mk4 intergral lipat 3 baru

8/18/2019 MK4 Intergral Lipat 3 Baru

1/32

Integral Lipat Tiga

Untuk fungsi tiga variabel. Analog dengan integral lipat dua, integral lipat tiga pada

daerah

B = {( x, y, z ) | a ≤ x ≤ b,c ≤ y ≤ d , r ≤ z ≤ s}

Jika fungsi f kontinu pada daerah , !aka

f ( x, y, z )dv = f ( x, y, z )dzdydx B a c r

2

b d s

""" """


2/32

Hitung:

Jawab:

3


3/32

#eperti haln$a integral lipat dua, integral lipat tiga dapat %uga berlaku pada daerah umum E .

E = {( x, y, z ) | ( x, y) & D,u'( x, y) ≤ z ≤ u ( x, y)}Jadi

u ( x, y)

f ( x, y, z )dV = f ( x, y, z )dz dA.u

( x, y)

aerah D dapat berupa (*ngat integral lipat dua)+

'). #egie!pat, D = {( x,y) | a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d }.). aerah %enis *, D = {( x,y) | a ≤ x ≤ b, g '( x) ≤ y ≤ g ( x)}.

,). aerah %enis **, D = {( x,y) | c ≤ y ≤ d , h'( y) ≤ x ≤ h( y)}.

4

1. Jenis I

E

""" "" "u'


4/32

E = {( x, y, z ) | ( x, y) & D,u'( x, y) ≤ z ≤ u( x, y)}

5


5/32

dimana E adalah daerah di bawah

bidang pada

kuadran pertama

6

Contoh:

Hitung


6/32

7


7/32

8


8/32

2. Jenis II

E = {( x, y, z ) | ( x, z ) & D,u'( x, z ) ≤ y ≤ u ( x, z )} D dapat berupa ('), () dan () seperti di %enis *.

9


9/32

Contoh: Hitung

dimana E adalah benda pejal yang dibatasi oleh

dan bidang y =

10


10/32

11


11/32

12


12/32

!. Jenis III

E = {( x, y, z ) | ( y, z ) & D,u'( y, z ) ≤ x ≤ u ( y, z )} D dapat berupa ('), () dan () seperti di Jenis *.

13


13/32

Contoh: Hitung "olume daerah yang terleta# di bela#ang

bidang dan di depan bidang y$ yang

dibatasi oleh dan

14


14/32

15


15/32

1%. Integral Lipat Tiga dalam &oordinat 'ilinder dan

&oordinat (ola.

-oordinat #ilinder ala! koordinat silinder, titik ( x,y,z ) dikonversi ke titik (r ,/, z ).

z

(r, , 0)

y

16

z

x

r


16/32

1isal f kontinu pada E dan

E = {( x, y, z ) | ( x, y) & D,u'( x, y) ≤ z ≤ u ( x, y)}dengan D diberikan dala! koordinat polar oleh D = {(r ,θ ) | α ≤ θ ≤ β ,h'(θ ) ≤ r ≤ h (θ )}

h'(θ )

f ( x, y, z )d 2 = f ( x, y, z )dz dA h (θ )

dikonversi dari koordinat siku 3 siku ke koordinat

silinder sebagai berikut +h (θ ) u (r 4osθ ,r sinθ )

f ( x,y,z )d 2 = f (r 4osθ , r sinθ , z )rdzdrd θ

""" "" "

β

""" " " "


17/32

E α h'(θ ) u'(r 4osθ ,r sinθ )

17


18/32

Contoh: Hitung dimana E adalah daerah di

ba)ah bidang dan di atas bidang xy

serta di antara silinder dan

Jawab:


19/32

18


20/32

19


21/32

5ontoh+ -onversi integral berikut ke koordinat silindris

Ja6ab+

20


22/32

&oordinat (ola

erhatikan 7 89 + z = ρ cos φ

r = ρ sin φ

x

99

x

y

ρ

r z

( x, y, z ) = (: , /, ;)

9( x, y,


23/32

erhatikan 7 8 +

x = r 4osθ > karena r = ρ sinϕ, !aka;

= ρ sinϕ 4osθ y = r sinθ > karena r = ρ sinϕ, !aka

= r sinϕ 4osθ

ρ = r ( ? z ( > 7 8

= x( ? y ( ? z ( > r ( = x( ? y ( (7 8 )ersa!aan ola dengan ρ %ari3 %ari bola

ρ + %arak titik asal ke .

θ + sudut antara su!bu 3 x dengan 8.ϕ + sudut antara su!bu 3 z positif dengan 8.

ρ @


24/32

ala! -oordinat olar +

d A = r dθ dr

ala! -oordinat ola

72i"# = 7 ρ ( ρ

i7ϕ )(

ρi sin 7θ )

d 2 = ρ sinϕ d ρ dθ d ϕ

Jadi, konversi dari koordinat siku3siku ke koordinat bola

! β

f ( ρ sinϕ 4osθ , ρ sinϕ sinθ , ρ 4osϕ) ρ sinϕ d ρd θ d ϕ

23

tinggi

ϕ#

b

""" f ( x, y, z )d 2 = """ E α a

uas Ala s


25/32

Contoh: Hitung

dimana E adalah setengah bola

bagian atas

Jawab:

24


26/32

25


27/32

Contoh: konversi integral berikut ke koordinat bola

Jawab:

26


28/32

27


29/32

28


30/32

Bitung E

dengan E = {( x, y, z ) | 3' ≤ x ≤ ,< ≤ y ≤ ,< ≤ z ≤ }

1isalkan E adalah daerah pada oktan perta!a $ang

dibatasi y ( ? z ( = ', y = x dan x =


31/32

Tugas *.1isalkan E terletak dala! silinder x( ? y ( ='F dan di antara

bidang 3 bidang z = 3G dan z = H.

x ( ? y (d 2. E

Tugas +.

"""

( x ? xy( )d 2, dengan E adalah benda pe%al di oktan perta!a

E

$ang terletak di ba6ah paraboloid z = '3 x( 3 y.

Tugas %.

Bitung E

silinder x( ? y ( =' dan x( ? y ( = H, di atas bidang 3 xy dan di ba6ah bidang

z = x ? .

30

"""Bitung

Bitung

""" yd 2, dengan E adalah benda pe%al $ang terletak diantara silinder 3


32/32

Tugas ,.

Dunakan koordinat bola untuk !enghitung

E terletak di antara bola3bola x ? y ? z = ' dan x ? y ? z = Hdi oktan perta!a.

sekian

31

""" zd 2C

mk4 intergral lipat 3 baru

Documents