model-view controller model view controller architecture (mvc) · a b a b a b a b a b a b....
TRANSCRIPT
MATRIKS
DAFTAR SLIDE
Operasi Matriks
Jenis-Jenis Matriks
2
DEFINISI MATRIKS
3
kumpulan bilangan yang disajikan secara teraturdalam baris dan kolom yang membentuk suatu persegipanjang, serta termuat diantara sepasang tandakurung.
Apakah yang dimaksud dengan Matriks ?
NOTASI MATRIKS
4
Nama matriksmenggunakan huruf besar Anggota-anggota matriks dapat berupa huruf kecil
maupun angka Digunakan kurung biasa atau kurung siku
Ordo matriks atau ukuran matriks merupakanbanyaknya baris (garis horizontal) dan banyaknyakolom (garis vertikal) yang terdapat dalam matrikstersebut.
675
231A
ihg
fed
cba
H
NOTASI MATRIKS
5
Jadi, suatu matriks yang mempunyai m baris dan nkolom disebut matriks berordo atau berukuran m x n.
Memudahkan menunjuk anggota suatu matriks
Notasi A = (aij)
mnmmm
n
n
n
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa
...
...............
...
...
...
321
3333231
2232221
1131211
A =
Dengani = 1,2,...,mj = 1,2,...,n
NOTASI MATRIKS
6
Contoh : Matriks A merupakan matriks berordo 4x2
Bilangan-bilangan yang terdapat dalam sebuah matriksdinamakan entri dalam matriks atau disebut jugaelemen atau unsur.
16
12
13
41
A
NOTASI MATRIKS
7
mnmm
n
n
aaa
aaa
aaa
A
21
22221
11211
7
Baris
KolomUnsur Matriks
Matriks berukuran m x n
atau berorde m x n
MATRIKS BARIS DAN KOLOM
8
Matriks baris adalah matriks yang hanya mempunyai satu
baris
Matriks kolom adalah matriks yang hanya mempunyai satu
kolom.
4121C
4
3
1
E
MATRIKS A = B
9
Dua buah matriks A dan B dikatakan sama (A = B) apabila A
dan B mempunyai jumlah baris dan kolom yang sama (berordo
sama) dan semua unsur yang terkandung di dalamnya sama.
aij = bij dimana
- aij = elemen matriks A dari baris i dan kolom j
- bij = elemen matriks B dari baris i dan kolom j
A = B
dan
A ≠ B
dan
10
42A
10
42B
510
242A
13
41B
PENJUMLAHAN MATRIKS
10
Apabila A dan B merupakan dua matriks yang ukurannya
sama, maka hasil penjumlahan (A + B) adalah matriks yang
diperoleh dengan menambahkan bersama-sama entri yang
seletak/bersesuaian dalam kedua matriks tersebut.
Matriks-matriks yang ordo/ukurannya berbeda tidak dapat
ditambahkan.
dan
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
A
333231
232221
131211
bbb
bbb
bbb
B
333332323131
232322222121
131312121111
bababa
bababa
bababa
BA
PENJUMLAHAN MATRIKS
11
Contoh Soal
22
31
24
A
21
12
43
B
2212
1321
4234
BA
43
41
27
BA
PENGURANGAN MATRIKS
12
A dan B adalah dua matriks yang ukurannya sama, maka A-B
adalah matriks yang diperoleh dengan mengurangkan
bersama-sama entri yang seletak/bersesuaian dalam kedua
matriks tersebut.
Matriks-matriks yang ordo/ukurannya berbeda tidak dapat
dikurangkan.
dan
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
A
333231
232221
131211
bbb
bbb
bbb
B
333332323131
232322222121
131312121111
bababa
bababa
bababa
BA
PENGURANGAN MATRIKS
13
Contoh :
043
322
101
A
243
421
111
B
204433
432212
111011
BA
200
703
210
BA
PERKALIAN MATRIKS
DENGAN SKALAR
14
Jika k adalah suatu bilangan skalar dan matriks A=(aij ) maka
matriks kA=(kaij ) adalah suatu matriks yang diperoleh dengan
mengalikan semua elemen matriks A dengan k.
Mengalikan matriks dengan skalar dapat dituliskan di depan
atau dibelakang matriks.
[C]=k[A]=[A]k
15
83A
1*45*4
8*43*44A
420
32124A
PERKALIAN MATRIKS
DENGAN SKALAR
15
Sifat-sifat perkalian matriks dengan skalar :
k(B+C) = kB + kC
k(B-C) = kB-kC
(k1+k2)C = k1C + k2C
(k1-k2)C = k1C – k2C
(k1.k2)C = k1(k2C)
PERKALIAN MATRIKS
DENGAN SKALAR
16
Contoh :
dengan k = 2, maka
K(A+B) = 2(A+B) = 2A+2B
12
10A
11
43B
06
106
03
53*2)
11
43
12
10(*2)(2 BA
06
106
22
86
24
20
11
43*2
12
10*222 BA
TERBUKTI
PERKALIAN MATRIKS
DENGAN SKALAR
17
Contoh :
dengan k1 = 2 dan k2 = 3, maka
(k1+k2)C = k1.C + k2.C
12
11C
510
55
12
11*5
12
11*)32(*)( 21 Ckk
TERBUKTI
510
55
36
33
24
22
12
11*)3(
12
11*)2()**( 21 CkCk
PERKALIAN MATRIKS
18
Perkalian matriks dengan matriks pada umumnya tidak
bersifat komutatif.
Syarat perkalian adalah jumlah banyaknya kolom pertama
matriks sama dengan jumlah banyaknya baris matriks kedua.
Jika matriks A berukuran mxn dan matriks B berukuran nxp
maka hasil dari perkalian A*B adalah suatu matriks C=(cij )
berukuran mxp dimana
PERKALIAN MATRIKS
19
Contoh :
0
1
3
B
11)0*1()1*2()3*3(
0
1
3
*123*
BA
123A
000
123
369
1*02*03*0
1*12*13*1
1*32*33*3
123*
0
1
3
* AB
PERKALIAN MATRIKS
20
Apabila A merupakan suatu matriks persegi, maka A² = A.A ;
A³=A².A dan seterusnya
Apabila AB = BC maka tidak dapat disimpulkan bahwa A=C
(tidak berlaku sifat penghapusan)
Apabila AB = AC belum tentu B = C
Apabila AB = 0 maka tidak dapat disimpulkan bahwa A=0 atau
B=0
Terdapat beberapa hukum perkalian matriks :
1. A(BC) = (AB)C
2. A(B+C) = AB+AC
3. (B+C)A = BA+CA
4. A(B-C)=AB-AC
5. (B-C)A = BA-CA
6. A(BC) = (aB)C= B(aC)
7. AI = IA = A
PERPANGKATAN MATRIKS
21
Sifat perpangkatan pada matriks sama seperti sifat perpangkatan
pada bilangan-bilangan untuk setiap a bilangan riil, dimana
berlaku :
A2 = A AA3 = A2 AA4 = A3 AA5 = A4 A; dan seterusnya
PERPANGKATAN MATRIKS
22
Tentukan hasil A² dan A³
02
11A
22
13
02
11
02
112 AxAA
26
35
22
13
02
1123 AxAA
PERPANGKATAN MATRIKS
23
Tentukan hasil 2A² + 3A³
02
11A
44
26
22
1322 2A
66
915
22
3533 3A
1010
79
66
915
44
2632 32 AA
JENIS –JENIS MATRIKS
24
Matriks bujursangkar (persegi) adalah matriks yang
berukuran n x n
Matriks nol adalah matriks yang setiap entri atau elemennya
adalah bilangan nol
Sifat-sifat dari matriks nol :
A+0=A, jika ukuran matriks A = ukuran matriks 0
-A*0=0, begitu juga 0*A=0.
13
41A
00
00
00
23xO
JENIS –JENIS MATRIKS
25
Matriks Diagonal adalah matriks persegi yang semua elemen
diatas dan dibawah diagonalnya adalah nol. Dinotasikan
sebagai D.
Contoh :
Matriks Skalar adalah matriks diagonal yang semua elemen
pada diagonalnya sama
500
020
001
33xD
500
050
005
33xD
JENIS –JENIS MATRIKS
26
Matriks Identitas (satuan) adalah matriks skalar yang
elemen-elemen pada diagonal utamanya bernilai 1.
Sifat-sifat matriks identitas :
A*I=A
I*A=A
Matriks Segitiga Atas (upper triangular) adalah matriks
persegi yang elemen di bawah diagonal utamanya bernilai nol
Matriks Segitiga Bawah (lower triangular) adalah matriks
persegi yang elemen di atas diagonal utamanya bernilai nol
100
010
001
D
600
210
542
A
152
043
001
B
Tugas 2
• Diketahui :
k2 = 3,
k1 = nim
Buktikan bahwa :1. k1(B – C) = k1B – k1C
2. (k1 – k2)C = k1C – k2C
3. (k1*k2)C = k1(k2C)
4. A(BC) = (AB)C
5. A(B+C) = AB + AC
6. (B+C)A = BA +CA
7. A(B – C) = AB – AC
8. (B – C)A = BA – CA
12
11C
13
41A
11
43B