mod elisation de la stabilit e des blocs rocheux isol es ... · tement linéaire élastique des...

Modelisation de la stabilite des blocs rocheux isoles sur

la paroi des excavations souterraines avec prise en

compte des contraintes initiales et du comportement non

lineaire des joints

Rima Ghazal

To cite this version:

Rima Ghazal. Modelisation de la stabilite des blocs rocheux isoles sur la paroi des excavationssouterraines avec prise en compte des contraintes initiales et du comportement non lineaire desjoints. Sciences de la Terre. Ecole Nationale Superieure des Mines de Paris, 2013. Francais.<NNT : 2013ENMP0007>. <pastel-00934081>

HAL Id: pastel-00934081

https://pastel.archives-ouvertes.fr/pastel-00934081

Submitted on 21 Jan 2014

HAL is a multi-disciplinary open accessarchive for the deposit and dissemination of sci-entific research documents, whether they are pub-lished or not. The documents may come fromteaching and research institutions in France orabroad, or from public or private research centers.

L’archive ouverte pluridisciplinaire HAL, estdestinee au depot et a la diffusion de documentsscientifiques de niveau recherche, publies ou non,emanant des etablissements d’enseignement et derecherche francais ou etrangers, des laboratoirespublics ou prives.

https://hal.archives-ouvertes.fr

https://pastel.archives-ouvertes.fr/pastel-00934081

T

H

È

S

E

INSTITUT DES SCIENCES ET TECHNOLOGIES

École doctorale nO398 : Géosciences et Ressources Naturelles

Doctorat ParisTech

T H È S E

pour obtenir le grade de docteur délivré par

l’École nationale supérieure des mines de Paris

Spécialité

« Technique et Economie de l’exploitation du Sous-sol »

présentée et soutenue publiquement par

Rima GHAZALle 26 février 2013

Modélisation de la stabilité des blocs rocheux isolés sur la paroi desexcavations souterraines avec prise en compte des contraintes initiales et du

comportement non linéaire des joints

* * *Stability modeling of isolated rock blocks at the surface of underground excavations

taking into account initial stresses and non-linear joint behavior

Directeur de thèse : Michel TIJANICo-encadrement de la thèse : Faouzi HADJ-HASSEN

JuryM. A. MILLARD, Professeur, Ecole Polytechnique RapporteurMme V. Merrien-SOUKATCHOFF, Professeur, Ecole des mines de Nancy RapporteurM. J.-P PIGUET, Professeur, Ecole des mines de Nancy PrésidentM. D. BILLAUX, Docteur, ITASCA ExaminateurM. T. YOU, Ingénieur, GEOSTOCK ExaminateurM. M. TIJANI, Directeur de recherches, MINES ParisTech ExaminateurM. F. HADJ-HASSEN, Docteur, MINES ParisTech Examinateur

MINES ParisTechCentre de Géosciences

35 rue Saint Honoré, 77305 Fontainebleau, France

♠s très rs ♠ ②t t ss♥ ③

♠é♠♦r r ❲ïé

Prs ♥ ♠s r♥ ♥s ♠ ♠é♥♦

♦é Ps ♥s és ♦s

❱① ♦rs t♦t ♣♦r ♠♦ ♥t é♦r

t ♠s rs s♦♥rs s♦♥t ♣s ♦rs q s r♦s

rs r ②♥

♠r♠♥ts

tt tès été té ♥tr é♦s♥s Prs s♥ éq♣

é♦♦ ♥é♥r t é♦♠é♥q t♥s à r♠rr ♥s s qqs ♥s ♣srs

♣rs♦♥♥s q ♦♥t ♦♥tré rt♠♥t ♦ rrèr s ♦sss à résst tr

♥ ♣r♠r r♠r ♣r♦♦♥é♠♥t ♠♦♥ rtr tès ♥ ♣♦r ♠♦r

é t ♥♦ré t♦t ♦♥ tt tès ♣♣♦rt s♥tq ♠é♠♦r ♥rt ♣ ♦r

♦r s♥s s ♦♥trt♦♥ r ss ♣♦r ♦♥♥ q ♠ été ss♥t ♣♦r ♣r♦rssr t

♣♦r séérté r st t②sr ♣r♦tté r♠r ♠♦♥ ♠îtr tès ♦③

ss♥ q ♥é é tt tès t ♠ ♥♦ré à ♦♠♠♥r ♦t♦rt r

ss ♣♦r ♠♦r t♦♦rs ♥té à r ♣s ♦♥ s♣èr q ♥♦s rr♦♥s s ♥s ♠①

é♦♣♣és ♣s ♠♦♥ st ♥tr é♦s♥s ♥ ♣① qêtr très r♦♥♥ss♥t à ♠s

① ♥r♥ts ♣♦r rs r♥s qtés ♠♥s t ♣♦r r s♣♣♦rt ♦♥t♥ srt♦t r♥t

♣ér♦ ♦r ♠r

♦rs ss ①♣r♠r ♠ r♦♥♥ss♥ à ♥♥ rtr ♥tr é♦s♥s ♠♥

♦t③ t rtr t ♠ ♥s qà ♥s♠ s rrs t♥♥s t srétrs

♥tr ♣♦r r r① t ♣♦r ♠♦r ♣r♦ré s ♠rs ♦♥t♦♥s tr

r♠r r t q étt t♦♦rs s♣♦♥ ♣♦r ♠♣♣♦rtr s érs ♦♥r♥♥t

é♦rt♦♥ ♠s ♥ ♣♥s ss ♥ ♣rtr à ♦♠♥q ❱sss tr♥

r tr♥ ♥t♥ t rP♦♠è♥ Ptt♠rt

rss ♠s s♥èrs stt♦♥s ① ♠♠rs r② ♣♦r ♦r ♣té ér ♠♦♥ tr

♦t♦rt t ♦r sssté à ♠ s♦t♥♥ r♠r qsPrr Pt q ♠ t ♦♥♥r

♣résr r② rss é♠♥t ♥ r♥ ♠r à ♠s r♣♣♦rtrs ♥ r t ❱ér♦♥q

rr♥♦t♦ q ♦♥t ♦rré tr t ② ♦♥t ♣♣♦rté rs ♦♠♠♥trs ♣ré① r

ss ① ①♠♥trs rr② ❨♦ t ♥ ① ♣♦r ♦r ♣té rr tt tès t ♣♦r

rs qst♦♥s ♥térss♥ts ♦rs s♦t♥♥

r♥t tt tès ♦s♦♥ êtr ♥ ♦♥tt ér♥ts s♦étés q ♦♥t ♦♥tré à

♥rr tr rss t♦t ♠ rtt à s♦été ts q ♠ ♦r♥ s♦♥ ♦

ss ♣rtèr♠♥t r♦♥♥ss♥t à ♥ r ♣♦r ♦r s à st♥ ♠♦♥ tr

t ♣♦r s ♣t♥ à ré♣♦♥r à ♠s ♠s r♠♣s qst♦♥s r♠r ss ♠♥t

s♦été ♦s♥ q ♠ ♦r♥ ♦ ❯❲ r é♠♥t à s♦été ♦st♦

q ♠♦♥tré ♥térêt ♣♦r tt tès t ♠ ♦r♥ s ♦♥♥és ♣♣t♦♥ sr ♥ s ré

r♠r ♥ ♣rtr ♦s tr ♣♦r ♥♦s é♥s t ♣♦r ♠♦r à ♣srs

r♣rss s♥ s♦été

♦rs r♠rr ♠s rs ♦ès t ♠s ♦rt♦r ♦♥t ♣rés♥ rr♦sé

♦r t ♦♥♥ ♠r s ♦r♥és tr ♦③♠ r ♥s ♦r♥t

s ♦s ♥♦♥ ♠ t♥ t ❳♥❨ ②♦ r♦

r ♣rtèr♠♥t ♥ ♥tsq ♠r ♣♦r ♦r t♦♦rs s ♦♦♥♥r ♠s ♦s ♥

sts r ♣♦r t♦s ♥♦s é♥s s♥tqs t ♠① t ♣♦r t♦t ♠ ♦t♦♥ rts

♣♦sts tt ♠té ât sr r♦ ♣rrr ♥♦r t ♥♦r

♠s très rs ♠s ❨s♠♥ st rérès ♥ ①♥r ♦rs

t ♦rs ♠r ♠♥t ♦r été ♣♦r ♠♦ s r②♦♥s s♦ t♦t ♦♥ ♠♦♥ sé♦r

à Prs ♦s éts rr rt♥tr♦♥t t♦♦rs ♥s ♠ ♠é♠♦r

♠s ♠s rés♥s q ♠♦♥t ♦rt r ♥tss t r ♠sq rss ♠s

r♠r♠♥ts ♣♦r s ① ♥♥és ♦r♠s ♣ssés à ♠s♦♥ rés r ♣rtèr♠♥t

à ♥ t ♥r♦♥

t à ♦r♥t ♠r ♣♦r ♠♦r ♦♠♣♥é ♥s ♠s ♥trs séè♥s t ♣♦r s ♠rs

♥éss ♠ss

♥♠♥t rss t♦t ♠ r♦♥♥ss♥ à ♠s ♣r♥ts ②t t ♠ t ♠♦♥ rèr ss♥

♣♦r r s♦t♥ t t♦♥ ♦♥st♥ts ❱♦s êts ♣♦r ♠♦ ♣s q♥ ♠ ♥ é

r é tt tès é ss à ♠ r♥♠èr r ♦♠♠ té♠♦♥ ♠ rtt

t ♠ r♥ st♠ ê♠ s éts tr♦♣ ♦♥ ♣♦r r r♥r r♦r s ♠é♠♦r

♠ ♦♠♣♥é t♦t ♦♥ tt tès t ♠♦♠♣♥r ♥♦r ♣♦r ♦♥t♠♣s

és♠é

rs♠♥t ♥ té s♦trr♥ ♥s ♥ ♠ r♦① s♦♥t♥ ♥tr♥ ♦r♠t♦♥

♦s à sr ①t♦♥ ss♣ts t♦♠r t sr s ♥sttés ♠♦ést♦♥

♥ t strtr ♥ ♣r♥♥t ♥ ♦♠♣t t♦s s ♦s stés t♦r ①t♦♥ t rs ♥tr

t♦♥s st ♥ ♣r♦è♠ ♦r à s ♦♥rt♦♥ é♦♠étrq tr♠♥s♦♥♥ très ♦♠♣①

t ♦♠♣♦rt♠♥t ♥♦♥ ♥ér s ♦♥ts

♦♠♠ ♥stté st s♦♥t ♠♦ré ♣r t ♦s stés ♥ sr

①t♦♥ ♣♣r♦ s ♦s s♦és ♦♥stt ♥ s♠♣t♦♥ r♠♥t ♦♣té ♦♥sst

à étr q ♦ ②♥t ♥ r ♥é♣♥♠♠♥t s trs ♥ ♦♥sér♥t q st r

t q rst ♠ss r♦s st r t ① é♥♠♦♥s t♦ts s ♠ét♦s ①st♥ts

sés sr tt ♣♣r♦ ♣rés♥t♥t ♣srs ♥ss♥s ♦♥t ♣s ♠♣♦rt♥t st ♥♦♥ ♣rs

♥ ♦♠♣t s ♦♥tr♥ts ♥ts ç♦♥ r♦rs

❯♥ ♥♦ ♠ét♦ ♦♣t♥t ♣♣r♦ s ♦s s♦és st ♣rés♥té ♥s tt tès s

t♦rq r♠♥t ♦ st ♣rs ♥ ♦♠♣t ♥ ♦♥sér♥t q ♣ss étt ♥t ♥t

①t♦♥ à étt ♥ ♣rès ①t♦♥ s t ♣r é♦♥♥♠♥t r ♦ s

♦rts sr s s ♥ ♦♥tt ♠ss r♦s s♦♥t ♦rs ♠♦és ♥ rs♣t♥t éqr s

♦rs t s ♠♦♠♥ts s ♦s ♦♠♣♦rt♠♥t ♥♦r♠ t ♥ s♠♥t s ♦♥ts t ♠♦♠♥t

♦r♣s s♦ ♦ ♥ ♦tt ♥s à ♥ s②stè♠ éqt♦♥s ♦♥t s ss ♥♦♥♥s s♦♥t s

trs tr♥st♦♥ t r♦tt♦♥ ♦ s ♦♥tr♥ts ♥s sr s s s♦♥t ♦rs éts

♥♠érq s ♥térs sr st té ♥ ♠♥t s s ♦ ♥ s éé♠♥ts

♦♥♥s t ♥ ts♥t s ♣♦♥ts ss st ♥s ♣♦ss étr t♦t ♦r♠ é♦♠étrq

♦ q s♦t ♦♥① ♦ ♦♥

① ♠♦ès sés sr tt ♠ét♦ s♦♥t ♣rés♥tés ♣r♠r ♠♦è ♦♥sèr ♥ ♦♠♣♦r

t♠♥t ♥ér éstq s ♦♥ts ét♦♥ stté s t ♦rs ♣♦str♦r ♥ ér♥t

s s rtèrs ♣stté ♦r♦♦♠ t ♦♥tt ♥tér s♦♥t ♦és ♠♦è st é

♣r r♣♣♦rt à ♥ ♠♦è ①t ts♥t ♠ét♦ s é♠♥ts ♥s s éts ♣r♠étrqs

♠♦♥tr♥t ♥♥ s rtés s ♦♥ts t s ♦♥tr♥ts ♥ts sr stté ♦ s

♦♠♣rs♦♥s s ♠ét♦s ♦♥♥t♦♥♥s s ♦s s♦és s♦♥t é♠♥t tés ♥ ♠t

♥ é♥ ♥ ♣rt s ♥ss♥s s ♠ét♦s t tr ♣rt t qs ♥ s♦♥t ♣s

t♦♦rs sértrs ♦♠♠ st ♦♠♠♥é♠♥t ♠s

①è♠ ♠♦è ♦♥sèr ♥ ♦♠♣♦rt♠♥t ♥♦♥ ♥ér s ♦♥ts ♣s r♣rés♥tt

rété ②♣r♦q ♥s rt♦♥ ♥♦r♠ t ést♦♣stq ♥ s♠♥t t♥ s

♦♥ts st ss ♣rs ♥ ♦♠♣t ♠ét♦ ♥♠érq ♦♣té ♣♦r rés♦r s②stè♠ ♥♦♥ ♥ér

♦♥sst ♥ ♥ ♥tért♦♥ ①♣t ♥s t♠♣s ♥é♠tq ♦rrs♣♦♥♥t t① é♦♥

♥♠♥t s ♣s ér♠♥t ♦♥st♥ts st rrêté ès ♦rs q ♦♠♣tté

♥tr ♦♥tr♥ts sttq♠♥t ♠sss t ♣stq♠♥t ♠sss ♥st ♣s ♣♦ss ♥♦♥

♥érté ♥ésst tr ♥ ♥♦♠r éé ♣s é♦♥♥♠♥t ♠s t♠♣s rst

très rs♦♥♥ ♠ét♦ ♦♥r♥♦♥♥♠♥t st ♣♣qé ♣♦r ér stté t s♦

tè♥♠♥t ♥éssr s éts ♣r♠étrqs ♠♦♥tr♥t q ♠♦è ♥♦♥ ♥ér st ♣s ♣rt♥♥t

q ♠♦è ♥ér ♣rs ♥ ♦♠♣t ♥ s♦tè♥♠♥t ♥ ♣rtr s ♦♦♥s tr♥t

♥ trt♦♥ st ss ♥téré ♦ t réstt st ♦♠♣ré à ♠ét♦ ♦♥r♥

♦♥♥♠♥t ♠ét♦ s é♠♥ts st♥ts ♣♣qé à ♥ s ♦ ♣r♠t r ♥♦

♠♦è t ♠♦♥trr q ②♣♦tès rté ♦ st sértr ♣r r♣♣♦rt à ♥

r♦ é♦r♠

Pr st ♥♦ ♠ét♦ st ♣♣qé à ét stté ♥ ♥s♠ ♦s t♦r

♥ ①t♦♥ s♦trr♥ P♦r tstr s té ♥s s é♥ér réstt st ♦♠♣ré

♠ét♦ s é♠♥ts st♥ts tsé ♣♦r ♠♦ésr ♥ ♥s♠ ♦s

♥trss♥t ♥tr ① ♥ ♠♦♥tr q♥ tért ♥♦ ♠ét♦ ♣r é♠♥t♦♥s

ssss s ♦s ♥sts ♦ ♥ ♣r rr♦♣♠♥t ♦s ♥ts ♣r♠t r♥r

♦♠♣t s ♥trt♦♥s ♥tr ♦s P♦r ①♠♣ été réstt st sértr ♣r r♣♣♦rt

①t q ♣r♥ ♥ ♦♠♣t t♦s s ♦s r♥èr ♣♣t♦♥ ♦♥r♥ ♥②s ♥ s

ré t ♦ ♥s ♥ té ♠♥é

❯

ttrs r♦♠♥s

②♠♦ é♥t♦♥ ❯♥té

~a ❱tr ♥tr é♥ss♥t rt♦♥ ♦♦♥

♦és♦♥ ❬P❪

P ♣té ♠①♠ s♦tè♥♠♥t ❬P❪

❱r ♦♥trô é♣ss♠♥t rtèr ♣♦r ♠♦è

♦♥ ♥ér

❬P❪

♦ ❨♦♥ ❬P❪

E tr rté s♦tè♥♠♥t ❬♠−1❪

e0 r♠tr ♠①♠ ♦♥t ❬♠❪

tr sérté

FS ♦r s♦tè♥♠♥t ❬❪

F (~σ) ♦♥t♦♥ r ❬P❪~F0 ❱rt♦♥ s ♦rts ①térrs ss♥t sr ♦ ♥tr étt ♥t

♥t ①t♦♥ t étt ♥ ♣rès ①t♦♥

❬❪

G tr rté s②stè♠ ♥ér ♥s ♠♦è ♦♥

♥ér

❬♠−1❪

H0 tr ♥ ♦ s②♠étrq ♥ st♥ ♥tr r t

s♦♠♠t ♦♣♣♦sé

❬♠❪

Pr♦♦♥r ①t♦♥ ♠sré à ♣rtr ♠r ❬♠❪

H ♥sr ♦ ♦♠♣♦rt♠♥t ♥ér éstq ♦♥t ❬♠−1❪

I ♥sr ♥té

K0 ♣♣♦rt s ♦♥tr♥ts ♥ts ♦r③♦♥ts sr s ♦♥tr♥ts

♥ts rts

Kb té ① ♦♦♥ ❬♠−1❪

Kn té ♥♦r♠ ♦♥t ♠♦è ♦♠♣♦rt♠♥t ♥♦r♠ ♥ér

♦♥t

❬♠−1❪

Kn0 té ♥♦r♠ ♦rrs♣♦♥♥t à ♥ ♦♥tr♥t ♥♦r♠ ♥ ♠♦è

♦♠♣♦rt♠♥t ♥♦r♠ ②♣r♦q ♦♥t

❬♠−1❪

Kn (σn) té ♥♦r♠ ♦rrs♣♦♥♥t à ♥ ♦♥tr♥t ♥♦r♠ σn ♠♦è

♦♠♣♦rt♠♥t ♥♦r♠ ②♣r♦q ♦♥t

❬♠−1❪

Kt té t♥♥t ♦♥t ❬♠−1❪~M0 ❱rt♦♥ s ♠♦♠♥ts ①térrs ss♥t sr ♦ ♥tr étt ♥t

♥t ①t♦♥ t étt ♥ ♣rès ①t♦♥

❬♠−1❪

N ♦♠r ♣s

~n ❱tr ♥tr ♥♦r♠ à sr ♦ t ré rs ①térr

♥s ♠♦è

P P♦s ❬❪

P (~σ) P♦t♥t ♣stq ❬P❪

Pe Prss♦♥ à éqr ♣♣qé sr s♦tè♥♠♥t ❬P❪

ps Prss♦♥ s♦tè♥♠♥t ♣♣qé sr sr r ❬P❪

pf Prss♦♥ ♣♣qé sr sr s s♦♥t♥tés ❬P❪

psmin Prss♦♥ s♦tè♥♠♥t ♠♥♠ ♣♦r ♦r stté ❬P❪

psmax Prss♦♥ s♦tè♥♠♥t ♠①♠ ❬P❪

R tr rté s②stè♠ ♥ér ♥s ♥ér ❬♠−1❪~U ❱tr é♣♠♥t ♣♦♥t réér♥ ♦ ❬♠❪

~u ❱tr é♣♠♥t ♥ ♣♦♥t ♦♥♥é ♦ ❬♠❪

un é♣♠♥t ♥♦r♠ ♥ ♣♦♥t ♦♥♥é ♦ ❬♠❪

~ut ❱tr é♣♠♥t t♥♥t ♥ ♣♦♥t ♦♥♥é ♦ ❬♠❪~W ❱tr r♦tt♦♥ ♦ ❬r❪

~x ❱tr ♣♦st♦♥ ♥ ♣♦♥t ♦ ♣r r♣♣♦rt à ♦r♥ ♥tr

réér♥ ♦

❬♠❪

ttrs rqs

②♠♦ é♥t♦♥ ❯♥té

α ♠♥ s♦♠♠t ♣♦r ♥ ♦ s②♠étr ♥ t♦t ❬❪

~ε s♦♥t♥té é♣♠♥t ♦rsq♦♥ ♣ss ♦ été rs

①térr s♦ ♠♠♦

❬♠❪

φ ♥ r♦tt♠♥t ❬❪

φmin ♥ r♦tt♠♥t ♠♥♥ ♣♦r ♦r éstté ♥ t♦t ♣♦♥t

♦ ♥ s♣♣♦s♥t ♥ ♦és♦♥ ♥

❬❪

λ ① ér♠♥t ♦ é♦♥♥♠♥t r ♦

r♥t ♥tr λ = 0 à étt ♥t ♥t ①t♦♥ t λ = 1 à étt

♥ ♣rès ①t♦♥

λcrit ① é♦♥♥♠♥t rtq ♣♦r q rtèr ♣stté

st tt♥t ♥ ♥ ♣♦♥t ♦

λglob ① é♦♥♥♠♥t ♦ ♣♦r q ♦♠♣♦rt♠♥t ♦

st s♥t♠♥t ♠♦é

λinst ① é♦♥♥♠♥t ♣♦r q ♦ ♥t ♥st

ρ ss ♦♠q ❬♠−3❪

σ0 ♥sr s ♦♥tr♥ts ♥ts ❬P❪

∆~σ ❱rt♦♥ s ♦♥tr♥ts ♥ ♥ ♣♦♥t ♦ ♥tr étt ♥t t

étt ♥

❬P❪

σn ♦♥tr♥t ♥♦r♠ à étt ♥ ♥ ♥ ♣♦♥t ♦ ❬P❪

~σt ❱tr ♦♥tr♥t t♥♥t à étt ♥ ♥ ♥ ♣♦♥t ♦ ❬P❪

~τ ❱tr ♥tr tr ♦♥tr♥t t♥♥t ♥ ♥ ♣♦♥t ♦ ❬P❪

ΣJ ♥s♠ s srs s♦♥t♥tés ♥ ♦ ♦♥♥é

ΣL ♥s♠ s srs rs ♥ ♦ ♦♥♥é srs ♥ ♦♥tt

①t♦♥

∂Ω r♦♥tèr é♠t♥t ♦ ∂ΩΣJΣL

ν ♦♥t P♦ss♦♥

ψ ♥ t♥ ❬❪

♥tr♦t♦♥

tté s ♦s ♠t♣s t s♦és tt rt

♥tr♦t♦♥

ét♦s ♦s ♠t♣s

ét♦ s é♠♥ts st♥ts ♣♣r♦ ②♥♠q

Pr♥♣ t ②s

étt♦♥ t st♠♥t s ♦♥tts

Pr♦è♠s ♠♦rtss♠♥t

♦♥s♦♥

♣♣r♦s é♥rétqs

ét♦ ♥②s s é♦r♠t♦♥s s♦♥t♥s

ét♦ ♦

♦♥s♦♥

ét♦s ♦s s♦és

ét♦ s ♦s és

ét♦ ssq s ♦s és

ét♦ s ♦s és ♥tr♦t♦♥ s ♦♥tr♥ts

ét♦ s ♦s és ♥tr♦t♦♥ r♦tt♦♥

t ♥ s②stè♠ ♦s ♠t♣s ♣♣r♦ s ♦s és

♦♥s♦♥

ét♦s étr♠♥sts

ét♦ étr♠♥st r② t r♦♥

ét♦ ♦

♦♥s♦♥

ét♦ ①t♦♥

Pr♥♣ ♠ét♦ ①t♦♥

s ♦rts ét♣ ♥t

ts ♣r♠étrqs

♦♠♣rs♦♥ s ♠♦ès ♥♠érqs

♣♣t♦♥ à ♥ ♦

♦♥s♦♥

②♥tès

♦è ♥ér

♥tr♦t♦♥

é♦♣♣♠♥t ♥♦ ♠♦è

qt♦♥s éqr

♦s ♦♠♣♦rt♠♥t s ♦♥ts

♦♠♥t ♦ ♥ ♦r♣s s♦ tr♥st♦♥ t r♦tt♦♥

②stè♠ ♥ér

♥tért♦♥ ♥♠érq

♥tt♦♥ stté

♥ r♦tt♠♥t rtq

tr sérté

♥ t① é♦♥♥♠♥t rtq

Prss♦♥ s♦tè♥♠♥t

t ♥②tq s ♣r♠ètrs

t r♣♣♦rt s rtés Kn/Kt

t ♣r♠ètr K0

❱t♦♥ ♥

t strt♦♥ s ♦♥tr♥ts

t ♠♦♠♥t ♦

t tr sérté

♦♠♣rs♦♥ ♥tr ér♥ts ♦s

t ♥②tq ♦♠♣rt ♥ ♦ s②♠étrq ♥

t

tt ♥t

tt ♥

t ♠ét♦ ①t♦♥

tt ♥t

tt ♥

t ♠ét♦ étr♠♥st

t ♠ét♦ s ♦s és

♦♠♣rs♦♥ ♥tr s ♠ét♦s

tr sérté

♦rs s♦tè♥♠♥t

♦♥s♦♥

ts ♣r♠étrqs ♥ t ♦♠♣rs♦♥s

t ♥ ♦ t♦t

♥♥ ♣♦st♦♥ ♦ à ♣r♦ r

t ♥ ♦♥t♦♥ ♣♦st♦♥

t ♦ ♦rrs♣♦♥♥t à θ = 45

t ♦ ♦rrs♣♦♥♥t à θ = 90

t ♥ ♦ ♥♦♥ s②♠étrq

♦♥s♦♥

②♥tès

♦è ♦♥ ♥ér

♥tr♦t♦♥

é♦♣♣♠♥t ♠♦è ♦♥ ♥ér

♥♦♥é é♥ér ♣r♦è♠

♦ ré♦♦q ♠♣é♠♥té

Ps éstq ♥♦♥ ♥ér

Ps ♣stq ss♠♥t

s é♦♠♥t

és♦t♦♥ ♥♠érq ♣r♦è♠

és♦t♦♥ ♥s t♠♣s ♥é♠tq

s ♥térs sr

♥tt♦♥ stté

① ér♠♥t rtqs

λcrit

λglob

λinst

Prss♦♥ s♦tè♥♠♥t Pmin

♠♥s♦♥♥♠♥t s♦tè♥♠♥t

♣♣t♦♥ ♠ét♦ ♦♥r♥♦♥♥♠♥t

é♥értés sr ♠ét♦ ♦♥r♥♦♥♥♠♥t

ét♦ ♦♥r♥♦♥♥♠♥t ♣♦r

♥tr♦t♦♥ s♦tè♥♠♥t ♥s

♥♥ srétst♦♥ sr s réstts

①♠♣ été

srétst♦♥ t♠♣♦r

srétst♦♥ s♣t

ts ♣r♠étrqs

t ♥ ♦ s②♠étrq s ♦♥tr♥ts ♥ts s♦tr♦♣s

♦♥r♥♦♥♥♠♥t ♥ éstté

♦♥r♥♦♥♥♠♥t ♥ ést♦♣stté

t ♥ ♦ ♥♥é s ♦♥tr♥ts ♥ts ♥♦♥ s♦tr♦♣s

t s t① é♦♥♥♠♥t λcrit t λglob

t ré♣rtt♦♥ rtèr ♥ ♦♥t♦♥ t① é♦♥♥♠♥t

t t♥

♦rs ♦♥r♥♦♥♥♠♥t ♣♦r ♣srs ♣♦♥ts r

♣♣t♦♥ ♠♥s♦♥♥♠♥t s♦tè♥♠♥t

♦t♦♥s ♣rtqs sr s♦tè♥♠♥t s ♦s

t ♥ sé♠ ♦♦♥♥

♣♣t♦♥ ♠ét♦ ♦♥r♥♦♥♥♠♥t

♦♠♣rs♦♥ s ♠ét♦s à éqr ♠t

♣rs ♥ ♦♠♣t s♦tè♥♠♥t ♥s

②♥tès

❱♣♣t♦♥s

❱ ♥tr♦t♦♥

❱ ♦♠♣rs♦♥ ♥tr t ♣♦r ♥ ♦ s♦é

❱ t é♣♠♥t

❱ ♦♠♣rs♦♥ s ♦♥tr♥ts

❱ ❱t♦♥ ♣rs ♥ ♦♠♣t s♦tè♥♠♥t ♥s

❱ ♦♥s♦♥

❱ t ♥ r s♦trr♥ t

❱ Prés♥tt♦♥ s ét

❱ ♦ést♦♥

❱ ♦① s ♠ts ♠♦è

❱ ♦è r

❱ ♦è é♦r♠

❱ ♦ést♦♥

❱ é♣ért♦♥ s ♦s à sr t♥♥

❱ t♦♥ stté

❱ ♦♠♣rs♦♥ s réstts r

❱ ♦ést♦♥ ♦s ♠t♣s

❱ tért ♣r é♠♥t♦♥s ssss ♦s ♥sts t ♦♠

♣rs♦♥ r

❱ ♦♠♣rs♦♥ réstt é♦r♠

❱ r♦♣♠♥t ♦s

❱ ♦♥s♦♥

❱ t ♥ s ré t ♦s


❱ é♥ért♦♥ é♦♠étr

❱ t

❱ ②♥tès

♦♥s♦♥s t ♣rs♣ts

♥♥①s

ét♦s é♥ért♦♥ s ♦s

é♥ért♦♥ s s♦♥t♥tés

é♥ért♦♥ s ♦s

ét♦ r♣rés♥tt♦♥ r♦♥tèr

♣♣r♦s t♦♣♦♦qs ré♥ts

ét♦ s♦♥s ssss s♣

ét♦ srétst♦♥ s♣

é♥ért♦♥ ♦s ♥ ♥♦♠r ♣réétr♠♥é s

♦♥s♦♥

rrs r♥r ♣♦r s rtés s ♦♥ts

té ♥♦r♠ t r♠tr ♠①♠

té t♥♥t

♦♥s♦♥


é♥értés sr s ♥térs sr

Pr♦♣rétés s ♣♦♥ts ss t ♦♥t♦♥s ♥tr♣♦t♦♥ ♣♦r ér♥ts éé

♠♥ts réts

P♦♥ts ss t ♦♥t♦♥s ♥tr♣♦t♦♥ ♣♦r ♥ tr♥

P♦♥ts ss t ♦♥t♦♥s ♥tr♣♦t♦♥s ♣♦r ♥ rré

éér♥s

❯

t ♦s stés à ♣r♦ s ①t♦♥s s♦trr♥s st ♥ ♣r♦è♠ ♦r♥t ♥s s

♠① r♦① rtrés ♥ t ♥trst♦♥ s s♦♥t♥tés sr ♥ ①t♦♥

♦♥t à ♦r♠t♦♥ ♦s ss♣ts s é♣r ♦♥ rs s rs t

sr s ♥sttés ♥s strtr ♥②s ♦♠♣♦rt♠♥t s ♦s st ss♥t ♣♦r

♦sr rt♦♥ ♦♣t♠ ①t♦♥ t ♠♥s♦♥♥r s♦tè♥♠♥t

s ♠ét♦s ①ts q ♠♦és♥t t♦s s ♦s t♦r ①t♦♥ ♥s q rs ♥tr

t♦♥s s♦♥t ss③ ♦rs à ♠ttr ♥ ÷r à s é♦♠étr tr♠♥s♦♥♥ ♦♠♣①

strtr t ♥♦♥ ♥érté ♣r♦è♠ Pr rs ① ♥rtts ts ♦♥r♥♥t s

♣r♦♣rétés s ♠tér① ♥s s ♠① s♦trr♥s rtrés s♦t♥t s ♥rtts rts

à ♠♣♠♥t t à strt♦♥ s s♦♥t♥tés Pr ♦♥séq♥t ♠ê♠ s ♥ ♠ét♦ ①t

st tsé réstt rstr ♥rt♥ ♥é♥r ♣réèr ♦rs ♦r r♦rs ♥ ♠ét♦ s♠♣é

q ♦♥♥ ♥ réstt sértr

s♠♣t♦♥ ♣s ♦r♥t ♦♥sst à étr q ♦ sté à sr ①t♦♥

♥ ♦♥sér♥t q st r t q st ♥t♦ré ♣r ♥ ♠ss r♦s r t ① st

♣♣r♦ s ♦s s♦és ♥ s♣♣♦s q stst♦♥ s ♦s étés ♥♠♥t ♣r♠t

ssrr stté t♦t strtr é♥♠♦♥s ♣♣rt s ♠ét♦s ♥s ttértr

♦♣t♥t tt ♣♣r♦ ♥♦r♥t st♦rq r♠♥t ♦ Pr ♦♥séq♥t s ♦♥tr♥ts

♥ts t s ♦s ♦♠♣♦rt♠♥t s ♦♥ts ♥ s♦♥t ♣s ♣rss ♥ ♦♠♣t P♦r str tt s♠

♣t♦♥ st ♦♠♠♥ r q s ♦♥tr♥ts ♥ts ♥ s♦♥t ♣s éés ♥s s ♠①

r♦① ♦ù s ♥sttés ♦s ♦♥t s♦♥t t q t♦t ♠♥èr st ♣s sértr

s ♥♦rr ♥ ♣rt s stt♦♥s ♥ s♦♥t ♣s r♦rss t ♠t♥t tst♦♥ ♣♣r♦

à ♥ ♦♠♥ ♣♣t♦♥ rstr♥t t tr ♣rt ♥♦♥ ♣rs ♥ ♦♠♣t s ♦♥tr♥ts ♥

ts r♥ ♣r♦è♠ ♥étr♠♥é s ♠ét♦s ♦♥t ♦rs r♦rs à s ②♣♦tèss s♣♣é♠♥trs

♣♦r sr♥r tt ♥étr♠♥t♦♥ ♠♦♠♥ts ♠tés à tr♥st♦♥ ♦rts ♥♦r♠s sr

q ♥♦♥ ♣rs ♥ ♦♠♣t éqr s ♠♦♠♥ts. . . trs ♠ét♦s q ♥tèr♥t

♦♠♣♦rt♠♥t s ♦♥ts ♥ ♦♥sèr♥t ♣s st♦rq s ♦rts ç♦♥ r♦rs t s♦♥t ♠tés

à s s ♣rtrs ♦s

❯

t tès st r♣r♥r ♣r♦è♠ stté s ♦s ♣♣r♦ s ♦s

s♦és ♣rès ♦r ♠♦♥tré s ♥ss♥s s ♠ét♦s ①st♥ts ❯♥ ♥♦ ♠♦è ♦♥sér♥t

st♦rq s ♦rts sr s s ♦ st é♦♣♣é ① rs♦♥s ♠♦è s♦♥t ♣r♦♣♦sés

♣r♠èr ♥ ♦♠♣♦rt♠♥t ♥ér éstq s ♦♥ts t ①è♠ ♥ ♦♠♣♦rt♠♥t

♥♦♥ ♥ér ♣♥ tès s ♣rés♥t ♦rs ♦♠♠ st

♣tr st ♦♥sré à ♥ r ♦r♣q s ♠ét♦s ①st♥ts ♣♦r ♥②s

stté s ♦s t♦r s ①t♦♥s s♦trr♥s ♦s ♦♠♠♥ç♦♥s ♣r ♣rés♥tr s

♠ét♦s ♦s ♠t♣s q ♦♥sèr♥t s♠t♥é♠♥t t♦s s ♦s t♦r ♥ ①t♦♥ ♥

♣r♥♥t ♥ ♦♠♣t rs ♥trt♦♥s r ♦♠♣①té st ♠s ♥ é♥ ♥ str r♦rs

à ♣♣r♦ s ♦s s♦és tt ♣♣r♦ st ♦rs ①♣té ♥ ♠♦♥tr♥t q ♣r♦è♠ st

♥étr♠♥é s st rés♦ ♥ ♦♥sér♥t ♥q♠♥t s éqt♦♥s éqr ♥st s ér♥ts

♠ét♦s ♦s s♦és s♦♥t ♣rés♥tés ♥ ♥sst♥t sr rs ♠ts ♠ét♦ s ♦s és

♠ét♦ ①t♦♥ t ♠ét♦ étr♠♥st Pr♠èr♠♥t ♦♥r♥♥t ♠ét♦ s ♦s

és ♥♦s ♣rés♥t♦♥s ♣r♦ér ♥②s sé ss♥t♠♥t sr é♦♠étr ♦ t sr

rt♦♥ s ♦rs q ② s♦♥t ♣♣qés t q ♥ésst r ♥ ♥②s ♥é♠tq ♣r♦r

♣♦r ♦sr ♠♦ ♠♦♠♥t ♠té à s♠♣s tr♥st♦♥s ♦s ♠♦♥tr♦♥s q s t♥tts

♠é♦rt♦♥ q ② ♦♥t été ♣♣♦rtés ♣rs ♥ ♦♠♣t r♦tt♦♥ t s ♦♥tr♥ts ♥ts ♥

s♦♥t ♣s ss③ r♦rss ♦s ♣rés♥t♦♥s ss qqs éts t♦♥ ♥s q rt♥s

♣r♦érs é♦♣♣és ♣♦r étr ♥ ♥s♠ ♦s ♥trss♥t ♥tr ① tt ♠ét♦

①è♠♠♥t s ♣♣r♦s étr♠♥sts q ♦♥sèr♥t q♥ ♣rt s ♦♥tr♥ts sr s s

♦ ♣t êtr ♦♥♥ ♣r s ♦♥♥és ①térrs ♦ ♣r s ♣♣r♦①♠t♦♥s s♦♥t ♣rés♥tés

♦s ♠♦♥tr♦♥s q r ♣♣t♦♥ st ♥q♠♥t ♣♦ss ♣♦r s s très ♣rtrs ♦s

r♦sè♠♠♥t ♠ét♦ ①t♦♥ q ♣r♠t ♣rs ♥ ♦♠♣t ♦♠♣♦rt♠♥t s ♦♥ts

st ①♣té t ss ♥ss♥s s♦♥t ♥②sés s éts ♣r♠étrqs tés ♥s r

tt ♠ét♦ s♦♥t rés♠és ♣♦r ♠ttr ♥ é♥ ♦rt ♥♥ s rtés s ♦♥ts t s

♦♥tr♥ts ♥ts sr stté ♥ ♥②s♥t t♦ts s ♠ét♦s ♥♦s rr♦♥s à ♦♥s♦♥

q♥ ♥ ♣r♠t rés♦r ♣r♦è♠ ♠é♥q s♠♣ ♦ s♦é ç♦♥ r♦rs

♣tr ♣rés♥t ♥ ♥♦ ♠ét♦ ♦♣t♥t ♣♣r♦ s ♦s s♦és q ♦♥ és♥

♣r ♥ ♣rt♥t t q s ♦♥tr♥ts ♥ts sr s ♦♥ts s♦♥t ♦♥♥s à étt

♥t ♥t ①t♦♥ ♣ss à étt ♥ ♣rès ①t♦♥ st ♠♦ésé ♣r ér♠♥t s

s ♦rrs♣♦♥♥ts ♦ s ♦rts sr s s ♥♦♥ rs s♦♥t ♦rs étr♠♥és ♥ ♦♥sér♥t

s♠t♥é♠♥t s éqt♦♥s éqr s ♦s ♦♠♣♦rt♠♥t ♥érs éstqs s ♦♥ts t

♠♦♠♥t ♦r♣s s♦ tr♥st♦♥ t r♦tt♦♥ ♦s ♠♦♥tr♦♥s q ♠ét♦ ♥♠érq

é♦♣♣é st ♣♦ss étr ♥♠♣♦rt q é♦♠étr ♦ ♥ q q s♦t s ♦♠

♣①té s rtèrs q♥tt♦♥ stté ♦ s♦♥t étés t♦♥ ♠ét♦

st t ♣r ♦♠♣rs♦♥ à ♥ ①t ts♥t ♠ét♦ s é♠♥ts ♥s Pr rs ♥

s♠♣ ①♠♣ ♦ s②♠étrq ♥ ♣r♠t ♠ttr ♥ é♥ s ér♥s ♥tr ♥♦

♠ét♦ t s ♠ét♦s ssqs ♦s s♦és s éts ♣r♠étrqs ♥ s♦♥t ♥♥

tés ♣♦r ♠♦♥trr ♥♥ s ♦♥tr♥ts ♥ts s rtés s ♦♥ts t ♣♦st♦♥

♦ t♦r ①t♦♥ sr ♦♠♣♦rt♠♥t ♦ s réstts s♦♥t ♦♠♣rés à ①

♠ét♦ s ♦s és

♣tr ♣rés♥t ♥ ♠é♦rt♦♥ ♠ét♦ ♥ ② ♥tér♥t ♥ ♦♠♣♦rt♠♥t

♥♦♥ ♥ér s ♦♥ts ♣s rést ♦s ♦♥sér♦♥s q ♦♥tr♥t ♥♦r♠ st ♥ ♦ ②♣r♦

q ♥ ♦♥t♦♥ é♣♠♥t ♥♦r♠ ♣rs ♥ ♦♠♣t s stt♦♥s é♦♠♥t ♥s

rt♦♥ t♥♥t ♥♦s ♦♥sér♦♥s ♥ ♦ ♦♠♣♦rt♠♥t ést♦♣stq ♦♠♠ rtèr

❯

♣stté rtèr ♦r♦♦♠ t ♦♠♠ ♣♦t♥t ♣stq rtèr ♦♦♠ ss♦é à

t♥ ♠ét♦ ♥♠érq ♦♣té ♣♦r rés♦r ♣r♦è♠ ♥♦♥ ♥ér st ♥ ♠ét♦

♥tért♦♥ ①♣t s ♣s ér♠♥t ♦♥st♥ts ❯♥ ét ♣r♠étrq ♦♥r♥♥t

♥♦♠r ♣s t t s ♠s st té s rtèrs ♣♦r r ♥stté

♦ s♦♥t ss ♣rés♥tés ♠ét♦ ♦♥r♥♦♥♥♠♥t ♣♣qé ♣♦r ét ♥ ♦ s♦é

st été ♥ ♠♦♥tr♥t q ♣r♠t st♠r s♦tè♥♠♥t ♥éssr s éts s♥sté

sr s ♣r♠ètrs ♠é♥qs s ♦♥ts s♦♥t tés t s réstts s♦♥t ♦♠♣rés à ① ♠♦

è ♥ér Pr rs ♥ ♠ét♦ ♣♦r ♥tért♦♥ ♥ s♦tè♥♠♥t ♥s ♦

♥ s♥t ♣♣ à s ♦ ♦♠♣♦rt♠♥t st ♣r♦♣♦sé ♥ ♣rtr ♥♦s é♦♣♣♦♥s ♠tr

rté rt à ♠s ♥ ♣ ♦♦♥s tr♥t ♥ trt♦♥ ❯♥ ①♠♣ ♣♣t♦♥

s♦tè♥♠♥t ♣r♠t ♦♠♣rr ♣♣r♦ ♦♥r♥♦♥♥♠♥t à ♣♣r♦ ♥tért♦♥

s♦tè♥♠♥t ♥s ♦

♣tr ❱ ♦♠♠♥ ♣r ♥ ét t♦♥ ♥♦ ♠♦è ♣r r♣♣♦rt à ♠ét♦

s é♠♥ts st♥ts ♣♣qé ♣♦r ♥ ♦ s♦é ♥ ♠♦♥tr♥t q ♣rs ♥ ♦♠♣t ♥ r♦

r st sértr ♣r r♣♣♦rt à ♥ r♦ é♦r♠ ♠ét♦ ♥tért♦♥ s♦tè♥♠♥t

♥s st ss é ♥st ♠ét♦ s é♠♥ts st♥ts st tsé ♣♦r étr

stté ♥ té s♦trr♥ ①é ♥s ♥ ♠ r♦① ♥tr♣té ♣r ♣srs ♠s

s♦♥t♥tés ♦ st tsé ♣♦r é♥ért♦♥ é♦♠étr t ♣♦r ét

stté s ♦s ♠ét♦ st ♣♣qé ♣♦r étr ♥ à ♥ s ♦s ♥

♦♥tt ①t♦♥ t s réstts s♦♥t ♦♠♣rés à ① s s térts ♣r

é♠♥t♦♥s ssss ♦s ♥sts ♦ ♣r rr♦♣♠♥t ♦s s♦♥t ss tés

♠ét♦ t st érr s s t♥qs ♣r♠tt♥t r♥r ♦♠♣t ♥♥

♥stté rt♥s ♦s sr trs ♥♠♥t ♠ét♦ st ♣♣qé ♣♦r

r♣r♦r t ♦s q ♥s ♥ s ré ♥ t♦t ♥ té st♦

P

❯P

♥tr♦t♦♥

t s ♦s st ♥ ♣r♦è♠ ♦r♥t ♥s s tés s♦trr♥s ①és ♥s s ♠①

r♦① rtrés ♠♦ést♦♥ stté s ♦s st ss♥t ♥ ♣ré♦r s♦tè♥♠♥t

♣s ♦♥♥ ♦ ♦sr rt♦♥ ①t♦♥ ♣s sértr ♦rs ♣s

♦♥♣t♦♥ ♦tr ét ♦♥r♥ s ♠sss r♦ss rs ♥tr♣tés ♣r ♣srs s♦♥t♥tés

♦ù é♦r♠t♦♥ s②stè♠ ss♥t♠♥t ♥ s s♦♥t♥tés t ♥♦♥ ♣s ♥

♠tr r♦s Psrs ♠ét♦s ①st♥t s♥t ♥sté rtrt♦♥ t

♣rés♦♥ réstt q ♦♥ s♦t ♦r

♥②s stté ♥ ♠ rtré ♣r ♦♠♦é♥ést♦♥ ♥ ♦♥sér♥t ♥ ♠ ♦♥t♥

♥st ♣♣r♦♣ré q ♦rsq ♥sté s s♦♥t♥tés st éé ss♥ ❬❪ r

t♦♥ ❬❪ ♥♦t♦♥ ♦rt ♦ ♥sté ♣t êtr ♣résé ♠♥èr q♥ttt ♣r

①♠♣ ♥ ♦♥t♦♥ ♥ r♣♣♦rt ♥tr ① ♦♥rs ♥ st♥ rtérstq ssrt♦♥

s♣♠♥t ♠♦②♥ t ♠♦②♥♥ s ♦s t ♥ ♦♥r ♣rt♥♥t ♣♦r ♦r s♦trr♥

été ♥ ♣r♦è ♦rs à ♠♦ést♦♥ ♥ ♠ ♦♥t♥ ♥ ♦♣t♥t ♣♦r ♠ s

♣r♦♣rétés ♠é♥qs éq♥ts à r♦ rtré ♦ ❬❪ ♥ t ♥s

s ♦♠♣♦rt♠♥t s②stè♠ s♣♣r♥t à ♥ r♦ q s rtérstqs

♠é♥qs t t♦t t ♦♠♠ ♥ ♠ ♦♥t♥ é♦r♠ s ♦s q ♣♦rr♥t tr s♦♥t

très ♣tts ♠♥s♦♥s t ♥ ♣rés♥t♥t ♣s rsq ♠r ♦♣t♦♥ ♠ ♦♥t♥ ♣t

êtr é♠♥t tsé ♥s s ♣rés♥ ♥ ♥♦♠r rét s♦♥t♥tés ♥s trr♥

s éé♠♥ts ♦♥ts s♦♥t ♦rs ♥tr♦ts ♥s ♠♦è ♦♠♠ ♥s ♠ét♦ s é♠♥ts ♥s

♦ ❱P ❬❪

P ❯P

♥s s ♦ù trr♥ st ♠♦②♥♥♠♥t rtré tst♦♥ ♥ ♣♣r♦ s♦♥t♥ ♥t

♥éssr ♦♠♠ ♥qé ♥s r s②stè♠ t ♦♠♠ ♥ ss♠ ♦s q

sss♥t s ♠♦♠♥ts tr♥st♦♥ t r♦tt♦♥ Pr ♦♥séq♥t ♣♣r♦①♠t♦♥ ♣r ♥

♠ ♦♥t♥ ♥st ♣s r♣rés♥tt rété ♥s ♦♥t①t st ♥éssr ♦♥sérr

♣rés♥ t♦ts s s♦♥t♥tés stté s②stè♠ st ré ♣r stté s ♦s

stés ♥ sr r t ♥tt♦♥ s ♦s st ss♥t ♣♦r

s♦tè♥♠♥t Pr rs ♣♦r ♥ ♥②s r♦rs r trtr ♣r♦è♠ ♥ ♦♥sér♥t

s♦♥ rtèr tr♠♥s♦♥♥ t♥t ♦♥♥é q strt♦♥ s s♦♥t♥tés st ré♠♥t ♥

♥①st ♣s st♦♥ ♣rtèr q ♣r♠tt r♥r ♦♠♣t ♦♠♣♦rt♠♥t ♥tér

strtr ♥s ♥s q st ♥♦s ♥♦s ♥térssr♦♥s ♣r♥♣♠♥t ① ♠ét♦s ♥②s ♥

r ♦ést♦♥ ♣r ♠ ♦♥t♥ ♦ s♦♥t♥ ♣rès rt♦♥ ❬❪

té ♣r♥♣ ♥ ♣r♦è♠ ♥ ♠ s♦♥t♥ ♥t é♦♠étr ♦♠♣①té

♠♥t ♦rsq é♥ért♦♥ s ♦s s t ♥ Pr ♦♥séq♥t s ♠ét♦s ♠♦ést♦♥

q ♣r♥♥♥t ♥ ♦♠♣t t♦s s ♦s s♦♥t ss③ ♦rs t♥t ♣s q s ♥rtts rts

① ♦♥♥és ♣r♦è♠ ♥ésst♥t ♥tr♣r♥r ♣srs s s tés t♥qs s♦♥t

ss ♣rés♥ts ♥s st♦♥ é♦♠étr t s ♦♥tts ♥tr s ♦s s ♠ét♦s s ♣s

♦♠♠♥é♠♥t tsés ♣♦r ♠♦ésr ♥ ♠ s♦♥t♥ ♥ ♣r♥♥t ♥ ♦♠♣t t♦tté s

♦s s♦♥t s ♠ét♦s s é♠♥ts srts ts♥t ♥ ♣♣r♦ ②♥♠q ♠ét♦ ♦

é♥rétq ♠ét♦ t ♠ét♦ ♦ ♦t♦♥s q ♣r♦è♠ stté s

♦s st ♥q♠♥t été ♥s tt tès ♣♦r s ♦♥t♦♥s r♠♥t sttq

❯♥ s♠♣t♦♥ ♣r♦è♠ ♦♥sst à ♦♥sérr ♥q♠♥t s ♦s ♥ ♦♥tt ①

t♦♥ t à étr ♥ ♥é♣♥♠♠♥t s trs st ♠ét♦ s ♦s s♦és ♥

ét♥t ♥ ♦ t♦t rst ♠ss st ♦♥séré r t ① r str ♣ss

♥ ♠ s♦♥t♥ à ♥ ♠ ♦ù ♦♥ ♦♥sèr s ♦s stés à sr ①t♦♥ ♥

♠♥t Psrs ♠ét♦s ♣♥t êtr ssés ♥s tt té♦r ♠ét♦ s ♦s és

♠ét♦ ①t♦♥ t trs ♠ét♦s étr♠♥sts r t st ♦♥♥r ♥ ré♣♦♥s

r♣ t ♦♥srt à qst♦♥ stté

♥♦♥s q tr♠ ♦ é ②♦ été ♥t♠♥t tsé ♣r ♦♦♠♥ t

❬❪ ♣♦r és♥r ♥ ♦ rtq sté à sr ♥ ①t♦♥ t ♦♥t ♥stté st ss

♣t sr ♥stté trs ♦s stés t♦t t♦r ♥s tt tès ♥♦s és♥♦♥s ♣r

♠ét♦ s ♦s és é♦♣♣é ♣r ♦♦♠♥ t t ♣r trs trs q ♥♦s

tr♦♥s ♣s tr t q ♦♥sst à étr s ♦s stés à sr ①t♦♥ ♥ s s♥t

ss♥t♠♥t sr r ♦♥rt♦♥ é♦♠étrq ♥s ♦r♠t♦♥ ssq tt ♠ét♦

s ♦♥t♦♥s ♥ st t ♦♠♣♦rt♠♥t ♠é♥q s ♦♥ts ♥ s♦♥t ♣s ♣rs ♥ ♦♠♣t ❯♥ ss

ttrts st ♣♦ssté étr s ♦s ♥ ♦♥sér♥t s ♦♠♥s♦♥s ♦♥ts s♥s ♥♦r♠t♦♥


r ♦ést♦♥ ♥ ♠ s♦♥t♥ ♣r ♠ét♦ s ♦s s♦és

sr rs s♣♠♥ts

♠ét♦ ①t♦♥ ♣r♠t ♥tr♦r étt s ♦♥tr♥ts ♥ts ♥s ét♦♥

stté ♠s s♦♥ é♦♣♣♠♥t été ♠té ♣♦r s s très s♠♣s é♦♠étr ♠ét♦♦♦

♣♦r s♦tr s ♦♥ts st ♠ê♠ ♦♥tst

trs ♣♣r♦s étr♠♥sts ♦♥sèr♥t q s ♦♥tr♥ts sr s s ♦ ♣♥t êtr

♦♥♥s ♣r ♥ ♣ré♠♥r ♥♦t♠♠♥t ♥ éstté ♥s ♥ ♠ ♦♥t♥

♣tr ♣r♠t r ♥ ♥②s rtq s ♠ét♦s stté s ♦s ♥ ♥t s

♠ét♦s ①ts sq① ♠ét♦s s♠♣trs t st ♠♦♥trr ♥ ♣rt ♦♠♣①té

s ♠ét♦s q ♦♥sèr♥t t♦s s ♦s t r ♥trt♦♥s t tr ♣rt s s♠♣t♦♥s

①sss s ♠ét♦s ♦s s♦és ♣rés♥ts ♥s ttértr ♣♣r♦ s ♦s s♦és st

♣t ♥ s♣♣♦s♥t q ♦♥♥ s réstts ♦♥srtrs ss ♣♣t♦♥s sqà ♥♦s ♦rs

♠♥q♥t rr s♥tq t ♥♦r♥t s♦♥t s ♣r♠ètrs ss♥ts ts q s ♦♥tr♥ts

♥ts ♥ q ♣r♦è♠ s♠ êtr s♠♣ ♦♥ ♥ét q♥ s ♦ à ♦s ♥

♠ét♦ r♦rs ♥ ♥♦r été ♣é à ♥♦tr ♦♥♥ss♥ st ♥ r♠t♦♥ ♦rt q

sr sté ♠s q ♦t rstr ♠♦éré ♣r t q ♥ ♦♥r♥ q s ♦♠♥ts ♣és

q ♦♥t été ♦♥stés ♣♦r ét ♦r♣q ♣rés♥t tès


♣r♦è♠ stté s ♦s ♥st ♣s ♥ ♣r♦è♠ ♥étr♠♥é ♦♥ ♦♥♥t ①t♠♥t

s ♦♥♥és ♦♥r♥♥t strt♦♥ é♦♠étrq s s♦♥t♥tés s ♦♥tr♥ts ♥ts s ♣r♦

♣rétés ♠é♥qs r♦ t s ♦♥ts t st♦rq s ♦♥t♦♥s ① ♠ts ♣r♦è♠

♣t êtr rés♦ t s é♣♠♥ts t ♦♥tr♥ts ♥s és rés♦t♦♥ ♥②tq ♣r♦

è♠ ét♥t ♣s s♦♥t ♦♠♣① ♦♥ r♦rs à s ♠ét♦s ♥♠érqs tst♦♥

♠ét♦ s é♠♥ts ♥s st ♣♦ss ♠s ♥st ♣s ♣té à ♥r ♣r♦è♠s ♥t♠♥t

♦♥ç ♣♦r s ♠① ♦♥t♥s é♦t♦♥ s ♦♥tts ♥ ♣t ♣s êtr éré ♦rsq r♥s

é♣♠♥ts ♦♥t ♣s tst♦♥ tt ♠ét♦ ♥ésst r ♥ ♠♦è ♣ré♠

♥r ♣♦r é♥ért♦♥ s s♦♥t♥tés t s ♥trst♦♥s s ♠ét♦s s é♠♥ts

srts ♦r♠és ①♣t♠♥t ♠ét♦ s é♠♥ts st♥ts ♦ ♠♣t♠♥t ♥②s

s é♦r♠t♦♥s s♦♥t♥s s♦♥t s ♣s tsés ♥s ♦♠♥ s ♠① r♦① s

♦♥t♥s ♥ ❬❪ ♠ét♦ s é♠♥ts st♥ts é♦♣♣é ♥t♠♥t ♣♦r

s②stè♠s ②♥♠qs été ♣té ♣♦r s②stè♠s ♥ sttq ♥ ts♥t s ♠ê♠s

P ❯P

♦r♠t♦♥s ②♥♠qs ♠ét♦ t ♠ét♦ ♦ ♠♦♥s ♦♥♥ ts♥t

s ♣♣r♦s sttqs sés sr ♠♥♠st♦♥ é♥r ♣♦t♥t s②stè♠ ♦s Pr

rs t♦ts s ♠ét♦s ♣♣qés à s ♠♦ès tr♠♥s♦♥♥s s♦♥t ♥ r♥ ♦♠♣①té

t ♣♥t ♣rés♥tr rt♥s éts ♥s q st ♥♦s ♣rés♥tr♦♥s rè♠♥t s ♣r♥♣s

♠ét♦s tsés ♣♦r ♠♦ést♦♥ ♥ ss♠ ♦s r♦① stés t♦r ♥ ①

t♦♥ s♦trr♥ ♥ ♠tt♥t ♥t sr s tés ♥ ♦♠♣r♥♥t t♦s s ♦s ♥s

tt ♣rés♥tt♦♥ ♠ét♦ s é♠♥t st♥ts st ♣s é♦♣♣é r sr tsé ♥s

♣tr ❱

ét♦ s é♠♥ts st♥ts ♣♣r♦ ②♥♠q

Pr♥♣ t ②s

♠ét♦ s é♠♥ts st♥ts st♥t ♠♥t t♦ ♣r♠t ♠♦ést♦♥ ♥

s②stè♠ s♦♥t♥ ♦r♠é ♣r ♥ ss♠ ♦s r♦① rs ♦ é♦r♠s tt ♠ét♦

st ssé ♥s té♦r s ♠ét♦s é♠♥ts srts ①♣ts ❯♥ ♣♣r♦ ②♥♠q

st tsé ♣♦r rés♦r ♣r♦è♠ ♥♠érq ♥ ②♥♠q ♦ ♥ sttq ♥s tt r ♥♦s

♥♦s ♥térssr♦♥s ♥q♠♥t ① ♦s rs ♥s s sttq

s éqt♦♥s ②♥♠qs ♠♦♠♥t ♥ tr♥st♦♥ t ♥ r♦tt♦♥ s♦♥t ♦r♠és ①♣t♠♥t

t rés♦s ♣r ♥ ♠ét♦ ér♥ ♥ ts♥t ♥ ♥♦t♦♥ t♠♣s rt q ♦ï♥

t♠♣s ré ♦rsq r ♣r♦è♠ st ②♥♠q

ér♥ ♥ ♣♣r♦ ♦♥t♥ ♦ù s s♦♥t♥tés ♥tr♦ts à éé♠♥ts ♦♥ts

rst♥t ♥rs ♥s ♠ét♦ s ♦♥tts ♥tr s ♦s s♦♥t ♠s à ♦r à q ②

♥s r♥t ♣r♦sss s ♦s ♣♥t ♥trr ♥ ♦♥tt t trs q ét♥t

♥t♠♥t ♥ ♦♥tt s sé♣rr

♦♥r♥♥t rés♦t♦♥ ♥♠érq ♦r♥té tt ♠ét♦ ♣r r♣♣♦rt à trs ♠ét♦s

q ♣ss♥t ♣r rés♦t♦♥ ♥ s②stè♠ ♥ér ♦♥t ♠tr ♦t êtr r♦r♠é à q

♥♠♥t ♦♥♥tté st q st♦ t ♠♥♣t♦♥ ♠trs st été ♥ ts♥t ♥

♠ét♦ r①t♦♥ ②♥♠q ♥ ❬❪ ♥ sttq t st étr♠♥r ♥s♠

s é♣♠♥ts q ♦♥t r♠♥r s②stè♠ à éqr ♥ rs♣t♥t s ♦s ♦♥sttts s

s♦♥t♥tés t s éé♥t r♣érr s ♦s ♥sts

q ② s rés♠ ♣rès rt ❬❪ ♣r s ét♣s r♣rés♥tés ♥s r

t é♥♦♥és ♣rès

P♦r q ♦ s♦♠♠ s ♦rs ♦♥♥s ♣♣qés sr ♦ st é st

♦rs ♣r♦♥♥t ♦♥tts trs ♦s ♥s q ♣♦s ♦ t trs é♥ts

♦rs ①térrs ss♥t sr ♦ s♦♠♠ s ♠♦♠♥ts st é♠♥t é ♥tr

rté ♦ ♥ ♥s t♦rsr s ♦rts ①rés sr ♦

s éqt♦♥s ②♥♠q s♦♥t ♣♣qés t ♥térés ①♣t♠♥t ♥s t♠♣s ré

♦ rt ♥ ts♥t ♥ ♣r♦ér ér♥ ♥ ♥tr ♦t♦♥s q ♥s ♥ s

sttq éqr ♦t êtr rs♣té à t♦t ♠♦♠♥t s♦♠♠s s ♦rs t ♠♦♠♥ts ♥s

st ♥♦r♥ s rs rs s ♦rs ss♥t sr q ♦ q t q s ♥

s♦♥t ♣s ♥s t q♥ éért♦♥ ♦ s♠♣♦s tst♦♥ s éqt♦♥s ②♥♠qs

♥ t♠♣s rt st ♦rs ♥q♠♥t ♥ st ♥♠érq ♣♦r r s tsss t

é♣♠♥ts q ♦♥t r♠♥r s②stè♠ à éqr tss é♣♠♥t ♥tr

q ♦ st ①♣r♠é ♥ ♦♥t♦♥ tss ② ♣réé♥t s♦♠♠ s ♦rs t

♥ré♠♥t t♠♣s ♥ st ♠ê♠ ♣♦r tss r♦tt♦♥ ♦ ♥ré♠♥t


t♠♣s st ♦s ss③ ♣tt ç♦♥ à ssrr stté ♥♠érq ♥st é♣♠♥t

♥tr ♦ st ét ♥s q s r♦tt♦♥ ♥♦ ♣♦st♦♥ ♦ st ♦rs ♠s à

♦r

♦♥♥ss♥t s é♣♠♥ts t♦s s ♦s s é♣♠♥ts rts ♥ s ♦♥tts

s♦♥t éts ♥ ♣♣q♥t s ♦s ♦♠♣♦rt♠♥t s ♦♥ts s ♥♦s ♦rs ♥

s ♦♥tts s♦♥t és r♥t tt ét♣ ss ♦♥♥tté s ♦♥ts st éré s

♣♦♥ts ♣♣t♦♥ s ♦rs ♦♥tt ♣♥t ♥r ♥♦① ♦♥tts êtr éttés

t trs ♥♥és ♦t♦♥s q s ① ♦s s♦♥t s♣és ♥ st♥ ♥érr à ♥ r

rtq ♣réé♥ ♥ ♦♥tt st étté ♠ê♠ s s ① ♦s ♥ s t♦♥t ♣s ♥s

r♥r s ♥ ♦r ♦♥tt ♥ st ttré t st s r♥t ét♣ s♥t

♥ rt♦r♥ ♥♦ à ét♣ ♣r♠èr s ♥♦s ♦rs ♦♥tt s♦♥t tsés

♣♦r ét♦♥ s ♦rs ①térrs ss♥t sr q ♦

r ②s ♠ét♦ s é♠♥ts st♥ts ♣♦r s ♦s rs

s ♠♦♠♥ts s ♦s rést♥t ♣r♦♣t♦♥ ♥s s②stè♠ ♥ ♣rtrt♦♥ ♣♣qé

sr s ♦rs ♠♦è stté s②stè♠ st tt♥t ♦rsq s♦♠♠ s ♦rs ♥

q ♦ s♥♥ ♦ tt♥t ♥ très r ♥s s ♦ù tt ♦r tt♥t ♥ r

♦♥st♥t ♥♦♥ ♥ s②stè♠ ♥ ♣t ♣s rrr à ♥ étt éqr ①st ♥ ré♦♥ ♠♦è

q ♥tr ♥ ♣stté ♦ ♠♦♥s ♥ ♦ q s ét ♠ss r♦s

étt♦♥ t st♠♥t s ♦♥tts

tst s ♦♥tts s t ♥tr s ♦s étr♠♥és ♦♠♠ ét♥t ♦s♥s ♥s ♦

❬❪ s♣ tr♠♥s♦♥♥ st sé ♥ s s ♦s ♦s♥s s♦♥t ① q ♥trst♥t

♥ ♠ê♠ tst ♥st ♣s t à q tért♦♥ ♠s à q ♦s q ♥ré♠♥t

é♣♠♥t ♦ é♣ss ♥ rt♥ ♠t ♣réé♥

P ❯P

♥ ♠ét♦ ♣♥ ♦♠♠♥ st tsé ♣♦r tr étt♦♥ s ♦♥tts ♥

❬❪ st ♥ ♣♥ q ♥trst s♣ ♥tr ① ♦s ♦s♥s ♦♥♣t st

stré ♥ ♥s r s ♦rs ♦♥tt ①st♥t ♥tr s ① ♦s ss t♦♥t

♣♥ ♦♠♠♥ rést♥t s ♦rs ♦♥tt st ♣♣qé ♣♦♥t réér♥ ♦sé ♥

♣♥ ♦♠♠♥ ♠♦♠♥t s ♦rs ♦♥tt st ♥ ♥ ♣♦♥t st ♥ ♣♦♥t

réér♥ q ♣♥ ♦♠♠♥ st s r♦tt♦♥s ♦♠♣♦s♥t ♥♦r♠ ♦r ♦♥tt

s ♣r♦tt sr ♥♦r♠ ♣♥ ♦♠♠♥ t ♦♠♣♦s♥t t♥♥t st ♦♥t♥ ♥s ♣♥

s ♦s s♦♥t rs ♦ é♦r♠s q ♦♥tt st srétsé ♥ s♦s♦♥tts ♦ù s

♦rs ♥trt♦♥ s♦♥t ♣♣qés ♥s ❬❪ ♦rsq st ♦s rs tt sré

tst♦♥ ♦♥sst à tr♥r q ♥ r♥t ss s♦♠♠ts ♥tr ① ♦rsq st ♦s

é♦r♠s ♥ ♠ ♦♠q ♥ tétrèrs st té s s s♦♥t ♦♥ ♠és ♥ tr♥s

s ♣♦♥ts ♥tr♥s

♦rt♠ ♣r♠tt♥t ♣♦st♦♥♥♠♥t t ♠♦♠♥t ♣♥ ♦♠♠♥ st ①s♠♥t

sé sr é♦♠étr t s♣♣q à q ♥tr t♠♣s ♥ ♣rè ♠é♥q

P♦r ① ♦s ♦s♥s q ♥ s♦♥t ♣s ♥♦r éttés ♦♠♠ ét♥t ♥ ♦♥tt ♣♥ ♦♠♠♥

st ♣é ♥t♠♥t à ♠st♥ ♥tr s ① ♥tr♦ïs s ♦s ♥♦r♠ ②♥t ♠ê♠

rt♦♥ q r♦t r♥t s ① ♥tr♦ïs ♣♥ st ♥st ♥ tr♥st♦♥ ♣s ♥

tért♦♥ r♦tt♦♥s ♥♦r♠ ♣♦r str s ♣♦st♦♥ t s ♥♦r♠ ç♦♥ à stsr s

♦♥t♦♥s s♥ts ♥ ♣rt ♠①♠sr ért ♥tr ♣♥ ♦♠♠♥ t ♥÷ ♣s ♣r♦

t tr ♣rt ♠♥♠sr r♦r♠♥t ♥tr ♣♥ ♦♠♠♥ t ♥÷ ♣s r♥

r♦r♠♥t

s ♦rs ①st♥t ♥ ♦♥tt ♣♥ ♦♠♠♥ st s st♠♥ts s♣♣é♠♥trs

❯♥ tr♥st♦♥ é à tr♥st♦♥ ♠♦②♥♥ s ① ♦s st ♣♣qé sr ♣♦♥t réér♥

s ① ♦s sss♥t ♥ r♦tt♦♥ ♣♦♥t réér♥ st ♥ tr♥st♦♥ ♣r♦♣♦rt♦♥♥

à r♦tt♦♥ rt ♥tr s ① ♦s ♠t♣é ♣r ♥ ♦♥st♥t ♠♣rq tt ♦♥st♥t

♣r♠t r♥r ♦♠♣t t q ♠♦♠♥t ♣♦♥t réér♥ ♦rs ♥ r♦tt♦♥ rt

s ① ♦s ♦t ss é♣♥r trs trs q s♠♣♠♥t é♦♠étr ♦t♠♠♥t ♦t

êtr té ♣r ♥tr ♥tr t ♣r s ♦♥tr♥ts ♥♦r♠s s rté ♥♦r♠ ♦♥t

♥ é♣♥ ♦♠♠ ♥s s ♥ ♦ ♦♠♣♦rt♠♥t ♥♦r♠ ②♣r♦q

Pr rs ♣sq ♣♦♥t réér♥ st ♣♦♥t ♥ q ♦r ♦♥tt st

♣♣qé ♦t ♣♣rt♥r ① ① s s ♦s ♦♥sérés ♣rès s ① r♥rs st♠♥ts

t♦♠ à ①térr ♥ s ① s t r♠♥r à tt ♣r ♥ tr sér

st♠♥ts térts

♥ ♦♥s♦♥ ♣♦st♦♥ ♣♥ ♦♠♠♥ é♣♥ é♦♠étr s ♦s t ♣♦st♦♥

♦r ♦♥tt rést♥t sr ♣♥ ♥st ♣s rt♠♥t é à ré♣rtt♦♥ s ♦♥tr♥ts sr s

♦♥tts ♣s s ♥ré♠♥ts s ♦rs ♥♦r♠s t t♥♥ts ♥ s ♥trs

é♣♥ rt♦♥ ♣♥ ♦♠♠♥ ♥ t é♣♠♥t é ♥ ♥ ♦♥tt st

♣r♦té ♥♦r♠♠♥t t t♥♥t♠♥t ♣♥ ♦♠♠♥ s ♥ré♠♥ts s ♦♥tr♥ts ♥♦r♠s t

t♥♥ts és ♣rès s ♦s ♦♠♣♦rt♠♥t ♦♥t s♦♥t ♣r♦♣♦rt♦♥♥s ① ♣r♦t♦♥s

♥♦r♠s t t♥♥ts s é♣♠♥t rts ♥tr ① ♦s sr r ♣♥ ♦♠♠♥ ♦♠♠

rt♦♥ ♣♥ ♦♠♠♥ ♣t êtr ér♥t rt♦♥ s ① s ♥ ♦♥tt ♦♥♥é

s ♥ré♠♥ts s ♦♥tr♥ts ♣t ♥ ♣s êtr ss③ r♣rés♥tt rété ♦t♦s ♥

s♣♣♦s♥t q ♦♥ rst ♥ ♣tts é♣♠♥ts s ♣♣r♦①♠t♦♥s s♦♥t ♥ s

P♦r s ♦s rs srétst♦♥ ♥ tr♥s ♥ r♥t s s♦♠♠ts s s ♦s rs

♣t êtr ♥ss♥t ♥s s ♦s à r♥s ♠♥s♦♥s t ♦rs tst♦♥ ♦♥ts ♥


r étr♠♥t♦♥ ♣♥ ♦♠♠♥ ♥s ♠ét♦ s é♠♥ts st♥ts ♣rès ♥♦t tst♦♥ ❬❪

rtèr r♣tr ❯♥ srétst♦♥ ♣s ♥ srt ♥éssr ♣♦r étr♠♥r s ③♦♥s r♣tr

♣s ♣résé♠♥t ♥ r♥ ♥s s ♠♦ést♦♥ s ♦♥ts à ♦♠♣♦rt♠♥t ♥ér

tt srétst♦♥ st

Pr♦è♠s ♠♦rtss♠♥t

♦♠♠ s éqt♦♥s ②♥♠q s♦♥t ♣♣qés ♣♦r rés♦r ♥ ♣r♦è♠ sttq ♥

♠♦rtss♠♥t st ♥éssr ♣r♠t ♠♣êr ♥ s②stè♠ éstq ♦sr ♥é♥♠♥t

♥ t ♥ étt sttq s♥ q s tsss t s éért♦♥s s♦♥t ♥s r ♣♣r♦

②♥♠q s♥s ♠♦rtss♠♥t s s♦♠♠ s ♦rs st ♥ éért♦♥ st ♥ tss

t s②stè♠ été sr é à s tss é ♥s ② ♣réé♥t ♦r r ♥

♣t ♦♥ ♦r ♥ rést♥t s ♦rs ♥ s♥s ♣♦r t♥t q étt s♦t sttq

Psrs t②♣s ♠♦rtss♠♥ts s♦♥t ♣rés♥ts ♥s ttértr t ♥s s ♦s é♠♥ts

st♥ts ♥ ❬❪ ❬❪ ♠ét♦ ♣s sq st ♥tr♦t♦♥ ♦rs

♣r♦♣♦rt♦♥♥s à tss s ♦s t②♣ ♠♦rtss♠♥t ♠♦♥tré q st s♦r ♣srs

♣r♦è♠s ♥ ❬❪ trs s♦t♦♥s ♠♦rtss♠♥t ♦♥t été é♦♣♣és t s♦♥t tsés

t♠♥t ♠s ♥ s♦♥t ♣s ♣♦r t♥t ♦♣t♠s tst♦♥ ♠♦rtss♠♥t ♦ ♣

t ♦ ♣t ♠♣♥ ♥t ♦♠♠ ♣♦r ♣r♠r t②♣ ♠♦rtss♠♥t ♥tr♦t♦♥

♦rs sqss q s♦♥t s♦r rrrs ♥s s ré♦♥s ♥ r♣tr tst♦♥ ♠♦rtss

♠♥t ♦ ♦ ♠♣♥ ♥tr♦t s ♦rs ♣r♦♣♦rt♦♥♥s ① ♦rs s ♦s ♥♦♥ éqrés

t rt♦♥ ♦♣♣♦sé tt r♥èr ♠ét♦ ♣r♠t rés♦r t♦s s ♣r♦è♠s s ♣♣r♦s

♣réé♥ts ♠s s♦♥ ♣♣t♦♥ ♠♦♥tré q s♦t♦♥ ♣♦rrt êtr s♦s ♠♦rt ♥s ♣♣

t♦♥ ♣rés♥té ♣r ♥ ❬❪ s tr♦s t②♣s ♠♦rtss♠♥t s♦♥t ♦♠♣rés sr ♥ ①♠♣ ♥

♥ ♦t ♥ q ♠ê♠ ♣♦r ♥ ①♠♣ s♠♣ s tr♦s ♠ét♦s ♦♥r♥t rs s rs

ér♥ts tr♦sè♠ ét♥t ♣s ♣r♦ s♦t♦♥ é ♥s ♦ ❬❪

①è♠ t②♣ ♠♦rtss♠♥t st tsé ♣r ét ♣♦r s s♦t♦♥s sttqs t tr♦sè♠ t②♣

st ♦♥sé ♣♦r s s ♦ù ♥ ♥♠♥t rt r♠♥t

♥s ♥tr♦t♦♥ ♥ ♠♦rtss♠♥t st ♠ê♠ ♥tr q tr♥s♦r♠t♦♥ ♥ ♣r♦è♠

P ❯P

sttq ♥ ♥ ♣r♦è♠ ②♥♠q st st ♥ t♥q ♥♠érq t tt r♠t♦♥

♣t êtr ①♣té ♥ sé♠ts♥t ♠té♠tq♠♥t stt♦♥ ♥ ♣t r♣rés♥tr ♣r♦è♠

sttq r à rés♦r ♣r ♥ été s②♠♦q F (X) = 0 ♥s q X r♣rés♥t s ♥♦♥♥s

é♣♠♥ts s ♦s ♦rts ♥tr♦s. . . t F st ♥ ♦♥t♦♥ ♦♥♥ à ♥ q trt s

♦s ♣②sqs s♦♠♠ s ♦rs ①rés sr q ♦ ♦s ♦♠♣♦rt♠♥t s ♦♥ts. . . ♦♠♠

♥♦s rr♦♥s ♣r st st ♥s q ♣r♦è♠ sttq st ♦r♠é t ♦ré ♥s s ♦s

♦♠♠ ❬❪ r ♣♥ ♣r♠♥t ♠té♠tq st t♦♦rs ♣♦ss r♠♣r

♣r♦è♠ F (X) = 0 ♣r ♥ ♣r♦è♠ ♥s q ♦♥ r ♥ ♦♥t♦♥ Y (t) ♠ê♠ ♥tr q

X t ∈ R t♠♣s t q ér MY +CY +F (Y ) = 0 ♦ qq ♦s ♣s ♦♠♣①

♥s tt éqt♦♥ ér♥t ♦rr ① ♦♥ ♥tr♦t tss Y = dY/dt t éért♦♥ Y

♥♦♥♥ Y st ♦♥sst ♦♥ à ♦sr ♦♥♥♠♥t s②stè♠ ér♥t ♠trs M

t C ♥s s srt s♦rt q Y∞ = limt→∞

Y (t) ①st ♦rs ♦♥ r ♦ré♠♥t F (Y∞) = 0

♦♥ X = Y∞ st ♥ s s♦t♦♥s ♥♦tr ♣r♦è♠ sttq ♦♠♠ ♣r♦è♠ ♥s t♠♣s

st rés♦ ♣r ♥ ♠ét♦ ♥♠érq ♣s à ♣s ♦♥t st à rqr ♥ st Yn t q

F(

limn→∞

Yn

)

= 0 st ♦♥ ♥ ♣r♦éé tért ♣r♠ t♥t trs t q ♥ ♦t ♠s êtr

sté ♥ s♥t q st ♣s r♣rés♥tt rété ♠s ♥ r♣♣♥t s♠♥t q s♦♥t

♦srt♦♥ s ♣é♥♦♠è♥s rés ♥s♣ré s ♠té♠t♥s t s ♥♠ér♥s ♣♦r ♣r♦♣♦sr s

♦rt♠s

♦♥s♦♥

♠ét♦ s é♠♥ts st♥ts été ♥t♠♥t ♦♥ç ♣♦r rés♦r ♥ ♣r♦è♠ ②♥

♠q ♥ ②♥♠q tt ♣♣r♦ st ♣rt♠♥t sté t ♦♥stt ♥ ♦♥♥ r♣rés♥tt♦♥

♦♠♣♦rt♠♥t s ♦s ♥ sttq ♦♥ r ♥s♠ s ♦rs q r♠♥r s②stè♠

à éqr s tsss s ♦s ♥t êtr ♥s ♥s s tst♦♥ s éqt♦♥s

②♥♠q ♥st ♣s ♦rs sté ♥s s♥s ♦ù s éqt♦♥s ♥①♣q♥t ♣s rété ♦♠

♣♦rt♠♥t s②stè♠ ♥ t tst♦♥ trs ♦♥t♦♥s q♦♥qs rt été ♣rt♠♥t

♣♦ss t♥t qs s♦♥t ér♦ss♥ts t qs ♣r♠tt♥t r♠♥r s②stè♠ à éqr

Pr rs ♥tr♦t♦♥ ♥ ♠♦rtss♠♥t st ♥éssr ♣♦r ♦♥rr rs ♥ s♦t♦♥

q s♦t t②♣ ♠♦rtss♠♥t ♦s ♦♥ ♥tr♦t s ♦rs s♣♣é♠♥trs ♥s ♠♦è

q ♥♦♥t ♥ ♥tr♣rétt♦♥ ♣②sq st ♥q♠♥t ♥ st ♥♠érq ♣♦r ♠♥r

s ♦st♦♥s s②stè♠

♥♦♥s q ♥s ♣♣t♦♥ éqt♦♥ r ♥ r♦tt♦♥ ♠♦♠♥t ♥rt tsé ♥

sttq ♥s ♦ ❬❪ ♣♦r s ♦s rs st ♥ ♠♦♠♥t ♥rt ♠♦②♥ ♣♣qé ♣♦r

s tr♦s rt♦♥s r♦tt♦♥ st éq♥t à r q ♦r♠ é♦♠étrq ♦ st ♥

s♣èr

♣♦♥t é♦♠étrq st♦♥ s ♦♥♥ttés st ♥ ♣r♦è♠ ss③ ♦♠♣① ê♠

s ♠ét♦ ♣♥ ♦♠♠♥ ♣r♠t ♠♥r ♥♦♠r ♦♣ért♦♥s à r ♣r♦ér

st♠♥t ♣♥ ♦♠♠♥ st ss③ ♦♠♣qé t ♥ésst ♣r♦s ♥tr♦t♦♥ ♦♥ts

♦rrtrs ♠♣rqs ♥ ♦tr ♣♦str q s ♦s ♣♥t s♥tr♣é♥étrr st ♥ ♠♦②♥ r♥r

♦♠♣t é♦r♠té s ♦♥tts ♦t♦s ♦rsq s ♦rs ♥♦r♠s ♦♥tts s♦♥t très

éés ♥tr♣é♥étrt♦♥ ♣t ♥r très r♥ ♣♦r êtr ♣t t ♦t êtr rrêté

♣♦r ♥tr♦r s ♦rrt♦♥s ♦♠♠ ♣r ①♠♣ ♠♣♦sr ♥ rté ♥♦r♠ ♣s éé ♣♦r s

♦♥ts ♥ ❬❪

♥♥ t♠♣s ♣t êtr rt♠♥t éé t ♠♥t ♦♠♣①té ♠♦è


srt♦t s s ♣r♦♣rétés ♥♦♥ ♥érs s♦♥t tsés s ♦♥♥és sr rtrt♦♥ ét♥t s♦♥t ♣

♣r♦①♠és s réstts ①ts ♥ s♦♥t ♣s r♥ts st ♦♥ ♥éssr r ♣srs s♠t♦♥s

♣♦r rér ♥ ♥rtt q ♠♥t ♥♦r ♣s t♠♣s

♣♣r♦s é♥rétqs

ét♦ ♥②s s é♦r♠t♦♥s s♦♥t♥s

♠ét♦ s♦♥t♥♦s ♦r♠t♦♥ ♥②ss st ssé ♥s té♦r s ♠é

t♦s s é♠♥ts srts ts♥t ♥ ♣♣r♦ ♠♣t tt ♠ét♦ ♣r♠t ♠♦ést♦♥

♣r♦è♠s s♦♥t♥s ♣r ♥ ♣♣r♦ é♥rétq ❯♥ ♥ré♠♥t s ♣s t♠♣s

♦rrs♣♦♥♥t ① ♥ré♠♥ts r♠♥t st tsé ♥s s s s♦t♦♥s sttqs ♦ ②

♥♠qs stté ♥ ss♠ ♦s r♦① ♥trss♥t ♥tr ① ♣t êtr été ♥

s♣♣♦s♥t ♥ r♦ é♦r♠ ♦s ♥♦s ♥térss♦♥s é♦♣♣♠♥t ♠ét♦ ♥

❬❪ t ❬❪

s éqt♦♥s éqr s♦♥t érés ♣r ♠♥♠st♦♥ é♥r ♣♦t♥t s②stè♠

♦s tt é♥r st s♦♠♠t♦♥ s é♥rs ♣♦t♥ts s♥ts é♥r é♦r♠t♦♥ ♣r♦

t ♣r s ♦♥tr♥ts éstqs é♥r ♣♦t♥t s ♦♥tr♥ts ♥ts q s♦♥t s ♦♥tr♥ts

♦rrs♣♦♥♥t ② ♣réé♥t s ♦rs ♦rs ♦♠ ♣♦♥ts ♥rt é♥r

♣♦t♥t ♣r♦♥♥t ♥ rss♦rt à rté éé ss♦é à ♥ ♣♦♥t ① t é♥r é♦r♠t♦♥

ss♦é ① ♦♥tts ♥tr s ♦s ♥ t ♦♥ ss♦ à ♥ ♦♥tt t②♣ ♥÷ ♦ ♥÷♥÷

♦ t♦t ♦♠♥s♦♥ s t②♣s ♦♥tt ♥ rss♦rt ♣♦ssé♥t ♥ rté ♥♦r♠ t ♥ rté

t♥♥t rtèr ♣stté ♥st ♣s é♣ssé ♦♥ é♥r é♦r♠t♦♥ ss♦é

à rt♦♥ ♥♦r♠ t t♥♥t rtèr st tt♥t ♥ ss♠♥t st s♣♣♦sé ♦r

♦r r♦tt♠♥t st ♦rs é ♥s q é♥r ♣♦t♥t ♦rrs♣♦♥♥t ♥ ♦♥sér♥t q

st ♥ ♦r ♣♦♥t

s♦t♦♥ s②stè♠ éqt♦♥s éqr st ♦♥tr♥t ♣r ♥ s②stè♠ ♥éqt♦♥s ss♦és

à ♥é♠tq s ♦s ♣s ♣é♥étrt♦♥ ♥tr s ♦s t ♣s trt♦♥ ♥ ♣s rtèr

r♦tt♠♥t ♦♦♠ ♦t êtr rs♣té s t ç♦♥ ♥ré♠♥t q ♣s

t♠♣s s é♣♠♥ts s♦♥t és ♣r rés♦t♦♥ s éqt♦♥s éqr s ♦♥t♦♥s és

à ♥é♠tq t r♦tt♠♥t ♥ s♦♥t ♣s ststs ①t♦♥ rt♥s ♣♦♥ts st ♠♣♦sé

t ♥ ♥♦ s②stè♠ éqt♦♥s éqr st ♦r♠é ♣r♦sss st ré♣été ç♦♥ tért

sqà rrr à stsr s rtèrs ♠♣♦sés ♦r r

♠ét♦ ts ♥ ①♣rss♦♥ ♣♦②♥♦♠ ♣r♠r ♦rr ♣♦r ♦r♠r ♦♥t♦♥

é♣♠♥t s ♦s ♥ s♣♣♦s♥t q s é♣♠♥ts ♥ré♠♥t① s♦♥t ss③ ♣tts Pr

♦♥séq♥t s é♦r♠t♦♥s t s ♦♥tr♥ts s♦♥t ♥♦r♠s ♥ ♥ ♦ ♦♥♥é t

❬❪ st ♦♥ r♣rés♥tr s rs ♦♥t♦♥s ♥ s♦trr♥ s é♦♣♣♠♥ts ré♥ts

♦♥t ♥tr♦t s ♦r♠t♦♥s ♦♥t♦♥ é♣♠♥t ♦rr s♣érr ②♥ t

❬❪ ♠s s♣♣♦s ♥ t♠♣s ♣s éé

♠ét♦ ♣♥ ♦♠♠♥ st tsé ♥ ♣♦r étt♦♥ s ♦♥tts t ❬❪

♥ ❬❪ s ♦♠♣t♦♥s q ② s♦♥t ss♦és s♦♥t ♦rs s ♠ê♠s q s ♥s

♠ét♦ ♥s s ♦♥tts ♦♥r♥♥t ♥ ♣♦♥t ♦ s ♦♠♥s♦♥s ♦♥♥♥t

s ♦♥tts ôté t ♣♥ ss♠♥t ♥st ♣s ♣♥ ♦♠♠♥ ♦♠♠ ♣♦r

♠ét♦ ♠s ♣♥ ♦♥♦♥ P♦r s trs s ♦♥tt ♣♦♥t♣♦♥t

♣♦♥tôté t ôtéôté ♣♥ ♦♠♠♥ st ♣♥ ss♠♥t ♦rsq ♥ ♥ ♦♥tt

♣♦♥t ♣♦♥t é♣ss ♥ rss♦rt ♥ rté ♦♥♥é st ♣♣qé ♥♦r♠♠♥t à

P ❯P

r ②s térts ♣♦r ♥ ♣s t♠♣s ♦♥♥é ♥ré♠♥t r♠♥t ♥s ♠ét♦

é♥r ss♦é à rss♦rt st é t ♠♥♠sé st♥ ♥tr ♣♦♥t t ♦t

êtr ♥ ♣rès ♥ré♠♥t é♣♠♥t ♠ê♠ ♣r♥♣ st ♣♣qé ♣♦r s trs t②♣s

♦♥tt ♥ ts♥t st♥ ♣r r♣♣♦rt ♣♥ ♦♠♠♥

Pr ♦♥séq♥t s rtés ♥♦r♠ t t♥♥t ss♦és ♦♥tt s♦♥t ♠♣♦sés ♣♦r s♠r

étt ♥♦♥ ss♠♥t t ♥♦♥ ♣é♥étrt♦♥ ♥tr s ♦s ♠s ♥ s♦♥t ♣s r♣rés♥tts s

rtés rés s ♦♥ts r♦① ♥ ♣s t♥ ♥st ♣s ♥s ♥s ♠♦è

♠ét♦s s ♥ts ♣r r♣♣♦rt à ♠ét♦ s é♠♥ts st♥ts ♣rès ♥

❬❪ s ♣s rt♠♥t ♣s éés ♥ ♥tért♦♥ ♥②tq s ♠trs rté s

éé♠♥ts t ♦♥r♥ tt♥t ♣♦r s s qs sttqs s♥s tst♦♥ ①ss s ②s

ré ss ♥ts r ♥♦♥é♥♥t t♠♣s éé ♥ ♠♦è é♠♥ts

srts srt♦t ♦rsq é♦♠étr ♣r♦è♠ st ♦♠♣① t s ♦♥ ♦♥sèr s é♦r♠t♦♥s

♥♦♥ ♥♦r♠s ♥ q ♦

♥♠♥t ♥ q ♠ét♦ t été tsté t é ①t♥s♠♥t ♣♦r s ♠♦ès ♥

♥ ♥ ♦♦♥ ❬❪ s t♦♥s ♥ s♦♥t ♠tés à qqs s s♠♣és

s♦♥t ♥ ②♥♠q ♥s ❬❪ ♣♣q ♠ét♦ ♣♦r s t t ss♠♥t

♥ ♦ ♥ ♦♥sér♥t s ♥s r♦tt♠♥t ♥s t ♥ ts♥t s éqt♦♥s ②♥♠q

♣♦r t♦♥ trs ①♠♣s ②♥♠qs ss♠♥t ♥ ♦ ♦♥ ♥ ♣♥ ♠♦♠♥t

♥ ♦ ♣♦sé sr ♥ ♦♥t♦♥ q st ♥ éért♦♥ t ♦s♦♥ ♣srs ♦s ♦♥t été

ss és ♣r t ❬❪ s ♦♠♣rs♦♥s s tsts ♦rt♦r ♦♥r♥♥t

stté ♥ ♦ s♦é ❨♥ ❬❪ ♦♥t ♠♦♥tré s ♠ê♠s ♠♦s ♠♦♠♥ts s ♣♦r


t♦rs♦♥ ♠s ♥ ♠sr q♥ttt ♠♦♠♥t ♥ été t ♥♦tr ♦♥♥ss♥ ♥

t♦♥ ♣♦r ♥ ♠♦è ♦♠♣r♥♥t ♣srs ♦s t♦r ♥ té s♦trr♥

♥ été ♥tr♣rs ♣♦r s s r♠♥t sttq

ét♦ ♦

♠ét♦ ♦ ♦r♥ ❬❪ r ❬❪ r ❬❪ ♣r♠t

♠♦ésr ♥ ss♠ ♦s rs s♦♠s à ♥ r♠♥t sttq ♣rs ♥ ♦♠♣t

r t♦♥ ré♣r♦q ♣r♦ér tsé st ♥ ♣r♦ér sttq s ♦s ♥trss♥t ♥tr

① à éé♠♥ts ♦♥ts ♦sés ♥ s ♥trs s ♦s ♦♠♣♦rt♠♥t ♠é♥qs

ss♦és ① ♦♥ts ♣r♠tt♥t ér s ♦rts ♥ ♦♥t♦♥ s é♣♠♥ts rts ♥tr s ♦s

t st tr♦r ♠♣ é♣♠♥ts q ér éqr s②stè♠ ♦s ♠♣

é♣♠♥ts ♦t êtr ♥é♠tq♠♥t ♠ss t s ♥ ♣♣q♥t ♣r♥♣ ♠♥♠♠

é♥r ♣♦t♥t t♦t tt é♥r ♣♦t♥t st s♦♠♠ é♥r é♦r♠t♦♥

strtr é♥r é♦r♠t♦♥ s ♦♥ts ♥s s ♦ù r♦ st r t é♥r

♣♦t♥t s ♦r ①térrs t s ♦rs ♦♠qs ♣r♦sss s t ♣r ♥ré♠♥ts

r♠♥t ①térr q ét♣ ♥ré♠♥t é♣♠♥t q r♠è♥ s②stè♠ à étt

éqr st rré ❯♥ ♣r♦ér tért ♣r ♠♦t♦♥ sss ♠tr rté

♦ st tsé ♣♦r sr♥r s ♣r♦è♠s ♥♦♥ ♥érté é♦♠étrqs t ♠é♥qs

♥s rs♦♥ ♦r♥ ♠ét♦ ❬ ❪ ♦♥ é♦r♠t♦♥ ♠♦②♥♥ ♦♥t à

q ♥ré♠♥t r♠♥t t ♦♥ ♠♣ ♦♥tr♥ts st ♥♦r♠ ♥ ♥ ♦♥t

♦♥♥é s trs é♣♠♥t s♦♥t és ç♦♥ à r♠♥r ♦ à éqr ♠s ♣sq

s ♦♥tr♥ts s♦♥t ♥♦r♠s sr s s ré s ♠♦♠♥ts s♣♣é♠♥trs rts ♥s

♥ré♠♥t s♥t ♥ ♣rt ♠♣ é♣♠♥t ♦♥tr ♦♥ à ♥♥r éséqr

♥t ♣r tt ♥♦r♠st♦♥ s ♦♥tr♥ts s ♠♦♠♥ts réss ♣♥t s♠r ♦rs

s ét♣s t r♥r ♦♥r♥ s②stè♠ à tt♥r ♥ ♦tr ♦♥t ss♦é à

♥tr ① ♦s ♦♥♥és st t♦♦rs ♣♦rté ♣r ♥ s ① ♦s ♦① ♦ ♥ qst♦♥

é♣♥ ♠♥èr ♥♠ér♦tr s ♦s ♥s ♠ss tt é♥t♦♥ ♥ sr ♠♦♠♥t

♦ t sr ♠♦ést♦♥ r♣tr ♥ t ♠♦♠♥t s ♦s t ♣stt♦♥ s

♦♥tr♥ts é♣♥♥t s ♦♥tr♥ts ♥♦r♠s t t♥♥ts ♥ ♥tr ♦♥

rt♦♥ ♦s ♦♥t

♥s rs♦♥ ♠é♦ré ♦ ❬❪ ♠♣ é♦r♠t♦♥ ♥ré♠♥t ♥♦r♠ st r♠

♣é ♣r é♣♠♥t rt t♦t ♥tr s s s ♦s ♥ ♥trt♦♥ ♥s s ♦rts

♦♥tt s♦♥t éés ♥ t♥♥t ♦♠♣t s ♦♥tr♥ts ♦s sr s ♦♥ts ♥ésst sr♣

t♦♥ à q ét♣ é♣♠♥t t♦t s ♦s ♣♦r ♦r ès é♣♠♥t rt

t♦t ① ♥trs ❯♥ ré rté st ♦té ♦♥t q st ♣♦ssté r♦tt♦♥ t♦r

♥♦r♠ ♦♥t ♥ ♣s s ♦rts ♦♥tt és t♥♥♥t ♦♠♣t éqr s ♠♦♠♥ts

① ♥trs rté s ♦s ❯♥ tr ♠♦t♦♥ ♦♥r♥ ♣♦st♦♥ ♦♥t ♥s ♥♦

rs♦♥ ♦♥t ♣ss ♣r ♠ ♠♣ é♣♠♥t rt s s ♥é♣♥♥

♥♠ér♦tt♦♥ s s

s ♠é♦rt♦♥s r♥♥t t♠♣s ♣s éé t ♦♥r♥ ♥st ♣s s②sté♠tq à

♥ st é à ①st♥ ♥ s♦t♦♥ ♥é♠tq ♣♣r♦ ♣♦ssè é♠♥t

♣srs ♠tt♦♥s t♥ ♥st ♣s ♣rs ♥ ♦♠♣t ♦rs q ♣t ♦r ♥ rô étr♠♥♥t

♥s stté s ♦s é♥t♦♥ s ♦♥tts st très s♠♣st s ♦♥tts t②♣ s♦♠♠t

s♦♠♠t ♥①st♥t ♣s ♣r♦sss ♣t ♥ ♣s ♦♥rr ♦rsq s ♦s s s

P ❯P

très ♣tts s tr♦♥t ♥s ♠♦è t qs sss♥t ♥ ♠♦♠♥t r♦tt♦♥ ♥ ♦tr

étt♦♥ ♥♦① ♦♥tts ♥st ♣s ♣rs ♥ ♦♠♣t ♥s ♠ét♦

Pr rs s♠♥t tr♠ ♣r♠r ♦rr é♦r♠t♦♥ ♣r r♦tt♦♥ ♣r st rt♥

♥s ♦r♠t♦♥ ♠tr é♦r♠t♦♥ q ♣r♠t ♣ss ♥ ét♣ à tr

♣r♦t sss s ♠trs ♥♦♥ ♦rt♦♦♥s ♣♦rrt ♠r s rrrs sr é♣♠♥t s

s♦♠♠ts ♦ t ♦♥ ♥ rt♥ ç♦♥ ♥r ♥ é♦r♠t♦♥ ♦ ❯♥ ç♦♥ é♠♥r

s rrrs st ssttr ♠tr é♦r♠t♦♥ ♣r ♥ ♠tr ♦rt♦♦♥ q s♦t ♣s

♣r♦ ♣♦ss ♦t♦s tt ♦rrt♦♥ ♦♠♣q ♣r♦ér ♥♦r ♣s

♦♥s♦♥

♦s ♦♥s ♠♦♥tré s tés ss♦és à tst♦♥ s ♠ét♦s ♥♠érqs ♣♦r

étt éqr ♥ ♥s♠ ♦s ♥ ♣r♥♥t ♥ ♦♠♣t rs ♥trt♦♥s st ss♥

t♠♥t s ♠ét♦s s é♠♥ts srts ♦♣t♥t s ♦r♠t♦♥s sttqs ♦ ②♥♠qs

♥é♣♥♠♠♥t t q s ♣r♦érs ♣♥t êtr ♦♥tsts srt♦t ♥ ♣

♣r♦ ②♥♠q t t étr ♣srs ♦s ♥ ♠ê♠ t♠♣s ♣rés♥t ♣srs ♠tt♦♥s

♦♠♠♥s à t♦ts s ♠ét♦s

• t♠♣s très éé srt♦t ♦rsq s ♥♦♥ ♥értés s♦♥t ♥tr♦ts

• té st♦♥ s ♦♥tts srt♦t ♣♦r s t②♣s s♣é① ♦♥tt ♦♠♠ s♦♠♠t

s♦♠♠t t ôtés♦♠♠t

• ♠s r♣rés♥tt♦♥ s ♦♥tr♥ts sr s s s ♦s rs

• ♥tr♦t♦♥ ♦♥ts ♦rrtrs q ♦♥r♥♥t s♦t ♣♦st♦♥ ♦r ♦♥tt s♦t

r♦tt♦♥ ♦ ♦rsq st ①♣r♠é ♣r ♥ ♦r♠t♦♥ ♣r♠r ♦rr

rès s♦♥t s ♦♥♥és é♦♠étrqs s s♦♥t♥tés s ♣r♦♣rétés ♠é♥qs ♠ été

t s ♦♥t♦♥s ♥ts ♥ s♦♥t ♣s ♦♥♥s ç♦♥ ①t t ♦♥ r♦rt à s ♣♣r♦①♠t♦♥s

♥s ♥ ♠ r♦① rtré ♥ s♦trr♥ s ♣♣r♦①♠t♦♥s ♦♥r♥♥t srt♦t s s♦♥t♥

tés Pr ♦♥séq♥t ♠ê♠ s ♠ét♦ tsé st ①t ét♦♥ stté ♥ st ♣s

♥éssr♠♥t P♦r ♦r s réstts s ♥rtt s ♦♥♥és ♥ésst r ♣srs

s q ♦rt ♥♦r ♣s ♣r♦ér

P♦r ♥ ♥é♥r q ♦rt ♦r ♥ st♠t♦♥ r♣ stté ♥ s♠♣t♦♥

♣r♦è♠ sèr êtr ♥éssr à ♦♥t♦♥ q réstt s♦t sértr ♥♦t♦♥ ♦ s♦é

été ♦♥ç ♥s t t ♦♥sst à étr ♥ s ♦ ♥é♣♥♠♠♥t s trs Psrs

♠ét♦s s♦♥t ssés ♥s tt té♦r t r♦♥t ♦t ♣rr♣ s♥t


♣r♦é♠tq é♥ér é♥q s ♦s ♠♦♠♥t sttq ♦ ②♥♠q ♥

♥s♠ s♦s rs ♦ é♦r♠s s ♦s ré♦♦qs ♦♠♣①s ♥♦♥ s♠♥t ♣♦r s

♥trt♦♥s ♦♥ts ♠s ss ♣♦r s♦ st tr♦♣ é♥ér ♣♦r ré♣♦♥r à rt♥s ♠♥s

♣rtqs s tstrs ♥♦t♦♥ ♠♥s♦♥♥♠♥t ♥ é♥t s♦tè♥♠♥t s♥ ①t

♠♥t q ♦♥♣tr ♦r ♥ t ♣s ♠♦♠♥ts rts très ♠♣♦rt♥ts ♥tr s

♦s st à rét♦♥ s♦trr♥ ♥ r ♥s ♣r♦è♠ é♥ér ♠é♥q s ♦s

♥♦s r♦♥s ♥ s♦t♦♥ ♣r♦ éqr ♥t ♣rtrt♦♥ st tt ♣r♦♣rété

♣r♦è♠ ♣♦sé q st ♠① ①st♥ s ♠ét♦s ♦s s♦és q ♦♥sst♥t ♥s r

♣r♥♣ é♥ér ♦♠♠♥ à ①♣♦tr t q s♦t♦♥ rré sé ♣r ♥str st t


q s é♣♠♥ts s ♦s à ♣rtr ♥ étt réér♥ s♦♥t très s à é étr

s ♦s ♥ ♣r ♥ t ♣♥♥t q ♦♥ s♥térss à ♥ ♦ t s♦é ♦♥ è ♠♦♠♥t s

trs Pr rs ①♣ér♥ ré ♦ s s♠t♦♥s ♥♠érqs ♣r♠t ♠tr ét

s ♦s à ① q s♦♥t stés à ♣r♦ s s s♦trr♥s s♦t ♥♠♥t s♦t ♥ s

rr♦♣♥t ♣♦r ♦t♥r ♥ ♦ ♦♠ ♠①♠ ♥ ♥s♠ ♦s q st ♥ ♠♦♠♥t

♦r♣s s♦ ♥s t♦s s s ♦♥ s r♠è♥ à ét ♠♦♠♥t t éqr ♥ s♦

r ♥ ♦♥tt ♥ s♦ ♠♠♦

♥étr♠♥t♦♥ ♣r♦è♠ ♣r♦è♠ stté ♥ ♦ s♦é st ♥étr♠♥é s ♦♥

ts ♥q♠♥t s éqt♦♥s éqr ♦♥sér♦♥s ♥ ♦ ♣♦②érq sté à sr ♥

♦rtr s♦trr♥ ②♥t n s ♥ ♦♥tt ♠ss r♦① t m s rs n ≥ 3

t m ≥ 1 ♣rès ①t♦♥ ♦ st s♦♠s à s♦♥ ♣♦s à trs é♥ts ♦rs ①térrs

♦♥♥s t ① ♦♥tr♥ts ♥♦♥♥s ss♥t sr s s ♦♥tt P♦r ♣♦♦r ér stté

♦ t ♦♥♥tr s ♦♥tr♥ts ♣♣rt s ♠ét♦s ♦s s♦és ♦♥sèr♥t ♥

s ♦r ♥♦♥♥ ♣♦r q ♥ ♦♥tt ♠ss s s rs ♥ s♦♥t s♦♠ss à

♥ ♦♥tr♥t s s ♥ s♦tè♥♠♥t ② st ♣♣qé ♥s s♣ tr♠♥s♦♥♥ ♥♦♠r

t♦t ♥♦♥♥s séè ♦♥ à 3n ♦♠♣♦s♥ts ♣♦r q tr ♦r

s éqt♦♥s éqr ♥ ss♥t ♣s ♣♦r r ♥étr♠♥t♦♥ ♥ t ♥♦s s♣♦s♦♥s

♥ s②stè♠ éqt♦♥s éqt♦♥s éqr ♣♦r s ♦rs t éqt♦♥s éqr ♣♦r s

♠♦♠♥ts ♦rs q ♥♦♠r ♥♦♥♥s séè ♠♦♥s à st ♥s s ♥♦♥♥s

♦ tr♠♥s♦♥♥ ♣s s♠♣ ♥ tétrèr

♥s s ♦ù ♦♥ s ♠t à tst♦♥ s éqt♦♥s éqr s s♠♣t♦♥s s♣♣é

♠♥trs s♠♣♦s♥t ♣♦r r tt ♥étr♠♥t♦♥ s ♣♣r♦s s♣♦♥s ♦s s♦és q

♦♣t♥t s♦♥t ♥ à éqr ♠t ♣r♠tt♥t ♦♥t♦r♥r tt ♥étr♠♥t♦♥

♣srs ç♦♥ ér♥ts q ♥ s♦♥t ♣s rs ss③ ♦♥♥♥ts

♥s ♠ét♦ s ♦s és ♦♦♠♥ t ❬❪ ♦♥ ♠t ♥♦♠r trs

♦rs ♥♦♥♥s à ① ♥♦♥♥s P♦r ♥②s ♠é♥q st ♣rééé ♣r ♥ ♥②s

♥é♠tq q ♣r♠t étr♠♥r à ♣rtr é♦♠étr ♦ s♦♥ ♠♦ ♠♦♠♥t ♥

s♣♣♦s q s ♦rs s♦♥t ♥s sr s s q s ét♥t t q ss♠♥t ♦ ♣t ♦r

sr ♥ ♠①♠♠ ① s ♥s tt ♠ét♦ s ♦♥tr♥ts ♥ts ♥♥tr♥♥♥t ♣s

♥s ét♦♥ stté ♦

trs ♠ét♦s éqr ♠t ♣♥t êtr ssés ♥s té♦r s ♠ét♦s étr

♠♥sts r s s♣♣♦s♥t q s ♦♥tr♥ts sr s s s ♦s ♣♥t êtr st♠és ♣rès

①t♦♥ ♥ é♥ér ♦♥ ts ♥ ♣rt ♥♦r♠t♦♥ ♣r♦♥♥t ré♣rtt♦♥

s ♦♥tr♥ts t♦r ①t♦♥ ♥ ♠ ♦♥t♥ ♥s ♠ét♦ r② t r♦♥

❬❪ s♦♥t s ♦♥tr♥ts ♥♦r♠s q♦♥ ts t ♥s ♠ét♦ ♦ ♥ t

♥ ❬❪ s♦♥t s ♦♥tr♥ts ♦r③♦♥ts ♣rès ♦♥ s trs ♦♠♣♦s♥ts

ç♦♥ à rs♣tr éqr ♦ ♦ ç♦♥ à tt♥r éqr ♠t ♥ ♦t♥t ♥ ♦r

rr♠♥t

trs ♠ét♦s q♦♥ és♥r ♣r ♠ét♦s ①t♦♥ ts♥t s éqt♦♥s ♦♠

♣♦rt♠♥t s ♦♥ts ♣♦r r ♥étr♠♥t♦♥ ♣r♠t ♥tr♦r t s ♦♥tr♥ts ♥

st sr ♦ s ♣♣r♦s rst♥t t♦t♦s ♠tés à s s ét très s♠♣s ♦s t♦t

①t♦♥ s♦♠s à s ♠♦♠♥ts tr♥st♦♥ ♣s s s♦♥t♥tés ♥ s♦♥t s♦tés

q ♣r ♣♦s t ♥♦♥ ♣s ♣r ♣r♦sss ①t♦♥

♥s t♦ts s ♣♣r♦s ♦♥ ♥ s ♦r ♣r ♦♥♥ss♥ tt ♦r ♥

P ❯P

♣r♠t ♣s r s ♦♥tr♥ts ♥ t♦t ♣♦♥t t ♦♥ ér étt stté ♠♥èr

♦rrt ♣rs ♥ ♦♠♣t ♥ s ♦r ♣r s♣♣♦s q s ♦♥tr♥ts s♦♥t ♥♦r♠s

♥ étt éqr ♠t s trt ♦♥ ♣r ♣stt♦♥ ♥tèr ♦ ♥s

rt♥s ♣♣r♦s t♦ts s s ♦ ét♦♥ stté s t ♣r ♦♠♣rs♦♥

♣♦s ♦ à ♦r rr♠♥t q r♠♥r à éqr ♠t ♦ ♥ ♣r ♦♠♣rs♦♥

♦r t♥♥t t sr ♥ à ♦rrs♣♦♥♥t à ♣stt♦♥ ♥ ♦tr s

♣♣r♦s ♥ s♥térss♥t ♣s ♥ é♥ér à érr éqr s ♠♦♠♥ts

st ♣rr♣ ①♣♦s s ér♥ts ♠ét♦s ♦s s♦és s♣♦♥s ♥s tté

rtr ♥ ♠tt♥t ♥t sr rs ér♥ts t ♠t♣s ♠tt♦♥s ♠ré t♦s s ♦rts q ♦♥t

été ♦r♥s ♣♦r s ♠é♦rr

ét♦ s ♦s és

ét♦ ssq s ♦s és

s ♠ét♦s é♦♠étrqs à éqr ♠t ♦♥t été é♦♣♣és ès s ♥♥és ♣♦r étr

stté s ts r♦① ♥tr♣tés ♣r s s♦♥t♥tés ♦ t r② ❬❪ ♦r♠

é♦♠étrq s ♦s étt ♠té à s tétrèrs ♦ à s èrs ♥ s r t

♣♦ssté ssr sr ♥ ♦ ① s

tt té♦r été ét♥ ♣s tr ♥s s ♥♥és ♣♦r ♥②sr ss s ♦s ♣♦②érqs

♥s s ♠① s♦trr♥s s ♦s ♣♥t ♦r ♥ ♥♦♠r rtrr s ♦♥tt t

s rs ♣♦ssté ♦r s s ♥tr♥ts ♦r s ♦r♠s ♥♦♥ ♥tèr♠♥t ♦♥①s

❲rrt♦♥ ❬❪ ♦♦♠♥ t ❬❪ té♦r s ♦s és ♥♣♣♦rt ré♠♥t

♥ ♥♥♦t♦♥ ♦♥♠♥t à ♥②s ssq éqr ♠t ♠s s♦♥ ♦r♥té ♥t

s ♦r♠t♦♥ ♠té♠tq t s ♣té à étr ♣srs ♦♠♥s♦♥s ♦♥ts ç♦♥

s♠♣

❯♥ ♦ é és♥ ♥ ♥s♠ ♦s q st t q s st st ♦rs rst

♠ss st ♦r r ♥ s♣♣♦s ♦♥ q ♥stté ♠ss r♦s ♦♠♠♥ ♣r

♠♦♠♥t ♦ é sté à sr ①t♦♥ t ♦♦♠♥ ❬❪ tr♠

♣s s♣éq♠♥t és♥ t♦t ♦ ♥ ♦♥tt ①t♦♥ q ♣rés♥t ♥ ♥stté

r ①♠♣ ♥ ♦ é ③♦♥ ré ♣rès ♦♦♠♥ ❬❪

♠ét♦ ♥②s stté s ♦s é♦♣♣é ♣r ♦♦♠♥ t ❬❪ t ❲rrt♦♥

❬❪ st é♥ à ♦r♥ ♣r té♦r s ♦s ♦ t♦r② ♠s ♣♦r st♥r s

trs ♠ét♦s ♦s s♦és ♥♦s és♥♦♥s ♥s tt tès ♣r té♦r s ♦s és

été ♦r♠é t♦r♠♥t ♣r ❲rrt♦♥ ❬❪ t ♥ ts♥t ♣r♦t♦♥ stéré♦r♣q ♣r

♦♦♠♥ t ❬❪ stté ♦ st été ♥ ♦♥sér♥t ♥q♠♥t s ♦rs ts

ss♥t sr ♦ ♣♦s ♦rs à s ♣rss♦♥s ♦rs ②♥♠qs ♦rs s♦tè♥♠♥t


t s ♦rs ♣sss ♦rs s♦tè♥♠♥t ♣ss s rt♦♥s s s♦♥t♥tés t s s

s ①t♦♥

ét st sé é♥ér♠♥t ♥ tr♦s ét♣s ♥ ♣r♠èr ét♣ ♣r♠t étr♠♥r s

♦ st ♠♦ ♥ ①è♠ ét♣ ♣r♠t étr♠♥r s♦♥ ♠♦ ♠♦♠♥t t ♥ tr♦sè♠

ét♣ ♣r♠t ér s stté

♥s rs♦♥ ♥t tt ♠ét♦ s ♠♦♠♥ts s♦♥t ♠tés à tr♥st♦♥ t t♦t

♣♦ssté r♦tt♦♥ st ♥♦ré s ♦♥tr♥ts ♥ st ♥ s♦♥t ♣s ♣rss ♥ ♦♠♣t ♥ s♣♣♦s♥t

q♦♥ st à ♣r♦♦♥r

é♥ért♦♥ s ♦s t ♦♠♥s♦♥s ♦♥ts ét stté ♥ ♦ ♣r ♠ét♦

s ♦s és st ♣♦ss s é♦♠étr ♦ st ♥ é♥ ♠s ss s ♦♥ s♣♦s ♥q

♠♥t s rt♦♥s s s♦♥t♥tés ss♣ts ♦r♠r ♦ s♥s s ♦♥♥és ♦♥r♥♥t r

♠♣♠♥t s♣éq ♦ r s♣♠♥t ♥s ♣r♠r s ♣srs ♠ét♦s ①st♥t ♣♦r

é♥ért♦♥ s ♦s ç♦♥ étr♠♥st ♦r ♥♥① ♣♦r s ♠ét♦s é♥ért♦♥ s

♦s ♥s ①è♠ s ♠ét♦ stéré♦r♣q ♦♦♠♥ t ❬❪ ♣r♠t ♥②sr

stté s♥s ♥ésstr é♥érr s ♦s

♦♦♠♥ t ♦♥t é♦♣♣é s ♥♦t♦♥s s♦ss♣s ♥ ♣♥ ♣②r♠s ♦♥ts

t ♣②r♠s ♦ q ♣r♠tt♥t ♥②sr ♣r s ♦s s♠♣s ts♥t ♣r♦t♦♥

stéré♦r♣q t♦s s ♦s q ♣♥t êtr ♦r♠és ♣r ♥ ♦♠♥s♦♥ ♦♥♥é ♦♥ts ♣♦♥t

♥trstr sr r

❯♥ ♣♥ ♦rrs♣♦♥♥t à ♥ s♦♥t♥té s s♣ ♥ ① s♦ss♣s s♦ss♣

s♣érr ♦♥t♥t ♥♦r♠ ♣♥ q ♦r♠ ♥ ♥ ♦r t♥q tsé

♦♥sst à é♣r s ♦♥ts ♣♦r qs ♣ss♥t ♣r ♥ s ♦r♥ ❯♥ ♣②r♠ ♦♥t JP

st ♥trst♦♥ ♥ ♦♠♥s♦♥ s♦ss♣s ♦♥ts ♣ss♥t ♣r ♥ ♠ê♠ ♣♦♥t P♦r ♥

♥♦♠r n ♦♥ts ①st ♦♥ 2n ♣②r♠s ♦♥ts ❯♥ ♣②r♠ ♦ BP st ♥trst♦♥

♣②r♠ ♦♥t JP ♠s♣ é♠té ♣r ①t♦♥ t ♦♥t♥♥t r♦ s

♣♥s ♦♥ts ♥s s♣ tr♠♥s♦♥♥ s ♣r♦tt♥t ♥ ♥ r ♣r ♣r♦t♦♥ stéré♦r♣q

♣r♦t♦♥ s t ♣r ♣♦♥t ♦ ♥érr s♣ s♣érr st r♣rés♥té ♣r ♥térr

r ♦rs q s♣ ♥érr s ♣r♦tt à ①térr r ét s ♥trst♦♥s rs

♣r♠t ssr ♥ s ♣②r♠s ♦♥ts ♦♥ tr♠♥♦♦ ♦♦♠♥ t ♦rs

és♥t♦♥ s ♣②r♠s ♦♥ts s♦ss♣ s♣érr ♥ ♣♥ i st és♥é ♣r s②♠♦

Ui ♦ ♣r ♥♦♠r t s♦s s♣ ♥érr st és♥é ♣r Li ♦ ♣r ♥♦♠r

r r♣rés♥t ♥ ①♠♣ ♣r♦t♦♥ stéré♦r♣q ♣②r♠s ♦♥ts ♦rrs

♣♦♥♥ts à ♥trst♦♥ s♦ss♣s tr♦s s♦♥t♥tés P P t P ♥ r♣rés♥t ss

♥ ♦ ♦rrs♣♦♥♥t à ♥ s ♣②r♠s ♦♥ts

s st♥s ♥tr s s♦♥t♥tés ♥♦♥t ♣s à êtr ♦♥♥s ♣sqs s♦♥t r♠♥és à ♦r♥

st ♥térêt ♣r♥♣ tt ♣♣r♦ t♦♣♦r♣q ♦♥ ♥ ♣s s♦♥ é♥érr ç♦♥

étr♠♥st s s♦♥t♥tés ♥s ♠ss r♦s ♣♦r r stté ♥ ♣s

♦rsq s st♥s ♥ s♦♥t ♣s ♦♥♥s ♦ù q ② s ♥rtts sr ♣♦st♦♥ s s♦♥t

♥tés tt t♥q ♣r♠t étr t♦s s ♦s ss♣ts êtr ♦r♠és ♣r ♥ ♦♠♥s♦♥

♦♥♥é ♦♥ts ♥trst♥t ♥ ♦♠♥s♦♥ ♦♥♥é srs rs ét s 2n ♣♦sstés st

s♣♣♦sé êtr ♣s sértr q ét s ♦s ♦r♠és ç♦♥ étr♠♥st ♣r s n ♦♥ts

❯♥ ♦s ♦ é♠té ♦♥ ♣t ♣♣qr ♥♠♣♦rt q ♠ét♦ ét stté s

① ♦♣ért♦♥s étr♠♥t♦♥ ♦ t ♥②s s♦♥ éqr s♦♥t t♦t♠♥t ♥é♣♥♥ts

s tr♦ q s trs q ♦♥t é ♥♦t♦♥ ♦ é ♦♥t ss ♣r♦♣♦sé ♥ t♥q

P ❯P

011

P1

P3

P2001

000 100

110

101

010

111

r Pr♦t♦♥ stéré♦r♣q tr♦s sérs s♦♥t♥tés t é♥t♦♥ s ér♥ts ♣②r♠s ♦♥ts P ♦ à r♦t st ♥ ①♠♣ ♦ ♦rrs♣♦♥♥t à ♣②r♠ ♦♥t ♥ ♣♦♥té ♦

♥②s stté q ♥♦s ♦♥s ♣♣é ♠ét♦ s ♦s és t q ♣ss ♣r tr♦s ét♣s

♣r♠èr ét♣ ♥②s ♠♦té st ♥é♣♥♥t ♦r t ss♥t sr ♦

P♦r ①è♠ ét♣ ♥②s ♥é♠tq st ♦♥♥tr rt♦♥ tt ♦r s

① ♣r♠èrs ét♣s s♦♥t r♠♥és à ♥ s ét♣ ♥s ♠ét♦ ❲rrt♦♥ ♥s

♦♥♥ss♥ ♠♥s♦♥ ♦ ♥st ♣s ♥éssr ♣♦r s ét♣s ♥②s stté

♠é♥q tr♦sè♠ ét♣ ♥ésst ♦♥♥tr ♣♦s ♦ ♣sq ♥tr♥t ♥s

♦r s♦tè♥♠♥t ♥ s♥ ♦♥♥és sr st♥ ♥tr s s♦♥t♥tés ♦

♦♠ ♠①♠ st é ♥ r♠♥♥t s s♦♥t♥tés ♣s r♥ ért st♥s ♥tr

s ♠s ç♦♥ à ♥trstr sr ①t♦♥ ♥ é♥ér ♦ ♠①♠ st ♠té à

♥ ♦r♠ ♣②r♠ t♦ts s s ♥ts à r♦ ♣ss♥t ♣r ♥ ♠ê♠ ♣♦♥t ❬❪ ♠s

rt♥s trs ♦♥t é♦♣♣é s ♣♣r♦s ♣♦r r ♦ ♠①♠ ♦r♠ ♥♦♥♣②r♠

♦♥③á③P♦ t ❬❪ ♥é♥③í③ t ❬❪

♥②s ♠♦té ❯♥ ♥②s ♠♦té ♣réè t♦t ét stté ❯♥ ♦ st

♠♦ s st ♣ ①r ♥ ♠♦♠♥t s♥s ♦♥sérr s ♦rs q s♦♥t ♣♣qés

♥ és♥♥t ♣r tr ~ni ♥♦r♠ ♥tr à i ré rs ♥térr ♦ ♥ ♦ st

♠♦ s ①st ♥ rt♦♥ ♠♦♠♥t ~s t q ∀i, ~ni.~s ≥ 0 ♥s ♥ s s♥t ♥q♠♥t

sr s rt♦♥s s s ♦ ♣r r♣♣♦rt à sr r ♣t êtr éré ♠♦ ♦ ♥♦♥

♥s r♥r s ♥ ♥②s s♣♣é♠♥tr ♥st ♥éssr t ♦ st éré st q

q s♦t ♦r q st ♣♣qé

♥t ♦♦♠♥ t ❬❪ ♥ ♦ st ♥ t ♠♦ s BP = ⊘ t JP 6= ⊘ r

str ♥ ♣♦r ① s♦♥t♥tés s ♣②r♠s ♦♥ts ♦rrs♣♦♥♥ts ♥trst♦♥

sr r ♣r♠t é♥r s ♣②r♠s ♦ ♥ ♦t♥t ♦rs ♥ ♦ ♥♦♥ ♠♦ t ♥

tr ♠♦

♦rsq t♦ts s ♦♠♥s♦♥s s s♦ss♣s ♦♥ts s♦♥t étés tt ♥②s ♣r♠t

rér ♥♦♠r ♣②r♠s ♦♥ts ♣♦r sqs ♦♥ t ♥ ét stté ♣s ♣♦ssé

P♦r s ♦s ♠♦s ♥étr♠♥t♦♥ s ♦rs rét♦♥ sr s s st é ♥ s♥t

ét ♥ ♥ ♥②s ♥é♠tq s ♥ ♥②s ♠é♥q

♥②s ♥é♠tq ♥②s ♥é♠tq ♣♦r t étr♠♥r rt♦♥ ♠♦♠♥t

♦ ♥ ♦♥sér♥t ♥q♠♥t s é♦♠étr t s ♦rs ts ss♥t sr ♦ ♥ és♥

♣r ~A rést♥t s ♦rs ts st t♦ts s ♦rs ♦♥♥s ss♥t sr ♦ t


r ①♠♣ ♥ ♥ ♦ ♥♦♥ ♠♦ t ♥ ♦ ♠♦

♣r ~P ♣♦s ♦ tr ~si st tr ♥tr ss♠♥t sr i t ~sij tr

♥tr ss♠♥t sr ♥trst♦♥ s s i t j

①st ♥q♠♥t tr♦s ♠♦s ♠♦♠♥t ♥ tr♥st♦♥ ♣♦sss strés ♥s r

r ♦s ♠♦♠♥t t ♦rs rét♦♥s ♣rès té♦r s ♦s és

s ♦♥t♦♥s rts à s ♠♦s s♦♥t ①♣♦sés ♣rès

• t r ♦ s♦è♠♥t é♦♠♥t

∀i, ~A.~ni > 0

s ~A. ~P > 0 ♦rrs♣♦♥ à t r t s ~A. ~P < 0 ♦rrs♣♦♥ à ♥ s♦è♠♥t

• ss♠♥t sr ♥ i~A.~ni ≤ 0

∀j 6= i, ~si.~nj > 0

• ss♠♥t sr ① s i t j

∀k 6= i et k 6= j, ~sij .~nk > 0

~si.~nj > 0

~sj .~ni > 0

• ♥ ♠♦♠♥t ♥s t♦s s s ♦ù s ♦♥t♦♥s ♣réé♥ts ♥ s♦♥t ♣s érés

♠♦♠♥t ♦ ♥st ♣s ♣♦ss t st éré êtr st s♥s ♦♥ ♦r à ♣ssr ♣r

♥②s ♠é♥q

♦t♦♥s q ♦♦♠♥ t ❬❪ ♦♥t é♦♣♣é é♠♥t s ♠ét♦s ♣r ♣r♦t♦♥ stéré♦r♣q

♣♦r étr♠♥r rt♦♥ ♠♦♠♥t

P ❯P

♥ s♣♣♦s♥t q s ♦rs rét♦♥ ss♥t ♥q♠♥t sr s s ss♠♥t t qs

s♦♥t ♥s sr s s q s ét♥t r♦ tt ♥②s ♥é♠tq ♣♦r réstt

rér ♥♦♠r ♥♦♥♥s ♥s ♣r♦è♠ t r♥r étr♠♥é

♥②s ♠é♥q tst♦♥ s éqt♦♥s éqr s ♦rs ♣r♠t r s ♦rs

rét♦♥ sr s s ♦♥tt st ♥st ♣♦ss ér ♥ tr sérté ♥

és♥ ♣r Ni ♦♠♣♦s♥t ♥♦r♠ ♦r rét♦♥ ss♥t sr i ♣♦st ♥ ♦♠

♣rss♦♥ t ♣r ~Ti tr ♦♠♣♦s♥t t♥♥t tt ♦r ♥ ①♣♦s ♣rès s ①♣rss♦♥s

s ♦rs rét♦♥ ♣♦r s ér♥ts ♠♦s ♠♦♠♥t

• t r ♦ s♦è♠♥t

∀i, Ni = 0 et Ti = 0

❯♥ ♦ ♥ t r st s♣♣♦sé s étr ♦♠♣èt♠♥t ♠ss r♦s s ♦rs ♥♦r♠s

♥ s ss s s♦♥t ♥s st é ♥st t s♦♥ ♦♥t sérté st ♥

• ss♠♥t sr ♥ i

Ni = − ~A.~ni

Ti =∥

∥

∥− ~A− (− ~A.~ni).~ni

∥

∥

∥, ♦ tr♠♥t, Ti = ~A.~si

=ciSi +Ni tanφi

Ti

♦ ss sr ♥ ♣r éqr ♦r rét♦♥ sr tt st(− ~A) ♥ ♥ ét

♦r ♥♦r♠ t t♥♥t ss♥t sr tt ♦ st é ♥st s ♦r t♥♥t

é♣ss rtèr tsé ♦♥t sérté st é ♥ ts♥t rtèr ♦r♦♦♠

ci ♦és♦♥ ♥ i φi ♥ r♦tt♠♥t t Si sr ♦♥séré

• ss♠♥t sr ① s i t j

Ni =−( ~A ∧ ~nj)(~ni ∧ ~nj)

||~ni ∧ ~nj ||

Nj =−( ~A ∧ ~ni)( ~nj ∧ ~ni)

||~ni ∧ ~nj ||

Tij = ~A.~sij

=ciSi + cjSj +Ni tan(φi) +Nj tan(φj)

Tij

♦ ss sr ① s s éqt♦♥s éqr s ♦rs ♥ ss♥t ♣s à s ss

♣♦r r s ♦rs rét♦♥ éqt♦♥s t ♥♦♥♥s ♥ ts ②♣♦tès s♣♣é♠♥tr

q t q s ♦rs t♥♥ts ♦♥t ♠ê♠ rt♦♥ q rt♦♥ ss♠♥t t ♦♥ r

à r s♦♠♠ s ♦rs t♥♥ts t ♥♦♥ ♣s s ① ♦rs ♥♠♥t ♥♦♠r

♥♦♥♥s st ♦rs rét à Ni Nj t Tij ♥ ♦♥sér♥t ① éqt♦♥s éqr ♥s

rt♦♥ ♣r♣♥r à ~sij t ~nj ♣s ♥s rt♦♥ ♣r♣♥r à ~sij t ~ni ♦♥ ♦t♥t

s ①♣rss♦♥s s ♦rs ♥♦r♠s t ♦r t♥♥t

P♦r s ér♥ts s ss♠♥t tr sérté ♣t êtr éé tr♠♥t ♥ s♣♣♦s♥t

q ♦r t♥♥t tt♥t éqr ♠t ♦♥ ♦r rr♠♥t Pl ♦rrs♣♦♥♥t


ré s♥t ~A ∥

∥

∥

~A∥

∥

∥<

∥

∥

∥

~Pl

∥

∥

∥ ♦rs ♦ st st ①♣rss♦♥ tr sérté st ♦rs

=

∥

∥

∥

~Pl

∥

∥

∥

∥

∥

∥

~A∥

∥

∥

♠rq sr ♥♦♥ ♣rs ♥ ♦♠♣t t♥ t♥ ♥st ♣s ♣rs ♥ ♦♠♣t

♥s ♠ét♦ ssq s ♦s és ♥s ♣rr♣ ♥♦s ♠♦♥tr♦♥s q ♦♥sért♦♥

♥ ♥ t♥ ♥ ♥♥ sr rt♦♥ ♠♦♠♥t t sr stté ♦

♥s s ss♠♥t sr ① s ♦♥ s♣♣♦s ♥s ♠ét♦ ssq éqr ♠t

q ♠♦♠♥t s♥t rt♦♥ ♥ ♥trst♦♥ s s ss♠♥t

st ♥ rété ♥ s♦t♦♥ ♣r♠ trs s♦t♦♥s ♣♦sss ♥ t s ♦♥ ♦♥sèr ♥ ♥

t♥ ♣♦r q i st ♣♦ss r ♥ tr rt♦♥ ♠♦♠♥t s♥t

♥ t ❬❪ t ♥ ❬❪ tt rt♦♥ s ♥ rés♦♥t s éqt♦♥s

s♥ts ♣♦r ♥ ss♠♥t sr s s ♥♦r♠s ♥térrs ~n1 t ~n2 t ♥ t♥ ψ1

t ψ2

~s.~n1 = sinψ1 , ~s.~n2 = sinψ2 et ‖~s‖ = 1

P♦r t♦t rt♦♥ ♠♦♠♥t ♣r♦è♠ ♣t êtr rés♦ ♥ ♦♥sér♥t q s ♦rs

t♥♥ts sr s s ss♠♥t ♦♥t ♠ê♠ rt♦♥ q ♣r♦t♦♥ tr é♣♠♥t

sr s s ♥ é♠♦♥tr q ♦♥t sérté st r♠♥t ♥♥é ♣r ♥ t♥

♦rsq ♦és♦♥ st ♥ r ♠♦♥tr ♣♦r ♥ ①♠♣ ♦ ss♥t sr ① s

é♦t♦♥ ♦♥t sérté ♥ ♦♥t♦♥ ♥ t♥ q st ♠ê♠ sr s ①

s

r Prs ♥ ♦♠♣t t♥ t ①♠♣ é♦t♦♥ tr sérté♥ ♦♥t♦♥ ♥ t♥ ♣rès ♥ ❬❪

P♦r ♥ ♦ ss♦é ♦ù ♥ t♥ st à s r ♠①♠ é à ♥

r♦tt♠♥t ♦♥t sérté st ♠①♠ ♥ t ♥ tr♠ ♥②s ♠t ♥ ❬❪

é♠♦♥tr q st ♥ ♦r♥ s♣érr s♦t♦♥ P♦r ♥ ♥ t♥ ♥ ♦♠♠

♥s s ♥②s ♦♥♥t♦♥♥ ♦♥t sérté st ♠♥♠ s♦t♦♥ s ♦s

és ♦♥♥ ♦♥ ♥ s♦t♦♥ ♣r ♦r♥ ♥érr ♣ss♠st

①st ♥ ♣♦stt ♣r♥♣ ♠①♠♠ ❬❪ q t q s ♠♦♠♥t

♦ st ♠♠♥♥t s ♦♥tr♥ts s ré♣rtss♥t ç♦♥ à é♦♣♣r ♠①♠♠ résst♥

ss♠♥t ♥s s ♠①♠♠ t♥ t s♦t♦♥ ♦r♥ s♣érr st

s♦t♦♥ ♦rrs♣♦♥♥t ♦ ♥♦r♠té ♠tér ss♦é ♦t♦s ①st ♥ s ♦♥trr ♣s

réq♥t q t q ss♠♥t ♦ s t ♥s ♥ ♥r♦♥♥♠♥t ♦♥tr♥ts q ♣rés♥t

P ❯P

♠♦♥s résst♥ ♥s s s♦t♦♥ ♦♥♥t♦♥♥ ♣r ♦r♥ ♥érr st s♦t♦♥

♦rrs♣♦♥♥t ♥♥ s ♦♥ ♦♥sèr t♥ ♦♠♠ ♥ ♣r♦♣rété ♠é♥q s♦♥t♥té

♣tôt q♥ ♦♥t♦♥ ♠é♥q ♥ s♦t♦♥ ♥tr♠ér ♣t êtr tr♦é ♥s s ♥

t♥ st ♥ ♥tré ♣r♦è♠ q ♦♥ ♦♥♥t à ♣rtr sss s♠♥t ♦rt♦r

♦ ♥ st

♦♠♣rs♦♥ s trs sérté ♥ ts♥t ♠ét♦ ♦♥♥t♦♥♥ t ♠ét♦

♦r♥ s♣érr ♥ t♥ ♠ê♠ r q ♥ r♦tt♠♥t ♠♦♥tré q

♠ét♦ trt♦♥♥ ♦♥♥ s réstts r♠♥t ♥érrs r♣♣♦rt q ♠ét♦ ♣r

♦r♥ s♣érr ♦rsq ♦és♦♥ st ♦♥séré ♥ ♠♦♥tr q ♠ét♦ ssq s

♦s és ♣t êtr ①ss♠♥t ♦♥srt ♥ésst♥t ♥t♠♥t ♥ s♦tè♥♠♥t sr♠♥

s♦♥♥é

♦s é♦♣♣és Psrs ♦s sés sr té♦r s ♦s és ♦♥t été é♦♣♣és

♣s s ♥♥és sqà ♥♦s ♦rs t ♠♦♥tr ♥ st ♥♦♥ ①st s ♦s

♠♦rté s rt♦♥s ♥tr s ♦s ♦♥r♥ ♣rt é♥ért♦♥ s ♦s ♥ ♠é♦rt♦♥

♦♥♠♥t ♥s ♣r♥♣ ♥ été sqà ♣rés♥t ♥tr♦t ♣rs ♥ ♦♠♣t

r♦tt♦♥ été ♥sé ♣r qqs ♦s ♠s s ♠tt♦♥s ♥ t ♥②s ♦♥t êtr ①♣♦sés

♥s ♣rr♣

♦s és♥♦♥s ♣r é♥ért♦♥ étr♠♥st s s♦♥t♥tés t ♥tr♦r s s♦♥t♥tés

♥ ♣r ♥ t ♣r é♥ért♦♥ sttstq ♦rsqs s♦♥t é♥érés à ♣rtr ♦s strt♦♥

q ♦♥r♥♥t t♦s ♦ qqs ♥s s ♣r♠ètrs s♥ts ♣♥ rt♦♥ ♣♥

t s♣♠♥t ♣♣r♦ ♥♦♥ s♣éq s♥ q ♣♦st♦♥ ♣rés s s♦♥t♥tés ♥st ♣s

♦♥♥ t ♦♥ ét ♦r♠t♦♥ s ♦s ♣r ♦♠♥s♦♥s s s♦♥t♥tés é♥ért♦♥

st♦stq s s♦♥t♥tés s♥ tst♦♥ ♦s strt♦♥ ♣♦r étr s ♦s

ç♦♥ ♣r♦st s♥s s é♥érr ①♣t♠♥t

♦s ♦s és

♦♠ ♦ é♥ért♦♥ s s♦♥t♥tés é♦♠étr ♦ ♦tt♦♥t rs ♦r♠s

♦s ❬❪ étr♠♥st P♦②èr q♦♥q ♦♥① ❬❪

♣♣r♦ ♥♦♥ s♣éqP♦②èr ♣②r♠

♦♥①♠♠ s

tr♥ ❬❪ ttstq étrèr

r♠♥♦♦ ❬❪t♦stq

P♦②èr q♦♥q ♦♥♥s ♣s♦ïs

❯♥ ❬❪ ♣♣r♦ ♥♦♥ s♣éq étrèr ♠①♠ ♦♥

s♦♦ ❬ ❪étr♠♥st ♦ sttstq

P♦②èr q♦♥q ♥♥s ♦ ♣♦②♦♥s

❲ ❬❪ étr♠♥st étrèr ♦♥♣♥tèr ♦ ①èr

str ❬ ❪ ♣♣r♦ ♥♦♥ s♣éq ♦ ♠①♠ ♥♦♥ ♣②r♠ ♦♥étrèr ♦ ♣♥tèr

♥r♦ ❬❪ttstq P♦②èr q♦♥q ♦♥

♦r♠ sq

❱t♦♥ ♠ét♦ ♦♥r♦♥tt♦♥ s réstts ♠ét♦ s ♦s és s

①♣ér♠♥tt♦♥s t s ♦srt♦♥s ♥ st st ♥éssr ♣♦r r t ér ss ♠ts


sss ♦rt♦r

❲rrt♦♥ ❬❪ tsté ♦rt♦r stté ♥ ss♠ ♦s ♥ ♦r♠

s♦♠s ♥q♠♥t à r ♣♦s ♦♥ ♦rt♠ ♥téré ♥s ♦ ♦s ❬❪ été é

♣r ♦♠♣rs♦♥ s réstts ①♣ér♠♥t① ♣♦r ♣♣rt s s ♦t♦s tst ♠♦♥tré

qqs ♦s q ♦♥t été stsés ♣r r♦tt♦♥ ♦rs q ♣ré r ss♠♥t trs

♦s ♦♥trr ♦♥t été tr♦és sts s♥t ♦rt♠ ♦rs q♦♥ ♦sré r ét♠♥t

♠♦è ♣r ♥ ♦♠♥s♦♥ ♣é♥♦♠è♥s r♦tt♦♥ t s♠♥t ♥♠♥t qqs

♦s q ét♥t s♣♣♦sés êtr sts s♥t ♦♥t été ♣♦ssés ♣r s ♦s ♥sts ♥ts

❨♥ t ❬❪ ♦♥t tsté ♥ ♠♦è ♣②sq ♦♥stté ♣r ♥ s ♦ tétrérq ♦♥t

① srs s♦♥t ♥ ♦♥tt ♥ s♣♣♦rt rt♦♥ ♥♥s♦♥ s♣♣♦rt ♣r♠s

r s ér♥ts ♠♦s r♣tr tr♦és ♣r ♠ét♦ s ♦s és s ♥stté

♣r ss♠♥t t♦rs♦♥♥ ♥ ♣s été tr♦é ♣r ♣♣t♦♥ ♠ét♦

s ①♣ér♥s ♣r♠tt♥t ♠ttr ♥t sr ♠♣♦rt♥ ♣rs ♥ ♦♠♣t r♦

tt♦♥ ♥s q t s ♦s ♥ts ♥s s rst♥t ♣♦rt♥t ♠tés r s

♥ ♣r♥♥♥t ♣s ♥ ♦♠♣t t s ♦♥tr♥ts ♥ st s ♦s tstés ♥ét♥t s♦♠s à ♥

♦♥♥♠♥t

s rés

s s st♦rqs t ♦s ♥ rq ❩ ♣♥ s♠ ♥s ré♦♥ ♣♣♦

♥t♦ ♥tr ♥s ré♦♥ ♥t rs à ♥r ♦♥t été ss étés ♣r ♠ét♦ s

♦s és ❨♥ t ❬❪ tr sérté ♥érr à ♥té st ♥ ♦r

s réstts ♥stté ♦srés

trs s st♦rqs t ♦s ♥s s t♥♥s ① tts ❯♥s ♦♥t été ss étés

♥♥ t♥♥s ♦♦r♦ t ♠r♥ ♣ t♥♥ ♥t② ♥♥ss ♣r t③♦r t

♦♦♠♥ ❬❪ ♠ét♦ s ♦s és rtqs t s réstts ét♥t stss♥ts ♥

é♥ér

♦t♦s s s éts rst♥t ♠tés à s ①♠♣s ①t♦♥s s♦trr♥s à ♣r♦

♦♥r ♦ù s ♦♥tr♥ts ♥ st s♦♥t très s ss s ♥②ss ♦♥t été ts ♣rès ♦♥stt

t ♥♦♥ ♥ rtèr ♣rét

♦♥s♦♥ ♠ét♦ s ♦s és st ♥ ♠ét♦ à éqr ♠t ts♥t ss♥t♠♥t

é♦♠étr ♦ ♥ r à tr♦r é♣♠♥t ♦ ♥ s s♥t sr ②♣♦tès

rté ♦♥t ♠♦♠♥t st ♥q♠♥t ♣♦ss s tr é♣♠♥t ♥ ♣r♦t

sr ♣♦st ♦ ♥ ♥♦r♠ ♥térr ♣♣qé à q ♦ ♠♦♠♥t

♦ s ♠t ♦rs à tr♦s ♣♦sstés ♥ tr♥st♦♥ t ss♠♥t sr ♥ ♦ ss♠♥t sr

① s ♥s ♦♥t♦♥ s♦♥ ♥tér srs ♦♥tt rs ♦♥♥ à ♥

s♠♣ ♣r♦è♠ é♦♠étr

Pr rs ♦♥ r à tr♦r ♥ ♠♣ ♦♥tr♥ts sr s s q éqr s ♦rs ①té

rrs ss♥t sr ♦ ♠♣ ♦♥tr♥ts ♦t êtr sttq♠♥t ♠ss t ét♦♥

stté s t ♥ ér♥t s st ♣stq♠♥t ♠ss ♥ ♦tr ♦♥ ♠t ②♣♦tès

♥♦♥ sté q s ♦♥tr♥ts s♦♥t ♥♦r♠s sr q ♣r♦è♠ st ♦rs étr♠♥é

ét ♥é♠tq t ♣ré q ♣r♠t rér s ♥♦♥♥s ① ♦♥tr♥ts q ①st♥t

sr s s ss♠♥t ♥ ♣♣q♥t s éqt♦♥s éqr s ♦rs st ♦rs ♣♦ss

étr♠♥r rést♥t s ♦♥tr♥ts sr q ♦r rét♦♥ ♦t♦s s éqt♦♥s

éqr s ♠♦♠♥ts s♦♥t ♥♦rés tt ♣♣r♦ ♣t êtr ssé ♦♠♠ ♥ ♣♣r♦ sttq

♣r ♥térr rs été ♠♦♥tré q ♣rs ♥ ♦♠♣t ♥ ♥ t♥ ♦♥♥rt

P ❯P

♥ ét♦♥ stté ♣s ♦♣t♠st

♥s tt ♣♣r♦ ♥ s ♦♥tr♥ts ♥ts ♥ st♦rq ♦ ♥ s♦♥t ♣rs ♥ ♦♠♣t

♣♦ssté t♥ ♥st ♣s ♥♦♥ ♣s ♦♥séré tt ♥②s st éq♥t à ♦♥sérr

q♦♥ ♣ ♦ ♥s s ♥ t q♦♥ ét ♣rès ♦r râé s♥s ♣r♥r ♥ ♦♠♣t

t ♦♥♥♥t ①ré ♣r r♦ t♦t t♦r Pr ♦♥séq♥t ♠♣ ♦♥tr♥ts tr♦é à

♥ st ♥ ♠♣ rs♠ ♥q♠♥t à s s ♦♥t♦♥s ♥é♠tqs ♠s ♥st

♣s ♥éssr♠♥t r

P♦r strr tt ♥ss♥ ♣r♥♦♥s s ♥ ♦ ♥ ♠♦♠♥t é♦♠♥t ♦ t

r ♦ ♣rès té♦r s ♦s és st éré ♥st t ♦♥♥♠♥t q

♣t ①rr ♠ss r♦s t♦r st ♥éé ♦rs q ♣t ♦r ♥ rô ♠♣♦rt♥t

stst♦♥ ❯♥ tr ①♠♣ srt ♥ ♦ tr♦é st ♥ ss♠♥t ♣rès tt té♦r

♠s q ♣♦rt♥t ①rt ♥ ♠♦♠♥t s♠♥t rs s♣

qs ♣♣r♦s ♦♥t t♥té r ① ♠ts ♠ét♦ ♥s ét ♥é♠tq

♥ ② ♥tr♦s♥t s ♠♦♠♥ts r♦tt♦♥ ♦ ♥s ét ♠é♥q ♥ ♦t♥t s ♦♥tr♥ts

t♦r ①t♦♥ ① ♦rs ts ss♥t sr ♦ s ♣♣r♦s rst♥t ♣♦rt♥t ♠tés t

s♦♥t ♣r♦s ♣ r♦rss trs ♣♣r♦s ♦♥t ré à r♥r ♥ ♦♠♣t t ♥stté

♥ ♦ sr s ♦s ♥ts ♦ts s t♥tts ♠é♦rt♦♥ ♦s ♥strs ①st♥ts

♦♥t ♦♥t s rrs à ♣r♦♣♦sr trs t♥qs t ♦♥ trs ♦s ♦ trs rs♦♥s

♦s q sr♦♥t ♣rés♥tés ♣rès

ét♦ s ♦s és ♥tr♦t♦♥ s ♦♥tr♥ts

♠ét♦ s ♦s és ♥ ♣r♥ ♣s ♥ ♦♠♣t t s ♦♥tr♥ts ♥ st ♥s r♦

s ♦♥tr♥ts ♣♦rt♥t ♣♥t ♦r ♥ t sts♥t sr s ♦s r♦① ♥ ♣r♦♦♥r ♦

é♥t♠♥t ♥ t ésts♥t ♦♥s♥ts tt ♥ss♥ srt♦t ♣♦r s s ①

t♦♥s s♦trr♥s s rrs ♦♥t ss②é ♥tr♦r s ♦♥tr♥ts ♥s ♥②s s ♦s és

♦s ❯❲ ❬❪ t ❬❪

♥s ♦ ❯❲ ❬❪ ♥ ♠♦è ①t♦♥ ♥ ♦♥tr♥tsé♦r♠t♦♥s ts♥t

♠ét♦ s éé♠♥ts r♦♥tèrs st é♥éré ②♣♦tès s é♦r♠t♦♥s ♣♥s ①t♦♥

st ♦♥é ♦♠♠ ♥ r ♦ ♥ t♥♥ t st ♥ ♥s st♦♥ r♦t ♥ ♦♥sèr

q ♠ st ♦♥t♥ s♥s s♦♥t♥tés t ♦♥ strt♦♥ s ♦♥tr♥ts ♣rès

①t♦♥ s ♦♥tr♥ts ♥♦r♠s s♦♥t ♥térés sr s s ♦ été ♦♥ ♥ ♦r

♥♦r♠ ♣r Ni =´

Si

(

σ ~ni)

· ~ni dS ♠♠♥t ♥s ♠♦è ♦♥t♥ ①t♦♥ tsé

♣♦r s ♦♥tr♥ts s s s ♦s ♥ ♦♥t ♣s rô ♦♥ts ♠s s♦♥t ♥q♠♥t s

srs é♦♠étrqs ♠é♥q♠♥t rs s ♦rs ♥♦r♠s s♦♥t ♥st ♦tés à s♦♠♠

s ♦rs ts ss♥t sr ♦ ♣♦r r ♥♦s ♦r t ~A′ = ~A+∑

Ni ~ni

♣rtr ♠♦♠♥t ♦♥ ♣r♦è à ♥②s ♥é♠tq étr♠♥t♦♥ rt♦♥

♠♦♠♥t ♥♦ ♦r t ♥ s♥t ♠ét♦♦♦ ssq s ♦s és P♦r

♥②s ♠é♥q s ♦rs ♥♦r♠s s♦♥t s tr♦és ♣r ♠♦è ♦♥t♥ t ♥♦♥ ♣s s

tr♦és à st ♥②s ♥é♠tq Pr ♦♥séq♥t s ①st♥t sr t♦ts s s t ♥♦♥

s♠♥t sr s s q ss♥t ♦♠♠ ♥s ♠ét♦ ♦♥♥t♦♥♥ ♦r r s ♦rs

résst♥ts s♦♥t ♦♥ ss és sr t♦ts s s t ♥s ①♣rss♦♥ ♦♥t sérté

s s♦♥t ♣r♦tés sr rt♦♥ ss♠♥t s ♦rs t♥♥ts s♦♥t és ♦♠♠ ♥s

♠ét♦ ssq ♣r ♣r♦t♦♥ ♥♦ ♦r t ~A′ sr rt♦♥ ♠♦♠♥t

T = ~A′.~s


r strt♦♥ ♣♣r♦ ❯❲ ♦♥tr♥ts ♣♦r ♥ ♦ ♥ t ♦♠♣rs♦♥ ♣♣r♦ ssq

♥s ♥s s t r ♦♥t sérté ♥st ♣s ♥ P♦r t♦s s s

♠♦♠♥t s ♣r ①♣rss♦♥ s♥t

=

∑

i=1,m

(ciSi +Ni tan(φi)) cos(θi)

~A′.~s

♥ θi st ♥♥s♦♥ rt♦♥ ss♠♥t ~s ♣r r♣♣♦rt ♦♥t i

cos(θi) =(~s− (~s.~n).~n).~s

||(~s− (~s.~n).~n).~s||

i = 1, n st ♥♠ér♦ ♦ ♥ ♦♥tt ♠ss r♦s n ét♥t ♥♦♠r

t♦t s s ♦♥tt

st ♥ ♠ét♦ q r♣rés♥t ♥ ♣t ① ♠ts té♦r s ♦s és ♠s

♠♥q rr ♣♦r s rs♦♥s s♥ts

• s ♦♥tr♥ts st t ♥ ♦♥sér♥t ♥ ♠ ♦♥t♥ ♦ù t ♣rés♥ s

s♦♥t♥tés sr rstrt♦♥ s ♦♥tr♥ts ♥st ♣s ♣rs ♥ ♦♠♣t

• ♠♦è ♥ ♠ ♦♥t♥ ♣♦r s ♦♥tr♥ts ♣t êtr t ♦ s♥s rté

♦rs q ♣♦s ♦ st ♣rs ♥ ♦♠♣t ♦rs s ♦rs ts

• ♠♥t ♥ ♣rt ♥♦r♠t♦♥ ♦♥r♥♥t s ♦♥tr♥ts st ré s ♦♥tr♥ts

♥♦r♠s sr s s

• s ♦rs t♥♥ts ①st♥t sr t♦ts s s r st ♥étr♠♥é ♥ rét

♥♦♠r ♥♦♥♥s ♥ ♦♥sér♥t ♥q♠♥t ♥ ♦r t♥♥t q t ♥s rt♦♥

ss♠♥t t q ér éqr s ♦rs ♥s tt rt♦♥ ♣r♠t r ♥

tr sérté ♥s tt rt♦♥ ♦t♦s éqr t♦t ♦ ♥st ♣s ♥éssr

♠♥t ssré ♥ t ♣♦r q ♦ s♦t ♥ éqr t érr éqt♦♥ ~A′ + ~T = ~0

♥ ♥t T ç♦♥ ♦♣té tt éqt♦♥ st ♥q♠♥t ssré ♥s s ♦ù ~s

♠ê♠ rt♦♥ q ~A′ ♦♥ ♥s s ♥ ♠♦♠♥t t r st s r♣rés♥té

♥s r P♦r trs s ♦ù ~A′ ♥ ♣s ♠ê♠ rt♦♥ q ~s éqr ♥st ♣s

ssré t s♦t♦♥ ♥st ♣s sttq♠♥t ♠ss ♦t st st ♦rs sr

P ❯P

• t ♠ê♠ r ♣♣ à ♥ tr ♣♣r♦ ♠ ♦♥t♥ ♣♦r étr♠♥r ♠♣ s

♦♥tr♥ts ts ♣rès ①t♦♥ s♥s ♣rs ♥ ♦♠♣t s s♦♥t♥tés t ♣r♦s s♥s

t♥r ♦♠♣t rté ♠♦♥tr r♠♥t q ♦♥ ♣rt ♥ étt ♦♥tr♥ts q ♥st ♣s

♦ré♠♥t ♣stq♠♥t ♠ss t q st ♠ê♠ ♣r♦s ♥♦♥ ♠ss sttq♠♥t

trs trs ♦♥t ss t♥té ♥r t s ♦♥tr♥ts ts ♥s r ♦♠♠ ♥s

♦ ❬❪ ♣♦r s ♦s q ♦♥t s s rs ♦r③♦♥ts ♦ rts t♥sr s

♦♥tr♥ts ♣rès ①t♦♥ st st♠é ♥ ♦♥sér♥t q t♦t ♦♥ s s ♦ ♦♠♣♦s♥t

♣r♣♥r à r st ♥ t ♥ ♥é♥t rté ♦♠♠ ♠♦♥tr r

♥ t ♥ r ♥ ①t♦♥ ♦♥tr♥t r st ♥ t ♦♥tr♥t

♦rt♦r st ♠①♠ st t ♦ût ♥s tt ♠ét♦ ♦♥ s♣♣♦s q ♦♠♣♦s♥t

♦rt♦r st ♦♥st♥t t♦t ♦♥ s s ♦ Pr st ♠ê♠ ♣r♦ér q

❯❲ st ♦♣té ♣♦r étr♠♥t♦♥ ♠♦ ♠♦♠♥t t tr

sérté s ér♥ st q ♥ s s ss♠♥t ♦♥ ♦t ① ♦rs ♥♦r♠s

♣r♦♥♥t s ♦♥tr♥ts ♥ st s ♦rs ♥♦r♠s tr♦és ♣r♦ér ssq ♣r♦♥♥t

♦r t ♥t ♣rs ♥ ♦♠♣t s ♦♥tr♥ts

♥s tt ♠ét♦ ♦♠♠ ♥s ❯❲ rté ♥st ♣s ♣rs ♥ ♦♠♣t

♥s st♠t♦♥ s ♦♥tr♥ts ♦rs q ♣♦s st ♥tr♦t ♥s rst Pr rs

♦♠♠ ♦♥ s♣♣♦s ♥ strt♦♥ ♥♦r♠ s ♦♥tr♥ts sr s s ♦ ♣rès ①t♦♥

tt st♠t♦♥ ♥st ♣s r♦rs s t ♦ st r♥ ♥ ♦tr ss êtr

s r ①t♦♥ ♥st ♣s ♦r③♦♥t ♦ rt

xx

yy

0

xx

zz

0

yy

zz

x

y

z

r Prs ♥ ♦♠♣t s ♦♥tr♥ts ♥ st ♥s ♦ ♣rès ♥♦ttst♦♥ ❬❪

ét♦ s ♦s és ♥tr♦t♦♥ r♦tt♦♥

♠ét♦ s ♦s és été é♦♣♣é ♥t♠♥t ♥ tr♥st♦♥ ♥s qqs éts

♦♥ t♥té ♣s tr ② ♥r ♥ ♥②s ♥ r♦tt♦♥ ♥ t rst ❬❪ Prst ❬❪

♦♥ t ♦♦♠♥ ❬❪ ♦♥ t ♦♦♠♥ ❬❪ ♦♦♠♥ ❬❪ Pöts t

rt ❬❪ ❲♥s♦r t ♦♠♣s♦♥ ❬❪

♥ é♥ér ♦♠♠ sé♠ts r s ♣♦sstés s♥ts r♦tt♦♥ ♣♦r ♥ ♦

tétrérq s♦♥t ①♣♦rés

• r♦tt♦♥ t♦r ♥ ôté r

• r♦tt♦♥ t♦r ♥ ① ♣ss♥t ♣r ♥ s♦♠♠t ♣♣rt♥♥t à r

• ss♠♥t t♦rs♦♥♥ r♦tt♦♥ t♦r ♥ ① ♥♦r♠ à ♥ ♦♥t ♦ t ♣ss♥t ♣r

♥ s♦♠♠t ♣♣rt♥♥t à r


♦tt♦♥ t♦r ♥ ôté ♦tt♦♥ t♦r ♥ ① ♣ss♥t♣r ♥ s♦♠♠t

♦tt♦♥ t♦rs♦♥♥

r ♦s r♦tt♦♥ ♠ét♦ s ♦s és

♥②s stté ♥ r♦tt♦♥ st sé ♦♠♠ ♥②s ♥ tr♥st♦♥ ♥ tr♦s ét♣s ♦s

r♣rés♥t♦♥s ♥ r ♣rç s ét♣s ♥ s♣♣②♥t sr ét ♦♥ t ♦♦♠♥ ❬❪

té ♣♦r ♥ ♦ tétrérq ♥ r

♥②s ♠♦té ♥ r♦tt♦♥ ♥ s s♥t ♥q♠♥t sr rt♦♥ s s ♦

♦♥ étr♠♥ s ♦ ♣t ①r ♥ ♠♦♠♥t r♦tt♦♥ ♥ é♠♦♥tr q s ♥ ♦

tétrérq ♥st ♣s ♠♦ ♥ tr♥st♦♥ ♥ st ♣s ♥ r♦tt♦♥

étr♠♥t♦♥ ♠♦ r♦tt♦♥ ♥②s ♠♦ r♦tt♦♥ é♣♥ rt♦♥

♦r t ♣r r♣♣♦rt ① s♦♥t♥tés q é♠t♥t ♦ t ♣r r♣♣♦rt à s r

P♦r ♥ r♦tt♦♥ t♦r ôté r i ♦♥t ♥♦r♠ ♥térr st ~ni t

s♥t q r ♣♦r ♥♦r♠ ♥térr ~nf ♦♥t♦♥ st ~A.~ni < 0 ; ~A.~nf < 0

P♦r ♥ r♦tt♦♥ t♦r ♥ ① ♣ss♥t ♣r ♥ s♦♠♠t ♦ ♥trst♦♥

r s ① s i t j ♦♥t♦♥ st ~A.~ni < 0 ; ~A.~nj < 0 ; ~A.~nf < 0

♦♥r♥♥t ♠♦ ♠♦♠♥t st étr♠♥r à tt ét♣ ♣♦st♦♥

①t ① r♦tt♦♥ ♠s ♦♥ ts s ♦♥t♦♥s ♥é♠tqs ♣♦r rstr♥r

♠♣ s ♣♦sstés

♥②s stté ♠é♥q tt ♥②s ♣r♠t étr♠♥r s ♥ ♦ st st

sàs ♠♦ r♦tt♦♥ q été ttré tr ♦r t ~A t s♦♥ ♣♦♥t

♣♣t♦♥ I s♦♥t ♦♥♥s ♦♥ ♣t r ♠♦♠♥t t♦r t♦t ① tr rtr~d ♥♦r♠é t ♣ss♥t ♣r ♥ ♣♦♥t B ♣r éqt♦♥ M =

(−→BI ∧ ~A

)

· ~d ♦ st é ♥sts ♠♦♠♥t s ♥ ♠♦♠♥t rs s♣ ♥s s ♥ ♦r t ♣ss♥t ♣r

♥tr♦ï ♦ ♣♦s ♦♥ st s ♣r♦érs s♥ts

P♦r r♦tt♦♥ t♦r ♥ ôté ♦♥ é♥t ♥ ♣♥ ♠é♥ ♦ ♣ss♥t ♣r s♦♥

♥tr♦ï t ♣r ôté ♦♥r♥é ♥♦r♠ ~nm ré rs s♦♠♠t ♦ q ♥♣

♣rt♥t ♣s à sr r ♦r r ♦r t ~A ♣♦s ♥s

s ♣♣rt♥t à ♣♥ ♦ st ♥s ♥ étt éqr ♠t ~A s tr♦ ♥s

♠s♣ ♥ ♦♥t♥♥t ♣s ~nm éqt♦♥ ~A.~nm < 0 st éré ♦ st é

♥st

P♦r r♦tt♦♥ t♦r ♥ s♦♠♠t ♦♥ é♥t s ① ♣♥s ♠é♥s rts ① ①

ôtés ♦rrs♣♦♥♥t s♦♠♠t s ♣♥s ♠é♥s s♥trst♥t ♥ ♥ tr ~p ♦r

r tr r♦tt♦♥ st é♥ ♦♠♠ ét♥t ~d = ± ~A ∧ ~p ~d ♣♣rt♥t à

s♣ r♦tt♦♥ ♥é♠tq♠♥t ♠ss é♥ r♥t ♥②s ♥é♠tq ét♣

♦rs ♦ st ♥st ♣r r♦tt♦♥ t♦r tr

P ❯P

st r♦tt♦♥ t♦r ♥ s♦♠♠t t ♦♥t♦♥ ♣réé♥t ♥st ♣s éré ♦rs

♠♦ ♠♦♠♥t st ♥ r♦tt♦♥ t♦rs♦♥♥ ~d ♦rt♦♦♥ à ♥ ♦

à ♦♥t♦♥ q ~d ♣♣rt♥♥ ss à s♣ r♦tt♦♥ ♠ss

♦tt♦♥ t♦r ♥ ôtés♠♥t

♦tt♦♥ t♦r ♥ ① ♣ss♥t ♣r ♥ s♦♠♠t

r é♥t♦♥ s ♣♥s ♠é♥s ♦rsq ♦r t ♣ss ♣r ♥tr♦ï ♦

és♠♦♥s s ér♥ts ♣♣r♦s ♣♦r ♥②sr r♦tt♦♥ ♦♠♠ ♦♥ éà ♦♥

t ♦♦♠♥ ❬❪ ♦♥t é♦♣♣é ♥ ♠ét♦ t♦r ♣♦r ♥②sr r♦tt♦♥ ♦s

tétrérqs ♥ r

♥ t rst ❬❪ ♦♥t été ♥q♠♥t ♣♦ssté r♦tt♦♥ ♣r s♠♥t

r♦tt♦♥ t♦r ♥ ôté ♣♦r ♥ ♦ ♣♦②érq à n s

Pöts t rt ❬❪ ♦♥t ①♠♥é s ♦s ♦r♠s é♦♠étrqs rtrrs ♠s r

♥②s st ♠té à ♣r♠èr ét♣ ét ♠♦té ♥ r♦tt♦♥

♦♥♦♥ ❬❪ tsé ②♥♠q s ♦r♣s s♦s ♥s t ♥♦r♣♦rr t♦t t②♣

r♠♥t ♥s ét r♦tt♦♥ ♣r♠t ♥tr♦r s ♦♣s t s ♦rs q ♥ s♦♥t

♣s ♣♣qés ♥tr rté ♦ t q ① sés ♣r s♦tè♥♠♥t ♣r s ♣rss♦♥s

①térrs ♦ ♣r s é♦♠♥ts s s ♦s tétrérqs s♦♥t étés é♠♦♥tré

q ♥s rt♥s s s ♦s tr♦és sts ♥ r♦tt♦♥ s ♣♦♥t ♣♣t♦♥ ♦r st

♥tr♦ï ♦ sèr♥t ♥sts s♥t s ♠ét♦

♣rs ♥ ♦♠♣t r♦tt♦♥ st ♠♣♦rt♥t ♥s ♥②s stté s ♦s été

♠♦♥tré ♣r ♦♥ t ♦♦♠♥ ❬❪ t ♦♥♦♥ ❬❪ q♥ ♦ st ♥ tr♥st♦♥ ♣t sérr

êtr ♥st ♥ r♦tt♦♥ ss ♦rsq tr♥st♦♥ t r♦tt♦♥ s♦♥t ♣♦sss t♥♥ à

r♦tt♦♥ st ♦♠♥♥t s résst♥ r♦tt♠♥t st éé ♦t♦s s ♣♣r♦s é♦♣♣és

♣♦r étr r♦tt♦♥ s♦♥t rt♠♥t ♦♠♣①s ♣♦r êtr ♥térés ♥s ♥ ♦

♥ t ♣r♠ s ♦s ①st♥ts s♠♥t qqs ♥s ♣r♥♥♥t ♥ ♦♠♣t r♦tt♦♥

♦ ❳ ❬❪ ♦♥sèr ♥②s stté ♣r r♦tt♦♥ s♠♥t ♣rès ♥tr♦t♦♥ ♥

♦♦♥♥ ♦ ❬❪ ♦♥sèr ♥ ♣♦ssté ♠♦♠♥t ♣r r♦tt♦♥ ♥q♠♥t

s tr sérté ♣r tr♥st♦♥ st s♣érr à ♥té ss s ♠♦s r♦tt♦♥ s♦♥t ♠tés

à ♥ r♦tt♦♥ t♦r ♥ ① ♥♦r♠ à ♦ tétrérq ♣ss♥t ♣r ♥ s s♦♠♠ts

♦ ss♠♥t t♦rs♦♥♥ ♦ à ♥ r♦tt♦♥ t♦r ♥ ① ♦ ♦ ❬❪ ♣♣q

♠ét♦ ♥ t rrst ❬❪ ♣♦r étr stté ♥ r♦tt♦♥ ♣♦r s ♠♦ s♠♥t

♥ ♦♥s♦♥ s ér♥ts ♠ét♦s é♦♣♣és s♦♥t sés sr ♥ ♥②s é♦♠étrq t

♥é♠tq ♦ ♥ ♦♥sér♥t ♥ ♦r t t ♥s rt♥s s ♥ ♠♦♠♥t t ♥ ♣s

ré♣rtt♦♥ s ♦♥tr♥ts sr s s ♦ ♥st ♣s ♣rs ♥ ♦♠♣t ♦rs q s

étr♠♥♥t ♠♦♠♥t é♥ér ♦ t ♣rtèr♠♥t s r♦tt♦♥ ♥ t s ♦♥tr♥ts

s♦♥t ♥étr♠♥és r r ♦♥♥ss♥ ♥ésstrt s♣♦sr s ♦s ♦♠♣♦rt♠♥t s ♦♥ts

r♦ é♥t♠♥t ♥ ♣s s ♦s r♦tt♠♥t ♥ s ôtés t s s♦♠♠ts


♣r♦ér ♦♣té ♥s ♠ét♦ s ♦s és ♦♥sst ♦rs à é♦♣r ♣r♦è♠ ♦

st été ♦r ♥ tr♥st♦♥ ♥ ♦♥sér♥t ♠♦♠♥t t ♥ t s st tr♦é st st

tsté ♥ r♦tt♦♥ ♦és♦♥ t résst♥ à trt♦♥ s♦♥t s♣♣♦sés êtr ♥s ♣♦r r♥r

♥②tq r♦tt♦♥ ♣♦ss ♥ ♣s ♣♣rt s ♥②ss s ♠♦s r♦tt♦♥ rés

s♦♥t ts ♣♦r s ♦s tétrérqs tr♥s♣♦st♦♥ ♣♦r s ♦s ♣♦②érqs ét♥t ♦♠♣①

♥②tq♠♥t ♥②s ts ♦s s ♠t à s♠♣ ét r ♣♦ssté r♦tt♦♥ s♥s

rrr à ♦♥r sr r stté ♥②s stté ♥ r♦tt♦♥ ♥st ♦♥ ♣s ♣♣ ♣♦r

s ♣s é♥ér ♦

♥♥ ♠ré r ♦♠♣①té ♥ s ♠ét♦s éà tés ♥ ♣r♠t ♣r♥r ♥ ♦♠♣t

s ♠♦♠♥ts tr♥st♦♥ t r♦tt♦♥ s♠t♥és ♦ étr ♥ ♦ ♦r♠ é♦♠étrq

rtrr r ♦♥♥ss♥ ♦♠♣♦rt♠♥t ♦ ♥ésstrt ♦♥♥tr s ♦♥tr♥ts

sr ss s ét ♥ r♦tt♦♥ ♥st ♦♥ q♥ ♦♠♣é♠♥t ♥②s ♥ tr♥st♦♥

♠ét♦ ssq s ♦s és q s à rér ss ♥ss♥s ♥ ♦♠♣①♥t ♣♣r♦ ♠s

s♥s r♥r ♥ ♣s r♦rs ♥ ♣s ♦♠♣èt

t ♥ s②stè♠ ♦s ♠t♣s ♣♣r♦ s ♦s és

Psrs ♣♣r♦s ts♥t té♦r s ♦s és ♦♠♠ ♠ét♦ ♥②s stté ♦♥t

été é♦♣♣és ♣♦r étr ♥ ♥s♠ ♦s ♥ ♣r♥♥t ♥ ♦♠♣t ♥ ♠♥èr ♦ ♥ tr

rs ♥trt♦♥s

♥ t rrst ❬❪ ♦♥t é♦♣♣é ♥ ♠ét♦ ♥ ♣♦r étr ♥ s②stè♠ ♣srs

♦s s ♦♥t tsé s té♦rè♠s t♦♣♦♦ t té♦r s r♣s ♣♦r ♦♣t♠sr r

♦rt♠ q ♦♥sst à é♠♥r s ♦s tr♦és ♥sts ♥ rétér♥t t♥t ♦s sqà

q t♦s s ♦s ♥sts s♦♥t é♠♥és t ♦rt♠ ♣r♠t r♥r ♦♠♣t ♥♥

♥stté ♥ ♦ sr s ♦s ♥ts

❲♦♦ ❬❪ é♦♣♣é ♥ ♠ét♦ ♣♦r ét ♦s és s♦♥rs ♥ ts♥t

♣r♦t♦♥ stéré♦r♣q

♠ét♦ s r♦♣s és ❨r♠ t ❱r ❬❪ été é♦♣♣é ♣♦r

étr ♥ s②stè♠ ♣srs ♦s ♥ ♥ r♦♣♥t rt♥s ♦s ♥ts ♣♦r ♦r♠r ♥ s

♦ ♥ t ♦♥ ♠♦♥tr q s ♥ ♦ ♦♥♥é st tr♦é st s♦♥ ss♦t♦♥ ♥ ♦ ♣srs

trs ♦s ♥ts ♠♦s ♣t ♦♥♥r ♥ r♦♣ ♦s ♥st ♦♠♠ str ①♠♣

r ét s r♦♣s ♦s ♦♥♥ s réstts ♣s sértrs q ét

q ♦ à ♣rt ♣r♦ér st ss ♠ê♠ ♣r♥♣ q ♥ t rrst ❬❪ à

s♦r q s ♥ ♦ ♦ ♥ r♦♣ ♦s st é ♥st st é♠♥é t ♦♥t♥ ♥

ç♦♥ tért sqà tr♦r t♦s s ♦s ♥sts é♠♠♥t ♦r♦♦③ t ❬❪ ♦♥t

ét♥ tt ♠ét♦ ♣♦r ét ♥ s②stè♠ ♦s ♥ s ♠ét♦s r♦♣s és ♦♥t

sr à ♥②s s ♥sttés ♦s ♥ s ♣♥ts r♦ss ♠s r♥ ♥♠♣ê s

♣♣qr ♣♦r s ①t♦♥s s♦trr♥s

♥s s ér♥ts ♠ét♦s stté été té ♣♣r♦ ♠é♥q é

♥♦♠♠é té♦r s ♦s és ♣♥♥t s ♣♥t é♠♥t êtr ♣♣qés ♥ ts♥t

♥ tr ♠ét♦ ♥②s ♠é♥q ♦s s♦és

♦♥s♦♥

♠ét♦ s ♦s és st ♥ ♠ét♦ ttr②♥t ♣♦r ♥é♥r ♣r q ♣r♠t

♦♥♥r ♥ ré♣♦♥s r♣ à qst♦♥ stté s♥s ♦r s♦♥ ♦♣ ♥♦r♠t♦♥s ♥

P ❯P

r ét♦ s r♦♣s és ♥ ♣rès ❨r♠ t ❱r ❬❪

♦♥♥és st ♦♥♥tr é♦♠étr ♦ sté à sr ①t♦♥ t rt♦♥

♦r ss♥t sr ♦ é♥ér♠♥t ♣♦s ♥q♠♥t ♣♦r étr♠♥r ♥ ♦♥t

sérté ♦rsq ♣♦st♦♥ s s♦♥t♥tés ♥st ♣s ♦♥♥ ♣rés♦♥ ét st t♦♦rs

♣♦ss ♥ ♦♥sér♥t ♣srs ♦♠♥s♦♥s ♦♥ts t ♦ ♦♠ ♠①♠ st srt♦t

tt ♣♦ssté q r♥ tt ♠ét♦ très ♣♦♣r ♣s s ♥♥és été à ♦r♥

é♦♣♣♠♥t ♣srs ♦s q ♦♥t ♣♦r s r♥t ♦r♠ é♦♠étrq s ♦s ♦

♠ét♦ ♦♣té ♣♦r r é♥ért♦♥ ss ♣t♦♥ r q tst♦♥ tt ♠ét♦ ç♦♥

r st ♣r ét ①st♥ trs ♠ét♦s ♣s r♦rss t q s♦♥t ss ♣rtqs t

♣r♦s s♦♥ tstr

♦t♦s s ♦♥ rr ♣rès ♣♣r♦ s ♦s és ♦♥ s r♥ ♦♠♣t q s ②♣♦tèss

♦rts s♦♥t ♦♣tés ♣♦r r à ♥étr♠♥t♦♥ ♣r♦è♠ ♠♦ ♠♦♠♥t ♦

st étr♠♥é ♣ré ♣r ♥ ét ♥é♠tq ♥ s s♥t ♥q♠♥t sr rt♦♥

♦r ss♥t sr ♦ t sr s s s♦♥t♥tés ♥ s♣♣♦s q s ♦♥tr♥ts ♣rés♥ts

♥s r♦ ♥ ♣♥t ♦r ♥ ♥♥ sr ♠♦♠♥t ♦ s ♠♦s ♠♦♠♥t

s♦♥t ♠tés à s tr♥st♦♥s t ♠ê♠ ♦rsq ♥②s ♥ r♦tt♦♥ st ♣rs ♥ ♦♠♣t ♣♣r♦

rst ss③ ♠té ♣sq s♣♣♦s q s ♦♥tr♥ts ♥ts ♥♥♥♥t ♣s t♥♥ à

r♦tt♦♥ ♥ ♣s s éqt♦♥s éqr s ♦rs s♦♥t érés ♠s s éqt♦♥s éqr s

♠♦♠♥ts ♥ s♦♥t ♣s ♦♥sérés

♣♦♥t ♥ à r♣tr ♦♥ r à tr♦r ♥ ♥s♠ r♠♥ts

①térrs t q s ♦♥tr♥ts sr s s ♦ s♦♥t sttq♠♥t ♠sss t ér♥t

rtèr r♣tr ♥s s ♦♥ ♦♥sèr q♥ ♣rt s s♦tt♦♥s ①térrs st

♥ ♦♥♥ ♦rs ts sr ♦ ♥ ♣r♥♥t ♦♠♠ ♥♦♥♥s s ♥térs s ♦♥tr♥ts

sr q q st éq♥t à ♦♥sérr s ♦♥tr♥ts ♥♦r♠s ♣r ♦♥ rr à

étr♠♥r ♥ ♠♣ ♦♥tr♥ts ♥ s♠ ♦rs rét♦♥ ♥q ♠♦②♥♥♥t ②♣♦tès

q s ♦♥tr♥ts s♦♥t ♥s sr s s q s ét♥t ♠ss r♦s ♥ ♣t é♠♦♥trr

q st ♥ s♦t♦♥ ♣r ♦r♥ ♥érr s tt s♦t♦♥ st ♥q♠♥t t ♥s s♥s

♥ét♦♥ ♥s s s s♦tt♦♥s ①térrs s♦♥t s♣érrs à s tr♦és ♦♥ ♣t r♠r

♣r sérté q ♦ ♥st ♠s ♥ éqr s s s s♦tt♦♥s ♣♣rt♥♥♥t à ♥s♠

tr♦é ♦♥ t q ♦ st ♣♦t♥t♠♥t st ♥ t s ♠♣ é♣♠♥t ♥st ♣s ét

♣ré ♣r s ♦s é♦♠étrqs ♥ tr s♦t♦♥ s s♦tt♦♥s t s é♣♠♥ts st

♣♦ss ♠ét♦ s ♦s és st ♥ ♠ét♦ q s à ♦♥♥r s♦t♦♥ ♣s ♦♣t♠st ♠s

tt s♦t♦♥ ♥st ♣s ♣s r♥t ♥ rr ♥s ♣tr s♥t q ♦♥sérr st♦rq

r♠♥t sr ♦ ♠♦♥tr q ♣rs ♥ ♦♠♣t s ♦♥tr♥ts ♦♥♥ ♣r♦s ♥ réstt


♣s sértr q ♠ét♦ s ♦s és

rt♥s ♣♣r♦s ts♥t ♠ét♦ s ♦s és ♦♥t t♥té ② ♥tr♦r ♥ ♣rs ♥

♦♠♣t s ♦♥tr♥ts ♥ts ♦t♦s s t♥tts ♥ s♦♥t ♣s r♦rss s ♦♥tr♥ts s♦♥t

és ♥ ♦♥sér♥t ♥ ♠ ♦♥t♥ t rst st ♠ê♠ ♣r♦ér ♦♣té ♣r


♥♠♥t ♥ q ♣r♦è♠ stté ♥ ♦ s♠ êtr s♠♣ ♣r r♣♣♦rt à ét

♣srs ♦s ♥ ♠ê♠ t♠♣s ♣♣r♦ s ♦s és s rt à ♣srs ♠tt♦♥s srt♦t

♦rsq st ♣♣qé ♥s s ♠① r♦① s♦trr♥s ♦ù s ♦♥tr♥ts ♥s r♦ t

♦♠♣♦rt♠♥t s ♦♥ts t♥t stté ♦

♥s ♣rr♣ s♥t ♥♦s ①♣♦r♦♥s trs ♣♣r♦s qés étr♠♥sts ♦ù ♥

♣rt s ♦♥tr♥ts st s♣♣♦sé êtr ♦♥♥ t ♦♥ r à tr♦r tr ♣rt q ssr

éqr ♦

ét♦s étr♠♥sts

♥ és♥ ♣r ♠ét♦s étr♠♥sts s ♠ét♦s q s♣♣♦s♥t q s ♦♥tr♥ts ss♥t

sr ♦ ♣rès ①t♦♥ ♣♥t êtr st♠és ♦ és ♥ ♣rt ♥♦♠r ♥♦♥♥s st

♦rs ss♠♠♥t rét ♣♦r q ♣r♦è♠ ♥♥ étr♠♥é ①tt s ♣♣r♦s

é♣♥ ♦rs té ♠♣ s ♦♥tr♥ts étr♠♥é ♣ré ♥ rr ♣r rs

qs ♥♦♥t été é♦♣♣és q ♣♦r s s s♠♣s é♦♠étrs ♦s

ét♦ étr♠♥st r② t r♦♥

st ♥ ♣♣r♦ ♣rés♥té ♣r r② t r♦♥ ❬❪ t qé étr♠♥st

♣sq♥ ♣rt s ♦♥tr♥ts ss♥t sr ♦ st s♣♣♦sé ♦♥♥ ♥t ♣r♦ér à ♥②s

stté

♥ ♦♥sèr ♥ ♦ tétrérq ♦♥t s♦♠♠t st sté à ♣♦♠ s s ♦♥tr♥ts

♥s r♦ s♦♥t éés ♥ ♦♥sér♥t ♥ ♠ éstq ♦♥t♥ ♥ s ♦♥tr♥ts

♥♦r♠s ♥ s s ♣s ♦♥ s ♥tèr ç♦♥ à ♦r ♥ ♦r ♥♦r♠ ♣r t

st tr♦r ♦r rr♠♥t q r♠♥r ♦ à éqr ♠t ♥s tt ♠ét♦

t étt st rtérsé ♣r ♥ ♣stt♦♥ s♠t♥é t♦ts s s ♣s ♦♥ ♠♣♦s q

rt♦♥ ♦r t♥♥t ♥ ♥ ♦♥♥é s♦t ♠ê♠ q sstr

♥ s♦♠♠t tt s♦♠♠t ét♥t s♦♠♠t ♦ ♥térr à r♦ ♦♠♠

sé♠ts r

s éqt♦♥s éqr s ♦rs ♣r♠tt♥t étr♠♥r ♦r rr♠♥t rt Fa

q s ♣r Fa =∑

i=1,3

Ni(bzi tanφi + cosαi)

♥s tt ①♣rss♦♥ bzi st ♦♠♣♦s♥t rt tr ♥tr ~bi ré s♥t

sstr ♥ s♦♠♠t i ♦♠♠ ♥qé ♥s r αi st ♣♥

i t φi s♦♥ ♥ r♦tt♠♥t

tr sérté s t ♦rs ♣r r♣♣♦rt =Fa

P P ét♥t ♣♦s ♦

tt ♠ét♦ ♣r♠t ♥ rt♥ ç♦♥ ♥r s ♦♥tr♥ts ♥ st ♥s ♥②s ♠s

♣♦ssè ♣srs ♠ts

• s ♦♥tr♥ts ♥♦r♠s s♦♥t és ♥ s♣♣♦s♥t q s s♦♥t♥tés ♥♦♥t ♥ t sr

strt♦♥ s ♦♥tr♥ts

P ❯P

• s s s♦♥t s♣♣♦sés ♣str ♥ ♠ê♠ t♠♣s ♦rs q ♥ ♣s ♥éssr♠♥t

tt ②♣♦tès ♥st ♣s ♥ t ss③ sértr ♣sq♥ ♦ ♣t ♥r ♥st s ♥

s ss s ♣sté

• rt♦♥ s ♦rs t♥♥ts st ♠♣♦sé st ♥ ②♣♦tès ♥♦♥ sté q s

st à ♠♥r ♥♦♠r ♥♦♥♥s

• t sts♥t t♥ st ♥♦ré ♥s q ♣♦ssté r♦tt♦♥ ♦

• ♥ ♦♥sèr ♥ ♦r ♣r q st éq♥t à ♦♥sérr ♥ ré♣rtt♦♥ ♥♦r♠ s

♦♥tr♥ts ♣r

• tr sérté tt ç♦♥ ♥ ♠♣♦s♥t ♥ rt♦♥ rt ♦r

rr♠♥t s♣♣♦s q ♣♦s st s tr rsq ♥ ♣s tt ♣♣r♦ ♥

♣t ♣s êtr tr♥s♣♦sé ♣♦r s ♦s q ♥ s♦♥t ♣s stés sr t♦t r ♦ ♦♥t

♠♦ ♠♦♠♥t s♣♣r♥trt à ♥ ss♠♥t ♣tôt qà ♥ t

r ét♦ étr♠♥st r② t r♦♥ ❬❪

ét♦ ♦

♦ ♥ t ♥ ❬❪ st ♥ ♦t à és♦♥ q ♦r à tstr

♣♦ssté ♥tr♦r s s♦♥t♥tés ♣♥s ♦ ♣rts ♣♥s ç♦♥ étr♠♥st ♦ s♦♥

s ♦s ♣r♦té rtrrs é♥r s♦trr♥ r t♦t ♣t ♦ ♥ ♦ ♥s

q s ♦♥♥és ♥éssrs ♣♦r ♥ ♥②s stté rté rtérstqs ♠é♥qs s

♦♥ts s ♦s tétrérqs ♦r♠és sr t♦t r ♣r t♦ts s ♦♠♥s♦♥s ♣♦sss

s s♦♥t♥tés ♥tr♦ts s♦♥t étés r ♠♦♥tr ♥ ①♠♣ ♦s é♥érés

♦ ♣r♦♣♦s ♥ st rtèrs stté éts ♣r s ①♣rts t tés ♣r s ♦

srt♦♥s ♥s s rs ♠♥èrs st ♣ré♣r♦r♠♠é s♥rt ♥ ♦♥t♦♥ étt rt

t ♦♠♣r♥ ♥tr trs s ♥♦t♦♥s ♦ ♦é ♦♥t s♦♠♠t ♥st ♣s à ♣♦♠

s ♣tt ♦♠ tr ♥♦♠♣t ①t♥s♦♥ s ssrs ♦s ♠♦tés

s st ♥é♥r q t s rtèrs q ♣rt♥♥ts ♣♦r s été t ♦ s

♦♥t♥t r♣érr s ♦s ♥ ♦♥t♦♥ s rtèrs q s♦♥t ♥é♣♥♥ts t s♥r t♦s s

♦s ♥sts s♥t q♥ ♦ st éré ♥st ♦rsq ♦ ♥ s rtèrs tés

st s rtèrs s♣♦♥s ♦♠♣r♥

• ♦♥t♦♥ ♥é♠tq ♣rs ♥ ♦♠♣t ♥ ♥ t♥ ψ

♥ ♦ st ♠♦ s ∃~s /∀i, ~s · ~ni ≥ sinψi‖~s‖ • ♦♥t♦♥ ♠é♥q q ts ♥ r♦tt♠♥t φ

♥ ♦ st st s ∀i / ‖σ ~ni − σ ~ni · ~ni‖ ≤ − tanφi(

σ ~ni · ~ni

)


♦ù σ st ♠tr ♠♣ s ♦♥tr♥ts t ~ni st ♥♦r♠ ①térr à ♦♥tt

i ♦

st ♣r q rtèr ♠é♥q s♣♣♦s q s ♦♥tr♥ts ts σ s♦♥t ♦♥♥s

q été ssé ♥s tt ét ♦r♣q ♥s té♦r s ♠ét♦s étr♠♥sts P♦r

r ♥é♥r ré ét s trs ♦ ♦♥t ♣r♦♣♦sé ♥ t♥q st♠t♦♥

σ q ♥ ♠♥♠♠ ♦♥♥és é♥èr ♥ ♠♣ ♦♥tr♥ts ♦♠♣ts s éqt♦♥s

éqr s trs ♦♥t ♣r♦té ♦r♠ ♠♣ ♦♥t♦♥ ♥ ôt z t rtèr

♦♥① rtèr ss♠♥t rtèr ♦♦♠ ♣♦r ♣r ♦rrt♠♥t rté σ

♦♥ ♥

♥ s♥s♣r♥t ♣r é♠♥ts ♥s ♦♥ ♠t q ♦s♥ ♣r♦ ♠tr

s ♦♥tr♥ts rst ♦♥ ♣rès ①t♦♥ s ♦♥tr♥ts s♠♥t s♦♥t ♦♥ ♥s ♥

és♥♥t ♣r z ôt ♠sré à ♣rtr s ♦ tétrérq sté sr t♦t r

♣r g > 0 ♥t♥sté rté ré ♥s s♥s z < 0 ♣r ρ ♠ss ♦♠q ♦ t ♣r

σxx t σyy s ♦♥tr♥ts ♦r③♦♥ts ♦r♥s ♥♦r♠s ♠tr s ♦♥tr♥ts s①♣r♠ ♣r

σ = diag(σxx , σyy , ρgz) tt ♠tr ér s éqt♦♥s éqr ♥ ♦rs t ♥ ♠♦♠♥ts

t ♦♥t♦♥ ♠t ♥ z = 0 ♦ st ♥s t s ♦♥tr♥ts rts s♦♥t

♥s

♥ r♠rq r♠♥t q s ♦♥tr♥ts ♣r♥♣s s♦♥t ① ♦♠♣rss♦♥s σxx t σyy t ♥

trt♦♥ ρgz Pr ♦♥séq♥t sàs rtèr ♦♦♠ t ♥é♣♥♠♠♥t ♦r♥tt♦♥

♣♦r êtr ♣ss♠st ♠♦♠♥t ét♦♥ rtèr ♠é♥q st ♣r♥r

trt♦♥ ♠①♠ ρgH ♦ù H st tr tétrèr ♥s rs♦♥ t ♦

♦♥ ♦s z = H/3 ♥tr ♥rt tt ♦♥sért♦♥ st éq♥t rtèr

♠é♥q ♣r r♣♣♦rt à ♥ ♦♥tr♥t ♠♦②♥♥

r ét♦ ♦ é♥ért♦♥ s ♦s t♦t t st♠t♦♥ s♦♥tr♥ts ♣♦r ♥ ♦ ♦♥♥é

P♦r ♦♥r ♦ ♣rés♥t s ♣r♥♣s ♥ss♥s tés ♣rès

• ♦r♠ é♦♠étrq ♦ st ♠té tétrèr

• s éqt♦♥s éqr ♠tt♥t ♥ ♥♥té s♦t♦♥ ♦♥t ♦♣té ♥s

♥t q ♣♣r♦ ♦♣té ♣♦r st♠r s ♦♥tr♥ts ♥st q ♣♦r s ♦s

P ❯P

t♦t ♥ ♣s été ét♥ ♣♦r ét s ♦s sr s ♣r♠♥ts r

• ❯♥ r♥èr ss q ♦♥ rtr♦ ss ♥s s trs ♦s st ♦♥♥ st♠t♦♥

♠♣ s ♦♥tr♥ts ts ♦s♥ ♦ r♥r ♣♦♥t t st♠♥t ♦t

♣rés♥t tès

♦♥s♦♥

♥s s ♠ét♦s étr♠♥sts ♦♥ s♣♣♦s q♥ ♣rt ♠♣ s ♦♥tr♥ts ss♥t sr

♦ ♣rès ①t♦♥ st ♦♥♥ à ♥ ♥s ♠ét♦ ♦ st s ♦♥tr♥ts

♦r③♦♥ts t ♥s ♠ét♦ r② t r♦♥ st s ♦♥tr♥ts ♥♦r♠s ① s ♦

s ♦♥tr♥ts s♦♥t s♦♥t és à ♣rtr ♥ ♠♦è ♦♥t♥ ①t♦♥ ♥ éstté s♦♥t

st♠és ♥ s♥s♣r♥t ♥ éstq P♦r r ♥étr♠♥t♦♥ s ♠ét♦s ♦♣t♥t

s ②♣♦tèss s♣♣é♠♥trs ♥s ♠ét♦ r② t r♦♥ ♦♥ s♣♣♦s q rt♦♥

s ♦rs t♥♥t st ♥ ♦♥♥ t st sstr ♥ s♦♠♠t tt

②♣♦tès ♥st ♣s sté ♣②sq♠♥t ♣♦r t ♥q♠♥t rér s ♥♦♥♥s ♥s

♣r♦è♠ ♦t♦s s ♦ ♣♦ssè ♣s tr♦s s ♦♥tt ♣r♦è♠ st ♥♦

♥étr♠♥é ♥ ♣s ♦♥ s♣♣♦s ♥ ré♣rtt♦♥ ♥♦r♠ s ♦♥tr♥ts sr q t ♦rs

à r♣tr ♦♥ s♣♣♦s ♣stt♦♥ s♠t♥é t♦ts s s ♥s ♠ét♦

♦ st♠t♦♥ s ♦♥tr♥ts ♥ ♣rtr s♣♣♦st♦♥ q s ♦♥tr♥ts rts

sr ♦ r♥t ♥ér♠♥t ♥ ♦♥t♦♥ rté ♥st q ♣♦r s ♦s stés t♦t

r

♥ ♦♣t♥t s ♣♣r♦s étr♠♥sts éqr ♦ st rs♣té ♣♥♥t ♠ê♠ s ♦♥

st♠ q ♣♣r♦ s ♦rs ♥♦♥♥s st r♦rs té s♦t♦♥ é♣♥

té ♣rt ♣réé♥ ♠♣ s ♦♥tr♥ts ♥ t ♦♠♣♦rt♠♥t s ♦♥ts

♥st ♣s ♣rs ♥ ♦♠♣t ♥s s ♠ét♦s ♦rs q ♣t ♦r ♥ ♥♥ sr ré♣rtt♦♥ s

♦♥tr♥ts ♥♥ s ♠ét♦s étr♠♥sts ♦♥♥♥t ♥ ré♣♦♥s à qst♦♥ stté ♠s

s réstts s♦♥t à ♣r♥r ♣rét♦♥ s ♦s sés sr s ♠ét♦s ♥ qs s♦♥t

♦♥① s♦♥t à tsr ♣r s ♥é♥rs q ♥ ♦♥♥ss♥t s ♠tt♦♥s s♦♥t s ♦ts

à és♦♥

ét♦ ①t♦♥

♥ és♥ ♣r ♠ét♦ ①t♦♥ ♠ét♦ q t ♥tr♥r ♦♠♣♦rt♠♥t s ♦♥ts

♥s stté s ♦♥tr♥ts ♥ s s s♣♣♦sés êtr ♦♥♥s à ét♣ ♥t

q ♦rrs♣♦♥ s♦♥t à étt s ♦♥tr♥ts ♣rès ①t♦♥ ♥s ♥ ♠ ♦♥t♥

s♦♥t ♠♦és ♦r r①és ♣rès ♦t ♥ ♦r s♣♣é♠♥tr ♣♦s ♣r ①♠♣ ç♦♥

à rs♣tr éqr ♦ t s ♦s q réss♥t ♦♠♣♦rt♠♥t s ♦♥ts

Pr♥♣ ♠ét♦ ①t♦♥

♠ét♦ été ♥t♠♥t é♦♣♣é ♣♦r ♥ ♦ s②♠étrq ♥ sté sr t♦t ♥

①t♦♥ ♣♥ r② ❬❪ r♦r t r② ❬❪ ét ♥②tq st sé ♥ ①

ét♣s ♦♠♠ ♠♦♥tr r

Pr♠èr ét♣ s ♦♥ts s♦♥t ♥♥♠♥t rs r ♣rés♥ st ♥♦ré ♠ss r♦s

st s♦tr♦♣ ♦♠♦è♥ t éstq tr♥s♠tt♥t ♥ ♦r ♦r③♦♥t F0x ① s ♦ ♣♦s

♦ ♥t ♣s r♥t tt ét♣ éqr ♦ st ♦rs ssré r F0x ♣t êtr


r ét♦ ①t♦♥ ♣♦r ♥ ♦ s②♠étrqs ♥

♠♣♦sé ç♦♥ ♠♣rq ♦ é à ♣rtr ♥ ♠♦è ①t♦♥ éstq ♦♥t♥ s♥s

♣rs ♥ ♦♠♣t ♣♦s

❯♥ ♦♥t♦♥ ♥t rt à ♥♦♥♣stt♦♥ ♦♥t s♠♣♦s r♥t tt ♣r♠èr ét♣

t s①♣r♠ ♣r ♥été α < φ ♥s s ♦ù ♦és♦♥ st ♥ ♥s tt ①♣rss♦♥ α st

♠♥ s♦♠♠t ♦ t φ ♥ r♦tt♠♥t ♥ t s N0 st ♦♠♣♦s♥t ♥♦r♠

F0x sr ♥ ♦ ♦♠♣♦s♥t t♥♥t st T0 = N0 tanα ♦♥t♦♥ ♥♦♥

♣stt♦♥ ♦♥t s①♣r♠ ♣r T0 < N0 tanφ

①è♠ ét♣ s ♦♥ts s♦♥t é♦r♠s ♦rs q ♠ss r♦s st r ♣♦s P

♦ t r♥t tt ét♣ t ♦ s é♣ ç♦♥ à rétr éqr ♥ s♦t♥t

♦♠♣♦rt♠♥t s ♦♥ts s ♦rts r♥t sr s s ♥ s♥t s ♦s ♦♠♣♦rt♠♥t ♥érs

♦rté♣♠♥t s ♦♥ts s ♥♦① ♦rts és ♣r♠tt♥t ssrr éqr ♦

♦s ♦♥s s① ♥♦♥♥s s ♦rts sr q N1 T1 N2 T2 t s ♦♠♣♦s♥ts ♦r③♦♥t

t rt é♣♠♥t Ux t Uy

♣r♦è♠ st étr♠♥é ♣sq ♥♦s s♣♦s♦♥s s① éqt♦♥s ① éqt♦♥s éqr

♦r③♦♥t t rt t ① éqt♦♥s ♦♠♣♦rt♠♥t ♦♥t ♥ q ♦

♥s s à s s②♠étr ♣r r♣♣♦rt à ① rt s ♦rts sr s ① s s②♠étrqs

s♦♥t é① t ♦♠♣♦s♥t ♦r③♦♥t é♣♠♥t st ♥ ♥s ♥♦♠r ♥♦♥♥s st

rét à N T t U ♣r♦è♠ st rés♦ ♥ ♦♥sér♥t s éqt♦♥s s♥ts

• éqt♦♥ éqr rt

2T cosα− 2N sinα−W = 0

• s éqt♦♥s ♦♠♣♦rt♠♥t s ♦♥ts

N = N0 −Kn S Un t T = T0 −Kt S Ut

♥s s éqt♦♥s Kn t Kt s♦♥t s rtés ♥♦r♠ t t♥♥t s ♦♥ts t S = H0/ cosα

st ♦♥r s é♣♠♥ts ♥s rt♦♥ ♥♦r♠ à t ♥s rt♦♥

t♥♥t s♦♥t rs♣t♠♥t Un = U sinα t Ut = U cosα

♦♥t sérté rt à ♣stt♦♥ ♥ ♥ st ♦rs =N tanφ+ cS

T

❯♥ tr ♠ét♦ ét♦♥ stté ♦♥sst à ♠♣♦sr ♥ ♦r R s♣♣é♠♥tr

♣♦s P tt ♦r st é ç♦♥ à r♠♥r ♦ à étt éqr ♠t

♥ q ♦rt t♥♥t tt♥t r ♦rrs♣♦♥♥t à ♣stt♦♥ ♦♥t

T = N tanφ+ cS tr sérté st ♥st éé ♣r =P +R

P

♦t♦♥s q st ♣♦ss ♣r♥r ♥ ♦♠♣t t♥ ♥s s♦rt ❬❪

P ❯P

♥tr♦t t t♥ ♥s s♦t♦♥ ♥②tq ♥ ♠♦♥t ♦♠♣♦s♥t ♥♦r♠

é♣♠♥t ♦♠♠ st

Un = U sinα− Ut tanψ

é♣♠♥t ♥♦r♠ st ♥s rét t ♦rt ♥♦r♠ ♠♥t t♥ ♦♥ ♥ t

sts♥t sr ♦

s ♦rts ét♣ ♥t

Psrs trs ♦♥t é s ♦rts N0 t T0 ss♥t sr s s ♦ r♥t

♣r♠èr ét♣ ♥ ts♥t s s♦t♦♥s ♥②tqs ♦ ♥♠érqs strt♦♥

s ♦♥tr♥ts éstqs t♦r ♥ ①t♦♥ rr ♥s ♥ ♠ ♥♦♥ rtr r

♦r t r② ❬❪ s♦rt ❬❪ ♦♥♦♥s t ❬❪ ♦♠♦s t ❬❪

♦♠♦s t ❬❪ s rt♦♥s é♦♠étr ♦ t étt s ♦♥tr♥ts ♥ts

♥t ①t♦♥ ♦♥t été étés

s♦rt ❬❪ ♦♥séré s ♦♥tr♥ts ♥ts ②r♦sttqs s rs N0 t T0s♦♥t és ♣r ♥tért♦♥ s ♦♥tr♥ts ♣rès ①t♦♥ sr s s ♦ tr♥s♦r♠t♦♥

s ♦♥tr♥ts ♦♥♥ r F0x t ♥ r ♥ ♣♦r ♦r rt ♥t F0z

♦♥♦s t ❬❪ ♦♥t ♦♥séré ♥ étt ♥t ♦♥tr♥ts ♥♦♥ ②r♦sttqs s

♦♥tr♥ts ♥ts ♦r③♦♥ts t rts ♥ s♦♥t ♣s és s s♦t♦♥s rstrt♦♥

s ♦♥tr♥ts s♦♥t ♦♥♥és ♣r s éqt♦♥s rs t st st ♠ê♠ q

s♦rt ❬❪ ♦ r② ❬❪

♦♠♦s t ❬❪ ♦♥t ♦♥séré ♥ étt ♥t ♦♥tr♥ts ♥♦♥ ②r♦sttqs ♥♥és

s ♦♥tr♥ts ♥ts s♠♥t ♥ s♦♥t ♣s ♥s ♥s s ♥tért♦♥ s ♦♥tr♥ts

rts sr s ① s ♦ ♥st ♣s ♥ ♥ ♦rs s ♦rts F0z rt♦♥s

♦♣♣♦sés sr s ① s ♥s éqr s ♦rs rts st rs♣té ♠s st ♥ é♥t

q éqr s ♠♦♠♥ts ♥st rs♣té q ♣♦r ♥ ♣♦st♦♥ ♦♥♥é F0x t F0z sr s s

♦ ♦♠♠ sèr r tt ♣♦st♦♥ st ♣♦rt♥t ♥♦♥♥ t st st

t ♦♠♠ s s ♦♥tr♥ts ét♥t ♥♦r♠é♠♥t ré♣rts sr s s ♥s ①è♠ ét♣

♦r rr♠♥t st étr♠♥é ♥ ♦♥sér♥t q ♥ s ① s ♦

♣sté ♦♠♠ ♦ st s②♠étrq ♦s st ♦ù F0z st ré rs rt

♣♦st ♥s tt ét♣ st ss t s♥s s s♦r éqr s ♠♦♠♥ts

♦♠♦s t ❬❪ ♦♥t ♣♣qé s ♦♥sért♦♥s ♣réé♥ts ♣♦r ♥ ♦ ♥♦♥ s②♠étrq ①

♦rs rr♠♥t ♦rrs♣♦♥♥t à ♣stt♦♥ s ① s s♦♥t és rs♣t♠♥t t

♠♦♥s éé st ♦s

r ét♦ ①t♦♥ ♥s s ♦♥tr♥ts ♥ts ♥♥és


♣r♥♣ ♣♦r s s st ♠ê♠ q r② ❬❪ ①♣♦sé ♥s ♣rr♣

♣réé♥t ♥s ①è♠ ét♣ s éqt♦♥s ♦♠♣♦rt♠♥t s ♦♥ts t éqr s ♦rs

s♦♥t ♣♣qés ♣♦r ♦♥♥tr s ♦rts sr s s P♦r ♦ ♥♦♥ s②♠étrq ér♥

réstt r② ❬❪ st q ♦♠♣♦s♥t ♦r③♦♥t é♣♠♥t Ux ♥st ♣s ♥ P♦r

s ♦♥tr♥ts ♥♥és ♦♠♣♦s♥t F0z ♥st ♣s ♥

♦♥♥t s♥r q ♥s t♦s s s ♦ st s♦♠s ♥q♠♥t à ♥ ♠♦♠♥t

tr♥st♦♥ ♥ t ♦♥ ♦♥sèr ♥ ♦r ♥q ♣r q st éq♥t à ♦♥sérr ♥

strt♦♥ ♥♦r♠ s ♦♥tr♥ts ♥ q Pr ♦♥séq♥t st à ♥érté

♦ ♦♠♣♦rt♠♥t s ♦♥ts t♦s s ♣♦♥ts ♥ ♠ê♠ ♣♦ssè♥t ♠ê♠ é♣♠♥t

♦rrs♣♦♥ ♦♥ à ♥ ♠♦♠♥t tr♥st♦♥ s♥s ♣rs ♥ ♦♠♣t ♥ é♥t r♦tt♦♥

st ♠♣♦rt♥t ♥♦tr ss q rté ♥♥tr♥t ♣s ♥s s ♦♥tr♥ts és

tqs ♦rs q ♣♦s ♣♣rt r♥t ①è♠ ét♣ st ♦♠♠ s ♦♥ s♣♣♦st q

rté ♥♥♥ ♣s ré♣rtt♦♥ s ♦♥tr♥ts ♠s ♣♦r rô ♥q♠♥t s♦tr

♦♠♣♦rt♠♥t s ♦♥ts

♥s s ♣♣r♦s rtèr ♣stté sr s s ♥st ♣s t♦♦rs éré ♣♦r s ♦♥tr♥ts

éstqs r♥t ♣r♠èr ét♣ r s s ♦♥tr♥ts ♥ s♦♥t ♣s ♣stq♠♥t ♠s

ss r♥t ♣r♠èr ét♣ ♦ ♣t êtr rt♠♥t éré ♥st t ♣ss à

①è♠ ét♣ st sr

♥♠♥t ♥ q s ♦♥tr♥ts ♥ st t ♦♠♣♦rt♠♥t ♦♥t s♦♥t ♣rs ♥ ♦♠♣t ♥s

♠ét♦ ♦♣té ♥st ♣s ss③ r♦rs ♥ ré ♥ st♦rq t ♣ss ♥tr

♦♥tr♥ts ♥ts t ♦♥tr♥ts ♥s ♣r ♥ é♦♠♣♦st♦♥ ♥ ① ét♣s ♦rs q♥ rété

♣♦s ♦ t s ♦♥ts ♥tr♥♥♥t ès ét ①t♦♥

ts ♣r♠étrqs

s éts ♣r♠étrqs ♥tr♣rss ♥s s ér♥ts ♣♣t♦♥s ♠ét♦ ①t♦♥

♦♥t ♦t ① réstts ①♣tés ♣rès

• ♦rsq s ♦♥tr♥ts ♥ st ♠♥t♥t ♦r rr♠♥t ♠♥t s♦rt

❬❪ ♥s s ♦♥tr♥ts ♥♦♥ ②r♦sttqs ♠♥tt♦♥ ♦♥tr♥t ♥t

♦r③♦♥t é♠♥t ♥ t sts♥t ♦♥♦s t ❬❪

• ♦r rr♠♥t st ♣s éé ♦rsq ♥ s♦♠♠t ♦ ♠♥ ♦♥♦s t

❬❪ s ♦s étr♦ts s♦♥t ♦♥ ♣s sts

• ♠♥tt♦♥ r♣♣♦rt s rtésKn/Kt ♥ t ésts♥t sr ♦ s♦rt ❬❪

♦♥♦s t ❬❪ r♦r t r② ❬❪ t t st t♥t ♣s ♠rqé q ♠♥

s♦♠♠t α st ♣tt ♣r r♣♣♦rt à ♥ r♦tt♠♥t φ été ♠♦♥tré ♣r r♦r t

r② ❬❪ q r éé r♣♣♦rt ♦♥stt ♥ ♦r♥ s♣érr s♦t♦♥

♦r rr♠♥t t q♥ r é à ♥té ♦♥stt ♥ ♦r♥ ♥érr st ♦rs

♣s ♣r♥t ♥s s♦t♦♥ ♥②tq tsr s r♣♣♦rts éés Kn/Kt

• tr sérté =P +R

P♠♥ ♦rsq t ♦ ♠♥t ♣♦r s

♦♥tr♥ts ♥ts ♦r③♦♥ts ♦♥st♥ts r♦r t r② ❬❪

• s éts ♦♥♦s t ❬❪ t s♦rt ❬❪ ♦♥t ♠♦♥tré q ♦rsq ♠♥ s♦♠♠t

♦ ♠♥ ♦ st ♣s étr♦t t sts♥t t♥ st ♣s ♠rqé

P ❯P

♦♠♣rs♦♥ s ♠♦ès ♥♠érqs

♠ét♦ ♣réé♥t ♣♣qé ♣♦r ♥ ♦ s②♠étrq à sr r ♣♥ été ♦♠♣ré à

s ♠♦ès ♥♠érqs ♥ é♣♠♥t s♦♥t♥ r♦r t r② ❬❪ ♦ ♥ é♠♥ts

st♥ts ♦♠♦s t ❬❪ ♥s s ♠♦ès ♦♥ ♦♥sèr ♥ r♦ é♦r♠ ♠♦

❨♦♥ E s ① ét♣s ♠♦è ♥②tq s♦♥t s♠és tt ♦♠♣rs♦♥ ♥

♣s srr ♦♥ à tstr ♠ét♦♦♦ ♦♣té ♥s s ♠ét♦s ①t♦♥ ♠s s ♣tôt

à ♠♦♥trr q s ②♣♦tèss rté ♦ t ♥ strt♦♥ ♥♦r♠ s ♦♥tr♥ts

♥ s s s♦♥t s

Pr♠èr♠♥t ♦♥ ♦♥sèr ♥q♠♥t ♣rés♥ ♦♥tr♥ts ♦r③♦♥ts à ét♣ ♥t

♦rsq s rs α t φ s♦♥t ♣r♦s ♦ st éà ♣r♦ éqr ♠t s rs

s ♦rs rr♠♥t s♥t s ① ♠ét♦s ♥②tq t ♥♠érq s♦♥t ♣r♦s ♥é♣♥

♠♠♥t rt♦♥ E/Kn ♦ Kn/Kt r♦r t r② ❬❪ ♦rsq r φ

♠♥t ♣r r♣♣♦rt à α réstt ♥♠érq é♣♥ s rtés rts

r♦ t ♦♥t t ♦♥ r♣♣♦rt E/Kn P♦r ♥ r♣♣♦rt E/Kn s♦t♦♥ ♥②tq

srst♠ ♦r rr♠♥t ♦rsq r♣♣♦rt ♠♥t strt♦♥ s ♦♥tr♥ts ♥

s s ♥t ♣rsq ♥♦r♠ t s♦t♦♥ r♦ é♦r♠ s♣♣r♦ s♦t♦♥

♥②tq r♦ ♥♦♥ é♦r♠ r♦r ❬❪ ♦♠♦s t ❬❪

①è♠♠♥t ♦♥ ♦♥sèr ♣rés♥ ♦♥tr♥ts rts à étt ♥t ♥s s♦t♦♥

♥♠érq r♦r t r② ❬❪ rést ♥ ♥ ♠♥t♦♥ ♦r rr♠♥t t ♦♥

♥ t ésts♥t sr ♦ ♥s s♦t♦♥ ♥②tq ♣sq♦♥ ♥ s ♦r ♣r

éqr ♦ r♥t ♣r♠èr ét♣ ♠♣♦s t q ♦rt rt s♦t ♥

♣réé♥t r② ❬❪ ♥s ♣rs ♥ ♦♠♣t s ♦♥tr♥ts rts ♥st ♦rs ♣s ♣♦ss

♥s s♦t♦♥ ♥②tq Pr rs ♣rés♥ s ♦♥tr♥ts rts ♥ts ♣♦r t

térr strt♦♥ s ♦♥tr♥ts t♦r ①t♦♥ t ♠♥r s ♦rts F0x és

s♦t♦♥ ♥②tq rsq ♦rs srst♠r stté ♦ srt♦t ♦rsq r♣♣♦rt ♥tr

s ♦♥tr♥ts rts t ♦r③♦♥ts ♥ts ♠♥t

♠ê♠ t②♣ ♦♠♣rs♦♥ été ss t ♣♦r ♥ ♦ ♥♦♥ s②♠étrq s♦♠s à s ♦♥tr♥ts

♥ts ♥♦♥ ②r♦sttqs ♥♥és ♥ r ♦r③♦♥t ♦♠♦s t ❬❪ ♥s

♠♦è ♥♠érq ♥ é♠♥ts st♥ts ♦ t ♠ss r♦s s♦♥t s♣♣♦sés êtr rs

s réstts ♦r rr♠♥t ♦t♥s s♦♥t ss③ ♣r♦s ♥tr ♠♦è ♥②tq t

♠♦è ♥♠érq

♣rès s éts ♥♦s r♠rq♦♥s q té s♦t♦♥ ♥②tq ♣♦r s ♦s à

sr ♣♥ st ♥q♠♥t r ♣♦r s rs éés ♠♦ ❨♦♥ r♦ t ♣♦r

s ♦♥tr♥ts rts ♥ts ♥s ♣r♠èr s♣♣♦st♦♥ st ♣t ♣sq st

②♣♦tès ♥t ♥♦tr ét r♦ st r ♦t♦s ♣rs ♥ ♦♠♣t ♦♥tr♥ts

rts ♥s ♥st ♣s r♣rés♥tt ♥ s é♥ér t ♦♥stt ♥ ♠tt♦♥ ♠r

♣♣t♦♥ ♠ét♦ ♥②tq

s réstts èr♥t ♥♦r ♣s ♥tr s♦t♦♥ ♥②tq t ♥♠érq ♣♦r s ♦ à

sr r ♦r♠ rr ♦♠♦s t ❬❪ ♦r rr♠♥t st srst♠é ♥s

♠♦è ♥②tq ♦rsq♦♥ ♦♥sèr ♥q♠♥t s ♦♥tr♥ts ♦r③♦♥ts t ♥♦r ♣s ♥s

s ♦♥tr♥ts ♥ts ♥♦♥ ②r♦sttqs ♥♥és ♦ ♥♦♥ ♣t êtr ttré t

q trt♦r s ♦♥tr♥ts t♥ à sr ♦r♠ t♥♥ ① ♥t♦rs sr r

♦s ♦sr♦♥s ♦rs ♥ ♣stt♦♥ ♣rt s s ♦♥t ♥s ♠♦è ♥♠érq q♥

♦♥ s♣♣r♦ r ♠ê♠ ♣♦r ♥ r éé E ♥②tq srst♠ ♦♥


stté ♦ ♥s s ①t♦♥s rrs ♣♦r t♦t t②♣ r♠♥t ♥t ♦

r rté r♦

♥♥ s s réstts s♦t♦♥ ♥②tq s♣♣r♦♥t s♦t♦♥ ♥♠érq ♣♦r s

s sr ♣♥ srt♦t ♣♦r s ♦♥tr♥ts ♥ts ♦r③♦♥ts ♣♦r s sr r

rr s♦t♦♥ ♥②tq srst♠ stté q q s♦t t②♣ r♠♥t

♣♣t♦♥ à ♥ ♦

♠ét♦ ①t♦♥ été ♣♣qé à ét ♥ ♦ ♥ ♦♦♠♥ t ❬❪

❨♦ t ♦♦♠♥ ❬❪ s♦♥ ssq ♥ ① ét♣s st ♦♣té t ♣r♥♣

st ♠ê♠ q ♥ ♥s ♣♣r♦ ❨♦ t ♦♦♠♥ ❬❪ à ér♥ s ♠ét♦s

①♣♦sés ♣réé♠♠♥t ♦♥ ♦♥sèr ♥ ré♣rtt♦♥ s ♦♥tr♥ts ♥♦♥ ♥♦r♠s sr

♦ tr♠♥t t s ♦♥tr♥ts ♥ s♦♥t ♣s r♠♣és ♣r ♥ s ♦rt ♣r

♥s ♣r♠èr ét♣ s♦t♦♥ s ♦♥tr♥ts ♥s ♥ ♠ éstq ♥ é♦r♠t♦♥ ♣♥

t♦r ♥ ①t♦♥ ②♥rq ♥s ♥ ♠ ♥♦♥ rtr st tsé s♥s ♣r♥r ♥ ♦♠♣t

♣rés♥ s ♦♥ts s ♦♥tr♥ts ♥♦r♠s t t♥♥ts s♦♥t éts sr s s ♠és

♦

♥s ♣♣r♦ ♦♦♠♥ t ❬❪ ♦♥ ♦♥sèr ♥ ♦r ♥♦♥♥ ♣r r♥t

①è♠ ét♣ ♣r♦è♠ rst ♥étr♠♥é ♣sq♦♥ ♥♦♥♥s ♦♠♣♦s♥ts

♦r ♣r t ♦♠♣♦s♥ts é♣♠♥t t éqt♦♥s éqt♦♥s éqr t

éqt♦♥s ♦♠♣♦rt♠♥t ♣r P♦r r à ♥étr♠♥t♦♥ ♣r♦è♠ ♦♥ ♦♥sèr

q ♣stt♦♥ s t s♠t♥é♠♥t sr t♦ts s s t ♦♥ ♥ ♦r s♦tè♥♠♥t

♦ rr♠♥t ♦rrs♣♦♥♥t ♥s q♥ tr é♣♠♥t ♦rrs♣♦♥♥t s ♠tt♦♥s

tt ♣♣r♦ s♦♥t s ♠ê♠s q s s trs ♣♣r♦s ♥

♥s ♠ét♦ ❨♦ t ♦♦♠♥ ❬❪ ♥ é♣♠♥t rt rs s st ♠♣♦sé sr

♦ ♥s ①è♠ ét♣ rt♦♥ s ♦♥tr♥ts ♥ q ♠ st

é ♥ ts♥t s ♦s ♦♠♣♦rt♠♥t s ♦♥ts t♥ s ♦♥ts st ♣rs ♥ ♦♠♣t

♦♠♣♦rt♠♥t ♥♦r♠ ♦♥t ♣t êtr ♥ér ♦ ②♣r♦q t s ♦♥tr♥ts t♥♥ts

s♦♥t ♠tés ♣r rtèr ♣stté ♠♣♦sé st t ♣♦r ♣srs ♥ré♠♥ts é♣

♠♥t rt rs s ♦r rr♠♥t ♦rrs♣♦♥♥t st ♦♣♣♦sé ♥tér Q s

♦♥tr♥ts ss♥t sr s s ♦ tt ♦r st ♥érr ♣♦s ♦ st é ♥ étt

éséqr ♥st ♣♦r é♣♠♥t ♦rrs♣♦♥♥t ♥s s ♦♥trr ♦ st ♥s ♥

étt éséqr st ♣♦ssè ♥ ♠r sérté stté é♥ér ♦ st é

♥ é♥t ♦r rr♠♥t ♣♦r ♣srs é♣♠♥ts és

♦t♦♥s q ♥s rt ❨♦ t ♦♦♠♥ ❬❪ ♥♦s r♠rq♦♥s q éqr ♦ ♥st

♣s rs♣té ♥s ♣r♠èr ét♣ ♣sq ♦r rr♠♥t ♥st ♣s ♥

st ♦♥trt♦r t q♥ éstq s ♦♥tr♥ts s♥s rté st té ♥ ♣t

ttrr éséqr à ♥ ♦rrt♦♥ s ♦♥tr♥ts t♥♥ts ②♥t é♣ssé rtèr à étt

♥t s ♦rs rr♠♥t és ♥s ①è♠ ét♣ ♥ s♦♥t ♦♥ ♣s r♣rés♥tts

stté ♦ ♣sq♥ ♣rt ♦♥tr à ♦rrr éséqr ♠♣♦sé ♦ r♥t

♣r♠èr ét♣ ♥ ♦tr s ♦rs rr♠♥t ♦rrs♣♦♥♥t à ♥ é♣♠♥t rt

♦ é♣♠♥t ♥ ♦rrs♣♦♥ ♣s ♥éssr♠♥t é♣♠♥t ♥ ♦ ♥s ♥ ♠♣

♦♥tr♥ts rtrr

♥♠♥t ♥ q ♦♥ ♦♥sèr ♣srs ♦♥tr♥ts ♣r s ét ♣♦ssè ♣srs ♠

tt♦♥s ♥ ♣t ♣s êtr ♣♣qé à ♥ ♦ ♦♥t ♦♥ ♥♦r rt♦♥ é♣♠♥t ♥ ♣s

P ❯P

stté st é ♥ ts♥t ♥ tr éséqr (Q + P )/P ♦rrs♣♦♥♥t à ♣srs

♠♣ts é♣♠♥ts tr trt ♣tôt ♥ ♥♣tt♦♥ s ♦♥t♦♥s éqr

é♣♠♥t ♠♣♦sé q ré♠♥t ♥ ét♦♥ r♦rs stté

♦♥s♦♥

♠ét♦ ①t♦♥ ♦♣t ♥ ♣♣r♦ s♦♥ ♥ ① ét♣s ♦♥ s♣♣♦s

q tt ♣♣r♦ st r♦rs ♣♦r ♣♣rt s éts ♣♣t♦♥ s♦t♦♥ ♥②tq st

♥q♠♥t ♦rsq ②♣♦tès strt♦♥ ♥♦r♠ s ♦♥tr♥ts ♥ s s

st ♣♦ss st ♠té s ♦s rs à sr r ♦r③♦♥t ♥ ♦tr ♦♠♣rs♦♥

été t ♣r ♦♠♣rs♦♥ s ♠ét♦s ♥♠érqs q ♦♣t♥t ♠ê♠ t♥q s♦♥

♥ ét ♥ ♣r♠s str tt s♦♥ ♥ q ♦♠♣rs♦♥ ♥ s♠♣ ♠♦è

♥♠érq ♦ù s ♦♥ts s♦♥t s♦tés s♠t♥é♠♥t ①t♦♥ s♦t ♣♦ss

ê♠ ♣♦r ♠ét♦ ♦ù ♥ ré♣rtt♦♥ ♥♦♥ ♥♦r♠ s ♦♥tr♥ts st ♦♥séré ♦♥ ♥ s

st r stté ♦ q♥ ♠♣♦s♥t ♥ é♣♠♥t ♦♥♥é ss tt ♠ét♦♦♦ ♥ ♣s

été ♦♠♣ré à trs ♣♣r♦s ♥♠érqs

♥s ♠ét♦ ①t♦♥ ♦♥ st♠ q ♦♠♣♦rt♠♥t ♦♥t ♥st s♦té q ♣r

♣♣t♦♥ ♣♦s ê♠ s ♦♥ ♣♣q ♥ tr ♦r ♣♦r r♠♥r à éqr ♠t

stté st é ♥ ♦♠♣r♥t tt ♦r ♠t ♣♦s tt ②♣♦tès ♥st ♥ ♥ s

st ♣sq ♦♠♣♦rt♠♥t s ♦♥ts ♥tr♥t ♥ rété ès ét ①t♦♥

ért♦♥ ♥ ♦

♠ét♦ rét ♠♣ ♦♥tr♥ts ♠ss ♥ s ♠♣ ♥ s♥t ♥tr♥r

♦ ♦♠♣♦rt♠♥t s ♦♥ts ♥s ss r♦♥sttr é♦t♦♥ s ♦♥tr♥ts

étt ♥t à étt ♥ ♠s tt r♦♥sttt♦♥ ♥st ♣s r♦rs à s s♦♥

ét ♥ ① ét♣s q ♥ s♦♥t ♣s r♣rés♥tts é♦t♦♥ ré ①t♦♥

♥♥ ♠ét♦ ①t♦♥ ♥ été é♦♣♣é q ♣♦r s ♦s stés sr t♦t ♥

①t♦♥ t ♠♦♠♥t ♦ st ♠té à tr♥st♦♥ st ♥ ♣♣r♦ t ♣♦r

♠ttr ♥ é♥ ♥♥ s ér♥ts ♣r♠ètrs sr ♣r♦è♠ stté ♠s ♥ ♣t ♣s

♦♥sttr ♥ ♣♣r♦ ♦♠♣èt ♥②s stté ♦s ♦ ♦♥♣t♦♥ ①t♦♥ ♥s

♥ ♠ s♦♥t♥

②♥tès

♣r♠r ♣tr ♦♥stt ♥ r ♦r♣q s ér♥ts ♠ét♦s ♥②s

stté s ♦s r♦① t♦r s s s♦trr♥s ♥t st ♠s sr s ♠ét♦s ♦♣t♥t

♣♣r♦ s ♦s s♦és t st ♠♦♥trr ♥ ♣rt ♥t ♣♣r♦ s ♦s

s♦és ♣r r♣♣♦rt à ♥ ♦♠♣r♥♥t t♦s s ♦s t tr ♣rt s ♠tt♦♥s s ♠ét♦s

s♣♦♥s ♦♣t♥t tt ♣♣r♦

s ér♥ts ♠ét♦s ♣♦sss ♣♦r étr ♥ ♥s♠ ♦s ♥ ♥trss♥t ♥tr

① s♦♥t ♣rés♥tés sèr q ♣r♦è♠ st ss③ ♦r à s é♦♠étr ♦♠♣①

♠♦è t srt♦t s s ♥♦♥ ♥értés s♦♥t ♥tr♦ts ♥ ♦tr s ♥rtts és à

té ès ① ♣r♠ètrs é♦♠étrqs t ♠é♥qs s s♦♥t♥tés ♣srs s

stté ♥ s♥t rr s ♣r♠ètrs s♦♥t ♥éssrs q ♦rt ♥♦r ♣s ♣r♦ér

Pr rs s ♠ét♦s ♦s ♠t♣s ♣♥t ♣rés♥tr rt♥s ♥♦♥é♥♥ts ♠ét♦

s é♠♥ts st♥ts ts s éqt♦♥s ②♥♠q ♣♦r rés♦r ♥ ♣r♦è♠ sttq s

éqt♦♥s ♦♥stt♥t ♥ st ♥♠érq ♣♦r rtr♦r ♥ ♠♣ ♦♥tr♥ts sttq♠♥t


♠ss ss ♣♣r♦ ♣t êtr té ♣r t②♣ ♠♦rtss♠♥t tsé ♦t♦♥s à

q st♦♥ s ♦♥tts ♥tr s ♦♥ts st ♥ ♣r♦è♠ ss③ ♦♠♣① ♠ét♦ ♦

q ♣r♠t ♠♦ést♦♥ ♥ s②stè♠ ♦s rs ♦♣t ♥ ♣♣r♦ sttq

s♠r à s é♠♥ts ♥s ♠♥♠st♦♥ é♥r ♣♦t♥t ♠s s rt à ♣srs

♠tt♦♥s ♠t♦♥ s rrrs s ① s♠♣t♦♥s ♦♣tés ♥s ♣rs ♥ ♦♠♣t

r♦tt♦♥ ♦ ♣t ♠♣êr ♦♥r♥ s②stè♠ s ♦rrt♦♥s ♣♥t êtr ♥tr♦ts

♠s s ♥ s♦♥t ♣s ss③ s ♥♥ ♠ét♦ ♦♣t ss ♥♦t♦♥ ♠♥♠st♦♥

é♥r ♣♦t♥t ♥s s rs♦♥ ssq tt ♠ét♦ ♥ ♣r♠ttt ♣s r♣rés♥tr ç♦♥

r♦rs ré♣rtt♦♥ s ♦♥tr♥ts sr s s s ♦s ♠s s éts ré♥ts ♦♥t ♥tr♦t

♣rs ♥ ♦♠♣t ♦♥tr♥ts ♥♦♥ ♥♦r♠s sr s s Pr rs s rtés ♦♣tés ♣♦r

s ♦♥tts ♥ s♦♥t ♣s r♣rés♥tts s rtés s ♦♥ts ♦♥ r ttr s rs ♦♥♥s

♣♦r s♠r s ♦♥t♦♥s ♥♦♥ ♣stt♦♥ ♦♥tt t s♥ ♥tr♣é♥étrt♦♥ ♥tr s

♦s

♠ét♦ s ♦s s♦és r♣rés♥t ♥ ♣♣r♦ s♠♣tr ♣♦r ré♣♦♥r à qst♦♥

stté s ♦s à ♦♥t♦♥ q ♦♥♥ ♥ réstt ♦♥srtr tt ♣♣r♦ ♦♥sst à étr

♦ ♥ ♦♥sér♥t q st r t q rst ♠ss r♦s st ♦♥t♥ t r

♠♥t sr étt stté ♦ ♥ésst ♦♥♥tr s ♦♥tr♥ts q ①st♥t sr ss s

♣rès ①t♦♥ st♦rq r♠♥t ♥st ♣s ♣rs ♥ ♦♠♣t ♥ s ♦s ♦♠♣♦rt♠♥t

s ♦♥ts st ♥étr♠♥é ♥t q ♣♣rt s ♣♣r♦s ♦s s♦és ss♥t

tr♦r s ♦♥tr♥ts ♥s ♥ ♦♥sér♥t ♥q♠♥t étt ♥ r♠♥t ♣r♦è♠ st

♦ré♠♥t ♥étr♠♥é P♦r rér ♥♦♠r ♥♦♥♥s ♦♥ ♦♥sèr s ♦♥tr♥ts ♥♦r♠s sr

q ♥ st ♣s ♣♦r r ♥étr♠♥t♦♥ t s ②♣♦tèss ♦rts s♣♣é♠♥trs

s♦♥t ♦♣tés s♥t ♠ét♦ tsé ♣♦♥t ♥ à r♣tr ♦♥ r

♥s♠ s s♦tt♦♥s t q ♠♣ ♦♥tr♥ts ♦ ♥s♠ s ♦rs sr s ♦s

s♦t sttq♠♥t t ♣stq♠♥t ♠ss s ♣♣r♦s ♦s s♦és ♣♥t êtr ssés

♦♠♠ s ♣♣r♦s sttqs ♣r ♥térr ♥ r à tr♦r ♥ ♥s♠ q ♦♥stt ♥

♦r♥ ♥érr s s♦t♦♥s ♣♦sss ♠♣ st rstr♥t à q st rs♠ ér♠♠♥t

♣♦r q ♠ét♦ ♦s s♦és

♥s ♠ét♦ s ♦s és ♦♥ ♣r♦è à ♥ ét ♥é♠tq q étr♠♥r ♣rès

é♦♠étr ♦ s♦♥ ♠♦♠♥t ♥ s ♠t à tr♦s t②♣s ♠♦♠♥ts ♥ tr♥st♦♥ t

r ss♠♥t sr ♥ t ss♠♥t sr ① s ♦r rét♦♥ st ♦♥séré êtr

♥ sr q s ét rst ♠ss r♦s Pr ♦♥séq♥t ♥♦♠r ♥♦♥♥s

st rstr♥t t ♦♥ st ♣ r s ♦rs sr s s ss♠♥t ♥ ts♥t s éqt♦♥s

éqr ♦t♦♥s q♥ ♦ ♥ t r st éré ♥st t♦♠tq♠♥t tt ♣♣r♦

rç ♣♦♣rté srt♦t ♥tr♦t♦♥ ♣r ♦♦♠♥ t ♥♦t♦♥ ♣②r♠

♦♥t q ♣r♠t étr s ♦♠♥s♦♥s ♦♥ts s♥s ♦r à ♦r♠r s ♦s ♣♦ssté

r♦tt♦♥ été ♦♥séré ♣r qqs trs ♥s ét ♥é♠tq ♠s s ♦r♠t♦♥s

♠té♠tqs s♦♥t ss③ ♦♠♣①s t r ♥tr♦t♦♥ ♥s ♥ ♠♦è ♦♥trt ♥térêt

♣r♥♣ ♣♣r♦ s ♦s és q s à s♠♣r ♣r♦ér ♥②s stté s

♦s rt♥s trs ♦♥s♥ts q ♣r♦è♠ st rés♦ ♥ s♣t ♣r♠♥t é♦♠étrq

♦♥t ss②é ② ♥tr♦r s ♦♥tr♥ts s ♦♥tr♥ts s♦♥t és à ♣rtr ♥ ♠♦è ♦♥t♥

t ♦♥ ♠ét♦ ♦♣té ♥st ♣s ss③ r♦rs

s ♠ét♦s étr♠♥sts ♦♥sèr♥t q ♠♣ s ♦♥tr♥ts ♥♦♥♥ ♣t êtr ♦r♥

♣r tstr ç♦♥ à rs♣tr éqr ♦ rst ♦rs à érr s st ♣stq♠♥t

♠ss ♥s rt♥s ♣♣r♦s ♦♥ ♦r♥t ♥ ♣rt ♠♣ ♦♥tr♥ts ♠♦②♥♥♥t

P ❯P

♥ ♥ ♠ ♦♥t♥ t ♦♥ r à étr♠♥r rst s ♦♥tr♥ts ♣♦r éqrr

r♠♥t ♠♣♦sé s ②♣♦tèss ♥♦♥ stés ♦♥r♥♥t rt♦♥ ♦r t♥♥t s♦♥t

♦rs ♠♣♦sés s ♠ét♦s étr♠♥sts s♦♥t ♥rt♥s ♣sq ♠♣ s ♦♥tr♥ts ♦r♥

♥st ♣s ♥éssr♠♥t r t ♦♠♣♦rt♠♥t s ♦♥ts ♥♥tr♥t ♣s ♥s

♠ét♦ ①t♦♥ t♥t ♥r s ♦♥tr♥ts ♥ts t ♦♠♣♦rt♠♥t s ♦♥ts

♣♦r rtr♦r s ♦♥tr♥ts à étt ♥ ♣♥♥t ♣r♦ér ♦♣té ♥ r♣r♦t ♣s ♥

st♦rq s s♦tt♦♥s s ♦♥tr♥ts sr ♦ s♦♥t és ♥s ♥ ♣r♠èr ét♣ à

♣rtr ♥ ♠♦è éstq ♦♥t♥ trt t ①t♦♥ t é♦r♠té

r♦ sr rt♦♥ s ♦♥tr♥ts ♠s ♥♥ ♣♦s t s s♦♥t♥tés st ♥éé s

♦♥tr♥ts s♦♥t ♥st ♠♦és ♥ ♦♥sér♥t ♥s ♥ ①è♠ ét♣ q ♣♦s t sr

♦ t ♥ s♦t♥t ♦♠♣♦rt♠♥t s ♦♥ts tt ♣r♦ér ♥ r♣rés♥t ♣s é♦t♦♥ ré

étt ♦ ♦ù ♣♦s t ♦♠♣♦rt♠♥t ♦♥t ♥tr♥♥♥t ç♦♥ s♠t♥é ès

ét ①t♦♥ Pr rs tt ♠ét♦ s ♠t à s s s♠♣s ♦s t♦t

r ②♥t s ♠♦♠♥ts tr♥st♦♥ st t ♣♦r s éts ♣r♠étrqs ♠s ♥

♣t ♣s ♦♥sttr ♥s s ♦r♠t♦♥ t ♥ ♠ét♦ r♦rs ♥②s stté

♦♠♠ t♦ts s ♣♣r♦s s♣♣r♥t♥t à s ♣♣r♦s sttqs ♣r ♥térr ♦♥ ♥ ♣t

♣s r♠♥t s qr ♣r ré ♥rtt s s♦♥t t♦ts ♥rt♥s ♥s♠ s s♦

tt♦♥s ♣♦s ♣r ①♠♣ st s♣érr à ♥s♠ tr♦é ♦♥ q ♦ ♥st

♠♥t st sértr ♠s ♥st ♣s s♦♠♥t r ss ♦♠♠ ♥s s t♦t à

r♣tr ♠ê♠ s s s♦tt♦♥s rés ♣♣rt♥♥♥t ♥s♠ é ♦♥ t q ♦ st

♣r♦♠♥t st ♠s ♦♥ ♥ ♣t ♣s r♠r q st rtt

♥♠♥t sèr ♥éssr r♣r♥r ét ♦ sté t♦r ①t♦♥ ç♦♥

♣s r♦rs ♥ é♦♣♣♥t ♥ ♥♦ ♣♣r♦ q ♦♥sèr ♥ é♦t♦♥ s ♦♥tr♥ts sr

s s ♦ ♥ ♣r♥♥t ♥ ♦♠♣t à ♦s s ♦s ♦♠♣♦rt♠♥t s ♦♥ts t s éqt♦♥s

éqr tt é♦t♦♥ s ♦♥tr♥ts ♦t êtr sé ♦♠♠ ♥ rété ♣r ér♠♥t

r ♦ ❯♥ ét♦♥ ♣rt♥♥t stté ♦t ♦♥sérr ♥ ré♣rtt♦♥ ♥♦♥

♥♦r♠ s ♦♥tr♥ts ♣r t ♣♦ssté r♦tt♦♥ ét ♦t êtr ♣♣ ♣♦r t♦t

t②♣ ♦ q q s♦t s é♦♠étr t q q s♦t s ♣♦st♦♥ t♦r ①t♦♥

♣tr ♣rés♥tr ♥ ♠♦è q ré♣♦♥ à t♦s s rtèrs

P

♥tr♦t♦♥

♥s ♣r♠r ♣tr ♥♦s ♦♥s ♠♦♥tré s tés ss♦és à ét ♥ s②stè♠

♦s ♥ ♥trt♦♥ ♥tr ① ♣r♦è♠ ①trê♠♠♥t ♦r t♥t ♣s q ♥s s s ♠ss

r♦① s ♥rtts és ① ♦♥♥és é♦♠étrqs s s♦♥t♥tés ♥ésst♥t r ♣srs

s♠t♦♥s ❯♥ s♠♣t♦♥ ♣r♦è♠ r♠♥t tsé ♥ ♣rtq ♦♥sst à s♦r q

♦ sté ♥ ♦♥tt ①t♦♥ t à étr ♥ ♦♥sér♥t q st r t q t♦t rst

♠ss r♦① st r t ① st ♣♣r♦ s ♦s s♦és ♥ ♠t q st

♣t t♥t q st sértr stté s ♦s s♦és stés à sr ①t♦♥

r♥trt stté t♦s s ♦s ♠ss r♦① ré tt r♥ s♠♣t♦♥ ét

♥ s ♦ t♦s s ♦s ♥ ♥trt♦♥ été ♠♦♥tré q♥ ♠ét♦ ♥s

ttértr ♥ ♣r♠t rés♦r ♣r♦è♠ ç♦♥ r♦rs

♣tr r♣r♥ ♣r♦è♠ ♦ s♦é sté ♥ ♥ té s♦trr♥ s

♣sst ré♠♥t ♦rs ①t♦♥ ♣♦r ♦ étt ♥t ♥t ①t♦♥ ♦ st

♣rs ♥s ♠ss r♦s t s ♦♥tr♥ts ♥ts ♣♣qés sr t♦ts ss s s♦♥t ♦♥♥s ♦rs

①t♦♥ ♥ ♦ ♥ ♦♥tt tr ①t♦♥ s èr ♣r♦rss♠♥t

sqà ♥♥t♦♥ t♦t s ♦♥tr♥ts q ② s♦♥t ♣♣qés ♣♣rt s ♠ét♦s ♦s

s♦és tsés sqà ♥♦s ♦rs ét♥t ♦ à étt ♥ ♥q♠♥t ♣r♦è♠ st ♦rs

♦ré♠♥t ♥étr♠♥é t ♦♥ ♦♣t s s♠♣t♦♥s s♣♣é♠♥trs ♦rts ♥♦r♠s sr q

étr♠♥t♦♥ ♠♦ ♠♦♠♥t ♣r s ♦♥sért♦♥s é♦♠étrqs ♥♦♥ ♣rs ♥ ♦♠♣t

r♦tt♦♥ ♣♦r tr♦r ♥ étt ♦♥tr♥ts q ér éqr ♦ ♦t♦s st

♥ étt ♣r♠ t♥t trs ♣♦sss q ♣♥t érr éqr ♦ ♠s ♥ ♦rrs♣♦♥

♣s ♦ré♠♥t ♥ à r s♦t♦♥ ♣r♦è♠ ♣♦sé ♥ à étt ♣s ♣ss♠st

st t♠♣s ♦rs r♦♥sérr ♣r♦è♠ ♦ s♦é ♥ r♣r♦s♥t s♦♥ st♦rq

r♠♥t ♥tr étt ♥t t étt ♥ ♥ s♥t ♥tr♥r ♦ ♦♠♣♦rt♠♥t s ♦♥ts

P

t s éqt♦♥s éqr é♦t♦♥ s ♦rts sr s s ♦ ♣t êtr s ♥tr s ①

étts ♠ét♦ é♦♣♣é s♣♣r♦ ♠ét♦ ①t♦♥ ♥ q ♦♠♣♦rt♠♥t s

♦♥ts st s♦té ♣♦r r①r s ♦♥tr♥ts ♥ s s s à ér♥ tt

♠ét♦ ♥st ♣s ♥q♠♥t ♣♦s q ♥tr♥t ♣♦r s♦tr ♠♦♠♥t ♦ ♠s

ért♦♥ s ♦♥tr♥ts ♥ ①t♦♥

♣tr t ♣rés♥t ♥ ♥♦ ♠♦è ♥♠érq q ♦♣t ♣♣r♦ s ♦s s♦és

ç♦♥ ①t s ss ♠tt♦♥s ♠♦è s♦♥t s s ②♣♦tèss ♥ts rts

à ♣♣r♦ s ♦s s♦és à s♦r ♦ été st ♥é♦r♠ ♦♥ t♦t rt♦♥ s

♦♥tr♥ts s t ♥ s ♦♥ts t s trs ♦s t♦r ♦r♠♥t ♥ t♦t q st ①

Pr rs à ér♥ s ♠♦ès ♦s s♦és ①st♥ts ♥♦ ♠♦è ♣r♥ ♥

♦♠♣t t♦s s ♣r♠ètrs s♥ts ç♦♥ s♠t♥é

• s ♦♥tr♥ts ♥ st

• ♠♦♠♥t ♦ ♥ ♦r♣s s♦ tr♥st♦♥ t r♦tt♦♥ s♠t♥és

• ♦♠♣♦rt♠♥t ♠é♥q s ♦♥ts

• é♦♠étr tr♠♥s♦♥♥ ♦ ♣♦②èr ♥ ♥♦♠r q♦♥q s

♦s ♦♠♠♥ç♦♥s ♣r ♣rés♥tr ♠♦è t s éqt♦♥s ♥éssrs ♣♦r é♦♣♣r s②stè♠ à

rés♦r éqr s ♦rs t ♠♦♠♥ts ♠♦♠♥t ♦r♣s s♦ éqt♦♥s ♥érs ♦♠♣♦r

t♠♥t s ♦♥ts ♥ ♦tt à ♥ s②stè♠ ♥ér ♦ù s ss ♥♦♥♥s s♦♥t s trs tr♥st♦♥

t r♦tt♦♥ ♦ ♦s ♠♦♥tr♦♥s q st ♣♦ss étr t♦t ♦r♠ é♦♠étrq tr♠♥s♦♥

♥ ♦ tt ♣♣r♦ s ér♥ts rtèrs stté s♦♥t ♥st stés ♠♦è

st é ♥ ♥ ♦♠♣r♥t s réstts ♥ ♥ é♠♥ts ♥s ❯♥ ét ♥②

tq ♥ ♣♦r ♥ ♦ s②♠étrq t♦t ♣r♠t ♠① ♦♠♣r♥r ♥♥ s ér♥ts

♣r♠ètrs ♦♥tr♥ts ♥ts rtés s ♦♥ts ♥ s♦♠♠t ♦ t r rss♦rtr

ér♥ s trs ♣♣r♦s ♦s s♦és ♥♠♥t ♣srs ♣♣t♦♥s ♦s ♥

s♦♥t ♣rés♥tés st ♥②sr stté à ér♥ts ♣♦st♦♥s t♦r ①t♦♥ t

r ♥ ét ♣r♠étrq s ♦♠♣rs♦♥s s réstts ♠ét♦s ♦♥♥t♦♥♥s

♦s s♦és ♠♦♥tr♥t q s ♥ s♦♥t ♣s s②sté♠tq♠♥t ♦♥srts

é♦♣♣♠♥t ♥♦ ♠♦è

r str ♣r♥♣ ♥♦ ♠♦è ♦ é♦ étt ♥t à étt

♥ ♣r ér♠♥t ♥ ♦ ♣srs ss s st ♣r♥♣ q st ♦♣té ♣♦r

s ♦♥tr♥ts t♦r s tés s♦trr♥s ♥②tq♠♥t ♦ ♥♠érq♠♥t ♦rsq

♦♠♣♦rt♠♥t ♠ss r♦① t s ♦♥ts st ♥ér ♦♥ ♣t r ♥ ér♠♥t sr

①t♦♥ ♥ ♥ s ♦s ♠s ♦rsq ♦♠♣♦rt♠♥t st ♥♦♥ ♥ér ér♠♥t ♦t

êtr t ♥ ♣srs ♣s ♣r♥♣ ♥st é♠♠♥t ♣s ♥♦ ♠s s♦♥ ♣♣t♦♥ ♣♦r

ét ♥ ♦ ♥ r sté sr sr ①t♦♥ ♣♣r♦ s ♦s s♦és ♥

♠s été ♦ré ♣r♥t é♦r♠té ♠tr r♦s ♥st ♣s ♣rs ♥ ♦♠♣t

♥s ♦t s ♣ss ♦rs ♥ s ♦♥ts é♠t♥t ♦ s ♠ts é♦♠étrqs

♠♦è ♦ï♥♥t ♦♥ s s ♦ été t ♠ss r♦s st r♠♣é ♣r

s ♦♥tr♥ts ss♥t sr s s ♦ ♥s ♠♦è ért ♥s ♣tr ♦♠♣♦rt♠♥t

s ♦♥ts ♦♣té st ♥ér ♣ss étt ♥t s ♦♥tr♥ts à étt ♥ t ♥tr♥r

s éqt♦♥s s♥ts s éqt♦♥s éqr à étt ♥t t ♥ s éqt♦♥s ♠♦♠♥t

♦r♣s s♦ ♦ s éqt♦♥s ♦♠♣♦rt♠♥t ♥♦r♠ t t♥♥t ♥érs s ♦♥ts ♦s

és♥r♦♥s ♣r ♥♦ ♠♦è ♥ ♦ s♦é é♦♣♣é ♥s ♣tr

é♦♣♣♠♥t ♥♦ ♠♦è

s♥t q ♣rs ♥ ♦♠♣t ♥ ♦♠♣♦rt♠♥t ♥♦♥ ♥ér ♣s rést sr ♦ré ♣tr

s♥t ♦♥♥t r♣♣r q é♠r q ♦♥sst à ♥ rt♥r q ♣rt ♥ér

♦♠♣♦rt♠♥t st ssq ♥s r ést♦♣stté ♦♥sst à ♠ttr q strtr

s ♥ tr♥s♦r♠t♦♥ rérs éstq qtt à érr ♣♦str♦r té ②♣♦tès

♥ ♥②s♥t s réstts ♦t♥s s rtèrs ♠♦è ♥♦♥ ♥ér

0σ

0F

0M

σ

U

W

Etat initial Etat final

r é♠tst♦♥ ♣r♥♣ ♠ét♦

qt♦♥s éqr

♥ ♦♥sèr ♥ ♦ sté sr sr ♥ ①t♦♥ s♦trr♥ t ♦♣♥t ♥ ♦♠ ♥

♥s s♣ tr♠♥s♦♥♥ ♦ st é♠té ♣r ♥ r♦♥tèr ∂Ω = ΣL +ΣJ ♦ù

• ΣJ és♥ s s♦♥t♥tés ♦r♠♥t s srs ♦rrs♣♦♥♥ts ① ♦♥ts

• ΣL és♥ r♦♥tèr ♥ ♦♥tt ①t♦♥ tr♠♥t t ♥s♠ s s rs

♦

♦s és♥♦♥s ss ♣r sr r ♥s♠ s s ♦ ♥ ♦♥tt réé

♥s ♠ss r♦①

♥t rs♠♥t s♦trr♥ ♥♦s s♣♣♦s♦♥s q étt s ♦♥tr♥ts σ0 ♥s trr♥

st ♦♥♥ ♦ st ♥ éqr s♦s t♦♥ ♦♥tr♥ts srqs σ0 ~n ré♣rts sr t♦t

r♦♥tèr ∂Ω t ♦rs ♦♠qs rté é♥s ♥s Ω éqt♦♥ r♣rés♥t éqt♦♥

éqr ♦ à étt ♥t

ˆ

∂Ω

σ0 ~n dS + ~fv = ~0

♦ù ♥ t♦t ♣♦♥t ~x

~n st tr ♥tr ♥♦r♠ à sr ♦ ∂Ω ré rs ①térr ♦ Ω

σ0 st t♥sr s ♦♥tr♥ts ♥ts ♥t rs♠♥t s♦trr♥ ~fv´

Ω

− ~∇σ0 dV st tr s ♦rs ♦♠qs

♣ss étt ♥t à étt ♥ s t ♥ ç♦♥ ♠♦♥♦t♦♥ ♣r ér♠♥t ♣r♦rss

r ♦♠♠ ♣r♦è♠ st ♥ér ♥♦s ♣♦♦♥s ♦♥sérr éqr ♥ rt♠♥t

s♥s ♦r ♣ssr ♣r s étts éqr ♥tr♠érs ♥ t ♦♠♠ ♥♦s rr♦♥s ♣tr

s♥t ér♠♥t ♣r♦rss st ♠♦ésé ♥ ♣♣q♥t sr sr r (1− λ)σ0 ~n ♦ù λ

st ♥ sr q r à Pr ♦♥séq♥t ♥s s♣ s ♦♥tr♥ts σ ~n ♥ t♦t ♣♦♥t s

P

♦♥ts ♥s s ♦♠♣♦rt♠♥t ♥ér ♦♥ ♦t♥t ♥ s♠♥t r♦t ♦♥t ♦r♥ σ0 ~n étt

♥t st ♦ré♠♥t ♥s ♦♠♥ éstq t ♦♥t ①tré♠té st σ ~n étt ♥ λ = 1 ♦♠♠

♦♠♥ éstq st ♦♥① s ♦♥t♥t σ ~n ♦rs t♦t trt r st éstq

♣rès rs♠♥t à étt ♥ r♦♥tèr ΣL ♥t r t s ♦rs srqs q ② s♦♥t

♣♣qés s♥♥♥t Pr rs s ♦rs ♦♠qs rst♥t ♥rs P♦r ♠♥t♥r éqr

♦ s ♦rs srqs ♥ r♦♥tèr ΣJ sss♥t ♥ rt♦♥ ∆~σ ♥ ♣s

♣rès rs♠♥t ♥ ♣rss♦♥ s♦tè♥♠♥t ps ps st ♣♣qé sr sr r t ♥

♣rss♦♥ pf pf > 0) s①r sr sr s s♦♥t♥tés éqr ♦ à étt

♥ ♣t êtr ①♣r♠é ♣r éqt♦♥

ˆ

ΣJ

(

σ0 ~n+∆~σ − pf ~n)

dS −ˆ

ΣL

ps ~n dS + ~fv = ~0

P♦r s♠♣r éqt♦♥ t ♥tért♦♥ ♥♠érq ♥♦s ♦♥s ♥térêt à ①♣r♠r ♥tér

srq sr t♦t r♦♥tèr ∂Ω P♦r ♦♥ ♥tr♦t s ♦♥ts s♥ts

• q = 0 t p = pf s ~x ∈ ΣJ

• q = 1 t p = ps s ~x ∈ ΣL

♣s ♦♥ ♣♦s ~σ = ~0 ♥ sr r ♥ t ~σ st ♥ ♦♥t♦♥ ♥ér s

rtés q sr♦♥t érés ♥s ♥ sr r

♥ s♦strt s ① éqt♦♥s éqr ♦r t ♣♦r ♦t♥r éqt♦♥

ˆ

∂Ω

(

∆~σ − q σ0 ~n− p~n)

dS = ~0

♥ ré♣ét♥t ♠ê♠ rs♦♥♥♠♥t ♣♦r éqr s ♠♦♠♥ts ♦♥ ♦t♥t éqt♦♥

ˆ

∂Ω

~x ∧(

∆~σ − q σ0 ~n− p~n)

dS = ~0

♥s s ① éqt♦♥s éqr ①♣r♠és ♥ tr♠s rt♦♥s s ♥♦♥♥ st

tr ~σ ♥ t♦t ♣♦♥t r♦♥tèr ♦♥tt ΣJ ❯♥ ♦s ~σ étr♠♥é s ♦♥tr♥ts ♥s

♥ t♦t ♣♦♥t ♦ ♣♥t êtr ♦♥♥s q ♣r♠ttr r stté ♦

♦s ♦♠♣♦rt♠♥t s ♦♥ts

♥s ♠♦è ♥♦s ♦♥sér♦♥s q ♦♥tt ♥ ΣJ st ré ♣r ♥ ♦ éstq

♥ér s ♦♥tr♥ts ♥♦r♠s t t♥♥ts ♥ ♥ ♣♦♥t ♦♥♥é ♦♥tt

r♥t ♥ér♠♥t ♣r r♣♣♦rt é♣♠♥t ♥♦r♠ t t♥♥t ♥ ♣♦♥t s♥t

s éqt♦♥s s♥ts

σn = σ0n −Kn ~u · ~n

~σt = ~σ0t −Kt (~u− (~u · ~n)~n)

♦ù ♣♦♥t ♦♥séré r♦♥tèr ΣJ

σn =(

σ ~n)

· ~n t ~σt = σ ~n − σn ~n és♥♥t rs♣t♠♥t ♦♥tr♥t ♥♦r♠ t tr

♦♥tr♥t t♥♥t à étt ♥

é♦♣♣♠♥t ♥♦ ♠♦è

σ0n =(

σ0 ~n)

·~n t ~σ0t = σ0 ~n−σ0n ~n és♥♥t rs♣t♠♥t ♦♥tr♥t ♥♦r♠ t tr

♦♥tr♥t t♥♥t à étt ♥t

Kn t Kt és♥♥t s rtés ♥♦r♠ t t♥♥t ♦♥t

~u st tr é♣♠♥t rt ♦ ♣r r♣♣♦rt ♠ss r♦①

un = ~u · ~n st r♠tr ♦♥t

~ut = ~u− (~u · ~n)~n st é♣♠♥t ss♠♥t t♥♥t à ♦♥t

s ♦s ♦♠♣♦rt♠♥t ♥ ♦♥t ♦♥t ♥tr♥r é♣♠♥t ér♥t ♥tr s ① s

♣rt t tr ♦♥t ♥s s ♥♦tr ét ♦♠♠ r♦ t♦r ♦ st ♣r

②♣♦tès ① t r tr ~u st tr é♣♠♥t s♦ ♣♦♥t ♦♥séré

♦

♦t♦♥s q ♦rsq♥ ♣♦♥t ♦ sé♦♥ r♦ r♠tr ♦♥t ♥

♣♦♥t st t q un < 0 ♦♠♠ sé♠ts r ♣♦♥t ♥s s ♦♥tr♥t

♥♦r♠ ♠♥ ♥ r s♦ ♣r r♣♣♦rt à ♦♥tr♥t ♥♦r♠ ♥t ♦♥ ♦♠♣rss♦♥

♠♥ ♦rsq♥ ♣♦♥t s♣♣r♦ ♠ss r♦s ♣♦♥t r un > 0 t

♦♠♣rss♦♥ ♠♥t Pr rs tr ♥ré♠♥t ♦♥tr♥t t♥♥t ♥ ♥ ♣♦♥t

♦♥♥é (~σt − ~σ0t) st t♦♦rs rt♦♥ ♦♣♣♦sé é♣♠♥t t♥♥t ~ut ♥ ♣♦♥t

♥ ts♥t s éqt♦♥s ♦♠♣♦rt♠♥t ♦♥t t rt♦♥ s ♦♥tr♥ts ♥tr

étt ♥t t étt ♥ ~σ = (σn − σ0n)~n + (~σt − ~σ0t) ♥ t♦t ♣♦♥t ~x ♣t êtr ①♣r♠é ♣r

éqt♦♥

~σ = −H ~u ou H = Kt I + (Kn −Kt)~n⊗ ~n

t♥sr H st s②♠étrq(

H = HT)

t♥sr I st t♥sr ♥té ♦rrs♣♦♥♥t à ♠tr δij ♠tr × δij = 0 ♣♦r

i 6= j t δij = 1 ♣♦r i = j

t♥sr ~n⊗ ~n ♦rrs♣♦♥ à ♠tr s②♠étrq × ni nj

n1

un1<0

u1

un2>0

n2

u2U

W

ii xWUu

xi

J

L

r ♦♠♥t ♦r♣s s♦ t é♣♠♥t ♥ s ♦♥ts

♦♠♥t ♦ ♥ ♦r♣s s♦ tr♥st♦♥ t r♦tt♦♥

❱ s♦♥ rtèr r ♦ st ♥ ♠♦♠♥t tr♥st♦♥ t r♦tt♦♥ ♦♠♠ sé

♠ts r ♠♣ é♣♠♥t ♦ ♥tr s ① étts éqr st rtérsé

P

♣r ① trs ~U t ~W ♦♥ ♥♦♥♥s srs ♥ ♥ ♦♥sér♥t q s ♣tts ♠♦♠♥ts

tr é♣♠♥t ~u (~x) ♥ ♣♦♥t ♦♥♥é ~x s①♣r♠ s♥t éqt♦♥

~u (~x) = ~U + ~W ∧ ~x

tr ~U st é♣♠♥t ♣♦♥t ♦r♥ ~x = ~0 q ♣t êtr ♦s ♦♠♠ ♥tr

♥rt ♦ ♦ t♦t tr ♣♦♥t ♣♣rt♥♥t ♦ tr ~W r♣rés♥t s r♦tt♦♥s

♦ ♥ r♥

♥ ♥tr♦t t♥sr r ♥ts②♠étrq r = −rT ) t q ♣♦r t♦t tr ~a r~a = ~a ∧ ~x

~x =[

x1 x2 x3

]T

♠tr ss♦é à r st

0 x3 −x2−x3 0 x1

x2 −x1 0

♥s rt♦♥ s ♦♥tr♥ts ~σ t rt♦♥ ♠♦♠♥t s ♦♥tr♥ts ~x ∧ ~σ ♥ t♦t

♣♦♥t ~x ♦ ♣♥t êtr ①♣r♠és ♥ ♦♥t♦♥ s ① trs ♥♦♥♥s ~U t ~W s♥t s

éqt♦♥s t

~σ = −H ~U −H r ~W

~x ∧~σ = −(

H r)T ~U − rTH r ~W

②stè♠ ♥ér

♥ r♠♣ç♥t s ①♣rss♦♥s ~σ éqt♦♥ t ~x∧~σ éqt♦♥ ♥s s éqt♦♥s

éqr éqt♦♥s t t s♥t q s trs ~U t ~W s♦♥t ♦♥st♥ts ♥é♣♥♥ts

~x ♦♥ ♦t♥t s②stè♠ éqt♦♥s t ♦ù s ss ♥♦♥♥s s♦♥t s ♦♠♣♦s♥ts

s trs é♣♠♥t ~U t ~W

ˆ

∂Ω

H dS ~U +

ˆ

∂Ω

H r dS ~W =

ˆ

∂Ω

(

−q σ0 ~n− p~n)

dS

ˆ

∂Ω

(

H r)TdS ~U +

ˆ

∂Ω

rT H r dS ~W =

ˆ

∂Ω

~x ∧(

−q σ0 ~n− p~n)

dS

P♦r s♠♣r értr s②stè♠ ♦♥ ♣♦s

A =

ˆ

∂Ω

H dS B =

ˆ

∂Ω

H r dS C =

ˆ

∂Ω

rTH r dS

~F0 =

ˆ

∂Ω

(

−q σ0 ~n− p~n)

dS et ~M0 =

ˆ

∂Ω

~x ∧(

−q σ0 ~n− p~n)

dS

♥s s②stè♠ ♥ér à rés♦r s rét ① éqt♦♥s t

A~U +B ~W = ~F0

BT ~U + C ~W = ~M0


st ♥ s②stè♠ ♥ér éqt♦♥s à ♥♦♥♥s q s♦♥t s ♦♠♣♦s♥ts srs ~U t ~W s②stè♠ ♣t ss sérr s♦s ♦r♠ s♥t

R

[

~U~W

]

=

[

~F0

~M0

]

R =

[

A B

BT C

]

é♠♦♥tr♦♥s qR st ♥ ♠tr ♥rs P♦r ♦♥sér♦♥s ♥ ♠♦♠♥t rt ~U⋆ ~W ⋆

t ♦♥s sr [

~U⋆ ~W ⋆]

R[

~U ~W]T

=´

∂Ω

(

~U⋆ ·H~U + ~U⋆ ·H r ~W + ~W ⋆ ·(

H r)T ~U + ~W ⋆ ·

(

rTH r)

~W)

dS

♥ ♦♥ ♥ ♦r♠ ♥ér s②♠étrq ♦♥ ♣t ♣r♠tr ❬~U⋆ ~W ⋆❪ t ❬~U ~W ❪ t q

♦rsq ~U⋆ = ~U t ~W ⋆ = ~W sr ♦t♥ st ♣♦st t ♥ s♥♥ q ♣♦r ~U = ~0 t~W = ~0 ♥ ♥ ét q R st s②♠étrq é♥ ♣♦st ♦♥ ♥rs t ♦r♠ qrtq

1

2

[

~U⋆ ~W ⋆]

R[

~U ~W]T

♥st tr q é♥r éstq

♦t♦♥s q♥ s♥ ♣rss♦♥s s♦tè♥♠♥t t ♣rss♦♥s s trs ~F0 t ~M0

s♦♥t rs♣t♠♥t s trs ♦♣♣♦sés ① rést♥ts s trs ♦rs t ♠♦♠♥ts ♣♣qés

♥ sr r ♥t ①t♦♥ ♦♠♠ sé♠ts r rt♦♥ r

♠♥t ♥s s②stè♠ ♥tr étt ♥t t étt ♥ st t♠♥t r♣rés♥té ♣r s♦strt♦♥

s ♦rs t ♠♦♠♥ts ss♥t ♥ s s rs ♦ à étt ♥t


♣r♦è♠ st r♠♥é à ♥ s②stè♠ ♥ér ♦♥t ♦♥strt♦♥ ♥ésst ♥térs

srs ♣♦r q ♦♥ ♦♣t ♥ t♥q ♥♠érq ♣rtt♦♥♥♠♥t sr ♥ ♠♦r①

♦r♠ é♦♠étrq s♠♣ ♥ ♣t ♣r ①♠♣ tsr ♥ ♠ srq ♣r éé♠♥ts ♥s

♥tér ♥ ♦♥t♦♥ ♦♥♥é sr ♥ sr st r♠♣é ♣r s♦♠♠ s ♥térs sr

t♦s s éé♠♥ts sr s éé♠♥ts tsés ♥s ♠♦è é♦♣♣é ♣♦r ♣rtt♦♥♥♠♥t

é♦♠étr s♦♥t t②♣s ér♥ts

• tr♥ à ♦ ♥÷s ♣♦♥ts ss

• rt♥ à ♦ ♥÷s ♣♦♥ts ss

s ♦♥♥és sr ∂Ω s♦♥t r♠♣és ♣r ♦♥♥é s ♦♦r♦♥♥és t♦s s ♥÷s

♠ t ♠♥èr ♦♥t s ♥÷s s♦♥t ♦♥♥tés ♣♦r ♦r♠r s éé♠♥ts ♥s ♦♥t ♦♥ ♦r♥t

t②♣ s ér♥ts r♥rs ♣r♦è♠ σ0 ps Kn Kt s♦♥t é♥s ♥ s ♥÷s

q éé♠♥t ♥s q éé♠♥t ♥ ♦♥ ♥tr♣♦ s rs ♥♦s ♣♦r r ① ♣♦♥ts

ss s ♦♦r♦♥♥és tr ♥♦r♠ t s trs r♥rs ♥ ts♥t s ♦♥t♦♥s ♦r♠

♦♥♥s ♣♦r q t②♣ éé♠♥t ♥tér ♥ ♦♥t♦♥ ♦♥♥é sr ♥ éé♠♥t

st t ♣r ♥ s♦♠♠t♦♥ sr s ♣♦♥ts ss t éé♠♥t ♥ ts♥t s ♣♦s ss

♣♦s ss st ♣r♦t ♣♦s ss wj éé♠♥t rét t ♦♥ J

tr♥s♦r♠t♦♥ ♥tr s ♦♦r♦♥♥és réts t s ♦♦r♦♥♥és rs P♦r q éé♠♥t rét

s ♦♦r♦♥♥és réts s ♣♦♥ts t s ♣♦s s♦♥t ♦♥♥s s♥t t②♣ éé♠♥t t ♥♦♠r

♣♦♥ts ss ♥s ♥tér ♥ ♦♥t♦♥ ϕ (x) sr ♥ sr S ♣rtt♦♥♥é ♥ ♣srs

P

éé♠♥ts s ♣r ♥ s♦♠♠t♦♥ sr t♦s s ♣♦♥ts ss s éé♠♥ts sr ♦♠♠

st

ˆ

S

ϕ (x) dS =∑

J wj ϕ (~xj)

ϕ (~xj) r ♦♥t♦♥ ♣♦♥t ss ♦♦r♦♥♥é ~xj

Ps éts sr ♥tért♦♥ ♥♠érq s ♦♥t♦♥s ♥tr♣♦t♦♥ t s rs s ♣♦s

ss s♥t s éé♠♥ts s♦♥t ♣rés♥tés ♥s ♥♥①

♣r♦è♠ ét♥t ♥ér ♥st ♣s ♥éssr ♦r ♥ ♠ ♥ t ♠ ♥s

s ét♥t s♠♥t ♣r♠ttr ♥♠érq Pr rs ♦♥ ♣t tsr s éé♠♥ts

t②♣s ér♥ts ♣♦r é♥r é♦♠étr ♥ ♦ t ♠ ♥st ♣s ♦♥tr♥t à sr s

♦s ♦ér♥ ♥ ♠ ssq ♥♦r♠♠♥t tsé ♥s ♠ét♦ s é♠♥ts ♥s

♦t ♦ ♥ ♥♦♠r n s ♣♦②♦♥s ♣t êtr été st st ♣rtt♦♥♥r

s srs ♥ s éé♠♥ts ♣♣r♦♣rés ♣♦r é♥r s é♦♠étr s srs ♦rs ♣♥t êtr

é♥s t é♠♥t s ♦s ♦r♠s ♥♦♥ ♦♥①s r r♣rés♥t s ①♠♣s

♦r♠s é♦♠étrqs ♦s ♣♦♥t êtr étés ♠♦è

r ①♠♣s ♦r♠s é♦♠étrqs ♦s q ♣t trtr ♦♣♦②érq t ♦ à ♦r

♥tt♦♥ stté

❯♥ ♦s s②stè♠ ♥ér rés♦ st ♣♦ss ér tr é♣♠♥t ~u ♥ t♦t ♣♦♥t

♦ ♥ ts♥t éqt♦♥ é♣♠♥t ♦r♣s s♦ éqt♦♥ ♥s ♦ é♦♣♣é

s é♣♠♥ts s♦♥t és ① ♣♦♥ts ss t ss é♥t♠♥t ① ♥÷s Pr st

♦♥tr♥t ♥♦r♠ σn t tr ♦♥tr♥t t♥♥t ~σt s♦♥t éts ♥ ts♥t s ♦s

♦♠♣♦rt♠♥t ♦♥t éqt♦♥s t s ♦♥tr♥ts ♥s ér♥t éqr ♦ ♥

♦rs t ♥ ♠♦♠♥ts s s♦♥t sttq♠♥t t ♥é♠tq♠♥t ♠sss ét♦♥

stté ♣r♠t tr♦r s éqr ♥ st ♥ éqr ♣stq♠♥t ♠ss tr♠♥t

t ♦♥ st r♠♥é à érr s t♦s s ♣♦♥ts ♣♣rt♥♥t ♦ ér♥t s rtèrs stté

s♥ts

• ♦♥tr♥t ♥♦r♠ σn ér rtèr ♥♦♥ é♦♠♥t ♥ s♣♣♦s q résst♥ s

♦♥ts r♦① à trt♦♥ st ♥ tt ♦♥t♦♥ s trt ♣r t q σn ♦t êtr ♥

♦♥tr♥t ♥♦r♠ ♦♠♣rss♦♥ σn < 0

• s ♦♥tr♥ts σn ~σt s♦♥t ♦♠♣ts rtèr ♥♦♥ ss♠♥t rrérs rtèr

♣stté ♦♣té ♥s ♠♦è st rtèr ♦r♦♦♠ ♦♥t♦♥ r

♥tt♦♥ stté

♦rrs♣♦♥♥t st

F (~σ) = ‖~σt‖+ σn tanφ− c

♦ù c st ♦és♦♥ t φ ♥ r♦tt♠♥t ♦♥t

❯♥ r F < 0 s♥ q ♣♦♥t ♦♥séré st ♥ éstté t♦s s ♣♦♥ts s♦♥t à ♥térr

sr r ♥♦s ♣♦♦♥s ♦♥r q ♦ st ♥s ♥ étt éqr st

❯♥ r F = 0 s♥ q rtèr st tt♥t

❯♥ r F > 0 ♥①st ♣s ♥ rété ♣sq r ♦♥tr♥t t♥♥t ♥ ♣t

♣s é♣ssr ♠t (−σn tanφ+ c) ♠ê♠ ♥ r σn > 0 ♥st ♣s ♣♦ss ♥ rété r

résst♥ à trt♦♥ st ♥

♣♦ssté ♦t♥r ts rs à ♥ ♠♦è ♥t t

q ♥♦s s♣♣♦s♦♥s q ♦ ♣ss ♣r s étts éqr r♥t ♣r♦sss rs♠♥t s♥s

é♦♠♥t ♥ ss♠♥t rrérs ♥ ♥ ♣♦♥t ♦ té s ②♣♦tèss ♥ sr

éré q♣rès ♦♣ ♥s ♣ss étt ♥t à étt ♥ s t ♣r ♥ tr♥s♦r♠t♦♥

rérs rtérsé ♣r ♥ ♦ ♦♠♣♦rt♠♥t s ♦♥ts ♦♥♥ ♦t♦♥s q ♥s tt ♦r♠

t♦♥ ♥♦s ♦♥s tsé ♥ ♦ ♦♠♣♦rt♠♥t ♥♦r♠ ♥ér ♠s r♥ ♥♠♣ê tst♦♥

♥ ♦ ♥♦♥ ♥ér ②♣r♦q rérsté ♥t t q r♥t ♣r♦sss ér

♠♥t s ♦♥tr♥ts ♥ sss♥t ♣s ♠♦t♦♥ ç♦♥ à érr rtèr ♣stté ♦

rtèr é♦♠♥t à ♥ ♥♦s ér♦♥s q t♦ts s ♦♥tr♥ts s♦♥t ♠sss

♥♦s ♣♦♦♥s ♠ttr q ♣r♦sss rérs st ♦♥ t q éqr ♦ st

st s s ♥♦s rtr♦♦♥s F > 0 ♦ σn > 0 ♥ ♥ ♣♦♥t ♦♥♥é ♠♦♥s s♥ q

s ♦♥tr♥ts és ♥ r♣rés♥t♥t ♣s r étt s ♦♥tr♥ts ♦s ♣♦♦♥s ♦rs ér

rtt q rtèr été tt♥t ♥ ♣♦♥t ♥t ♥ ér♠♥t sr

r ♦ st ♦rs éré ♥st t ♣♣t♦♥ ♥ s♦tè♥♠♥t st ♥éssr ♠♥t

st ♦♥srtr r s ♥ s ♣♦♥t ♣sté ♥ s♥ ♣s ♥éssr♠♥t q ♦ s

étr ♠ss r♦①

ét♦♥ étt stté ♦ q♥tt♦♥ stté ♣t s r ♣r ér♥ts

♠♦②♥s ♥ ♥ r♦tt♠♥t rtq ♣♦r ♥ ♦és♦♥ ♦♥♥é ♥ tr

sérté ♥ t① ér♠♥t rtq sr r ♦ ♣rss♦♥

s♦tè♥♠♥t à ♣♣qr ♥ sr r

♦t♦♥s q s rs rtèrs ♦ ♠ét♦s q♥tt♦♥ stté s♦♥t ♦r st

sr ré♣♦♥s à qst♦♥ st ♦ ♥st ♠s ♣s sr ré tt stté ♦ tt

♥stté ♥s rtèr ♥ r♦tt♠♥t rtq ♥ q t tr σn, ‖~σt‖ ① s σn ♣t ♣rés♥tr ♥ ♠①♠♠ ♥ ♥ ♣♦♥t q ♥st ♣s ♣rss♦♥ ♠♥♠

s♦tè♥♠♥t ♦ t① ér♠♥t rtq

♥ r♦tt♠♥t rtq

♥ és♥ ♣r φmin ♥ ♥ ♣♦♥t ♦♥♥é ΣJ ♥ r♦tt♠♥t ♠♥♠ ♥éssr ♣♦r

rs♣tr rtèr ♦r♦♦♠ ♥ ♣♦♥t à étt ♥ à ♦♥t♦♥ ♥ ♣s ♦r trt♦♥

t ♥ s♣♣♦s♥t q ♦és♦♥ s ♦♥ts st ♥ t ♥ st é ♥ t♦s s ♣♦♥ts ss

j ♦ ♦♥t ♥♦♠r st nG ♦♠♠ st

φmin(j) = arctan

(‖~σt‖−σn

)

s σn < 0

P

φmin(j) =Π

2s σn ≥ 0 t ‖~σt‖ > 0

φmin(j) = 0 s σn = 0 t ‖~σt‖ = 0

r ♠①♠ st ♦s ♦♠♠ r ♣s rtq t srt à ér stté

♦

φmin = max (φmin (j)) j = 1 , nG

Ps φmin ♠♥t ♣s ♦ st ♦♥séré êtr ♥st ♥ r♦tt♠♥t ré φr st t

q φr > φmin ♦rs ♦ st st ♥ s trt♦♥ ♥ ♥ r♦tt♠♥t éé ♥ ♣t ♣s

♥tr♥r ♣♦r stsr ♦ st ♣♦r tt rs♦♥ q ♥♦s ♦♥s ♣♦sé φmin = Π

2♥s s

tr sérté

tr sérté ♥ ♣♦♥t ♦♥♥é ΣJ st r♣♣♦rt ♦♥tr♥t t♥♥t

♣stt♦♥ sr ♦♥tr♥t t♥♥t t é ♥ ♣♦♥t st é ♥ t♦s s

♣♦♥ts ss s♥t s ①♣rss♦♥ s♥ts

(j) =−σn tanφ+ c

‖σt‖s σn ≤ 0

(j) = 0 s σn > 0

tr sérté ♦ st r ♠♥♠ é

= min((j)) j = 1 , nG

❯♥ tr sérté s♣érr à s♥ q rtèr ♥st ♣s tt♥t à étt ♥ t ♦♥

♦ st st s♥s s♦tè♥♠♥t ♥s s ♦ù ♥ é♦♠♥t ♣♣rt♦♥ trt♦♥

tr sérté st s♣♣♦sé êtr ♥ ♣sq ♥s s ♥ ♦r résst♥t r♦tt♠♥t ♥

♣t ♥tr♥r ♣♦r stsr ♦

♥ t① é♦♥♥♠♥t rtq

étt ♥t ♥t ①t♦♥ s ♦♥tr♥ts ~σ0 s♦♥t ♣♣qés sr tr sr r ΣL

♦ ♣rès ①t♦♥ s ♦♥tr♥ts ♥♥♥t ♥s ♦s s♣♣♦s♦♥s q r♥t ♥♠♥t

♦r é♦♥♥♠♥t sr r ♣r♦rss♠♥t ç♦♥ ♠♦♥♦t♦♥ ♥s

♥♦s ♣♦♦♥s ①♣r♠r ♦♥tr♥t ♣♣qé sr sr r ♣r ~σ = (1− λ)~σ0 ♦♥t λ

r♣rés♥t t① é♦♥♥♠♥t t r ♥tr λ = 0 à étt ♥t t λ = 1 à étt ♥

r sr ΣJ s ♦♥tr♥ts r♥t ♥tr ~σ0 à étt ♥t ♣♦r λ = 0 t ~σ à étt ♥

♣♦r λ = 1 ♦♠♠ ♦♠♣♦rt♠♥t s ♦♥ts ♥s ♠♦è st ♥ér tt rt♦♥

st ♥ér ♥ ♦♥t♦♥ t① é♦♥♥♠♥t ♦ù ①♣rss♦♥ ♦♥tr♥t ~σλ ♦rrs♣♦♥♥t

à ♥ t① é♦♥♥♠♥t λ ~σλ = ~σ0 + λ (~σ − ~σ0)

♦s ♣♦♦♥s ♦rs r ♥tr s rs λ s♦rt q ♦♥tr♥t ♦rrs♣♦♥♥t

ér rtèr ♣stté ♥ s♥ ♦és♦♥ rtèr ♦r♦♦♠ rt à ~σλ

s①♣r♠ ç♦♥ s♥t

♥tt♦♥ stté

‖~σλ‖+~σλ · ~ncosφ

≤ 0

♦♠♠ st ♥ ♥éqt♦♥ s♦♥ ré ♥♦s ♣♦♦♥s r ♥ t♦t ♣♦♥t ①

♠ts ♥tr s s♦t♦♥s λ1 < λ2 Psq ~σ0 ♦rrs♣♦♥♥t à λ = 0 ér ♦t♦r♠♥t

rtèr ♣r ②♣♦tès ♥♦s ♦♥s λ1 < 0 < λ2 Pr rs λ2 st é♦♥♥♠♥t ♠①♠ ♣♦r

q ♦ rst st P♦r r stté ♦ r ♠♥♠ ♣♦st λcrit st

é

λcrit = min(λ2(j)) j = 1 , nG

λcrit ≤ 1 ♦ st ♥st rtèr stté st tt♥t ♥t ér♠♥t t♦t

r ♦rrs♣♦♥♥t à λ = 1 r (1− λcrit) ♣t srr ♦♠♠ ré ♥stté

λcrit > 1 ♦ st ♥♦r st ♣rès ér♠♥t t♦t sr r r

(λcrit − 1) st ♦rs ♥ résr stté

Prss♦♥ s♦tè♥♠♥t

rtèr ♣stté st é♣ssé ♥ ♥ ♣♦♥t ♦♥♥é ♦ s ♥ ét♠♥t ♣♣rt♦♥

trt♦♥ ♥ s♦tè♥♠♥t st ♥éssr ♣♦r ssrr stté ♦ st ♣♦ss r

♣rss♦♥ s♦tè♥♠♥t ♠♥♠ ♥éssr ♣♦r rs♣tr rtèr ♥ t♦t ♣♦♥t ♦ tt

♥♦t♦♥ st ♣s s♥t ♣♦r ♥ ♥é♥r q ♥♦t♦♥ tr sérté

♣♣t♦♥ ♥ ♣rss♦♥ s♦tè♥♠♥t ps ♥♦r♠ sr sr r ♦ ré ♥

t♦t ♣♦♥t r♦♥tèr ΣJ ♦ ♥ ♥ré♠♥t ♦♥tr♥ts s ♦♥ts s♣♣♦sés ♦r ♥

♦♠♣♦rt♠♥t éstq s♦♥t s♦tés ♣r ♣♣t♦♥ tt ♣rss♦♥

Prtq♠♥t ♥s ♦ ♣r♦ér s♥t st ♦♣té ♣♦r ♣r♠ttr

tt ♣rss♦♥

♥ ♣♣q ♥ ♣rss♦♥ s♦tè♥♠♥t ♥tr ps = 1 ♥ ♣r♦ r ΣL ♦

♥ ♦♥sér♥t q st s s♦tt♦♥ ①térr t ♥ s♣♣♦s♥t s ♦♥tr♥ts ♥ts ♥s

tr ♦♥tr♥t ~σ1 sé ♣r tt ♥q s♦tt♦♥ st é ♥ t♦t ♣♦♥t r♦♥tèr

ΣJ ♦ ♥ ts♥t s éqt♦♥s éqr t s éqt♦♥s ♦♠♣♦rt♠♥t s ♦♥ts ♥s

s②stè♠ éqr à rés♦r ♠tr rté R st ♠ê♠ q ①♣r♠é ♥s éqt♦♥

s trs s♦♥ ♠♠r s♦♥t és ♣rès éqt♦♥ ♥ ♣♦s♥t p = 0 sr ΣJ

p = 1 sr ΣL t ♥ s♣♣♦s♥t s ♦♥tr♥ts ♥ts ♥s ♥ és♥ ♣r ~F01 t ~M01 s trs

s s♦♥t ①♣r♠és ♦♠♠ st

~F01 =

ˆ

ΣL

−~n dS t ~M01 =

ˆ

ΣL

−~x ∧ ~n dS

s②stè♠ à rés♦r st ♦♥

R

[

~U1

~W1

]

=

[

~F01

~M01

]

♣rès rés♦t♦♥ s②stè♠ tr ♦♥tr♥t ~σ1 ♥ t♦t ♣♦♥t ΣJ st é ♥ s réér♥t

à éqt♦♥ ♣r ~σ1 = −H ~U1 −H r ~W1

s ♥érté ♣♣t♦♥ ♥ ♣rss♦♥ s♦tè♥♠♥t ps ♥♦r♠ sr ♣r♦ r

♦ s ♥ ♥ré♠♥t ♦♥tr♥ts ps ~σ1 ♥ ♥ ♣♦♥t ♦♥♥é ΣJ ♥ ♣♦♥t

P

~σ st ♦♥tr♥t é à étt ♥ ♣rès ①t♦♥ ♦♥tr♥t ~σp ♣rès ♣♣t♦♥

♣rss♦♥ s♦tè♥♠♥t st ♦t♥ ♣r ♦♠♥s♦♥ ♥ér s ① réstts s♥t ①♣rss♦♥

s♥t ~σp = ~σ + ps ~σ1

♥♦♥♥ ps ♦t érr rtèr ♣stté ♦♣té ♥s s rtèr ♦r♦♦♠

s♥s ♦és♦♥ ♥éqt♦♥ ♦rrs♣♦♥♥t st

‖~σp‖+~σp · ~ncosφ

≤ 0

rés♦t♦♥ tt ♥éqt♦♥ ♦♥♥ ♥ ♥tr s♦t♦♥s ❯♥ r ♣♦st ps s♥

q♥ ♣rss♦♥ ♦♠♣rss♦♥ st ♥éssr ♣♦r stsr ♣♦♥t ♦♥séré ♦ ❯♥ r

♥ét s♥ q♥ trt♦♥ r ⑤ps⑤ st ♠♥é s ♦♥ t éstsr

p1 t p2 s♦♥t s rs rés s ♥trs ♣♦sss s♦t♦♥s s♦♥t

• ]−∞ , p2] s♥ q ♦♥ ♣t ♠♣♦sr ♥ trt♦♥ sqà ♥ r p2 sr ♦ s♥s rsq

éstsr ♣♦♥t été

• [p1 , +∞[ s♥ q t ♣♣qr ♥ ♣rss♦♥ s♦tè♥♠♥t p1 ♣♦r ♦r stté t

q ♥② ♣s ♠t s♣érr ♣♦r tt ♣rss♦♥

• [p1 , p2] s♥ q p ♦t êtr ♠té ♥tr rs ♣♣t♦♥ ♥ ♣rss♦♥ s♦tè♥

♠♥t ♣s éé q p2 rsq rér ♥ ss♠♥t rrérs rs ♥térr ♠ss

r♦s

• ❯♥ ♥tr s♥ q étt ♣♦♥t ♦♥séré st ♥♠ss qq s♦t ♣rss♦♥

♦♠♣rss♦♥ ♦ trt♦♥ q ♦♥ ♣t ♣♣qr sr ♦

♥éqt♦♥ st rés♦ ♥ t♦s s ♣♦♥ts ss j s srs ♥ ♦♥tt ♠ss

r♦s s ♣rss♦♥s ♠♥♠ t ♠①♠ ♦♣tés ♣♦r ♥ ♦ ♦♥♥é s♦♥t

psmin = max (p1 (j)) t psmax = min (p2 (j)) j = 1 , nG

♦t♦♥s s♥t♦♥ s rs ♥♥s s ♣rss♦♥s

• psmin = +∞ s♥ q ♦ rstr ♥st qq s♦t ♣rss♦♥ s♦tè♥♠♥t ♥♦r

♠é♠♥t ré♣rt sr s sr r

• psmin = −∞ s♥ q ♦ st st t ♠ê♠ ♣♣t♦♥ ♥ trt♦♥ ♥♥ sr s

sr r ♥ ♣s éstsr

♥♥ st ♠♣♦rt♥t r♠rqr q♥ é♥ér ♦rt s♦tè♥♠♥t st ♠♦sé ♥ ♦♥t♦♥

♠♦♠♥t ♦ tt ♣♣r♦ ♥st ♣s s ♥♦s ♦♥sér♦♥s q ♣rss♦♥

s♦tè♥♠♥t st ♥é♣♥♥t é♣♠♥t ♦ rtèr stté ♦t ♦rs êtr tsé

♣r♥ ♥s ♣tr s♥t ♥♦s ♠♦♥trr♦♥s q tst♦♥ ♠ét♦ ♦♥r♥

♦♥♥♠♥t ♥ ♣rss♦♥ s♦tè♥♠♥t à éqr st ♥ ♣♣r♦ ♣s ♣rt♥♥t


♦s é♦♣♣♦♥s ♥②tq♠♥t ♥♥ s rtés s ♦♥ts t ♣r♠ètr K0 r♣♣♦rt

♥tr ♦♥tr♥ts ♦r③♦♥ts t rts à étt ♥t sr s ♦♥tr♥ts ♣rès ①t♦♥ t sr

é♣♠♥t ♦ ♦s ♠♦♥tr♦♥s q s ♦♥tr♥ts é♣♥♥t r♣♣♦rt s rtés Kn/Kt

t s♦♥t ♥érs ♥ ♦♥t♦♥ K0 Pr rs s ♠♣ts é♣♠♥t t r♦tt♦♥ ♦

s♦♥t r♦ss♥ts ♥ ♦♥t♦♥ rté Kn ♦ Kt sr r ♦ st ♦r③♦♥t s

é♣♠♥ts ♦ ♥s q s rt♦♥s ♦♥tr♥ts s♦♥t ♥é♣♥♥ts K0


t r♣♣♦rt s rtés Kn/Kt

t tt ét st é♠♦♥trr q s ♦♥tr♥ts ♥s sr s s ♦♥tt ♦

é♣♥♥t ♥q♠♥t s r♣♣♦rts s rtés ♥♦r♠ t t♥♥t Kn/Kt t ♥♦♥ ♣s q

rté ♣rs ♥♠♥t

♥ s s♥t sr éqt♦♥ t s♥t q ~u = ~U + r ~W rt♦♥ s ♦♥tr♥ts ~σ ♣t

êtr ①♣r♠é ♣r

~σ = −Kt

(

Kn

Kt

Ln

(

~U, ~W)

+ Lt

(

~U, ~W)

)

Ln

(

~U, ~W)

= ~n⊗ ~n(

~U + r ~W)

Lt

(

~U, ~W)

=(

I − ~n⊗ ~n)

(

~U + r ~W)

♣rès s éqt♦♥s t ♠tr rté R é♣♥ s ♥térs srs

t♥sr H éqt♦♥ ♣t êtr ♦rs ①♣r♠é ç♦♥ s♥t

R = Kt R

R =Kn

Kt

Rn +Rt

♦ù Rn t Rt s♦♥t s ♠trs ♥é♣♥♥ts s rtés ♦♥t

①♣rss♦♥ s é♣♠♥ts s♦t♦♥ s②stè♠ ♥ér st ♦rs

[

~U~W

]

=R

−1

Kt

[

~F0

~M0

]

Pr ♦♥séq♥t ♥♦s ♣♦♦♥s érr

Ln

(

~U, ~W)

=1

Kt

Gn

(

~F0, ~M0,Kt

Kn

)

Lt

(

~U, ~W)

=1

Kt

Gt

(

~F0, ~M0,Kt

Kn

)

♥s rt♦♥ s ♦♥tr♥ts ~σ ♣t êtr ①♣r♠é ♣r

~σ = −(

Kn

Kt

Gn

(

~F0, ~M0,Kt

Kn

)

+Gt

(

~F0, ~M0,Kt

Kn

))

♦s és♦♥s ♦rs q ~σ é♣♥ ♥q♠♥t r♣♣♦rt Kn/Kt t ♥♦♥ ♣s s rtés ♣rss

♥♠♥t

t♦♥s t s rtés sr é♣♠♥t s♦t♦♥ ♣r♦è♠ ♦s ♣♦♦♥s érr

[

~U~W

]

=[

KnRn +KtRt

]

−1

[

~F0

~M0

]

Pr ♦♥séq♥t ♣♦r s ♠ê♠s ♦♥t♦♥s r♠♥t ♥ ♦ ♦♥♥é t ♠ê♠ r♣♣♦rt

Kn/Kt s ♠♣ts é♣♠♥t t r♦tt♦♥ s♦♥t s ♦♥t♦♥s r♦ss♥ts Kn ♦ Kt

P

♦t♦♥s q ♦rr r♥r s rtés s ♦♥ts st ♣rés♥té ♥s ♥♥①

t ♣r♠ètr K0

♣r♠ètr K0 és♥ r♣♣♦rt ♥tr s ♦♥tr♥ts ♦r③♦♥ts t rts à étt ♥t

♥t ①t♦♥ ♦♥ ♦♥sèr r♣èr ( ~Ox, ~Oy, ~Oz) ① O~z rt♦♥ rt s

♦♠♣♦s♥ts ♦r③♦♥ts s ♦♥tr♥ts ♥ts s♦♥t σ0x = K0 σ0z t σ0y = K0 σ0z

é♠♦♥tr♦♥s q é♣♠♥t ♦ t s ♦♥tr♥ts ♥s sr s s ♦♥tt ♦

s♦♥t ♥érs ♥ ♦♥t♦♥ K0

♥ s♥ ♦r s♦tè♥♠♥t t ♥ s réér♥t à éqt♦♥ s trs s♦♥

♠♠r s②stè♠ ♥ér à rés♦r sér♥t ç♦♥ s♥t

~F0 =

ˆ

ΣL

(

−σ0 ~n)

dS et ~M0 =

ˆ

ΣL

~x ∧(

−σ0 ~n)

dS

é♦♣♣♠♥t s ①♣rss♦♥s ♥ ♦♥t♦♥ K0 ♦♥♥

~F0 =

K0 Fzx

K0 Fzy

Fzz

et ~M0 =

Myz −K0Mzy

Mxz −K0Mzx

K0 (Mxy −Myx)

Fzq = −ˆ

ΣL

σ0z nq dS et Mrq = −ˆ

ΣL

xr σ0z nq dS

♦ù nq st ♥ ♦♠♣♦s♥t tr ♥♦r♠ ~n (q = x, y, z) t xr st ♥ ♦♠♣♦s♥t tr

~x (r = x, y, z)

s é♣♠♥ts ♣♦♥t réér♥ ♦s ♦♠♠ ♥tr ♥rt ♦ st

♦♥♥é ♣r [

~U~W

]

= R−1

[

~F0

~M0

]

♠tr rté R ♥s q s♦♥ ♥rs R−1 s♦♥t ♥é♣♥♥ts K0 ♦♠♠ ♠♦♥tr♥t

s éqt♦♥s t ♦♠♠ s ♦♠♣♦s♥ts ~F0 t ~M0 s♦♥t ♥érs ♥ ♦♥t♦♥ K0 s

♦♠♣♦s♥ts tr é♣♠♥t ~U t r♦tt♦♥ ~W s♦♥t ss ♥érs ♥ ♦♥t♦♥ K0

♣rès s éqt♦♥s t ♥♦s ♣♦♦♥s ér q s ♦♠♣♦s♥ts é♣♠♥t

~u t s ♦♠♣♦s♥ts s ♦rts sr s s ♦ s♦♥t ss ♥érs ♥ ♦♥t♦♥ K0

sr r ♦ st ♦r③♦♥t tr ♥♦r♠ à tt sr s ♦♠♣♦s♥ts

♦r③♦♥ts ♥s nx = 0 t ny = 0 s♥ st q s tr♠s s♥ts s♥♥♥t Fzx = 0

Fzy = 0 Mzy = 0 Mzx = 0 Mxy = 0 t Mxy = 0 st s tr♠s q ♠t♣♥t K0 ♥s s

①♣rss♦♥s s♦♥ ♠♠r s②stè♠ ♥ér à rés♦r ~F0 t ~M0 Pr ♦♥séq♥t s réstts

s é♣♠♥ts t s rt♦♥s s ♦♥tr♥ts ♥s s ♥ ♦ à sr r ♦r③♦♥t

é♣♥♥t ♥q♠♥t s ♦♥tr♥ts rts ♥ts σ0z t s♦♥t ♥rs qq s♦t r

K0

❱t♦♥ ♥

t♦♥ ♠ét♦ ♥ésst s ♦♠♣rs♦♥ ♥ ①t P♦r

♠ét♦ s é♠♥ts ♥s st tsé ♣♦r ♠♦ésr ♥ ①t♦♥ ♥ ♦ ♥ ♦♥tt

❱t♦♥ ♥

sr r ♦rsq ♥s ♠♦è é♦r♠té r♦ st r♥ ♥ ♠ét♦

st s♣♣♦sé ♦♥♥r ♠ê♠ réstt q ♣r é♠♥ts ♥s sr ♦♥r♠é

♥s ①♠♣ été ♥ Pr rs ♦♠♣rs♦♥ ♠ét♦ ♥ ♠♦è

♦ù r♦ st é♦r♠ ♣r♠ttr tstr ♥s qs ♦♥t♦♥s ②♣♦tès r♦ r st

♣t

❯♥ tr ♦♠♣rs♦♥ ♥ ♠♦è ♥ é♠♥ts ♥s ♦♥t♥ s♥s s♦♥t♥tés s à

♠ttr ♥ é♥ rô s s♦♥t♥tés ♥s rstrt♦♥ s ♦♥tr♥ts t♦r ♥ ①

t♦♥ s♦trr♥ ♣s s ♦♠♣rs♦♥s ♠ét♦ s ♦s és ♣r♠ttr♦♥t s♦♥r

s ♠tt♦♥s ♠rs tt ♠ét♦ ♦s t♥tr♦♥s ss ♠♦♥trr q ♠ét♦

s r♣♣r♦ ♦♣ ♣s ♥ ①t r♦ é♦r♠ q ♥ t ♠ét♦ s

♦s és ♦ s ♠ét♦s q ♠♣r♥t♥t s ♦♥tr♥ts ♥ ♠♦è ♦♥t♥

Pr rs s ♦♠♣rs♦♥s ♥tr s réstts stté ♦s stés t♦r ①t♦♥

♣r♠ttr♦♥t ♠① ♠ttr ♥ é♥ s ér♥s ♥tr ♠ét♦ t ♠ét♦ s

♦s és ❯♥ ♣r♠èr ét ♣r♠étrq ♥ sr t s rtés t s ♦♥tr♥ts ♥ts

sr ss t

t strt♦♥ s ♦♥tr♥ts

①♠♣ été ♦♥sst ♥ ♥ ①t♦♥ s♦trr♥ ♦♥t ♠r st sté à ♥ ♣r♦♦♥r H

à ♣rtr sr s♦ é♦♠étr ①t♦♥ st stré ♥s r étt ♥t

♥t ①t♦♥ s ♦♥tr♥ts rts ♥s r♦ s♦♥t rtrs t r♣♣♦rt ♥tr ♦♥tr♥ts

♦r③♦♥ts t rts st K0 ♣♦s ♦♠q r♦ st γ t ♥s ♠♦è é♦r♠

♠♦ ❨♦♥ st E t ♦♥t P♦ss♦♥ st ν s ♦♥ts s♦♥t éstqs ♥érs rté

♥♦r♠ Kn t t♥♥t Kt ♥ ♦♥sèr ♥ ♦ ♥♥é ♦♥t s ① ôtés s♦♥t ♣♥ 43.6

t 75 t ♦♥r ♠ t ♠ t ♦♥t s ΣL st ♥ r r r②♦♥ ♠ ♦ ♥s

r

r é♦♠étr ①t♦♥ t s ♦s étés

♥s ♣♣t♦♥ s♥t ♥♦s ♣♦sr♦♥s H = 500m γ = 0.02MN/m3 K0 = 1 ♦♥tr♥ts

s♦tr♦♣s Kn = 10000MPa/m Kt = 1000MPa/m t ν = 0.2

r ♠♦♥tr strt♦♥ s ♦♥tr♥ts ♥♦r♠s t t♥♥ts ♥ ♥ ôté

♦ ♥ ts♥t ér♥ts ♠♦ès

♥ ♠♦è r ♠♦è

♥ ♠♦è é♦r♠ ér♥ts ♠♦s ❨♦♥ E = 20GPa E = 50GPa t

E = 100GPa

P

♥ ♠♦è é♦r♠ ♥ ♠♦ ❨♦♥ très éé éq♥t ♠♦è r

♥ ♠♦è ♦♥t♥ s♥s ♣rés♥ s♦♥t♥tés E = 50GPa


Bloc 2D, Kn=10000 MPa/m, Kt=1000 MPa/m, K0=1, H=500 m

−14

−12

−10

−8

−6

−4

−2

0

2

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5

Effort

norm

al (M

Pa)

Abscisse le long d’une face (m)

−2

0

2

4

6

8

10

12

14

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5

Effort

tangentiel (M

Pa)

Abscisse le long d’une face (m)

Modèle continu

E=20 GPa

E=50 GPa

E=100 GPa

E=infini

ISOBLOC

Blocs Clés

r strt♦♥ s ♦rts ♥♦r♠① t t♥♥ts ♦♥ ♥ ♦

s s♠t♦♥s s ♠♦ès é♦r♠s t ♠♦è ♦♥t♥ ♦♥t été ts ♥ ts♥t ♦

s é♠♥ts ♥s ❱P ❬❪ ②♣♦tès s é♦r♠t♦♥s ♣♥s ôté ♦ ♦s ♣♦r

r♣rés♥tr s ♦rts st s♥t q ss♠♥t ♣rès ♠ét♦ s ♦s és

ôté ♣♥ 75

♦s r♠rq♦♥s q s ♦rts és ♠ét♦ ①t r♦ é♦r♠ s♣♣r♦♥t

s♦t♦♥ ♦♥♥é ♣r ♣♦r s rtés r♦ss♥ts r♦ P♦r ♥ ♠♦ ❨♦♥

♥♥ r♦ r s♦t♦♥ s é♠♥ts ♥s st ①t♠♥t ♠ê♠ q

♦♥ ♠ét♦ s ♦s és ♦ ♣♦r ♠♦ ♠♦♠♥t ss♠♥t sr ♥ s

♦rts sr ss♠♥t s♦♥t és à ♣rtr s éqt♦♥s éqr ♣♦s ♦♠♠

s ♦♥tr♥ts ♥ st ♥♥tr♥♥♥t ♣s ♥s s ♦rts s♦♥t r♠♥t ♣s s q

① és s♦♥ s trs ♠ét♦s

♦s r♠rq♦♥s é♠♥t q s rs s ♦rts és ♥ ♠♦è ♦♥t♥ ♦♥

♥ ♥ é♦♠étrq ♦rrs♣♦♥♥t ôté ♦ sért♥t s és s ♠♦ès

s♦♥t♥s srt♦t ♣♦r s rtés éés r♦ ♦s ♣♦♦♥s ♦rs r♠r q s s♦♥

t♥tés ♦♥t ♥ rô ♠♣♦rt♥t ♥s rstrt♦♥ s ♦♥tr♥ts t♦r ①t♦♥

s ♦♥tr♥ts à ♣rtr ♥ ♠ ♦♥t♥ ♦♠♠ ♦♥t rt♥s ♠ét♦s ssqs ♦s

s♦és ①♣♦sés ♣tr ♦♥t à ♥ srst♠t♦♥ s ♦♥tr♥ts r ♠♦♥tr

r♠♥t r♦tt♦♥ s ♦♥tr♥ts q ♥ s s♦♥t♥tés ♣r r♣♣♦rt à ♥ ♠♦è

♦♥t♥ st♠♥t tst♦♥ ♥ ♠ ♦♥t♥ éq♥t ♣♦r étr ♥ ♠ss r♦① ssré

♥st sté q ♦rsq ssrt♦♥ st s très ♣tts ♦s

♦t♦♥s q ♣r♠ètr q ♥ r♣♣r♦♠♥t s s♦t♦♥s ①ts à s♦t♦♥ ts♥t

♥ r♦ ♣rt♠♥t r ♥st ♣s ♠♦ ❨♦♥ ♥s s♦ ♠s ♣tôt

r♣♣♦rt ♠♦ ① rtés ♦♥t E/ (Kn l) t E/ (Kt l) ♦ù l st ♥ ♦♥r rtérstq

♥s ♥ ♦sr♥t r ♥♦s r♠rq♦♥s ♥ ♣s r♥ r♣♣r♦♠♥t s s♦t♦♥s ♥tr

r♦ r t é♦r♠ ♣♦r s ♦rts t♥♥ts q ♣♦r s ♦rts ♥♦r♠① tt ér♥

st ♥ ♦♥séq♥ t q E/ (Kt l) > E/ (Kn l) ♥s ①♠♣ été (Kn > Kt)

❱t♦♥ ♥

♦è ♦♥t♥ ♦è s♦♥t♥

r strt♦♥ s ♦♥tr♥ts ♣r♥♣s t♦r ♦ ♥tr ♠♦è ♦♥t♥t s♦♥t♥ E = 50GPa Kn/Kt = 10

t ♠♦♠♥t ♦

♠♦♠♥t ♦ st été ♣♦r ① rs tr K0 t ♣♦r Kn/Kt = 1 ♥ ts♥t

♥ ♠♦è ①t é♦r♠ P t ♥ ♠♦è r ♣♦st♦♥ ♦

à étt ♥ ♣r r♣♣♦rt à s ♣♦st♦♥ à étt ♥t ♥ tr ♠♣t♦♥ × ♣♦r

é♣♠♥t st ♠♦♥tré à r ♦s r♠rq♦♥s q ♦♥♥

♥ réstt ss③ ♣r♦ ♠♦è ①t ♣♦r K0 = 0.5 t ♣♦r K0 = 1 s rs

♠♦♠♥t ♦ s♦♥t qs ♥tqs ♥s s ① ♠♦ès t é♦r♠t♦♥ r♦ st

♠♥♠ ♣r r♣♣♦rt é♣♠♥t ♦ ♥s ♠♦è é♦r♠ Pr rs ♥②s

♠♦♠♥t ♠ét♦ s ♦s és ♣♦r réstt ♥ ss♠♥t s♥t ôté ♣s

r♥ ♣♥t qqs s♦♥t s rs s ♦♥tr♥ts ♥ts t s rtés s ♦♥ts é♥♠♦♥s

♣rès ♠♦è ①t ♦ ♠♦è st é♥t q♥ r♦tt♦♥ ♦ t q

étr♠♥é ♦♠♠ ét♥t ss♠♥t s♥t ♠ét♦ s ♦s és s sé♣r

♠ss r♦s ♥s rt♥s s ♦♠♠ ♣♦r K0 = 1 t Kn/Kt = 1

♥ tr r♦tt♦♥ st ♣r♣♥r ♣♥ ♦ t r♦tt♦♥ ♦ st rtérsé

♣r ♥ s ♥ r♦tt♦♥ ♦♠♠ r ♠♦♥tr q r♦tt♦♥ ♦ st té ♣r

s ♦♥tr♥ts ♥ts r K0 ♥t ♦rs ♥térss♥t étr ♠♣t tr

♥ r♦tt♦♥ ♥ ♦♥t♦♥ r♣♣♦rt Kn/Kt t ♣♦r ér♥ts rs K0

♣rès r ♦rsq Kn/Kt ♠♥ r♦tt♦♥ ♦ ♠♥t tt ♦srt♦♥ st

♥ ♦♥♦r♠té ♥②s r♣♣♦rt Kn/Kt ♣rr♣ s♥s r♦tt♦♥ ♥ ♣♦r

K0 < 1 ♥s s été ♥ r♦tt♦♥ ♥ét s ♠♣ts r♦tt♦♥ s♦♥t ♣s éés

♣♦r s s ♦♥tr♥ts ♥♦♥ s♦tr♦♣s K0 = 0.5 q ♣♦r s ♦♥tr♥ts s♦tr♦♣s

♣rès ♠ét♦ ssq s ♦s és ♥ r♦tt♦♥ st ♥ Pr rs ♠ê♠ s

♠ét♦ s ♦s és ♠♦é ♣♦r ♣rs ♥ ♦♠♣t r♦tt♦♥ st tsé ♣tr

♣rr♣ ♦♥♥rt ♥ réstt r♦tt♦♥ ♥é♣♥♥t s rtés s ♦♥ts t

s ♦♥tr♥ts ♥ st

t tr sérté

♣♦r ♥ ♦ rt s②♠étrq tr sérté st ér♦ss♥t ♥ ♦♥t♦♥ Kn/Kt t

r♦ss♥t ♥ ♦♥t♦♥ K0 ♦♠♠ ♦♥ rr ♥s r ♥st ♣s r ♣♦r t♦s s

s t ♣rtèr♠♥t ♣♦r ♦ été ♥s ♣rr♣

r ♠♦♥tr rt♦♥ tr sérté ♥ ♦♥t♦♥ K0 ♣♦r ♦ ♣♦r

P

r é♣♠♥t ♦ ♣♦r Kn/Kt = 1 t ér♥ts rs K0 s ♥s♦♥t♥s r♣rés♥t♥t é♦♠étr ♥t t s ♥s ♥ ♣♦♥té r♣rés♥t♥t é♦r♠é ♥ tr ♠♣t♦♥ ×100 s ♣♦r ♠ét♦ s ♦ és

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

Angle

de r

ota

tion (

º)

Kn/Kt

ISOBLOC 2D, H=500 m, Kt=1000 MPa/m

K0=0.5

K0=1

K0=1.5

−0.003

−0.002

−0.001

0

0.001

0.002

0.003

0.004

0.005

20 30 40 50 60 70 80 90 100

Angle

de r

ota

tion (º)

Kn/Kt

r ❱rt♦♥ r♦tt♦♥ ♦ ♥ ♦♥t♦♥ r♣♣♦rt Kn/Kt ♠♦è

❱t♦♥ ♥

ér♥ts rs Kn/Kt ♥ ts♥t ♥ ♥ r♦tt♠♥t φ = 35 ♥♦♥s q t ♥

r♦tt♠♥t s s ♥ ♣st♥t ♣s à étt ♥t ♣♦r s rs K0 étés ♥②s

r♣ ♠♦♥tr q ♣♦r t♦ts s rs r♣♣♦rt s rtés tr sérté

♠ê♠ r r♦ss♥t ♣s ér♦ss♥t ♥ ♦♥t♦♥ K0 Pr ♦♥séq♥t à ♣rtr ♥ rt♥

r K0 rtq ♠♥tt♦♥ s ♦♥tr♥ts ♦r③♦♥ts ♥ts ♥ t ésts♥t

sr ♦ ♥ ♦tr ♥♦s ♥ ♣♦♦♥s ♣s étr ♥ rè é♥ér ♦♥r♥♥t t r♣♣♦rt

s rtés sr tr sérté tr sérté ♠♥ ♣♦r ♣♣rt s s

♠♥tt♦♥ Kn/Kt ♠s ♣♦r ♥ ♥tr ♦♥♥é K0 ♥tr t ♥s s tt

♦♥sttt♦♥ ♥st ♣s r

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2

Facte

ur

de s

écurité

K0

Bloc 2D, H=500 m, φ=35°, c=0 MPa

ISOBLOC, Kn/Kt=0.1

ISOBLOC, Kn/Kt=1

ISOBLOC, Kn/Kt=10

ISOBLOC, Kn/Kt=100

Blocs Clés

r ❱rt♦♥ tr sérté ♥ ♦♥t♦♥ K0 t Kn/Kt s♥t s♠ét♦s t ♦s és

tr sérté st é ♥ s ♥÷s q t ♠♥♠♠ st r♣rés♥té

sr r ♥ ♥②s♥t ♣s ♥ ét réstt ♥♦s ♦♥s r♠rqé q ♣♦r ♥

s s tr ♥ r r♦ss♥t ♣s ér♦ss♥t ♠♥♠♠ ♣♦r ♣s r♦ss♥t

♦rrs♣♦♥ à ♦ ss♠♥t s♥t ♠ét♦ s ♦s és ♠s ♠♥♠♠

♣♦r ♣s ér♦ss♥t ♦rrs♣♦♥ à

tt r st ttré ♥♠♥t s♥s ♦rt t♥♥t ♠♥tt♦♥ K0 ♥s

♣r♠èr ♣s ♣r♠t ♠♥r s ♦rts t♥♥ts ♣rès ①t♦♥ sr ♥ ♦♥♥é

♦ sqà r ♥♥t♦♥ tr sérté st ♦rs ♥s ♣s r♦ss♥t ♣rtr

♠♦♠♥t s ♦rts t♥♥ts ♠♥♥t ♥ s♥ ♥ét ♦♥ ♠♥t♥t ♥ r

s♦ ♦♠♠ tr sérté st éé ♣r r♣♣♦rt à r s♦ ♦rt t♥♥t

♥♠♥t ♥ ♣♥t ♣♦st à ♥ ♣♥t ♥ét

♦t♦♥s ♥♥ q tr sérté ♦♥♥é ♣r ♠ét♦ s ♦s és ♥st té ♥ ♣r

s ♦♥tr♥ts ♥ts ♥ ♣r s rtés s ♦♥ts

♦♠♣rs♦♥ ♥tr ér♥ts ♦s

♦♥sér♦♥s ♥ ♦ q s ♠ê♠s ♦r♥tt♦♥s s s ♦♥tt ♠ss r♦s q

♣r♠r ♦ été ♠s ♣s ♣tt t st ♦ ♥s r r

P

r♣rés♥t rt♦♥ tr sérté ♥ ♦♥t♦♥ s ♦♥tr♥ts ♦r③♦♥ts ♥ts ♣♦r

s ① ♦s t t ♣♦r ér♥ts r♣♣♦rts rtés ♠ét♦ s ♦s és

st ♥tq ♣♦r s ① ♦s r r ♠♦ ♠♦♠♥t st ♥ ss♠♥t sr ♥

♠ê♠ ♣♥t ♠ét♦ s réstts èr♥t à s ♥♥ s ♦♥tr♥ts

♥ts ss♥t sr s s rs ♥ t ♦♠♠ ♦r♥tt♦♥ r ♥st ♣s ♠ê♠

♣♦r s ① ♦s s rt♦♥s s r♠♥ts ①térrs ♥tr étt ♥t t étt ♥ èr♥t

♥s q s ♦♥tr♥ts ♥s

0

0.5

1

1.5

2

2.5

0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2

Facte

ur

de s

écurité

K0

Blocs 1 et 2, H=500 m, φ=35°, c=0 MPa

ISOBLOC, Bloc1, Kn/Kt=1

ISOBLOC, Bloc 2, Kn/Kt=1



Blocs Clés, Blocs 1 et 2

r ♦♠♣rs♦♥ ① ♦s s ♠ê♠s ♦r♥tt♦♥s s s ♦♥tt t ♦s és

s ♦s t s♦♥t s♠rs s ♦r♥tt♦♥s s s ♦♥tt t s s rs s♦♥t

s ♠ê♠s ♠s s ts s♦♥t ér♥ts ♥s ♥②s ♠ét♦ ♦♥♥rt s

réstts ♥tqs ♣♦r s ① s ❯♥ ♣tt ér♥ ♣t êtr ♦t♥ à s rt♦♥

s ♦♥tr♥ts rtrs ér♥ s ♦r♦♥♥és ♥tr s ① s ♠s st très ♠♥♠

♥ ♦♥s♦♥ s ♦♥ ♦♠♣r stté ① ♦s ②♥t s s ♦♥tt s ♦rrs♣♦♥

♥ts ① ♦♥ts ♠ê♠ ♣♥ ♠s ♦sés à s ♠♣♠♥t ér♥ts t♦r ①t♦♥

réstt ♦♠♣rs♦♥ r s♥t ♠ét♦ tsé

• réstt ♠ét♦ s ♦s és é♣♥ ①s♠♥t ♦r♥tt♦♥ s s ♣r

r♣♣♦rt à ♦r t ♣♦s é♥♠♦♥s ♣♦r ér♥ts ♦r♥tt♦♥s r ♦♥

♣t ♦r ♠ê♠ ♠♦ ♠♦♠♥t

• réstt é♣♥ ♥ ♣s ♦r♥tt♦♥ r t s ♦♥tr♥ts ♥ts

ss♥t sr ♦ ♦rsq ♣r♦♦♥r ♦ st éé rté ♥ t ♥é sr

s ♦♥tr♥ts ♥ts s réstts ♦♠♣rs♦♥ s♦♥t ♦rs ♥tqs s s ♦r♥tt♦♥s

s s rs s♦♥t s ♠ê♠s ♥ trs tr♠s s s ♦rts ♥t① ss♥t sr r

s♦♥t é①

t ♥②tq ♦♠♣rt ♥ ♦ s②♠étrq ♥

t ♥②tq ♦♠♣rt ♥ ♦ s②♠étrq ♥

♦♥sér♦♥s ♥ ♦ s②♠étrq ♥ sté sr t♦t ♥ ①t♦♥ ♣♥ ♥s ♣rr♣

♥♦s é♦♣♣♦♥s ♣♦r s s♠♣ s ①♣rss♦♥s ♥②tqs s ♦rs ss♥t sr s s

♦ ♣rès ①t♦♥ ♥ ts♥t qtr ♠ét♦s ér♥ts ♠ét♦ ♠ét♦

①t♦♥ ♠ét♦ étr♠♥st t ♠ét♦ s ♦s és t st ♠♦♥trr

r♠♥t s ér♥s ♥tr s ♠ét♦s t q s tr♦s r♥èrs ♦♥stt♥t s s ♣rtrs

♣r♠èr étt ♥ s ♣♦r ♠ét♦ s ♦s és ♦r rt ss♥t sr q

st ♠ê♠ ♣♦r t♦ts s ♠ét♦s t st ♠♣♦sé ♣r éqr rt ♦ t s②♠étr

♦r ♦r③♦♥t ♥ ♥ ♠ét♦ à tr Pr rs ♥♦s é♦♣♣♦♥s s

①♣rss♦♥s s ♦♥ts sérté t s ♣rss♦♥s s♦tè♥♠♥t t st♦♥s ♥s qs s

t ♦ t ♠ét♦ st ♣s ♦♥srt

t

r ♦ s②♠étrq ♥ ét♦

tt ♥t

♦ été st ♥ ♦ s②♠étrq tr H0 t ♠ ♥ s♦♠♠t α s st

sté à ♥ ♣r♦♦♥r H sr é♦♠étr ♦ t s ♦rs ss♥t sr ♦ à étt

♥t ♥t ①t♦♥ t à étt ♥ ♣rès ①t♦♥ s♦♥t strés ♥s r é♣ssr

♦ ♦rt♦♦♥♠♥t à r st ♥tr

étt ♥t t♥sr s ♦♥tr♥ts ♥ t♦t ♣♦♥t r♦ st

σ0 =

[

K0 σ0

σ0

]

♦r♥ r♣èr(

~Ox , ~Oz)

st sr sr s♦ t ① ~Oz st ré rs s

♦♥tr♥t σ0 st ♥ ♦♥tr♥t rtr r♥t ♣r♦♦♥r z ♣♦♥t ♦♥séré σ0 = γz

γ ét♥t ♣♦s ♦♠q r♦

♦t♦♥s q ♥s ♥♦s ♦♥sér♦♥s q s ♦♥tr♥ts ♦♠♣rss♦♥ ♦♥t ♥ s♥

♣♦st

rést♥t s ♦rts sr q ♥♦r♠ ①térr ~n s ♣r ~F0 =´

σ0 ~n dS

♥s s ♦rs ss♥t sr ♦ à étt ♥t s♦♥t s s♥ts

P

F0x = K0 σ0mH0

F0z = σ0mH0 tanα

F0zb = (P + 2F0z)

P = γ H2

0 tanα

σ0m = γ

(

H − H0

2

)

♦♥tr♥t rt ♠♦②♥♥

s ♦rts F0x t F0z s♦♥t rs♣t♠♥t s ♦rs ♦r③♦♥t t rt ss♥t sr s s

♦ à étt ♥t ♣♦s ♦ st és♥é ♣r P

F0zb st ♥ ♦r q éqr s ♦rs rts ♦r F0z sr q t ♣♦s

♦ P t q t sr s ♦ ♥s ♥♦s ♦♥sér♦♥s ♥ ♦r ♣r q

st éq♥t à ♦♥sérr s ♦rts ♠♦②♥s ♣r ♣r♠ttr ♦♠♣rs♦♥ trs

♣♣r♦s q ♦♣t♥t tt s♠♣t♦♥

s ①♣rss♦♥s s ♦rs ♥♦r♠ t t♥♥t sr s s à étt ♥t s♦♥t

F0n =(

K0

cosα

tanα+ sinα

)

F0z

F0t = (K0 − 1) cosαF0z

s ♦♥tr♥ts ss♥t sr ♦ ♥t ①t♦♥ ♦♥t êtr ♣stq♠♥t ♠sss

♦♥ ♦♥sèr rtèr ♦r♦♦♠ ♥ ♦és♦♥ ♥ t ♥ ♥ r♦tt♠♥t φ

s trt ♣r ♦♥t♦♥ |F0t| < F0n tanφ ♥ ♣t ♦rs ér ♥tr s ♦♥ts K0

♠sss

1− tanα tanφ

1 + tanφtanα

≤ K0 ≤ 1 + tanα tanφ⟨

1− tanφtanα

⟩

〈x〉 = (x+ |x|) /2

tt ♥

étt ♥ s ♦ st éré ♥st ♣s s♦♠s à ♥ ♦♥tr♥t ♦♠♠

str r Pr ♦♥séq♥t ♦r F0zb ss♥t sr s ♦ ♥t ♥

P♦r ssrr éqr ♦ s ♦rs sr s s ♦♥t êtr ♠♦és ♥ rs♣t♥t s ♦s

♦♠♣♦rt♠♥t s ♦♥ts

éqr rt t s②♠étr ♦ ♣r♠tt♥t r ♦r rt Fz ♥

q ♦ s②♠étr ♦ ♠♣♦s q ♠♦♠♥t ♦ s♦t rt rs s

t q s ♦rs ♦r③♦♥ts ss♥t sr s ① s s♦♥t és P♦r tr♦r ①♣rss♦♥

♦r ♦r③♦♥t Fx sr q t é♣♠♥t rt ~Uz ♥♦s ♣♣q♦♥s s ♦s ♥érs

♦♠♣♦rt♠♥t s ♦♥ts ①♣qés ♥s ♣rr♣ ♦t♦♥s q ♣sq st ♥

sr r ♦r③♦♥t é♣♠♥t st ♥é♣♥♥t s ♦♥tr♥ts ♥ts ♦r③♦♥ts ♦♠♠

été éà é♠♦♥tré ♥s ♣rr♣

♠♣t é♣♠♥t s①♣r♠ ♦♠♠ st

t ♥②tq ♦♠♣rt ♥ ♦ s②♠étrq ♥

Uz =

(

F0z +P

2

)

cosα

(

Kn sin2 α+Kt cos2 α

)

H0

♥ ♣s ♣♦s P s ♦rs ♦r③♦♥t t rt ss♥t sr q ♦ à ét♣

♥ s♦♥t rs♣t♠♥t Fx t Fz

Fx = A tanα

(

P

2+ F0z

)

+ F0x

Fz = −P2

♣r♠ètr A st ♥ ♣r♠ètr ♠♥s♦♥♥ q é♣♥ s rtés s ♦♥ts t r

♥♥s♦♥

A =1− Kn

Kt

1 +Kn

Kt

tan2 α

♦s és♦♥s s ①♣rss♦♥s s ♦rs ♥♦r♠ t t♥♥t ss♥t sr q ♦

à étt ♥

Fn = A sinα

(

P

2+ F0z

)

+ F0x cosα− P

2sinα

Ft = A sinα tanα

(

P

2+ F0z

)

+ F0x sinα+P

2cosα

♥ tr sérté t s②♠étr ♦ t s♥t q ♦és♦♥ st

♥ tr sérté st ♠ê♠ sr s ① s =Fn tanφ

|Ft|♣♦r Fn ≥ 0 ♦♥t

st ♥ s trt♦♥ ♣♣rt

♣rès s ①♣rss♦♥s Fn t Ft éqt♦♥s t ♦ ♣rès éqr rt

♥♦s ♣♦♦♥s érr rt♦♥ s♥t

Ft = Fn tanα+P

2 cosα

♥s s r Fn st ♣♦st ♦♠♣rss♦♥ Ft st ♥éssr♠♥t ♣♦st

♥②s♦♥s é♦t♦♥ stté ♥ ♦♥t♦♥ r♣♣♦rt Kn/Kt t K0

♦♥t A st ér♦ss♥t ♥ ♦♥t♦♥ r♣♣♦rt r = Kn/Kt r s éré ♣r r♣♣♦rt à r

st ♥ét A′(r) =−(1 + tan2 α)(

1 + r tan2 α)

é♦t♦♥ A ♥ ♦♥t♦♥ r♣♣♦rt s rtés st rtérsé ♣r s rs s♥ts

• A = 1 ♣♦r Kn = 0 ♦ A→ 1 ♦rsq Kn/Kt → 0

• 0 < A < 1 ♣♦r Kn/Kt < 1

• A ≤ 0 ♣♦r Kn/Kt ≥ 1

• A→ −1

tan2 α♦rsq Kn/Kt → ∞

♦rsq r♣♣♦rt Kn/Kt ♠♥t A ♠♥ ♣r ♦♥séq♥t s ♦rs ♥♦r♠ Fn t t♥♥

t Ft ♠♥♥t ♠♥t♦♥ Fn ♦♥tr à éstst♦♥ ♦ r ② r ♠♦♥s

P

♦♠♣rss♦♥ sr ss s ♦♥ ♠♦♥s ♦rs résst♥ts ♦♠♠ Ft > 0 s r s♦ st

ér♦ss♥t ♥ ♦♥t♦♥ Kn/Kt t sé♦♥ ♠t ♣stté q ♦♥tr à sts

t♦♥ ♦ P♦r étr t ♦♠♥é é♦t♦♥ Fn t Ft sr stté t étr

rt♦♥ ♥ ♦♥t♦♥ r♣♣♦rt s rtés

♥ ts♥t ①♣rss♦♥ tr sérté ♣t sérr ç♦♥ s♥t

=tanφ

tanα+P

2Fn cosα

♦♠♠ Fn st ér♦ss♥t ♥ ♦♥t♦♥ r♣♣♦rtKn/Kt ♣rès ①♣rss♦♥ ♥♦s ♣♦♦♥s

♦♥r q st ss ér♦ss♥t ♥ ♦♥t♦♥ r♣♣♦rt ♠♥tt♦♥ r♣♣♦rt s rtés

♥ t ésts♥t sr ♦ s②♠étrq t♦t

tr ♣rt s r♥rs Fn t Ft s♦♥t r♦ss♥ts ♥ ♦♥t♦♥ K0 ♠♥tt♦♥ Fn

♥ t sts♥t sr ♦ ♦rs q ♠♥tt♦♥ Ft ♦♥ s r s♦ r Ft > 0

♥ t ♦♥trr P♦r ♦♥♥tr t ♦♠♥é rt♦♥ s ① r♥rs sr stté

♦ t ss ♦♥sérr é♦t♦♥ ♥ ♦♥t♦♥ K0

♣rès ①♣rss♦♥ ♠♥t ♥ ♦♥t♦♥ K0 stté ♥ ♦ s②♠étrq

t♦t ♥ ①t♦♥ ♠♥t ♠♥tt♦♥ s ♦♥tr♥ts ♦r③♦♥ts ♥ts

r♣ r st ♥ ①♠♣ é♦t♦♥ r♦ss♥t tr sérté ♥

♦♥t♦♥ K0 t ér♦ss♥t ♥ ♦♥t♦♥ Kn/Kt ♣♦r ♥ ♦ s②♠étrq ♠♥

s♦♠♠t α

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2

FS

K0

ISOBLOC 2D, H0=2 m, H=10 m, α=20°, φ=35°, r=Kn/Kt

r=0.1

r=1

r=10

r=100

r ♦t♦♥ tr sérté ♥ ♦♥t♦♥ K0 ♣♦r ér♥ts rs Kn/Kt ét♦

Pr rs ♥♦s ♣♦♦♥s é♠♦♥trr ♣rès ①♣rss♦♥ q ♥s ♥tr α =]0, 90[,

tr sérté st ér♦ss♥t ♥ ♦♥t♦♥ ♠♥ s♦♠♠t α ♦♥ ♦ st ♠♦♥s

st ♦rsq st ♠♦♥s ♣♦♥t r ♠♦♥tr rt♦♥ tr sérté ♥ ♦♥t♦♥

♠♥ s♦♠♠t α ♣♦r ér♥ts r♣♣♦rts rtés

♦t♦♥s q ♣♦r s ♣r♦♦♥rs éés ♦ ♣♦r s rs éés K0 s ♦♥ts

sérté ♥ ♦♥t♦♥ r♣♣♦rt rté t♥♥t à ♦♥rr rs ♠ê♠ s♦t♦♥ ♥ t ♥♦s

t ♥②tq ♦♠♣rt ♥ ♦ s②♠étrq ♥

♣♦♦♥s ♦♥sttr ♥ r♣♣r♦♠♥t s ♦rs ♦rsq K0 ♠♥t ♥s r ♥s

s ♦♥tr♥ts ♥ts très éés ♣♦s ♥t ♥é ♣r r♣♣♦rt ① ♦rs ♥♦r♠s t

t♥♥ts ss♥t sr ♦ ♣rès éqt♦♥ tr sérté t♥ ♦rs rstanφ

tanα

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

10 20 30 40 50 60 70

FS

α°

ISOBLOC 2D, H0=2 m, H=10 m ,K0=1, φ=35°, r=Kn/Kt

r=0.1

r=1

r=10

r=100

r ♦t♦♥ tr sérté ♥ ♦♥t♦♥ ♠♥ s♦♠♠t α ét♦

♥ ♦r s♦tè♥♠♥t ♦s r♦♥s ♥ ♥s♠ ♦rs s♦tè♥♠♥t ♦

rr♠♥t à ♣♣qr sr s ♦ ♣♦r q rtèr ♣stté sr s s ♦

s♦t rs♣té ♣rès ①t♦♥

♣♣t♦♥ ♥ ♦r s♦tè♥♠♥t Fs sr s ♦ ♣♦r réstt ♥ ♥ré♠♥t

♦rs ♦r③♦♥t Fx t rt Fz sr s s ♦ ♦♠♠ str r Pr

♦♥♥t♦♥ Fs > 0 st ♥ ♦r ♦♠♣rss♦♥

r t ♣♣t♦♥ ♥ ♦r s♦tè♥♠♥t

s éqt♦♥s ♣rr♣ s♦♥t ♦♣tés ♥ ♦♥sér♥t q Fs st ♥q ♦r ss♥t

sr ♦ t q s ♦♥tr♥ts ♥ts s♦♥t ♥s s ♥ré♠♥ts s ♦rs sr s s s♦♥t ♦rs

①♣r♠és ♣r

Fz =Fs

2t Fx = −A tanα

Fs

2

P

s ♥ré♠♥ts ♦rs s♦♥t ♥st ♦tés ① ♦rs tr♦és à ét♣ ♥ ♣rès ①t♦♥

s ①♣rss♦♥s s ♥♦s ♦rs ♥♦r♠ Fns t t♥♥t Fts s♦♥t éts

Fns = Fn +Fs

2sinα (1−A)

Fts = Ft −Fs

2(cosα+A sinα tanα)

♦r s♦tè♥♠♥t Fs ♦t érr ♥été ♦ ♦r♦♦♠ |Fts| < Fns tanφ

s♥t q ♦r ♥♦r♠ st ♥ ♦♠♣rss♦♥ (Fns ≥ 0)

♦♥t♦♥ ♥ ♦r ♥♦r♠ ♦♠♣rss♦♥ ♠♣♦s q

P♦r A 6= 1 Fs > −2Fn

sinα (1−A)

P♦r A = 1 Fn > 0 ♦r Fs ♥s s ♥ ♣t ♣s ♦♥trr à rt♦♥ Fn ♦t♦♥s

q ♦♥t♦♥ A = 1 st r ♣♦r Kn = 0 q st ♥rs♠ ♥ ♣rtq

① ♠ts ♣♦r ♥tr s ♦rs s♦tè♥♠♥t ♠sss s♦♥t tr♦és

Fs1 = 2Ft − Fn tanφ

K1

K1 = A sinα (tanα− tanφ) + sinα tanφ+ cosα

Fs2 = 2Ft − Fn tanφ

K1

K2 = A sinα (tanα+ tanφ)− sinα tanφ+ cosα

K1 > 0 Fs1 st ♥ ♠t ♥érr ♥tr s ♦rs s♦tè♥♠♥t t s K2 > 0 Fs2

st ♥ ♠t s♣érr t ♥tr

t ♠ét♦ ①t♦♥

♠ét♦ ①t♦♥ été éà ①♣♦sé ♥s ♣r♠r ♣tr ♥s ♣rr♣

♥♦s é♦♣♣♦♥s s ①♣rss♦♥s s ♦rs ss♥t sr ♦ ♥s ♥ t ♦♠♣rt ♣♣r♦

r ♦ s②♠étrq ♥ ét♦ ①t♦♥

tt ♥t

étt ♥t ♦♥ ♦♥sèr q r♦ été ①é ♠s q ♣♦s ♥t ♣s sr ♦

s ♦rs F0x r♣rés♥tés ♥s r ♣♥t êtr ♣rss ♦♠♠ és ① ♦rs ♥ts

♥t ①t♦♥ ♦♠♠ ♥s ♣♣r♦ ssq r② ❬❪ ♦ és à ♣rtr ♥

♠♦è éstq ♦♥sér♥t ♥ ♠ ♦♥t♥ ♦r ♣rr♣

t ♥②tq ♦♠♣rt ♥ ♦ s②♠étrq ♥

éstq é♣♥ ♦r♠ ①t♦♥ t ss ♠♥s♦♥s s s♦t♦♥s ♥②

tqs ♣♦r s ♦rs ♦r③♦♥ts ♥ts ♦♥t été tsés ♥s ttértr ♥s r

♠ét♦ ①t♦♥ ♥q♠♥t ♣♦r s rs ♦r♠ rr ♥s ♦♥♦s ❬❪ é

♦♣♣é ①♣rss♦♥ ♦r ♦r③♦♥t à ét♣ ♥t ♠ét♦ ①t♦♥ ♥ ♥tér♥t

s ♦♥tr♥ts és t♦r ♥ ①t♦♥ rr r②♦♥ R sr s s ♦ tr

H0 ♦s és♥♦♥s tt ♦r ♣r F0xE ♦♥ ①♣rss♦♥ st ♦♠♠ st

F0xE =1

2σ0m [R (1 +K0)C1 − (1−K0)C2]

C1 =

(

H0

R+ 1

)

− 1(

H0

R+ 1

) t C2 =

(

H0

R+ 1

)

− 1(

H0

R+ 1

)3

r②♦♥ ♠♥♠ r à ♦sr ♦rrs♣♦♥♥t à stt♦♥ ♦ù s s ♦ s♦♥t

t♥♥ts à r st

Rmin =H0 tanα

tan(π/4− α/2)

♦s r♠rq♦♥s ♣rès ♦♠♣rs♦♥ r q F0xE st ♣s éé q F0x ♣♦r

♣♣rt s rs K0 st ♦♥ s♦♥t ♣s sértr s ♠ét♦ ①t♦♥ st

♦♣té r F0x t ♥♦♥ ♣s F0xE

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

Forc

e h

orizonta

le initia

le (

MN

)

K0

Bloc 2D, H0=2 m, H=10 m, α=20°

F0x

F0xE (Elastique, R=1.5 m)

F0xE (Elastique, R=3 m)

F0xE (Elastique, R=5 m)

r ét♦ ①t♦♥ ♦♠♣rs♦♥ ♦r ♦r③♦♥t à ét♣ ♥t♥tr ♣♣r♦ r② t ♦♥♦s

Pr rs ♦♠♠ ♥♦s ♦♥s ♠♦♥tré ♥s r ♥s s ♥ r♦ r r

t♦♥ s ♦♥tr♥ts t♦r ♥ ①t♦♥ st ♣tôt té ♣r ♣rés♥ s s♦♥t♥tés q

♣r é♦r♠té r♦ ♦s ♣r♥r♦♥s ♦♥ ♥s st tt ♥②s r①t♦♥ ♥

♦ s②♠étrq t♦t F0x ♦♠♠ ♦r ♥t ss♥t sr ♦ ♦♠♠ ♥s ♠ét♦♦♦

ssq r② ❬❪

♦♥t♦♥ ♥♦♥ ss♠♥t à étt ♥t s trt ♥s s ♣r φ > α

P

tt ♥

♦ st s♦♠s à s♦♥ ♣♦s t s ♦rs sr s s s♦♥t ♠♦és ♥ s♦t♥t ♦♠♣♦rt♠♥t

s ♦♥ts étt ♥ ♦♠♠ ♠♦♥tr r st s♠ à ♠ét♦

♥ ♦t♥t é♣♠♥t t s ♦rs sr s s ♥ r♠♣ç♥t ♥s s ♦r♠s éà éts

éqt♦♥s t ♠ét♦ ♦r F0z ♣r ♦rt Fz st ♦rs

♥r

Uz =

P

2Kn sin

2 α+Kt cos2 α

Fx = A tanαP

2+ F0x

Fz = −P2

♠ê♠ s ①♣rss♦♥s ♦r ♥♦r♠ Fn t t♥♥t Ft ss♥t sr s s à étt

♥ t s ♦rs s♦tè♥♠♥t Fs s♦♥t éts s ①♣rss♦♥s tr♦és ♠ét♦

éqt♦♥s t ♥ ♣♦s♥t F0z = 0

♥s ♠ét♦ st éq♥t à ♠ét♦ ①t♦♥ s ♦♥ ♦♥sèr F0z = 0

q st ♠♣r♦ ♥s s ré ♥ ①t♦♥ s♦trr♥ t s ♥s ♠ét♦ ①t♦♥

é♦r♠t♦♥ r♦ ♥st ♣s ♣rs ♥ ♦♠♣t F0x ♥st ♣s étr♠♥é ♣r ♥ éstq

Pr rs ♣rès éqt♦♥ ♥♥r F0z q st ♣♦st r♥t à ♠♥r Fn ♦rsq

A > 0 à Kn < Kt t ♦♥ ♠♥r ♦r éqt♦♥ ♥ ♥ réstt ♥rs ♣♦r

A < 0 Pr ♦♥séq♥t ♥s ♣r♠r s ♠ét♦ st ♦♣t♠st t ♥s s♦♥

st ♦♥srt ♣r r♣♣♦rt à ♠ét♦ ①t♦♥ r ♥s rété ♥ st r♣♣♦rt

Kn/Kt > 1

t ♠ét♦ étr♠♥st

♥s ♠ét♦ étr♠♥st ♦ st été ♥q♠♥t à étt ♥ ♦♠♠

♠♦♥tr r ♦♠♣♦rt♠♥t s ♦♥ts t ♠♦♠♥t ♦ ♥♥tr♥♥♥t ♣s ♥s

r Fx st ♥ r st♠é ♣r ♥é♥r t stté ♥ é♣♥

r ♦ s②♠étrq ♥ ét♦ étr♠♥st ♦

st ♦♥ ♣♦ss tr♦r ♥ ♦r ♥tr s réstts t st ♣♦r

q r Fx ♦r♥ ♣r tstr ♦ ♦ï♥ é ♣r

t ♥②tq ♦♠♣rt ♥ ♦ s②♠étrq ♥

♥ ♦♥t♦♥ A α P F0z t F0x ♥ t ♦♠♠ été ♣résé ♣tr

♦ ss ♥tèr rs♣♦♥sté à tstr ♦r♥r étt ♦♥tr♥t à étt ♥

t étt st sttq♠♥t ♠ss t ♦ s ♦♥t♥t érr s st ♦ ♥♦♥ ♣stq♠♥t

♠ss ê♠ ♥s s ♥ s♦tè♥♠♥t tstr ♦ st s♣♣♦sé ♦r ♥

♦♥♥ st♠t♦♥ s ♦rts Fx à étt éqr ♥ ♥s ♠ét♦ st éq♥t

à ♠ét♦ étr♠♥st ♠s ér tstr ♦♣ért♦♥ st♠t♦♥ Fx

s♥t q tt ♦♣ért♦♥ ♥st ♣s é♥t ♣♦r s é♦♠étrs ♣s ♦♠♣①s ♦s

♦♥stt ♥ ♣r♦rès ♥♦♥ ♥é ♣♦r ♠é♦rt♦♥ ♦

①♠♥♦♥s s ♦ù tstr ♥②♥t ♣s é sr r Fx ♦r♥t Fx = F0x

réstt st ♦rs éq♥t à ♥ ♣♦s♥t A = 0 ❯♥ ♦r s♦tè♥♠♥t rt

Fs ♥t ♥q♠♥t ♥ ♦rt rt sr q

t ♠ét♦ s ♦s és

ét ♥é♠tq ♦ ♠ét♦ s ♦s és ♠♦♥tr q st ♥ ♦ ♥

t r Pr ♦♥séq♥t s ♦rs ♥♦r♠s sr ss s s♦♥t ♥s tr sérté st

ss ♥ ♦r s♦tè♥♠♥t ♠♥♠ st é ♣♦s ♦ ♥ t ♣r ♦♥strt♦♥

♠ét♦ s ♦s és ♦♥ ♣t r q ♣r♦è♠ ré ♦♥sst à ♠♥r q ♥s ♠ss

r♦① ♣ ♦♣é ♣r ♦ été st ♥ ♥ ♥s q ♥♦s ♣ç♦♥s à ♠♥ ♦

sqà q sst à ♥ ♣s ♥♦s â♦♥s

♦♠♣rs♦♥ ♥tr s ♠ét♦s

tr sérté

r ♦r rt ss♥t sr q ♦ st ♠ê♠ s♥t s tr♦s

♠ét♦s ①t♦♥ t st r ♦r ♦r③♦♥t q ♥

♦♠♠ ♥♦s ♦♥s ♠ét♦ ①t♦♥ st éq♥t à ♦rsq F0z = 0 t

st éq♥t à ♦rsq ♦r Fx st ♥ ♦r♥ ♥s st ♣♦r

♥♦s ♣r♥r♦♥s Fx = F0x t A = 0 ♥ ♦♥sér♥t q tstr ♦ ♥ ♦♥♥t ♣s

r r ♦r ♦r③♦♥t t ♦r♥t à ♣ F0x

♥ ♥s

FnRelaxation = FnISOBLOC s F0z = 0

FnGAFIS = FnISOBLOC s A = 0

s ♠ét♦s s♦♥t ssés ♣r ♦rr ér♦ss♥t ♦r ♥♦r♠ t ♦♥ ♦t♥t ♦rr

>①t♦♥> ♦rsq A < 0 Kn > Kt

>①t♦♥> ♦rsq A > 0 Kn < Kt

♥ ts♥t ①♣rss♦♥ tr sérté ♥s éqt♦♥ t ♦♠♣rs♦♥ s rs

Fn s♥t s ér♥ts ♠ét♦s ♥♦s ♣♦♦♥s ♦rs é♠♦♥trr q

GAFIS ≥ Relaxation ≥ ISOBLOC ♦rsq A ≤ 0 Kn/Kt ≥ 1

GAFIS < Relaxation < ISOBLOC ♦rsq A > 0 Kn/Kt < 1

r str ♣♦r ♥ ♦ ♦♥♥é é♦t♦♥ tr sérté s♥t s ér♥ts

♠ét♦s t ♣♦r ér♥ts rs r♣♣♦rt s rtés

♠rq♦♥s q ♦rsqKn = Kt s ♦rs ♥♦r♠ t t♥♥t s♦♥t s ♠ê♠s s♥t s tr♦s

♠ét♦s ♥s q s trs sérté s♦♥t ♥ t s s♦t♦♥s ♠ét♦ étr♠♥st

P

Pr rs ♠ét♦ s ♦s és ♦♥♥ ♥ tr sérté ♥ qq s♦t s ♦♥tr♥ts

♥ts t r♣♣♦rt s rtés

0.8

0.9

1

1.1

1.2

1.3

1.4

1.5

1.6

1.7

0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2

FS

K0

Bloc 2D, H0=2 m, H=5 m, α=20°, φ=35°

ISOBLOC

Relaxation

GAFIS

Kn/Kt = 0.1

0.8

0.9

1

1.1

1.2

1.3

1.4

1.5

1.6

1.7

0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2

FS

K0

Bloc 2D, H0=2 m, H=5 m, α=20°, φ=35°

ISOBLOC

Relaxation

GAFIS

Kn/Kt = 1

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2

FS

K0

Bloc 2D, H0=2 m, H=5 m, α=20°, φ=35°

ISOBLOC

Relaxation

GAFIS

Kn/Kt = 10

r ♦♠♣rs♦♥ s♥t s ér♥ts ♠ét♦s ♣♦r ér♥ts rs K0 t Kn/Kt

♦rsq s ♦♥tr♥ts ♥ts ♦r③♦♥ts ♠♥t♥t s s♦t♦♥s s♥t s ♠ét♦s

①t♦♥ t s r♣♣r♦♥t r ♠♦♥tr q s trs sérté s

① ♠ét♦s ♥♥♥t ♣rsq é① ♠ê♠ à ♣rtr ♥ ♣r♦♦♥r q ♥st ♣s très éé

♠ ♣♦r s été st ♣♦r q ♥s r ♥♦s ♦♥s t s ♦♠♣rs♦♥s

♣♦r ♥ ♣r♦♦♥r H = 5♠) ♣♦r ♠① ♥♦tr ér♥ ♥tr s ① ♠ét♦s

♥ t ♥s ♠ét♦ ①t♦♥ rt♦♥ s ♦♥tr♥ts sr s s st ♥q♠♥t

♥t ♣r ♣♦s tt rt♦♥ ♥t ♥é ♣r r♣♣♦rt ① rs s ♦♥tr♥ts ♥ts

ss♥t sr s s à ♣rtr ♥ rt♥ étt ♦♥tr♥ts ♥s s s♦t♦♥ r①t♦♥

s♣♣r♥t à ♥ s♦t♦♥ étr♠♥st ♦ù ♦♠♣♦rt♠♥t s ♦♥ts ♥st ♣s ♣rs ♥ ♦♠♣t

♦♥♥t r♣♣r q ♥s tt ♦♠♣rs♦♥ ♥♦s ♦♥s ①é ♣♦r Fx = F0x ♠s

s tstr ♦r♥t ♦♥♥ r Fx à ♦t♥rt s ♠ê♠s réstts q

t ♥②tq ♦♠♣rt ♥ ♦ s②♠étrq ♥

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

5 10 15 20 25 30 35 40 45 50

FS

H (m)

Bloc 2D, H0=2 m, K0=1.0, α=20°, φ=35°, Kn/Kt=100

ISOBLOC

Relaxation

GAFIS

r ❱rt♦♥ tr sérté ♥ ♦♥t♦♥ ♣r♦♦♥r H ♦

♦rs s♦tè♥♠♥t

s ♦rs s♦tè♥♠♥t ♠♥♠ t ♠①♠ és s♥t s ér♥ts ♠ét♦s s♦♥t

r♣rés♥tés sr r ♥s s ♦ù ♥ s ♦rs st ♥♥ ♦r ♦rrs♣♦♥♥t

♥st ♣s r♣rés♥té Psrs s r♣♣♦rts rtés s♦♥t étés Kn/Kt = 0.1, 1, 10 ❯♥

r ♥ét ♦r s♦tè♥♠♥t s♥ q ♦ st st ♥ ♦♥t sérté

s♣érr à st ♥ t ♦r rr♠♥t q t ♣♣qr ♣♦r éstsr Pr

♦♥séq♥t ♣s ♦r rr♠♥t st éé ♥ r s♦ ♣s ♦ st st

♦♠♠♥ç♦♥s ♣r ♦♠♣rr s réstts s ♠ét♦s ①t♦♥ t ♥ tr♠

♦rs rr♠♥t t♥♥ st ♠ê♠ q s trs sérté ♠ét♦

st ♣s ♦♥srt ♣♦r Kn/Kt > 1 ♦♠♠ ♠♦♥tr r ♥ t

♥s s ♦r rr♠♥t st ♠♦♥s éé ♥ r s♦ ♦♥ ♦ st ♠♦♥s st

tt ♠ét♦ st ♠♦♥s ♦♥srt ♣♦r Kn/Kt < 1 ♦♠♠ ♠♦♥tr r P♦r

Kn/Kt = 1 s s♦t♦♥s ♣rès ♦ ①t♦♥ ♥♥♥t éq♥ts à s♦t♦♥

♦♠♠ str r

♦t♦♥s q ♥♦t♦♥ ♦r ♠①♠ s♦tè♥♠♥t ♥st ♣s ♥ rtèr stté ss③

s♥t r ♠ê♠ s ♥ ♣st ♥ ♠♣♦s♥t ♥ ♦r s♦tè♥♠♥t éé ♥ s♥

♣s q ♦ ♥r ♥st Pr rs ♥ r♣♣♦rt s rtés ♥érr à ♥té ♥ ♣t

①str à ♥♦tr ♦♥♥ss♥ ♥s s s ♥ st ♦s ♣♦♦♥s ♥s ♦♥r ♥ ♥ rr♥t

q s réstts s ♣s ♣rt♥♥ts ♦rs ♠♥♠s s♦tè♥♠♥t ♣♦r s r♣♣♦rts rtés

s♣érrs à ♥té q ♠ét♦ st ♣s ♦♥srt

♦♠♣r♦♥s ♠♥t♥♥t ♠ét♦ à s ♦s és ♦r s♦tè♥♠♥t

é ♣rès ♠ét♦ s ♦s és st ♥é♣♥♥t s ♦♥tr♥ts ♥ts t s rtés

s ♦♥ts st é ♣♦s ♦ t st ♥éssr♠♥t ♥ ♦r ♦♠♣rss♦♥ ♥s ♣♦r

♣♣rt s rs K0 étés ♥s r tt ♠ét♦ st ♦♥srt s♦♥t s

s ♣♦r sqs s♥t ♠ét♦ ♦ st st t r ♥ ♦r rr♠♥t

♣♦r éstsr Pr rs ♠ét♦ st ♣s ♦♥srt ♣♦r s s K0 < 0.5

P

t Kn/Kt = 10 st ♥tr ♦ù trt♦♥ ♣♣rt sr ♥ ♦ s♥t tt

♠ét♦ ♦rs q ♣♦r s s ♠ét♦ ♦♥♥ ♥ tr sérté ♥ ♥tq

à ♠ét♦ ♦s és ♦♠♠ ♠♦♥tr r ♦r s♦tè♥♠♥t s♥t

tt ♠ét♦ st ♣s éé q é s♥t ♠ét♦ s ♦s és

♥♥ r s♦♥r q t ♠♣♦sr ♥ ♦r s♦tè♥♠♥t ♥st ♣s ♣♦ss ♣rtq

♠♥t ♥s s ♥ s♦tè♥♠♥t ♣ss ♦♥t ♦♠♣♦rt♠♥t é♣♥ s é♦r♠t♦♥ ♦t♦s

♥térêt ér tt ♦r s♦tè♥♠♥t st ♣♦♦r q♥tr stté t ♠♦♥trr s

ér♥s ♥tr s ♠ét♦s srt♦t s trt♦♥ ♥ t ♥ s trt♦♥ qq s♦t s♦♥

♥t♥sté tr sérté st ♥ s♥t ♦rs q ♦r s♦tè♥♠♥t é♣♥

♠♣t tt trt♦♥

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2

Fo

rce

s d

e s

ou

ten

em

en

t (M

N)

K0

Bloc 2D, H0=2 m, H=5 m, α=20°, φ=35°

Kn/Kt = 0.1

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2

Fo

rce

s d

e s

ou

ten

em

en

t (M

N)

K0

Bloc 2D, H0=2 m, H=5 m, α=20°, φ=35°

Kn/Kt = 1

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2

Forc

es d

e s

oute

nem

ent (M

N)

K0

Bloc 2D, H0=2 m, H=5 m, α=20°, φ=35°

Fmin ISOBLOC

Fmax ISOBLOC

Fmin Relaxation

Fmax Relaxation

Fmin GAFIS

Fmax GAFIS

Fmin Blocs Clés

Kn/Kt = 10

r ♦♠♣rs♦♥ s ♦rs s♦tè♥♠♥t s♥t s ér♥ts ♠ét♦s

♦♥s♦♥

P♦r ♥ ♦ s②♠étrq ♥ sté t♦t ♥ ①t♦♥ ♦r③♦♥t ♥♦s ♦♥s é♦♣♣é

s ①♣rss♦♥s s rést♥ts s ♦rts ♥♦r♠① t t♥♥ts ss♥t sr s s ♦ ♣rès

①t♦♥ ♠ét♦ ♣r♦♣♦sé ♣r♠t r ç♦♥ r♦rs s ♦rts ♥

♦♥sér♥t st♦rq ér♠♥t r ❯♥ ①♣rss♦♥ tr sérté st

ss é♦♣♣é t ♥♦s ♦♥s ♠♦♥tré q ♣♦r s ♦ t♦t stté ♠♥t

♠♥tt♦♥ s ♦♥tr♥ts ♦r③♦♥ts t ♠♥ ♠♥tt♦♥ r♣♣♦rt s rtés


rté ♥♦r♠ sr rté t♥♥t ♠ê♠ tr sérté ♠♥ ♠♥tt♦♥

♥ s♦♠♠t ♦

tr ♣rt ♥♦s ♦♥s é♠♦♥tré q ♠ét♦ ①t♦♥ t ♠ét♦ étr♠♥st

♦♥♥♥t s s♦t♦♥s q s♦♥t s s ♣rtrs ♠ét♦ s♦t ♥ ♥♥♥t tr♠

q r♣rés♥t s ♦♥tr♥ts rts ♥ts s♦t ♥ ♥♥♥t tr♠ q ♣r♠t ♣rs ♥

♦♠♣t s rtés s ♦♥ts q st éq♥t à ♣r♥r s rtés ♥♦r♠ t t♥♥t

és ♥s s♥t s r♣♣♦rts s rtés t ♦ t ♠ét♦ st ♣s sértr P♦r s

s s ♣s ss r♣♣♦rt s rtés r♣♣♦rt s♣érr à ♥té st ♠ét♦

q ♦♥♥ réstt ♣s sértr ♦t♦♥s q s ♦♠♣rs♦♥s ♦♥t été ts ♥ s♣♣♦s♥t q

s ♦♥tr♥ts ♦r③♦♥ts ♥ts ♥ s♦♥t ♣s étr♠♥és ♥ éstq ♥s ♠ét♦

①t♦♥ ♦ ♥s ♠ét♦ étr♠♥st s t s♥r q s réstts s

♠ét♦s ①t♦♥ t ♠ét♦ é♣♥♥t r♠♥t r ♦r

♥t ♦r③♦♥t q st t st♠é s♥s r stt♦♥

♥♥ t ♥♦tr q ♣♦r s ♦ s②♠étrq à sr r ♦r③♦♥t é♣♠♥t st

rt rs s t r♦tt♦♥ ♥st ♣s ♣♦ss ♦① s♠♣ été t st ♣♦r ♣♦♦r r

♥ ♦♠♣rs♦♥ ♠ét♦ ①t♦♥ t ♠ét♦ ♥ ♦ ♥♦♥ s②♠étrq

st été ② ♣♦ssté q♥ r♦tt♦♥ t t ②♣♦tès ♥♦r♠té s ♦♥tr♥ts

♥ s s ♥st ♣s ♣t ♥s s ♦♥t♦♥s ♣♣t♦♥ ♠ét♦ ①t♦♥

♥st ♣s ♣♦ss t tst♦♥ ♠ét♦ étr♠♥st ① tr♦♣ ♦♥♥és ♣r♦ s ♦rts

sr s s s ♦♥ts


t ♣rr♣ st tr ♥ ét ♣r♠étrq sr ♥ ♦ ♥ q st ♥ ♦♥tt

♥ ①t♦♥ s♦trr♥ ♥ ts♥t ♠ét♦ s réstts s♦♥t ♦♠♣rés

① ♠ét♦ s ♦s és ssq t ① ♠ét♦ s ♦s és q ♣r♥ ♥ ♦♠♣t

s ♦♥tr♥ts ♥ts ♦ ❯❲ Psrs é♦♠étrs ♦s t ♣♦st♦♥s t♦r

①t♦♥ s♦♥t ♥②sés

t ♥ ♦ t♦t

s♦ été st ♥ ♦ tétrérq sté sr sr ♥ ①t♦♥ s♦trr♥ ♦r♠

②♥rq s rtérstqs é♦♠étrqs s s♦♥t♥tés q é♠t♥t ♦ s♦♥t ♣résés

♥s t ♦s ♦♥sér♦♥s ♦ ♦♠ ♠①♠ ♦r♠é ♣r tt ♦♠♥s♦♥

s♦♥t♥tés st ♦ ♥s r

r st ♦r③♦♥t t ♣♦r r②♦♥ R = 5m ♦♥ ① (Oy) st ♥s rt♦♥ ♦r

♣r♦♦♥r s♦♥ ♥tr ♠sré à ♣rtr sr r st H = 200m s ①s réér♥ s♦♥t

♦r♥tés s♥t r ① (Oz) ♦rrs♣♦♥♥t à ① rt s ♦♥tr♥ts ♥ts

♣r♥♣s s♦♥t ♦r♥tés s♥t s ①s réér♥ s ♣r♠ètrs K0x t K0y és♥♥t r♣♣♦rt

♥tr ♦♥tr♥t rt ♥t t s ♦♥tr♥ts ♦r③♦♥ts ♥ts rés s♥t (Ox) t

(Oy) rs♣t♠♥t ♦rsq K0x = K0y ♥♦s ts♦♥s ♣r♠ètr K0 = K0x = K0z ♦♥tr♥t

rt st ♥ ♦♥tr♥t rtr t ♠ss ♦♠q r♦ st ρ = 2500Kg/m3

♦♥r♥♥t s ♣r♦♣rétés ♠é♥qs s ♦♥ts ♥ r♦tt♠♥t st φ = 35 ♦és♦♥ c

st ♥ t ♣srs r♣♣♦rts rtés s♦♥t étés Kn/Kt = 1, 10 t 100

r ♠♦♥tr é♦t♦♥ r♦ss♥t tr sérté ♥ ♦♥t♦♥ K0 s♥t

P

X

Z

Y

Bloc 1θ=0º

Bloc 2θ=45º

Bloc 3θ=90º

r é♦♠étr ①t♦♥ t s ♦s étés

Pr♦♣rétés é♦♠étrqs s s♦♥t♥tés

♠ér♦ s♦♥t♥té rt♦♥ ♣♥ () P♥ ()

♠ét♦ Pr rs tt r ♠♦♥tr q ♠♥t♦♥ r♣♣♦rt s rtés

Kn/Kt ♣♦r t ♠♥tt♦♥ tr sérté ♦t♦♥s q s ♥ tr ♥ r♦tt♠♥t

st ♦s s ♦rs r♦♥t ♠ê♠ r ♠s s ♠♣ts ér♥ts

♦r♠ é♦♠étrq s②♠étrq sr r ♦ ♥ q s♦t ♦r ♠♣♦s

q ♦♠♠ ♣♦r s ♥ sr r ♦r③♦♥t rést♥t s ♦♥tr♥ts ♦r③♦♥ts

♥ts q ② s♦♥t ♣♣qés s♦t ♥ é♣♠♥t ♦ st ♦♥ ♥é♣♥♥t s ♦♥tr♥ts

♦r③♦♥ts ♥ts ♦♥ ♥é♣♥♥t K0 ♦♠♠ été ♠♦♥tré ♥s ♣rr♣ ♣♦r

s ♥ ♦ à sr r ♦r③♦♥t ♠♥tt♦♥ K0 s ♦♥tr♥ts ♥ts ss♥t

sr s s ΣJ ♦ ♠♥t♥t ♦rs q ♥ré♠♥t ♦♥tr♥ts ~σ ♥ ♥ ♣♦♥t ♦♥♥é ét♥t

♣r♦♣♦rt♦♥♥ é♣♠♥t ♦ ♥ ♣♦♥t rst ♥r ♥s ♣♦r s rs éés

K0 s ♦rts sr s s à étt ♥ s r♣♣r♦♥t s ♦rts ♥t① ①♣q ♣♦rq♦ ♥s

r s tr♦s ♦rs ♦rrs♣♦♥♥ts tr sérté s♥t

♣♦r ér♥ts r♣♣♦rts rtés ♦♥r♥t ♦rsq K0 ♠♥t

♠ét♦ s ♦s és ♥ ♣r♥ ♣s ♥ ♦♠♣t t s♣t sts♥t s ♦♥tr♥ts ♥ts

♥②s ♥é♠tq ♣♦r réstt ♥ ♠♦♠♥t ♥ t r t ♦♥ ♥♥♦♥ ♦rs q

♦♥t sérté st ♥

♥t ♠ét♦ ♥♦s ♦♥sér♦♥s q ♦♥t sérté st ♥ ♥s s ♦ù

trt♦♥ ♣♣rt sr ♥ ♦ ♥s tt ♠ét♦ ♦♥♥ ♠ê♠ réstt q ♠ét♦

s ♦s és tr sérté ♥ ♦rsq s ♦♥tr♥ts ♥ts s♦♥t s t ♣♦r ♥ r♣♣♦rt

s rtés s♣érr à ♥té ♥s tt ét st s s K0 < 0.71 t Kn/Kt = 10 ♦

K0 < 0.97 t Kn/Kt = 100

s♦t♦♥ s ♦s és ♣rs ♥ ♦♠♣t s ♦♥tr♥ts ♥ts ♠ét♦ ♦


0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2

Facte

ur

de s

écurité

K0

Bloc 1, φ=35°, c=0 MPa

ISOBLOC, Kn/Kt=1

ISOBLOC, Kn/Kt=10

ISOBLOC, Kn/Kt=100

Blocs Clés

Blocs Clés avec contraintes

r ♦t♦♥ tr sérté ♥ ♦♥t♦♥ K0

❯❲ ①♣♦sé ♥s ♣tr ♣rr♣ st ss r♣rés♥té ♥s r

♦s r♠rq♦♥s q ♦♥t sérté ❯❲ s ♦♥♦♥

♣♦r ♥ r♣♣♦rt s rtés é à ♥té ♥♦s r♣♣ ♥②tq ♥ ♦

s②♠étrq t♦t ♥s ♣rr♣ ♦ù été ♠♦♥tré q ♦rsqKn = Kt ♦♠♣♦rt♠♥t

s ♦♥ts ♥♥tr♥t ♣s ♥s ♠♦t♦♥ s ♦♥tr♥ts ♥ts é♥♠♦♥s ♣♦r s r♣♣♦rts

rtés ♦ ♠ét♦ ♦♥♥ s trs sérté ♥érrs à ①

♠ét♦ ♦ ❯❲ srt♦t ♦rsq K0 st

♥ t ♥s ♠ét♦ ♦ ❯❲ s ♦rts ♥♦r♠① sr s s ♦ s♦♥t

és à ♣rtr ♥ ♠♦è ♦♥t♥ ♦ù ♣rés♥ s ♦♥ts ♥st ♣s ♣rs ♥ ♦♠♣t s ♦rts

s♦♥t ♦♥ ♥é♣♥♥ts s rs s rtés s ♦♥ts ttr ①♠♣ r ♠♦♥tr ♥

♦♠♣rs♦♥ ♥tr s ♦♥tr♥ts ♥♦r♠s sr s s ΣJ ♦ s♥t ♠ét♦ ♦

❯❲ t s♥t ♠ét♦ ♣♦r K0 = 1 t ♣♦r Kn/Kt = 1 ♦ Kn/Kt = 10

♦s r♠rq♦♥s q ♣♦r s Kn/Kt = 10 s ♦♥tr♥ts ♥♦r♠s és ♥ ♦♥sér♥t ♥

♠ ♦♥t♥ s♦♥t srst♠és ♣r r♣♣♦rt réstt

ét♦ ❯❲ ét♦ Kn

Kt

= 1 ét♦ Kn

Kt

= 10

σnP

r é♣rtt♦♥ s ♦♥tr♥ts ♥♦r♠s sr s s ♦ ♣♦r K0 = 1 ét♦s ♦s és ♦♥tr♥ts ♦ ❯❲ t ♠ét♦

P

P♦r ér ré stté ♦ ♥stté s ré♦♥s ♦ù trt♦♥ ♣♣rt ♥s

s K0 < 0.71 t Kn/Kt = 10 ♦ K0 < 0.97 t Kn/Kt = 100 st ♣s ♦♥♥ étr

♥ tr ♥ stté q tr sérté ♥s t① ér♠♥t rtq λcritst r♣rés♥té ♥ ♦♥t♦♥ K0 t① st é ♥ t♦t ♣♦♥t ♦ t r ♠♥♠ st

rt♥ ♥s r λcrit st r♣rés♥té ♥ ♦♥t♦♥ K0 ♣♦r ① ♥s r♦tt♠♥t

ér♥ts φ = 25 t φ = 35 t ♣♦r ér♥ts rs r♣♣♦rt s rtés

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2

λcrit

K0


Kn/Kt=1

Kn/Kt=10

Kn/Kt=100

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2

λcrit

K0


Kn/Kt=1

Kn/Kt=10

Kn/Kt=100

r ♦t♦♥ tr ér♠♥t rtq λcrit ♥ ♦♥t♦♥ K0 ♣♦r① rs ♥ r♦tt♠♥t

♣♥t ♥ s ♦rs ♦rrs♣♦♥♥t ① r♣♣♦rts rtés Kn/Kt = 10 t

♥ à ♣rtr r K0 ss♦é à s♥ trt♦♥ ♦♠♠ ♠♦♥tr♥t s ①

r♣s r

Pr rs ♥ s♥ trt♦♥ t ♣♦r t♦t r r♣♣♦rt s rtés λcrit ♠♥

♥ ♦♥t♦♥ K0 ♦rsq φ = 25 ♦rs q ♠♥t ♥ ♦♥t♦♥ K0 ♣♦r φ = 35 ss ♥♦s

r♠rq♦♥s q rt♦♥ λcrit ♥ ♦♥t♦♥ r♣♣♦rt s rtés st r♦ss♥t ♣♦r φ = 25

♦rs q st ér♦ss♥t ♣♦r φ = 35

♣♣♦♥s q λcrit > 1 s♥ q ♦ st st rtèr ♣stté ♥st ♣s tt♥t

♣rès ér♠♥t sr r q ♦rrs♣♦♥ à λ = 1 t rt ♣♣qr ♥ t♦t

♣♦♥t sr r ♥ ♦♥tr♥t trt♦♥ (1− λ)σ0 ~n ♣♦r tt♥r rtèr ♥ ♥ ♣♦♥t

♦♥♥é ❯♥ r λcrit < 1 s♥ q ♠♦♥s ♥ ♣♦♥t ♦ ♣sté ♥t ér♠♥t

t♦t ①t♦♥

Pr ♦♥séq♥t ♥ r r♦ss♥t λcrit ♣t s♥tr♣rétr ♦♠♠ ♥ ♠♥tt♦♥

stté ♦ ♥ ♠♥t♦♥ ♥stté t ♥ r ér♦ss♥t λcrit ♦♠♠ ♥ ♠♥t♦♥

stté ♦ ♥ ♠♥tt♦♥ ♥stté

P♦r ①♣qr s ér♥s s t♥♥s ♥tr s ① r♣s r s♥t q

φ = 25 ♦ φ = 35 ♥♦s ♦♥s r♣rés♥té rt♦♥ ♦♥tr♥t t♥♥t ♥ ♦♥t♦♥

♦♥tr♥t ♥♦r♠ ♥ s ♣♦♥ts rtqs ♦ù λcrit été é ♣♦r Kn/Kt = 1 t ♣♦r s

♥ré♠♥ts K0 ♥tr t st ♦r ♦rrs♣♦♥♥t à λ = 1 ♥s r

r♣rés♥t étt s ♦♥tr♥ts σn σt s ér♠♥t r st t♦t ét

♦r ♦rrs♣♦♥ à K0 = 0.5 t ♥ à K0 = 2

♦r rt à λ = 0 r♣rés♥t étt ♥t s ♦♥tr♥ts σ0n σ0t ♥t ①t♦♥

tt r ♣rés♥t ss s ♦♥tr♥ts t♥♥ts résst♥ts ♥ ♦♥t♦♥ s ♦♥tr♥ts

♥♦r♠s σn σn tanφ ♣♦r φ = 25 t φ = 35

♥s ♣r♠r s φ = 25 ♥été σn tanφ < σt st r ♣♦r t♦t K0 ♦♥ ♣stt♦♥


0

1

2

3

4

5

6

1 2 3 4 5 6 7 8 9

σt (M

Pa)

σn (MPa)

Bloc 1, Kn/Kt=1, K0=[0.5,2], c=0 MPa

σt à λ=1

σt−plastique, φ=25°

σt−plastique, φ=35°

σt à λ=0

r t♦♥ ♥tr σt t σn ♣♦r ♥ ♥ré♠♥t K0 Kn/Kt = 1

♥t ér♠♥t t♦t r ♦♠♠ ért ♥tr s ① ♦rs ♠♥t

K0 ♥♦s ♣♦♦♥s r q ♥stté ♠♥t K0 ♦♥ λcrit ♠♥ ♥s ①è♠

s φ = 35 ♥été σn tanφ > σt st r ♣♦r t♦t K0 ♦♥ ♣stt♦♥ ♥ ♣t ♣s ♦r

♥t ♥ ér♠♥t ♦♠♠ ért ♥tr s ① ♦rs ♠♥t K0 ♥♦s

♣♦♦♥s r q stté ♠♥t K0

♥ ♦♥s♦♥ ♥♦s ♦♥s ♠♦♥tré q q♥tt♦♥ ré stté r s♥t

rtèr stté tsé ♥s s ♦ s tr sérté st tsé ♦♠♠ rtèr

stté ♠♥t ♠♥tt♦♥ ♣r♠ètr K0 ♥é♣♥♠♠♥t ♥ r♦tt♠♥t

tr ér♠♥t rtq st tsé ét♦♥ stté é♣♥ ♥

r♦tt♠♥t ♦ ♥t q λcrit < 1 t q ♦ st ♥ ♦♠♣rss♦♥ ♥stté ♠♥t

♠♥tt♦♥ K0 λcrit > 1 stté ♠♥t ♠♥tt♦♥ K0 é♥♠♦♥s sr

qst♦♥ s♦r s ♦ st st ♦ ♥st s ① rtèrs λcrit t s♦♥t ♦r

♥♥ ♣♦st♦♥ ♦ à ♣r♦ r

♠ê♠ ♦ ♣rés♥té ♥s ♣rr♣ ♣réé♥t st été à ér♥ts ♣♦st♦♥s t♦r

r ♥ t ♥♦s s♦♥s sr à ♦ ♥ r♦tt♦♥ t♦r ① ①t♦♥ OY ♥

♥ θ ♠sré à ♣rtr ① rt réér♥ OZ θ r♥t ♥tr 0 t 180 réstt s

♠ét♦s t ♦s és s♦♥t ♦♠♣rés ♥ ♦♥t♦♥ t ♥ ♥st ① ♣♦st♦♥s

♣rtèrs à θ = 45 t θ = 90 strés ♥s r s♦♥t étés ♣s ♥ ét

t ♥ ♦♥t♦♥ ♣♦st♦♥

stté ♦ st ♥②sé ♥ ♦♥t♦♥ ♥ ♣♦st♦♥ θ s ♣r♠ètrs ♦♣tés s♦♥t

Kn/Kt = 1 ♦ 10 φ = 35 t ♣srs rs K0 s♦♥t ♦♥sérés

♥t ♠ét♦ s ♦s és ♦ ♣ss ♣r♦rss♠♥t ♣r tr♦s ♠♦s ♠♦♠♥t

s r♦tt♦♥ t♦r r t r ss♠♥t sr ♥ ss♠♥t sr ① s

P♦r ♥ ♥ θ s♣érr à 135 ♦ ♥ ♣t ①r ♥ ♠♦♠♥t s ér♥ts ♠♦s s♦♥t

P

r♣rés♥tés ♥s r ♥ ♦♥t♦♥ ♥ ♣♦st♦♥ t♦r r ♥②s

♥é♠tq ♠♦♥tr q ♦ ♥ ♣rés♥t ♥ ♠♦♠♥t st ♦♥séré êtr st t tr

sérté st ♥♥

r♣rés♥tr tr sérté ♣♦r étr ♦r s rs ♥♥s ♥♦s ♦♥s

r♣rés♥té ♥ r♦tt♠♥t ♠♥♠ ♥éssr ♣♦r ♦r stté φmin ♥ ♦♥sér♥t ♥

♦és♦♥ ♥ ♦s ttr♦♥s φmin = 0 à t♦t ♦ ♥②♥t ♣s ♠♦ ♠♦♠♥t s♥t

♠ét♦ s ♦s és t q st ♦♥ st qq s♦t ♥ r♦tt♠♥t ♦♥t Pr rs

s ♦ st ♥ t r s♥t ♥②s s ♦s és ♦ q♥ trt♦♥ ♣♣rt sr ♥

ss s s♥t ♠ét♦ ♦ st ♥st ♥é♣♥♠♠♥t ♥ r♦tt♠♥t

♥s s s φmin ♥st ♣s r♣rés♥té ♦ ♦♥ ♣t é♠♥t ♦♥sérr φmin = 90 Ps φmin

♠♥ ♣s stté ♦ ♠♥t

♥t ♠ét♦ s ♦s és φmin ♠♥ ♥ θ ♦♠♠ ♠♦♥tr r

stté ♦ ♠♥t ♣r♦rss♠♥t ♠♥tt♦♥ θ

♠ét♦ φmin st é ♥ t♦s s ♣♦♥ts t st r ♠①♠

q st rt♥ réstt é♣♥ ♦rt♠♥t s ♦♥tr♥ts ♥ts t r♣♣♦rt s

rtés ♦♠♠ ♠♦♥tr s rs t ♦rsq K0 = 1 φmin st ♣rtq♠♥t

♥é♣♥♥t ♣♦st♦♥ ♦ t♦r r ♣♦r t♦t r r♣♣♦rt s rtés

très rt♦♥ ♥st qà ♣rs ♥ ♦♠♣t t q s ♦♥tr♥ts ♥ts é♣♥♥t

♣r♦♦♥r q r 195m à 205m

♥②s♦♥s ♣s ♥ ét r ♦rrs♣♦♥♥t à Kn/Kt = 1 P♦r K0 = 0.5 ♦ K0 = 1.5

♥♦s r♠rq♦♥s q stté ♣ss ♣r ① ②s ♠♥t♦♥ ♣s ♠♥tt♦♥ ♣♦st♦♥

s ♦s s ♣s sts ♦rrs♣♦♥ à θ = 0 ♦ t♦t θ = 90 t θ = 180 ♦ ♠r ♥s

à ér♥ ♠ét♦ s ♦s és stté ♥st ♣s ♥ ♦♥t♦♥ ♠♦♥♦t♦♥ ♥ θ

Pr rs stté ♥st ♣s ♥éssr♠♥t r♦ss♥t ♠♥tt♦♥ K0 ♥s ♣♦r

t♦ts s ♣♦st♦♥s ♦ s ♣♦r θ = 0 s K0 = 1 st ♣s st q s K0 = 1.5 q st

♣s st q s K0 = 0.5 ♥ ♦♠♣r♥t ♠ét♦ s ♦s és ♥♦s r♠rq♦♥s q

♥st sértr ♣r r♣♣♦rt à ♠ét♦ q ♣♦r s ♣♦st♦♥s θ ♦ ♥tr

0 t 95 ♥ ♦tr ♠ét♦ s ♦s és ♥♦r t q♥ ♦ sté ♠r ♥ ①t♦♥

♣t ♦r ♥ q ♣st ê♠ s ♠♦♠♥t ♥ t ♦ rs s♣ ♥térr

r ♥ ♣rés♥t ♣s rsq ♠r ♣sq ♥ st ♣s t ♦t êtr ♣rs ♥ ♦♠♣t

♥s ♥ ét r♦rs stté ♦s

♥ ét♥t r ♦rrs♣♦♥♥t à Kn/Kt = 10 ♥♦s r♠rq♦♥s q r φmin

st ♣s éé ♣♦r t♦ts s ♦♥rt♦♥s ♣r r♣♣♦rt s Kn/Kt = 1 ♥s s ss φmin

♣ss ♣r ① ②s ♠♥tt♦♥ t ♠♥t♦♥ ♦ù ♠①♠♠ stté st tt♥t ♣♦r s

♠ê♠s ♣♦st♦♥s q ① r trt♦♥ ♣♣rt ♥ ♦ ♣♦r K0 = 0.5

♣♦r t♦ts s rs θ ♥érrs à 78t s♣érrs à 110 ♠ét♦ s ♦s és st ♥♦♥

sértr ♥s s K0 = 0.5 t Kn/Kt = 10

♣rès ♥②s r ♥♦s ♦②♦♥s ♥ q s♥t ♠ét♦ ét♦♥

stté st r♠♥t ♥♥é ♣r s ♦♥tr♥ts ♥ts t s r♣♣♦rts s rtés

♠ét♦ s ♦s és s♦sst♠ étt ♥stté ♦rsq s ♦s ♦♥t s ♣♦st♦♥s ♦rrs♣♦♥♥t

à s ♥s θ éés


0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180

φm

in(°

)

θ(°)

ét♦ Kn/Kt = 1

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180

φm

in(°

)

θ(°)

ISOBLOC K0=0.5

ISOBLOC K0=1

ISOBLOC K0=1.5

Blocs Clés

ét♦ Kn/Kt = 10

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

34 81 135

φm

in(°

)

θ(°)

Ch

ute

lib

re

Glis

se

me

nt

su

r 1

fa

ce

Glis

se

me

nt

su

r 2

fa

ce

s

Pa

s d

e m

ou

ve

me

nt

ét♦ s ♦s és

r ♥ r♦tt♠♥t ♠♥♠ ♥éssr ♣♦r ♦r stté ♥ ♦♥t♦♥ ♣♦st♦♥ t♦r t♥♥ s♥t ér♥ts ♠ét♦s

t ♦ ♦rrs♣♦♥♥t à θ = 45

♥s ♣rr♣ ♥♦s ét♦♥s ♥♥ s ♦♥tr♥ts ♥ts t s rtés s ♦♥ts

sr ♠♦♠♥t t stté ♦ sté à ♣♦st♦♥ θ = 45 ♦ t sé♠tsé ♥s

r

♥s r ♥ r♦tt♦♥ Wy ♦ st r♣rés♥té ♥ ♦♥t♦♥ s ♣r♠ètrs

K0Kn tKt ♣♣♦♥s q ~W st tr r♦tt♦♥ ♦ ♣rès ①t♦♥ t ♦♥Wy r♣rés♥t

♠♣t r♦tt♦♥ ♦ t♦r ♥ ① ♣ss♥t ♣r s♦♥ ♥tr rté t ♣rè à

① Oy) r

♦rsq K0 = 1 s ♦rts ♥t① ss♥t sr ♦ s♦♥t ♣r♣♥rs ① s s

s②♠étr ♦ t ♥ ♥é♥t t rté rést♥t s ♦rts ♥t① ♣♣qés sr

tr r ♣ss ♣r ♥tr rté ♦ ♦♥ ♠♦♠♥t s ♦rts ♣r r♣♣♦rt

à ♣♦♥t st ♥ ~M0 st ♥ tr ♥ ♥s s②stè♠ éqt♦♥s st ♦♥ ♣rés

♦t♥r s rs ♣s s r♦tt♦♥ ♣♦r K0 = 1 ♠♥tt♦♥ ♦ ♠♥t♦♥

K0 ♣♦r t ♠♥tt♦♥ ♥ r s♦ s ♠♦♠♥ts réés ♣r s ♦♥tr♥ts ♥ts

ss♥t sr r ♦ ♥érté rt♦♥ Wy (K0) st ss ♣rés t st

P

♦♥séq♥ ♥érté s ♦s ♦♠♣♦rt♠♥t s ♦♥ts Pr rs ♥♦s ♦sr♦♥s q

♣♦r ♥ étt ♥t ♦♥♥é ♦♥ ♣♦r ♥ r K0 ♦♥♥é t s trs ~F0 t ~M0 ♦♥♥és

♠♣t r♦tt♦♥ ♠♥ ♠♥tt♦♥ rté ♥♦r♠ ♥ t ♠♣t

♠♦♠♥t ♦ ♠♥t ♠♥t♦♥ s rtés ♦♠♠ ♥♦s ♦♥s é♠♦♥tré ♥s

♣rr♣

r str ♠♦♠♥t ♦ ♣♦r K0 = 0.5 t Kn/Kt = 1 ♦s ♣♦♦♥s

♦srr ér♥ rt♦♥ ♠♦♠♥t s♥t ♠ét♦ t s♥t

♠ét♦ s ♦s és tr é♣♠♥t ♥♦r♠é st tsé ♣♦r r♣rés♥tr ♣♦st♦♥

♥ ♦ ♥t ♠ét♦ s ♦s és ♦ ss sr ♥ ♦rs q s♥t

♠ét♦ ♦ s ét t♦ts s s t ♥ ér ♠♦♠♥t r♦tt♦♥ t♦r

♥ ① ♦r③♦♥t ♣ss♥t ♣r s♦♥ ♥tr

−0.02

−0.01

0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2

An

gle

de

ro

tation

Wy(°

)

K0

ISOBLOC, Bloc 2, Kt=1000 MPa/m

Kn/Kt=1

Kn/Kt=10

Kn/Kt=100

♥ r♦tt♦♥ ♥ ♦♥t♦♥ K0 t s rtés

ISOBLOC

Etat initial

Blocs Clés

♦♠♥t ♦ s♥t ♣♦r K0 = 0.5 t Kn/Kt = 1 ts♥t ♠ét♦ s ♦s és

r t ♠♦♠♥t ♦ ♦rrs♣♦♥♥t à θ = 45 ♦

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2

Facte

ur

de s

écurité

K0


ISOBLOC, Kn/Kt=1

ISOBLOC, Kn/Kt=10

ISOBLOC, Kn/Kt=100

Blocs Clés

r tr sérté ♥ ♦♥t♦♥ K0 ♣♦r θ = 45

t♦♥s ♣♦r ♦ rt♦♥ tr sérté ♥ ♦♥t♦♥ s ♦♥tr♥ts ♥ts t


s rtés s ♦♥ts ♦s r♠rq♦♥s ♣rès r q é♦t♦♥ tr sérté

♥ ♦♥t♦♥ K0 ♥st ♣s ♠♦♥♦t♦♥ ♦♠♠ ♣♦r s ♦ t♦t ♦ st r♦ss♥t

♣s ér♦ss♥t tr ♣rt ♠♥tt♦♥ r♣♣♦rt s rtés ♥ t ésts♥t sr

♦

♠rq♦♥s q tr sérté st ♣s éé ♣r r♣♣♦rt à ♦♥♥é ♣r ♠ét♦

s ♦s és ♦rsq Kn/Kt = 1 ♣♦r t♦ts s rs K0 ♦t♦s ♣♦r Kn/Kt = 10 ♦

Kn/Kt = 100 ♥ ♦ tr s ♠ét♦s st ♣s sértr s♥t r K0

P♦r ♠① ♦♠♣r♥r t ♠♥tt♦♥ r♣♣♦rt s rtés sr stté ♦

r♣rés♥t♦♥s rt♦♥ tr sérté ♥ ♦♥t♦♥ r♣♣♦rt s rtés ♣♦r tr♦s s

♦♥tr♥ts ♦r③♦♥ts ♥ts ♦♠♠ ♠♦♥tr r tr st t♦♦rs ér♦ss♥t

à ♣rtr ♥ r♣♣♦rt s rtés s♣érr à ♥té

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

0.1 1 1.9 2.8 3.7 4.6 5.5 6.4 7.3 8.2 9.1 10

Facte

ur

de s

écurité

Kn/Kt


ISOBLOC, K0=0.5

ISOBLOC, K0=1

ISOBLOC, K0=1.5

Blocs Clés

r tr sérté ♥ ♦♥t♦♥ Kn/Kt ♣♦r θ = 45

t ♦ ♦rrs♣♦♥♥t à θ = 90

♥s ♣rr♣ ♥♦s ♥♦s ♥térss♦♥s ♦ sté à ♣♦st♦♥ θ = 90 ♦ sé♠tsé

♥s r

P♦r ♦ ♦♠♠ ♣♦r ♦ ♥♦s ♣♦♦♥s é♠♦♥trr q ♠♦♠♥t ♥ r♦tt♦♥ st

♥ à s s②♠étr ♦♥rt♦♥ ♦ ♣r r♣♣♦rt ① ♦♥tr♥ts ♥ts ss♥t

sr s r ♥ t rést♥t s ♦♥tr♥ts ♦r③♦♥ts ♥ts ss♥t sr r

♦ ♣ss ♣r s♦♥ ♥tr rté ss rést♥t s ♦♥tr♥ts rts ♥ts ss♥t

sr tt st qs ♥ r t rté st ♥é ♣r r♣♣♦rt ① ♠♣ts s

♦♥tr♥ts rts ♦♥ ♣♦r ♦ ~M0 st ♥ tr qs ♥ qq s♦t r

K0 ♦t♦♥s q ♠♦♠♥t M0y ♥st ♣s ♥ à très s ♣r♦♦♥rs ♦rsq rt♦♥ s

♦♥tr♥ts rts ♥ts sé ♣r rté ♥st ♣s ♥é

é♦t♦♥ tr sérté ♥ ♦♥t♦♥ s ♦♥tr♥ts ♦r③♦♥ts ♥ts t r♣♣♦rt

s rtés st r♣rés♥té ♥s r ♦♠♠ ♣♦r s ♦ tr sérté st

r♦ss♥t ♥ ♦♥t♦♥ K0 sqà ♥ rt♥ r K0 ♣r♦ ♥té à ♣rtr q

♥t ér♦ss♥t

P

♠♦ ♠♦♠♥t s♥t ♠ét♦ s ♦s és st ♥ ss♠♥t sr ① s tt

♠ét♦ ♥st ♣s sértr ♣r r♣♣♦rt à ♠ét♦ ♣♦r Kn/Kt = 100 q q

s♦t ♠♣t s ♦♥tr♥ts ♦r③♦♥ts ♥ts P♦r Kn/Kt = 10 ♥st ♣s sértr s

K0 > 1.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2

Facte

ur

de s

écurité

K0


ISOBLOC, Kn/Kt=1

ISOBLOC, Kn/Kt=10

ISOBLOC, Kn/Kt=100

Blocs Clés

r tr sérté ♥ ♦♥t♦♥ K0 ♣♦r θ = 90

t ♥ ♦ ♥♦♥ s②♠étrq

é♦♠étr ♦ ♥ rô étr♠♥♥t sr ♣♣rt♦♥ r♦tt♦♥ ♦s ♦♥s ♥s s

♣rr♣s ♣réé♥ts q s ♦s t ♥ ♣rés♥t♥t ♣s ♠♦♠♥t r♦tt♦♥ ê♠ ♣♦r

♦ ♥♥é à 45 s ♠♣ts ♥ r♦tt♦♥ rst♥t ♠tés à très s rs

t ♣rr♣ st étr ♥ ♦ ♦♥t s s ♦♥tt ♥ ♣rés♥t♥t ♣s s②♠étr ♣r

r♣♣♦rt à r ♦

♦s ♦♥s ♦♥sérr ♦ t♦t ♦ t ér s♦♥ s♦♠♠t ♥ tr q ♠ê♠

rt♦♥ q ôté r♥t s ♦♥ts t é♥s ♥s t tr st é♥ ♣r~V = β ~A ~A tr r♥t s ① s♦♠♠ts ♦♥r♥és ♦ ♦♠♠ ♠♦♥tr

r ♥s r ♥♦ ♦ st ♠ê♠ q ♦ ① s r♥t

♠ê♠ ♣♥ t rt♦♥ ♣♥ ♠s s♦♠♠t ♦ st éé t s s②♠étr st r♦♠♣

Psrs rs tr β s♦♥t ♦♥sérés s ♥s r♦tt♦♥ ♦ ♥ ♦♥t♦♥

♦♥t é s♦♥t r♣rés♥tés ♥s r étt ♥t β = 1 ♦rrs♣♦♥ ♦

s②♠étrq ♦ P♦r ♦ ♠♦♠♥t ①ré ♣r s ♦♥tr♥ts ♥ts sr ♥tr

♦ st qs ♥ s♥ st q r♦tt♦♥ ♦ st ♥ Ps s♦♠♠t st éé ♣r r♣♣♦rt

♥tr rté ♦ ♣s r♦tt♦♥ ♠♥t sqà ♥ rt♥ ♣♦st♦♥ ♦♥♥é ♦rrs

♣♦♥♥t à β = 1.54 s①♣q ♣r ♠♥tt♦♥ ♠♣t ♠♦♠♥t s ♦♥tr♥ts

♥ts ss♥t sr sr r ♦ ♥t ①t♦♥ ♠♥t♦♥ ♠♣t r♦t

t♦♥ q st ♣t êtr ①♣qé ♣r ♠♥tt♦♥ t ♦ ♥ t s éé♠♥ts

♠tr rté R s②stè♠ à rés♦r ♦♥stt♥t s ♥térs sr s s♦♥t t♥t

♣s éés q t ♦ ♠♥t t♦t st ①é ♥s s②stè♠ éqt♦♥s à rés♦r


−0.025

−0.02

−0.015

−0.01

−0.005

0

0.005

1 1.2 1.4 1.6 1.8 2

Angle

s d

e r

ota

tion (

°)

Coefficient de décalage du sommet β

Bloc 1 modifié, Kn=1000 MPa/m, Kt=1000 MPa/m

Wx

Wy

Wz

r ♦♠♥t r♦tt♦♥ ♥ ♦ ♥ ♦♥t♦♥ é s♦♠♠t

♠♥tt♦♥ t ♦ ♣♦r t ♠♥t♦♥ s♦♥ ♠♣t é♣♠♥t

s é♦♠étr r ♦ s ♦♠♣♦s♥ts ♦r③♦♥ts ~F0 t ~M0 s♦♥t

♥s qs qs s♦♥t s rs K0 st ♠♦♠♥t s ♦♥tr♥ts rts q ♥st ♣s

♥ ♣r r♣♣♦rt ♥tr rté ♦ t q ♠♥t é s♦♠♠t ♦

♦♥ tr β P♦r ♥ ♦♥rt♦♥ ♦♥♥é ♠♦♠♥t ♦ st ♦♥ ♥é♣♥♥t

r K0

P♦r ♦ ♦♥t r♦tt♦♥ st ♠①♠ ♦ ♦rrs♣♦♥♥t à β = 1.54 r str

♠♦♠♥t Kn/Kt = 1 t q q s♦t r K0 ♥♦ ♣♦st♦♥ st stré ♥

♣r♥♥t s trs é♣♠♥t ♥♦r♠és r sé♠ts ♠♦♠♥t ss♠♥t

♦ sr ♥ ♦t♥ ♠ét♦ s ♦s és s♥ r♦tt♦♥

ét♦ Kn/Kt = 1 t ♥ rq♦♥q K0

ét♦ s ♦s és

r strt♦♥ r♦tt♦♥ ♦ ♦rrs♣♦♥♥t à β = 1.54

♦♥s♦♥

♦s ♦♥s ♠♦♥tré q réstt é♣♥ r♠♥t s ♦♥tr♥ts ♥ts t s

rtés s ♦♥ts ♠♥tt♦♥ s ♦♥tr♥ts ♦r③♦♥ts ♣t ♦r ♥ t sts♥t sr

♦ t q st ♥♦ré ♣r ♠ét♦ s ♦s és t t sts♥t st ♠rqé ♣♦r ♦

♦♥t ♠♦ ♠♦♠♥t st t r s♥t ♠ét♦ s ♦s és ♦t♦s ♣♦r

trs t②♣s ♦s ♠♥tt♦♥ s ♦♥tr♥ts ♦r③♦♥ts ♣t ♦♥trr ♦r ♥ t

P

ésts♥t à ♣rtr ♥ rt♥ r rtq

♠ét♦ s ♦s és é♣♥ ♥q♠♥t é♦♠étr ♦ t ♦r t ss♥t

sr ♦ ♥s s ♠♦ ♠♦♠♥t st ss♠♥t sr ♥ ♣s ♣♥t

♠♥ ♣s stté ♦ ♠♥t t ♣♦r ♥ ♣♥t ♥ stté ♦ st ♥♥

q q s♦t ♥ r♦tt♠♥t t ♠ét♦ ♠♦♥tré q♥ ♦

♦♥t ss♠♥t st ♠♦♥s ♣♥t ♥st ♣s ♥éssr♠♥t ♣s st ♥ t s♦♥ tt

♠ét♦ ♥st ♣s rt♦♥ ♦r t ♣r r♣♣♦rt ① s ♦ q st étr♠♥♥t

♣♦r stté ♦ ♠s ♣tôt rt♦♥ s ♦rts ♥t① sr s s ♦ P♦r ♥

♦ t♦t ♠ét♦ s ♦s és st ♣s sértr ♣sq ♦♥♥ ♥ tr sérté

♥ ♠s ♣♦r trs t②♣s ♦s ♦♠♣rs♦♥ é♣♥ s ♦♥tr♥ts ♥ts t s rtés

s ♦♥ts

♦s r♠rq♦♥s ♣r rs q ♠♥tt♦♥ r♣♣♦rt s rtés ♥ t ést

s♥t sr ♦ s♠rt ♦rs ♣s sértr ♥s s ♦ù ♣ ♥♦r♠t♦♥s s♦♥t ♦♥♥s

♦♥r♥♥t s rs s rtés s ♦♥ts ♣r♥r ♥ r♣♣♦rt rtés éé ♥s

②♥tès

♥s ♣tr ♣r♦è♠ stté s ♦s stés t♦r ♥ ①t♦♥ s♦trr♥ st

r♦♥séré ♥s r ♣♣r♦ s ♦s s♦és ét ♥ s ♦ ♥ s♣♣♦s♥t q st

r t q rst ♠ss r♦① st r t ① ♥②s stté ♥ésst étr♠♥r

s ♦♥tr♥ts ss♥t sr s s ♦ ♣rès ①t♦♥ ♦♥ ♦♥♥t é♦♠étr ♦

s ♦♥tr♥ts ♥ts s ♣r♦♣rétés ♠é♥qs s ♠tér① ♦s ♦♠♣♦rt♠♥t s ♦♥ts t

st♦rq s ♦♥t♦♥s ① ♠ts ♣r♦è♠ ♣t êtr rés♦ s ♥ss♥s s ♠ét♦s

①st♥ts ♦♣t♥t ♣♣r♦ s ♦s s♦és ♥♥♥t t q st♦rq r♠♥t

st s♦t ♥♦ré ♦ ♦♥séré à étt ♥ ♥q♠♥t ♥s ♠ét♦ s ♦s és s♦t ♠

r♣rés♥té ♠ét♦ ①t♦♥ ♥ésst s s♠♣t♦♥s ♥♦♥ stés ♣♦r r♥r

♣r♦è♠ étr♠♥é

♥s ♣tr ♥ ♥♦ ♠♦è ♣♦r étr ♦♠♣♦rt♠♥t ♥ ♦ s♦é sté sr

sr ♥ ①t♦♥ s♦trr♥ st é♦♣♣é ♥ ♦♥sér♥t st♦rq r♠♥t

ç♦♥ r♦rs ♥tr étt ♥t ♥t ①t♦♥ t étt ♥ ♣rès ①t♦♥ étt ♥t

s ♦rts ss♥t sr s s ♦ s♦♥t ♦♥♥s ♥s q s ♦rs ♦♠qs ♣r♦sss

①t♦♥ st ♠♦ésé ♣r ér♠♥t ♣r♦rss r ♦s s♣♣♦s♦♥s q

ér♠♥t ç♦♥ ♠♦♥♦t♦♥ t q ♦ ♣ss ♣r♦rss♠♥t ♣r ♣srs étts

éqr rt♦♥ s ♦rts sr s s ♦ ♥tr ♥ étt ♦♥♥é t étt s♥t st

ré ♣r s ♦s ♦♠♣♦rt♠♥t s ♦♥ts ♥s s rt♦♥s ♥♦r♠ t t♥♥t ♦♥t

♦♠♠ ②♣♦tès rté r♦ st ♦♣té ♥♦s ttr♦♥s ♦ ♥ ♠♦♠♥t ♦r♣s

s♦ ♥ tr♥st♦♥ t ♥ r♦tt♦♥ ♥s é♣♠♥t t♦t ♣♦♥t ♦ ♣t êtr ①♣r♠é

♥ ♦♥t♦♥ é♣♠♥t ♥ ♣♦♥t réér♥ ♦♥♥é t r♦tt♦♥ ♦ ♥ s♣♣♦s♥t

q s ♦s ♦♠♣♦rt♠♥t s ♦♥ts s♦♥t éstqs ♥érs ♣ss s ♦♥tr♥ts étt

♥t à étt ♥ st ♦rs ré ♣r ♥ ♦ ♥ér Pr ♦♥séq♥t ♥st ♣s ♥éssr ♣ssr

♣r ♣srs ♥ré♠♥ts ér♠♥t r♦♥tèr r ♦ ♥ ts♥t s éqt♦♥s

éqr s ♦rs t s ♠♦♠♥ts éqt♦♥s s ♦s ♦♠♣♦rt♠♥t s ♦♥ts t éqt♦♥

♠♦♠♥t ♦r♣s s♦ ♣r♦è♠ st rét à ♥ s②stè♠ ♥ér à éqt♦♥s ♦ù s ss

♥♦♥♥s s♦♥t é♣♠♥t t r♦tt♦♥ ♦ ♥ ♣♦♥t réér♥ ♥♦♥♥s

①è♠ ♠♠r s②stè♠ éqt♦♥s st ♦♥stté ♣r rést♥t s ♦rs ss♥t sr

②♥tès

r ♥t ①t♦♥ t s♦♥ ♠♦♠♥t ♣r r♣♣♦rt ♣♦♥t réér♥ ♠tr

rté ♦♥stté ♣r s tr♠s q ♠t♣♥t s ♥♦♥♥s ♥s s②stè♠ éqt♦♥s é♣♥

♦r♠ é♦♠étrq ♦ t s rtés s ♦♥ts st ♥ ♠tr é♥ ♣♦st ♦♥

♥rs

s ♦r♠t♦♥s ♠tr rté t s♦♥ ♠♠r s②stè♠ éqt♦♥s ♥ésst♥t

♥térs sr s t ♥ ♣rtt♦♥♥♥t s s ♦ ♥ s éé♠♥ts

tr♥rs ♦ rt♥rs q♦♥ ss♦ à s éé♠♥ts réts s éé♠♥ts réts s♦♥t é♥s

♣r ♥ ♥♦♠r ♦♥♥é ♥÷s t ♣♦♥ts ss ♦♥t ♦♥ ♦♥♥t s ♦♦r♦♥♥és réts t s

♣♦s ♥s ♠♦è é♦♣♣é q ♥♦s ♦♥s ♥♦♠♠é t♦ts s ♦♥♥és s♦♥t é♥s

① ♥÷s s éé♠♥ts ♥tr♣♦t♦♥ ♦s ♣r♠t s é♥r ① ♣♦♥ts ss

s ♥térs sr ♥ ♦♥t♦♥ ♦♥♥é s t ♦rs ♣r s s♦♠♠t♦♥s tt ♦♥t♦♥

é♥ ① ♣♦♥ts ss ♥ ♠t♣♥t ♣r ♦♥ tr♥s♦r♠t♦♥ ♥tr ♦♦r♦♥♥és

réts t ♦♦r♦♥♥és rs t ♣r ♣♦s ss tt ♥tért♦♥ ♥♠érq ♣r♠t étr

t♦s t②♣s é♦♠étrs tr♠♥s♦♥♥s ♠ê♠ s q ♣rés♥t♥t s ♦r♠s ♦♥s ♦ s

srs ♦rs

♣rès rés♦t♦♥ s②stè♠ s é♣♠♥ts ♥ t♦t ♣♦♥t ♦ ♣♥t êtr étr♠♥és

♣♣t♦♥ s ♦s ♦♠♣♦rt♠♥t s ♦♥ts ♣r♠t ér ♥ ♣rt♥t étt ♥t

s ♦♥tr♥ts ♦♥♥s étt ♥ s ♦♥tr♥ts ♥ t♦t ♣♦♥t ♦ ♦♠♠ s ♦♥tr♥ts

ér♥t éqr ♦ s s♦♥t sttq♠♥t ♠sss rst ♦♥ à érr s s♦♥t

♣stq♠♥t ♠sss tt ért♦♥ st t ♣rès ♦♣ s st ♣r t q ♦

♦♠♣♦rt♠♥t st ♥ér ér♠♥t st ért ♣r ♥ s sr t① ér♠♥t t

rtèr ♦♥séré ♦♦♠ st ♦♥① ♥s s s ♦♥tr♥ts ♥s ♥ t♦t ♣♦♥t ♦ s♦♥t à

♥térr ♦♠♥ ♠ss ♥♦s ♣♦♦♥s ♦♥r q ♦♠♣♦rt♠♥t ♦ st ré♠♥t

ré ♣r s ♦s éstqs t q s♦♥ éqr st st rtèr st é♣ssé ♥ ♥ ♣♦♥t ♦♥♥é

♥♦s és♦♥s q ♣♦♥t t♠♥t ♣sté ♥t ért♦♥ t♦t r ♥s

s étt s ♦♥tr♥ts és ♥st ♣s r étt ♥stté ♦ stté ♣t êtr

éé ♥ ♥t ♥ ♦♥t sérté q st r♣♣♦rt ♥tr s ♦♥tr♥ts résst♥ts

s♠♥t t s ♦♥tr♥ts t♥♥ts ts és ♣♦♥t ♣s rtq ♥ ♣rss♦♥

s♦tè♥♠♥t ♦ ♥ t① ér♠♥t rtq r ♣♦r q rtèr st é♣ssé

♠♦è é♦♣♣é ♣r♠t sr♠♦♥tr t♦ts s ♠tt♦♥s s ♠ét♦s ①st♥ts ♦♣t♥t

♣♣r♦ s ♦s s♦és ♣rs ♥ ♦♠♣t s ♦♥tr♥ts ♥ts ♣rs ♥ ♦♠♣t ♦♠♣♦rt♠♥t

s ♦♥ts ♠♦ést♦♥ r♦tt♦♥ ♦ ♦♥sért♦♥ ♥ ré♣rtt♦♥ ♥♦♥ ♥♦r♠ s

♦♥tr♥ts sr s s t ♣♦ssté étr s é♦♠étrs tr♠♥s♦♥♥s ♣♦♥t êtr ss

♦♠♣①s q ♦♥ ésr t♦t st t ♥ ♦r♠t♦♥ ♠é♥q ♣r♦è♠ ♣s

r♦rs ♣♦ss

♠♦è é♦♣♣é ♥ ré♠♥t ♣s s♦♥ t♦♥ s ♥♦s ♦♥sér♦♥s q s ②♣♦tèss

♥ts ♦♣tés s♦♥t rs r♦ r ♣s ♥trt♦♥ s ♦s ♦s♥s ♦s ♦♠♣♦r

t♠♥t s ♦♥ts éstqs ♥érs ♥ trs tr♠s s ♠ê♠ ♦ st été ♥ ts♥t ♥

♠♦è r ♥ é♠♥ts ♥s s ♠ê♠s ♦♥♥és t ②♣♦tèss réstt s ♦♥tr♥ts

♥s sr ♥tq à ♥ t s ♠ê♠s éqt♦♥s s♦♥t tsés ♥s s ①

♠♦ès Pr rs ♦♠♣rs♦♥ s réstts à ① ♥ ♠♦è ♥ é♠♥ts

♥s ts♥t ♥ r♦ é♦r♠ ♣r♠s ♠♦♥trr q ♥s s ♥ ♠♦ ❨♦♥

r♦ ss③ éé ♣r r♣♣♦rt ① rtés s ♦♥ts ♦♠♣♦rt♠♥t s s♦♥t♥tés ♣s

♥♥ sr ré♣rtt♦♥ s ♦♥tr♥ts q é♦r♠té r♦ ♥ ♦tr ♥s s

♠♦è s r♣♣r♦ s réstts ♠♦è é♦r♠ ♥ é♠♥ts ♥s ♦♣ ♣s

P

q ♠ét♦ s ♦s és ♦ ♥ ♠♦è ♦♥t♥ é♦r♠

♦♠♠ ♣r♦è♠ ♥ ♦ s②♠étrq ♥ sté sr t♦t ♥ ①t♦♥ été été ♥s

ttértr ♥ ts♥t ♠ét♦ ①t♦♥ ♥♦s ♦♥s ss été ♦ ♥②tq♠♥t

♠ét♦ ♥s s ♦rs sr s s à étt ♥ ♦♥t été ①♣r♠és ♥ ts♥t

♠♦è ♣té ♣♦r ♥ ♥ ♣r♦è♠ st été ♥ tr♠ rést♥t

♣r ♥s ♥ t ♦♠♣rt ♥ ♦♠♣r♥t s réstts s ① ♠♦ès s ♦rs rts

ss♥t sr s s ♦ s♦♥t s ♠ê♠s ♠s s ♦rs ♦r③♦♥ts s♦♥t ér♥ts s s♦t♦♥s

♦♥r♥t s ♦r rt ♥t st ♦♥séré ♥ ♥s ♠ét♦ ♥s ♥ q

♥s ♠ét♦ ①t♦♥ ♦♠♣♦rt♠♥t s ♦♥ts s♦t tsé ♣♦r r ♥étr♠♥t♦♥

st♦rq r♠♥t ♥st ♣s ♣rs ♥ ♦♠♣t ç♦♥ r♦rs ♥ t ♦♠♣♦rt♠♥t

s ♦♥ts ♥st s♦té q ♣r ♦t ♣♦s à étt ♥ ♥s ♥♦tr ét ♥♦s ♦♥s ♠♦♥tré

q ♥♦♥ ♣rs ♥ ♦♠♣t s ♦♥tr♥ts rts ♥ts ♥st ♣s sértr ♣r r♣♣♦rt à

♠ét♦ ♦rsq r♣♣♦rt s rtés ♥♦r♠s ① rtés t♥♥ts s ♦♥ts

st s♣érr à ♥té q st s♦♥t s ♥♠♥t ♦♠♣rs♦♥ ♥ ♠ét♦

étr♠♥st ♠ét♦ ♦ tr♥s♣♦sé ♣♦r ♥ ♦ ♥ q ét ♦ à s♦♥

étt ♥ ♥q♠♥t ♠♦♥tré q s ① ♠ét♦s s♦♥t éq♥ts s tstr ♦

♦r♥t s ♦♥♥s ♦♥tr♥ts ♦r③♦♥ts ♦s ♣♦♦♥s ♦♥r ♦rs q♥ qq

s♦rt s ♠ét♦s éà é♦♣♣és ♣♦r ♦ s♠♣ ♥ ♦♥stt♥t s s

♣rtrs ♠ét♦ ♥ ♣♦rr ♦tr ♥ s♥t q s ♦♠♣rs♦♥s ♦♥t été ts

♥ ♦♥sér♥t ♥s ♠ét♦ ①t♦♥ s ♦rs ♦r③♦♥ts ♥♦♥ ♠♦és ♣r ♥

éstq ♦s ♣♦♦♥s ♦rs ré♣♦♥r q ♥ ♣rt s ♦♥ t réstt rst ♣♣r♦①♠t t

tr ♣rt ♦♠♠ ②♣♦tès r♦ r st ♦♣té t♦t ♠♦t♦♥ s ♦♥tr♥ts sé

♣r é♦r♠té r♦ st ♥é Pr rs ♣♦r ♦ à ♥♦s ♦♥s é♠♦♥tré q

stté ♠♥t ♠♥tt♦♥ s ♦♥tr♥ts ♦r③♦♥ts ♦ ♠♥t♦♥ ♥

s♦♠♠t ♦ ♦ ♣s ♣♦♥t t q ♠♥tt♦♥ r♣♣♦rt s rtés rté ♥♦r♠

sr rté t♥♥t ♥ t ésts♥t sr ♦ s ♦♥s♦♥s ♥ ♦♥r♥♥t q t②♣

♣rtr ♦ t♦t ét ♥ tr ♦ ♥ ♦♥tt ♥ sr ♥♥é t♥♥

♠♦♥tré q ♠♥tt♦♥ s ♦♥tr♥ts ♦r③♦♥ts ♥ t ésts♥t à ♣rtr ♥ rt♥

s t q t ♠♥tt♦♥ r♣♣♦rt s rtés sr stté ♦ r s♥t s

♦♥tr♥ts ♥ts ss♥t sr ♦

♣♣t♦♥ ♠ét♦ ♣♦r étr ♥ ♦ ♥ ♣r♠s ♠① ♦♠♣r♥r

t s ér♥ts ♣r♠ètrs t ♠♦♥trr s ér♥s ♠ét♦ s ♦s és ♦t

♦r ♥ ♦ t♦t ♣rés♥t♥t ♥ rt♥ s②♠étr st été ét ♣r♠étrq sr ♦

♦♥♥é s ♠ê♠s ♦♥s♦♥s q ét ♥②tq ♦ s②♠étrq ♥ ss ♦♠♣rs♦♥

♠ét♦ ssq s ♦s és ♠♦♥tré q st ♦♥srt ♣sq ♥♦r

t sts♥t s ♦♥tr♥ts ♦r③♦♥ts ♥ts ♥ r♥ ♦♠♣rs♦♥ ♠ét♦

s ♦s és q ♣r♥ ♥ ♦♠♣t s ♦♥tr♥ts ♥ts ♠ét♦ ♦ ❯❲

♠♦♥tré q ♣t srst♠r stté ♥s s ♥ r♣♣♦rt s rtés éé ♣sq

♦♠♣♦rt♠♥t s ♦♥ts ♥st ♣s ♣rs ♥ ♦♠♣t

♥st ♦ été t♦r♥é t♦r ①t♦♥ ♣♦r ♣♦♦r tstr trs ♦♥rt♦♥s

♠ét♦ s ♦s és stté ♠♥t r t à ♠sr q ♦ s♣♣r♦

♠r ①t♦♥ ♣rès ♠ét♦ ♥st ♣s s t é♦t♦♥ stté

r é♥♦r♠é♠♥t s♥t s ♦♥tr♥ts ♥ts t s rtés s ♦♥ts s ♦♥tr♥ts ♥ts

s♦♥t s♦tr♦♣s t♦ts s ♣♦st♦♥s ♦ t♦r ①t♦♥ s♦♥t qs ♥tqs ♥ tr♠

stté ♦rsq s ♦♥tr♥ts ♦r③♦♥ts ♠♥t♥t stté ♣t ♠♥tr ♦ ♠♥r

②♥tès

s♥t rt♦♥ r ♦ ① ♣♦st♦♥s ♦♥♥és ♦ ♦♥t été étés ♣s ♥

ét à 45 rés t à 90 rt ♥s s s ♠♥tt♦♥ s ♦♥tr♥ts ♦r③♦♥ts

♥ t sts♥t ♣s ésts♥t ♣rtr ♥ rt♥ s ss ♠ét♦ s ♦s és

♥st ♣s ♦♥srt ç♦♥ s②sté♠tq ♦♠♠ ♣♦r s ♥ ♦ t♦t s②♠étrq ♥ t

♣s ♣♦st♦♥ ♦ ♥t ♦r③♦♥t ♠♦♥s ♠ét♦ s ♦s és st sértr P♦r s

ér♥ts ①♠♣s ♠♦♠♥t ♦ st ss été ♦s ♦♥s ♠♦♥tré q ♠♣t

♠♦♠♥t st t♥t ♣s ♠rqé q s rtés s ♦♥ts ♠♥♥t Pr rs ♦r♠

♦ ♥ rô ♠♣♦rt♥t sr ♣♣rt♦♥ r♦tt♦♥ Ps s ♦rts ♥t① ss♥ts sr s s

rs ♦ ♥t ①t♦♥ ♦♥t ♥ ♠♦♠♥t éé ♣r r♣♣♦rt ♣♦♥t réér♥ ♦s ♦♠♠

♥tr rté ♥s ♦ é♦♣♣é ♣s r♦tt♦♥ ♦ ♣r r♣♣♦rt à ♣♦♥t ♠♥t

♥s r♦tt♦♥ st ♣s ♠rqé ♣♦r s ♦s ②♥t s ♦r♠s ♥♦♥ s②♠étrqs ♦♠♣rs♦♥

♠ét♦ s ♦s és ♠t ♥ é♥ s ♠tt♦♥s tt ♠ét♦ ♥ tr♠ ♥②s

♥é♠tq ♠♦♠♥t

♦♠♠ ♠♦è s♣♣♦s s ♦s ♦♠♣♦rt♠♥t ♦♥t éstqs ♥érs étt

♦♥tr♥ts ♦t♥ à étt ♥ ♥st r q s rtèr ♣stté ♥ ♣s été é♣ssé P♦r

r à tt ♠tt♦♥ t ♥tr♦r ♥ ♦ ♦♠♣♦rt♠♥t ♦♥t ést♦♣stq ♥

s♠♥t ♥s ♠♦è ♥ésst r ♥ ér♠♥t ♣r♦rss r t

érr rtèr ♣stté à q ♣s ♥s s é♣ss♠♥t s ♦♥tr♥ts

t♥♥ts s♦♥t r♠♥és à ♠t ♣stté ♥s t②♣ t♥ q ♥tr♥t

♣rès ♣stt♦♥ ♣t êtr ♣rs ♥ ♦♠♣t Pr rs ♦♠♠ ♠♦♥tr ①♣ér♥ ♦♠

♣♦rt♠♥t ♥♦r♠ s ♦♥ts ♥st ♣s ré♠♥t ♥ér ♠s st ♥ é♥ér ♥ ♦ ②♣r♦q

❯♥ ♠é♦rt♦♥ ♠♦è ♦♥sst ♦rs à ② ♥tr♦r s ♦s ♦♠♣♦rt♠♥t ♥♦♥

♥érs q sr ♦t ♣tr s♥t

P

♥tr♦t♦♥

♥s ♣tr ♥ ♥♦ ♠♦è ♣♦r ♥②s stté s ♦s r♦① t♦r s

①t♦♥s s♦trr♥s été ♣rés♥té ♦s rés♠♦♥s ♥♦tr é♠r t s ♥ts ♥♦tr

♠♦è ♥ ♣♦st♦♥♥r ♠é♦rt♦♥ s♣♣é♠♥tr q t ♦t ♣tr ♦s s♦♠♠s

♣rts étt rt ét ♦r♣q ♣tr t ♥♦s ♦♥s ♣♣♦rté ♥ ♦♥trt♦♥

♣♦r rés♦t♦♥ ♣r♦è♠ ♠é♥q P s♥t ♥ ♦ r ♦♥t ♥ ♣rt r♦♥tèr

srs s ♦♥ts ΣJ st ♥ ♦♥tt ♥ s♦ r t ♠♠♦ t sr ♥ ♣rt sr r

ΣL s ♦rts sss♥t s rt♦♥s és à rét♦♥ s♦trr♥ ♥ s ♠é♦rt♦♥s

♣♣♦rtés st q ♦r♠ ♦ st s♦♠♥t rtrr ♦rs q ♣♦r ♣♣rt s ♦s

♦♣t♥t s ♠ét♦s ♦♥♥t♦♥♥s éés à rés♦t♦♥ ♣r♦è♠ s ♦s ♦♥t s ♦r♠s

tétrérqs Pr rs ♦rs q s ♠ét♦s ♦♥♥t♦♥♥s ♣r♦è♥t à ♥ ♥②s ①♣t

s s ♠♦♠♥t ♦ é♦♠♥t ss♠♥t sr ♥ rêt ss♠♥t sr ♥ ♦ ①

s ♥♦tr ♥♦ ♠♦è ♣t ♣r♥r ♥ ♦♠♣t s ♠♦♠♥ts ♣s ♦♠♣①s ♦♠♣r♥♥t

r♦tt♦♥ r♥r ♥t st t r ♣♣ ① ♦s ♦♠♣♦rt♠♥t ♦♥t q

♣r♠t ♣rs ♥ ♦♠♣t étt s ♦♥tr♥ts ♥t ①t♦♥ t st♦rq rs♠♥t

♠♥èr ♣s ♣r♦ ♣♦ss rété st st♠♥t ♣♦♥t ♦rt ♥♦tr é♠r q

♥♦s ♦♥s rr à ♠é♦rr ♥♦r ♥ ♠♦♥t ♥s ♠♦è ♣rt q ♦rrs♣♦♥ ① ♦s

♦♠♣♦rt♠♥t s ♦♥ts s ♦s ♥♦♥ ♥érs ♣s r♣rés♥tts rété sr♦♥t ♣rss ♥

♦♠♣t ♥♦ ♠♦è ♦♥ ♥ér ♦♥t♥ ♦♥ à ♣rés♥tr s ♠ê♠s ♥ts

q ♠♦è ♥ér

♣♣♦♥s q rés♦t♦♥ ♣r♦è♠ P ♦t ♦♥r sr ♣♥ ♣rtq à ré♣♦♥r à

qst♦♥ ♦♥r♥♥t stté ♦ à s♦r s ♦ st st ♦ ♥♦♥ ♥ q♥tt♦♥

é♥t ré stté rtèr ♣s ♦♠♠♥é♠♥t tsé ♦♥sst à é♥r ♥ s

♦♥ts s rès ♦♥tt ♥tér ♦♥t♦♥ r♦tt♠♥t ré ♣r ♦ ♦r♦♦♠

P

♥ r♦tt♠♥t φ t ♦és♦♥ rtèr ♦♥tt ♥tér s♥ q ♦♥tr♥t

♥♦r♠ st ♥éssr♠♥t ♥ét ♦♠♣rss♦♥ t st sté ♣r t q ♥s ♣♣rt s

♣♣t♦♥s rés résst♥ s ♦♥ts st rt♠♥t ♥ q ♦♥r♥ ♦♠♣♦rt♠♥t

♥ ♦♥tt ss♠♥t tst♦♥ rtèr ♦r♦♦♠ ♥st ♣s à rtqr ♥s ♥

♦♠♥ ♣♣t♦♥ ♦ù t♦ts s ç♦♥s s ♦♥♥és s♦♥t ♥rt♥s t ♦♥t ♣ssr ♣r ♦

sttstq ♥ rst♥t ♦♥ ♥ ♦r s ♠♦ès ①st♥ts s♦♥t s rtèrs q ♥♦s ♦♥s

tsés ♥s ♠♦è ♥ér ♣♦r q♥tr stté ♥ ♦ ♦s ♦♥s ♦rs ♦♥stté q

♣rés♥t ① éts ♦t ♦r ♥ q ♦♥r♥ ♦♠♣♦rt♠♥t ♥s rt♦♥ ♥♦r♠

♥t ♠ê♠ ♥♦s ♥qétr s stt♦♥s é♦♠♥t ♥s ♠♦è ♥ér ♥♦s ♦♥s tsé

♥ rté ♥♦r♠ ♦♥st♥t ♦rs q s ①♣ér♥s ♦rt♦r ♠♦♥tr♥t r♠♥t q♥ ♦

②♣r♦q rt♦♥ ♦rt ♥♦r♠ ♥ ♦♥t♦♥ é♣♠♥t ♥♦r♠ r♠tr ♦♥t

st ♠① r♣rés♥tt rété Pr rs ♥♦tr ♠♦è ♥ér ss êtr ès ♦rs

qà ♥ ♠♦♠♥t é♦t♦♥ ①t♦♥ ①st ♠♦♥s ♥ ♣♦♥t sr sr ♦♥tt

ΣJ ♦ù ♥ s rtèrs ss êtr éré rtèr ♥♦♥ é♦♠♥t t rtèr ♥♦♥ ss♠♥t

♥s ♥ ts♥t ♠♦è ♥ér ♦ st é ♥st ès ♦rs q ♥ s rtèrs st ♦é ♥

♥ ♣♦♥t ♦♥♥é q♥tt♦♥ stté st t ♣r r♣♣♦rt à ♣♦♥t t①

é♦♥♥♠♥t ♦rrs♣♦♥♥t ♥ ♣rss♦♥ s♦tè♥♠♥t ♥ tr sérté rt à ♦

♦r♦♦♠ ♠♥t ♣t ♦♥r à ♥ srst♠t♦♥ ♥stté r é♣ss♠♥t

rtèr ♥ ♥ ♣♦♥t ♦♥♥é ♥ t ♣s ♥éssr♠♥t s♥r q ♦ st ♥st

♦t♦s s t♦s s ♣♦♥ts ♦ rst♥t ♥ éstté t s♥s é♦♠♥t st ♦rs é♥t q

♠♥t stté st ♦rrt

♥ ♠tt♥t q ♣r♦è♠ P st ÷r é♠r ssq ♥é♥r ♣♦r ét

♣r♦è♠ stté s ♦s ♦♥♥t ♣♣♦rtr ♠①♠♠ ♠é♦rt♦♥s ♣♦sss à s

rés♦t♦♥ ♣♦r q t♠♣s s♦t ss③ rs♦♥♥ t ♥s s♥s q ♠♦è s♦t

♠♦♥s ①♥t ♣♦ss ♣♦r s ♣r♠ètrs ré♦♦qs à ♦r♥r ♥ t ♦♠♠ ♥♦s rr♦♥s

♥♦ ♠♦è ♦♥ ♥ér ♣t ♣r♥r ♥ ♦♠♣t t♦t ♦ ré♦♦q ést♦♣stq

♠s ééré♠♥t ♥♦s ♥♦s s♦♠♠s ♠tés à ést♦♣stté ♥♦♥ ♥ér ♦♠♣♦rt♠♥t ♥♦r♠

②♣r♦q ♣rt s♥ ér♦ss ♥ rtèr ♦♦♠ φ t t ♥ ♣♦t♥t

♦♦♠ ♥ t♥ ψ

♣♥ ♣tr s ♣rés♥t ♦rs ♦♠♠ st ♦s ♦♠♠♥ç♦♥s ♣r ①♣tr ♦r♠t♦♥

♣r♦è♠ ♥♦♥ ♥ér ♣s ♥♦s ♣rés♥t♦♥s t♥q ♥♠érq ♣♦r rés♦r ♦♥♥t

rs s♦♥r q ♥♦tr ♣r♦è♠ st trté ♥ ♣tts é♣♠♥ts r ér à s♦♥ ①♣♦

tt♦♥ ♣♦r s s rés ①st♥ r♥s é♣♠♥ts ♦rrs♣♦♥ à ♥ ♥stté ♥s ♥♦s

♦♥s rs♦♥♥é ♥ ♠♦ s♦tt♦♥ ♠♦♥♦t♦♥ ♣r ér♠♥t ♣r♦rss sr ΣL

s♦rt q ♥♦s ♦♥s ♦♣té ♣♦r ♥ ♥tért♦♥ ♥♠érq ♥s t♠♣s ①♣t ♥ ♣ss♥t ♥

ét♣ à tr t♠♣s ♥é♠tq st tr ér♠♥t λ ♦ ré♦♦q ♠♣é♠♥

té st ss ①♣té ♦s ♣rés♥t♦♥s é♠♥t s rtèrs tsés ♣♦r ét♦♥ stté

Pr st ♥♦s t♦♥s ♥ ét ♣r♠étrq rt à ♠ét♦ ♥♠érq ♦♣té ♣s

t ♠♥s♦♥s s ♠s ♦s ♣rés♥t♦♥s ss ♥ t♥q ♠♥s♦♥♥♠♥t s♦

tè♥♠♥t sé sr ♠ét♦ ♦♥r♥♦♥♥♠♥t Ps ♥tért♦♥ ♥s ♦ ♦

♦♠♣♦rt♠♥t ♥ s♦tè♥♠♥t ♥ ♣rtr s ♦♦♥s à ♥ ♥r ♣♦♥t st ①♣té

♥t q ♣rs ♥ ♦♠♣t ♥♦♥ ♥érté ♦♠♣♦rt♠♥t ♥♦r♠ t rrérsté

ss♠♥t st ♥ ♠é♦rt♦♥ ♠♦è st ♦q ♦♥srr ♥ ♣rt

♣tr à ♥ ♦♠♣rs♦♥ ♥tr s ① ♠♦ès s ♦♠♣rs♦♥s s♦♥t ts ♥ ts♥t s

♦rs ♦♥r♥♦♥♥♠♥t s éts ♣r♠étrqs s♦♥t tés t ♦♥r♥♥t s ♣r

é♦♣♣♠♥t ♠♦è ♦♥ ♥ér

♠ètrs rts à ♦ ♦♠♣♦rt♠♥t ♥♦r♠ ②♣r♦q rtèr ♦r♦♦♠ ♥

r♦tt♠♥t t ♣♦t♥t ♣stq ♥ t♥ r♥èr ♣rt st ♦♥sré à ♥ ♣♣

t♦♥ ♠♥s♦♥♥♠♥t s♦tè♥♠♥t ♥ ts♥t ♠ét♦ ♦♥r♥♦♥♥♠♥t ♦♣é

à ♠ét♦ ♦♥ ♥ér ♣rs ♥ ♦♠♣t s♦tè♥♠♥t à ♣rtr ♥ rt♥

t① é♦♥♥♠♥t

é♦♣♣♠♥t ♠♦è ♦♥ ♥ér

♥♦♥é é♥ér ♣r♦è♠

♦♠♣t t♥ ②♣♦tès s ♣tts ♣rtrt♦♥s ♦♥ ♦♥sr ♠ê♠ é♦♠étr ♦ t

♣r ♦♥séq♥t s éqt♦♥s éqr ♥ tr♠s rt♦♥s s♦♥t

ˆ

ΣJ

d~σ dS + dλ ~F0 = ~0

ˆ

ΣJ

~x ∧ d~σ dS + dλ ~M0 = ~0

λ st tr ér♠♥t q ♦♥ ♠♥t ♣r♦rss♠♥t λ = 0 à λ = 1 s♥t

q λ = 0 ♦rrs♣♦♥ à étt ♥t ♥t ①t♦♥ t λ = 1 ♦rrs♣♦♥ à étt ér♠♥t

t♦t ♣rès ①t♦♥ ♦ù sr r ΣL st s♦♠s à s ♦rts ♥s

s trs ~F0 t ~M0 és♥♥t s rt♦♥s ♦rts q st ♦ ♥tr étt ♥t t

étt ♣rès ①t♦♥ rs ①♣rss♦♥s ♦♥t éà été ♦♥♥és ♥s ♣tr ♣r éqt♦♥

♣♣♦♥s q♥ s♥ ♣rss♦♥s t ♣rss♦♥s s♦tè♥♠♥t ~F0 t ~M0 s♦♥t é①

rs♣t♠♥t ① ♦♣♣♦sés rést♥t t ♠♦♠♥t rést♥t s ♦rts ①rés sr sr

r st ♥t ét ①t♦♥ ♥s s rs ①♣rss♦♥s sér♥t ♦♠♠ st

~F0 = −ˆ

ΣL

σ0 ~n dS

~M0 = −ˆ

ΣL

~x ∧ σ0 ~n dS

Pr rs ♥♦s s♣♦s♦♥s ♥ t♦t ♣♦♥t ~x ΣJ ♦s ♦♠♣♦rt♠♥t ♦♥t q ♦♥t

♥tr♥r tr ♦♥tr♥t ~σ t é♣♠♥t ~u ♥ ♣♦♥t ♦♥♥t♦♥ s♥ st t q

σn = ~σ ·~n < 0 r♣rés♥t ♥ ♣rss♦♥ t un = ~u ·~n > 0 trt ♥ ♠♥t♦♥ ♦rtr ♦♥t

♦ ♦rrs♣♦♥♥t ♦♥t s r♣♣r♦ ♠ss r♦s ♦ ♦♠♣♦rt♠♥t

♦♥t st é♥ ♦rs ♣r rt♦♥ ♥ré♠♥t

d~σ = −K (~u) d~u

t♥sr K st ♥ ♦♥t♦♥ ♦♥♥ ~u q sr ①♣té ♥s s ♠tér ♦♥t ♦s

♥s ♣rr♣ ♠s ♥ tt♥♥t r♠rq♦♥s q st ♥ rt♦♥ q r♣rés♥t

♥ r♥ ♠ ♦s ré♦♦qs ♣s ♥éssr♠♥t ♠té rtèr ♦♦♠

♥s tt rt♦♥ ~u st ét tr tr♥st♦♥ ~U t r♦tt♦♥ ~W ♦♠♠ ♥s ♣tr

♥ ts♥t éqt♦♥ ♠♦♠♥t ♦r♣s s♦ ♥ é♥ss♥t t♥sr ♥ts②♠étrq r

t q ∀~a r~a = ~a ∧ ~x ♥t q

P

~u = ~U + r ~W

①♣rss♦♥ ♥ré♠♥t é♣♠♥t d~u st ♦rs

d~u = d~U + r d ~W

és♥♦♥s ♣r Y =(

~U , ~W)

♥♦♥♥ ♣r♥♣ ♣r♦è♠ q st ♦♥t♦♥ t♠♣s ♥é♠

tq λ t ♣r Y =dY

dλs tss

♦♠♥s♦♥ s éqt♦♥s éqr t ♦ ♥ré♠♥t ♦♠♣♦rt♠♥t

♦♥t t ♥ré♠♥t ♠♦♠♥t ♦r♣s s♦ ♥ t♦t ♣♦♥t ♦ éqt♦♥

♦tt s②stè♠ ♥ér ♦♠♣♦sé ♣r s rt♦♥s t

A ~U +B ~W = ~F0

D ~U + C ~W = ~M0

A =

ˆ

ΣJ

KdS B =

ˆ

ΣJ

K rdS C =

ˆ

ΣJ

rT K rdS D =

ˆ

ΣJ

rT KdS

♥s s②stè♠ s t♥srs A B C t D ♥ s♦♥t ♣s ♦♥st♥ts ♦♠♠ st s ♥s

♣tr ♠s é♣♥♥t Y r étr♠♥t♦♥ ♥ésst r ~u ♥ t♦t ♣♦♥t ΣJ ♥

♦♥t♦♥ Y t ~x éqt♦♥ ♣s r K (~u) ♥ ♦♥t♦♥ s ♦s ré♦♦qs q

réss♥t ♦♥t ♣♦♥t ~x étér♦é♥été é♥t ♦♠♣♦rt♠♥t ♥ sr st

♦rs ♣rs ♥ ♦♠♣t s t♥srs é♣♥♥t ss ♦r♠ é♦♠étrq ♦ s ♥térs

sr t r

s♦♥ ♠♠r(

~F0 , ~M0

)

st ♥ ♦♥♥é ♥é♣♥♥t λ st ♦♥t♦♥ étt ♥t

s ♦♥tr♥ts t t♦t r♠♥t s♣♣é♠♥tr ♣rss♦♥ ♦ ♣rss♦♥ s♦tè♥♠♥t

s②stè♠ ♥ér èr s②stè♠ ♥ér ♣rés♥té ♥s ♣tr éqt♦♥ ♣r

t q ♥ st ♣s ♥éssr♠♥t ♥ s②stè♠ s②♠étrq ♥ t D = BT ♥q♠♥t ♦rsq

K st s②♠étrq ♥ t♦t ♣♦♥t ΣJ

rés♦t♦♥ s②stè♠ ♣r♠t Y ♦♠♠ ♠tr rté s②stè♠ st

♦♥t♦♥ Y ♥♦s ♦♥s ♥ t r à ♥ rt♦♥ q ♣r♠t r ①♣t♠♥t Y ♥

♦♥t♦♥ Y t q♦♥ ♣t érr ♦♠♠ st

Y = ξ (Y )

♦tr ♣r♦è♠ ♦♥sst ♦rs à tr♦r ♦♥t♦♥ Y q ér éqt♦♥ t ♦♥t♦♥

♥t ♣♦r λ = 0 ♦♥ Y = 0 st ♥ éqt♦♥ ér♥t ♣r♠r ♦rr ♦♥♥é

♥t ♣r♦è♠ ② ♦s ①♣♦sr♦♥s ♠ét♦ ♥♠érq ♦♣té ♣♦r rés♦t♦♥

tt éqt♦♥ ♣rès ♦r été ♦ ré♦♦q ♠♣é♠♥té

é♦♣♣♠♥t ♠♦è ♦♥ ♥ér

♦ ré♦♦q ♠♣é♠♥té

♥s ♣rr♣ ♥♦s ét♦♥s ♦ ré♦♦q tsé ♥s ♦♥ ♥ér q

♥♦s ♠è♥ à é♦♣♣r ①♣rss♦♥ ♠tr K

P♦r ♣rés♥tr ♦ ♦♠♣♦rt♠♥t ♦♥t ♥s ♥ ♦r♠s♠ ssq ést♦♣stté

♥♦s ♣♦s♦♥s ~ε = −~u tr ~ε ♦rrs♣♦♥ à s♦♥t♥té é♣♠♥t ♦rsq ♦♥ ♣ss

♦ ♠♦ été rs ①térr q st ♥ s♦ r ♠♠♦

♥ ♥tr st♦rq ~σ t ~ε st ré ♣r ♥ ♦♥t♦♥ ♦♥tt ss♠♥t

q ♣r♥ ♥ ♦♠♣t ①st♥ ♥ rt♦♥ ♣réé ~n ♥ ♣♦s ♦rs σn = ~σ ·~n t ~σt = ~σ−σn ~nt ♠ ♣♦r ~ε

♥s ♣s éstq ♥♦s s♣♣♦s♦♥s ♥ ♦♠♣♦rt♠♥t ♥ér ♦♥t ♥s rt♦♥

t♥♥t t ②♣r♦q ♥s rt♦♥ ♥♦r♠ ♣ss à ♣s ♣stq st ré ♣r

rtèr ♦r♦♦♠ t♥ st ♣rs ♥ ♦♠♣t r♥t tt ♣s

Ps éstq ♥♦♥ ♥ér

♥ s♥ ss♠♥t rrérs t t♥t q ♦♥tt ①st ♦♥

dεn =dσn

Kn (σn)

t

~dεt =~dσtKt

st s ♠ê♠s éqt♦♥s ♦♠♣♦rt♠♥t ♦♥t ♦♣tés ♥s ♠♦è ♥ér s q

rté ♥♦r♠ ♥st ♣s ♦♥st♥t ♠s é♣♥ étt ♦♥tr♥t ♥♦r♠ t σn

♥ t ♥♦s s♣♣♦s♦♥s q ♦♠♣♦rt♠♥t ♥♦r♠ ♦♥t st ♦ ②♣r♦q ssq

♣rés♥té ♣r ♥s t ❬❪ ♥t q εn st s♦♥t♥té é♣♠♥t ♥♦r♠ ♠sré

à ♣rtr étt ♥t ♦♥tr♥t ♥♦r♠ σ0n ♦ ♦♠♣♦rt♠♥t ♥♦r♠ ②♣r♦q

stré ♥s r s①♣r♠ ♣r

εn = g (σn)− g (σ0n) avec g (σn) =

σnKn0

1− σnKn0 e0

Kn0 st rté ♥♦r♠ ♣♦r ♥ ♦♥tt ♥ss♥t ♦rrs♣♦♥♥t à ♥ ♦♥tr♥t ♥♦r♠

♥t ♥ ♥ t ♣♦r σn ♦♥ g (σn) ∼σnKn0

e0 > 0 r♣rés♥t r♠tr ♠①♠ ♦♥t ♦ é♣ssr ♠①♠ ♦rsq σn t♥

rs −∞ g (σn) ♥t s②♠♣t♦tq à r −e0

♥ ♥ ét ①♣rss♦♥ Kn (σn)

Kn (σn) = Kn0

(

1− σne0Kn0

)2

♦t♦♥s q Kn0 = Kn(0) ♥st ♣s à ♦♥♦♥r rté ♥♦r♠ ♦rrs♣♦♥♥t à étt

♥t Kn (σ0n)

s rt♦♥s t ♣♥t s rés♠r ♥ ♥ été t♥s♦r ♦ù ♠tr H st

s②♠étrq

~dε = H−1 ~dσ avec H = Kt I + (Kn (σn)−Kt) ~n⊗ ~n

P

σn

−εne0Kn0

Kn(σn)

Kn(σ0n)

r ♦ ♦♠♣♦rt♠♥t ♥♦r♠ ②♣r♦q ♦♥t

st ♥ ①♣rss♦♥ s♠r à éqt♦♥ ♥s ♣tr s q

rté ♥♦r♠ st ♥ ♦♥t♦♥ ♦♥tr♥t ♥♦r♠ ♥s tt ①♣rss♦♥ ~dε st ♥ré♠♥t

s♦♥t♥té é♣♠♥t éstq rérs

Ps ♣stq ss♠♥t

P♦r ♣r♥r ♥ ♦♠♣t ss♠♥t rrérs st ♥♦qr ♦ ♣rtt♦♥ q é♦♠

♣♦s é♦r♠t♦♥ é♥érsé ~dε ♥ ♥ ♣rt rérs ♦♥♥é ♣r éqt♦♥ t ♥ ♣rt

♣r♠♥♥t ~dεp

~dε = H−1 ~dσ + ~dεp

♣rt ♣r♠♥♥t st ré ♣r ♥ ♦ é♦t♦♥ ♦r♠

~dεp= dl

∂P

∂~σavec dl ≥ 0

♣♦t♥t ♣stq P (~σ) ♦s st ♦♦♠ ss♦é à t♥ ψ ∈ [0 , φ]

P (~σ) = ‖~σt‖+ tanψ σn

♥s éqt♦♥ dl st ♠t♣tr ♣stq st ♥ ♦rsq♥ rtèr st s♦t strt

♠♥t ♥ét s♦t t ♥r Ps ♣résé♠♥t ♦♥ ♥tr♦t ♥ ♦♥t♦♥ F (~σ) q st ♦♥st♠

♠♥t ♥ét ♦ ♥ ♥s rs♦♥ t ♥♦tr ♠♦è st rtèr ♦r♦♦♠

♥ r♦tt♠♥t φ t ♦és♦♥ c

F (~σ) = ‖~σt‖+ tanφσn − c

r♥t ♣s éstq ♥♦s ♦♥s F (~σ) < 0 t ♣r ♦♥séq♥t dl = 0 ♦s s♦♠♠s ♦rs

r♠♥és à éqt♦♥

r♥t t♦t ♣s ♣stq ♥♦s ♦♥s F (~σ) = 0 ♦s ♣♦♦♥s érr ♦♥t♦♥ dF = 0

q ♥t∂F

∂~σ· ~dσ = 0

♥ ♦♠♥♥t tt éqt♦♥ s éqt♦♥s t ♥♦s rr♦♥s à étr♠♥r dl ♥

♦♥t♦♥ ~dε ♦♠♠ st

~dσ = H

(

~dε− dl∂P

∂~σ

)

é♦♣♣♠♥t ♠♦è ♦♥ ♥ér

♣s

∂F

∂~σ·H

(

~dε− dl∂P

∂~σ

)

= 0

♦ù

dl =

∂F

∂~σ·H ~dε

∂F

∂~σ·H ∂P

∂~σ

♦♠♣t t♥ ①♣rss♦♥ é♦r♠t♦♥ ♣stq ♦♥♥é ♣r éqt♦♥ t ①♣rss♦♥

♠t♣tr ♣stq ♦♥♥é ♣r éqt♦♥ ♥♦s ♣♦♦♥s érr

H ~dεp=

(

~h1 ⊗ ~h2)

~dε

~h1 =H∂P

∂~σ∂F

∂~σH∂P

∂~σ

et ~h2 = H∂F

∂~σ

♥ ♦♠♥♥t s éqt♦♥s t ♥♦s ♦t♥♦♥s rt♦♥ ssq Pr♥tss

~dσ = K (~u) ~dε avec K = H − ~h1 ⊗ ~h2

P♦r ①♣tr s s ♥♦s é♦♣♣♦♥s s ①♣rss♦♥s s érés ♣rts P t F

∂P

∂~σ= ~τ + tanψ ~n

t∂F

∂~σ= ~τ + tanφ~n

~τ =~σt‖~σt‖

♥ ts♥t é♥t♦♥ t♥sr H ♦♥♥é ♥s éqt♦♥ ♥s q s éqt♦♥s

t ♥♦s rr♦♥s à ①♣r♠r s tr ~h1 t ~h2

~h1 =Kn (σn) tanψ ~n+Kt ~τ

Kt +Kn (σn) tanφ tanψet ~h2 = Kn (σn) tanφ~n+Kt ~τ

♥s s ① stt♦♥s éstté ♥♦♥ ♥ér F < 0 t ss♠♥t F = 0) ♦♥ ♦ré♠♥t

♥ ♦♥tt t ♦♥ σn < 0 ♥s s rt♦♥s t s ♦s ♦♠♣♦rt♠♥t éà ①♣tés

♥ s♣♣q♥t ♣s ♥ stt♦♥ é♦♠♥t

s é♦♠♥t

stt♦♥ é♦♠♥t ♦rsq σn = 0 ♦♥tt ♥tr ♣♦♥t ♦♥séré t ♠ss

r♦s st ♦rs ♣r t ♣♦♥t r ♦♥st♠♠♥t ♥ étt ♦♥tr♥ts ♥s ~σ = ~0 Pr

♦♥séq♥t ~dσ = ~0 ♦s ♣♦s♦♥s ♦rs K (~u) = 0 r♥t ♥ t ♣s

P

és♦t♦♥ ♥♠érq ♣r♦è♠

r ♣♥ ♥♠érq étr♠♥t♦♥ ♥♦♥♥ ♣r♥♣ ♣r♦è♠ Y ♥ésst ♦r

♥ ♠ét♦ rés♦t♦♥ ♥ ♣r♦è♠ ② éqt♦♥ ♥s ♥ s♣ ♠♥s♦♥

♦rt rét Pr rs ♥♦s ♦♥s s♦♥ t♥qs ♥tért♦♥ sr sr r ♣♦r

♦t♥r ~F0 t ~M0 t sr s ♦♥ts ♣♦r ♦t♥r A B C t D

és♦t♦♥ ♥s t♠♣s ♥é♠tq

♦♥r♥♥t t♠♣s ♥é♠tq λ éqt♦♥ ér♥t st s♠♣ ♥s s ♥ér

♣tr ♥s s ♠tr rté K é♥ss♥t ♦ ré♦♦q ♦♥t ♥ é♣♥

♣s ~u ♣sq s rtés ♥♦r♠ t t♥♥t s♦♥t ♦♥st♥ts Pr ♦♥séq♥t ξ (Y ) st ♥

♦♥st♥t t ♥♦s ♣♦♦♥s érr q ∀Y ξ (Y ) = ξ (0) ♥tért♦♥ ♥s t♠♣s st ♦rs ①t

t ♦rrs♣♦♥ à Y = λ ξ (0) t♠♥t ♥s ♠♦è ♥ér ♠tr rté

s②stè♠ st ♥ ♦♥st♥t t é♣♠♥t st ♥ér ♥ ♦♥t♦♥ t① ér♠♥t

♥ r♥ ♥s s ♥♦♥ ♥ér ♥♦s ♦♥s ♦sr ♥ s ♥♦♠rss t♥qs ♥tér

t♦♥ ♥♠érq ♥ ♣r♦è♠ ② ♦s ♦♥s ♦♣té ♣♦r t♥q ♣s s♠♣ ♠ét♦

r ①♣t q ♦♥sst à tsr ♣♣r♦①♠t♦♥ s♥t

Y (λ+ dλ) = Y (λ) + ξ(Y (λ)) dλ

♣s t♠♣s dλ st ♦s ♦♥st♥t t ss♠♠♥t ♣tt ♥ dλ = 1/N ♦ù N st ♥♦♠r

ét♣s ♣♦r ♣ssr λ = 0 à λ = 1

♦♥rèt♠♥t ♥s ♦ ♥♠érq ♥♦s ♦♥s Y (λ+ dλ) = Y (λ) + dY ♦ù dY st

s♦t♦♥ s②stè♠ s♥t

G

[

d~U

d ~W

]

=

[

~F0/N~M0/N

]

avec G =

[

A B

D C

]

♥s s ♦ù t♦s s ♣♦♥ts ss s♦♥t ♥s ♣s éstq ♣♦r ♥ ♣s ♦♥♥é K = H

♥ t♦t ♣♦♥t t ♦♥ D = BT ♠tr rté ♦ G sr s②♠étrq é♥ ♣♦st ♦♥

♥rs ♦♠♠ s ♠tr rté ♦ R é ♥s ♥ér ♥s

s ♦ù ♥ ♣rt ♦ ♥tr ♥ ♣stté G ♥st ♣s s②♠étrq t ♦♥ ♣s ♥éssr♠♥t

♥rs

♦♥♥t ♥♦tr q ♥s ♠♦è ré♦♦q ♦♣té ♥s ♦♥ ♥ér K (~u)

st é♥ ♥♦♥ ♣s à ♣rtr ~u = −~ε ♠s à ♣rtr ~σ ♥ t ♥s t♦ts s rt♦♥s ①♣tés

♣rr♣ s♦♥t s ♦♥t♦♥s ~σ q ♥tr♥♥♥t Kn(σn), F (~σ) P (~σ)

P♦r ♦♠♣étr ♦rt♠ ♥♠érq ♥tért♦♥ ♥s t♠♣s ♥é♠tq λ ♥♦s ♦♥s ♦♣té

♣♦r ♥ sé♠ ①♣t ♥ ts♥t ♣♣r♦①♠t♦♥

~σ (λ+ dλ) = ~σ (λ) + d~σ (λ) avec d~σ (λ) = K (~σ (λ)) ~dε (λ)

s♦ q♥ t é♠r q ♦♥t ♣r ①♠♣ q♣rès ♥ é♦♠♥t ♦♥ rst ♥

♠♦ é♦♠♥t ♥st sté q ♣r t q ♥♦s ♦♥s r à ♥ st♦rq s♦tt♦♥

s r♠♥♥t à ♥ sr ♥q λ ♦♥t♦♥ ♠♦♥♦t♦♥ t♠♣s ré

Pr rs ♦♠♠ st ♥ ♠ét♦ ♥ré♠♥t t ♥ q ♣s dλ s♦t ♦s ss③

♣tt st ♣♦ss q rtèr F é♣ss r té♦rq ♥ ♥ ♥tr♦t ♦rs ♥ r

♦♥trô t q s F > ♦ srrêt ♣♦r ♥♦♥ rs♣t rtèr

♥tt♦♥ stté

s ♥térs sr

t♥q ♥♠érq ♣♦r s ♥térs sr ♦♥sst ♦♠♠ ♣♦r ♣tr

à ♣rtt♦♥♥r s srs ♥ s éé♠♥ts é♦♠étr s♠♣ sr ♥ sqs ♥tért♦♥

st t ♣r ♠ét♦ s ♣♦♥ts ss tt t♥q st ①♣té ♥s ♥♥①

♥s s ♠♦è ♥ér ♣rés♥té ♥s ♣tr ♣rtt♦♥♥♠♥t ♥ ♦t ♣s êtr

♥ t ♥♥♥ ♣s s réstts s tté st ♣♦r ♥♠érq s ♥térs

sr ♥s ♣tr ♥♦s ♦♣t♦♥s s ♦s ♦♠♣♦rt♠♥t q r♥t ♥♦♥ ♥ér♠♥t ♥s

t♠♣s ♥é♠tq ♠s é♠♥t ♥s s♣ ♥s é♦♣ s♣ ♦t ssrr q

s ♥térs ♦♥t♦♥s ♥♦♥ ♥érs s♦♥t ts ♠♥♠♠ rrr

♦♥♥t s♦♥r q ♣rtt♦♥♥♠♥t s srs ♥st ♣s ♦é s ♦♥♦r♠r ①

rès strts ♥ ♠ ♣r éé♠♥ts ♥s ♣♥♥t ♦♠♠ ♣♣rt s ♦s q é♥èr♥t

♥ t é♦♣ t s ♦s sst♦♥ r♣q ♦♥t ♥t s s rès éé♠♥ts

♥s t♦s s s trtés ♥s tt tès ♦♥t t ♣♣ à tt t♥q srétst♦♥ ♥

♥♦t♦♥ ♥÷ ♥s ♥♦tr ♦ s ♦♥♥és ts q ♣♦st♦♥ ~x tr ♥♦r♠ ~n s

♦♥tr♥ts ♥ts s rté s ♦♥ts s♦♥t é♥s ♥ s ♥÷s t ♣♦r s ss♦r

① ♣♦♥ts ss é♥♠♦♥s ♣♦r ♥ srétst♦♥ rtrr ♥♦t♦♥ ♥÷s

♥ ♠ ♣r éé♠♥ts ♥s ♥♦tr ♦ ♥ ré♠♥t s♦♥ q ♣♦♥ts ss t

♦♥♥és é♥s ♥ s ♣♦♥ts

♥tt♦♥ stté

① ér♠♥t rtqs

λcrit

♦♠♠ ♣♦r ♥ér st ♣♦ss étr♠♥r t① é♦♥♥♠♥t rtq

λcrit ♣♦r q rtèr ♣stté tt♥t ♥ r ♥ ♥ ♠♦♥s ♥ ♣♦♥t ΣJ st

♥ t t① ♦rrs♣♦♥♥t ét ♣stt♦♥ s s ♣♣♦♥s q ♥s s

♥ér rtèr st é ♣rès ♦♣ stàr à ♣rtr s ♦♥tr♥ts ♥s sr

s s ♦ ♦r ♣rr♣ ♥s ♦♥ ♥ér ♣♦r étr♠♥r λcrit

rtèr st éé ♥ t♦s s ♣♦♥ts ΣJ à q t① ér♠♥t t λcrit ♦rrs♣♦♥

à r ♣♦r q rtèr s♥♥ ♣♦r ♣r♠èr ♦s ♥ ♥ ♣♦♥t ♦

λcrit ≤ 1 s♥ q ♣stt♦♥ s s été ♥t ér♠♥t t♦t

r ♣♥♥t ♥♦s ♥ ♣♦♦♥s ♣s ♦♥r q ♦ st ♥st

λcrit > 1 s♥ q ♦ st st à étt ♥ t s ♦♥tr♥ts s♦♥t ♥♦r ♥s

♣s éstq r té♦rq♠♥t trr sss ♥ ♣r♦♦qr ét ♣stt♦♥

ss s

λglob

♠♦è ♦♥ ♥ér st ♣♦ss sr ♣stt♦♥ s s

ér♠♥t ♣r♦rss sr ΣL t① ér♠♥t rtq ♦ q ♥♦s és♥♦♥s

♣r λglob ♦rrs♣♦♥♥t t① ♣♦r q ♦ ♥ s♥t♠♥t rté ♦ G

tt r ♣t êtr é ♦ ér♥t λcrit ♦♠♠ ♥♦s ♠♦♥trr♦♥s ♥s ♣rr♣

♦t♦♥s q ♠♦è ♥ér st st ♣♦ss ♦♥♥tr t① é♦♥

♥♠♥t ♣♦r q ♣stt♦♥ ♦♠♠♥ s♥s s♦r s ♦♠♣♦rt♠♥t ♦ ♦ st

P

té à t① Pr rs ♣♦r s t① s♣érrs à λcrit s ♦♥tr♥ts és ♣r ♠♦è

♥ér ♥ s♦♥t ♣s rs ♠ê♠ ♣s ♣♦r s ♣♦♥ts q s♦♥t ♥♦r ♥s ♣s éstq st

û t q ♣♣r♦ ♥ér ♥ ♣r♠t ♣s ♠♦t♦♥ rté s ♣♦♥ts ②♥t ♣sté

t ♣r ♦♥séq♥t rté ♦ s②stè♠ à rés♦r

λinst

t① λinst ♦rrs♣♦♥ t① é♦♥♥♠♥t ♣♦r q ♦♠♣tté ♥tr ♦♥tr♥ts

sttq♠♥t ♠sss t ♣stq♠♥t ♠sss ♥st ♣s ♣♦ss ♥s ① s

tt♦♥s ♦rsq rtèr ♣stté é♣ss rtèr ♦♥trô F > ♦ q ♠tr

rté G s②stè♠ à rés♦r ♥st ♣s ♥rs

λinst ≤ 1 s♥ q ♦ st ♥st ♥t é♦♥♥♠♥t t♦t r t

t ♣ré♦r ♠s ♥ ♣ ♥ s♦tè♥♠♥t

λinst > 1 ♦ st st ♣rès rs♠♥t t r (λinst − 1) ♦♥stt ♥ résr

stté

Prss♦♥ s♦tè♥♠♥t Pmin

♦♠♠ ♥s ♣tr st ♣♦ss r ♥ ♣rss♦♥ ♠♥♠ Pmin à ♣♣qr sr

sr ΣL ♣♦r ssrr q t♦s s ♣♦♥ts ♦ rst♥t ♥s ♣s éstq ♥♦♥

♥ér ♥ ♣r♠t ♣s ér tt ♣rss♦♥ ♣rès ♦♣ ♦♠♠ étt s ♣♦r ♥ér

é♥♠♦♥s ♦♥ ♣t st♠r à (1− λcrit)σ0nL σ0nL ét♥t ♦♥tr♥t ♥♦r♠ ♥t ♥

sr r

♥s rt♥s stt♦♥s r♥tr q♥ ♣♦♥t ♦ ♥ ♣st ♥ésst ♣♣t♦♥ ♥

♣rss♦♥ très éé q st à ssrr à ♠♦♥s tsr ♥ s♦tè♥♠♥t t t s♥r

q t♦♥ ①ré ♣r ♥ s♦tè♥♠♥t ♣ss st ♥ t ♥ rét♦♥ à é♦r♠t♦♥ r♦

♦♥t étr♠♥t♦♥ ♥ésst ♣r♥r ♥ ♦♠♣t ♦ ♦♠♣♦rt♠♥t s♦tè♥♠♥t

♥ ♣réèrr ♦rs à ♥♦t♦♥ Pmin ♥♦t♦♥ ♥ ♣rss♦♥ éqr ♥tr s♦tè♥♠♥t

t ♦ q ♣r♠t ssrr stté ♦ s♥s ①r q t♦s ss ♣♦♥ts s♦♥t ♥s ♣s

éstq ♠ét♦ ♦♥r♥♦♥♥♠♥t st tsé ♣♦r tt ♣rss♦♥ éqr

♥ ♥tér♥t ♦ ♦♠♣♦rt♠♥t s♦tè♥♠♥t

♠♥s♦♥♥♠♥t s♦tè♥♠♥t

♥s ♣rr♣ ♥♦s ♣rés♥t♦♥s ① ♠ét♦s ♠♥s♦♥♥♠♥t s♦tè♥♠♥t

♦ ♥ ♣r♥♥t ♥ ♦♠♣t ♦ ♦♠♣♦rt♠♥t s♦tè♥♠♥t ♠s ♥t

s♦♥s ♥ r ♣rç sr s ♣♣r♦s tsés ♥s s ♠ét♦s ♦♥♥t♦♥♥s ♦s s♦és

♣♣rt s ♠ét♦s ♦s s♦és ①st♥ts ♥s ttértr s♦♥t s ♠ét♦s à éqr

♠t Pr ♦♥séq♥t s♦tè♥♠♥t st ♣rs ♥ ♦♠♣t ♣r ♦r ♠①♠ q ♣t ①rr sr

♦ ♦r ♣r s ♣té ♠①♠ à ♠♦♥s q ♥ s♦t rét ♣r ♥ ♦♥t sérté

♥ t ♥s s ♠ét♦s s♦tè♥♠♥t st s♣♣♦sé r ♦♠♠ ♥ ♦r résst♥t q♦♥

♣r♦tt ♥s rt♦♥ ♦♣♣♦sé ♠♦♠♥t ttr ①♠♣ ♥s ♦ ❬❪

♦ù ♦♥ ét s ♦s t♦t r ♦r ♠①♠ s♦tè♥♠♥t st ♣r♦té ♥s

rt♦♥ rt ♦♣♣♦sé ♣♦s t ♥ ♥♦ éqr ♦ st éé ♥s ♦

❯❲ ❬❪ tt ♦r st ♣r♦té ♥s rt♦♥ ♦♣♣♦sé à rt♦♥ ♠♦♠♥t

♣rétr♠♥é ♥ s ss♠♥t sr ♥ ♦♥ ♥ ♣s ♦r r♦tt♠♥t q

♠♥s♦♥♥♠♥t s♦tè♥♠♥t

é♥èr à ♣rtr s ♦♠♣♦s♥t ♥♦r♠ ♣♥ ss♠♥t ♥s s s♦tè♥♠♥t ♣ss

s ♦rs ♦rrs♣♦♥♥ts ♥tr♥♥♥t ♥q♠♥t ♦rs tr sérté ♥ s♦t♥t

① ♦rs résst♥ts ♥♠értr

♣♣r♦ à éqr ♠t s ♦♥tr♥ts t é♦r♠t♦♥s ts ♥ s♦tè♥♠♥t

♥ s♦♥t ♣s ♦♥♥s t ♥trt♦♥ r♦strtr ♥st ♣s ♠♦ésé ç♦♥ r♦rs ss

♣♦ssté q s♦t ré à s ♣té t q s r♦♠♣ ♥ ♣t ♣s êtr ①♠♥é

♦♠♠ ♠ét♦ ♣r♠t sr é♦t♦♥ s ♦♥tr♥ts é♣♠♥t

♦ st ♣♦ss r♥r ♦♠♣t t♦♥ ♥ s♦tè♥♠♥t ♣r s ♦ ♦♠♣♦rt♠♥t

♣rss♦♥ q ①r sr ♦ st é ♥ ♦♥t♦♥ s é♦r♠t♦♥ q rést ♠♦♠♥t

♦

♥s q st ♥♦s ♣rés♥t♦♥s ♥ ♠ét♦ ♥s♣ré ♠ét♦ ♦♥r♥♦♥♥♠♥t q

♣r♠t ♠♦ésr ♥trt♦♥ ♦s♦tè♥♠♥t ♥s r ♠ét♦ ♥st

♠ét♦ ♥tért♦♥ ♥ s♦tè♥♠♥t éstq ♥s ♦ ♦♥ ♥ér st é♦♣♣é

♣♣t♦♥ ♠ét♦ ♦♥r♥♦♥♥♠♥t

é♥értés sr ♠ét♦ ♦♥r♥♦♥♥♠♥t

♠ét♦ ♦♥r♥♦♥♥♠♥t été ♥t♠♥t é♦♣♣é ♥②tq♠♥t ♣♦r ♥

r rr rsé ♥s ♥ ♠ éstq s♦tr♦♣ t ♦♥t♥ ♣r P♥t ❬❪ ♥s t

♠♥s♦♥♥r s♦tè♥♠♥t ♥ ♣r♥♥t ♥ ♦♠♣t s ♦ ♦♠♣♦rt♠♥t t st♥ s ♠s

♥ ♣ ♣r r♣♣♦rt r♦♥t rs♠♥t

♦r ♦♥r♥♦♥♥♠♥t é♠♥t ♣♣é ♦r rtérstq trr♥ ♣r♠t

sr é♦t♦♥ ♣rss♦♥ ♦♥♥♠♥t sr ♣r♦ ①t♦♥ ♥ ♦♥t♦♥ s

♦♥r♥ r♣♣r♦♠♥t ① ♣♦♥ts ♠étr♠♥t ♦♣♣♦sés stés ♥ tt ♣r♦

♣rss♦♥ ♥ sr r r ♣rss♦♥ ♥t sr tt sr ♦rsq λ = 0

♥t ①t♦♥ à ♥ ♣rss♦♥ ♥ ♦rsq λ = 1 ♣rès ①t♦♥

♦r rtérstq s♦tè♥♠♥t r ♣rss♦♥ ①ré ♣r s♦tè♥♠♥t à s♦♥ é♣

♠♥t ① s♦tè♥♠♥t st s♦♥t ♥sté ♣rès ♥ rt♥ é♣♠♥t r♦ dλ d st

é♣♠♥t r r♦ à ♥ ♥st♥t ♦♥♥é t s ♦ ♦♠♣♦rt♠♥t s♦tè♥♠♥t st

♥ér ♥ rté Ks rt♦♥ ♣rss♦♥ ♥ s♦tè♥♠♥t st Ps = Ks(d−dλ).♥trst♦♥ ♦r ♦♥r♥ t s♦tè♥♠♥t ♦♥♥ ♣rss♦♥ ♣♣qé à

sr r ①t♦♥ ♦rsq éqr s♦tè♥♠♥t st tt♥t st ss

♣rss♦♥ q ♦t s♣♣♦rtr s♦tè♥♠♥t ♥s tt ♠ét♦ ♣r♠t ♠♦ésr ç♦♥ s♠♣

♥trt♦♥ r♦strtr ♦♠♠ sé♠ts r

♠ét♦ été ♣♣qé ♥ ts♥t ♥ ♠♦è ♥ ②♣♦tès s é♦r♠t♦♥s ♣♥s

♦♠♠ st ♥ ♠ ♦♥t♥ st ♣♦ss étr ♥②tq♠♥t ♦ ♣r ♠♦ést♦♥

♥♠érq ♥ rt♦♥ ♥tr t① é♦♥♥♠♥t ♥ ♣r♦ r t ♣♦st♦♥

r♦♥t t♥♥ ♣r r♣♣♦rt à st♦♥ été ♦♠♠ ♠♦♥tr r ♦rsq r♦♥t

é♣ss ss♠♠♥t st♦♥ été ♦♥ λ = 1 ♥ ♣t st♠r t① é♦♥♥♠♥t à

r♦♥t ♣♦r ♥ ♠ ♦♥t♥ ①s②♠étrq t s♦tr♦♣

tst♦♥ ♥ ♦ ♦♠♣♦rt♠♥t r♦ ♣s ♦♠♣① ést♦♣stq ♦ s♦

ést♦♣stq ♥ ♦r♠ r ♥♦♥ rr ♦♥tr♥ts ♥♦♥ s♦tr♦♣s ♥ésst ♦r

r♦rs à ♠♦ést♦♥ ♥♠érq ♣♦r trr ♦r rtérstq trr♥

P

♦r ♦♥r♥♦♥♥♠♥t t① ♦♥♥♠♥t ♥ ♦♥t♦♥ ♦♥r♥ é♣♠♥t

① ♦♥♥♠♥t ♥ ♦♥t♦♥ st♥ r♦♥t ♦rrs♣♦♥ à ♣♦st♦♥ r♦♥t t à ♣♦st♦♥ s♦tè♥♠♥t

r Pr♥♣ ♠ét♦ ♦♥r♥♦♥♥♠♥t ♣rès ♥ ❬❪

ét♦ ♦♥r♥♦♥♥♠♥t ♣♦r

♦ st tsé ♣♦r étr♠♥r ♦r rtérstq ♦ stàr

♣♦r trr é♦t♦♥ t① ♦♥♥♠♥t (1− λ ♥ ♦♥t♦♥ é♣♠♥t ér♥

tst♦♥ ssq ♠ét♦ ♦♥r♥♦♥♥♠♥t r♦ st ♥é♦r♠ t ♦

♦♠♣♦rt♠♥t ♠ st ♦♥ ré ♣r ♦ ♦♠♣♦rt♠♥t s ♦♥ts ♥ ♣s ét

st t ♥ t ♦♥r♥ ♥ ♦ à ♦s t ♥♦♥ ♣s r ♥tèr ♦♠♠ ♣r♦è♠ ♥st

♣s ♥éssr♠♥t s②♠étrq ♦♥ ♣t ♦r ♣srs ♦rs rtérstqs ♦ ♦r

st ér♥t s♥t ♣♦♥t sr r ♦♥séré t rt♦♥ é♣♠♥t ♣rs ♥

♦♠♣t tt rt♦♥ st ♦s ♦♠♠ ét♥t t♦♥ s♦tè♥♠♥t ♣r ①♠♣

rt♦♥ s ♦♦♥s trt♦♥ Pr♠ s ér♥ts ♦rs ♦♥r♥♦♥♥♠♥t ♣♦sss

♦♥ sét♦♥♥ ♣s rtq ♥st ♣r♦ér ssq st tsé ♣♦r r éqr ♥tr

r♦ t s♦tè♥♠♥t

♦♠♠ ♥♦tr ♦♠♥ ét ♦♥r♥ s ♠① s♦♥t♥s ♥st ♣s é♥t étr ♥

rt♦♥ ♥tr ♣♦st♦♥ r♦♥t t t① ♦♥♥♠♥t ♥ t♦t s tt rt♦♥ ♥ sr

rt♥♠♥t ♣s ♦♥t♥ ♦♠♠ ♣♦r s ssq sé♠tsé ♥s r é♥♠♦♥s

st sértr ♦♥sérr q é♦♥♥♠♥t st t♦t à ♥st♥t ♠ê♠ ♦ù r♦♥t é♣ss

♦ ♥s s st ♣♦ss ♥s ♣rtq t ♣ré♦r ♠s ♥ ♣ s♦tè♥♠♥t à

λ = 0

♥ st t♥té ♦sr s♦tè♥♠♥t ç♦♥ à q ♣rss♦♥ éqr s♦t tt♥t ♥t

q ♦ ♥ ♣st tt ♦♥t♦♥ st ♣r♦s à stsr ♦♠♠ ♥♦s rr♦♥s ♥s

♣rr♣ Pr rs t sssrr q s♦tè♥♠♥t s♦t ré ♥ ss♦s s

♣té ♠①♠ st ♦rs ♣♦ss r ♥ tr sérté ♣♦r s♦tè♥♠♥t r♣♣♦rt

♥tr s ♣té ♠①♠ P t ♣rss♦♥ éqr Pe ♦♠♠ ①♣r♠ éqt♦♥

sout =PPe

♠ét♦ ♦♥r♥♦♥♥♠♥t ♣r♠t r ♥ ét ♣ré♠♥r s♦tè♥♠♥t t

q ♦♥sst à é♥r ♥ ♦ ♣srs s ♣r♠ètrs s♥ts

• t②♣ s♦tè♥♠♥t

♠♥s♦♥♥♠♥t s♦tè♥♠♥t

• s ♣té ♠①♠

• s rté

• s ♥sté

tt ♠ét♦ ♣r♠t ♦rs ♦r ♥ ♣r♠èr st♠t♦♥ ♦♥r♥♥t s ♣r♦♣rétés s♦tè♥♠♥t

à ♠ttr ♥ ♣ ♦t♦s ♦① ♦t êtr éré ♣r ♥ q ♣r♥ ♥ ♦♠♣t s♦♥ t

sr ♦ ♥♦♥ s♠♥t ♠♦♠♥t éqr ♠s r♥t t♦t ♣s é♦♥♥♠♥t

♥tért♦♥ s♦tè♥♠♥t ♥s ♠♦è ♣rés♥té ♥s ♣rr♣ s♥t ♣r♠t

r ♣s r♦rs♠♥t s♦♥ t♦♥ sr ♦ t érr ♣ré♠♥s♦♥♥♠♥t

♥♦♥s q ♦sr s♦tè♥♠♥t s♥s ♣ré♠♥s♦♥♥♠♥t ♥ésst résr ♣srs t♥

tts ♥ r♥t à q ♦s s ♣r♠ètrs ♥tr♦ts ♥s ♦ ♥t rrr

s♦tè♥♠♥t ♦♣t♠ tâ st t♥t ♣s ♦r q st ♣♦st♦♥♥r s ♦♦♥s ♥s

♥ ♠♦è

♥tr♦t♦♥ s♦tè♥♠♥t ♥s

t♦♥ ①ré ♣r s♦tè♥♠♥t sr ♦ st ré ♣r s ♦ ♦♠♣♦rt♠♥t rt♦♥

♥tr ♦♥tr♥ts t é♦r♠t♦♥s s♥t q s é♦r♠t♦♥s s♦♥t s ♠ê♠s q s ♠ss

r♦s q ♥t♦r st ♦rs ♣♦ss ♥térr s♦tè♥♠♥t ♥s ♣r s ♠tr

rté E ♠♥s♦♥ 6 × 6 é à ♣rtr s ♦ ♦♠♣♦rt♠♥t ♥ s♥t réér♥

① rt♦♥s t s②stè♠ ♥ér à rés♦r ♥t

(

E +G)

[

~U

~W

]

=

[

~F0

~M0

]

♣♣♦♥s q G st ♠tr rté s②stè♠ s♥s s♦tè♥♠♥t s♦tè♥♠♥t st té

♠tr E ♦té s②stè♠ ♥ér s♠♥t à ♣rtr ♥ t① é♦♥♥♠♥t q t

str ♣rés ♦s ♦♥sér♦♥s q s♦tè♥♠♥t rst ♥s ♣s éstq E st ♦♥st♥t

tt ②♣♦tès ♦t êtr éré ♣rès ♦♣ à ét q ♥ s♦tè♥♠♥t s♣♣é♠♥tr ♦t

êtr ♠s ♥ ♣

st ♥s ♣♦ss ♣r♥r ♥ ♦♠♣t t♦t t②♣ s♦tè♥♠♥t à ♦♥t♦♥ ♦r♥r

♠tr rté ♦rrs♣♦♥♥t ♥s q st ♥♦s ♦♥s ①♣tr ①♣rss♦♥ E ♥s

s ♦♦♥s à ♥r ♣♦♥t

P♦r q ♦♦♥ ♥♦s és♥♦♥s ♣r ~xa ♣♦♥t ♥trst♦♥ ♦♦♥ sr r

♦ ~a s rt♦♥ q ♣♦♥t rs ♥térr ♠ss r♦s Kb s rté ① ♦s

s♣♣♦s♦♥s ♥s tt ét q ♦♦♥ ♥tr♥t ♥q♠♥t ♦♠♠ ♥ t q s♣♣♦rt ♥

♦r ① r sé♠ts ♥ ①♠♣ ♦♦♥♥ s rs q ♥tr♥♥♥t

A

a

ax

sF

sM

r ♦tè♥♠♥t ♦ ♣r ♦♦♥♥ ~Fs t ~Ms s trs ♦r t ♠♦♠♥t①rés ♣r ♥ ♦♦♥ sr ♦

P

~ua st é♣♠♥t ♣♦♥t A ♦ ♥ré♠♥t ♦r ① ~Fs ①ré ♣r ♦♦♥

st

~dF s = −Kb

(

~a · ~dua)

~a

tt rt♦♥ s①♣r♠ tr♠♥t ♣r éqt♦♥ ♦ù S st ♥ ♠tr s②♠étrq

~dF s = −S ~dua avec S = Kb (~a⊗ ~a)

♠♦♠♥t ①ré ♣r ♦♦♥ sr ♦ st ♦rs

~dMs = −~xa ∧ S ~dua

Pr rs ♥♦s r♦♥s é♣♠♥t ♣♦♥t A ① ♥♦♥♥s ♣r♥♣s ♣r♦è♠

éqt♦♥ ♠♦♠♥t ♦ ♥ ♦r♣s r ♥ é♥ss♥t ra t q ∀~b ra~b = ~b ∧ ~xa ♥♦s♦♥s

~dua = d~U + ra d ~W

♥t q S st ♥ ♠tr s②♠étrq t q ra st ♥ts②♠étrq ♦♠♥s♦♥ s éq

t♦♥s t ♣r♠t r s ♥ré♠♥ts s ♦rs t ♠♦♠♥ts ①rés ♣r

s♦tè♥♠♥t ♥ ♦♥t♦♥ s ♥♦♥♥s ♣r♥♣s ♣r♦è♠ ♦♠♠ st

~dF s = −S ~dU − T ~dW

~dMs = −T t ~dU −Q ~dW

T = S ra et Q = rta S ra

♠tr rté E ♣♦r ♥ ♦♦♥ st ♦rs

E =

[

S T

T t Q

]

st ♥ ♠tr s②♠étrq st ♦♥st♥t r ♦♥ s♣♣♦s q ♦ ♦♠♣♦rt♠♥t

♦♦♥ rst ♥s ♣s éstq P♦r ♣srs ♦♦♥s ♠s ♥ ♣ s ♠trs r

tés ♦rrs♣♦♥♥ts st♦♥♥♥t st ss ♣♦ss ♥térr ♣srs t②♣s s♦tè♥♠♥t

♥ t♦♥♥♥t rs ♠trs rté rs♣ts ♣ss s ♣r♠ètrs ♥ s♦tè♥♠♥t

♥♦♠r ♥trs rtérstqs à ♠tr ♦ E st t à ①térr ♦

q rç♦t ♣rt tstr ♠tr E ♥s q r é♦♥♥♠♥t λ à ♣rtr

q E st ♦té à G tt♦♥ s♦tè♥♠♥t


♥s ♣rr♣ ♥♦s ♥②s♦♥s t é♦♣ t♠♣♦r ♦① ♥♦♠r ♣s

t é♦♣ s♣t ♦① ♠ s s sr s réstts ♦♥


♥ér

Pr ♦♥strt♦♥ ♠♦è ès q st♦rq ♦♣(

~U , ~W)

st ♦♥♥ st

♣♦ss r ♥ ♦♥t♦♥ λ t ♥ t♦t ♣♦♥t ~x sr ΣJ t♦ts s r♥rs

♠é♥qs ♥ t st♦rq é♣♠♥t ♥ t♦t ♣♦♥t ♥ ♦♥t♦♥ λ st ét

rt♦♥ ~u = ~U + ~W ∧ ~x ♥ ♣t ♥st étr♠♥r st♦rq s ♦♥tr♥ts ~σ st ♣♦r

♥térr s ♦s ré♦♦qs ♥ré♠♥ts s♥t q ♣♦r λ = 0 ♥♦s ♦♥♥ss♦♥s ~σ = ~σ0

♦♥séq♥ tt rtérstq ♠♦è st q ♣♦r étr s♥sté s

réstts à srétst♦♥ t♠♣♦r é♦♣ t♠♣s ♥é♠tq λ t s♣t ♠

st ♥②sr st♦rq s s① ♦♥t♦♥s srs λ q s♦♥t s ♦♠♣♦s♥ts tr♥st♦♥~U t r♦tt♦♥ ~W ♦

①♠♣ été

♦ ♦s ♣♦r tt ♥②s s♥sté ♥ ♦r♠ tétrérq é♥ ♣r s s♦♥

t♥tés rt♦♥s ♣♥ rs♣ts 0 120 t 240 t ♣♥s rs♣ts 60 23 t

41 t ♥ r ΣL ♦r③♦♥t s♦♠♠t st sté à ♥ tr ♠ à ♣rtr ΣL tt

♦r♠ é♦♠étrq ♥♥é ♣r♠t ♦r ♥ r♦tt♦♥ ♦ ♥ ♠rqé ♦s ♦♥sér♦♥s ♥

♦♠♣♦rt♠♥t ②♣r♦q s ♦♥ts ♥s rt♦♥ ♥♦r♠ ♦♠♠ rté ♥♦r♠ ♥t

Kn0 = 10000MPa/m t é♣ssr ♦♥t e0 = 1mm rté t♥♥t st Kt = 1000MPa/m

P♦r ♦♠♣♦rt♠♥t ♥ ss♠♥t ♥♦s ♦♣t♦♥s φ = 25 t c = 0MPa

r r♣rés♥t ♦ s tr♦s ♦♥rt♦♥s ♠ étés s ♦ù

q st ♥ éé♠♥t tr♥r ♣s ♠ s ♦ù s ♠s ♦♥t ♥ ♦♥r

♠♦②♥♥ ♠ t s ♦ù ♠ ♠ été t ♦ ♦s t ❬❪

♥s ♠ ♠ ♠

r ♦ été ér♥ts ♦♥rt♦♥s ♠

srétst♦♥ t♠♣♦r

♦s r♣rés♥t♦♥s ♥s r ♣♦r s ♠ ♥ ♠ s ♦rs ♦♥r♥

♦♥♥♠♥t rts ① ♦♠♣♦s♥ts é♣♠♥t ~U t r♦tt♦♥ ~W ♥ s♥t rr

♥♦♠r ♣s ér♠♥t s♦♥ s rs t

s ♦rrs♣♦♥ à ♥ ♥ér éstq ♥ér ♥ ♣♦s♥t

Kn = Kn (σ0n) ♥ t♦t ♣♦♥t ♦ st ①t♠♥t éq♥t ♦♥ ♥ér

♥ rés♥t ♥ s ♣s ér♠♥t

s ♥st ♣s ss♥t ♣♦r r♥r ♦♠♣t ♥♦♥ ♥érté ♣r♦è♠ ♥ ♣s

srrêt ♣rès ♣r♠r ♣s ♣r é♣ss♠♥t rtèr

P♦r t ♦r st ♥♦♥ ♥ér ♠s srrêt ss ♣ré♠tré♠♥t ♥

t ♣♦r λ = 0.5 rtèr st é♣ssé ♥ r s♣érr rtèr ♣rés♦♥ q été

P

♦s très = 0.01MPa s ♥ré♠♥ts ér♠♥t ♥ s♦♥t ♣s ss♠♠♥t ♣tts

♣♦r ♥ r♦r① ♥s ♣s ♣stq

♣rtr ♦tt à ♥ t ♥♦♥ ♥érté ♦♠♣♦rt♠♥t ♦ st ♥

♣rs ♥ ♦♠♣t

♥ ♦♥s♦♥ ♣♦r ♦r ♥ réstt r♦r① t ♥ ♥♦♠r éé ♣s

♠♦♥s ♣s s t♠♣s st très rs♦♥♥ ♥érr à s sr P à

③

ISOBLOC Non Linéaire, H0=200 m, K0=0.5, Kn0=10000 MPa/m, e0=1 mm, Kt=1000 MPa/m, φ =30°, c=0 MPa

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

−0.02 0 0.02 0.04

1−

λ

Ux (mm)

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

−0.5 −0.4 −0.3 −0.2 −0.1 0

1−

λ

Uy (mm)

N=1

N=2

N=10

N=100

N=500

N=1000

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

−0.5 −0.4 −0.3 −0.2 −0.1 0

1−

λ

Uz (mm)

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 0.04 0.08 0.12 0.16

1−

λ

Wx (10−3

radians)

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 0.04 0.08 0.12 0.16

1−

λ

Wy (10−3

radians)

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

−0.02 0 0.02 0.04

1−

λ

Wz (10−3

radians)

r ♦rs ♦♥r♥♦♥♥♠♥t ♣♦r ér♥ts ♥♦♠rs ♣s

srétst♦♥ s♣t

P♦r ♥ ♥♦♠r ♣s ér♠♥t ♥♦s r♣rés♥t♦♥s ♥s r s ♦rs

♦♥r♥♦♥♥♠♥t ♥ ♦♥t♦♥ s ♦♠♣♦s♥ts ~U t ~W ♣♦r s tr♦s s srétst♦♥

s♣t érts ♥s r

♦s r♠rq♦♥s q réstt st très ♣ s♥s ♠ ♥ t s♥s ♠

♥ tr♥ ♣r ♦♥♥ ♥ réstt q s r♣♣r♦ ♦♣ s ♠ ss

♥ ♠ très ♥ ♠ st ①t♠♥t éq♥t ♥ ♠ r♦ssr

♠ ♣♣♦♥s q s éé♠♥ts tr♥rs tsés ♥s ♦ s♦♥t à s♣t ♣♦♥ts

ss ♥♦♠r éé ♣♦♥ts ss ♣r tr♥ ♣r♠t ♦♥ ♦r ♥ ♥tért♦♥ ss③

♣rés s rs ♥♦♥ ♥érs ♥s s♣ s♥s ♥ésstr ♥ é♦♣ très ♥ ♦♥♥t ♣♥

♥t s♦♥r q é♦♣ ♥ tr♥s ♦ qrtèrs r♦♥tèr ♦ ΣJ t ΣL

♦t r♣rés♥tr ♠① ♣♦ss r é♦♠étr s srs ♥ss ♦ srétst♦♥

é♣♥ ♦♥ ♦rr ss sr

ts ♣r♠étrqs

ISOBLOC Non Linéaire, N=1000, H0=200 m, K0=0.5, Kn0=10000 MPa/m, e0=1 mm, Kt=1000 MPa/m, φ =30°, c=0 MPa

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

−0.02 0 0.02 0.04

1−

λ

Ux (mm)

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

−0.5 −0.4 −0.3 −0.2 −0.1 0

1−

λUy (mm)

Sans mailles

d=1

d=0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

−0.5 −0.4 −0.3 −0.2 −0.1 0

1−

λ

Uz (mm)

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 0.04 0.08 0.12 0.16

1−

λ

Wx (10−3

radians)

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 0.04 0.08 0.12 0.16

1−

λ

Wy (10−3

radians)

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

−0.02 0 0.02 0.04

1−

λWz (10

−3 radians)

r ♦rs ♦♥r♥♦♥♥♠♥t ♣♦r ér♥ts ♥stés ♠

ts ♣r♠étrqs

♥s ♣rr♣ ♥♦s ♣r♦é♦♥s à ♣♣t♦♥ ♠♦è ♦♥ ♥ér ♥

♦♠♣r♥t ♠♦è ♥ér s éts ♣r♠étrqs s♦♥t tés ♣♦r ♠♦♥trr ♥♥ s

♣r♠ètrs ♥tr♥♥t ♥s ♦ ♥♦r♠ ②♣r♦q ♥ r♦tt♠♥t t ♥

t♥ sr ♦r♠ ♦r ♦♥r♥♦♥♥♠♥t ♦ s ♥ts ♠♦è ♥♦♥

♥ér ♣r r♣♣♦rt ♠♦è ♥ér s♦♥t ♠s ♥ é♥

♣r♠r ♦ ♦♥séré st ♠ê♠ q ♦ été ♥s ♣tr ♥st ♥ tr ♣♦

st♦♥ ♦ t♦r t♥♥ st été ♥ ♥②s♥t ♥ ét é♦t♦♥ s ♦♥tr♥ts ♣stqs

sr ss s s ① ♦♥rt♦♥s s♦♥t strés ♥s r

r s ♦♥rt♦♥s é♦♠étrqs s ♦s étés

P

t ♥ ♦ s②♠étrq s ♦♥tr♥ts ♥ts s♦tr♦♣s

♦♥sér♦♥s ♦ t♦t été ♥s ♣tr ♦ t ♣♣q♦♥s ♣♦r ♦ ♠ét♦

♦♥ ♥ér ♥ ♦♠♣r♥t réstt ♠ét♦ ♥ér P♦r s

♦♥tr♥ts ♥ts ♥♦s ♦♥sér♦♥s ♥ ♣r♦♦♥r H = 200m t ♥ r ♥q r♣♣♦rt s

♦♥tr♥ts ♦r③♦♥ts t rts ♥ts K0 = 1

Psrs ♦s ♦♠♣♦rt♠♥t s ♦♥ts s♦♥t étés

♦♥t ♥ér éstq st té ♥ ts♥t ♠♦è ♥ér é♦♣♣é

♥s ♣tr

♦♥t ♥ér ést♦♣stq ♥♦ ♠♦è st ♣♣qé ♥ ♣r♥♥t ♣♦r é♣ssr ♠①

♠ ♦♥t ♥ r très éé ♣r♦ ♥♥ t ♥ rté ♥♦r♠

Kn0 = Kn (σ0n) ♥ t ♦rsq s②♠♣t♦t ♦ ♥♦r♠ ②♣r♦q ♥ r

♣rsq ♥♥ tt ♦ ♥t éq♥t à ♥ ♦ ♥ér ♣♥t Kn0

♦♥t ♥♦♥ ♥ér éstq st té ♦♥ ♥ér rtèr

éstq st ssré ♥ ♥tr♦s♥t s ♣r♦♣rétés rts rtèr ♦r♦♦♠ très

éés ♦és♦♥ ♦ ♥ r♦tt♠♥t

♦♥t ♥♦♥ ♥ér ést♦♣stq ♠♦è ♦♥ ♥ér st tsé ♦ s♥s

♣rs ♥ ♦♠♣t t♥

♦t♦♥s q ♦♥t ♥ér éstq ♣t êtr é♠♥t té ♥ ts♥t

♦♥ ♥ér ♣rs ♥ ♦♠♣t à ♦s ♥ é♣ssr ♣rsq ♥♥ ♦♥t t ♥ ♦és♦♥

♣rsq ♥♥ ♦ ♥ ♥ r♦tt♠♥t ♣r♦ 90

♦① s ♣r♠ètrs ♣♦r s ♦s ♦♠♣♦rt♠♥t s ♦♥ts ♠ê♠ rté t♥♥

t st ♦♣té ♥s ♠♦è ♥ér t ♥♦♥ ♥ér s♦t Kt = 1000MPa/m

♦♥r♥♥t ♦♠♣♦rt♠♥t ♥♦r♠ ♣♦r q ♥ér s♦t ♦♠♣r

♦♥ ♥ér s ♣r♦♣rétés ♦ ♥♦r♠ ②♣r♦q Kn0 t e0 ♥

♥ ♣♦♥t ♦♥♥é ♦♥t êtr ♦ss ç♦♥ à q rté Kn (σ0n) ♥ ♣♦♥t t♥♥t à

♦ ♦♠♣♦rt♠♥t ♥♦r♠ ét ①t♦♥ s♦t é à rté ♥♦r♠ Kn ♦

♦♠♣♦rt♠♥t ♥♦r♠ ♥ér

♥s ♥♦tr s ♦♥tr♥t ♥♦r♠ ♥t σ0n st ♥é♣♥♥t rt♦♥ s s ♣sq

s ♦♥tr♥ts ♥ts s♦♥t s♦tr♦♣s σ0n = σ0z = −ρg(H − z)) rt♦♥ st ♥q♠♥t sé

♣r rté t ♦♥ ♣t êtr ♥éé r s ♠♥s♦♥s ♦ s♦♥t ♣tts ♣r r♣♣♦rt à s

♣r♦♦♥r

♥s ♣♦r t♦s s ♣♦♥ts ♦ ♥♦s ♦♥s ♦♣tr ♥ t♦t ♣♦♥t ♥ ♠ê♠ rté

Kn(σ0n) = Kn q ♦rrs♣♦♥ à ♦♥tr♥t σ0n = −4.875MPa ♦♥tr♥t ♥♦r♠ ♥t ♠♦②♥♥

P♦s♦♥s Kn = 10000MPa/m q ♦rrs♣♦♥ s Kn/Kt = 10 été ♥s ♣tr

t♥t ♦♥♥é ♥ r♠tr ♠①♠ ♦♥t e0 Kn0 à ♦r♥r ♦ s

t ♥ rés♦♥t éqt♦♥

♥ ♣t ♦rs étr♠♥r ♣srs ♦♣ts Kn0 e0 ç♦♥ à ♦r Kn(σ0n) = 10000MPa/m

♦s ♦sss♦♥s étr s ① s s♥ts

• e01 = 2mm Kn01 = 3353MPa/m

• e02 = 5mm Kn02 = 7930MPa/m

r r♣rés♥t ♦ ♦♠♣♦rt♠♥t ♥♦r♠ ♦♥t s ♣r♠ètrs ♦ss P♦r tr

r s ♦rs ♥♦s ♦♥s ♣rs ♦♠♠ ♦r♥ s é♣♠♥ts ♣♦♥t ♦rrs♣♦♥♥t à ♦♥tr♥t

ts ♣r♠étrqs

♥♦r♠ ♥t σ0n ♥ ♣♦♥t s ① ♦s ②♣r♦qs s♦♥t t♥♥ts à ♦ ♦♠

♣♦rt♠♥t ♥ér

tt r ♠♦♥tr r♠♥t q ♦rsq é♣ssr ♦♥t r♠tr ♠①♠ ♠♥t

♦ ②♣r♦q t♥ à s r♣♣r♦r ♦ ♥ér

−50

−40

−30

−20

−10

0

0 0.001 0.002 0.003 0.004 0.005

σn (

MP

a)

∆un (m)

Lois de comportement normal avec Kn(σ0n)=10000 MPa/m

(0,σ0n) Hyperbolique : Kn0=3353 MPa/m, e0=2 mm

Hyperbolique : Kn0=7930 MPa/m, e0=5 mm

Linéaire : Kn=10000 MPa/m

r ér♥ts ♦s ♦♠♣♦rt♠♥t ♥♦r♠ ♠ê♠ rté ♥♦r♠ à ♦r♥

♦♥r♥♦♥♥♠♥t ♥ éstté

t st ♠♦♥trr ♥♥ rtèr ♥♦♥ ♥ér ♦ ♥♦r♠ ②

♣r♦q sr ♠♥s♦♥♥♠♥t s♦tè♥♠♥t ♥s r st r♣rés♥té t①

♦♥♥♠♥t (1− λ) ♥ ♦♥t♦♥ é♣♠♥t rt ♦ ♥s s ♥ ♦♥t ♥ér t

éstq s ♣rés♥té ét ♣rr♣ t ♥s s ♥♦♥ ♥ér éstq s

P♦r ♦ s②♠étrq s ♦♥tr♥ts ♥ts s♦tr♦♣s t ♥ ♠♦♠♥t ~M0 ♥ ♠♦♠♥t

st rt rs s s♥s r♦tt♦♥ ♥s tr é♣♠♥t st ♠ê♠ ♥ t♦t ♣♦♥t

♦ ♦♠♠ s♦tè♥♠♥t êtr ♠s ♦rt♦♦♥♠♥t à sr r r ♦♥sérr

é♣♠♥t ♥♦r♠ ♥ s ♣♦♥ts ΣL ♦rs s♦♥ ♠♥s♦♥♥♠♥t é♣♠♥t rt

Uz ♦ ♦rrs♣♦♥ é♣♠♥t ♥♦r♠ ♠①♠ ♥ sr r ♦ st

♦♥ tsé ♣♦r trr ♦r ♦♥r♥♦♥♥♠♥t

♣rès r ♣♦r ♥ t① ♦♥♥♠♥t ♦♥♥é é♣♠♥t st ♣s éé ♣♦r ♥

♦♥t ②♣r♦q q ♣♦r ♥ ♦♥t ♥ér Pr rs ♥ ♦♠♣r♥t s ① s ♥♦♥ ♥érs

♥♦s r♠rq♦♥s q é♣♠♥t ♠♥t ♦rsq é♣ssr ♦♥t ♠♥ ♥ t ♦rsq

é♣ssr ♦♥t ♠♥t s♦t♦♥ ♠♦è ♥♦♥ ♥ér s♣♣r♦ s♦t♦♥ ♠♦è

♥ér

♦rsq♥ s♦tè♥♠♥t st ♠s ♥ ♣ ♣rss♦♥ q ♦t s♣♣♦rtr à éqr ♦rrs♣♦♥

à ♥trst♦♥ ♦r rtérstq ♦ ♦r r s♦tè♥♠♥t

r str s ①♠♣s ♥trst♦♥ ♣♦r s tr♦s s étés ♣rss♦♥ à éqr st

♣s éé ♣♦r ♠♦è ♥♦♥ ♥ér ♦rsq é♣ssr ♦♥t ♠♥ t st ♠♥♠ ♣♦r

♠♦è ♥ér ér♥ st t♥t ♣s r♥ q rté s♦tè♥♠♥t st ♣s

P

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

1−

λ

Uz (mm)

Calcul ISOBLOC en élasticité, K0=1, Kt=1000 MPa/m

Pe1/σ0

Pe2/σ0Pe1/σ0

CAP/σ0

Pe1/σ0

Pe2/σ0Pe1/σ0

CAP/σ0

Non linéaire, Kn0=3353 MPa/m, e0=2 mm

Non linéaire, Kn0=7930 MPa/m, e0=5 mm

Linéaire, KnL=10000 MPa/m

Exemples de soutènement

r ♦rs ♦♥r♥♦♥♥♠♥t ♥ éstté ♣♦r ér♥ts ♦s ♦♠♣♦rt♠♥t ♥♦r♠ s ♦♥ts t ①♠♣ éqr s♦tè♥♠♥t

♦ q ♠s ♥ ♣ s♦tè♥♠♥t st rtré

♥s tst♦♥ ♥ ♠♦è ♥ér ♠♦è ♥♦♥ ♥ér ♣t ♦♥r à s♦sst♠r

♣té ♠①♠ s♦tè♥♠♥t à ♣ré♦r P ♦ ♥ à srst♠r tr sérté

s♦tè♥♠♥t P/Pe

♦♥r♥♦♥♥♠♥t ♥ ést♦♣stté

t st étr ♦r ♦♥r♥♦♥♥♠♥t ♦rsq rtèr ♣stté

st tt♥t r♥t ér♠♥t sr r ♣♦r s ♦♥ts à ♦♠♣♦rt♠♥t ♥♦r♠ ♥ér

s ♦ ②♣r♦q s s réstts s♦♥t ♦♥r♦♥tés ① s éstqs s t P♦r

♦♠♣♦rt♠♥t ♥♦r♠ ②♣r♦q ♥♦s ♦♣t♦♥s e0 = 2mm t Kn0 = 3353MPa/m P♦r s

s ♥♦♥ éstqs s ♣r♦♣rétés rts rtèr ♣stté s♦♥t φ = 20 t c = 0P

r r♣rés♥t s ♦rs ♦♥r♥♦♥♥♠♥t ♣♦r s ér♥ts s ♦s r

♠rq♦♥s q ♣♦r s ① s ♥♦♥ éstqs ①st ♥ t① é♦♥♥♠♥t à ♣rtr q

♣♥t ♦r ♦♥r♥ st ♥ s♦♥t♥té t ♥ré♠♥t é♣♠♥t ♦

♠♥t s♥t♠♥t st ♥ t λglob é♥ ♥s ♣rr♣ q st é

♥s s à λcrit ♦♠♠ ♦♥ rr ♣r st ♥s s ♥trst♦♥ ♦r rtérstq

s♦tè♥♠♥t ♣♦r ♥ t① ♦♥♥♠♥t ♥érr à 1−λglob ♣rss♦♥ s♦tè♥♠♥t

à éqr sr ♥tt♠♥t ♣s éé ♣♦r ♠♦è ♥♦♥ éstq q ♣♦r ♠♦è éstq

st r ♥s s ♦♥ts à ♦♠♣♦rt♠♥t ♥♦r♠ ♥ér ♦♠♠ ♥s s ♦♥ts à

♦♠♣♦rt♠♥t ♥♦r♠ ②♣r♦q

Pr rs ♠♣t é♣♠♥t ♣stq ♥s s ♦♥ts ②♣r♦qs st ♥tt♠♥t

♣s éé q ♥s s ♦♥ts ♥érs ♥s s ♣stt♦♥ st ♠♦ésé ♥ ♦

♦♠♣♦rt♠♥t ♥♦r♠ ♥ér ♠♥s♦♥♥♠♥t s♦tè♥♠♥t st ♠♦♥s sértr q

tst♦♥ ♥ ♦ ②♣r♦q

♥trst♦♥ ♦r rtérstq s♦tè♥♠♥t ♥s ♣s éstq ♣s

rté s♦tè♥♠♥t ♠s ♥ ♣ ♠♥ ♦ ♣s s ♠s ♥ ♣ st rtré ♣s ♣rss♦♥

ts ♣r♠étrqs

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8

1−

λ

|Uz| (mm)

Calcul ISOBLOC, K0=1, Kn(σ0n)=10000 MPa/m, Kt=1000 MPa/m

Hyperbolique, élastoplastique φ=20°

Hyperbolique, élastique

Linéaire, élastoplastique φ=20°

Linéaire élastique

r ♦rs ♦♥r♥♦♥♥♠♥t ♥ ♦♠♣♦rt♠♥t ♥♦r♠ s ♦♥ts♥ér ♦ ②♣r♦q ♥ éstté ♦ ♥ ést♦♣stté

à éqr ♠♥ t ♣s tr sérté rt s♦tè♥♠♥t ♠♥t ♦t♦s ♥

♠♥♥t rté s♦tè♥♠♥t ♦♥ ♦rt rsq q ♦ ♥tr ♥s ♣s ♣stq

é♥♠♦♥s ♥♦s rr♦♥s ♣s tr q st ♣♦ss ♣♦r s♦tè♥♠♥t rt♥r ♦ ♠ê♠ s

♣s ♣stq éà été ♥t♠é

tst♦♥ ♥ ♠♦è éstq ♦♠♠ ♥s ♣tr ♣r♠t r♣érr ♠♦♠♥t ♦ù

♣stt♦♥ ♦♠♠♥ ♠s ♥♦s ♥♦♥s ♣s ♥♦r♠t♦♥s sr é♦t♦♥ ♦r ♣rès

♣rss♦♥ ♠♥♠ s♦tè♥♠♥t à ♣ré♦r s♥t ♠♦è ♥ér ♦rrs♣♦♥

♣♦♥t ♦ù ♦r ♦♥r♥♦♥♥♠♥t ♥ ♣♥t ♥s ♠♦è ést♦♣stq

♥♥ ♥ r♦tt♠♥t r r♣rés♥t ♦r ♦♥r♥♦♥♥♠♥t

♥ s♥t rr ♥ r♦tt♠♥t ♦♥t φ = 20 15 t 10 ♥ ♦és♦♥ c = 0P

♦rsq ♥ r♦tt♠♥t ♠♥ ♥♠♥t ♣♥t ♣♦r ♥ ♣s é♣♠♥t

♦ ♥s q♥ ♣s t① é♦♥♥♠♥t λ Pr ♦♥séq♥t s éqr s♦

tè♥♠♥t r♥t ♣s ♣stq ♣rss♦♥ à éqr ♠♥t ♠♥t♦♥

♥ r♦tt♠♥t

r r s tr♦s ♦rs s♦♥ r φ ♦♥r♥t ♣♦r λ t♥♥t rs rs

♠ê♠ é♣♠♥t Uz ♥ s♥t ♥ r♥ss♠♥t tt ♣rt r♠♠ ♦♥ r♠rq

♥ é♣♠♥t ♠té à ♣rtr ♥ rt♥ ♠♦♠♥t s①♣q ♥ ♥②s♥t s réstts

♥ tr♠s ♦♥tr♥ts sr sr ΣJ ♥ t ♦♠♣t t♥ s ♦♥♥és ♥♦s ♦♥s ♥

♣rt ♥ s♠♣ ♠♦♠♥t tr♥st♦♥ ♦♥t ♦♥séq♥ st q sr ΣJ é♣♠♥t st

♥♦r♠ t tr ♣rt qs ♥♦r♠té s ♦♥tr♥ts ♥ts t ♣♦s rst ♥é

t ♥♥tr♥r q ♦rsq λ st ♦s♥ ♥ ♥t ♦♥ r ♥tr♥r ♣♦s ①♣t♦♥

tt ♥é♣♥♥ Uz sàs φ ♣♦r λ ♣tt st à tr♦s rs♦♥s

• é♣♠♥t un ♥ t♦t ♣♦♥t ΣJ st ré ♥ér♠♥t à Uz ♥ ♦♥t ♦♥st♥t

♥é♣♥♥t λ q ♥st é qà ♦r♥tt♦♥

• s♥ t♥ ♦♥t à ♥ rt♦♥ ♥tr σn t un ♦ ②♣r♦q ♥é♣♥♥t

λ

P

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8

1−

λ

|Uz| (mm)

ISOBLOC Non Linéaire, Kn(σ0n)=10000 MPa/m, e0=2 mm, Kt=1000 MPa/m, ψ=0°

Elastique non linéaire

φ=20°

φ=15°

φ=10°

0

0.004

0.008

1.66 1.68 1.7

1−

λ

|Uz| (mm)

r ♦rs ♦♥r♥♦♥♥♠♥t ♣♦r ér♥ts ♥s r♦tt♠♥t

• ♥ ér♠♥t λ ♦s♥ ♦rrs♣♦♥ à σn ♣rtq♠♥t ♥ sr t♦t ΣJ Pr

♦♥séq♥t é♣♠♥t st ré à tt r t ♥é♣♥♠♠♥t φ ♦♥ Uz ♥

♥st é qà ♦ ②♣r♦q ét♥t ♦♠♠ ♦és♦♥ st ♥ ♦rsq σn t♥ rs

③ér♦ ♥ st ♠ê♠ σt = σn tanφ Pr ♦♥séq♥t ♣♦r ♥ λ t♥♥t rs ♦♥ rr à

♥ éséqr q tt ♦s t ♥tr♥r ♣♦s ♦ q ♥ ♣t ♣s êtr ♥éé

♦s ♥ ♦♥♦♥s q ♦ st ♥st t r ♣r rté ♥ s♥ s♦tè♥♠♥t

♣♦r t♦t r φ

♥♥ t♥ t♥ ♥ t q r♥t ♣s ♣stq r

r♣rés♥t s ♦rs ♦♥r♥♦♥♥♠♥t ♦ ♣♦r ① ♥s r♦tt♠♥t ér♥ts t

♥ s♥t rr ♥ t♥ ψ = 0, 5, 10 P♦r ♥ ♥ r♦tt♠♥t ♦♥♥é q q

s♦t ♥ t♥ ♥♠♥t ♣♥t ♣♦r ♠ê♠ t① é♦♥♥♠♥t λcrit

P♦r ♥ é♣♠♥t ♦♥♥é ♥s ♣s ♣stq t① ♦♥♥♠♥t st ♣s éé ♦rsq

t♥ st ♥♦♥ ♥ Pr ♦♥séq♥t s éqr s♦tè♥♠♥t ♥s ♣s

♣stq ♣rss♦♥ à éqr st ♣s éé

Pr rs ♣rés♥ t♥ ♣r♠t ♦r ♥ ♣s r♥ ♠r é♣♠♥t

♥t éstst♦♥ ♦ ♦t♦♥s ss q λinst st ♣s éé ♦rsq ♥ t♥

♠♥t ♠s tt ér♥ st très ♥s ♥♦tr s t ♥st ♣s s sr r

♥s s♥s à t♥ ♥ t sts♥t sr ♦ ♦ ♣t s tr♦r ♦♥é ♥tr s

ssrs q é♠t♥t t q s t♥t t s♦♥ ♥stté st ♦rs rtré

t été ♣stt♦♥ ♦ ♦♥sér♦♥s ♥♦ ♦ ♥ ♦♠♣♦r

t♠♥t ♥♦♥ ♥ér s ♦♥ts rtérsé ♣r Kn0 = 3353MPa/m e0 = 2mm Kt = 1000MPa/m

φ = 20 t c = 0MPa r r♣rés♥t ré♣rtt♦♥ rtèr ♣stté sr sr

ΣJ ♣♦r ér♥ts trs ér♠♥t st r q ♣stt♦♥ ♥tèr s s s t

ç♦♥ qs s♠t♥é ♣♦r λ = 0.85 ♥ t ♦♠♠ s ♦♥tr♥ts ♥ts s♦♥t s♦tr♦♣s

t q é♣♠♥t s t s♥s r♦tt♦♥ s ♦♥tr♥ts ♥ t♦s s ♣♦♥ts ♦ à ♥

♥st♥t ♦♥♥é s♦♥t qs ♥tqs

ts ♣r♠étrqs

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

0 0.5 1 1.5 2 2.5

1−

λ

|Uz| (mm)

ISOBLOC Non Linéaire, Kn(σ0n)=10000 MPa/m, Kt=1000 MPa/m

φ=20°,ψ=0°

φ=20°,ψ=5°

φ=20°,ψ=10°

φ=15°, ψ=5°

φ=15°, ψ=10°

r ♦rs ♦♥r♥♦♥♥♠♥t ér♥ts ♥s t♥

λ = 0.84 λ = 0.85 λ = 0.86

r ♦t♦♥ ♣stté sr s s ♦rs rs♠♥t ♣♦r φ = 20

tr ♣rt r r♣rés♥t ♥ ♦♥t♦♥ tr ér♠♥t é♦t♦♥

é♣♠♥t rt ♦ ♥ ♣rè é♦t♦♥ rtèr ♠①♠ ♦s s♥♦♥s ♣r

rtèr ♠①♠ r ♠①♠ rtèr ♣stté é sr t♦s s ♣♦♥ts ΣJ r

♠①♠ té♦rq rtèr st r ♥ tt♥t ♥ ♣stté ♣♣♦♥s q tt r ♣t

êtr é♣ssé ♥s ♥♠érq à s ♥tr ♥ré♠♥t ♠ét♦ ♥tért♦♥

♥s t♠♣s ♥é♠tq ♥♠♥t ♣♥t ♠ê♠ t① é♦♥♥♠♥t λcrit = 0.85

♣♦r s ① ♦rs P♦r ♦ ♥♦s ♦♥s ♦rs λcrit = λglob

♥ t s♦t♦♥ é♣♠♥t é♣♥ ♠tr ♦ s②stè♠ G tt ♠tr

st ♦♥stté ♠♦②♥♥♥t ♥térs sr s ♠trs rté ♦s K ♦♠♠

é♦♣♣ rt♦♥ K ♥ ♥ ♣♦♥t ♦♥♥é é♣♥ étt s ♦♥tr♥ts ♥

♣♦♥t ♥ t s♦♥ ①♣rss♦♥ ♥ s♥t q ♣♦♥t ♦rrs♣♦♥♥t ♣s ♣réé♥t

st ♥s ♣s éstq ♦ ♥s ♣s ♣stq t s ♣rès éqt♦♥ ♦

♦♠♠ ♣stt♦♥ ♣rsq ♥ ♠ê♠ t♠♣s ♣♦r t♦s s ♣♦♥ts sr ΣJ

♦ ♣♦r réstt ♠♦t♦♥ rté ♦ s②stè♠ Pr ♦♥séq♥t ♣♥t

P

−1.8

−1.6

−1.4

−1.2

−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1−1.8

−1.6

−1.4

−1.2

−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

Critè

re m

axim

al (M

Pa)

Dépla

cem

ent U

z (

mm

)

λ

Calcul ISOBLOC Non Linéaire, K0=1, Kn0=3353 MPa/m, e0=2 mm, φ=20°, Kt=1000 MPa/m

λcrit=0.85λcrit=0.85

Critère maximal (MPa)

Déplacement (mm)

r ♦t♦♥ é♣♠♥t ♦ t rtèr ♠①♠ ♥ ♦♥t♦♥ λ

♦r é♣♠♥t ♥ ss ♥ ♠ê♠ t♠♣s

♥ér ♦♥ ♣♦r ♦ λcrit = 0.87 tt ér♥ ♣r r♣♣♦rt à

λcrit é ♠♦è ♦♥ ♥ér st à ér♥ ♦♠♣♦rt♠♥t ♥♦r♠

♦♥t ♥tr s ① ♠♦ès Pr rs ♥s ♠♦è ♥ér ♦♠♠ ♦♥ ♥ ♣s ♥♦r♠t♦♥

r♦rs étt ♦ à ♣rtr t① é♦♥♥♠♥t rtq ♣rss♦♥ s♦tè♥♠♥t

st é rt♠♥t à t①

♦s rr♦♥s ♣r st q ♣♦r trs s ♦s ♣stt♦♥ ♣r♦rss♠♥t

s ♥ré♠♥ts é♦♥♥♠♥t ♥s s s à éstq st ♥♦r ♣s ♥ss♥t

♣sq ♥ ♣r♠t ♣s r♣érr t① é♦♥♥♠♥t λglob ♣♦r q ♦♠♣♦rt♠♥t

♦ st ♠♦é s♥t♠♥t

t ♥ ♦ ♥♥é s ♦♥tr♥ts ♥ts ♥♦♥ s♦tr♦♣s

t♦♥s ♥ tr ♣♦st♦♥ ♦ ♥ t♦r♥♥t ♥ ♥ θ = 45 t♦r ① t♥♥

st ♠ê♠ ♦♥rt♦♥ é♦♠étrq q ♦ été ♥s ♣tr s s

♦♥tr♥ts s♦tr♦♣s (K0 = 1) ♦♥♥rt qs♠♥t ♠ê♠ réstt q ♣♦r ♣r♠r ♦ ♦♠♠

♥♦s ♦♥s ♦sré ♥s ♣tr à s s②♠étr ♣r♦è♠ t t ♥é

rté t♦♥s ♦rs stté ♦ ♣♦r K0 = 0.5

♦♥ ♥ér ♦rsq s ♦♥tr♥ts ♥ts ♥ s♦♥t ♣s s♦tr♦♣s

r ♦♥tr♥t ♥♦r♠ ♥t σ0n st ér♥t s♥t ♦♥séré ♦ P♦r ♦r

♥ r ① Kn (σ0n) = 10000MPa/m sr s tr♦s s ♦ r ♦♥sérr ér♥ts

rs Kn0 t e0 ♣♦r q ♦ é♥♠♦♥s ♥♦s ♦♥s ♦♣tr s ♠ê♠s ♣r♦♣rétés

q s s ♦♥ts ♦ e0 = 2mm Kn0 = 3353MPa/m ♣♦r s tr♦s s ♦ t ♣♦r

♠♦è ♥ér rr Kn (σ0n) ♦rrs♣♦♥♥t

ét ♦♥ ♥ér sr t ♣♦r s s s♥ts

• s éstq ♦és♦♥ ①é à ♥♥

• s ♥♦♥ éstq φ = 20 t c = 0MPa

ts ♣r♠étrqs

♥ér ♦♠♣rs♦♥ ♠♦è ♥ér ♥ésst r

Kn (σ0n) ♥ t♦t ♣♦♥t ΣJ s s♥t sr éqt♦♥ Kt = 1000MPa/m ♥♦s ♦t♥♦♥s

♣♦r ♥ Kn/Kt ≃ 6.8 t ♣♦r s ① trs s Kn/Kt ≃ 6.5 ♣♣t♦♥

♥ér s r♣♣♦rts rtés t K0 = 0.5 ♠♦♥tr q ② trt♦♥ sr ♥ ♣rt ΣJ t

♦♥ ♦♥t sérté st éré ♥ réstt été ét r ♣tr

♦ù ♥♦s ♦♥s r♣rés♥té ♣♦r ♦ rt♦♥ tr sérté ♥ ♦♥t♦♥ Kn/Kt t

♣♦r ér♥ts rs K0 ♥s ♦♥r♥♥t ♥ tr sérté ét ♦

♠ét♦ ♥ér ♦♥♥ ♥ réstt ♥♦♥ r ♠ê♠ s ② trt♦♥ ♥st

♣s r♦r① ♦♥r q ♦ st ♥éssr♠♥t ♥st

Pr rs tt ♠ét♦ stté ♣t êtr ss éé ♥ s s♥t sr ♥ r

λcrit t① ér♠♥t ♠♥♠ ♣♦r q rtèr st tt♥t ♥ ♥ ♣♦♥t ♦♥♥é st

♣r♠r ♣♦♥t ♦ q ♣st q st ♦♥séré ♠ê♠ ♣rss♦♥ ♠♥♠ s♦tè♥♠♥t

Pmin st é ♥ ♦♥sér♥t ♣♦♥t ♣s rtq ♦ ♦s ♠♦♥trr♦♥s q tt ♠ét♦

q♥tt♦♥ stté ♣♦str♦r ♣rès ♥ éstq q s♦t ♥ér ♦ ♥♦♥ ♣t

♦♥r à srér ♥stté t q ♥②s ♦♥ ♥ér ♦♥♥ s ♥♦r♠t♦♥s

♣s ♣réss sr étt ♣stt♦♥ ♦

t s t① é♦♥♥♠♥t λcrit t λglob

♦♠♠ st ♥ s r♠♥t ♥♦♥ s②♠étrq r♦tt♦♥ ♥st ♣s ♥ q ♣♦♥t

r ♦ ♣♦ssè ♦rs ♥ tr é♣♠♥t ér♥t tr t q st é

s♥t éqt♦♥ ♠♦♠♥t ♦r♣s s♦ ♦s ♦sss♦♥s étr ♦♠♣♦s♥t ♥♦r♠

♥ ♥tr r ♦ ♦rsq sr ♠♥s♦♥♥r s♦tè♥♠♥t ♥♦s

♠♦♥trr♦♥s ♣r st q ♦① st sértr

r r♣rés♥t é♦t♦♥ ♦♠♣♦s♥t ♥♦r♠ é♣♠♥t un ♥

♥tr ΣL ♥ ♦♥t♦♥ t① é♦♥♥♠♥t ♥s s ♥♦♥ éstq φ = 20 t c = 0MPa

t ♥s s éstq sé♣rt♦♥ ♥tr s ① ♦rs ♣♦r λglob = 0.42 st

t① é♦♥♥♠♥t à ♣rtr q ♦♠♣♦rt♠♥t ♦ ♦ st té ♣r ♣stt♦♥

♥ ♣rt ΣJ t ♥ré♠♥t é♣♠♥t ♦ ♠♥t

r r♣rés♥t ss é♦t♦♥ rtèr ♠①♠ ♥ ♦♥t♦♥ t① ér♠♥t

♣♦r ♦♥t ♥♦♥ éstq rtèr ♠①♠ s♥♥ à λcrit = 0.27 tt r ♠rq ét

♣stt♦♥ ♦ ♦s r♠rq♦♥s q λcrit < λglob à ér♥ s ♦ ♣♦r

q s ① rs s♦♥t ♦♥♦♥s

t ré♣rtt♦♥ rtèr ♥ ♦♥t♦♥ t① é♦♥♥♠♥t

P♦r ♠① ♦♠♣r♥r é♦t♦♥ ♣stté ♥♦s ♦♥s r♣rés♥té sr r

ré♣rtt♦♥ rtèr ♣stté sr s s ♦ à ♣srs t① ér♠♥t ♥qés

sr r P♦r λ = λcrit = 0.27 rtèr st ♥ sr ♥ ♣tt ♣rt

♦ ③♦♥ r♦ t① λglob = 0.42 ♦♥ ♦sr ♣stt♦♥ ♣rsq ♥tèr ① s

♦ t ♥♦s ♦♥♥ ♣s ♠r ♣♦r r ♥stt♦♥ s♦tè♥♠♥t q s

♥♦s ♦♥sér♦♥s r ♦ù ♣stt♦♥ ♦♠♠♥ s s ♣st♥t ♥tèr♠♥t à λ = 0.7

s ♦♥tr♥ts ♥♦r♠s s♦♥t ♥s à λ ♦s♥ q s♥ q ♠♦ ♥stté st

é♦♠♥t ♥ t♦ts s s ♦

P

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

Critè

re m

axim

al (M

Pa)

Dépla

cem

ent u

n (

mm

)

λ

ISOBLOC Non Linéaire, K0=0.5, Kn0=3353 MPa/m, e0=2 mm, Kt=1000 MPa/m

λcrit=0.27 λglob=0.42

Critère maximal (MPa), joint non élastique φ=20°

un (mm), joint non élastique φ=20°

un (mm), joint élastique

r ♦t♦♥ rtèr ♠①♠ t é♣♠♥t ♥♦r♠ à r ♥♦♥t♦♥ t① é♦♥♥♠♥t

λ = 0.27 λ = 0.4 λ = 0.5

λ = 0.6 λ = 0.7

r ♦t♦♥ rtèr ♣stté sr s s ♣♦r ér♥ts t① ér♠♥t ♦rsq φ = 20 t c = 0MPa

♣rès tt ét ♥♦s ♣♦♦♥s r q t ér stté ♥ s s♥t sr λcrit st

tr♦♣ ♣ss♠st ♦rsq ♣stt♦♥ s s ♦ s t ♣r♦rss♠♥t ♥s s ♠♦

t♦♥ ♠tr rté ♦ ♥st ♣s ss③ ♠♣♦rt♥t ♣♦r ♥♥r ♦♠♣♦rt♠♥t

♦ t① λcrit

ér♥ ♠ét♦ s ♦s és ♠ét♦ s ♦s és é♥t ♠♦♠♥t

♦ ♦♠♠ ss♠♥t sr ♦r r ♥s ♣tr ♠♦è

ts ♣r♠étrqs

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4

1−

λ

un (mm)

ISOBLOC Non Linéaire, K0=0.5, Kn0=3353 MPa/m, e0=2 mm, Kt=1000 MPa/m

Début de plastificaiton, λcrit=0.27

Plastification de deux faces, λglob=0.42

Plastification entière, λ=0.7

Elastique

Non élastique, φ=20°

r P♦st♦♥s s ér♥ts t① ♦♥♥♠♥t rtqs sr ♦r ♦♥r♥♦♥♥♠♥t

♦♥ ♥ér ♥♦s r♠rq♦♥s q ♣stt♦♥ ♦♠♠♥ sr t ♠♣t

é♣♠♥t ♠♥t ♣rès ♣stt♦♥ s s t q st éq♥t à r q

ss♠♥t ♣tôt sr s ① s ♥ ér♠♥t ② ét♠♥t ♦♠♣t

♥ t♦ts s s

t t♥

r r♣rés♥t ♦r ♦♥r♥ ♣♦r ♥ ♦♥t t♥t ♥ ♦♠♣r♥t

s s♥s t♥ t s éstq ♣rs ♥ ♦♠♣t t♥ ♦♠♠ ♣♦r s ♦ù

t♥ st ♥ sé♣rt♦♥ ♣r r♣♣♦rt à ♦r ♦♠♣♦rt♠♥t éstq ♥ s t ♣s

ét ♣stt♦♥ ♦ ♠s s♠♥t à ♣rtr λ = 0.42 ♠♣t é♣♠♥t

t♥ st ♣s éé q ♣♦r ♥ s s♥s t♥ ♦♥r♥♥t ré♣rtt♦♥ rtèr sr

s s ♦♥ ♦sr q ③♦♥ ♣sté st éèr♠♥t ♠♦♥s ét♥ ♦rsq t♥ st ♥♦♥

♥

♦rs ♦♥r♥♦♥♥♠♥t ♣♦r ♣srs ♣♦♥ts r

P♦r ♦sr ♦r ♦♥r♥♦♥♥♠♥t ♣s rtq t é♠♥t ♦♠♣rr s

♦rs ♦♥r♥♦♥♥♠♥t ♦rrs♣♦♥♥t à t♦s s ♣♦♥ts r ♦ ♣♦♥t

♣s rtq st ♥ t q é♣♠♥t ♣s éé ♥s rt♦♥ t♦♥

s♦tè♥♠♥t ♥s ♥♦tr s st rt♦♥ ♥♦r♠ à r ♦ r ♥♦s s♣♣♦s♦♥s

q s♦tè♥♠♥t ♦♥stté ♦♦♥s êtr ♠s ♥ ♣ ♦rt♦♦♥♠♥t à tt

P♦r ♦r ♥ ♣r♠èr st♠t♦♥ s ♣♦♥ts s ♣s rtqs ♥♦s ♦♥s r♣rés♥té sr r

♣♦r ♦ ♥♦♥ éstq é♣♠♥t ♥♦r♠ r ♦rrs♣♦♥♥t

t① é♦♥♥♠♥t λ = 0.8 é♣♠♥t ♠①♠ st ♥qé ♣r ♦r r♦

P♦r érr s tt ③♦♥ r♦ ♣s r♥ é♣♠♥t r♥t t♦t ♣r♦sss ér

♠♥t ♥♦s ♦♥s été é♦t♦♥ é♣♠♥t ♥♦r♠ s ♣♦♥ts P P P t P ♥ ♦♥t♦♥

t① é♦♥♥♠♥t r r♣rés♥t s ♦rs ♦♥r♥♦♥♥♠♥t ♣♦r s

P

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2

1−

λ

un (mm)

Calcul ISOBLOC Non Linéaire, K0=0.5, Kn0=3353 MPa/m, e0=2 mm, Kt=1000 MPa/m

Plastification de deux faces, λglob=0.42

Elastique

φ=20°, ψ=0°

φ=20°, ψ=10°

r ♦r ♦♥r♥♦♥r♥ ♣♦r φ = 20 ♣rs ♥ ♦♠♣t

t♥ ψ = 10

r é♣♠♥t ♥♦r♠ sr r ♦ ♣♦r λ = 0.8 ♣♦r s ♥♦♥éstq

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4

1−

λ

un (mm)

ISOBLOC Non Linéaire en élasticité

P1

P2

P3

P4

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4

1−

λ

un (mm)

ISOBLOC Non linéaire en élastoplasticité (φ=20°)

P1

P2

P3

P4

r ♦rs ♦♥r♥♦♥♥♠♥t ♣♦r ér♥ts ♣♦♥ts r ♣♦r♥ éstq t ♥ ♥♦♥ éstq

♣♣t♦♥ ♠♥s♦♥♥♠♥t s♦tè♥♠♥t

qtr ♣♦♥ts ♥ ♣rt ♦rsq st éstq t tr ♣rt ♦rsq s ♦♥ts ♣st♥t

φ = 20 t c = 0MPa ♦s r♠rq♦♥s q s ♣♦♥ts q ♦♥t é♣♠♥t ♥♦r♠ ♣s

ééé ♥ s♦♥t ♣s s ♠ê♠s s♥t s ♣r♦♣rétés ♠é♥qs s ♦♥ts ♥s s éstq ♣♦♥t

P st ♣s rtq ♥s s ♦ù φ = 20 st s ♣♦♥ts P ♦ P à ♣rtr ♥ rt♥

t① é♦♥♥♠♥t st t tsr ♥tr rté ΣL ♣♦♥t P ♣♦r

♠♥s♦♥♥♠♥t s♦tè♥♠♥t ♥s s ♥♦♥ éstq

♣♣t♦♥ ♠♥s♦♥♥♠♥t s♦tè♥♠♥t

♣rr♣ ♣rés♥t ♥ ①♠♣ ♠♥s♦♥♥♠♥t s♦tè♥♠♥t ♣♦r ♥ ♦ s♦é ♦s

♦♠♠♥ç♦♥s ♣r ♦♥♥r s ♥♦t♦♥s ♣rtqs sr ♠s ♥ ♣ s♦tè♥♠♥t ♥s s ♠①

r♦① rtrés ♣♣r♦ ♦♥r♥♦♥♥♠♥t sr ♥st tsé ♣♦r ♠♥s♦♥♥

♠♥t ♥ s②stè♠ ♦♦♥♥ ♣♦r ♦ été ♦ ♣rs ♥ ♦♠♣t

s♦tè♥♠♥t sr ♥st ♣♣qé ♣♦r érr s ♦♥ rtr♦ ♥ réstt éq♥t

♦t♦♥s ♣rtqs sr s♦tè♥♠♥t s ♦s

♥s ♥ ♠ r♦① r s♦♥t♥ é♦r♠é ♥ s ♣r♦s ♥ ①t♦♥ ♥st

♣s ♦♥t♥ ♦t ♠♦♠♥t q ♣t ♦r st ré ♣r s s♦♥t♥tés Pr ♦♥séq♥t

♥stté ♥ ♦ ♦♥♥é rsq ♦r rt♠♥t ♣rès ♣ss r♦♥t ①t♦♥

♦♥ st à ért♦♥ sr ΣL ♥ ♥tr ♦♠♠ r♦ st r ♦ qs r s

é♦r♠té ♥ ♣t ♣s ♥tr♥r ♥ s s ♦ ♣♦r rtrr s♦♥ ♠♦♠♥t ♥ ♦s

q sr r st ①é ❯♥ ♠♦♠♥t qqs ♠♠ètrs s♠♥t é♥ér♠♥t

♥t q ♦ ♥ s♦t ♦♠♣èt♠♥t éstsé st s ♣r ①♠♣ ♦ φ = 20

t K0 = 1 ♦ ♦ φ = 20 t K0 = 0.5 éà étés ♥s ♣rr♣ ♥s

s♦tè♥♠♥t ♦t êtr é♠♥t ♠s ♥ ♣ ss③ tôt ♥t q r ♦ ♥ s♦t

♥tèr♠♥t ①é ♣t ♣♦sr s tés t♥qs ♠s rst ♣♦ss à résr

s tés t♥qs ♣♥t êtr réts ♥ ♠♥♠s♥t ♦♥r ♦é ♥ trs

tr♠s ♦♥ ♥ à ♣tts ♣s ①t♦♥ ♦♥t♥♠♥t à r tt ç♦♥ ♦♥ ♣r♦è

à ♠s ♥ ♣ s♦tè♥♠♥t ♥t ①♣♦sr ♦ ♥tèr♠♥t Pr rs ♦rsq♦♥

r à ♥ r ①t♦♥ rs♠♥t s t ♥ ♣srs séq♥s ♦♠♠ ért ♦ ❬❪

♥ ♦♠♠♥ ♣r ♥ ♣rt t♦t ♥st t♦tté t♦t st ①♣♦sé ♣s ♦♥ é♦

♣r♦rss♠♥t t rs s st♦♥ ♥ ①♥t s ♥s ♦r③♦♥ts tt

♣r♦ér st ♣♦ss ♥str s ♦♦♥s ♥ ♥ ♦ ♦♥♥é ♥t q s sr ΣL ♥

s♦t ♥tèr♠♥t ①é r ♠♦♥tr ♥ ①♠♣ ♠s ♥ ♣ ♣r♦rss s ♦♦♥s

①t♦♥ séq♥t ♥ r ♦rtr s♦trr♥

r s ♥ ♣ ♣r♦rss ♦♦♥s r♥t rs♠♥t ♥ r ①t♦♥ s♦trr♥ ♥s ♥ ♠ s♦♥t♥ ♣rès ♦ ❬❪

P

Psrs t②♣s s♦tè♥♠♥t s♦♥t tsés ♥s s ♠① s♦♥t♥s s ♦♦♥s à ♥r

♣♦♥t ♦ ré♣rt ♥t ét♦♥ ♣r♦té t r

♥ ttr s♦tè♥♠♥t s♦t ♥ rô s♣♣♦rt s♦t ♥ rô ♦♥♥♥t s♦t s ① à

♦s ♥s s ♠① s♦♥t♥s ♦♥ ♦♥sèr ♥ é♥ér q s ♦♦♥s ♦♥t r ♥ t♥t q

s♦tè♥♠♥t ♣♦rtr ♣rès és♦rst♦♥ ♦ ♠ss r♦① s ♥tr♥♥♥t ♣♦r

rr ♦ r♦é ♠ss r♦① tt ♦q ♥t t q♥ é♥ér ♥s s

♠ét♦s ♦♥♥t♦♥♥s ét stté s ♦s ♠ét♦ à éqr ♠t ♦♥ ♥♦r s

♦♥tr♥ts ♥ st t ♦♥ ♦♥sèr q st ♥q♠♥t ♣♦s ♦ q ♥r s♦♥ ♥stté

♥s ♣rr♣ s♥t ♥♦s ♦♥s ♠♦♥trr q s♦tè♥♠♥t ♣t ♦r ♥ rô ♦♥♥♥t ♣♦r

♦ srt♦t ♦rsq s rté st éé

t ♥ sé♠ ♦♦♥♥

♦ été st ♦ K0 = 0.5 t s ♦♥ts ♥♦♥ ♥érs ♦♥t s rtérstqs s♦♥t

e0 = 2mm Kn (σ0n) = 10000MPa/m Kt = 1000MPa/m φ = 20 t c = 0MPa ♦ été tr♦é

♥st s♥s s♦tè♥♠♥t à ♥ ér♠♥t r λinst < 1 ♣rès ét t

♣rr♣

♣♣t♦♥ ♠ét♦ ♦♥r♥♦♥♥♠♥t

♦s ♦♥sér♦♥s ♥ s♦tè♥♠♥t ♣r s ♦♦♥s à ♥r ♣♦♥t ♣♦r ♦ t②♣

♦♦♥ st s♦t ♥ré ♥ ♥r ♠é♥q ♦q s♦t rés♥ sr ♥ très

♦♥r ♣s srré ♣rès s♦♥ ♥stt♦♥ ♦s ♥é♦♥s ♣♥♥t rô s♦tè♥♠♥t t

q ♣t ♦r t ♦♥sér♦♥s ♥q♠♥t q tr ♦♠♠ ♥ s♦tè♥♠♥t ♣ss ♥ trt♦♥

♥t tt♥r s ♣té ♠①♠ ♦♦♥ ♦♠♣♦rt♠♥t ♥ t éstq rss♦rt

♦♥t rté ① s ♣r

Kb =EπD2

4L

E ♠♦ ❨♦♥ r D ♠ètr t t L s ♦♥r

P♦r ♥♦tr ét ♥♦s ♦♣t♦♥s E = 210000MPa D = 25mm L = 3m rté ①

♦♦♥ st ♦rs Kb = 34.34KN/mm

s ♦♦♥s ♦♥t ♦r ♥ ♦♥r q ssr ♥r ♦ ♥s ♠ss r♦①

tr ♠①♠ ♦ été ét♥t 2m st ♦① ♥ ♦♥r 3m ♣té

♠①♠ st r♠♥t ♠①♠ q ♣t s♣♣♦rtr ♥ ♦♦♥ ♥t s r♦♠♣r ♥ st♠

♣♦r s ♦♦♥s ♠♠ ♠ètr à Cb = 230KN

Pr rs ♥♦s ♦♥s rs♦♥♥r ♥ ♥♦♠r ♦♦♥s ♣r m2 ♦rsq♥ ♥♦♠r Nb ♦♦♥s

st ♥sté rté ♥s♠ Ks st s♦♠♠ s rtés q ♦♦♥ t ♣té

♠①♠ ♥s♠ P st s♦♠♠ s ♣tés q ♦♦♥ ♦ù s rt♦♥s

Ks = KbNb t P = NbCb

♦s ♦♥sér♦♥s q s ♦♦♥s s♦♥t ♣és ♦rt♦♦♥♠♥t à sr r r r

s♦♥t trés s ♦rs rtérstqs s♦tè♥♠♥t ♣♦r ér♥ts ♥stés ♦♦♥s ♥stés

♣rès 0.1mm é♣♠♥t ♦ ♥ r♣rés♥t ♥ t é♦t♦♥ t① ♦♥♥♠♥t

①ré ♣r s♦tè♥♠♥t r♣♣♦rt ♥tr s r t ♦♥tr♥t ♥♦r♠ ♥t ♥ ♦♥t♦♥

s♦♥ é♣♠♥t

s ♦rs ♥trst♥t ♦r ♦♥r♥♦♥♥♠♥t ♣♦r ♦♥♥r étt é♣♠♥t

t ♦♥♥♠♥t ♠♦♠♥t éqr s♦tè♥♠♥t P♦r t♦s s s étés ♣rss♦♥

♣♣t♦♥ ♠♥s♦♥♥♠♥t s♦tè♥♠♥t

à éqr st ♥érr à ♣té ♠①♠ s ♦♦♥s tr sérté s♦tè♥♠♥t

r♣♣♦rt ♥tr s ♣té ♠①♠ t ♣rss♦♥ à éqr st ♥qé sr r ♥ ♥ ét

q s ♦♦♥s rst♥t ♥ éstté

s ♦♦♥sm2 st é♠♠♥t ♦♠♣èt♠♥t rrést st ♦♥♥é à ttr ♥t ♣♦r

♠♦♥trr q ♣♦r ♦r ♥ éqr ♦rs ♣s éstq ♦ t ♦r ♥ rté

s♦tè♥♠♥t très éé q♦♥ ♥ ♣t é♥ér♠♥t ♣s ssrr ♥ t ♠ê♠ ♥♦♠r

♦♦♥s ♦r s♦tè♥♠♥t ♥trst ♦r ♦♥r♥♦♥♥♠♥t ♣rès s sé♣rt♦♥

♦r ♦rrs♣♦♥♥t s éstq

P♦r ♥ s♦tè♥♠♥t ♦♦♥♠2 ♥trst♦♥ à ♥ très t① ♦♥♥♠♥t

♦♠♠ ♦♥ trt♦♥ sr t♦ts s s ♦ ♣♦r t① ♦ st s♣♣♦sé êtr ♦♠♣èt♠♥t

♥ étt é♦♠♥t t ♥s s ♦♦♥s ♦♥t ♥ rô ♣♦rtr ♥s s

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4

Taux d

e c

onfinem

ent (

1−

λ)

Un (mm)

ISOBLOC Non Linéaire et soutènement avec des boulons de rigidité Kb=34 KN/mm

FS=11.5

FS=7

FS=3

FS=11.5

FS=7

FS=3

FS=11.5

FS=7

FS=3

FS=11.5

FS=7

FS=3

Courbe de convergence élastique

Courbe de convergence, φ=20°

Courbes de soutènement : 1 boulons/m2

4 boulons/m2

50 boulons/m2

r ♦r ♦♥r♥♦♥♠♥t t ♥trst♦♥ s ♦rs rtérstqs s♦tè♥♠♥t

♦t♦♥s q ♥s tt ét ♥♦s ♦♥s s♣♣♦sé q ♥stt♦♥ s ♦♦♥s st t ♣rès

0.1mm é♣♠♥t ♦ q ♦rrs♣♦♥ à ♥ t① é♦♥♥♠♥t λ = 0.15 st

éq♥t à r q ♦♥ ♥sté s ♦♦♥s tôt ♥t ér♠♥t ♦♠♣t r

♦♠♣rs♦♥ s ♠ét♦s à éqr ♠t

s ♠ét♦s ♦♥♥t♦♥♥s ♦ s♦és ♠ét♦s s ♦s ❯❲ t

♠♣t é♣♠♥t ♥st ♣s ♦♥♥ t s♦tè♥♠♥t st ♠♥s♦♥♥é ♥ ♦♥sér♥t ♥

q♠♥t s ♣té ♠①♠ s♥s ♣r♥r ♥ ♦♠♣t s ♦ ♦♠♣♦rt♠♥t ♦t♦s s ♣té

♠①♠ ♥st ♣s ♥éssr♠♥t ♠♦sé ♥ rété ♦♠♠ ♠♦♥tr r ♦r

rtérstq s♦tè♥♠♥t st ♥♦r ♥s ♣s éstq ♠♦♠♥t éqr ♥tr ♦

t s♦tè♥♠♥t s ♠ét♦s ♥trt♦♥ ♦strtr st ♥♦ré ♥s q rô ♦♥♥♥t

q ♣t ①rr s♦tè♥♠♥t sr ♦

s♦tè♥♠♥t st ♠♥s♦♥♥é ♥ ♦♥sér♥t ♥q♠♥t ♣♦s ♦ q st

P

t s♥s ♣r♥r ♥ ♦♠♣t ♣♦ssté r♣tr ♦♦♥ ♣r s♠♥t ♥ s ♦♦♥ srt

ss♥t ♣♦r stsr t♦t ♦ ♣rès s ♠ét♦s ♥ ttr ♦rs ♥ rô ♣♦rtr

♣rs ♥ ♦♠♣t s♦tè♥♠♥t ♥s

♦ ♦♥ ♥ér ♣rs ♥ ♦♠♣t s ♦♦♥s st tsé ♥ ♦♠♣rr

s♦♥ réstt à ♠ét♦ ♦♥r♥♦♥♥♠♥t P♦r ♠tr rté

s♦tè♥♠♥t ♥♦s é♥ss♦♥s s ♦♦♥s ♥ à ♥ ♣♦r ♥ s ♣♦st♦♥ t s rt♦♥

♦t♦s ét♥t ♦♥♥é qs s♦♥t t s♣♦sés ç♦♥ réèr ♥ sr

①t♦♥ s②♠étr tt ♦♥rt♦♥ ♥♦s ♣r♠s s r♠♣r ♣r ♥ s ♦♦♥

②♥t ♥ rté éq♥t t ♦rt♦♦♥ à sr r ♥ s♦♥ ♥tr r r♣rés♥t

s ♦r♦♥r♥♦♥♥♠♥t ♦rrs♣♦♥♥t à ér♥ts sé♠s ♦♦♥♥ s♥t q

s♦tè♥♠♥t été té à λ = 0.15

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4

1−

λ

Un (mm)

ISOBLOC Non Linéaire et soutènement avec des boulons de rigidité Kb=34 KN/mm

Convergence−confinement : sans boulons

1 boulon/m2

4 boulons/m2

50 boulons/m2

Courbes de soutènement : 1 boulons/m2

4 boulons/m2

50 boulons/m2

r ♦♥r♥♦♥♥♠♥t ♦ ♣rès ♥stt♦♥ ♥ sé♠ ♦♦♥♥

P♦r s ♦rrs♣♦♥♥t à ♥stt♦♥ ♥ ♦♦♥♠2 rté s♦tè♥♠♥t ♥st ♣s ss③

éé ♣♦r ♦srr ♥ ♠♦t♦♥ ♥♦t t♥♥ ♦r ♦♥r♥ ♦rsq

rté s♦tè♥♠♥t ♠♥t é♣♠♥t ♦rrs♣♦♥♥t à ♥ t① é♦♥♥♠♥t ♦♥♥é

s♣érr à λ = 0.15 ♠♥ ♦♦♥sm2 ♦♥ ♦sr ♥ ♠♣♦rt♥t ♥♠♥t ♣♥t

♣r r♣♣♦rt à ♦r s♥s ♦♦♥♥

♦s s♣r♣♦s♦♥s à s ♦rs s ♦rs r s♦tè♥♠♥t ♦s r♠rq♦♥s q ♣♦r

t♦s s s étés é♣♠♥t ♦ s♦tè♥♠♥t à ♥ ér♠♥t

r λ = 1 ♦ï♥ ①t♠♥t é♣♠♥t ♣♦♥t éqr tr♦é ♠ét♦

♦♥r♥♦♥♥♠♥t ♣r♠t r ♠ét♦ tsé ♣♦r ♠♣é♠♥tr s♦tè♥♠♥t

♥s

♥t ♠ét♦ ♠♦ést♦♥ s♦tè♥♠♥t ♥ ♥tér♥t ♦ ♣r

r♣♣♦rt à ♠ét♦ ♥trst♦♥ st q♦♥ rr à r♥r ♦♠♣t ♥trt♦♥ ♥tr s♦

②♥tès

tè♥♠♥t t ♦ r♥t ér♠♥t r t ♥♦♥ ♣s ♥q♠♥t ♠♦♠♥t

éqr ♦s ♦♥s ♥s ♣s ♥♦r♠t♦♥s

②♥tès

♥s ♣tr s ♠é♦rt♦♥s ♠♦è ♥ér ♣rés♥té ♥s ♣tr

♦♥t été ♣♣♦rtés sàs ♦ ré♦♦q s ♦♥ts ♠♣é♠♥té ♥♦ ♠♦è

♦♥ ♥ér ♣r♠t ♥ ♥②s ♣s rést ♦♠♣♦rt♠♥t ♦ ♥ ♣r♥♥t ♥ ♦♠♣t s

♣♦♥ts s♥ts

• ♥ ♦♠♣♦rt♠♥t ②♣r♦q ♦♥t ♥s rt♦♥ ♥♦r♠

• ♦♥t♦♥ ♦♥tt ♥tér q s♥ q s ♦♥tr♥ts ♥♦r♠s ♥ ♣♥t qêtr

♥éts ♦ ♥s

• ♥ ♦♠♣♦rt♠♥t ést♦♣stq ♣rt ♦♥t ♥s rt♦♥ t♥♥t ♥ rtèr

♦r♦♦♠ φ t

• t♥ ♦♥t ♥s ♣s ♣stq ♥ ♣♦t♥t ♦♦♠ ss♦é à ♥

t♥ ψ

♦ ♦♠♣♦rt♠♥t ♦♥t ♣r♠t ①♣r♠r rt♦♥ ♥tr é♦t♦♥ s ♦♥tr♥ts t

s é♣♠♥ts ♥ ♥ ♣♦♥t ♦♥♥é ♥s ♣s éstq ①♣rss♦♥ st s♠r à

♦♥♥é ♥s s ♦♠♣♦rt♠♥t ♥ér éstq tsé ♥s ♥ér s q

rté ♥♦r♠ ♦♥t ♥st ♣s ♦♥st♥t ♠s é♣♥ ♦♥tr♥t ♥♦r♠ ♥s ♣s

♣stq ①♣rss♦♥ ♦ st ♦t♥ ♥ é♦♠♣♦s♥t é♣♠♥t ♥ ♥ ♣rt rérs

t ♥ ♣rt éstq ♦♥t ①♣rss♦♥ é♣♥ ♣♦t♥t ♣stq ss♦é à t♥ t

rtèr ♦r♦♦♠ ♥ s é♦♠♥t ♥♦s ♦♥sér♦♥s q ♦♥t ♥♥tr♥t ♣s t s

♠tr rté st ♥

♦♠♥s♦♥ s éqt♦♥s éqr ♥ tr♠s rt♦♥s ♦ ♦♠♣♦rt♠♥t

s ♦♥ts t éqt♦♥ ♠♦♠♥t ♦r♣s s♦ ♣r♠t ♦tr à ♥ s②stè♠ ♥ér

♦♥t s ♥♦♥♥s s♦♥t s tsss é♣♠♥t t r♦tt♦♥ ♦ ♣r r♣♣♦rt tr

ér♠♥t λ t♠♣s ♥é♠tq ♠tr rté s②stè♠ é♣♥ à t♦t ♠♦♠♥t s

♦♥tr♥ts ts t ♦♥ é♣♠♥t ♠ét♦ ♥♠érq ♦s ♣♦r étr♠♥t♦♥

s ♥♦♥♥s ♣r♥♣s st ♥ ♥tért♦♥ ①♣t ♥s t♠♣s s ♣s ♦♥st♥ts dλ = 1/N

N ét♥t ♥♦♠r ♣s ♦♥r♥♥t ♥tért♦♥ ♥s s♣ ♠ét♦ s ♣♦♥ts ss st

tsé ♦♠♠ ♥s ♣tr

♥♦ ♠♦è st ♣♦ss sr ♦♠♣♦rt♠♥t ♦ ♥s ♣s ♣stq

t♦t ♠♦♠♥t s ♦♥tr♥ts s♦♥t sttq♠♥t ♠sss à s ♣♣t♦♥ s

éqt♦♥s éqr t ♣stq♠♥t ♠sss st rrêté ès ♦rs q tt ♦♠♣tté

♥st ♣s rs♣té q st ♦♠♣♦sé ♠♦è ♦♥ ♥ér ♣t ♣r♥r ♥ ♦♠♣t

♥♠♣♦rt q tr ♦ ré♦♦q ♦♥t q ést♦♣stté ♥♦♥ ♥ér ♣rt tsé ♥s

♣tr

❯♥ ét s♥sté ♦♥r♥♥t ♠ét♦ ♥♠érq ♦♣té ♠♦♥tré q ♣♦r ♦r ♥

réstt r♦r① t ♥ ♥♦♠r éé ♣s ♥ r♥ ♥ ♠ très ♥ ♦

♥st ♣s ♥éssr ♠ré ♥♦♥ ♥érté ♣r♦è♠ st û t q ♥♦♠r ♣♦♥ts

ss é♥ ♣♦r q éé♠♥t st ♥ éé ♣♦r ♥ tr♥ t ♣♦r ♥ rt♥

❯♥ ♣rt ♣tr été éé à s éts ♣r♠étrqs ♦♥r♥♥t ♠♦è ♥♦♥ ♥ér

t à s ♦♠♣rs♦♥s ♠♦è ♥ér P♦r tt ♥ ♦r ♦♥r♥♦♥♥♠♥t été

tré ♣♦r ♣srs s ♦s ♥ s♥t rr s ♦s ♦♠♣♦rt♠♥t t s ♣r♦♣rétés s ♦♥ts

P

tt ♦r ♣r♠t étr é♦t♦♥ ♦♥tr♥t ♦♥♥♠♥t ♦ t① ♦♥♥♠♥t

♥ ♦♥t♦♥ é♣♠♥t ♥ ♣♦♥t sr r ♦ ♥s rt♦♥ s♦tè♥♠♥t

♥trst♦♥ ♦r rtérstq s♦tè♥♠♥t ♣r♠t r♣érr ♣rss♦♥ à éqr

s éts ♣r♠étrqs ♦♥t ♣r♠s rrr ① ♦♥s♦♥s s♥ts

• ❯♥ ♦ ♦♠♣♦rt♠♥t ♥♦r♠ ②♣r♦q st sértr sàs ♠♥s♦♥♥♠♥t

s♦tè♥♠♥t ♣r r♣♣♦rt à ♥ ♦ ♥ér q ♦♥ s♦t ♥ éstté ♦ ♥ ♣stté ♥ t

♣rss♦♥ à éqr ♦r r s♦tè♥♠♥t st ♣s éé ♥s ♣r♠r

s ér♥ st t♥t ♣s r♥ q é♣ssr ♦♥t st ♣tt ♦ q s rté

♥♦r♠ ♥t st éé

• P♦r ♥ t① é♦♥♥♠♥t ♦♥♥é é♣♠♥t ♦ st ♣s éé ♥ ♠♦è ♣s

tq q ♥ ♠♦è éstq ♥s q ♣rss♦♥ s♦tè♥♠♥t ér♥ ♠♥t

♦rsq ♥ r♦tt♠♥t ♦ ♦és♦♥ ♠♥

• ♣rss♦♥ s♦tè♥♠♥t à éqr st ♣s éé ♦rsq t♥ st ♣rs ♥ ♦♠♣t

• ét♦♥ stté ♥ér ♣t êtr ♣r♦s ①trê♠♠♥t ♣ss♠st

♠♦è ♦ st é ♥st s rtèr ♣stté st tt♥t ♥ ♥ ♣♦♥t ♦♥♥é

♥t ér♠♥t ♦♠♣t r ♣rss♦♥ s♦tè♥♠♥t st ♦rs éé

♣r r♣♣♦rt à ♣♦♥t ♦♥ ♥ér ♠♦♥tré q ♣stté ♣t

♦♠♠♥r à é♦r sr ♥ ♣tt ♣rt ♦ s♥s ♠♦r ♦♠♣♦rt♠♥t ♦

♦ ♦ r♥r ♥st ♥s ♥ ♣rss♦♥ s♦tè♥♠♥t ♥érr à ♠♥é ♣r

♥ér ♣t êtr ss♥t ♣♦r stsr ♦ ♠♦è ♥ér ♥

♣r♠t ♣s ét♦♥ ♥ ♣rss♦♥ ♥s ♣s ♣stq r réstt s ♦♥tr♥ts t

é♣♠♥ts st ♥q♠♥t r ♣♦r ♠♦è t♥t q♦♥ st ♥ éstté

tr ♣rt s♦tè♥♠♥t été ♥téré ♥s ♦ ♦♥ ♥ér st ♦tr

s ♠tr rté à ♠tr rté s②stè♠ à ♥ t① é♦♥♥♠♥t ♣résé ♣r

tstr ♦s ♦♥s ♣rés♥té ①♣rss♦♥ tt ♠tr ♣♦r s ♦♦♥s à ♥r ♣♦♥t

tr♥t ♥ trt♦♥ t q rst♥t ♥ éstté ♠s r♥ ♥♠♣ê é♦♣♣r tt ①♣rss♦♥

♣♦r ♥ tr t②♣ s♦tè♥♠♥t

r♥r ①♠♣ ♣♣t♦♥ st ♥ ét t s♦tè♥♠♥t sr ♦♠♣♦rt♠♥t

♦ s♦t ♠ét♦ ♦♥r♥♦♥♥♠♥t ♦ ♥tért♦♥ s♦tè♥♠♥t

♦ ♦♥ r♥ ♦♠♣t ♥trt♦♥ ♥tr ♦ t s♦tè♥♠♥t ♠ét♦ ♦♥r♥

♦♥♥♠♥t ♦♥ ♦t♥t ♥ ♥♦r♠t♦♥ ♥q♠♥t sr é♣♠♥t t ♣rss♦♥ à éqr

s♦tè♥♠♥t ♥tért♦♥ s♦tè♥♠♥t ♦ ♦♥ rtr♦ s ♥♦r♠

t♦♥s ♠s ♦♥ st ss ♣ sr t s♦tè♥♠♥t sr ♦ r♥t t♦t ♣s

ér♠♥t

s ♠ét♦s ♦♥ r♥ ♦♠♣t rô ♦♥♥♠♥t q ♣t ♦r s♦tè♥♠♥t ♥

t ♣r♠t ①rr ♥ ♣rss♦♥ sr ♦ ♠ê♠ s ♥ ♣s ssrr q t♦s s ♣♦♥ts

♦ s♦♥t ♥s ♣s éstq s ♠ét♦s sés sr ♥ à éqr ♠t

♥trt♦♥ ♥tr ♦ t s♦tè♥♠♥t ♥st ♣s ♦♥séré ♥ ♠♥s♦♥♥ s♦tè♥♠♥t ♥

♥ ♦♥sér♥t q s ♣té ♠①♠

♥♦♥s q ♥♦s s♦♠♠s ♣rt♠♥t ♦♥s♥ts q ♥♦tr ♣r♦è♠ stté ♦ s♦é

st ♥ ♣tt ♣r♦è♠ ést♦♣stté q ♣t êtr trté ♥♦♠r① ♦s ♦♥♥s

❯ ❱P ♦t♦s st ♥♥♠♥t ♣s s♠♣ ♥térr ♥♦tr ♦

♦♠♠ ♥ ♣tt rq à ♥térr ♥ ♦ ♦s s♦és ❯❲ r

st à ♥ éé à ♣r♦è♠ ①st♥ r♦s ♦s ♣♥♥t été t ♣♦r

♣r♦ér à ért♦♥ ♦ ♥♦r♠tq ♥♦tr ♠♦è ❯♥ ♦♠♣rs♦♥ ♠ét♦

②♥tès

s é♠♥ts ♥s été ♣rés♥té ♥s ♣tr ♣♦r ♠♦è ♥ér ❯♥ tr ♦♠♣rs♦♥

♥tr ♠ét♦ s é♠♥ts st♥ts ♣♣qé à ♥ ♦ ♦ à ♥ ♥s♠ ♦s t ♠♦è

♦♥ ♥ér sr ♣rés♥té ♣tr s♥t

P

❱

PP

❱ ♥tr♦t♦♥

♥s s ♣trs t ♥ ♥♦ ♠ét♦ ♦♣t♥t ♣♣r♦ s ♦s s♦és

été ♣rés♥té s ♥ts ♣r r♣♣♦rt ① ♠ét♦s ♦♥♥t♦♥♥s étés ♣tr

♦♥t été ♠ss ♥ r ♣rs ♥ ♦♠♣t st♦rq r♠♥t ♦ ♥tr étt ♥t

♥t ①t♦♥ t étt ♥ ♣rès ①t♦♥ éqr s ♦rs t s ♠♦♠♥ts ♠♦♠♥t

♦ ♥ tr♥st♦♥ t ♥ r♦tt♦♥ ♣rs ♥ ♦♠♣t s ♦♥tr♥ts ♥ts t ♦♠♣♦rt♠♥t s

♦♥ts strt♦♥ ♥♦♥ ♥♦r♠ s ♦rts sr s s ♦ t ♣♦ssté étr t♦t t②♣

é♦♠étr s éts ♣r♠étrqs ♦♥t ♠♦♥tré ♥♥ s ♦♥tr♥ts ♥ts s rtés s

♦♥ts t ♣♦st♦♥ ♦ t♦r ①t♦♥ sr stté ❯♥ ♣r♠r ♠♦è ♣r♥♥t

♥ ♦♠♣t ♥ ♦♠♣♦rt♠♥t ♥ér s ♦♥ts t ♥ s♦♥ ♠♦è ♦♣t♥t ♥ ♦♠♣♦rt♠♥t ♥♦♥

♥ér ②♣r♦q ♥s rt♦♥ ♥♦r♠ t ést♦♣stq ♥s rt♦♥ t♥♥t ♦♥t

été ♣rés♥tés tr t q ♠♦è ♥♦♥ ♥ér st ♣s rést q ♠♦è ♥ér été

é♠♦♥tré q st ♣s sértr ♣♦r ♠♥s♦♥♥♠♥t s♦tè♥♠♥t t ♣r♠t ♦♥trr♠♥t

♠♦è ♥ér sr r♦rs♠♥t ♦♠♣♦rt♠♥t ♦ ♥s ♣s ♣stq

♥s r ♣r♥♣ ♣♣r♦ s ♦s s♦és t ♥ ♦♥sér♥t q s ♦s ♦♠♣♦rt♠♥t

s ♦♥ts ♠♣é♠♥tés r♣rés♥t♥t rété t q s ♦♥♥és ♥ts ♦♥r♥♥t s ♣r♦♣rétés

♠é♥qs t é♦♠étrqs s s♦♥t♥tés s♦♥t rs ♠ét♦ ♦♥stt ♥ ré

s♦t♦♥ ①t ♣r♦è♠ stté ♦ ♠♦ést♦♥ ♦ à ♥ ♦

ts♥t ♠ét♦ s é♠♥ts ♥s ♣r ①♠♣ ♦♥♥rt ①t♠♥t ♠ê♠ s♦t♦♥ t

rs sr à r ♥♦tr ♣♣r♦ ♣r♥♣ ♥♥♦t♦♥ ♣♣♦rté ♥s tt tès ♥st ♣s

♠ét♦ ♥♠érq é♦♣♣é ♥ ♠ê♠ ♠s t ♣♣qr ♣♦r ♣r♠èr ♦s ♣r

r♣♣♦rt à ttértr à rés♦t♦♥ ♥♦tr ♣r♦è♠ s♣éq

♦ts s éts éà ♣rés♥tés ♥s tt tès ♦♥t été ts à é ♥ s ♦ s♦é

♣r♦è♠ stté ♥s ♥ ♠ss r♦① s♦♥t♥ st t♦t♦s ♥ ♣s ♦♠♣① q

P ❱ PP

stté ♥ s ♦ ♣rés♥ ♥ ♥s♠ ♦s ♥trss♥t ♥tr ① ②♥t

s ♠♦♠♥ts rts t ♦♥t ♥stté s ♥s ♥♥ s trs ♥s ♣tr

st ét♥r ♥♦tr ét à é ♥ s é♥ér ♣srs ♦s t♦r ♥ ①t♦♥

s♦trr♥ ♥ t ♥♦s ♦♥s ♦♠♣rr s réstts ♠ét♦ ① réstts ♥

♣r♥♥t ♥ ♦♠♣t t♦s s ♦s t rs ♥trt♦♥s ♠ét♦ s é♠♥ts st♥ts

♦ st tsé ♣♦r ♠♦ésr ♥ s rést ♥ ①t♦♥ ♥s ♥ ♠ r♦①

s♦♥t♥ srt ♦♠♠ ♦t t♦♥ ♥♦tr ♠ét♦ ♥s ♥ s é♥ér s ♦s stés

à ♣r♦ ①t♦♥ s♦♥t ♥st étés ♥ à ♥ ♠ét♦ t st érr

s ♥♦ ♠ét♦ é♦♣♣é ♣r♠t r♣érr s ♦s s ♣s rtqs ♣♦♥t

stté ♠é♥q Pr rs ♥ tért ♣r é♠♥t♦♥s ssss s ♦s ♥sts ♥

ts♥t à q tért♦♥ ♠ét♦ st ♥tr♣rs ❯♥ tr ♣r rr♦♣♠♥t

♦s sts t ♥sts ♣♦r ♦r♠r ♥ s ♦ st ss résé ♥s ♥♦s tstr♦♥s s ♠ét♦

♣r♠t t♠♥t r♠♣r ♥ ♠♦ést♦♥ ♣s ♦♠♣èt s ♦s t q t

♦

♥t ♣♣qr ♠ét♦ s é♠♥ts st♥ts à ♥ stté ♦ ♥♦s ♦♠

♠♥ç♦♥s ♣r érr s éà ♣♦r ♣r♦è♠ ♥ s ♦ ♠ét♦ ♣r♠t ♦♥♥r

♥ réstt éq♥t à ♠ét♦ s é♠♥ts st♥ts ♥ ♣s ① s s♦♥t résés ♥

r♦ r t tr r♦ é♦r♠ ♦t st ♠♦♥trr q ②♣♦tès r♦

r st ♥ sté ♥s s s♠♣ t ♣r ♦♥séq♥t ♥ ♥s♠ ♦s ♣t

ss êtr té ♥ ♦♣t♥t tt ②♣♦tès Pr rs ♠ét♦ ♥tért♦♥ ♥s

♥ s♦tè♥♠♥t ♦♥stté ♦♦♥s trt♦♥ sr é ♣r ♦♠♣rs♦♥ ♠ét♦ s

é♠♥ts st♥ts

♥ ♣tr ♥♦s ♣♣q♦♥s ♠ét♦ ♣♦r r♣r♦r ♥ t ♦s

♥s ♥ s ré t st ♠ttr ♥ é♥ t q tt ♠ét♦ ♣r♠t t♠♥t

r♠♣r ♥ ♠ét♦ ♦♠♣① q ♠♦és t♦t strtr r♦s t♦r ①t♦♥

Psrs ♦♥♥és é♣rt s♦♥t tstés ss③ ♠♥t ♣♦r ré♣♦♥r à t♦ts s ♥rtts

♦♥r♥♥t r♠♥t ♥t ♥ ♦tr ♠♥s♦♥♥♠♥t s♦tè♥♠♥t ♣♦r ♦ st

♦♥♥é

♥s t♦ts s ♣♣t♦♥s ♥♦s tsr♦♥s ♣r♦r♠♠ ♦♥ ♥ér q ♥♦s

és♥r♦♥s ♣r ét t♦t s♠♣♠♥t ♣r ♦rsq ♥♦s r♦♥s r♦rs ♣r♦r♠♠

♥ér ♥♦s és♥r♦♥s ♣r ♥ér

❱ ♦♠♣rs♦♥ ♥tr t ♣♦r ♥ ♦ s♦é

t ♣rr♣ st érr q ♠ét♦ ♦♥♥ ♠ê♠ réstt q

♦ ♠♥s♦♥ st♥t ♠♥t ♦ é♣♣é ♣r ts ❬❪ ♣♣qé ♣♦r ♥

♦ s♦é ♣rs ♥ ♦♠♣t ♥ r♦ r ♦s ①♠♥r♦♥s ss ♥♥ ♣rs ♥

♦♠♣t ♥ r♦ é♦r♠ sr réstt

♦♥sér♦♥s ♥ ♦ sté t♦t ♥ ①t♦♥ s♦trr♥ r♣rés♥té ♥s r ❱ t

ét♦♥s s♦♥ ♦♠♣♦rt♠♥t ♥ ts♥t ♥ ♣rt ♦ ②♣♦tès r♦ r

♦ r♦ é♦r♠ t tr ♣rt ♦ s ♦♠♣rs♦♥s s♦♥t résés ♣♦r

♥ s éstq s ♦♥ts t ♣♦r ♥ s ♦ù rtèr ♣stté st tt♥t ♥ ♥ ♣rt

s s r♥t ér♠♥t r

①t♦♥ ♥ ♦r♠ rr t♦t r②♦♥ ♠ t st sté ♥ ♣r♦♦♥r ♠

s s♦♥t♥tés é♥ss♥t ♦ été ♦♥t s rt♦♥s ♣♥ rs♣ts 270 40t

❱ ♦♠♣rs♦♥ ♥tr t ♣♦r ♥ ♦ s♦é

130 t s ♣♥s rs♣ts 60 65 t 70 s♦♠♠t ♦ st sté à ♠ ♣r r♣♣♦rt

t♦t r rté ♥♦r♠ s ♦♥ts st Kn = 10000MPa/m t rté t♥♥t

Kt = 2000MPa/m r♦ ♣♦r ♠ss ♦♠q ρ = 2700Kg/m3 s ♦♥tr♥ts rts

♥ts s♦♥t s ♦♥tr♥ts rtt♦♥♥s t r♣♣♦rt s ♦♥tr♥ts ♦r③♦♥ts ♥ts ♣r

r♣♣♦rt ① ♦♥tr♥ts rts ♥ts st K0 = 0.5

r♦ é♦r♠ st té ♥ ♦♥sér♥t ♣srs ♠♦s ❨♦♥ P

P t P t ♥ ♦♥t ♣♦ss♦♥ ν = 0.2 ❯♥ ♠ ♠♦è s

éé♠♥ts tétrérqs ♦♥r ♠♦②♥♥ ♠ st résé ♦s ♠♦♥trr♦♥s q ②♣♦tès

r♦ r ♦♥♥ ♥ réstt ♦♥srtr ♣r r♣♣♦rt r♦ é♦r♠

r ❱ ♦ été t♦t ♥ ①t♦♥ s♦trr♥

❱ t é♣♠♥t

r ❱ ♠♦♥tr é♣♠♥t rt ♥ ♣rès é♦♥♥♠♥t r

♥ ♦ ♥s s ♦♥ts à ♦♠♣♦rt♠♥t ♥ér éstq ♥ ts♥t t

♦♥♥t ♥ ♣s ♣rr q s ① s ♦♥t ♥éssté ♥ srétst♦♥ s♣t t ♦♥

q s réstts s♦♥t ♣♣r♦①♠ts ♥s r ❱ ♦t êtr ♥②sé ♥ ♦sr♥t q s ①

♦s ♦♥t ♦t ♠ê♠ réstt à s♦r q é♣♠♥t rt st ♣rtq♠♥t ♥♦r♠

♦rr 0.65mm ±0.01mm

r ❱ ♠♣ts é♣♠♥t rt r♦ r ♥s s ♦♥tséstqs t

r ❱ r♣rés♥t é♣♠♥t ♠♦è é♦r♠ ♣♦r s ♠♦s

❨♦♥ P t P ♠♣t é♣♠♥t ♠♥t ♦rsq ♦♥ ♦♥sèr ♥

P ❱ PP

r♦ é♦r♠ t st r♦ss♥t ♠♥t♦♥ ♠♦ ❨♦♥ r♦ Pr rs

♦♥ r♠rq ss q é♦r♠té r♦ ♥ ♠♦ ♣s qs♥♦r♠té ♠♣

é♣♠♥t

P P

r ❱ ♠♣ts é♣♠♥t rt r♦ é♦r♠ ♥s s ♦♥tséstqs

♦♠♠ st ♥ éstq ♥ér é♦t♦♥ é♣♠♥t ♥ ♦♥t♦♥ ér

♠♥t r st ss ♥ér ♥st ♣s s s ♦♥t ♣st t ♥♦s ♦♥s érr

♥s q st q r t ♦♥♥♥t ♠ê♠ réstt ♠ê♠ ♥s s ♥♦♥

♥ér

♥ t sr r ❱ st r♣rés♥té ♦r ♦♥r♥♦♥♥♠♥t é♦t♦♥ t①

♦♥♥♠♥t ♥ ♦♥t♦♥ é♣♠♥t rt ♥ ♥ ♣♦♥t r ♦ ♣♦r s

♥♦♥ éstq ♦ù s ♣r♦♣rétés s ♦♥ts s♦♥t φ = 27 t P

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2

1−

λ

|Uz| (mm)

Bloc isolé, roche rigide ou déformable et joint élastoplastique (φ=27°,c=0 MPa)

ISOBLOC Non Linéaire

3DEC Rigide, N=50

3DEC, E=50 GPa, υ=0.2, N=10

3DEC, E=50 GPa, υ=0.2, N=50

3DEC, E=100 GPa, υ=0.2, N=10

3DEC, E=1000 GPa, υ=0.2, N=10

r ❱ ♦rs ♦♥r♥♦♥♥♠♥t ♥s s ♥♦♥ éstq t

s ① ♠ét♦s r t ♦♥♥♥t ♠ê♠ réstt é♣♠♥t t♦t

♦♥ é♦♥♥♠♥t r tt r s♦♥t ss r♣rés♥tés s ♦rs ♦♥r♥♦♥♥♠♥t

♦rrs♣♦♥♥t ① tr♦s s r♦ é♦r♠ P P t P Ps

♠♦ ❨♦♥ ♠♥t ♣s é♣♠♥t ♠♥ t s r♣♣r♦ s r ♦t♦♥s q

❱ ♦♠♣rs♦♥ ♥tr t ♣♦r ♥ ♦ s♦é

♥s r♣ és♥ ♥♦♠r ♣s ér♠♥t P♦r P ♥♦s ♦♥s tsté ①

rs ♥♦♠r t s réstts s♦♥t qs ♥tqs ❯♥ ♥♦♠r ♣s

st ♦rs ss♥t ♣♦r ♦r ♥ ♦♥ réstt

♦s rr♦♥s ♥s ♣rr♣ s♥t q ♠ê♠ s é♣♠♥t ♦ st ♣s éé ♥s

s r♦ é♦r♠ ♣stt♦♥ s s st éèr♠♥t ♠♦♥s ét♥ t réstt ♥

tr♠ stté st qs ♥tq réstt ♦rsq♦♥ ♦♥sèr r♦ ♦♠♠ ét♥t r

❱ ♦♠♣rs♦♥ s ♦♥tr♥ts

♥ér ♠♦♥tr q t q ♥ r♦tt♠♥t s♦t s♣érr à 75

s ♦és♦♥ st ♥ ♣♦r ♦r éstté sr s s ♦ ♣rès ①t♦♥ ♥ s♥

♣s q ♦ êtr ♥st ♣♦r s ♥s r♦tt♠♥t ♥érrs à tt r

♥ ts♥t r ♥stté ét♠♥t ♦ ♠ss r♦s ♣♦r ♥

♥ r♦tt♠♥t φ = 26 ♥ st ♠ê♠ ♣♦r r st rrêté ♥t ♥

ér♠♥t rtèr ♣♦r t ♥ r♦tt♠♥t

♥s s r♦ é♦r♠ t ♣♦r t♦s s ♠♦s ❨♦♥ étés ♥stté ♣♦r

♥ ♥ r♦tt♠♥t éèr♠♥t ♥érr s r♦ r φ = 25 st tst♦♥

♠♦è r ♣♦r stté ♦s ♦rsq ♠tr r♦s st ss③ résst♥t t

rst ♥s ♦♠♥ éstq

P♦r ♠① ♦♠♣r♥r s ér♥s ♥tr ♠♦è r t ♠♦è é♦r♠ ♥♦s ♦♥s

♦♠♣rr ré♣rtt♦♥ s ♦♥tr♥ts t é♦t♦♥ ♣stté sr s s ♦ ♦rsq

φ = 27 t P

r ❱ ♠♦♥tr ré♣rtt♦♥ rtèr ♣stté F (~σ) = ‖~σt‖+tan (φ)σn−c sr ss ♦ à ♥ ér♥t r λ = 1 ♦r r♦ ♥q

③♦♥ ②♥t ♣sté rtèr ♣r♦ r ♥ ♦ r ♣r♠t ♠♦♥trr

s ♥÷s ♥ sqs ♦♥t ss r ❱ s ♥÷s é♥ss♥t s ♠ê♠s s ♦ù

rtèr st tt♥t s♥t ♠ét♦ ♥s s r♦ é♦r♠ ♣♦r t ♥

r♦tt♠♥t ♦♥ ♥♦t♥t ss♠♥t ♣stq sr s s q ♣♦r >P

r ❱ Pstté s s ♣♦r λ = 1 s♥t t r

tt ér♥ ♥tr ♠♦è r t é♦r♠ ♣t êtr à ♥ ♦♥tr♥t ♦♥♥♠♥t

s♣♣é♠♥tr ①ré sr ♦ ♥t ♣r é♦r♠té ♠ss r♦s q ♥t♦r

t♠♥t ♦♥ r♠rq ♣rès r ❱ q ♦♥tr♥t ♥♦r♠ st ♣s éé ♥s

P ❱ PP

s é♦r♠ q ♥s s r q ♣r♠t ♠♥tr résst♥ ss♠♥t ♦♥t

t ♣r ♦♥séq♥t stsr Pr rs ♦♥tr♥t ♥♦r♠ ♠♥t ♦rsq ♠♦

❨♦♥ ♠♥

♠rq♦♥s q ♥s s ♦ r ré♣rtt♦♥ s ♦♥tr♥ts ♥♦r♠s sr s s

♦ st ♣s ♥♦r♠ s♥t ♠♦è q s♥t ♠♦è st û t

q ét ♥ ♠♦è r ♥ ♥ésst ♣s tr ♥ ♠ s ♦s s ♥

♠♦②♥♥ s ♦♥tr♥ts ♥♦r♠s s♦♥t s ♠ê♠s ♥s s ① s

r P

r ❱ é♣rtt♦♥ s ♦♥tr♥ts ♥♦r♠s sr s s ♦ r t é♦r♠

❱ ❱t♦♥ ♣rs ♥ ♦♠♣t s♦tè♥♠♥t ♥s

♦♥sér♦♥s ♥ s♦tè♥♠♥t ① ♦r♠é ① ♦♦♥s rt♦♥ rt trrs♥t ♦

s②♠étrq♠♥t ♣r r♣♣♦rt à s♦♥ s♦♠♠t t ér♦♥s s ♦♥ ♦t♥t ♠ê♠ réstt

r t ♦s ttr♦♥s ① ♦♥ts s ♠ê♠s rtés ♥♦r♠ t t♥♥t q

s tsés ♥s s éts ♣réé♥ts φ = 20 t P s ♣r♦♣rétés ♦ st

♥st s♥s s♦tè♥♠♥t

♣♣♦♥s q ♥s ♣tr ♥♦s ♦♥s ♥téré ♥ s♦tè♥♠♥t éstq ♦

♠tr rté ♦rrs♣♦♥♥t st ♦té à ♠tr rés♦t♦♥ s②stè♠ é♦♣♣

♠♥t ♠tr rt à s ♦♦♥s tr♥t ♥ trt♦♥ st été ♥s ♣rr♣

♥s ♥♦s s♣♣♦s♦♥s ss q s ♦♦♥s ♦♥t rstr ♥s ♣s éstq ♥ ♥tr♦s♥t

s ♣tés ♠①♠s éés ♦rs é♥t♦♥ rs ♣r♦♣rétés t st ♥q♠♥t

érr ♦ s♦tè♥♠♥t ♥s

r ❱ ♠♦♥tr é♦t♦♥ é♣♠♥t rt ♥ ♥ ♣♦♥t sr r ♦ ♥

♦♥t♦♥ t① ♦♥♥♠♥t ♣♦r ♣srs rtés ①s s ♦♦♥s s réstts

t s s♣r♣♦s♥t ♣♦r t♦s s s étés

❱ ♦♥s♦♥

t ①♠♣ ♣r♠t ér s ♦♥s♦♥s s♥ts

• ♣♦r ♥ s ♦ ②♣♦tès rté ♦♥♥ ♠ê♠ réstt q

♥s s s éstq t ♥♦♥ éstq ♥♦s ♣r♠t ♣rtr sr


0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8

1−

λ

|Uz| (mm)

Soutènement avec 2 boulons de rigidité Kb, joint élastoplastique (φ=20°,c=0 MPa)

3DEC sans soutenement

ISOBLOC sans soutènement

3DEC Kb=250 MN/m

ISOBLOC Kb=250 MN/m

3DEC Kb=1000 MN/m

ISOBLOC Kb=1000 MN/m

3DEC Kb=3000 MN/m

ISOBLOC Kb=3000 MN/m

r ❱ ♦rs ♦♥r♥♦♥♥♠♥t ♣rs ♥ ♦♠♣t s♦tè♥♠♥t t

♦♥♥s ss ♣♦r ét ♥ ss♠ ♦s

• ②♣♦tès r♦ r st ♦♥srt ♣♦r s été ♥ trs tr♠s

s ♦ st ♥st ♥s rété tt ②♣♦tès ♥ ♣t ♦♥r qà ♥stté ♥s

♥s ♣rr♣ s♥t ♦rsq sr étr ♣srs ♦s ②♣♦tès rté st

♥ ②♣♦tès ♥ sté

• ♥ ♥ésst ♣s r ♥ ♥♦♠r très éé ♣s ér♠♥t

tst♦♥ ♣s ér♠♥t st ss♥t

• ♥tért♦♥ ♥ s♦tè♥♠♥t éstq ♥s ♦r♠é ♦♦♥s trt♦♥ été

é ♣r r♣♣♦rt à ♥


♥s ♣rr♣ ♥♦s ts♦♥s ♠ét♦ ♣♦r ét ♥ ♥s♠ ♦s

t♦r ♥ ①t♦♥ s♦trr♥ réstt st ♦♠♣ré ♠ét♦ s é♠♥ts

st♥ts ♣r♥♥t ♥ ♦♠♣t t♦s s ♦s t rs ♥trt♦♥s ♥ ts♥t ♦ t st

érr s ♠ét♦ s ♦ s♦és ♣r♠t r♥r ♦♠♣t t♦ts s ♥sttés


①t♦♥ s♦trr♥ été st rsé ♥s ♥ ♠ r♦① s♦♥t♥ à ♥ ♣r♦♦♥r

♠ ♦♥ t♦t st s♠rr r②♦♥ R = 5m s ♦♥♥és ♦♥r♥♥t s s♦♥t♥tés t

tsés ♣♦r é♥ért♦♥ s ♦s s♦♥t ♣résés ♥s t ❱ ♥ tr♠s ♠♦②♥♥ért

t②♣

s ♦♥tr♥ts ♥ts s♦♥t s ♦♥tr♥ts é♦sttqs ♥ r♦ ♠ss ♦♠q

ρ = 2500Kg/m3 t ♥ r♣♣♦rt ♥tr ♦♥tr♥ts ♦r③♦♥ts t rts K0 = 0.5

♦s s♣♣♦s♦♥s ♥ ♦♠♣♦rt♠♥t ést♦♣stq s s♦♥t♥tés ♥ér ♥s rt♦♥

♥♦r♠ ♥ rté ♥♦r♠ Kn = 10000MPa/m t ♥ rté t♥♥t Kt = 1000MPa/m

P ❱ PP

♥ ♥ r♦tt♠♥t φ = 25 ♥ ♦és♦♥ t ♥ ♥ t♥ ♥s ❯♥ ♠♦è

r♦ é♦r♠ été ♦♥strt ♣♦r ♥ ♦♠♣rs♦♥ s ♥ r♦ r

❱ s ♠s s♦♥t♥tés tsés ♣♦r é♥ért♦♥ s ♦s

rt♦♥ ♣♥ () P♥ () s♣♠♥t ♠ ♦♠rPr♦té ♥trst♦♥

❱ ♦ést♦♥

❱ ♦① s ♠ts ♠♦è

♠♦ést♦♥ rsq êtr ss③ ♦r srt♦t ♦rsq st ♥ ♠♦è é♦r

♠ t ♥ ♥sté ♠ éé ♥ ♦rs ♥térêt à ♦♣t♠sr ♦♠ ♠♦è ♣♦r

♦r s t♠♣s rs♦♥♥s s♥s tr ♣rés♦♥ s réstts P♦r r ♥ ♠♦

è éstq ♦♥t♥ s♥s ♥tr♦t♦♥ s♦♥t♥tés été résé ♣srs ①t♥s♦♥s

③♦♥ t♦r t♥♥ r ❱ ♠♦♥tr é♣♠♥t rt ♣♦r s ér♥ts ♠♦ès

étés st r q ♠♦è s ♠♥s♦♥s 50m × 50m ♥s st♦♥ r st

ss♥t ♣♦r ♥♦tr s ét ③♦♥ ♥♥ ①t♦♥ ♥tt♥♥t ♣s s ♠ts

♠♦è ♦s ♦♣tr♦♥s ♥ ♦♥r ♠♦è 40m ♦♥ r

r ❱ r♣rés♥t é♦♠étr t s ♠ts ♠♦è é♥éré ♠♦è

♦♥t♥t ♦s r♣rés♥tés ♣r ér♥ts ♦rs

❱ ♦è r

♦♥t♦♥s ① ♠ts st ①r é♣♠♥t ♦r③♦♥t ♥ s ①tré♠tés rt

s ♠♦è ♥s rt♦♥ ♥♦r♠ à ♣r♦ ♦♥séré ♥s q é♣♠♥t rt

♥ ①tré♠té ♥érr ♠♦è ♥ r♦♥tèr s♣érr ♠♦è ♥ s

trt♦♥ s ♦♥tr♥ts rts és ① ♦♥tr♥ts rtrs à tt ♣r♦♦♥r st ♣♣qé

♣♦r éqrr s ♦♥tr♥ts ♥ts

P♦r ♥ ♠♦è r ♥♥r é♣♠♥t s♥t ♥ rt♦♥ ♦♥♥é ♥ r♦♥

tèr ♠♦è ♣♦r ♦♥séq♥ ♥♥r é♣♠♥t ♦s ♥trs ♣t ssr s

réstts srt♦t s s ♦s ♦♥t ♥ t rt♠♥t r♥ Pr ♦♥séq♥t ♠♣♦sr s

♦♥t♦♥s é♣♠♥t rt♠♥t sr s r♦♥tèrs ♠♦è ♦♥ ♦t s ♦s s♣♣é♠♥

trs ①s t♦t t♦r ♠♦è s ♥ ♠t ♦r③♦♥t s♣érr ♦♠♠ ♠♦♥tr

r ❱

s ♦♥t♦♥s s♦♥s ♥tr s ♦s s♣♣é♠♥trs t s r♦♥tèrs ♠♦è s♦♥t ssrés

♣r s ♦♥ts ♦♥t s rtérstqs s♦♥t ♦♠♠ ♦♥ ♣rés ♥s ♥♦t ❬❪

• ♥ s s♦♥s rts c = 0MPa t φ = 0 ♣♦r s♠r ♥ ♣♣ ss♥t

• ♥ s♦♥ ♦r③♦♥t c t φ ♦♥t s rs très éés ♣♦r s♠r ♥ ♣♣

①

t♣s ♠♦ést♦♥ ♥ésst tr ♥ ♣r♠r ♣♦r tr♦r

éqr ♥t ré♦♥ ♥térr t♥♥ st r♠♣é ♣r s ♦♥tr♥ts ♥ts ①rés


♦è 60m× 60m ♦è 50m× 50m ♦è 40m× 40m

r ❱ é♣rtt♦♥ é♣♠♥t rt ♣♦r ♣srs ♠♥s♦♥s ♠♦è s♥s♣rs ♥ ♦♠♣t s s♦♥t♥tés

Section Y-Y Section X-X

♦è ♥

t♦♥ ❨❨ t♦♥ ❳❳

r ❱ ♦r♠ é♦♠étrq r strt♦♥ s s♦♥t♥tés t ♠ts ♠♦è s ér♥ts ♦rs ♦rrs♣♦♥♥t ① ér♥ts ♦s ♣♦r ♥ ♠r sst♦♥

P ❱ PP

r ❱ ♦♥t♦♥s ① ♠ts ♣♦r ♠♦è r

sr sr t♥♥ t ♦♥ ♥ s ②s sqà tt♥r éqr ♠é♥q tt

♣r♦ér ♣r♠t r♥tr q ♦♥ ♣rt ♥ étt ♥t ♥ éqr r♠♥t ①térr

♥t ♥t ♣r♦ér à ♠♦t♦♥ r♠♥t ①t♦♥ t♥♥ t à ét

stté

♥st é♦♥♥♠♥t ♥térr r st t ♥ ♣srs ♣s ♥s ♥♦tr

ét ♥♦s ♦♥s ♦s ♣s é♦♥♥♠♥t q ♣s ♥♦s t♦♥s s ②s térts

r♥t sqs ♦rt♠ ①♣té ♥s ♣tr r st ♣♣qé ♣♦r ♦tr à

éqr ♠♦è ♥♥r s ♦rs ①é♥trs ♥♥rés ♣r s ♥ré♠♥ts ér♠♥t

r♦♥tèr t♥♥ P♦r ♠♦è r ②s s♦♥t ss♥ts ♣♦r q

♣s ♦t♦♥s q s s ♣s é♦♥♥♠♥t s♦♥t ♠♦♥s ♥♦♠r① t ♠♥tr ♥♦♠r

②s ♣♦r tt♥r éqr r♣ r ❱ ♠♦♥tr é♦t♦♥ ♦r

♠①♠ ♥♦♥ éqré ♠①♠♠ ♥♥ ♦r ♥ ♦♥t♦♥ s ②s

r♥èr ét♣ é♦♥♥♠♥t t♦t r s②stè♠ ♥tt♥t ♣s éqr ♥

t ♦r ♠①♠ ♥♦♥ éqré ♦♥r rs ♥ r ♦♥st♥t ♥♦♥ ♥

♦s ♣♦♦♥s ♥ ér q ①st ♥ ♦ ♣srs ♦s q s♦♥t ♥sts ♥s ♠♦è

♥♦♥s q ♠♦è r ♥ ♥ésst ♣s r ♥ ♠ s ♦s ♠é♠♦r

tsé ♣♦r ♠♦è ♦♥t♥♥t ♦s st

t♦♥ stté étr♠♥t♦♥ s ♦s ♥sts ♣t s r ♥ ♦sr♥t ♥s

♠♦è s ♦s q s ét♥t ♦♠♣èt♠♥t ♠ss r♦s t q ♦♥t♥♥t à s é♣r

♥é♥♠♥t s ♦♥ ♠♥t s ②s ♥s s ♠♦è r ♥ ♠ét♦ ♣s

t♦♠tq ♣♦r étr♠♥r s ♦s ♦♥sst à r♣érr tss ♥ r ♥tr rté s

♦s ♥sts s♦♥t ① q ♦♥t s tsss éés à ♥ t srt♦t ① ♦♥t tss

♠♥t

♦♠♠ ♥♦s ♦♥s éà ①♣qé ♣tr ♠ét♦ s é♠♥ts st♥ts ♦♥sst

à r s ②s ♣♦r tr♦r éqr s②stè♠ éért♦♥ ♥ ♦ st ét

à ♣rtr s♦♠♠ s ♦rs q s♦♥t ♣♣qés ♥s s ♦s ♣♦r sqs éqr ♥st

♣s ♣♦ss ♦♥t s éért♦♥s éés à ♥ ér♠♥t r ❯♥ ♦ ♥ t


r ❱ ♦t♦♥ ♦r ♠①♠ ♥♦♥ éqré ♥ ♦♥t♦♥ s ②s

r ♣♦ssè ♥ éért♦♥ é à éért♦♥ rté ♦♠♠ rt♥s ♦s ♦♥t très

s tsss ♦rs qs s♦♥t ♥ t r éért♦♥ é à rté ♥♦s ♦♥s

♦s tsr s ① rtèrs ♥ ♠ê♠ t♠♣s ♣♦r ér stté s ♦s rs ♥s

s r♣s r ❱ ♠♦♥tr♥t s rs s tsss t s éért♦♥s à ②s

♦♠♣tés ♣rès ér♠♥t t♦t r ♦s ♦♥sér♦♥s q s ♦s ♥sts

s♦♥t ① q ♦♥t ♥ tss s♣érr à tss ♠t Vl = 0.01m/s t ♥ éért♦♥ s♣érr

♦ é à éért♦♥ ♠t al = 10m/s2 ♦s r♣rés♥t♦♥s ♥q♠♥t s réstts ♦♥r♥♥t s

♦s q ♦♥t ♠♦♥s ♥ r stés à sr ①t♦♥ s ♦s s♦♥t ♥♠ér♦tés ♣r

♦rr r♦ss♥t r ♦♠ s rtèrs ♦♥sérés ♥♦s ♦t♥♦♥s t♦t ♦s ♥sts

r♣rés♥tés ♥s r ❱ ♦♥t♦r rs tsss

0,00001

0,0001

0,001

0,01

0,1

1

10

0 50 100 150 200 250

Vite

sse

(m

/s)

Numéro du bloc

Limite de stabilité

0,01

0,1

1

10

100

1000

10000

0 50 100 150 200 250

Accé

léra

tio

n (

m/s

2)

Numéro du bloc

Limite de stabilité

r ❱ ❱tsss t éért♦♥s s ♦s stés à sr t♥♥ ♥s ♠♦èr é s♠♦rt♠q

❱ ♦è é♦r♠

♦s ♦♥s ♠♦♥tré ♥s ♣rr♣ ❱ q♥ ♠♦è r st ss♥t ♣♦r étr♠♥r s

♥ ♦ st st ♦ ♥♦♥ ♥s ♣♦r ét ♥ ♦rs ♥♦s ♥♦♥s ♣s étr ♠♦è é♦r♠

♥ ét ♦s érr♦♥s ♥q♠♥t q ♠♦è r st ♥ sértr ♣r r♣♣♦rt ♠♦è

é♦r♠

P ❱ PP

r ❱ ♦s tr♦és ♥sts s♥t r

P♦r ♠♦è é♦r♠ ♠ st t s éé♠♥ts tétrérqs ♦♥r ♠♦②♥♥

♠ s ♦♥t♦♥s ① ♠ts s♦♥t s ①♣♦sés ♥s ♣rr♣ ❱ s s♦♥t ♣♣s

♣♦r ♠♦è é♦r♠ rt♠♥t sr s r♦♥tèrs ♠♦è s♥s ♦r s♦♥ ♦tr s

♦s s♣♣é♠♥trs ér♠♥t r st t ♥ ét♣s r t♠♣s st

①trê♠♠♥t éé ♦♠♠ ♣♦r ♠♦è r ♥ ♦♥r ♣s rs ♥ éqr ♣♦r t♦s

s ♦s ♦r ♠①♠ ♥♦♥ éqré st Funb = 1.062 · 10−2MN ♥érr à ♠♦è

r

♠♦è r♦ é♦r♠ ♦♠♣r♥ ♦s t éé♠♥ts tétrérqs t

♥ésst ♥ ♠é♠♦r

❱ ♦ést♦♥

❱ é♣ért♦♥ s ♦s à sr t♥♥

ét s ♦s ♦♥r♥ ♥q♠♥t ① q s tr♦♥t à sr t♥♥

♦r q ♣♦ssè♥t ♠♦♥s ♥ r ♣rès é♥ért♦♥ é♦♠étr s ♦s

s♦♥t ♠és s ♠s ♠♥s♦♥ ♠♦②♥♥ ♠ st ♠ê♠ ♠ tsé ♣♦r

ét ♠♦è é♦r♠ ♥st ♦♥ ♥t r♣érr s ♦s q ♦♥t ♠♦♥s ♥

r s♥s êtr ♥ ♦♥tt s ♦rs ①térrs ♠♦è ♥ ts♥t ♥ ♣r♦ér é♦♣♣é

♥ s st ♥ t ♥ ♥ ♣r♦r♠♠t♦♥ ♥tr♥ ① ♦s ts q

♣r♠t ♦r ès ① ér♥ts rs étt t rér ♥♦s rs t ♦♥t♦♥s

P♦r ①♠♣ été s ♦s s♦♥t r♣rés♥tés ♥s r ❱ ♥ t♦t ♦s

P♦r q ♦ ♦rt♠ é♦♣♣é ♣r♠t r♣érr s ♥♦r♠t♦♥s rts ♠

srq ♦ s ♥♠ér♦s s s ① s éé♠♥ts tr♥rs ♦♥stt♥t s s t

① s ♥÷s ♦♥stt♥t s ér♥ts éé♠♥ts ♥s q rs ♦♦r♦♥♥és s s rs s♦♥t

♠rqés ♣♦r ♣♦♦r s st♥r s trs s ♦rrs♣♦♥♥t ① ♦♥ts ♣rès értr

s ♥♦r♠t♦♥s sr ♥ r t①t s ♦s s♦♥t étés ♥ à ♥ ♥ ts♥t ♦


r ❱ ♦s stés à sr t♥♥

❱ t♦♥ stté

é♥t♦♥ s ♦s ♥sts é♣♥ rtèr q ♦♥ ♦st r r

❱ ♥♦s r♣rés♥t♦♥s t① é♦♥♥♠♥t ♣♦r q ♣stté ♦♠♠♥ λcrit t t①

é♦♥♥♠♥t ♦rrs♣♦♥♥t ♠♦♠♥t ♦ù éqr ♦ ♥ ♣t ♣s êtr ssré λinst

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

10 30 50 70 90 110 130 150 170 190 210 230

Taux d

e d

éconfinem

ent

Numéro du bloc

λcritλinst

r ❱ ♦♠♣rs♦♥ λcrit t λinst és

P♦r λcrit ♦ ♥ér st tsé ♥♦♥s q ♥s ♦♥

♥ér s t① é♦♥♥♠♥t s♦♥t ♥ré♠♥tés sqà ♥ r ♠①♠ Pr rs

♦♠♠ λcrit st é ♣♦str♦r ♥ér ♦♥ ♣t ♦r s rs λcrit q

é♣ss♥t ♥s s s s♦♥t r♣rés♥tés à ♦r♦♥♥é sr r ❱ ♦s r♠rq♦♥s

q ♣♦r t♦s s ♦s étés λcrit < λinst s ♦s s♦♥t ♥♦r ♥ éqr ♦rsq ♣stt♦♥

s s ♦♠♠♥ ♥s rtèr λcrit st tr♦♣ ♣ss♠st t ♥♦s ♣réèrr♦♥s λinst

P ❱ PP

♦s ♦♥sér♦♥s q s ♦s ♥sts s♦♥t ① ♣♦r sqs st rrêté t①

é♦♥♥♠♥t λinst < 1 P♦r êtr sértrs ♥♦s ♦♥s ♦s ♦♥t♦♥ λinst < 1.01 ♥

ts♥t rtèr s ♦s tr♦és ♥sts s♦♥t r♣rés♥tés sr r ❱

r ❱ ♦s ♥sts à sr t♥♥ ①é

❱ ♦♠♣rs♦♥ s réstts r

strt♦♥ λinst st ♥♦ ♦♥♥é sr r ❱ ♥ ♠rq♥t ér♥ts

♦r♠s s ♦s tr♦és sts ♦ ♥sts ♦s r♠rq♦♥s q ①st ♥♦♠r①

♦s ♥sts s♦♥ ♠s q ♦♥t été étr♠♥és ♦♠♠ ét♥t sts

♦s rs♦♥ tt ér♥ st ♣r♦♠♥t t q q ♦ ♥ s ♦♠♣♦rt

♣s ♥ rété ç♦♥ ♥é♣♥♥t s trs ♦s ♥ts ♥ t ♥♦s r♠rq♦♥s ♣rès

r ❱ q s ♦s tr♦és ♥sts ♠s sts s tr♦♥t

♣♦r ♣♣rt ♥ ♦♥tt s ♦s ♥sts s♥t ♦ù é q ♥stté

s ♦s st sé ♣r s ♦s ♥ts ♣rr♣ s♥t é♦♣♣ ① t♥qs

♣♦r r♥r ♦♠♣t t t ♥ ts♥t ♠ét♦ s ♦s s♦és s♦t ♥

tért ♣r é♠♥t♦♥ s ♦s ♥sts s♦t ♥ ♣r rr♦♣♠♥t ♦s

0,5

1

1,5

2

2,5

3

0 50 100 150 200 250

λ inst

Numéro du bloc

ISOBLOC (premier calcul)

3DEC instable - ISOBLOC instable

3DEC instable - ISOBLOC stable

3DEC stable - ISOBLOC instable

3DEC stable - ISOBLOC stable

r ❱ é♣rtt♦♥ t① λinst ♣rès s♥s tért♦♥s t ♦♠♣rs♦♥ ét♦♥ stté


r ❱ ♣rés♥tt♦♥ ♥ r♦ s ♦s ♥sts t ♥ rs s ♦ssts ♠s ♥sts

❱ ♦ést♦♥ ♦s ♠t♣s

❱ tért ♣r é♠♥t♦♥s ssss ♦s ♥sts t ♦♠♣rs♦♥

r

♥s ♣rr♣ ♥♦s ♣rés♥t♦♥s ♥ ♣r♦ér q ♣r♠t r♥r ♦♠♣t t

t ♦s sr ① q r s♦♥t ♥ts ♥ ts♥t ♠ét♦

s ♦s tr♦és ♥sts ♠ét♦ ♣rès ♣r♠r s♦♥t é♠♥és P♦r

s ♦s q rst♥t ♦♥ ♦♥sèr q s s q ét♥t ♥ ♦♥tt s ♦s ♥sts s♦♥t

s s rs t ♦♥ r stté s ♦s ♦♣ért♦♥ st ré♣été sqà ♥ ♣s ♦r

♦s ♥sts q tért♦♥ ♣♦r r♣érr s s ♥ ♦♥tt s ♦s ♥sts ♥

♣r♦ér é♦♣♣é ♥ s st tsé

tt t♥q ♣r♠t r♥r ♦♠♣t ♥rt♠♥t ♥trt♦♥ ♥tr s ♦s r

❱ ♠♦♥tr s ♦s tr♦és ♥sts ① ér♥ts tért♦♥s ♣rtr s①è♠ tért♦♥

♦♥ ♥ tr♦ ♣s ♦s ♥sts s♣♣é♠♥trs ♥ s♣r♣♦s à s ♦s s trs tss

tr♦és

r ❱ ♠♦♥tr ♥♦♠r ♦s ♥sts t é♦t♦♥ ♥♦♠r ♦s

♥sts ♥ ♦♥t♦♥ ♥♦♠r tért♦♥s tés ♦t♦♥s q♣rès ♥t

tért♦♥ ♦♥ ♥ ♥♦♠r ♦s ♥sts ♦♠♣r à t♦t♦s

♦♠♠ ♦♥ ♥s r ❱ ♥ st ♣s ①t♠♥t s ♠ê♠s ♦s rt♥s ♦s

♥sts s♥t ♦♥t été tr♦és sts t rs ♣rtr ♣r♠èr

tért♦♥ ♥♦s ♦t♥♦♥s ♦♣ ♣s ♦s ♥sts q

P♦r ♠① r♣érr s ér♥s ♥tr s réstts s ① ♠ét♦s r ❱ r♣rés♥t

ré♣rtt♦♥ λinst é à r♥èr tért♦♥ ♥ ♠rq♥t ér♠♠♥t s

♦s tr♦és sts ♦ ♥sts r♥èr tért♦♥ ♥①st ♣s q ♦s

♥sts s♦♥ ♥♦♥ r♣érés ♣r ♦s étr♦♥s s ♥♦r♠t♦♥s ♦♥r♥♥t s

♦s ♣rès

r ❱ r♣rés♥t s ♦s ♥sts s♦♥ s ér♥ts ♦rs ♦rrs♣♦♥♥t

① ♦s tr♦és ♥sts ① ér♥ts tért♦♥s s ♦s ♥♦♥ r♣érés ♣r

P ❱ PP

Pr♠♥t Pr♠♥t r♦t

r ❱ ♦s ♥sts s♥t ♣rès ♣srs tért♦♥s t trs tsss♥t ♥térr t♥♥

0

20

40

60

80

100

120

0 1 2 3 4 5

No

mb

re d

e b

locs in

sta

ble

s

Numéro de l’itération

ISOBLOC

3DEC

61

90

103106 108 109

60

r ❱ ♦♠rs ♦s ♥sts s♥t s ér♥ts ♠ét♦s

0,5

1

1,5

2

2,5

3

0 50 100 150 200 250

λ inst

Numéro du bloc

ISOBLOC (dernière itération)

3DEC instable - ISOBLOC instable

3DEC instable - ISOBLOC stable

3DEC stable - ISOBLOC instable

3DEC stable - ISOBLOC stable

r ❱ é♣rtt♦♥ t① λinst ♣rès à r♥èr tért♦♥ t ♦♠♣rs♦♥ ét♦♥ stté


♦♠♠ ét♥t ♥sts s♦♥t ♦♦rés ♥ rs ♦♥r♥♥t s ♦s t s ♦♥t s

♦♠s très ♣tts ♠3 ♠3 t ♠3 rs♣t♠♥t ♣s s ♦s t s♦♥t s

♦s ♠r ♦♥ ♥ ♦♥stt♥t ♣s rsq ♠r ♦t♦♥s q ♣♦r s tr♦s ♦s ♦♥ s

tsss très s t st à s rs éért♦♥s q♦♥ ét qs s♦♥t ♥sts

P♦r s ① ♦s t st ♦s ♥♦♥ ♠♦s ♥t tr♠♥♦♦ tsé

♥s té♦r s ♦s és r ♣②r♠ ♦♥ts st JP = ⊘ ♦r ♣rr♣

ss r♥t ♣r♠r st r ♦r♠ é♦♠étrq ♥stré ♥s ♠ss

r♦① q s ♠♣ê ♦r ♥ ♠♦♠♥t rs ①térr té é♥♠♦♥s s ♦s

s♦♥t ♥ts à s ♦s tr♦és ♥sts s♥t tért ♥ s♣♣♦s♥t q s

s ♥ts ① ♦s ♥sts s♦♥t s s rs ♥ ♦♥♥ ♣s réstt ♥stté ♣♦r

s ♦s ♦t♦s ♥ rr♥t ♥ ét réstt ♥♦s ♥♦t♦♥s ♥ r λinst = 1.04 ♣♦r

♦ ♥ ♣r♥♥t ♣s ♠r sérté ♣♦r r λinst ♦rrs♣♦♥♥t à ♠t stté

♦♥ rt étté ♥stté ♣♦r ♦ t ♣r st ♣♦r ♦ à ♥ tért♦♥ s♥t Pr

rs ♥ rr♦♣♥t s ♦s à s ♦s ♥sts ♥ts ♣r t♥q ①♣qé ♥s

♣rr♣ s♥t ♥♦s ♣♦♦♥s ss rtr♦r ♥ réstt ♥stté ♣♦r s ♦s

Pr ♦♥séq♥t ♥♦s ♣♦♦♥s r q s ♦s t ♦♥t été ♣tôt ♥tr♥és ♣r s ♦s

♥sts q r s♦♥t ♥ts ♥s ♥② r ♥ rsq s s♦tè♥♠♥t ♠s ♥ ♣ ♣r♠t

stsr s ♦s q r s♦♥t ♥ts

r ❱ ♣rés♥tt♦♥ s ♦s ♥sts ♦♦rés ér♠♠♥t s♥ts réstts

r ❱ r♣rés♥t s ♦s tr♦és ♥sts ♠s sts

r♥t ♥t ①st ♦s ♥sts s♥t ♠s sts s♥t

r♥èr tért♦♥ ♥♦♠r séè à

s ér♥ts réstts s♦♥t rés♠és ♥s st♦r♠♠ r ❱ réstt

st sértr ♣r r♣♣♦rt réstt r♥èr tért♦♥ ♥♦s rtr♦♦♥s

qst♦tté s ♦s tr♦és ♥sts Pr rs ♠♦rté s ♦s

sts ♣rès s♦♥t ss sts ♣rès P♦r ①♣qr s ér♥s ♦♥r♥♥t

s ♦s tr♦és ♥sts ♦rs qs s♦♥t sts r ♦srr r

♦♠♣♦rt♠♥t ♣s ♣rés ❯♥ ②♣♦tès ♣♦ss st q s ♦s q s ♥t♦r♥t ré♥t ♣r rs

♠♦♠♥ts ♥ s♦rt ♦♥♥♠♥t rtèr stté tsé ♥s r ss êtr

P ❱ PP

r ❱ ♣rés♥tt♦♥ s ♦s ♥sts ♠s sts

①♠♥é ♣s ♥ ét ♥ ♥ é♥t ♠é♦rt♦♥

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

200

3DEC instables 3DEC stables

No

mb

re d

e b

locs

Comparaison 3DEC/ISOBLOC

Stables

Itération 5

Itération 4

Itération 3

Itération 2

Itération 1

Calcul initial

ISOBLOCIn

sta

ble

s

r ❱ és♠é s réstts ♦♠♣rs♦♥ ♥♦♠r ♦s sts t ♥sts t tért

❱ ♦♠♣rs♦♥ réstt é♦r♠

♠♦è é♦r♠ P µ = 0.2 s ♥sttés s♦♥t ♠♦♥s ♠rqés

q ♠♦è r r ❱ r♣rés♥t s ♠♣ts tss s ♦s stés à

sr r s♥t té é♦r♠ à ♥r♦♥ ②s ♣rès

é♦♥♥♠♥t t♦t r s ♠♣ts s♦♥t ♠♦♥s éés q ♣♦r ♠♦è r

tss st r♣rés♥té ♥ ♣rt ♥ s ♦s tr♦és ♥sts s♥t

tért t tr ♣rt ♥ s ♦s tr♦és sts s♥t tért st

r ♦rs q ♠♦è ♣r♠t éttr t♦s s ♦s tr♦és ♥sts s♥t

é♦r♠ t ♠ê♠ ♣s ❯♥ ①♣t♦♥ ♦♥r♥ s ① ♦s t ♦♠♠ ♣♦r

r q s♦♥t sts s♥t ♠s q ♦♥t s tsss rt♠♥t éés s♥t

é♦r♠

ss ♥♦s r♠rq♦♥s q rt♥s ♦s ♠r ♦♥t s tsss éés ♦rs q s♥t

r s ♦s ♦♥t été tr♦és sts ♣r♦r♠♠ ♣r♠s r♣érr s ♥sttés

♠r


♦s ♥sts s♥t à r♥èr tért♦♥

♦s sts s♥t à r♥èr tért♦♥

r ❱ ♦♥t♦r ♠♣t tss s ♦s é♦r♠

❱ r♦♣♠♥t ♦s

ét ♥stté ♣t s r ss ♣r t♥q rr♦♣♠♥t ♥ ♦♥sér♥t q

♣srs ♦s ♥ts ♦r♠♥t ♥ s ♦ ♦♥ ♥ é♠♥♥t s s q s sé♣r♥t tt

t♥q été tsé ♥ ♣r ❨r♠ t ❱r ❬❪ ♠ét♦ s r♦♣s és

r♣♣ ss ♥♦t♦♥ ♦ ♠①♠ ♣rés♥té ♥s ♠ét♦ ♦♦♠♥ t ❬❪

s s① ♦s r♣rés♥tés sr r ❱ stés ♣r♠♥t r♦t r ♣♦r ♥

♦srtr rr♥t rs ① ❨ ♦♥t été tr♦és ♥sts ♥ t s ♠♦ès

r t é♦r♠ éqr ♥st ♣s stst ♣♦r s ♦s ♦♠♠ ♠♦♥tr♥t s rs ❱

t ❱ s ♦♥t s tsss ♣s éés ♣r r♣♣♦rt ① ré♦♥s sts ♠♦è srt♦t ♣♦r

s r ♦ù s s sé♣r♥t ♦♠♣èt♠♥t ♠ss r♦s

♠ét♦ tr♦s s ♦s ♦♥t été tr♦és ♥sts ♣r♠r ♦♠♠

♠♦♥tr r ❱ tr♦s s térts ♣r é♠♥t♦♥s ssss s ♦s

♥sts ♣♦r ♦r ♥ réstt ♥stté ♣♦r t♦s s s① ♦s ♦ù é érr s ♥

rr♦♣♠♥t s ♦s q é♦♥♦♠s s ♦♣ért♦♥s tért ♣t ♦♥♥r rt♠♥t

♥ réstt ♥stté

♥t r tt ért♦♥ st ♥térss♥t ♥♦tr ①st♥ ♥ ♦rrét♦♥ ♥tr ♦rr

♣♣rt♦♥ ♥stté s ♦s s♥t r♣rés♥té ♥s r ❱ t rs

♠♣ts é♣♠♥t é♦r♠ ♦♥♥és ♥s r ❱ ♦s r♠rq♦♥s

q s ♠♣ts é♣♠♥t s♦♥t ssés ♥s ♦rr ♥rs ♥stté s ♦s

s♥t tért s ♦s q s♦♥t r♣érés ♦♠♠ ét♥t ♥sts ♣r

♠r ♦♥t s ♠♣ts é♣♠♥t s ♣s éés s♥t t s

♦s tr♦és ♥sts à r♥èr tért♦♥ ♦♥t s ♣s s ♠♣ts ♦♥r♠ ♥

rt♥ ♠♥èr q s ♦s tr♦és ♥sts ♣r♠r s♦♥t t♠♥t

s ♣s rtqs ♠♦è r ♥♦s ♥ tr♦♦♥s ♣s tt ♦rrét♦♥ ♣r♦♠♥t

r s ♦s s♦♥t ♦♠♣èt♠♥t étés ♠ss r♦s r♥t Pr ♦♥séq♥t

rs♦♥♥♠♥t ♥ tr♠ é♣♠♥t à ♣rtr ♠♦♠♥t ♥st ♣s s♥t

♥ ét♥t s ♦s ♦♠♠ ét♥t ♥ s ♦ ♦ù s ♦♥ts ♥tr s ♦s

♥ts s♦♥t é♠♥és srrêt à λinst = 0.999 ♦ st ♣r ♦♥séq♥t ♥st ♣rès

P ❱ PP

♦s ♥sts

❱tsss r ❱tss é♦r♠

r ❱ éstts ♥ ♥s♠ s① ♦s ♥ts s♥t tért ts♥t

r ❱ ♠♣t é♣♠♥t s ♦s s♥t é♦r♠

ér♠♥t r r ❱ ♠♦♥tr q ♣stt♦♥ s s st ♣s ét♥

♦rsq s ♦s s♦♥t étés ♦♠♠ ♥ r♦♣♠♥t ♦s q ♦rsqs s♦♥t étés sé♣ré♠♥t

♣r♠r

Pr rs ♥s r ❱ ♥♦s ♦♠♣r♦♥s ré♣rtt♦♥ s ♦♥tr♥ts ♥♦r♠s ♥tr

♠♦è é♦r♠ t s ① ♠♦ès à λ = 0.998 s ♦s s♦♥t r♣rés♥tés ♥ s

rr♥t ♥térr t♥♥ ♦s r♠rq♦♥s ♣♣rt♦♥ trt♦♥ ♦rsq

s ♦s s♦♥t étés ♦♠♠ ♥ s ♦ st s ss ♣♦r ♠♦è é♦r♠ ♦t♦♥s

q ♣♦r ♠♦è r ♦♠♠ s ♦s s sé♣r♥t ♦♠♣èt♠♥t ♠ss r♦s

s ♦♥tr♥ts ♥♦r♠s q ② s♦♥t ♣♣qés s♦♥t ss é♠♠♥t ♥s r♦♣♠♥t ♦s

♣r♠t ♦rs ♦r ♥ réstt ♣s r♦r① q réstt ♦t♥ ♥ s ét♥t sé♣ré♠♥t

tt ét sèr q st ♣♦ss ♥s ♥ ♠ét♦ ♦♣t♥t ♣♣r♦ s ♦s s♦és

♣r♦ér ♣r rr♦♣♠♥t ♦s rr♦♣♠♥t ♣t ♦♥r♥r ♣srs ♦♠♥s♦♥s ♣♦sss

♦s tr♦és sts s ♦s tr♦és ♥sts s r♦♣s tr♦és ♦♠♠ ét♥t s ♣s

♥sts ♣♥t êtr ♦rs ♦ss ♣♦r ♠♥s♦♥♥♠♥t s♦tè♥♠♥t


♦s sé♣rés ♦s r♦♣és

r ❱ é♣rtt♦♥ rtèr ♣stté s♥t s s ♦s s♦♥t étéssé♣ré♠♥t ♦ ♦♠♠ ♥ s ♦

♦s sé♣rés

♦s rr♦♣és

é♦r♠

r ❱ ♦♥tr♥ts ♥♦r♠s sr s s s ♦s ♣♦r ér♥ts s étés

❱ ♦♥s♦♥

♠♦è été ♣♣qé ♣♦r ét stté ♥ ♥s♠ ♦s stés à

sr ♥ ①t♦♥ s♦trr♥ réstt été ♦♠♣ré ♥ ①t ♣r♥♥t

♥ ♦♠♣t t♦s s ♦s t♦r ①t♦♥ t rs ♥trt♦♥s té ♠ét♦ s

é♠♥ts st♥ts ♦ ♦s ♦♥s ♠♦♥tré q ét s ♦s ♥♠♥t

♥ ♣r♠t ♣s tr♦r t♦ts s ♥sttés r♣érés ♣r ♦t♦s t♥q

tért ♣r é♠♥t♦♥s ssss s ♦s ♥sts ♣r♠t r♣érr qs t♦tté s ♦s

♥sts ♥ ①♣q ♣r t q ♥stté rt♥s ♦s st ♥t ♣r

s s ♦s ♥ts Pr rs ♦♥ rtr♦ ♥ ♥♦♠r ♥♦♥ ♥é ♦s ♥sts

♠s q ♥♦♥t ♣s été r♣érés ♥ ♣t ♦rs ♦♥r q ♠ét♦

tért st ♦♥srt ♣r r♣♣♦rt à ♥ ①t ♠s q ♠♥t ♥stté

rsq êtr ①éré ❯♥ tr t♥q ♣r♠s r♥r ♦♠♣t s ♥trt♦♥s ♥tr s ♦s

♣r rr♦♣♠♥t qqs ♦s ♥ts ♣♦r s étr ♦♠♠ ♥ s ♦ réstt st

♦rs ♣s ♣r♦ q s ♦s s♦♥t étés sé♣ré♠♥t

st à ♥ ♣r♠èr ♣♣t♦♥ ♠♦è à ♥ ♠tt ♦s ♦t

étt ♠♦♥trr ♣♦ssté tsr ♣♦r ♥ rést s réstts s♦♥t ♣r♦♠t

P ❱ PP

trs ♠s ♣s rrs ♦♥t êtr tés ♥ ♦♠♣rr ♣s ♥ ét s réstts ♥

tr♠s é♣♠♥t t ♦♥tr♥ts t ♥♦♥ ♣s ♥q♠♥t ♣r ♥ ♠♥t rt à stté ♦

♥stté


♥s tt r♥èr ♣rt tès ♠♦è st ♣♣qé ♣♦r étr ♣r rt♦r

①♣ér♥ s ré t ♦s q t♦t ♥ té st♦ ②r♦rr

♥s ♥ ♠ r♦① s♦♥t♥ ♦s ♠♦♥trr♦♥s q ♥♦tr ♥♦ ♠ét♦ ♣r♠t éttr

tt ♥stté


r ♦ù ♥stté st ①é ♥s ♥ r♦ ss③ r rès ♠étsé♠♥tr

P ♠s ♥tr♣té ♣r ♣srs ♠s s♦♥t♥tés st ♦rt♠♥t ♣rés♥t

♥s tt ré♦♥ ♥ ♦rs ♦♥t s tr① ♠♥tt♦♥ r♦t♥ ♥t t ♣rès ①t♦♥

r

r ♥ rt♦♥ 42.5 t st sté à ♥ ♣r♦♦♥r ♠ st♦♥ ♣♦r

♠♥s♦♥s ♥r♦♥ 12.4m× 11.9m s ♦s ♦♥t té sr ♥ ♦♥r ♥r♦♥ ♠ ♥ rr

♠①♠ ♥r♦♥ ♠ t ♥ tr r♥t ♥tr t ♠ ré♥t ♥ r♥ t♦t ①

t♦♥ ♦♠♠ ♠♦♥tr r ❱ s ♦♥t s ♦r♠s é♦♠étrqs s ♥s r♦ts ♦s

♣♦sés à ♥ r ❱ q s①♣q♥t ♣r strt♦♥ s s♦♥t♥tés

s strts ♦r③♦♥ts é♦♣és ♣r s s♦♥t♥tés ♣♥ rt

s ♦♥tr♥ts rts ♥ts s♦♥t s ♦♥tr♥ts é♦sttqs ♥ ♠ss ♦♠q

ρ = 2700Kg/m3 s ♦♥tr♥ts ♦r③♦♥ts ♥ts ♥s trr♥ s♦♥t éés K0 = 2 s ♦♥ts

♦♥t s ♣r♦♣rétés ♠é♥qs s♥ts éts à ♣rtr sss ♦rt♦r sr s é♥t♦♥s

♣réés ♣r r♦tt Kn = 10000MPa/m Kt = 1000MPa/m φ = 27 t c = 0MPa

r ❱ P♦t♦ ③♦♥ ♦ù t ♦s


❱ é♥ért♦♥ é♦♠étr

♦s ♦♥s étr ♥s♠ s ♦s ②♥t té ♦♠♠ ét♥t ♥ s ♦ tt t♥q

rr♦♣♠♥t été sté ♣rr♣ ♣réé♥t é♦♠étr ♦ st r♦♥stté ♥

s s♥t sr ♥ ré ssrt♦♥ té sr s ♣r♦s r s éts ♦♥r♥♥t s

♠s s♦♥t♥tés ♥s ré♦♥ ♦ù ♥stté s♦♥t ♦r♥s ♣r t ❱

Pr rs s ♥s ♥ ♦rrs♣♦♥♥t à ③♦♥ ♥st ♣r♠tt♥t tr♦r s ♠ts

♦ ♦♠♠ ♠♦♥tr r ❱ é♦♠étr ♦ é♥éré st r♣rés♥té sr r ❱

❱ s♦♥t♥tés ♥s trr♥

rt♦♥ ♣♥ () P♥ ()

r ❱ ♥s ♥ ♦rrs♣♦♥♥t à ③♦♥ ♥st sr t♦t t♥♥ t trs ♦ é♥éré ♣♦r ét

r ❱ é♦♠étr ♦ t♦t r ♦♠ ♠3

❱ t

s éts ♣ré♠♥rs tés ♣r s rs♣♦♥ss ♣r♦t ♦ ❯ ♥♥t

♣s ♣ré ♣♣rt♦♥ ♥stté ♦♠♠ ♣rés♥ étt ♠♣♦rt♥t s tr①

P ❱ PP

♠♥tt♦♥ ♦♥t été ss ①étés ♣rès ①t♦♥ s ♣rss♦♥s s♣♣é♠♥trs ♥♦♥t ♣s été

♣rss ♥ ♦♠♣t ♥s s éts ♥t ♣r♦t t r♥t ♣ êtr rs♣♦♥ss t ♦s

♥s ♣rr♣ ♥♦s ♦♥s étr stté ♦ ♥ ts♥t ♠ét♦

♣srs ②♣♦tèss ♣♦sss

♣s ♣rs ♥ ♦♠♣t ♥ ♣rés♥ ♥ ♠♥tt♦♥

♣rs ♥ ♦♠♣t ♥ ♣rss♦♥ ♣♣qé ♥ t♦ts s s ♦

pe = 0.8MPa ♦rrs♣♦♥♥t à ♣rés♥ ♥♣♣ ♥ sr t ért♦♥ s ♣r♦

♣rétés ♦♥t à ♣rés♥ φ = 10

♣♣t♦♥ ♥ ♣rss♦♥ ♥ ♣rss♦♥ ♠♥tt♦♥ sr s♣érr ♦r③♦♥t

♦ pc = 3MPa ♦rrs♣♦♥♥t à ♣rss♦♥ ♥t♦♥

♣♣t♦♥ ♥ ♣rss♦♥ ♠♥tt♦♥ sr s♣érr ♦r③♦♥t ♦ pc = 3MPa

t ért♦♥ s ♣r♦♣rétés ♦♥t à ♣rés♥ φ = 10

r ❱ r♣rés♥t é♦t♦♥ t① ♦♥♥♠♥t ♥ ♦♥t♦♥ é♣♠♥t rt

♦ ♦s r♠rq♦♥s q ♣♦r qtrè♠ ②♣♦tès été é♣♠♥t ♦ st

s②♠♣t♦tq à ♥ ♥ ♦r③♦♥t ♥t ♥ ér♠♥t r t ♦

st ♦♥ ♣r♦♠♥t sé à ♦s ♣r ért♦♥ s ♣r♦♣rétés s ♦♥ts à é♦♠♥t

♥s s s♦♥t♥tés t ♣r ♣rss♦♥ ♠♥tt♦♥ q été ♣♣qé s♥s ♣rét♦♥s

♣rès ①t♦♥

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4

1−

λ

|Uz| (mm)

Calcul ISOBLOC, K0=2, Kn=10000 MPa/m, Kt=1000 MPa/m

φ=27°, pe=0 MPa, pc=0 MPa

φ=10°, pe=0.8 MPa, pc=0 MPa



r ❱ ♦rs ♦♥r♥♦♥♥♠♥t ér♥ts ②♣♦tèss r♠♥tt ♥s r♦tt♠♥t

♣rès tt ♣tt ét ♥♦s r♠rq♦♥s q ♥♦ ♠ét♦ ♣r♠t éttr ss③

r♣♠♥t ♥stté s♥s ♦r tsr s ♣♣r♦s q ♣r♥♥♥t ♦♣ t♠♣s

♥ s ♥rtts ♦♥r♥♥t s ②♣♦tèss à ♣r♥r ♣srs s ♣♦sss ♣♥t êtr étés

t ♣s rtq ♦s ♠ét♦ ♣r♠t ♥térr ♥s ♥②s s ♦♥tr♥ts

♥ts ♥s q s ♣rss♦♥s t t♦t r♠♥t ①térr s♣♣é♠♥tr

♠♥s♦♥♥♠♥t s♦tè♥♠♥t ♠♥s♦♥♥♠♥t s♦tè♥♠♥t st

té ♣r r♣♣♦rt qtrè♠ s été ♣♦r q ♦ été tr♦é ♥st ♣♣♦s♦♥s

❱ ②♥tès

q ♦♥ ♥str ♥ ♦♦♥ ♣r ♠2 s♦t ♣♦r ♦ été ❯♥ ét s♥sté st

té ♣♦r ♦sr ♠ètr ♦♣t♠ ♦♦♥ ♦ s rté ① ♦♣t♠ ♥ ♦♥sèr

q ♦♦♥ t ♦♠♠ ♥ t éstq ♦♥t rté st é s♥t rt♦♥

s♥t q s ♦♥r st L = 5.5m t ♠♦ ❨♦♥ r st E = 210000MPa r

❱ r♣rés♥t ♦r ♦♥r♥♦♥♥♠♥t ♣♦r ér♥ts rtés ①s ♣r ♦♦♥

♥ s♣♣♦s♥t q s ♦♦♥s s♦♥t ♥♦r♠é♠♥t ré♣rts sr s s ♦ st ♣s s♠♣

♦rs r ♠tr rté s ♥tr♦r ♦♠♠ ♥ s ♦♦♥ ♣ss♥t ♣r ♥tr

r ♥ rté ① é à s♦♠♠ s rtés ①s s ♦♦♥s

s ♦♦♥s ♠ètrs ♠♠ ♦ ♠♠ ♥ ♣r♠tt♥t ♣s ssrr stté ♦

♣r♠èr r rté ♣♦r q ♦ st st st Kb = 75MN/m q ♦rrs♣♦♥ à ♥

♦♦♥ ♠ètr ♠♠ ♦ ♥r♦♥ ① ♦♦♥s ♠ètr ♠♠ ♥s s é♣♠♥t

rt ♦ st ♥r♦♥ ♠♠ ♥s q s ♦♦♥s r ♦rs q q ♦♦♥

t ♥ ♣té ♠①♠ s♣érr à P♦r ♥ rté Kb = 100MN/m t ♣ré♦r

♥ ♣té ♠①♠ s♣érr à

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

1−

λ

|Uz| (mm)

Soutènement par boulonnage, Densité=1 boulon/m2, Rigidité du boulon Kb

Sans soutènement

Kb=19 MN/m (d=25 mm)



Kb = 100 MN/m

r ❱ ♦rs ♦♥r♥♦♥♥♠♥t ♣♦r 1 boulon/m2 ér♥ts rtés①s ♣r ♦♦♥

♥ ♦♥s♦♥ ♣♦r ♦r stté t ♥str s ♦♦♥s rté ① s♣érr à

♠ ♦ ♥ ♥sté ♦♦♥♥ ♣s éé q♥ ♦♦♥ ♣r ♠2 ♥♦tr ♦♥♥ss♥ s

♦♥t♦♥s s♦♥t s à ssrr ♥ ♣rtq ♦s és♦♥s q t ss♦r ♦♦♥♥ ♥

tr t②♣ s♦tè♥♠♥t

❱ ②♥tès

♥s ♣tr ♥♦s ♦♥s ♣ à trrs s ♣♣t♦♥s ♠ét♦ ①♠♥r

♥♦ ① ②♣♦tèss s rts à ♣♣r♦ s ♦s s♦és ♣rs ♥ ♦♠♣t ♥

r♦ r t t étr stté ♥ ♦ sté ♥ ♦♥tt ①t♦♥ ♦♠♠ s

①stt s ♥ ♥♦r♥t ♣rés♥ trs ♦s

♦♥r♥♥t ②♣♦tès rté ♥♦s ♦♥s ♠♦♥tré q ♦rsq ♠ss r♦s st éstq

P ❱ PP

st ♦♠♣♦rt♠♥t s s♦♥t♥tés q rét stté ♦ ♣s q é♦r♠té

r♦ ♥ ♦ s♦é ②♣♦tès r♦ é♦r♠ été té ♦

é♠♥ts st♥ts réstt st ♣s st q ②♣♦tès r♦ r ♣rs

♥ ♦♠♣t ♥ r♦ r st ♦rs ♦♥srtr ♥s s ♦ù ♦♥ r à ♥ r♦ résst♥t

♥tr♣té ♣r s s♦♥t♥tés Pr rs ♥♦s ♦♥s é ♦ s♥s

♣rs ♥ ♦♠♣t s♦tè♥♠♥t ♥ ♦♠♣r♥t r ♣♣qé à ♥ s ♦

①è♠ ②♣♦tès été éré ♥ ♦♠♣r♥t réstt ♠ét♦ à

♥ ♣r♥♥t ♥ ♦♠♣t t♦s s ♦s t♦r ♥ ①t♦♥ s♦trr♥ ♦

st tsé ♣♦r é♥érr s ♦s t ♣♦r étr r stté ♣♣♦♥s q ♠ét♦ s é♠♥ts

st♥ts tsé ♣r st sé sr ♥ ♣♣r♦ ②♥♠q s ♦s ♥sts s♦♥t ① q

♦♥t s tsss éés à ♥ é♦♥♥♠♥t sr r t♥♥

s ♦s stés à sr ①t♦♥ s♦♥t ♥st ré♣érés ♣♦r êtr étés ♠ét♦

♦♥ ♥ér ♠ résé ♣♦r ♠♦è é♦r♠ st tsé ♣♦r

ét s ♦s ♥ ①tr②♥t ♥q♠♥t s ♥♦r♠t♦♥s ♦♥r♥♥t ♠

srq ♥ ♣r♦r♠♠ é♦♣♣é ♥ s s ♦s ♥sts s♦♥t ① ♣♦r

sqs éqr ♥ ♣t ♣s êtr stst à ♥ é♦♥♥♠♥t r rt♥s ♦s

tr♦és ♥sts s♦♥t tr♦és sts é♥♠♦♥s s ♦s s♦♥t ♥ts

à s ♦s ♥sts ♥♦s ♠è♥ à ér q ♥stté rt♥s ♦s

♣♦rrt êtr ♥t ♣r ♥stté ♦s q r s♦♥t ♥ts P♦r tt rs♦♥ ♥♦s ♦♥s

té ♥ s♣♣é♠♥tr ♣♦r r♥r ♦♠♣t ♣é♥♦♠è♥ s ♦s tr♦és ♥sts

r♥t ♣r♠r s♦♥t é♠♥és ♦s ♦t♥♦♥s ♥ ♥♦ sr r

①t♦♥ ♥tér♥t s s q ét♥t ♥ts ① ♦s é♠♥és s ♦s s♦♥t ♥♦

♣r♦rs t és tt ♣r♦ér st ré♣été t♥t ♦s sqà ♥ ♣s tr♦r ♦s

♥sts tért t♦s s ♦s ♥sts s♦♥t ss rtr♦és ♦♠♠ ét♥t

♥sts é♥♠♦♥s tt t♥q t♥ à ①érr s ♥sttés t ♦♥ ♦t êtr

tsé tt♥t♦♥

♥ ♦tr ♥ tr t♥q ♣♦r r♥r ♦♠♣t t ♥trt♦♥ ♥tr s ♦s

été tsté s ♦s tr♦és ♥sts s♦♥t rr♦♣és s ♦s q r s♦♥t

♥ts tr♦és sts t étés ♦♠♠ ét♥t ♥ s ♦ tt t♥q ♦♥ rtr♦ q

t ♥s♠ ♦ st ♥st ♦♠♠ ♣♦r réstt té rst ♦sr ♦♥

rr♦♣♠♥t à tr

❯♥ r♥èr ♣♣t♦♥ ♦♥r♥é ♥ ①♠♣ ré t ♦ ♠ét♦

été ss♥t ♣♦r étr♠♥r ♣r rt♦r ①♣ér♥ s ss tt t

s éts ♦♥r♠♥t t q ♠ét♦ ♣t êtr t♠♥t ♥ ssttt ♥

♠ét♦ ♦s ♠t♣s tért ♣r♠s r♥r ♦♠♣t ♥trt♦♥ ♥tr s

♦s t t ♥stté q ♣t ♥r rt♥s ♦s sr trs ♦♠♠ ♥♦s ♦♥s r♠rqé

q ♥stté s ♦s ♣t êtr tr♥s♠s ① ♦s ♥ts ♥♦s ♣♦♦♥s r ré♣r♦q♠♥t

q s s ♦s s ♣s rtqs s♦♥t stsés st ss♥t ♣♦r stsr ♥s♠ ♠ss

r♦s t♦r ①t♦♥ ♦s s♣♣♦s♦♥s ♦rs q s ♦s s ♣s rtqs s♦♥t ① tr♦és

♥sts ♣r♠r Ps rrs ♦♥t êtr ♥tr♣rss ♣♦r r

s r♠t♦♥s

s ♣♣t♦♥s ♣tr ♥♦s ♦♥t ♣r♠s ♦r ♣s ♦♥♥ ♥ tst♦♥

♠ét♦ ♣♦r ét stté ♥ ①t♦♥ ♥s ♥ ♠ r♦① s♦♥t♥ t

♣r st ♣♦r ♠♥s♦♥♥♠♥t s♦tè♥♠♥t ❯♥ s s ét été résé ♥ tr

s ♦♠♣rs♦♥s ♥tr ①t ♣rs ♥ ♦♠♣t t♦s s ♦s t

❱ ②♥tès

♠ét♦ srt ♥térss♥t ♥s tr résr s ♦♠♣rs♦♥s s♣♣é♠♥trs

♥ s♥t rr s ♦♥tr♥ts ♥ts t strt♦♥ s s♦♥t♥tés ♣♦r ♦♥r♠r q

♠ét♦ st ♥s t♦s s s ♣♦sss

❯ PP❱

♦t tès été é♦♣♣r ♥ ♥♦ ♠♦è ♦s s♦és ♣♦r ét

stté s ♦s r♦① t♦r s ①t♦♥s s♦trr♥s ♣♣r♦ s ♦s s♦és ♦♥sst à

♥②sr q ♦ sté à sr ①t♦♥ ♥ s♣♣♦s♥t q st r t q rst

♠ss r♦s q ♥t♦r st r t ① st ♥ s♠♣t♦♥ ♣r r♣♣♦rt ① ♠♦ès

♦♠♣①s q ♣r♥♥♥t ♥ ♦♠♣t t♦s s ♦s t♦r ①t♦♥ t rs ♥trt♦♥s t

ssrr stté s ♦s s♦és st s♣♣♦sé êtr ss♥t ♣♦r r♥tr stté ♦r

s♦trr♥ é♥♠♦♥s ♠ré s♠♣té ♣♣r♥t ♣r♦è♠ ét ♦r♣q ♠♦♥tré

q s ♠ét♦s ①st♥ts ♦♣t♥t ♣♣r♦ s ♦s s♦és ♣♦ssè♥t ♣srs ♥ss♥s

• s ♦♥tr♥ts ♥ts ♥ s♦♥t ♣s ♣rss ♥ ♦♠♣t ♦ s♦♥t ♠♣r♥tés ♥ ♥ ♠

♦♥t♥ ♥♦r♥t ♣rés♥ s s♦♥t♥tés

• s ♦s ♦♠♣♦rt♠♥t s ♦♥ts ♥ s♦♥t ♣s ♥térés à ♥②s ♥ é♥ér ♠♥t ♥s

♠ét♦ ①t♦♥ ♦♥ ♣r♥ ♥ ♦♠♣t ♦♠♣♦rt♠♥t s ♦♥ts ♠s ♣♣r♦ rst

♠té à s s très ♣rtrs ♦s ① t♦ts ♠♦♠♥ts tr♥st♦♥

• rés♦t♦♥ ♣r♦è♠ st é♦♣é ♥ ♥ ♥②s ♥é♠tq ss♥t♠♥t sé sr

é♦♠étr ♦ t ♠té ① tr♥st♦♥s s ♥ ♥②s ♠é♥q rt♥s éts

♦♥t ♥tr♦t ♥ ♥②s ♥ r♦tt♦♥ q st t♦t♦s ♥ss♥t ♣s ♦♥sért♦♥

♥♥ s ♦rts sr ♠♦♠♥t r♦tt♦♥ ♣s ♣rs ♥ ♦♠♣t s ♣♦sstés

♠♦♠♥ts s♠t♥és ♥ tr♥st♦♥ t ♥ r♦tt♦♥

• s ♦rts s♦♥t ♥♦r♠sés sr s s ♦ ♥ ♦r ♣r

♥t q s ♥♦♥♥s ♣r♦è♠ s♦♥t s ♦rts ss♥t sr s s ♦ s♦é r

st ♥étr♠♥é s ♦♥ ♦♥sèr ♥q♠♥t s éqt♦♥s éqr s ♥ss♥s s ♠ét♦s

♦♥♥t♦♥♥s s♦♥t réstt tst♦♥ ②♣♦tèss s♠♣trs ♣♦r ♣♦♦r rés♦r

♣r♦è♠ ♥♦♥ ♣rs ♥ ♦♠♣t s ♦♥tr♥ts ♥ts st ♣t ♣♦r ♥②s s ♦s

stés ♥ s ♣♥ts r♦ss t s ①t♦♥s ♣ ♣r♦♦♥s tt ②♣♦tès ♥st ♣s

r♦rs ♥ s♦trr♥ ♦ù s ♦♥tr♥ts ♣♥t ♦r ♥ t ♠♣♦rt♥t sr ♦♠♣♦rt♠♥t

♦

❯ PP❱

♠ét♦ é♦♣♣é ♥s tt tès ♣r♠t r à ♥étr♠♥t♦♥

♣r♦è♠ ♥ ♣r♥♥t ♥ ♦♠♣t st♦rq s s♦tt♦♥s ss♥t sr ♦ ç♦♥ r♦rs

♥ ♣rt♥t t q s ♦♥tr♥ts ♥ts ♥t ①t♦♥ s♦♥t ♦♥♥s t s♦♥t ♣♣qés sr

t♦ts s s ♦ ♣ss à étt ♥ ♣rès ①t♦♥ s t ♣r ér♠♥t ♥

r♦♥tèr ♦ q ♥t s r♦♥tèr r é♦t♦♥ s ♦♥tr♥ts sr s s ♦ ♦ét

① ♦s ♦♠♣♦rt♠♥t s ♦♥ts é♣♠♥t ♥ ♣♦♥t ♦♥♥é st ét é♣♠♥t ♥

♣♦♥t réér♥ ♦s ♦♠♠ ♥tr rté ♦ t s r♦tt♦♥ ♠♦♠♥t ♦r♣s

s♦ s éqt♦♥s éqr s ♦rs t s ♠♦♠♥ts ♣r♠tt♥t ♦tr à ♥ s②stè♠ ♥ér

♦ù s ss ♥♦♥♥s s♦♥t tr é♣♠♥t t r♦tt♦♥ ♣♦♥t réér♥ étr♠♥t♦♥

s ♥♦♥♥s ♣r♠t ♦r ès à t♦ts s trs rs é♣♠♥ts t ♦♥tr♥ts ♥ t♦t

♣♦♥t ♦ ♦ été st ♠é t s ♦♥♥és ♦♥tr♥ts ♥ts rtés s ♦♥ts s♦♥t

é♥s ♥ s ♥÷s é♦♣♣♠♥t s②stè♠ à rés♦r ♥ésst ♥térs

srs t♥q ♥♠érq tsé st s ♣♦♥ts ss st ♦rs ♣♦ss étr

♥♠♣♦rt q é♦♠étr ♦ st à tstr é♥r r♦♥tèr ♦ ♣r s ♠s

♣♣r♦♣rés

♥s ♣r r♣♣♦rt ① ♠ét♦s ♦♥♥t♦♥♥s ♥♦ ♠ét♦ ♣r♠t ♣♣♦rtr s

♠é♦rt♦♥s s♥ts

• ♣rs ♥ ♦♠♣t s ♦♥tr♥ts ♥ts

• ♥tért♦♥ ♦ ♦♠♣♦rt♠♥t s ♦♥ts

• ♣rs ♥ ♦♠♣t s ♠♦♠♥ts s♠t♥és tr♥st♦♥ t r♦tt♦♥

• ♦♥sért♦♥ ♥ ré♣rtt♦♥ ♥♦♥ ♥♦r♠ s ♦♥tr♥ts sr s s ♦ à t♦t ♠♦♠♥t

st♦rq ♦

① ♠♦ès ♦♣t♥t tt ♠ét♦ ♦♥t été é♦♣♣és t èr♥t ♣r ♦ ♦♠♣♦rt♠♥t

ss♦é ① ♦♥ts ♥s ♣r♠r ♠♦è ♣tr ♦ ♦♠♣♦rt♠♥t s ♦♥ts st éstq

♥ér s rtèrs ♣stté ♦r♦♦♠ t ♦♥tt ♥tér ♣s trt♦♥ ♥ s♦♥t

♣s rs♣tés r♥t ér♠♥t r♦♥tèr r ♦ stté ♥st ♦rs éé q

♣♦str♦r ♥ r♥t s s rtèrs ♦♥t été ♦és ♥ ♥ ♣♦♥t ♦♥♥é ♦

♠♦è ♥ér été é ♣r r♣♣♦rt à ♥ ts♥t ♠ét♦ s é♠♥ts ♥s

♥ ♦s ♦♥s ss ♠♦♥tré q réstt s r♣♣r♦ ♥ ♣r♥♥t ♥

♦♠♣t ♥ r♦ é♦r♠ ♣♦r s rtés éés r♦ Pr rs s ér♥ts éts

♣r♠étrqs ♥ ♦♥r♥♥t s ♦♥tr♥ts ♥ts t s rtés s ♦♥ts ♦♥t ♣r♠s ♦tr

① ♦♥s♦♥s s♥ts

• r♣♣♦rt s rtés ♥♦r♠ t t♥♥t Kn/Kt ♥ rô ♠♣♦rt♥t sr ♦♠♣♦rt♠♥t

♦ ♥ é♥ér stté ♠♥ ♦rsq r♣♣♦rt ♠♥t

• ♠♥tt♦♥ s ♦♥tr♥ts ♦r③♦♥ts ♥ t sts♥t sr ♥ ♦ s②♠étrq sté

t♦t P♦r ♥ tr ♦♥rt♦♥ ♠♥tt♦♥ r♣♣♦rt ♣t ♦r ♥ t ésts♥t

• t♥♥ à r♦tt♦♥ ♦ st té ♣r s ♦r♠ é♦♠étrq t ♣r s♦♥ r♠♥t

♥t ♠♣t r♦tt♦♥ ♠♥t ♦rsq ♠♦♠♥t ♣r r♣♣♦rt ♣♦♥t réér♥

①ré ♣r s ♦♥tr♥ts ♥ts ♣♣qés sr sr r ♦ st éé

s ♦♠♣rs♦♥s ♠ét♦ s ♦s és ♦♥t ♠♦♥tré q ♥ ♦♥♥ ♣s ♥ réstt

sértr ♣♦r t♦s s s r♠♥ts t ♣♦st♦♥s t♦r ①t♦♥ ♦t é♣♥ s

♦♥tr♥ts ♥ts t s rtés s ♦♥ts

♠♦è ♥ér éstq st srt♦t t ♥s s♥s stté à s♦r q s s

♦♥tr♥ts à étt ♥ s♦♥t ♣stq♠♥t ♠sss ♦♥ ♣t ér rtt q ♦

st st ♦t♦s s ♦♥ r♠rq q rtèr été é♣ssé ♦♥ ♣t ér q ♣stt♦♥

❯ PP❱

♦♠♠♥é s♥s ♣♦♦r ♦♥r ssr♥ q ♦ st ♥st ♠♦è été ♠é♦ré

♥s ♣tr ♥ ② ♥tér♥t s ♦s ♦♠♣♦rt♠♥t ♥♦♥ ♥érs s ♦♥ts

• ♥ ♦♠♣♦rt♠♥t ②♣r♦q ♥s rt♦♥ ♥♦r♠ ♥ ♦r s sss ♦♠♣rss♦♥

sr s ♦♥ts r♦①

• ♥ ♦♠♣♦rt♠♥t ést♦♣stq ♥ s♠♥t ♦♠♠ rtèr ♣stté rtèr

♦r♦♦♠ t ♦♠♠ ♣♦t♥t ♣stq rtèr ♦♦♠ ss♦é à t♥

• ♣rs ♥ ♦♠♣t s stt♦♥s é♦♠♥t ♦♥tr♥t ♥♦r♠ ♥ét ♥ ♦♠♣rss♦♥

tt♥t ♥ r ♠①♠ ♥

♠ét♦ ♥♠érq ♦♣té ♣♦r rés♦r ♣r♦è♠ ♥♦♥ ♥ér st ♥ ♥tért♦♥ ①♣t

♥s t♠♣s ♥é♠tq ♦rrs♣♦♥♥t t① ér♠♥t ♦ ♣ss ♦rs ♣r s étts

éqr ssss t s ♦♥tr♥ts s♦♥t ♣stq♠♥t ♠sss à t♦t ♠♦♠♥t st

rrêté t① ér♠♥t ♦ù rtèr é♣ss ♥ r ♠t ♣ré①é ♣r♦ ③ér♦

♦r ♦♥r♥♦♥♥♠♥t ♣r♠t sr ♦♥tr♥t ♦♥♥♠♥t ♥ ♦♥t♦♥

é♣♠♥t ♦ ♥ ♥ ♣♦♥t ♦♥♥é t ♥s ♥ rt♦♥ ♦♥♥é ♥trst♦♥ ♦r

r s♦tè♥♠♥t ♣r♠t st♠r ♣rss♦♥ éqr ♥tr ♦ t s♦tè♥♠♥t Pr

rs s♦tè♥♠♥t été ♥téré ♦ é♦♣♣é ♣r ♥ ♠tr rté ♦rrs♣♦♥♥t

st ♣rs ♥ ♦♠♣t ♥q♠♥t à ♣rtr ♥ t① ♦♥♥♠♥t q ♦♥ ♣rés ①♣rss♦♥

♠tr rt à s ♦♦♥s tr♥t ♥ trt♦♥ été é♦♣♣é ♦♥♥ss♥t ♠♣♠♥t

♥ s rt♦♥ t s rté ① ♦s ♦♥s ♠♦♥tré sr ♥ ①♠♣ ♣♣t♦♥ q tt

♠ét♦ ♥tért♦♥ s♦tè♥♠♥t ♣r♠t ♥♦♥ s♠♥t rtr♦r ♠ê♠ réstt q

♠ét♦ ♦♥r♥♦♥♥♠♥t ♠s ss sr t s♦tè♥♠♥t sr ♦ r♥t t♦t

s♦♥ st♦rq ér♠♥t

♠♦è ♥♦♥ ♥ér été é ♣r ♦♠♣rs♦♥ à ♥ ts♥t ♠ét♦ s é♠♥ts

st♥ts ♣♣qé à ♥ ♦ s♦é été ♠♦♥tré ♣♦r ①♠♣ été q ②♣♦tès rté

st sértr ♣r r♣♣♦rt à ♣rs ♥ ♦♠♣t ♥ r♦ é♦r♠ Pr rs ♠ét♦

♥tért♦♥ s♦tè♥♠♥t ♣r ♦♦♥♥ été é♠♥t é

s éts ♣r♠étrqs sr ♠♦è ♥♦♥ ♥ér t ♦♠♣rs♦♥ ♣r r♣♣♦rt ♠♦è

♥ér ♦♥t ♣r♠s ♦tr ① ♦♥s♦♥s s♥ts

• ♣rs ♥ ♦♠♣t ♥ ♦ ♦♠♣♦rt♠♥t ♥♦r♠ ②♣r♦q st ♣s sértr q♥

♦ ♦♠♣♦rt♠♥t ♥♦r♠ ♥ér

• ♥♦ ♠♦è ♣r♠t sr é♦t♦♥ ♦♠♣♦rt♠♥t ♦ ♥s ♣s ♣s

tq ♦ ♣t êtr st ♠ê♠ s ♥ ♣rt s r♦♥tèr ♣sté

• P♦r ♥ s♦tè♥♠♥t ♦♥♥é q t ♥s ♣s ♣stq ♣rss♦♥ ①ré à éqr

sr s♦tè♥♠♥t st ♣s éé ♣♦r ♠♦è ♥♦♥ ♥ér q ♣♦r ♠♦è ♥ér

♥s ♠♦è ♥♦♥ ♥ér ♣r♠t ♥ ♥②s ♣s rést é♦t♦♥ s ♦♥tr♥ts sr s s

♦ P♦r ♥ réstt r♦r① st ♥éssr à s ♠ét♦ ♥♠érq ♥ré♠♥t

♦♣té résr ♥ ♥♦♠r éé ♣s ér♠♥t s♣érr à ♦♥r♥♥t ♠

♦♥ ♥ ♣s s♦♥ tr ♥ é♦♣ très ♥ râ à tst♦♥ éé♠♥ts ♥ ♥♦♠r

éé ♣♦♥ts ss ♣♦♥ts ♣♦r éé♠♥t tr♥ t ♣♦r éé♠♥t rré t♠♣s

st ♦rs très rs♦♥♥ ♥ q ♥♦s ②♦♥s ♠té ét à ♦ ré♦♦q éà ①♣té

ést♦♣stté ♣rt ♠♦è ♥♦♥ ♥ér st ♦♥strt ç♦♥ à ♣♦♦r ♣r♥r ♥ ♦♠♣t

♥♠♣♦rt q tr ♦ ré♦♦q

r♥r ♣tr été ♦♥sré à ♥②s stté ♥ ♥s♠ ♦s t♦r ♥

①t♦♥ s♦trr♥ ♠♦è ♦♥ ♥ér t à ♥ ♦♠♣rs♦♥ ♠ét♦

s é♠♥ts st♥ts ♠♦è é♦♠étrq ①t♦♥ é♥ért♦♥ s s♦♥t♥tés t

❯ PP❱

s ♦s ♣s ♠ét♦ s é♠♥ts st♥ts ♦♥t été résés ♦

♥st s ♦s stés ♥ ♦♥tt ①t♦♥ ♦♥t été étés ♥ à ♥ P♦r

r♥r ♦♠♣t t ♥stté rt♥s ♦s sr s ♦s ♥ts ♠ét♦

♥ tért été ♥tr♣rs ♣r é♠♥t♦♥s ssss s ♦s ♥sts ❯♥ tr

ts♥t t♥q rr♦♣♠♥t ♦s sts t ♥sts ♥ts ♥ s ♦♥sér♥t

♦♠♠ ét♥t ♥ ♦ été té s ♦♠♣rs♦♥s ♠ét♦ s ♠♥ts st♥ts ♦♥t

♣r♠s ♦tr ① ♦♥s♦♥s s♥ts

• s♥s tért♦♥s ♥ ♣r♠t ♣s r♣érr t♦s s ♦s tr♦és ♥sts

• tért ♣r♠t rtr♦r t♦s s ♦s ♥sts é♥♠♦♥s rsq ①é

rr étt ♥stté ①t♦♥ ♣sq rt♥s ♦s sts s♥t s♦♥t rtr♦és

♥sts s♥t

• t♥q rr♦♣♠♥t ♣♣qé sr ♥ ①♠♣ ♦♥♥é été t ♣♦r rtr♦r ♥

♥ ♥stté rt♥s ♦s sr s ♦s ♥ts

♥♠♥t ♥♦ ♠♦è été ♣♣qé ♣♦r ♥②sr ♥ t ♦s q ♥s

①♠♣ ré ♥ té st♦ t s♦tè♥♠♥t ♥éssr été ♠♥s♦♥♥é

♥ ♦♥s♦♥ tr rr ♣r♠s ♠① ♦♠♣r♥r ♦♠♣♦rt♠♥t ♦

s♦é t ♣♣♦rtr ♥ ♦♥trt♦♥ ♣r r♣♣♦rt ① ♠ét♦ ①st♥ts ♥s st tr

rr ♥♦s ♣r♦♣♦s♦♥s s ♣rs♣ts s♥ts

• P♦rsr s tr① t♦♥ ♣r r♣♣♦rt à ♥ ①t ♣r♥♥t ♥ ♦♠♣t t♦s s

♦s t rs ♥trt♦♥s ♠ét♦ s é♠♥ts st♥ts sr ♥térss♥t tstr ♣srs

s strt♦♥s t ♣r♦♣rétés ♠é♥qs s s♦♥t♥tés ♥s q ér♥ts r♠♥ts

♥t① ♥s t étr♠♥r ♥s qs stt♦♥s ♠ét♦ ♣r♠t

r♠♣r ♥ ①t Pr rs ♦♥ ♣t ♥sr érr s s ♦s tr♦és ♥sts

s♥t s♥s tért s♦♥t ré♠♥t s ♦s s ♣s rtqs P♦r

r ♦♥ ♣♦rr tr ♥ ♥ ♥st♥t ♥ s♦tè♥♠♥t s♣éq♠♥t

♥ s ♦s ♥ ♥stté ♥ ♥♦s ♣♦rr♦♥s ér q s ♦s tr♦és

♥sts s♥t ♣r♠r s♦♥t ré♠♥t s ♦s és ♦s ♣r♦r♦♥s

♦rs q st ♠♥s♦♥♥r s♦tè♥♠♥t rt♠♥t à s ♦s ♣♦r r♥tr stté

t♦t ①t♦♥

• ♠é♦rr rtèr ét♦♥ ♥stté

• ♣♣qr ♦ sr s s rés ♦s ♥str♠♥tés ♣♦r ♦♠♣rr s rs

s é♣♠♥ts ♣t s r ♥ st ♦ ♥ ♦rt♦r s ♠qtts ♣♣r♦♣rés

• r s tsts s♣♣é♠♥trs ♦♠♣rs♦♥ s ♠♦ès é♦r♠s ♣♦r érr q

②♣♦tès r♦ r st ♦♥srt ♥s t♦s s s s é♥t ♥sr ♣rs

♥ ♦♠♣t é♦r♠té r♦ ♥s ♠♦è

• ♥tr♦r trs ♦s ré♦♦qs ♦♥ts t ssr à tstr ♦sr ♦ ré♦♦q

♣r♠ ♥ st ♣ré♣r♦r♠♠é

• é♦♣♣r ♥ é♥értr ♦s à ♥térr ♥ ♠♦♥t ♦ t ♥sr ♦

♣♦r q s♦t ts ♣r s ♥é♥rs

❳


é♥ért♦♥ s ♦s t♦r ♥ ①t♦♥ st ét♣ q ♣réè ét stté s ♦s

t♦r s ①t♦♥ s♦trr♥s tt ♥♥① ♣rés♥t ♥ r ♣rç s ér♥ts ♠ét♦s

s♣♦♥s ♥s ttértr ♦s ♦♠♠♥ç♦♥s ♦r ♣r ♣rés♥tr s t♥qs é♥ért♦♥

s s♦♥t♥tés

é♥ért♦♥ s s♦♥t♥tés

é♥ért♦♥ s s♦♥t♥tés ♣t êtr t ér♥ts ♠♥èrs

• s s♦♥t♥tés s♦♥t ♥tr♦ts ♥♠♥t ♥ ♦♥♥t ①t♠♥t ♣♦st♦♥ t ♦r♥

tt♦♥ ♥

• s s♦♥t♥tés s♦♥t ♥tr♦ts ♣r s ♠s rtérsés ♣r s ♦s ♣r♦té ♦♥r

♥♥t rs ♦r♥tt♦♥s rs s♣♠♥ts t rs ①t♥s♦♥s s s s♦♥t ♥s

• ♦rsq ♣♦st♦♥ ①t s s♦♥t♥tés ♥st ♣s ♣rs ♥ ♦♠♣t ♦♥ ts s ♦♥♥és

♦♥r♥♥t r ♦r♥tt♦♥ ♣♦r é♥érr s ♦s ♦♠ ♠①♠ à sr ♥ ①

t♦♥

♦♥r♥♥t rs ♦r♠s é♦♠étrqs s s♦♥t♥tés ♣♥t êtr

• s ♣♥s ♥♥s

• s ♣ss

• s sqs

• s ♣♦②♦♥s q♦♥qs

s s♦♥t♥tés ♣♥t êtrs ♥tr♦ts t♦ts à ♦s ♦ ♥ rs♣t♥t st♦rq r

♣♣rt♦♥ ♦♠♠ ♥s ♠ét♦ ♦t ❬❪

❳

é♥ért♦♥ s ♦s

ét♦ r♣rés♥tt♦♥ r♦♥tèr

st ♥ ♠ét♦ q ts t♦♣♦♦ ♦♠♥t♦r ♣♦r r♣rés♥tr s srs s ♦s

été é♦♣♣é ♣r ♣srs trs ♥ t ❬❪ ♥ t t♣♥ss♦♥ ❬❪

♥ ❬❪ ♦ts s s♦♥t♥tés s♦♥t ♥tr♦ts à ♦s s ♣♥t ♦r s ♦r♠s t

s ts q♦♥qs ♦rt♠ ♣r♠t ét é♦♠étrs rés ♦s ♦♥①s ♦ ♦♥s

♥ ♥♦♠r q♦♥q s

♣r♦ér é♥ér ♣rès ♥ ❬❪ s rés♠ ♦♠♠ st

• s ♥trst♦♥s ♥tr s s♦♥t♥tés ♣♦r é♥r s s♠♥ts ♥trst♦♥

• ♥trst♦♥ s s♠♥ts ♣r♠t étr♠♥r s ♥÷s t rs ♦♦r♦♥♥és s ôtés

s♦♥t ♦rs é♥s ♣r ♣rs ♥÷s

• ♠♥t♦♥ s s♠♥ts q ♥ ♣rt♣♥t ♣s à ♦r♠t♦♥ s r♠és s♦♥t s

s♠♥ts q ♦♥t ♠♦♥s q ① ♥trst♦♥s trs s♠♥ts

• ♥tt♦♥ s s rés s♦♠♠tsôtés ♦♥stt ♥ r♣ ♣♥r ♥

q s♦♥t♥té s s ♣♦②♦♥s s♦♥t ♥tés ♣r s ♦s ♥ ♣r♦r♥t s ôtés

st ♥ ♣r♦è♠ ♠♥s♦♥♥ t ♦rt♠ st ért ♥ ét ♣r ♥ t t♣♥ss♦♥ ❬❪

• ♠♥t♦♥ s s q ♦♥t ♠♦♥s q tr♦s s♦♠♠ts ♥♦♥ ♦♥érs t s s ♣♥♥ts

• ♥tt♦♥ s ♦s trç ♥ ♦ ♦♠♠♥ ♣r ♥ ♦♥♥é s♥t ♦t

r ♥ ♥ ♠♥♠ t s sérs ♦♥♥és sr s ♦♥♥ttés

ôté s♦♠♠ts♦♠♠t s♦♠♠tôté s♦♥t ts ♣♦r tt ♦♣ért♦♥ ♦r♠ r

P♦♥ré ♥ ♣♦②èr st ♣♣qé ♣♦r érr té réstt

s ♥ts tt ♣♣r♦ s♦♥t s s♥ts

• s ♦s é♥érés ♣♥t êtr ♦♥①s ♦ ♦♥s ♦rt♠ ♣r♠t ♥tt♦♥ s

♦s s tés

• s②stè♠ ♦s st rést râ à tst♦♥ rtrs t ♥ t tst♦♥

♠♥♠ rtrs rts ♣♦r é♥r s ♠ts ♠♦è t s sr rs

• ♦♥♥tté ♥tr s rtrs st ♥ r♣rés♥té

s ♠ts tt ♣♣r♦ s♦♥t

• s ért♦♥s ♦rt♠ ♦♥t été ts ♥q♠♥t sr s ①♠♣s très s♠♣s

• s rtrs rts s♦♥t tsés ♣♦r s♠r ①t♦♥

• s ♦♥♣ts s♠♣① t ♦♠♣① s♦♥t tsés ♠s ♥ s♦♥t ♣s ♥éssrs ♣♦r trt♠♥t

♥♠érq

t ❬❪ ♦♥t tsé ♥ ♣♣r♦ t♦♣♦♦q ♥ ♦rt♠ ♣s s♠♣ q

♥ t ❬❪ ♥ t t♣♥ss♦♥ ❬❪ t ♥ ❬❪ r ♠♦♥tr ♥ ①♠♣ s♠♣

é♥ért♦♥ ♦s ♣rès t ❬❪ s ♥ts s ♠ét♦ s♦♥t s s♥ts

• ♦♥s ♦♥♣ts t♦♣♦♦qs s♦♥t tsés

• s ♦s éé♥érés s♦♥t ♣rss ♥ ♦♠♣t t ♥ ♣♦sttrt♠♥t s s s rtrs st

té

• ♣♦ssté r♣rés♥tt♦♥ s srs ♦rs st ♣rs ♥ ♦♠♣t

♦t♦s ♦rt♠ st ♠té à qqs s♦♥t♥tés t à s r♣rés♥tt♦♥s s♠♣s ♥

ért♦♥ ♦rt♠ ♥ été t sr s ♠♦ès ♦♠♣①s


r ①♠♣ é♥ért♦♥ s ♦s t ♣♦sttrt♠♥t s rtrs ♣rès t ❬❪

♣♣r♦s t♦♣♦♦qs ré♥ts

♣♣r♦ ♦ ♥r♦ ♦rt♠ ❨ t ❬❪ q st à s

♦ ♥r♦ st s ét♣s s♥ts

• ♦♠♥ ♠♦ést♦♥ ♥ é♥t sr r st sé ♥ s s♦s♦♠♥s

♦♥①s ♥t ♥tr♦t♦♥ s s♦♥t♥tés sr r st ♦r st ♣♣r♦①♠é

♣r ♥ sér srs ♣♥s ♥♦♠r ♦♠♥s ♠♥t ♣rés♦♥ é♦♠étrq

q♦♥ t ♦r

• s s♦♥t♥tés s♦♥t ♥tr♦ts ♥ ♦♥sér♥t qs s♦♥t ♥♥s t s q ♥ ♦♥t ♣s

♦♥trr à ♦r♠t♦♥ ♦s s♦♥t é♠♥és

• s ♥trst♦♥s s s♦♥t♥tés s♦♥t és t s ♦s r♣érés ♥ q s♦s

♦♠♥ ♦♥①

• s s♦♥t♥tés s♦♥t rsttés à r ts rés ♥ ♦♥sér♥t qs ♦♥t ♦r♠

sqs

• s s♦s♦♠♥s s♦♥t ss♠és s ♦s q ét♥t sé♣rés ♣r s rtrs rts à

s s♦♥ ♥t ♥ ♦♠♥s ♦♥①s s♦♥t ss♠és s ♦s ♦r♠ ♦♥

♣♥t s ♦r♠r

s ♥ts tt ♣♣r♦ s rés♠♥t ♦♠♠ st

• st ♥ ♣r♦ér s♠♣ s♦♥ ♥ s♦s♦♠♥s ♦♥①s ♣r♠t tr♥s♦r♠r

♣r♦è♠ ♦r ♥tt♦♥ ♦s t♦r ①t♦♥s ♦♠♣①s ♥ ♥ ♣r♦è♠ s♠♣

é♦♠étr ♦♥①

• s♦♥ ♥ s♦s♦♠♥ ♣r♠t ♠♦ésr s ♠sss r♦① étér♦è♥s

s ♠ts tt ♣♣r♦ s♦♥t

• s s♦♥t♥tés ♣♥t ♥q♠♥t ♦r ♥ ♦r♠ sq

• t♠♣s ♠♥t ♦rsq ♥♦♠r s♦s♦♠♥s ♠♥t

• rst ♥♦r à tstr ♣té ♦ ♥r♦ ♣♦r trtr s ①♠♣s ♥

♥♦♠r éé s♦♥t♥tés

ét♦ ♠♦è ♠♦t t ❬❪ és♥é ♣r trtr ♦♥

♦rt♠ st ♥ ♠♦è t♦♣♦♦q ♠é♦ré ♣♦ssè s ♥ts s♥ts

• s s♦♥t♥tés é♥érés ♣♥t êtr ♥ ♥♦♠r très éé sqà rtrs ♣r

♠tt♥t é♥érr s ♠rs ♦s

• s s♦♥t♥tés ♣♥t êtr ♥♦♥ ♣♥s ♥ ♥tr♦s♥t s srs tr♥és ♦♠♠

♠♦♥tr r

❳

• ♣r♦r♠♥ ♦rt♠ t rr s réstts ♦♥t été érés sr s s rés

♦♠♣①s

r ①♠♣s é♦♠étrs s♦♥t♥s é♥érés ♠ét♦ t♥♥ ♥tér♥t ♥ s♦♥t♥té ♥♦♥ ♣♥ t ♠♦è ♥ té s♠ s♣érq ♣rès ♠♦tt ❬❪

ét♦ s♦♥s ssss s♣

st ♠ét♦ ♥tr♦t ♣r♠èr♠♥t ♣r ❲rrt♦♥ ❬❪ ♣s é♦♣♣é ♣r

♦t ❬❪ s s♦♥t♥tés s♦♥t ♥tr♦ts sss♠♥t ♥ ♦♠♠♥ ♣r ♦♣r ♦

é♥ss♥t ♠♦è ♥t ♥ ① ♦ ♣srs ♦s ♣r ♥ s♦♥t♥té ♦ ♥ ♠ s♦♥

t♥tés q ♥tr♦t♦♥ ♥ tr ♠ s♦♥t♥tés ♦♣ s ♦s ①st♥ts

t é♥èr ♥♦① ♦s ♦r r s rtrs s♦♥t ①t♥s♦♥s ♥♥s ♦ érrsés

♥s r♥r s s srrêt♥t ♦rsqs r♥♦♥tr♥t trs rtrs éà ♥tr♦ts r

t♥s ♦s éà ①st♥t ♣♥t êtr és ♣♦r ♠♣êr r s♦♥ ♣r ♥♦s rtrs

♣r♠t ♦r s ♦s ér♥ts ♦r♠s t ts

tt ♣♣r♦ ♣r♠t s♠r ét♣ ♣r ét♣ st♦rq ♣♣rt♦♥ s rtrs ♥s

♥ ♠ss r♦s ♦♠♠ ♠♦♥tr r st s♠♣ t à ♣r♦r♠♠r st

tsé ♥s ♦ ❬❪

♦t ❬❪ ♣♣qé tt ♠ét♦ ♣♦r é♦♣♣r ♥ ♦ ♥rt♦♥ ♥

tt ♣♣r♦ t ♥ s♦♥t tsés ♥s ♦ ❬❪

s és♥ts tt ♣♣r♦ s♦♥t

• s rtrs rts ♦♥t êtr ♥tr♦ts ♣♦r s♠r s srs s ①t♦♥s ♥

térrs ♠♦è q ①t♦♥ ért ♥ ♣♦②èr à s♦strr ♠ss r♦s

①t♦♥ st ♥tr♦t ♣rès ♥tr♦t♦♥ t♦tté s s♦♥t♥tés

• tt ♣♣r♦ rsq ①érr ♦♥♥tté s s♦♥t♥tés t ♥♦♠r ♦s ♥

t t♦ts s s♦♥t♥tés s♦♥t ♦♥trts t ♦r♠♥t ♥ rés ♦♥♥té

r s♦♥s ssss s♣ ♣rès ♥ ❬❪


r ①♠♣ r♦♥strt♦♥ ♣r♦rss ♥ ♠♦è s♦♥t♥ rs♣t st♦rq ♣♣rt♦♥ s s♦♥t♥tés ♣rès ♦t ❬❪

ét♦ srétst♦♥ s♣

st ♠ét♦ tsé ♣r ❩♥ t ❬❪ ♥ rq ♥ ♠ srétst♦♥

♠ss r♦① ♦♥r♥é ♣r ét ♥ ♣r♥♥t ♥ ♦♠♣t s ♦rs s♦trr♥s ♠s s♥s t♥r

♦♠♣t s srs s♦♥t♥té ♠ st t ♥ ts♥t s éé♠♥ts ①érqs

♥÷s ♦♠♠ ♠♦♥tr ①♠♣ r ♥st ♦♥ ♥tr♦t s ♣♥s s s♦♥t♥tés

♥ ♣rès tr ♥ ♦♥sér♥t s ①t♥s♦♥s ♥♥s P♦r q ♥♦ ♣♥ ♦♥ é♦♣ s

♠s q r♥♦♥tr s♦rt à ♦t♥r ♥ ♥♦ ♠ s ♦s ♦♥①s s♦♥t ♥tés ♥

r♠♥♥t s s♦♥t♥tés à r t ♥t s ♦s ♦♥s s♦♥t ♥tés

s és♥ts tt ♣♣r♦ s♦♥t s s♥ts

• ♥♦♠r s s♦♥t♥tés st ♣ éé

• s s♦♥t♥tés ♣♥t êtr ♥q♠♥t ♦r♠ ♣♥

• réstt st s♥s à qté t à ♥sté ♠

• ♠ét♦ ♥st ♣s ss ① q s ♠ét♦s t♦♣♦♦qs

r é♥ért♦♥ ♦s ♣rès srétst♦♥ s♣ ♣rès ❩♥ t ❬❪

❳

é♥ért♦♥ ♦s ♥ ♥♦♠r ♣réétr♠♥é s

étr♠♥t♦♥ ♣ré ♥♦♠r s s ♦s ♣r♠t s♠♣r ♣r♦ér ♥t

t♦♥ s ♦s tt ♣r♦ér st ♣♣ ♥q♠♥t ♣♦r étr s ♦s stés à sr

①t♦♥ ♥ ét s ♦♠♥s♦♥s ♥ rt♥ ♥♦♠r s♦♥t♥tés t ♥ r

s♥s ♥éssté ♦♥♥tr ♠♣♠♥t s♣éq s s♦♥t♥tés

♦s ♣②r♠① ♦rsq♦♥ s♣♣♦s q s s♦♥t♥tés ♦♥t ♣ssr ♣r ♥ ♠ê♠ s♦♠♠t

♦♥ ♦t♥t s ♦r♠s ♣②r♠s ♦♦♠♥ t ❬❪ ♦♥t ♥tr♦t ♥♦t♦♥ ♦

♦♠ ♠①♠ st ♥ ♦ q ① ôtés t♥♥ts t♥♥ t ♦♥t s♦♠♠t st ♣s

st♥t ♣♦ss ♥ ♦♥sèr s♦♥t s ♦s ♦r♠ tétrérq ♣♦r é♥ért♦♥ s ♦s

♦♠ ♠①♠ tt ♣♣r♦ st tsé ♥s ♦ ❯❲ ❬❪ ♦♠♠ ♠♦♥tr

r Pr rs ♦♥③á③P♦ t ❬❪ ♦♥t été s ♦s ♦♠ ♠①♠

♦r♠ ♣♥térq

♥s ♦ ❬❪ s st♥s ♥tr s rtrs s♦♥t ♦♥♥s ♥ t♦ts s

♦♠♥s♦♥s ♣♦sss tr♦s s♦♥t♥tés ♦r♠♥t s ♦s tétrérqs sr t♦t r

♦♥séré ♦♠♠ ♠♦♥tr r

r ①♠♣s ♦s tétrérqs ♦♠ ♠①♠ é♥érés ♣r ♦ ❯❲ ❬❪

r ①♠♣ ♦

♦s ♥♦♥ ♣②r♠① P♦r ♥ ♦♠♥s♦♥ ♦♥♥é qtr s♦♥t♥tés st r

ét ♦ ♣②r♠ ♦r♠ ♣♥térq q ♦r♠ ♥ ♦♠ ♠①♠ ♥ sr

r r Ps ♣r s♦t♦♥ ♦ ♥♦♥ ♣②r♠ st étr♠♥é ♦♠♠ ♠♦♥tr


r ♥térêt st q s ♦s ♣♥térqs s♦♥t ♣s ♦♠♥① q s ♦s

tétrérqs tt ♣♣r♦ été ♥tr♦t ♣r ♦♥③á③P♦ t ❬❪ t ♥é♥③

í③ t ❬❪ t st tsé ♥s ♦ ❯

r ①♠♣s ♦s ♣♥térqs ♦♠ ♠①♠ ♣②r♠ à t♥♦♥ ♣②r♠ à r♦t ♣rès ♦♥③á③P♦ t ❬❪

s ♠ts s ♣♣r♦s ♦ù ♥♦♠r s st ①é ♣ré s♦♥t s s♥ts

• étr♠♥t♦♥ ♣ré ♥♦♠r s ♣r ♦ ♥ ♣r♠t ♣s ♥ r♣rés♥tt♦♥

rést s ♦s ttr ①♠♣ r ♠♦t ❬❪ ♠♦♥tré ♣r ♣♣t♦♥ s

♠ét♦ sr ♥ ①♠♣ trté ♣r ♥é♥③í③ t ❬❪ q s ♦s ♦♥t ♥♦♠r

s st s♣érr à ♥q s♦♥t ♣s ♥♦♠r① q s ♦s ♣♥térqs

• s ♣♣r♦s ♥ ♣r♠tt♥t ♣s ét stté s ♦s à ♥térr ♠ss r♦

s q rsq♥t s①♣♦sr s s ♦s stés ♥ ①t♦♥ ♥♥♥t

♥sts s ♠ét♦s q ♣r♠tt♥t é♥érr t♦s s ♦s ♥s ♠ss r♦s ♣r

♠tt♥t r t②♣ ét ♣r é♠♥t♦♥ s ♦s ♥sts

• s♣♣♦st♦♥ s♥t q s ♦s ♦♠ ♠①♠ ♣rés♥t♥t ♣s rsq êtr

♥sts ♥st ♣s sté

♦♥s♦♥

♦s ♦♥s t ♥ r ♣rç s ♠ét♦s é♥ért♦♥ ♦s ♥ ♠♦♥tr♥t q s t♥qs

r♥t t é♦♥t r♣♠♥t st ♠♥t♥♥t ♣♦ss é♥érr s ♦s é♦♠étrs ♣s

♥ ♣s ♦♠♣①s s ♦rs ♦r♠ ♣♦②érqs q♦♥qs ♠ét♦ é♦♣♣é

♥s tt tès st ♣té à ét ♥♠♣♦rt q é♦♠étr ♦

❳


s sss ♦rt♦r t ♥ st sr s ♦♥ts r♦① ♦♥t ♠♦♥tré q s rs s rtés

s ♦♥ts r♥t ♦♣ r ♥tr é♣ssr ♠tér r♠♣ss s ♠♥s♦♥s

sr ♦♥tt r♦sté s ♦♥tr♥ts ♥s r♦. . . ♦s ♣rés♥t♦♥s rè♠♥t

s ♣r♥♣① réstts à ♣rtr ttértr ♣♦r ♦♥♥r s ♦rrs r♥r rtés à

♦♣tr ♦rs ♠♦ést♦♥

té ♥♦r♠ t r♠tr ♠①♠

♥s t ❬❪ ♦♥t té ♥ r ♠♣♥ ss sr é♦r♠té ♥♦r♠ s

♦♥ts s♥s ♠tér r♠♣ss s é♥t♦♥s ♦♥t été ♦tés s r♠♥ts ér♥ts

t②♣s r♦s st ♦♦rt r rès s ♦s rt♥rs ♦♥ts ♠♥s♦♥s ♥ ♦♥r

♠♠ ♥ rr ♠♠ t ♥ tr ♠♠ ♦♥t été s♦♠s s tsts ♦♠♣rss♦♥

②qs s ♦♥tr♥ts ♥♦r♠s ♠①♠s ♣♣qés sr s é♥t♦♥s r♥t ♥tr t P

rté ♥♦r♠ ♥t t r♠tr ♠①♠ ♦♥t ♦♥t été ♠srés

P♦r t♦s s t②♣s ♦♥ts ♠rqés ♥tr♦ s réstts ♣♥t êtr rés♠és ♦♠♠

st

• r♠tr ♠①♠ ♦♥t st ♥érr à ♠♠

• rté ♥♦r♠ ♥t r ♥tr t P♠

s rs s ♣s éés s é♣ssrs t s ♣s s s rtés ♥♦r♠s ♥ts ♦rrs

♣♦♥♥t ① ♦♥ts ♥♦♠♠és Pr rs s rtés ♥♦r♠s ♦♥t s rs r♦ss♥ts ♥

♦♥t♦♥ ss♠♥t s♥t s t②♣s r♦ rès ♥ rès r ♦♦rt t st s r♠

trs ♠①♠s ♠♥♥t ♥ ♦♥t♦♥ ss♠♥t

P♦r s ♦♥ts ♥♦♥ ♠rqés ♥ ♣s rté ♥♦r♠ ♥t st ♦sré ♥s q♥

♣s r♥ é♣ssr ♠①♠ réstt été ss tr♦é ♣r ♥s ❬❪ r♣♣♦rt s

rtés ♥♦r♠s ♥tr s ♦♥ts ♠rqés t ♥♦♥ ♠rqés r ♥tr t s ♣s s

rtés ♥♦r♠s s ♦♥ts ♥♦♥ ♠rqés ♣♥t êtr ①♣qés ♣r ♦♥♥trt♦♥ s ♦♥tr♥ts

sr ♥ ♣s ♣tt sr ♦♥tt t ♣r ♠♥q ♦♥♥♠♥t ♣r♦t ♣r s s♣értés

t ❬❪ ♦♥t té s tsts ♦♠♣rss♦♥ sr s rtrs rts réés

♣r trt♦♥ ♦rt♦r s ♦♥t ♦sré ♥ ♠♥tt♦♥ r♠tr ♠①♠ ♦♥t

♠♥s♦♥ rtr ttr ①♠♣ ♦rsq ♦♥r ♦ ♠♥t ♠♠ à

♠♠ r♠tr ♠①♠ ♠♥t ♠♠ à ♠♠ ❯♥ tr ét ♣r ❨♦s♥ t

❨♠ ❬❪ ♠♦♥tré q tt ♠♥tt♦♥ r♠tr ♠①♠ st ♣♣r♦①♠t♠♥t

♣r♦♣♦rt♦♥♥ à ♦♥r ♦♥t

♥s ♥s s ①♠♣s étés ♥s ♣tr ♦ù s ♦s s♦♥t ♦rr r♥r

♠ètr r♠tr ♠①♠ s rtrs st ♣rs ♦rr r♥r ♠♠ètr

st ❬❪ ♣rés♥t s réstts ♣srs sss ♥ st tés sr s ♦♥ts

♠♦r♣♦♦s ér♥ts ♦ s♥s ♠tér r♠♣ss s srs s ♦♥ts tstés r♥t

♥tr t 5.4m2♣rs rt♥rs ♦ r♦tts ②♥rqs st rté ♥♦r

♠ ♠♦②♥♥ ♦♠♠ ét♥t r♣♣♦rt ♥tr ♦♥tr♥t ♥♦r♠ ♠①♠ à r♠tr ♠①♠

♦♥t ♥t sss tés r ♥tr t P♠


té t♥♥t

rt♦♥ t ♥s ❬❪ ♦♥t ♣rés♥té ♥ ♠tt sss s♠♥t sr s ♦♥ts

r♦① ♦tés ttértr été ét q rté t♥♥t é♣♥ ♠♥s♦♥

é♥t♦♥ tsté P♦r s ♦♥tr♥ts ♥♦r♠s r♥t ♥tr t P t s ♠♥s♦♥s

♦ ♥tr t ♠ rté t♥♥t r ♥tr P♠ t P♠

♣rès s sss s♠♥t tés ♣r ♥s t ❬❪ s rtés t♥♥ts s st♥t

♥tr t P♠ ♥ r♠rqé ss ♥ t é t q rté t♥♥t s

♦♥ts rs ♥♦♥ ♥♦♠♠és st ♣s éé q s ♦♥ts ♥♦♠♠és

♥t sts ❬❪ s rtés t♥♥ts r♥t ♥tr P♠ t P♠

s sss s♠♥t ♦♥t été résés ♥ ♦♥tr♥t ♥♦r♠ ♦♥st♥t ♥ é♣ss♥t ♣s

P P♦r s srs ♦♥ts ①és à ♠2 t ♥ s♥t rr ♦♥tr♥t ♥♦r♠ ♥tr t

P tt rté r ♥tr t P♠ ♥s s rtés t♥♥ts ♠♥t♥t

♠♥tt♦♥ ♦♥tr♥t ♥♦r♠ trs sss ♦♥t ♠♦♥tré ♥ ♠♥tt♦♥ rté

♠♥t♦♥ é♣ssr ♠tér r♠♣ss s rs ♠①♠s ♦rrs♣♦♥♥t

♦♥ ♦♥t s♥s ♠tér r♠♣ss s rs s♦♥t ♥ ♦r ① tr♦és ♣r rt♦♥

t ♥s ❬❪

s r♣♣♦rts rtés ♥♦r♠ t t♥♥t ♣♦r s sss tés ♣r ts

♦♥♥ s rs q r♥t ♥tr t r♣♣♦rt ♣s éé ♦rrs♣♦♥ à s ♦♥ts s♥s ♠

tér r♠♣ss Pr ♦♥séq♥t ♥s s ♣♣t♦♥s ♦♥r♥♥t ♠♦è ♥ér

r♣♣♦rt s rtés tsé r ♥tr t

♦♥s♦♥

♦s r♠rq♦♥s ♣rès tt r ♦r♣q ♦rt s♥t q s ♣r♦♣rétés s ♦♥ts

rté ♥♦r♠ ♠♦②♥♥ ♦ rté ♥♦r♠ t é♣ssr ♠①♠ t rté t♥♥t ♣♥t

♦r s rs sét♥♥t sr rs ♥trs ♦t é♣♥ ♥tr s ♦♥ts r étt

♥♦♠♠♠♥t t②♣ r♦ é♣ssr ♠tér r♠♣ss s ♦♥tr♥ts

♥s r♦ t t é♥t♦♥ Pr ♦♥séq♥t ♣♦r ♥ ♦♥♥ st♠t♦♥ s rs

♦rs ♥ stté r r ♣ré s sss ♦♠♣rss♦♥ t s♠♥t

sr s é♥t♦♥s ♣♣r♦♣rés ♦rt♦r ♦ ♥ st

❳


tt ♥♥① ♣rés♥t ♠ét♦ ♥♠érq s ♣♦♥ts ss tsé ♣♦r s ♥té

rs sr ♥s ♦

é♥értés sr s ♥térs sr

♦♥sér♦♥s ♥ sr S sté ♥s s♣ tr♠♥s♦♥♥ q♦♥ s ♥ ♥ ♥♦♠r N

éé♠♥ts sr Si t q S =∑

Si i = 1, N

q éé♠♥t sr ♣♦ssè ♥ ♥♦♠r nE ♥÷s t ♥ ♥♦♠r nG ♣♦♥ts ss

t st ss♦é à ♥ éé♠♥t rét q ♣♦ssè s ♠ê♠s ♥♦♠rs ♥÷s t ♣♦♥ts ss ♥

és♥ ♣r wj ♣♦s rét ♥ ♣♦♥t ss j t ♣r (ξ, η) ss ♦♦r♦♥♥és réts ♥ ♣s

♦♥ é♥t s ♦♥t♦♥s ♥tr♣♦t♦♥ ①♣r♠és ♥ ♦♦r♦♥♥és réts Ni(ξ, η) i = 1, nE

♣r♠tt♥t ♣ssr s rs s r♥rs ① ♥÷s ① rs s r♥rs ♥ t♦t ♣♦♥t

♣♣rt♥♥t à éé♠♥t ♥ ♣rtr ♦♥ r à ①♣r♠r s r♥rs ♥ s ♣♦♥ts

ss P♦r q éé♠♥t rét s ♦♦r♦♥♥és t ♣♦s s ♣♦♥ts ss ♥ s

ér♥ts t②♣s éé♠♥ts réts ♥s q s ①♣rss♦♥s s ♦♥t♦♥s ♥tr♣♦t♦♥ s♦♥t é♥s

à ♥ tt ♥♥①

♥s ♦ s ♦♥t♦♥s ♥tr♣♦t♦♥ s♦♥t és ① ♣♦♥ts ss ♥

♦rs nE × nG rs é♥s sr q éé♠♥t t ♦♥ és♥r ♣r Nij r ♦♥t♦♥

♥tr♣♦t♦♥ ♥÷ i ♣♦♥t ss j ♥ ①♣r♠ ss s érés ♣rts s ♦♥t♦♥s

♣r r♣♣♦rt ① ♦♦r♦♥♥és réts Qξi = ∂ξNi(ξ, η) t Qηi = ∂ηNi(ξ, η) ♥ és♥ ♣r Qξij t

Qηij s érés ♣rts s ♦♥t♦♥s ♥tr♣♦t♦♥s ♣♦♥t i ♣♦♥t ss j

♥tért♦♥ ♥ ♦♥t♦♥ ϕ (x) ♦♥♥é sr sr S ♣t êtr r♠♣é ♣r s♦♠♠t♦♥

s ♥térs sr s ér♥ts éé♠♥ts Si q s♥t tt sr ♦♠♠ st

ˆ

S

ϕ (x) dS =N∑

i=1

ˆ

Si

ϕ (x) dS

♥tér ♥ ♦♥t♦♥ sr ♥ éé♠♥t ♥ésst ♦♥♥tr s rs tt ♦♥t♦♥ ①

♣♦♥ts ss éé♠♥t s rs ♣♥t êtr és ♣r ♥tr♣♦t♦♥ ♥ér à ♣rtr s

rs ① ♥÷s éé♠♥t s♣♣♦sés êtr ♦♥♥s ♣r ②♣♦tès ♦♠♠ ①♣r♠ rt♦♥

s♥t

ϕ (~xj) =

nE∑

i=1

Nij ϕ (~xi)

Prés♥t♦♥s ① ①♠♣s ♦♥t♦♥ ϕ tr s ♦♦r♦♥♥és ♥ ♣♦♥t ss j ♥s

r♣èr ré st é s♥t ①♣rss♦♥

~xj =

nE∑

i=1

Nij ~xi

♠ê♠ t♥sr s ♦♥tr♥ts ♥ ♥ ♣♦♥t ss j ♥s r♣èr ré ♣t êtr ①♣r♠é ♣r

σj =

nE∑

i=1

Nij σi

♥ ts♥t s érés s ♦♥t♦♥s ♥tr♣♦t♦♥ ♦♥ s érés ♣rts ~xj ♣r


r♣♣♦rt ① ♦♦r♦♥♥és réts (ξ, η)

∂ξ~xj =

nE∑

i=1

Qξij ~xi

∂η~xj =

nE∑

i=1

Qηij ~xi

❯♥ tr ♥♦r♠ à sr ♥ ♥ ♣♦♥t ss j s ♣r

~a = ∂ξ~xj ∧ ∂η~xj

J = ‖~a‖ st ♦♥ tr♥s♦r♠t♦♥ ♥tr s ♦♦r♦♥♥és réts (ξ, η) t s ♦♦r♦♥♥és

rs (~x) s♥t q dS = J dξ dη

tr ♥♦r♠ ♥tr à éé♠♥t srq s①♣r♠ ♣r

~n =~a

J

♥tért♦♥ ♥ ♦♥t♦♥ sr ♥ éé♠♥t sr ♦♥♥é st é ♣r s♦♠♠t♦♥ s♥t

♥ ts♥t s rs tt ♦♥t♦♥ sr s ♣♦♥ts ss éé♠♥t ♦♥ J t s ♣♦s

ss

ˆ

Si

ϕ (x) dS =

nG∑

j=1

ϕ (xj) J wj

Pr ♦♥séq♥t ♥tér sr ♥ ♣rtt♦♥ ♦♥♥é s♣ s t ♣r s♦♠♠t♦♥

sr t♦s s ♣♦♥ts ss t♦s s éé♠♥ts tt ♣rtt♦♥

ˆ

S

ϕ (x) dS =

N∑

i=1

nG∑

j=1

ϕ (xj) J wj

Pr♦♣rétés s ♣♦♥ts ss t ♦♥t♦♥s ♥tr♣♦t♦♥ ♣♦r

ér♥ts éé♠♥ts réts

P♦♥ts ss t ♦♥t♦♥s ♥tr♣♦t♦♥ ♣♦r ♥ tr♥

♦♦r♦♥♥és réts t ♣♦s réts s ♣♦♥ts ss ♣♦r ♥ tr♥ ànG = 7

♥ ♣♦s s =√15

P♦♥t ss j ξj ηj wj

s s s s s s s s s s s s s s s s s s

❳

♦♥t♦♥s ♥tr♣♦t♦♥ t rs érés ♣♦r ♥ tr♥ à nE = 3

÷ i Ni Qξ Qη

ξ η 3 1− ξ − η

♦♥t♦♥s ♥tr♣♦t♦♥ t rs érés ♣♦r ♥ tr♥ à nE = 6

÷ i Ni Qξ Qη

ξ (2ξ − 1) 4ξ − 1 ξη 4η 4ξ η (2η − 1) 4η − 1 4η (1− ξ − η) −4η 4 (1− ξ − 2η) (η + ξ − 1) (2ξ + 2η − 1) 4 (ξ + η)− 3 4 (ξ + η)− 3 4ξ (1− ξ − η) 4ξ (1− ξ − η) 4ξ (1− 2ξ − η)

P♦♥ts ss t ♦♥t♦♥s ♥tr♣♦t♦♥s ♣♦r ♥ rré

♦♦r♦♥♥és réts t ♣♦s réts s ♣♦♥ts ss ♣♦r ♥ rré à nG = 9

♥ ♣♦s √6

P♦♥t ss j ξj ηj wj

♦♥t♦♥s ♥tr♣♦t♦♥ t rs érés ♣♦r ♥ rré à nE = 4

÷ i Ni Qξ Qη

0.25 (1− ξ) (1− η) −0.25 (1− η) −0.25 (1− ξ) 0.25 (1 + ξ) (1− η) 0.25 (1− η) −0.25 (1 + ξ)3 0.25 (1 + ξ) (1 + η) 0.25 (1 + η) 0.25 (1 + ξ) 0.25 (1− ξ) (1 + η) −0.25 (1 + η) −0.25 (1− ξ)

♦♥t♦♥s ♥tr♣♦t♦♥ t rs érés ♣♦r ♥ rré nE = 6

÷ i Ni Qξ Qη

0.25ξ (−1 + ξ) (1− η) 0.25 (−1 + 2ξ) (1− η) 0.25ξ (1− ξ)

0.5(

1− ξ2)

(1− η) −ξ (1− η) 0.5(

−1 + ξ2)

3 0.25ξ (1 + ξ) (1− η) 0.25 (1 + 2ξ) (1− η) −0.25ξ (1 + ξ) 0.25ξ (1 + ξ) (1 + η) 0.25 (1 + 2ξ) (1 + η) 0.25ξ (1 + ξ)

0.5ξ(

1− ξ2)

(1 + η) −ξ (1 + η) 0.5(

1− ξ2)

0.25ξ (−1 + ξ) (1 + η) 0.25 (−1 + 2ξ) (1 + η) 0.25ξ (−1 + ξ)



♥ ♣♦s A = 1− ξ2 t B = 1− η2

÷ i Ni Qξ Qη

−0.25 (1− ξ) (1− η) (1 + ξ + η) 0.25 (1− η) (2ξ + η) 0.25 (1− ξ) (ξ + 2η) −0.5A (1− η) − (1− η) ξ 0.5A3 −0.25 (1 + ξ) (1− η) (1− ξ + η) 0.25 (1− η) (2ξ − η) −0.25 (1 + ξ) (ξ − 2η) 0.5B (1 + ξ) 0.5B − (1 + ξ) η −0.25 (1 + ξ) (1 + η) (1− ξ − η) 0.25 (1 + η) (2ξ + η) 0.25 (1 + ξ) (ξ + 2η) −0.5A (1 + η) − (1 + η) ξ 0.25A −0.25 (1− ξ) (1 + η) (1 + ξ − η) 0.25 (1 + η) (2ξ − η) −0.25 (1− ξ) (ξ − 2η) −0.5B (1− ξ) −0.5B − (1− ξ) η


÷ i Ni Qξ Qη

−0.25 (1− ξ) (1− η) ξη 0.25 (1− 2ξ) (1− η) η 0.25 (1− ξ) (1− 2η) ξ

0.5(

ξ2 − 1)

(1− η) η (1− η) ξη(

ξ2 − 1)

(0.5− η)3 0.25 (1 + ξ) (η − 1) ξη 0.25 (1 + 2ξ) (η − 1) η 0.25 (1 + ξ) (2η − 1) ξ

0.5 (1 + ξ)(

1− η2)

ξ (0.5 + ξ)(

1− η2)

(1 + ξ) ξη 0.25 (1 + ξ) (1 + η) ξη 0.25 (1 + 2ξ) (1 + η) ξ 0.25 (1 + ξ) (1 + 2η) ξ

0.5(

1− ξ2)

(1 + η) η − (1 + η) ξη(

1− ξ2)

(0.5 + η) 0.25 (ξ − 1) (1 + η) ξη 0.25 (2ξ − 1) (1 + η) η 0.25 (ξ − 1) (1 + 2η) ξ

0.5 (ξ − 1)(

1− η2)

ξ (ξ − 0.5)(

1− η2)

(1− ξ) ξη

(

1− ξ2) (

1− η2)

2(

η2 − 1)

ξ 2(

ξ2 − 1)

η

❬❪ ♥s ♥ ♣r♦♣rts ♦ r♦ ♦♥ts ♥ rt♦♥ ♥ t♣♥ss♦♥ t♦rs ♦ ♦♥ts

Pr♦♥s ♦ t ♥tr♥t♦♥ ②♠♣♦s♠ ♦♥ r♦ ♦♥ts ♦ttr♠ ♠

❬❪ ♥s ♠s♥ ♥ rt♦♥ ♥♠♥ts ♦ r♦ ♦♥t ♦r♠t♦♥ ♥tr♥t♦♥

♦r♥ ♦ ♦ ♥s ♥ ♥♥ ♥s ♦♠♥s strts

❬❪ r ♦ést♦♥ s ♦♠♣♦rt♠♥ts ♠é♥qs t ②rqs ♠sss r♦① s♠és

♣r s ss♠s ♦s rs ♥tr♦t♦♥ ♥ ♦♣ ②r♦♠é♥q ès ♦t♦rt

♥ é♦♦ ♥é♥r ♦ t♦♥ s P♦♥ts t ssés ♥

❬❪ rt♦♥ ♦ ♥ srstr♥t rtr♦♥ ♦r r♦ ♦♥ts ♥♥r♥ ♦♦②

❬❪ rt♦♥ ②♥♦t tr ♥ttt sr♣t♦♥ ♦ r♦ ♠sss ♦r t s♥ ♦ ♥♠t r♥

♦r♠♥t ♥ ♥tr♥t♦♥ ♦♥r♥ ♦♥ ②r♦ P♦r ♦♣♠♥t ♥ ♠②s ♠ ♥

♠ ♦ttr♠

❬❪ rt♦♥ ♥ ♥s ts ♦ ♦ s③ ♦♥ t sr ♦r ♦ ♦♥t r♦ ♥ Pr♦

♥s ♦ t r ❯ ②♠♣♦s♠ ♦♥ ♦ ♥s ❯ r② ♦r♥ ♠r♥ ♦

♥s ss♦t♦♥ st

❬❪ rt♦♥ ♥ ❱ ♦② sr str♥t ♦ r♦ ♦♥ts ♥ t♦r② ♥ ♣rt ♦ ♥s

♥ ♦ ♥♥r♥

❬❪ ②♥ r ♥ ❨♥ ♦rr tr♠♥s♦♥ s♦♥t♥♦s ♦r

♠t♦♥ ♥②ss ♥tr♥t♦♥ ♦r♥ ♦r ♠r t♦s ♥ ♦♠ ♥♥r♥

❬❪ r② ♥ r♦♥ ♦ ♥s ♦r ❯♥rr♦♥ ♥♥ ♣tr ①t♦♥ s♥

♥ ♦♥t r♦ ♣s ♣r♥r r t♦♥

❬❪ ❲ r② ❯♥♣s ♥♦t ♠♣r ♦ ♦ ♦♥♦♥

❬❪ ♦ sss r♦① ♦♠♦♥ést♦♥ t sst♦♥ ♥♠érqs Prsss ♦ s

♠♥s

❬❪ ❩ ♥ ♥r③ s♦t♦♥ ♦r ttrr r♦ stt② ♥②ss ♥tr♥t♦♥ ♦r♥

♦ ♦ ♥s ♥ ♥♥ ♥s

❬❪ ❩❨ ♥ ❨ ❲♥ ❳ ❲♥ ♥ ❲♥ ♥ ♣♣r ♦♥ r ♥②ss ♠t♦ ♥

st②♠ ♠ t♦r Pr♦♥s ♦ t ♥tr♥t♦♥ ②♠♣♦s♠ ♦♥ ♦♣ tt② ♥②ss

♦♠ ♣s

❬❪ r♦r ♥ ❲ r② ♥♥ ♦ t ♥st strss ♥ ♦♥t st♥ss ♦♥ r♦

stt② ♥ ♥rr♦♥ ♦♣♥♥s ♥♥ ♦t♥ ♦r♥

❬❪ P ♥ st♥t ♠♥t ♠♦s ♦ r♦ ♥ s♦ strtr ♥ r♦♥ t♦r ♥②t

♥ ♦♠♣tt♦♥ ♠t♦s ♥ ♥♥r♥ r♦ ♠♥s ♥ ❯♥♥

❬❪ P ♥ ♦r♠t♦♥ ♦ tr♠♥s♦♥ st♥t ♠♥t ♠♦ ♣rt s♠ t♦ tt

♥ r♣rs♥t ♦♥tts ♥ s②st♠ ♦♠♣♦s ♦ ♠♥② ♣♦②r ♦s ♥tr♥t♦♥ ♦r♥ ♦

♦ ♥s ♥ ♥♥ ♥s ♦♠♥s strts

❬❪ ♠♦tt P♦r♦♣t ♥ r♥ P♦②r ♠♦♥ ♦ ♥rr♦♥ ①t♦♥s

♦♠♣trs ♥ ♦t♥s

❬❪ s♦rt ❲ stt② ♥ t r♦♦ ♦ rr t♥♥ P♥ str♥ ♦♥t♦♥ ♥tr♥t♦♥

♦r♥ ♦ ♦ ♥s ♥ ♥♥ ♥s ♦♠♥s strts

❬❪ ♥ s♦tè♥♠♥t s rs ♠♥èrs s ♣rsss ♦ s ♥s

❬❪ ♥ ♥ ♥ ♦ tstr ♥tr é♦s♥s ♥s Prs

❬❪ ♥ ts ①♣r♠♥t st② ♦ t t ♦ rtr s③ ♦♥

♦sr ♦r ♦ t♥s rtr ♥r ♥♦r♠ strss ♥tr♥t♦♥ ♦r♥ ♦ ♦ ♥s

♥ ♥♥ ♥s

❬❪ ♦♥③á③P♦ ♥é♥③í③ r③❱ ♥ ♦♥③á③③ ♥tt♦♥

♦ ♥♦♥♣②r♠ ② ♦s ♥ ♦♥t r♦ ♠sss ♦r t♥♥ ①t♦♥ ♦♠♣trs ♥ ♦t♥s

❬❪ ♦♦♠♥ ♥ ❲ ♦② t♦♥ ♦ s♣♣♦rt ♦r r ♦♥t r♦ s♥ t ②♦

♣r♥♣ Pr♦ r s②♠♣♦s♠ ♦♥ r♦ ♠♥s r② st ♣ ♣ ♥

②♦r ♠ ♥tr♥t♦♥ ♦r♥ ♦ ♦ ♥s ♥ ♥♥ ♥s ♦♠♥s

strts

❬❪ ♦♦♠♥ ♥ ♦ t♦r② ♥ ts ♣♣t♦♥ t♦ r♦ ♥♥r♥ ♥♦♦ s

❬❪ ♦♦♠♥ ♦ t♦r② ♥ ts ♣♣t♦♥ é♦t♥q

❬❪ ss♥ ♦ést♦♥ ♣r ♥ ♠ ♦♥t♥ ♦♠♣♦rt♠♥t ♠é♥q ♥ ♠ss r♦①

à ssrt♦♥ ♦r♥té P tss ♦ s ♥s Prs

❬❪ rt ♥ ♥tr♦t♦♥ t♦ st♥t ♠♥t ♠♦♥ ♦r r♦ ♥♥r♥ ♥ s♦♥ t♦r

♦♠♣r♥s r♦ ♥♥r♥ ♦♠ ♣s ①♦r Pr♠♦♥ Prss

❬❪ ❨ t③♦r ♥ ♦♦♠♥ ♣♣t♦♥ ♦ ♦ t♦r② ♥ t rt ② ♦ ♦♥♣t t♦

t♥♥♥ t♦ s st♦rs Pr♦ ♦♥r♥ ♦♥ rtr ♥ ♦♥t r♦ ♠sss t♦

♥ ♣ ♣ ♦r♥ r♥ r② ♦rt♦r② ♥tr♥t♦♥ ♦r♥ ♦

♦ ♥s ♥ ♥♥ ♥s ♦♠♥s strts

❬❪ ♦t ♥rt♥ ♦② r♦ ♠ss ♥tr♥t♦♥ ♦r♥ ♦ ♦ ♥s ♥ ♥♥

♥s ♦♠♥s strts

❬❪ t♠t ♦r② ♦ Pstt② ①♦r ss ①ts ♥ tP②s ♥s

❬❪ ♦ Prt r♦ ♥♥r♥ ♣tr trtr② ♦♥tr♦ ♥stt② ♥ t♥♥s

❬❪ ♦ ♥ ❲ r② ♦ s♦♣ ♥♥r♥ ♥sttt ♦ ♥♥ ♥ tr②

❬❪ ts ♦♥st♥ r♦♣ ♥ ♠♥s♦♥ st♥t ♠♥t ♦ ♥♥ ♥ ♦r②

♥ r♦♥

❬❪ ts ♦♥st♥ r♦♣ ♥ ♠♥s♦♥ st♥t ♠♥t ♦ ♥♥ ♥ ❱r

t♦♥ Pr♦♠s ♥ ①♠♣ ♣♣t♦♥s

❬❪ ♥ ♦ s②st♠ ♦♥strt♦♥ ♦r tr♠♥s♦♥ srt ♠♥t ♠♦s ♦ rtr r♦s

♥tr♥t♦♥ ♦r♥ ♦ ♦ ♥s ♥ ♥♥ ♥s

❬❪ ♥ r ♦ t♥qs ♥s ♥ ♦tst♥♥ sss ♥ ♥♠r ♠♦♥ ♦r r♦

♠♥s ♥ r♦ ♥♥r♥ ♥tr♥t♦♥ ♦r♥ ♦ ♦ ♥s ♥ ♥♥ ♥s

❬❪ ♥ ♥ t♣♥ss♦♥ ♦♣♦♦ ♥tt♦♥ ♦ ♦ ss♠s ♦r ♦♥t r♦ ♠sss

♥tr♥t♦♥ ♦r♥ ♦ ♦ ♥s ♥ ♥♥ ♥s

❬❪ ♦r♥ ♦ést♦♥ tr♠♥s♦♥♥ ♣r ♥ ss♠ ♦s rs ♦♠♣♦rt♠♥t ♠é

♥q ♥ ♠ss r♦① à ssrt♦♥ ♥sé ♥ ♥②s stté ♦rs

♠♥rs ès ♦t♦rt ♥ ♥qs t ♦♥♦♠ ♥tr♣rs ♥èr ♦ ♥t♦♥

s♣érr s ♥s Prs

❬❪ ♦ ♦ s ♥s ♥② ♦ tt② ♥②ss ❱ ♦t tst♦♥ ♦ût

❬❪ ♦ ♦ s ♥s ♥② ❱ ♦t tst♦♥ ♦ût

❬❪ ♥ ♥ rrst tt ♥②ss ♦ t stt② ♦ tr♠♥s♦♥ ♦② s②st♠s r♦♥

①t♦♥s ♥ r♦ ♥tr♥t♦♥ ♦r♥ ♦ ♦ ♥s ♥ ♥♥ ♥s ♦♠♥s

strts

❬❪ ♥ rrst ♥ tr ♦♠tr ♥tt♦♥ ♦ tr♠♥s♦♥ r♦ ♦

s②st♠s s♥ t♦♣♦♦ t♥qs ♥tr♥t♦♥ ♦r♥ ♦ ♦ ♥s ♥ ♥♥ ♥s

♦♠♥s strts

❬❪ ❳ ♦♥ ♥ ♥ ♦r♠t♦♥s ♦ t tr♠♥s♦♥ s♦♥t♥♦s ♦r♠t♦♥ ♥②ss

♠t♦ t ♥ ♥

❬❪ ❩ ♥ ❩ ❩♥ tt② ♥②ss ♦ ♦ ♥ t srr♦♥♥ r♦ ♠ss ♦ r

♥rr♦♥ ①t♦♥ ♥♥♥ ♥ ❯♥rr♦♥ ♣ ♥♦♦②

❬❪ ②st♠t ♥tt♦♥ ♦ ♣♦②r r♦ ♦s t rtrr② ♦♥ts ♥ ts ♦♠♣trs

♥ ♦t♥s

❬❪ ♥ ♥ ♦♦♥ ♦ t♦♥ ♦ t s♦♥t♥♦s ♦r♠t♦♥ ♥

②ss ♠t♦ ♥tr♥t♦♥ ♦r♥ ♦r ♠r ♥ ♥②t t♦s ♥ ♦♠♥s

❬❪ ♦♥ t ♣r♦ts ♦ ♦♥t ♥trst♦♥s ♣r♦ r s s②♠♣♦s♠ ♦♥ r♦ ♠♥s

s♥t ♥ ♣ ♣ r♦ttr♠ ♠ ♥tr♥t♦♥ ♦r♥ ♦ ♦

♥s ♥ ♥♥ ♥s ♦♠♥s strts

❬❪ ♦♥ ♥ ♦♦♠♥ ♦tt♦♥ ♥♠ts ♥ qr♠ ♦ ♦s ♥ r♦ ♠ss

♥tr♥t♦♥ ♦r♥ ♦ ♦ ♥s ♥ ♥♥ ♥s ♦♠♥s strts

❬❪ ♦♥ ♥ ♦♦♠♥ ❱t♦r ♥②ss ♦ ②♦ r♦tt♦♥s ♦r♥ ♦ ♦t♥

♥♥r♥

❬❪ ♥é♥③í③ ♦♥③á③P♦ r③ ❱ ♦♥③á③③ ♥ P ♠ír③

②♥r♥ ♥②ss ♦ ttrr ♥ ♣♥tr ② ♦s ♥ ♥rr♦♥ ①t♦♥s ♦♠♣

trs ♥ ♦t♥s

❬❪ ❱ rr♥♦t♦ ♦r♥ ♥ ♦r ❯s ♦ ♥ ♥trt srt rtr ♥t♦r

♦ ♦r st♦st stt② ♥②ss ♦ rtr r♦ ♠sss ♦ ♥s ♥ ♦ ♥♥r♥

❬❪ P P ♦♠♦s P ❱ ❨♦ttr ♥ ♦♥♦s tt② ♦ s②♠♠tr r♦♦ ♥r

♥♦♥s②♠♠tr ♦♥ ♦ ♥s ♥ ♦ ♥♥r♥ s

❬❪ PP ♦♠♦s ♦♥♦s ♥ s♦trs ②♠♠tr ♥ t r♦♦ ♦ t♥♥ ①t

♥ ♥ ♥♥ strss ♥tr♥t♦♥ ♦r♥ ♦ ♦ ♥s ♥ ♥♥ ♥s

❬❪ ♦r♦♦③ ♥ ❨r♠ ②r♦♣ ♠t♦ ♦r s♦♣ stt② ♥②ss

♥tr♥t♦♥ ♦r♥ ♦r ♠r ♥ ♥②t t♦s ♥ ♦♠♥s

❬❪ P♥t s t♥♥s ♣r ♠ét♦ ♦♥r♥♦♥♥♠♥t Prsss P

❬❪ P♦ts ♥ ❲ rt ♦tt♦♥ ♥♠ts ♦ r♦ ♦s t rtrr② ♦♠trs s

❬❪ Prst s♦♥t♥t② ♥②ss ♦r r♦ ♥♥r♥ ♣tr ♥②ss ♦ r ♦s ♣s

♣♠♥

❬❪ ❱ ts t♦♥ ♦ t st♥ss rtrsts ♦ r♦ ♦♥ts r♦♠ t ♦ ♦sr

t♦♥s t tr♦♣♠♥t ♣r♦ts P♦r ♥♦♦② ♥ ♥♥r♥ ♦r♠r② ②r♦t♥

♦♥strt♦♥

❬❪ ♦s♥ ♥ ❯❲ ♦r② ♥

❬❪ r ♠♥s♦♥ s♦♥t♥♦s ♦r♠t♦♥ ♥②ss ♥ s♦rt ♥ ♥ s

② t♦rs ♦ ♥s ♥ t t♦♥ ♥trst ♣r♦♥s ♦ t t ❯ ♦ ♥s

②♠♣♦s♠ ♣s ♠r♥ ♦ ♥s ss♦t♦♥

❬❪ ♥ ♦♦♠♥ tt② ♥②ss ♦ ♥♥t ♦ s②st♠s s♥ ♦ t♦r② ♥

r♦♥ t♦r ♥②t ♥ ♦♠♣tt♦♥ t♦s ♥ ♥♥r♥ ♦ ♥s ♣tr

♣s ♦r ♥ ♥ ❯♥♥

❬❪ ♦♥♦s P ♦♠♦s ♥ s♦trs tt② ♦ s②♠♠tr ♦r♠ ♥ t r♦♦ ♦

rr t♥♥ ♥♦♥②r♦stt ♥tr strss ♥tr♥t♦♥ ♦r♥ ♦ ♦ ♥s ♥

♥♥ ♥s

❬❪ t é♦s ♥ tstr ♥tr é♦s♥s ♦ s ♥s Prs

♥r

❬❪ P tr③ ♥ ♥rss♦♥ ♣♣t♦♥ ♦ t♦ t♦r s♥ t♦ s♥stt② ♥②ss ♦ ②♦

sttsts r♦♠ rtr ♦♠tr② ♥tr♥t♦♥ ♦r♥ ♦ ♦ ♥s ♥ ♥♥ ♥s

❬❪ r ♦ést♦♥ s ♠sss r♦① ssrés ♣r ♠ét♦ s éé♠♥ts st♥ts ès

♦t♦rt ♥ é♦♦ ♥é♥r ♦ ♥t♦♥ s P♦♥ts t ssés

❬❪ ♥ ❱P ♦t tst♦♥ ♥tr é♦s♥s ♥s Prs

❬❪ ♥ ❱P ♦t tst♦♥ ♥tr é♦s♥s ♥s Prs

❬❪ ♦♥♦♥ ♥r③t♦♥ ♦ ♠♦♥s ♥ ♦♦♠♥s t♦r ♥②ss ♦ ②♦ r♦tt♦♥s ♦r♥

♦ ♦t♥ ♥ ♦♥r♦♥♠♥t ♥♥r♥

❬❪ P ❲rrt♦♥ ❱t♦r stt② ♥②ss ♦ ♥ rtrr② ♣♦②r r♦ ♦ t ♥② ♥♠r ♦

r s ♥tr♥t♦♥ ♦r♥ ♦ ♦ ♥s ♥ ♥♥ ♥s ♦♠♥s strts

❬❪ P ❲rrt♦♥ ♦♠♣tr ♣r♦r♠ ♦r r♦♥strt♥ ♦② r♦ ♦♠tr② ♥ ♥②③♥ s♥

♦ stt② ♦♠♣trs ♦s♥s

❬❪ P ❲rrt♦♥ ♠♣t♦♥s ♦ ②st♦♥ t♦♥ ♦r r♦ ♦t s♣♣♦rt ♥ ♦ t♦r② ♥tr♥t♦♥

♦r♥ ♦ ♦ ♥s ♥ ♥♥ ♥s ♦♠♥s strts

❬❪ P ❲rrt♦♥ ♦rt♦r② tst ♦ ♦♠♣tr ♠♦ ♦r ♦② r♦ ♥tr♥t♦♥ ♦r♥ ♦ ♦

♥s ♥ ♥♥ ♥s ♦♠♥s strts

❬❪ ❲♦♦ ♦♥srt♦♥ ♦ s♦♥r② ♦s ♥ ②♦ ♥②ss ♥tr♥t♦♥ ♦r♥ ♦ ♦

♥s ♥ ♥♥ ♥s ♥tr♥t♦♥ ②♠♣♦s♠

t ❯ ♦ ♥s ②♠♣♦s♠

❬❪ ❲♥s♦r ♥ ♦♠♣s♦♥ ① s♥ ♥ ♥②ss ♣ ♦r r♦ r♥♦r♠♥t ♥

Pr♦♥s ♦ t ♥tr♥t♦♥ ②♠♣♦s♠ ♦♥ ♦ ♣♣♦rt ♣s ♠ ♦ttr♠

❬❪ ❨r♠ ♥ ❱r ②r♦♣ ♠t♦ ♥tr♥t♦♥ ♦r♥ ♦r ♠r

♥ ♥②t t♦s ♥ ♦♠♥s

❬❪ ❨♥ ♥ ♥ ♥ ❱t♦♥ ♦ ♦ t♦r② ♥ tr♠♥s♦♥ s♦♥t♥♦s

♦r♠t♦♥ ♥②ss s stt② ♥②ss ♠t♦s ♥tr♥t♦♥ ♦r♥ ♦ ♦ ♥s

♥ ♥♥ ♥s

❬❪ ❨♦s♥ ♥ ❨♠ ♦♥t st♥ss ♥ t ♦r♠t♦♥ ♦r ♦ s♦♥t♥♦s r♦

♥tr♥t♦♥ ♦r♥ ♦ ♦ ♥s ♥ ♥♥ ♥s ♦♠♥s strts

rr②

❬❪ ❨♦ ♥ ♦♦♠♥ r♦♥ rt♦♥ r s ♦♥ ♣♦♥ ♦ t♦r② ♥tr♥t♦♥

♦r♥ ♦ ♦ ♥s ♥ ♥♥ ♥s ♦♠♥s strts

❬❪ ❨ ❨ ♥s ❳ ♥ ♥ ♥r③ ♣r♦r t♦ ♥t② tr♠♥s♦♥ r♦

♦s r♦♥ ♦♠♣① ①t♦♥s ♥tr♥t♦♥ ♦r♥ ♦r ♠r ♥ ♥②t t♦s ♥

♦♠♥s

❬❪ ❨ ❩♥ ❳♦ ♥ ♥ ♥ ♠t♦♦♦② ♦r ♦ ♥tt♦♥ ♥ ts ♣♣t♦♥ ♥

r s ♥rr♦♥ r♥ ♦♠♣① ♥♥♥ ♥ ❯♥rr♦♥ ♣ ♥♦♦②

INSTITUT DES SCIENCES ET TECHNOLOGIES

Modélisation de la stabilité des blocs rocheux isolés sur la paroi desexcavations souterraines avec prise en compte des contraintes initiales et du

comportement non linéaire des jointsRésumé : L’instabilité des blocs situés à la surface des excavations souterraines est un problèmecourant dans les milieux rocheux fracturés. Comme les méthodes exactes prenant en compte tousles blocs et leurs interactions sont très lourdes, l’approche des Blocs Isolés est souvent adoptée. Elleconsiste à étudier chaque bloc en considérant qu’il est rigide et que le reste de la masse rocheuseest rigide et fixe. Néanmoins, aucune des méthodes existantes adoptant cette approche ne prenden compte de façon rigoureuse les contraintes initiales et le comportement des joints. Dans cettethèse, on développe une nouvelle méthode qui apporte des améliorations importantes aux méthodesconventionnelles de Blocs Isolés. Connaissant les contraintes initiales, on rend compte du processusd’excavation par le déchargement de la face libre du bloc. Les efforts sur les faces du bloc en contactavec la roche sont alors modifiés en respectant l’équilibre des forces et des moments, la loi de compor-tement des joints et le mouvement de corps solide du bloc. On aboutit ainsi à un système linéaire oùles seules inconnues sont les vecteurs translation et rotation du bloc. Deux modèles sont proposés :le premier considère un comportement linéaire élastique des joints et, par conséquent, la stabilité estévaluée a posteriori. Le deuxième modèle, plus pertinent, considère un comportement hyperboliquedes joints dans la direction normale et élastoplastique dans la direction tangentielle avec prise encompte de la dilatance. La méthode numérique adoptée pour la résolution du problème non linéaireest une intégration explicite dans le temps cinématique avec des pas de déchargement constants.La technique d’intégration surfacique utilisée permet d’étudier toute forme géométrique de bloc. Laméthode proposée a été validée puis comparée aux méthodes conventionnelles. Des études para-métriques ont montré l’influence des contraintes initiales et des propriétés mécaniques des joints surla stabilité. Le soutènement a été aussi intégré dans le code développé. Finalement, la nouvelle mé-thode a été appliquée pour l’étude d’un assemblage de blocs autour d’une excavation souterraine etcomparée à un modèle prenant en compte tous les blocs via la méthode des Eléments Distincts. Ellea été aussi utilisée pour restituer un cas réel de chute de blocs.

Mots clés : blocs isolés, excavation souterraine, roche rigide, contraintes initiales, joints, comporte-ment non linéaire, taux de déconfinement, méthode numérique, soutènement

Stability modeling of isolated rock blocks at the surface of undergroundexcavations taking into account initial stresses and non-linear joint behavior

Abstract: Failure of rock blocks located at the surface of underground excavations is a commonproblem in discontinuous rock masses. Since exact methods that take into account all blocks andtheir interactions are computationally hard, the Isolated Blocks method is usually adopted. It consistsin studying each block considering it to be rigid and the surrounding rock mass to be rigid and fixed.Nevertheless, none of the existing methods based on this approach takes into account initial stressesand joints behavior rigorously. In this thesis, a new method providing significant improvements toconventional Isolated Blocks methods is developed. Considering that initial stresses are known, theexcavation process is modeled by unloading the block’s free face. Stresses acting on the faces in con-tact with the rock mass are then resolved by taking into account force and moment balance equations,joints behavior and rigid body movement. This leads to a linear system where the block’s translationand rotation vectors are the only unknowns.Two models are proposed: the first one assumes linearelastic joint behavior, thus the stability is evaluated a posteriori. The second, more realistic model,assumes joint behavior to be hyperbolic in the normal direction and elastoplastic in the tangential di-rection, while also accouting for dilatancy. This non-linear problem is solved numerically by explicitintegration in the kinematic time with constant deconfining steps. Also, thanks to the surface inte-gration technique used, any block geometry can be studied. The method proposed is validated andcompared to other conventional methods. Parametric studies show the influence of initial stressesand the joints’ mechanical properties on the stability. Rock support modeling is also integrated into thecode. Finally, the new method is applied to study an assemblage of blocks around an undergroundexcavation and is compared to a model that takes into account all the blocks with the Distinct ElementMethod. It is also used to reproduce an actual block failure case.

Keywords: isolated blocks, underground excavation, rigid rock, initial stresses, joints, non-linearbehavior, deconfining rate, numerical method, support

mod elisation de la stabilit e des blocs rocheux isol es ... · tement linéaire élastique des...

Documents