Modelarea Modelarea sisi evaluareaevaluarea performantelorperformantelorin in sistemelsistemelee de calculde calcul

Curs, anul I Master Calculatoare

Prof.dr.ing. Mihai MocanuE-mail: mocanu@software.ucv.roOre curs: Joi 16:00-18:00Ore consultatie: Joi 12:00-14:00Pagina curs: http://software.ucv.ro/~mocanu_mihai/(pe intrarea corespunzătoare cursului, introduceţi user/pasw)

ObiectiveÎnţelegerea principiilor teoretice de bază ale evaluării performanţelor sistemelor de calcul Introducerea tehnicilor analitice de modelare şi analiza performanţelor pentru sisteme discrete complexeStudiul modelelor si incadrarea lor in clase de modeleIdentificarea posibilităţilor şi limitărilor modelelor Identificarea posibilităţilor şi limitărilor modelelor matematice, extinderea lor prin simulareUtilizarea unor pachete şi biblioteci de programe specializate pentru modelare şi simulareDezvoltarea competentelor practice pentru construirea unor modele analitice specifice unui sistem Dezvoltarea abilităţilor practice de concepere si utilizare a instrumentelor de simulare

Referințe bibliograficeBanks J., Carson J.S., Nelson A., Nicol D., Discrete-Event System Simulation, 3rd Ed., Prentice-Hall, 2000Cassandras C.G., Discrete Event Systems: Modeling and Performance Analysis, Irwin & Aksen, Boston, 1993Lazowska E.D., Zahorjan J., Scott-Graham G., Sevcik K. Lazowska E.D., Zahorjan J., Scott-Graham G., Sevcik K. C.: Quantitative System Performance - Computer System Analysis Using Queueing Network Models, 1984Sadiku M., Ilyas M.: Simulation of Local Area Networks, CRC Press, 1995Mocanu M., Principii, concepte şi instrumente de modelare şi simulare in studiul sistemelor dinamice discrete, Ed. Sitech, 2004

Structura cursului (1)Sisteme discrete (SED, SDED)n Tipuri de modele

Fundamente matematice ale modelarii n Elemente de probabilităţi n Statistică matematică

Modelarea analitică a sistemelor discreteModelarea analitică a sistemelor discreten Categorii de modele şi nivele de studiun Modele algebrice şi logicen Modele dinamice şi temporale: : reţele Petri, reţele Petri

temporizateModelarea operaţională a sistemelor discreten Lanţuri şi procese Markov şi semi-Markov generalizate n Formalismul GSMP ca bază a modelelor de simularen Sisteme cu cozi de aşteptare şi reţele de cozi

Structura cursului (2)Modele de performanţăn Date şi încărcări (Workloads) n Benchmark-uri (metrici şi procese) n Proiectarea experimentelor de simulare n Analiza cozilor

Reprezentări vizuale de daten Tipuri de grafuri

Modele de simulare pentru SEDn Construcţia şi verificarea modelului de simularen Execuţia secvenţiala şi analiza simulărilor (ieşirilor)n Validarea simulărilor. Estimatori şi inferenţa statistica

Limbaje şi medii de simularen Limbaje de simularen Construcţia unui simulator. Biblioteci de componente

Structura cursului (3)Aplicaţii ale modelarii şi simulării pentru:n Sisteme cu cozi de aşteptare şi reţele de cozin Sisteme de calcul şi reţele de calculatoare n Sisteme şi reţele de comunicaţii

Accelerarea execuţiei simulărilorn Simularea paralelă si distribuităn Simularea paralelă si distribuităn Analiza perturbaţiilor

…

Modelele pentru SED – Sisteme cu evenimente discreteExemple:

Baza teoretică de studiu:

Exemple:liniile de fabricaţie/de asamblare reţelele de calculatoare şi de comunicaţiisistemele de dirijare a traficului aerianprocesele de business (supermarket) etc.

Locul SED în clasificarea sistemelorSISTEME

STATICE DINAMICE

VARIANTE INTIMP

INVARIANTEIN TIMP

LINIARE NELINIARE

CU STARICONTINUE

CU STARIDISCRETE

CONDUSE DETIMP

CONDUSE DEEVENIMENTE

DETERMINISTE STOCHASTICE

Sisteme dinamice cu evenimente discrete

Elemente distinctive ale SEDSisteme artificiale - create de noile tehnologiiSisteme dinamice - prin natura evoluţiei interne Starea lor se schimba la momente discrete de timp şi nu continuu ca în cazul sistemelor fizice timp şi nu continuu ca în cazul sistemelor fizice Evoluţia în timp - depinde de interacţiunea complexa a momentelor de apariţie a diferitelor tipuri de evenimenteNu pot fi descrise prin ecuaţii diferenţiale, cu derivate parţiale sau cu diferenţe finite

DefiniţiiSED sunt sisteme dinamice al căror spaţiu destări este discret şi ale căror traiectorii de staresunt constante pe porţiuniMomentele de timp la care tranziţiile survin, ca şiMomentele de timp la care tranziţiile survin, ca şitranziţiile în sine sunt în general impredictibileTranziţiile de stare se numesc evenimenteAcestea dirijează mecanismul tranziţiilor de stareSED se deosebesc profund de sistemele cueşantionare, obţinute prin discretizarea timpului

• discrete - privind timpul de referinţa şi spaţiul stărilor

• natura lor discontinuă nu împiedica analiza prin aproximare continua (ex. prin modele de difuzie)

•

SDED - proprietăţi

• asincrone - raportate la evenimente, nu la timp• nedeterministe - generative şi capabile de alegeri

interne • deşi perturbări neplanificate, defectări şi căderi

sunt inerente, modelarea determinista este posibila (prin algebra min-max sau reţelele Petri)

• gradul de complexitate şi dimensiunile lor sunt mari:Ønumărul de stări ale unui SDED “explodează”

combinatorialØenumerarea stărilor duce la sarcini computaţionale

inadecvate

SDED – proprietăţi (cont.)

inadecvate• sunt modulare - compuse din componente cvasi-

independente⇒ pot fi aplicate metode de decompoziţie şi agregare⇒ pot fi echipate cu mijloace de control şi comunicare

Modelarea analitica Simularea

Metodologii de studiu:

DE CE recurgem la modele?Este necesar ca orice experiment să aibă “o bază”Studiul sistemului real prezintă avantajul “exactităţii” obiectului de studiu“exactităţii” obiectului de studiun dar uneori realitatea nu este construită

(absenţa sistemului real)n alteori realitatea nu este disponibilă

(lipsa accesului la sistemul real)

Studiul modelelorDe obicei uşor, rapid, ieftin, sigur – faţă de studiul sistemului realPermite încercarea unor idei şi ipotezeSimpla construcţie a unui model este instructivă– indiferent de utilizarea sa– indiferent de utilizarea saValiditatea unui model are in vedere:n similaritatea cu sistemul realn nivelul de detaliu

Numai ea poate garanta concluzii corecte prin studiul modelului in locul sistemului real

Definiţii: modelare şi modelUn proces de modelare este o etapa preliminara necesara in studiul oricărui sistem, pentru:n calcul analiticn simulare

Un model:Un model:n este o reprezentare abstracta a unui sistemn nu doar o reprezentare a unui sistem - ci şi o

simplificare a san totuşi suficient de detaliata, ca sa permită, prin

studiul sau, concluzii valide asupra sistemului

Modelarea in studiul sistemelor

Tipuri de modeleModele fizice (iconice)n Planuri, scheme, schiţe – necesare in multe domeniin De tip manechin (phantom) – in medicinan De tip “virtual reality” sau “augmented reality” – in

domenii de înalta tehnologie (simulatoare de zbor)domenii de înalta tehnologie (simulatoare de zbor)

Modele matematice (logice)n Aproximează modul de operare al unui sistemn Deseori reprezentate printr-un software adecvatn Execuţia programului permite încercări, obţinerea de

rezultate, studiul comportamentului modelului

Modelarea predictivăEste o modelare in absenta realităţii

Exemple:

a) Construcţia unei caroserii care trebuie sa satisfacă anumite criterii de greutate, rezistenta, geometrice, tehnologicerezistenta, geometrice, tehnologice

b) Studiul performantei unui algoritm in ipoteza implementării pe o arhitectura incă inexistenta (dar posibila)

c) Experimentarea unor medicamente ce trebuie sa aibă unele proprietăţi speciale

Modelarea restrictivăEste modelarea in condiţiile restricţiilor de acces la un sistem real existent

Exemple:

a) Nu putem opri o reţea de calculatoare ce monitorizează a) Nu putem opri o reţea de calculatoare ce monitorizează o centrala nucleara in scopul efectuării de experimente

b) Nu putem opri procese de fabricaţie ritmice pentru a experimenta noi metode de management

c) Nu putem perturba circulaţia pe o artera aglomerata pentru a decide in ce măsura, de exemplu, schimbarea unor reguli de trafic (viteza, prioritatea) este benefica

Studiul modelelor logiceDaca un sistem este destul de simplu, şi modelul este simplu, pot fi aplicate metode matematice tradiţionalePermit obţinerea de rezultate exacte:n Aparatul matematic integro-diferenţialn Teoria aşteptării (cozi şi reţele de cozi)n Teoria aşteptării (cozi şi reţele de cozi)n Programare liniara

Sistemele complexe pot fi uneori reprezentate de modele analitice simple, validen Presupunerile simplificatoare păstrează validitatea?

Cel mai adesea, un sistem complex necesită un model complex, metodele analitice nu se aplică … ce facem?

Simularea pe calculatorIn sens larg, se refera la metode de studiu ce pp. n evaluare numerica a unor modele de sistemn utilizarea unui model software pentru a mima operaţii/

caracteristici sistem, in timpPoate fi validata de studiul modelelor simple, pentru care este disponibila şi o soluţie analiticapentru care este disponibila şi o soluţie analiticaPotenţial ridicat in studiul modelelor complexeSimularea este foarte utila in studiul unor sisteme complexe, unde nu se întrevede soluţia analiticaFundamente teoretice ale modelelor de simulare:n automatele de stare (stohastice) n procesele semi-Markov generalizate (GSMP)

Acurateţea simulărilorPrin simulare nu se obţin răspunsuri exacte, doar aproximaţii, estimări; totuşi:n Aceasta nu este o problema specifica, ci una generala

pentru multe alte metode de studiun Erorile pot fi limitate, prin verificare si validare (V&V)n Erorile pot fi limitate, prin verificare si validare (V&V)n Verificarea si validarea sunt compuse din proceduri

integrate in dezvoltarea modelului (de simulare)Ceea ce trebuie evitat este obţinerea ieşirilor aleatoare (RIRO) din simulări stochastice, prin:n Proiectarea şi analiza statistică a experimentelor de

simularen Controlul “zgomotului”, replicabilităţii, eşantionării

secvenţiale, tehnicilor de reducere a variantei

Verificarea şi validarea simulărilorVerificarea simulării consta in principal in compararea modelului conceptual cu codul programatMetode de verificare a unei simulări: n Compararea modelului implementat cu alte modele, atât la nivel

de structura interna cat si de intrare/ ieșiren Testarea la nivel de sistem, subsistem sau componente pentru

îndeplinirea cerințelor sau specificațiilor documentate

Validarea unei simulări consta in analiza corespondentei intre model si sistemul realMetode de validare a unei simulări:n Examinarea atenta a ieșirilor modelului in condițiile variabilității

cat mai mari a intrărilor, si compararea cu datele de observațien Execuția repetata a modelului programat

Diversitatea metodelor de simulareCel mai adesea, simularea are loc pentru starea stabila, dupa eliminarea regimurilor tranzitoriiMetode statice vs. dinamicen Ce rol joaca timpul in model?

Metode continue vs. discreteMetode continue vs. discreten “starea” se poate schimba continuu, sau tranziţiile de

stare apar doar la momente discrete in timp?Metode deterministe vs. stochasticen este evoluţia sistemului sigura sau exista elemente

de incertitudine?

Majoritatea modelelor operaţionale sunt: dinamice, discrete şi stochastice

Fundamente matematice ale modelarii. Elemente de probabilităţi şi statistică matematică

ProbabilităţiProbabilităţi

Definiţii nonformale şi exemple

Def: Spaţiu de eşantionare (eng. sample space) , notat S: o mulţime in care fiecare element reprezintă “rezultatele” unui “experiment”

Exemple:Exemple:n S = {Ban, Marca} in aruncarea unei moneden S = {1, 2, …, 6} in aruncarea unui zar

Def.: Eveniment: un subset al spaţiului SExemple:

n Obţinerea unei valori dintr-o submulţime a spaţiului S ({Ban}, {1,2,3}) in cadrul unei aruncări

Relaţii în mulţimea evenimentelorImplicaţia evenimentelor: evenimentul A implicaevenimentul B (notam A → B sau A ⊂ B) daca atunci când se produce A se produce in mod necesar şi BReuniunea evenimentelor A, B (notata A ∪ B): este evenimentul care se produce atunci când se produce cel puţin unul dintre evenimentele A, Bpuţin unul dintre evenimentele A, BIntersecţia evenimentelor A, B (notata A ∩ B): este evenimentul care se produce doar atunci când se produc ambele evenimente A, BEvenimente incompatibile: evenimentele care nu se pot produce simultanEvenimente contrare: producerea unuia înseamnă nerealizarea celorlalte

Evenimente elementare Def.: Evenimentul elementar este un element din mulţimea S

Evenimentele elementare se mai definesc ca rezultate cu valori booleene ale unor probe (experimente)Un experiment poate aduce: n fie realizarea unui anumit evenimentn fie nerealizarea sa

Există 2 evenimente speciale în mulţimea de evenimente asociate unui experiment :evenimentul sigur S = A ∪ Ā

evenimentul imposibil ∅ = A ∩ Ān Evenimentele A şi B sunt mutual exclusive daca A ∩ B = ∅

Distribuţia de probabilitate

Def.: Distribuţia de probabilitate Pr{} este o funcţie

definită pe evenimentele din S cu valori in R

Proprietăţi:Proprietăţi:

1. Pr{A} ≥ 0 pentru orice eveniment A

2. Pr{S} = 1

3. If A ∩ B = ∅ then Pr{A∪B} = Pr{A} + Pr{B}

else Pr{A∪B} = Pr{A} + Pr{B} – Pr{A ∩ B}

Exemplul 1Aruncarea a doua monede:

n Spaţiu de eşantionare: S = {BB, BM, MB, MM}

(mulțime a valorilor elementare)(mulțime a valorilor elementare)

n Oricare eveniment elementar se produce cu

aceeaşi probabilitate: ¼ (ev. echiprobabile)

n Probabilitatea de a obţine cel puţin o data B:

Pr{BB, BM, MB} = Pr{HH} + Pr{HT} + Pr{TH} = ¾

Exemplul 2Aruncarea a două zaruri:

n Calculam probabilitatea de a da 4 sau dublen Spaţiul de eşantionare S conţine 36 de evenimente

elementare posibile, echiprobabile (probabilitatea fiecăruia fiind 1/36)fiecăruia fiind 1/36)

n Eveniment A: sa obţinem 4 (3 evenimente elementare)n Eveniment B: sa dam duble (6 evenimente elementare)n A ∩ B: roll (2, 2)

Pr{4 ori duble} = = Pr{4} + Pr{duble} – Pr{(2, 2)}= 3/36 + 6/36 – 1/36= 8/36

Definiţii formalizateSunt necesare operaţii ca: n implicaţia & echivalenta evenimentelor

n reuniunea evenimentelor, ∪

n intersecţia evenimentelor, ∩∩

n complementaritatea evenimentelor, ¯

n incompatibilitatea evenimentelor

Mulţimea evenimentelor ataşate unui experiment formează o algebră Boole în raport cu operaţiile definite (∪, ∩ şi ¯)

Algebra BooleEste o algebră (structura de calcul ce foloseste valori literale) formată din:n Valorile elementelor {0,1} n 2 operaţii binare numite SAU şi SI, notate simbolic cu

+ sau ∪ şi × sau ∩+ sau ∪ şi × sau ∩n 1 operatie unară numită NU (negaţie), notată simbolic

¯ sau O

Operatiile sunt definite, asociative, comutative, admit element neutru si inversabile și în plus există proprietatea de distributivitate a operației ∩față de ∪

Câmp de evenimenteFie S o mulţime de evenimente elementare, iar B ⊂ P(S) un sistem de submulţimi ale lui S

Dacă:1. S ∈ B;1. S ∈ B;

2. E1, E2 ∈ B ⇒ E1 ∪ E2 ∈ B; E1 ∩ E2 ∈ B; Ē1∈ B; Ē2∈ B

3. E1, E2,..., En,... ∈ B ⇒ E1 ∪ E2 ∪ ... ∪ En ∪ ... ∈ B; E1 ∩ E2 ∩ ... ∩ En ∩ ... ∈ B,

atunci B se numeşte câmp Borel de evenimente

Măsura de probabilitateDefinirea se face intr-un câmp borelian de evenimente şi are la bază sistemul de axiome al lui Kolmogorov:Axioma 1: Fiecărui eveniment elementar E din câmpul

de evenimente îi este ataşat un număr real nenegativ numit probabilitatea lui E, notat P(E)

Axioma 2: Probabilitatea evenimentului sigur S este Axioma 2: Probabilitatea evenimentului sigur S este 1, P(S)=1

Axioma 3: Dacă evenimentele E1, E2,..., En sunt incompatibile 2 câte 2, atunci P(E1 ∪ E2 ∪ ... ∪ En) = P(E1)+P(E2)+...+P(En).

Axioma de adunare extinsă: Dacă apariţia unui eveniment E e echivalentă cu apariţia evenimentelor E1, E2,..., En,... incompatibile 2 câte 2, P(E) = P(E1) + P(E2) + ... + P(En) + ...

Distribuţie de probabilitate discretăDef.: O distribuţie de probabilitate este discretă daca e definita

pe un spaţiu de eşantionare finit sau infinit numărabil

n Pentru orice eveniment A:Pr{A} = Pr{s1} + Pr{s2} + … Pr{sn} = Σs∈APr{s}, şi ∈ APr{A} = Pr{s1} + Pr{s2} + … Pr{sn} = Σs∈APr{s}, şi ∈ A

Def.: O distribuţie de probabilitate este uniformă pe un spaţiu finit S dacă atunci când

n |S| = n

n Pr{s} = 1/|S| pentru orice eveniment elementar s ∈ SEx: Aruncarea unui zar netrucat:

n Fiecare față are probabilitatea de apariţie 1/6

Variabile aleatoare discrete

Def.: O variabila aleatoare (discreta) X e o functie definita pe un

spaţiu de eşantionare finit/ infinit numărabil cu valori reale

n Ea asociază un număr real cu orice rezultat posibil al unui

experiment

Pentru o v.a. X şi un număr real x:

Def.: Evenimentul X = x = {s ∈ S: X(s) = x}

Def.: f(x) = Pr{X=x} = Σ{s∈S: X(s) = x}Pr{s} se numeşte funcţia

densităţii de probabilitate a v.a. X

ExempluAruncarea unei perechi de zaruri:

Spaţiul de eşantionare S are 36 evenimente elementare posibile

Fiecare eveniment elementar s∈S este echiprobabil: Fiecare eveniment elementar s∈S este echiprobabil: Pr{s} = 1/36

V.a. X = maximul dintre cele doua valoriProbabilitatea ca maximul celor doua valori sa fie 3:n X asignează valoarea 3 pentru 5 din cele 36 evenimente posibile:

(1, 3), (2, 3), (3, 3), (3, 2), (3, 1)

n Deci: Pr{X = 3} = 5/36

V.a. şi eşantion (discret)Este o funcţie X : (Ω, B, P) → R, ce ia valori diferite în cazul unor experimente efectuate în condiţii identice, apariţia fiecărei valori fiind un eveniment incontrolabilX(ω) e valoarea reală a variabilei aleatoare, ca funcţie de experimentul sau eşantionul considerat, unde ω este eşantionul (engl."sample").O v.a. X=X(ω) determină o desfacere a evenimentului O v.a. X=X(ω) determină o desfacere a evenimentului total în evenimente incompatibile: intuitiv, pentru cazul discretizării Ω luand k valori posibile ale variabilei X(ω), notate x1, x2,..., xk, cu probabilităţile ataşate p1, p2,..., pk (p1+p2+...+pk =1), variabila aleatoare e dată sub forma:

x1 x2 ... xkX =

p1 p2 ... pk

Variabile aleatoare continuePrin analogie valorile sunt funcţii continue, de ex. peste RProbabilităţile apariţiei acestor valori sunt definite (dacaexista) de o funcţie f(x) definita pe întreaga dreapta reala

( ) xptxfdxxfxXxPx

x∀≥=≤≤ ∫ .0)(,)(2

21

Pentru orice x1, x2 a.i. x1≤x2, X este o v.a. continua iar f(x) se numeşte funcţia densităţii de probabilitateAtât v.a.discrete cat şi v.a.continue pot fi dependente sau independenten In cazul a 2 v.a. independente, X şi Y, definite ca mai sus:

P(Xi ∩ Yj) = P(Xi)∙P(Yj)

( ) xptxfdxxfxXxPx

∀≥=≤≤ ∫ .0)(,)(1

21

Statistică

De ce avem nevoie de statistică?Pentru agregarea datelor

extinse în informații cu sens

445 446 397 226388 3445 188 100247762 432 54 1247762 432 54 1298 345 2245 883977492 472 565 9991 34 882 545 4022827 572 597 364

...=x

Ce este statistica?“Lucrurile imposibile de obicei nu au loc”.

- Sam Treiman, Princeton University

Statistica ne ajută să cuantificăm acest “de obicei”obicei”

Statistica este o cantitate (valoare) care este calculată dintr-un eșantion (mulțime extinsă) de date→Un singur număr folosit pentru a rezuma o colecție mare de valori

Media, deviația standardUn eșantion de date poate fi caracterizat de:

Funcţia densităţii de probabilitate :n Fx(a) = P(x<=a)

Media (sau valoarea așteptată):Media (sau valoarea așteptată):n µ = E(x) = Σ(pixi) pentru i = 1..n

Varianța:n Se ia pătratul distanței între x și medie, (x- µ)2

n Var(x) = E[(x- µ)2] = Σpi (xi- µ)2 = σ2

n σ, rădăcina pătrată a varianței, s.n.deviația standard

Corelații între valoriCoeficientul de variație este raportul între deviația standard și medie:n C.O.V. = σ / µCovarianța este gradul în care 2 v.a. diferă una de alta:Covarianța este gradul în care 2 v.a. diferă una de alta:n Cov = σ2

xy = E[(x- µx)(y- µy)]n 2 v.a. independente au Cov = 0Corelația este covarianța normalizată între –1 și 1, sau gradul de corelare liniară:n ρxy = σ2

xy / σxσy

Distribuţii (repartiţii) continueAvând in vedere “aspectul” v.a., se definesc:

Funcţia de distribuţie sau repartiţie (c.d.f) a unei v.a. X:

F(x)=P(ω|X(ω)<x)F(x)=P(ω|X(ω)<x)Densitatea de probabilitate (p.d.f.), pentru orice A ⊂ R, prin:

P(x∈A)=∫A f(x)dx, sau f(x)=dF(x)/dx

dacă F este diferenţiabilă în x

Media, dispersia, alte momenteMedia sau valoarea aşteptată a unei v.a. este:µ = E[X] = ∫-∞

∞ xdF(x) = ∫-∞∞ xf(x)dx;

Momentul de ordinul k al v.a.:E[Xk] = ∫-∞

∞ xkdF(x) = ∫-∞∞ xkf(x)dx;

Dispersia (variabilitatea) v.a.:Dispersia (variabilitatea) v.a.:σ2 = var(X) = E[(X-E[X])2] = E[X2]-(E[X])2.Numita şi abatere medie pătratică, pentru un şir xi cu n (nr. mare) valori, ea se calculează astfel :

−

−≈

− ∑∑∑∑

====

2

11

22

11

2 11

111 n

ii

n

ii

n

ii

n

ii x

nx

nx

nx

n

ExempluPentru 2 v.a. distribuite uniform:1. Discreta pe intervalul [1,6] (aruncarea

zarului)2. Continua in intervalul [a,b]se cere:se cere:I. Calculul mediilor şi dispersiilorII. Reprezentarea grafica a pdf şi cdfRăspunsuriI. 1. µ = 7/2; σ2 = 35/12

2. µ = (a+b)/2; σ2 = (b-a)2/12 ...

Teoreme importante: Inegalitatea lui Cebîşev

Putem avea o imagine asupra repartiţiei prin cunoaşterea mediei şi dispersiei

Inegalitatea lui Cebîşev arata cat de mari sunt probabilităţile abaterilor de la medie:probabilităţile abaterilor de la medie:

Se poate aplica atât v.a. discrete cat şi continue

2

2

)|(|εσ

εµ ≤≥−xP

Teoreme importante: Legea numerelor mari

Bernoulli: Probabilitatea ca modulul diferenţei intre frecventa relativa de aparitie a unui eveniment E şi probabilitatea p a lui E sa fie mai mic decât un ε pozitiv, arbitrar de mic, este ≈1 pentru un nr. de experimente n suficient de mare

pnP 1 11)|(| ε −≥<−

Cebîşev: Probabilitatea ca modulul diferenţei intre media aritmetica A a valorilor medii a n v.a. independente şi media aritmetica a v.a. sa fie mai mica decât un ε pozitiv, arbitrar de mic, este ≈1 pentru n suficient de mare

np

nnP 2

1

411)|(|ε

ε −≥<−

nbAX

nP

n

ii 2

2

1

1)|1(|ε

ε −≥<−∑=

Distribuţia binomiala (Bernoulli)Se defineşte printr-un experiment Bernoulli, ce are doar doua valori:

Succes/Esec (1/0)0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

P(X=

x)

n Succes/Esec (1/0)

0

0.1

0.2

0.3

0 1

X

P(X=

x)

pXP

pXP

−==

==

1)0(

)1(

pXE =][ )1()( ppXVar −=

Distribuţia binomiala Definita de numărul de încercări reuşite dintr-un total de n experimente Bernoulli

0.2

0.3

P(X=

x)

Sau ca suma a n variabile aleatoare de tip Bernoulli

xnxxn ppCxXPxf −−=== )1()()( npXE =][

)1()( pnpXVar −=

0

0.1

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

X

Distribuţia binomiala negativa Definita de numărul necesar de repetări ale unui experiment Bernoulli pana la obţinerea de m ori a unui eveniment legat de el (m reuşite)Sau ca o suma infinita de variabile aleatoare de tip Bernoulli, cu valori ce încep cu m, m+1, ...tip Bernoulli, cu valori ce încep cu m, m+1, ...

xmmxm ppCxXPxf )1()()( 1

1 −=== −−+

ppmXE /)1(][ −=

2/)1()( ppmXVar −=

Distribuţia geometrica

Definita de numărul de experimente Bernoulli necesar pentru a obţine primul succes

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

P(X=

x)

primul succes

0

0.1

0.2

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

X1)1()( −−= xppxf

pXE 1][ =

2)1()(

ppXVar −

=xpxF )1(1)( −−=

Distribuţia Poisson Definita de nr. de evenimente aleatoare ce au loc intr-un interval de timp de mărime fixa 0.1

0.2

0.3

P(X=

x)

Sau ca o limita a distribuţiei binomiale când n→∞ şi p→0

00 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

X

λλ −=== ex

xXPxfx

!)()(

λ=][XE λ=)( XVar

xexF λ−−= 1)(

Procese Poisson omogeneDaca numărul de evenimente apărute pana la momentul t este distribuit Poisson cu rata λtn Numărul de evenimente apărute in intervale de timp

disjuncte este independentn Timpii intre evenimente sunt independenţi şi identic

distribuiţi ca v.a. exponenţiale cu media 1/λdistribuiţi ca v.a. exponenţiale cu media 1/λn Un proces Poisson omogen este staţionar (distribuţia

nr. de evenimente depinde doar de lungimea intervalului, nu şi de punctul sau de început)

Alte proprietăţi:n Combinarea a 2 procese Poisson cu ratele λ şi µ da

un alt proces Poisson cu rata λ+µn Alegerea evenimentelor dintr-un proces Poisson cu

probabilitatea p da un proces Poisson cu rata p λ

Procese de naştere şi moarteDaca timpii intre evenimente sunt i.i.d. atunci numărul de evenimente ce apar in timp formează un proces “de naştere şi moarte” n Un proces Poisson omogen este un proces de naştere

şi moarte cu timpii intre sosiri exponenţialişi moarte cu timpii intre sosiri exponenţialin Majoritatea proceselor de sosire pot fi modelate

folosind procese de naştere şi moarten Uşor de utilizat deoarece timpii intre sosiri pot fi

obţinuţi prin eşantionare dintr-o distribuţie datan Un proces de naştere şi moarte este staţionar

Procese de sosire nestaţionare Evenimentele externe (inclusiv sosirile in sistem) pot avea rate variabile in timp, de ex.n Sosirile la un restaurant fast-food in jurul prânzuluin Traficul in “rush-hour” in oraşe sau pe autostrăzin Cererile sezoniere pentru un produs

59

n Cererile sezoniere pentru un produs

Caracterul de nestaţionaritate al sosirii trebuie păstrat in model – acest lucru este critic pentru validitatea modeluluiModelul adecvat este cel al unui proces Poisson neomogen

Distribuţia exponenţialaModelează:n Timpii intre sosiri,

când sosirile sunt complet aleatoare

n Timpii de servire ce 0.2

0.3

0.4

0.5

f(x)

n Timpii de servire ce prezintă o mare variabilitate

Este o distribuţie “fără memorie”:

0

0.1

0 2 4 6 8 10

X

β

β/1)( xexf −=

β=][XE 2)( β=XVar)()|( xfyXyxf =>+

Distribuţia normalaDescrisa de următoarele proprietăţi:n Limitele pdf la -∞ şi +∞

sunt 0n Valoarea maxima a pdf 0.15

0.3

0.45

f(x)

n Valoarea maxima a pdf este atinsa când X=μ

n Graficul pdf este simetric după μ

Distribuţia mediei unui sir de v.a. i.i.d. este normalaPentru µ=0: distribuţia normala standard

0

0.15

0 2 4 6 8 10

X

( )222

1

221)(

µσ

πσ

−−=

xexf

µ=][XE 2)( σ=XVar

Distribuţia log-normalaV.a. ln(X) este distribuita normalSe utilizează in modelarea mărimilor ce reprezintă

0.2

0.3

0.4

f(x)

ce reprezintă produse ale unui număr mare de mărimi aleatoare

22 2/))(ln(

21)( σµ

πσ−−= xe

xxf

2/2

][ σµ+= eXE )1()(222 −= + σσµ eeXVar

0

0.1

0 1 2 3 4 5

X

Distribuţia uniformaUtilizata in situaţii cu date echiprobabile pe un interval

1 ≤≤

2/)(][ baXE += 12/)()( 2abXVar −=

a b0

altfel 0

bx a 1)(

≤≤−= abxf

Distribuţia triangularaUtilizata in situaţii cu date puţine sau lipsan Se obţine pe baza a 2

distribuţii uniformen Sunt necesare doar 0.1

0.2

0.3

f(x)

n Sunt necesare doar minimul, maximul şi c.m.probabilă valoare

0

0.1

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

X

altfel ,0

,))((

)(2

,))((

)(2)(

=

<≤−−

−=

<≤−−

−=

bxmabmb

xb

mxaabam

axxf

2/)(][ baXE +=

12/)()( 2abXVar −=