Capítulo 1

Modelagem em pesquisa operacional

Neste capítulo estudaremos o processo de modelagem em Pesquisa

Operacional (PO). O objetivo aqui, não é o de em obter soluções de problemas de PO, mas

sim o de modelar problemas, em contraposição ao uso apenas da experiência e do bom senso.

Como referência básica nos referimos aos dois primeiros capítulos do livro

de Hillier e Lieberman 1995, e aos capítulos primeiro, segundo e quinto de Goldbarg e Luna,

2000.

A influência da Segunda Guerra Mundial foi decisiva para o ressurgimento

da PO, e os desenvolvimentos que se seguiram nas décadas que sucederam ao grande conflito

são devidos especialmente à difusão do computador nas universidades e empresas. Havia

demandas da parte da indústria e dos governos (transportar, planejar e interceptar, etc.), novos

conhecimentos em Matemática, Engenharia, Estatística e Computação eram publicados, e

financiamentos de pesquisa nesta área de conhecimento surgiram. O projeto Scientific

Computation of Optimum Programs é um exemplo de relevante financiamento ocorrido na

ocasião, que resultou num grupo formado para pesquisar a viabilidade em aplicar a

Matemática e técnicas correlacionadas à análise de problemas de planejamento e programação

militar.

1.1 O processo de modelagem

Os responsáveis pela tomada de decisões nos mais variados campos da

atividade humana defrontam-se com a necessidade de resolver algum problema específico de

PO. A compreensão e a definição do problema são de fundamental importância para o

processo de modelagem.

O primeiro passo para a resolução de um problema de PO é a formulação,

que consiste em traduzir a realidade empírica para sentenças lógicas e dados objetivos,

permitindo a partir daí o estabelecimento de um modelo matemático. É onde devemos decidir

(julgamento humano) que aspectos do sistema real devemos incorporar ao modelo, assim

2

como quais podem ser ignorados, que suposições podem ser feitas e quais podem ser

descartadas. A tradução está sujeita a erros e falhas de comunicação. Também, não existem

técnicas precisas capazes de permitir o estabelecimento do modelo de um problema.

O segundo passo é a dedução do modelo, isto é, analisá-lo e resolvê-lo

através de algoritmos específicos. Sua solução, atenta aos métodos numéricos em

computação, sugere uma tomada de decisão. Para a sua sustentação, recorremos ao terceiro

passo que é a interpretação de uma solução do modelo para uma solução do sistema real. Se o

modelo não for validado, ele deve ser reformulado, e assim por diante. Este é o processo de

modelagem. Para maiores detalhes sobre o processo de modelagem, recomendamos

Ravindran, Phillips e Solberg, 1987.

A seguir, estudaremos o primeiro passo do processo, ou seja, a formulação

em Programação Matemática e exemplos de modelos probabilísticos, sem nos preocuparmos

com a solução e a validação.

1.2 Formulação de alguns problemas

Trataremos a seguir três problemas de PO nesta seção, um da área agrícola,

outro de administração, um de eletricidade, além de alguns processos estocásticos. Em cada

seção, enunciaremos o problema de PO e seu modelo correspondente. Finalmente com relação

aos modelos probabilísticos, apenas enunciaremos alguns problemas.

1.2.1 Um problema agrícola

Este problema foi extraído de Müller 2004, e trata da elaboração de um

modelo de Programação Linear para planejamento de produção agrícola.

1.2.1.1 O problema

Consideremos um problema na agricultura para decidir quais e em que

quantidade os alimentos soja, milho, arroz e feijão devem ser plantados em uma determinada

área de forma a maximizar o lucro líquido do produtor rural. A Tabela 1.1 resume os dados do

problema.

3

Tabela 1.1 – Dados gerais do problema.

Produção esperada (sacas/hectare)

Renda líquida esperada (reais/hectare)

Gleba Tamanho (hectare)

Soja Milho Arroz Feijão Soja Milho Arroz Feijão 1 10 50 130 30 40 1.200 1.040 240 1.450 2 18 48 120 32 55 1.080 910 300 3.380 3 22 48 140 30 43 1.065 1.728 300 1.890 4 49 50 100 28 38 1.320 700 280 1.220 5 51 35 70 36 32 365 -120 600 610 6 54 32 65 37 30 160 -380 595 280 7 77 35 68 37 32 360 -171 620 585 8 69 38 95 39 36 610 410 665 900

Mínimo (sacas ou hectares)

2.500 (sacas)

3.000 (sacas)

150 (hectares)

Máximo (hectares)

80 (hectares)

Em relação aos dados da Tabela 1.1, apenas a título de informação, um

hectare corresponde a uma área plana equivalente a um quadrado de 100 metros de lado, ou

seja, 10.000 m2, enquanto uma saca em geral pesa 50 kg. Pelas restrições impostas pelo

proprietário da fazenda precisa-se colher no mínimo 2.500 sacas de soja, pois são para

produzir semente encomendada; no mínimo 3.000 sacas de milho, pois será utilizada para

pagar empréstimo feito em milho à cooperativa local; pretende-se plantar, no mínimo, 150

hectares de arroz plantados, pois é terra de primeiro ano (terra fraca) e, no máximo, 80

hectares de terra para plantio de feijão, pois se corre risco de perda e prefere-se, neste ano,

não arriscar muito.

Ainda na Tabela 1.1, “Produção esperada” diz respeito ao que se espera de

cada gleba (porção de terra) para o cultivo de cada um dos alimentos. A “Renda líquida

esperada” é a diferença entre o custo de produção e renda bruta esperada. As duas últimas

linhas formam o conjunto de restrições imposto pelo proprietário da fazenda, que diz respeito

ao mínimo ou máximo de sacas que se deseja colher de um certo tipo de alimento, ou o

mínimo ou máximo de terra (em hectare) que se deseja plantar.

1.2.1.2 Um modelo

Como já afirmamos, não existem regras precisas para o processo de

modelagem, por isto sugerimos uma tentativa de encontrar inicialmente as variáveis de

4

decisão. Também sugerimos verificar as unidades de grandeza de cada dado, inclusive das

variáveis de decisão.

Neste caso, definimos 8,,2,1, =ixij e 4,3,2,1=j , as variáveis de

decisão que pretendemos encontrar, se existirem, a saber:

ijx : área em hectares por gleba i , para o plantio do alimento j

( 1=j , soja, 2=j , milho, 3=j , arroz, e 4=j , feijão).

Como estamos interessados em maximizar a renda da fazenda, utilizamos os dados da “Renda

líquida esperada (reais/hectare)” da Tabela 1.1 para construir o valor da chamada função

objetivo do problema, a saber:

.900665410610585620171360280595380160610600120365

1220280700132018903001728106533803009101080145024010401200

84838281

74737271

64636261

54535251

44434241

34333231

24232221

14131211

xxxx

xxxx

xxxx

xxxx

xxxx

xxxx

xxxx

xxxx

+++++++−++++−++++−++++++++++++++++++++

Nosso objetivo de maximização está sujeito a algumas restrições. Sabemos

que a soma das áreas para o plantio dos quatro alimentos em cada gleba não pode ultrapassar

o tamanho total da gleba. Temos então:

.6977545149221810

84838281

74737271

64636261

54535251

44434241

34333231

24232221

14131211

≤+++≤+++≤+++≤+++≤+++≤+++≤+++≤+++

xxxx

xxxxxxxx

xxxx

xxxx

xxxx

xxxx

xxxx

Ainda, não pode haver área negativa para plantio de cada alimento. Para isso

temos,

8,,2,1,0 =≥ ixij e 4,3,2,1=j .

5

Finalmente, consideramos as restrições impostas pelo proprietário da

fazenda conforme a Tabela 1.1, que se referem aos requisitos de produção dos cereais para

atendimento de encomenda, pagamento de empréstimo e condições de qualidade do solo e

risco de perdas em relação ao feijão. Assim, obtemos as seguintes desigualdades:

25003835323550484850 8171615141312111 ≥+++++++ xxxxxxxx

300095686570100190120130 8272625242322212 ≥+++++++ xxxxxxxx

.80150

8474645444342414

8373635343332313≤+++++++≥+++++++

xxxxxxxx

xxxxxxxx

Portanto, o nosso modelo matemático, que tenta traduzir uma particular

realidade da agricultura, é dado pelo problema de PO

Maximizar

84838281

74737271

64636261

54535251

44434241

34333231

24232221

14131211

900665410610585620171360280595380160610600120365

1220280700132018903001728106533803009101080145024010401200

xxxx

xxxx

xxxx

xxxx

xxxx

xxxx

xxxx

xxxx

+++++++−++++−++++−++++++++++++++++++++

sujeito a:

6977545149221810

84838281

74737271

64636261

54535251

44434241

34333231

24232221

14131211

≤+++≤+++≤+++≤+++≤+++≤+++≤+++≤+++

xxxx

xxxx

xxxx

xxxx

xxxx

xxxx

xxxx

xxxx

25003835323550484850 8171615141312111 ≥+++++++ xxxxxxxx

300095686570100190120130 8272625242322212 ≥+++++++ xxxxxxxx

80150

8474645444342414

8373635343332313≤+++++++≥+++++++

xxxxxxxx

xxxxxxxx

6

8,,2,1,0 =≥ ixij e 4,3,2,1=j .

A formulação discutida nesta seção refere-se a um modelo com funções

afins (isto é, lineares). Desta forma, denominamos este problema agrícola de um problema de

Programação Linear (contínua), que estudaremos no Capítulo 3.

1.2.2 Um problema de designação

Com base em Fang e Puthenpura, 1993, extraímos o seguinte problema de

Programação Linear Inteira.

1.2.2.1 O problema

Cinco pessoas (A, B, C, D, E) estão designadas para trabalhar em cinco

projetos diferentes (1, 2, 3, 4, 5). A Tabela 1.2 mostra quanto tempo (em dias) uma

determinada pessoa consegue finalizar um específico projeto.

Tabela 1.2 – Dados gerais do problema.

Projetos Pessoas 1 2 3 4 5

A 5 5 7 4 8 B 6 5 8 3 7 C 6 8 9 5 10 D 7 6 6 3 6 E 6 7 10 6 11

O pagamento diário (em uma jornada de quatro horas) por pessoa é 60 reais.

Suponha que uma pessoa é designada para realizar um único projeto e cada projeto só pode

ser realizado por uma única pessoa.

1.2.2.2 Um modelo

Neste caso definimos ijx , 5,,2,1 =i ( 1=i , pessoa A e assim por

diante) e 5,,2,1 =j , os projetos pelas quais podem ser designadas responsáveis. A variável

xij pode ser definida como:

7

=ijx

contráriocaso,0 projeto o para designadafor pessoaase,1 ji

Nosso interesse agora é o de minimizar o custo para a execução dos

projetos. Assim, utilizamos os dados da Tabela 1.2, para construir a função objetivo, a saber:

).116107663667

1059867385684755(60

5554535251

4544434241

3534333231

2524232221

1514131211

xxxxx

xxxxx

xxxxx

xxxxx

xxxxx

++++++++++++++++++++++++++++

Nosso objetivo de minimização está sujeito a algumas restrições. Sabemos

que cada pessoa é designada para realizar um único projeto, isto é,

15

1=

=jijx , 5,,2,1 =i ,

e que cada projeto só pode ser realizado por uma única pessoa, isto é,

15

1=

=iijx , 5,,2,1 =j .

Portanto, o nosso modelo matemático que tenta traduzir uma particular realidade do problema

clássico de designação (assignment problem, em inglês), é dado pelo problema de PO,

Minimizar

)116107663667

1059867385684755(60

5554535251

4544434241

3534333231

2524232221

1514131211

xxxxx

xxxxx

xxxxx

xxxxx

xxxxx

++++++++++++++++++++++++++++

sujeito a: 1

5

1=

=jijx , 5,,2,1 =i ,

1

5

1=

=iijx , 5,,2,1 =j .

1,0∈ijx , 5,,2,1 =i e 5,,2,1 =j

A formulação discutida nesta seção refere-se a um modelo com funções

lineares tais que as variáveis de decisão são inteiras. Desta forma, denominamos este

8

problema de designação de um problema de Programação Linear Inteira (discreto), assunto

que não será objeto de estudo neste livro. Todavia, para os leitores interessados em

aprofundar seus conhecimentos nesta área sugerimos os livros de Foulds, 1984 e Garfinkel e

Nemhauser, 1972.

1.2.3 Um problema de amplificador de tensão

A seguir apresentamos um problema de otimização que envolve um circuito

elétrico.

1.2.3.1 O problema

Em Engenharia Elétrica é comum a utilização de circuitos amplificadores

em aparelhos de áudio e vídeo. Esses circuitos recebem em sua entrada uma tensão elétrica e

aumentam sua amplitude disponibilizando na saída um sinal elétrico amplificado.

O circuito da Figura 1.1 mostra de maneira simplificada um amplificador

onde os estágios de entrada e saída são representados, respectivamente, por uma fonte de

tensão, v , e por uma resistência de carga, cR , igual a Ω8 ( AV=Ω ). Este circuito, para

certos valores do parâmetro α , comporta-se como um amplificador de tensão. Devem ainda

ser respeitados os limites inferior e superior de V20 e V100 , respectivamente, para a

tensão na resistência de carga, 18ivc = .

entrada saída

Figura 1.1 – Circuito básico para amplificação da tensão v .

1iα

Ω2

2i

1i

1i

1i

−

+

cv

Ω4

cR v

9

1.2.3.2 Um modelo

Neste caso, definimos as variáveis de decisão que se pretende encontrar, se

existirem, a saber:

1i : corrente elétrica em ampères (A);

2i : corrente elétrica em ampères (A) no resistor em paralelo com a fonte dependente; v : tensão elétrica em volts (V); α : parâmetro de controle da fonte dependente, que é adimensional.

Nosso interesse está em operar o circuito da Figura 1.1 minimizando a perda

de energia elétrica em watts ( VAW = ) nos resistores de resistências Ω4 e Ω2 , a saber:

.24 22

21 ii +

Nosso objetivo de minimização está sujeito a algumas restrições. Pela 1ª Lei

de Kirchhoff, que estabelece que a soma das correntes que entram em um nó é igual a soma

das correntes que saem desse nó, temos:

.0121 =−+− iii α

De acordo com a 2ª Lei de Kirchhoff, que estabelece que a tensão aplicada a

qualquer percurso fechado de um circuito é igual ao somatório das quedas de tensão naquele

percurso, temos:

.024 21 =+++− cviiv

Substituindo 18ivc = na última igualdade e desenvolvendo, obtemos

.0212 21 =++− iiv

Além disso, foi dado que:

.100820 1 ≤=≤ ivc

Dividindo cada dupla desigualdade por oito, obtemos

.5,125,2 1 ≤≤ i

10

Portanto, o nosso modelo matemático que tenta traduzir uma particular

realidade do problema de minimização das perdas em um circuito amplificador de tensão, é

dado pelo problema de PO

Minimizar 22

21 24 ii +

sujeito a: 0121 =−+− iii α 0212 21 =++− iiv .5,125,2 1 ≤≤ i

A formulação discutida nesta seção refere-se a um modelo com pelo menos

uma função não linear. Desta forma, denominamos este problema de amplificador de tensão

de um problema de Programação Não Linear. Neste livro não estudaremos Programação Não

Linear. Todavia, sugerimos os livros de Bazaraa, Sherali e Shetty de 1993 e o de Luenberger,

1984.

1.2.4 Formulação em processos estocásticos

Processos estocásticos (ou modelos probabilísticos) são modelos

matemáticos desenvolvidos para analisar sistemas dinâmicos sujeitos a incerteza, usando a

linguagem da probabilidade. O termo “dinâmico” significa que a variável tempo t geralmente

está envolvida no processo de formulação.

A principal característica de um problema estocástico é que, associado a

pelo menos uma de suas variáveis, temos um número que mede o grau de incerteza (ou de

certeza) da ocorrência do valor da variável, dado pela probabilidade.

A formulação em processos estocásticos normalmente compreende a

elaboração de sentenças lógicas, a interpretação de dados estatísticos sobre o problema e a

identificação da distribuição de probabilidade que governa as variáveis. Depois de construído

o modelo, este pode admitir soluções analíticas. Em casos de problemas complexos, a

simulação computacional é a melhor alternativa.

Estudaremos a teoria de probabilidades e distribuições no Capítulo 4.

Assim, substituiremos o passo da formulação pelo enunciado de alguns problemas para

processos de Markov (Capítulo 5), teoria de filas (Capítulo 6) e simulação (Capítulo 7).

11

1.2.4.1 Simulação

Simulação significa reproduzir o funcionamento de um sistema com o

auxílio de um modelo.

Toda simulação requer a construção de um modelo com o qual são feitos

experimentos. Em nosso caso, este modelo é definido por um conjunto de relações lógico-

matemáticas, descritas geralmente por um programa de computador. A partir do modelo, as

simulações nos permitirão testar algumas hipóteses sobre o valor de variáveis controladas. As

conclusões são usadas então para melhorar o desempenho do sistema em estudo,

proporcionando suporte bem fundamentado à tomada de decisões.

A simulação computacional surgiu a partir da idéia do método Monte Carlo,

durante uma conferência em Los Alamos, nos Estados Unidos, após a Segunda Guerra

Mundial. Naquela ocasião, após serem apresentadas as experiências adquiridas com o ENIAC

(Electronic Numeric Integrator and Calculator), Stanislaw Ulam pressentiu a potencialidade

da nova máquina para técnicas de amostragem estocástica. John Von Neumann, pioneiro da

Computação, também presente na conferência, foi um dos precursores desse método. Monte

Carlo baseia-se essencialmente na geração intensiva de números aleatórios para a solução por

simulação computacional de problemas estocásticos.

Um número aleatório é um número de uma seqüência de números cuja

probabilidade de ocorrência é a mesma que a de qualquer outro número na seqüência.

Métodos de simulação de problemas probabilísticos (não determinísticos) exigem a geração

de números aleatórios.

a) Exemplo

Uma empresa deseja saber qual é o nível ideal de estoque para seus

produtos. O problema é manter o atendimento dentro dos padrões previamente estabelecidos

com a maior economia possível no gerenciamento e na manutenção dos estoques. As

variáveis são: a demanda aleatória em um período de tempo; o tempo de atendimento de

pedido de reposição; e os estoques inicial e final no período.

1.2.4.2 Cadeias de Markov

12

Muitos processos que ocorrem em sistemas reais podem ser estudados como

se o sistema sob análise passasse, a partir de um estado inicial, por uma seqüência de estados,

onde a transição de um determinado estado para o seguinte ocorreria segundo uma certa

probabilidade. No caso em que esta probabilidade de transição depende apenas do estado em

que o fenômeno se encontra e do estado a seguir, o processo será designado processo de

Markov de primeira ordem e uma seqüência de estados seguindo este processo será

denominada cadeia de Markov.

Um conceito fundamental em processos de Markov é a noção de estado.

Propriedades em comum entre indivíduos ou objetos caracterizam o que chamamos de

estados. Podemos apontar associações entre propriedade em comum e estado: uma população

da região norte que migra para o sul; veículos estacionados numa determinada área; e

máquinas numa grande linha de produção.

a) Exemplo

Em 1993, a utilização do solo em uma cidade de 130 2km de área ocupada

apresentava os seguintes índices:

(I) Uso residencial: 30% (II) Uso comercial: 20% (III) Uso industrial: 50%

Encontre os estados de utilização do solo em 1998, 2003 e 2008, assumindo que as

probabilidades de transição para intervalos de 5 anos são dadas pela seguinte matriz P :

III

II

I

P

IIIIII

=9,01,002,07,01,01,01,08,0

1.2.4.3 Teoria de filas

Um processo de filas consiste em chegadas de usuários em um

estabelecimento de prestação de serviços, esperando alinhados (em fila). O usuário que chega

13

ao estabelecimento aguarda se todos os atendentes estiverem ocupados, e é prontamente

atendido em caso contrário. Após receber o serviço, o usuário deixa o estabelecimento.

a) Exemplo

Uma casa de doces finos é operada por uma pessoa, o proprietário. O

modelo de chegada de clientes nos sábados segue aproximadamente uma distribuição de

Poisson, com uma taxa média de chegada de 10 pessoas por hora. Os clientes são atendidos

em base FIFO (primeiro a entrar, primeiro a sair) e por causa do sucesso da loja eles têm que

esperar para serem atendidos após chegarem. O tempo gasto para atender a um cliente é

estimado como exponencialmente distribuído, com um tempo médio de atendimento de 4

minutos. Determine: a probabilidade de se formar uma fila; o tamanho médio da fila; o tempo

esperado que um cliente deve aguardar na fila; o tempo médio que um cliente deve ficar na

loja.

1.3 Exercícios

1.3.1 (Boldrini, Costa, Figueiredo e Wetzler, 1986) A Cia. Sovina de Investimentos possui

seis milhões de reais, quantia esta que deverá ser aplicada em cinco tipos de investimentos,

sendo que os retornos anuais para cada investimento são: investimento 1 ( 1I ), 10%;

investimento 2 ( 2I ), 8%; investimento 3 ( 3I ), 6%; investimento 4 ( 4I ), 5%; e investimento 5

( 5I ), 9%.

O gerente desta Cia. deseja diversificar os investimentos para obter o

máximo de rendimento possível. Dado o elemento de risco envolvido, o gerente restringiu a

quantia a ser aplicada em 1I a não mais que a quantia total aplicada em 3I , 4I e 5I (em

conjunto). A soma da quantia total a ser aplicada em 2I e 5I deve ser pelo menos igual à

quantia aplicada em 3I . O 2I deve estar limitado a um nível que não exceda a quantia

aplicada em 4I .

É preciso determinar a alocação ótima de investimento entre as cinco

categorias, de forma que o retorno ao final do ano seja o máximo possível. Formular o

problema.

14

1.3.2 (Boldrini, Costa, Figueiredo e Wetzler, 1986) Uma empresa nacional possui fábricas

em Campinas e Belo Horizonte (BH). Esta empresa produz e distribui computadores a

comerciantes de várias cidades. Numa determinada semana, a empresa possui: 30 unidades

em Campinas e 40 unidades em BH. Nesta mesma semana, esta empresa deve atender os

pedidos dos comerciantes das seguintes cidades: 20 unidades para São Paulo (SP), 25

unidades para o Rio de Janeiro (RJ) e 25 unidades para Vitória. O problema consiste em

distribuir as máquinas aos comerciantes de forma a atender os pedidos a um custo mínimo de

transporte. Os custos unitários de transporte em reais são: 9 de Campinas para SP, 16 de

Campinas para RJ, 25 de Campinas para Vitória, 27,50 de BH para SP, 22,50 de BH para RJ e

21 de BH para Vitória. Formular o problema.

1.3.3 (Hillier e Lieberman, 1997) Uma multinacional decide se instalar em Goiás e escolhe

dois municípios para construir fábricas e armazéns: Catalão e Rio Verde. Construção de

fábricas e armazéns nestas cidades resulta nos índices de retornos indicados na Tabela 1.3.

Tabela 1.3 – Índices de retorno em unidades monetárias.

Catalão Rio Verde Fábrica 72 40 Armazém 48 32

Os seguintes critérios devem ser respeitados no processo de decisão: se for

construído armazém em Catalão não será construído armazém em Rio Verde; em unidades

monetárias, o investimento requerido na construção de uma fábrica em Catalão é 48, o

investimento requerido na construção de uma fábrica em Rio Verde é 24, o investimento

requerido na construção de um armazém em Catalão é 40, o investimento requerido na

construção de um armazém em Rio Verde é 16 e a empresa disponibiliza no máximo 80 para

investir nas construções.

Temos ainda a condição de que na localidade onde for construído armazém

tem que ser construída fábrica. Formular o problema de modo a maximizar o retorno do

investimento.

1.3.4 Considere o problema da seção 1.2.3 sobre operação do amplificador de tensão com

mínimas perdas. Reescreva o modelo em função das variáveis de decisão α e v , que para

este problema são de fato as variáveis de controle.

15

1.3.5 (Bazaraa, Jarvis e Sherali, 1990) A qualidade do ar em uma região depende

principalmente das emissões de efluentes (e.g., 2CO , 2SO , 4CH , etc.) na atmosfera pelas n

indústrias existentes. Cada instalação industrial pode utilizar m diferentes tipos de

combustível. Suponha que a energia total necessária à indústria j é jb calorias por dia e que

ijc é a emissão de efluentes por tonelada do combustível i pela indústria j . Além disso,

suponha que o combustível do tipo i custa ic dólares por tonelada e que cada tonelada deste

tipo de combustível gera ijα calorias na indústria j . O nível de poluição do ar na região não

pode exceder b microgramas por metro cúbico. Finalmente, seja jγ um parâmetro

meteorológico que relaciona emissões da indústria j à qualidade do ar da região. Escrever o

modelo do problema para determinar a mistura de combustíveis a ser utilizada por cada

indústria.

1.3.6 Consulte a literatura em Pesquisa Operacional e forneça um exemplo de um problema

estocástico.