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Modelagem do Espalhamento de Doencas em
Populacoes
Nuno Crokidakis
Grupo de Sistemas Complexos, IF-UFF
03 de Maio 2017
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Sumario
1 Introducao
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Sumario
1 Introducao
2 Modelo SI
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Sumario
1 Introducao
2 Modelo SI
3 Modelo SIS
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Sumario
1 Introducao
2 Modelo SI
3 Modelo SIS
4 Modelo SIR
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Sumario
1 Introducao
2 Modelo SI
3 Modelo SIS
4 Modelo SIR
5 Modificacoes
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Sumario
1 Introducao
2 Modelo SI
3 Modelo SIS
4 Modelo SIR
5 Modificacoes
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Evolucao de Epidemias: Dengue
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Evolucao de Epidemias: Dengue
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Evolucao de Epidemias: H1N1
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Evolucao de Epidemias: Ebola
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Evolucao de Epidemias: Ebola
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Evolucao de Epidemias: Ebola
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Evolucao de Epidemias: Chikungunya
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Evolucao de Epidemia: Zika
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Evolucao de Epidemias
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Dinamicas de Epidemias
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Doencas Transmitidas por Contato
• Gripe comum
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Doencas Transmitidas por Contato
• Gripe comum
• H1N1
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Doencas Transmitidas por Contato
• Gripe comum
• H1N1
• Herpes
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Doencas Transmitidas por Contato
• Gripe comum
• H1N1
• Herpes
• Tuberculose
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Doencas Transmitidas por Contato
• Gripe comum
• H1N1
• Herpes
• Tuberculose
• Conjuntivite
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Doencas Transmitidas por Contato
• Gripe comum
• H1N1
• Herpes
• Tuberculose
• Conjuntivite
• DST’s
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Doencas Transmitidas por Contato
• Gripe comum
• H1N1
• Herpes
• Tuberculose
• Conjuntivite
• DST’s
• ...
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Interesse na Modelagem de Epidemias
• Entendimento dos princıpios/fundamentos por tras da dinamica deespalhamento de doencas;
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Interesse na Modelagem de Epidemias
• Entendimento dos princıpios/fundamentos por tras da dinamica deespalhamento de doencas;
• Estudo de interacoes/dinamicas sociais;
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Interesse na Modelagem de Epidemias
• Entendimento dos princıpios/fundamentos por tras da dinamica deespalhamento de doencas;
• Estudo de interacoes/dinamicas sociais;
• Impacto das acoes de cada indivıduo e interacoes entre indivıduos(modelos baseados em agentes) em diversos sistemas sociais(espalhamento de doencas, crencas e rumores, transito, debatespublicos, eleicoes, ...);
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Interesse na Modelagem de Epidemias
• Entendimento dos princıpios/fundamentos por tras da dinamica deespalhamento de doencas;
• Estudo de interacoes/dinamicas sociais;
• Impacto das acoes de cada indivıduo e interacoes entre indivıduos(modelos baseados em agentes) em diversos sistemas sociais(espalhamento de doencas, crencas e rumores, transito, debatespublicos, eleicoes, ...);
• Controle de Epidemias: isolamento, quarentena, ...
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Interesse na Modelagem de Epidemias
• Entendimento dos princıpios/fundamentos por tras da dinamica deespalhamento de doencas;
• Estudo de interacoes/dinamicas sociais;
• Impacto das acoes de cada indivıduo e interacoes entre indivıduos(modelos baseados em agentes) em diversos sistemas sociais(espalhamento de doencas, crencas e rumores, transito, debatespublicos, eleicoes, ...);
• Controle de Epidemias: isolamento, quarentena, ...
• Interesse teorico: emergencia de comportamento coletivo(prevalencia ou extincao da doenca, surtos, ...), ocorrencia decorrelacoes, leis de potencia, transicoes de fase, ...
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Interesse na Modelagem de Epidemias
• Entendimento dos princıpios/fundamentos por tras da dinamica deespalhamento de doencas;
• Estudo de interacoes/dinamicas sociais;
• Impacto das acoes de cada indivıduo e interacoes entre indivıduos(modelos baseados em agentes) em diversos sistemas sociais(espalhamento de doencas, crencas e rumores, transito, debatespublicos, eleicoes, ...);
• Controle de Epidemias: isolamento, quarentena, ...
• Interesse teorico: emergencia de comportamento coletivo(prevalencia ou extincao da doenca, surtos, ...), ocorrencia decorrelacoes, leis de potencia, transicoes de fase, ...
• Abordagem: equacoes diferenciais, equacao mestra, simulacoescomputacionais, ...
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Sumario
1 Introducao
2 Modelo SI
3 Modelo SIS
4 Modelo SIR
5 Modificacoes
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Modelo SI 1
• Existem 2 tipos de indivıduos na populacao: Suscetıvel (S) eInfectado (I);
1R. M. Anderson, R. M. May, Infectious Diseases of Humans: Dynamics and
Control (Oxford University Press, Oxford, 1991).
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Modelo SI 1
• Existem 2 tipos de indivıduos na populacao: Suscetıvel (S) eInfectado (I);
• A populacao e fixa, de modo que S + I = 1;
1R. M. Anderson, R. M. May, Infectious Diseases of Humans: Dynamics and
Control (Oxford University Press, Oxford, 1991).
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Modelo SI 1
• Existem 2 tipos de indivıduos na populacao: Suscetıvel (S) eInfectado (I);
• A populacao e fixa, de modo que S + I = 1;
• Todos os agentes podem interagir entre si;
1R. M. Anderson, R. M. May, Infectious Diseases of Humans: Dynamics and
Control (Oxford University Press, Oxford, 1991).
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Modelo SI 1
• Existem 2 tipos de indivıduos na populacao: Suscetıvel (S) eInfectado (I);
• A populacao e fixa, de modo que S + I = 1;
• Todos os agentes podem interagir entre si;
• Regras:
S + Iλ→ I + I
1R. M. Anderson, R. M. May, Infectious Diseases of Humans: Dynamics and
Control (Oxford University Press, Oxford, 1991).
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Ilustracao: Rede completamente
conectada
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Solucao Analıtica
Podemos descrever a evolucao das populacoes S e I atraves de EDO’s,
dS
dt= −λ S I
dI
dt= λ S I
Como S + I = 1, podemos reduzir essas 2 equacoes a uma unica:
dI
dt= λ I (1− I )
A solucao dessa equacao para a condicao inicial I (0) = I0 e
I (t) =I0e
λ t
1− I0 + I0eλ t
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Evolucao temporal: λ = 0.1
0 50 100 150 200tempo
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1D
ensi
dad
es
I(t)S(t)
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Evolucao temporal: diferentes λ
0 30 60 90 120tempo
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1In
fect
ado
s
λ = 0.1λ = 0.3λ = 0.5λ = 0.8
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Sumario
1 Introducao
2 Modelo SI
3 Modelo SIS
4 Modelo SIR
5 Modificacoes
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Modelo SIS 2
• Existem 2 tipos de indivıduos na populacao: Suscetıvel (S) eInfectado (I);
2R. M. Anderson, R. M. May, Infectious Diseases of Humans: Dynamics and
Control (Oxford University Press, Oxford, 1991).
![Page 42: Modelagem do Espalhamento de Doenças em Populaçõespanorama-0117/lib/exe/... · Modelagem do Espalhamento de Doen¸cas em Popula¸c˜oes Nuno Crokidakis GrupodeSistemasComplexos,IF-UFF](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022060217/5f063ca07e708231d416fb49/html5/thumbnails/42.jpg)
Modelo SIS 2
• Existem 2 tipos de indivıduos na populacao: Suscetıvel (S) eInfectado (I);
• A populacao e fixa, de modo que S + I = 1;
2R. M. Anderson, R. M. May, Infectious Diseases of Humans: Dynamics and
Control (Oxford University Press, Oxford, 1991).
![Page 43: Modelagem do Espalhamento de Doenças em Populaçõespanorama-0117/lib/exe/... · Modelagem do Espalhamento de Doen¸cas em Popula¸c˜oes Nuno Crokidakis GrupodeSistemasComplexos,IF-UFF](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022060217/5f063ca07e708231d416fb49/html5/thumbnails/43.jpg)
Modelo SIS 2
• Existem 2 tipos de indivıduos na populacao: Suscetıvel (S) eInfectado (I);
• A populacao e fixa, de modo que S + I = 1;
• Todos os agentes podem interagir entre si;
2R. M. Anderson, R. M. May, Infectious Diseases of Humans: Dynamics and
Control (Oxford University Press, Oxford, 1991).
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Modelo SIS 2
• Existem 2 tipos de indivıduos na populacao: Suscetıvel (S) eInfectado (I);
• A populacao e fixa, de modo que S + I = 1;
• Todos os agentes podem interagir entre si;
• Regras:
S + Iλ→ I + I
Iα→ S
2R. M. Anderson, R. M. May, Infectious Diseases of Humans: Dynamics and
Control (Oxford University Press, Oxford, 1991).
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Solucao Analıtica
Podemos descrever a evolucao das populacoes S e I atraves de EDO’s,
dS
dt= α I − λ S I
dI
dt= −α I + λ S I
Como S + I = 1, podemos reduzir essas 2 equacoes a uma unica:
dI
dt= (λ− α) I − λ I 2
A solucao geral dessa equacao e
I (t) =λ− α
λ− c e−(λ−α) t
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Solucao Analıtica
As solucoes estacionarias (tempos longos) sao simples de serem obtidas.No estado estacionario, dS/dt = dI/dt = 0, entao alem da solucaotrivial I = 0 e S = 1 obtemos
S =α
λ
I = 1−α
λ=
λ− α
λ
Se λ < α, vale a solucao trivial, senao vale a outra. Isso define ochamado limiar epidemico:
λc = α
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Evolucao temporal: λ < λc
0 20 40 60 80 100t
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
S(t)I (t)
⇒ α = 0.1, λ = 0.05
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Evolucao temporal: λ > λc
0 20 40 60 80 100t
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
S(t)I (t)
⇒ α = 0.1, λ = 0.3
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Estados Estacionarios
0 0.05 0.1 0.15 0.2λ
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5I es
tac
⇒ N = 104 agentes, α = 0.1, curva: (λ− α)/λ
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Sumario
1 Introducao
2 Modelo SI
3 Modelo SIS
4 Modelo SIR
5 Modificacoes
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Modelo SIR 3
• Existem 3 tipos de indivıduos na populacao: Suscetıvel (S),Infectado (I) e Recuperado (R);
3R. M. Anderson, R. M. May, Infectious Diseases of Humans: Dynamics and
Control (Oxford University Press, Oxford, 1991).
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Modelo SIR 3
• Existem 3 tipos de indivıduos na populacao: Suscetıvel (S),Infectado (I) e Recuperado (R);
• A populacao e fixa, de modo que S + I + R = 1;
3R. M. Anderson, R. M. May, Infectious Diseases of Humans: Dynamics and
Control (Oxford University Press, Oxford, 1991).
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Modelo SIR 3
• Existem 3 tipos de indivıduos na populacao: Suscetıvel (S),Infectado (I) e Recuperado (R);
• A populacao e fixa, de modo que S + I + R = 1;
• Todos os agentes podem interagir entre si;
3R. M. Anderson, R. M. May, Infectious Diseases of Humans: Dynamics and
Control (Oxford University Press, Oxford, 1991).
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Modelo SIR 3
• Existem 3 tipos de indivıduos na populacao: Suscetıvel (S),Infectado (I) e Recuperado (R);
• A populacao e fixa, de modo que S + I + R = 1;
• Todos os agentes podem interagir entre si;
• Regras:
S + Iλ→ I + I
Iγ→ R
3R. M. Anderson, R. M. May, Infectious Diseases of Humans: Dynamics and
Control (Oxford University Press, Oxford, 1991).
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Analise
Podemos descrever a evolucao das populacoes S, I e R atraves de EDO’s,
dS
dt= −λ S I
dI
dt= λ S I − γ I
dR
dt= γ I
Havera ou nao uma epidemia nessa populacao?
dI
dt
∣
∣
∣
t=0= I0(λ S0 − γ) = I0λ
(
S0 −γ
λ
)
Portanto, se S0 > γ/λ, temos dI/dt > 0 em t = 0 e teremos um surto
epidemico. Por outro lado, se S0 < γ/λ, temos dI/dt < 0 em t = 0 e adoenca desaparecera da populacao apos um tempo.
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Evolucao temporal
0 50 100 150 200tempo
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1D
ensi
dad
es
S(t)I(t)R(t)
⇒ γ = 0.1, λ = 0.3
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Evolucao temporal
0 50 100 150 200tempo
0
0,01
0,02
0,03
0,04
0,05D
ensi
dad
es
I(t)R(t)
⇒ γ = 0.3, λ = 0.1
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Modelo SIS: redes complexas 4
• A estrutura de conexoes sociais e levada em conta;
4R. Pastor-Satorras, A. Vespignani, Phys. Rev. E 63, 066117 (2001).
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Modelo SIS: redes complexas 4
• A estrutura de conexoes sociais e levada em conta;
• Assim, os indivıduos sao posicionados nos sıtios de uma rede comuma certa distribuicao de conectividades P(k);
4R. Pastor-Satorras, A. Vespignani, Phys. Rev. E 63, 066117 (2001).
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Modelo SIS: redes complexas 4
• A estrutura de conexoes sociais e levada em conta;
• Assim, os indivıduos sao posicionados nos sıtios de uma rede comuma certa distribuicao de conectividades P(k);
• Um indivıduo no estado S se tornara Infectado com umaprobabilidade λ se ele estiver em contato com um ou mais indivıduosInfectados;
4R. Pastor-Satorras, A. Vespignani, Phys. Rev. E 63, 066117 (2001).
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Modelo SIS: redes complexas 4
• A estrutura de conexoes sociais e levada em conta;
• Assim, os indivıduos sao posicionados nos sıtios de uma rede comuma certa distribuicao de conectividades P(k);
• Um indivıduo no estado S se tornara Infectado com umaprobabilidade λ se ele estiver em contato com um ou mais indivıduosInfectados;
• Um indivıduo no estado I se recuperara da doenca e se tornaraSuscetıvel novamente com uma probabilidade α.
4R. Pastor-Satorras, A. Vespignani, Phys. Rev. E 63, 066117 (2001).
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Modelo SIS: Grafo de Erdos-Renyi
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Modelo SIS: Grafo de Erdos-Renyi
0 10 20 30 40k
0
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1P
(k)
⇒ P(k) ∼ e−〈k〉 〈k〉k
k! : distribuicao de Poisson (estreita)
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Modelo SIS: Grafo de Erdos-Renyi
• Como a conectividade na rede de Erdos-Renyi tem apenas flutuacoesmuito pequenas (〈k2〉 ∼ 〈k〉), podemos considerar como primeiraaproximacao que cada sıtio tem o mesmo numero de vizinhos, isto e,k ≈ 〈k〉.
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Modelo SIS: Grafo de Erdos-Renyi
• Como a conectividade na rede de Erdos-Renyi tem apenas flutuacoesmuito pequenas (〈k2〉 ∼ 〈k〉), podemos considerar como primeiraaproximacao que cada sıtio tem o mesmo numero de vizinhos, isto e,k ≈ 〈k〉.
• Equacao Mestra:
dI
dt= −α I + λ 〈k〉 I (1− I )
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Modelo SIS: Grafo de Erdos-Renyi
• Como a conectividade na rede de Erdos-Renyi tem apenas flutuacoesmuito pequenas (〈k2〉 ∼ 〈k〉), podemos considerar como primeiraaproximacao que cada sıtio tem o mesmo numero de vizinhos, isto e,k ≈ 〈k〉.
• Equacao Mestra:
dI
dt= −α I + λ 〈k〉 I (1− I )
• No estado estacionario I = 0, de modo que obtemos (para α = 1)
I [−1 + λ 〈k〉 (1− I )] = 0
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Modelo SIS: Grafo de Erdos-Renyi
• Como a conectividade na rede de Erdos-Renyi tem apenas flutuacoesmuito pequenas (〈k2〉 ∼ 〈k〉), podemos considerar como primeiraaproximacao que cada sıtio tem o mesmo numero de vizinhos, isto e,k ≈ 〈k〉.
• Equacao Mestra:
dI
dt= −α I + λ 〈k〉 I (1− I )
• No estado estacionario I = 0, de modo que obtemos (para α = 1)
I [−1 + λ 〈k〉 (1− I )] = 0
• Esta equacao define o limiar epidemico λc = 〈k〉−1, e nos da ocomportamento
⇒
{
I = 0 se λ ≤ λc
I ∼ λ− λc se λ > λc
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Modelo SIS: Rede de Barabasi
![Page 69: Modelagem do Espalhamento de Doenças em Populaçõespanorama-0117/lib/exe/... · Modelagem do Espalhamento de Doen¸cas em Popula¸c˜oes Nuno Crokidakis GrupodeSistemasComplexos,IF-UFF](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022060217/5f063ca07e708231d416fb49/html5/thumbnails/69.jpg)
Modelo SIS: Rede de Barabasi
100
101
102
103
104
k
10-6
10-5
10-4
10-3
10-2
10-1
100
P(k
)
⇒ P(k) ∼ k−3: distribuicao lei de potencia (larga)
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Modelo SIS: Rede de Barabasi
• Agora nao podemos mais fazer a aproximacao homogeneaconsiderada no casa do grafo de Erdos-Renyi, pois as flutuacoes naconectividade 〈k2〉 na rede de Barabasi sao enormes.
![Page 71: Modelagem do Espalhamento de Doenças em Populaçõespanorama-0117/lib/exe/... · Modelagem do Espalhamento de Doen¸cas em Popula¸c˜oes Nuno Crokidakis GrupodeSistemasComplexos,IF-UFF](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022060217/5f063ca07e708231d416fb49/html5/thumbnails/71.jpg)
Modelo SIS: Rede de Barabasi
• Agora nao podemos mais fazer a aproximacao homogeneaconsiderada no casa do grafo de Erdos-Renyi, pois as flutuacoes naconectividade 〈k2〉 na rede de Barabasi sao enormes.
• Equacoes:
dIk
dt= −α Ik + λ k (1− Ik)Θ(k , λ)
I =∑
k
Ik P(k)
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Modelo SIS: Rede de Barabasi
• Agora nao podemos mais fazer a aproximacao homogeneaconsiderada no casa do grafo de Erdos-Renyi, pois as flutuacoes naconectividade 〈k2〉 na rede de Barabasi sao enormes.
• Equacoes:
dIk
dt= −α Ik + λ k (1− Ik)Θ(k , λ)
I =∑
k
Ik P(k)
• Podemos mostrar que no estado estacionario
I ∼ e−1/λ
![Page 73: Modelagem do Espalhamento de Doenças em Populaçõespanorama-0117/lib/exe/... · Modelagem do Espalhamento de Doen¸cas em Popula¸c˜oes Nuno Crokidakis GrupodeSistemasComplexos,IF-UFF](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022060217/5f063ca07e708231d416fb49/html5/thumbnails/73.jpg)
Modelo SIS: Rede de Barabasi
• Agora nao podemos mais fazer a aproximacao homogeneaconsiderada no casa do grafo de Erdos-Renyi, pois as flutuacoes naconectividade 〈k2〉 na rede de Barabasi sao enormes.
• Equacoes:
dIk
dt= −α Ik + λ k (1− Ik)Θ(k , λ)
I =∑
k
Ik P(k)
• Podemos mostrar que no estado estacionario
I ∼ e−1/λ
• Ou seja: nao existe um limiar epidemico λc !
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Sumario
1 Introducao
2 Modelo SI
3 Modelo SIS
4 Modelo SIR
5 Modificacoes
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Taxa de Infeccao Decrescente no Tempo
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Taxa de Infeccao Decrescente no Tempo
• Considerar efeitos de idade na taxa de infeccao de algumas doencas(por exemplo: gripe);
5C. A. Gilligan, S. Gubbins, S. A. Simons, Phyl. Trans. R. Soc. Lond. B 352, 353(1997)
6N. K. Vaidya, R. N. Ribeiro, C. J. Miller, A. S. Perelson, Journal of Virology 84,4302 (2010)
![Page 77: Modelagem do Espalhamento de Doenças em Populaçõespanorama-0117/lib/exe/... · Modelagem do Espalhamento de Doen¸cas em Popula¸c˜oes Nuno Crokidakis GrupodeSistemasComplexos,IF-UFF](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022060217/5f063ca07e708231d416fb49/html5/thumbnails/77.jpg)
Taxa de Infeccao Decrescente no Tempo
• Considerar efeitos de idade na taxa de infeccao de algumas doencas(por exemplo: gripe);
• Estudar os efeitos de uma taxa de infeccao dependente do tempo natransicao de fase do modelo SIS na rede aleatoria;
5C. A. Gilligan, S. Gubbins, S. A. Simons, Phyl. Trans. R. Soc. Lond. B 352, 353(1997)
6N. K. Vaidya, R. N. Ribeiro, C. J. Miller, A. S. Perelson, Journal of Virology 84,4302 (2010)
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Taxa de Infeccao Decrescente no Tempo
• Considerar efeitos de idade na taxa de infeccao de algumas doencas(por exemplo: gripe);
• Estudar os efeitos de uma taxa de infeccao dependente do tempo natransicao de fase do modelo SIS na rede aleatoria;
• Doencas em plantas 5 (cancer) e em macacos 6 (Vırus daImunodeficiencia Sımia) apresentam taxas de infeccao que caemcom o tempo;
5C. A. Gilligan, S. Gubbins, S. A. Simons, Phyl. Trans. R. Soc. Lond. B 352, 353(1997)
6N. K. Vaidya, R. N. Ribeiro, C. J. Miller, A. S. Perelson, Journal of Virology 84,4302 (2010)
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Resultados Experimentais conhecidos:
plantas 7
7C. A. Gilligan, S. Gubbins, S. A. Simons, Phyl. Trans. R. Soc. Lond. B 352, 353(1997).
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Resultados Experimentais conhecidos:
macacos 8
8N. K. Vaidya, R. N. Ribeiro, C. J. Miller, A. S. Perelson, Journal of Virology 84,4302 (2010).
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Resultados Experimentais conhecidos:
macacos 9
9N. K. Vaidya, R. N. Ribeiro, C. J. Miller, A. S. Perelson, Journal of Virology 84,4302 (2010).
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Mapas de Cidades: RJ
⇒ L. Stolerman et. al., SIAM Journal of Applied Mathematics (2016).
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Mapas de Cidades: RJ
⇒ L. Stolerman et. al., SIAM Journal of Applied Mathematics (2016).
![Page 84: Modelagem do Espalhamento de Doenças em Populaçõespanorama-0117/lib/exe/... · Modelagem do Espalhamento de Doen¸cas em Popula¸c˜oes Nuno Crokidakis GrupodeSistemasComplexos,IF-UFF](https://reader033.vdocuments.net/reader033/viewer/2022060217/5f063ca07e708231d416fb49/html5/thumbnails/84.jpg)
Auto-isolamento de indivıduos
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Auto-isolamento de indivıduos
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1q
0
0.1
0.2
0.3λ
d = 0.0d = 0.1d = 0.2d = 0.3d = 0.4
Epidemic phase
Disease-free phase
⇒ N. Crokidakis, S. M. D. Queiros, Journal of Statistical MechanicsP06003 (2012).
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Vacinacao e Dinamica de Opinioes
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Conferencia Recente
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