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Tema 6

RESOLUCIÓN DE CIRCUITOS CON

EXCITACIONES ALTERNAS

SENOIDALES

Tema 6RESOLUCIÓN DE CIRCUITOS CON EXCITACIONES

ALTERNAS SENOIDALES

6.1.- Circuito resistivo puro.

6.2.- Circuito inductivo puro.

6.3.- Circuito capacitivo puro.

6.4.- Método analítico por coeficientes indeterminados.

6.5.- Método simbólico. Análisis de circuitos mediante fasores.

uAB

A

B

Receptor

Excitación: Respuesta:

Ondas de Excitación: Onda alterna senoidal

iAB

u(t) = U0 sen (ωωωωt)

i(t) = I0 sen (ωωωωt)

i(t) = I0 sen (ωωωωt + ϕϕϕϕ)

u(t) = U0 sen (ωωωωt + ϕϕϕϕ)

I0 , U0 ? ϕϕϕϕ ?

uAB

A

B



iAB



i(t) = U0/R sen (ωωωωt ) = I0 sen (ωωωωt )

Ru = i R

i = u / R

Ecuación de definición

Resistencia

uAB

A

B



iAB




u(t) = I0 R sen (ωωωωt) = U0 sen (ωωωωt )

I0 = U0 /R ϕϕϕϕ =0

Ru = i R

i = u / R


U0 = I0 RU0/ I0 = R

Resistencia

uAB

A

B



iAB




u(t) = I0 R sen (ωωωωt) = U0 sen (ωωωωt )

I0 = U0 /R ϕϕϕϕ =0

Ru = i R

i = u / R


U0 = I0 RU0/ I0 = R

ωt

i

UR

uAB

A

B



iAB



i(t)= U0/(Lωωωω) sen (ωωωωt- ππππ/2)= I0 sen (ωωωωt +ϕϕϕϕ0)

L

u = L di/dt

i = 1/L IIIIu dt


Bobina

u(t) = U0 sen(ωωωωt + 0) i(t) = I0 sen(ωωωωt - ππππ/2)

t

a

ωωωωt

ωωωω

I0

U0 π/2

π/2

BobinaExcitación:

ϕϕϕϕ = ϕϕϕϕU - ϕϕϕϕI = 90º (+)

uAB

A

B



iAB




u(t) = L ωωωω I0 sen (ωωωωt+ππππ/2) = U0 sen (ωωωωt +ϕϕϕϕ0)

L

u = L di/dt

i = 1/L IIIIu dt


Bobina

t

a

ωωωωt

ωωωω

I0

U0

π/2

ϕϕϕϕ = ϕϕϕϕU - ϕϕϕϕI = 90º (+)

u(t) = U0 sen(ωωωωt + ππππ/2 )i(t) = I0 sen(ωωωωt+0)

BobinaExcitación:

π/2

uAB

A

B



iAB




u(t) = L ωωωω I0 sen (ωωωωt+ππππ/2) = U0 sen (ωωωωt +ϕϕϕϕ0)

ϕϕϕϕ =ππππ/2 desfase

L

u = L di/dt

i = 1/L IIIIu dt


I0 = U0 / (Lωωωω )

U0 = L ωωωω I0 U0/ I0 = U / I = L ωωωω = XL

Bobina

Reactancia Inductiva

uAB

A

B



iAB



i(t)= U0 Cωωωω sen (ωωωωt+ ππππ/2)= I0 sen (ωωωωt +ϕϕϕϕ0)

C

i = C du/dt

u = 1/C IIIIi dt


Condensador

u(t) = U0 sen(ωωωωt + 0) i(t) = I0 sen(ωωωωt + ππππ/2)

t

a

ωωωωt

ωωωω

I0

U0 π/2

π/2

ϕϕϕϕ = - 90º (-)

CondensadorExcitación:

uAB

A

B



iAB




u(t) = I0 /(C ωωωω) sen (ωωωωt-ππππ/2)=U0 sen (ωωωωt+ϕϕϕϕ0)

C

i = C du/dt

u = 1/C IIIIi dt


Condensador

t

a

ωωωωt

ωωωω

I0

U0π/2π/2

ϕϕϕϕ = ϕϕϕϕU - ϕϕϕϕI = - 90º (-)

u(t) = U0 sen(ωωωωt - ππππ/2 )i(t) = I0 sen(ωωωωt+0)

CondensadorExcitación:

uAB

A

B



iAB




u(t) = I0 /(C ωωωω) sen (ωωωωt-ππππ/2)=U0 sen (ωωωωt+ϕϕϕϕ0)

ϕϕϕϕ =- ππππ/2 desfase

C

i = C du/dt

u = 1/C IIIIi dt


I0 = U0 Cωωωω

U0 = I0 / (C ωωωω)U0/ I0 = U / I = 1/ (C ωωωω) = XC

Condensador

Reactancia Capacitiva

Resumen

uAB

A

B

Receptor



iAB u(t) = U0 sen (ωωωωt)




I0 , U0 ? ϕϕϕϕ ?


I0 , U0 ?

R

L

C

u(t) = U0 sen (ωωωωt+ ϕϕϕϕ1) i(t) = I0 sen (ωωωωt + ϕϕϕϕ2)

RIU

IU

0

0 ========

L

0

0 XLIU

IU

====ωωωω========

C

0

0 XC1

IU

IU

====ωωωω

========

Resistencia

Reactancia Inductiva

Reactancia Capacitiva


R

L

C

u(t) = U0 sen (ωωωωt+ ϕϕϕϕ1) i(t) = I0 sen (ωωωωt + ϕϕϕϕ2)

ϕϕϕϕ ?

ϕϕϕϕ = ϕϕϕϕ1- ϕϕϕϕ2 = 0

ϕϕϕϕ = ϕϕϕϕ1- ϕϕϕϕ2 = ππππ / 2

ϕϕϕϕ = ϕϕϕϕ1- ϕϕϕϕ2 = - ππππ / 2

I0 U0

I0

U0

I0

U0

uAB

A

B

Dipolo Pasivo


RESOLUCIÓN DE CIRCUITOS CON EXCITACIONES ALTERNAS SENOIDALES





I0 , U0 ? ϕϕϕϕ ?

R, L, C

1.- Método analítico por coeficientes indeterminados

2.- Método Simbólico. Análisis de circuitos mediante

fasores

uAB

A

B

Dipolo Pasivo


6.4. Método analítico por coeficientes indeterminados



R, L, C

R L C

R L C

A

B

A

B

Dipolo Serie R, L, C Dipolo Paralelo R, L, C

uAB

Excitación:

iAB

i(t) = I0 sen (ωωωωt)R L CA

B

Dipolo Serie R, L, C

Respuesta: u(t) = U0 sen (ωωωωt + ϕϕϕϕ)

U0? ϕϕϕϕ ?

uAB= uR + uL + uC = iR + L di/dt + 1/C IIII i dt

uAB= I0 cos (ωωωωt) + I0 R sen (ωωωωt))C1

L(ω

−ω


uAB

Excitación:

Respuesta:

iAB


B



U0? ϕϕϕϕ ?

uAB= uR + uL + uC = iR + L di/dt + 1/C IIII i dt

uAB= I0 cos (ωωωωt) + I0 R sen (ωωωωt))C1

L(ω

−ω

)ba

tgarct(senba 22 +ω+a cos ωωωωt + b sen ωωωωt =


uAB

Excitación:

Respuesta:

iAB


B



U0? ϕϕϕϕ ?

uAB= I0 )R

C1

Ltgarct(sen)

C1

L(R 22 ω−ω

+ωω

−ω+


uAB

Excitación:

Respuesta:

iAB


B



U0? ϕϕϕϕ ?

uAB= I0 )R

C1

Ltgarct(sen)

C1

L(R 22 ω−ω

+ωω

−ω+

Z = Impedancia del circuito

U0 = I0 Z


uAB

Excitación:

Respuesta:

iAB


B



U0? ϕϕϕϕ ?

uAB= I0 )R

C1

Ltgarct(sen)

C1

L(R 22 ω−ω

+ωω

−ω+

U0 = I0 Z

Z = Impedancia del circuito

R = Resistencia

Lωωωω = XL = Reactancia inductiva

1/ωωωωC = XC = Reactancia capacit.

= Reactancia)C1

L(ω

−ω


uAB

Excitación:

Respuesta:

iAB


B



U0=I0 Z ϕϕϕϕ ?

uAB= I0 )R

C1

Ltgarct(sen)

C1

L(R 22 ω−ω

+ωω

−ω+


uAB

Excitación:

Respuesta:

iAB


B



U0=I0 Z ϕϕϕϕ ?

uAB= I0 )R

C1

Ltgarct(sen)

C1

L(R 22 ω−ω

+ωω

−ω+

Cuando adelanta la tensión a la intensidad?


Excitación:

Respuesta:

i = I0 sen (ωωωωt)

ϕϕϕϕ

u= U0 )R

C1

Ltgarct(sen ω

−ω+ω

C1

Lω

>ω

Fase i Fase u Desfase

0 + φ + φ

0 - φ - φ

0 φ=0 0

Ocurre cuando: Se llamara:

Circ. Inductivo

Circ. Capacitivo

Circ. Resistivo

C1

Lω

<ω

0)C1

L( =ω

−ω

I

U

ϕϕϕϕ

I

U

ϕϕϕϕ


Triangulo de Impedancias

i = I0 sen (ωωωωt)

ϕϕϕϕ

u= U0 )R

C1

Ltgarct(sen ω

−ω+ω

Circ. Inductivo

Circ. Capacitivo

Circ. Resistivo

I

U

ϕϕϕϕ

I

U

ϕϕϕϕ

2222 )C1

L(RXRZω

−ω+=+=U0 = I0 Z

R

)C1

L(Xω

−ω=ϕϕϕϕ

R

)C1

L(Xω

−ω=ϕϕϕϕ

Z

Z

uAB

A

B

Dipolo Pasivo




R, L, C

R L C

R L C

A

B

A

B

Dipolo Serie R, L, C Dipolo Paralelo R, L, C


uAB

Excitación:iAB

u(t) = U0 sen (ωωωωt)A

B

Dipolo paralelo R, L, C

Respuesta: i(t) = I0 sen (ωωωωt + ϕϕϕϕ)

I0? ϕϕϕϕ ?

iAB= iR + iL + iC = u/R + 1/L IIIIu dt + C du/dt

R L C


)t(senUR1

)tcos()L1

C(Ui 00AB ω+ωω

−ω=

uAB

Excitación:

Respuesta:

iABu(t) = U0 sen (ωωωωt)

A

B



I0? ϕϕϕϕ ?

iAB= iR + iL + iC = u/R + 1/L IIIIu dt + C du/dt

)t(senUR1

)tcos()L1

C(Ui 00AB ω+ωω

−ω=

R L C

)ba

tgarct(senba 22 +ω+a cos ωωωωt + b sen ωωωωt =


uAB

Excitación:

Respuesta:


A

B



I0? ϕϕϕϕ ?

)R/1L1

Carctgt(sen)

L1

C(R1

Ui 220AB

ω−ω

+ωω

−ω+=

R L C


uAB

Excitación:

Respuesta:


A

B



I0? ϕϕϕϕ ?

)R/1L1

Carctgt(sen)

L1

C(R1

Ui 220AB

ω−ω

+ωω

−ω+=

R L C

Y = Admitancia del circuito

I0 = U0 Y


uAB

Excitación:

Respuesta:


A

B



I0? ϕϕϕϕ ?

)R/1L1

Carctgt(sen)

L1

C(R1

Ui 220AB

ω−ω

+ωω

−ω+=

R L C

Y = Admitancia

I0 = U0 Y

Y = Admitancia del circuito

1/R = Conductancia

Cωωωω = BC = Susceptancia capac.

1/ωωωωL = BC = Susceptancia Induc

= Susceptancia)L1

C(ω

−ω


uAB

Excitación:

Respuesta:


A

B



I0? ϕϕϕϕ ?

)R/1L1

Carctgt(sen)

L1

C(R1

Ui 220AB

ω−ω

+ωω

−ω+=

R L C

Y = Admitancia Cuando adelanta o atrasa la intensidad frente a la tensión?


Excitación:

Respuesta:

u = U0 sen (ωωωωt)

ϕϕϕϕ

i

L1

Cω

>ω

Fase u Fase i Desfase

0 + φ φ(-)

0 - φ φ(+)

0 φ=0 0

Ocurre cuando: Se llamara:

Circ. Capacitivo

Circ. Inductivo

Circ. Resistivo

L1

Cω

<ω

0)L1

C( =ω

−ω

I

Uϕϕϕϕ

I

Uϕϕϕϕ

)R/1L1

Carctgt(senYU0

ω−ω

+ω=


Triangulo de Admitancias

ϕϕϕϕ

i

Circ. Inductivo

Circ. Capacitivo

Circ. Resistivo

I

U

ϕϕϕϕ

I

U

ϕϕϕϕ

22

22 )L1

C(R1

BGYω

−ω+=+=I0 = U0 Y

G=1/R

)L1

C(Bω

−ω=ϕϕϕϕ

ϕϕϕϕ

Y

Y

u = U0 sen (ωωωωt) )R/1L1

Carctgt(senYU0

ω−ω

+ω=

)L1

C(Bω

−ω=

G=1/R

uAB

A

B

Dipolo Pasivo


RESOLUCIÓN DE CIRCUITOS CON EXCITACIONES ALTERNAS SENOIDALES





I0 , U0 ? ϕϕϕϕ ?

R, L, C

1.- Método analítico por coeficientes indeterminados

2.- Método Simbólico. Análisis de circuitos mediante

fasores

Método Simbólico. Análisis de circuitos mediante fasores

u(t) = U0 sen (ωωωωt+αααα)

i(t) = I0 sen (ωωωωt+ββββ)

R L CA

B

R L C

A

BDipolo Serie R, L, C

Dipolo Paralelo R, L, C

α+ω== α+ω tUeUu 0)t(j

0

β+ω== β+ω tIeIi 0)t(j

0

¿Puedo excitar un circuito con un vector giratorio?

Representación simbólica

¿Se puede aplicar los lemas de Kirchhoff a un circuito?

uAB

iAB

uR uL uC

iAB

iR iL iC

uAB





AYX AAjAA ϕ=+=

BYX BBjBB ϕ=+=

CYYXX C)BA(j)BA(BAC ϕ=+++=+=

CYYXX C)BA(j)BA(BAC ϕ=−+−=−=


0


0

Lemas de Kirchhoff: Sumas o restas





Derivada de un vector giratorio:

ujeUjdt

)eU(ddt)u(d )t(j

0

)t(j0 ωω αω

αω

=== ++

Para derivar un vector giratorio complejo basta multiplicarlo por “jωωωω”


0


0





Integral de un vector giratorio:

uj

uj1

ejU

dteUdtu )t(j0)t(j0 ωωω

αωαω −==== ++∫∫

j1j

jj

j1

2 −=−

==


0


0

Para derivar un vector giratorio complejo basta multiplicarlo por “- j/ωωωω”

uAB

iAB

R L CA

B



i(t) = I0 sen (ωωωωt) u(t) = U0 sen (ωωωωt + ϕϕϕϕ)

tIeIi 0)t(j

0 ω== ω ϕ+ω== ϕ+ω tUeUu 0)t(j

0

RC1

Ltgarc ω

−ω=ϕ

22 )C1

L(RZω

−ω+=

U0 = I0 Z

ZImpedancia compleja

uAB

Excitación:

iAB

R L CA

B


=

ω

−ω+=ω

−ω+=C1

LjRiiC1

jiLjiR


tIeIi 0)t(j

0 ω== ω

Respuesta:

ϕ+ω== ϕ+ω tUeUu 0)t(j

0

uAB= uR + uL + uC = i R + L di/dt + 1/C IIII i dt =

Zi=

uAB

Excitación:

Respuesta:

iAB

R L CA

B


ω

−ω+=ϕ=C1

LjRZZ


tIeIi 0)t(j

0 ω== ω


0

Impedancia compleja:

ω

−ω=C1

LX

RC1

Larctg ω

−ω=ϕ

R

22

C1

LRZ

ω

−ω+=

Z

φ

uAB

Excitación:

Respuesta:

iAB

R L CA

BDipolo Serie R, L, C

ω

−ω+=ϕ=C1

LjRZZ


tIeIi 0)t(j

0 ω== ω


0

== Ziu

22

C1

LRZ

ω

−ω+=

RC1

Larctg ω

−ω=ϕ

ϕωϕω += tZIZtI 00




tIeIi 0)t(j

0 ω== ωϕ+ω=== ϕ+ω tUeUZiu 0

)t(j0

RC1

Ltgarc ω

−ω=ϕ

22 )C1

L(RZω

−ω+=

U0 = I0 Z




tIeIi 0)t(j

0 ω== ωϕ+ω=== ϕ+ω tUeUZiu 0

)t(j0

0II 00 =ϕϕ 0000 U0ZIZIU =+==

FasorFasor

ZIU =La relación de fasores es la misma que la relación de vectores giratorios

ϕZZ =




0II 00 =

Fasor

ZIU =

ω

−ω+=ϕ=C1

LjRZZϕ+ω== tZIZIU 000

uAB

iAB

A

B


R L C



u(t) = U0 sen (ωωωωt) i(t) = I0 sen (ωωωωt + ϕϕϕϕ)

tUeUu 0)t(j

0 ω== ω ϕ+ω== ϕ+ω tIeIi 0)t(j

0

22 )

L1

C(R1

Yω

−ω+=

I0 = U0 Y

R/1L1

Carctg ω

−ω=ϕ

uAB

iAB

A

B


R L C


Excitación:

Respuesta:

tUeUu 0)t(j

0 ω== ω

ϕ+ω== ϕ+ω tIeIi 0)t(j

0

iAB= iR + iL + iC = u/R + 1/L IIIIu dt + C du/dt =

=

ω

−ω+=ω+ω

−=L1

CjR1

uuCjuL1

jRu

Yu=Y

Admitancia compleja

uAB

iAB

A

B


R L C


Excitación:

Respuesta:

tUeUu 0)t(j

0 ω== ω


0

BjGL1

CjR1

YY +=

ω

−ω+=ϕ=

Admitancia compleja:

ω

−ω=L1

CB

R/1L1

Carctg ω

−ω=ϕ

2

2 L1

CR1

Y

ω

−ω+=

φ

Y

G=1/R

uAB

iAB

A

B


R L C


ϕ+ω=ϕω== tYUYtUYui 00

Excitación:

Respuesta:

tUeUu 0)t(j

0 ω== ω


0

2

2 L1

CR1

Y

ω

−ω+=

R/1L1

Carctg ω

−ω=ϕ

ω

−ω+=ϕ=L1

CjR1

YY




tUeUu 0)t(j

0 ω== ωϕ+ω=== ϕ+ω tIeIYui 0

)t(j0

22 )

L1

C(R1

Yω

−ω+=

I0 = U0 Y

R/1L1

Carctg ω

−ω=ϕ




tUeUu 0)t(j

0 ω== ωϕ+ω=== ϕ+ω tIeIYui 0

)t(j0

0UU 00 =

Fasor

YUI =

ϕYY = ϕϕ 0000 I0YUYUI =+==

Fasor

La relación de fasores es la misma que la relación de vectores giratorios




Fasor

ϕ+ω== tYUYUI 000

0UU 00 =

ω

−ω+=ϕ=L1

CjR1

YY

YUI =


u(t) = U0 sen (ωωωωt+φu)

i(t) = I0 sen (ωωωωt+ϕϕϕϕi)

YUI =uAB

iAB

A

B

A

B

UI

ZIU =


YUI =uAB

iAB

A

B

A

B

UI

ZIU =

Como los circuitos son lineales:Excitación: Respuesta:

A B = K A (K=cte)

B A = 1/K B Z1

UYUI ==

ZIU =

Z1

Y = Z

Z

Y Z1

Z

1Y ϕ−=

ϕ=ϕ






YUI =

uAB

iAB

A

B

A

B

UI

ZIU =

Dominio del tiempo:

Dominio de la frecuencia:

ϕ== ZZIU

Ley de Ohmgeneralizada

Desfase: φ = φu- φi

ZIU

IU

0

0 ==

Resolución de circuitos con impedancias en serie

u1 u2 u3u(t)

R,L,Ci(t)A

B

Z

U

B

U1U

A I 1Z

2 3U

2 3ZR,L,C R,L,C

i(t) = I sen wt0

u1 = U01 sen (ωωωωt+φ1)

i(t) = I0 sen (ωωωωt)Dominio del tiempo: Dominio de la frecuencia: 0II 0=

11011 ZIUU =ϕ=



22022 ZIUU =ϕ=

33033 ZIUU =ϕ=

u = u1 + u2 + u3 =++= 321 UUUU=++= 321 ZIZIZI

=++= )ZZZ(I 321

ϕ== Eq0Eq ZI)Z(Iu = I0 ZEq sen (ωωωωt+φ)


Z

U

B

U1U

A I 1Z

2 3U

2 3Z

=++= )ZZZ(I 321

ϕ== Eq0Eq ZI)Z(I

R1

X1

U1 U2

R2

R3

X3

UU3

23

1I

II

I

I

I1U

2U

3U

IDiagrama fasorial

=++= 321 UUUU


Z

U

B

U1U

A I 1Z

2 3U

2 3Z

uAB

A

B

ϕ= EqEq ZZ

=++= )ZZZ(IU 321

ϕ== Eq0Eq ZI)Z(I

ϕ== Eq0Eq ZIZIU

321 ZZZ ++=


220 V

iAB

100 Ω Ω Ω Ω 0,3 H 1 µµµµFA

B

A

B

0220UAB =

0100Z1 = 9025,94Z2 = 9083,31Z3 −= A

B

97,3188,117ZT =

97,3186,1I −=

1Z

1I

U

IA

B

Z

I

2

2

Z3

3IA

i(t)

B

i 1 2i 3i

u(t) R,L,CR,L,CR,L,C

u(t) = U sen wt0

Resolución de circuitos con impedancias en paralelo

i1 = I01 sen (ωωωωt+φ1)

u(t) = U0 sen (ωωωωt)Dominio del tiempo: Dominio de la frecuencia: 0UU 0=

11011 Z/UII =ϕ=



22022 Z/UII =ϕ=

33033 Z/UII =ϕ=

i = i1 + i2 + i3 =++= 321 IIII=++= 321 YUYUYU

=++= )YYY(U 321

ϕ== Eq0Eq YU)Y(Ui = U0 YEq sen (ωωωωt+φ)

G1U

G2U

G3 UB1U

B2U

B3 U

U 0

1=Y1U

2=Y 2

U

3=Y3 U

eq U

G U=Geq U

B U=B eq U

1

2

3

=Y

I

I

I

I

ϕ

ϕϕ

ϕ

i

i

1Z

1I

U

IA

B

Z

I

2

2

Z3

3I


1Z

1I

U

IA

B

Z

I

2

2

Z3

3I

uAB

A

B

ϕ= EqEq ZZ

321EQ YYYY ++=


321EQ Z1

Z1

Z1

Z1

++=

=++= 321 IIII=++= )YYY(U 321

ϕ== Eq0Eq YU)Y(U

EqEq Z/UYUI ==


R = 22 Ω Ω Ω Ω

L = 50mH

C = 2 µµµµF

022Z1 =

A

B

19,5487,12ZT =

19,5409,17I −=

uAB

iAB

A

B

R L C

1Z

1I

U

IA

B

Z

I

2

2

Z3

3I

901591Z3 −=

907,15Z2 =

Resolución de circuitos mixtos

A 1 2 C B

1

2

3

Z 1

Z 2

Z 3UAC

U CBUAB

Z'1 Z'2 Z'3


2'Z1'Z 3'Z

1Z

2Z

3Z

A BC


UAB = Sen 4000 t

iAB

B

A

4 Ω Ω Ω Ω8 Ω Ω Ω Ω

A

D

2 Ω Ω Ω Ω

7 Ω Ω Ω Ω

5 Ω Ω Ω Ω

10 ΩΩΩΩ

uAD?

i1?

i2?

i1 i2


2 Ω Ω Ω Ω

UAB = Sen 4000 t

iAB

B

A

7 Ω Ω Ω Ω

5 Ω Ω Ω Ω

10 ΩΩΩΩ

A

D

902 −

07010

905

904 −08

01UAB =


B

A A

D

01U =

I

j20902 −=−

j0707 +=010

905

904 −08


B

A A

D

01U =

I

904 −08

7 - 2 j10 + 5 j1Z 2Z

21AD Z1

Z1

Z1

+=


B

A A

D

01U =

I

904 −08

= 4,71+0,05 j

== 6108,0717,4ZAD

21AD Z1

Z1

Z1

+=

++= 086108,0717,4ZAB

264,1731,13904 −=−+


B

A

01U =

I

264,1731,13ZAB −=

EqEq Z/UYUI ==

264,17075,0264,1731,13

01IAB =

−=


2 Ω Ω Ω Ω

UAB = Sen 4000 t

B

A

7 Ω Ω Ω Ω

5 Ω Ω Ω Ω

10 ΩΩΩΩ

A

D

902 −

07010

905

904 −08

01UAB =

264,17075,0IAB =

78,173549,0UAD =

31,967,0UDB −=

i1 i2

78,80317,0I1 −=

73,330487,0I2 =

Análisis de circuitos mediante fasores

El análisis de circuitos se basa en:

1. Condiciones impuestas a las conexiones. (Leyes de Kirchhoff)

2. Condiciones impuestas a los dispositivos. (Ecuaciones características de los elementos)


1. Condiciones impuestas a las conexiones. (Leyes de Kirchhoff)

1ª Ley de Kirchhoffi1

i2i3

Las leyes de Kirchoff son aplicables a las ondas y también a los fasores

2ª Ley de KirchhoffD A

BC

UCD

DAU

ABU

BCU

uAB + uBC + uCD + uDA= 0

i1 + i2 + i3 = 0


2. Condiciones impuestas a los dispositivos. (Ecuaciones características de los elementos)

R u = i R

L u =L di/dt

C i = C du/dt

I u

La característica I-U es conocida en cada elemento por lo que se puede determinar la respuesta del

elemento ante cualquier excitación alterna senoidal.

Dispositivo Ecuación i-u Ecuación I-U

Z = R 0U = I Z

U = I Z

U = I Z

Z = L ω ω ω ω 90

Z = 1/Cωωωω -90

U I


El análisis de circuitos se basa en:

1. Condiciones impuestas a las conexiones.

2. Condiciones impuestas a los dispositivos.

Esto implica que

Las leyes de Kirchhoff y las ecuaciones características de los elementos son aplicables a fasores llegando a los

mismos resultados que con ondas.

Los teoremas de Superposición, Thevenin, Norton, Mallas, Nudos, etc. Son aplicables mediante fasores.


Consecuencias:• Todo dipolo pasivo es equivalente a una impedancia única.

• Todo dipolo activo puede ser considerado como:

- Un generador de tensión real (T. de Thevenin)

- Un generador de intensidad real (T. de Norton)

uAB

A

B

ϕ= EqEq ZZuAB

A

B

Dipolo pasivo

uAB

A

B

Dipolo activo

ϕ== ZZIU

uAB

A

B

uAB

A

B

+ZT UT INZN


Consecuencias:• La impedancia compleja equivalente a impedancias en serie es

igual a su suma.

• La admitancia compleja equivalente a admitancias en paralelo esigual a su suma.

• Los métodos de análisis de superposición, mallas, nudos son aplicables mediante fasores.

1Z

1I

U

IA

B

Z

I

2

2

Z3

3I 321EQ YYYY ++=

321EQ Z1

Z1

Z1

Z1

++=

Z

U

B

U1U

A I 1Z

2 3U

2 3Z

321 ZZZ ++=ϕ= EqEq ZZ

Resolución de Circuitos Excitados con Fuentes de Excitación Senoidal por el Método Fasorial

1. Comprobar que todas las fuentes de excitación son de la misma frecuencia. De no ser así hay que recurrir al principio de la superposición.

2. Hacer que todas las fuentes de excitación estén expresadas mediante la misma función trigonométricas, es decir, que todas sean funciones seno o coseno.

3. Las funciones de excitación en el dominio del tiempo se reemplazaran por sus fasores representativos.

4. Determinar las impedancias complejas de los elementos pasivos.

5. Aplicar cualquier procedimiento valido (Leyes de Kirchhoff, mallas, nudos, teoremas, conversión de fuentes, etc.) Para determinar los fasores de las tensiones e intensidades que interesen.

6. Si es necesario, a partir de los fasores obtenidos se deducirán las correspondientes funciones temporales.

Problemas

Ejercicio 6.1: Dada la excitación y respuesta de un circuito,

determinar la impedancia compleja equivalente al circuito y

las característica (R,L o C) de esta.

uAB(t) = 400 sen (1000t + 45º)

iAB(t) = 40 sen (1000t + 0º )

R = 7,07 ΩΩΩΩ

L = 7,07 mH

º452

400UAB =

º0240

IAB =

A

B

U

Iϕ== ZZ

IU

uAB

A

B4510ZAB =




uAB(t) = 213,13 sen (1000t + 25º)

iAB(t) = 42,43 sen (1000t + 78,14º )

R = 3 ΩΩΩΩ

C= 250 µµµµF

º25213,213

U =

º14,78243,42

I =

A

B

U

I

ϕ== ZZIU

uAB

A

B14,535ZAB −=




uAB(t) = 325,269 sen (100t)

iAB(t) = 65,064 cos (100t )

C = 2000 µµµµF

º0230º02269,325

U ==

º9046º9021,65

I ==

A

B

U

I

ϕ== ZZIU

uAB

A

Bº905ZAB −=

Ejercicio 6.4: En una rama de un circuito, excitado con fuentes alternas a

50 Hz, se conoce los parámetros de los elementos de la ramas y la lectura

del voltímetro ,VR = 343 V , determinar la lectura del amperímetro y del

voltímetro VL.

V VR L

AA

B

R2 = 3 Ω C = 636,62 µF

R1 = 5 Ω L = 9,5 mH

Ejercicio 6.4.(bis): Si el voltímetro de la figura marca 45 V.

Determinar el valor que indicará el amperímetro

10 ΩΩΩΩ

AB

5 ΩΩΩΩ

2 ΩΩΩΩ

3 ΩΩΩΩ

AV

j3 ΩΩΩΩ

Ejercicio 6.4: Si el voltímetro de la figura marca 45 V.


10 ΩΩΩΩ

AB

10/7 ΩΩΩΩ

3 ΩΩΩΩ

AV

j3 ΩΩΩΩ

IAB

I1

I2=15 0

IAB = I1 + I2



AB

(10 +10/7) ΩΩΩΩ

3 ΩΩΩΩ

A

j3 ΩΩΩΩ

IAB

I1

I2=15 0

IAB = I1 + I2



AB

Z1 =11,43 ΩΩΩΩ

Z2=3 +3j

A

I1

I2=15 0

456,634524,4015ZIU 21AB =×==

93,3j93,34556,5043,11456,63

ZU

I1

AB1 +====

IAB = I1 + I2

72,1133,19IAB =

A = 19,33 A

Ejercicio 6.5: Si las lecturas de los aparatos de medida son: A =

20 A, VR = 30 V, VL = 60 V, y la capacidad del condensador es de

0,637 mF; ¿Qué tensión hay entre A y B?

A

B

R LA

V V

VC50 Hz

R L

C

A

B

R LA

V V

VC50 Hz

R L

C

UAB

30 V 60 V

100 V

20 A




UAB= 50 V30 V

A

B

60 V

100 V

20 A

Los aparatos de medida, en teoría de circuitos, se suponen ideales




UAB= 50 V30 V

A

B

60 V

100 V

20 A

VR

VL

VC

VAB




Ejercicio 6.5: Determinar IAB

e(t)

B

A

RC=1 ΩΩΩΩ

01j01Z1 =+=

+i(t)

R1 = 1 ΩΩΩΩ L2 = 0,2H

e(t) = 9 sen (10t)

i(t) = 9 sen (10t - ππππ/3 )

RC = 1 ΩΩΩΩ

R1 = 1 ΩΩΩΩ

L2 = 0,2 H 02j2j2,0x10jLZ2 ===ω=

01j01ZC =+=

02

9U =

º602

9I −=

B

A

01j01Z1 =+=

+

e(t) = 9 sen (10t)

i(t) = 9 sen (10t - ππππ/3 )

RC = 1 ΩΩΩΩ

R1 = 1 ΩΩΩΩ

L2 = 0,2 H 902j2j2,0x10jLZ2 ===ω=

01j01ZC =+=

02

9U =

º602

9I −=

01ZC =

902Z2 =01Z1 =

º602

9I −=0

2

9U =


B

A

+01ZC =

902Z2 =01Z1 =

º602

9I −=0

2

9U =


Métodos de calculo:

• Thevenin.

• Norton.

• Superposición.

• Transformación del circuito.

• Nudos.

B

A

+01ZC =

902Z2 =01Z1 = THZ

THU

B

A

º602

9I −=0

2

9U =

?ZTH

?UTH

+

Ejercicio 6.5: Determinar IAB por Thevenin

1/7

B

A

+01ZC =

902Z2 =01Z1 =

B

A902Z2 =01Z1 =

THZ

THU

B

A

j21ZAB +=

º602

9I −=0

2

9U =

?ZTH

+


2/7

B

A

+01ZC =

902Z2 =01Z1 = THZ

THU

B

A

º602

9I −=0

2

9U =

?UTH

+


3/7

B

A

+01ZC =

902Z2 =01Z1 =

B

A

+

902Z2 =01Z1 =

THZ

THU

B

A

02

9'U AB =

º602

9I −=0

2

9U =

02

9U =

?UTH

+


4/7

B

A

+01ZC =

902Z2 =01Z1 = THZ

THU

B

A

B

A

+

902Z2 =01Z1 =

602

9''U AB −=

º602

9I −=0

2

9U =

º602

9I −=

+


5/7

B

A

+01ZC =

902Z2 =01Z1 = THZ

THU

B

A

30021,11602

90

2

9UAB −=−+=

B

A

+

902Z2 =01Z1 =

º602

9I −=0

2

9U =

THABABAB U''U'UU =+=

º602

9I −=0

2

9U =

+


6/7

B

A

+01ZC =

902Z2 =01Z1 =

B

A

30021,11UTH −=

º602

9I −=0

2

9U =

j21ZTH +=

01ZC = CTH

THAB

ZZU

I+

=+


759,3IAB −=

7/7

B

A

+01ZC =

902Z2 =01Z1 =

NZNI

B

A

º602

9I −=0

2

9U =

THN ZZ =

?IN

Ejercicio 6.5: Determinar IAB por Norton

1/3

B

A

+01ZC =

902Z2 =01Z1 =

NZNI

B

A

º602

9I −=0

2

9U =

THN ZZ =

CCN II =


B

A

+

902Z2 =01Z1 =

º602

9I −=0

2

9U =

2/3

39,93928,4ICC −=

B

A

+01ZC =

902Z2 =01Z1 =

B

A

º602

9I −=0

2

9U =


3/3

39,93928,4IN −=

j21ZN += 01ZC =NICTH

THCAB

ZZZ

II+

=

759,3IAB −=

B

A

+01ZC =

902Z2 =01Z1 =

º602

9I −=0

2

9U =

Ejercicio 6.5: Determinar IAB por Nudos y Transformación

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