model creditrisk the economic perspective of portfolio...
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Model CreditRisk+:The Economic Perspective of Portfolio Credit RiskPart I
Seminar: Portfolio Credit RiskInstructor: Rafael WeißbachSpeaker: Pablo Kimmig
1. Ansatz und Ziele
• Was ist CreditRisk+
• Konzept
• Modellierung
Agenda
• Modellierung
2. Verteilung der Ausfälle
3. Verlustverteilung
4. Modellerweiterungen
5. Anwendung
6. Zusammenfassung
• Entwickelt von Credit Suisse Financial Products im Jahre 1997
• Aktuarisches Modell
• Intensity Based Model (vs. Strukturelle Modelle)
• Analytisches Modell
Was ist CreditRisk +?
Ansatz und Ziele
• Analytisches Modell
Ermittlung der Wahrscheinlichkeitsverteilung potentiellerer Verlustausfälle
� Bildung von Rückstellungen (Economic Capital)
� Steuerungsinformationen für Portfoliomanagement
Konzept
Ansatz und Ziele
Quelle: CreditRisk+; Credit Suisse
1. Credit Exposures
• Severity: Schaden im Fall von Ausfällen
• Deterministisch
• Problem der Scheingenauigketi
Data Input
Ansatz und Ziele
• Problem der Scheingenauigketi
2. Default Rates
• Kalibrierung durch die beobachtete Kreditspanne der gehandelten Kreditderivate oder mittels Ratings
• Starke jährliche Schwankungen
3. Default Rate Volatilities
• Standartabweichung
Beispiel
• Exposure von Schuldner A: LA = 1000 €
• Ausfallwahrscheinlichkeit: pA = 5%
• Kreditausfall als diskretes Ereignis („Ausfall“, „kein Ausfall“)
Warum analytisches Modell?
Ansatz und Ziele
• Kreditausfall als diskretes Ereignis („Ausfall“, „kein Ausfall“)
95%
95%
95%
5%
5%
5%
Kredit 1
Kredit 2
Kredit 2
λ=0€ (90,25%)
λ=1000€ (4,75%)
λ=1000€ (4,75%)
λ=2000€ (0,25%)
Mit einer Wahrscheinlichkeit von 90,25% wird ein Verlust von 0€ nicht überschritten
2n Möglichkeiten(2100= 1.2676506 × 1030)
Vereinfachte Berechnung durch Verteilungs-funktionen (“closed form“)
• Portfolio mit N Kreditnehmern
• Zuvallsvariablen (“Ausfall“): Vektor (L1,...,LN)
• L ~ B(1,pA)
• Annahme: LA unabhängig
Modellierung
Ansatz und Ziele
• Annahme: LA unabhängig
Bedingungen
Das Bernoulli-Modell
Ansatz und Ziele
nNnNp pp
n
NnB −−
= )1()(,
Bedingungen
• Identische Ausfallwahrscheinlichkeiten
Relevanz
• Retail Portfolios
• UntypischProblem: Binomialverteilung ist nicht reproduktiv
1. Ansatz und Ziele
2. Verteilung der Ausfälle
• Exkurs: WEF
• Herleitung der Verteilung
Agenda
• Herleitung der Verteilung
3. Verlustverteilung
4. Modellerweiterungen
5. Anwendungen
6. Zusammenfassung
• Zentrales Mittel zur Analyse der Ausfallverteilung
• Die WEF G einer Zufallsvariable X ist definiert durch
Wahrscheinlichkeitserzeugende Funktion (WEF)
Exkurs
∑∞
=
==0
)()(x
nnx pzzEzG on INnnXPp ∈== ),(:
• Besondere Eigenschaften:
• Bei Kenntnis der WEF kann man also die Einzelwahrscheinlichkeiten und die Verteilungsfunktion herleiten
=0x
⊥=+ YXzGzGzG YXYX ,;)()()(
0)(
!
1)(
=∂∂===
zz
zG
nnXPp
n
n
n
Poissonapproximation (1/2)
Verteilung der Ausfälle
• WEF:
• Für A gilt:
∑∞
=
=0n
ndefaults)zp(nF(z)
)1(1)( −+= zpzF AA
• Für das Portfolio:
• Durch Logarithmieren
• und die Annahme
∏ ∏ −+==A A
AA zpzFzF ))1(1()()(
∑ −+=A
A zpzF ))1(1log()(log
)1())1(1log( −≈−+ zpzp AA
�erhält man
Für e gilt:
Verteilung der Ausfälle
Poissonapproximation (2/2)
)1()(
)1()(ln
−=
−=∑z
AA
ezF
zpzF
µ
∑∞
=+++++= ......²
1nn
x xxxxeFür e gilt:
Durch die Taylorreihenapproximation erhält man
n!
µe ts) (n defaul
nµ−
=Prn
n
nµ
)µ(z zn!
µeeF(z) ∑
∞
=
−− ==
0
1
∑=
=+++++=0 !
...!
...!2!1
1n
x
nne
0
)(
!
1
=∂∂=
zz
zG
np
n
n
n
• Spezialfall der Binomialverteilung
• n > 50; p<0,1
Ausfälle sind poissonverteilt
Verteilung der Ausfälle
n!
µe ts) (n defaul
nµ−
=Pr
• n > 50; p<0,1
Relevanz
• Verteilung ist ausschließlich von der erwarteten Verlustanzahl µ abhängig
• Die Poisson Verteilung ist ein geeignetes Mittel zur Berechnung seltener Ereignisse
• Keine empirische Evidenz für die Standardabweichung (= √µ)
• Keine Aussage über die Höhe der Ausfälle
1. Ansatz und Ziele
2. Verteilung der Ausfälle
3. Verlustverteilung
• Benutzung von Exposure-Bänder
Agenda
• Benutzung von Exposure-Bänder
• Rekursionsformel zur Berechnung der Verteilung
• Beispiel
4. Modellerweiterungen
5. Anwendungen
6. Zusammenfassung
• Zweites Zufallselement
• Neben der Unsicherheit aus dem Auftreten des Ausfalls nun auch dessen Höhe
• Lösung der Größenrestriktion:
Konzept
Verlustverteilung
1. Zusammenfassen von Krediten mit ähnlicher Verlusterwartung (Exposure-Bänder)
• Dazu wird ein Verlustkoeffizient L festgelegt, auf dessen ganzzahlige Vielfache die erwarteten Verluste gerundet werden
• Trade-off zwischen der Anzahl der Exposure-Bänder (Rechenaufwand) und Genauigkeit
2. Rekursionsbeziehung
1. Wahl der Grundeinheit L
2. Normierung des Verlustes und des erwarteten Verlustes
νA=LA/L, εA=λA/L
3. Aufrunden von νA auf νj und Zusammenfassen gleicher Bänder
Vorgehen bei der Verwendung von Exposure-Bändern
Verlustverteilung
3. Aufrunden von νA auf νj und Zusammenfassen gleicher Bänder
4. Berechnung des erwarteten Verlustes εj für jedes Band
5. Berechnung der erwarteten Anzahl der Ausfälle für jedes Band
Problem: Genauigkeit?
j
jjν
εµ =
• WEF:
Herleitung der Verlustverteilung
Verlustverteilung
∑∞
=
==0n
nnL)zlossesep(aggregatG(z)
∑∑=
+−m
jvj
m
j z
ezG )(µµ
• Zwei Zufallselemente:
F � Ausfall
P� Variabilität des Exposurebetrages
F(P(z))eG(z) )µ(P(z) == −1
∑
∑∑
=
==
==m
j j
j
vm
j j
jm
j
vj
jj zz
zP
1
11)(
νε
νε
µ
µ
∑∑= == jjezG 11)(
Zwei Möglichkeiten
1. Manuelle Faltung
• Aufgrund Reproduktivität der Poisson Verteilung:
Die Faltung unabhängiger Poisson-Variablen ist wieder
Lösung der Größenrestriktion
Verlustverteilung
Die Faltung unabhängiger Poisson-Variablen ist wieder poissonverteilt
• Problem: Rechenzeit
2. Rekursionsformel
(k)P)(k)P...P(P n
iiµ
µnµµ
∑=⊗⊗⊗
=1
21
• Mittels der Leibnitz-Formel lässt sich folgende Rekursionsbeziehung herleiten:
Panjer Rekursion
Verlustverteilung
∑≤
−=nj
nj
n
j
jA
nA
νν
ε:
An:Wahrscheinlichkeit von nL
• Anfangswert:
• Vorteile
• Geeignet für Tabellenkalkulation
• Keine Fakultät zu berechnen
≤nj jnν:
∑==== =
−−
m
j j
j
eePFGA 1))0(()0(0
νε
µ
Verwendung von Exposure-Bändern
L = 500 000
Beispiel (1/2)
Verlustverteilung
Name LA Rating pA λ νA=LA/L round νA: νj εA =λ/L εj =∑εA μj=εj/νj
1 358,475 H 30.00% 107,543 0.7169 1 0.2150 0.2151 0.2151
∑∑==
==m
j j
jm
jj
ν
εµµ
11
2 1,089,819 H 30.00% 326,946 2.1796 3 0.6538 0.6539 0.2180
3 1,799,710 F 10.00% 179,971 3.5994 4 0.3599 0.9399 0.2350
4 1,933,116 G 15.00% 289,967 3.8662 0.5799
5 2,317,327 G 15.00% 347,599 4.6346 5 0.6951 1.4185 0.2837
6 2,410,929 G 15.00% 361,639 4.8218 0.7232
7 2,652,184 H 30.00% 795,655 5.3043 6 1.5913 2.4786 0.4131
8 2,957,685 G 15.00% 443,653 5.9153 0.8873
∑ 5.7059 1.3648
n An νj =1 νj =2 νj =3 νj =4 νj =5 νj =6
0 25.54% EXP(-1.364816)
Beispiel (2/2)
Verlustverteilung
Berechnung der Verlustverteilung anhand der Rekursi onsgleichung
1 5.49% (0.21/1)*25.54
%
3 5.56% (0.65/3)*25.54%
4 7.20% (0.21/4)*5.56% (0.65/4)*5.49% (0.93/4)*25.54%
5 8.59% (0.21/5)*7.2% (0.93/5)*5.49% (1.41/5)*25.54%
6 12.76% (0.21/6)*8.59% (0.65/6)*5.56% (1.41/6)*5.49% (2.47/6)*25.54%
∑== =
−−
m
j j
j
eeA 1
0
νε
µ ∑≤
−=nj
nj
n
j
jA
nA
νν
ε:
1. Ansatz und Ziele
2. Verteilung der Ausfälle
3. Verlustverteilung
4. Modellerweiterungen
Agenda
4. Modellerweiterungen
• Mehrperiodige Betrachtung
• Variable Ausfallraten (Part II)
5. Anwendungen
6. Zusammenfassung
• Die Rekursionsformel gilt auch bei mehrperiodiger Betrachtung:
• Exposures können unterschiedliche Laufzeiten haben
Mehrperiodige Betrachtung
Modellerweiterungen
∑≤
−=
ntjn
tj
n
j
tj
An
A)(:
)(
)(
νν
ε
• Exposures können unterschiedliche Laufzeiten haben
• Jedes Exposure kann maximal einmal ausfallen
Konstanter- vs. Hold-to-Maturity / Run-off Zeithoriz ont:
Konstanter Zeithorizont Hold-to-Maturity Zeithorizont
• Normalerweise ein Jahr
• Geeignet für traded bond portfolios
• Vergleichbarkeit von Exposures mitunterschiedlichen Laufzeiten / Qualität
• Geeignet für Portfoliomanagement
Auswirkung auf die Verlustverteilung
Variable Ausfallraten
Modellerweiterungen
Bis jetzt wurde von Unabhängigkeit zwischen den Kreditnehmern ausgegangen, was nicht der
• EL unverändert
• “ Fat tail“
Quelle: CreditRisk+; Credit Suisse
ausgegangen, was nicht der Realität entspricht
Nun: Implizite Berücksichtigung der Korrelation durch die Einbeziehung der Volatilität der Ausfallraten
Mixture Model Approach
Modellerweiterungen
Modellierung mit variablen
Ausfallraten
Sektoranalyse
• Kreditnehmer werden in unabhängige
Modell-Input
• Exposures (Rückgewinnungs
Verteilung der Ausfälle
Verlustverteilung
unabhängige Sektoren aufgeteilt
• Jeder Sektor wird von einem Hintergrundfaktor beeinflusst
• Annahme: durchschnittliche Ausfallraten sind gammaverteilt
(Rückgewinnungsraten)
• Ausfallraten• Ausfallraten
volatilität
1. Ansatz und Ziele
2. Verteilung der Ausfälle
3. Verlustverteilung
4. Modellerweiterungen
Agenda
4. Modellerweiterungen
5. Anwendungen
• Szenario Analysen
• Portfoliomanagement
6. Zusammenfassung
Zur Bestimmung von Risiken mit extremen Verlusten
• Schwierig zu bestimmen, da die Eintrittswahrscheinlichkeiten gegen Null gehen
Stress Test
Szenario Analyse
Anwendungen
• Extremer Anstieg der PD
• Vergrößerung der Volatilität der PD
• [Veringerung der Anzahl der Sektoren]
• [Einführung von Konzentrationslimits]
Maßgröße: Risikobeitrag (= Effekt des Exposures eines Kreditnehmers auf das Risiko des unerwarteten Verlustes eines Portfolios)
• Einführung eines Limitierungssystems
• Begrenzung der Exposures
Portfoliomanagement
Anwendungen
• Laufzeitbegrenzung der Exposures
• Rating Limits
• Konzentrationslimits
1. Ansatz und Ziele
2. Verteilung der Ausfälle
3. Verlustverteilung
4. Modellerweiterungen
Agenda
4. Modellerweiterungen
5. Anwendungen
6. Zusammenfassung
• Was haben wir gemacht?
• Pro und Contra
Vorgehen bei festen Ausfallraten
Zusammenfassung
Modellierung mit festen Ausfallraten
Verteilung der AusfälleAnnahmen
• Unabhängige Schuldner
Modell-Input
Verlustverteilung
WEF
Rekursionsgleichung
Schuldner
• Ausfallraten hinreichen klein
• Ausfälle Poissonverteilt
• Exposures (Rückgewinnungsra-ten)
• Ausfallraten
Pro & Contra
Zusammenfassung
Pro
• Geringe Datenanforderung
• Keine Ausfallkorrelationen nötig
• Exposurebänder reduzieren die Anzahl der zu betrachtenden Kredite • Exposurebänder reduzieren die Anzahl der zu betrachtenden Kredite (Arbeitsaufwand)
Contra
• Modell ist faktisch nur ein Konzept zu Generierung einer Verlustverteilung: Problemstellung ist auf die Ebene der Eingangsparameter verlagert
• Mögliche Wertminderungen, resultierend aus Bonitätsschwankungen, werden nicht berücksichtigt
• [Sektorzuordnung ohne Konzept und Unabhängigkeit der Sektoren]
Fragen?