Modelarea Modelarea ii evaluareaevaluarea performanperformanelorelorn n sistemelsistemelee de calculde calcul

Curs, anul I Master Calculatoare

Modelare dinamic cu reele Petri

Captura caracteristicilor dinamice ale sistemelor discrete prin modele cu RPn Elemente constitutive (structurale) ale RPn Dinamica sistemelor cu RPTipuri simple de RP. Exemple

RP ordinare

Sumar

n RP ordinare n RP generalizateAlte proprieti i clasificri derivateMetode de analiz si sinteza (modelare) folosind RPordinare si generalizateExtensii ale modelelor de baza cu RP: n RP temporizaten RP stochasticen RP de nivel inalt

Caracteristici dinamice in sistemele cu evenimente discrete

SED sunt inerent dinamice si paralele, pot fi caracterizate prin 3 trsturi eseniale de comportament,superpozabile:

n Concurena: posibilitatea ca mai multe evenimente s aib loc de o manier independent unul fa de altul

Sincronizarea: se refer la necesitatea ca execuia n Sincronizarea: se refer la necesitatea ca execuia anumitor evenimente s atepte producerea altor evenimente

n Conflictele (interblocajele): o manier de a ine cont de competiia ntre aciuni multiple simultane sau de anumite fenomene, precum excluderea mutual

ReeleReelelele PetriPetri

Utilizeaz stri distribuite i tranziii localeAu permis iniial modelarea unor sisteme cu componente concurente n interaciune, fiind extinse ca instrumente matematice generale ulteriorModelarea dinamic necesita astfel de descrieri de tip Modelarea dinamic necesita astfel de descrieri de tip calitativ (logic) care s poat servi ca baz pentru analiza i sinteza SDED Accentul este pus pe modelarea dependenelor cauzale, fr sincronizare global (doar transmitere de mesaje)Pe lng anumite proprieti analitice, caracterul vizual al RP poate fi un element important n modelare

Elemente constitutive structurale(Logic)n Condiii

Pot fi ndeplinite sau nu.n Evenimente

Pot avea loc daca anumite condiii sunt ndeplinite.Relaii (flux de control) n Relaii (flux de control) Arata relaiile intre condiii si evenimente.

Condiiile, evenimentele si relaiile formeaz un graf bipartit (graf cu doua tipuri de noduri)

(Grafic)n Locaii (cercuri)n Tranziii (dreptunghiuri)n Arce, ce conecteaz locaiile cu tranziii sau tranziiile

cu locaii

Concept dinamic cheie: Tranziia strilor

Logic, reprezint apariia unui eveniment/ o aciuneGrafic, este micarea unor jetoane (token-uri), notate ca puncte negre, din locaie n locaie, prin aprinderea tranziiilor Aceasta din urma depinde de condiiile de intrare simbolizate de disponibilitatea jetoanelorsimbolizate de disponibilitatea jetoanelorSpunem ca o tranziie este validata daca exista un numr suficient de jetoane in locaiile sale de intrareO tranziie validata se poate aprinde oricndDup aprindere, token-urile vor fi transferate de la locaiile de intrare (stare veche) ctre cele de ieire, fiind astfel un element de identificare si in acelai timp o notaie pentru noua stare

Arce si capacitiArcele au implicit capacitatea 1; daca este diferita de 1, capacitatea este marcata pe arc Locaiile au implicit capacitate infinitaO tranziie este validata daca numrul de jetoane in fiecare din

Locaie cu token

numrul de jetoane in fiecare din locaiile sale de intrare este cel puin egal cu capacitatea arcului ce o unete cu o locaie de intrare

P1

P2

T1

Arc de capacitate 1

TranziieLocaie

Exemplul 1Automat de distribuie (vnzare): n Distribuie dou tipuri de batoane, de 20 de

bani si de 15 banin Doar dou tipuri de monede pot fi folosite, de n Doar dou tipuri de monede pot fi folosite, de

10 bani si de 5bn Nu returneaz rest

Reprezentare prin DTS, ca automat cu stri finite (FSM)

5 bani 15 baniDepunere 10b

Ia baton de 15b

0 bani

10 bani 20 baniDepunere 10b

Ia baton de 20b

Reprezentare prin RP

5b

Ia baton de 15b

Depunere 5b

Depunere 10b15b

0b

Depunere 10b

Depunere5b

10b

Depunere5b

Depunere 10b20b

Depunere5b

Ia baton de 20b

Scenarii de evolutie

Scenariul 1: n Depunere 5b, depunere 5b, depunere 5b, depunere

5b, ia baton de 20b.Scenariul 2:n Depunere 10b, depunere 5b, ia baton de 15b.n Depunere 10b, depunere 5b, ia baton de 15b.

Scenariul 3:n Depunere 5b, depunere 10b, depunere 5b, ia baton

de 20b.

Dinamica sistemului

5b

Ia baton de 15b

Depunere 5b

Depunere 10b15b

0b

Depunere 10b

Depunere5b

10b

Depunere5b

Depunere 10b20b

Depunere5b

Ia baton de 20b

Tipuri de reele PetriTipuri de reele Petri (crit. structural)RP ordinare, n care fiecare arc nu poate avea dect capacitatea (funcia de ponderare) egala cu 1n Mainile de stare (MS) RP unde orice tranziie are exact

o locaie de intrare i o locaie de ieire:n Grafurile de evenimente (grafurile marcate, GM) - RP n

Tttt "== ,1||||n Grafurile de evenimente (grafurile marcate, GM) - RP n

care orice locaie are exact o tranziie de intrare i o tranziie de ieire:

n Reelele cu alegere liber (AL) RP n care, dac o locaie are mai multe tranziii de ieire, ea constituie singura lor locaie de intrare:

n Reelele cu alegere liber extinse (ALE) RP n care, dac doua locaii au o tranziie comuna de ieire, vor avea toate tranziiile de ieire comune

Pppp "== ,1||||

1|)(|1||, =>" ppPp

Tipuri Tipuri simple simple de reele Petride reele Petri (cont.)n Reelele cu alegere asimetric (AA) RP n care, dac dou

locaii au o tranziie comuna de ieire, atunci una din ele are toate tranziiile de ieire ale celeilalte (posibil altele in plus)

RP

PN

RP

AA ALE AL MS GM

RP generalizate, unde pot fi aplicate ponderi generale arcelor

Reele Petri clasice (C/E)Sunt cele folosite n introducerea RP: o subclas de reele Petri in care locaiile pot avea 1/0 simboluri, ce pot modela attcondiii ct i evenimente:

locaiile reprezint condiii, ce pot avea inscrise valori true/ falsen locaiile reprezint condiii, ce pot avea inscrise valori true/ falsen tranziiile reprezint evenimente locale

Un eveniment este validat d.d. n toate pre-condiiile sale (conectate prin arce incidente) sunt true n toate post-condiiile sale sunt false

Apariia unui eveniment neag pre- i post-condiiile sale

Reele C/E (cont.)Evenimentele cu aceleai pre- sau post-condiii sunt in conflict Doar evenimentele non-conflictuale validate pot aprea concurentTerminologie:

Marcajul reelei = distribuia token-urilorn Marcajul reelei = distribuia token-urilorn Sistem C/E= reea C/E + marcajn Configuraii: marcaje posibile ale unei reele C/En Cazuri ale unui sistem C/E: configuraii accesibile din

marcajul iniial ( case graph)

Automatele sunt o subclas secveniala a sistemelor C/Eexact o condiie este adevrata,

fiecare eveniment are o singura pre- si post-condiie

Descrieri formaleGrafice (grafuri bipartite)/ matematice: au semanticformal i posibiliti de analizn Caracteristici importante: stri distribuite i tranziii locale

Sistemice: RP = P = {l0, l1, , lm} setul poziiilor (locaiilor)P = {l0, l1, , lm} setul poziiilor (locaiilor)T = {t0, t1, , tn} setul tranziiilorPre : T L+, funcia de intrare, ce definete locaiile care

furnizeaz intrri unei tranziiiPost : T L+, funcia de ieire, definete locaiile de ieire

pentru fiecare tranziieM : L {0,1}, funcia de marcaj, definete numrul de

simboluri din fiecare locaie

Condiii i resurseReelele de tip C/E modeleaz fluxurile de informaii, la nivel fundamental (true/false)

Aplicaii: cele in care fluxul de resurse si/sau numarul de resurse disponibile este important (document workflow, data flow, linii de fabricaie, reele de comunicaie, www)data flow, linii de fabricaie, reele de comunicaie, www)

2

3

Reelele de tip P/T reprezint o generalizare (extensie) imediata:n Elementele de stare sunt echivalente locaiilor

unde sunt stocate resurse (jetoanele)n Elementele de aciune sunt reprezentate de

tranziiile locale sau transportul resurselorn Poate fi aplicata o descriere matematic

similar cu cea a RP C/E

Sunt reprezentri de forma (P, T, A, C, w, M0), formate dintr-o parte structural i o parte dinamicPartea structural este un graf orientat bipartit unde:n P este o mulime finit de poziii (locaii)n T este un set finit de tranziii

Reele P/TReele P/T marcatemarcate

n T este un set finit de tranziiin A este o mulime de arce, o submulime a mulimii (PT)(TP) n C: P (N {}) \{0} este o funcie de capacitate a poziiilor

(capacitatea unei poziii se consider implicit nelimitat)n w este o funcie de ponderare aplicat arcelor, w:A{1,2,3 ...}

(ponderea unui arc se consider implicit unitar)

Prin M0: P N notm funcia numit marcaj iniialPartea dinamic a reelei PT const n evidenierea modalitilor (legilor) de evoluie a marcajului iniial

Starea Starea i evoluia reelelor PTi evoluia reelelor PTStarea unei reele PT date (definit structural) e complet descris de marcajul su M=[M(p1), M(p2),,M(pn)]Spaiul strilor unei RPT marcate este complet definit de marcaje, adic de toi vectorii n-dimensionali ale cror elemente sunt pozitive, M={0, 1, 2, }nO tranziie tjT ntr-o RPT marcat este validat dac:O tranziie tjT ntr-o RPT marcat este validat dac:n M(pi) w(pi, tj), pentru orice piI(tj);n M(pk) C(pi)-w(tj, pk), pentru orice pkO(tj)- I(tj);n M(p) C(p)-w(tj, p) + w(p, tj), pentru orice pO(tj) I(tj),

unde I(ti) este mulimea locaiilor de intrare n tranziia tiiar O(ti) mulimea locaiilor de ieire din tranziia ti

Aprinderea unei tranziii este echivalent cu:n M(pi) = M(pi) - w(pi, tj), pentru orice piI(tj) - O(tj)n M(pk) = M(pk) + w(tj, pk), pentru orice pkO(tj) - I(tj)n M(p) = M(p) - w(p, tj) + w(tj, p), pentru orice pO(tj)I(tj)

Exemplul 2: Evoluia reelelor P/T

p1 t1 p2

2

2 2

n figura din stnga-sus, tranziia nu este validat i deci nu se poate produce n a doua variant de marcaj tranziia este validat n dreapta apare noul marcaj dup producerea tranziiei

p1 t1 p2

2

p1 t1 p2

2

Exemplul 3: Cazuri, configuraia iniial

p1

p2

p

p4 t2

M0 = [2, 0, 0, 1]

n configuraia iniial singura tranziie valid este t1. Cnd tranziia t1 se aprinde este eliminat un jeton din locaia p1 i se plaseaz cte un jeton n locaiile p2 i p3 (se poate aplica de asemenea formula pentru a se obine noua stare)

p3 t1

t3

Exemplul 3: Cazuri, pasul 1

p1

p2

p4t2

M1 = [1, 1, 1, 1]

n aceast stare toate cele trei tranziii sunt valideDac se aprinde tranziia t2, e eliminat un jeton din locaiile de intrare p2 i p3 i plasat n locaiile de ieire p2 i p4

p3t1

t3

Exemplul 3: pasul 2

p1

p2

p4 t2

M2= [1, 1, 0, 2]

S-a eliminat un jeton din locaiile de intrare p2 i p3 i s-a plasat un jeton n locaiile de ieire p2 i p4Dac ns n starea precedent s-ar aprinde tranziia t3, atunci s-ar obine starea descrisa pe urmtorul slide

p3 t1

t3

Exemplul 3: pasul 3

p1

p2

p4 t2

M2 = [0, 1, 0, 0]

n aceast stare nu mai este activat nici o tranziie i nu sunt posibile schimbri de stare

p3 t1

t3

Metode de analiz a RP ordinareAnaliza dinamic (analiza accesibilitii) are ca scop determinarea mulimii strilor (accesibile)n Utilizeaz reguli algebrice ce descriu validarea i aprinderea

tranziiilor n Acestea conduc la reprezentarea evoluiei dinamice a RP

prin formarea unor ecuaii prin formarea unor ecuaii Analiza structural are ca idee de baz eliminarea derivrii spaiului strilor i prin aceasta evitarea problemei exploziei strilor. n Aceast abordare nu poate furniza o informaie la fel de

bogat ca priman De multe ori o asemenea detaliere nici nu este necesar, ci

sunt dorite doar anumite caracteristici calitative ale RP i sistemului modelat (de ex. determinarea invarianilor)

Ecuaiile de accesibilitateDefinim al k-lea vector de evoluie uk, un vector m-dim.de forma: uk = [0, 0, .., 0, 1, 0, , 0], unde 1 apare n poziia j si arata c tranziia j este a k-a tranziie aprinsTrebuie definit i matricea de inciden I, matrice mxn, unde m este numrul de tranziii, n numrul de locaii, iar intrarea (i, j) este de forma: iar intrarea (i, j) este de forma: n Iij = w(pi, tj) - w(tj, pi)

Folosind matricea de inciden putem scrie o ecuaie de stare vectorial Mk = Mk-1+ukI, valabil pentru orice kN, si deduce o condiie necesar de accesibilitate a unui marcaj:

, ce se poate scrie si ca:

unde:

IuMMd

k

kd )(

10

=

+= MxI D=

=

=d

k

kux1

Exemplul 3 (cont.)Se vor folosi ecuaiile anterioare pentru exemplul 3Marcajul iniial este M = [2, 0, 0, 1]. Matricea de inciden pentru aceast reea Petri este:

- 0111

Dac se aprinde tranziia t1 dup marcajul iniial M0:

M1 = [2 0 0 1] + [1 0 0] = [2 0 0 1]+[-1 1 1 0]= [1 1 1 1]

----

-=

110111000111

I

----

-

110111000111

Exemplul 3 (cont.)n cazul n care n continuare se aprinde tranziia t2 vom obine:

M2 = [1 1 1 1] + [0 1 0] = [1 1 1 1] +

----

-

110111000111

+[0 0 -1 1] = [1 1 0 2]

Avnd marcajul iniial M0 se pot genera toate secvenele de marcaje Acordnd marcajelor semnificaia de stare, se observ similaritatea cu o ecuaie de stare din teoria sistemelor

--- 1101

Exemplul 4: Calculul algebric (1)p1

p2p3

t2p4t3

p5

t6t1

p8

p5 p6 p7t4 t5

Exemplul 4 (2)p1

p2 p3

t6t1

p8

t2 p4t3

7654321

001010100000010000001000100000000100000010000001

Pre

pppppppp

=

p5p5 p6 p7t4 t5

654321

87

001010tttttt

p

654321

87654321

010100010000001000000001000100000010000001100000

Post

tttttt

pppppppp

=Matricea de inciden

---

--

--

--

==

011110110000011000001001100100000110000011100001

Pre-PostI

Exemplul 4 (3)p1p2 p3

p5

t6t1 p8

t2 p4

p5

p

p7

t3

t t

=

=000014

)()5()4()3()2()1(

pMpMpMpMpMpM

M

=

000104

Mp6t4 t5

110

)8()7()6(

pMpMpM

p5 p7

p1p2 p3

p5

t6t1 p8

t2 p4

p6

t3

t4 t5

010

t2 este validata si se declanseaza

),(),(Post),(Pre'

tCMttMM

+=+-=

Modelarea conceptelor dinamice in RP (1)(C/E si PT)

A B

concuren

A B A B

concuren sincronizare comunicare

A B

conflict/alegere

A B

resurse/multiplicitate

A B

date/individualitate

Modelarea conceptelor dinamice in RP (2)

(a) secveniere; (b) ramificaie; (c) sincronizare;(d) conflict la resurse; (e) concuren

Concluzii (modelare cu reele Petri elem.)

Se poate utiliza pentru a testa i valida anumite proprieti utile ale sistemelorn Sigurana: este garantat prin faptul c numrul de

simboluri nu crete nedefinitFuncionalitatea: este garantat prin lipsa blocajelor n Funcionalitatea: este garantat prin lipsa blocajelor va exista ntotdeauna cel puin o tranziie care poate fi declanat

Avantaj: modelarea sistemelor concurenteDezavantaj: nu este util pentru sisteme complexe

Alte proprieti i clasificri derivate Autonomie. O reea Petri se numete autonom dac nici timpul i nici alt constrngere de sincronizare extern nu sunt implicate n modeln O RP autonom se pstreaz ca o descriere pur calitativ a

sistemului observatn Reeaua din exemplul 3, anterior, este autonomn Reeaua din exemplul 3, anterior, este autonom

Simplitate. O RP se numete simpl dac elementele ei distincte (locaii sau tranziii) nu pot avea mulimi de intrare sau ieire similaren Reeaua din exemplul anterior este simpl

Puritate. O RP se numete pur dac nu conine cicluri n Reeaua din exemplul 3 nu e pur, deoarece exist ciclul (p2,t2)

Alte proprieti i clasificri (2)Mrginire (limitare). O RP se numete (n) mrginit dac numrul de jetoane din fiecare locaie poate atinge cel mult valoarea n n Reeaua din exemplul anterior este mrginit

Siguran. O RP se numete sigur dac marcajul fiecrei locaii poate fi doar 0 sau 1 (marcaj boolean), iar arcele au pondere unitarlocaii poate fi doar 0 sau 1 (marcaj boolean), iar arcele au pondere unitarViabilitate. O RP se numete viabil dac, indiferent de marcajul iniial i de evoluia sa, nici o tranziie nu poate deveni inactiv de o manier permanent. n Reeaua din exemplul anterior eueaz ntr-o stare terminal i

deci nu este viabilInvariani. O RP poate prezenta o serie de caracteristici invariante n timpul evoluiei sale dinamice, n principal referitoare la marcajele sau strile sale

Alte proprieti i clasificri (3)Conservativitate. O RP se numete conservativ dac numrul total de jetoane este constant (un invariant al reelei)n Reeaua din exemplul anterior nu este conservativ

Sub-conservativitate. O RP se numete sub-conservativ dac numrul total de jetoane este Sub-conservativitate. O RP se numete sub-conservativ dac numrul total de jetoane este constant sau n descretere pe parcursul evoluiei (dinamicii) salen Reeaua din exemplul anterior nu este sub-conservativ

Reversibilitate. O RP se numete reversibil dac din fiecare marcaj accesibil se poate ajunge din nou la marcajul iniialn Reeaua din exemplul anterior nu este reversibil

RP generalizateRP cu arce multiple (sau capacitate a arcelor > 2)n Numrul de arce intre o locaie de intrare si o tranziie

determina numrul de jetoane necesare in prima, pentru a o valida pe cea de-a doua

n Numrul de arce determin i numrul de jetoane ce n Numrul de arce determin i numrul de jetoane ce se consuma/ se produc

wait enter before make_picture after leave gone

free

Extensii ale modelului de baza:RP temporizate

Timpul nu este prins in modelul RP de bazaModalitile de extensie temporizata a lor au in vedere introducerea ntrzierilor deterministe att pentru locaii, cat si pentru tranziiiPot fi derivate concepte noi, de ex. timpul de ciclare (t): pp. reeaua consistenta, t este timpul completrii unei pp. reeaua consistenta, t este timpul completrii unei secvene de declanri ce reface marcajul initial:n ntrzieri pentru locatiiw tmin=max{ykTD (A+) Tx/ykTM0}

n ntrzieri pentru tranzitiiw tmin=max{ykT(A-) TDx/ykTM0}

n Rezulta pentru o RP temporizata simpla (GM)w tmin = max{total delay in Ck/M0 (Ck)}

RP stochasticeAsemntoare RP temporizate, diferena e in intarzierile introduse, care sunt nedeterministe n De ex., putem avea ntrzieri de tranzitare modelate ca v.a.

distribuite exponenialApar proprieti noi: n graful de accesibilitate al unei RP stochastice mrginite este n graful de accesibilitate al unei RP stochastice mrginite este

izomorf cu un lan Markov finitn O RP stochastica reversibila genereaz un lan Markov ergodic, in

care distribuiile de probabilitate in starea stabila dau estimatorii de performanta:w Probabilitatea unei condiii particularew Valoarea ateptata a numrului de simboluri (jetoane)w Numrul mediu de declanri in unitatea de timp

RP stochastice generalizate adaug tranziii imediate pentru a reduce spaiul strilor

RP de nivel inaltIncludem in aceasta categorie:n RP cu predicate/tranziiin RP coloraten RP cu simboluri individualizate

Orice RPNI poate fi translatat intr-o reea ordinara:Orice RPNI poate fi translatat intr-o reea ordinara:n Fiecare locaie se translateaz intr-un set de locaii,

de ex. cate una pentru fiecare culoare a jetoanelor coninute

n Fiecare tranziie se translateaz intr-un set de tranziii, cate una pentru fiecare modalitate de declanare

RPNI: exemple

a,ad,d

2xa

d

2

2

e+

e

Invarianti numerici

In toate cazurile

A#A < n

n

A|A| - #A < nn

A B (|A| - #A < n) n m

pot fi aplicate metode logice pentru retele P/T, folosindinegalitati asupra numarului de resurse ca propozitii elementare

tehnicile numerice specifice pot fi insa mai eficiente

Evenimente moarte (nevalidabile) Invarianti sistem (fapte)

(|A| - #A < n) and (|B| - #B < n)

A

B (#A < n)or (|B| - #B < n)

n

m

Invariani, tehnici numerice

+-

=altfel,0

la la de arce exista daca, la la de arce exista daca,

:, ptnntpnn

C tp

pnnm p locatiain jetoane exista daca ,:=

Matricea de incidenta C a unei retele P/T pure (fara cicluri):

Vectorul marcajelor m al unei retele P/T: t

pn

Contributialui t la ppnnm p locatiain jetoane exista daca ,:=

ori de adeclanseaz se tranzitiadaca ,: ntnf t =Vectorul de aprindere f al unui multi-set de tranzitii (fara reprezentarea ordinii!):

Vectorul pondere i al unor locatii: set de locatii cu suma jetoanelor constanta

''**)'(:', mimimimimmmm tpp

ppp

pt ===" a

Conditia necesara, nu si suficienta de accesibilitate:

00)'(' ==-= Cimmimimi tttt

lui t la p

'mfCm t =+

Propoziii si predicate

17 x+y=z

P

a Scheme cu conditiibPa Pb

1 7

Retele predicate/tranzitii: jetoanele individuale sunt extensii de predicate si inlocuiesc conditii propozitionale cuantificatori si specificatori intr-o logica a predicatelor permit grupari de evenimente la nivel propozitional in scheme cu evenimente la nivel de predicate

P

Q

R

7

2

x

y

z

x+y=z

Scheme cu evenimente

P

QR

7

2

1

2

27

3

9

Aplicabilitatea RP ord. i de NI n analiza performanelor sistemelor

Are n vedere 3 direcii principale:n Demonstrarea fezabilitii unui concept,

metode, tehnici sau algoritmCompararea a mai multe metode, tehnici n Compararea a mai multe metode, tehnici sau algoritmi

n nelegerea impactului diferiilor factori i parametri din sistemul modelat asupra performanelor cantitative, scalabiliti sau robusteii sistemului

Analiza performanelor (rev.)

n studiile de performan se evideniaz trei mari metode:n Abordri analiticew Folosesc modele matematice elementare/abstracte, w Folosesc modele matematice elementare/abstracte,

lanuri Markov, teoria ateptrii, reele Petri, etcn Simulriw Proiectarea i execuia experimentelor de simulare i modelelor simplificatoare de performan

n Abordri experimentalew Folosesc msurri asupra sistemelor reale

Analiza cu RP

Urmrete s determine:n Proprietile comportamentale (contextuale)

ale modelului cu reele Petrin Graful de cazuri (arborele de acoperire)n Graful de cazuri (arborele de acoperire)n Evoluia algebric a RP (matrici de inciden)n Evoluia ecuaiilor de stare

Proprieti comportamentale (1)Sunt acele proprieti care depind de marcajul

iniial M0 al RPAccesibilitatea n Se refer la posibilitatea de atingere a unei stri,

codificate de un marcaj al reelei, dintr-o alt starecodificate de un marcaj al reelei, dintr-o alt staren Marcajul Mn e accesibil din M0 dac exist o secven

de tranziii ce transform M0 n Mnn Accesibilitatea este decidabil, dar exponenial

Mrginire (limitare)n O RP e (n)mrginit dac numrul de jetoane din fiecare locaie

nu depete valoarea n pentru orice marcaj ce deriv din M0n O RP este sigur dac este 1-mrginit

Proprieti comportamentale(2)Viabilitatean O RP se numete viabil dac, indiferent de marcajul

atins, este posibil declanarea unei tranziiin Este echivalent cu lipsa blocajelor to deadlock-freen strong property, different levels of liveness are

defined (L0=dead, L1, L2, L3 and L4=live)defined (L0=dead, L1, L2, L3 and L4=live)Reversibilitaten O RP este reversibil dac pentru orice marcaj M

accesibil din M0, M0 este acesibil din Mn Condiia relaxat: marcajul M s.n. stabil (home state)

dac pentru orice marcaj M accesibil din M0, M este acesibil din M

Behavioral properties (3)Coverabilityn a marking is coverable if exists M reachable from

M0 s.t. M(p)>=M(p) for all places pPersistencePersistencen a PN is persistent if, for any two enabled

transitions, the firing of one of them will not disable the other

n then, once a transition is enabled, it remains enabled until its fired

n all marked graphs are persistentn a safe persistent PN can be transformed into a

marked graph

Behavioral properties (4)Synchronic distancen maximum difference of times two transitions are

fired for any firing sequence)()(max 2112 ttd sss -=

n well defined metric for condition/event nets and marked graphs

Fairnessn bounded-fairness: the number of times one

transition can fire while the other is not firing is bounded

n unconditional(global)-fairness: every transition appears infinitely often in a firing sequence

2112 s

Analysis methods (1)Coverability treen tree representation of all possible markingsw root = M0w nodes = markings reachable from M0w arcs = transition firings

n if net is unbounded, then tree is kept finite by introducing the symbol w

n Propertiesw a PN is bounded iff w doesnt appear in any nodew a PN is safe iff only 0s and 1s appear in nodesw a transition is dead iff it doesnt appear in any arcw if M is reachable form M0, then exists a node M that

covers M

Coverability tree example

t3p1

M0=(100)

p2

t2

t1

p3

t0

Coverability tree example

t3p1

M0=(100)

M1=(001)

t1

p2

t2

t1

p3

t0

M1=(001)dead end

Coverability tree example

t3p1

M0=(100)

M1=(001)

t1 t3

M3=(1w0)

p2

t2

t1

p3

t0

M1=(001)dead end

M3=(1w0)

Coverability tree example

t3p1

M0=(100)

M1=(001)

t1 t3

M3=(1w0)

p2

t2

t1

p3

t0

M1=(001)dead end

M3=(1w0)

t1

M4=(0w1)

Coverability tree example

t3p1

M0=(100)

M1=(001)

t1 t3

M3=(1w0)

p2

t2

t1

p3

t0

M1=(001)dead end

M3=(1w0)

t1

M4=(0w1)

t3

M3=(1w0)old

Coverability tree example

t3p1

M0=(100)

M1=(001)

t1 t3

M3=(1w0)

p2

t2

t1

p3

t0

M1=(001)dead end

M3=(1w0)

t1

M4=(0w1)

t3

M6=(1w0)old

t2

M5=(0w1)old

Coverability tree example

100M0=(100)

M1=(001)

t1 t3

M3=(1w0)t1 t3

1w0001M1=(001)dead end

M3=(1w0)

t1

M4=(0w1)

t3

M6=(1w0)old

t2

M5=(0w1)old

t1

1w0001

0w1

t3

t2

coverability graph coverability tree

Analysis methods (2)Incidence matrixn n transitions, m places, A is n x mn aij = aij+ - aij-

a is the number of tokens changed in n aij is the number of tokens changed in place j when transition i fires once

State equationn Mk = Mk-1 + ATukn uk=ei unit vector indicating transition i fires

Necessary reachability condition

Md reachable from M0, thenMd = M0 + AT (u1+u2+...+ud)AT x = DM

then then DM range(AT)DM ^ null(A)Bf DM = 0

where the rows of Bf span null(A)

Analysis methods (3)Reduction rules that preserve liveness, safeness and boundednessn Fusion of Series Places

Fusion of Series Transitionsn Fusion of Series Transitionsn Fusion of Parallel Placesn Fusion of Parallel Transitionsn Elimination of Self-loop Placesn Elimination of Self-loop Transitions

Help to cope with the complexity problem