


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S o l u t i o n . L e t u s u s e t h e f o l l o w i n g i n e q u a l i t i e s1 < 1 < 1 ,0 . 7 < j / Z < 0 . 8 ,0 . 5 < V < 0 . 6 ,

0 . 5 < 4 < 0 . 5 ,0 . 4 < I / < 0 . 5

( w h i c h a r e o b t a i n e d b y e x t r a c t i n g r o o t s ( e v o l u t i o n ) w i t ha n ' a c c u r a c y t o 0 . 1 i n e x c e s s o r d e f i c i e n c y ) . C o m b i n i n g t h e mw e g e t1 + 0 . 7 + 0 . 5 + 0 . 5 + 0 . 4 < x


11/74

a n d

i t f o l l o w s t h a tY n T - 1 > Y n ,

2 1 / n + 1 - 2 1 / n < 2 - 1T h e r e b y p r o o f h a s b e e n m a d e f o r t h e f i r s t p a r t o f t h e i n e q u a -l i t y ( 1 ) ; i t s s e c o n d p a r t i s p r o v e d i n a s i m i l a r w a y .A s s u m i n g i n t h e i n e q u a l i t i e s ( 1 ) n = 2 , 3 , 4 , . . . , n ,w e g e t2 1 / 3 - 2 1 / 2 ( n ) = c a .

S o t h e f i r s t p a r t o f t h e i n e q u a l i t y ( 6 ) i s p r o v e d ; t h e s e c o n di s p r o v e d i n a s i m i l a r w a y .p " F r o m t h e i n e q u a l i t y ( 6 ) i t f o l l o w s , i n p a r t i c u l a r , t h a tt h e h a r m o n i c m e a n c _ 1 d o e s n o t e x c e e d t h e a r i t h m e t i cm e a n c 1 .P r o b l e m 8 . P r o v e t h a t i f a 1 , a 2 , . . . , a n a r e p o s i t i v en u m b e r s , t h e n

( a 1 + a 2 + . . . + a n ) ( a 1 2 - { - . . . + n ) , n 2 .S o l u t i o n . S i n c e c _ 1 < g < c 1 i t h e n- 1 1 1 1 n- - F - H - . . . + - -a 1 a 2 a ni t f o l l o w s f r o m t h i s i n e q u a l i t y t h a t

= C j .

n 2 < ( a t + a 2 + . . . - a n ) ( a + a + . . . + a n

n < a 1 + a 2 + . . . + a n

1 8


20/74

P r o b l e m 9 . P r o v e t h e i n e q u a l i t yn a l a 2 . . . a , < a i - } - a 2 + . . . H - a n , ( 7 )w h e r e a 1 > 0 , a 2 > 0 , . . . , a , , > 0 .

S o l u t i o n . S i n c e t h e g e o m e t r i c m e a n d o e s n o t e x c e e d t h ea r i t h m e t i c m e a n , t h e nV n n n n +a 1 a 2 . . . a n = V a 1 a 2 . . . a n nM u l t i p l y i n g b o t h m e m b e r s o f t h i s i n e q u p 1 } t y b y n , w e s h a l lg e t t h e i n e q u a l i t y ( 7 ) .F r o m t h e i n e q u a l i t y ( 7 ) i t f o l l o w s , t h a t

2 a 1 a 2 < a ; + a 2 , 3 a j a 2 a 3 G a ' + a , + a 3 ,4 a j a 2 a 3 a 4 < a ; + a z + a 3 + a 4 ,

t h a t i s , t h e d o u b l e d p r o d u c t o f t w o p o s i t i v e n u m b e r s d o e s n o te x c e e d t h e s u m o f t h e i r s q u a r e s , t h e t r e b l e d p r o d u c t o f t h r e en u m b e r s d o e s n o t e x c e e d t h e s u m o f t h e i r c u b e s a n d s o o n .1 . 3 . T h e N u m b e r e

T h e n u m b e r e p l a y s a n i m p o r t a n t r o l e i n m a t h e m a t i c s .W e s h a l l c o m e t o i t s d e t e r m i n a t i o n a f t e r c a r r y i n g o u t t h es o l u t i o n o f a n u m b e r o f p r o b l e m s i n w h i c h o n l y T h e o r e m 2i s u s e d .P r o b l e m 1 . P r o v e t h a t f o r a n y p o s i t i v e n u m b e r s a , b ,( a b ) t h e i n e q u a l i t yn + 1 / a b n a + n bn + 1i s t r u e .S o l u t i o n . W e h a v e n

n + / a b n = n + V a b b . . . b < a - b b . . . } b a { n bn + 1 n + 1na n d t h a t s u i t s t h e r e q u i r e m e n t .P r o b l e m 2 . P r o v e t h a t w i t h t h e i n c r e a s e o f t h e n u m b e rn t h e q u a n t i t i e s_ ( 1 1n - ( 1 + n ) n a n d z n 1 n ) n

2 * 1 9


21/74

i n c r e a s e , i . e .1 n + 1x n < x n + 1 = ( 1 + n + 1 ) , \ \ n + 1z n < Z n + 1 = ( t - 1n + t )

S o l u t i o n . S e t t i n g i n t h e i n e q u a l i t y o f t h e p r e v i o u s p r o b -l e m a = t , b = t + 1 , w e g e tn + 1 t t 1 1 + n 1n 1R a i s i n g b o t h p a r t s o f t h e i n e q u a l i t y t o t h e ( n + 1 ) t h p o w e r ,w e s h a l l o b t a i n

( t + 1 1 n < 1 n + 1) ( t + n + 1 ) , t h a t i s x n < x n + iT h e s e c o n d i n e q u a l i t y i s p r o v e d i n a s i m i l a r w a y .P r o b l e m 3 . P r o v e t h a t1 1 n + 1y n = ( t + n )d e c r e a s e s w i t h t h e i n c r e a s e o f t h e n u m b e r n , t h a t i s

n + 1 ) n + 2Y n > y n + 1 = ( t + 1S o l u t i o n . W e h a v e

1 n - i - 1y n = ( t + n ) n + 1 n ) n + 1 = n n + 1( n + 1 )1 _ 1

( 1 Z n + 1n + 1 ) f l + 1( s e e d e s i g n a t i o n s o f P r o b l e m 2 ) . S i n c e z n i n c r e a s e s w i t ht h e i n c r e a s e o f t h e n u m b e r n , t h e n y n d e c r e a s e s .I n P r o b l e m s 2 a n d 3 w e h a v e p r o v e d t h a t

x 1 = ( t + 1 ) 1 = 2 < x 2 = ( t + 2 ) 2 == 2 . 2 5 < x 3 < . . . < x n < . . . ,y 1 = ( t + 2 ) 2 = = 4 > y 2 =

( t + 1 ) ' = 3 . 3 7 5 > Y 3 > . . > y n > . . .2 0


22/74

O n t h e o t h e r h a n d ,2 = x 1 < x n = ( 1 + n ) n < ( 1 H - n I n + t - y n < y 1 - 4 .

T h u s , t h e v a r i a b l e x n s a t i s f i e s t w o c o n d i t i o n s :( 1 ) x n m o n o t o n i c a l l y i n c r e a s e s t o g e t h e r w i t h t h e i n c r e a s eo f t h e n u m b e r n ;( 2 ) x n i s a l i m i t e d q u a n t i t y , 2 < x , < 4 .I t i s k n o w n , t h a t m o n o t o n i c a l l y i n c r e a s i n g a n d r e s t r i c t e dv a r i a b l e h a s a l i m i t . H e n c e , t h e r e e x i s t s a l i m i t o f t h ev a r i a b l e q u a n t i t y x n . T h i s l i m i t i s m a r k e d b y t h e l e t t e r e ,t h a t i s , e = J i m x = l i m ( 1 + 1- ) n .n - . o o n - . o o nA s t h e q u a n t i t y x n i n c r e a s e s r e a c h i n g i t s l i m i t , t h e n x n i ss m a l l e r t h a n i t s l i m i t , t h a t i s

x n = ( 1 + n ) n < e . ( 8 )I t i s n o t d i f f i c u l t t o c h e c k t h a t e < 3 . I n d e e d , i f t h e n u m -b e r n i s h i g h , t h e n

1x n < y n < y 5 ( 1 5 ) = 2 . 9 8 5 9 8 4 .H e n c e , e = l i m x n < , 2 . 9 8 5 9 8 4 < 3 .n - . o o

I n m a t h e m a t i c s , t h e n u m b e r e t o g e t h e r w i t h t h e n u m b e r a ti s o f g r e a t s i g n i f i c a n c e . I t i s u s e d , f o r i n s t a n c e , a s t h e b a s eo f l o g a r i t h m s , k n o w n a s n a t u r a l l o g a r i t h m s . T h e l o g a r i t h mo f t h e n u m b e r N a t t h e b a s e e i s s y m b o l i c a l l y d e n o t e d b yI n N ( r e a d s : l o g a r i t h m n a t u r a l N ) .I t i s c o m m o n k n o w l e d g e t h a t t h e n u m b e r s e a n d a t a r ei r r a t i o n a l . E a c h o f t h e m i s c a l c u l a t e d w i t h a n a c c u r a c y o fu p t o 8 0 8 s i g n s a f t e r t h e d e c i m a l p o i n t , a n de = 2 . 7 1 8 2 8 1 8 2 8 5 4 9 0 . . . .N o w , l e t u s s h o w t h a t t h e l i m i t o f t h e v a r i a b l e y n a l s oe q u a l s e . I n d e e d ,

l i m y " = l i m ( 1 + n ) n + 1 . 1 i m ( 1 + 1 ) n ( 1 ne - 1 = e .

2 1


23/74

S i n c e y , t i d i m i n i s h e s c o m i n g c l o s e t o t h e n u m b e r e ( P r o -b l e m 2 ) , t h e n1 n + ii 1 ) > e .

P r o b l e m 4 . P r o v e t h e i n e q u a l i t y( 9 )

n ! > ( e n y . ( 1 0 )S o l u t i o n . W e s h a l l p r o v e t h e i n e q u a l i t y ( 1 0 ) u s i n g t h em e t h o d o f m a t h e m a t i c a l i n d u c t i o n . T h e i n e q u a l i t y i s e a s i l yc h e c k e d f o r n = 1 . A c t u a l l y ,

1 1 = 1 > eA s s u m e , t h a t t h e i n e q u a l i t y ( 1 0 ) i s t r u e f o r n = k , t h a t i sk ! > ( e ) k .

M u l t i p l y i n g b o t h m e m b e r s o f t h e l a s t i n e q u a l i t y b y k + 1 ,w e g e t( k + 1 ) k ! = ( k + 1 ) ! > ( k ) k ( k + 1 ) = ( k e g ` k + 1 e 1 kJ + k )S i n c e , a c c o r d i n g t o t h e i n e q u a l i t y ( 8 ) ( 1 +

k

) k < e , t h e n( k + 1 ) ! > ( k 7 1 ) k + 1 e ( k + 1 ) k + 1e e e

t h a t i s t h e i n e q u a l i t y ( 9 ) i s p r o v e d f o r n = k + 1 . T h u st h e i n e q u a l i t y ( 9 ) i s p r o v e d t o b e t r u e f o r a l l v a l u e s o f n .S i n c e e < 3 , i t f o l l o w s f r o m t h e i n e q u a l i t y ( 9 ) t h a tn ! > ( 3 ) n .

B y m e a n s o f t h e l a s t i n e q u a l i t y , i t i s e a s y t o p r o v e t h a t3 0 0 ! > 1 0 0 3 0 0

I n d e e d , s e t t i n g i n i t n = 3 0 0 , w e g e t3 0 0 1 > ( 3 3 0 ) 3 0 0 _ 1 0 0 3 0 0 .

2 2


24/74

T h e i n e q u a l i t y n ! < e ( n + 1 ) n + 1ei s p r o v e d c o m p l e t e l y t h e s a m e w a y a s i t i s d o n e w i t h t h ei n e q u a l i t y o f P r o b l e m 4 .1 . 4 . T h e B e r n o u l l i I n e q u a l i t y

I n t h i s s e c t i o n , m a k i n g u s e o f T h e o r e m 2 w e s h a l l p r o v et h e B e r n o u l l i i n e q u a l i t y w h i c h i s o f i n d i v i d u a l i n t e r e s ta n d i s o f t e n u s e d i n s o l v i n g p r o b l e m s .T h e o r e m 3 . I f x > - 1 a n d 0 < a < 1 , t h e n( 1 + x ) a + a x . ( 1 1 )

H o w e v e r i f a < 0 o r a > 1 , t h e n( 1 + x ) 0 1 > 1 + a x . ( 1 2 )T h e s i g n o f e q u a l i t y i n ( 1 1 ) a n d ( 1 2 ) h o l d s o n l y w h e n x = 0 .P r o o f . S u p p o s e t h a t a i s a r a t i o n a l n u m b e r , b e a r i n g i nm i n d t h a t 0 < a < 1 . L e t a = n , w h e r e m a n d n a r ep o s i t i v e i n t e g e r s , 1 < m < n . S i n c e a c c o r d i n g t o t h e c o n d i -t i o n , 1 + x > 0 , t h e n

M( 1 + x ) a = ( 1 + x ) n = V ( 1 + x ) m , 1 n - m _= V ( 1 + x ) ( 1 + x ) . . . 1

m n - mnm ( I x ) + n - m n + m x 1 m X . 1 a x .n n + n +

T h e s i g n o f e q u a l i t y o c c u r s o n l y w h e n a l l m u l t i p l i e r s s t a n d -i n g u n d e r t h e r o o t s i g n a r e i d e n t i c a l , i . e . , w h e n I + x = 1 ,x = 0 . B u t i f x 0 , t h e n( 1 + x ) a < 1 + a x .T h u s , w e h a v e p r o v e d t h e f i r s t p a r t o f t h e t h e o r e m c o n s i d e -r i n g t h e c a s e , w h e n a i s a r a t i o n a l n u m b e r .

2 3


25/74

A s s u m e n o w , t h a t a i s a n i r r a t i o n a l n u m b e r , 0 < a < 1 .L e t r 1 , r 2 , . . . , r , . . . b e t h e s e q u e n c e o f r a t i o n a l n u m b e r s ,h a v i n g f o r a l i m i t t h e n u m b e r a . B e a r i n m i n d t h a t 0 - 1 , n = 1 , 2 , 3 , . . . ,a l r e a d y p r o v e d b y u s f o r t h e c a s e w h e n t h e e x p o n e n t i sa r a t i o n a l n u m b e r , i t f o l l o w s t h a t( 1 - J x ) a = - J i m ( 1 + x ) ' n < l i m ( 1 + r r x ) = 1 + a x .r n - . a r n - . aT h u s t h e i n e q u a l i t y ( 1 1 ) i s p r o v e d f o r i r r a t i o n a l v a l u e s o f aa s w e l l . W h a t w e s t i l l h a v e t o p r o v e i s t h a t f o r i r r a t i o n a lv a l u e s o f a w h e n x * 0 a n d 0 < a < 1( 1 + x ) a < I - r - a x ,

i . e . , t h a t w h e n x 0 i n ( 1 1 ) , t h e s i g n o f e q u a l i t y d o e s n o th o l d . F o r t h i s r e a s o n , t a k e a r a t i o n a l n u m b e r r s u c h t h a ta < r < 1 . O b v i o u s l y , w e h a v e( 1 + x ) a = [ ( 1 4 _ x ) r ] r .

S i n c e 0 a < 1 , t h e n a s i t h a s a l r e a d y b e e n p r o v e d( 1 - F x ) r + X .H e n c e ,

( ' J + x ) a < ( 1 + a x ) r .I f x 0 , t h e n ( 1 - F - x ) r < I + r a x - 1 - ; - a x , t h a t i s( 1 + x ) a < 1 + a x .T h u s t h e f i r s t p a r t o f t h e t h e o r e m i s p r o v e d c o m p l e t e l y .N o w , m o v e o n t o p r o v i n g t h e s e c o n d . p a r t o f t h e t h e o r e m .I f 1 + a x < 0 , t h e n t h e i n e q u a l i t y ( 1 2 ) i s o b v i o u s , s i n c ei t s l e f t p a r t i s n o t n e g a t i v e , a n d i t s r i g h t p a r t i s n e g a t i v e .I f 1 - + - a x > 0 , a x > - 1 , t h e n l e t u s c o n s i d e r b o t hc a s e s s e p a r a t e l y .S u p p o s e a > 1 ; t h e n b y v i r t u e o f t h e f i r s t p a r t o f t h et h e o r e m p r o v e d a b o v e w e h a v e

1( 1 + a x ) a < 1 + a a x = 1 + x .2 4


26/74

H e r e t h e s i g n o f e q u a l i t y h o l d s o n l y w h e n x = 0 . R a i s i n gb o t h p a r t s o f t h e l a s t i n e q u a l i t y t o t h e p o w e r a w e g e tI - - a x < ' ( 1 + x ) a .N o w l e t u s s u p p o s e a < 0 . I f 1 + a x < 0 , t h e n t h e i n e -q u a l i t y ( 1 2 ) i s o b v i o u s . B u t i f I + a x > 0 , t h e n s e l e c t t h ep o s i t i v e i n t e g e r n , s o t h a t t h e i n e q u a l i t y - n < I w o u l db e v a l i d . B y v i r t u e o f t h e f i r s t p a r t o f t h e t h e o r e m w e g e ta

( 1 { x ) n< 1 - a

x ,( 1 + a > 1 { a xn1 - - xn2t h e l a t t e r ' i n e q u a l i t . y i s t r u e , s i n c e 1 > 1 - n 2 x 2 ) . R a i s i n gb o t h p a r t s o f t h e l a t t e r i n e q u a l i t y t o t h e n t h p o w e r w e g e t

( 1 + n x ) n > 1 + n n x = 1 + a x .N o t i c e , t h a t t h e e q u a l i t y i s p o s s i b l e o n l y w h e n x = 0 .T h u s , t h e t h e o r e m i s p r o v e d c o m p l e t e l y .P r o b l e m 1 . P r o v e , t h a t i f 0 > a > - 1 , t h e n

( n + 1 ) a + 1 _ n a + 1 n a + 1 ( n - 1 ) a + 1< n a < + 1 ( 1 3 )S o l u t i o n . S i n c e 0 < a + 1 < _ 1 , t h e n a c c o r d i n g t o t h ei n e q u a l i t y ( 1 1 ) w e h a v e

( 1 + n ` a + 1 < 1 + a n 1( 1 - 1 ) a + ' < 1 - a + 1n n

M u l t i p l y i n g t h e s e i n e q u a l i t i e s b y n a + 1 w e o b t a i n( n + 1 ) a + 1 < n a + 1 + ( a + 1 ) n a ,( n - 1 ) a + 1 < n a + 1 - ( a - { - 1 ) n a .

T h e i n e q u a l i t i e s ( 1 3 ) e a s i l y f o l l o w f r o m t h e s e i n e q u a -l i t i e s .2 5


27/74

P r o b l e m 2 . P r o v e , t h a t i f 0 > a > - 1 , t h e n( n + 1 ) a + 1 - m a + 1a + 1< m a + ( m + 1 ) a + . . . - } - n a < n a + 1 ( + 1 ) a + i ( 1 4 )S o l u t i o n . S e t t i n g i n t h e i n e q u a l i t i e s ( 1 3 ) n = m ,m + 1 , . . . , n , w e g e t( m + 1 ) 1 + a - m 1 + a < a < m 1 + a - ( m - 1 ) 1 + a1 + a m 1 + a( m + 2 ) 1 + 0 ' - ( m + 1 ) i + a < ( m - 1 ) a < ( m + 1 ) 1 + a - m i + a1 + a 1 + a( m + 3 ) 1 + a - ( m + 2 ) 1 + a < ( m + 2 ) ' < ( m + 2 ) 1 + a - ( m + 1 ) 1 + a

1 + a 1 + a. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .( n + 1 ) 1 + a - n 1 + a n 1 + a - ( n - 1 ) 1 + aa1 + a < n G 1 + aA d d i n g t h e s e i n e q u a l i t i e s w e s h a l l g e t t h e i n e q u a l i t y ( 1 4 ) .P r o b l e m 3 . F i n d t h e i n t e g r a l p a r t o f t h e n u m b e r+ 1 + 1 1x 3 5 3 s . . . + 3 1 , 0 0 0 , 0 0 0S o l u t i o n . S e t t i n g i n t h e i n e q u a l i t y ( 1 4 ) m = 4 , n == 1 , 0 0 0 , 0 0 0 , a = - 3 , w e g e t

2 2 2 21 , 0 0 0 , 0 1 3 - 4 3 < x < 1 , 0 0 0 , 0 0 2 3 - 3 33 3h a t i s 2 2 2 22 . 1 , 0 0 0 , 0 0 1 3 - 2 . 4 3 < x < 2 . 1 , 0 0 0 , 0 0 0 3 - 2 , 3 3 .S i n c e

2 2

2 . 1 , 0 0 0 , 0 0 1 3 > 2 . 1 , 0 0 0 , 0 0 0 3 = 2 . 1 0 , 0 0 0 = 1 5 , 0 0 0 ,2 V T - 6 - V 5 4 < 4 , 2 V 9 > 2 V 8 = 3 ,t h e n1 5 , 0 0 0 - 4 < x < 1 5 , 0 0 0 - 3 , t h a t i s 1 4 , 9 9 6 < x < 1 4 , 9 9 7 .F r o m t h e s e i n e q u a l i t i e s i t f o l l o w s t h a t [ x l - 1 4 , 9 9 6 .

2 6


28/74

1 . 5 . T h e M e a n P o w e r o f N u m b e r sI n S e c . 1 . 2 b e f o r e P r o b l e m 7 w e h a v e a l r e a d y n a m e d t h e

n u m b e r ia s { a 2 + . . . - { - a n aC a = = n )t h e m e a n p o w e r o f o r d e r a o f t h e p o s i t i v e n u m b e r s a 1 ia 2 , . . . , a n . I n t h e s a m e p r o b l e m , i t h a s b e e n p r o v e d , t h a tC a < C g , i f a < 0 < P .H e r e , s h o u l d b e p r o v e d t h e v a l i d i t y o f t h e i n e q u a l i t yC a < c o a n y t i m e w h e n a < P . I n o t h e r w o r d s , t h e m e a np o w e r o f o r d e r a i s m o n o t o n i c a l l y i n c r e a s i n g t o g e t h e rw i t h a .T h e o r e m 4 . I f a 1 , a 2 , . . . , a n a r e p o s i t i v e n u m b e r s a n da < t h e n c a < c s , a n d c a = c g , o n l y w h e n a 1 = a 2 == a n .P r o o f . F o r t h e c a s e , w h e n t h e n u m b e r s a a n d h a v ed i f f e r e n t s i g n s t h e t h e o r e m h a s b e e n p r o v e d a b o v e ( r e f e r

t o P r o b l e m 7 , S e c . 1 . 2 a n d t h e d e f i n i t i o n p r i o r t o i t ) . T h u s ,w e h a v e t o p r o v e t h e t h e o r e m o n l y f o r t h e c a s e w h e n aa n d P h a v e t h e s a m e s i g n s .A s s u m e , t h a t 0 < a < 3 , a n d l e t1k _ c a _ ( a 1 a 2 - f - . . . + a n \ a

n J

D i v i d i n g c o b y k , w e g e t( a 1 f 1 / a 2 ( 1C O C O

Ii s ) h k ) I . . .

C a nN o w , s u p p o s i n g

a n \ I 3 1 1

d 1 = ( k ) a , d 2 k ) a , . . . , d o k ) a ,w e o b t a i nC O _ d a d 2 - { - . . . - d o 1

n ) ( 1 5 )2 7


29/74

S i n c e( d i + d 2 - - . . . + d n )n

1_ ( ( a ) a + ( a ) a + - _ ) a yk (n = k c a = C a = - 1 ra

d i + d 2 - L . . . + d n = 1 , d i + d 2 + . . . + d n = n .nS u p p o s ed i = 1 + x 1 , d 2 = 1 + x 2 , . . . , d , , = I + x n .F r o m t h e e q u a l i t y d 1 + d 2 + . . + d o n i t f o l l o w s t h a t

x 1 d - x 2 + . . . - j - x n = 0 .O n t h e b a s i s o f T h e o r e m 3 ( n o t i c e , t h a t a > 1 ) w e h a v e

d o ' = ( 1 + x 1 ) > 1 + A x i ,d 2 = ( 1 - F x 2 ) " - I +

ax 2 ,

. . . . . . . . . . . . . . . .d o = ( 1 + x n ) " > 1 - } - a x , t . ( * )A d d i n g t h e s e i n e q u a l i t i e s , w e g e t

d 1 + d 2 + . . . } d o > n + a ( X i + X 2 + . . . . + x . ) = n . ( 1 6 )F r o m t h e i n e q u a l i t i e s ( 1 5 ) a n d ( 1 6 ) i t f o l l o w s t h a tC o _ ( n ) s = 1 , c o > k = c a .2 8


30/74

I t i s n e c e s s a r y t o n o t e t h a t c 1 3 = k = c a o n l y w h e n t h es i g n s o f e q u a l i t y o c c u r e v e r y w h e r e i n ( * ) , t h a t i s w h e nx 1 = x 2 = . . . = x , , - 0 ( T h e o r e m 3 ) . I n t h i s c a s e d 1 == d 2 = . . . = d n , = 1 a n d , h e n c e , a 1 a 2 = . . . = a == k . B u t i f t h e n u m b e r s a 1 , a 2 , . . . , a , a r e n o t i d e n t i c a l ,t h e n

C a > C a .T h u s T h e o r e m 4 i s p r o v e d r e g a r d i n g t h e c a s e w h e n 0 k = C a .

T h u s , T h e o r e m 4 i s p r o v e d c o m p l e t e l y .F u r t h e r o n w e s h a l l n a m e t h e g e o m e t r i c m e a n b y m e a np o w e r o f t h e o r d e r z e r o , t h a t i s , w e s h a l l a s s u m e g = c o .N o t i c e , t h a t T h e o r e m 4 i s a p p l i c a b l e i n t h i s c a s e a s w e l l ,s i n c e ( s e e P r o b l e m 7 , S e c . 1 . 2 ) c a < g = c o , i f a < 0 ,a n d c 5 g - c 0 , i f I > 0 .F r o m t h e p r o v e d t h e o r e m i t f o l l o w s , i n p a r t i c u l a r , t h a tC _ 1 C C O C C 1 1 C 2 1

i . e . t h e h a r m o n i c m e a n d o e s n o t e x c e e d t h e g e o m e t r i c m e a n ,t h e g e o m e t r i c m e a n i n i t s t u r n d o e s n o t e x c e e d t h e a r i t h m e -t i c m e a n , w h i l e t h e a r i t h m e t i c m e a n d o e s n o t e x c e e d t h er o o t - m e a n - s q u a r e o f p o s i t i v e n u m b e r s . F o r e x a m p l e , i f2 9


31/74

a 1 = 1 , a 2 2 , a 3 = 4 , t h e nc _ ( a i I + a 2 I a 3 1 ` - 1 - 3 = 1 2 = 1 . 7 .1 = ` 3 ) 1 + 1 7

c o = V a j a 2 a 3 = V 1 . 2 . 4 = 2 ,c 1 = 1 + 3 + 4 = 7 = 2 . 3 . . . ,1

C 2 = 2 = Y 1 + 4 + 1 6 V 7 = 2 . 63 J 3a n d t h e r e f o r ec _ 1 = 1 . 7 . . . < 2 = c o < 2 , 3 . . . = c 1 < 2 . 6 . . . = c 2 .P r o b l e m 1 . P r o v e , t h a t x 2 + y 2 - F - z 2 > 1 2 , i f

x + y + z = 6 .S o l u t i o n . S i n c e t h e a r i t h m e t i c m e a n d o e s n o t e x c e e dt h e r o o t - m e a n - s q u a r e , t h e nx - 3 . 1 - z f x 2 - } y 2 - } - z 2 ) 2

l 3 Jt h a t i sx 2 + y 2 + z 2 > ( x + 3 + Z ) 2

I n o u r p r o b l e m x 2 + y 2 + z 2 ' 3 2 = 1 2 . T h e s i g n o f e q u a -l i t y h o l d s o n l y w h e n x = y = z = 2 .P r o b l e m 2 . P r o v e , t h a t i f x , y , z a r e p o s i t i v e n u m b e r sa n d x 2 + y 2 + z 2 = 8 , t h e n

x 3 + y 3 + z 3 > 1 6 3S o l u t i o n . S i n c e c 2 < c 3 i t h e n

1 1x 2 } y 2 } z 21\ 2 ( x 3 + y 3 + z 3 \ 3

3 1\ 3I n o u r p r o b l e mnx 3 - y 3 + z 3 1 3 8

3 J 33 0


32/74

t h a t i sx 3 + y 3 + z 3 j 3 ' 3 3/ T = 1 6 3 .P r o b l e m 3 . P r o v e , t h a t f o r p o s i t i v e n u m b e r s a l , a 2 ia 3 , . . . , a n , t h e f o l l o w i n g i n e q u a l i t i e s a r e t r u e

( a t a 2 1 f . . . + a n ) a C n a ' ( a a + a 2 - E - . . . - } - a n ) , a > 1 , ( 1 7 )( a 1 + a 2 + . . + a n ) a >> n a ( a " ' + a 2 - } - . . . + a n , 0 < a < 1 . ( 1 8 )

S o l u t i o n . I f a > 1 , t h e n( a i - F 2 - - . . . + a nC , \ a a 1 + a 2 + . . . + a nn 1 n = C 1 .T h e i n e q u a l i t y ( 1 7 ) f o l l o w s e a s i l y f r o m t h i s i n e q u a l i t y .T h e i n e q u a l i t y ( 1 8 ) i s p r o v e d i n e x a c t l y t h e s a m e w a y .I n p a r t i c u l a r , f r o m t h e i n e q u a l i t i e s ( 1 7 ) a n d ( 1 8 ) i t f o l l o w st h a t ( x + y ) a < 2 a - 1 ( x a + y a ) , a > 1 , x > 0 , y > 0 ,( x + y ) a > 2 a - 1 ( x " + y " ) , 0 < a < 1 , x > O , y > O .P r o b l e m 4 . P r o v e , t h a t i f x 3 + y 3 + z 3 = 8 1 ,x > 0 , y > 0 , z > 0 , t h e nx + y - - f - z < ' 9 .

S o l u t i o n . S i n c e( x + y + z ) 3 < , 3 2 ( x 3 + y 3 + z 3 ) = 9 . 8 1 = 7 2 9( t h e i n e q u a l i t y ( 1 7 ) ) , t h e nx + y + z 7 2 9 = 9 .

3 1


33/74

C H A P T E R 2U s e s o f I n e q u a l i t i e s

T h e u s e o f i n e q u a l i t i e s i n f i n d i n g t h e g r e a t e s t a n d t h el e a s t f u n c t i o n v a l u e s a n d i n c a l c u l a t i n g l i m i t s o f s o m es e q u e n c e s w i l l b e e x a m i n e d i n t h i s c h a p t e r . B e s i d e s t h a t ,s o m e i m p o r t a n t i n e q u a l i t i e s w i l l b e d e m o n s t r a t e d h e r e a sw e l l .

2 . 1 . T h e G r e a t e s t a n d t h e L e a s t F u n c t i o n V a l u e sA g r e a t d e a l o f p r a c t i c a l p r o b l e m s c o m e t o v a r i o u s f u n c -t i o n s . F o r e x a m p l e , i f x , y , z a r e t h e l e n g t h s o f t h e e d g e so f a b o x w i t h a c o v e r ( a p a r a l l e l e p i p e d ) , t h e n t h e a r e a o ft h e b o x s u r f a c e i s

S - 2 x y + 2 y z + 2 z x ,a n d i t s v o l u m e i s V _ x y z .I f t h e m a t e r i a l f r o m w h i c h t h e b o x i s m a d e i s e x p e n s i v e ,t h e n , c e r t a i n l y , i t i s d e s i r a b l e , w i t h t h e g i v e n v o l u m e o ft h e b o x , t o m a n u f a c t u r e i t w i t h t h e l e a s t c o n s u m p t i o n o ft h e m a t e r i a l , i . e . , s o t h a t t h e a r e a o f t h e b o x s u r f a c e s h o u l db e t h e l e a s t . W e g a v e a s i m p l e e x a m p l e o f a p r o b l e m c o n s i -d e r i n g t h e m a x i m u m a n d t h e m i n i m u m f u n c t i o n s o f a g r e a tn u m b e r o f v a r i a b l e s . O n e m a y e n c o u n t e r s i m i l a r p r o b l e m sv e r y o f t e n a n d t h e m o s t c e l e b r a t e d m a t h e m a t i c i a n s a l w a y sp a y c o n s i d e r a b l e a t t e n t i o n t o w o r k i n g o u t m e t h o d s o f t h e i rs o l u t i o n .H e r e , w e s h a l l s o l v e a n u m b e r o f s u c h p r o b l e m s , m a k i n gu s e o f t h e i n e q u a l i t i e s , s t u d i e d i n t h e f i r s t c h a p t e r ' . F i r s to f a l l , w e s h a l l p r o v e o n e t h e o r e m .1 C o n c e r n i n g t h e a p p l i c a t i o n o f i n e q u a l i t i e s o f t h e s e c o n d d e g r e et o s o l v i n g p r o b l e m s f o r f i n d i n g t h e g r e a t e s t a n d t h e l e a s t v a l u e s s e et h e b o o k b y I . P . N a t a n s o n " S i m p l e s t P r o b l e m s f o r C a l c u l a t i n g t h eM a x i m u m a n d M i n i m u m V a l u e s " , 2 n d e d i t i o n , G o s t e k h i z d a t , M o s c o w ,1 9 5 2 .

3 2


34/74

T h e o r e m 5 . I f a > 0 , a > 1 , x y 0 , t h e n t h e f u n c t i o nx a - a x t a k e s t h e l e a s t v a l u e i n t h e p o i n t x = ( a )e q u a l t o ( 1 - a ) ( a ) a - 1 .aP r o o f . T h e t h e o r e m i s p r o v e d v e r y s i m p l y f o r t h ec a s e w h e n a = 2 . I n d e e d , s i n c ex 2 - a x = ( x - a a ) 2 a 24 't h e f u n c t i o n h a s t h e l e a s t v a l u e w h e n x = a > 0 , t h i sv a l u e b e i n g e q u a l t o - 4I n c a s e o f a r b i t r a r y v a l u e o f a > 1 t h e t h e o r e m i s p r o v e db y u s i n g t h e i n e q u a l i t y ( 1 2 ) , d e m o n s t r a t e d i n T h e o r e m 3 .S i n c e a > 1 , t h e n( 1 + z ) a + a z , zt h e e q u a l i t y h o l d i n g o n l y w h e n z = 0 . A s s u m i n g h e r e ,t h a t 1 + z = y , w e g e ty a > 1 + a ( y - 1 ) , y a - a y > I - a , y > 0 ,t h e s i g n o f e q u a l i t y h o l d s o n l y w h e n y = 1 . M u l t i p l y i n gb o t h m e m b e r s o f t h e l a t t e r i n e q u a l i t y b y c a , w e g e t

( c y ) a - a c a ' 1 ( c y ) > ( 1 - a ) c a , y > 0 .A s s u m i n g

w e g e t1

a s - 1x = c y a n d a c a - 1 = a , c = ( a- )a aa) a - 1x a - a x > ( 1 - a ) c a = ( 1 - a ) ( a A

h e r e t h e e q u a l i t y o c c u r s o n l y w h e n x = c = ( a ) a = 1aT h u s , t h e f u n c t i o nx a - a x , a > 1 , a > 0 , x > 0 ,

1

t a k e s t h e l e a s t v a l u e i n t h e p o i n t x = a e q u a l t oa( 1 - a ) ( a ) a - 1 . T h e t h e o r e m i s p r o v e d .

3 - 0 8 8 8 3 3


35/74

I n p a r t i c u l a r , t h e f u n c t i o n x 2 - d x ( a = 2 ) t a k e s t h e1

l e a s t v a l u e i n t h e p o i n t x = ( 2 ) L 1 = a , e q u a l t oz

( 1 - 2 ) ( a ) 2 - 1 = - 4 . T h i s r e s u l t i s i n a c c o r d a n c e w i t ht h e c o n c l u s i o n , o b t a i n e d e a r l i e r b y a d i f f e r e n t m e t h o d . T h ef u n c t i o n X 3 - 2 7 x t a k e s t h e l e a s t v a l u e i n t h e p o i n t1 3x - ( 2 ) 3 - 1 = 3 , e q u a l t o ( 1 - 3 ) ( 2 ) 3 - 1 = 5 4 .

N o t e . L e t u s m a r k f o r t h e f o l l o w i n g , t h a t t h e f u n c t i o na x - , x a = - ( x a - a x ) ,w h e r e a > 1 , a > 0 , x > 0 , t a k e s t h eg r e a t e s t v a l u e i n t h e p o i n t

X =1 a I

e q u a l t oF i g . 1

l a( a - 1 ) ( aP r o b l e m 1 . I t i s r e q u i r e d t o s a w o u t a b e a m o f t h e g r e a -t e s t d u r a b i l i t y f r o m a r o u n d l o g ( t h e d u r a b i l i t y o f t h e b e a mi s d i r e c t l y p r o p o r t i o n a l t o t h e p r o d u c t o f t h e w i d t h o f t h e

b e a m b y t h e s q u a r e o f i t s h e i g h t ) .S o l u t i o n . S u p p o s e A B = x i s t h e w i d t h o f t h e b e a m ,B C = y i s i t s h e i g h t a n d A C = d i s t h e d i a m e t e r o f t h e l o g( F i g . 1 ) . D e n o t i n g t h e d u r a b i l i t y o f t h e b e a m b y P , w e g e tP = k x y 2 = k x ( d 2 - x 2 ) = k ( d 2 x - x 3 ) .

T h e f u n c t i o n d 2 x - x 3 t a k e s t h e g r e a t e s t v a l u e w h e n`

1X = ( d 2 J 3 - 1 - d y 2 = d 2 - x 2 = 2 d 2 ,3 - 3y = d Y 2 = x V 21 / 9

3 4


36/74

T h u s , t h e b e a m m a y h a v e t h e h i g h e s t ( g r e a t e s t ) d u r a b i l i t yi f t h e r a t i o o f i t s h e i g h t t o i t s w i d t h w i l l b e e q u a l t o V / 2 x1 . 4 - 5 .P r o b l e m 2 . F i n d t h e g r e a t e s t v a l u e o f t h e f u n c t i o n

y = s i n x s i n 2 x .S o l u t i o n . S i n c e s i n 2 x = 2 s i n x c o s x , t h e n s i n x s i n 2 x == 2 c o s x s i n e x = 2 c o s x ( 1 - c o s t x ) = 2 ( z - z 3 ) , w h e r ez = : c o s x a n d , h e n c e , - 1 < z < 1 . T h e ' f u n c t i o n z - z 3 =

Z ( 1 - z 2 ) t a k e s a n e g a t i v e v a l u e w h e n - 1 < z < 0 ,

F i g . 2

i s e q u a l t o 0 w h e n z = 0 a n d t a k e s a - p o s i t i v e v a l u e w h e n0 < z < 1 . T h e r e f o r e , t h e g r e a t e s t v a l u e o f t h e f u n c t i o ni s g a i n e d i n t h e i n t e r v a l 0 < z < 1 .I t i s s h o w n i n T h e o r e m 5 t h a t t h e f u n c t i o n z - z 3 , z > 0 ,t a k e s t h e g r e a t e s t v a l u e i n t h e p o i n t

I n t h i s p o i n tZ = ( 1 ) 3 - 1 - ' 13

s i n x s i n 2 x = 2 z ( 1 - z z ) = ( 1 - 3 ) = 3 i / 3- 3 TS o , t h e f u n c t i o n y s i n x s i n 2 x t a k e s t h e g r e a t e s t v a l u ei n t h o s e p o i n t s , w h e r e z c o s x = _ a n d t h i s v a l u e i s3e q u a l t o 0 . 7 7 . T h e g r a p h o f t h e f u n c t i o n y =3 _ / 3= s i n x s i n 2 x i s s h o w n i n F i g . 2 .P r o b l e m - 3 . F i n d t h e g r e a t e s t v a l u e o f t h e f u n c t i o ny = c o s x c o s 2 x .

3 * 3 5


37/74

S o l u t i o n . T h e f u n c t i o n y = c o s x c o s 2 x d o e s n o t e x c e e d1 , s i n c e e a c h o f t h e c o f a c t o r s c o s x a n d c o s 2 x d o e s n o te x c e e d 1 . B u t i n t h e p o i n t s x = 0 , 2 n , 4 n , . . .c o s x c o s 2 x = 1 .

T h u s , t h e f u n c t i o n y = c o s x c o s 2 x t a k e s t h e g r e a t e s t v a l u eo f I i n t h e p o i n t s x = 0 , 2 n , 4 n , . . . . T h e g r a p h o ft h e f u n c t i o n y = c o s x c o s 2 x i s d r a w n i n F i g . 3 .

F i g . 3

P r o b l e m 4 . F i n d t h e l e a s t v a l u e o f t h e f u n c t i o nx a + a x ,w h e r e a ] 0 , a < 0 , x > , O .S o l u t i o n . S i n c e a < 0 , t h e n a c c o r d i n g t o t h e i n e q u a l i -

t y ( 1 2 ) ( 1 + z ) a > 1 + a z ,a n d t h e s i g n o f e q u a l i t y h o l d s o n l y w h e n z = 0 . A s s u m i n g1 - { - z = y , z = y - 1 , w e g e t

y a > 1 + a ( y - 1 ) , Y > 0 ,t h e s i g n o f e q u a l i t y o c c u r r i n g o n l y w h e n y = 1 . F r o m t h e l a s ti n e q u a l i t y i t f o l l o w s , t h a ty 1 7 - a y > 1 - a , ( c y ) " - a c a _ ' ( c y ) > ( 1 a ) c a .

A s s u m i n g a = - a c a - 1 , x = c y , w e g e ta

a ) a - 1A1t h e e q u a l i t y h o l d i n g o n l y w h e n x = c ( a ) a = 1

3 6


38/74

T h u s , t h e f u n c t i o n x a - { - a x t a k e s t h e l e a s t v a l u e i n t h ep o i n t X = ' a s ) a 1 'a) a - 1e q u a l t o ( 1 - a ) a .F o r e x a m p l e , t h e f u n c t i o n

+ 2 7 x , x > 0 ,t a k e s t h e l e a s t v a l u e i n t h e p o i n t

11

2 7 3 - 1 13T h i s v a l u e e q u a l s

31 _ 11

2 7

/- 3( 1 4 - 3 1 3 = 4 .P r o b l e m 5 . F i n d t h e o p t i m u m d i m e n s i o n s o f a c y l i n -d r i c a l t i n h a v i n g a b o t t o m a n d a c o v e r ( d i m e n s i o n s o f av e s s e l a r e c o n s i d e r e d t o b e t h e m o s t p r o f i t a b l e , i f f o r a g i v e nv o l u m e t h e l e a s t a m o u n t o f m a t e r i a l i s r e q u i r e d f o r i t sm a n u f a c t u r e , t h a t i s , t h e v e s s e l h a s t h e l e a s t s u r f a c e

a r e a ) .S o l u t i o n . L e t V = n r 2 h b e t h e v o l u m e o f t h e v e s s e l ,w h e r e r i s t h e r a d i u s , h i s t h e h e i g h t o f t h e c y l i n d e r . T h et o t a l s u r f a c e a r e a o f t h e c y l i n d e r i sS = 2 n r 2 + 2 n r h .S i n c e h = V , t h e n

S = 2 n r 2 + 2 n r r 2 = 2 n r 2 + 2 V .r1A s s u m i n g x = T , w e g e t

$ = 2 n x 2 + 2 V r = 2 n ( X - 2 -a 7


39/74

T h e f u n c t i o n x 2 + V x , a c c o r d i n g t o t h e s o l u t i o n o f t h ep r e v i o u s p r o b l e m , t a k e s t h e l e a s t v a l u e w h e n/ V - 2 - 1 ;= /l 2 n VVR e t u r n i n g b a c k t o o u r p r e v i o u s d e s i g n a t i o n s , w e f i n d

1 _7 1 3

2 n V n r 2 h h, r 3 = 2 a = 2 a ' r - 2h = 2 r = d .T h u s , t h e v e s s e l h a s t h e m o s t p r o f i t a b l e d i m e n s i o n s , i f t h eh e i g h t a n d d i a m e t e r o f t h e v e s s e l a r e e q u a l .E x e r c i s e s6 . F i n d t h e g r e a t e s t v a l u e o f t h e f u n c t i o n x ( 6 - x ) 2w h e n 0 < x < 6 .I n d i c a t i o n . S u p p o s e y = 6 - x .7 . F r o m a s q u a r e s h e e t w h o s e s i d e i s e q u a l t o 2 a i t i sr e q u i r e d t o m a k e a b o x w i t h o u t a c o v e r b y c u t t i n g o u t a

s q u a r e a t e a c h v e r t e x a n d t h e n b e n d i n g t h e o b t a i n e d e d g e s ,H

2 0F i g . 4

a - 2 x

s o t h a t t h e b o x w o u l d b e p r o d u c e d w i t h t h e g r e a t e s t v o l u m e( F i g . 4 ) . W h a t s h o u l d t h e l e n g t h o f t h e s i d e o f t h e c u t - o u ts q u a r e s b e ?8 . F i n d t h e l e a s t v a l u e o f t h e f u n c t i o nx 6 , + 2 - f -

E j

3 6


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9 . F i n d t h e l e a s t v a l u e o f t h e f u n c t i o nx s - 8 x 2 + 5 .1 0 . F i n d t h e g r e a t e s t v a l u e o f t h e f u n c t i o nx a - a x w h e n O < a < 1 , a > O , x > O .I t . P r o v e t h a t , w h e n x > 0 , t h e f o l l o w i n g i n e q u a l i t yi s t r u e 3 x < 8 + 2 x .

1 2 . P r o v e t h a t , w h e n n > 3 , t h e f o l l o w i n g i n e q u a l i t y i st r u e r n > n + / n + 1 .I n d i c a t i o n . M a k e u s e o f t h e i n e q u a l i t y ( 8 ) .1 3 . F i n d t h e g r e a t e s t o f t h e n u m b e r s1 , - 1 / 1 2 , V 3 , V 4 , y 5 , . . . , f n , . . . .

1 4 . P r o v e t h e i n e q u a l i t yr n < 1 + 2v n1 5 . P r o v e t h e i n e q u a l i t y( 1 + a l ) ( 1 + a 2 ) . . . ( 1 + a n ) > 1 + a l + a 2 - } - . . . + a n ,i f t h e n u m b e r s a i a r e o f t h e s a m e s i g n a n d a r e n o t l e s st h a n - 1 .1 6 . P r o v e t h e i n e q u a l i t y

( a i b 1 + a 2 b 2 + . . . + a n b n ) 2( a , + a 2 + . . . + a ' ) ( b ; + b z + . . . + b n ) . ( 1 9 )I n d i c a t i o n . F i r s t p r o v e , t h a t t h e p o l y n o m i a l( a 1 x - b 1 ) 2 - I - ( a 2 x - b 2 ) 2 + . . . + ( a , , x - b , , ) 'x 2 ( a 2 + a 2 + + a n ) -- 2 x ( a 1 b 1 + a 2 b 2 + . . . + a , , b , , ) ++ ( b i + b z - { - . . . + b n )c a n n o t h a v e t w o d i f f e r e n t r e a l r o o t s .1 7 . U s i n g t h e i n e q u a l i t y ( 1 9 ) , p r o v e , t h a t t h e a r i t h m e t i cm e a n i s n o t g r e a t e r t h a n t h e r o o t - m e a n - s q u a r e .

3 9


41/74

1 8 . P r o v e t h e i n e q u a l i t y_ < V n 1 - V n - 1 .n1 9 . U s i n g t h e i n e q u a l i t y o f E x e r c i s e 1 8 , p r o v e t h e i n e q u a -

l i t yv Z v 3 v n2 0 . F i n d t h e g r e a t e s t v a l u e o f t h e f u n c t i o n s

x 3x 4 + 5 , x 0 - 0 . 6 x 1 0 .A n s w e r . 4 3 1 5 ; 0 . 4 .2 1 . A t w h a t v a l u e o f a i s t h e l e a s t v a l u e o f t h e f u n c t i o nV - + x 2 e q u a l t o 2 . 5 ?

A n s w e r . a = 8 .2 . 2 . T h e H o l d e r I n e q u a l i t y

I n T h e o r e m 7 , b y m e a n s o f T h e o r e m s 5 a n d 6 , t h e H o l d e ri n e q u a l i t y i s p r o v e d . T h i s i n e q u a l i t y w i l l f i n d a p p l i c a t i o ni n s o l v i n g p r o b l e m s .T h e o r e m 6 . I f p > 1 , 1 + 4 = 1 , x > 0 , y > 0 , t h e n

x y < P - { 4 ( 2 0 )P r o o f . B y v i r t u e o f T h e o r e m 5 , i f a < 1 , a > 0 , x > 0 ,t h e n aa - 1x a - a x > ( 1 - a ) a- aA s s u m i n g i n t h i s i n e q u a l i t y t h a t a = p , a = p y , w e g e t

P PX P - ( P y ) x > ( 1 - P ) ( p y ) ' 1 = ( 1 - P ) y P - ' . ( 2 1 )S i n c e P - } - 4 = 1 , t h e n

q = 1 -p

P ` p - , q = p p q , P - 1 =4 0


42/74

P u t t i n g t h e s e v a l u e s i n t o t h e i n e q u a l i t y ( 2 1 ) , w e g e tx n - p y x > - 9 y 4 .D i v i d i n g a l l t h e m e m b e r s o f t h e l a t t e r i n e q u a l i t y b y p a n dt r a n s p o s i n g t h e n e g a t i v e m e m b e r s t o t h e o p p o s i t e s i d e , w eg e t t h e i n e q u a l i t y ( 2 0 ) .T h e o r e m 7 . I f a 1 , a 2 f . . . , a n , b 1 , b 2 i . . . , b n a r e p o s i -t i v e n u m b e r s , a n d p a n d q s a t i s f y t h e c o n d i t i o n s o f T h e o r e m 6 ,t h e na j b 1 + a 2 b 2 + . . . + a n b n

1 1

( a ' + a 2 - I - . . . + a n ) p ( b ? + b 2 + . . . + b n ) qP r o o f . S u p p o s e

( 2 2 )

a i + a 2 + . . . + a n = A p , b i I b z + . . . + b n = B 4 .T h e n t h e r i g h t m e m b e r o f t h e i n e q u a l i t y ( 2 2 ) w i l l b e e q u a l t o

1 1( A r ) P ( B 4 ) 4 = A B .N o w s u p p o s ea 1 = A c t , a 2 = A c t , . . . , a n = A c n ,b 1 = B d 1 i b 2 B d 2 , . . . , b n - { - B d n .S i n c eA P = a p i + a 2 + . . . + a n

= A P c P j + A P c P 2 + . . . + A p c n = A p ( c i + c P 2 + . . . 4 c n ) ,t h e n

I n a

N o w

C i - f - C Z + . . . + c n = 1 .s i m i l a r w a y , i t i s c h e c k e d t h a td I + d 2 + . . . + d n = 1 .u s i n g t h e i n e q u a l i t y ( 2 0 ) , w e g e t

a 1 b 1 = A B ( c 1 d 1 ) < A B ( P + 9 1 )a 2 b 2 < A B ( p + 9 2 ) ,

"A B c - } - d( ' )


43/74

F r o m t h e s e i n e q u a l i t i e s i t f o l l o w s , t h a ta 1 b 1 + a 2 b 2 - } - . . . + a n b , ,

c i + c 2 + . . . + c n d i + d 2 + . . . d o lA B + 4 /= A B ( p - } q ) = A B( l e t u s r e c a l l t h a t

7 1p F - q = 1 ,

d i d 2 + . . . + d 9 n = 1 ) .T h u s , i t i s p r o v e d t h a t t h e l e f t - h a n d m e m b e r o f t h e i n e q u a -l i t y ( 2 2 ) d o e s n o t e x c e e d A B , t h a t i s , d o e s n o t e x c e e d t h er i g h t - h a n d m e m b e r .I t i s n o t d i f f i c u l t t o m a r k t h e c a s e w h e n t h e s i g n o f e q u a l i -t y i s v a l i d i n ( 2 2 ) . I n d e e d , t h e s i g n o f e q u a l i t y h o l d s i n ( 2 1 )o n l y w h e n

1 1 9P

( r e f e r t o T h e o r e m 6 ) . J u s t i n t h e s a m e w a y , t h e e q u a l i t ys i g n w i l l b e v a l i d i n e a c h l i n e o f ( * ) o n l y w h e n9 9 4c t = d 1 p , c 2 = d 2 P , . . . , C n = d n pi . e . , w h e n

p 9 p P oC 1 = d 1 , C 2 = d 2 , . . . , C n = d n .F i n a l l y , m u l t i p l y i n g t h e s e e q u a l i t i e s b y A P B 9B 9 ( A c 1 ) p = A P ( B d 1 ) 9 , t h a t i s , B 9 a p = A p b i ,

a 1 A a 2 A p a n A pb 1 = B Q ' b 2 = B 9 , . , b = B 9

T h u s , i n ( 2 2 ) t h e s i g n o f e q u a l i t y i s v a l i d i fa p a 2 a nb 1 b 2 = . . . = b ;

w e g e t


44/74

N o t e . T a k i n g i n t h e i n e q u a l i t y ( 2 2 ) p = 2 , q = 2 , w e g e tt h e i n e q u a l i t y ( 1 9 ) ( r e f e r t o E x e r c i s e 1 6 ) :a j b 1 + a 2 b 2 + . . . - { - a n b n

G ( a ; + a z - { - . . . + a n ) ( b i + b z + . . . + b n ) .2 . 3 . T h e U s e o f I n e q u a l i t i e s f o r C a l c u l a t i o n o f L i m i t s -I n t h e f o l l o w i n g p r o b l e m s , t h e l i m i t s o f q u i t e c o m p l i c a t e d

s e q u e n c e s a r e c a l c u l a t e d b y m e a n s o f p r e v i o u s l y p r o v e di n e q u a l i t i e s .P r o b l e m 1 . P r o v e t h e i n e q u a l i t y+ < l n ( 1 - + - n ) < n . ( 2 3 )I n ( 1 - { - n ) d e n o t e s t h e l o g a r i t h m f r o m . ( 1 + n ) w i t hb a s e e ( s e e p p . 2 1 - 2 2 ) .S o l u t i o n . C o m b i n i n g t h e i n e q u a l i t i e s ( 8 ) a n d ( 9 ) , w e g e t( 1 - f - n ) n < e < ( 1 } n

F i n d i n g t h e l o g a r i t h m o f t h e s e i n e q u a l i t i e s w i t h b a s e e ,w e f i n a l l y g e tn l n ( 1 + n ) < l n e = 1 < ( n + 1 ) l n ( 1 - { nn - - 1 < l n ( 1 - } n ) < n 'P r o b l e m 2 . A s s u m i n g

z 1 - J - -= 1 - { 2 , z 2 = 2 + 3z 3 = 3 + 4 + 5 + n ,Z y + 5 - { - 1 + 1 + 8 ,1 1 1 1

f i n d l i r a Z n .n - 0S o l u t i o n . S u b s t i t u t i n g n - 1 f o r n i n t h e f i r s t m e m i ? et h e i n e q u a l i t y ( 2 3 ) , w e g e t< I n ( 1 1 n n o f


45/74

F r o m t h i s i n e q u a l i t y a n d t h e s e c o n d m e m b e r o f t h e i n e q u a l i t y( 2 3 ) i t f o l l o w s t h a t1 < - 1 i < l n n n 1n n n y ( 2 4 )

N o w , u s i n g t h e i n e q u a l i t y ( 2 4 ) , w e w r i t e t h e i n e q u a -l i t i e sI n n n 1 < n < I n n n - 1I n n + 2 < n + 1 < l n n n 1I n n + 3 1 n + 2n + 2 < n - + . 2 < l n n + 1. . . . . . . . . . . . . . . .I n 2 2 n 1 < 2 n < I n 2 n 2 n 1

A d d i n g t h e m a n d t a k i n g i n t o c o n s i d e r a t i o n t h a t t h e s u mo f l o g a r i t h m s i s e q u a l t o t h e l o g a r i t h m o f t h e p r o d u c t ,w e g e t( n + 1 ) ( n + 2 ) ( n + 3 ) . . . ( 2 n + 1 ) 1 1 . . .n n ( n + 1 ) ( n + 2 ) . . . 2 n < n + n + 1 +1 n ( n + 1 ) ( n - { - 2 ) . . . 2 n" + 2 n < I n ( n - 1 ) n ( n + 1 ) . . . ( 2 n - 1 )t h a t i sI n 2 n n 1 < n - } n + 1 - } - . . . - + 2 n < I n n 2 n 1 ( 2 5 )

S i n c e2 n n 1 = 2 - } - n , t h e n

l i m I n 2 n n 1 = l i m I n ( 2 + - ' I n 2 .n - 0 0 n - . o oE x a c t l y i n t h e s a m e w a y f r o m n 2 - n 1 2 - } n 2- 1 i t f o l -l o w s , t h a t

l i m I n n 2 n 1 I n 2 .n - . o oT h u s , t h e e x t r e m e t e r m s o f t h e i n e q u a l i t i e s ( 2 5 ) h a v e t h es a m e l i m i t s . I . e i c e , t h e m e a n t e r m h a s a l s o t h e s a m 94 4


46/74

l i m i t , t h a t i s1 i m ( n - + - n + 1 + . . . + 2 ) = 1 i m Z n I n 2 .n - . .P r o b l e m 3 . T a k i n g x 1 = 1 , x 2 = 1 - 3 , x 3 = 1 - 2 + 3 , . .

1 1 1 n _ 1. . , x n = + 11 1 L ( - 1 ) nc a l c u l a t e l i m x n .n - . o oS o l u t i o n . W e h a v ex 2 n = 1 1 + 1 5 6 - + - + 2 n 1 1 2 n= ( 1 } 2 } 3 } 4 + 5 + 6 + - . . . - + 2 n 1 1 + 2 n- 2 2 - 4 } 6 } . . . + 2 n= ( 1 + 3 + 3 + 4 - 5 + 6 + . . . + 2 n 1 1 + 2 n )- ( 1 + 2 + 6 + . . . + n ) = n + 1 + n + 2 - } . . . + 2 n

I n t h e p r e v i o u s p r o b l e m , w e h a v e s u p p o s e d t h a t1 1 1Z n = n + n + 1 - + - . . . + 2 n .

T h e r e f o r e , x 2 n = Z n - 1 . B u t l i r a z n = 1 n 2 ( r e f e r t o t h en - wp r e v i o u s p r o b l e m ) . T h u s ,

I l m x 2 n = l l m ( Z n - n ) = I n 2 .n - . o o n - . o oI t i s n e c e s s a r y t o n o t e a l s o , t h a t x 2 n + 1 = x 2 n + 2 n + 1 , a n d ,h e n c e ,

) - 1 n 2 .i r a x 2 n + 1 = l i r a ( x 2 n + 2 n + 1- . o o n - + o oT h u s , l i m x , = I n 2 .n - . o oN o t e . T h e n u m b e r s x l = a l , x 2 = a l + a 2 , x 3 = a 1 +a 2 + c 3 , . . . , x n = a l + a 2 + . . . + a n a r e t e r m e d4 5


47/74

p a r t i a l s u m s o f t h e s e r i e sa 1 + a 2 + a s + . . , a n - 1 - - . .T h e s e r i e s i s s a i d t o b e c o n v e r g e n t , i f t h e s e q u e n c e o f i t sp a r t i a l s u m s h a s a f i n i t e l i m i t . I n t h i s c a s e t h e n u m b e rS = l i m x n i s c a l l e d t h e s u m o f t h e s e r i e s .n - 1F r o m P r o b l e m 3 , i t f o l l o w s t h a t t h e s e r i e s1 - 2 + 3 - 4 - - 5 - T + - - - + 2 n 1 1c o n v e r g e s a n d i t s s u m e q u a l s I n 2 .P r o b l e m 4 . T h e s e r i e s

i s c a l l e d h a r m o n i c s e r i e s . P r o v e t h a t t h e h a r m o n i c s e r i e sd i v e r g e s .S o l u t i o n . A c c o r d i n g t o t h e i n e q u a l i t y ( 2 3 )n > l n n n 1 .

A s s u m i n g n = l , 2 , 3 , . . . , n , w r i t e n i n e q u a l i t i e s2 ,> l n 1

12 > I n 2,3 > l n 3 4

1 1 > i n n n 1 .A d d i n g t h e m , w e g e t

- } - 4 + 4 + . . . + 4 ( n + 1 ) = 1 n ( n + 1 ) .x n 2 n 1 . 2 . 3 . . . nI t f o l l o w s f r o m t h i s i n e q u a l i t y t h a tl i r a x n > l i m I n ( n - } - 1 ) = o o ;n - a o n - 0 0

h e n c e , t h e h a r m o n i c s e r i e s d i v e r g e s .4 6


48/74

P r o b l e m 5 . P r o v e t h a t t h e s e r i e s1 } Z a 3 a . . . { n a - } - ( 2 6 )c o n v e r g e s a t a n y a > 1 .

S o l u t i o n . T h e s e q u e n c e o f p a r t i a l s u m s o f t h i s s e r i e sx 1 = 1 ,x 2 = + 2 a1x 3 = 1 + 2 a + 3 -

X 4 = 1 + 1- { - V } 4 a. . . . . . . . . . . . . . . . . .1 1x n = 1 - } 2 a - } 3 a + . . . + n a

i s m o n o t o n i c a l l y i n c r e a s i n g , t h a t i sx l < x 2 < x 3 < x 4 < . . . < x n < . . .O n t h e o t h e r h a n d , i t i s k n o w n t h a t m o n o t o n i c a l l y i nc r e a s i n g l i m i t e d s e q u e n c e o f n u m b e r s h a s a f i n i t e l i m i t .T h e r e f o r e , i f w e p r o v e t h a t t h e s e q u e n c e o f n u m b e r s x n i s ,l i m i t e d , t h e n t h e c o n v e r g e n c e o f t h e s e r i e s ( 2 6 ) w i l l b e p r o v e d .a s w e l l . S u p p o s e1 1 1 1 1y e n = 1 - 2 " - V - n a + 5 a - n a . . .

S i n c e1 1 1 15 a ) - . . .

1 - 12 n - 1 ) a ( 2 n ) a( 1 _ 1 1- ( 2 n - 2 ) 0 ' ( 2 n - 1 ) a ) ( 2 n ) a

t h e n ( t h e n u m b e r s i n e a c h b r a c k e t a r e p o s i t i v e )Y 2 n < 1 .O n t h e o t h e r h a n d ,

1 1 1 1 1 1 _ 1 _y 2 n = 1 - 2 a + 3 a n a - } - 5 a s a - - . - + - ( 2 n - 1 ) a ( 2 n ) a_ ( 1 - } - 2 a + 3 a + 4 + 5 a + 3 a + . . . - + ( 2 n 1 ) a ( 2 n ) a

4 7


49/74

- 2 i i 1 =( 2 a + ia 6 a+ 1I + . . . ( 2 n ) a )`

1 1 1 1 1 - - 1 )+ 2 a 3 a 4 a 5 a + 2 a . . . ( 2 n - 1 ) a + ( 2 n ) 0 '2 1 1 1 )2 a } 2 a + 3 a - } . . . n o c

S i n c e x , , = 1 + 2 a + 2 a + . . . + n a , t h e n2Y 2 n = x 2 n - 2 a x n .

N o w , s i n c e x 2 n > x n , y 2 n < 1 , t h e n2 2 a - 21 > Y 2 n > x n - 2 2 x n = 2 a x n -

H e n c e , i t f o l l o w s t h a t 2 ax n 2 a - 2t h a t i s , t h e n u m b e r s x n a r e l i m i t e d w h e n a > 1 . T h u s ,i t i s p r o v e d t h a t t h e s e r i e s ( 2 6 ) c o n v e r g e s a n d i t s s u m i s

n o t g r e a t e r t h a n 2 a a 2 .F o r e x a m p l e , i f a = 2 , t h e n_ 1 2 2x n + 2 1 2 + 3 2 + . . . + 1n 2 < 2 2 - 2 = 2 ,n - + o o

I n t h e c o u r s e o f h i g h e r m a t h e m a t i c s i t i s p r o v e d t h a t25 = 1 + " n + - - n 2 . . . + n 2 + . . . ( 2 7 )

E x e r c i s e s2 2 . F i n d t h e s u m o f t h e s e r i e s

1 1 1 _ 1 1S = 1 - 2 2 + 3 2 - ` ! 2 - - . . . - f - ( - 1 ) n zI n d i c a t i o n . U s e t h e e q u a l i t y ( 2 7 ) ., 2A n s w e r . S = 1 2 .4 8


50/74

2 3 . P r o v e t h e i n e q u a l i t i e sa + 1 a +a T 1 < I + 2 a + 3 a + . . . + n r 4 < n + 1 )

2 4 . A s s u m i n gp r o v e t h a t

x n = 1 4 - 2 a - i - 3 a - + - . . . + n a ,

l i m x n = 1 a > 0 .n . o o - ( X + 1 a + 12 5 . P r o v e t h e i n e q u a l i t y

( a i b i c i - { - a 2 b 2 c a - I - . . . + a n b n c n ) 3< ( a 1 - f - a z . . . + a n ) ( b 1 - E - b z . . . b n ) ( c 1 - 1 c z + . . . + c n ) ,

i f a k , b k , C h a r e p o s i t i v e n u m b e r s .I n d i c a t i o n . U s e t h e i n e q u a l i t y ( 7 ) a n d t h e m e t h o dg i v e n i n ( 2 2 ) .2 6 . A s s u m i n g x n = n4 - } n 1 - { n 1 - } - . . . - } h n , w h e -- + - 1 - { - 2r e k i s a p o s i t i v e i n t e g r a l n u m b e r , p r o v e t h a t

l i r a x n = I n k .n - . 0 0I n d i c a t i o n . U s e t h e m e t h o d o f s o l v i n g P r o b l e m 2 o f t h ep r e s e n t s e c t i o n .

2 . 4 . T h e U s e o f I n e q u a l i t i e sf o r A p p r o x i m a t e C a l c u l a t i o n o f Q u a n t i t i e sA t t h e v e r y b e g i n n i n g o f C h a p t e r 1 , w e h a v e p a i d a t t e n t i o nt o t h e f a c t t h a t p r a c t i c a l p r o b l e m s r e q u i r e , a s a r u l e , a na p p r o x i m a t e c a l c u l a t i o n o f q u a n t i t i e s a n d , a s w e l l , a n a b i l i -t y t o t r e a t s u c h a p p r o x i m a t e l y c a l c u l a t e d q u a n t i t i e s .

A m o r e a c c u r a t e e s t i m a t i o n o f s u c h q u a n t i t i e s w i l l c e r t a i n l yp e r m i t t o d e c r e a s e e r r o r s i n s o l v i n g p r o b l e m s .I n t h e p r e s e n t s e c t i o n , w e a r e g o i n g t o r e t u r n t o a n a p p r o -x i m a t e c a l c u l a t i o n o f n u m b e r s o f t h e f o r mS ' n , k = k a + ( k + 1 ) a - } - + n a , 0 < a < 1 , k < n .

1 / z 4 - 0 8 6 6 4 9


51/74

I n S e c . 1 . 1 w e h a v e s u c c e e d e d i n f i n d i n g t h e n u m b e r S n , hw i t h a n a c c u r a c y o f u p t o 0 . 4 f o r k = 1 , n = 1 , 0 0 0 , 0 0 0a n d a = 2 ( r e f e r t o P r o b l e m 2 ) . I n t h e s a m e s e c t i o n ( s e eE x e r c i s e s 2 a n d 3 ) , f o r n = 1 0 6 a n d k = 1 0 , 0 0 0 , w e w e r ea b l e t o f i n d t h e n u m b e r S n , h a l r e a d y w i t h a n a c c u r a c y o fu p t o 0 . 0 1 . T h e c o m p a r i s o n o f t h e s e t w o e x a m p l e s s h o w s ,t h a t t h e i n d i c a t e d m e t h o d o f t h e i r s o l u t i o n y i e l d s m u c hb e t t e r r e s u l t s o f c a l c u l a t i o n f o r g r e a t e r v a l u e s o f k .I n S e c . 1 . 4 ( P r o b l e m 3 ) w e f o u n d t h e i n t e g r a l p a r t o f t h en u m b e r S n , k , f o r k = 4 , n = 1 0 6 a n d a = 1 . T h u s , t h i sn u m b e r w a s a l s o c a l c u l a t e d w i t h a n a c c u r a c y o f u p t o 0 . 5 .H o w e v e r , w e c o u l d n o t f i n d t h e i n t e g r a l p a r t o f t h e n u m b e r

S n , i f o r a = 1 a n d n = 1 0 6 b e c a u s e t h e m e t h o d o f c a l c u -l a t i o n o f s u c h q u a n t i t i e s , i n d i c a t e d i n C h a p t e r 1 , d i d n o tp e r m i t d o i n g i t . I n t h i s s e c t i o n , w e s h a l l i m p r o v e t h e m e t h o do f c a l c u l a t i o n o f t h e q u a n t i t y S n , 1 . T h i s i m p r o v e m e n t w i l lm a k e i t p o s s i b l e t o f i n d s i m i l a r q u a n t i t i e s w i t h a h i g h e rd e g r e e o f a c c u r a c y q u i t e e a s i l y .L e m m a 1 . I f x 1 > x 2 > x 3 > . . . > x n , t h e n0 < A = x 1 - x 2 + x 3 - x 4 + . . . + ( - 1 ) n _ i x n < x 1 .P r o o f . T h e n u m b e r o f p o s i t i v e t e r m s i n t h e w r i t t e na l g e b r a i c s u m i s n o t l e s s t h a n t h e n u m b e r o f n e g a t i v e t e r m s .B e s i d e s t h i s , t h e p r e c e d i n g p o s i t i v e t e r m s a r e g r e a t e r t h a nt h e f o l l o w i n g n e g a t i v e t e r m . T h i s p r o v e s t h a t t h e i r a l g e b r a i cs u m i s p o s i t i v e , A > 0 . O n t h e o t h e r h a n d , s i n c eA = x 1 - ( x 2 - x 3 + x a - . . . + ( - 1 ) n 2 x n )

a n d t h e q u a n t i t y i n b r a c k e t s i s p o s i t i v e t o o , t h e n A < x 1 .T h u s , t h e l e m m a i s p r o v e d .L e m m a 2 . I f 0 < a < 1 , t h e n t h e f o l l o w i n g i n e q u a l i t i e sa r e t r u e( 2 n + 1 ) 1 _ 0 ' - ( n + 1 ) 1 - " < 1 + + . . .1 - a ( n + 1 ) a ( n + 2 ) a. . . 1

( 2 n ) 1 - a n i _ a+ ( 2 n ) 0 ' < 1 - a ( 2 8 )P r o o f . T h e i n e q u a l i t y ( 2 8 ) f o l l o w s f r o m t h e i n e q u a l i t y ( 1 4 )( s e e S e c . 1 . 4 , P r o b l e m 2 ) w h e n s u b s t i t u t i n g n + I f o r m ,2 n f o r n a n d - a f o r a .

5 0


52/74

T h e o r e m 8 . T r u e i s t h e e q u a l i t y1 1 1

2 a 3 a n a2 a - 1 } 1 .2 - 2 ' ( n + 1 ) a ( n i 2 ) a

2 a 1 { 1 12 - 2 a 2 a 3 a - . . . - ( 2 n ) aP r o o f . W e h a v e

1 1 1 1S n , t = 1 } 2 a 3 a } . . . F n } ( n + 1 ) a

( 2 9 )

1 1 1 1+ ( 2 n ) a - L ( n . 1 1 ) a + ( n + 2 ) a + . . . + ( 2 n ) 7 I .A d d i n g a n d s u b t r a c t i n g f r o m t h e r i g h t - h a n d m e m b e r o ft h e e q u a l i t y t h e n u m b e r

2 [ 2 a - } 2 - } 2 a } - . . . +( 2

1)

" ] ,S n , 1 1 1 _ 1= 1 - r 2 a - { 3 a - 4 a + . . . - ( 2 n ) " +] -2 L - { - 2 a } 6 a } . . . } ( 2 n ) 6 '2 a

T h e n u m b e r s o f t h e f i r s t s q u a r e b r a c k e t s h a v e a c o m m o nf a c t o r 2 a . T a k i n g i t o u t o f t h e b r a c k e t s , w e g e t

S n . 2 a } 2 a ( 2 n ) a ++ 2 a ( 1 { 2 a } 3 a . } 2 a )- [ ( n + 1 ) a + ( n + 2 ) a + . . . { ( 2 n ) a ] .

4 * 5 1


53/74

S i n c e i n r o u n d b r a c k e t s t h e r e i s t h e n u m b e r S n , 1 , t h e n( n + 1 ) a - } - ( n + 2 ) a + . . . + ( 2 n ) a -

1 1 - . . . 1 1 11 - 2 + 3 -( 2 n ) a J - a( 2 a - 1 ) S , 1 = 2 2 2 S n , 1

H e n c e , a f t e r m u l t i p l y i n g b y 2 a a n d d i v i d i n g b y 2 - 2 a ,w e g e t t h e e q u a l i t y ( 2 9 ) .T h e e q u a l i t y ( 2 9 ) i s o f i n t e r e s t b e c a u s e i t b r i n g s t h e c a l c u -l a t i o n o f t h e q u a n t i t y S n , 1 t o t h e c o m p u t a t i o n o f t h e q u a n t i -t S , n , t h e 1 - 1 1 - ' - 1Y 2 n , n + 1 q u a n t i t y 2 a f 3 a ( 2 n ) aT h e f i r s t o f t h e s e q u a n t i t i e s f o r g r e a t i t i s c a l c u l a t e d w i t ha h i g h d e g r e e o f a c c u r a c y b y m e a n s o f t h e i n e q u a l i t y ( 2 8 ) .C o n c e r n i n g t h e s e c o n d q u a n t i t y , w e k n o w f r o m L e m m a 1 ,t h a t i t i s l e s s t h a n z e r o a n d g r e a t e r t h a n - 2 a . B u t2 - - 2 ( xi f w e f i n d t h e s u m o f t h e f i r s t f o u r s u m m a n d s o f t h e l a t t e rq u a n t i t y , t h e n t h e r e m a i n i n g q u a n t i t y ( t h e e r r o r ) w i l l b el e s s t h a n z e r o a n d g r e a t e r t h a n - 1 2 a5 a 2 - 2 aI n t h e f o l l o w i n g p r o b l e m s w e s h a l l p e r f o r m t h e c a l c u l a -t i o n o f t h i s q u a n t i t y w i t h a h i g h e r d e g r e e o f a c c u r a c y a s w e l l .P r o b l e m 1 . F i n d t h e s u mA = 1 + 1 - } - - { - . . . - { -V 2 v 3 v 1 0 6a c c u r a t e t o 0 . 0 0 2 .S o l u t i o n . B y v i r t u e o f T h e o r e m 8

A - / 2 1 12 - _ V 2 v 1 0 6 - { - 1 + x / 1 0 6 - j - 2 + . . _ / 2 . 1 0 6- / 2 1 1- ( 1 - - . . . - 1_ v 2 v 2 1 / 3 v 2 . 1 0 6I 1 l_ ( V+ \ 1 0 6 + 1

+ _ V 2 . 1 0 6+ 1 ) 1 1 - - V I 2 - j - _ V 3 - . . . - 1 / 2 . 1 0 6= ( V Y + 1 ) ( B - C ) ,

5 2


54/74

w h e r eB = - V 1 G 6 + 1 ] - V 1 0 6 2 + + 1 0 6C - 1 1 1 - 1I -

v 2+ i / 3 - . . . v 2 . 1 0 6A c c o r d i n g t o L e m m a 2 , t h e n u m b e r B s a t i s f i e s t h e i n e q u a -l i t i e s

2 ( 1 / 2 . 1 0 1 ; + 1 - y 1 0 6 + 1 ) < B < 2 ( 1 / 2 . 1 0 6 - y 1 0 6 ) .T h e e x t r e m e n u m b e r s o f t h e i n e q u a l i t i e s d i f f e r f r o m e a c ho t h e r b y l e s s t h a n 3 . 1 0 - 4 . I n d e e d ,2 ( 1 / 1 0 6 1 - 1 ! 1 0 6 ) - 2 ( 1 / 2 . 1 0 6 - { - 1 - 1 / 2 . 1 0 0 )_ 1 2 2

1 0 6 - { - 1 + - / 1 0 6 - / 2 . 1 0 6 - { 1 - { - - V T - 1 0 6 ; 1 / 1 0 61 - 1 / 2 - 1 1

1 6 6 1 / 2 1 , 0 0 0 ! 3 . 1 0 4 .T h u s , t h e m i d d l e n u m b e r w i l l d i f f e r f r o m t h e n u m b e r Bb y l e s s t h a n 2 . 1 0 - 4 . C a l c u l a t i n g t h e f i r s t n u m b e r a n ds u b t r a c t i n g f r o m i t 2 . 1 0 - 4 , w e g e t

B = 8 2 8 . 4 2 6 9 A t ,I A r I < 2 . 1 0 _ 4 .

N o w , p r o c e e d t o c a l c u l a t i n g t h e n u m b e r C . L e t n i b e a no d d n u m b e r . E s t i m a t e t h e q u a n t i t yD 1 - 1 { 1 1n a m } 1 - V W , 7 2 2 nF o r t h i s r e a s o n , i t i s n e c e s s a r y t o n o t i c e , t h a tV k I - V k - 1 =

a n dE 2

+ 1 / m - } - 3 - - 1 / m + 1

21 / k - 7 1 + 1 / k - 121 / m d - 1 + V i l i

21 / m - H - 4 - } - 1 / m d - 2

1

5 3


55/74

2V 2 n 7 1 - V 2 n - 1 V M + V ; W - + 3 - Y - i W - + I I f ; W - + 4 ++ - V m + 2 + . . . - V ' 2 n + 1- V m - 1 + V 2 n - I / 2 n + 1 . = V m -T h u s , t h e n u m b e r E i s q u i t e e a s i l y c a l c u l a t e d . S u b t r a c t i n gt h e q u a n t i t y D f r o m t h e q u a n t i t y E , w e g e tE - D = ( 2 - 1 -V m + 1 - V m - 1 V m

2 1

( V m + 2 + V m - V m - } - 1 + . . .2 1- ( V 2 n + 1 - , 1 / 2 n - - 1 - V 2D e m o n s t r a t e , t h a t a l l t h e n u m b e r s i n t h e b r a c k e t s a r e p o s i -t i v e a n d m o n o t o n i c a l l y d e c r e a s i n g . I n d e e d ,

2 2 V m - ( V m 7 1 + V m - 1 )V m f 1 + V m - 1 V m V m ( V m - f - 1 + V m - 1 ) =2 m - 2 V m 2 - 1V m ( V m + 1 + V m - 1 ) ( 2 V m + V ; a I 1 + V m - 1 )2V m ( V ' n t + V ' n - 1 ) ( 2 V m + V 7 7 1 + 1 / m - 1 ) X

X ( m + V m 2 _ _ 1 )H e n c e , i t i s p r o v e d , t h a t s u c h n u m b e r s a r e p o s i t i v e a n dm o n o t o n i c a l l y d e c r e a s i n g w i t h t h e i n c r e a s e o f m . A c c o r d i n gt o L e m m a I 0 < E - D 1 9 9 . 9 8

( t h e l a s t i n e q u a l i t y c a n b e e a s i l y c h e c k e d , e x t r a c t i n g t h es q u a r e r o o t w i t h a n a c c u r a c y o f u p t o 0 . 0 1 ) , t h e n2 , 0 0 0 - 2 0 0 = 1 , 8 0 0 < 1 / 1 0 , 0 0 0 +

- L -+ 1 / 1 0 , 0 0 1 + 1 / 1 , 0 0 0 , 0 0 0 0 , a > 1 .

B y v i r t u e o f T h e o r e m 5 , t h e g r e a t e s t v a l u e o f t h e f u n c t i o n1 1a y - y a i s

1 a( a - 1 )1 a a

1 a a ( aM u l t i p l y i n g t h e l a s t q u a n t i t y b y a , w e s h a l l f i n d t h e g r e a t e s t

1 1v a l u e o f t h e f u n c t i o n a a y - y a w h i c h i s , h e n c e , e q u a l t o( 1 - a ) a a a ) a l l aa + 1 1 a= 1 - a ) ( a ) a - 1a

6 1


63/74

I t . T h e f u n c t i o n i / x - 2 x , x > 0 , a = 4 , a = 2 , b a s t h eg r e a t e s t v a l u e , e q u a l t o

4

4 - 1 3 1 34 / I 1` 4 f, 0 t h e f o l l o w i n g i n e q u a l i t y i s t r u eh e r e f o r e , f o r a l l x >

x - 2 x < 8 , o r V x < 8 - I - 2 x .1 2 . W r i t e d o w n t h e i n e q u a l i t y ( 8 ) i n t h e f o r m o f( n n 1 ) n < e ,

I f n > 3 > e , t h e n( n + 1 ) n < e n n < 3 n n < n n n = n n + i .R a i s i n g b o t h m e m b e r s o f t h e l a t t e r i n e q u a l i t y t o t h e p o w e r o f

1 w e g e tn ( n + 1 ) ' n + V n - { - 1 < r n .1 3 . S i n c e 1 < j / 2 = 3 8 < V 9 = t h e n V 3 i s t h eg r e a t e s t o f t h e n u m b e r s 1 , Y 2 , V / - l O n t h e o t h e r h a n d ,i n t h e p r e v i o u s p r o b l e m w e h a v e s h o w n t h a t t h e s e q u e n c eo f t h e n u m b e r s 1 Y 3 , V T ' . . . , V n , . . . d e c r e a s e s . H e n c e ,

V 3 i s t h e g r e a t e s t o f t h e n u m b e r s 1 , 1 / 2 , V 3 , . . .. . . , V n

1 4 . S u p p o s e r n = 1 + ( X n , a n > 0 . R a i s i n g t o a p o w e ro f n w e g e tn r n ) n 1 2n = ( 1 + a ) - + a( 1 2

A s s u m i n g t h a t n 2 , 2 t a k i n g T h e o r e m 3 a s t h eb a s i s , w e g e tn

2> ( 1 - { 2 a n ) = 1 + n a n + 4 2 a n .6 2


64/74

H e n c e , i t f o l l o w s t h a t, / n = 1 + +n < 1 - - ? _ .> n 2 4a n , a n < n , a n < V 2 i c v nN o t e . U s i n g N e w t o n ' s b i n o m i a l , i t i s e a s y t o c h e c k t h a tr n < + nI n d e e d ,( 4 + J / - ) n = 1 + n f / / , ? + n ( n - 1 ) 2 - } - . . . > 1 +n n 2 n + n ( n

2- 1 ) 2

n = n .

H e n c e , i t f o l l o w s t h a ti n n < 1 + Y ' r n n

1 5 . W h e n n = 1 a n d a 1 > - 1 , t h e i n e q u a l i t y i s o b v i o u s1 + a 1 > 1 + a 1 .L e t u s a s s u m e , t h a t t h e i n e q u a l i t y i s t r u e f o r n = k ,

t h a t i s( 1 + a 1 ) ( 1 + a 2 ) . . . ( 1 + a k ) > 1 + a 1 + a 2 + . . . + a k .M u l t i p l y i n g b o t h m e m b e r s o f t h e i n e q u a l i t y b y ( 1 + a k + 1 ) ,w e g e t

( 1 + a 1 ) ( 1 + a 2 ) . . . ( 1 + a k ) ( 1 + a k + 1 )> ( 1 + a 1 + a 2 + . . + a k ) ( 1 + a k + 1 )= 1 + a 1 + . . . + a k + a k + 1 + a l a k + 1 +

+ a 2 a h + l + . . . + a k a k + - 1S i n c e t h e n u m b e r s a 1 i a 2 , . . . , a k , a k + l a r e o f t h e s a m es i g n , t h e n a l a k + l + a 2 a h + l + . . + a k a k + l > 0a n d , t h e r e f o r e ,( 1 + a 1 ) ( 1 + a 2 ) . . . ( 1 + a , , ) ( 1 + a k + 1 )> 1 + a 1 + a 2 + . . . + a k + a k + 1 ,t h a t i s , t h e i n e q u a l i t y i s p r o v e d a l s o f o r n = k + 1 .

6 3


65/74

T h i s f i n a l l y p r o v e s t h e i n e q u a l i t y t o b e t r u e( 1 + a i ) ( 1 + a 2 ) . . . ( 1 + a n ) + a 1 + a 2 + . . . m a , ,f o r a l l n .1 6 . I f t h e p o l y n o m i a l ( a 1 x - b 1 ) 2 + ( a 2 x - b 2 ) 2 + . . .. + ( a n , x - b n ) 2 h a s a t r u e r o o t x - x 1 , t h a t i s

( a 1 x 1 - b 1 ) 2 + ( a 2 x 1 - b 2 ) 2 + . . . + ( a n x 1 - b n ) 2 = 0 ,t h e n e v e r y n u m b e r a 1 x 1 - b 1 , a 2 x 1 - b 2 , . . . , a n x 1 b n i se q u a l t o z e r o , t h a t i s ,0 = a . 1 x 1 - b 1 = a 2 x 1 - b 2 = . . . = a , , x l - b n ,b 1 b 2 b , ,

x 1 = a 1 = a 2 a , ,T h u s w e p r o v e d t h a t t h e p o l y n o m i a l( a l x - b 1 ) 2 + ( a 2 x - b 2 ) 2 + . . . + ( a n x - b n ) `x 2 ( a 2 + a 2 + . . . + a n ) -2 x ( a l b 1 + a 2 b 2 + . . . + a n b n ) ++ ( b 2 + b 2 T . . . + b n )c a n n o t h a v e t w o d i f f e r e n t t r u e r o o t s a n d , t h e r e f o r e ,( a l b s + a 2 b 2 + . . . + a n b n ) 2 -- ( a , + + a ' n ) ( b i + . . . - 4 - - b n < 0 .F r o m t h i s f o l l o w s t h e i n e q u a l i t y ( 1 9 )

( a l b s + a 2 b 2 + + a n b n ) 2( a 1 + a 2 + + a n ) ( b i + b 2 + b n )N o t i c e , t h a t t h e s i g n o f e q u a l i t y h o l d s o n l y w h e n t h ep o l y n o m i a l u n d e r c o n s i d e r a t i o n h a s a t r u e r o o t , i . e . w h e na t a 2 a nb 1 = b 2 . . . b n1 7 . U s i n g t h e i n e q u a l i t y ( 1 9 ) , w e g e t

C 1 a 1 + a 2 - } - . . . + a n 1 2 =n /a 1 1

( V n V n2 2< n - { - n + . . .

+ a n 1 I 2V n V n) ( n + n + . . . + n ) =

na i - a 2 + . . . - - a n = C 2n 26 4


66/74

H e n c e , i t f o l l o w s t h a t c l < c 2 ( t h e a r i t h m e t i c m e a n d o e sn o t e x c e e d t h e r o o t - m e a n - s q u a r e ) .1 8 . F r o m t h e i n e q u a l i t y( y - n + 1 + 2 = n + 1 + 2 1 / ; 2 - 1 + n - 1 == 2 n + 2 Y n 2 - 1 < 2 n + 2 V n 2 = 4 ni t f o l l o w s t h a t V n + 1 + V t n - 1 < 2 V n ,

1 1 _2 V n < 1 / ; i - { 1 - { V n - 1( V - n + 1 + n - 9 ) ( V ; - F l - n - 9 ) 2

M u l t i p l y i n g b y 2 , w e g e t1

V n < V n + i - v n - 1 .1 9 . S e t t i n g i n t h e i n e q u a l i t y o f E x e r c i s e 1 8 n = 2 , 3 , . . . , V n< v 3 - 1 ,

-V nC o m b i n i n g t h e w r i t t e n i n e q u a l i t i e s , w e g e tV 2 + V 3 + . . . +

1< V n + 1 + V n - V 2 - 1 .

V - nA d d i n g 1 t o b o t h p a r t s o f t h e i n e q u a l i t y , w e f i n a l l y g e t1 - } - V 4 { V 5 - - . . . 1


67/74

N o t e . I t w a s p r o v e d i n S e c . 2 . 1 t h a t1 - F - + - E - . . . + > 2 Y n + 1 - 2 V 2 + 1 .j r 2 V 3 - V - -

T h e n u m b e r s + V n - V 2 a n d 2 V n + 1 -- 2 V 2 + 1 d i f f e r f r o m e a c h o t h e r l e s s t h a n b y 0 . 4 2 . E a c ho f t h e s e n u m b e r s c o u l d b e t a k e n f o r a n a p p r o x i m a t e v a l u eo f t h e s u m + = z n .r 3 + . . .1 / 2 + V n -L e t u s n o t i c e w i t h o u t p r o v i n g , t h a t t h e n u m b e r Y n + 1 ++ V - n - Y Y d i f f e r s l e s s f r o m t h e n u m b e r z n , t h a n t h e

n u m b e r 2 V n + 1 - 2 V 2 + 1 .2 0 . T h e f u n c t i o n x 4 + 5 t a k e s a n e g a t i v e v a l u e w h e nx < 0 . T h e r e f o r e , t h e g r e a t e s t v a l u e o f t h e f u n c t i o n i so b t a i n e d f o r p o s i t i v e v a l u e s o f x .S i n c e

x 3 1+ 5= 5 ( 5 1 x + x 3 )t h e n t h e g r e a t e s t v a l u e o f t h e f u n c t i o n i s r e a c h e d i n t h es a m e p o i n t i n w h i c h t h e f u n c t i o n 5 x + x - 3 t a k e s t h e l e a s tv a l u e . I t f o l l o w s f r o m P r o b l e m 4 S e c . 2 . 1 t h a t t h e l e a s tv a l u e o f t h i s f u n c t i o n i s e q u a l t o

- 33

( l3 - 1

( 1 - 4 - 3 ) 3 = 4 ( 4 5 ) 4 'T h e g r e a t e s t v a l u e o f t h e f u n c t i o n - + 5 i s e q u a l t o1 1 5 4 1 5 _ 3

3_ T O - = 2 0 V 1 5 4 V 1 5

1 a( 1 5 1T o f i n d t h e g r e a t e s t v a l u e o f t h e f u n c t i o n x 6 - 0 . 6 x 1 0 , w eg e t y = x 6 . I t i s c l e a r t h a t y > 0 . T h e f u n c t i o n

1 0 1 0 1 0y - 0 . 6 y 6 = 0 . 6 ( s y - y 6 )6 6


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t a k e s t h e g r e a t e s t v a l u e ( s e e t h e n o t e o n p . 3 4 ) e q u a l t o1 06

1 01 0 6

0 . 6 ( 6 - 1 ) o = 0 . 4 .A . s n m i n g i n t h i s e x e r c i s e t h a t y = 2 w e g e t

1- a -l ' : z 2 = y 4 + a y .1

T h e l e a s t v a l u e o f t h e i u r t i o n y 4 + a y , a s i t f o l l o w sf r o m P r o b l e m 4 S e c . 2 . 1 . k l - e q u a l t o, .

( 1 4 - 4 ) ( 4 a ) 5 ( ' i a ; '1A s s u m i n g 4 ( 4 a ) 5 = 2 . 5 , w e g e t

1

( 4 a ) 5 = 2 , 4 a = 3 2 , a = 8 .

= ( 1 2 z - - 3 2 - + - 4 2 5 2 - } f i z1 1 1- 2 ( 2 2 - x [ 4 2 + 6 2 + . . . ) =

0 + 2 2 - } 1 2 - x - 4 2 + 5 2 + 1 + . . .2 2 + - 2 2 + - 3 2 - x - . . . ) _

1 1 1 R 2 a 2= Z ( 1 + Z z + 3 2 + . . . ) = 2 . 6 - 1 2( w e h a v e u s e d t h e e q u a l i t y ( 2 7 ) ) .2 3 . S i n c e a > 0 , t h e n a + 1 > 1 a n d , h e n c e ,

( 1 + 1 ) 1 + a > 1 + 1 + an6 7


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M u l t i p l y i n g t h e s e i n e q u a l i t i e s b y n l + a , w e g e t( n + 1 ) ' + a > n l + a + ( 1 + a ) n a ,( n - 1 ) 1 + a > n 1 + a - ( l + a ) n a

F r o m t h e s e i n e q u a l i t i e s i t f o l l o w s t h a tn l + a - ( n - 1 ) 1 + a < n a < ( n + 1 ) 1 + a - n 1 + a1 + a 1 + aW r i t e t h e s e i n e q u a l i t i e s f o r t h e v a l u e s n = 1 , 2 , 3 , . . . , n :

1 < 1 < 2 1 + a - 11 + a 1 - f - a2 1 + a - 1 < 2 ( < 3 1 + a - 2 1 + a1 + a 1 + a

< n a < ( n + 1 ) 1 + a - n l + a1 + an 1 + a - ( n - 1 ) 1 + a1 + aA d d i n g t h e m , w e g e t

n l + a < 1 - { - 2 a - 3 a + n a < ( n + 1 ) 1 + a - 1 ( n + 1 ) l + a- - + -T a 1 - } - a 1 + a2 4 . I t f o l l o w s f r o m

11 - - at h e i n e q u a l i t i e s o f E x e r c i s e 2 3

1 l + a- '1 + 2 a 3 a } . . . + n a i n< n 1 + a < +t h a t

T h e l e f t - h a n d m e m b e r o f t h e l a t t e r i n e q u a l i t i e s i s a c o n s t a n tn u m b e r 1 a , a n d t h e r i g h t - h a n d m e m b e r t e n d s t o a l i m i te q u a l t o 1 + a , w h e n n t e n d s t o i n f i n i t y . H e n c e , t h e m e a nm e m b e r o f t h e i n e q u a l i t i e s t e n d s t o t h e s a m e l i m i t a s w e l l ,t h a t i s

l i m 1 + 2 a + 3 a + . . . + n a _ 1n - . o o n l + a 1 7 a2 5 . L e t u s i n t r o d u c e t h e d e s i g n a t i o n s

B 3 = b ; + b 2 . . . - - b n ,C 3 = C 3 + C 3 + . . . + C r y

6 8


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a i a 2 a nx 1 = A , x 2 = A , e x n = AB B b ny 1 = , ,2 = y n = BC l C 2 C nZ 1 = C , Z 2 = C , . . . , Z n = CO n t h e b a s i s o f t h e i n e q u a l i t i e s ( 7 ) w e h a v e

a j b 1 c 1 = A B C x i y l z l < A B C x i + A + Z 1 1 -3a 2 b 2 c 2 = A B C x 2 y 2 z 2 < A B C x 2 + Y + z 23

+ y la n b n c n = A B C x n y n z n < A B C X 3 4 n z n3A d d i n g t h e w r i t t e n i n e q u a l i t i e s w e g e ta i b j c j . + a 2 b 2 c 2 ' _ + _ . . . + a n b n c n


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A d d i n g t h e s e i n e q u a l i t i e s , w e g e t( n - { - 1 ) ( n + 2 ) . . . ( k n + 1 ) 1 1 1I n

n ( n + 1 ) . . . k n < n + n - } - 1 + + k n


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S i n c e t h e e x t r e m e t e r m s o f t h e l a t t e r i n e q u a l i t i e s d i f f e rf r o m e a c h o t h e r v e r y s l i g h t l y ( l e s s t h a n 0 . 1 ) , t h e n1 5 , 0 0 0 - 2 < 1 + - - + . . . + 1 0 e < 1 5 , 0 0 0 .

1 0 6T h e m e a n n u m b e r 1 4 , 9 9 9 d i f f e r s f r o m ' s 1 k l e s s t h a n b y 1 .k = 12 8 . B y v i r t u e o f T h e o r e m 6

2 - 2 a [ ( n + 1 ) a + ( n + 2 ) a + . . . 1+ ( 2 n ) a J -a- 22 - 2 [ 1 - - } 1 - . . . - ( 2 1 n ) ] = A n - B n ,2 a 3 a aw h e r e

2 - 2 " ( n + 1 ) a ( n + 2 ) a ( 2 n ) ] '2 a 1 - 1 1 . . . - 1B .n - 2 - 2 a [ 2 a + 3 a - ( 2 n ) a ]

T h e n u m b e r B n i s a p a r t i a l s u m o f t h e s e r i e sa

2 a ( _ 1 ) k _ 1 ak - 1 2 - 2 kT h i s s e r i e s i s s i g n - a l t e r n a t i n g w i t h m o n o t o n i c a l l y d e c r e a -s i n g ( b y a b s o l u t e v a l u e ) t e r m s . I t s r e m a i n d e r ( b y a b s o l u t ev a l u e ) i s n o t g r e a t e r t h a n t h e a b s o l u t e v a l u e o f t h e f i r s tt e r m o f t h e r e m a i n d e r , t h a t i s , t h e n u m b e r 2 a q2 _ 2 a n a .S i n c e t h i s n u m b e r t e n d s t o z e r o w h e n n - } c c , t h e n t h es e r i e s c o n v e r g e s a n d

al i m B n = 2 ( - 1 ) k a = C ,k. o o k _ 1 2 - 2 a7 1


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mir - lml - korovkin p. p. - inequalities - 1975

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