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Modelagem Matemática de Sistemas Hidráulicos 1
Modelagem Matemática de Sistemas Hidráulicos
10 1 INTRODUÇÃO Os fluidos, estejam na forma líquida ou gasosa, constituem os meios mais versáteis para a transmissão de sinais e de potência, sendo largamente empregados na indústria, principalmente em processos químicos, sistemas automáticos de controle, atuadores, automação de máquinas, etc. Os sistemas fluidos são normalmente interconectados a sistemas mecânicos através de bombas, compressores, válvulas e cilindros. Uma turbina acionada por água e usada para movimentar um gerador elétrico é um exemplo em que interagem elementos hidráulicos, mecânicos e elétricos. Basicamente, líquidos e gases podem ser diferenciados por suas compressibilidades: um líquido é considerado praticamente incompressível, ao passo que um gás deforma-se facilmente com a mudança de pressão. Além disso, um líquido pode apresentar uma superfície livre, enquanto que um gás expande-se de modo a ocupar totalmente o seu reservatório. Vamos utilizar o termo sistema hidráulico para descrever sistemas que usam um líquido como fluido de trabalho e sistema pneumático para sistemas que utilizam um gás como fluido de trabalho. Uma análise exata de um sistema hidráulico usualmente não é viável, por causa da sua natureza distribuída (propriedades distribuídas ao longo da massa) e não linear (resultando em modelos matemáticos não lineares). Contudo, na maioria dos casos, a operação de um sistema hidráulico se dá nas proximidades de um ponto de operação, de modo que ele pode ser linearizado em torno desse ponto, o que faz com que obtenhamos modelos lineares em termos de variáveis incrementais. Tendo em vista que os sistemas hidráulicos envolvem o escoamento e a acumulação de líquidos, as variáveis usadas para descrever o seu comportamento dinâmico são a vazão volumétrica [m3/s], o volume [m3], a altura de líquido [m] e a pressão [N/m2] (ou [Pa]). Devido a sua grande importância, dividiremos o estudo dos sistemas hidráulicos em dois grandes ramos: (a) Sistemas de nível de líquido; (b) Sistemas servo-hidráulicos. Algumas características dos líquidos que indicam sua aplicação são: positividade, precisão, flexibilidade de uso, alta relação potência/peso, rápidas partida e parada, reversão de movimento com suavidade e precisão. Por esse motivo, o conhecimento de sistemas hidráulicos é básico na formação de engenheiros, principalmente engenheiros mecânicos, químicos e de controle e automação.
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A maior parte dos sistemas hidráulicos é não-linear. Às vezes, contudo, é possível linearizar tais sistemas, de modo a reduzir sua complexidade e permitir soluções que sejam ainda suficientemente precisas. Nos exemplos que veremos será mostrada uma técnica de linearização usando o desenvolvimento em Série de Taylor. Um estudo mais detalhado dos componentes de um sistema servo-hidráulico será feito nas disciplinas de Sistemas Fluidomecânicos, Controle Hidráulico e Pneumático e Laborat6rio de Controle Hidráulico e Pneumático. Aqui, portanto, serão apresentados apenas os conceitos básicos necessários para o entendimento da sua modelagem matemática. 2 ELEMENTOS BÁSICOS DE UM SISTEMA HIDRÁULICO
Os sistemas hidráulicos exibem três tipos de propriedades que podem ser aproximadas por parâmetros concentrados: resistência, capacitância e inertância. Apresentaremos apenas as duas primeiras propriedades, já que a inertância, que leva em conta a energia cinética do líquido, normalmente é desprezível para as baixas velocidades encontradas industrialmente. RESISTÊNCIA HIDRÁULICA Quando um líquido escoa em uma tubulação, dá-se uma queda na pressão do líquido ao longo da mesma, devida ao atrito com as paredes da tubulação, a qual é conhecida como perda de carga normal. Também ocorre uma queda de pressão sempre que o líquido passa através de acidentes, tais como curvas, válvulas, orifícios, restrições, alargamentos, contrações, etc., a qual recebe o nome de perda de carga acidental. Tais quedas de pressão normalmente são descritas por expressões algébricas não lineares que relacionam a vazão volumétrica com a queda de pressão. Por exemplo, a expressão (1) PkQ ∆= descreve razoavelmente bem a relação entre a vazão volumétrica Q e a queda de pressão ∆P no caso de um escoamento turbulento de um líquido através de um orifício ou de uma válvula como a ilustrada na fig. 1:
Fig. 1
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Na eq. (1), k é uma constante que depende das características do escoamento, da tubulação, válvula ou orifício, a qual deve ser obtida experimentalmente. Uma representação gráfica da eq. (1) é mostrada na
fig. 2, onde ( ) é o ponto de operação: −−
∆ Q,P
Fig. 2 Como a eq. (1) é uma relação não linear, devemos linearizá-la em torno do ponto de operação, a fim de obter um modelo matemático linear para o sistema hidráulico. Para isso, traçamos uma tangente à curva no ponto de operação (ver fig. 2) e definimos como resistência hidráulica R o inverso da inclinação dessa tangente, ou seja: (2) =
dQ1−
∆∆ PPdR Desenvolvendo a eq. (1) em série de Taylor em torno do ponto de operação e retendo apenas os termos lineares:
(3) )PP(Pd
dQP
−
∆
−∆−∆
∆+
−QQ =
Podemos, agora, definir as variáveis incrementais Q como ^^P e ∆
(4a) −
−= QQQ^
(4b) −
∆−∆=∆ PPP^
Levando as eqs. (2), (4a) e (4b) na eq. (3) obtemos:
^
^
Q
PR ∆=(5)
Por outro lado, a eq. (1) pode ser aplicada no ponto de operação, logo: −−
∆= PkQ Derivando e usando a eq. (2), chegamos a (6) 2
Podemos, também, exprimir R em termos de . Para isso, da eq. (1) obtemos −Q
kPR−
∆=
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−−
∆= PkQ que, levada na eq. (6), nos permite chegar a
2kQ2R−
= (7) Os sistemas hidráulicos típicos são compostos por tubulações, válvulas, orifícios, etc., sendo que tais elementos possuem suas resistências hidráulicas. Assim, muitas vezes necessitamos combinar tais resistências hidráulicas em série e/ou paralelo, de modo que é extremamente útil desenvolver expressões para essas associações. Associação série Consideremos a fig. 3, na qual temos duas válvulas de constantes ka e kb e resistências hidráulicas Ra e Rb em série, assim como uma válvula equivalente de constante keq e resistência hidráulica Req. Queremos achar keq e Req.
Fig. 3 Tendo em vista que as duas válvulas estão em série, elas têm a mesma vazão volumétrica Q, sendo que a diferença total de pressão é (usando a eq. (1)):
∆P = ∆Pa + ∆Pb = 22b
2a
Q)k1
k1( +
donde obtemos Pkk
kkQ
2b
2a
ba ∆+
=
Comparando essa última expressão com a eq. (1), vemos que (8)
2b
2a
baeq
kk
kkk
+=
Aplicando a eq. (7) para a válvula equivalente:
+=
−−
2b
2a
2eq
eq k1
k1Q2
kQ
=2R
Por outro lado, aplicando a eq. (7) para as válvulas a e b:
2b
b2a
a kQ2R e
kQ2R
−−
==
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o que permite concluir que (9) Req = Ra + Rb que é a mesma expressão para resistências elétricas em série, o que vem mostrar a existência de uma analogia eletro-hidráulica. Generalizando a eq. (9) para n resistências hidráulicas em série: (10) ∑=R
=
n
1iieq R
Associação paralelo Podemos nos valer da conclusão anterior sobre a analogia eletro-hidráulica para estabelecer simplesmente que a resistência hidráulica equivalente a n resistências hidráulicas em paralelo é dada por (11) =R
∑=
n
1i i
eq
R1
1 CAPACITÂNCIA HIDRÁULICA Quando um líquido é armazenado em um reservatório aberto, existe uma relação algébrica entre o volume de líquido e a pressão no fundo do reservatório. Se a área da seção reta do reservatório é dada pela função A(h), onde h é a altura da superfície livre do líquido em relação ao fundo do reservatório, então o volume de líquido é dado por
(12) ∫ λλ=h
0d)(AV
onde λ é uma variável muda usada na integração. Por outro lado, a pressão absoluta no fundo do reservatório e a altura de líquido h estão relacionadas por (13) P = Pa + ρgh onde Pa é a pressão atmosférica (nas condições normais de temperatura e pressão Pa = 1,013 x 105 N/m2), g é a aceleração da gravidade (usualmente g = 9,81 m/s2) e ρ é a massa específica do líquido em kg/m3. As eqs. (12) e (13) estão ligadas pela variável h, de modo que é possível obter uma relação não linear entre P e V. A fig. 4 mostra uma curva característica típica dessa relação:
Fig. 4Modelagem Matemática de Sistemas Hidráulicos 6
Para linearizar tal relação, traçamos uma tangente à curva no ponto de operação (ver fig. 4) e definimos como capacitância hidráulica C o inverso da inclinação dessa tangente, ou seja: (14) dP
1C = dPdV
dV
= A partir da regra de cadeia da derivação, podemos escrever
(15) dPdh
dhdVC =
Por outro lado, da eq. (12) tiramos dV/dh = A(h) e da eq. (13) obtemos dh/dP = 1/ρg, de modo que podemos rescrever a eq. (15) como A
g)h(C
ρ=(16)
Da eq. (16) podemos verificar facilmente que a unidade SI de C é [m5/N]. No caso de reservatórios com seção reta constante A, a eq. (12) reduz-se a V = Ah, de modo que podemos substituir h = V/A na eq. (13) para obter
(17) aPVAg
+Pρ
=
que é a equação de uma reta, conforme mostra a fig. 5: Fig. 5 Da definição de capacitância podemos facilmente obter, para esse caso: (18) C
gAρ
=
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O volume instantâneo de líquido em um reservatório é dado pela integral da vazão volumétrica líquida que entra no reservatório, somada ao volume inicial, ou seja:
λλ−λ+= ∫ d)](Q)(Q[)0(V)t(V ot
0 i
Derivando, obtemos uma forma alternativa: (19) Q(t) = Qi(t) - Qo(t) que nada mais é do que a equação da continuidade para um fluido incompressível: A vazão instantânea é igual à vazão que entra menos a vazão que sai do
reservatório No caso de reservatórios com seção reta variável A(h), podemos obter uma expressão para a variação temporal da altura h a partir da regra de cadeia da derivação:
dtdh
dhdV
dt=dVQ =
onde dV/dt é dada pela eq. (19) e dV/dh é dada por dV/dh = A(h). Logo, podemos isolar dh/dt para chegar a (20) 1h
.= )]t(Q)t(Q[
)h(A oi − Da mesma forma, podemos obter uma expressão para a variação temporal da pressão P no fundo do reservatório a partir da regra de cadeia da derivação:
dtdP
dPdV
dtdVQ ==
onde dV/dt é dada pela eq. (19) e dV/dP = C(h). Logo, podemos isolar dP/dt para chegar a P
.= )]t(Q)t(Q[
)h(C1
oi −(21) onde C(h) é dada pela eq. (16). Exemplo: Consideremos um reservatório formado por um cilindro de diâmetro D e comprimento L que contem um líquido de massa específica ρ. Achar a capacitância hidráulica do reservatório para as posições (a) e (b) da fig. 6.
Fig 6
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Solução (a) Nesta configuração A = constante = πD2/4, logo podemos usar a eq. (18):
g4
Dg
AC2
a ρπ=
ρ=
(b) Agora, A varia com a altura h. Do triângulo OAB, ilustrado na fig. 7, podemos tirar:
22
22
)]hD(2D[)
2D(
2y
OAOBAB
−−−=
−=
Após simplificações: 2hDh2Y −= Usando a eq. (16):
g
hDhL2g
yLg
)h(AC2
b ρ−=
ρ=
ρ=
Fig. 7 3 FONTES DE ENERGIA HIDRÁULICA Na imensa maioria dos sistemas hidráulicos industriais a fonte de energia é uma bomba, a qual normalmente é acionada por um motor elétrico. A representação simbólica de uma bomba está mostrada na fig. 8: Relações típicas obtidas experimentalmente entre a diferença de pressão ∆P e a vazão volumétrica Q estão mostradas na fig. 9 para diferentes velocidades de rotação da bomba. Podemos notar, na fig. 9, a não linearidade de tais relações.
Fig. 8
Fig. 9 Fig. 10
Modelagem Matemática de Sistemas Hidráulicos 9
Para fazer a linearização, devemos inicialmente determinar o ponto de operação para a velocidade de
rotação em regime permanente, calculando os valores de ∆ , conforme ilustra a fig. 10. Após, traçamos a tangente a curva no ponto de operação, e definimos a sua inclinação como sendo - K, a qual tem unidades [N.s/m
-Q e P
−
5] no SI. Tendo feito isso, podemos exprimir a diferença de pressão incremental em termos da vazão volumétrica incremental como
(22) ^^QKP −=∆
onde K é sempre positiva. Resolvendo a eq. (22) para , obtemos ^Q
(23) ^^P
K1 ∆Q −=
Para obter a relação linear dada pela eq. (23) podemos desenvolver Q em série de Taylor retendo apenas os termos lineares:
(24) )PP(Pd
dQ
P
−
∆
−∆−∆
∆+
−QQ =
Comparando as eqs. (23) e (24), vemos que −
∆∆ PPddQ é a inclinação da tangente à curva Q = Q(∆P) no ponto
de operação, dada por -1/K. 4 MODELAGEM MATEMÁTICA DE UM SISTEMA DE NÍVEL DE LÍQUIDO Vamos considerar um exemplo ilustrativo. Exemplo Ilustrativo: Seja o sistema de nível de líquido simples da fig. 11: Fig. 11
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Sendo a vazão volumétrica na saída da válvula, Qo(t), dada pela relação não linear ao PPk −=Q onde P
é a pressão absoluta no fundo do reservatório e Pa é a pressão atmosférica, desenvolver um modelo matemático linearizado para o sistema, sendo a entrada Qi(t) e a saída P(t).
Solução Como a seção reta do reservatório é constante, temos C(h) = constante = C, logo a eq. (21) se torna
)]t(Q)t(Q[)h(C oi
.−1P =
Aplicando a eq. (1) à válvula de saída, ao PPkQ −=
logo
(25) ]PPk)t(Q[C1
ai.
−−=P
Para linearizar o modelo, vamos desenvolver a eq. (25) em série de Taylor, retendo apenas os termos lineares:
)QQ(]]PPk)t(Q[C1[
dQdPP i
_i
Qai
i
_.
i_
.
−
−−+=
Podemos rescrever a equação acima em termos das variáveis incrementais
(26) = PP −
− P^
(27) −
−= ii^
i Q)t(Q)t(Q obtendo
(28) i^
Qia
i^
Qa
i
^Q)
dQdP
PP21k1(
C1Q)]PPk(
dQd1[
C1
i
_i
_
.
−−=
−−=P
Por outro lado, P e Qi devem satisfazer a eq. (1), isto é
ai PPkQ −= donde tiramos
2
i2a Qk1PP +=
Derivando a equação acima em relação a Qi:
(29) i2i
Qk2
dQdP =
Levando a eq. (29) na eq. (28):
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(30) i^
a
i_
i^
Q
ia
^Q)
PPkQ
1(C1Q)Q
k1
PP11(
C1
i
_
.
−−=
−−=P
Multiplicando a eq. (30) RC:
i^
a
i_
i^
i^
a
i_
^Q
PPkQ
RQRQ)PPk
Q1(RPRC
.
−−=
−−=
Levando em conta a eq. (1) aplicada ao ponto de operação e a eq. (5) (definição de R), temos
i
_i
_^
i^
i^
a
i_
i^
^
i^^
Q
QPQRQ
PPkQ
Q
PQRPRC.
−=−
−=
donde chegamos ao modelo linearizado em termos das variáveis incrementais:
)t(QRPPRC i^^
.^
=+(31) que é uma EDOL de 1a ordem, não homogênea. Notemos que o produto RC tem dimensão de tempo e é definido como a constante de tempo do sistema: (32) τ = RC Podemos escrever a eq. (31) em termos de Qo Para isso, basta derivar a eq. (29) em relação ao tempo e substituir na eq. (31), donde obtemos
)t(QQQRC i^
o^
o
.^
=+(33) que é também uma EDOL de 1a ordem, não homogênea. Podemos observar que o sistema de nível de líquido é análogo ao circuito elétrico e ao sistema mecânico das fig. 12 e 13, respectivamente:
Fig. 12 Fig. 13 cujo modelos matemáticos são dados respectivamente pelas EDOL's
Modelagem Matemática de Sistemas Hidráulicos 12
(34) (35) ee
deRC =+ iodt
o ioo.
xxxkc =+
Comparando as eqs. (33), (34) e (35), temos a seguinte analogia eletro-mecânica-hidráulica:
Sistema Hidráulico Sistema Elétrico Sistema Mecânico
R R b C C 1/k
i^Q
ei xi
o^Q eo xo
5 MODELAGEM MATEMÁTICA DE SISTEMAS SERVO-HIDRÁULICOS Será ilustrada através de exemplos. Exemplo Ilustrativo A fig. 14 mostra um servo-hidráulico consistindo de uma válvula deslizante de controle e de um cilindro hidráulico, o qual constitui a unidade de potência do sistema. Os parâmetros do sistema envolvidos são: ps = pressão manométrica (acima da pressão atmosférica) de serviço, [Pa]; po = pressão manométrica de retorno, [Pa]; p1 e p2 = pressões manométricas nas tubulações 1 e 2, respectivamente, [Pa]; q1 e q2 = vazões mássicas nas tubulações 1 e 2, respectivamente (saídas do sistema), [kg/s]; x = deslocamento da válvula deslizante (entrada do sistema), [m]; y = deslocamento do pistão de potência, [m]; A1 e A2 = áreas dos orifícios 1 e 2, respectivamente, [m2]; c1 = c2 = c = coeficientes de descarga dos orifícios;
Modelagem Matemática de Sistemas Hidráulicos 13
Fig. 14
Hipóteses simplificadoras (HS): (1) a válvula "fecha" perfeitamente os orifícios, não havendo nem sobrepassagem e nem subpassagem,
em relação ao orifício; (2) as áreas dos orifícios 1 e 2 são proporcionais ao deslocamento x da válvula (a entrada do sistema); (3) os coeficientes de descarga dos orifícios e a queda de pressão através dos orifícios são
constantes, não dependendo da posição da válvula, ou seja, não dependem de x; (4) a pressão de retorno po é muito pequena, podendo ser considerada nula, já que o ó1eo vai para um
reservatório que normalmente está aberto à atmosfera, i.é, po = 0; (5) o fluido hidráulico (ó1eo) é considerado incompressível, i.é., o seu peso específico é assumido como
constante: γ = constante; (6) as forças de inércia e de atrito viscoso são desprezíveis na presença da força hidráulica
desenvolvida pelo pistão hidráulico; (7) as vedações do cilindro hidráulico e da válvula são perfeitas, não havendo passagem de ó1eo de um
lado para o outro dos pistões. Vamos obter a função de transferência do sistema, considerando como entrada o deslocamento x da válvula de controle e como saída a vazão volumétrica de óleo q1. Devido à HS2:
A1 = A2 = kx onde k é uma constante de proporcionalidade. A vazão através dos orifícios (ver textos de Mec Flu) é dada por:
xpg2ckpg2cA)pp(g2cAq
xppg2ck)pp(g2cAq
222o222
1s1s11
γ=
γ=−
γ=
−γ
=−γ
=
Modelagem Matemática de Sistemas Hidráulicos 14
Fazendo ckγg2 = constante = C
Temos: xpCq
xppCq
22
1s1
=
−=
Da Equação da Continuidade: q1 = q2 Logo ps – p1 = p2 Definindo a queda de pressão no pistão como
∆p = p1 - p2 então p1 = ps – p2 = ps – p1 + ∆p p1 = (ps + ∆p)/2 Também p2 = (ps - ∆p)/2 E a vazão q1 pode ser dada por
)p,x(fx2
ppCq s1 ∆=∆−=
a qual é uma função não-linear. Vamos linearizar a equação em torno do ponto de operação
0q e 0p ,0x 1
___==∆= , usando a Série de Taylor e retendo apenas os termos lineares:
)0p(pf)0x(
xf0)pp(
pf)xx(
xfqq
___11 −∆
∆∂∂+−
∂∂+=∆−∆
∆∂∂+−
∂∂+=
onde as derivadas parciais são obtidas no ponto de operação (0, 0, 0), ou seja:
0)
21(
2pp
121Cx
pf
2pC
2ppC
xf
)0,0,0(s
s)0,0,0(
s
=−∆−
=∆∂∂
=∆−
=∂∂
Logo:
q1 = C2ps x
Chamando C2ps = constante = Kp
Então:
q1 = Kp xModelagem Matemática de Sistemas Hidráulicos 15
(36) Em termos de função de transferência: Q1(s) = Kp X(s) Logo
(37) G(s) = )s(X)s(Q1 = Kp
O que mostra que a saída é diretamente proporcional à entrada:
Vejamos o que ocorre se for escolhida como saída o deslocamento do pistão hidráulico, y(t). A Equação da Continuidade aplicada ao cilindro hidráulico permite que escrevamos:
q1 = ρAdtdy
onde ρ = γ/g é a massa específica do fluido hidráulico, [kg/m3] A = área do pistão hidráulico, [m2]
dtdy = velocidade do pistão hidráulico, [m/s]
Como já vimos (eq. (36)) que q1 = Kpx
então ρAdtdy = Kpx
donde dy = A
Kp
ρxdt
Chamando A
Kp
ρ = constante = Ki
então dy = Kixdt e y = Ki ∫ xdt
Em termos de função de transferência:
Y(s) = Ki )s(Xs1
donde
(38) sK
)s(X)s(Y)s( i==G
o que mostra que o deslocamento y(t) (a saída) é proporcional à integral do deslocamento x(t) (a entrada):
Modelagem Matemática de Sistemas Hidráulicos 16
Exemplo Ilustrativo Seja o sistema hidráulico mecânico da fig. 15.
Serão adotadas as mesmas o fluido apresenta uma cerexiste passagem entre os p Além disso, a HS6 só valer considerada a força de inémecânico, ou seja, m repres A obtenção do modelo mate Sistema hidráulico Conforme já foi visto, a vaz (36) Por outro lado, a vazão q po
Fig. 15
HS anteriores, com exceção das HS5 e HS7, ou seja, agora
ta compressibilidade istões e os cilindros
á em parte, devendo ser
rcia do pistão hidráulico, cuja massa será acrescentada à massa do sistema enta as duas massas.
mático é feita separadamente para os sistemas hidráulico e mecânico.
ão q é dada, após linearização, por
q = Kpx
de ser considerada como composta de 3 parcelas:
Modelagem Matemática de Sistemas Hidráulicos 17
(39) q = qo + qL + qC onde qo = vazão útil, que move o pistão qL = vazão através da folga entre pistão e cilindro qC = vazão equivalente à compressibilidade Expressões para qo, qL e qC: • Equação da Continuidade aplicada ao pistão hidráulico: (39) qo = A ρ dy/dt • A componente qL pode ser escrita como (40) qL = L ∆p onde L = coeficiente de vazamento do sistema (constante) • Para obter qC, temos que levar em conta o módulo de expansão volumétrica:
VdV
pdKc−
∆=
onde V é o volume de óleo sob compressão (notemos que como dV é negativa, o sinal (-) faz com que KC
seja positivo). Então:
pdKVdVc
∆=−
dtpd
KV
dtdV
c
∆ρ=−ρ
(41) q
dtpd
KVc
c∆ρ=
Levando as eqs. (38), (39), (40) e (41) na eq. (36), obtemos: (42) A xK
dtpd
KVpL
dtdy
pc
=∆ρ+∆+ρ
Sistema mecânico Por outro lado, a equação diferencial do sistema mecânico acionado pelo cilindro hidráulico é obtida aplicando-se a 2a Lei de Newton:
2
2
2
2
y dtyd
mkydtdy
cpAdt
ydmF =−−∆⇒=∑
onde A ∆p é a força desenvolvida pelo pistão hidráulico. Então:
Modelagem Matemática de Sistemas Hidráulicos 18
(43) d
(1=∆ )kydtdy
cdt
ym
Ap 2
2++
Derivando em relação ao tempo:
)dtdy
kdt
ydc
dtyd
m(A1
dtpd
2
2
3
3++=
∆(44) Sistema hidráulico-mecânico Levando as eqs. (43) e (44) na eq. (42):
xK)dtdy
kdt
ydc
dtyd
m(AKV)ky
dtdy
cdt
ydm(
AL
dtdy
A p2
2
3
3
c2
2=++ρ++++ρ
Ordenando, chegamos ao modelo matemático constituído por uma EDOL de 3a ordem:
xKyALk
dtdy
)AK
VkAcLA(
dtyd
)A
LmAK
Vc(dt
ydAK
Vmp
c2
2
c3
3
c=+ρ++ρ++ρ+ρ
(45) Exemplo Ilustrativo Como um terceiro exemplo, consideremos o atuador hidráulico da figura 16:
O atuador hidráulico é capaz de fornecer grandes aumentos de potência. O fluido hidráulico está disponível a partir de uma fonte de pressão constante. Considera-se o líquido incompressível. Um deslocamento x(t), para baixo, move a válvula de controle e faz com que o líquido force o pistão para baixo, levando a carga M a deslocamentos maiores, y(t). A vazão volumétrica Q é função do deslocamento x(t) (excitação) e da diferença de pressão nas faces do pistão, P:
Fig. 16
(46) Q )P,x(g=
Modelagem Matemática de Sistemas Hidráulicos 19
Linearizando a eq. (46) pela série de Taylor:
(47) PPg
xxg
)PP(Pg
)xx(xg P
x,P
x
P,x0
P
x,P0
x
P,x 00000000∂∂
+∂∂
=−∂∂
+−∂∂
=Q
onde (x0,P0) é o ponto de operação. Chamando:
(48) 0x
x xg
∂∂
=K
(49) 0P
P Pg
∂∂
=K
a eq. (47) fica: (50) Q PKxK Px +=
A força de excitação é dada pelo produto da área do pistão, A, pela diferença de pressão P. Logo,
aplicando a 2a Lei de Newton ao pistão: ...yMycAP =−−
Levando o valor de P da eq. (50) na equação acima: ...
xP
yMyc)Qx.K(KA =−−
ou, como , temos, após ordenamento: .yAQ =
(51) xKK.Ay)
KAc(yM
P
x.
P
2..=++
que é o modelo matemático do sistema. Para achar a função de transferência:
)s(XK
AK)s(sY)KAc()s(YMs
P
x
P
22 =++
(52) s)
KAc(Ms
KAK
)s(X)s(Y
P
22
P
x
++=
Notemos que para um atuador em alta pressão e requerendo resposta rápida da carga, o efeito da compressibilidade do fluido deve ser levado em conta. Neste caso, a eq. (52) se tornaria bem mais complexa. EXERCÍCIOS 1 Desenvolver um modelo matemático para o sistema da figura, constituído por um sistema de nível
de líquido com interação entre os dois reservatórios:
Modelagem Matemática de Sistemas Hidráulicos 20
Resp.: 1
2
1
111 R
hqRh
dtdhC +=+
1
12
21
22 R
hh)R1
R1(
dtdhC =++
2 Desenhar o circuito elétrico análogo ao sistema de nível de líquido do Exercício 1. 3 No sistema de nível de líquido da figura, o nível H inicialmente é igual a 1 m. No instante t = 0, é
aberto o registro de enchimento e é atingida uma vazão constante de 0,05 m3/s. A capacitância do tanque é de 2 m2. Admitindo que a vazão de saída Q e a carga H estão relacionadas pela expressão H02,0Q = , para H em m e Q em m3/s, calcular o tempo necessário para que o líquido atinja o nível de 2,5 m.
Resp.: 116,23 s 4 A fig. (a) mostra um sistema hidráulico em que uma bomba envia um líquido de massa específica ρ
para o interior de um reservatório de seção reta A. As características da bomba estão mostradas na fig. (b), onde α e β são, respectivamente, a vazão máxima e a diferença de pressão máxima. A
Modelagem Matemática de Sistemas Hidráulicos 21
válvula encontra-se inicialmente fechada e, no instante t = 0, é aberta. Desprezando a resistência da válvula, pedem-se: (a) verificar que a altura h(t) do líquido dentro do reservatório, após a abertura da válvula, é
dada pela EDOL A
hAg. α=
βαρ
+h ;
(b) expressões para a constante de tempo e a altura h em regime permanente; (c) resolver a EDOL, obtendo uma expressão para h(t).
Resp.: (b) g
Aαρβ=τ (c) )e1(
g)t(
tτ
−−
ρβ=h
5 Considerando o deslocamento do pistão x como entrada e o deslocamento do cilindro y como saída,
achar a função de transferência do sistema hidráulico da figura, onde q é a vazão mássica em kg/s do fluido de massa específica ρ constante e A é a área do pistão. Desprezar a força de inércia.
Resp.:
ρ+
=
2RAks
s)s(X)s(Y