*

* João Ricardo Risueño Barroco Cruz , Março de 2004

... I am not prepared to alter or delete anything, and regarding this paper, I say with all modesty, that this is my last word so long as no definite and irrefutable objection against my reasoning is raised. David Hilbert

http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Mathematicians/Hilbert.html

2

3

1. A electrólise matemática do século 19

A sucessão )2cos()2sin(2 nnnU n

ππ= a que correspondem, os seus termos, às

áreas de polígonos regulares inscritos no círculo trigonométrico, tem gráfico na linha que se aproxima de π .

A sucessão )2sin(n

nV n

π= a que correspondem, os seus termos, os

perímetros dos polígonos regulares inscritos no círculo trigonométrico, tem gráfico na linha que se aproxima de π2 A partir desta passagem, no limite, das linhas quebradas dos polígonos para linhas curvas, quer em área quer em medidas de comprimento, dá-se aquilo que aconteceu com a invenção da electricidade e a reacção química à electricidade (por exemplo a divisão da água em oxigénio e hidrogénio).

4

(ver obra completa de Euler em http://gallica.bnf.fr )

2. A sucessão da quadratura e a série numérica a ela associada Podemos inscrever polígonos regulares num círculo trigonométrico, pentágono, hexágono, etc. A área desses polígonos, tendo em conta que os polígonos se dividem em triângulos iguais e que esses triângulos têm área = base * altura / 2, conforme o número de lados, a partir do pentágono, é dada pela sucessão convergente:

π π⎯→⎯nnn

n )2cos()2sin(2

π

cálculos efectuados na calculadora ti-82, que apenas soma 99 termos de cada vez, - não tem memória para mais (a memória não chega a 40kb), - para a função sum seq

6148502.295)2cos()n

2sin(2n103

5n=∑

= nππ 82.98600858 99 =÷

3481746.304)2cos()n

2sin(2n200

104n=∑

= nππ 73.13761004 97 =÷

6000481.304 )2cos()n

2sin(2n297

201n=∑

= nππ 13.14020668 97 =÷

2304.666155 )2cos()n

2sin(2n394

298n=∑

= nππ 83.14088819 97 =÷

6931254.304)2cos()n

2sin(2n491

395n=∑

= nππ 13.14116624 97 =÷

1304.706760 )2cos()n

2sin(2n588

492n

=∑= n

ππ 53.14130680 97 =÷

7146069.304)2cos()n

2sin(2n685

589n=∑

= nππ

3.1413877 97 =÷

5

5686287.613)2nsin(103

=∑ πn5n=

66,19766291 99 =÷

8400892.621)n

2nsin(202

104n

=∑=

π

66.19766291 99 =÷

5621.968311 )n

2nsin(301

203n

=∑=

π

76.28250819 99 =÷

2622.001451 )n

2nsin(400

302n

=∑=

π

16.28284294 99 =÷

6622.014886 )n

2nsin(499

401n

=∑=

π

26.28297865 99 =÷

9622.021654 )n

2nsin(598

500n=∑

=

π

96.28304701 99 =÷

2622.025541 )

n2nsin(

697

599n

=∑=

π

96.28304701 99 =÷

nota: 141592654.3=π

3. conclusão

02n - )2sin(

0)2cos()n

2sin(2n

n5

n

5n

⎯→⎯

⎯→⎯−

∑

∑

=

=

ππ

πππ

n

n

n

nn

nn

4. Razão entre soma de áreas e soma de perímetros

R= 21

2=

ππnn

6

5. Razão entre áreas e perímetros

2)cos(

)sin(2

)cos()sin(n

n

nnu

nu

nuu

VnUn

=×

×=

Critério “Risueño” de convergência de séries numéricas

1. se ∑ é convergente, então u n 0→

nnu

Dem: em qualquer manual de análise matemática

2. se 21

2)cos(u , pn : p n ==>∃∀ Rn , então ∑

nnu é convergente

Dem: se as áreas inscritas no círculo trigonométrico coincidem exactamente, na razão R, com os perímetros inscritos no círculo trigonométrico, então a soma dessas áreas coincide exactamente, na razão R, com a soma dos perímetros, a partir de certa ordem

Nota de autor:

se para as séries numéricas ∑n

nu temos 21

20cos

2)cos(un == =0.5

para as séries exponenciais nu

n n

)u1(1∑ + temos

2(e) cos

2

)u1cos(1 nu

n =+

= -

0.4558669574

7

Ensaio de uma teoria da representação gráfica [na calculadora] para polinómios em 2ℜ

Consideremos o espaço vectorial sobre ℜ , com base= { )}1,0(e (1,0);e 21 ==

rr Definição 1 vector ℜ∈+= βα, (0,1) β(1,0) αer Definição 2 monómios x ={ x, x)(x,ex ℜ∈=

r } , x 2 = { ℜ∈= x, ) x(x, e 2x2

v }

Definição 3 polinómio = { x x 2 + x, )x x,(x e e 2

xx2 ℜ∈+=+rr }

Definição 4 zeros = 0 = { x x 2 + x, 0 )x x,(x e e 2

xx2 ℜ∈=+=+rr }

Definição 5 álgebra adição (x,a) + (x, b) = (x, a+b) ; zero (x, 0) ; o simétrico de (x, a) é (x, -a) ; multiplicação (x, a) x (x,b) = (x, a x b) ; unidade (x, 1) ; o inverso de (x, a) é

(x,a1 ); coeficiente αa) (x, a) (x, α =

9

proposição 1 =0 { x x 2 + ⇔ (-1,1)}(0,0),{} x, x)- (x,) x(x, e e 2x-x2 =ℜ∈∩=+

rr

dem :

0 e e xx2 ⇔=+rr

e - e xx 2

rr=

x-x e x)- (x, e- vr== = (x, -x)

(x,-x) (x, x ) = {(0,0), (-1,1)} ∩ 2

para x=0 x= -1, =0 ∨ x x 2 +

c.q.d proposição 2 : A intersecção de com o eixo dos yy é (x, ) x x 2 + x+2x ),0( y∩ =(0,0) dem: se x=0 então = 0 x+2x

(0,0) (0, y) = (0,0) ∩

c.q.d proposição 3 A solução da equação 2 xx2 =+ é {(-2,2);(1,2)} dem: (x, ) ∩ (x, ) = {(-2,2);(1,2)} xx 2 + 2

10

para x=-2 ∨ x=1 , 2 xx2 =+

c.q.d proposição 4

A inversa de (x, ) é (x, xx 2 +2

4x11 +±− )

dem:

2411

21x(-y)4-11-

x 0 x xy 22 yxyxx

+±−=⇔

×±=⇔=−+⇔+=

c.q.d proposição 5 (x, x-1).(x, x-2) tem por zeros (1,0) e (2,0) dem (x, ) =0 23xx 2 +−

(x, x ) (x, 3x-2) = {(1,1),(2,2)} 2 ∩

para x=1 x=2 , =0 ∨ 23xx 2 +−

c.q.d proposição 6 (x, (x-1)(x-2)) (x, (x-1)(x-2)(x-3)) = {(1,0),(2,0),(4,6)} ∩

11

dem: (x, (x-1)(x-2))=(x,(x-1)(x-2)(x-3)) (x-1)(x-2)=(x-1)(x-2)(x-3) (x-1)(x-2) (1-(x-3))=0 ⇔

(x-1)(x-2)(-x+4)=0 ⇔ x=1∨ x=2 x=4 ∨

c.q.d proposição 7 (x,(x-1)(x-2)) ∪ (x,(x-1)(x-2)(x-3)) = 0 ⇔ x=1 x=2 ∨ x=3 ∨

dem: (1,0), (2,0) ∈ (x, (x-1)(x-2)) (x, (x-1)(x-2)(x-3)) ∩

(3,0) ∈ (x,(x-1)(x-2)(x-3)) c.q.d

12

13

Sucessões caóticas Consideremos a sucessão caótica (X, I, N) = (X^I, I^X, step) , definida pela recorrência enunciada pelo programa em linguagem basic do computador pessoal Casio FX-880P

10 X=RAN# : I=RAN# : N=1 20 PRINT “ X= ” ; X ; ” I= ” ; I ; ” N= ” ; N 30 X= X^I : I=I^X : N=N+1 40 IF X<= 1 GOTO 20 50 STOP Fazendo o RUN do programa obtém-se : (0.6438919498 ; 0.3825452174 ; 1) termo aleatório . . . . . . (1 ; 0.4948386371 ; 33) termo constante (a partir deste passo da iteração) A sucessão, assim definida, é constante, a partir de um certo passo da iteração. É também a definição de convergência de uma sucessão caótica.

A série associada a esta sucessão caótica é, naturalmente, divergente

14

O programa em linguagem basic desta série: 10 X=RAN# : I=RAN# : S=0 : T=0 : N=1 20 S=S+X : T=T+I 30 X=X^I : I=I^X 40 PRINT “ SX= ” ; S; ” SI= ” ; T ; ” N= ” ; N : N=N+1 50 IF X<=1 GOTO 20 60 STOP Outro exemplo de sucessão caótica:

(X, I, N) = ((X^I)/(X^2+4) ; ((I^X)/(I^2+4) ; step )

no item 30 do programa modifica-se para : 30 X=(X^I)/(X^2+4) : I=(I^X)/(I^2+4) : N=N+1

O RUN deste programa : (0.5869898628 ; 0.5273183724 ; 1 ) termo aleatório . . . . . . . . (0.1818609252 ; 0.1818609252 ; 23) termo constante, a partir deste passo

a sucessão caótica, assim definida, é constante a partir de um certo tempo (step= tempo = ordem)

15

Outro exemplo de sucessão caótica:

(X, I, N) = (SIN(X*I)-I ; SIN(X+I)-X ; step )

no item 30 do programa modifica-se para : 30 X= SIN(X*I)-I : I= SIN(X+I)-X : N=N+1

O RUN deste programa : (0.0167373058 ; 0.296862842 ; 1 ) termo aleatório . . . . . . . . (-13.41640786 ; 13.41640786 ; 231) termo constante, a partir deste passo

ordem desta sucessão : a sucessão demora 231 unidades de tempo a permanecer constante

16

Aplicações das Sucessões Caóticas ( Método Risueño ) Consideremos um “movimento uniformemente acelerado” com a tradicional formulação “quadrática” e( t ) = at + vt + e , em que “ 2 a” é o valor uniforme da aceleração. 2

0

Se introduzirmos perturbação na “aceleração”, deixando esta de ser “uniforme”, obteremos valores “cinemáticos” mais próximos da realidade. Consideremos e( t ) = t + 4t + 4 , e façamos perturbar a aceleração do movimento de forma caótica.

2

Temos então a formulação recorrente X=Ln((I+4)×X+4) = Ln ( I×X+4×X+4), em que I×X t , ou seja, introduz-se o factor I como perturbador da aceleração “uniforme” .

≈ 2

11 X=RAN# : I=RAN# : N=1 21 PRINT “ X= ” ; X ; ” I= ” ; I ; ” N= ” ; N 31 X= Ln ( (I+4) ×X+4 ) : I=Ln ( (X+4) × I+4 ) : N=N+1 40 IF X<= 10 GOTO 20 51 STOP

(0.1003403329 ; 0.1545663954 ; 1 ) termo aleatório . . . . . . . . . . (3.35669398 ; 3.35669398 ; 23 ) termo constante, a partir da ordem 23 X= 3.35669398 , se fizermos X=Ln [e( t )] , temos e( t ) = e = 28.69417039

35669398.3

Resolve-se a equação t + 4t + 4 = 28.69417039 e temos as soluções t = -

7.35669 e t =3.35669 , sendo que

21

2 224

235669.335669.7

2tt 21 −=

−=

+−=

+

Mínimo Relativo de e( t )

17

Outro exemplo: Consideremos e( t ) = t + 2t + 1 , e façamos perturbar a aceleração do movimento de forma caótica.

2

Temos então a formulação recorrente X=Ln((I+2)×X+1) = Ln ( I×X+2×X+1), em que I×X t , ou seja, introduz-se o factor I como perturbador da aceleração “uniforme” .

≈ 2

12 X=RAN# : I=RAN# : N=1 22 PRINT “ X= ” ; X ; ” I= ” ; I ; ” N= ” ; N 32 X= Ln ( (I+2) ×X+1 ) : I=Ln ( (X+2) × I+1 ) : N=N+1 40 IF X<= 10 GOTO 20 52 STOP

(0.4933197868 ; 0.896659942 ; 1 ) termo aleatório . . . . . . . . . . (2.512862417 ; 2.512862417 ; 36 ) termo constante, a partir da ordem 36 X= 2.512862417 , se fizermos X=Ln [e( t )] , temos e( t ) = e = 12.34020236

512862417.2

18

Resolve-se a equação t + 2t + 1 =12.34020236 e temos as soluções t = -

7.35669 e t =3.35669 , sendo que

21

2 122

251286.251286.4

2tt 21 −=

−=

+−=

+

Mínimo Relativo de e( t )

A função é limitada porque o tempo [do caos] é finito

19

20

Funções circulares bi-tonais Definição 1:

( )[ ] ( )[ ] ( )[ ] ( )[ ]

( )[ ] ( )[ ] ( )[ ] ( )[ ]

( )[ ]∑

∑∑∑∑

∑∑∑∑

∗+

+∗

−∗

+∗

−∗

+

+∗

−∗

+∗

−∗

=

1

1

x

1

3

1

x

3

5

1

x

5

7

1

x

7

9

1

x

9

11

1

x

11

13

1

x

13

15

1

x

15

17

1

x

17

x!1-

x

x!1-

x

x!1-

x

x!1-

x

x!1-

x

x!1-

x

x!1-

x

x!1-

x

x!1-

x (x) sin2tone

com erro por defeito de ( )[ ]∑ ∗

− 19

1

x

19

x!1-

x , no intervalo [ ]ππ 2 ,2−

o gráfico na calculadora TI92plus, com as definições de janela:

21

a tabela no intervalo [ ]0 ,2π−

22

23

24

Definição 2:

( )[ ] ( )[ ] ( )[ ] ( )[ ]

( )[ ] ( )[ ] ( )[ ] ( )[ ]

( )[ ]1x -

x!1-

x

x!1-

x

x!1-

x

x!1-

x

x!1-

x

x!1-

x

x!1-

x

x!1-

x- (x) cos2tone

2x

2

4

1

x

4

6

1

x

6

8

1

x

8

10

1

x

10

12

1

x

12

14

1

x

14

16

1

x

16

18

1

x

18

+

−∗

+∗

−∗

+∗

−

−∗

+∗

−∗

+∗

=

∑∑∑∑

∑∑∑∑

x!1-1

∗∑

com erro por defeito de ( )[ ]∑ ∗

20

1

x

20

x!1-

x , no intervalo [ ]ππ ,−

o gráfico na calculadora TI92plus, com as definições de janela:

25

a tabela no intervalo [ ]0 ,π−

26

27

Nota de autor: A definição de funções circulares a partir da extensão polinomial não é muito diferente da definição de funções circulares de forma geométrica.

28

29

:programa: area título, - o polígono regular, inscrito na circunferência, de raio 1, tem o nº de lados (N) que queiramos :Disp "JRRBC 08.08.03" nome do autor :Disp "N>=5" diz que o N, pedido ao utilizador, tem que ser >=5 :Degree cálculos em graus :Prompt N pede ao utilizador o N :Disp "ANGLE=",360/N escreve o valor da fracção de ângulo, 360/N :cos (360/N)sin (360/N)/2*N->I atribui a I o valor cos(360/N)sin(360/N)/2 *N :Disp I escreve o valor da área I do polígono :Stop finaliza o programa calculadora texas instruments 82

30

exemplo de cálculos:

N=5 N=6 N=7

N=8

N=9 N=10

N=11

N=12 N=13

N=14

N=5674

N=10000

31

32

Fractal “Risueño” título : Disp “jrrbc 18.08.03” nome do autor : 1/3 X:2/3 Y atribui os valores 1/3 a X e 2/3 a Y : ClrDraw limpa o ecrã : AxesOff:Func apaga os eixos coordenados e acciona as funções reais de variável real : -10 Xmin:10 Xmax:1 Xscl X está em [-10,10] com passo 1 : -10 Ymin:10 Ymax:1 Yscl Y está em [-10,10] com passo 1 : Prompt A,B pede ao utilizador um valor para A e outro para B : For (I,1,500,1) inicia a rotina com I de 1 a 500 e com passo 1 : rand X:rand Y faz um valor aleatório para X e outro para Y : If X<A: If X>B condiciona X<A e X>B : -50XY X atribui o valor –50XY a X : 50XY Y atribui o valor 50XY a Y : Pt-On(X,Y) marca o ponto (-50XY, 50XY) : End finaliza a rotina For : If X>=A :If Y=<B condiciona X>=A e Y=<B : For (J,1,500,1) inicia a rotina com J de 1 a 500 e com passo1 : rand X:rand Y faz um valor aleatório para X e outro para Y : 50XY X atribui o valor 50XY a X : -50XY Y atribui o valor –50XY a Y : Pt-On(X,Y) marca o ponto (50XY, -50XY) :End finaliza a rotina For

33

GALERIA DE ARTE DESTE FRACTAL (a calculadora é a ti-82)

A=0.1;B=0.8

A=sqr2; B=sqr3 A=10; B= -1

A=-2/3 ; B=10

A=0; B=0 A= -1/2 ; B=1/2

A= -20 ; B= 20

A= -1000 ; B=1000 A=0; B= -100000

A= -1000000; B=0.0000001

A=sqr780; B= -sqr87 A=-sqr3 ; B=sqr5

34

35

Programa em assembly ( o prompt N,I,M faz interactividade com o utilizador, ao pedir valores para N, o extremo inferior I e extremo superior M ) para

cálculo de ∫M

I

dx sin x

:Disp "JRRBC 29.09.03" :ClrDraw :Prompt N,I,M :1/(10)^N->E :0->S :I->X :Lbl R :E×sin (X)->A :S+A->S :Disp "X=",X,"S=",S :X+E->X :If X=<M:Goto R :Stop

36

os runs, na calculadora ti-82, que mostra o evoluir dos cálculos

∫2

0

dx sin

π

x ∫2

3

dx sin

π

π

x

N=1 X= 2π S= 0,9783630329 N=1 X=

23π S= -0,9783630329

N=2 X= 2π S= 0,9941953482 N=2 X=

23π S= -0,9941953482

N=3 X= 2π S= 0,9997035899 N=3 X=

23π S= -0,9997035899

Para N=4 a máquina fica uma meia hora a fazer cálculos e lá se vão as pilhas em pouco tempo, embora na máquina fotográfica digital as pilhas tenham que ser recarregadas de 10 em 10 fotos Mas é um bom algoritmo ( algoritmo “Risueño” para cálculo de integrais) de cálculo integral para um Windows utilitário, fazendo também o prompt para a função f(x) a integrar

37

38

Regra de Cramer

Consideremos o sistema ⎩⎨⎧ −=−

=+14y5x

32y x -

Vamos resolvê-lo com a máquina TI92 plus, utilizando matrizes

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡×⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−31-

yx

2145

[ [5,-4] [-1,2] ] x [ [x] [y] ] = [ [-1] [3] ]

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡×⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡31-

21-4-5

yx

1-

[ [x] [y] ] = [ [5,-4] [-1,2] ] ^ (-1) x [ [-1] [3] ]

39

poderíamos perguntar logo de início se o sistema tinha solução, já vimos que a

solução é ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

=

37y35x

para isso veríamos se o determinante da matriz é diferente de zero.

Se fosse igual a zero o sistema seria impossível ou de solução indeterminada.

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−2145

det ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−2145

det [ [5,-4][-1,2] ] = 6

40

Vamos resolver o sistema pela regra de Cramer, uma vez que o

det =6 ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−2145

0 ≠

pela regra de Cramer temos a solução

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

=

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

=

621-4-5

det

31-1-5

det y

62145

det

234-1-

detx

det [ [5,-1] [-1,3] ] =14 e det [ [-1,-4] [3,2] ] =10

41

portanto temos

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

==

===⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

=

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

=35

610

37

614

621-4-5

det

1431-1-5

det y

62145

det

10234-1-

det x

42

43

1. Para construir algebricamente os números inteiros podemos utilizar as equações

x01x += ;

x01

01x+

+= ,

x01

01

01x

++

+= ; ... soluções 0 , 1 (note-se que 0x1=0)

x21x += ;

x21

21x+

+= ,

x21

21

21x

++

+= ; ... soluções - 1 , 2 (note-se que 1x2=2)

x61x += ;

x61

61x+

+= ,

x61

61

61x

++

+= ; ... soluções - 2 , 3 (note-se que 2x3=6)

x121x += ;

x121

121x+

+= ,

x121

121

121x

++

+= ; ... soluções - 3 , 4 (note-se que 3x4=12)

x201x += ;

x201

201x+

+= ,

x201

201

201x

++

+= ; ...soluções - 4 , 5 (note-se que 4x5=20)

x301x += ;

x301

301x+

+= ,

x301+

301

301x+

+= ; ... soluções - 5 , 6 (note-se que 5x6=30)

x421x += ;

x421

421x+

+= ,

x421

421

421x

++

+= ; ...soluções - 6 , 7 (note-se que 6x7=42)

x561x += ;

x561

561x+

+= ,

x561

561

561x

++

+= ; ... soluções - 7 , 8 (note-se que 7x8=56)

44

x721x += ;

x721

721x+

+= ,

x721

721

721x

++

+= ; ...soluções - 8 , 9 (note-se que 8x9=72)

x901x += ;

x901

901x+

+= ,

x901

901

901x

++

+= ; ... soluções - 9 , 10 (note-se que 9x10=90)

x1101x += ;

x1101

1101x+

+= ,

x1101

1101

1101x

++

+= ;...soluções - 10,11(note-se que 10x11=110)

x1321x += ;

x1321

1321x+

+= ,

x1321

1321

1321x

++

+= ;...soluções - 11,12 (note-se que 11x12=132)

x1561x += ;

x1561

1561x+

+= ,

x1561

1561

1561x

++

+= ;...soluções - 12 ,13(note-se que 12x13=156)

x1821x += ;

x1821

1821x+

+= ,

x1821

1821

1821x

++

+= ; ...soluções - 13,14(note-se que 13x14=182)

resumo x=1+ [ n(n-1)]/x soluções x= n , x =1-n para n=1, 2, 3, ..... nota importante: por este critério de morfologia algébrica dos números temos:

x11x += ;

x11

11x+

+= ,

x11+

11

11x+

+= ; ... soluções 2

51±

45

o que põe a questão: O quociente da divisão de um número irracional por um número inteiro será mesmo um número irracional? Ou não estaremos numa situação de

indeterminação equivalente à que acontece quando temos 00 ?

2. Para construir o irracional 2 vou recorrer à iteração da equação

1x1 1 x+

+= (note-se que 1+1=2)

Com o programa em linguagem basic

10 x = 1 20 x= 1+ 1/(x+1) 30 PRINT x 40 x=1+ 1/(x+1) 50 IF x<= 2 GOTO 20 60 STOP Obtém-se o run do programa 1.5 1.416666667 1.414285714 1.414215686 1.414213625 1.414213564 1.414213562 e a repetição de 1.414213562 2≈

46

Para construir o irracional vou recorrer à iteração da equação 3

1x1 1

1 1 x

++

+= (note-se que 1+1+1=3)

Com o programa em linguagem basic

10 x = 1 20 x= 1+ 1/(1+1/(x+1)) 30 PRINT x 40 x=1+ 1/(1+1/(x+1)) 50 IF x<= 2 GOTO 20 60 STOP Obtém-se o run do programa

1.666666667 1.731707317 1.732049037 1.732050798 1.732050808 e a repetição de 1.732050808 3≈

temos as equações Risueño:

1x11 xequação da solução é 2+

+= (note-se 1+1=2)

1x21 xequação da solução é 3+

+= (note-se 2+1=3)

1x

31 xequação da solução é 4+

+= (note-se 3+1=4)

47

1x41 xequação da solução é 5+

+= (note-se 4+1=5)

1x51 xequação da solução é 6+

+= (note-se 5+1=6)

1x31

31 xequação da e 1x

61 xequação da solução é 7

++

+=+

+=

(é uma fracção contínua de 2ª ordem e temos 3+3+1=7)

1x51

51 xequação da e 1x

101 xequação da solução é 11

++

+=+

+=

(é uma fracção contínua de 2ª ordem e temos 5+5+1=11)

1x

2.51 xequação da solução é 5.3+

+= (2.5+1=3.5)

1x2.51

5.21 xequação da solução é 6

++

+= (2.5+2.5+1=6)

resumo: x=1+1/(x+1) soluções +sqr2 , -sqr2 x=1+2/(x+1) soluções +sqr3 , -sqr3 x=1+3/(x+1) soluções +sqr4 , -sqr4 x=1+4/(x+1) soluções +sqr5 , -sqr5 ......................... x=1+n/(x+1) soluções +sqr(n+1) , -sqr(n+1) ::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::: x=1+1/(1+1/(x+1)) soluções +sqr3 , -sqr3 x=1+2/(1+2/(x+1)) soluções +sqr5 , -sqr5 .................................. x=1+r/(1+r/(x+1)) soluções +sqr(2r+1) , -sqr(2r+1)

48

49

Gödel é mais conhecido pela sua demonstração dos teoremas da incompletude. Em 1931 publicou estes resultados em über formal unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme. Demonstrou resultados fundamentais acerca dos sistemas axiomáticos, mostrando que em qualquer sistema axiomático da matemática há proposições que não podem ser aprovadas ou desaprovadas. Em particular a consistência dos axiomas não pode ser demonstrada. Isto termina com um século de tentativas para estabelecer axiomas que fundamentassem a matemática. A maior tentativa de axiomatizar a matemática foi feita por Bertrand Russel Principia Mathematica (1910-13). Outra tentativa foi o formalismo de David Hilbert que recebeu um golpe fatal com os resultados de Kurt Godel. O teorema da incompletude não destrói totalmente o formalismo matemático, mas demonstra que qualquer sistema de axiomas terá que ser mais flexível do que a idéia de formalismo de Hilbert. Os resultados de Godel foram um marco na matemática do século 20, mostrando que a matemática não é um objecto rígido como se acreditava. Nenhum pensamento pode ser programado para responder a todos os problemas matemáticos. Apenas podemos modelar as questões matemáticas.

50

51

52

Referências bibliográficas

http://gallica.bnf.fr

http://mathworld.wolfram.com

http://www.ticalc.org/

http://mathforum.org/

http://turnbull.dcs.st-and.ac.uk./history

53

Biografia do autor Nasceu em Quelimane em 23 de Dezembro de 1959 Frequentou o ensino primário no Colégio Nossa Senhora das Vitórias de Nampula de 1967 (1º ano) a 1970 (4º ano) Frequentou o ensino preparatório na Escola Preparatória de Nampula em 1971 (5º ano) e 1972 (6º ano) Frequentou o Liceu Almirante Gago Coutinho de Nampula em 1973 (7º ano) Frequentou o Liceu Nacional de Torres Vedras em 1974 (8º ano) Frequentou o Liceu 5 de Outubro de Lourenço Marques em 1975 (9º ano) Frequentou o Liceu Nacional de Torres Vedras de 1976 a 1979 (10º, 11º, 12º) Frequentou o Curso de Matemática da Faculdade de Ciências da Universidade de Lisboa de 1980 a 1983. Fez o Estágio Pedagógico na Escola Secundária de Pedro Nunes em Lisboa no ano de 1984 Leccionou como professor do quadro na Escola Secundária Madeira Torres de Torres Vedras entre 1985 e 1989 Leccionou como professor do quadro na Escola Secundária Henriques Nogueira de Torres Vedras entre 1990 e 1998 Frequentou o Mestrado de Matemática da Universidade Lusíada de Lisboa em 1998 Leccionou como professor do quadro, na Escola Secundária Poeta António Aleixo de Portimão no ano de 1999 Leccionou como professor destacado na Escola Secundária de Camões em Lisboa no ano de 2000 Leccionou como professor destacado na Escola Secundária de Pedro Nunes no ano de 2001 É professor do quadro da Escola Secundária Luís de Freitas Branco desde o ano de 2002.

54

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Hipótese de Riemann (tese) por Prof. Joao Ricardo Cruz - sábado, 2 Junho 2007, 21:53

sobre a equivalência entre os zeros não triviais da hipótese de Riemann e os números primos:

________________________

primeiro zero não trivial da HR (0.5; 14.096) -> nº primo 2

14/2 =7

segundo zero não trivial da HR (0.5; 20.494159 ) -> nº primo 3

20/3=6,...

terceiro zero não trivial da HR (0.5; 25.4097) -> nº primo 5

25/5=5

quarto zero não trivial da HR (0.5; 29.555 ) -> nº primo 7

29/7 =4,...

quinto zero não trivial da HR (0.5; 33.2095 ) -> nº primo 11

33/11=3,...

Page 1 of 2Sala de Prof's: Hipótese de Riemann (tese)

03-06-2007http://moodle.madeiratorres.com/mod/forum/discuss.php?d=576

Nome de utilizador: Prof. Joao Ricardo Cruz. (Sair)

Sala de Prof's

sexto zero não trivial da HR (0.5; 36.5133 ) -> nº primo 13

36/13=2,...

sétimo zero não trivial da HR (0.5; 39.5518 ) -> nº primo 17

39/17=2,...

oitavo zero não trivial da HR (0.5; 42.38 ) -> nº primo 19

42/19=2,...

________________________

Conjectura joao_cruz_2007

(Inteiro de / primo de ordem n )= 2

__________________________

desculpem fazer este rascunho aqui mas neste computador de fim de semana só tenho instalado o open office, que não é compatível com o math type (editor de equações)

muito obrigado e bom fim de semana

Responder

Page 2 of 2Sala de Prof's: Hipótese de Riemann (tese)

03-06-2007http://moodle.madeiratorres.com/mod/forum/discuss.php?d=576

A correlação linear r (entre X e Y) está relacionada com o declive da respectiva recta de regressão da seguinte forma: m = r * (desvio padrão de Y / desvio padrão de X) a ordenada na origem b da recta de regressão determina-se: b=(média de Y) - (m*média de X) João Ricardo

relacionar m com r De: João Cruz (jrrbc@hotmail.com)

Enviada: domingo, 17 de Fevereiro de 2008 11:27:37Para: macs macs (macs-com-rede@yahoogrupos.com.br)

Page 1 of 1Windows Live Hotmail

15-03-2008http://by126w.bay126.mail.live.com/mail/ReadMessageLight.aspx?Aux=4%7c0%7c8...

Da existência algébrica da Sucessão de Fibonnaci As equações: ______________________________________________

nx++=

111x

;

111 1x

x+

+= ; 1

11 2xx

++= ; ... ;

111 3x

x+

+= x nx++=

111

par

limiteSolução: x= 1 para nx= 1 ou x= -1 para n ímpar ______________________________________________

nx++

111

1x += 1

;

111

11

1x

x

++

+= ;

111

11

2x

x

++

+= ; ... ;

111

11

3x++

+x =

nx

x

++

+=

111

11

par

limiteSolução: x= 2 para n x= 2 ou x= -1 para n ímpar _______________________________________________

nx++

+

111

11

n par r

x +=1

1

limiteSolução: x= 3/2 para x= 3/2 ou x= -1 para n ímpa

________________________________________________

nx

x

++

++

+=

111

11

11

11

limiteSolução: x= 5/3 para n par

r x= 5/3 ou x= -1 para n ímpa ________________________________________________

nx

x

++

++

++=

111

11

11

11

11

limiteSolução: x= 8/5 para n par

r x= 8/5 ou x= -1 para n ímpa ________________________________________________

nx

x

++

++

++

+=

111

11

11

11

11

11

limiteSolução:

x= 13/8 para n par r x= 13/8 ou x= -1 para n ímpa

_________________________________________________

nx

x

++

++

++

++=

111

11

11

11

11

11

11

limiteSolução: x= 21/13 para n par

r x= 21/13 ou x= -1 para n ímpa __________________________________________________ A sucessão dos limiteSolução:

... ; 1321 ;

813 ;

58 ;

35 ;

23 ;

12 ;

11

cqd

1

Sobre o cálculo dos percentis O problema:

Numa aula na sala de informática deparou-se-me o dilema: com os mesmos dados os percentis eram diferentes, se fossem calculados no msexcel ou na calculadora

___________________________________ Consideremos os dados: 4 5 6 7 8 9 Queremos calcular o percentil 25, o percentil 50 e o percentil 75 da amostra constituída por estes dados. Recorrendo ao Excel temos: Percentil (A1:A6;0,25)=5,25

2

Percentil (A1:A6;0,50)= 6,5

3

Percentil (A1:A6;0,75)= 7,75

Portanto, no Excel temos os percentis para a nossa pequena amostra Percentil (A1:A6;0,25)=5,25 Percentil (A1:A6;0,50)= 6,5 Percentil (A1:A6;0,75)= 7,75

4

Vamos agora fazer o cálculo dos percentis 25, 50 e 75 numa calculadora gráfica, por exemplo recorrendo ao emulador da casio fx-9860G SD

Temos então para os mesmos dados :

Note-se que os resultados são diferentes mas estão ambos correctos. O percentil contém uma percentagem de dados mas podem ser valores diferentes para o mesmo percentil desde que contenham para o percentil 25, por exemplo, 25% dos dados. Tanto 5 como 5,25 estão localizados contendo 25% dos dados desta amostra que é 4 5 6 7 8 9 Conclusão A explicação para esta diferença de valores tem a ver com o facto de o percentil no Excel ser calculado com base na amplitude da amostra e na calculadora esse cálculo é feito com base na dimensão da amostra.

No excel na calculadora Percentil (A1:A6;0,25)=5,25 Percentil (A1:A6;0,50)= 6,5 Percentil (A1:A6;0,75)= 7,75

Percentil 25=Q1=5 Percentil 50=Med=6.5 Percentil 75=Q3=8

5

Anexo: Enunciado para os dois algoritmos: O que se baseia na amplitude da amostra: 1º ordenam-se os dados 2º faz-se a amplitude da amostra 9-4=5 3º faz-se amplitude da amostra * k/100 sendo k o percentil que queremos se for o Q1 é o 1º quartil ou percentil 25 ou seja 5*25/100=1.25 4º adiciona-se ao 1º dado ou seja Q1=Percentil 25 = 4+1,25=5,25 O que se baseia na dimensão da amostra: 1º ordenam-se os dados 2º tem-se a dimensão da amostra N neste exemplo N=6 3º faz-se N*k/100 neste exemplo sendo k=25 temos 6*25/100=1,5 4º arredonda-se para o inteiro seguinte ou seja o Percentil 25=Q1= 2º termo = 5 5º se N*k/100 der nº inteiro faz-se a média entre o dado desta ordem e o da ordem seguinte. Nota final: Ou seja, o percentil não é uma percentagem. De qualquer maneira é melhor em aula o cálculo do percentil com o algoritmo da dimensão (por exemplo) do que com o formulário nº par ou ímpar de dados com que desde sempre se ensinou o cálculo dos quartis nos manuais escolares de estatística em Portugal.

____________________________________ João Ricardo Risueño Barroco Cruz (sócio nº 1572) www.prof2000.pt/users/jrrbc