mmBm0[m0Tiirzsanyag

6s differenci6lt tanterv

MTNTSTERUL EDUcATIEI gt ceRcerAnlt

Mircea Ganga

Tankiinw a oszt6ly. sz6mAra

EDTTURA MATHPRESS @EDrruRA DtDAcncA $t nEDAGoGTA, R.A.

2005

<se

H}YUv

TARTALOM

l. SZAMHALMAZOK...... ............:.......51.1. Val6s szirnok......... ............... 51.2. Akomplex sz6mok halmaza....... .............33

Kitiiatitt feladatok ...............742. FUGGVENYEK ES EGYENLETEK............... .........................92

2.1. Fiiggvdnyek. Ism6tl6s .........922.2. lnjektiv, sziirjektiv, bij ektiv fiiggv6nyek .................... I I 32.3. Sajritos s2imfii9gv6nyek................... ..... 131

Kitiiz6tt feladatok .............2043. SZAMLALaST VTOOSZEREK .....232

3. 1. A matematikai indukci6 m6dszere...... ........................ 2323.2. A kombinatorika alapszabrilyai ..............2403.3. Fiiggv6nyek szrimlal6sa .........................2453.4 V6ges rendezett hahnaznk ............. ........2463.5. Perrnut6ci6k............... .......2463.6. Vari6ci6k................... ........2513.7. Kombinici6k................ .....2543.8. Newton binomi6lis k6plete ....................265

Kitffziltt feladatok .............2724. PENZUGYI MATEMATIKA.............. ...............287

4.1. Penziigyi matematika.. ......2874.2. A matematikai statisaika elemei ...........3034. 3. A val6sziniisegszrirnitr{s alapjai................................... 3 I I4.4. Val6sziniis6gi vriltoz6k .....338

Kitiizott feladatok .............3545. GEOMETRIA............. ...................362

5.1, Descartes-fele koordiruitrik a sikban ......362

5.3. Mffveletek ktitiitt vektorokkal. Egr vektor koordiruitrii .. 3675.4. Azegyenes egyenlete...... .......................3745.5. K6t sikbeli egyenes prirhuzamossitginak felt&ele ......3855.6. H6rom pont kollinearitrisa.................. ....3875.7 . Ket egyenes mer6legess6g6nek feltetele..................... 388

Kitfiz0tt feladatok .............394Ism6tl6 tesztek.......... .....402UTMUTATASOK ES EREDMENYEK................ ...................... 4tg

1. SZAMHALMAZOK

Ebben a fejezetben k6t fontos sz5,mhalmazzal foglalkozunk: a val6s sz6mok hal-mazflvsl 6s a komplex szS,mok halmaz6val.

A ral6s szAmok eset6ben megvizsg6ljuk a pozitiv szS,mok val6s kitev6jri hatv5,nya-inak tulajdons6gait. Ptlszletezzij.k a magasabb kitevdjfi gy<ikok tulajdons6,gait illetvea r6juk vonatkoz6 mriveleti szabdlyokat. Iirtelmezztik egy pozitfv sz6m logaritmus6t,nregadva a logaritmusokkal v6gezhet6 mfiveletek tulajdonsdgait.

A m6sodik halmazra vonatkoz6an ismertetjiik egy komplex sz6m k6t lehets6ges

megaddsi m6dj6,t: az algebrai illetve a trigonometriai alakot. Bemutatjuk a veliikr€gezhetd mriveletek geometriai interpret6,ci6it: az algebrai alakban megadott kom-plex sz6mok eset6n a vektormriveletekkel val6 anal6giS,t adjuk meg, trigonometriaialak eset6n pedig a geometriai transzformi{,ci6kra hivatkozunk.

r Val6s szS,mok ........5o Term6szetes kitev6jrl hatv6nyok . . .5o Racion5,lis kitev6jfi hatv6,nyok ... . .7o Irracion6lis, val6s

kitev6jrl hatv6,nyok ....... 10

r Az n-edik gyitk . ...... . ...12oLogaritmusok ... ..........24o A komplex szr6,mok halmaza ...... 33

o Komplex szAmok

algebrai alakja . . .. .33o Komplex szAmok

geometriai S,brinolisa .....49o Komplex szS,mok

trigonometriaialakja ..... 56

o Komplex sz6m

n-edikgyiikei ......68o Kitriziitt feladatok ... ... . -74

1.1. Val6s szemok

1.1.1. Term6szetes kitev6jfi hatvinyok

El6sz6r felevelenitjiik egy val6s szi4m hatvr{,ny5,nak fogalmS,t abba^n az esetben,amikol a hatv6nykitev6 term6szetes sz6m. Ha a € lR 6s n € N*, akkor a ktivetkez6Ertelmezest hasznS,lj uk:

Ertelmez6s. Az a szrim n-edik hatvAny6n az a-nak <inmag6val vett ru-szeres

szorzatifi 6rtjiik r6s an -nel jelt ljiik (olvasd: ,,a az n-ediken"), tehStan : a. a. . ... e,.

-

n-92er

oz :hatvdny, a : hatv6nyalap, n :hatrdnykitev6.Ha a 10, oo : l; 0o nem 6rtelmezett; ar : o,.

A tov6bbiakban felsoroljuk a term6szetes kitev6jrl hatv6nyok fontosabb tulajdon-s6gait.

1) Azonos alaprl hatrrAnyok szorzdsa:tr* . fin : frm*n rr € lR., rn,rl, € N+.

Azonos alapri hatvdnyok szorzisilndl az alapot v6ltozatlanul hagyjuk6s a kitev6ket iisszeadjuk.

2) Azonos alaprl hatvinyok osztAsa::EM

ji : a^-n, t * 0, nlrn € N, rn ) n.

Azonos alapri hatv6nyok osztAsakor az alapot v6ltozatlanul hagyjuk6s a kitev6ket kivonjuk egym6sb6l (az osztand6 kitev6j6b6l vonjuk kiaz oszt6 kitev6j6t).3) Szorzat hatv6nyozdsa:

(*y)" : finun, r,g € R, n € N*.Szorzatot rlgy emeliink hatv6nyra, hogy a tdnyezdket a megadott.hatvflnyra emeljiik 6s az igy kapott hatrdnyokat iisszeszorozzuk.

4) Tiirt hatv6nyoz6sa:/ r\" rn(;/ :

F,Yx,y €R.,y* 0, n € N*.

Tiirtet rigy hatv6nyozunk, hogy a megadott hatv6nya emeljiikmind a sz6ml6l6t, mind a nevez6t.5) Hatrr6ny hatv6nyoz6sa:

(**)n : fi*n,v t € lR, rn, n € N*.Hatv6ny hatvdnyozAsakor az alapot rdltozatlanul hagyjuk6s a kitev6ket iisszeszorozzuk.

P6ld6k

1) Zs.25-23+5-2s. 2) 35:3e-35-s:32:g; 3) (2.g)o:2o.30.

,, (3)': #:#, 5) (8,),-323:30

6') Hatfuozzuk meg afronn term6szetes sz6.mokat, amelyekre

a)4<2n<\G; ol*r(;)"r#Megoldds. a) Az egyenl6tlensOg-sorozatot, a 22 < Zn < 24 alakba irhatjuk 6t.Mivel a hatv6nyalapok megeryeznek (miudharom hatv6,ny eset6ben 2) 6s 1-n6lnagyobbak, k6vetkezik, hory 2 < n < 4. Teh6t n:2.

t, (*)' , (;)" , (;)' rnnen s <n <s, vagyis n:4.

1.1.2. Negativ eg6sz kitevdjti hatv6nyok

Eml6kezziink a lal6s sz6mok negativ eg6sz kitev6jfl hatvduy6,nak az 6rtelmez6s6re!

mez6s. A null6t6l kiikinbrjz6 a val6s sz6,m (-n)-edik (n € N*) hatv5,ny6n

az ] valOs sz6mot 6rtjtik 6s o-'-nel jeldljiik.an

Az n:1 esetben az a-!: 1 sza,rnot az a inverzlnek (vagy forditottjdnak)

nevezziik. a

A negativ eg6sz kitev6jii hatvdnyok tulajdons6gai megegyeznek a terrn6szeteskitev6jrl hatv6nyoknak az el6z6ekben m6r felsorolt tulajdons6gaival, annyi kiil6nb-st'ggel, hogy az azonos alapri hatvr4nyok oszt5s5,ndl (2. tulajdonsS,g) nem sziiks6ges aa

m > n kiktit6s, 6rv6nyes marad nrindeu m, n eg€sz sz|,mra.

2) 25 :28 - 25-8 :2-3 :P6ldak

r) 3t.3-5 :33-5 - 3-' : +

" (i ;) : (;)--(;)

1123 g',

104e4'34(;).:

1

9'

-4:24 .

24 -s4

-:34

(2.5)n

5) (f-s;z : 3(-3)2 : 3-6 : ((../5)')-' : r/E-u : 1

@

1.1.3. Racion6lis kitevdjff hatv6nyok

Az el6z6 fejezetekben 6rtelmeztiik a term6szetes 6s eg6sz kitev6jii hatv6nyok fo-galm f,,f , felsorolva legforrtosabb tulajdonsigaikat:

L) a* ,an : a**nrYmrn €Z*;

3) (ab)'' : oPUn,Ym,n €Z*;5) (o*)': q,mn,Yalo,Vm,ne Z; 6) ao:7, af o;

1

7) n-*: *,Vall,VmeZ.K6nnyen igazolhat6 a kdvetkez6 k6t 6llitds:

Seg6dt6tel. 1) Ha r,UZ0, n € N*, a.kkor r'- y" <* n:A.2) Ha r,g € R, rt, € N, n pS,ratlan, akkor r' - An e n: A.

1

,o;1

t25

,) # : e,*-n,Y a f o, v m,n e z;

n) (;)* : #, Y a,b I o,Y m e z;

A magasabb kitev6jii gyokiik segits6g6vel kiterjeszthetjiik a hatvS,ny fogalmS,t

racion6,lis kitev6k eset6re is. Ennek kovetkezm6nye, hogy a term6szetes 6s eg6sz

kitev6jii hatv6,nyok a racion6lis kitev6jfi hatvSnyok saj5,tos esetek6nt tekinthetdk.

Megiegyz6s. Mint tudjuk, a, ? raciordlis sz6m a vele egyen6rt6kfi tortek osztfi,ly6-

nak eg5, reprezent6,nsa. Kimutatjuk, hogy a racion6,lis kitev6jii hatv6,ny fogahna nem

tiigg a reprezentdns megvS,lasztS,s f*61, azaz 2 h"lyeb" egy vele ekvivalens ! tort"t

ffive (A : ? + me: pn), u, of h*uany 6rt6ke megegyezik a a? hatv6ny6val.'n q

Val6ban, aT : (m: \/amP : *f/amP : {a, : ot.P6td6k. 8e : i6t : i/@Y : W :22 :4;

27-3 :

A raciondlis kitev6jii hatv6nyok tulajdons6gai

Az eg6sz kitev6jrl hatv6nyokra vr:natkozti tulajdorrsr4,gok 6rv6nyesek a raciorr6lis

kitev6k eset6n is:

T6tel. Ha a,b ) 0, r, s € Q, akkor fennS,llnak a kovetkez6 egyenl5s6gek:

l) a' 'a" : a'*") 4 # : o'-'", 3) (ob)' : a' 'b')

n) (t)' : #, b) (o')" : a,rs.

Bizonyit6s. Az 7) 6s 3) tulajdons6gokat igaaoljuk, a tcibbi tulajdons6g hasonl6

nr6don bizonyithat6. Ezen 6llft6sok igazolas6hoz az el6zd seg6dt6telt haszn6ljuk.1) Har -?, r:?, p,me Z, q,n€N, g,n22,akkora'a' :ata*.'qrtAz al6,bbi gondolatmenet sor6n a m6r megismert tulajdonsd,gokat alkalmazzuk

(z6r6jelben feltiintettiik azt a tulajdons6got vagy 6rtelmez6st, amely alapj6,n az egyes

egyenlSs6gek felirhat6k) :

la', a*10" : 1at1o"1a*)q" (szorzat term6szetes kitev6jti hatv6nya): [(af )'Ij"[(oT)*)o (term6szetes kitev6jri hatvSny hatv6nyozSsa)

: l((ae)q1'[(t/or")"1, (a racionrllis kitev6jf hatv6ny definici6ja)

1111

-:-272 tfr w e'

Ertelmez6s. Ha a> 0 6s r :?, m €Z,n € N*, n ) 2, akkorn

az a szhm r-edik hatv6,ny6n az a'-neljeltilt sz5,mot 6rtjiik, ahol

e,':a*: W.Az a' hatvfny eset6n a-t a hatvriny alapj6nak, r-et pedig a hatvS,ny

kitev6j6nek nevezziik.

SajS,tosan, ha m : 7, n ) 2, akkor "* : {".

: (an)n(am)c (a q-adik, illetve rl-edik gyok 6rtelmez6se)

: (1p17 . ams (eg1sz kitev6jii hatv6ny hatv6nyoz6sa)

:6,Pn*mQ (azonos alapri hatvSnyok szorzasa)

: ( "(1,p*-o)"0 (nq-adik gyok defirrici6ja)Dn+m0: (a--;;- )na (rar:iorr6lis kitcvdjii hatvriny definici6ja)

.pn+mq p.mViszont : ? +? : ,'+ r, tch6t kimutattuk, hogy (a' .a")an : (ar*s)no_nqqnIgy a seg6dt6tel alapj6n o.' . a" : a''*".

3) Har: I alakri, pe Z, q€N, q)2, akkorq

l(ab)i1o : ltf@1, (racion6lis kiter'6jf hatvSny 6rtelmez6se)

- apbp (szorzat eg6sz kitevdjfi hatv6nya): ({"0)r(;/W)c (a q-adik gyok 6rtelmez6se): 1a',1o1Ot )q (racion6lis kitev6jfl hatvd,ny 6rtelmez6se)

. P.P: (a;b;)'tt (szorzat term6szetes kitev6jrl hatv6nya).Teh6t [(ob)r)q .- larbr]s, igy a seg6dt6tel alapj6n kovetkezik, hogy (ab)' : arbr

I

P€ldek

lrjuk fel racion6]is kitev6jii hatv6,nyk6nt a kcivetkez6 szS,mokat: J3, W, t/i.,.

lrjuk fel gyokok segits6g6ve] 6 3], 5*, 73, 4o,zr' sz6mokat.

3) Ivlutassuk ki, hogy ttfrt/A, t/ffi)' : *.Megoldds. \ rt:Si; W:38, \/i-:5-i:5-r: *.

2) Si : r/5, s* : il1,7A : W: i/49,40,25 - +i :14: {22: A.3) A gyokdket tcirtkitev6jii hatv6,nyokk5, irva, kapjuk, hogy

{fr : {5 : 3i, {G : V5 : 3*, Jffi : v3 : 3*, isy a bat otdati kifejez€srendre a kiivetkez6 alakokra hozhat6:

3i1s* : g*), : Bi1a*-*;z :3i1s*;2 : sigt :3i .3# :3i+# :36 :3*.K6t raciondlis kitev6jii hatvdny iisszehasonlit6salgaz a kiivetkez6 6,llitas:

T6tel. 1) Hao ) 1, akkor a'' <a" <+r < s. r,s € Q.2) Ha 0 I a I l,akkor o' < os s r > s, r,s € Q.

1)

2)

Bizonyft6s. Csak az els6 6llit6st igazoljuk. a m6sodik hasonl6 m6don bi-zonyithat6. Har: p-,

":7, p,*€2, e,?r e N, q,n)2,a,kkorqna", < a* e @t1w 1(aT1t, (term6szetes kitev6jrl hatv6nyok rendez6se)

e l(@)s)" < l(f/""")ln (raciorr6lis kitev6jfl hatvS,ny 6rtelmez6se)