modelação física

7/21/2019 Modelao Fsica

1/72

Modelao e Simulao 3.Modelao Fsica 1

J. Miranda Lemos IST-DEEC

3.Modelao Fsica

Objectivo:Aps completar este mdulo, o aluno dever ser capaz de

escrever as equaes que definem um modelo de um sistema com estado

contnuo com base em princpios fsicos e relaes fundamentais.

Bibliografia

Ljung e Glad, caps. 5 e 6

Complementar:Edgeland e Gravdahl (2002). Modeling and Simulation for

Automatic Control. Maryne Cybernetics. Partes III e IV


2/72



Sistemas mecnicos de translaco

Exemplos:

Motrores linearesMovimento do papel em fotocopiadoras

Relacionam a posio [ ]m com o tempo [ ]s de corpos em movimento detranslao.


3/72



Sistemas mecnicos de translaco

Massa isolada(inrcia):

mf

x

Quando uma massa m [ ]kg actuada por uma fora f [ ]N adquire uma

acelerao

2

/ sm no sentido da fora que satisfaz (lei de Newton):

)(tpdt

df =

em que o momento )(tp dt

dxmtp =)(

No caso da massa constante:f

dt

xdm =2

2


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Molas elsticas

k

Elementos que armazenam energia potencial.

Quando a mola comprimida (ou esticada) do comprimento x em relao

posio de repouso, reage com uma fora que se ope compresso (ou

extenso), dada para molas lineares por

xkf =

[ ]mNk / chamada constante da mola ou constante de Hooke.Em muitos casos a relao entre a fora e a elongao mais complicada.


5/72



Atrito viscoso

So os elementos que dissipam energia.

Quando existe uma diferena de velocidade entre os dois corpos o atrito

corresponde com uma fora que contraria o movimento e que depende da

velocidade relativa dtdx

. No caso linear a fora dada por:

dtdxf =


6/72



Atrito esttico

Assume que h uma fora entre os corpos em contacto que desaparece ou se

reduz quando eles entram em movimento.

A seguir, a menos que referido explicitamente, supe-se que no existe atrito

esttico nos exemplos considerados.


7/72



Escrita das equaes de um sistema mecnico de translao

1. Associar a cada massa que se move independentemente um referencial

preso ao mundo exterior ao sistema.

2. Para cada uma das massas que se movem independentemente escrever

a lei de Newton, tomando como varivel a sua posio no referencial que

lhe est associado.


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Exemplos

a)

m2

k

xbxa

m1

f

b)

Am

k

B

xb xa

f

c)

m2

k1

xbxa

m1

fk2

1 2

3


9/72



m2

k

xbxa

m1

f

( )baa xxk

dt

xdm =

2

2

2

( )abb xxkf

dt

xdm =

2

2

1


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Modelo de estado tomando a fora como entrada e ax como sada:

( )

)(2

2

1

2

2

2

abb

ba

a

xxkfdt

xdm

xxkdt

xd

m

=

=

=

b

b

a

a

x

xx

x

x

&

&:

fu =:

u

mxx

x

x

m

k

m

k

m

k

m

k

xx

x

x

+

=

14

3

2

1

1

22

4

3

2

1

10

0

0

001

1000

00

0010

&

&

&

&

[ ]

=

4

3

2

1

0001

x

x

x

x

y


11/72



A

m

k

B

xb xa

f

( )dt

dxxxk

dt

xdm aba

a =2

2

( ) ( ) fk

xxxxkfxxkfdt

xdababab

b 102

2

+===

dtdxf

dtxdm aa =2

2


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m2

k1

xbxa

m1

fk2

1 2

3

=

dt

dx

dt

dx

dt

dxxkfdt

xdm baaaa

3112

2

1

= dt

dx

dt

dx

dt

dx

xkdt

xd

m abb

b

b

3222

2

2


13/72



Exemplo: Dinmica de uma vlvula pneumtica de regulao


14/72



Modelo do movimento do corpo da vlvula

O ar na cmara da vlvula exerce uma fora dada pelo produto da rea A do

diafragma pela presso do ar p .

m : massa do corpo da vlvula (haste e obturador)

dt

dxKxpA

dt

xdm =

2

2

Normalmente a massa m dxesprezvel face s outras grandezas e o

movimento pode aproximar-se pelo modelo de 1 ordem:

pAxKdtdx

+=


15/72



As vlvulas esto providas de um posicionador electromecnico que usa um

sinal elctrico para gerar a presso de ar que garante a posio desejada

para o obturador dsa vlvula. O conjunto conversor vlvula concebido paraque haja uma relao no linear entre o comando da vlvula e a posio do

obturador. Esta no linearidade uma das caractersticas da vlvula, sendo

fornecida pelo fabricante.A vlvula pode ainda ter folgas mecnicas que fazem com que o seu

movimento num sentido seja diferente do movimento em sentido oposto.

Os posicionadores elctricos das vlvulas opermitem uma maior preciso,sendo mais caros.


16/72



Modelo prtico da vlvula

Comando Abertura1

Ts+1 Quer o comando, quer a abertura da vlvula sop expressos em unidades

normalizadas de 0 a 100%.


17/72



Sistemas mecnicos de rotao

Os sistemas mecnicos de translao so muito comuns em aplicaes de

engenharia:

Motores, Juntas de brao robot

Caixas de desmultiplicao

Relacionam:

ngulo de rotao [ ]rad

Velocidade angular [ ]srad/ e acelerao angular2/ srad

Binrio [ ]Nm


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Momento de inrcia

O momento de inrcia o anlogo da massa para a rotao.

Quando um corpo em rotao com momento de inrica J 2

Nms actuado

por um binrio T [ ]Nm , adquire uma acelerao angular dada por

2

2

dt

dJT

=


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Atrito viscoso

So os elementos que dissipam energia.

Quando existe uma diferena de velocidade de rotao entre os dois corpos o

atrito corresponde com um binrio que contraria o movimento e que depende

da velocidade relativa dtd

. No caso linear o binrio dado por:

dt

dT

=


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Molas elsticas

k

Elementos que armazenam energia potencial.

Quando a mola desviada do ngulo em relao posio de repouso,

reage com um binrio que se ope ao movimento, dada para molas lineares

por

kT=

[ ]radNmk / chamada constante da mola.


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Caixa de desmultiplicao

T2

T11

2

Uma caixa de esmultiplicao transforma o binrio e a velocidade angular de

acordo com as seguintes relaes:

21

1

=

21 TT = 2211 TT =

O parmetro2

1

= o inverso da razo de desmultiplicao da caixa.


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Exemplos

a)

k

J

T

b)

k

J1 J2T

1 21


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k

J

T

dt

dkT

dt

dJ

=

2

2


24/72



k

J1 J2T

1 21

=

dt

d

dt

dT

dt

dJ 2112

1

2

1

212

12

2

2

2 kdtd

dtd

dtdJ

=


25/72



Exemplo: Servomotor CC de man permanente


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Um motor de correbnte contnua tem essencialmente 2 partes:

O esttor, onde esto fixos enrolamentos ou manes permanentes (em

pequenos motores) que criam um campo magntico radial;

O rtor, ligado mecnicamente ao veio do motor, onde h bobinas

longitudinais que, ao serem percorridas por uma corrente originam uma

fora tangencial que o faz girar. Por forma a que a corrente no rtor tenha

sempre o mesmo sentido, as escovas (contactos deslizantes) tocam nas

lminas do colector ligadas s bobinas do rtor.

Bibliografia:

Franklin, Powell e Emami-Naeini. Feedback control of dynamic systems.

Addison Wesley. Sec. 2.4


27/72



Modelo do servomotor CC de man permanente

+

-

R L

u

+

-

e JT

i

Binrio do motor:

)()(')( titKtT =

Sendo o fluxo criado pelo circuito de campo constante,

)()( tKitT =

Tenso aos terminais do rtor

bKe=


28/72



Escreva as equaes que modelam o:

Circuito do rtor;

Movimento do rtor em termos da velocidade; Modelo de estado, tomando como sada a velocidade angular e estado

=1x , ix =2 ;

Simplifique as equaes supondo que a indutncia do circuito do rtor

desprezvel, por forma a obter um modelo de 1 ordem;

Modelo de estado, tomando como sada a posio angular e estado

=1x , =2x , ix =3 ;


29/72



+

-

R L

u

+

-

e J

T

i

Circuito do rtor do motor:

ueiR

dt

diL =++

Movimento do rtor do motor:

= )(tTdt

dJ


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Tomem-se como variveis de estado do motor:

=

=

ix

xx

2

1

obtm-se as equaes de estado, tomando como sada a velocidade :

u

L

x

L

R

L

KJ

K

Jxb

+

= 1

0

&

[ ]xy 01= Se quisssemos modelar a posio, necessitaramos de uma varivel de

estado adicional.


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Modelo de estado tomando como sada a posio angular

=1x , =2x , ix =3

u

L

x

x

x

L

R

L

KJ

K

Jx

x

x

b

+

=

10

0

0

0

010

3

2

1

3

2

1

&

&

&

[ ]xy 001=


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Modelo de complexidade reduzida

ueiRdt

diL =++

= )(tT

dt

dJ )()( tKitT = bKe=

Assume-se a indutncia do rotor desprezvel: 0L

R

Ku

R

euiueRi b

=

==+

)(

bKuJR

K

Jdt

d+=

A tenso aplicada e a velocidade esto relacionadas pelo modelo simplificado:

)( bb Ku

JRK

JRKK

Jdtd +

+=


33/72



Mecnica LagrangianaA aplicao da equao de Euler-Lagrange est baseada na descrio de um

sistema fsico com base num conjunto de quantidades denominadas

coordenadas generalizadas.

Designa-se o vector das coordenadas por q o qual existe no chamado

espao de configuraesdo sistema.

Por exemplo, dado um ponto material no plano, a configurao descrita

pelas coordenadas cartesianas do ponto xq =1 e yq =2 .

A verso que vamos estudar aplica-se s a sistemas conservativos (sematrito).


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Imaginemos um ponto material no plano que lanado, no instante 1t do ponto

1 com uma dada velocidade incial, atingindo o ponto 2 no instante 2t . A

trajectria seguir uma trajectria nica e bem definida, que se mostra a trao

grosso. Podemos no entanto imaginar vrias trajectrias virtuais.

1

2

q1=x

q2

=y


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Funo Lagrangiana

Defina-se a funo Lagrangiana L como a diferena entre as energias

cintica T e potencial V :

VTL =

A funo Lagrangiana uma funo das coordenadas generalizadas q e das

suas primeiras derivadas q& :),( qqLL &=


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Princpio de Hamilton

De todo o conjunto de condies admissveis que um sistema pode assumir

ao evoluir de uma configurao num dado instante, para outra configurao

num instante sucessivo, aquela que de facto seguida a que torna mnimo o

integral da Lagrangiana

( ) =2

1

t

t

dtVTI

nesse intervalo de tempo.


37/72



Um problema de optimizao de dimenso infinita

A aplicao do Princpio de Hamilton requer a resoluo de um problema de

optimizao num espao de dimenso infinita. Quer dizer, o integral I uma

funo que toma valores reais, mas cujo argumento ele prprio uma funo.

Este problema no pode pois ser resolvido com as tcnicas bsicas de

igualar a derivada a zero. A sua soluo feita com outros mtodos, ditos

variacionais pois se baseiam em efectuar variaes na trajectria ptima,

relacionando-as com a correspondente variao em I . Estes mtodos so

estudados no mbito do Clculo Variacional.


38/72



Equao de Euler-Lagrange

condio suficiente de mnimo do integral I que a Lagrangiana satisfaa a

equao de Euler-Lagrange:

k

kk

Fq

L

q

L

dt

d=

& nk ,,1K=

em que kF o vector das foras generalizadas (momentos no caso dos

movimentos de rotao) que agem positivamente na direco da coordenada

k

q.


39/72



Exemplo de aplicao da equao de Euler-Lagrange (massa/mola)

K

xF

m x=0

Tome como coordenada generalizada xq= . Escreva o caso particular da

equao de Euler-Lagrange para este sistema, obtendo uma equao

diferencial ordinria para x .

Neste caso:

2

21 xmT &=

2

21 KxV=


40/72



Toma-se xq= Lagrangiana:22

2

1

2

1KqqmL = &

Fq

L

q

L

dt

d

=

&

Substituindo a expresso da Lagrangiana na equao de Euler-Lagrange:

KqqL =

qm

qL &&=

( ) FKqqmdtd

=+&ou seja KxFxm =&&


41/72



Exemplos de aplicao da equao de Euler-Lagrange (Pndulo)

m

q R

Escreva a equao de Euler Lagrange para este caso particular para obter

uma equao diferencial para o ngulo q .

Neste caso:

22

21 qmRT &=

)cos1( qmgRV =


42/72



)cos1(2

1 22 qmgRqmRL = &

Substituindo na equao de Euler-Lagrange:

qmgRq

Lsin=

qmR

q

L&

&

2=

0sin2 =+ qmgRqmR && ou seja

0sin2

=+ qR

gq&&


43/72



Referncias

No mbito da disciplina de Modelao e Simulao apenas se consideram

casos muito simples de modelao com mtodos da Mecnica Analtica. Para

saber mais:

Egeland e Gravdahl, cap. 8

N. Maia (2000). Introduo Dinmica Analtica. IST Press.


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Sistemas trmicos

Os sistemas trmicos dizem respeito ao aquecimento de objectos e ao

transporte de energia trmica.

A quantidade de calor Q [ ]J necessria para aquecer um corpo de massa

m , levando-o de uma temperatura inicial 1T temperatura 2T dado por:

( )12 TTmcQ p =

em que pc o calor especficoda substncia de que feito o corpo.


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Fluxo de calor

O fluxo de calor dado por

dt

dQq=

[ ]W O fluxo de calor para um corpo afecta a sua temperatura de acordo com

q

Cdt

dT 1=

em que C uma constante que depende da massa do corpo e das

caractersticas trmicas da substncia que o compe. Esta expresso obtm-

se derivando a expresso que relaciona a quantidade de calor e atemperatura.


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Modos de transferncia de energia

Comnsideram-se trs modos de transferncia de energia:

Conduo

Conveco

Radiao


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Transferncia de energia por conduo

Um corpo temperatura 2T enconstado a outro temperatura 1T ( 12 TT > )

transfere energia para este com um fluxo de calor dado por:

)(1

12 TTR

q =

em que [ ]sJCR o

// a resistncia trmica. A resistncia trmica dependeda condutividade trmica do material e da rea de contacto dos dois corpos.

A esta expresso d-se o nome de Lei de Fourier.


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Transferncia de energia por conveco.

A transferncia de energia por conveco est associada ao transporte de

massa num fluido que se desloca. No possvel ter um modelo geral simples

para a conveco. Por vezes razovel assumir

)( 12 TTcq r =

em que rc uma constante.


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Transferncia de energia por radiao

Um corpo temperatura absoluta T [ ]K radia uma potncia [ ]Wq dada pela

lei de Stefan-Boltzman:

4TAq =

[ ]2mA a rea de exposio do corpo; a emissividade do corpo, nmero adimensional entre 0 e 1;

421810670400.5 = KmJs a constante de Stefan-Boltzman.


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Exemplo: Termmetro

Um termmetro de vidro cheio de mercrio estabilizou-se na temperatura 0T e

mergulhado no instante 0t num lquido temperatura LT . Supe-se que a

massa do termmetro to pequena que no perturba a temperatura do

lquido.

Supe-se que a energia acumulada no vidro desprezvel.

Escreva uma equao diferencial que modele a evoluo no tempo da

temperatura mT do mercrio.


51/72



Sugesto: Escreva uma expresso que relaciona a quantidade de calor

necessria para levar a temperatura do mercrio de 0T no instante 0t

temperatura )(tTm no instante t.

Derive esta expresso para opbter uma expresso para o corresponcdente

fluxo de calor )(tq .

Por outro lado, admitindo que a transferncia de calor se faz apenas porconduo, pode escrever uma outra expresso para o mesmo fluxo em funo

das temperaturas do lquido e do mercrio.


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Quantidade ded calor necessria para levar o mercrio da temperatura 0T

temperatura )(tTm :

( )0)()( TtTCtQ m =

Derivando em ordem ao tempo: dt

tdTCtq m

)()( =

Por outro lado ( ))(1)( tTTR

tq mL=

Elimminando )(tq entre as duas expresses:

Lmm TtTtTdt

dRC =+ )()(

M d l Si l 3 M d l F i 53


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Exemplo: Modelo de um forno solar para tratamento de materiais

Grande forno solar para teste de materiais, Odeillo, Pirinus franceses.

Referncia: M. Berenguel, E. F. Camacho, F. J. Garca-Martin, and F. Rbio

(1999). Temperature control of a solar furnace. IEEE Control Systems

Magazine, 19(1):8-24. Disponvel na documentao auxiliary da disciplina.

Modelao e Simulao 3 Modelao Fsica 54


54/72



SOL

Heliostato

PersianasConcentrador

Amostra



55/72



Entrada manipulada: Comando da persianaPerturbao: Potncia da radiao solar

Sada: Temperatura da amostra

O modelo obtm-se fazendo um balano da energia na amostra:

RugTTTTdt

damb )()(2

4

1 +=

T - Temperatura da amostra

ambT - Temperatura ambiente

R - Potncia da radiao solaru - Comando da persiana. A funo g depende da geometria.



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Cintica Bioqumica

A cintica bioqumica diz respeito determinao das concentraes de

substncias qumicas nos sistemas biolgicos como funes do tempo.

Lei de aco de massas

Se o qumicoAreage com o qumico Bpara produzir o qumico C:

CBA

k

+

A taxa de reaco dada por [ ][ ]BAk em que [ ] AcA = representa a

concentrao deA.



57/72



CBAk

+

Considere-se um intervalo de tempo de comprimento t , entre te tt +

e seja AN o nmero de molculas de A . Tem-se:

tNkNtNttN BAAA =+ )()(

Dividindo pelo nmero total de molculas e por t :

BAAA ckc

t

tcttc=

+ )()(



58/72


BAAA ckc

t

tcttc=

+ )()(

Fazendo 0t , a razo incremental tende para a derivada e obtm-se aequao diferencial

BA

A

ckcdt

dc=



59/72


CBAk

+ Analogamente para a espcie B:

BAB ckc

dt

dc =

e para a espcia C (produto da reaco):

BA

c ckcdt

dc=



60/72


CBAk

+

BA

A

ckcdt

dc=

BAB ckc

dt

dc=

BAc ckc

dt

dc=



61/72


Defina-se o estado:

=

=

C

B

A

c

c

c

x

x

x

x

3

2

1

Equaes de estado:

=

21

21

21

3

2

1

xxk

xxk

xxk

x

x

x

&

&

&

=

21

21

21

3

2

1

)(

)(

)(

xxk

xxk

xxk

xf

xf

xf



62/72


Repare-se que podamos ter um sistema com apenas duas variveis deestado se apenas escrevssemos as equaes para A e B:

=

21

21

2

1

xxk

xxk

x

x

&

&

Referncia sobre este exemplo:

Cap. 6 de Britton, Essential Mathematical Biology, Springer.



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Exemplo: Reaco reversvel

CBA

k

k

+

+

CBA

A ckcckdt

dc

+

+= CBA

B ckcckdt

dc

+

+=

CBA

c ckcck

dt

dc+ =



64/72


Exemplo: Metabolismo da glucose pelo Lactococus Latys



65/72




66/72


Modelos compartimentais

Compartment 1

Compartment 2

u

a1 1 C1

a2 1 1

a1 2

C2

Variao da quantidade 1 no compartimento 1, 1D , entre te tt + :

tcacacautDttD +=+ )()()( 11121212111

Dividindo por t e pelo volume do compartimento 1V e fazendo 0t :

)(1 1112121211

1 cacacauV

c +=& iii VDc /=



67/72


Equaes de estado do modelo de 2 compartimentos:

)(1

111212121

1

1 cacacauV

c +=&

)(1 2121212

2 cacaV

c =&

Podem ser escritas na forma matricial:

uVc

c

aV

aV

aV

aaV

c

c

+

=

0

1

11

1)(1

12

1

12

2

21

2

12

1

2111

1

2

1

&

&

As concentraes so sempre positivas. Isto pode ser explorado.



68/72


Exemplo: Modelos para a anestesia geral

Objectivo da anestesia: Levar o paciente a um estado clnico adequado

cuirurgia.

Componentes da anestesia:Areflexia. Perda de movimento causada pelo bloqueio neuromuscular.

Analgesia. Ausncia de resposta a estmulos nxicos.

Hipnose. Perda de conscincia.

Estes efeitos popdem ser obtidos atravs da infuso intravenosa de frmacos

tal como o atracuriopara o NMB, o remifentanilpara a analgesia e o propofol

para a hipnose. Entre outras coisas, o modelo depende do frmaco usado.



69/72




70/72


Modelo do bloqueio neuromuscular em anestesia

Dose deatracurium

Modelo farmaco-cintico de 2compartimentos

Sistema de1 ordem

Modelo farmacodinmico

Equao de Hill

Concentraono plasma

Concentrao nocompartimento deefeito

Cp Ce r

Nvel debloqueio

eCC

Cr

+=

50

50

50

r [%]

C50 Ce

100

Este um exemplo de um modelo de Wiener.



71/72


Resposta dos modelos vs. dados clnicos:

0 2 4 6 8 100

20

40

60

80

100

120

Time (minutes)

r(t)%

(b)

0 2 4 6 8 10

0

20

40

60

80

100

120

Time (minutes)

r(t)%

Modelos+rudo Casos clnicos

Um problema na modelao: VariabilidadeResultados obtidos pela FCUP em colaborao com o HGSA



72/72


RefernciasSobre modelos compartimentais e aplicaes anestesia:

J. M. Bailey e W. Haddad (2005). Drug dosing control in clinical pharmacology. IEEE Control

Systems Magazine, 25(2):35-51.

Sobre a utilizao de modelos para construir um controlador do nvel de bloqueio neuromuscular,

incluindo casos clnicos:

J. M. Lemos, H.- Magalhes, T. Mendona e R. Dionsio (2005). Control of neuromuscular

blockade in the presence of sensor faults. IEEE Trans. Biomedical Engineering, 52(11):1902-

1911.

Estas referncias podem ser encontradas na documentao complementar da disciplina.

modelação física

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