modèle des jeux et des mécanismes michel de rougemont, lri, university paris ii
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Modèle des jeux et des mécanismes
Michel de Rougemont, LRI , University Paris II
1. Modèle de calculs, adapté à un nombre important d’agents, suivant une fonction d’utilité. WEB.
2. Jeux: N joueurs suivant chacun un but. Quels sont les Equilibres?
3. Mécanismes: observons un équilibre, de quel jeu sommes nous l’équilibre?
Jeux et Mécanismes
1. Dilemme des PrisonniersDeux décisions C (collaborer), T (Trahir)
1. Version répétée.
3. Jeux de vérification. Graphes d’accessibilité.
4. MaxSAT, MaxCUT: jeux à N joueurs
4. Jeux logiques: Nord-Est, dames, Echecs.
Exemples de Jeux
3,31,4
4,12,2
Mécanisme pour réduire le SPAM
1. Comment faire la différence entre un vrai mail et un SPAM?
2. Modifications au protocole de mail (pop, smtp)
3. Valeur d’un Email?
Valeur proportionnelle aux calculs demandés à A (Alice) par B (Bob)
Modifications au protocole de mail (pop, smtp)
1. A prend un ticket sur la page Web de B. (Entrée x d’un problème)2. A calcule f(x)=y3. A envoie y et l’Email4. B vérifie y
A B1. ticket
3. Résultat et Email
A calcule une fonction polynomiale
A prend un ticket sur la page Web de B. B : génère un polynôme aléatoire de degré n
B: choisit n+1 valeurs aléatoires
Ticket=
A doit trouver P(x) à partir du ticket.
Interpolation ou Inversion matricielle
nnxaxaxaxP .....)( 221
)(),...,(),( 112211 nn xPyxPyxPy
)(),...,,(),,( 112211 nn yxyxyx
B vérifie le calcul
B garde P(x) lorsqu’il génère le ticket.Vérifier consiste à comparer les coefficients de P(x) avec ceux envoyés par A.
On peut paramétrer:le degré, la précision des valeurs aléatoires pour forcer A à calculer 10 minutes 30 minutes….
Interpolation est polynomiale
La vérification est triviale
nnxaxaxaxP .....)( 221
Jeux à somme nulle
Deux joueurs I et II:
Gain de II = - Gain de I
Jeu Morra: chaque joueur cache 1 ou 2 Euros et cherche à deviner le choix de l’autre joueur. Il gagne s’il devine correctement. Si 1 seul joueur gagne, son gain est le montant caché total, payé par l’autre joueur, sinon le gain est de 0
04304003
30020320
Gain du Jeu
Gain du jeu :
Joueur I : x.A.yMiny
txaMinx.A.yMin iji
n
ijy
. ,
1
jiji
n
j
n
i
yxa . ,11
Réponse de II peut être pure
Toute solution pure doit satisfaire
ttyxayx.A.yn
jjiji
n
i
n
jj
1,
11
. ). (
txaMinx.A.yMin iji
n
ijy
. ,
1
tx.A.yMiny : Donc
Stratégie optimale
Conclusion
Joueur II peut jouer une stratégie pure
1
.
1
,1
i
n
i
iji
n
ij
x
xaMinMax
t x.A.yMint y
t x.A.yMiny
1
0.
1
,1
i
n
i
iji
n
i
x
xaz
zMax
Stratégie optimale
Conclusion
1043043032032
4321
32
41
41
32
xxxxxxz
xxzxxz
xxzzMax
Solution x*= [0,3/5,2/5,0]
Résolution par simplex.
Trouver une solution initiale
Théorème Minimax
Situation pour le joueur II
1
.
1
,1
j
n
j
jji
n
ji
y
yaMaxMin
1
0.
1
,1
j
n
j
jji
n
j
y
yaw
wMin
Problème dual du précédent. Par dualité:
Théorème (Von Neuman) : Max Min = Min Max
Dualité: Simplex
Résolution d’un système linéaire de maximisation:
•Introduction de variables d’écart•Solution initiale•Itération pour augmenter la valeur de la solution.•Terminaison
0,...,
.
.cMax
21
t
nxxx
bxA
x
Bases de la Dualité
0,,,3532
5583513
35 4Max
4321
4321
4321
4321
4321
xxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
Estimation de z > az>5 avec (0,0,1,0)z>22 avec (3,0,2,0)….
Estimation de z <b ?Quel est le témoin?
Dualité : z < b
0,,,3532
5583513
35 4Max
4321
4321
4321
4321
4321
xxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
Montrons que z <275/3
2nd contrainte . 5/33/2753/4053/53/25 4321 xxxx
3/2753/4053/53/25354 43214321 xxxxxxxx
Donc z <275/3
Dualité
0,,,3532
5583513
35 4Max
4321
4321
4321
4321
4321
xxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
2nd contrainte +3ème contrainte
583634 4321 xxxx
Donc z <58
Méthode systématique.
Dualité : méthode
0,,,3532 .
55835 . 13 .
35 4Max
4321
43213
43212
43211
4321
xxxxxxxxyxxxxyxxxxyxxxx
332123211321 ).33().2().5( xyyyxyyyxyyy
Conditions pour que le membre gauche >
)355().583( 3214321 yyyxyyy
4321 354 xxxx
358353312 45
321
321
321
321
yyyyyyyyyyyy
Dualité: exemple
On obtient donc le système dual:
358353312 45
3 55 Min
321
321
321
321
321
yyyyyyyyyyyyyyy
3114321 355354 yyyzxxxx
Remarques générales
Problème Primal de Maximisation donne un problème Dual de minimisation.
3114321 355354 yyyzxxxx
jijim
i
n
jjjn
jxyaxc ,111
iim
iijjin
j
m
iybyxa
1,11
*1
*1 ii
m
ijjn
jybxc
A l’optimum:
Démonstration Minimax
Considérons la dernière ligne du dernier système du primal:
kkmn
kxczz .'
1*
*1
* . jjn
jxcz
mipourcy nii ...1'*
Posons:
Vérifions que y* satisfait :*
1*
1.. ii
m
ijjn
jybxc
Démonstration Minimax
Les variables d’écart sont définies comme:
kkmn
kjn
j j xczxc .. '1
*1
*1
*1
.. iim
ijjn
jybxc
mixabx jjin
jiin ...1.,1
mipourcy nii ...1'*
inim
ikkn
kjn
j j xyxczxc ... *1
'1
*1
jjin
jiim
ikkn
kjn
j j xabyxczxc .... ,1*
1'
1*
1
kjjin
jkn
kiim
ijn
j j xyacbyzxc .)(. *,1'
1*
1*
1
iim
ibyz *
1* Comparant les coefficients
de xj
Et on conclut:
Complémentarité
0*4*3 xx
Contraintes saturées du dual (m=3) et variables nulles du primal (n=2)
1,2,2 *5*2*1 xxx
0,0,0,1,2 *5*4*2*3*1 yyyyy
1 2
22
32
21
321
yyyy
yyyMin2*1x2*2x
Soit xi=0 soit contrainte duale est saturée
Complémentarité
0*4*3 xx
Contraintes saturées du primal (n=2) et variables nulles du dual (m=3)
1,2,2 *5*2*1 xxx
0,0,0,1,2 *5*4*2*3*1 yyyyy
2*1y0*2y
Soit yi=0 soit contrainte primale est saturée
Théorème : Ces deux conditions caractérisent une solution x*,y* optimum.
2 1 2
2
2
21
1
21
xxx
xxxMax
1*3y
Interprétation économique
Exemple de fabrication de produits en quantité x1, x2, x3.
Chaque produit utilise des composants e1,e2,e3,e4 et contribue à un profit ci ($ par unité de xi)
Contraintes du primal : Ax < b
Contraintes du dual A’ y >c yj = $ par unité de composant ej
Min y.b : coût minimum des composants
Exemple simple
Exemple: Matrice
Programme linéaire10033
21
21
21
xxxxzxxz
zMax
Solution x*= [1/2, 1/2]Interprétation graphique: Sommet de l’enveloppe inférieure
13
13
1
Jeux matriciels
Deux joueurs: les gains des I et II sont définies par deux matrices A,B de même dimension. Pour n joueurs, n hypercubes.
Solution possible: x*= [2/3,1/3] , y*= [1/3,2/3]
Solution (x*,y*) est un équilibre de Nash.
314
231
132
312BA
exE
yAxMax T
.
..
yAuE
ueMin
T
T
..
.
Jeux matriciels
Par dualité: DualPrimal ... ueyAx TT
tt ExexE .e . t
.... uExyAx ttT 0)...( yAuEx tT
0.. yAuEt
Pour le joueur II:
fxF
yBxMax T
.
..
0)...( xBvFy ttT
dualitépar 0)..( xBvF tt
C.N.S. pour être un équilibre de Nash
Un couple (x,y) est un équilibre de Nash ssi il existe u,v tel que:
. exE
0)...( yAuEx tT
0.. yAuEt
Programme linéaire + contraintes quadratiques de complémentarité.
Simplex + complémentarité= Lemke-Howson
fyF .
0)...( xBvFy ttT
0.. xBvF tt
Algorithmique des Jeux
1. Etant donné deux matrices A,B, trouver un équilibre.
2. Généralisation à N joueurs: représentation compacte de l’hypercube.
3. Approximation.
4. Vérification approchée.