O SILOGISMO1. DEFINIO DE SILOGISMO E DE FIGURAS E FORMAS DE SILOGISMOS Neste captulo, desenvolveremos um mtodo, a partir dos diagramas de Venn apresentados em Evidencia e relevncia, para determinar a validade ou contravalidade de um tipo simples de argumento: o silogismo. Um silogismo um argumento composto de trs proposies: a concluso e duas premissas. Esse tipo de argumento foi estudado e, ao que se sabe, criado por Aristteles (seu tratado sobre o silogismo conhecido como Primeiros analticos). At o incio do sculo XX, manuais de lgica apenas elaboraram a silogstica aristotlica. Quatro tipos ou esquemas de proposio podem compor um silogismo: 1. Particular afirmativo: Alguns X's so Y. 2. Particular negativo: Alguns X's no so Y. 3. Universal afirmativo: Todos os X's so Y. 4. Universal negativo: Nenhum X Y. uma conveno desde a lgica escolstica designar esses tipos de proposio pelas letras I, O, A e E, respectivamente. As letras foram escolhidas das palavras (latinas) "affirmo" e "nego". Um silogismo, alm de ser composto por trs proposies, dever ter trs termos distintos. Um termo representa uma classe e pode ser um substantivo ou um adjetivo (na lista de tipos de proposio apresentada, as letras X e Y indicam lugares de termos). "Marciano" e "verde", por exemplo, so termos. Em um silogismo, cada termo aparece exatamente duas vezes, mas nenhum aparece duas vezes na mesma linha. Segue um exemplo de um silogismo: Exemplo 1: Todos os gatos so animais. Todos os ces so animais. Portanto, todos os ces so gatos. "Ces", "gatos" e "animais" so os termos desse silogismo. "Animais" o termo mdio: ele aparece somente nas premissas. Os dois termos que ocorrem na concluso so denominados termos extremos.

Dado um par de termos extremos (designados pelas letras S o termo sujeito da concluso, tambm chamado de termo menor - e P, o termo predicado da concluso, o termo maior), h quatro combinaes possveis de termos mdios - designados pela letra M - e extremos. Cada combinao chamada s figura. As figuras do silogismo so:

Convencionamos escrever primeiro a premissa que contm o termo maior (a premissa maior), depois a que contm o termo menor (a premissa menor). H 64 combinaes possveis de trs (o nmero de proposies de um silogismo) dos quatro tipos de proposio: AAA, AAE, AAI, AAO,... e OOO. Portanto, h 256 formas distintas de silogismo (AAA em quatro figuras, AAE em quatro figuras, AAI em quatro figuras etc.). Segue a forma do Exemplo l: Todos os P so M. Todos os S so M. Portanto, todos os S so P. O silogismo do tipo AAA na segunda figura (a primeira letra de tal srie refere-se premissa maior; a segunda letra, premissa menor, e a terceira, concluso). Somente uma pequena frao das formas de silogismo vlida (mais ou menos 20 das 256 formas). A forma anterior contravlida (isso ser mostrado logo adiante).1

1 Os quatro tipos de proposio (A, E, I e O) podem ser reduzidos a dois, se admitimos

como um termo a negao de uma propriedade - se aceitamos "no-marciano" e "noverde", por exemplo, como designando classes. Assim, a proposio universal negativa ''Nenhum marciano verde" pode ser expressa como a proposio universal afirmativa "Todos os marcianos so no-verdes" (ou a universal afirmativa "Todos os marcianos so verdes", como a universal negativa "Nenhum marciano no-verde"), e a proposio particular negativa "Alguns marcianos no so verdes", como a particular afirmativa "Alguns marcianos so no-verdes" (ou a particular afirmativa "Alguns marcianos so verdes", como a particular negativa "Alguns marcianos no so noverdes"). Mas, com tal reduo no nmero de tipos de proposio, haver perda de elegncia e clareza (sentenas como "Alguns no-marcianos no so no-verdes" no so fceis de decifrar).

2. OS SENTIDOS DOS TIPOS DE PROPOSIES E AS RELAES ENTRE ELES O quantificador particular (existencial ou singular) alguns, em "alguns X's so Y", deve ser interpretado como afirmando que pelo menos um X Y, e que talvez todos os X's sejam Y. Assim, a proposio "algumas mas so verdes" nos diz que pelo menos uma ma verde, mas talvez todas as mas sejam verdes (ou seja, a proposio nem afirma nem nega que todas as mas so verdes). A proposio O, "alguns X's no so Y", afirma que pelo menos um X no Y (mas no nega nem afirma que nenhum X Y) - que, por exemplo, pelo menos uma ma no verde. Ser usada uma tcnica elaborada a partir de diagramas de Venn para representar os quatro tipos de proposio. O diagrama que segue ser a base para representar as proposies:

Figura l O diagrama tem quatro regies. Cada uma delas destinada a objetos com certas propriedades: a regio 1, a objetos que tm a propriedade X, mas no a propriedade Y; a regio 2, a objetos que tm ambas as propriedades; a regio 3, a objetos que tm a propriedade Y, mas no a propriedade X; e a regio 4, a objetos que no tm qualquer uma dessas propriedades. Qualquer objeto pode ser colocado em uma dessas regies: todas as combinaes possveis das propriedades X, no-X, Y e no-Y esto presentes na Figura 1. Que X seja "ma" e Y "verde"; mas vermelhas iriam para a regio 1, mas verdes para a regio 2, esmeraldas para a regio 3, enquanto Scrates seria encaminhado para a regio 4. A proposio I, "alguns X's so Y", afirma que pelo menos um objeto se encontra na regio 2. Usaremos o smbolo "+" para representar um objeto. Quantos +'s esto na regio 2? Ora, a proposio I somente assevera a existncia de um objeto com as propriedades X e Y. Assim, um "+" pode ser colocado na regio 2. Mas no mais do que um. possvel que a proposio "alguns X's

so Y" seja verdadeira, enquanto a proposio "mais de que um X Y" seja falsa. verdade que pelo menos um nmero primo um nmero par, mas tambm verdade que somente um nmero primo um nmero par. A proposio "alguns X's so Y" nem nega nem garante a existncia de mais de um X que Y. Assim como o portugus de todos os dias s vezes nos leva a supor (erroneamente) que a sentena "alguns X so Y" assevera a existncia de mais de um X, a sentena tambm pode ser entendida como afirmando a existncia de objetos do tipo X que no so Y. No extravagante ler a sentena "alguns paulistas so engenheiros" como "somente alguns paulistas so engenheiros" ou "alguns paulistas so engenheiros, mas alguns no so". Nossa definio de "alguns" probe tal interpretao. No entanto, a definio adotada de "alguns" no contraria o uso comum: verdade que pelo menos um mltiplo de quatro um nmero par, mas tambm verdade que todos so; e, de fato, pelo menos uma anta um mamfero, mas falso que algumas no so. A sentena, "alguns X's so Y", segundo o sentido adotado aqui, nem nega nem afirma a existncia de alguns X que no so Y; ela deixa a questo da existncia de tais objetos em aberto. Por essas razes, qualquer proposio do tipo "alguns X's so Y" pode ser representada como na Figura 2.

Figura 2 Pelas mesmas razes, qualquer proposio do tipo O ("alguns X's no so Y") pode ser representada como na Figura 3.

Figura 3 As proposies universais so definidas em termos das proposies particulares: a proposio A a negao da proposio O, e a proposio E a negao da proposio I. Quando negamos a proposio I, afirmamos que falso dizer que existe pelo menos um X que Y. A proposio I seria falsa sob uma das seguintes condies: se, havendo X's, nenhum X Y ou se no h X's. A proposio "Algumas amazonas so corajosas", por exemplo, falsa, se, tendo existido amazonas, nenhuma era corajosa. Se no existiram amazonas, tambm falso que pelo menos uma amazona corajosa. Em outras palavras, a proposio "Nenhuma amazona corajosa" nega a existncia de amazonas corajosas, tendo existido ou no amazonas. Representamos da seguinte maneira a proposio "Nenhum X Y":

Figura 4 Uma regio sombreada representa uma regio vazia; a regio sombreada deve ser interpretada como negando a existncia de objetos com as propriedades que delimitam a regio. As Figuras 2 e 4 so incompatveis: se de fato a regio central estiver ocupada (como na Figura 2), ela no pode estar vazia (Figura 4); e se de fato ela estiver vazia, ela no pode estar ocupada. As figuras mostram que (e por que) as proposies I e E so contraditrias ou inconsistentes. Proposies so inconsistentes se no podem ter o mesmo valor de verdade; se no possvel que ambas sejam verdadeiras, nem possvel que ambas sejam falsas (se necessariamente uma verdadeira e a outra falsa). Notem que a regio l da Figura 4 no est ocupada nem vazia: a proposio "Nenhum X Y" nem afirma nem nega a existncia de X's. Essa suposio de que a proposio "Nenhum X Y" nem afirma nem nega a existncia de X's (que ela no tem "importncia existencial") pode ser explicada por meio de diagramas de Venn. A

Figura 4, que representa a proposio E, segue da afirmao de que h X's e de que nenhum Y, representada no seguinte diagrama:

Figura 5 Mas tambm segue da negao da existncia de X's, assim representada:

Figura 6 A proposio "Nenhum X Y" tambm segue de "No h Y's" e da afirmao de que h Y's, embora nenhum X seja Y. As proposies O e A tambm so inconsistentes. Quando afirmamos "Todos os X's so Y", negamos que existe pelo menos um X que no seja Y. Representamos a proposio A como segue:

Figura 7 Assim como a proposio E, interpretamos a proposio universal A como no tendo importncia existencial. Desde Aristteles, passando por Leibniz, at o final do sculo XIX, lgicos entendiam que proposies universais asseveram a

existncia de objetos designados por seus termos, porque, para oferecer somente uma razo, essa interpretao seria consoante com o uso cotidiano. Ou seja, segundo alguns lgicos, subentendese, em proposies universais do tipo "Nenhum X Y" e "Todos os X's so Y", que existem coisas do tipo X; que as proposies E e A implicam as proposies O e I, respectivamente. Vrios exemplos que sugerem ser a inferncia razovel poderiam ser mencionados (especialmente aqueles de manuais de lgica, sobre coisas familiares; por exemplo, "todos os homens so mortais"). Mas muitas proposies no seriam assim entendidas: por exemplo, proposies sobre slidos regulares de nove faces e sobre marcianos. Talvez alguns dissessem que as proposies "Todos os marcianos so extraterrestres" e "Nenhum nonaedro regular um decaedro regular" so verdadeiras, enquanto suspeitassem que no existam nonaedros nem decaedros regulares, nem extraterrestres. No h nada de paradoxal nisso. De acordo com a interpretao do universal sem importncia existencial, no entanto, as proposies E e A so consistentes: as proposies "Nenhum X Y" e "Todos os X's so Y" podem ser ambas verdadeiras. Mais precisamente, se ambas so verdadeiras, no h X's; e se no h X's, ambas so verdadeiras. 2 Muitos filsofos e lgicos tambm consideram esse corolrio da interpretao contempornea paradoxal. A perplexidade amenizada se mantivermos em mente que, segundo essa interpretao, as proposies E e A apenas negam a existncia de tipos de coisas: a proposio E nega a existncia de X's que so Y's, e a proposio A, de X's que no so Y's. Enfim, as duas interpretaes do universal tm virtudes e desvantagens, e nenhuma deve ser considerada a correta. Uma razo, de carter lgico e no semntico, para adotar a interpretao do universal aqui proposta (ou seja, sem importncia existencial) reside na possibilidade de exprimir os universais aristotlicos (com importncia existencial); o inverso no possvel. Se queremos dizer que existem X's e que todos os X's so Y, podemos afirmar a conjuno das proposies, "Todos os X's so Y" (sem importncia existencial) e "Alguns X's que so Y". Se2 No diagrama a seguir, as regies sombreadas indicam que no h X's. Segue disso

que nenhum X Y (a sombra escura representa a proposio "Nenhum X Y") e que todo X Y (a sombra mais clara).

adotssemos a interpretao aristotlica, no entanto, a implicao existencial de universais no poderia ser descontada de maneira anloga: seria contraditrio afirmar (por meio de um universal) a existncia de X's e em seguida neg-la.3 3. UM MTODO PARA DECIDIR A VALIDADE CONTRAVALIDADE DE SILOGISMOS OU

O mtodo, que ser apresentado aqui, para decidir sobre a validade de silogismos frequentemente atribudo a Charles Lutwidge Dodgson, mais conhecido como Lewis Carroll, autor de As aventuras de Alice no pas das maravilhas. Carroll usou um nico diagrama para representar ambas as premissas de qualquer silogismo dado e para decidir se sua concluso segue das premissas. Seu diagrama isomorfo com seguinte:

Figura 8 As letras S, M e P simbolizam os trs termos de um silogismo: S o termo menor; M, o termo mdio; e P, o termo maior. H oito regies distintas no diagrama. Cada uma delas representa uma combinao distinta das propriedades S, M e P (afirmadas ou negadas); e no h combinao dessas propriedades que no esteja representada no diagrama. 4 Por isso, qualquer proposio de um silogismo pode ser representada em um diagrama de Carroll. Quando as premissas de um silogismo so representadas nesse diagrama, verificamos se a concluso uma consequncia3 A interpretao aristotlica da proposio universal afirmativa pode ser representada

como segue: Se juntarmos as Figuras 2 e 7 em um s diagrama, o resultado seria a figura apresentada. Ou seja, a interpretao aristotlica da proposio universal afirmativa equivalente conjuno das proposies I e A.

necessria ou no das premissas; em outras palavras, se o silogismo vlido ou contravlido. Aplicaremos esse mtodo ao Exemplo 1. Primeiro substitumos os nomes de classes ces, gatos e animais pelas letras S, M e P e escrevemos (de novo) a forma do silogismo: Todos os P's so M. Todos os S's so M. Portanto, todos os S's so P. Seguem as representaes das premissas maior (Figura 9) e menor (Figura 10). Ambas as premissas podem ser representadas em um nico diagrama, como mostra a Figura 11.

Figura 9

Figura 104 Qualquer objeto dado ou tem ou no tem a propriedade S. Dadas essas duas

possibilidades, ou o objeto tem ou ele no tem a propriedade M. H quatro combinaes possveis dessas propriedades. E dadas essas quatro combinaes, ou o objeto tem ou ele no tem a propriedade P. H, portanto, oito combinaes distintas de trs propriedades, como mostra a tabela a seguir:

Figura 11 A concluso ("Todos os S's so P") segue das premissas? A concluso nega a existncia de pelo menos um S que no P. Mas, dadas as premissas, possvel que existam S's que no sejam P's: no podemos excluir a possibilidade, com base nas premissas, de que a regio 2 da Figura 11, indicada pela seta, no esteja vazia. Ou seja, as premissas no so suficientes para concluir que no existem S's que no sejam P's (que todo S P): a concluso afirma mais do que assegurado pelas premissas. O silogismo, portanto, contravlido. Agora aplicaremos essa tcnica a um silogismo vlido: Exemplo 2: Todos os atenienses so gregos. Alguns atenienses so navegadores. Portanto, alguns navegadores so gregos. Seguindo os passos j indicados, escrevemos, em primeiro lugar, a forma do silogismo (o silogismo do tipo Ali na terceira figura): Todos os M's so P. Alguns M's so S. Portanto, alguns S's so P. Uma dica til, quando h uma premissa universal e outra particular, representar a premissa universal antes da particular; assim, reduziremos a rea a ser ocupada pelo "+" afirmado pela premissa particular. As duas premissas esto representadas na Figura 12.

Figura 12 O M que S - o existente asseverado pela segunda premissa - s pode ocupar a regio central, visto que, segundo a premissa maior, a regio 2 est vazia. Aquele existente tambm P. Em outras palavras, uma vez que representamos as premissas tambm representamos a proposio "Alguns S's so P". Esta, portanto, uma consequncia inelutvel das premissas: o silogismo vlido. Podemos representar a premissa particular antes da universal. Mas, se assim comeamos, conveniente indicar como proceder. A premissa "Alguns M's so S" somente nos assegura da existncia de um M que S, ou seja, temos um indivduo e duas regies (as regies 2 e 4) nas quais ele poderia ser colocado. Como no possvel coloc-lo nas duas regies, deve ser posto provisoriamente entre elas - em sua fronteira, como mostra a Figura 13.

Figura 13 A localizao final do "+" depender do que for afirmado pela outra premissa. Em nosso exemplo, a premissa maior ("Todos os M's so P") encaminha o "+" para a regio central (regio 4).

4. UM MTODO INDIRETO PARA DECIDIR VALIDADE E CONTRAVALIDADE Nossa definio de validade sugere outro mtodo para decidir validade ou contravalidade por meio de diagramas de Carroll. Segundo a definio, se for contraditrio ou inconsistente afirmar as premissas e negar a concluso de um argumento, este vlido. Mas se no houver inconsistncia em afirmar as premissas e negar a concluso, o argumento deve ser contravlido. Ora, se formos bem-sucedidos em representar as premissas e a negao da concluso de um silogismo em um diagrama de Carroll, ento teremos mostrado que essas proposies so consistentes e que, portanto, o silogismo contravlido. Caso no consigamos representar as proposies (as premissas e a negao da concluso) em um diagrama de Carroll, elas devem ser inconsistentes, e o silogismo, vlido. O mtodo chamado de "indireto", porque, em vez de verificar se a concluso segue das premissas (se a concluso foi representada, uma vez que as premissas foram representadas), a deciso se fundamenta na consistncia ou no de um conjunto de proposies. Consideremos de novo a forma do Exemplo l (sabemos que ela contravlida): Todos os P's so M. Todos os S's so M. Portanto, todos os S's so P. A negao da concluso a proposio do tipo O, "Alguns S's no so P". Se conseguirmos representar a seguinte srie de proposies em um diagrama de Carroll, o Exemplo l deve ser contravlido: Todos os P's so M. Todos os S's so M. Alguns S's no so P. A Figura 14 uma prova de que essas proposies so consistentes (e de que o silogismo contravlido).

Figura 14 Usaremos o mesmo mtodo para mostrar a validade do Exemplo 2. Aqui devemos testar a consistncia da seguinte srie de proposies: Todos os M's so P. Alguns M's so S. Nenhum S P.

Figura 15 A Figura 15 mostra que as trs preposies no poderiam ser todas verdadeiras (que elas so inconsistentes): de acordo com as proposies, a regio central (4) est ocupada e no est ocupada ao mesmo tempo, e isso impossvel (ou seja, as proposies tm como consequncia uma contradio). Portanto, o argumento vlido. Uma virtude desse mtodo (comparado com o mtodo "direto", apresentado na seo anterior) no que deixa (quase) nada nossa capacidade de ver se a concluso segue ou no. Tambm nos permite ver que (e vislumbrar por que) qualquer silogismo com somente premissas particulares contravlido. Consideremos a seguinte forma de silogismo:

Alguns M's no so P. Alguns S's no so M. Portanto, alguns S's no so P. Seguem o conjunto de proposies cuja consistncia deve ser testada: Alguns M's no so P. Alguns S's no so M. Todos os S's so P. O diagrama a seguir mostra que elas so consistentes e que o silogismo no vlido.

Figura 16