mke

M. Obad: CAD/CAM tehnologije _ Ra čunalom podržane inženjerske analize – CAE sustavi

127

4. RAČUNALOM PODRŽANE INŽENJERSKE ANALIZE – CAE SUSTAVI 4.1. Uvod U prošlosti su inženjerima bile na raspolaganju samo analitičke i grafoanalitičke metode kojima je bilo moguće zadovoljavajuće točno i brzo izvoditi proračune samo za jednostavnije konstrukcije. Složene konstrukcije su bile razvijane isključivo na temelju inženjerskog iskustva i intuicije, a utvrđivanje stanja naprezanja i deformacija bilo je moguće samo ispitivanjem na modelima, odnosno prototipovima. Oni su često opterećivani do potpunog sloma tako da se jedan model mogao upotrijebiti samo za jedno ispitivanje. Za svaku varijaciju konstrukcije, odnosno promjenu režima rada bilo je potrebno izraditi novi model. Pojava metode konačnih elemenata omogućila je zadovoljavajuće točan proračun čvrstoće bez obzira na geometrijski oblik. Međutim, ova metoda generira veoma veliki broj diferencijalnih jednadžbi čak i kod relativno jednostavnih konstrukcija, a pored toga postoji i veliki broj problema čije se diferencijalne jednadžbe ne mogu riješiti elementarnim načinom. Zbog toga se prešlo na numeričko rješavanje koje opet nije povoljno u slučaju ručnog rješavanja jer iziskuje mnogo vremena. Tek pojavom računala metoda konačnih elemenata postaje superiorna nad drugim metodama, a u mnogo slučajeva jedino i moguća. U počeku su računala bila dostupna samo vojnoj industriji te su se u njezinom okrilju razvili specijalizirani programski paketi prvenstveno za zrakoplovnu industriju. Koristili su se isključivo UNIX temeljeni sustavi i main-frame računala poput CRAY superračunala na kojima je konstruirana većina naprednih vojnih zrakoplova (F-117A, F-18 itd.). Pojavom INTEL-ova 80486 procesora i Windows NT operacijskog sustava dolazi do sve veće primjene CAD/CAE/CAM sustava u svim granama industrije i u poduzećima svih veličina. Komercijalni CAD/CAE/CAM programski paketi pokrivaju sve faze u razvoju proizvoda: od skiciranja, izrade dokumentacije, modeliranja, proračuna naprezanja i deformacija, pripreme za izradu na CNC strojevima do direktnog upravljanja CNC strojevima preko specijalizirane računalne opreme u tzv. računalno integriranom okruženju (engl. Computer Integrated Manufacturing – CIM). 4.2. Vrste analiza

Analize konstrukcija jesu procjene i ocjene predloženog rješenja temeljene na uspostavljenim kriterijima u fazi idejnog rješavanja problema. Ovo je drugo važno područje u području faze projektiranja proizvoda a u koju je uključen čitav dizajnerski tim. Tipične analize su:


128

- analiza strukturnih karakteristika koja ocjenjuje konstrukciju na temelju njezinih fizičkih osobina, kao što su čvrstoća, veličina, volumen, centar gravitacije, masa, termičke, mehaničke i druge osobine;

- analiza mehanizama čija je zadaća određivanje kretanja i opterećenja

elemenata konstrukcije ili stroja;

- funkcijska analiza određuje je li konstruktivno predviđeno ono što je bio cilj, odnosno ovo je provjera ispunjava li konstrukcija postavljene zahtjeve;

- ergonomska analiza determinira da li konstrukcija ispunjava fizičke,

emocionalne, mentalne i sigurnosne potrebe budućih korisnika;

- estetska analiza ocjenjuje konstrukciju na temelju njezinih estetskih kvaliteta;

- tržišna analiza određuje ispunjava li konstrukcija zahtjeve kupaca -

korisnika;

- financijska analiza determinira da li cijena predloženog rješenja može biti i projektirana cijena na početku u fazi iznalaženja koncepcijskog (idejnog) rješenja.

Analiza strukturnih karakteristika konstrukcije jest normalna inženjerska aktivnost i u računalom podržanom konstruiranju obično se temelji na primjeni metode konačnih elemenata. Ovom analizom određuje se je li proizvod siguran i može li zadovoljiti postavljene zahtjeve u predviđenom razdoblju uporabe. Modeli se testiraju pod posebnim uvjetima i prikupljene informacije mogu odrediti treba li vršiti izmjene u konstrukciji. Proces analize osobina uglavnom je iterativan proces. Računalom podržane analize temeljene na metodi konačnih elemenata jesu analitički alati koji se koristi za određivanje stanja naprezanja i deformacija, odnosno statičkog i dinamičkog odziva komponenti konstrukcije pod različitim uvjetima kao što su različita opterećenja (slika 32.), različiti granični uvjeti itd. U mehanici fluida također se primjenjuje metoda konačnih elemenata. U procesu analize primjenom metode konačnih elemenata kao ulaz koristi se 3D računalni model, nakon čega slijedi proces poznat kao diskretizacija ili izrada mreže konačnih elemenata (slika 33.). Poslije diskretizacije definiraju se granični uvjeti. Oni govore kako je konstrukcija vezana. Slijedi zatim definiranje materijala, radnih temperatura, opterećenja itd. Model se zatim testira u različitim uvjetima.


129

Rezultati analize dati su u preciznim izlaznim listama ali i u obliku grafičkog prikaza i animacije ponašanja konstrukcije pod zadanim opterećenjima. Cilj ovih analiza jest odrediti da li predložena konstrukcija može zadovoljiti postavljene zahtjeve. Analiza mehanizama je područje koje obuhvaća analizu kretanja komponenti mehaničkih sustava, koje su međusobno spojene raznim tipovima veza. Analiza mehanizama uključuje analizu sklopova, kinematsku i dinamičku analizu. Analiza sklopova koristi se za određivanje korektnosti sklopova komponenti pri čemu u obzir uzima geometriju i brzine kretanja elemenata (slika 34.). Ovdje se koriste računalni modeli za stvaranje sklopova pri čemu računalo koristi inženjerske ulaze za determiniranje kompleksnih geometrijskih i trigonometrijskih relacija. Kinemati čka analiza određuje kretanja sklopova i komponenti s obzirom na data opterećenja. Na primjer, kinematička analiza se koristi za pronalaženje pozicije bilo koje točke na nekom elementu u bilo kojem vremenskom trenutku za vrijeme kretanja sklopa i elemenata sklopa. Računalno modeliranje koristi se za izradu putanje u 3D modelima (slika 35.). Dinami čka analiza određuje opterećenja koja upravljaju ili uzrokuju kretanje mehanizama. Ovaj tip analize u CAD sustavima obično je podržan i u formi računalne simulacije (slika 36.). Funkcijska analiza je postupak prosuđivanja da li predloženo konstrukcijsko rješenje ispunjava postavljene zahtjeve u funkcijskom smislu. U ovoj analizi u obzir se uzimaju faktori kao što su cijena, osobine, profitabilnost, tržišnost, sigurnost i ostali na kojima se temelji određivanje valjanosti predloženog konstrukcijskog rješenja. Neki faktori se temelje na empirijskoj jasnoći kao što je to u slučaju testiranja proizvoda da bi se vidjelo da li rade ili funkcioniraju u smislu tražene namjere. Računalna podrška ovom tipu analize također je vrlo razvijena. Ergonomska analiza određuje kako dizajn utječe na dimenzije, kretanja, osjećaje i mentalne mogućnosti populacije koja će koristiti proizvod. Estetska analiza jest proces koji ocjenjuje predloženo dizajnersko rješenje proizvoda na estetskoj razini. Tržišna analiza obavlja se prije rješavanja konačnog izgleda konstrukcije. Analiza tržišta određuje potrebe i želje korisnika tako da je proizvedeni proizvod ono što su kupci željeli. Financijska analiza određuje raspoloživi kapital za projekt, troškove dizajna, proizvodnje, montaže, marketinga i servisiranja proizvoda. Vizualizacija dizajna jest proces kroz koji se unapređuju komunikacije, analize i razumijevanja proizvoda ili struktura. Temeljne mogućnosti čovjeka da razumije 3D formu, boju itd. iskorištene su za prikupljanje informacija o projektu. Vizualizacija dizajna analitička je metoda koja se intenzivno koristi i postala je snažan inženjerski alat zbog naglog razvoja računalne grafike.


130

Tehnike vizualizacije koriste se u svim fazama procesa konstruiranja. Vizualizacija se koristi za određivanje interferencija između dijelova, MKE analiza koristi boje, deformacije i animacije za prikaz rezultata djelovanja sila, temperatura itd. Odjel marketinga koristi realistične slike za dobivanje informacija od korisnika a odjel proizvodnje koristi animaciju za analizu proizvodnih procedura. Postoje mnoge vizualizacijske tehnike koje stoje na raspolaganju dizajnerskom timu. U novije vrijeme veoma se razvija tehnika tzv. virtualne stvarnosti (engl. Virtual Reality). Grafička analiza jest proces koji se koristi u inženjerskoj analizi da prikaže empirijske podatke u grafičkoj formi. Ova se analiza koristi za provjeru zazora u sklopu, radnih limita pokretnih dijelova i mnogih drugih fizičkih osobina. Tehnički podaci, podaci financijskog i tržišnog karaktera također se grafički prikazuju u formi grafikona i dijagrama da bi se pomoglo dizajnerskom timu u analizi informacija. U prošlosti su se za razna ispitivanja i provjere koristili fizički modeli tzv. prototipovi i u slučaju neophodnih izmjena u konstrukciji trebalo je praviti potpuno novi model ili dio modela što je bilo vrlo skupo. S računalnim modelima izmjene u dizajnu vrše se jednostavnim editiranjem modela što je znatno brži i jeftiniji postupak. 4.3. Metoda kona čnih elemenata

Prve teorijske osnove metode konačnih elemenata (MKE) nastaju 1944. god., a zasnovane su na radovima Kronaa, Hrenikoffa, Pragera i drugih. Prvi rad u kome je izložen suvremeni koncept metode konačnih elemenata dali su stručnjaci iz firme Boeing: Turner, Martin, Topp i Clough. Termin konačni element nastao je 1962. god., a do tada ova metoda nosila je naziv teorija analize kompleksnih struktura. Metoda konačnih elemenata - MKE (engl. Finite Element Method - FEM), odnosno analiza metodom konačnih elemenata (engl. Finite Element Analysis - FEA) temelji se na ideji izgradnje kompleksnih objekata pomoću jednostavnih blokova, odnosno blokova konačnog i poznatog geometrijskog oblika. Kompleksni objekti realnog svijeta, koji su predmet analize, dijele se na jednostavne, male i geometrijski točno definirane komade, konačne elemente. Primjena ove ideje česta je u svakodnevnom životu u svim područjima ljudskog djelovanja pa i u inženjerstvu. Neki od primjera su: lego kockice (dječje igre), izgradnja zgrada betonskim blokovima u građevini, aproksimacija površine kružnice pomoću trokuta itd. Primjenjuje se kod analiza konstrukcija, obično za proračun stanja naprezanja, deformacija itd. Danas je to najšire primjenjivana računalna simulacijska metoda u inženjerstvu. Vrlo je usko integrirana s postojećim CAD/CAM aplikacijama. Računalni programi temeljeni na metodi konačnih elemenata (tzv. MKE solveri) sastavni su dio suvremenih CAD/CAE/CAM programskih rješenja. Područja primjene MKE u inženjerstvu jesu sljedeća:


131

- strukturne analize (statička/dinamička, linearna/nelinearna),

- toplinski i tokovi fluida,

- elektromagnetizam,

- geomehanika,

- biomehanika itd. U strukturnoj analizi konstrukcija potrebno je odrediti deformacije i naprezanja u cijeloj strukturi koja je izložena djelovanju opterećenja. Klasične analitičke metode u mnogim slučajevima ne mogu dati raspodjelu deformacija što je moguće primjenom metode konačnih elemenata. Ova metoda podrazumijeva zamjenu postojeće fizičke konstrukcije modelom koji je sastavljen od određenih geometrijski definiranih blokova konačnih dimenzija, tzv. konačnih elemenata. Konačni elementi spojeni su zajedničkim čvorovima, linijama ili površinama. Svakom elementu pridružuje se tzv. funkcija pomaka pa se na temelju poznatih vrijednosti deformacija i naprezanja u čvorovima mogu dobiti njihove vrijednosti u bilo kojoj točki konstrukcije. 4.4. Osnovni koraci u postupku analize primjenom MK E Osnovni koraci u postupku analize konstrukcija primjenom metode konačnih elemenata jesu sljedeći:

- podjela strukture u blokove, konačne elemente (tzv. diskretizacija domene);

- definiranje funkcije pomaka koja opisuje ponašanja fizikalnih veličina

na svakom elementu;

- formiranje matrica krutosti elemenata i globalne matrice krutosti cijele strukture čime se formira aproksimativni sustav jednadžbi za cijelu strukturu;

- rješavanje sustava jednadžbi čime se dobivaju nepoznate veličine

pomicanja čvorova;

- izračunavanje željenih veličina (npr. deformacija i naprezanja) u odabranim elementima;


132

- interpretacija rezultata. Fizička struktura bilo kojeg oblika, koju je potrebno analizirati, tj. odrediti naprezanja i deformacije zamjenjuje se modelom sastavljenim od blokova konačnih i poznatih dimenzija i oblika. Ovakav blok poznat pod nazivom konačni element omogućuje da se njegovo stanje naprezanja i deformacija opiše algebarskim jednadžbama. Pomoću njih zatim se opisuje stanje naprezanja i deformacija u cijeloj konstrukciji. Ovo omogućuje da se razmatrana domena s beskonačno mnogo stupnjeva slobode zamijeni modelom koji se sastoji od konačnih elemenata s konačnim brojem stupnjeva slobode. Ukupan broj konačnih elemenata u modelu, njihov tip i veličina ovise o procjeni inženjera i željenoj točnosti rezultata. Elementi trebaju biti u takvim veličinama da se dobiju dovoljno točni rezultati a da se istovremeno izbjegne preveliko zauzimanje resursa računala.

Slika 92. Primjeri MKE modeliranja.


133

Pravilo je da se na mjestima geometrijskih promjena u konstrukciji, tj. na mjestima koncentracije naprezanja koriste manji elementi dok se na mjestima gdje nema geometrijskih promjena ili su one male, koriste veliki elementi. Neki primjeri modeliranja konačnim elementima prikazani su na slici 92. Kao funkcije pomaka koriste se linearni, kvadratni ili kubični polinomi. Funkcija pomaka definira se unutar elementa i za interpolaciju pomaka koristi vrijednosti pomicanja čvorova. Na primjer, za trodimenzionalne probleme funkcija pomaka je funkcija koordinata x, y i z. Nakon izbora funkcije pomaka uspostavlja se veza između deformacija i pomaka kao i veza između deformacija i naprezanja. Primjerice, u slučaju jednodimenzionalnih problema kada postoji deformacija samo u jednom pravcu, veza između pomaka i deformacija za aksijalno stanje deformacija je

dx

dux =ε (32)

gdje je

u – pomak u x pravcu, xε - deformacija u x pravcu. Hookeov zakon za vezu između naprezanja i deformacija daje sljedeću relaciju

xx Eεσ = (33) gdje je

xσ - naprezanje u x pravcu, E – modul elastičnosti. Nakon definiranja funkcije pomaka i veza između deformacija i pomaka, odnosno deformacija i naprezanja formira se sustav linearnih jednadžbi

[ ]{ } { }fuk = (34) gdje je

[ ]k - matrica krutosti elementa,

{ }u - vektor pomaka čvorova elementa,

{ }f - vektor sila u čvorovima elementa. Matrica krutosti povezuje pomicanja čvorova sa silama u čvorovima elementa. Dobiva se iz uvjeta ravnoteže sila za svaki element. Razvijeno je više metoda za određivanje matrice krutosti:


134

- direktna metoda, - varijacijske metode,

- metode težinskog reziduala,

- metoda energetskog balansa.

Nakon definiranja matrica krutosti elemenata metodom superpozicije zbrajaju se ove matrice u tzv. globalnu ili ukupnu matricu krutosti strukture. Pri tome se poštuje princip kontinuiteta, odnosno neprekidnosti strukture. Globalna jednadžba strukture jest

[ ]{ } { }FuK = (35) gdje je

[ ]K - globalna matrica krutosti strukture,

{ }u - vektor poznatih i nepoznatih pomaka svih čvorova,

{ }F - vektor sila u čvorovima strukture. Nakon rješavanja sustava linearnih jednadžbi (35) dobivaju se nepoznati pomaci i sile u čvorovima. Ovo omogućuje izračunavanje deformacija po relaciji (32) i naprezanja po relaciji (33). 4.5. Teorijske osnove metode kona čnih elemenata

Metoda konačnih elemenata koristi se za određivanje stanja naprezanja i deformacija u konstrukciji, čime je moguće izvršiti analizu konstrukcije s aspekta sigurnosti i iskoristivosti materijala. Kod klasične mehanike i znanosti o čvrstoći smatra se da materija tijela potpuno ispunjava prostor, tj. da predstavlja kontinuum što je u suprotnosti s teorijom moderne fizike, ali omogućuje primjenu integralnog računa na čitavom volumenu tijela. Uz to se smatra da je materijal izotropan i homogen, tj. ima iste osobine u svim smjerovima i isto se ponaša u svim točkama tijela. Zbog toga tijelo klasične mehanike ima beskonačno stupnjeva slobode. Metoda konačnih elemenata zasniva se na tzv. matematičkoj diskretizaciji. Umjesto kontinuuma osnovu za razmatranje predstavlja dio domena konačnih dimenzija, tzv. poddomena ili konačni element. Ovo znači da se tijelo diskretizira i zamjenjuje modelom koji se sastoji od konačnih elemenata čvrsto povezanih međusobno u točkama koje se nazivaju čvorovima. Tako sada umjesto beskonačnog


135

postoji konačan broj stupnjeva slobode. Broj stupnjeva slobode modela nevezanog i neopterećenog tijela jednak je broju čvorova pomnoženim s brojem stupnjeva slobode po čvoru u zavisnosti od vrste elementa. Konačni elementi dijele se s obzirom na dimenzije na jednodimenzionalne, dvodimenzionalne i trodimenzionalne, a s obzirom na interpolaciju na linearne, parabolične i kubične. U većini danas poznatih i dostupnih MKE solvera postoje sljedeći tipovi konačnih elemenata. Jednodimenzionalni elementi

1) Štapovi (slika 93.):

- linearni štap (A), - parabolični štap (B), - linearni konusni štap (C), - zakrivljeni štap (D).

Slika 93. MKE elementi – štapovi.

2) Dvočvorni snop (tri stupnja slobode po čvoru - tri translacije) – element koji simulira ponašanje svežnja normalnih štapova (slika 94.).

Slika 94. MKE element – dvočvorni snop.

3) Cijevi (tri stupnja slobode po čvoru - tri translacije) (slika 95.).

Slika 95. MKE elementi – cijevi (A - pravocrtni, B - zakrivljeni).


136

Dvodimenzionalni elementi (slika 96.)

1) Tankostjene ljuske (šest stupnjeva slobode po čvoru); 2) Plošni elementi (dva stupnja slobode po čvoru);

3) Osno simetrična tijela (tri stupnja slobode po čvoru, dvije translacije i

jedna rotacija).

Sva tri tipa mogu biti:

- 3-čvorni linearni trokut (A), - 6-čvorni parabolični trokut (B), - 9-čvorni kubni trokut (C), - 4-čvorni linearni četverokut (D), - 8-čvorni parabolični četverokut (E), - 12-čvorni kubni četverokut (F).

Slika 96. Dvodimenzionalni elementi. Trodimenzionalni elementi (tri stupnja slobode po čvoru - tri translacije):

- 8-čvorni linearni kvadar (A), - 20-čvorni parabolični kvadar (B), - 32-čvorni kubni kvadar (C), - 6-čvorni linearni klin (D), - 15-čvorni parabolični klin (E), - 24-čvorni kubni klin (F), - 4-čvorni linearni tetraedar (G), - 10-čvorni parabolični tetraedar (H).


137

Slika 97. Trodimenzionalni elementi. Pored ovih, dobri MKE solveri raspolažu s posebnim elementima vezivanja koji simuliraju opruge, viskozne prigušnice itd., te razne specijalne elemente, tj. elemente za posebne namjene. Tip i veličina elemenata biraju se tako da se dobije što bolja geometrijska aproksimacija realnog tijela uz istovremeno što jednostavniji model. Za svaki element pretpostavljaju se tzv. interpolacijske funkcije, tj. funkcije pomaka čija rješenja daju pomicanja u čvorovima. Pomak bilo koje točke unutar pojedinog elementa dobiva se interpolacijom čvornih pomaka. Nakon toga se, temeljem poznatih relacija za naprezanja i deformacije, mogu izračunati naprezanja i deformacije čitavog modela. 4.5.1. Interpolacija pomaka

Neka je elastični kontinuum (konstrukcija) podijeljen na konačne elemente. Konačni element je definiran pomoću čvorova i linija, odnosno ploha koje povezuju te čvorove. U čvorovima elementa kao nepoznate veličine uzimaju se parametri pomicanja što je ustvari ekvivalent stupnja slobode. Broj usvojenih parametara pomaka u čvorovima zavisi od prirode razmatranog problema. Pomaci proizvoljne točke konačnog elementa u zavisnosti su od parametara pomaka u čvorovima koje za sada smatramo poznatim. Te zavisnosti uspostavljaju se pomoću interpolacijskih funkcija, odnosno funkcija oblika. Kao funkcije interpolacije najčešće se koriste polinomi. Za primjer konačnog elementa ovdje će se uzeti trodimenzionalni 8-čvorni linearni kvadar prikazan slici 98. s linearnom interpolacijom i ukupno 24 stupnja slobode. Svaki čvor ima pomake (translacije) duž koordinatnih osi x, y i z.


138

Slika 98. Trodimenzionalni osamčvorni konačni element. Neka je pod djelovanjem sile došlo do deformiranja elementa na slici 98. Pri tome je došlo do pomicanja čvorova elementa iz položaja 1, 2, ... 8 u položaje 1', 2', ... 8'. Neka negdje unutar elementa postoji proizvoljna točka M (x,y,z) koja se nakon djelovanja sile pomakla u M'. Pretpostavi li se da su poznati pomaci u čvorovima elementa potrebno je izračunati pomake točke M. To je moguće napraviti pomoću funkcija interpolacije:

xyzazxayzaxyazayaxaau x 87654321 +++++++=

xyzbzxbyzbxybzbybxbbu y 87654321 +++++++= (36)

xyzczxcyzcxyczcycxccu z 87654321 +++++++=

gdje su

xu , yu , zu - pomaci proizvoljne točke M u x, y i z pravcu,

ai, bi, ci… - konstante interpolacije. Radi jednostavnijeg oblika funkcija koriste se generalizirane koordinate unutar lokalnog koordinatnog sustava vezanog za konačni element

Ax /=ξ , By /=η , Hz /=ζ (37) pa se sada dobiva da je


139

ξηζξζηζξηζηξ 87654321 aaaaaaaaux +++++++=

ξηζξζηζξηζηξ 87654321 bbbbbbbbu y +++++++= (38)

ξηζξζηζξηζηξ 87654321 ccccccccuz +++++++=

što se može pisati u matričnom obliku kao

[ ]

=

8

2

1

:1

a

a

a

u x ξηζξζηζξηζηξ (39)

odnosno skraćeno

[ ]{ }aXux = (40)

i u ostala dva pravca

[ ]{ }bYu y = (41)

[ ]{ }cZuz = (42)

Uvrštavanjem generaliziranih koordinata čvorova i pomaka u čvorovima koji se za sada smatraju poznatim dobije se

=

8

2

1

888888888888

222222222222

111111111111

8

2

1

:

1

:

1

1

:

a

a

a

u

u

u

x

x

x

ζηξζξζηηξζηξ

ζηξζξζηηξζηξζηξζξζηηξζηξ

(43)

odnosno za naš primjer


140

=

8

7

6

5

4

3

2

1

8

7

6

5

4

3

2

1

11111111

00101101

01001011

00001001

00010111

00000101

00000011

00000001

a

a

a

aa

a

a

a

u

u

u

uu

u

u

u

x

x

x

x

x

x

x

x

(43a)

što se može pisati kao

{ } [ ]{ }aX gx =δ (43b)

i u ostala dva pravca

{ } [ ]{ }bYgy =δ (44)

{ } [ ]{ }cZ gz =δ (45)

Sada se nepoznate konstante mogu naći tako što se svaki od gornja tri izraza pomnoži s njemu pripadajućom inverznom matricom koordinata

[ ] { } { }aX xg =− δ1 (46)

[ ] { } { }bY yg =− δ1 (47)

[ ] { } { }cZ zg =− δ1 (48)

Uvrštavanjem (46), (47), (48) u (40), (41), (42) dobiva se

[ ][ ] { }xgx XXu δ1−= (49)

odnosno

[ ]{ }xxx Nu δ= (49a)


141

te na isti način

[ ][ ] { }ygy YYu δ1−= (50)

[ ]{ }yyy Nu δ= (50a)

[ ][ ] { }zgz ZZu δ1−= (51)

[ ]{ }zzz Nu δ= (51a)

Za naš element je [ ] [ ] [ ] [ ]87654321 NNNNNNNNNNN zyx === (52)

na temelju čega se formira matrični izraz

=

8

2

1

1

1

87654321

87654321

87654321

:

:0000000000000000

0000000000000000

0000000000000000

z

x

z

y

x

z

y

x

u

u

u

u

u

NNNNNNNN

NNNNNNNN

NNNNNNNN

u

u

u (53)

ili skraćeno

{ } [ ]{ }δNu = (54) gdje su

{ }u - vektor generaliziranih pomaka u okviru konačnog elementa (poznat i kao vektor polja pomaka); [ ]N - matrica interpolacije sastavljena od funkcija oblika;

{ }δ - vektor pomaka u čvorovima konačnog elementa; N1, N2,…N8 - funkcije oblika (bazne funkcije konačnog elementa) s

generaliziranim koordinatama kao promjenjivima. Za ovaj primjer funkcije oblika glase


142

)1)(1)(1(1 ζηξ −−−=N )1)(1(2 ζηξ −−=N

)1)(1(3 ζξη −−=N )1(4 ζξη −=N

)1)(1(5 ηξζ −−=N )1(6 ηξζ −=N (55)

)1(7 ξηζ −=N ξηζ=8N

4.5.2. Stanje naprezanja i deformacija

Iz teorije elastičnosti poznata je definicija prostornog stanja naprezanja i deformacija.

Slika 99. Prostorno stanje naprezanja i deformacija. Iz napregnutog tijela isječena je elementarna prizma i utjecaj odstranjenih dijelova zamijenjen je normalnim i tangencijalnim naprezanjima po površini


143

prizme kako je prikazano na slici 99. Na osnovu teoreme o uzajamnosti tangencijalnih naprezanja slijedi da je

yxxy ττ = zyyz ττ = zxxz ττ = (56)

Prostorno stanje naprezanja definirana se sa šest komponenti: tri normalna

xσ , yσ , zσ i tri tangencijalna naprezanja xyτ , yzτ , xzτ . Pri takvom stanju

javlja se šest deformacija: tri uzdužne xε , yε , zε i tri poprečne dilatacije xyγ ,

yzγ , xzγ . Ovo se može pisati i u matričnom obliku kao

{ }

=

xz

yz

xy

z

y

x

γγγεεε

ε { }

=

xz

yz

xy

z

y

x

τττσσσ

σ (57)

Za ravno stanje naprezanja je zσ = yzτ = xzτ =0 i zε = yzγ = xzγ =0, a za

jednodimenzionalno je samo xσ ≠0 i xε ≠0.

4.5.3. Deformacije u kona čnom elementu

Između pomaka i deformacija postoje diferencijalne ovisnosti koje su poznate iz teorije elastičnosti, a imaju sljedeći oblik

x

uxx ∂

∂=ε y

u

x

u yxxy ∂

∂+

∂∂=γ

y

u yy ∂

∂=ε

z

u

y

uzy

yz ∂∂+

∂∂

=γ (58)

z

uzz ∂

∂=ε z

u

x

u zxxz ∂

∂+∂

∂=γ


144

Na temelju iznesenog može se formirati matrična diferencijalna jednadžba za deformacije u prostoru, odnosno za naš trodimenzionalni konačni element kao

⋅

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

=

z

y

x

zx

yz

xy

z

y

x

u

u

u

zx

zy

yx

z

y

x

0

0

0

00

00

00

γγγεεε

(59)

ili skraćeno

{ } [ ]{ }uL=ε (60) gdje je

{ }ε – vektor deformacija u konačnom elementu,

[ ]L – matrica elastičnosti. Uvrštavanjem izraza (54) u (60) dobiva se direktna ovisnost deformacija od pomaka čvorova konačnog elementa

{ } [ ][ ]{ }δε NL= (61) pri čemu se umnožak matrice elastičnosti L i matrice interpolacije N može označiti kao tzv. matrica ''deformacija-pomak'' - B

{ } [ ]{ }δε B= (61a)


145

4.5.4. Stanje naprezanja u kona čnom elementu

U teoriji elastičnosti definirane su sljedeće jednadžbe za vezu naprezanja i deformacija kada je u pitanju prostorno stanje naprezanja:

)()21)(1(21 zyxx

EE εεµµ

µεµ

σ +−+

+−

= xyxy Gγτ =

)()21)(1(21 xzyy

EE εεµµ

µεµ

σ +−+

+−

= yzyz Gγτ = (62)

)()21)(1(21 yxzz

EE εεµµ

µεµ

σ +−+

+−

= zxzx Gγτ =

gdje je

E – Jungov modul elastičnosti, µ – Poasonov koeficijent, G – modul klizanja.

Na temelju ovoga formira se matrična jednadžba veze naprezanja i deformacija u prostoru, odnosno u trodimenzionalnom konačnom elementu kao

−−+−+

−+−−+

−+−+−

=

xz

yz

xy

z

y

x

xz

yz

xy

z

y

x

G

G

G

EEE

EEE

EEE

γγγεεε

µµµµ

µµµ

µµµ

µµµµ

µµµ

µµµ

µ

τττσσσ

00000

00000

00000

00021)21)(1()21)(1(

000)21)(1(21)21)(1(

000)21)(1()21)(1(21

(63)

Kako je

)1(2 µ+= E

G (64)

može se pisati da je


146

−

−

−−

−−

−+=

xz

yz

xy

z

y

x

xz

yz

xy

z

y

x

E

γγγεεε

µ

µ

µµµµ

µµµµµµ

µµ

τττσσσ

2

2100000

02

210000

002

21000

0001

0001

0001

)21)(1( (65)

odnosno skraćeno

[ ] [ ]{ }εσ D= (65a) gdje je

[ ]D – matrica fizičkih osobina materijala. Uvrštavanjem jednadžbe (61a) u (65a) dobije se direktna ovisnost naprezanja od pomaka čvorova konačnog elementa.

[ ] [ ][ ]{ }δσ BD= (66) 4.5.5. Deformacijski rad i princip virtualnih pomak a

Svako realno tijelo izloženo vanjskim opterećenjima i vezama koje djelomično ili potpuno onemogućuju kretanje deformira se, tj. mijenja oblik i stanje naprezanja. Napadne točke sila pomjeraju se i vrše izvjesni rad koji se zove deformacijski rad. Jedan dio ovog rada pretvara se u potencijalnu energiju elastične deformacije, a drugi dio u kinetičku energiju jer se pri promjeni položaja čestice tijela moraju kretati nekom konačnom brzinom. Međutim, pri dovoljno sporom i postupnom opterećenju brzine su dovoljno male da se kinetička energija može zanemariti tako da je deformacijski rad vanjskih sila jednak akumuliranoj potencijalnoj energiji na čiji račun unutarnje sile vrše deformacijski rad na vraćanju tijela u prvobitno stanje po prestanku djelovanja vanjskih sila. Deformacija materijalnog tijela ne može biti proizvoljna jer veze dozvoljavaju samo određena pomicanja točaka tijela pa se pri definiranju jednadžbi deformacijskog rada koristi Lagrangeov princip virtualnih pomaka. Virtualnim pomakom naziva se svaki zamišljeni beskonačno mali pomak točki na tijelu kojeg u danom trenutku dopuštaju veze kojima je podvrgnuto tijelo, odnosno drugačije rečeno, virtualni pomak je svaki


147

zamišljeni beskonačno mali pomak točaka tijela koje bi te točke mogle izvršiti u danom trenutku bez narušavanja veza. Lagrangeov princip virtualnih pomaka glasi: za ravnotežu u svakoj točki materijalnog sustava podvrgnutog idealnim vezama potrebno je i dovoljno da zbir radova svih sila koje djeluju na sustav pri svakom virtualnom pomaku bude jednak nuli. Ako sile koje djeluju na sustav dobiju male virtualne priraste, točke tijela će napraviti male pomake, tj. ostvarit će se neki virtualni rad na račun čega se povećava potencijalna energija, odnosno ostvaruje virtualni rad unutarnjih sila. Da bi sustav ostao u ravnoteži ostvareni virtualni radovi unutarnjih i vanjskih sila moraju biti jednaki.

uv dAdA = (67)

4.5.6. Virtualni rad unutarnjih i vanjskih sila

Kad čestice tijela dobiju pomake zbog malih prirasta opterećenja, i deformacije će dobiti proporcionalno male priraste:

{ } [ ]{ }δε dBd = (68) gdje je

{ }εd – vektor priraštaja deformacija u konačnom elementu,

{ }δd – vektor priraštaja pomaka u čvorovima konačnog elementa. Za konačni element rad unutarnjih sila ili deformacijska energija opisana je jednadžbom

{ } { }dVddAT

V

ue σε∫= (69)

pri čemu je uedA deformacijski rad unutarnjih sila konačnog elementa ostvaren

za virtualni pomake. S obzirom da je iz matričnog računa [ ][ ]( ) [ ] [ ]TTT ABBA = iz jednadžbe (68) dobiva se da je

{ } { } [ ]TTT Bdd δε = (70) Nakon što se u (69) uvrsti (70) i (66) dobiva se


148

{ } [ ] [ ][ ]{ } { } [ ] [ ][ ] { }δδδδ )( dVBDBddVBDBddAV

TT

V

TTue ∫∫ == (71)

ili skraćeno

{ } [ ]{ }δδ KddA Tue = (71a)

pri čemu je [ ]K matrica krutosti elementa (neovisna o opterećenju pa se može izdvojeno izračunati). Gornji se integral transformira preko Jacobian matrice u integral po generaliziranim koordinatama.

[ ] [ ] [ ][ ]∫ ∫ ∫=1

0

1

0

1

0

)(det ζηξ dddJBDBK T (72)

[ ]

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

=

ζζζ

ηηη

ξξξ

zyx

zyx

zyx

J (73)

Neka u ''i'' čvoru konačnog elementa djeluje sila Fix u pravcu ose x lokalnog koordinatnog sustava. U slučaju da Fix dobije mali prirast dF, točke konačnog elementa napravit će male pomake i izvršit će se mali rad. Rad sile Fix bit će

ixix dudFdA )F( ix += (74)

gdje je dF beskonačno mala veličina pa se može zanemariti. Deformacijski rad vanjskih sila ostvaren na račun pomaka u konačnom elementu pri njihovom malom prirastu dat je jednadžbom

{ } { }FddA Tv ε= (75)

Na osnovu jednadžbe (67) može se pisati da je

{ } [ ]{ } { } { }FdKd TT εδδ = (76)


149

odnosno

[ ]{ } { }FK =δ (76a) 4.5.7. Globalne jednadžbe stanja

Sve dosada navedene jednadžbe vezane su za lokalni koordinatni sustav pojedinačnog elementa, a svi imaju različite točke ishodišta i orijentacije osa. Da bi se dobile jednadžbe kojima se opisuje čitav konačni model konstrukcije, uvodi se globalni koordinatni sustav u odnosu na koji se definiraju svi lokalni koordinatni sustavi.

Slika 100. Primjer konstrukcije modelirane konačnim elementima. Čvorovi u globalnom koordinatnom sustavu označeni su kao Ni gdje je i proizvoljan jedinstven prirodan broj. Generalizirani pomaci i sile u čvorovima modela u odnosu na globalni koordinatni sustav označeni su kao δNi i FNi gdje je Ni oznaka pripadajućeg čvora. U matričnom obliku s komponentama razloženim po globalnim osama vrijedi


150

{ }

=

zNn

xNn

xNn

zN

yN

xN

g

δδδ

δδδ

δ :1

1

1

{ }

=

zNn

xNn

xNn

zN

yN

xN

g

F

F

F

F

F

F

F :1

1

1

(77)

Kako vektori { }gδ ,{ }gF u globalnom i { }δ ,{ }F u lokalnom koordinatnom sustavu opisuju jednake pomake čvorova, odnosno sile koje djeluju u tim čvorovima u istom sustavu čvorova i elemenata povezanih u model između

njih postoji zavisnost. Ona se između { }gδ i { }δ iskazuje sljedećom jednadžbom

{ } [ ]{ }gT δδ = (78) gdje je

{ }T – tzv. matrica transformacije. Elementi matrice transformacije jesu kosinusi i sinusi kuta koji međusobno zaklapaju ose globalnog i ose lokalnih koordinatnih sustava. Uvrštavanjem (78) u (76a) dobiva se

[ ] { } { }ggg FK =δ (79)

[ ] [ ]KK g Σ= (80) gdje je

[ ]gK – globalna matrica krutosti koja je suma matrica krutosti svih elemenata,

{ }gδ – vektor matrica pomaka čvorova modela,

{ }gF – vektor matrica opterećenja modela. Jednadžba (79) može se pisati u sljedećem obliku


151

[ ] { } { } 0=− ggg FK δ (81) Ovaj matrični izraz predstavlja sustav homogenih linearnih jednadžbi s pomacima čvorova kao nepoznatima i jednostavno se može algebarski riješiti. Rješavanjem sustava jednadžbi (81) dobivaju se pomaci čvorova modela i njihovim uvrštavanjem u (66) i (61a) mogu se izračunati deformacije i naprezanja za čitav model. 4.6. CAE alati u CAD/CAE/CAM sustavima

Suvremeni CAD/CAE/CAM programski paketi modularne su aplikacije obično prilagođene radu u timskom mrežnom okruženju, pri čemu se bez problema mogu koristiti i individualno. Moduli su obično grupirani, a neki su i zajednički za više grupa. Grupe omogućuju potpuno razvojno okruženje za specifična inženjerska područja djelovanja. Tako npr. CAD/CAE/CAM sustav I-DEAS Master (proizvođač: bivši SDRC, a sada UGS Corp.) sadrži sljedeće grupe:

- Design : 3D modeliranje tijela, sklopova, mehanizama, dijelova od lima itd., skiciranje i izrada dokumentacije. Svi predmeti modeliranja i crtanja opisuju se parametarski tako da izmjena vrijednosti bilo kojeg parametra uzrokuje automatski odgovarajuće promjene parametara i osobina elemenata asociranih s elementom na kom se vrši promjena. Posebno korisna mogućnost modula Drafting zaduženog za izradu tehničke dokumentacije jest ekstrakcija dvodimenzionalnih crteža iz trodimenzionalnog geometrijskog modela.

- Simulation : skup modula koji omogućuju simuliranje i analizu realnih

fizičkih tijela preko virtualnih modela zasnovanih na metodi konačnih elemenata. Grupa simulation sadrži sljedeće module.

� Master Modeler je CAD modul. To je osnovni modul I-DEAS-a,

mjesto gdje se razvija početna koncepcija konstrukcije. Dok u klasičnim CAD aplikacijama stvoreni geometrijski oblici i modeli služe za stvaranje dokumentacije i eventualno neke jednostavnije proračune, ovdje oni služe za stvaranje dijelova koji su osnova za rad u ostalima modulima. I-DEAS ima mogućnost uvoza geometrije iz raznih CAD paketa, tj. u raznim formatima i za njih dizajnirane alate za ispravljanje pogrešaka preklapanja, otvorenih kontura, prekida kontinuiteta itd., a koje su zbog namjene različitih CAD aplikacija veoma česte.


152

� Master Assembly je modul koji koristi dijelove kreirane u Master Modeler modulu za stvaranje sklopova koji mogu sadržavati multiplicirane pojedinačne dijelove i podsklopove. Podržan je proračun masenih svojstava: zapremina, masa, momenti inercije, težišta kao i detekcija kolizije i preklapanja u sklopu.

� Mechanism Simulation je modul koji vrši dinamičke analize.

Omogućava kreiranje i simulaciju mehanizma. Definiraju se pogonske sile i momenti, gravitacija, vanjska opterećenja, relacije ograničenja koja simuliraju opruge, prigušnice, zglobove itd. Algoritam za kinematičku analizu izračunava putanje, brzine, ubrzanja, dok algoritam za dinamičku analizu izračunava reakcije ograničenja i inercijske sile. Rezultati se koriste za vizualizaciju kretanja ili kao granični uvjeti za analizu metodom konačnih elemenata.

� Boundary Conditions je modul u kojem se definiraju realni

prirodni uvjeti primijenjeni na model konačnih elemenata. Mogu se definirati: otpori, ograničenja, temperature, mehanička opterećenja te kontaktni uvjeti na rubnim površinama.

� Meshing je modul koji omogućuje definiranje mreže čvorova i

konačnih elemenata.

� Model Solution je integrirani skup algoritama za proračun modela konačnih elemenata. Podržane su: linearna statička analiza, nelinearna statička analiza, normalna dinamička analiza, linearna analiza izvijanja, analiza prijenosa topline itd.

� Response Analysis je modul za interaktivni proračun reakcija

strukture modela podvrgnute varijabilnim statičkim ili dinamičkim pobudama. Podržano je pet tipova analize: statička, impulsna, frekvencijska (sinusna), slučajna i spektralna.

� Durability je modul za proračun životnog vijeka konstrukcije do

njezinog sloma zbog gubitka žilavosti, zamora materijala i oštećenja pod kompleksnim statičkim opterećenjima ili kratkotrajnim dinamičkim frekventnim opterećenjima.

� Optimization modul omogućuje automatsku optimizaciju i

preoblikovanje konstrukcije u ovisnosti od postavljenih uvjeta. Podržano je određivanje osjetljivosti jednog parametra na promjene jednog ili više drugih (promjena koncentracije


153

naprezanja u ovisnosti od promjene prelaznog radijusa). Čitav proces proračuna je iterativan.

� Post Processing modul omogućava grafički prikaz rezultata

analize ili provjere kvalitete mreže konačnih elemenata.

� Beam Sections je modul za jednostavno grafičko definiranje poprečnog presjeka štapova korištenjem baze presjeka standardnih profila ili proizvoljnim crtanjem zatvorenih oblika. Podržan je proračun svih osobina poprečnih presjeka: površina, momenti inercije, koordinate težišta, radijusi inercije…

� Laminates modul služi za modeliranje kompozitnih materijala i

analizu njihovih svojstava.

� Moldflow je modul za simuliranje kompletnog procesa izrade plastičnih dijelova ubrizgavanjem smjese u kalup.

� TMG Thermal Analysis je modul za naprednu toplinsku analizu.

Podržano je prolazno i potpuno nelinearno simuliranje provođenja (kondukcija), prenošenja (konvekcija) i zračenja topline. Dostupna je i simulacija utjecaja potencijalnog strujanja fluida.

� Electro-System Cooling je modul za simuliranje i analizu

trodimenzionalnog strujanja zraka i termalnih efekata u elektroničkim sustavima kao što su kućišta računala itd. Zajedno s PCB modulom daje okružje za rješavanje problema odvođenja topline koju generiraju elektroničke komponente.

� Vibro Acoustics je modul za simuliranje i analizu zvuka kao

posljedice vibracija tijela uslijed primijenjenog opterećenja i međudjelovanja s okolinom.

- Test je skup aplikacija namijenjenih za analizu procesnih signala koji

se dobivaju s mjernih uređaja preko posebne adaptivne opreme ili su generirani pomoću matematičkih funkcija unutar same aplikacije. Procesni signali mogu biti bilo kakvi mjerni parametri, primjerice ovisnost brzine, pomaka, deformacija, naprezanja ili neki drugih veličina o vremenu ili frekvenciji.

- Manufacturing je aplikacija za planiranje i vizualizaciju obrade na

CNC strojevima. Omogućuje generiranje CNC strojnog koda za


154

upravljanje ovim strojevima. Podržano je 2, 2.5 i 3-osno glodanje, 5-osno pozicioniranje i 2-osno tokarenje.

- Management je skup aplikacija za upravljanje, organizaciju i praćenje

rada na projektima u timskom okruženju. Omogućuje manipulaciju bazama podataka, bibliotekama dijeljenih dijelova, elemenata i podataka proračuna. Za individualnu upotrebu na jednom računalu nije neophodna.

- Open data omogućuje programiranje modula, pisanje makroa i

sekvenci, izmjenu sučelja programskog paketa itd. Programira se u Corba i Orbix okružju u C++ programskom jeziku i direktno se pristupa podacima u datotekama preko gotovih C++ rutina.

4.7. CAE modul za analizu primjenom MKE

CAE modul u CAD/CAE/CAM sustavima, namijenjen za analizu metodom konačnih elemenata podrazumijeva kreiranje mreže konačnih elemenata povezanih u čvorovima s definiranim fizičkim svojstvima materijala i graničnim uvjetima. On može biti temeljen na geometriji stvorenoj u centralnom 3D modeleru programskog paketa ili na ručno stvorenoj mreži. 4.7.1. Kreiranje mreže kona čnih elemenata

Kreiranje mreže konačnih elemenata tijela vrši se na dva načina, automatski ili ručno. Automatski način koristi se za stvaranje mreže zasnovane na geometriji koja može bilo linija, kriva, površina ili tijelo. Prednost je što se modificiranjem geometrije automatski prilagođava mreža; nedostatak što nije moguće koristiti sve elemente. Ručno stvaranje mreže omogućava korištenje svih elementa i njihovo međusobno kombiniranje, vrlo je teško i kao takvo pogodno samo za posebne svrhe. Prije stvaranja mreže potrebno je definirati fizička svojstva materijala ili ih preuzeti iz baze podataka. Dostupno je više različitih fizičkih svojstava i ne moraju sva biti definirana već samo ona koja su potrebna za željenu vrstu analize. Nakon toga definiraju se fizička svojstva elemenata koji će se koristiti za stvaranje mreže u obrascu Physical Property. Na primjer za tankostjene elemente definira se debljina. Ako bi se koristili štapovi, potrebno je definirati poprečni presjek u Beam Section modulu. Koji će se elementi koristiti, zavisi od vrste problema. Štapovi su najprikladniji za duge, vitke profile i rešetkaste konstrukcije gdje daju najtočnije rezultate. U odnosu na druge elemente imaju najbrži proračun iako imaju najsloženiju interpolaciju jer zahtijevaju minimalnu gustoću mreže. Nedostaci su


155

nemogućnost dobivanja vrijednosti lokalnih naprezanja na mjestima vezivanja, nedeformabilnost poprečnih presjeka i duže vrijeme pripreme zbog separacije poprečnih presjeka. Tankostjeni elementi dobar su izbor za tankostjene konstrukcije jer se tada dobivaju najtočniji rezultati analiza, dok u slučaju njihovog korištenja za modeliranje i analize punostjenih konstrukcija točnost rezultata rapidno opada s porastom debljine stjenke. Model s tankostjenim elementima zahtijeva mnogo gušću mrežu nego npr. štapni model da bi se dobili jednako točni rezultati. Trodimenzionalni elementi koriste se za volumenske konstrukcije. Daju najtočnije rezultate, ali im proračun zahtijeva najviše vremena i računalnih resursa. Korištenjem trodimenzionalnih elemenata za tankostjene konstrukcije također je moguće, povećat će se točnost rezultata u odnosu na tankostjene elemente i dobiti puni trodimenzionalni prikaz naprezanja, ali će proračun biti neusporedivo duži zbog potrebe gušće mreže. Kod ručnog stvaranja mreže najprije se definiraju pozicije svih čvorova. To se može uraditi na dva načina: direktnim upisivanjem koordinata čvorova ili njihovim lociranjem na geometriji pri čemu čvor neće biti asociran s geometrijom tj. modificiranjem geometrije ne mijenja se položaj čvora. Omogućene su operacije kopiranja (copy), zrcaljenja (reflect), slobodnog premještanja (drag), umetanja između dva postojeća čvora (between nodes) itd. čime se donekle olakšava proces. Kada se definiraju potrebni čvorovi, u obrascu element odabere se željeni element, njegov materijal i fizička svojstva. Pojedinačni element kreira se selektiranjem čvorova koji će biti asocirani s njim. Ovdje treba poprilično iskustva jer se nepravilnim redoslijedom selektiranja mogu dobiti neupotrebljivi elementi (primjer na slici 101.).

Slika 101. Primjer neupotrebljivih konačnih elemenata.


156

Da bi se automatski kreirala mreža konačnih elemenata, potrebno je definirati parametre mreže za geometrijski oblik na kome će se kreirati mreža. Postoje tri obrasca za definiranje parametara mreže:

- define solid mesh, definiranje mreže po volumenu, dostupni elementi su 4-čvorni linearni tetraedar i 10-čvorni parabolični tetraedar;

- define shell mesh, definiranje mreže po površini, dostupni su svi

dvodimenzionalni elementi;

- define beam mesh, definiranje mreže po liniji, dostupni elementi su 2-čvorni linearni štap i 3-čvorni parabolični štap.

U obrascima se definiraju dimenzije elemenata, vrsta elementa, materijal, fizička svojstava i način oblikovanja geometrije (primjer na sljedećoj slici).

Slika 102. Načini modeliranja geometrije konačnim elementima.

Kod dijelova sa zakrivljenim površinama i krivuljama javlja se problem aproksimacije mrežom konačnih elemenata pri relativno velikoj dužini elementa. Bolja aproksimacija može se postići na dva načina: definiranjem veće lokalne gustoće mreže (define free local) ili upotrebom elemenata s većim brojem čvorova i povećanom tzv. distorzijom (curvature based length) oblika. Povećanjem distorzije odstupa se od idealnog oblika elementa tako da usprkos boljoj aproksimaciji oblika rezultati mogu biti manje točni ili potpuno netočni. Da bi se ovo izbjeglo, dostupno je nekoliko alata koji provjeravaju kvalitetu mreže. Veća lokalna gustoća mreže daje bolje rezultate, a za


157

aproksimaciju oblika upotrebljava se na mjestima u modelu gdje se očekuju koncentracije naprezanja (primjer na slici 103.).

Slika 103. Aproksimacija oblika u tri izvedbe. Drugi opći problem kod kreiranja mreže konačnih elementa procjena je veličine elementa, odnosno gustoće mreže da bi se dobili zadovoljavajuće precizni rezultati uz što kraće vrijeme proračuna. Povećanjem gustoće mreže rezultati proračuna postaju precizniji, tj. konvergiraju prema točnoj vrijednosti uz istovremeno povećavanje vremena proračuna. 4.7.2. Grani čni uvjeti

Pod pojmom granični uvjeti podrazumijevaju se sva ograničenja, opterećenja i otpori kojima je podvrgnut model konačnih elemenata. Granični uvjeti primjenjuju se na linijama, površinama, presjecima itd., odnosno u čvorovima i na elementima modela konačnih elemenata. Vrijednosti geometrijski baziranih graničnih uvjeta mogu se definirati kao podaci u točki (npr. koncentrirana sila), podaci na površini i liniji (npr. kontinuirano opterećenje) i podaci u volumenu (npr. specifična masa).


158

Granični uvjeti organizirani su po setovima kojih ima pet vrsta: otpori (restraint), ograničenja pomaka (constraint), temperature (temperature), uvjeti na dodirnim površinama između dva tijela (contact), redefinicija stupnjeva slobode (DOF) i opterećenja (load). Jedan model konačnih elemenata može imati više različitih graničnih uvjeta koji sadrže po jedan set otpora i po jedan ili više ostalih setova. 4.7.3. Organizacija postupka analize i rezultati

Kad su stvoreni granični uvjeti i mreža elemenata, potrebno je definirati elemente proračuna u obrascu manage solution set. Odbire se set graničnih uvjeta, vrsta analize i izlazni podaci, tj. veličine koje treba izračunati. Svi navedeni podaci čine tzv. studiju. Proračun se pokreće odabirom željene studije.

Slika 104. Organizacija postupka analize. Studija je imenovana forma koja povezuje fizička svojstva i svojstva materijala s modelom konačnih elementa. Svaki put kad se stvara novi model, automatski se stvara i osnovna studija (default FE study) kojoj je namjena čuvanje izvornih parametara modela i rezultata proračuna te se ne može modificirati. Na osnovu nje stvaraju se studije s modificiranim fizičkim i materijalnim svojstvima modela konačnih elemenata. Primjerice, potrebno je vidjeti ponašanje konstrukcije pri uporabi različitih materijala na čitavoj konstrukciji ili samo jednom njezinom dijelu. Potrebno je napraviti model konstrukcije s jednim materijalom i osnovna studija se multiplicira u potreban broj kopija, te se zatim modificiraju karakteristike materijala u svakoj kopiji. Proračun će biti istovjetan izvornom s tim da će se umjesto originalnih svojstava materijala koristiti modificirana svojstva. Ovakvom organizacijom


159

smanjuje se potreba za kreiranjem višestrukih modela, a time i nepoželjno stvaranje preglomaznih datoteka. 4.8. Neki poznatiji MKE softverski paketi Među poznatije programske pakete namijenjene računalnim inženjerskim analizama temeljenim na metodi konačnih elemenata pripadaju:

- ANSYS - MKE analize, opća namjena, u verziji za PC računala i radne stanice;

- SDRC/I-DEAS - kompletan CAD/CAE/CAM paket, uključen MKE solver

za više različitih tipova analiza, verzija za PC računala;

- NASTRAN - MKE analize opće namjene na mainframe računalima;

- ABAQUS - nelinearne i dinamičke analize;

- COSMOS - MKE analize opće namjene;

- ALGOR - MKE analize opće namjene, u verziji na PC računalima i radnim stanicama;

- PATRAN - pre/post procesor;

- HyperMesh - pre/post procesor;

- Dyna-3D - MKE analize loma itd.


160

mke

Documents