model epidemi continuous time markov chain (ctmc .../model... · perpustakaan.uns.ac.id...
TRANSCRIPT
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
MODEL EPIDEMI CONTINUOUS TIME MARKOV CHAIN
(CTMC) SUSCEPTIBLE INFECTED RECOVERED (SIR)
oleh
DETA NURVITASARI
M0108036
SKRIPSI
ditulis dan diajukan untuk memenuhi sebagian persyaratan memperoleh gelar
Sarjana Sains Matematika
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS SEBELAS MARET
SURAKARTA
2012
i
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
ii
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
ABSTRAK
Deta Nurvitasari, 2012. MODEL EPIDEMI CONTINUOUS TIME MARKOVCHAIN (CTMC) SUSCEPTIBLE INFECTED RECOVERED (SIR).Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Sebelas Maret.
Model epidemi CTMC SIR merupakan salah satu model yang menggambar-kan penyebaran penyakit dengan karakteristik, setiap individu sembuh memilikikekebalan tubuh. Model tersebut menggambarkan transisi individu dari kelom-pok susceptible ke infected dan dari kelompok infected ke recovered dalam waktukontinu. Pada penyebaran penyakit, parameter yang sangat berperan adalah βdan γ yang nilainya tidak diketahui secara pasti tetapi dapat diestimasi meng-gunakan metode maksimum likelihood.
Tujuan dari penelitian ini adalah menurunkan ulang model CTMC SIRdengan terlebih dahulu menentukan asumsi, probabilitas transisi, dan matriksprobabilitas transisi. Selanjutnya, mengestimasi parameter β dan γ dengan meng-gunakan metode maksimum likelihood dan menetukan probabilitas berakhir epi-demi. Berdasarkan hasil estimasi, diperoleh suatu model yang dapat diterap-kan pada penyakit smallpox di Nigeria. Model yang diperoleh dapat disimulasi-kan dengan pengambilan nilai awal jumlah individu terinfeksi I(0) yang ber-beda. Sehingga, berdasarkan hasil simulasi diperoleh bahwa pemberian nilai I(0)yang berbeda dapat berpengaruh terhadap periode infeksi dan jumlah maksimumindividu terinfeksi.
Kata kunci: CTMC, likelihood, SIR
iii
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
ABSTRACT
Deta Nurvitasari, 2012. MODEL OF CONTINUOUS TIME MARKOVCHAIN (CTMC) SUSCEPTIBLE INFECTED RECOVERED (SIR) EPIDEMIC.Faculty of Mathematics and Natural Sciences, Sebelas Maret University.
Model of CTMC SIR epidemic is one of model that describe the spread ofthe disease with the charactheristics that individuals who have recovered immune.In the model of CTMC SIR, there are a transition from susceptible to infectedand infected to recovered in a continuous time interval. There are parametersthat influence the spread of the disease, i.e infection rate and rate of recovery.The value of the parameters are not known exactly, but it can be estimated usingthe method of maximum likelihood estimation.
The aims of the research are to reformed of CTMC SIR model by deter-mined the assumptions, the transition probability, and the transition matrix ofCTMC SIR model. Furthemore, the parameters in the model i.e β and γ will beestimated using maximum likelihood estimation and determine probability of theend of epidemic. Based on the estimation results, to illustrate an application ofthe model is taken to refer the case smallpox in Nigeria. The model can be simu-lated by taking some of the number of individuals infected at the time to zero,I(0). Based on the graph simulation that the initial values I(0) can influence theinfection period and the maximum number of individuals infected.
Key words: CTMC, likelihood, SIR
iv
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
MOTO
Karena sesungguhnya sesudah kesulitan itu ada kemudahan.
Sesungguhnya sesudah kesulitan itu ada kemudahan.
(Q.S. Al - Insyirah : 5-6)
Being in the right place at the right time. (Bill Gates)
Reach your ideal with attention, heart, and spirit. (Penulis)
v
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
PERSEMBAHAN
Karya ini kupersembahkan untuk
Ayah, Ibu, dan Prima Bayu Sulistyo.
vi
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
KATA PENGANTAR
Puji syukur penulis panjatkan kepada Allah SWT, yang telah melimpahk-
an rahmat dan karunia-Nya, sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi ini.
Penyusunan skripsi ini tidak lepas dari bantuan beberapa pihak, oleh karena itu
penulis ingin mengucapkan terima kasih kepada
1. Bapak Dr. Sutanto, DEA. selaku Dosen Pembimbing I dan Ibu Sri Kuntari,
M.Si. selaku Dosen Pembimbing II yang telah memberikan bimbingan dan
dukungan dalam penulisan skripsi ini,
2. Ibu Dra. Respatiwulan, M.Si. yang telah memberikan saran dan masukan
dalam proses skripsi ini,
3. Ibu Dra. Purnami Widyaningsih, M.App.Sc. yang telah memberikan ma-
sukan dalam proses skripsi ini,
4. semua pihak yang turut membantu dalam penulisan skripsi ini.
Semoga skripsi ini dapat bermanfaat bagi semua pihak yang membutuhkan.
Surakarta, Juli 2012
Penulis
vii
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
Daftar Isi
ABSTRAK . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iii
ABSTRACT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iv
MOTO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . v
PERSEMBAHAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . vi
KATA PENGANTAR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . vii
DAFTAR ISI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ix
DAFTAR GAMBAR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . x
I PENDAHULUAN 1
1.1 Latar Belakang Masalah . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Perumusan Masalah . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3 Tujuan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.4 Manfaat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
II LANDASAN TEORI 4
2.1 Tinjauan Pustaka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.1.1 Model Susceptible Infected Recovered (SIR) . . . . . . . . . 4
2.1.2 Model SIR Deterministik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.1.3 Proses Stokastik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.1.4 Proses Markov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.1.5 Metode Estimasi Maksimum Likelihood . . . . . . . . . . . 7
2.1.6 Embedded Continuous Time Markov Chain . . . . . . . . . 8
2.2 Kerangka Pemikiran . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
IIIMETODE PENELITIAN 10
viii
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
IVPEMBAHASAN 11
4.1 Model CTMC SIR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
4.2 Estimasi Parameter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
4.3 Probabilitas Berakhir Epidemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
4.4 Penerapan Kasus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
V PENUTUP 22
5.1 Kesimpulan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
5.2 Saran . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
DAFTAR PUSTAKA 24
ix
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
Daftar Gambar
2.1 Skema Model SIR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
4.1 Pola Penyebaran Jumlah Individu Terinfeksi untuk I(0) = 1,-
I(0) = 2, dan I(0) = 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
4.2 Pola Penyebaran Jumlah Individu Terinfeksi untuk I(0) = 1,-
I(0) = 2, dan I(0) = 5 berdasarkan Probabilitas Berakhir Epidemi 21
x
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
Bab I
PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang Masalah
Kesehatan merupakan faktor terpenting dalam kehidupan manusia. Per-
ubahan cuaca, dan pola hidup serta kondisi lingkungan yang kurang sehat dalam
suatu populasi merupakan beberapa faktor yang dapat menyebabkan timbulnya
penyakit, baik secara langsung maupun tidak langsung. Penyakit menular yang
disebabkan oleh jamur, bakteri maupun virus sudah menjadi masalah umum di
berbagai belahan dunia.
Penularan suatu penyakit dari satu individu ke individu lain dapat melalui
kontak langsung, saluran napas maupun saluran cerna. Epidemi adalah suatu
penyakit menular yang berjangkit dalam masyarakat yang jumlah penderitanya
meningkat pada waktu dan daerah tertentu. Di Indonesia, epidemi diartikan
sebagai wabah, yaitu penyakit menular yang dengan cepat berjangkit di daerah
yang luas dan menimbulkan banyak korban. Epidemi tidak hanya menimbul-
kan tingginya angka kematian tetapi juga dapat mengakibatkan kerugian finan-
sial yang besar. Sehingga, perlu dilakukan pengendalian terhadap penyebaran
penyakit. Salah satu langkah awal dalam usaha pengendalian tersebut adalah
mempelajari pola penyebaran penyakit.
Model matematika merupakan salah satu alat yang dapat digunakan dalam
menyelesaikan permasalahan yang berkaitan dengan kehidupan manusia. Salah
satu penerapannya, yaitu analisis pola penyebaran suatu penyakit. Untuk menge-
tahui proses penyebaran penyakit, dikenal beberapa model penyebaran penyakit
(epidemi), baik ditinjau secara deterministik maupun probabilistik.
Seiring perkembangan teknologi, telah banyak penelitian yang dilakukan
untuk mengetahui pola penyebaran suatu epidemi dalam suatu populasi. Salah
1
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
satu model epidemi adalah model SIR. Menurut Brauer et al. [4], model SIR
merupakan suatu model matematika yang menggambarkan penyebaran epidemi,
dengan setiap individu yang telah sembuh dari infeksi mempunyai sistem ke-
kebalan tubuh. Pada model SIR, populasi terbagi dalam tiga kelompok, yaitu
susceptible (S), infected (I), dan recovered (R). Kelompok S terdiri dari individu
sehat yang belum terinfeksi penyakit tetapi rentan terhadap infeksi, kelompok I
terdiri dari individu yang terinfeksi penyakit, dan kelompok R terdiri dari indi-
vidu yang mempunyai sistem kekebalan tubuh karena telah sembuh dari infeksi
penyakit. Dalam kondisi awal, total jumlah popolasi merupakan penjumlahan da-
ri nilai awal dari jumlah individu rentan penyakit, jumlah individu terinfeksi, dan
jumlah individu sembuh sehingga dapat dituliskan sebagaiN = S(0)+I(0)+R(0).
Model SIR dapat ditinjau secara deterministik maupun probabilistik. Pola
penyebaran epidemi yang ditinjau secara probabilistik terbagi menjadi tiga mo-
del, yaitu DTMC (discrete time markov chain), CTMC (continuous time markov
chain), dan SDE (stochastic differential equation).
Model DTMC merupakan suatu model penyebaran penyakit dalam selang
waktu diskrit, t = 0, 1, 2, ...T. Model tersebut menggambarkan perpindahan indi-
vidu dari kelompok S ke I dan dari kelompok I ke R yang diambil secara random
dalam suatu populasi.
Model CTMC merupakan suatu model penyebaran penyakit dalam selang
waktu kontinu, t = [0, T ). Model tersebut menggambarkan perpindahan individu
dari kelompok S ke I dan dari kelompok I ke R yang diambil secara random
dalam suatu populasi.
Model SDE merupakan suatu model penyebaran penyakit dalam selang
waktu kontinu, t = [0, T ). Model tersebut menggambarkan perubahan jumlah
individu pada kelompok S, I, dan R yang diambil secara random dalam suatu
populasi.
Menurut Parzen [11], perubahan jumlah individu terinfeksi berkaitan erat
dengan probabilitas suatu kejadian. Dengan demikian, penyebaran epidemi suatu
penyakit merupakan suatu kejadian random yang bergantung pada waktu dan
2
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
berkaitan dengan probabilitas, atau dapat disebut sebagai suatu proses stokastik.
Suatu epidemi diharapkan berhenti sebelum menginfeksi seluruh individu dalam
suatu populasi karena berakibat dapat menimbulkan kerugian yang cukup besar.
Suatu epidemi dikatakan berhenti apabila tidak ada lagi individu yang terinfeksi.
Pada penelitian ini, penulis ingin mengetahui pola penyebaran penyakit
tertentu yang ditinjau secara probabilistik. Model yang digunakan adalah model
continuous time markov chain (CTMC) susceptible infecected recovered (SIR).
Model tersebut mengkaji mengenai perubahan variabel random diskrit, yaitu
jumlah individu yang rentan terhadap infeksi (S) dan jumlah individu terinfeksi
(I) dalam selang waktu kontinu.
1.2 Perumusan Masalah
Berdasarkan latar belakang masalah, diperoleh perumusan masalah
1. bagaimana menurunkan ulang model epidemi CTMC SIR ?
2. bagaimana menerapkan dan mensimulasikan model CTMC SIR pada suatu
kasus epidemi dengan pengambilan I(0) yang berbeda?
1.3 Tujuan
Tujuan penelitian ini adalah
1. dapat menurunkan ulang model epidemi CTMC SIR,
2. dapat menerapkan dan mensimulasikan model pada suatu kasus epidemi
dengan pengambilan I(0) yang berbeda.
1.4 Manfaat
Dari penelitian ini diharapkan dapat menambah pemahaman mengenai pe-
nerapan model matematika terhadap pola penyebaran suatu penyakit epidemi.
3
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
Bab II
LANDASAN TEORI
2.1 Tinjauan Pustaka
Salah satu penelitian yang telah membahas mengenai model epidemi yang
ditinjau secara probabilistik, yaitu The SIS and SIR stochastic epidemic models
revisited oleh Altalejo [1]. Dalam penelitian ini, akan dibahas mengenai pe-
nurunan ulang model epidemi SIR ditinjau secara probabilistik dengan mengguna-
kan CTMC (continuous time markov chain) yang merujuk dari Brauer et al.
[4]. Selanjutnya, model tersebut diterapkan dalam suatu kasus epidemi dan
disimulasikan pada beberapa nilai I(0) yang berbeda. Untuk menurunkan ulang
model CTMC SIR, diuraikan terlebih dahulu beberapa hal yang mendasarinya.
2.1.1 Model Susceptible Infected Recovered (SIR)
Model SIR merupakan suatu model yang menggambarkan pola penyebaran
suatu penyakit dari satu individu ke indivu yang lain. Menurut Brauer et al. [4],
pada model SIR individu yang sembuh dari infeksi memiliki kekebalan tubuh.
Total populasi dari model epidemi SIR terbagi menjadi tiga kelompok, yaitu
kelompok susceptible (S), infected (I), dan recovered (R). Kelompok S merupakan
kelompok individu sehat dan belum terinfeksi penyakit tetapi rentan terinfeksi,
kelompok I merupakan kelompok individu terinfeksi, dan kelompok R merupakan
kelompok individu yang telah sembuh dari infeksi.
Pada model SIR, penyebaran penyakit terjadi apabila terdapat perpindahan
individu dari kelompok S ke I dengan laju penularan sebesar β dan dari kelompok
I ke R dengan laju kesembuhan sebesar γ, yang ditunjukkan oleh Gambar (2.1).
Setiap individu susceptible akan menjadi terinfeksi apabila berinteraksi dengan
individu infected dengan laju penularan sebesar β, sedangkan nilai parameter γ
4
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
Gambar 2.1. Skema Model SIR
menunjukkan besarnya laju kesembuhan pada kelompok infected.
2.1.2 Model SIR Deterministik
Model SIR deterministik merupakan salah satu model epidemi yang diguna-
kan untuk mengetahui pola penyebaran suatu penyakit. Asumsi dari model SIR
deterministik sebagai berikut
1. populasi tertutup (konstan) dan dalam jumlah yang besar,
2. populasi bercampur homogen sehingga setiap individu mempunyai karak-
teristik yang sama,
3. tidak memperhatikan faktor kelahiran dan kematian,
4. hanya satu penyakit yang menyebar dalam populasi.
Menurut Hethcote [7], jumlah individu pada kelompok S, I, dan R pada
waktu t masing - masing dinyatakan sebagai S(t), I(t), dan R(t). Karena di-
asumsikan bahwa populasi konstan sehingga S(t) + I(t) + R(t) = N , dengan N
merupakan total populasi. Besarnya laju penularan dan laju kesembuhan masing-
masing dinyatakan dengan β, dan γ. Apabila setiap individu infected, dengan
kemungkinan IN
berinteraksi dengan individu susceptible dengan laju penularan
sebesar β, akan berakibat jumlah individu susceptible berkurang sebesar β ISN.
Pengurangan sebesar β ISN
pada kelompok susceptible mengakibatkan penambah-
an pada kelompok infected. Dikarenakan besarnya laju kesembuhan dinyatakan
sebagai γ sehingga kesembuhan pada kelompok infected sebesar γI. Menurut
5
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
Brauer et al. [4], model SIR deterministik dinyatakan sebagai
dS
dt= −β
IS
N,
dI
dt= β
IS
N− γI,
dR
dt= γI.
(2.1)
Pada persamaan (2.1), dSdt
, dIdt, dan dR
dtmasing - masing menunjukkan perubahan
jumlah individu pada kelompok susceptible, infected, dan recovered.
2.1.3 Proses Stokastik
Menurut Taylor dan Karlin [12], proses stokastik merupakan sekumpulan
variabel random Xl(y)/l ϵ L, y ϵ Y dengan L himpunan indeks dan Y ruang
sampel. Himpunan indeks L sering dinyatakan sebagai himpunan waktu. Him-
punan L dikatakan kontinu apabila L berada pada interval [0, L]. Sedangkan,
himpunan L dikatakan diskrit apabila L berada pada 0, 1, 2, ..., L.
Menurut Nguyen [9], proses stokastik merupakan kumpulan variabel ran-
dom yang dinotasikan dengan Xl atau X(l), dengan l merupakan indeks yang
menjelaskan waktu. Proses stokastik terbagi dalam empat kategori yang berbeda
tergantung l atau Xl, yaitu
1. discrete processes : l dan Xl diskrit, sebagai contoh discrete time markov
chain (DTMC),
2. continuous time discrete state processes : (Xl) diskrit tetapi l kontinu pada
interval bilangan real R, sebagai contoh
(a) poisson process
(b) continuous time markov chain (CTMC)
(c) queuing processes
3. continuous processes : l dan Xl kontinu,
4. discrete time continuous state processes : l diskrit tetapi Xl kontinu.
6
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
2.1.4 Proses Markov
Menurut Taylor dan Karlin [12] serta Parzen [11], proses stokastik dengan l
diskrit X(l), l = 0, 1, 2, ... maupun proses stokastik dengan l kontinu X(l), l ≥
0 dapat dikatakan sebagai proses Markov, apabila diberikan suatu nilai Xl,
maka nilai X(m) dengan m > l tidak bergantung pada nilai X(u) dengan u < l.
Sehingga, probabilitas bersyarat dari X(ln) dengan syarat X(l1), . . . , X(ln−1)
hanya bergantung pada nilaiX(ln−1). Jika diberikan suatu nilai tertentu x1, . . . , xn,
maka probabilitas bersyarat tersebut adalah
P [X(ln) ≤ xn|X(l1) = x1, . . . , X(ln−1) = xn−1] = P [X(ln) ≤ xn|X(ln−1) = xn−1]
Suatu nilai tertentu x dikatakan sebagai suatu state dari proses stokastik
Xl,l ϵ L jika terdapat l dalam L. Sehingga, probabilitas P [x−h < Xt < x+h]
bernilai positif untuk setiap h > 0. Selanjutnya, himpunan nilai yang mungkin
dalam suatu proses stokastik dinamakan ruang state. Suatu ruang state disebut
diskrit jika terdiri dari state yang memuat bilangan berhingga (finite) ataupun
state yang memuat bilangan countable yang tak berhingga (infinite). Suatu
proses Markov yang mempunyai ruang state diskrit dinamakan rantai Markov
(Markov chain).
2.1.5 Metode Estimasi Maksimum Likelihood
Menurut Brauer et al. [4], parameter - parameter pada model CTMC SIR
dapat diestimasi dengan menggunakan metode maksimum likelihood. Bain dan
Engelhardt [3], memaparkan definisi dari fungsi likelihood sebagai berikut.
Definisi 2.1.1. Statistik W = w(X1, X2, . . . , Xn) digunakan untuk mengevaluasi
nilai dari τ(θ) disebut sebagai estimator dari τ(θ) yang dinotasikan dengan τ(θ)
dan suatu observasi dari statistik w = w(x1, x2, . . . , xn) merupakan nilai estimasi
dari τ(θ).
Definisi 2.1.2. Fungsi likelihood dapat didefinisikan sebagai fungsi kepadatan
probabilitas dari n variabel random X1, X2, . . . , Xn yang dievaluasi pada titik
7
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
x1, x2, . . . , xn, yaitu f(x1, x2, . . . , xn). Untuk suatu nilai tertentu x1, x2, . . . , xn,
fungsi likelihood adalah fungsi dari θ yang dinotasikan dengan L(θ). Apabila
dimisalkan X1, X2, . . . , Xn merupakan suatu sampel random dari f(xn, θ), maka
L(θ) = f(x1; θ)f(x2; θ) . . . f(xn; θ).
Definisi 2.1.3. Misalkan L(θ) = f(x1, . . . , xn; θ),dengan θ ϵ Ω merupakan fungsi
kepadatan probabilitas bersama dari X1, . . . , Xn. Jika diberikan suatu himpunan
observasi (x1, . . . , xn), nilai θ pada Ω dengan L(θ) maksimum disebut estimasi
maksimum likelihood dari θ. Sehingga θ merupakan estimator dari θ, dan berlaku
f(x1, . . . , xn; θ) = maxθϵΩ
f(x1, . . . , xn; θ).
Pada Definisi 2.1.3, L(θ) mencapai maksimum apabila
d
dθL(θ) = 0. (2.2)
Selanjutnya, jika nilai θ pada L(θ) maksimum, maka nilai loglikelihood dari L(θ)
juga maksimum. Sehingga diperoleh
d
dθlnL(θ) = 0.
2.1.6 Embedded Continuous Time Markov Chain
Menurut Nielsen [10], apabila proses transisi terjadi dari state i menuju
state j dengan j = i, maka probabilitasnya sebesar
Vij(h) = Pr[X(h) = j \X(h) = i,X(0) = i]
=Pij(h)
1− Pii(h)
(2.3)
dengan Vij merupakan probabilitas transisi pada embedded markov chain.
Menurut Brauer et al. [4] embedded markov chain dapat digunakan dalam
proses berakhirnya epidemi. Dalam hal ini, diperlukan perhitungan probabilitas
transisi dari state (s, i), dengan s = 0, 1, . . . , N dan i = 0, 1, . . . , N − s. Pada
proses berakhirnya suatu epidemi, embedded markov chain hanya mementingkan
probabilitas transisi.
8
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
2.2 Kerangka Pemikiran
Berdasarkan tinjauan pustaka, dapat disusun suatu kerangka pemikiran un-
tuk menyelesaikan permasalahan dalam penelitian ini. Pada penyebaran epidemi
dalam suatu populasi, setiap individu mempunyai kekebalan tubuh sehingga indi-
vidu yang telah sembuh tidak dapat terinfeksi kembali dan digambarkan melalui
model SIR.
Apabila ditinjau secara probabilistik, penyebaran epidemi diartikan sebagai
suatu proses stokastik yang dapat digambarkan dalam suatu model, yaitu model
epidemi CTMC SIR. Pada model tersebut variabel random yang dikaji adalah
variabel random jumlah individu yang rentan terhadap infeksi penyakit S(t) dan
jumlah individu terinfeksi I(t) dalam selang waktu kontinu t = [0, T ].
Penurunan ulang model CTMC SIR dilakukan dengan menentukan besar-
nya probabilitas transisi terlebih dahulu. Terdapat parameter laju penularan
dan laju kesembuhan yang berpengaruh secara signifikan terhadap penyebaran
penyakit. Nilai dari kedua parameter tersebut tidak diketahui secara pasti tetapi
dapat diestimasi. Pada penelitian ini, metode estimasi parameter yang digunakan
adalah metode estimasi maksimum likelihood.
Suatu epidemi dikatakan berakhir jika tidak ada individu yang terinfeksi.
Dengan kata lain, jumlah individu terinfeksi pada waktu t adalah nol. Selanjut-
nya, melalui hasil simulasi dapat digambarkan pola penyebaran suatu penyakit.
Sebelum melakukan simulasi terhadap model yang diperoleh, terlebih dahu-
lu menentukan asumsi, probabilitas transisi, dan matriks probabilitas transisi un-
tuk menurunkan ulang model CTMC SIR. Selanjutnya, mengestimasi parameter
dan menentukan probabilitas berakhir epidemi dengan menggunakan embedded
markov chain. Berdasarkan hasil estimasi parameter, diperoleh suatu model yang
dapat diterapkan dalam suatu kasus epidemi.
9
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
Bab III
METODE PENELITIAN
Metode yang digunakan dalam penelitian ini adalah studi literatur, yaitu
dengan cara mempelajari materi dari berbagai referensi antara lain buku - buku,
artikel ilmiah, dan jurnal - jurnal yang sesuai dengan tujuan penelitian. Adapun
langkah - langkah yang ditempuh dalam mencapai tujuan penelitian adalah
1. menurunkan ulang model CTMC SIR yang terdiri dari
(a) menentukan asumsi model CTMC SIR,
(b) menentukan probabilitas transisi individu susceptible (S) dan individu
infected (I),
(c) menentukan matriks probabilitas transisi pada individu susceptible (S)
dan individu infected (I).
2. mengestimasi nilai parameter yang berpengaruh terhadap penyebaran suatu
penyakit dengan menggunakan metode maksimum likelihood,
3. menentukan probabilitas berakhir epidemi dengan embedded markov chain,
4. menerapkan model pada suatu kasus epidemi dengan simulasi untuk nilai
I(0) yang berbeda,
5. memberikan interpretasi terhadap hasil simulasi.
10
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
Bab IV
PEMBAHASAN
4.1 Model CTMC SIR
Pada bagian ini penurunan ulang dari model Continuous Time Markov
Chain (CTMC) SIR mengacu pada Brauer et al. [4]. Menurut Brauer et al. [4],
model CTMC SIR merupakan suatu fungsi probabilitas jumlah individu yang
rentan terhadap infeksi dan jumlah individu terinfeksi pada waktu ke t. Hal ini
dikarenakan terdapat dua variabel random independen, S(t), I(t) dan dapat
dinyatakan sebagai R(t) = N − S(t)− I(t). Sehingga, proses epidemi SIR dapat
dipandang bivariat. Misalkan S(t) dan I(t) masing - masing merupakan jumlah
individu yang rentan terhadap infeksi dan jumlah individu terinfeksi pada waktu
t, maka fungsi probabilitas bersama diberikan
p(s,i) = Prob[S(t) = s, I(t) = i]
dengan t = [0, T ], s = 1, 2, ..., N , dan i = 1, 2, ..., N . Selain itu, S dan I dipandang
sebagai variabel random yang masing - masing dinyatakan dalam suatu sampel
random s dan i.
Perpindahan dari individu rentan ke individu terinfeksi disebut transisi.
Dalam penelitian ini, dimungkinkan hanya ada satu individu yang bertransisi
pada selang waktu yang sangat kecil. Sehingga, pada setiap waktu dalam interval
t = [0, T ], terjadi perubahan jumlah individu S, I, dan R yang dapat dinyatakan
dalam suatu probabilitas.
Jumlah individu yang rentan terhadap infeksi maupun jumlah indivdu ter-
infeksi dapat berubah setiap waktu dalam interval waktu t = [0, T ]. Probabilitas
berpindahnya jumlah individu rentan infeksi dari sejumlah s menjadi s + k dan
berpindahnya jumlah individu terinfeksi dari sejumlah i menjadi i+j pada selang
11
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
waktu tertentu adalah
p(s+k,i+j),(s,i)(∆t) = Prob(∆S,∆I) = (k, j)|S(t), I(t)) = (s, i) (4.1)
Menurut Trapman [13], asumsi yang digunakan dalam penurunan model epidemi
CTMC SIR adalah
1. penyakit menyebar pada suatu populasi yang tertutup sehingga tidak ada
individu yang migrasi (masuk dan keluar) dari populasi tersebut,
2. pada kondisi awal terdapatN−m jumlah susceptible danm jumlah infected,
3. populasi bercampur homogen,
4. model tidak memperhatikan faktor kelahiran dan kematian sehingga transisi
pada kelompok S, I, dan R hanya melibatkan laju penularan dan laju
kesembuhan,
5. setiap individu merupakan kelompok recovered jika periode infeksi pada
kelompok infected berakhir,
6. hanya terdapat satu individu yang bertransisi dari s ke s+ k dan dari i ke
i+ j pada selang waktu yang sangat kecil,
7. hanya terdapat satu penyakit yang menyebar dalam populasi tersebut.
Berdasarkan asumsi ke enam, transisi terjadi pada selang waktu yang sangat
kecil sehingga dimungkinkan hanya terdapat satu individu yang bertransisi, yaitu
dari state (s, i) ke state (s − 1, i + 1), dari state (s, i) ke (s, i − 1), dan dari
state (s, i) ke (s, i). Pada saat individu bertransisi dari (s, i) ke (s − 1, i + 1)
berarti jumlah individu sehat (S) berkurang satu, sedangkan jumlah individu
terinfeksi (I) bertambah satu. Dengan demikian, terjadi transisi satu individu
dari kelompok S ke kelompok I yang berakibat terjadi infeksi baru (penularan
penyakit dari individu I ke individu S) melalui suatu interaksi.
Jika β menyatakan besarnya laju penularan, I(t) menyatakan jumlah indi-
vidu terinfeksi pada waktu t, S(t) menyatakan jumlah individu rentan terhadap
12
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
infeksi pada waktu t, dan N menyatakan total populasi. Menurut Hethcote [6]
βI(t)N
merupakan rata-rata jumlah penularan setiap individu susceptible dengan
individu infected tiap satuan waktu. Sehingga, menurut Brauer et al. [4], besar-
nya probabilitas transisi dari state (s, i) ke state (s−1, i+1) dalam selang waktu
∆t adalah
βis
N∆t+ o(∆t) (4.2)
dengan o(∆t) menunjukkan suatu nilai probabilitas yang sangat kecil dan tidak
dapat dinyatakan dengan pasti.
Pada saat jumlah individu bertransisi dari (s, i) ke (s, i−1), berarti jumlah
individu terinfeksi berkurang satu. Hal ini disebabkan adanya perpindahan satu
individu dari kelompok I ke kelompok R dengan laju kesembuhan sebesar γ.
Sehingga, besarnya probabilitas transisi dari state (s, i) ke state (s, i− 1) dalam
selang waktu ∆t adalah
γi∆t+ o(∆t). (4.3)
Selain itu, saat jumlah individu bertransisi dari state (s, i) ke state (s, i),
berarti tidak ada penambahan maupun pengurangan jumlah individu sehat dan
individu terinfeksi. Dengan kata lain, tidak ada perpindahan satu individu dari
kelompok S dan kelompok I. Sehingga, besarnya probabilitas transisi dari state
(s, i) ke (s, i) adalah
1−(βis
N+ γi
)∆t+ o (∆t) . (4.4)
Pada selang waktu yang sangat kecil, dimungkinkan hanya terdapat satu
individu yang bertransisi. Dari suatu state ke state lainnya, kemungkinan jumlah
individu yang bertransisi lebih dari atau sama dengan dua individu (> 2) sangat-
lah kecil. Oleh sebab itu, besarnya probabilitas transisi dengan jumlah individu
yang bertransisi lebih dari sama dengan dua dalam selang waktu ∆t adalah
o (∆t) . (4.5)
13
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
Persamaan (4.2), (4.3), (4.4), dan (4.5) dapat dituliskan ulang dalam suatu sistem
persamaan probabilitas transisi yang dinyatakan sebagai
p(s+k,i+j),(s,i)(∆t) =
βNis∆t+ o(∆t), (k,j)=(-1,1);
γi∆t+ o(∆t), (k,j)=(0,-1);
1− βisN∆t− γi∆t+ o(∆t), (k,j)=(0,0);
o(∆t), yang lain.
(4.6)
Persamaan (4.6) dapat dinyatakan dalam suatu matriks probabilitas transisi
yang memuat besarnya probabilitas perpindahan individu dari state (s, i) menuju
state (s+k, i+j). Matriks tersebut dimulai dari (k, j) = (0, 0) dan berakhir pada
(k, j) = (−N,N). Jika P (∆t) merupakan matriks probabilitas transisi pada
selang waktu ∆t, berdasarkan persamaan (4.6) dapat dituliskan sebagai berikut
P HDt L =
1 0 0 0 0 0 º 0 0 º 0 º 0
0 1 - Βis
N- Γi 0 Β
is
NΓi 0 º 0 0 º 0 º 0
0 0 1 - Βis
N- Γi Γi 0 Β
is
Nº 0 0 º 0 º 0
» » » » » » ¸ » » ¸ » ¸ »
0 0 0 0 0 0 º 1 - Βis
N- Γi Γi º Β
is
Nº 0
» » » » » » ¸ » » ¸ » ¸ »
0 0 0 0 0 0 º 0 0 º Γi º 1 - Γi
Jika dimisalkan bahwa matriks P (∆t) dengan ukuran N2xN2 memuat par-
tisi yang menunjukkan transisi individu dari kelompok S, I, dan R dengan
A1 =
1− β isN− γi 0 β is
Nγi 0
0 1− β isN− γi γi 0 β is
N
, . . . ,
AN =
1 - Βis
N- Γi 0 º Β
is
NΓi 0 º 0 º 0 º 0
0 1 - Βis
N- Γi º 0 Β
is
NΓi º 0 º 0 º 0
» » ¸ » » » ¸ » ¸ » ¸ »
0 0 º 0 0 0 º 0 º Γi º 1 - Γi
.
14
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
Sehingga, matriks P (∆t) dapat dituliskan sebagai
P (∆t) =
1 0 0 0 · · · 0
0 A1 0 0 · · · 0
0 0 A2 0 · · · 0...
......
.... . .
...
0 0 0 0 · · · AN
.
4.2 Estimasi Parameter
Parameter pada model CTMC SIR dapat diestimasi dengan mengguna-
kan metode maksimum likelihood. Dalam suatu rantai markov, fungsi likelihood
merupakan hasil kali dari semua probabilitas yang mungkin. Pada model CTMC
SIR dalam penelitian ini, terdapat tiga transisi yang mungkin, yaitu dari state
(s, i) ke (s − 1, i + 1), state (s, i) ke (s, i − 1), dan state (s, i) ke (s, i) sehingga
fungsi likelihood diberikan dalam persamaan (4.7)
L =∏s,i
p(s,i),(s−1,i+1)p(s,i),(s,i−1)p(s,i),(s,i). (4.7)
Probabilitas transisi untuk transisi dari state (s, i) ke (s− 1, i+1), (s, i− 1), dan
(s, i) dalam selang waktu [0, T ] masing-masing dinyatakan sebagai∫ T
0βI(t)S(t)
Ndt,∫ T
0γI(t)dt, dan
∫ T
01− βI(t)S(t)
N− γI(t)dt.
Menurut Clancy dan O’Neill [5], fungsi likelihood pada model epidemi di-
pengaruhi oleh fungsi kedatangan. Menurut Kypraios [8], suatu epidemi meru-
pakan proses poisson dengan waktu antar kedatangan berdistribusi eksponensial
sehingga dapat dinyatakan sebagai
L(β, γ) =
∫ T
0
βI(t)S(t)
Ndt
∫ T
0
γI(t)dt
∫ T
0
1− βI(t)S(t)
N− γI(t)dt
exp
(−∫ T
0
βI(t)S(t)
N+ γI(t) + 1− βI(t)S(t)
N− γI(t)dt
).
15
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
Dalam hal ini, fungsi log-likelihood dapat dinyatakan sebagai
ln(L(β, γ)) =
(ln
∫ T
0
βI(t)S(t)
Ndt−
∫ T
0
βI(t)S(t)
Ndt
)+
(ln
∫ T
0
γI(t)dt−∫ T
0
γI(t)dt
)+
(ln
∫ T
0
(1− βI(t)S(t)
N− γI(t)dt
)−∫ T
0
(1− βI(t)S(t)
N− γI(t)dt
)).
Persamaan maksimum likelihood dapat diperoleh dengan memaksimumkan
fungsi log-likelihood. Dalam hal ini, memaksimumkan fungsi log-likelihood terjadi
ketika turunan parsial fungsi tersebut terhadap suatu parameter sama dengan
nol. Parameter-parameter pada model CTMC SIR adalah β dan γ. Fungsi
loglikelihood untuk parameter β dikatakan maksimum apabila
∂ ln(L(β, γ))
∂β= 0
sehingga diperoleh
((1∫ T
0βI(t)S(t)
Ndt
∫ T
0
I(t)S(t)
Ndt
)−∫ T
0
I(t)S(t)
Ndt
)+ 0 =0
+
((1∫ T
01− βI(t)S(t)
N− γI(t)dt
(−∫ T
0
I(t)S(t)
Ndt
)))
−(−∫ T
0
I(t)S(t)
Ndt
)1
β−∫ T
0
I(t)S(t)
Ndt+
(−∫ T
0I(t)S(t)
N∫ T
01− βI(t)S(t)
N− γI(t)dt
)=0
+
∫ T
0
I(t)S(t)
Ndt
(4.8)
Dari persamaan (4.8) diperoleh
1
β=
∫ T
0I(t)S(t)
Ndt∫ T
01− β I(t)S(t)
N− γI(t)dt
2β
∫ T
0
I(t)S(t)
Ndt = T − γ
∫ T
0
I(t)dt.
(4.9)
Fungsi loglikelihood untuk parameter γ dikatakan maksimum apabila
∂ ln(L(β, γ)
∂γ) = 0
sehingga diperoleh
16
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
0 +
(1∫ T
0γI(t)dt
∫ T
0
I(t)dt−∫ T
0
I(t)dt
)=0
+
(1∫ T
01− βI(t)S(t)
N− γI(t)dt
)(−∫ T
0
I(t)dt
)−(−∫ T
0
I(t)dt
)∫ T
0I(t)dt
γ∫ T
0I(t)dt
−∫ T
0
I(t)dt−
( ∫ T
0I(t)dt∫ T
01− βI(t)S(t)
N− γI(t)dt
)+
∫ T
0
I(t)dt =0
1
γ−
∫ T
0I(t)dt∫ T
01− β I(t)S(t)
N− γI(t)dt
=0
(4.10)
Dari persamaan (4.10) diperoleh
γ =T − β
∫ T
0I(t)S(t)
Ndt
2∫ T
0I(t)dt
(4.11)
Dengan mensubstitusi persamaan (4.11) pada persamaan (4.9) akan di-
peroleh estimasi dari β yang dinyatakan
2β
∫ T
0
I(t)S(t)
Ndt =T −
(T −
∫ T
0I(t)S(t)
N
2∫ T
0I(t)dt
)∫ T
0
I(t)dt
2β
∫ T
0
I(t)S(t)
Ndt =T −
(T −
∫ T
0I(t)S(t)
N
2
)
4β
∫ T
0
I(t)S(t)
Ndt =2T − T + β
∫ T
0
I(t)S(t)
Ndt
3β
∫ T
0
I(t)S(t)
Ndt =T.
Sehingga diperoleh estimasi laju penularan (β) yang dinyatakan pada persamaan
(4.12)
β =T
3N
∫ T
0I(t)S(t)dt
. (4.12)
Dengan cara yang sama, yaitu mensubstitusikan persamaan (4.12) pada
17
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
persamaan (4.11) akan diperoleh estimasi untuk parameter γ yang dinyatakan
γ =T −
(T
3N
∫ T0 I(t)S(t)dt
) ∫ T
0I(t)S(t)
Ndt
2∫ T
0I(t)dt
γ =T − T
3
2∫ T
0I(t)dt
γ =2T
6∫ T
0I(t)dt
.
Sehingga diperoleh estimasi laju kesembuhan (γ) yang dinyatakan pada persa-
maan (4.13)
γ =T
3∫ T
0I(t)dt
. (4.13)
4.3 Probabilitas Berakhir Epidemi
Menurut Brauer et al. [4], pada model epidemi SIR stokastik terdapat
suatu distribusi yang berkaitan dengan berakhirnya epidemi. Suatu epidemi di-
katakan berakhir apabila tidak ada individu yang terinfeksi atau nilai I(t) = 0.
Probabilitas berakhirnya epidemi merujuk pada persamaan (2.3). Dalam hal ini,
probabilitas transisi yang berkaitan dengan berakhirnya suatu epidemi adalah β isN
dan γi yang masing - masing menyatakan transisi dari (s, i) ke (s− 1, i+ 1) dan
(s, i) ke (s, i−1). Sehingga besarnya probabilitas berakhirnya epidemi dinyatakan
sebagai
ps =γi
γi+(βisN
)=
γ
γ +(βsN
) (4.14)
dan
1− ps =βisN
γi+(βisN
)=
βsN
γ +(βsN
) . (4.15)
Persamaan (4.14) dan (4.15) masing- masing menunjukkan probabilitas ke-
sembuhan dari individu infected dan probabilitas terinfeksi (penularan) pada in-
dividu susceptible.
18
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
4.4 Penerapan Kasus
Menurut Hethcote [7], smallpox merupakan salah satu contoh penyakit
dengan tipe penyebarannya adalah SIR. Smallpox merupakan suatu penyakit
yang ditularkan dari satu individu ke individu lain melalui perantara virus. Pada
penerapan kasus dalam penelitian ini, data yang digunakan adalah data smallpox
di Nigeria yang merujuk pada Andersson [2]. Pada kasus tersebut, diketahui total
jumlah populasi sebesar N = 120 dan periode terinfeksi T = 83. Besarnya laju
penularan dan laju kesembuhan diestimasi menggunakan metode maksimum like-
lihood karena nilai dari kedua parameter tersebut tidak diketahui dengan pasti.
Hasil estimasi masing - masing parameter tersebut sebesar β = 0, 158 dan
γ = 0, 129. Berdasarkan persamaan (4.6), model penyebaran smallpox dinyata-
kan sebagai
p(s+k,i+j),(s,i)(∆t) =
0,158120
is∆t+ o(∆t), (k,j)=(-1,1);
0, 129i∆t+ o(∆t), (k,j)=(0,-1);
1− 0,158is120
∆t− 0, 129i∆t+ o(∆t), (k,j)=(0,0);
o(∆t), yang lain.
Selanjutnya, hasil simulasi model menggunakan program yang merujuk pada Bra-
uer et al. [4], dengan algoritma sebagai berikut
1. memasukkan nilai laju penularan, laju kesembuhan, jumlah total populasi,
lama periode infeksi, dan jumlah awal individu terinfeksi,
2. memasukkan nilai awal dari jumlah individu terinfeksi dan variabel waktu,
3. membangkitkan data random berdistribusi uniform (0,1),
4. mencari besarnya probabilitas jumlah individu terinfeksi terhadap jumlah
individu yang bertransisi,
5. menentukan waktu pada saat (j+1) dengan j = 1, 2, ... menggunakan data
random pada langkah ke tiga,
19
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
6. mendefinisikan proses iterasi, yaitu membandingkan besarnya probabilitas
transisi dari S ke I dan dari I ke R yang berpengaruh terhadap jumlah
individu terinfeksi. Sehingga, diperoleh grafik perubahan jumlah individu
terinfeksi dalam selang waktu t.
Hasil simulasi model epidemi tersebut dapt ditunjukkan pada Gambar (4.1).
0 10 20 30 40 50 60 700
1
2
3
4
5
6
7
8
Hari
Jum
lah
Indi
vidu
Ter
infe
ksi
Gambar 4.1. Pola Penyebaran Jumlah Individu Terinfeksi untuk I(0) = 1, I(0) =
2, dan I(0) = 5
Berdasarkan Gambar (4.1) terlihat bahwa terdapat tiga pola penyebar-
an yang ditunjukkan oleh garis berwarna merah, biru dan hijau. Garis merah
menunjukkan pola penyebaran saat I(0) = 1, garis biru menunjukkan pola pe-
nyebaran saat I(0) = 2, dan garis hijau menunjukkan pola penyebaran saat
I(0) = 5. Sehingga, diperoleh jumlah maksimum individu terinfeksi berturut -
turut adalah satu, dua, dan enam. Selain itu, diperoleh lamanya periode infeksi
20
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
berturut - turut adalah lima, sebelas, dan dua puluh delapan.
Selanjutnya, dengan menggunakan probabilitas berakhir epidemi pada per-
samaan (4.15) diperoleh simulasi terhadap individu terinfeksi yang ditunjukkan
dengan Gambar (4.2). Keterangan pada Gambar (4.2) merujuk pada Gambar
Gambar 4.2. Pola Penyebaran Jumlah Individu Terinfeksi untuk I(0) = 1, I(0) =
2, dan I(0) = 5 berdasarkan Probabilitas Berakhir Epidemi
(4.1) dengan jumlah maksimum individu terinfeksi berturut - turut adalah dua,
enam, dan lima belas. Selain itu, lama periode infeksi berturut - turut adalah
lima, empat puluh, dan delapan puluh.
Oleh karena itu, berdasarkan hasil simulasi pada Gambar (4.1) dan (4.2)
diperoleh bahwa semakin besar nilai awal yang diberikan pada jumlah individu
terinfeksi, maka semakin lama periode berakhirnya infeksi. Selain itu, semakin
besar nilai awal yang diberikan pada jumlah individu terinfeksi, maka semakin
besar jumlah maksimum individu terinfeksi.
21
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
Bab V
PENUTUP
5.1 Kesimpulan
Dari hasil pembahasan diperoleh kesimpulan sebagai berikut
1. Model CTMC SIR dinyatakan sebagai
p(s+k,i+j),(s,i)(∆t) =
βNis∆t+ o(∆t), (k,j)=(-1,1);
γi∆t+ o(∆t), (k,j)=(0,-1);
1− βisN∆t− γi∆t+ o(∆t), (k,j)=(0,0);
o(∆t), yang lain.
2. Dengan metode estimasi maksimum likelihood diperoleh hasil estimasi ter-
hadap parameter yang berpengaruh pada penyebaran penyakit, yaitu
(a) estimasi terhadap parameter laju penularan sebesar
β =T
3N
∫ T
0I(t)S(t)dt
,
(b) estimasi terhadap parameter laju kesembuhan sebesar
γ =T
3∫ T
0I(t)dt
.
3. Berdasarkan grafik hasil simulasi pola penyebaran penyakit smallpox, di-
peroleh bahwa pemberian nilai awal jumlah individu terinfeksi (I(0)) dapat
mempengaruhi lamanya periode infeksi dan jumlah maksimum individu ter-
infeksi.
22
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
5.2 Saran
Pada penelitian ini hanya membahas mengenai model epidemi CTMC SIR
yang dipengaruhi parameter laju penularan dan laju kesembuhan dalam populasi
konstan. Oleh karena itu, model tersebut dapat dikembangkan dengan memper-
timbangkan besarnya laju kelahiran dan kematian dalam populasi yang tidak
konstan.
23
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
Daftar Pustaka
[1] Altalejo, J., The SIS and SIR Stochastic Epidemic Models Revisited, Faculty
of Mathematics, University Complutense of Madrid, Spain, 2011.
[2] Andersson, H. and Tom Britton, Stochastic Epidemic Model and Their Sta-
tistical Analysis, Group Financial Risk Control, Swedbank, Sweden, 2000.
[3] Bain, L. J. and M. Engelhardt, Introduction to Probability and Mathematical
Statistics, 2 ed., Duxbury Press Belmont California, 1992.
[4] Brauer, F., P. Driessche, and J. Wu, Mathematical Epidemiology, Springer,
Februari 2008.
[5] Clancy, D. and Philip D. O’Neill, Bayesian Estimation of The Basic Repro-
duction Number in Stochastic Epidemic Models, Department of Mathema-
tical Sciences, University of Liverpool, University of Nothingham, United
Kingdom, 2008.
[6] Hetchote, H. W., The Mathematics of Infectious Disease, Journal of Siam
Review 42 (2000), no. 4, 599–653.
[7] Hethcote, H. W., The Basic Epidemiology Models: Models, Expressions for
R0 Parameter Estimation, and Applications, Journal of Master Review 9
(2005), 1–61.
[8] Kypraios, T., A Note Maximum Likelihood Estimation of The Initial Number
of Susceptible in the General Stochastic Epidemic Model, Journal of Statistics
and Probability Letters 19 (2009), no. 18, 1972–1976.
24
perpustakaan.uns.ac.id digilib.uns.ac.id
commit to user
[9] Nguyen, V. M., Mathematical Modeling and Simulation, 2010.
[10] Nielsen, S. F., Continuous Time Homogeneous Markov Chains, University
of Copenhagen, Department of Mathematical Sciences, 2009.
[11] Parzen, E., Stochastic Processes, Holden-Day,Inc. United States of America,
1962.
[12] Taylor, H. M. and S. Karlin, An Introduction to Stochastic Modeling, received
ed., Academic Press, United States of America, 1994.
[13] Trapman, J. P., On Stochastic Models For the Spread of Infections, Print
Partners Ipkamp, Enschede, 2006.
25