Introduction toModal Modelling of Nonlinear Sloshing in 

Moving Tanks

by

Alexander Timokha (Jena­Kiev­Trondheim)

Swirling – 3D rotational wave motion

Overview

• Motivation• Basic free boundary problem• Coupling with tank motions • Multimodal method • Simplest example of the modal systems for 2D 

flows 

• 3D sloshing in a square base tank• Problems and perspectives

Motivation

Historical Industry MotivationsHistorical Industry Motivations

• Air­ and Spacecraft (dynamics and control)• Petroleum Storage Tanks (safety due to earthquake)• Oil Ship Tanker (dynamics and safety)• (LNG) Liquefied Natural Gas Carriers (dynamics and safety)• (TLD) Tuned Liquid Damper (safety, active control)

Sloshing liquid as a subsystem: COUPLING

Moss type LNG Carriers

Membrane type LNG Carriers

GT NO96

Gas Transport Containment (aft end)

Tuned Liquid Dampers

Free boundary problem

Fluid Sloshing in a Moving Tank

Free Boundary Problem

Coupling with tank‘s dynamics

Coupling

• Functions vo(t) and ω(t) determine tank‘s motions• The tank motions are affected by hydrodynamic 

forces and moments F(t) and M(t), which are computed by integrals over Φ(x,y,z,t) and their derivatives

• ODE (tank‘s dynamics) + PDE (fluid)• Difficulties for coupled modelling

Multimodal method

Multimodal method as an analytically­oriented approach to sloshing and coupling

• Potential flow, no overturning waves (statement described)• Vertical wall and no roof impact• Free surface elevation as a Fourier series by natural modes (example 

for 2D flow)

∀ βi (t) represent free surface modes

• Variational formulation to derive a discrete model, which leads to system of nonlinear ordinary differential equations in time for βi (t)

Importance of filling level

• Finite water depth sloshing (filling height/tank length>0.24)– Resembles standing wave

• Shallow water sloshing (filling height/tank length<0.1)– Hydraulic jump / bore– Thin vertical jet – run­up

• Intermediate depth

General modal system by Miles­Lukovsky

May be reduced to ODE in the modal functions βi, finite­dimensional when ordering modal functions

Hydrodynamic Forces 

and Moments

This makes hydrodynamic forces/moments by function of generalised coordinates and provides a efficient coupling, i.e. derives a dynamic system for the entire object)

Examples of the modal systems for 2D flows 

Asymptotic multimodal systems

• Physically defined ordering between modal functions βi(t) relative to the forcing τ

• Finite depth – Narimanov­Moiseyev ordering: β1=O(τ1/3), β2=Ο(τ2/3),β3=Ο(τ)

• Secondary resonance ordering with decreasing depth and increasing excitation ε implies: βi(t)=Ο(τ1/3), i=1,N; βi(t)=O(τ2/3), i=N+1,2N; βi(t)=O(τ), i=2N+1,3N

• Boussinesq ordering for intermediate and shallow depth

Narimanov­Moiseyev ordering

• Resonant problem as a test, i.e. the forcing frequency/period is close to the lowest natural frequency/period

• Excitation amplitude­tank length ratio is τ• Generalized free surface coordinate  β1=O(τ1/3);  

β2=Ο(τ2/3);  β3=Ο(τ)

Differential equations for finite depth

Steady­state (periodical) solutions.Duffing­like responce and secondary resonance 

Transient response (most popular example !!!)

Comparison of experimental data (elevation near the wall)  

Periodical solutions as a perturbed bifurcation problem (Τ(β,λ,τ)=0, λ=λ(ω))

Unperturbed bifurcations τ=0

Periodical solutions as a perturbed bifurcation problem (Τ(β,λ,τ)=0, λ=λ(ω))Perturbed bifurcations τ>0

Periodical solutions as a perturbed bifurcation problem (Τ(β,λ,τ)=0, λ=λ(ω))

Perturbed secondary bifurcation τ>0

Modal system accounting for secondary resonanceComparison with experiments and CFD calculations 

(Smoothed Particles, Flow3D fails) for large­amplitude forcing; fluid depth/tank length=0.35

Shalow sloshing ordering: comparison with experiments

3D sloshing in a square base tank

Free surface elevation for square based tank with finite depth.

Modal system by Faltinsen­Timokha (2003)

• ζ=∑∑βik(t) cos(πi(x+0.5L))cos(πk(y+0.5L)   

• β10=O(τ1/3) β01=O(τ1/3)      

• β20=O(τ2/3) β11=O(τ2/3) β02=O(τ2/3)   

• β30=O(τ) β21=O(τ) β12=O(τ) β03=O(τ)

Planar, Square(diagonal) and swirling wave patterns

 Wave amplitudes A as a function of excitation frequency σ

Periodical waves in a square base tank for longitudinal excitation. Effect of fluid depth

Flow types (classified) in square based tank with longitudinal excitation. Effect of fluid depth

Periodical solutions (classified) in a square base tank for longitudinal excitation. Effect of fluid depth

Periodical solutions (classified) in a square base tank for longitudinal excitation. Effect of fluid depth

Perodical solutions (classified) in a square base tank for longitudinal excitation. Effect of fluid depth

Periodical solutions (classified) in a square base tank for longitudinal excitation. Effect of fluid depth

Problems and perspectives

Problems and perspectives• Modal systems exist for different types of the tanks. 

However… the problems consist of:• Rigorous bifurcation analysis of periodic solutions for 

existing multidimensional  systems and related numerical (path­following) schemes.

• Cauchy problem for modal system (transient waves) – numerical schemes for modal systems of large dimension including stiffness.

• Modal systems for non­cylindrical tanks• Etc.

Thank you for your attentionReferences to some asymptotic modal systems

3. Gavrilyuk, I., Lukovsky, I., Timokha, A. 2000 A multimodal approach to nonlinear sloshing in a circular cylindrical tank. Hybrid Methods in Engineering. 2, # 4.

4. Faltinsen, O., Rognebakke, O., Lukovsky, I., Timokha, A. 2000 Multidimensional modal analysis of nonlinear sloshing in a rectangular tank with finite water depth.    J. Fluid Mech. 407.

5. Faltinsen, O., Timokha, A. 2001 An adaptive multimodal approach to nonlinear sloshing in a rectangular tank. J. Fluid Mech. 432.

6. Lukovsky, I., Timokha, A. 2001 Sound effect on dynamics and stability of fluid sloshing in zero­gravity. Int. J. of Fluid Mech. Res. 28.

7. Faltinsen, O., Timokha, A. 2002 Asymptotic modal approximation of nonlinear resonant sloshing in a rectangular tank with small fluid depth. J. Fluid Mech. 470.

8. Faltinsen, O., Rognebakke, O., Timokha, A. 2003 Resonant three­dimensional nonlinear sloshing in a square­base basin. J. Fluid Mech. 487.

available at http://www.imath.kiev.ua/~tim