MISS 20111 . Osnovni pojmovi modeliranja i simulacije.Model i teorija. Modeliranje i simulaciju ine niz aktivnosti za pravljenje modela realnog sistema i njegovu simulaciju na raunaru. Osnovni elementi koji figurisu u mis-u su realan sistem,model, racunar.Cilj modeliranja je upotrebiti model umesto realnog sistema radi odredjenog saznanja...pri tom se izbegavaju opasnosti eksperimenta nad realnim sistemom.Model ne treba da reprodukuje stvarnost u potpunosti vec treba da iskaze samo deo strukture ili ponasanja realnog sistema.Realan sistem predstavlja ureen i meuzavisan skup komponenti koje formiraju celinu i deluju zajedniki da bi ostvarili cilj ili funkciju.Predstavlja izvor podataka za uspesno formiranje modela. -Model predstavlja pogodan nain predstavljanja ukupnog ovekovog iskustva i njegovog naina razmiljanja o sistemu koji istrauje.Model je ustvari apstrakcija realnosti ali uproscena,idealizovana i obicno ne obuhvata sve aspekte.Sadrzi samo izabrane elemente I karakteristike sistema znacajne za istrazivanje,ukljucujuci I uvedene pretpostavke.Model treba to vernije da preslikava stvarnost u skladu sa traenom sloenosti i cenom razvoja. Teorija je opti iskaz principa izveden iz posmatranja sistema i podataka dobijenih posmatranjem.Predstavlja neophodan elemenat koji povezuje model I sistem.Model je samo predocena teorija.Model ne moe postojati ako nema teorije teorija mora biti prethodno formulisana.

2. Detaljnost modela. Neformalan i formalan opis modela. Sloen/savren model Za iste ulaze daju iste izlaze kao i realan sistem Skup je i glomazan za eksperimentisanje Veoma jednostavan model Neodgovarajui (pogreni) rezultati Model treba to vernije da preslikava stvarnost u skladu sa traenom sloenosti i cenom razvoja Model koji ukljuuje sve promenljive i veze meu njima je bazni model Apsolutno je valjan Ne moe se praktino realizovati Pojednostavljen bazni model je saeti ili grubi model Osnosi se na izabran eksperimantalni okvi Neformalan opis daje osnovne pojmove o modelu.Formalan treba da obezbedi veu preciznost i potpunost opisa sistema.Opisuje sistem na nedvosmislen nacin.Neformalan model se lako formira.Uvodi objekte,opisne promenljive I pravila interakcije objekata. Najcesce je nejasan, nekompletan, nekonzistentan.

3, Klasifikacije modela.

-Modeli sa(autonomni I neautonomni) i bez memorije. -Modeli sa kontinualnim stanjima(promenljive uzimaju vrednosti iz kontinualnog opsega),sa disktretnim stanjima(promenljive uzimaju disktretne vrednosti),modeli sa mesovitim stanjima. -Vremenski kontinualni I disktretni modeli. -Invarijantni I varijantni modeli(struktura modela I pravila interakcije se menjaju sa vremenom) -Deterministicki(izlazi modela uvek isti za iste ulaze I stanja) i stohasticni modeli -Linearni(menjaju stanja I daju izlaze postujuci linearne transformacije) I nelinearni modeli -Fizicki(materijalne reprenzentacije istrazivanog sistema) I apstraktni(simbolicna I matematicko-logicka reprenzentacija sistema) modeli. -Staticki(daju izlaze za sistem u ravnotezi) I dinamicki(daju promene izazvane aktivnostima u sistemu) modeli.

4. Proces dobijanja modela

5. Verifikacija i valjanost modela. Provera da li se model pona a onako kako je to zamislio autor Proveravaju se program(i) i podaci. Defini e se stepen podudaranja Apsolutno podudaranje je nemogue - Razlike su posledica aproksimacija Stepeni valjanosti modela +Replikativna valjanost (najnii stepen) Porede se izlazi modela i sistema

+Prediktivna valjanost Model proizvodi dobre vrednosti na izlazima per nego to se mogu izmeriti u realnom sistemu Omoguava istraivanje situacija koje nisu posmatrane u sistemu +Strukturna valjanost Model u potpunosti odslikava nain na koji realan sistem funkcioni e Omoguava istraivanje operacija sistema koje se ne mogu meriti

6, Analiticko i simulaciono reenje. Simulacija u sirem smislu. Analitiko reavanje Koristi deduktivne postupke matematike analize Daje opte reenje u obliku formule Vai za razne kombinacije ulaza i parametara Koristiti ga uvek kada je to mogude! Ogranienja: Sistem i njegovi odnosi nisu dovoljno poznati da se opiu matematiki Sloeno se sprovodi, a esto je i nemogue Simulacija = odreivanje pona anja modela na osnovu vrednosti ulaza (ili skupa opisnih promenljivih) Raunarska simulacija = eksperimenti na raunaru Ukljuuje i izgradnju apstraktnog modela programiranjem Raunar se upotrebljava za Formiranje modela (razvoj modela) - Numerike proraune na osnovu modela Simulacija u irem smislu obuhvata: Eksperimentisanje na realnom sistemu Snimanje podataka na realnom sistemu Formulisanje teorije Izgradnju koncepcijskog modela Programiranje Planiranje eksperimenta na raunaru Ekperimentisanje programom na raunaru i analiza dobijenih rezultata = simulacija u uem smislu

7. Translatorni mehanicki sistemi -promenljive,elementi I zakonitosti Osnovne promenljive: x rastojanje [m] v brzina [m/s] a ubrzanje [m /s2] f sila [N] Dodatne promenljive: w energija [J] p snaga [W] Masa tela:

Sila trenja:

Elasticnost:

Zakonitosti...

8.Translatorni mehanicki sistemi-dobijanje modela sistema Kombinuju se zakonitosti elemenata I zakonitosti interakcije (meusobnih veza) elemenata. Za svako telo posmatramo sile koje na njega deluju...

Na osnovu dalamberovog zakona pisemo jednacine...

9.Rotacioni mehanicki sistemi-promenljive,elementi i zakonitosti. ugao [rad] ugaona brzina [rad/s] ugaono ubrzanje [rad/s2] moment sile [ Nm] p snaga rotirajueg tela w energija

J = momenti inercije tau = moment sile koji deluje na osu rotacije Jw - moment koliine kreatanja d(J inercijalni moment sile Moment sile u odnosu na paralelne ose.

Rotaciono trenje je algebarska veza momenta sile I relativne ugaone brzine izmedju dva tela.

Rotaciona elasticnost je algebarska veza momenta sile I relativnog ugaonog pomeraja.

Zupcanici Za levi zupanik vai: f cr1 1 = 0 Za desni zupanik vai: f cr2 + 2 = 0 gde su: fc sila koja se prenosi na drugi zupanik moment sile primenjen na zub

10. Rotacioni mehanicki sistemi dobijanje modela sistema Prvo usvojimo pozitivan smer za promenljive(tau,omega,alfa). Za svaku masu ili spojnu tacku crtamo dijagram koji pokazuje sve momente sila,ukljucujuci inercijalni moment sile. Sve momente sila izuzev pobudnih,izrazavamo preko tau,omega,alfa. Primenjujemo D`Alambert-ov zakon na svaki dijagram

11. Termicki sistemi-promenljive,elementi I zakonitosti. su sistemi gde postoji skladi tenje ili prenos toplote. Matematiki modeli se izvodi na osnovu poznatih zakona termodinamike. Temperatura [K] Koliina toplote q [J/s][W] Stanje ravnotee gde se odvijaju normalne operacije Dva tipa pasivnih elemenata: Termika kapacitivnost Termika otpornost Aktivan elemenat Termiki izvor Termicka kapacitivnost Postoji algebarska zavisnost izmeu temperature tela i akumulirane toplote u njemu q

Termika otpornost Toplota se prenosi na 3 naina: provoenjem, strujanjem ili zraenjem.

Tipovi termikog izvora izvor koji dovodi toplotu (odreenom brzinom) koliina toplote koja se do dovede je pozitivna izvor koji odvodi toplotu koliina toplote koja se do odvede je negativna

12. Termicki sistemi dobijanje modela sistema. Kao promenljive stanja se uzimaju temperature svakog tela koja ima toplotni kapacitet Preno enje toplote u telo sa toplotnim kapacitetom zavisi od izvora toplote i preno enja toplote preko termikih otpornosti.

Ovaj model se moze na kraju linearizovati izrazavanjem promenljivih temperature I provodjenja kao zbirove nominalnih I inkrementalnih vrednosti, I uvodjenjem smena.Na kraju se eliminisu konstantni clanovi I dobijamo model izrazen samo preko inkrementalnih vrednosti.

13. Sistemi sa fluidima- promenljive,elementi i zakonitosti. Hidrauliki sistemi ukljuuju protok i akumlaciju tenosti, te su bitni: -q zapreminski protok [m3/s] -V zapremina [m3] -h visina (nivo) tenosti [m] -p pritisak [N/m2] ili [Pa] obino se posmatra apsolutni pritisak, a ponekad relativno u odnosu na atmosferski: p*(t)= p(t)pa pa=1,013105 [N/m2] Kapacitet Kod tenosti sme tene u otvoren sud postoji algebarska ralacija izmeu zapremine tenosti i pritiska u osnovi suda

Ako je A(h) konstantno...

Otpornost pad pritiska se objanjava gubitkom energije i obino je posledica nelinearne zavisnosti

Hidraulika otpornost R je reciprona vrednost nagiba krive q=f(p) za datu radnu taku. Pumpa je izvor energije koja dobija snagu od elektro motora Posmatrademo centrifugalnu pumpu konstantne ugaone brzine Povedava pritisak na potisu p2 u odnosu na pritisak na usisu p1 esto se upotrebljava u hemijskim procesim

Karakteristika pumpe se odredjuje eksperimentalno I prilicno je nelinearna

14. Sistemi sa fluidima- dobijanje modela sistema.

Nakon formiranja predstavimo linearne clanove kao sume nominalnih I inkrementalnih vrednosti.Linearizujemo nelinearne clanove razvojem u Tejlorov red I skratimo konstantne clanove.Na kraju opet dobijamo izraz u kom figurisu samo inkrementalni clanovi. 15. Elektromehanicki sistemi-promenljive,elementi i zakonitosti. Primer:galvanometar

Ugaoni pomeraj je srazmeran struji koja protekne kroz namotaj U osi kalema postoji torziona opruga. Pretpostavka: u vazdunom procepu je uniforman mag. fluks gustine B Ima N namotaja ice ( irine s, poluprenika a)

16. Matematiki model u prostoru stanja.Koncept i izbor promenjivih stanja. Model sistema ine (Koijeva forma): Sistem diferencijalnih jednaina 1. reda

Sistem algebarskih jednaina

Vektorski zapis

Izbor promenljivih stanja minimalan skup linearno nezavisnih promenljivih ne moraju imati fiziku interpretaciju veliine uz koje stoji prvi izvod u diferencijalnim jednainama obino predstavljaju elemente koji su sposobni da prime i uskladite energiju Koncept prostora stanja ima nekoliko prednosti u odnosu na klasini pristup, posebno ako se posmatra sa aspekta koridenja digitalnih raunara: Odreivanje reenja sistema diferencijalnih jednaina prvog reda je bre na digitalnom raunaru, nego reavanje odgovarajude diferencijalne jednaine vieg reda. Uproteno je matematiko opisivanje upotrebom vektorske notacije Ukljuivanje poetnih uslova sistema je jednostavno. Model se moe primeniti na vremenski promenljive, nelinearne, stohastike i diskretne sisteme

17. Linearan matematicki model (u prostoru stanja). Osobine.

Linearan sistem zadovoljava principe Superpozicije Princip superpozicije: Odziv linearnog sistema na pobudu datu zbirom pojedinanih pobuda moe se dobiti kao suma odziva na pojedinane pobude, koje na sistem deluju nezavisno jedna od druge. Homogenosti Linearan matematiki model u prostoru stanja Nastao linearizacijom povezuje inkrementalne promenljive Sistem linearnih obinih diferencijalnih jednaina 1. reda

Sistem linearnih algebarskih jednaina

Vektorski format

Osobine linearnog modela Linearan sistem zadovoljava principe: Superpozicija - ako je y=f(u), tada je f(u1+u2)=f(u1)+f(u2) Sistem opisan relacijom y(t)=u2(t) nije linearan jer ne zadovoljava princip superpozicije. u12(t)=y1(t); u22(t)=y2(t). Po principu superpozicije bi moralo biti: (u1(t)+u2(t))2=y1(t)+y2(t)=u12(t)+ u22(t), to nije tano. Homogenost - ako je y=f(u), tada je f(ku)=kf(u) Sistem y(t)=mu(t)+b nije linearan jer ne zadovoljava princip homogenosti: m(ku(t))+bky(t) 18. Izracunavanje promene stanja I odziva sistema.Fundamentalna matrica.

Rauna se preko Fundamentalne matrice sistema Kretanje promenljivih stanja x(t)

Fundamentalna matrica je matrica prelaza stanja sistema ija je dimenzija jednaka redu sistema, tj. n x n. Izraz za fundamentalnu matricu: Fundamentalna matrica nosi sve informacije o slobodi kretanja sistema x(t)=A*v(t). Iz reenja jednaine x(t)=(t)*x(0) se vidi da reenje homogene jednaine stanja u trenutku t predstavlja transformaciju stanja sistema.

19. Linearizacija nelinearnih modela I formiranje linearnog modela u prostoru stanja

Koraci linearizacije 1. Odrediti radnu taku pisanjem i reavanjem odgovarajudih algebarskih jednaina 2. Prepisati sve linearne lanove kao sume nominalne i inkrementalne vrednosti 3. Zameniti sve nelinearne lanove sa prva 2 sabirka razvoja u Tejlorov red 4. Skratiti konstantne lanove u differencijalnim jednainama (Upotrebiti algebarske jednaine koje odreuju radnu taku.) 5. Definisati poetne vrednosti inkrementalnih promenljivih

20. Odnos matematikog modela u prostoru stanja I funkcije prenosa. Model sistema u vremenskom domenu

Nakon primene Laplasove transformacije

Funkcija prenosa

21.Analogije elemenata I parametara. Translatorni mehanicki sistemi M masa; K koeficijent elastinosti opruge; F koeficijent trenja; x(t) pomeraj (poloaj) tela f(t) spoljna sila pod ijim se dejstvom vr i kretanje

Mehaniki sistem sa rotacionim kretanjem J momenat inercije valjka; K koeficijent elastinosti opruge; F koeficijent trenja; (t) ugaoni pomeraj (poloaj) tela; f(t) spoljni momenat pod ijim se dejstvom vr i kretanje

22. Upotreba analognog raunara. Elementi analognog raunara. Dinamiki sistemi se opisuju diferencijalnim jednainama Praktini inenjerski problemi se opisuju sistemom spregnutih dif. jednaina Sa vi e promenljivih ( npr. temperatura, p j p p pritisak, protok itd) Problem: sloen matematiki model sloeno i dugotrajno analitiko re avanje potreban raunar! Analogni i/ili digitalni raunari re avaju dif. jednaine koje predstavljaju matematike modele razliitih sistema ubrzavaju se analiza modela/sistema i sinteza Elementi: Postoje komponente za naje e upotrebljavane matematike operacije: mnoenje konstantom POTENCIOMETAR sabiranje / oduzimanje SABIRA promena predznaka INVERTOR integraciju INTEGRATOR Njihovom upotrebom mogu se re iti brojni tehniki problemi (simulirati sistemi) opisani linearnim diferencijalnim jednainama ili funkcijama prenosa

Mnozenje konstantom>1:

Sabiranje:

Integracija:

Mnozenje konstantom 1 usporenje, = kt k < 1 ubrzanje re enja u odnosu na realno pona anje. Amplitudno skaliranje Razlog: svi naponi unutar EAR (nezavisno promenljive i njihovi izvodi) moraju da budu u opsegu [Vref, +Vref], gde je Vref referentni napon EAR(tipino 10V). nastoji se da naponi budu to je mogue vei izbegavati postojanje malih napona jer su oni podloni uticaju uma i gre kama usled nesavr enosti operacionih pojaavaa (drift, struja curenja, nelinearna karakteristika u opsegu malih ulaznih napona). Uvode se skala faktori za sve nezavisne promenljive i sve njihove izvode bez razlike da li se izvod navodi u diferencijalnoj jednaini ili ne! Procenjena vrednost maksimuma

Iz praktinih razloga, za skala faktore se usvajaju okrugli brojevi da bi se olak alo odreivanje vrednosti zavisno promenljivih na osnovu izmerenih vrednosti napona. Zaokruivanje se radi na manje vrednosti, jer u suprotnom moe doi do zasienja napona 24.Definicija I osobine Laplasove transformacije (LT) I inverzna LT.

L{.} Laplasova transformacija L-1{.} Inverzna Laplasova transformacija s kompleksna uestanost (komp. prom. Laplasove trans.) F(s) kompleksan lik funkcije f(t) f(t) original funkcije F(s) Osobine Laplasove transformacije

Inverzna Laplasova transformacija

Za odreivanje inverzne Laplasove transformacije su od posebnog znaaja polovi funkcije F(s), i tu se mogu uoiti etiri karakteristina sluaja: Svi polovi funkcije F(s) su realni i prosti Funkcija F(s) ima viestruke realne korene Postoje konjugovano-kompleksni polovi, a realni su, ako postoje, prosti Funkcija F(s) ima viestruke konjugovano kompleksne polove

25. Standardni pobudni signali. Hevisajdov signal

Dirakov impuls

Jedinini nagibni signal

26. Primena Laplasove transformacije u modelovanju I analizi sistema. Primer primene Laplasove transformacije:

Mehaniki sistem je opisan diferencijalnom jednainom

Primena Laplasove transformacije na dif. jedn. daje:

a nakon sreivanja:

27. Funkcija prenosa sistema sa jednim ulazom i jednim izlazom Funkcija prenosa sistema se definie kao odnos LT izlazne (y(t)) i ulazne (u(t)) veliine, uz pretpostavku da su svi poetni uslovi nulti i da je y(t)=u(t)=0, t0 ili pak inhibitorne 0 da uniformno aproksimira bilo koju realnu kontinualnu funkciju na konanoj realnoj osi Teorema: Vieslojni mrea sa dva skrivena slojem moe sa proizvoljnom tanodu e>0 da uniformno aproksimira bilo koju realnu kontinualnu funkciju vie argumenata Jednoslojna diskretna rekurentna mrea

60.Obuavanje ve takih nauronskih mrea. supervizorsko (sa uiteljem) postoji obuavajui skup parova (ulaz, eljeni-izlaz) nesupervizorsko (bez uitelja)

inkrementalno batch obuka, podeavanje teina u jednom koraku

Delta pravilo - Back-propagation BP je najede upotrebljavan algoritam obuke feed-forward NM obuava na osnovu skupa ulazno/izlaznih parova - obuavajui skup:

x-vektor ulaznih podataka d-vektor izlaznih podataka obuka traje dok se odzivi mree oi ne poklope sa odzivima di , i = 1, 2, ...P. Pri ovome postoji greka E, koje predstavlja kriterijum optimalnosti:

Korekcija vrednosti tezina se postize korekcijom na osnovu minimizacije kriterijuma optimalnosti E gradijentnim postupkom. Generalizovano Delta pravilo ako se posmatra NM sa jednim skrivenim slojem, i teine koje pripadaju izlaznom sloju su W, a skrivenom V, tada se postupkom minimizacije funkcije E dobija

gde je: ok greka vezana za izlazni sloj, vj vrsta iz matrice V, a y - vektor izlaza neurona skrivenog sloja Postupak: 1. inicijalizuju se teine W i V na sluajne male vrednosti 2. postavi se ulaz x i izraunaju se izlazi neurona u skrivenom sloju y i izlazi neurona izlaznog sloja o 3. izrauna se gre ka Ep (u batch obici se rauna E=sum(Ep)) 4. odrede se delte ok i yj(delta propagira u nazad backpropagation) 5. koriguju se teine u izlaznom sloju wj 6. koriguju se teine u skrivenom sloju vj 7. uzme se naredni ulaz i nastavi od koraka 2. ne u batch 8. nakon upotrebljenih svih el. obuavajueg skupa izrauna se ukupna gre ka E i uporedi sa zadanim Emax 9. ako je E < Emax mrea je obuena, inae se nastavlja od koraka 2, gde se na ulaz mree ponovo dovodi prvi elemenat obuavajueg skupa. Osobine: -sporo konvergira -sporo radi za veliki broj teina (>>1000) -ogranien je samo na feedforward mree -dobar je za generalizaciju, ali lo za uenje specifinih sluajeva -obuavanje vi eslojne feedforward NM je NP kompletan problem, gde broj raunanja raste sa veliinom problema bre od bilo kog konanog stepena neke odgovarajue mere

61.Uloga ve takih nauronskih mrea u modeliranju i simulaciji. Sposobnost NM da proizvoljno mapira ulaze na izlaze joj omoguava da simulira pona anje drugog sistema Obuavanje NM ulaznoizlaznim podacima iz objekta predstavlja postupak identifikacije sistema Mogu se vr iti direktna identifikacija objekta (a) inverzna identifikacija objekta (b) (nije uvek mogua)

57.Ve taka nauronska mrea kao model dinamikog sistema.

Identifikacija objekta feed-forward mrezom: a stacionarno ponasanje b dinamicko ponasanje