modele stochastice în evaluarea derivatelor financiareeduard/matematici_financiare.pdf ·...

Modele stochastice ın evaluarea derivatelor

financiare

de

Eduard-Paul Rotenstein

Iasi, 2017

http://www.math.uaic.ro/~eduard/

”There are many paths, but only one journey.”

Naomi Judd

Cuprins

Introducere 1

1 Probabilitati si procese stochastice 1

1.1 Variabile aleatoare; caracteristici numerice si functionale . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 Media conditionata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.3 Procese stochastice; martingale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.4 Miscarea Browniana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.5 Integrala stochastica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.6 Ecuatii diferentiale stochastice si formula lui Ito . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.6.1 Miscarea Browniana geometrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.6.2 Formula lui Ito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2 Scurta descriere a pietelor financiare 25

3 Optiuni de vanzare si cumparare ın piete financiare la vedere (spot) 30

3.1 Macheta de piata financiara . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

3.2 Masuri martingale ın pietele spot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

3.3 Absenta arbitrajului ın piata financiara . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

3.4 Macheta de piata pentru optiuni americane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

3.5 Inegalitati generale ın absenta arbitrajului . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

4 Modelul binomial Cox-Ross-Rubinstein (CRR) 42

4.1 Constructia modelului . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

4.2 Evaluarea pretului optiunilor europene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

4.3 Proprietatea martingala a modelului CRR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

4.4 Optiuni americane ın modelul CRR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

4.4.1 Timpi de oprire; ınfasuratoarea Snell a proceselor stochastice . . . . . . 49

4.4.2 Modelul financiar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

ii

5 Modelul Black-Scholes 53

5.1 Comportamentul asimptotic al modelului Cox-Ross-Rubinstein . . . . . . . . . 53

5.2 Modelul continuu Black-Scholes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

5.3 Strategii de schimb autofinantante; masuri martingale pentru o piata spot . . . 57

5.4 Formula Black-Scholes de evaluare a pretului ın timp continuu . . . . . . . . . 59

5.5 EDP Black Scholes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

5.6 Indici de senzitivitate ai modelului Black-Scholes . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

6 Piete de instrumente financiare cu venit fix 72

6.1 Obligatiuni financiare cu venit fix, nepurtatoare de dividende. Modelul matematic 72

6.2 Determinarea pretului obligatiunilor si masuri martingale . . . . . . . . . . . . 77

6.2.1 Modele de dobanzi pe termen scurt (short-term rate models) . . . . . . 77

6.2.2 Clasa modelelor Heath-Jarrow-Morton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

6.2.3 Masuri martingale forward de risc neutru . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

6.3 Determinarea pretului si acoperirea la risc pentru derivate financiare cu activesuport obligatiuni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

6.3.1 Contracte Swaps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

7 Analiza riscului ın pietele financiare 87

7.1 Procese Markov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

7.2 Descrierea intuitiva a riscului si a notiunilor auxiliare . . . . . . . . . . . . . . 88

7.3 Procesul numarului solicitarilor de despagubire – Modelarea matematica . . . . 89

7.4 Intervalul ıntre aparitii ale solicitarilor de despagubire . . . . . . . . . . . . . . 93

7.5 Procesul omogen al numarului de solicitari de despagubire; timpul operational . 96

Bibliografie 99

Capitolul 1Probabilitati si procese stochastice

Pentru ıntelegerea notiunilor si a rezultatelor cuprinse ın cadrul acestui capitol este necesaraparcurgerea ın prealabil a unui curs introductiv de Teoria probabilitatilor. Cu toate acesteavoi rezuma informatiile prezentate ın aceasta parte doar la strictul necesar dezvoltarii teoriilorsi a modelelor ulterioare.

1.1 Variabile aleatoare; caracteristici numerice si functionale

Fie Ω un spatiu arbitrar, ale carui elemente le vom nota cu ω. O submultime a lui Ω o vom numiın cele ce urmeaza eveniment. Mentionam ca, ın cele mai multe cazuri, structura lui Ω nu esteimportanta. Totusi, ın situatia ın care se doreste construirea unei variabile aleatoare avand olege data, este importanta cunosterea structurii spatiului Ω al evenimentelor elementare.

Definitia 1.1. O σ-algebra F pe Ω (sau σ-corp) este o familie de parti ale lui Ω, cecontine multimea vida, este stabila prin trecerea la complementara, la reuniuni numarabilesi la intersectii numarabile. Mai precis, F ⊂ P(Ω) este o σ-algebra pe Ω daca

• ∅ ∈ F ;

• ∀A ∈ F ⇒ Ac ∈ F ;

• ∀Aii=1,2,.. ⊂ F ⇒∞⋃i=1

Ai ∈ F .

Un spatiu masurabil este un spatiu ınzestrat cu o σ-algebra.

Definitia 1.2. Cea mai mica σ-algebra ce contine o familie de multimi este intersectia tuturorσ-algebrelor ce contin aceasta familie. σ-algebra generata de o familie de multimi A este ceamai mica σ-algebra ce contine aceasta familie si o vom nota cu σ (A). Ea concide cu intersectiatuturor σ-algebrelor ce contin mul timea A:

σ (A) :=⋂

σ:σ−ag.,A⊂σσ.

Exemplul 1.1. Un exemplu important de σ-algebra generata de o familie de multimi esteσ-algebra Borel pe R, notata BR :

BR := σ(A ⊂ R | A este multime deschisa ın R).

Ea este cea mai mica σ-algebra ce contine toate intervalele deschise (sau ınchise, sau deschisela dreapta si ınchise la stanga).

1

Capitolul 1. Probabilitati si procese stochastice 2

Un concept fundamental necesar introducerii notiunii de variabila aleatoare este acela defunctie masurabila, dupa cum vedem ın cele ce urmeaza.

Definitia 1.3. Fie (Ω,F) si (E, E) doua spatii masurabile. O aplicatie f : Ω → E spunemca este (F , E)-masurabila daca f−1 (A) ∈ F , ∀A ∈ E, unde

f−1 (A) := ω ∈ Ω : f (ω) ∈ A .

O functie f : R → R spunem ca este boreliana daca ea este (BR,BR)-masurabila. Aceastaproprietatea este suficient sa fie verificata pentru intervalele multimii R.

Definitia 1.4. O variabila aleatoare este o functie X : (Ω,F)→ (R,BR) masurabila.

Vom prezenta ın continuare trei repartitii importante (doua de tip discret si una de tipabsolut continuu), repartitii ce vor fi utilizate frecvent pe parcursul acestei lucrari.

1. Repartitia Bernoulli. Spunem ca o variabila aleatoare X : (Ω,F) → 0, 1 este o v.a.repartizata Bernoulli (sau binara) de parametru p ∈ (0, 1) (vom scrie X ∼ B(p)) daca P(X =0) = p si P(X = 1) = q = 1− p. Functia de repartitie a v.a. X este FX : R→ [0, 1],

FX(x) =

0, x ≤ 0,p, 0 < x ≤ 1,1, x > 1,

iar EX = p si D2(X) = pq.

2. Repartitia binomiala. Fie n ∈ N si p ∈ (0, 1). Spunem ca o variabila aleatoare X : (Ω,F)→0, 1, ..., n este o v.a. repartizata binomial de parametrii n si p (vom scrie X ∼ B(n, p)) dacatabloul sau de repartitie este

X :

(k

Cknpk(1− p)n−k

)k=0,n−1

.

Functia de repartitie a v.a. X este FX : R→ [0, 1],

FX(x) =

0, x ≤ 0,p0 + ...+ pk, k < x ≤ k + 1, k = 0, n− 11, x > n,

unde pk = P(X = k) = Cknpk(1− p)n−k, iar EX = np si D2(X) = np(1− p). Mentionam ca

o variabila aleatoare repartizata binomial de parametrii n si p poate fi scrisa ca o suma de nvariabile aleatoare independente, identic repartizate Bernoulli de parametru p.

3. Repartitia normal a. Spunem ca o variabila aleatoare X : (Ω,F) → R este repartizatanormal (sau Gaussian) de parametrii m si σ2 (vom scrie X ∼ N(m,σ2)) daca densitatea sa derepartitie este data de f : R→ R+,

f(x) :=1√2πσ

e−

(x−m)2

2σ2 .

Media sa este EX = m, iar dispersia D2(X) = σ2. Daca m = 0 si σ = 1, atunci despre v.a.X ∼ N(0, 1) spunem ca este repartizata normal standard.

In modelarea matematica a activelor financiare, informatiile din piata la un moment datsunt interpretate drept submultimi, cu caracteristici speciale, ale lui P (Ω). Aceste submultimisunt generate de ”istoricul” pietei financiare considerate.


Definitia 1.5. σ-algebra generata de o variabila aleatoare X definita pe (Ω,F) este multimeade parti ale lui Ω, de tipul X−1 (A), unde A ∈ BR. Vom nota aceasta σ-algebra cu σ (X). Eaeste si cea mai mica σ-algebra pe Ω ın raport cu care variabila aleatoare X este masurabila.

Observatia 1.6. O variabila aleatoare reala X este G masurabila daca σ (X) ⊂ G.

Definitia 1.7. σ-algebra generata de o familie de variabile aleatoare (Xt)t∈[0,T ] definite pe

acelasi spatiu masurabil este cea mai mica σ-algebra ce contine multimeaX−1t (A)

t,A

, pentru

orice t ∈ [0, T ] si A ∈ BR. Vom nota aceasta σ-algebra cu σ (Xt, t ∈ [0, T ]).

Definitia 1.8. O probabilitate (sau masura de probabilitate) pe spatiul masurabil (Ω,F) esteo functie P : F → [0, 1] cu proprietatile:

a) P (Ω) = 1,

b) P( ∞⋃n=0

An

)=

n∑i=1P (An), unde multimile An ∈ F sunt disjuncte doua cate doua.

Vom spune ca o proprietate este adevarata aproape sigur (a.s.) daca ea este adevarata ınafara unei multimi neglijabile (adica multime de masura nula). Vom spune de asemenea ca pro-prietatea este adevarata pentru aproape toti ω. Un spatiu (camp) de probabilitate (Ω,F ,P) estecomplet daca el contine toate multimile G cu proprietatea ca inf P (F ) : F ∈ F , G ⊂ F = 0.

Definitia 1.9. Doua masuri de probabilitate P1 si P2, definite pe acelasi spatiu m asurabil(Ω,F), spunem ca sunt echivalente daca au aceleasi multimi neglijabile, adica

P1 (A) = 0⇔ P2 (A) = 0.

O proprietate adevarata P1-a.s. este deci adevarata P2-a.s.

Vom reaminti ın cele ce urmeaza definitiile catorva dintre principalele caracteristici nu-merice si functionale ale unei variabile aleatoare. Fie X o variabila aleatoare reala, definita peun camp de probabilitate (Ω,F ,P) .

Definitia 1.10. Functia de repartitie a variabilei aleatoare X este functia crescatoare datade F = FX : R→ [0, 1] , F (x) = P (X ≤ x).

Putem scrie ca P (X ∈ A) =∫A f (x) dx (ın ipoteza ca aceasta integrala exista; cu f am

notat densitatea de repartitie a variabilei aleatoare absolut continue X). Daca doua variabile


aleatoare au aceeasi lege (sau aceeasi functie de repartitie sau aceeasi densitate) spunem caele sunt egale ın lege. Remarcam ca daca X, Y sunt doua variabile aleatoare astfel ıncat

P (X ≤ a) = P (Y ≤ a), ∀a ∈ R, atunci X si Y au aceeasi lege de repartitie si notam XL= Y .

Trebuie subliniat faptul ca, daca doua variabile aleatoare au aceeasi lege de repartitie, aceastanu ınseamna ca cele doua variabile aleatoare sunt egale!

Definitia 1.11. Media v.a. X este definita prin∫

ΩX(ω)dP(ω) si o vom nota cu E (X)sau, eventual, cu EP (X), pentru a sublinia faptul ca integrala se realizeaza sub masura deprobabilitate P. Integrala anterioara trebuie ınteleasa ın sens larg, ın sensul ca ea este o sumaın cazul unei variabile aleatoare discrete si o integrala clasica ın situatia variabilelor aleatoarede tip absolut continuu. In aceasta din urma situatie, E (X) =

∫R xf (x) dx, unde cu f am

notat densitatea de repartitie a variabilei aleatoare absolut continue X.

Propozitia 1.12. Media unei variabile aleatoare satisface urmatoarele proprietati:

a) E(aX + bY ) = aE(X) + bE(Y ), ∀ a, b ∈ R, ∀ X, Y - variabile aleatoare reale.

b) Daca X ≤ Y a.s., atunci E (X) ≤ E (Y ).

c) Inegalitatea lui Jensen: daca Φ este o functie convexa astfel ıncat Φ (X) este integrabila,atunci

Φ (E (X)) ≤ E (Φ (X)) .

Daca P1, P2 sunt doua masuri de probabilitate echivalente, atunci exista o variabilaaleatoare Y , strict pozitiva, F-masurabila, de medie 1 ın raport cu P1 (adica EP1(Y ) = 1),astfel ıncat dP2 = Y dP1 sau P2 (A) =

∫A Y (ω)dP1(ω), pentru A ∈ F . Reciproc, daca Y

este o variabila aleatoare strict pozitiva, F-masurabila, de medie 1 ın raport cu P1, relatiaEP2 (Z) = EP1 (ZY ) defineste pe spatiul masurabil (Ω,F) o probabilitate P2, echivalenta cuP1. Are deci loc relatia

EP2 (Z) =

∫ΩZdP2 =

∫ΩZdP2

dP1dP1 =

∫ΩZY dP1 = EP1 (ZY ) .

Daca variabila aleatoare Y este doar pozitiva (nu strict pozitiva), atunci P1 (A) = 0 ⇒P2 (A) = 0 si spunem ca masura de probabilitate P2 este absolut continua ın raport cu P1 (numai are loc deci echivalenta celor doua masuri de probabilitate).

Definitia 1.13. Functia caracteristica a v.a. X este transformata Fourier a legii lui X, adicafunctia ϕ : R→ C, ϕ (t) = E

(eitx)

=∫R e

itxPX (dx). Functia caracteristica a unei variabilealeatoare caracterizeaza legea lui X ın sensul ca daca stim aceasta functie, atunci putemdetermina legea variabilei aleatoare.

1.2 Media conditionata

Fie A,B doua evenimente (submultimi ale lui Ω, mai precis, A,B ∈ F ⊂ P(Ω)). Probabilitatea

evenimentului A conditionat de B este P(A|B) =P (A ∩B)

P (B), pentru P (B) 6= 0. Aplicatia

(functia)P(·|B) : (Ω,F)→ [0, 1]

definita ın modul anterior este o probabilitate pe (Ω,F). Intr-adevar,

P(Ω|B) =P (Ω ∩B)

P (B)=P (B)

P (B)= 1


si, pentru o familie numarabila de evenimente Ann∈N ⊂ F , disjuncte doua cate doua, avem

P(⋃

n∈NAn|B)

=P(B ∩

(⋃n∈NAn

))P (B)

=P(⋃

n∈N (B ∩An))

P (B)=

(B∩Ai)∩(B∩Aj)=∅

∑n∈NP (B ∩An)

P (B)

=∑n∈N

P (B ∩An)

P (B)=∑n∈NP(An|B).

Putem astfel defini media unei variabile aleatoare ın raport cu aceasta lege de probabilitate.Consideram cazul unei variabile discrete X, cu valori ın multimea x1, ..., xn. Fie evenimentulB ∈ F fixat si definim probabilitatea Q : (Ω,F) → [0, 1], Q (A) = P (A|B). Deci, pentruvariabila aleatoare reala X, definita pe (Ω,F), media sa ın raport cu Q este

EQ (X) =∑j=1,n

xjQ (X = xj) =∑j=1,n

xjP ((X = xj) ∩B)

P (B).

Avem P ((X = xj) ∩B) =∫B 1X=xj(ω)dP(ω) =

∫B 1X=xjdP, unde 1X=xj este functia

indicatoare a evenimentului (multimii) X = xj = ω ∈ Ω | X(ω) = xj, mai precis1X=xj (ω) = 1 daca X (ω) = xj si 0 ın caz contrar. Obtinem, prin urmare,

EQ (X) =1

P (B)

∫BXdP,

din nou, integrala anterioara trebuind a fi ınteleasa ın sens larg. Vom nota E (X|B) = EQ (X).

Fie B, σ-algebra generata de B ∈ F si definim variabila aleatoare E (X|B) = E (X|B) 1B+E (X|Bc) 1Bc . Avem ∫

DE(X|B)dP =

∫DE(X)dP, ∀D ∈ B.

Numim E(X|B) media conditionata a lui X ın raport cu σ-algebra B. Aceasta este o variabilaaleatoare B masurabila.

Consideram acum doua v.a. X si Y , definite pe acelasi spatiu masurabil (Ω,F), cu valoriın multimile x1, ..., xn, respectiv y1, ..., yd, astfel ıncat P (Y = yi) 6= 0, ∀i = 1, d.

Definim

P (X = xj |Y = yi) =P ((X = xj) ∩ Y = yi)

P (Y = yi)=: µ (xj , yi) .

Prin urmare, pentru toate valorile yi, i = 1, d, functia µ (·, yi) defineste o (masura de) proba-bilitate pe x1, ..., xn. Vom defini media conditionata a lui X,

E (X|Y = yi) =∑j=1,n

xjP (X = xj |Y = yi) =∑j=1,n

xjµ (xj , yi) =

=1

P (Y = yi)

∫Y=yi

XdP.

Definim functia Ψ (yi) := E (X|Y = yi) si vom obtine∑i=1,d

P (Y = yi)E (X|Y = yi) =∑i=1,d

P (Y = yi) Ψ (yi) = E (Ψ (Y )) =

= E (E (X|Y )) = E (X) .

Prin urmare, Ψ (Y ) = E (X|Y ) reprezinta media conditionata a variabilei aleatoare X ın raportcu variabila aleatoare Y .


Fie acum X o variabila aleatoare reala, integrabila, definita pe campul de probabilitate(Ω,F ,P) si G o sub σ-algebra a lui F . Vom introduce ın continuare notiunea, foarte impor-tanta, de medie conditionata a unei variabile aleatoare ın raport cu o σ-algebra.

Definitia 1.14. Media conditionata E(X|G) este unica variabila aleatoare definita pe campulde probabilitate (Ω,F ,P) astfel ıncat:

a) aceasta este G masurabila;

b) are loc∫A E(X|G)dP =

∫A E(X)dP, ∀A ∈ G.

Media conditionata E(X|G) este, de asemenea, unica variabila G-masurabila, ce satisfaceE (E (X|G)Y ) = E (XY ), pentru toate variabilele aleatoare Y , G-masurabile, definite, evi-dent, pe acelasi spatiu de probabilitate. In plus, daca X este de patrat integrabil (adicaEX2 < +∞), atunci E (X|G) este proiectia ortogonala a lui X pe subspatiul variabileloraleatoare G-masurabile, de patrat integrabil.

Definitia 1.15. Media conditionata a variabilei aleatoare X ın raport cu o variabila aleatoareY va fi notata cu E (X|Y ) si este tot o variabila aleatoare, masurabila ın raport cu σ-algebragenerata de Y , deci este o funtie de Y . Mai precis, exista aplicatia ψ : R → R, boreliana,astfel ıncat E (X|Y ) = ψ (Y ).

Propozitia 1.16. In ipoteza ca toate variabilele aleatoare ce apar ın acest rezultat sunt inte-grabile, urmatoarele egalitati au loc P-a.s.:

i) (Liniaritatea) Date a1, a2 doua constante.reale, avem

E (a1X1 + a2X2|G) = a1E (X1|G) + a2E (X2|G) ,

unde G este o sub σ-algebra a lui F ;

ii) (Monotonia) Fie X, Y doua v.a. astfel ıncat X ≤ Y a.s.. Atunci

E (X|G) ≤ E (Y |G) ;

iii) E(E(X|G))=E(X);

iv) Daca X este o v.a. G-masurabila, atunci E(X|G)=X;

v) Daca X este o v.a. G-masurabila si Y este o v.a. oarecare (independenta de G), atunciE(XY |G)=XE(Y |G);

vi) Daca X este o v.a. independenta de G,atunci E(X|G)=E(X);

vii) Daca G, H sunt doua sub σ-algebre ale lui F astfel ıncat G ⊂ H ⊂ F , atunci

E (E (X|G) |H) = E (E (X|H) |G) = E (X|G) ;

viii) (Inegalitatea lui Jensen pentru media conditionata) Daca f : R→ R este o functie con-vexa pentru care f(X) este o variabila aleatoare integrabila, atunci

f(E(X|G)) ≤ E(f(X)|G).


Accesul la informatii complete, exacte este ın mod clar esential pentru oricine implicat activın activitatea financiara sau de tranzactionare. Intr-adevar, informatia este probabil cel maiimportant factor determinant al succesului in viata financiara. Pentru simplitate si pentrua reflecta legislatia si reglementarile ımpotriva tranzactiilor ilegale, ne vom limita la situatiaın care agentii pot lua decizii pe baza unor informatii din domeniul public, informatii aflatela dispozitia tuturor. Vom presupune, de asemenea, ca informatiile, odata cunoscute ramancunoscute, nu sunt uitate si pot fi accesate ın timp real (aceasta ar corespunde pietelor finan-ciare fara pierdere de memorie si, asa cum vom vedea, filtrarilor fara pierdere de memorie). Inrealitate, desigur, problemele sunt mult mai complicate. Supraıncarcarea cu informatii este lafel de mare pericol precum deficitul de informatii. Capacitatea de a retine informatia, de a oorganiza, si de a o accesa rapid, este unul dintre principalii factori care vor diferentia abilitatilediversilor agenti economici, de a reactiona la conditiile de piata ın schimbare.

Cu toate acestea, ne vom limita la situatia cea mai simplu posibila si nu vom diferentiaagentii economici, pe baza abilitatii lor de procesare a informatiilor. Astfel, pe masura cetrece timpul, noi informatii devin disponibile pentru toti agentii, care actualizeaza continuuinformatiile lor. Ceea ce avem nevoie este un limbaj matematic adecvat prin care sa modelamacest flux de informatii, cu trecerea timpului. Acest lucru este furnizat de notiunea de filtrare;vom prezenta ın continuare elementele fundamentale ale acestei notiuni.

Tripletul (Ω,F ,P) (campu de probabilitate) si media conditionata E(X|B) furnizeaza in-strumentele de care avem nevoie pentru a face fata situatiilor care implica fenomenul aleatoriu.Pentru a gestiona situatiile dinamice, care implica hazardul, avem nevoie de structura definitaın cele ce urmeaza. Fara a restrange generalitatea, putem considera timpul initial, de plecare,t = 0.

Modelele financiare pot fi considerate ca evoluand ın timp discret sau ın timp continuu.Dorim sa modelam o situatie care implica aleatoriul desfasurabil ın timp. Vom presupune,pentru simplitate, ca informatiile nu se pierd: astfel, pe masura ce timpul evolueaza, vomafla mai multe informatii privitoare la activele financiare tranzactionate ın piata financiara.Reamintim ca σ-algebrele vor reprezenta / modela matematic informatiile sau cunostinteleasupra pietei. Avem nevoie astfel de o familie crescatoare Fn | n = 0, 1, 2, . . . de sub-σ-algebre ale lui F

Fn ⊂ Fn+1 , pentru n = 0, 1, 2, . . . ,

unde Fn reprezinta, ın interpretarea economica, informatiile disponibile investitorilor la mo-mentul n. Vom presupune ıntotdeauna ca toate σ-algebrele sunt complete (acest lucru poate fievitat si nu este ıntotdeauna adecvat realitatilor din pietele financiare, dar acesta presupuneresimplifica aspectele implicate si este suficienta pentru scopurile noastre). Astfel, F0 reprezintainformatia initiala aflata la dispozitia tuturor investitorilor (daca aceasta nu exista, atunciconsideram F0 = ∅,Ω ca fiind σ-algebra triviala). Pe de alta parte,

F∞ : = limn−→∞

Fn = σ

(⋃n

Fn

)

reprezinta tot ce vom sti privitor la dinamica pietei financiare analizate (asa numita Doomsdayσ-algebra).

Definitia 1.17. O astfel de familie F : = Fn | n = 0, 1, 2, . . . va fi numita ın cele ce urmeazafiltrare, iar un spatiu de probabilitate ınzestrat cu o astfel de filtrare, (Ω,F ,P,F) se numestebaza stochastica sau spatiu de probabilitate filtrat.

Spunem ca filtrarea F este continua la dreapta daca, oricare ar fi n ∈ N, avem

Fn+ :=⋂m>n

Fm = Fn.


Spunem ca filtrarea F este completa daca, oricare ar fi n ∈ N, Fn contine toate multimileP-neglijabile, adica toate multimile N ⊂ Ω cu proprietatea ca

infP(N) | N ⊂ F ∈ F = 0.

(aceasta nu implica ınsa faptul ca N ∈ F , adica multimea N nu este neaparat masurabila).

Spunem ca filtrarea F verifica conditiile uzuale daca ea este continua la dreapta si continetoate multimile P-neglijabile

Pentru cazul particular al unui spatiu de probabilitate finit Ω = ω1, . . . , ωn si o anumitaσ-algebra F pe Ω, exista ıntotdeauna o partitie unica finita, P = A1, . . . , Al a lui Ω, core-spunzatoare lui F . Prin urmare, o filtrare F corespunde unui sir de partitii Pnn=0,1,2,... , dince ın ce mai fine (ın raport cu incluziunea).

La momentul initial t = 0 agentii stiu doar ca un anumit eveniment ω ∈ Ω se va ıntampla,iar la momentul T < ∞ se stie ce eveniment particular ω∗ s-a ıntamplat. Pe parcursultrecerii timpului, jucatorii din piata financiara afla structura specifica a σ-algebrelor Fn, ceeace ınseamna ca ”ınvata” partitiile corespunzatoare P. Cunoasterea informatiilor din Fn este

echivalenta cu cunoasterea ın care multime A(n)i ∈ Pn se regaseste evenimentul ω∗. Deoarece

partitiile devin din ce ın ce mai fine odata cu trecerea timpului, informatiile cu privire laevenimentul ω∗ devin mai detaliate odata cu fiecare pas. Din nefericire, aceasta interpretarefacila nu mai poate fi oferita atunci cand spatiul evenimentelor, Ω, devine infinit. Se pareca notiunea de filtrare, mai degraba decat cea de partitii este relevanta pentru situatia maigenerala cu Ω infinit, T infinit si procese aleatoare continue ın timp.

In cele ce urmeaza vom introduce notiunea de proces stochastic ın timp discret. Termenul”stochastic” (derivat din limba greaca) este aproximativ sinonim cu ”aleatoriu”. Vom con-strui un cadru care poate gestiona situatii dinamice, ın care timpul evolueaza, si ın care noiinformatii se genereaza ın timp. In special, trebuie sa fim capabili sa vorbim ın termeni de”informatii disponibile la momentul n” (sau ”ceea ce stim ın momentul n”). Mai mult, trebuiesa fim ın masura sa incrementam parametrul temporal n, crescand astfel informatiile disponi-bile atunci cand informatii noi apar si sa vorbim despre fluxul de informatii ın timp. Ceea ceeste necesar este o constructie matematica precisa, care pot fi manipulata convenabil. Acum”informatia” nu este doar un cuvant obisnuit, ci chiar devine un termen tehnic ın matematica(lucrari ample au fost dedicate teoriei informatiei).

Definitia 1.18. Un proces stochastic X = Xn | n ∈ I este o familie de variabile aleatoare,definite pe un spatiu comun de probabilitate (Ω,F ,P), indexate dupa o multime de indicitemporali I, multime care poate fi 0, 1, 2, ...T ın cazul perioadei orizont finite sau 0, 1, 2, ...ın situatia celei infinite. In ambele situatii este vorba despre procese stochastice ın timpdiscret. In situatia ın care multimea de indexare nu este o multime numarabila (este deexemplu un interval) vorbim despre procese stochastice ın timp continuu. Spunem ca procesulstochastic X = Xn∞n=0 este adaptat filtrarii F = Fn∞n=0 daca variabila aleatoare Xn esteFn-masurabila, pentru toti n = 0, ...,∞, adica, oricare ar fi multimea Boreliana B ∈ BR,

X−1n (B) = ω ∈ Ω | Xn(ω) ∈ B ∈ Fn,

Exemplul 1.2. Sa consideram cazul aruncarii de doua ori a unei monede, si sa notam prinΩ = B,S multimea evenimentelor elementare ce pot avea loc la fiecare aruncare (B pentruaparitia banului, S pentru aparitia stemei) si consideram F = P(SS, SB,BS,BB).

Dupa prima aruncare stim ca s-a obtinut banul sau stema, dar nu stim nimic despre rezul-tatul celei de a doua aruncari. Cu alte cuvinte, dupa prima aruncare a banului stim daca auavut loc sau nu urmatoarele evenimente: ∅ (evenimentul imposibil), SS, SB (evenimentul


aparitiei stemei la prima aruncare), BS,BB (evenimentul aparitiei banului la prima arun-care) si Ω (evenimentul sigur). Informatia cunoscuta dupa prima aruncare este deci continutaın σ-algebra F1 data de

F1 = ∅, SS, SB, BS,BB,Ω.

Dupa a doua aruncare cunoastem rezultatul atat a primei cat si a celei de a doua aruncari sideci aceasta informatie este continuta ın σ-algebra F2 = F . Este evident faptul ca F1 ⊂ F2.

Considerand variabilele aleatoare Xn ca reprezentand numarul de fete stema obtinute ınprimele n aruncari (n = 1, 2), avem

X−11 (B) =

∅, 0, 1 /∈ BBS,BB, 0 ∈ B, 1 /∈ BSS, SB, 0 /∈ B, 1 ∈ BΩ, 0, 1 ∈ B,

∈ F1

pentru orice multime Boreliana B ∈ BR si deci X1 este o v.a. masurabila ın raport cu σ-algebraF1.

Cum F2 = P(Ω), este evident ca variabila aleatoare X2 este F2-masurabila, fara a fi ınsamasurabila ın raport cu F1 (nu putem determina numarul de steme ın cele doua aruncaricunoscand numai rezultatul primei aruncari). Pentru a observa acest lucru consideram B =1 si avem ca

X−12 (B) = X−1

2 (1) = BS, SB /∈ F1,

ceea ce spune ca v.a. X2 nu este masurabila ın raport cu σ-algebra F1.

Data o familie de v.a. (Xn)n∈N, putem ıntotdeauna determina o filtrare ın raport cu carefamilia de v.a. este adaptata, asa cum vedem ın cele ce urmeaza. Definim σ-algebra

Fn = σ(X0, . . . , Xn)

ca fiind filtrarea naturala a procesului stochasticX. Astfel, un proces stochastic este ıntotdeaunaadaptat filtrarii sale naturale.

O clasa particulara si importanta de procese stochastice o constituie procesele martingale,sau, pe scurt, martingalele, procese utilizate ın special ın modelarea ”jocurilor echitabile” (fairgames) si a pietelor financiare.

Definitia 1.19. Un proces stochastic X = Xnn∈I este o martingala ın raport cu (Fnn∈I ,P) daca:

(i) X este adaptat filtrarii Fnn∈I ;

(ii) E |Xn| <∞, pentru orice n ∈ I;

(iii) E(Xn|Fn−1) = Xn−1, P-a.s., pentru orice n ≥ 1.

Definitia 1.20.

• Un proces stochastic X = Xnn∈I este o supramartingala daca au loc conditiile (i), (ii)si

E(Xn|Fn−1) ≤ Xn−1,P-a.s., pentru orice n ≥ 1.

• Un proces stochastic X = Xnn∈I este o submartingala daca au loc conditiile (i), (ii)si

E(Xn|Fn−1) ≥ Xn−1,P-a.s., pentru orice n ≥ 1.


Ca si interpretare empirica, procesele martingale modeleaza jocurile corecte, supramartin-galele modeleaza jocurile nefavorabile, iar submartingalele pe cele favorabile. ConsiderandXt ca fiind averea unui jucator la momentul t si Ft informatia disponibila despre joc panala acest moment de timp, putem gandi martingala ca fiind modelul matematic al unui ”jocechitabil”, deoarece relatia de definitie arata ca valoarea asteptata a castigului la momentul tdin viitor, data fiind informatia despre joc pana la momentul prezent s (informatie continutaın σ-algebra Fs), este egala cu valoarea Xs a averii la momentul prezent. In mod similar,putem gandi submartingalele si supermartingalele ca fiind jocuri ce favorizeaza, respectiv de-favorizeaza jucatorul. Dupa cum vom vedea, martingalele (definite mai sus) nu iau valorifoarte mari sau foarte mici cu probabilitate apropiata de 1, fiind constante ın medie. O altasemnificatie a termenului martingala este legata de jocurile de noroc, si reprezinta o strate-gie de pariere populara ın Franta secolului 18. In aceasta strategie, jucatorul dubleaza mizadupa fiecare joc pierdut, astfel ıncat la primul joc castigat sa ısi recupereze toate pierderileanterioare plus un castig egal cu miza pariata initial. Modelul matematic al acestui joc con-stituie o martigala, ın sensul definitiei de mai sus. Prezentam ın continuare doua exemple demartingale: o martingala ın timp discret si una ın timp continuu.

Exemplul 1.3. Consideram urmatorul joc: se arunca ın mod repetat o moneda si la fiecarearuncare jucatorul castiga 1 leu daca apare stema si pierde 1 leu ın caz contrar. Notand prinXn variabila aleatoare reprezentand rezultatul celei de-a n-a aruncari (consideram Xn = +1ın cazul aparitiei stemei si Xn = −1 ın caz contrar) pentru n ≥ 1 si X0 = 0 si definind

Mn :=n∑i=0

Xi, n ∈ N,

Mnn∈N este o martingala ın raport cu filtrarea F = Fn := σ(Xi | i = 0, 1, ..., n) | n ∈ Ndeoarece Mn este o variabila aleatoare integrabila si masurabila ın raport cu Fn oricare ar fin ∈ N, si oricare ar fi m,n ∈ N cu m < n avem (presupunand ca aruncarile succesive alemonedei sunt independente):

E(Mn|Fm) = E(X0 + ...+Xn|Fm)

= X0 + ...+Xm + E(Xm+1 + ...+Xn|Fm)

= Mm + E(Xm+1 + ...+Xn)

= Mm + 0 = Mm

deoarece variabilele aleatoare Xi sunt Fm-masurabile pentru i = 0, ...,m si independente deFm pentru i = m+ 1, ..., n si deoarece

EXi = (+1) · P(Xi = 1)+(−1) · P(Xi = −1) =(+1) · 1

2+ (−1) · 1

2= 0,

oricare ar fi i ∈ N∗.

Ca un exemplu de martingala ın timp continuu prezentam:

Exemplul 1.4. Fie Y o variabila aleatoare integrabila pe spatiul de probabilitate (Ω,F ,P) siFtt≥0 o filtrare. Atunci Mt := E(Y |Ft) este o martingala ın raport cu filtrarea Ftt≥0.Intr-adevar, din definitia mediei conditionate rezulta ca variabila aleatoare Mt este masurabilaın raport cu σ-algebra Ft si integrabila, iar din proprietatile mediei conditionate avem, pentru0 ≤ s < t:

E(Mt|Fs) = E(E(Y |Ft)|Fs) = E(Y |Fs) = Ms.

Alte doua exemple importante de procese martingale sunt prezentate ın cele ce urmeaza.


Exemplul 1.5. Fie Y1, Y2, ... un sir de variabile aleatoare independente, identic repartizate,astfel ıncat EYi = 0 pentru fiecare i si consideram Ft0≤t<∞ filtrarea sa naturala. Atunci

Xt =t∑

j=1Yj este o martingala.

Exemplul 1.6. Fie Y1, Y2, ... un sir de variabile aleatoare independente, identic repartizate,astfel ıncat EYi = 0, EY 2

i = σ2 < ∞, pentru fiecare i si consideram Ft0≤t<∞ filtrarea sanaturala. Atunci procesul t∑

j=1

Yj

2

− σ2t

este o martingala.

1.4 Miscarea Browniana

In poemul stiintific De rerum natura (Asupra naturii lucrurilor), filosoful si poetul romanTitus Lucretius Carus (ca. 99 BC – ca. 55 BC) a facut o descriere remarcabila a miscariiBrowniene a particulelor de praf, el folosind-o apoi ca pe o demonstratie a existentei atomilor:”Observati ce se ıntampla atunci cand razele de soare patrund ıntr-o ıncapere si lumineazacolturile ıntunecate. Veti observa nenumarate particule minuscule amestecandu-se ıntr-o mul-titudine de moduri...dansul lor este de fapt un indicator al miscarii materiei, ascunsa privir-ilor noastre...Ea ısi are originea chiar ın miscarea spontana a atomilor. Apoi, aceste corpurimarunte formate sunt puse ın miscare de catre impactul ciocnirilor lor invizibile privirii. Ast-fel, miscarea evolueaza de la nivelul atomilor la o scara perceptibila simturilor noastre, putandjustifica miscarile ce se petrec ın acele raze de soare”.

Cu toate ca Jan Ingenhousz a descris ın 1785 miscarea iregulata a unor particule decarbune pe o suprafata de alcool, botanistul scotian Robert Brown a fost creditat, ın 1827,cu descoperirea miscarii Browniene, el observand miscarea neregulata a unor granule mici depolen aflate pe suprafata unui lichid (aceasta miscare neregulata este rezultatul coliziuniloraleatoare dintre granulele de polen si moleculele lichidului). Ca obiect matematic, miscareaBrowniana a fost studiata pentru prima data de catre Louis de Bachelier (1900) ın legatura cuteoria bursei de valori, si de catre Albert Einstein (1905), care a folosit-o pentru a verifica teoriamoleculara a caldurii. Ei au conjecturat multe din proprietatile miscarii Browniene, dar a duratmult timp pana cand s-a putut demonstra existenta procesului cu proprietatile specificate.In 1923, Norbert Wiener a demonstrat consistenta definitiei cu propritatile specificate (dinacest motiv miscarea Browniana este numita uneori si proces Wiener), si mai tarziu, ın 1951,Monroe David Donsker a dat o demonstratie completa a convergentei drumurilor aleatoarecatre miscarea Browniana.

Miscarea Browniana paote fi considerata ca fiind limita unui drum aleator, dupa cumurmeaza: pe un spatiu de probabilitate (Ω,F ,P) fixat, consideram variabilele aleatoare (Yn)n∈N∗ ,independente si identic repartizate, cu

P (Yn = 1) = P (Yn = −1) =1

2, n ∈ N∗

si definim drumul aleator (Sn)n∈N prin

Sn =

∑ni=1 Yi, n ∈ N∗

0, n = 0,n ∈ N.

Unind punctele (n, Sn)n=0,1,2,... prin segmente de dreapta, obtinem un grafic asemanator traiec-toriei neregulate descrise de granulele de polen observate de Brown.


Cum EYi = 0 si D2(Yi) = 1 pentru orice i ∈ N∗, obtinem ca

ESn = 0 si D2(Sn) = n,

iar din Teorema Limita Centrala rezulta ca

Sn√n→

n→∞B1 ∼ N(0, 1).

Putem extinde constructia anterioara pentru a obtine un proces stochastic Bt definit pentrutoti timpii t ≥ 0, considerand

Bt := limn→∞

S[nt]√n, t ≥ 0,

unde am notat prin [x] partea ıntreaga a numarului real x. Se poate demonstra ca procesulstochastic Btt≥0 astfel construit este o miscare Browniana ın sensul definitiei urmatoare.

Definitia 1.21. O miscare Browniana 1-dimensionala cu startul ın 0 ∈ R este un processtochastic Btt≥0 pe (Ω,F ,P) cu urmatoarele proprietati:

(i) P (B0 = 0) = 1;

(ii) Pentru orice 0 ≤ s < t, variabila aleatoare Bt − Bs ∼ N(0, t − s) este independenta deσ-algebra σ(Br | ∀r ≤ s);

(iii) Pentru aproape orice ω ∈ Ω, functia t ∈ [0,∞) 7→ Bt(ω) este continua.

Cateva dintre proprietatile miscarii Browniene sunt prezentate ın rezultatul urmator.

Propozitia 1.22. Fie Bt o miscare Browniana 1-dimensionala cu startul ın 0 ∈ R.

(a) EBt = 0, cov(Bs, Bt) = s ∧ t, pentru oricare s, t ≥ 0;

(b) Pentru aproape toti ω ∈ Ω, traiectoriile t ∈ [0,∞) 7→ Bt(ω) miscarii Browniene nu suntdiferentiabile ın nici un punct t ∈ [0,∞);

(c) Variatia totala pe orice interval finit [0, T ] este infinita, adica

sup∆

n∑i=1

∣∣Bti −Bti−1

∣∣ =∞ a.s.,

unde supremumul este considerat pentru toate partitiile ∆ : 0 = t0 < t1 < ... < tn aleintervalului [0, T ];

(d) Variatia patratica corespunzatoare unei partitii ∆ : 0 = t0 < t1 < ... < tn a intervalului[0, T ] converge ın L2 (Ω× [0, T ] ;R) catre T, adica

E

( n∑k=1

(Bti −Bti−1

)2 − T)2→ 0

cand ||∆n|| := max1≤i≤n

|ti − ti−1| → 0. Daca ın plus∑

n≥1 ||∆n|| <∞, atunci convergenta

precedenta este aproape sigura.


1.5 Integrala stochastica

In aceasta sectiune vom prezenta constructia integralei stochastice Ito

∫ t

0HsdMs, unde Ms

este o martingala (cel mai adesea miscarea Browniana) iar Hs este un proces stochasticadaptat filtrarii corespunzatoare lui Ms. Deoarece traiectoriile miscarii Browniene Bt nu au

variatie finita, nu putem defini

∫ t

0HsdBs ca fiind o integrala de tip Lebesgue-Stieltjes. Cheia

constructiei este izometria ın L2, care ne va permite sa definim integrala stochastica ca fiindlimita ın L2(P) a unui sir de variabile aleatoare convenabil alese.

Definim I clasa integranzilor ca fiind clasa functiilor

f(t, ω) : [0,∞)× Ω→ R

ce verifica urmatoarele conditii:

i) functia (t, ω) 7→ f(t, ω) este masurabila ın raport cu σ-algebra produs BR+×F ;

ii) f(t, ·) este o variabila aleatoare masurabila ın raport cu σ-algebra Ft, pentru orice t ≥ 0;

iii) E∫ ∞

0f2(s, ω)ds <∞.

Numim proces elementar un proces stochastic f(t, ω) ∈ I de forma

f(t, ω) = ϕ(ω)1[a,b)(t).

Observam ca proprietatile ii) si iii) de mai sus revin ın acest caz la faptul ca variabila aleatoareϕ = ϕ(ω) este o variabila aleatoare masurabila ın raport cu σ-algebra Fa, respectiv ca variabilaaleatoare ϕ2 este integrabila. Definim ın acest caz integrala stochastica prin∫ t

0ϕ(ω)1[a,b)(s)dBs(ω) = ϕ(ω)(Bb∧t(ω)−Ba∧t(ω)).

Numim proces simplu un proces stochastic f(t, ω) ∈ I ce poate fi scris ca o combinatieliniara de procese elementare, adica

f(t, ω) =

N∑i=1

ϕi(ω)1[ai,bi)(t),

unde ϕi = ϕi(ω) sunt variabile aleatoare Fai-masurabile, de patrat integrabil, 1 ≤ i ≤ N si0 ≤ a1 < b1 ≤ ... ≤ aN < bN . Definim integrala stochastica ın acest caz prin liniaritate, adica∫ t

0

N∑i=1

ϕi(ω)1[ai,bi)(s)dBs(ω) =N∑i=1

ϕi(ω)(Bbi∧t(ω)−Bai∧t(ω)).

Integrala definita anterior are urmatoarele proprietati.

Propozitia 1.23. Daca f ∈ I este un proces simplu, marginit, atunci integrala stochastica

Nt(ω) =

∫ t

0f(s, ω)dBs(ω)


este o martingala continua si are loc urmatoarea proprietate de izometrie:

E

[(∫ t

0f(s, ω)dBs(ω)

)2]

= E∫ t

0f2(s, ω)ds. (1.1)

Demonstratie. Pentru a demonstra prima afirmatie, datorita liniaritatii integralei stochastice,este suficient sa consideram cazul ın care f ∈ I este un proces elementar marginit

f(t, ω) = ϕ(ω)1[a,b)(t),

unde ϕ(ω) este o variabila aleatoare Fa-masurabila, marginita, de patrat integrabil si 0 ≤ a <b.

Daca procesul ϕ este marginit de constanta K, obtinem

|Nt −Ns| = |ϕ(ω)(Bb∧t(ω)−Ba∧t(ω))− ϕ(ω)(Bb∧s(ω)−Ba∧s(ω))|≤ K |Bb∧t(ω)−Bb∧s(ω)|+K |Ba∧t(ω)−Ba∧s(ω)| ,

iar continuitatea procesului Nt rezulta din continuitatea miscarii Browniene Bt.

Pentru a arata ca Nt este o martingala ın raport cu filtrarea Ftt≥0 trebuie sa aratamca, oricare ar fi 0 ≤ s < t avem E(Nt|Fs) = Ns. In functie de pozitiile relative ale numerelora, b, s si t distingem urmatoarele situatii:

1. a < s < t < b

Avem

E(Nt|Fs) = E(ϕ(ω)(Bt(ω)−Ba(ω))|Fs)= ϕ(ω) (E (Bt(ω)−Bs(ω)|Fs) + E (Bs(ω)−Ba(ω)|Fs))= ϕ(ω) (E (Bt(ω)−Bs(ω))) +Bs(ω)−Ba(ω)

= ϕ(ω) (0 +Bs(ω)−Ba(ω))

= ϕ(ω) (Bs(ω)−Ba(ω))

= Ns,

deoarece, ın acest caz, Bt − Bs este o variabila aleatoare independenta de σ-algebra Fs iarBs −Ba este o variabila aleatoare Fs-masurabila.

2. a < s < b < t

Avem

E(Nt|Fs) = E(ϕ(ω)(Bb(ω)−Ba(ω))|Fs)= ϕ(ω) (E (Bb(ω)−Bs(ω)|Fs) + E (Bs(ω)−Ba(ω)|Fs))= ϕ(ω) (E (Bb(ω)−Bs(ω))) +Bs(ω)−Ba(ω)

= ϕ(ω) (0 +Bs(ω)−Ba(ω))

= ϕ(ω) (Bs(ω)−Ba(ω))

= Ns,

deoarece, ın acest caz, Bb − Bs este o variabila aleatoare independenta de σ-algebra Fs iarBs −Ba este o variabila aleatoare Fs-masurabila.

3. Pentru celelalte patru cazuri ramase demonstratia este similara si o vom putea omite.


Pentru a demonstra ultima afirmatie din enuntul Propozitiei, consideram un proces simpluf ∈ I, dat de

f(t, ω) =

N∑i=1

ϕi(ω)1[ai,bi)(t),

unde ϕi(ω) sunt variabile aleatoare Fai-masurabile, marginite, de patrat integrabil, 1 ≤ i ≤ Nsi 0 ≤ a1 < b1 ≤ ... ≤ aN < bN .

Folosind independenta cresterilor miscarii Browniene si faptul ca variabilele aleatoare ϕisi ϕj sunt Fai , respectiv Faj -masurabile, obtinem:

E[ϕi(ω)ϕj(ω) (Bbi∧t(ω)−Bai∧t(ω))

(Bbj∧t(ω)−Baj∧t(ω)

)]=

E(ϕ2i (ω)

)(bi ∧ t− ai ∧ t) , i = j

0, i 6= j,

de unde rezulta ca

E

[(∫ t

0f(s, ω)dBs(ω)

)2]

= E

[N∑i=1

ϕ2i (ω) (Bbi∧t(ω)−Bai∧t(ω))2

]

+ 2E

∑1≤i<j≤N

ϕi(ω)ϕj(ω) (Bbi∧t(ω)−Bai∧t(ω))(Bbj∧t(ω)−Baj∧t(ω)

)= E

[N∑i=1

ϕ2i (ω) (bi ∧ t− ai ∧ t)

]

= E∫ t

0f2(s, ω)ds,

demonstratia fiind ın acest moment ıncheiata.

Pentru a extinde definitia integralei stochastice la cazul general al unui proces f ∈ Iintroducem, pentru ınceput, urmatorul rezultat.

Lema 1.24. Daca f ∈ I, atunci exista un sir de procese simple, marginite, fn ∈ I astfel ıncat

E∫ ∞

0(f(s, ω)− fn(s, ω))2 ds→ 0 pentru n→∞. (1.2)

Folosind acest rezultat, putem demonstra urmatoarea Teorema.

Teorema 1.25. Oricare ar fi procesul f ∈ I si sirul de procese simple (fn)n∈N ⊂ I cu

E∫ ∞

0(f(s, ω)− fn(s, ω))2 ds→ 0 pentru n→∞,

procesul Nnt (ω) =

∫ t

0fn(s, ω)dBs(ω) converge ın L2(P), uniform ın raport cu t ∈ [0,∞), catre

o martingala continua Nt(ω). Mai mult, limita este independenta de alegerea sirului (fn)n∈Nfolosit ın aproximarea functiei f .

Putem enunta, ınainte de a trece la demonstratia Teoremei anterioare, urmatoarea Definitie.


Definitia 1.26 (Integrala stochastica Ito). Definim integrala stochastica Ito a unui processtochastic f ∈ I, ın raport cu miscarea Browniana Bt prin∫ t

0f(s, ω)dBs = lim

n→∞

∫ t

0fn(s, ω)dBs,

unde fn este un sir de procese simple, marginite, ce verifica relatia (1.2).

Demonstratie. Sa observam ca, daca g ∈ I este un proces simplu, marginit, rezulta ca Mt =∫ t

0g(s, ω)dBs(ω) este o martingala continua si are loc egalitatea

EM2t = E

[(∫ t

0g(s, ω)dBs(ω)

)2]

= E∫ t

0g2(s, ω)ds <∞

si deci

supt≥0

EM2t ≤ E

∫ ∞0g2(s, ω)ds <∞.

Conform teoremei de convergenta a martingalelor rezulta ca limita M∞ = limt→∞Mt existaaproape sigur si avem

EM2∞ = lim

t→∞E(∫ t

0g(s, ω)dBs(ω)

)2

= limt→∞

E∫ t

0g2(s, ω)ds

= E∫ ∞

0g2(s, ω)ds <∞.

Cum diferenta a doua procese simple este tot un proces simplu, aplicand rezultatul anteriorprocesului g(s, ω) = fn(s, ω)− fm(s, ω) si folosind inegalitatea lui Doob, obtinem

E(

supt≥0

(Nnt −Nm

t )2

)≤ cE

∫ ∞0

(fn(s, ω)− fm(s, ω))2 ds

≤ 2cE∫ ∞

0(fn(s, ω)− f(s, ω))2 ds+ 2cE

∫ ∞0

(fm(s, ω)− f(s, ω))2 ds

→ 0

pentru n,m → ∞. Rezulta deci ca Nnt (ω) este un sir Cauchy ın L2(P), uniform ın raport cu

t ≥ 0. Cum L2(P) este un spatiu metric complet rezulta ca Nnt converge ın L2(P) catre un

proces pe care ıl vom nota cu Nt = Nt(ω). Procesul limita Nt este, de asemenea, un procescontinuu ın variabila t.

Deoarece Nnt este o martingala, oricare ar fi 0 ≤ s < t, avem

E (Nnt |Fs) = Nn

s ,

de unde, prin trecere la limita pentru n→∞, rezulta ca Nt este tot o martingala. Faptul ca

E (Nnt |Fs)→ E (Nt|Fs) pentru n→∞


rezulta din

E(

(E(Nnt |Fs)−E(Nt|Fs))2

)= E

((E (Nn

t −Nt|Fs))2)

≤ E(E(

(Nnt −Nt)

2 |Fs))

= E(

(Nnt −Nt)

2)→

n→∞0.

Pentru a demonstra independenta limitei de sirul de aproximare (fn)n∈N ⊂ I considerat,

fie un alt sir de procese simple, marginite, (fn)n∈N ⊂ I, cu

E∫ ∞

0

(f(s, ω)− fn(s, ω)

)2ds→ 0 pentru n→∞

si sa notam Nnt =

∫ t

0fn(s, ω)dBs(ω).

Conform demonstratiei anterioare avem, folosind din nou inegalitatea lui Doob,

E(

supt≥0

(Nnt − Nn

t

)2)≤ cE

(∫ ∞0

(fn(s, ω)− fn(s, ω)

)2ds

)→ 0

pentru n→∞ si deci limita Nt este independenta de alegerea sirului de aproximare (Nnt )n∈N

considerat.

Exemplul 1.7. Calculati valoarea integralei stochastice∫ t

0 BsdBs folosind definitia integraleistochastice.

Demonstratie. Consideram f(t, ω) = Bt si definim sirul

fn(t, ω) =2n−1∑j=0

Btj1[tj ,tj+1)(t),

unde tj = tnj = t j2n .

Din independenta cresterilor miscarii Browniene obtinem

E(∫ t

0(f(s, ω)− fn(s, ω))2 ds

)= E

2n−1∑j=0

∫ tj+1

tj

(Btj −Bs)2ds

=

2n−1∑j=0

∫ tj+1

tj

(s− tj)ds

=

2n−1∑j=0

1

2(tj+1 − tj)2

=t2

2 · 2n→ 0

pentru n→∞ si deci fn este un sir de aproximare al procesului f ın sensul relatiei (1.2).


Conform definitiei integralei stochastice avem∫ t

0BsdBs = lim

n→∞

∫ t

0fn(s, ω)dBs(ω)

= limn→∞

2n−1∑j=0

Btj (Btj+1 −Btj )

= limn→∞

1

2

2n−1∑j=0

(B2tj+1−B2

tj −(Btj+1 −Btj

)2)=

1

2

(B2t −B2

0

)− 1

2t.

Observatia 1.27. In exemplul anterior am obtinut∫ t

0BtdBt =

1

2

(B2t −B2

0

)− 1

2t,

formula care difera de formula obisnuita de integrare∫ t

0BtdBt =

1

2B2s |s=ts=0 =

1

2(B2

t −B20),

ın cazul integralei Lebesgue-Stieltjes (daca aceasta integrala s-ar fi aplicat procesului B).Aceasta se datoreaza faptului ca procesul B nu este un proces cu variatie marginita, dar esteun proces cu variatie patratica marginita, fapt care conduce la aparitia termenului 1

2 t dincalculul integralei anterioare.

Observatia 1.28. Spre deosebire de integrala de tip Lebesgue-Stieltjes, alegerea punctului in-termediar s∗i produce valori diferite ale integralei stochastice. Integrala Ito corespunde alegeriipunctului intermediar ca limita inferioara a intervalului considerat, adica s∗i = si. Exista sialte constructii ale integralei stochastice, spre exemplu alegerea punctului s∗i = si+si+1

2 conducela integrala stochastica Stratonovich.

1.6 Ecuatii diferentiale stochastice si formula lui Ito

Teoria ecuatiilor diferentiale stochastice (EDS) este un cadru pentru descrierea sistemelordinamice care includ forte atat aleatoare cat si nealeatoare. Teoria are ca suport integralastochastica Ito. Formula lui Ito este o formula de diferentiere stochastica, similara situatieidiferentierii functiilor compuse din cazul determinist.

O EDS de tip Ito are forma

dXt = a (t,Xt) dt+ σ (t,Xt) dWt,

care, scrisa sub forma integrala devine

XT −X0 =

∫ T

0a (t,Xt) dt+

∫ T

0σ (t,Xt) dWt,

unde prima integrala este o integrala Riemann iar cea de a doua o integrala stochastica de tipIto. Conditia initiala este X0 = u0 (x), unde u0 (x) este densitatea de probabilitate a lui X la


momentul de start. Coeficientul a (t,Xt) este coeficientul de drift iar σ (t,Xt) este coeficientulde volatilitate. Termenul σ (t,Xt) dWt este termenul martingal al procesului X.

1.6.1 Miscarea Browniana geometrica

Consideram EDS dXt = µXtdt+ σXtdWt

X0 = 1,(1.3)

ceea ce defineste o miscare Browniana geometrica. In formularea generala anterioara

a (t, x) = µx si σ (t, x) = σx.

Daca Wt ar fi o functie diferentiabila ın raport cu t, solutia ecuatiei (1.3) ar fi

Xt = eµt+σWt . (ceea ce este gresit !!!) (1.4)

Pentru a verifica acest lucru consideram functia

x(ω, t) = eµt+σω ,

cu

∂ωx = xω = σx,

∂tx = xt = µx

∂ωωx = xωω = σ2x.

Prin urmare, diferentierea functiei (1.4) conduce la

dXt (Wt) = µXdt+ σXdWt +σ2

2Xdt.

Putem ınlatura ultimul termen (nedorit) prin multiplicarea cu e−σ2t2 , ceea ce sugereaza ca

formula

Xt = e−µt−σ2t2

+σWt

satisface (1.3).

Sa consideram acum cazul simplu ın care µ = 0 si σ = 1, adicadXt = XtdWt

X0 = 1.

Solutia este miscarea BrownianaXt = eWt− t2 . (1.5)

Privind formula (1.5) ın relatie cu proprietatea martingala (Xt este o martingala deoarecetermenul de drift este zero), obtinem, dupa un calcul simplu, ca

Xt+t′ = e

(Wt− t2+

(Wt′−Wt− t

′−t2

)),

si caE [Xt+t′ |Ft] = Xt.


1.6.2 Formula lui Ito

Formula lui Ito prezinta forme diverse, cea mai simpla dintre acestea fiind prezentata ın celece urmeaza.

Teorema 1.29. Fie u : R× [0,∞)→ R o functie continuu diferentiabila pana la ordinul doiın x si pana la ordinul ıntai ın t si consideram W un proces Wiener (miscare Browniana).Notam cu ut, ux si uxx derivatele de ordinul ıntai respectiv doi ale functiei u ın raport cuvariabilele t si x. Atunci are loc formula

u(Wt, t)− u(0, 0) =

∫ t

0ux(Ws, s)dWs +

∫ t

0ut(Ws, s)ds+

1

2

∫ t

0uxx(Ws, s)ds,

sau, scrisa sub forma diferentiala

du(Wt, t) =

(ut(Wt, t) +

1

2uxx(Wt, t)

)dt+ ux(Wt, t)dWt .

Pentru un caz mai general, formula lui Ito are urmatoarea forma.

Teorema 1.30. Fie X un proces stochastic ce verifica urmatoarea EDS:dXt = a(t,Xt)dt+ σ (t,Xt) dWt ,

X0 = u0 ,

unde coeficientii de drift si de difuzie verifica conditiile necesare si suficiente ce asiguraexistenta solutiei EDS considerate. Fie u : R × [0,∞) → R o functie continuu diferentiabilapana la ordinul doi ın x si pana la ordinul ıntai ın t. Atunci u (Xt, t) este un proces Ito cesatisface EDS:

du (Xt, t) = ux (Xt, t) dXt + ut (Xt, t) dt+1

2uxx (Xt, t)σ

2 (t,Xt)

= ux (Xt, t)σ (t,Xt) dWt +

(ux (Xt, t) a(t,Xt) +

1

2uxx (Xt, t)σ

2 (t,Xt) + ut (Xt, t)

)dt.

Exemplul 1.8. Fie u (x, t) = x2 − t. Avem

ut(x, t) = −1

ux(x, t) = 2x

uxx(x, t) = 2.

In consecinta, conform formulei lui Ito (remarcam ca ut + 12uxx = 0)

W 2t − t = 2

∫ t

0WsdWs ,

de unde rezulta imediat ca ∫ t

0WsdWs =

1

2

(W 2t − t

).

Exemplul 1.9. Fie α, β ∈ R doi scalari deterministi fixati. Consideram

u(x, t) = eαx+βt


si avem

ut(x, t) = βu(x, t)

ux(x, t) = αu(x, t)

uxx(x, t) = α2u(x, t).

Formula lui Ito conduce la

u (Wt, t) = 1 + α

∫ t

0u (Wt, t) dWt +

(β +

1

2α2

)∫ t

0u (Wt, t) dt. (1.6)

Notand St = u (Wt, t), ecuatia (1.6), scrisa sub forma diferentiala, devine

dStSt

= αdWt +

(β +

1

2α2

)dt. (1.7)

In particular, daca

α = σ si β = µ− σ2

2

atunci St este solutia ecuatiei (1.3).

Daca

α = θ si β = −θ2

2

pentru θ ∈ R, atunci ecuatia (1.7) capata forma simplificata

dStSt

= αdWt,

sau, echivalent,

eθWt− θ2t2 = 1 + θ

∫ t

0eθWs− θ

2s2dWs.

Prin urmare, procesul eθWt− θ2t2 este o martingala ın raport cu filtrarea naturala.

Exemplul 1.10. Un proces Ito cu multiple aplicatii atat ın modelarea proceselor fizice cat siın evaluarea derivatelor financiare este procesul Ornstein–Uhlenbeck. Acesta este un processtochastice care satisface EDS:

dXt = θ (µ−Xt) dt+ σdWt , (1.8)

unde θ, µ, σ sunt parametri strict pozitivi iar W este un proces Wiener real.

Procesul Ornstein–Uhlenbeck reprezinta una dintre abordarile utilizate ın modelarea dobanzilor,a ratelor de schimb intermonetar si al preturilor activelor primare din pietele financiare.Parametrii ce intervin ın ecuatia de stare modeleaza valoarea medie a activelor, gradul devolatilitate al activelor primare si rata cu care aceste active se departeaza sau apropie devaloarea medie.

Pentru a obtine solutia ecuatiei (1.8) facem apel tot la formula lui Ito si consideram functia

u (Xt, t) = Xteθt.


Obtinem, prin diferentiere,

du (Xt, t) = θXteθtdt+ eθtdXt

= θXteθtdt+ eθt (θ (µ−Xt) dt+ σdWt)

= θXteθtdt+ eθtθ (µ−Xt) dt+ eθtσdWt

= eθtθµdt+ eθtσdWt .

Integram de la 0 la t si obtinem, tinand cont de formula lui u (Xt, t):

Xteθt = X0 +

∫ t

0eθsθµds+

∫ t

0eθsσdWs ,

de unde, ınmultind cu e−θt, obtinem formula lui X:

Xt = X0e−θt + µ

(1− e−θt

)+

∫ t

0σeθ(s−t)dWs .

Revenim ın cele ce urmeaza la demonstratia Teoremei 1.29. Pentru simplitate vom con-sidera t = 1 si presupunem ca derivatele partiale ut si uxx sunt uniform marginite si uniformcontinue. PEntru orice n ≥ 1 fie Dn = Dn [0, 1] partitia diadica a intervalului [0, 1], adicapartitia ın intervale [tj , tj+1], unde tj = j

2n .

Lema 1.31. Pentru orice functie g : R× [0,∞)→ R nenegativa, uniform continua si uniformmarginita au loc

limn→∞

2n−1∑j=0

g(Wtj , tj

) (Wtj+1 −Wtj

)2=

∫ 1

0g (Wt, t) dt si (1.9)

limn→∞

2n−1∑j=0

o((Wtj+1 −Wtj

)2)= 0, (1.10)

unde prin notatia o (y) ıntelegem faptul ca termenul este de un ordin de magnitudine mai mic

decat y atunci cand n→∞, adica o(y)y → 0 atunci cand n→∞.

Remarca. Relatia (1.9) este o generalizare a formulei variatiei patratice deja studiate sieste baza ecuatiei euristice

(dWt)2 = dt.

Demonstratie. (Schita)

Exprimam diferenta u (W1, 1)− u (0, 0) ca o suma telescopica si obtinem

u (W1, 1)− u (0, 0) =

2n∑j=1

(u(Wtj , tj

)− u

(Wtj−1 , tj−1

))=

2n∑j=1

(u(Wtj , tj

)− u

(Wtj , tj−1

))+

2n∑j=1

(u(Wtj , tj−1

)− u

(Wtj−1 , tj−1

)):= S

(n)1 + S

(n)2 .


Termenii primei sume S(n)1 pot fi aproximati folosind dezvoltarea Taylor a functiei u (x, t) ın

punctul t:

u(Wtj , tj

)− u

(Wtj , tj−1

)= ut

(Wtj , tj

)(tj − tj−1) + o (tj − tj−1)

= ut(Wtj , tj

)2−n + o

(2−n

).

Eroarea o (2−n) este, ın mod uniform, suficient de mica daca tinem cont de preupunerea catermenul ut (x, t) este uniform marginit; ın consecinta, daca sumam aceste 2n erori dupaindicele j eroarea totala este o (1). Prin urmare, ın urma sumarii obtinem o suma Riemann

ce aproximeaza integrala

∫ 1

0us (Ws, s) ds:

S(n)1 = 2−n

2n∑j=1

ut(Wtj , tj

)+ o (1) −→

n→∞

∫ 1

0us (Ws, s) ds.

Termenii celei de a doua sume S(n)2 pot fi aproximati folosind dezvoltarea Taylor a functiei

u (x, t) ın prima variabila, de data aceasta utilizand primii doi termeni ai dezvoltarii pentru apastra eroarea suficient de mica:

u(Wtj , tj−1

)− u

(Wtj−1 , tj−1

)= ux

(Wtj−1 , tj−1

) (Wtj −Wtj−1

)+

1

2uxx

(Wtj−1 , tj−1

) (Wtj −Wtj−1

)2+ o

((Wtj −Wtj−1

)2).

Conform Lemei anterioare si tinand cont de definitia integralei stochastice, obtinem, pentrun→∞,

2n∑j=1

ux(Wtj−1 , tj−1

) (Wtj −Wtj−1

)−→n→∞

∫ 1

0ux (Ws, s) dWs,

2n∑j=1

uxx(Wtj−1 , tj−1

) (Wtj −Wtj−1

)2 −→n→∞

∫ 1

0uxx (Ws, s) ds si

2n∑j=1

o((Wtj −Wtj−1

)2) −→n→∞

0.

Concluzionand, obtinem ca

u (W1, 1)− u (0, 0) = limn→∞

(S

(n)1 + S

(n)2

)=

∫ 1

0us (Ws, s) ds+

∫ 1

0ux (Ws, s) dWs

+1

2

∫ 1

0uxx (Ws, s) ds,

ceea ce ıncheie demonstratia Teoremei.

Capitolul 2Scurta descriere a pietelor financiare

Tranzactiile cu optiuni au aparut ınca de la ınceputul sec al-XII-lea si au fost legate de comertulcu lalele care se practica ın Olanda. De exemplu, un exportator de bulbi de lalele se puteaproteja ımpotriva pierderii marfii pe timpul transportului prin cumpararea de la un producatora unei cantitati de bulbi echivalenta cu cea expediata, la un anumit pret, la optiunea sa.Astfel exportatorul cumparator putea ınlocui marfa daca aceasta se deprecia sau distrugea petimpul transportului sau putea sa renunte la acest drept daca marfa ajungea ın buna stare ladestinatie. Deci cei care tind sa asocieze optiunile cu speculatia gresesc ın oarecare masuradeoarece optiunile au aparut ca modalitate de acoperire a riscului la care te expune specificulafacerii proprii, nu ca un instrument speculativ.

Instrumentele financiare derivate se tranzactioneaza pe piete reglementate la termen, val-oarea acestora derivand din pretul de tranzactionare al activelor suport (instrumente finan-ciare, valute, indici bursieri, rate ale dobanzii, marfuri, etc.), cotate pe o piata spot (instan-tanee, la vedere). In acceptiunea referentialului contabil international, un instrument derivateste un instrument financiar care ıntruneste toate cele trei caracteristici de mai jos:

1. valoarea sa se modifica ca reactie la variatiile ın anumite rate ale dobanzii, pretul unuiinstrument financiar, pretul marfurilor, cursurile de schimb valutar, indicii de pret saurata, ratingul de credit sau indicele de creditare, sau ın alte variabile, cu conditia ca,ın cazul unei variabile nefinanciare, aceasta sa nu fie specifica unei parti contractuale(uneori denumita suport);

2. nu solicita nicio investitie initiala neta sau solicita o investitie initiala neta care estemai mica decat s-ar cere pentru alte tipuri de contracte care se asteapta sa aiba reactiisimilare la modificarile factorilor pietei;

3. este decontat la o data viitoare.

Ca active financiare derivate, optiunile dau posibilitatea reversibilitatii asupra proiectu-lui initial de investitii, aceasta fiind o diferenta fata de contractele cunoscute, ın care unadin caracteristici era tocmai ireversibilitatea investitiei de capital. Interesul pentru corecti-tudinea evaluarii optiunilor de catre operatorii de pe piata financiara deriva din posibilitateaoperatiunilor de arbitraj ın cazul unei supraevaluari sau subevaluari. Exista doua modele deevaluare a optiunilor: modelul Black - Scholes si modelul binomial. Cele doua tipuri de modelese bazeaza pe rationamente de arbitraj si hedging si pornesc de la premisa ca piata nu permiteoperatiuni de arbitraj. Optiunile au fost tranzactionate ın mod organizat, pentru prima dataın 26 aprilie 1973, iar apoi The Chicago Board Options Exchange (CBOE) a creat liste stan-dardizate cu optiuni. De atunci se semnaleaza o crestere vertiginoasa pe piata optiunilor. Inacest moment ele sunt tranzactionate ın majoritatea burselor din lume. In Statele Unite aleAmericii optiunile sunt tranzactionate la: CBOE, The American Stock Exchange, The PacificStock Exchange si The Philadephia Stock Exchange. Pe data de 10 iulie 1998, la un an de

25

Capitolul 2. Scurta descriere a pietelor financiare 26

la lansarea contractelor futures, Bursa Monetar-Financiara si de Marfuri Sibiu, a lansat, ınpremiera pentru Romania, optiunile pe contracte futures.

La baza aparitiei contractelor futures au stat contractele forward. Desi exista o tendinta,mai ales ın literatura de specialitate din Romania, de a fi tratate separat, aceste doua tipuride contracte sunt, ın esenta, asemanatoare, ın sensul ca ın cazul ambelor contracte se ıncheietranzactii la termen asupra unui activ de baza, numit si activ suport (underlying asset). Atatcel care doreste sa cumpere activul de baza cat si cel care doreste sa ıl vanda convin asupracantitatii ce urmeaza sa fie schimbata, asupra pretului si asupra scadentei (a datei la carelivrarea si plata vor avea loc efectiv). Astfel, atat printr-un contract forward cat si prin unulfutures, se fixeaza - ın prezent - pretul ce urmeaza a fi platit pentru o cantitate definita dinactivul suport, pret ce urmeaza a fi platit la o data ulterioara, ın viitor. Contractele futuresreprezinta contracte standardizate care creeaza pentru parti (cumparator si vanzator) anga-jamentul de a cumpara respectiv de a vinde o anumita cantitate din activul suport la o dataviitoare (numita data scadentei) si la un pret negociat ın momentul ıncheierii tranzactiei. Cuexceptia pretului care se negociaza ıntre parti, toate elementele sunt standardizate (scadenta,volumul contractului, pasii de cotatie, fluctuatia maxima admisa, riscul de scadere/crestere)ın baza specificatiilor fiecarui tip de contract futures.

In mod uzual sunt tranzactionate doua categorii de contracte futures, ın raport cu naturaactivului suport: financial futures - sunt contracte futures avand drept active suport variabilefinanciare (actiuni, indici bursieri, rate ale dobanzii, indici de pret, cursuri valutare, etc.) sicommodities futures - sunt contracte futures avand drept active suport marfuri precum cereale,produse din carne, petrol si produse derivate, energie, cafea, cacao, unt, zahar, bumbac, etc.

In raport cu modul de decontare a tranzactiilor, pot fi identificate: contracte futureslichidate prin livrarea fizica a activului suport (ın practica, numai 2-3% dintre contractelefutures se executa prin livrare efectiva ın marfa, restul se lichideaza prin compensare) sicontracte futures lichidate prin compensare (presupune plata cash a diferentelor ıntre pretulde deschidere a unei pozitii de cumparare sau vanzare si pretul de lichidare la scadenta aacestor contracte). Elementele tehnice de baza ale unui contract futures sunt:

1. Activul suport : este reprezentat de marfa sau activul financiar (valori mobiliare, valute,rate ale dobanzii, indici bursieri, etc.), asupra caruia se ıncheie contractul. Cantitateasi caracteristicile activului suport reprezinta clauze standardizate conform specificatiilorfiecarui tip de contract futures.

2. Scadenta: ultima zi de tranzactionare din luna de lichidare a contractului futures. Ladata scadentei Casa Romana de Compensatie lichideaza automat toate pozitiile deschise,la pretul de executare, stabilindu-se castigurile si pierderile reale.

3. Marja (riscul de crestere/scadere): reprezinta suma de bani depusa initial de catre in-vestitor ın contul ın marja si mentinuta pe toata perioada de timp ın care pozitiile decumparare sau vanzare sunt deschise. Astfel, la deschiderea unui cont pentru derulareatranzactiile pe o piata reglementata de marfuri si instrumente financiare derivate, clientulva depune o suma de bani reprezentand riscul de crestere sau scadere a preturilor con-tractelor futures (marja), conform specificatiilor contractelor futures, pe baza evaluarilorfacute de catre Sistemul de Evaluare a Riscurilor administrat de catre Casa Romana deCompensatie si Bursa Monetar Financiara si de Marfuri Sibiu. Marja va trebui mentinutala nivelul impus de specificatiile contractelor futures, pe toata durata existentei unorpozitii deschise, indiferent daca sunt long (risc de scadere) sau short (risc de crestere).

4. Pretul futures: pretul la care este deschisa o pozitie (fie de cumparare fie de vanzare),respectiv pretul la care se ıncheie o tranzactie cu contracte futures. Reflecta pretulconvenit de parteneri care va fi ıncasat/platit la scadenta pentru activul suport. Pe piatafutures, exista o limita de variatie ın cadrul unei sedinte de tranzactionare, din motivece tin de asigurarea unei piete ordonate si lichide, dar si pentru a limita influentelepe care tranzactiile cu contracte futures le-ar putea avea asupra tranzactiilor derulate


pe piata spot cu activul suport ın cauza. Pretul futures este strans legat de perioadaramasa pana la scadenta dar si de evolutia pretului activului suport, deoarece exista oasa numita proprietate de convergenta ıntre pretul futures si pretul activului suport (celedoua preturi tind sa se apropie, devenind identice, sau aproape identice la scadenta).

Partile contractante ıntr-o astfel de tranzactie sunt: cumparatorul contractului futures seangajeaza sa cumpere activul suport la maturitatea contractului futures, deschizand o pozitielong futures si expunandu-se astfel la riscul de scadere si vanzatorul contractului futures seangajeaza sa vanda activul suport la aturitatea contractului futures, deschizand o pozitie shortfutures si expunandu-se la riscul de crestere. Cumparatorii de contracte futures ısi deschid opozitie tip long atunci cand estimeaza ca pana la data scadentei, pretul activului suport siimplicit al contractului futures va marca o crestere, ın timp ce vanzatorii de contracte futures(care ısi asuma o pozitie de tip short) mizeaza pe o scadere a pretului activului suport. Oricepozitie poate fi ınchisa pana la data scadentei, printr-o operatiune de sens contrar, marcandu-se astfel pierderea reala sau castigul real. La scadenta contractelor futures, pozitiile deschisepe piata futures vor fi ınchise automat la un pret mediu de tranzactionare comunicat de catreBursa de Valori Bucuresti pentru ziua scadentei (ın cazul contractelor futures pe actiuni) saula cursul de referinta comunicat de catre Banca Nationala a Romaniei (ın cazul contractelorfutures pe valute). Important de retinut faptul ca la data scadentei, nu are loc decontareaprin livrare fizica a activului suport, ci se platesc diferentele ın lei ıntre preturile la care aufost deschise pozitiile de cumparare/vanzare si preturile la care aceste pozitii au fost ınchise.

La sfarsitul fiecarei sesiuni de tranzactionare pe piata instrumentelor financiare derivate,Casa Romana de Compensatie (institutia de clearing) realizeaza operatiunea de marcare lapiata (engl. marked to market), care consta ın reevaluarea tuturor pozitiilor de cumparare/ vanzare deschise ın functie de pretul de cotare (ultimul pret de tranzactionare din ziuarespectiva), stabilindu-se astfel pierderile sau castigurile potentiale pentru fiecare participantla piata. In cazul unei pierderi potentiale care nu poate fi acoperita pe seama disponibiluluiexistent ın contul clientului, Casa Romana de Compensatie va trimite, prin societatea debrokeraj la care este deschis contul clientului respectiv, un apel ın marja (margin call), ınscopul refacerii marjei la nivelul de mentinere. Daca nu se raspunde la acest apel ın marjapana a doua zi lucratoare, Casa Romana de Compensatie va lichida automat un anumit numarde pozitii deschise, cu scopul de a reduce expunerea la risc din partea societatii de brokeraj,pana la nivelul marjei care sa acopere pozitiile ramase deschise.

Dupa cum s-a prezentat anterior, optiunea este un derivat financiar standardizat cereprezinta dreptul de a cumpara sau a vinde un activ (underlying asset) la un anumit pretsi ın decursul unei perioade prestabilite. General vorbind optiunile se pot clasifica ın douagrupuri: optiuni de cumparare (CALL option) si optiuni de vanzare (PUT option). Ooptiune de cumparare este un contract, ın forma negociabila care da cumparatorului drep-tul ca ıntr-o perioada de timp sa cumpere de la vanzatorul optiunii, activul de baza, laun pret prestabilit. Vanzatorul actiunii CALL ısi asuma obligatia de a onora solicitareacumparatorului prin vanzarea activului suport. Optiunea de vanzare este un contract careda dreptul cumparatorului optiunii ca, ıntr-o anumita perioada de timp, sa vanda activulsuport partenerului sau din contractul de optiune, la un pret prestabilit si ın schimbul uneiprime platite initial. Totodata vanzatorul unui PUT ısi asuma obligatia de a cumpara ac-tivul de baza de la cumparatorul optiunii la pretul prestabilit, daca optiunea este exercitataıntr-un anumit interval de timp. In urma executarii ordinului, clientul dobandeste o pozitiepe optiune, iar aceasta poate fi long, daca a cumparat sau short, daca a vandut. Pretul lacare vanzarea activului suport se poate realiza se numeste pret de exercitiu (exercise pricesau strike price) iar data la care detinatorul unei optiuni poate exercita optiunea, se numestedata de exercitiu (expiration date sau expiry). Cumparatorul unei optiuni are dreptul, darnu si obligatia sa cumpere sau sa vanda la termenul stabilit, la pretul de exercitiu, o anumitacantitate de active suport. Vanzatorul unei optiuni ısi asuma irevocabil obligatia de a vinde


sau cumpara activele suport ın conditiile din contractul optional, indiferent daca la momentulexercitarii optiunii, piata ıi este sau nu favorabila, asumandu-si ın acest fel un anumit risc.Asumarea acestui risc se face ın schimbul ıncasarii de la ınceput a unei prime care este pretuloptiunii, deci vanzatorul obtine castiguri limitate, dar certe ın conditiile asumarii de riscurinelimitate. Pe de alta parte, cumparatorului, prima platita la cumpararea optiunii poate sa-iaduca castiguri aproape nelimitate ın cazurile cand piata e favorabila, sau sa-l apere de pierderidaca piata ar actiona negativ. Se poate spune ca tranzactiile de optiuni sunt de fapt operatiide vanzare-cumparare de risc. Cumparatorul optiunii are aversiune fata de risc si ıl vinde ıntimp ce vanzatorul optiunii are preferinta fata de risc si ıl cumpara.

Pentru cumpararea si vanzarea de optiuni, clientul trebuie sa constituie anumite garantiisi anume:

1. La cumpararea de optiuni investitorul trebuie sa plateasca integral pretul optiunii, re-spectiv prima.

2. La vanzarea de optiuni CALL pentru care clientul detine ın momentul vanzarii activulde baza, nu trebuie depusa decat marja contractului, daca pretul de exercitare al optiuniieste cel putin egal cu cursul titlului suport. Daca pretul de exercitare este mai mic decatcursul titlului suport, gradul admis de ındatorare al investitorului fata de broker depindede pretul de exercitare si nu de cursul optiunii.

3. La vanzarea de optiuni CALL neacoperite (pentru care clientul nu detine ın momentulvanzarii activul de baza), investitorul trebuie sa constituie un depozit de garantie stabilitla valoarea de piata a activului suport.

Bursa stabileste limitele de pozitie, adica numarul maxim de optiuni pe care un investitorle poate detine, pe acelasi tip de pozitie virtuala, la activul de baza. Totodata, se stabilestesi limita de exercitare, adica numarul maxim de optiuni care poate fi exercitat ın fiecare 5zile consecutive de bursa, de catre un investitor sau un grup de investitori care actioneazaımpreuna. Scopul stabilirii acestor limite este de a contracara posibiltatea ca un investi-tor, sau un grup de investitori sa capete o influenta semnificativa asupra pietei. Casa decompensatie joaca un rol esential ın procesul executarii contractelor de optiuni. Constituitaca o institutie autonoma, aceasta se interpune ın toate tranzactiile ıncheiate ın bursa, devenindvanzatorul pentru toti cumparatorii de CALL care exercita optiunea si cumparatorul pentrutoti vanzatorii de PUT care exercita optiunea. Membrii casei de compensatie deschid conturiclientilor prin intermediul carora efectueaza cliringul, tinand evidenta tuturor pozitiilor long sishort pe optiuni ale membrilor sai (numarul contractelor de cumparare trebuie sa fie egal cu celal contractelor de vanzare). Executarea contractelor de optiuni se poate face prin: lichidareaoptiunii, exercitarea optiunii sau prin expirarea optiunii.

Tehnicile moderne de stabilire a preturilor unei optiuni sunt adesea considerate, din punctde vedere matematic, printre cele mai complexe probleme din toate domeniile matematicilorfinanciare. Analistii financiari au atins punctul ın care sunt ın masura sa calculeze, cu precizie,valoarea unui activ. Cele mai multe dintre modele si tehnicile folosite de analistii de astazisunt ınradacinate ıntr-un model dezvoltat de Fischer Black si Myron Scholes ın 1973. Ideeade optiuni nu este, cu siguranta, noua. Optiunile au existat, cel putin conceptual, ınca dinantichitate.

Modelul Black-Scholes nu a aparut peste noapte. De fapt, Fisher Black a inceput sa lucrezepentru a crea un model de evaluare a warrant-ului. Acest lucru implica calcularea unui derivatpentru a masura modul in care rata de actualizare a unui warrant variaza ın functie de timpul sipretul unei actiuni. Rezultatul acestui calcul seamana cu o bine-cunoscuta ecuatie de transferde caldura. La scurt timp dupa aceasta descoperire, Myron Scholes s-a alaturat lui Black sirezultatul muncii lor este un model precis de stabilire a preturilor optiunilor, rezultat publicatıntr-un articol aparut ın anul 1970. In 1997, Robert Merton (Universitatea Harvard) si MyronScholes (Universitatea Stanford) primesc premiul Nobel pentru metoda de determinare a valorii


derivativelor financiare. Modelul binomial este bazat pe aceleasi presupuneri ca modelul Black-Scholes, dar ajustat ca sa permita evaluarea optiunilor americane; de asemenea, are o mai bunaintegritate ın timp. Patitioneaza intervalul pana la expirare ıntr-o serie de pasi, construind unarbore de preturi ale activului suport. La fiecare pret, activul suport este considerat a mergeın sus sau ın jos. Totusi, nu pune pret pe faptul ca pietele, ın cea mai mare parte a timpului,nu se misca. Aceasta este limita peste care trece urmatorul model, modelul trinomial, caretine cont de faptul ca pietele pot sta pe loc. Pentru ca modelul trinomial a fost foarte eficientın modelarea pietelor financiare, s-a trecut la utilizarea a mai multe noduri, ceea ce a condusla aparitia modelului retelei adaptive.

In 1998, la doar un an dupa obtinerea de catre Merton si Scholes a premiului Nobel, fondulde hedging (protectie ımpotriva riscului) Long Term Capital Management (LTCM), la care ceidoi sunt principalii actionari, a trebuit sa fie salvat contra unui cost de 3,5 miliarde $ deoareceexista temerea ca colapsul acestuia ar avea un efect dezastruos asupra institutiilor financiaredin ıntreaga lume. Era o distanta de doar 10 ani de o noua griza globala a carei aparitiese considera ca a fost cauzata si de generarea exagerata de instrumentele financiare derivate.Intrebarea fireasca care ar urma ar fi: De ce un fond de investitii, incluzand 2 castigatoriai premiului Nobel ca si actionari principali, realizeaza pierderi surprinzatoare tranzactionandinstrumente financiare create special pentru a reduce riscul? Se presupune ca nu a existat nimicrau din perspectiva tehnicilor folosite ci doar modul cum au fost folosite. Exista spre exempluopinia conform careia masurile menite sa ımbunatateasca siguranta pasagerilor la bordul uneimasini (ex. existenta centurii de siguranta) vor creste riscul deoarece soferii conduc cu vitezemai mari decat ar face-o daca nu ar avea centura de siguranta. Astfel, niste tehnici create sareduca riscul sunt prea des folosite ca un instrument similar jocurilor de noroc. Daca jocurilede noroc pot aduce ın pragul falimentului un jucator ınrait care nu stie unde sa se opreasca,ele nu afecteaza persoanele prudente care nu cred si, implicit, nu participa la jocurile de noroc.Nu putem considera adevarat acelasi rationament si ın cazul derivatelor pentru ca angajareaın joc a unui numar foarte mare de investitori lacomi (implicit sume semnificative) care nu auun capital de acoperire pentru contractele licitate poate cauza un dezechilibru major pe piatafinanciara, iar odata ce institutiile financiare sunt puse ın pericol mai este doar un singurpas pana la o criza economica care poate fi una globala. Altfel spus derivatele financiare,neinterpretate si utilizate asa cum ar trebui pot fi mult mai periculoase decat jocurile denoroc, ceea ce impune atentie si cumpatare ın tranzactionarea lor.

Capitolul 3Optiuni de vanzare si cumparare ın pietefinanciare la vedere (spot)

3.1 Macheta de piata financiara

Optiunile de vanzare (call option) si de cumparare (put option) sunt exemplele standard dederivate financiare, adica active a caror valoare depinde de pretul altor active financiare debaza (active suport), ce platesc sau nu dividende (numite si common stock), precum stocuri sibonduri (certificate emise de guverne sau companii publice ce promit rascumpararea banilorımprumutati la o data prestabilita, cu o dobanda fixata), purtatoare sau nu de dobanda.Optiunile de tip call (respectiv put) ofera detinatorului dreptul, dar nu si obligatia de acumpara (vinde) activul suport la un moment viitor (momentul de exercitare al optiunii, saumomentul de maturitate al optiunii), cu un pret fixat K (pretul de exercitare, strike price).Obligatia celui de al doilea investitor implicat ın tranzactionare derivatului financiar este aceeade a vinde (cumpara) activul suport. Atat optiunile call cat si cele put pot fi de tip european(European put/call option) sau american (American put/call option). Derivatele financiare detip european permit exercitarea doar la momentul de maturitate al optiunii, pe cand cele detip american ofera dreptul detinatorului de a le exercita la orice moment premergator dateide maturitate.

Pentru o ıntelegere mai clara a modelelor ce vor fi descrise vom ıncepe expunerea cu unmodel de piata financiara fara frictiuni, cu o perioada, ın care se tranzactioneaza doar un singuractiv de baza si optiuni call si put europene.instantanee, la vedere (call and put spot options).Vom intitula acest model simplu Toy-model pentru optiuni europene (OE). Prin model de

30

Capitolul 3. Optiuni de vanzare si cumparare ın piete financiare la vedere 31

piata financiare fara frictiuni ıntelegem o piata de tranzactionare ın care toti investitorii auacces la acelasi informatii din piata, nu exista comisioane pentru tranzactii, toate activelesunt perfect divizibile si lichide, nu sunt limitari ın ceea ce priveste dimensiunea creditului,dobanzile la depozite si credite sunt egale. Intr-o astfel de piata, prin pozitia short ıntelegempozitia vanzatorului activului financiar, iar pozitia long este aceea a cumparatorului.

Pentru o optiune de call europeana (OCE), cu momentul de maturitate T si pretul deexercitare K, functia utilitate (de plata) la momentul de expirare al optiunii este

g (ST ) = (ST −K)+ = maxST −K, 0, (3.1)

iar pentru o optiune de put europeana (OPE) functia de plata este

h (ST ) = (K − ST )+ =

0, ST ≥ K (optiunea este abandonata),

K − ST , ST < K (optiunea este exercitata),

Evident, are loc urmatoarea egalitate, numita formula de paritate put-call

g (ST )− h (ST ) = (ST −K)+ − (K − ST )+ = ST −K,

adica o OPE poate fi evaluata prin intermediul unei OCE avand acelasi activ suport, aceeasidata de maturitate si acelasi pret de exercitare.

Se observa ca o optiune de tip call ofera detinatorului sau dreptul, dar nu si obligatia de acumpara activul suport, obligatia celui de la care a cumparat optiunea de tip call (dreptul de acumpara) fiind de a-i furniza activul suport la pretul de exercitare prestabilit K. Astfel, dacala momentul T pretul pe piata spot (la vanzare libera) al activului suport este mai mare decatpretul prestabilit de cumparare K, detinatorul optiunii call (adica a dreptului de a cumpara)poate obtine un profit imediat prin achizitionarea unitatilor de stoc la pretul K si vinderea lorpe piata libera spot la pretul pietei ST , obtinand un profit imediat ın valoare de ST −K. Incaz contrar optiunea este abandonata. Prin urmare functia utilitate a detinatorului optiuniicall europene este data prin formula (3.1). Situatia optiunilor put europene este interpretataın mod similar.

Exemplul 3.1. Consideram un activ primar nepurtator de dividende (common stock) al caruipret la momentul actual este 280$, iar peste 3 luni el poate deveni 320$ sau 260$. Calculampretul rational (adica pretul corect de tranzactionare la momentul actual) pentru o OCE cupretul de exercitare K = 280$, daca rata dobanzii la creditare pe 3 luni este r = 5%.

Consideram ca probabilitatea subiectiva (actual probability, real-world probability, statis-tical probability), individuala (a investitorului), de crestere a pretului activului suport este0.2, iar de scadere a lui este 0.8. Pentru descrierea modelul matematic consideram spatiul deprobabilitate Laplace:

Ω = ω1, ω2, F = P (Ω) , P : Ω→ R, P (ω1) = 0.2 = 1− P (ω2) .

Dinamica pretului stocului este modelata de variabila aleatoare

ST : (Ω,F)→ R+, ST (ω) =

Su = 320, ω = ω1 ,Sd = 260, ω = ω2 ,

iar functia utilitate este

X = CT (ω) = (ST (ω)−K)+ =

Cu = 40, ω = ω1 ,Cd = 0, ω = ω2 ,


valoarea medie cu discount (discounted option’s payoff ), a utilitatii fiind

EP(

(1 + r)−1CT

)= 0.2× 40× (1.05)−1 = 7.62 (depinde de alegerea lui P !).

Este evident ca stabilirea astfel a pretului depinde de perceptia subiectiva asupra pietei afiecarui investitor ın parte, lucru nepermis ın stabilirea unui pret corect, unic, al derivatuluifinanciar. Problema ce apare consta ın asigurarea, la momentul tranzactionarii, a unicitatiipretului activelor derivate, lucru ce se poate realiza prin utilizarea portofoliilor replicante(replicating portfolios). Pentru a realiza acest lucru, se construieste la momentul 0, de catreinvestitorul ce se afla ıntr-o pozitie short pe o OCE (vanzatorul activului financiar), un porto-foliu ∅ = ∅0 = (α0, β0) ∈ R2, ce simuleaza valoarea la momentul terminal a functiei utilitate.Valoarea (wealth) sa este

V0 (∅) = α0S0 + β0 si VT (∅) = α0ST + β0 (1 + r) .

Mai precis, α0 reprezinta numarul de unitati de activ primar detinute la momentul 0, iarβ0 este suma ımprumutata suma depozitata intr-o banca, suma la care se aplica dobanda r(aceeasi la depozit sau credit).

Definitia 3.1. Spunem ca portofoliul ∅ reproduce valoarea functiei de plata la momentul T(∅ replicates the option’s terminal payoff) daca VT (∅) = CT .

In cazul exemplului anterior,

VT (∅) (ω) =

V u (∅) = α0S

u + (1 + r)β0 = Cu, ω = ω1 ,V d (∅) = α0S

d + (1 + r)β0 = Cd, ω = ω2 ,

adica α0 = 2/3 si β0 = −165.08. Concluzionand, pentru fiecare OCE vanduta se pastreaza α0

unitati de activ suport (hedge ratio) si suma β0 ın bonduri fara risc, adica, alaturi de primaıncasata prin vanzarea optiunii de call europeana, se ımprumuta cash si se achizitioneazaactiuni.

Vom defini costul de achizitie (valoarea) pentru o OCE ca fiind investitia initiala necesarapentru construirea portofoliului replicant. In cazul de fata

C0 = V0 (∅) = α0S0 + β0 = 21.59 (nu depinde de probabilitatea subiectiva P !)

Sumarizand, tranzactiile si fluxul de cash devin, din perspectiva pozitiei short (nu sunt necesareinvestitii suplimentare pentru constructia portofoliului replicant):

• pentru t = 0 :

prima pentru optiunea vanduta : C0

α0 unitati de activ cumparate : − α0S0

β0 unitati de cash ımprumutate : β0

• pentru t = T :

plata pentru optiunea de call exercitata : − CTα0 unitati de activ suport vandute : α0STımprumutul platit : − rβ0 , unde r = 1 + r

3.2 Masuri martingale ın pietele spot

SOLUTIA pentru stabilirea pretului just al derivatelor financiare : utilizarea masurilormartingale, care, intuitiv, modeleaza probabilistic un joc corect (fair game). Trebuie deter-minata o masura de probabilitate P∗ ∼ P, pentru care pretul cu discount al activului primar(al stocului), definit de


S∗0 = S0 si S∗T = (1 + r)−1 ST

devine o P∗−martingala, adica

S∗0 = EP∗ (S∗T ) .

In cazul modelului de piata considerat, cu 2 stari si 1 perioada, ea este determinata de

S0 = (1 + r)−1(p∗S

u + (1− p∗)Sd), p∗ = P∗ (ω1) = 1− P∗ (ω2) ,

de unde rezulta

P∗ (ω1) =(1 + r)S0 − Sd

Su − Sdsi P∗ (ω2) =

Su − (1 + r)S0

Su − Sd.

Evident, C0 = C∗0 :

C∗0 = EP∗(

(1 + r)−1CT

)= EP∗

((1 + r)−1 (ST −K)+

)= (1 + r)−1

(p∗C

u + (1− p∗)Cd)

= 21.59 = C0 !

Definitia 3.2. Numim economie cu risc neutru (risk-neutral economy) un model stochasticde piata financiara ın care fluctuatiile viitoare ale preturilor activelor suport sunt determinatede masura martingalaP∗ (risk-neutral probability).

3.3 Absenta arbitrajului ın piata financiara

Consideram, din nou, modelul de piata cu doua stari, o perioada

Ω = ω1, ω2, F0 = ∅,Ω, FT = 2Ω

si presupunem existenta a doua active primare ın modelul de piata considerat:

1. un activ riscat (stoc), a carui pret e modelat de un proces stochastic discret, strict pozitivS = (St)t∈0,T , adaptat filtrarii F = F0,FT , adica v.a. St−Ft masurabila, t ∈ 0, T:

S0 ∈ R si ST (ω) =

Su, ω = ω1

Sd, ω = ω2cu Su > Sd.

2. un activ fara risc (risk-free bond), dat de: B0 = 1, BT = 1 + r, cu r ≥ 0.

Fie Φ spatiul liniar al portofoliilor ∅0 = (α0, β0) (stoc,bond) si vom urmari stabilirea pretuluiderivatelor financiare ın modelul de piata M = (S,B,Φ) .

Definitia 3.3. Prin derivat financiar (contingent claim) cu momentul de maturitate T seıntelege o variabila aleatoare X − Ft masurabila. Spunem ca derivatul financiar X esterepli-cabil(attainable) daca exista un potofoliu replicant pentru acesta (al valorii acestuia).

Similar cazului optiunilor europene

X (ω) =

Xu, ω = ω1 ,Xd, ω = ω2 ,


iar portofoliul replicant este determinat deα0S

u + (1 + r)β0 = Xu

α0Sd + (1 + r)β0 = Xd,

cu solutia unica

α0 =Xu −Xd

Su − Sdsi β0 =

XdSu −XuSd

(1 + r) (Su − Sd).

Costul derivatului financiar X ın piata M este:

π0 (X) := V0 (∅) = α0S0 + β0 =Xu −Xd

Su − SdS0 +

XdSu −XuSd

(1 + r) (Su − Sd). (3.2)

Definitia 3.4.

1. Spunem ca modelul de piata M este fara arbitraj daca nu exista ∅ ∈ Φ pentru care

V0 (∅) = 0, VT (∅) ≥ 0 si PVT (∅) > 0 > 0. (3.3)

Un portofoliu pentru care (3.3) are loc se numeste oportunitate de arbitraj.

2. Se numeste oportunitate tare de arbitraj un portofoliu ∅ pentru care

V0 (∅) < 0 si VT (∅) ≥ 0.

Daca modelul de piata M este fara arbitraj, notam cu π0 (X) pretul de arbitraj (pretuljust) al derivatului financiar X ın M.

Observatia 3.5. Replicarea este o metoda optimala de hedging, adica de asigurare si deacoperire a riscului investitorului.

Definitia 3.6. Spunem ca un portofoliu ∅ realizeaza un hedging perfect al derivatului financiarX (perfect hedging against the contingent claim X) daca VT (∅) ≥ X, adica

α0Su + (1 + r)β0 ≥ Xu

α0Sd + (1 + r)β0 ≥ Xd,

(3.4)

Costul initial minim al crearii unui portofoliu ∅-phX se va numi pretul vanzatoruluiderivatului financiar X si se va nota cu πs0 (X) . Pentru a arata ca are loc egalitatea πs0 (X) =π0 (X), notam c = V0 (∅) , iar relatia (3.4) se rescrie

α0(Su − (1 + r)S0) + c (1 + r) ≥ Xu

α0(Sd − (1 + r)S0) + c (1 + r) ≥ Xd.(3.5)

Evident, cel mai mic numar c ∈ R pentru care are loc (3.5) este acela pentru care avemegalitate ın (3.5).

Din punctul de vedere al cumparatorului derivatului financiar X (ce poate fi privit cavanzatorul lui −X), problema asociata revine la a minimiza c ∈ R pentru care are loc (3.5)cu Xu −Xu si Xd −Xd, cu solutia

πs (−X) = −π (X) = π (−X) ,

adica replicarea este optimala si pentru cumparator. Definim pretul cumparatorului lui X cafiind πb0 (X) = −πs0 (−X) si obtinem

πs0 (X) = πb0 (X) = π0 (X) ,


adica pretul minimal pe care vanzatorul este decis sa ıl accepte coincide cu pretul maximal pecare cumparatorul este dispus sa ıl ofere pentru derivatul financiar X.

Urmatorul rezultat explica rolul asa-numitei economie cu risc neutru (risk-neutral econ-omy) ın stabilirea pretului corect al derivatelor financiare. Utilizarea masurii martingale P∗ ınstabilirea pretului activelor financiare corespunde situatiei ın care toti investitorii sunt supusiaceluiasi risc ın fata aprecierii sau deprecierii activelor primare tranzactionabile, atunci canddobanda la credit sau depozit este aceeasi pentru fiecare (a se consulta Cox, Ross [3]).

Teorema 3.7. Modelul de piataM = (S,B,Φ) este fara arbitraj daca si numai daca pretul cudiscount S∗ admite o masura martingala P∗ ∼ P. In acest caz, pretul de arbitraj la momentul 0al oricarui derivat financiar X, cu momentul de maturitatea T este dat de formula de evaluareın caz de risc-neutru (risk-neutral valuation formula):

π0 (X) = EP∗(

(1 + r)−1X)

= p∗Xu

1 + r+ (1− p∗)

Xd

1 + r(3.6)

=(1 + r)S0 − Sd

Su − SdXu

1 + r+Su − (1 + r)S0

Su − SdXd

1 + r.

Demonstratie. Masura martingala P∗ a lui S∗ exista daca si numai daca. p∗ ∈ (0, 1) . Pre-supunem, prin reducere la absurd ca nu exista masura martingala P∗, considerand, de exempluca p∗ ≥ 1. Vom construi o oportunitate de arbitraj ın M = (S,B,Φ) , ceea ce este imposibilıntr-o piata fara arbitraj. Avem astfel ca

p∗ ≥ 1 ⇐⇒ (1 + r)S0 ≥ Su > Sd.

Portofoliul ∅ = (−1, S0) (se ımprumuta o unitate de activ primar, adica de stoc, se vinde si sedepoziteaza banii) satisface V0 (∅) = 0 si

VT (∅) =

−Su + (1 + r)S0 ≥ 0, ω = ω1 ,

−Sd + (1 + r)S0 > 0, ω = ω2 ,

adica ∅ este o oportunitate de arbitraj.

Daca presupunem p∗ ≤ 0, obtinem ca Su > Sd ≥ (1 + r)S0, iar ∅ = (1,−S0) (seımprumuta bani si se cumpara o unitate de stoc) constituie o oportunitate de arbitraj, ceeace conduce la o contradictie.

Considerand acum p∗ ∈ (0, 1) , pentru orice ∅ ∈ Φ, datorita relatiei (3.2) avem

p∗Vu (∅) + (1− p∗)V d (∅) = 0, adica(

V d (∅) < 0 pt. V u (∅) > 0)∧(V d (∅) > 0 pt. V u (∅) < 0

).

Prin urmare nu exista oportunitati de arbitraj ın M daca p∗ ∈ (0, 1) .

Pentru a demonstra (3.6), pentru fiecare portofoliu replicant ∅ = (α0, β0) pentru derivatulfinanciar X avem

EP∗(

(1 + r)−1X)

= EP∗(

(1 + r)−1 VT (∅))

= EP∗ (α0S∗T + β0)

= α0S∗0 + β0 = V0 (X) = π0 (X) ,

ceea ce conduce la concluzia rezultatului enuntat.

Observatia 3.8. Alegerea activului fara risc ın raport cu care se face discount-ul nu esteesentiala. De exemplu, se poate alege pretul stocului S drept numerar, situatie ın care se


considera pretul bond-ului B avand ca discount pe cel al stocului: B∗ := Bt/St, pentrut ∈ 0, T. Masura martingala P pentru procesul B∗ va fi determinata de relatia

B0 = EP(B∗T ),

sau, explicit,

p1 + r

Su+ (1− p)1 + r

Sd=

1

S0.

Aceasta conduce la

Pω1 = p =

(1

Sd− 1

(1 + r)S0

)SuSd

Su − Sdsi

Pω2 = 1− p =

(1

Su− 1

(1 + r)S0

)SuSd

Sd − Su.

In aceasta situatie, formula de evaluare ın caz de risc neutru devine

π0 (X) = S0EP(S−1T X

),

unde X este derivatul financiar cu perioada de maturitate T.

In modelul de piata discutat, plata la momentul T pentru o optiune de vanzare (detip put european, OPE) este:

PT (ω) = (K − ST (ω))+ =

P u = 0, ω = ω1 ,P d = 20, ω = ω2 .

Portofoliul replicant ∅ = (α0, β0) este dat de320α0 + 1.05β0 = 0260α0 + 1.05β0 = 20,

cu solutia ∅ = (−1/3, 101.59) (se ımprumuta α0 unitati de activ suport, se intra ıntr-o pozitieshort-selling iar venitul, ımpreuna cu prima ıncasata pentru optiunea put se introduc ıntr-undepozit platitor de dobanda). Pretul de arbitraj al OPE este

P0 = −1/3 · 280 + 101.59 = 8.25,

valoare ce se poate obtine si prin intermediul formulei (3.6), pentru X = PT (se aplica formula(3.6) pentru derivatul financiar X = ST −K) :

P0 = EP∗(

(1 + r)−1 PT

)= 8.25.

3.4 Macheta de piata pentru optiuni americane

Consideram acelasi model de piata financiara cu o perioada, doua stari si doua active financiaretranzactionabile ca si ın cazul optiunilor europene M = (S,B,Φ) si notam cu Cat si P at ,t ∈ 0, T, pretul de arbitraj al optiunilor americane de tip call (OCA), respectiv put (OPA).Este evident ca

CaT = CT si P aT = PT ,

ın caz contrar existand oportunitati de arbitraj. Presupunem, fara a restrange generalitatea,ca

Sd < S0 (1 + r) < Su si Sd < K < Su,


ın caz contrar existand oportunitati de arbitraj.

Teorema 3.9. In modelul de piata M = (S,B,Φ), pretul de arbitraj Ca0 al unei OCA avand caactiv suport un stoc ce nu plateste dividende coincide cu pretul C0 al unei OCE ce are acelasipret de exercitare K.

Demonstratie. Presupunem, prin reducere la absurd ca Ca0 6= C0 (pp. ca Ca0 > C0).

C0 = p∗Su −K1 + r

=(1 + r)S0 − Sd

Su − SdSu −K1 + r

> S0 −K (3.7)

pentru r ≥ 0. Construim o oportunitate de arbitraj prin vinderea unei OCA cu Ca0 si cumparareaunei OCE cu C0 . Situatia ın care Ca0 < C0 se trateaza ın mod similar, putand si ın acest cazsa construim oportunitati de arbitraj, lucru imposibil ıntr-o piata fara arbitraj.

Este de subliniat faptul ca relatia (3.7) are loc si ıntr-un cadru mai general:

(OCA) Pentru r ≥ 0, S0 > K, ST −P∗−v.a. integrabila:

C0 = EP∗(

(1 + r)−1 (ST −K)+)

= EP∗(

(1 + r)−1CT

)≥

ineg. Jensen

(EP∗

((1 + r)−1 ST

)− (1 + r)−1K

)+

=(S0 − (1 + r)−1K

)+≥ S0 −K.

Concluzionam faptul ca OCA si OCE sunt echivalente. Daca ınsa −1 < r < 0 atunci adoua inegalitate nu mai este ıntotdeauna adevarata, nemaiavand echivalenta ıntre optiunilede cumparare europene si americane. Situatia sta diferit ınsa daca discutam de optiunile devanzare de tip european (OPE) si cele de tip american (OPA), dupa cum vedem ın cele ceurmeaza.

(OPA) In aceasta situatie lucrurile stau diferit !

P0 = EP∗(

(1 + r)−1 (K − ST )+)

= EP∗(

(1 + r)−1 PT

)≥

ineg. Jensen

(EP∗

((1 + r)−1K − (1 + r)−1 ST

))+

=(

(1 + r)−1K − S0

)+> K − S0 pentru r ∈ (−1, 0) .

Pentru r = 0 avem ca EP∗(

(1 + r)−1 (K − ST )+)

= K − S0 .In final, pentru r > 0 nu exista

relatie evidenta ıntre P0 si S0 − K, ceea ce sugereaza ca, atunci cand exista dobanzi strictpozitive, situatia OPA devine mult mai interesanta. Are loc urmatorul rezultat.

Teorema 3.10. Presupunem ca r > 0. Atunci P a0 = P0 daca si numai daca

K − S0 ≤Su − (1 + r)S0

Su − SdK − Sd

1 + r= P0. (3.8)

In caz contrar, P a0 = K − S0 > P0 . Daca r = 0 atunci, invariant, P a0 = P0 .

Demonstratie. Relatia (3.8) este echivalenta cu P0 ≥ K − S0. Presupunem, pentru ınceput,ca ultima inegalitate are loc. Daca ın plus P a0 > P0 (respectiv, P a0 < P0), vanzand o OPAsi cumparan o OPE se genereaza situatia unei strategii fara risc, deci prin urmare, P a0 = P0.Presupunem acum ca P0 < K − S0 si ca P a0 6= K − S0 (adica (3.8) nu are loc). Daca P a0


este strict mai mare decat K − S0, vanzatorul OPA poate genera un profit prin realizareahedging-ului cu OPE cumparata la un pret mai mic P0. Daca, ın schimb, P a0 < K − S0 esteconvenabil sa se cumpere OPA si sa se exercite imediat, situatie ın care, din nou, se poateobtine un profit sigur.

Daca r = 0, inegalitatea (3.8), care acum se poate citi

K − S0 ≤Su − S0

Su − Sd(K − Sd)

este ın mod clar satisfacuta prin alegerea convenabila a pretului de exercitare K.

Definitia 3.11. Un derivat financiar de tip American (American contingent claim, AC) esteo pereche Xa = (X0, XT ), cu X0 ∈ R si XT−variabila aleatoare FT masurabila (X0 si XT

sunt platile efectuate ın conditia ın care cererea este exercitata la momentele 0, resp. T ). Vomnota cu T = 0, T multimea timpilor de oprire (de exercitare).

3.5 Inegalitati generale ın absenta arbitrajului

Vom prezenta ın cele ce urmeaza inegalitati generele necesare absentei arbitrajului ıntr-o piatafinanciara. Spre deosebire de cazurile analizate pana acum nu mai presupunem ca pretulactivului de baza admite doar doua valori terminale posibile. In plus, tranzactionarea poate firealizata ın timp continuu, impunand totodata conditii de autofinantare ın timp a portofoliului,fara a fi nevoie de infuzie sau retragere de capital din acesta. Un principiu general valabil esteenuntat ın cele ce urmeaza.

Regula de monotonie a pretului : In orice model de piata fara arbitraj, daca XT , YT suntdoua OCE, cu XT ≥ YT , atunci πt (XT ) ≥ πt (YT ) , ∀t ∈ [0, T ] . In plus, daca XT > YT , atunciπt (XT ) > πt (YT ) , ∀t ∈ [0, T ] .

Ca si conventie ın cele ce urmeaza, notand cu r ≥ 0 dobanda compusa continuu ın timp(continuously compounded rate of interest), valoarea la momentul t a unui dolar ce se primestela momentul T este egala cu e−r(T−t), adica contul de economii este dat de

Bt := ert, t ∈ [0, T ] .

Urmatorul rezultat ofera relatii ıntre preturile optiunilor de cumparare si de vanzare de tipeuropean si american. Versiuni ın timp discret ale acestor relatii se pot deduce cu usurinta.


Teorema 3.12. Fie Ct, Pt, Cat , P

at preturile de arbitraj la momentul t pentru OCE, OPE,

OCA, OPA, cu pretul de exercitare K si data de maturitate T . Pentru ∀t ∈ [0, T ] au loc:

(a)(St −Ke−r(T−t)

)+ ≤ Ct = Cat ≤ St ,

(b)(Ke−r(T−t) − St

)+ ≤ Pt ≤ K,(c) (K − St)+ ≤ P at ≤ K.

Formulele de paritate put-call devin:

Ct − Pt = St −Ke−r(T−t) si St −K ≤ Cat − P at ≤ St −Ke−r(T−t) . (3.9)

Demonstratie. In demonstrarea fiecarei relatii se construiesc, la momentul t, portofolii ce sepastreaza pana la momentul T , dupa care se aplica regula de monotonie a pretului.

Construim la momentul t portofoliile:A : 1×OCE si Ke−r(T−t) cash;

B : 1 actiune de activ suport (stoc).

Valoriile portofoliilor la momentul final satisfac relatiile

VT (A) = CT +K = (ST −K)+ +K = maxST ,K ≥ ST = VT (B) ,

de unde πt (A) ≥ πt (B) , adica Ct +Ke−r(T−t) ≥ St , ∀t ∈ [0, T ] .

Pentru egalitatea Cat = Ct , construim la momentul t, portofoliile:A : 1×OCA si Ke−r(T−t) cash;

B : 1 actiune de activ suport (stoc).

Daca OCA este exercitata la un moment t∗ ∈ [t, T ] , atunci

Vt∗ (A) = St∗ −K +Ke−r(T−t∗) si Vt∗ (B) = St∗ .

Are loc urmatoarea relatie ıntre valoarile portofoliilor la momentul final:

VT (A) = maxST ,K = (ST −K)+ +K ≥ ST = VT (B) .

Obtinem deci ca o exercitare timpurie a OCA ar contrazice regula de monotonie a pretului.

Prima relatie din formula de paritate (3.9) rezulta imediat deoarece CT − PT = ST −K.Pentru cea de a doua relatie, datorita faptului ca P at ≥ Pt , obtinem a doua inegalitate dinformula de paritate put-call:

P at ≥ Pt ≥ Cat +Ke−r(T−t) − St , ∀t ∈ [0, T ] .

Pentru a demonstra prima inegalitate consideram portofoliile:A : 1×OCA si K cash;

B : 1×OPA si 1 actiune de activ suport (stoc).

Daca OPA este exercitata la un moment t∗ ∈ [t, T ] , atunci Vt∗ (B) = K. Pe de alta parte,

Vt∗ (A) = Ct +Ker(t∗−t) ≥ K.


Prin urmare, portofoliul A este mai valoros la momentul initial t decat portofoliul B, adica

Cat +K ≥ P at + St ,

toerema fiind deci prin urmare demonstrata.

In ceea ce priveste dependenta de timp si de pretul de exercitare a pretului optiunilor, are locurmatorul rezultat de comparatie a preturilor derivatelor financiare.

Teorema 3.13. Notand cu C (S0, T,K) si Ca (S0, T,K) preturile pentru o OCE si o OCA,sunt evidente relatiile, pentru T1 ≤ T2 si K1 ≤ K2 :

Ca (S0, T1,K) ≤ Ca (S0, T2,K)

C (S0, T,K2) ≤ C (S0, T,K1)

Ca (S0, T,K2) ≤ Ca (S0, T,K1) .

Presupunem ca are loc relatia K1 < K2 . Au loc urmatoarele inegalitati:

e−rT (K1 −K2) ≤ C (S0, T,K2)− C (S0, T,K1) ≤ 0 si

K1 −K2 ≤ Ca (S0, T,K2)− Ca (S0, T,K1) ≤ 0.

Demonstratie. Pentru situatia OCE consideram, la momentul 0, portofoliile:A : 1×OCE cu pretul de exercitare K2 si e−rT (K2 −K1) cash;

B : 1×OCE cu pretul de exercitare K1 .

Valorile portofoliilor la momentul de expirare a optiunilor sunt:

VT (A) = (ST −K2)+ + (K2 −K1) ≥ (ST −K1)+ = VT (B)

VT (B) = (ST −K1)+

Conform cu regula de monotonie a pretului rezulta

C (S0, T,K2) + e−rT (K2 −K1) ≥ C (S0, T,K1) .

Similar se analizeaza a doua inegalitate.

Teorema 3.14. Pretul unei optiuni europene (sau americane) call (sau put) este o functieconvexa ın raport cu pretul de exercitare K.

Demonstratie. Sa consideram, pentru exemplificare, cazul unei OPE si notam cu P (S0, T,K)pretul sau la momentul 0. Fie K1 < K2 si K3 := λK1 + (1− λ)K2, cu λ ∈ [0, 1] . Consideramurmatoarele doua portofolii: A :

∣∣∣∣∣ λ×OPE cu pretul de exercitare K1 si(1− λ)×OPE cu pretul de exercitare K2;

B : 1×OPE cu pretul de exercitare K3.

La momentul de maturitate T are loc

λ(K1 − ST )+ + (1− λ)(K2 − ST )+ ≥ ((λK1 + (1− λ)K1)− ST )+

deoarece functia de plata f(x) = (K − x)+ este convexa ın K. Obtinem deci ca pretulP (S0, T,K) este o functie convexa ın K.


Observatia 3.15. O problema mai dificila, dar ce se poate demonstra ın majoritatea tipurilorde piete financiare, este convexitatea pretului optiunilor ca functie de pretul initial al stocului.

Capitolul 4Modelul binomial Cox-Ross-Rubinstein(CRR)

4.1 Constructia modelului

Consideram un model de piata financiara ın care momentele de tranzactionare sunt 0, 1, ..., T,nu doar 0 si T ca ın exemplele precedente. In aceasta piata consideram tranzactionabile douaactive financiare primare:

1. un activ neriscant (bond, cont de economii), a carui dinamica este data de:

Bt := (1 + r)t = rt, t = 0, T ;

2. un activ cu risc (stoc), pretul sau avand dinamica:

St+1

St∈ u, d, 0 < d < u, t = 0, T , S0 > 0.

Presupunem, de asemenea, ca are loc conditia de nedegenerare:

PSt+1 = uSt | S0, ...St > 0 si PSt+1 = dSt | S0, ...St > 0

Pentru construirea modelul probabilistic fie p ∈ (0, 1) si consideram sirul de variabile aleatoareindependente, identic repartizate ξt : (Ω,F ,P)→ R, cu repartitia

P (ξt = u) = p = 1− P (ξt = d) , ∀t = 1, T .

Formal, pretul activului cu risc se scrie

St = S0

t∏j=1

ξj , ∀t = 0, T si

PSt+1 = uSt | S0, ..., St = P (ξt+1 = u) = p > 0

PSt+1 = dSt | S0, ..., St = P (ξt+1 = d) = 1− p > 0.

Echivalent, avem urmatoarea reprezentare

St = S0 exp(∑t

j=1ςj

), unde ς1, ..., ςT sunt v.a.independente, identic repartizate, definite prin

42

Capitolul 4. Modelul binomial Cox-Ross-Rubinstein (CRR) 43

P (ςt = lnu) = p = 1− P (ςt = ln d) , t = 1, T numite si exponential random walk.

Pentru determinarea preturilor optiunilor la momentele 0, 1, ..., T vom utiliza o procedurarecursiva de construire a preturilor. Vom genera un portofoliu replicant care, la fiecare momentt ≤ T va contine αt actiuni de activ suport detinute pe intervalul [t, t+ 1) si suma βt investitaın active fara risc pe acelasi interval. Vom determina, prin inductie, pretul unei OCE, ajustandpotofoliul dinamic

∅ :=∅t = (αt, βt)t=0,T−1

la ınceputul fiecarei perioade. Functia utilitate CT = (ST −K)+ va avea un unic portofoliureplicant, dinamic (se ajusteaza la ınceputul fiecarei perioade), autofinantant (nu sunt accep-tate infuzii sau retrageri de capital din portofoliu).

Pe intervalul [T − 1, T ] construim portofoliul ∅T−1 = (αT−1, βT−1) ce va replica functiautilitate la momentul final, adica pentru care

VT (∅) = αT−1ST + βT−1r = CT = (ST −K)+ .

Detaliind, obtinem sistemulαT−1uST−1 + βT−1r = (uST−1 −K)+

αT−1dST−1 + βT−1r = (dST−1 −K)+ ,

cu solutia explicita

αT−1 =(uST−1 −K)+ − (dST−1 −K)+

ST−1 (u− d)

βT−1 =u (dST−1 −K)+ − d (uST−1 −K)+

r (u− d),

iar valoarea portofoliului la ınceputul perioadei este

CT−1 = VT−1 (∅) = αT−1ST−1 + βT−1

= r−1(p∗ (uST−1 −K)+ − (1− p∗) (dST−1 −K)+) ,

unde am notat

p∗ :=r − du− d

=1 + r − du− d

.

Pe intervalul [T − 2, T − 1] construim portofoliul replicant ∅T−2 = (αT−2, βT−2) , ce vareplica functia utilitate de la sfarsitul acestei perioade, adica pe CT−1 :

αT−2ST−1 + βT−2r = CT−1 = VT−1 (∅) .

Trebuie subliniata, la momentul T − 1 proprietatea de autofinantare a portofoliului dinamic(adica nu sunt infuzii sau retrageri de capital la momentele intermediare):

αT−2ST−1 + βT−2r = αT−1ST−1 + βT−1.

Echivalent: αT−2uST−2 + βT−2r = CuT−1

αT−2dST−2 + βT−2r = CdT−1 ,


unde am notatCuT−1 :=

1

r

(p∗(u2ST−2 −K

)++ (1− p∗) (udST−2 −K)+

)CdT−1 :=

1

r

(p∗ (udST−2 −K)+ + (1− p∗)

(d2ST−2 −K

)+)sistem ce are solutia explicita

αT−2 =CuT−1 − CdT−1

ST−2 (u− d)si βT−2 =

uCdT−1 − dCuT−1

r (u− d).

Avem, de asemenea, VT−2 (∅) = CT−2 .

4.2 Evaluarea pretului optiunilor europene

Procedura recurenta introdusa ın sectiunea precedenta conduce la o formula explicita a pretuluide arbitaj a unei OCE si, ca o consecinta imediata, a unei OPE. Acest model de piata financiarava fi numit modelul CRR. Pentru ınceput introducem cateva notatii uzuale, folosite ın cele ceurmeaza. Pentru fiecare m ∈ N∗ fixat, definim functiile am : R+ → N∗,

am (x) := infj ∈ N∗ : xujdm−j > K

si consideramad := am (dx) si au := am (ux) .

Se observa ca, pentru ∀x > 0, ad = au sau ad = au + 1. De asemenea, notam

∆m (x, j) := Cjmpj∗ (1− p∗)m−j

(ujdm−jx−K

).

Formula de evaluare e pretului unei OCE, precum si continutul pe parcursul fiecarei pe-rioade a portofoliului dinamic replicant asociat sunt date de urmatorul rezultat.

Teorema 4.1. Pentru orice m = 1, ..., T, pretul de arbitraj la momentul t = T −m pentru oOCE este dat de formula de evaluare CRR:

CT−m = ST−m

m∑j=a

Cjmpj (1− p)m−j − K

rm

m∑j=a

Cjmpj∗ (1− p∗)m−j , (4.1)

unde a := am (ST−m) , p∗ :=r − du− d

, p := p∗u

r. La momentul t = T −m− 1, strategia (unica)

replicanta ∅T−m−1 = (αT−m−1, βT−m−1) este data de:

αT−m−1 =

m∑j=ad

Cjmpj (1− p)m−j +

δ∆m (uST−m−1, au)

ST−m−1 (u− d)si

βT−m−1 = − K

rm+1

m∑j=ad

Cjmpj∗ (1− p∗)m−j −

δd∆m (uST−m−1, au)

r (u− d),

unde ad := am (dST−m−1) , au := am (uST−m−1) si δ = ad − au .

Demonstratie. Un calcul imediat conduce la 1− p = d(1− p∗)/r si obtinem

pj(1− p)m−j = pj∗(1− p∗)m−jujdm−j/rm.


Formula (4.1) se rescrie sub forma echivalenta

CT−m =1

rm

m∑j=a

Cjmpj∗(1− p∗)m−j(ujdm−jST−m −K)

=1

rm

m∑j=0

Cjmpj∗(1− p∗)m−j(ujdm−jST−m −K)+.

In continuare, demonstratia se face prin inductie dupa m. Pentru m = 0 avem, evident CT =(ST−K)+. Presupunem acum ca CT−m este pretul de arbitraj al unei OCE la momentul T−msi construim portofoliul ∅T−m−1 = (αT−m−1, βT−m−1) pentru perioada [T−m−1, T−m) astfelıncat, la momentul T −m el sa replicheze valoarea CT−m a optiunii la finalul intervalului:

αT−m−1ST−m + βT−m−1r = CT−m .

Scriind detaliat, aceasta conduce la sistemul liniarαT−m−1uST−m−1 + βT−m−1r = CuT−mαT−m−1dST−m−1 + βT−m−1r = CdT−m ,

unde am notat

CuT−m :=1

rm

m∑j=0

Cjmpj∗(1− p∗)m−j(uj+1dm−jST−m−1 −K)+

=1

rm

m∑j=au

Cjmpj∗(1− p∗)m−j(uj+1dm−jST−m−1 −K)

CdT−m :=1

rm

m∑j=0

Cjmpj∗(1− p∗)m−j(ujdm−j+1ST−m−1 −K)+

=1

rm

m∑j=ad

Cjmpj∗(1− p∗)m−j(ujdm−j+1ST−m−1 −K)+.


Solutia explicita a acestui sistem este, notand q∗ = 1− p∗ :

αT−m−1 =CuT−m − CdT−mST−m−1(u− d)

=1

rm(u− d)

m∑j=ad

Cjmpj∗qm−j∗ (uj+1dm−j − ujdm−j+1) +

δ∆m(uST−m−1, au)

ST−m−1(u− d)

=

m∑j=ad

Cjmpj(1− p)m−j +

δ∆m(uST−m−1, au)

ST−m−1(u− d).

βT−m−1 =uCdT−m − dCuT−m

r(u− d)

=1

rm+1(u− d)

m∑j=ad

Cjmpj∗qm−j∗ (dK − uK)− δd∆m(uST−m−1, a

u)

r(u− d)

= − K

rm+1

m∑j=ad

Cjmpj∗qm−j∗ − δd∆m(uST−m−1, a

u)

r(u− d).

Valoarea portofoliului la momentul T −m− 1 devine, utilizand formulele deduse,

CT−m−1 = αT−m−1ST−m−1 + βT−m−1

=1

rm+1

m+1∑j=0

Cjm+1pj∗qm+1−j∗ (ujdm+1−jST−m−1 −K)+,

ceea ce ıncheie demonstratia teoremei.

4.3 Proprietatea martingala a modelului CRR

Analizam proprietatea de absenta a arbitrajului ın modelul CRR construind campul de prob-abilitate Ω ca spatiul canonic al lui S. Pentru T ∈ N∗ fixat, fie spatiul de probabilitate finit

Ω := ω = (a1, ..., aT ) : aj ∈ 0, 1 , F := P (Ω)

si consideram multimea P := P : (Ω,F)→ R | P este masura de probabilitate , elementelesale fiind definite astfel:

P (ω) := p

∑Tj=1aj (1− p)T−

∑Tj=1aj , ω ∈ Ω si p ∈ (0, 1) fixat

Este clar ca fiecare P ∈ P este unic determinata de p ∈ (0, 1) .

Pentru fiecare j = 1, T , fie evenimentele independente, de probabilitate p :

Aj := ω ∈ Ω | aj = 1.

Definim acum variabilele aleatoare independente, identic repartizate ξj , j = 1, T ,

ξj (ω) := uaj + d (1− aj) , ∀ω ∈ Ω,

variabile a caror repartitie este: P(ξj = u) = p = 1− P(ξj = d). In cele ce urmeaza aratam caunica masura martingala pentru S∗ = S/B apartine multimii P.


Revenind la modelul CRR, variabila aleatoare St : (Ω,F ,P)→ R, t = 0, T este data de:

St+1 = ξt+1St , ∀t < T, cu S0 > 0.

Consideram pretul cu discount al activului primar

S∗t :=StBt

=Strt, ∀t ≤ T

si notam cu DSt familia de descompuneri a lui Ω generata de variabila aleatoare Su , u ≤ t,adica DSt = D (S0, ..., St) , u ≤ t. In interpretare financiara, DSt reprezinta informatiile dinpiata accesibile investitorilor la momentul t. Consideram filtrarea naturala a lui S :

FSt := σ(DSt)

= σ (S0, ..., St) = σ (S∗0 , ..., S∗t ) = FS∗t , ∀t ≤ T.

Definitia 4.2. O masura de probabilitate P∗ ∼ P se numeste masura martingala pentru pretulcu discount al stocului daca

EP∗(S∗t+1|FSt

)= S∗t , ∀t < T − 1. (4.2)

Problema existentei si unicitatii unei masuri martingale pentru pretul cu discount al stoculuieste complet rezolvata, dupa cum rezulta si din rezultatul urmator.

Teorema 4.3. Exista o masura martingala P∗ pentru S∗ daca si numai daca d < 1 + r < u.In acest caz, masura martingala P∗ este unicul element din P, care corespunde lui

p = p∗ =1 + r − du− d

.

Demonstratie. Conditia (4.2) se rescrie

EP∗(r−(t+1)ξt+1St|FSt

)= r−tSt , ∀t < T − 1, adica

r−(t+1)StEP∗(ξt+1|FSt

)= r−tSt , ∀t < T − 1,

ceea ce conduce laEP∗

(ξt+1|FSt

)= 1 + r = EP∗ (ξt+1) .

Prin urmare variabila aleatoare ξt+1 este independenta de FSt sub probabilitatea P∗, deci esteindependenta de ξ1, ..., ξt . Prin inductie se obtine imediat ca variabilele aleatoare ξ1, ..., ξT suntindependente (sub probabilitatea P∗). Determinam repartitia sub P∗ a variabilei aleatoare ξt.Avem, pentru orice t = 1, T :

EP∗ (ξt) = uP∗ξt = u+ d (1− P∗ξt = u) = 1 + r,

cu solutia

P∗ξt = u = p∗ =1 + r − du− d

, ∀t = 1, T .

In plus, P∗ ∈ P siP∗ ∼ P ⇐⇒ d < 1 + r < u,

demonstratia fiind ıncheiata

Am utilizat ın demonstratia anterioara urmatorul rezultat.


Lema 4.4. Fie ξ o variabila aleatoare definita pe campul de probabilitate (Ω,F ,P) , astfel ıncatP (ξ = a)+P (ξ = b) = 1, pentru a, b ∈ R si G o sub-σ algebra a lui F . Daca EP (ξ|G) = EP (ξ) ,atunci ξ este independenta de G.

Corolarul 4.5. Pretul stocului S si pretul cu discount S∗ sunt procese Markov sub masuramartingala P∗, ın raport cu filtrarea FS = FS∗ .

Corolarul 4.6. Modelul binomial CRR ın piata financiara M = (S,B,Φ) este fara arbitrajdaca si numai daca d < 1 + r < u.

Demonstram ca formula CRR de determinare a pretului optiunilor de tip european poate fidedusa, ın mod alternativ, prin evaluarea directa a mediei conditionate, sub masura martingalaP∗, a functiei utilitate supusa discount-ului.

Teorema 4.7. Consideram o OCE, cu data de maturitate T si pretul de exercitare K, avandca activ suport un stoc al carui pret S urmeaza modelul binomial CRR. Atunci, pentru oricem = 0, ..., T , pretul de arbitraj CT−m calculat anterior prin formula (4.1) coincide cu mediaconditionata

C∗T−m = EP∗(r−m (ST −K)+ |FST−m

). (4.3)

Demonstratie. Calculam formula (4.3) ın mod explicit. Avem astfel

ST = ST−mξT−m−1...ξT =: ST−mηm, unde

ST−m este o variabila aleatoare FST−m masurabila si ηm este o variabila aleatoare independentade FST−m . Prin urmare, formula (4.3) devine

C∗T−m = EP∗(r−m (ST−mηm −K)+ |FST−m

)= EP∗

(r−m (ST−mηm −K)+) .

Variabilele aleatoare ξT−m−1, ..., ξT sunt independente si

P∗ (ξj = u) = p∗ = 1− P∗ (ξj = d) ,

ceea ce conduce la

C∗T−m = r−mm∑j=0

Cjmpj∗ (1− p∗)m−j

(ST−mu

jdm−j −K)+.

Folosind notatiile p = p∗u

rsi 1− p =

(1− p∗) dr

, obtinem reprezentarea

C∗T−m =

m∑j=a

Cjm

(ST−mp

j (1− p)m−j −Kr−mpj∗ (1− p∗)m−j),

unde a := am (ST−m) = infj ∈ N∗ : ST−mujdm−j > K.

Observatia 4.8. Formula (4.3) poate fi rescrisa sub forma

C∗t = BtEP∗(B−1T (ST −K)+ |FSt

)= BtEP∗

(B−1T X|FSt

),

unde X = (ST −K)+ , dar poate fi ınlocuita cu orice derivat financiar european.

Observatia 4.9. Formula de paritate put-call ce permite determinarea pretului just al OPEeste: Ct − Pt = St −Kr−(T−t), ∀t ≤ T.


Demonstratie. Intr-adevar,

π∗t (CT − PT ) = EP∗(r−(T−t) (ST −K) |FSt

), adica

Ct − Pt = EP∗(S∗T r

t|FSt)−Kr−(T−t),

ceea ce conduce la Ct − Pt = St −Kr−(T−t).

4.4 Optiuni americane ın modelul CRR

4.4.1 Timpi de oprire; ınfasuratoarea Snell a proceselor stochastice

O variabila aleatoare τ : (Ω,F ,P)→ 0, 1, 2, ...∞ se numeste timp de oprire (stopping time)daca

τ ≤ n = ω ∈ Ω | τ(ω) ≤ n ∈ Fn , ∀n ≤ ∞.

Deoarece τ = n = τ ≤ nτ ≤ n − 1 si τ ≤ n =⋃k≤nτ = k, obtinem urmatoarea

caracterizare echivalenta a timpilor de oprire:

τ = n ∈ Fn , ∀n ≤ ∞.

Spunem ca un timp de oprire τ este marginit daca exista o constanta K astfel ıncat P(τ ≤K) = 1.

Exemplul 4.1. Fie X un proces stochastic adaptat si ne intereseaza momentul primei intraria lui X ıntr-o multime B, masurabila Borel (de regula B = [c,∞) ∈ BR):

τ = infn ≥ 0 | Xn ∈ B.

Avem ca τ ≤ n =⋃k≤nXk ∈ B ∈ Fn si τ = ∞ daca X nu ajunge ın multimea B.

Variabila aleatoare τ este un timp de oprire.

Intuitiv, v.a. τ poate fi interpretata ca momentul ın care un jucator se decide sa paraseascaun joc la care participa. Parasirea jocului la momentul n depinde, prin urmare, doar deistoricul jocului pana la acel moment inclusiv, nu si de viitor.

Teorema 4.10 (Principiul lui Doob al timpilor de oprire). Fie τ un timp de oprire marginitsi X o martingala. Atunci Xτ este integrabila si

E(Xτ ) = E(X0).

Demonstratie. Presupunem τ(ω) ≤ K pentru toti ω, unde K este un ıntreg si avem

Xτ(ω)(ω) =∞∑k=0

Xk(ω)1τ(ω)=k =K∑k=0

Xk(ω)1τ(ω)=k.


Folosind proprietatea de liniaritate a mediei, proprietatea martingala a luiX, Fk-masurabilitatealui τ = k si definitia mediei conditionate, obtinem

E(Xτ ) = E

[K∑k=0

Xk1τ=k

]=

K∑k=0

E[Xk1τ=k

]=

K∑k=0

E[E (XK |Fk) 1τ=k

]=

K∑k=0

E[XK1τ=k

]= E

[XK

K∑k=0

1τ=k

]= E (XK) = E (X0) .

Definitia 4.11. Fie τ un timp de oprire. Sigma algebra Fτ generata de timpul de oprireconsiderat este definita ın modul urmator

Fτ = A ∈ F | A ∩ τ ≤ n ∈ Fn, pentru toti n.

Propozitia 4.12. Pentru un timp de oprire τ , Fτ este σ-algebra.

Demonstratie. Verificam proprietatile σ-algebrei. In mod evident ∅, Ω ∈ Fτ . De asemenea,pentru A ∈ Fτ obtinem

Ac ∩ τ ≤ n = τ ≤ n (A ∩ τ ≤ n) ∈ Fn ,

adica Ac ∈ Fτ . Pentru o familie Ai ∈ Fτ , i = 1, 2, ...avem( ∞⋃i=1

Ai

)⋂τ ≤ n =

∞⋃i=1

(Ai⋂τ ≤ n

)∈ Fn ,

adica ∪∞i=1Ai ∈ Fτ .

Propozitia 4.13. Fie σ si τ doi timpi de oprire care verifica σ ≤ τ . Atunci Fσ ⊆ Fτ .

Demonstratie. Deoarece σ ≤ τ avem τ ≤ n ⊆ σ ≤ n. Pentru A ∈ Fσ obtinem

A ∩ τ ≤ n = (A ∩ σ ≤ n) ∩ τ ≤ n ∈ Fn ,

adica A ∈ Fτ .

Vom introduce ın cele ce urmeaza notiunea de ınfasuratoare Snell a unui proces stochastic,un instrument important ın evaluarea derivatelor financiare de tip american.

Definitia 4.14. Daca X = (Xn)Nn=0 este un sir adaptat filtrarii F = Fnn=0,N , cu E (|Xn|) <∞ petru toti n = 0, N , sirul Z = (Zn)Nn=0 definit prin

ZN := XN

Zn := maxXn,E (Zn+1|Fn) (n ≤ N − 1)

este numit ınfasuratoare Snell a procesului X.

Teorema 4.15. Infasuratoarea Snell Z a procesului X este o supramartingala si este cea maimica supramartingala care domina procesul X (adica pentru care are loc relatia Zn ≥ Xn,pentru toti n).


Demonstratie. Pentru ınceput Zn ≥ E (Zn+1|Fn), deci Z este o supramartingala si Zn ≥ Xn

pentru toti n.

Consideram acum Y = (Yn)n o alta supramartingala care domina procesul X. Pentruınceput, deoarece ZN = XN si Y domina pe X, rezulta ca YN ≥ ZN . Presupunem, inductiv,ca Yn ≥ Zn si, deoarece Y este o supramartingala, avem

Yn−1 ≥ E (Yn|Fn−1) ≥ E (Zn|Fn−1) .

Cum Y domina pe X,Yn−1 ≥ Xn−1 ,

si, combinand relatiile anterioare,

Yn−1 ≥ maxXn−1,E (Zn|Fn−1) = Zn−1.

Repetand argumentul anterior obtinem ca Yn ≥ Zn pentru toti ıntregii n.

Exemplul 4.2 (Problema ruinarii jucatorului). Doi jucatori, Pacala si Tandala, sunt angajatiın urmatorul joc: Pacala arunca ın mod repetat o moneda ideala. Dupa fiecare aruncare, dacaiese stema, Pacala plateste lui Tandala un Euro, iar daca iese banul, Tandala plateste luiPacala aceeasi suma. Jocul continua pana cand unul dintre jucatori ramane fara bani. Stiindca Pacala porneste jocul cu A Euro iar Tandala cu B Euro, sa se determine:

(i) probabilitatea ca atunci cand jocul se ıncheie, Pacala sa aiba ıntreaga suma.

(ii) durata medie asteptata a jocului.

Demonstratie. Fie X1, X2, ... sirul de cresteri/descresteri ale averii lui Pacala, adica Xi = ±1,corespunzator cazului ın care la aruncarea numarul i iese stema sau banul. Dupa n aruncarischimbarile din averea lui Pacala sunt date de catre variabila aleatoare

Sn =n∑i=1

Xi.

Jocul continua pana la momentul τ , unde

τ = minn | Sn = +A sau −B.


Se poate demonstra usor ca τ este un timp de oprire relativ la filtrarea naturala Fn =σ (X1, X2, ..., Xn). In plus, sirul (Sn)n este o martingala relativ la filtrarea naturala. Con-form Teoremei de oprire ın timp optimal, pentru n <∞,

0 = ES0 = ESτ∧n = A · Pτ ≤n si Sτ = A

−B · Pτ ≤n si Sτ = −B+ ESn1τ>n.

Pentru n → ∞, P(τ > n) → 0 deoarece, daca la fiecare moment sunt A+B steme sau banconsecutive, atunci jocul se ıncheie deoarece unul dintre jucatori va fi ruinat. Pentru n suficientde mare, probabilitatea de a nu se ıntampla acest lucru este foarte mica. Acum, deoarece Sntrebuie sa ia valori cuprinse ıntre A si -B pentru evenimentul τ > n rezulta ca ultima mediedin formula anterioara converge catre 0 pentru n→∞. Prin urmare,

0 = A · PSτ = A −B · PSτ = −B.

Deoarece Sτ ia valorile A sau -B, cele doua probabilitati anterioare dau suma 1. Prin urmare,rezolvand acest sistem liniar de doua ecuatii cu doua necunoscute, obtinem:

PSτ = A =B

A+B,

ceea ce finalizeaza demonstratia punctului (i).

Pentru a demonstra punctul (ii) utilizam pentru ınceput tot Teorema de oprire ın timpoptimal, folosind martingala S2

n − n. Obtinem, pentru n = 1, 2, ...

E(S2τ∧n − τ ∧ n

)= 0,

de unde

E(τ ∧ n) = ES2τ∧n

= ES2τ1τ≤n + ES2

n1τ>n.

Cum τ ∧ n → τ si S2τ1τ≤n → Sτ2 pentru n → ∞, atunci datorita Teoremei convergentei

dominate

limn→∞

E(τ ∧ n) = Eτ si (4.4)

limn→∞

ES2τ1τ≤n = ES2

τ

= A2

(B

A+B

)+B

(A

A+B

)= AB.

Deoarece S2n este marginit pe evenimentul τ > n si P(τ > n)→ 0 pentru n→∞, atunci

ES2n1τ>n → 0 pentru n→∞, ceea ce conduce la faptul ca din (4.4) rezulta ca

Eτ = AB

pentru n→∞.

4.4.2 Modelul financiar

text

Capitolul 5Modelul Black-Scholes

5.1 Comportamentul asimptotic al modelului Cox-Ross-Rubinstein

Determinam formula de evaluare a pretului optiunilor ın modelul Black-Scholes, prin studiereacomportamentului asimptotic al modelului CRR, alegand convenabil sirul de modele binomiale.

Fie T > 0 fixat, arbitrar ales si, pentru fiecare n de forma n = 2k, consideram partitiaintervalului [0, T ] ın n subintervale de lungime ∆n = T/n :

Ij = [j∆n, (j + 1)∆n], ∀j = 0, n− 1.

Introducem, pentru ınceput, factorul de acumulare modificat. Pentru aceasta, pe fiecare in-terval Ij vom nota cu rn dobanda instantanee corespunzatoare acestui interval, iar pretulactivului fara risc este dat de sirul (Bn)n de conturi de economii (savings accounts):

Bnj∆n

= (1 + rn)j , ∀j = 0, n.

Pentru fiecare n presupunem ca pretul stocului Sn se poate aprecia pe intervalul Ij cu rataun sau deprecia cu rata dn, putandu-se reprezenta prin:

Sn(j+1)∆n= ξnj+1S

nj∆n

, ∀j = 0, n− 1,

unde, pentru ıntregii fixati j si n, ξnj este o variabila aleatoare repartizata Bernoulli cu valorile

un si dn . Putem presupune ca pentru fiecare n, variabilele aleatoare independente ξnj , j = 1, nsunt definite pe acelasi camp de probabilitate (Ωn,Fn,Pn) si

Pξnj = un = pn = 1− Pξnj = dn, ∀j = 1, n, pentru pn ∈ (0, 1).

Observatia 5.1. Pentru a asigura convergenta modelului CRR la modelul Black-Scholes (BS)impunem urmatoarele conditii restrictive privitoare la comportamentul asimptotic al can-titatilor rn, un si dn:

1 + rn = er∆n , un = eσ√

∆n , dn = u−1n , unde r ≥ 0, σ > 0 sunt constante date. (5.1)

Remarcam ca, pentru fiecare n > r2σ−2T avem ca dn = u−1n < 1 + rn < un, iar mod-

elul CRR (Sn, Bn,Φn) este fara arbitraj, pentru n suficient de mare. In plus, prin calcule

53

Capitolul 5. Modelul Black-Scholes 54

elementare obtinem:

limn→∞

p∗,n = limn→∞

1 + rn − dnun − dn

= limn→∞

er∆n − e−σ√

∆n

eσ√

∆n − e−σ√

∆n=

1

2si

limn→∞

pn = limn→∞

p∗,nun1 + rn

=1

2.

Studiem ın continuare comportamentul asimptotic al pretului unei optiuni de call europeanatunci cand n→∞. Presupunem t = jT/2k si consideram sirul

mn (t) =n (T − t)

T, ∀n ∈ N,

remarcand ca mn (t) ∈ N pentru n = 2l suficient de mare. In plus, T − t = mn (t) ∆n si

limn→∞

(1 + rn)−mn(t) = limn→∞

e−r∆nmn(t) = e−r(T−t).

Cantitatea mn (t) reprezinta numarul de perioade de tranzactionare pe intervalul [t, T ] (pentrul suficient de mare). Definim, la momentul t, pentru activul cu risc s := St = ST−mn(t)∆n

cantitateabn (t) = inf

j ∈ N∗ : sujnd

mn(t)−jn > K

. (5.2)

Teorema urmatoare furnizeaza formula clasica Black-Scholes de evaluare a pretului optiunilorde vanzare si de cumparare europene, instrumentul utilizat fiind comportamentul asimptotical modelului CRR.

Teorema 5.2. Pentru fiecare punct diadic t ∈ [0, T ] are loc:

limn→∞

mn(t)∑j=bn(t)

Cjmn(t)

Stp

jnqmn(t)−jn −Kr−mn(t)

n pj∗,nqmn(t)−j∗,n

= Ct ,

unde q∗,n = 1− p∗,n , qn = 1− pn si Ct este dat de formula Black-Scholes:

Ct = StN (d1 (St, T − t))−Ke−r(T−t)N (d2 (St, T − t)) , cu

d1 (s, t) =ln (s/K) +

(r + 1

2σ2)t

σ√t

,

d2 (s, t) = d1 (s, t)− σ√t =

ln (s/K) +(r − 1

2σ2)t

σ√t

.

Functia N este functia de repartitie Gaussiana standard:

N (x) =1√2π

x∫−∞

e−u2/2du, ∀x ∈ R.

Demonstratie. Fie St = s valoarea generica a pretului stocului la momentul t. Primul pasconsta ın demonstrarea faptului ca

limn→∞

mn(t)∑j=bn(t)

Cjmn(t)pjn (1− pn)mn(t)−j = N (d1 (s, T − t)) . (5.3)


Observam initial ca

mn(t)∑j=bn(t)

Cjmn(t)pjn (1− pn)mn(t)−j = Q bn (t) ≤ γn ≤ mn (t) ,

unde, pentru fiecare ıntreg n, variabila aleatoare γn ∼ B (mn (t) , pn) sub masura de probabil-itate Q. Notam σn :=

√pn (1− pn) si consideram variabila aleatoare.normalizata

γn =γn − EQ (γn)√V arQ (γn)

=γn −mn (t) pn√mn (t) pn (1− pn)

=

∑mn(t)j=1

(ςnj − pn

)σn√mn (t)

,

unde ςnj , j = 1, ..., n sunt variabile aleatoare independente, identic repartizate B (pn) :

Qςnj = 1=pn = 1−Qςnj = 0.

Teorema Limita Centrala conduce la convergenta ın repartitie a sirului de variabile aleatoareγnn∈N :

γnrep→ Z ∼ N (0, 1) pentru n→∞.

In plus,avem ca

limn→∞

mn (t)−mn (t) pn√mn (t) pn (1− pn)

= limn→∞

√mn (t) p−1

n (1− pn) = +∞ si,

utilizand (5.2), obtinem

limn→∞

bn (t)−mn (t) pn√mn (t) pn (1− pn)

= limn→∞

ln(K/s)+mn(t)σ√

∆n

2σ√

∆n−mn (t) pn√

mn (t) pn (1− pn)

= limn→∞

ln (K/s) +mn (t)σ√

∆n (1− 2pn)

2σ√mn (t) ∆npn (1− pn)

=ln (K/s)−

(r + 1

2σ2)

(T − t)σ√T − t

= −d1 (s, T − t)

deoarecelimn→∞

mn (t)√

∆n (1− 2pn) = − (T − t)( rσ

+σ

2

).

Convergenta ın repartitie a sirului de variabile aleatoare γnn∈N si relatia 1−N (x) = N (−x),∀x ∈ R conduce la

limn→∞

Q bn (t) ≤ γn ≤ mn (t) = 1−N (−d1 (s, T − t)) = N (d1 (s, T − t)) ,

adica formula (5.3) este demonstrata. Intr-o maniera similara se demonstreaza ca

limn→∞

mn(t)∑j=bn(t)

Cjmn(t)pj∗,n (1− p∗,n)mn(t)−j = N (d2 (s, T − t)) .

Membrul stang al egalitatii anterioare se poate scrie sub forma

mn(t)∑j=bn(t)

Cjmn(t)pj∗,n (1− p∗,n)mn(t)−j = Q bn (t) ≤ γ∗n ≤ mn (t)


unde, pentru fiecare ıntreg n, variabilele aleatoare γ∗n ∼ B (mn (t) , p∗,n) sub probabilitatea Q.Prin calcule asemanatoare cazului anterior obtinem

limn→∞

bn (t)−mn (t) p∗,n√mn (t) p∗,n (1− p∗,n)

= −d2 (s, T − t) si

limn→∞

Q bn (t) ≤ γ∗n ≤ mn (t) = 1−N (−d2 (s, T − t)) = N (d2 (s, T − t)) ,

demonstratia fiind ın acest moment completa.

5.2 Modelul continuu Black-Scholes

Consideram ın cele ce urmeaza o piata financiara perfecta, adica o piata ın care tranzactiileau loc continuu ın timp, nu sunt restrictii la credite sau depozite, dobanzile sunt egale, sinu sunt taxe sau costuri la tranzactionarea activelor financiare. Ca si ın situatiile anterioareexista doua active tranzactionabile ın acest model de piata financiara, tranzactiile si dinamicapretului fiind date ın timp continuu. Cele doua active sunt caracterizate prin:

1. activul primar fara risc corespunde unui cont de economii (savings account, a moneymarket account, a risk-free bond), pentru care dobanda instantanee (short-term interestrate) r este constanta pe intervalul [0, T ]. Acest activ este continuu compus ın timp,dinamica sa fiind guvernata de ecuatia diferentiala

dBt = rBtdt, B0 = 1,

cu solutia explicita Bt = ert, t ∈ [0, T ] . Consideram spre exemplu un instrument detrezorerie, nepurtator de dividende (zero-coupon bond) cu maturitatea T, al carui pretla momentul t ∈ [0, T ] este

B (t, T ) = e−r(T−t), ∀t ∈ [0, T ] .

Pentru orice moment T fixat, pretul bond-ului satisface ecuatia diferentiala

dB (t, T ) = rB (t, T ) dt, B (0, T ) = e−rT .

2. activul cu risc (underlying stock asset), a carui evolutie ın timp continuu fiind data deprocesul stochastic (St)t∈[0,T ] ce satisface ecuatia diferentiala (pe scurt, EDS) liniara:

dSt = µStdt+ σStdWt, S0 > 0, (5.4)

unde µ > 0 este rata de apreciere a pretului actiunii, σ > 0 este volatilitatea si S0

este pretul initial al actiunii. Ecuatia anterioara admite o solutie unica, a carei formaexplicita este data prin urmatorul rezultat.

Propozitia 5.3. Ecuatia (5.4), scrisa sub forma integrala

St = S0 +

∫ t

0µSudu+

∫ t

0σSudWu , ∀t ∈ [0, T ]

admite o solutie unica data prin formula

St = S0 exp

(σWt +

(µ− 1

2σ2

)t

), ∀t ∈ [0, T ] . (5.5)


Demonstratie. Folosind formula lui Ito se arata ca procesul stochastic definit prin (5.5) satis-face ecuatia (5.4). Fie

dXt =

(µ− 1

2σ2

)dt+ σdWt.

Considerand functia g : R , g (x) = S0ex, avem ca St = g (Xt) si

dSt = dg (Xt) = g′ (Xt)

(µ− 1

2σ2

)dt+ g′ (Xt)σdWt +

1

2g′′ (Xt)σ

2dt

= g (Xt) (µdt+ σdWt) = St (µdt+ σdWt) .

Unicitatea solutiei rezulta datorita coeficientilor Lipschitz ai ecuatiei (5.4).

Observatia 5.4. Este important de subliniat faptul ca

FWt = σ Wu : u ≤ t = σ Su : u ≤ t = FSt ,

adica filtrarea generata de pretul actiunilor de stoc coincide cu filtrarea naturala a miscariiBrowniene W, adica FS = FW = F.

Definim procesul auxiliar

Mt = exp

(σWt −

1

2σ2t

), ∀t ∈ [0, T ] (5.6)

si demonstram ca el este un caz particular de proces stochastic.

Propozitia 5.5. Procesul M definit anterior este o martingala sub masura de probabilitate P,ın raport cu filtrarea F.

Demonstratie. Observam ca

EP(eσ(Wt−Wu)|Fu

)= EP

(eσ(Wt−Wu)

)= exp

(1

2σ2 (t− u)

)deoarece Wt −Wu ∼ N (0, t− u) . Cum St = eµtMt , avem, pentru fiecare u ≤ t ≤ T,

EP (St|Fu) = EP(eµtMt|Fu

)= eµtMu = Sue

µ(t−u).

Pretul stocului S este o martingala sub probabilitatea P ın raport cu filtrarea F daca si numaidaca rata de apreciere µ este 0. Daca µ > 0 (res. µ < 0) atunci

EP (St|Fu) > Su (resp. < Su), pentru ∀t > u,

adica pretul stocului S este o submartingala (resp. o supramartingala) sub masura de proba-bilitate subiectiva P.

5.3 Strategii de schimb autofinantante; masuri martingale pen-tru o piata spot

In cele ce urmeaza vom utiliza tot instrumentul portofoliilor replicante pentru a modela pretuloptiunilor call si put europene. Ideea avuta ın vedere vizeaza asigurarea lipsei oportunitatilorde arbitraj ın piata financiara considerata.

Definitia 5.6.


• Prin strategie de schimb ıntelegem o pereche de procese stochastice progresiv masurabileφ = (φ1, φ2) definite pe spatiul de probabilitate (Ω,F ,P) .

• Spunem ca o strategie de schimb φ = (φ1, φ2) pe intervalul [0, T ] este autofinantantadaca valoarea portofoliului

Vt (φ) := φ1tSt + φ2

tBt , ∀t ∈ [0, T ]

satisface conditia

Vt (φ) = V0 (φ) +

∫ t

0φ1udSu +

∫ t

0φ2udBu , ∀t ∈ [0, T ] ,

prima integrala fiind interpretata ın sens Ito, iar a doua ın sens Lebesgue.

(Vom nota cu Φ multimea strategiilor autofinantante, multime ce nu coincide cu R2,dupa cum se poate observa din modelul de suicid al lui Harrison & Pliska, 1981).

In mod uzual, notam S∗ := S/B pretul cu discount al actiunilor de stoc si obtinem ca,pentru orice t ∈ [0, T ],

S∗t = S∗0 exp

(σWt +

(µ− r − 1

2σ2

)t

),

adica, echivalent, S∗ este solutia unica a EDS

dS∗t = (µ− r)S∗t dt+ σS∗t dWt , S∗0 = S0 ,

iar proprietatea martingala a lui S∗ sub P poate fi analizata ın aceeasi maniera ca si ın cazullui S.

Definitia 5.7. O masura de probabilitate P∗ pe (Ω,F) , echivalenta cu P, se numeste masuramartingala pentru S∗ daca S∗ este o martingala locala sub P∗.

Definitia 5.8. O masura de probabilitate P∗ pe (Ω,F) , echivalenta cu P, se numeste o masuramartingala spot daca valoarea cu discount a portofoliului V ∗t (φ) := Vt (φ) /Bt oricarei strategiiautofinantante φ este o martingala locala sub P∗.

Are loc urmatorul rezultat de caracterizare a masurilor martingale spot.

Lema 5.9. O masura de probabilitate pe campul (Ω,F) este o masura martingala spot dacasi numai daca este o masura martingala pentru S∗.

Demonstratie. Fie o strategie de schimb φ ∈ Φ. Utilizam formula lui Ito si obtinem (stim cadB−1

t = −rB−1t dt):

dV ∗t = d(VtB

−1t

)= VtdB

−1t +B−1

t dVt

=(φ1tSt + φ2

tBt)dB−1

t +B−1t

(φ1tdSt + φ2

tdBt)

= φ1t

(B−1t dSt + StdB

−1t

)= φ1

tdS∗t ,

adica

V ∗t (φ) = V ∗0 (φ) +

∫ t

0φ1udS

∗u , ∀t ∈ [0, T ] .

Cum integrala stochastica Ito este o martingala locala obtinem rezultatul dorit.


Lema 5.10. Unica masura martingala P∗ pentru S∗ este data de derivata Radon-Nikodym:

dP∗

dP= exp

(r − µσ

WT −1

2

(r − µ)2

σ2T

), P−a.s.

Sub aceasta masura martingala P∗, pretul cu discount S∗ satisface ecuatia diferentiala stochas-tica liniara

dS∗t = σS∗t dW∗t ,

iar procesul W ∗t = Wt − (r − µ)σ−1t, t ∈ [0, T ] este o miscare Browniana pe (Ω,F ,P∗).

Pretul cu discount S∗ este sub masura P∗ o martingala strict pozitiva deoarece, pentru oricet ∈ [0, T ],

S∗t = S∗0 exp

(σW ∗t −

1

2σ2t

)= S∗0M

∗t ,

unde M∗ este definit prin (5.6), cu procesul Wiener W ınlocuit de W ∗. Pretul stocului lamomentul t este deci

St = S∗tBt = S0 exp

(σW ∗t +

(r − 1

2σ2

)t

),

adicadSt = rStdt+ σStdW

∗t , S0 > 0.

Este important de subliniat faptul ca

F = FW = FW∗

= FS = FS∗.

Definitia 5.11. O strategie φ ∈ Φ se numeste P∗−admisibila daca V ∗t (φ) := B−1t Vt (φ)

este o martingala sub P∗. Notam cu Φ (P∗) multimea strategiilor P∗−admisibile. TripletulMBS := (S,B,Φ (P∗)) este numit modelul de piata fara arbitraj Black-Scholes.

Urmatorul rezultat ofera o metoda de calcul a pretului de arbitraj, folosind media conditionatasub masura martingala, a oricarui derivat financiar european.

Lema 5.12. Fie X un derivat financiar european, replicabil, cu momentul de maturitate T .La fiecare moment t, pretul sau de arbitraj (notat cu πt (X)), considerat ın modelul MBS estedat de

πt (X) = BtEP∗(B−1T X|Ft

), ∀t ∈ [0, T ] .

Demonstratie. Fie φ o strategie admisibila, replicanta pentru derivatul financiar X. Pentruorice t ∈ [0, T ], avem, conform lemei (5.9),

πt (X)

Bt= V ∗t (φ) = EP∗ (V ∗T (φ) |Ft) = EP∗

(B−1T X|Ft

),

adica πt (X) = BtEP∗(B−1T X|Ft

).

5.4 Formula Black-Scholes de evaluare a pretului ın timp con-tinuu

Vom considera o optiune de tip call european avand ca activ suport un activ primar (stoc) S cenu plateste dividende, cu maturitatea T si pretul de exercitare K. Functia de plata (si pretul


optiunii) la momentul T este, asa cum se stie, (ST −K)+ . Fie functia c : R+ × (0, T ] → Rdefinita prin

c (s, t) := sN (d1)−Ke−rtN (d1) , (5.7)

unde N este functia de repartitie normala standard si

d1,2 := d1,2 (s, t) =ln (s/K) +

(r ± 1

2σ2)t

σ√t

. (5.8)

Notam ın continuare prin Ct pretul de arbitraj (arbitrage price, fair price) al unui call europeanın modelul continuu Black-Scholes.

Enuntam si demonstram ın cele ce urmeaza rezultatul principal al acestei sectiuni.

Teorema 5.13. La fiecare moment t < T, pretul de arbitraj al optiunii de call european (cumaturitatea T si pretul de exercitare K) este dat de formula

Ct = c (St, T − t) , ∀t ∈ [0, T ] ,

unde functia c : R+ × (0, T ]→ R este definita prin formula (5.7). Mai explicit, avem, pentrufiecare t < T ,

Ct = StN (d1 (St, T − t))−KB (t, T )N (d2 (St, T − t)) , (5.9)

cu cantitatile d1,2 definite prin (5.8). In plus, unica strategie replicanta admisibila φ =(φ1, φ2

)pentru optiunea de call european este

φ1t =

∂c

∂s(St, T − t) = N (d1 (St, T − t))

siφ2t = e−rt

(c (St, T − t)− φ1

tSt).

Demonstratie. Vom prezenta doua metode de demonstratie: prima metoda se bazeaza pedeterminarea directa a strategiei replicante alaturi de pretul optiunii, iar cea de a douaabordare utilizeaza formula de evaluare ın caz de risc neutru; avand determinat pretul optiuniiputem obtine apoi portofoliul replicant.

Metoda 1. Presupunem ca pretul optiunii, notat cu Ct, se poate reprezenta sub formaCt = v (St, t), pentru o functie v : R+× (0, T ]→ R si ca strategia replicanta cautata are forma

φt =(φ1t , φ

2t

)= (g (St, t) , h (St, t)) ,

pentru t ∈ [0, T ] , unde g, h : R+ × (0, T ]→ R sunt functii necunoscute. Cum strategia φ esteautofinantanta, atunci valoarea portofoliului

Vt (φ) = g (St, t)St + h (St, t)Bt = v (St, t) (5.10)

satisface ecuatia diferentiala

dVt (φ) = g (St, t) dSt + h (St, t) dBt (5.11)

= (µ− r)Stg (St, t) dt+ σStg (St, t) dWt + rv (St, t) dt

deoarece din a doua egalitate din (5.10) obtinem ca

φ2t = h (St, t) = B−1

t (v (St, t)− g (St, t)St) .


Cautam ın continuare functia v din spatiul C2,1 ((0,∞)× (0, T )) . Aplicam formula lui Ito siobtinem

dv (St, t) =

(v′t (St, t) + µStv

′s (St, t) +

1

2σ2S2

t v′′ss (St, t)

)dt+ σStv

′s (St, t) dWt .

Impreuna cu (5.11) obtinem, aplicand formula lui Ito procesului Y := v (St, t)− Vt (φ),

dYt =

(v′t (St, t) + µStv

′s (St, t) +

1

2σ2S2

t v′′ss (St, t)

)dt+ σStv

′s (St, t) dWt

+ (r − µ)Stg (St, t) dt− σStg (St, t) dWt − rv (St, t) dt.

Dar, conform cu (5.10), dYt = 0 si, datorita unicitatii descompunerii canonice a semimartin-galelor continue, termenul de difuzie din descompunerea anterioara a procesului Y dispare.Aceasta ınseamna ca, pentru orice t ∈ [0, T ],∫ t

0σSu

(g (Su, u)− v′s (Su, u)

)dWu = 0, ∀t ∈ [0, T ] ,

sau, echivalent, ın virtutea proprietatilor integralei Ito (proprietatea de izometrie),∫ T

0S2u

(g (Su, u)− v′s (Su, u)

)2du = 0,

adica e necesar si suficient ca functia g sa satisfaca relatia

g (s, t) = v′s (s, t) , ∀ (s, t) ∈ R+ × [0, T ] . (5.12)

Obtinem, prin urmare, reprezentarea lui Y :

Yt =

∫ t

0

v′t (Su, u) +

1

2σ2S2

uv′′ss (Su, u) + rSuv

′s (Su, u)− rv (Su, u)

du.

Rezulta ca procesul Y dispare atunci cand functia v satisface urmatoarea ecuatie cu derivatepartiale, numita si EDP Black-Scholes:

v′t (s, t) +1

2σ2s2v′′ss (s, t) + rsv′s (s, t)− rv (s, t) = 0. (5.13)

Cum CT = v (ST , T ) = (ST −K)+ impunem si conditia terminala v (s, T ) = (s−K)+ , pentrus ∈ R+ . Se verifica, prin calcul direct, ca functia v (s, t) = c (s, T − t) verifica problema demai sus. Ramane doar de justificat ca strategia replicanta φ data de formulele:

φ1t = g (St, t) = v′s (St, t) , φ2

t = h (St, t) = B−1t (v (St, t)− g (St, t)St) ,

este o strategie admisibila. Pentru ınceput aratam ca ea este auto-finantanta. Pentru aceasta,verificam ca

dVt (φ) = φ1tdSt + φ2

tdBt .

Deoarece Vt (φ) = φ1tSt + φ2

tBt = v (St, t), aplicand formula lui Ito obtinem

dVt (φ) = v′s (St, t) dSt +1

2σ2S2

t v′′ss (St, t) dt+ v′t (St, t) dt.


care, utilizand (5.13), devine

dVt (φ) = v′s (St, t) dSt + rv (St, t) dt− rStv′s (St, t) dt

si deci

dVt (φ) = φ1tdSt + rBt

v (St, t)− Stφ1t

Btdt = φ1

tdSt + φ2tdBt ,

adica strategia construita anterior este auto-finantanta. Pentru admisibilitatea sa, verificamca

V ∗t (φ) = V ∗0 (φ) +

∫ t

0v′s (Su, u) dS∗u ,

este o martingala sub masura martingala P∗. Prin calcul direct se obtine ca

v′s (s, t) = N (d1 (s, T − t))

pentru fiecare pereche (s, t) ∈ R+ × [0, T ] si

V ∗t (φ) = V ∗0 (φ) +

∫ t

0σSuN (d1 (Su, T − u)) dW ∗u =: V ∗0 (φ) +

∫ t

0ζudW

∗u ,

adica V ∗ (φ) este o P∗−martingala (este chiar o martingala de patrat integrabila). Egalitatea

c′s (St, T − t) = N (d1 (St, T − t))

se verifica prin calcularea directa a derivatei partiale ın raport cu s a functiei pret c.

Metoda 2. Punem accent prin aceasta abordare pe evaluarea directa a functiei c. Aratamca derivatul financiar X = (ST −K)+ este replicabil ın modelul Black Scholes. Acest lucrurezulta din teorema de reprezentare a martingalelor, combinata cu integrabilitatea, sub prob-abilitatea P∗, a variabilei aleatoare X∗ = B−1

T (ST −K)+.

Din teorema de reprezentare rezulta existenta unui proces predictibil θ astfel ıncat inte-grala stochastica

V ∗t = V ∗0 +

∫ t

0θudW

∗u , ∀t ∈ [0, T ]

este o P∗−martingala continua, de patrat integrabila si

X∗ = B−1T (ST −K)+ = EP∗X∗ +

∫ T

0θudW

∗u = EP∗X∗ +

∫ T

0hudS

∗u ,

unde am considerat ht := θt/ (σS∗t ) . Notam Vt := BtV∗t si consideram strategia data de

φ1t = ht , φ2

t = V ∗t − htS∗t = B−1t (Vt − htSt) .

Verificam ca aceasta strategie φ este auto-finantanta.

dVt (φ) = d (BtV∗t ) = BtdV

∗t + rV ∗t Btdt

= BthtdS∗t + rVtdt = Btht

(B−1t dSt − rB−1

t Stdt)

+ rVtdt

= htdSt + r (Vt − htSt) dt = φ1tdSt + φ2

tdBt .

Este evident faptul ca VT (φ) = VT = (ST −K)+ si ca φ este strategie admisibila replicantapentru derivatul financiar X, deci optiunea de call european este replicabila ın modelul de piataMBS . Evaluam ın cele ce urmeaza pretul de arbitraj al lui X folosind formula de evaluare la


risc neutru. Deoarece FWt = FSt pentru fiecare t ∈ [0, T ] , avem

Ct = BtEP∗((ST −K)+B−1

T |FSt

)= c (St, T − t) (5.14)

pentru o functie c : R+ × [0, T ] → R. Cea de a doua egalitate din relatia de mai sus are locinvocand proprietatea Markov a procesului stochastic S. Din proprietatile mediei conditionaterezulta ca

EP∗((ST −K)+ |FSt

)= H (St, T − t) , (5.15)

unde functia H (s, T − t) este definita de

H (s, T − t) = EP∗(

seσ(W∗T−W

∗t )+(r−σ2/2)(T−t) −K

)+

pentru fecare pereche (s, t) ∈ R+ × [0, T ] . Pentru t = 0 obtinem, din formula (5.14),

EP∗((ST −K)+B−1

T

)= EP∗

(STB

−1T 1D

)− EP∗

(KB−1

T 1D)

= J1 − J2 ,

unde D := ST > K. Pentru cantitatile J1 si J2 avem estimarile ce urmeaza:

J2 = e−rTKP∗ST > K= e−rTKP∗

S0 exp

(σW ∗T + (r − 1/2σ2)T

)> K

= e−rTKP∗

−σW ∗T < ln (S0/K) + (r − 1/2σ2)T

= e−rTKP∗

ξ <

ln (S0/K) + (r − 12σ

2)T

σ√T

= e−rTKN (d2 (S0, T ))

deoarece v.a. ξ = −WT /√T ∼ N (0, 1) sub masura martingala P∗. Pentru a doua integrala

obtinem caJ1 = EP∗

(STB

−1T 1D

)= EP∗ (S∗T1D) . (5.16)

Este convenabil sa introducem pe spatiul (Ω,FT ) masura de probabilitate P, definita prin

dPdP∗

= exp

(σW ∗T −

1

2σ2T

), P∗-a.s.,

situatie ın care procesul Wt = W ∗t − σt este o miscare Browniana pe(Ω,F , P

). In plus,

S∗T = S0 exp

(σWT +

1

2σ2T

),

de unde, formula (5.16) devine

J1 = S0PS∗T > KB−1

T

= S0P

S0 exp

(σWT +

1

2σ2T

)> Ke−rT

= S0P

−σWT < ln (S0/K) + (r +

1

2σ2)T

= S0N (d1 (S0, T )) .

Concluzionand, obtinem ca pretul la momentul 0 al OCE devine

C0 = c (S0, T ) = S0N (d1 (S0, T ))−Ke−rTN (d2 (S0, T )) ,


unde

d1,2 (S0, T ) :=ln (S0/K) +

(r ± 1

2σ2)T

σ√T

.

Formula de evaluare pentru fiecare moment 0 < t < T se poate deduce din formula (5.15).

Observatia 5.14. Se observa ca ın formula de evaluare Black Scholes nu apare rata de apreciereµ, dupa cum si ın dinamica lui S sub masura martingala P∗ nu apare acest coeficient. Acelasilucru se ıntampla daca presupunem ca rata de apreciere depinde de timp sau mai mult, estechiar un proces stochastic adaptat filtrarii naturale.

Ca o consecinta imediata, rezultatul urmator furnizeaza o metoda directa de calculare apretului just al optiunilor de vanzare de tip european.

Lema 5.15 (Formula de paritate put-call). Preturile de arbitraj al optiunilor put si calleuropene ce au aceeasi data de expirare T si acelasi pret de exercitare K satisfac relatia

Ct − Pt = St −Ke−r(T−t) (5.17)

pentru fiecare t ∈ [0, T ] .

Teorema 5.16. In modelul standard Black Scholes, pretul unui put european cu pretul deexercitare K la momentul de maturitate T este, pentru orice moment t < T ,

Pt = KB (t, T )N (−d2 (St, T − t))− StN (−d1 (St, T − t)) .

Demonstratie. Demonstratia este o consecinta imediata a formulei (5.9) ce da pretul unei OCEsi formula de paritate (5.17) pentru piete financiare Black Scholes, ın timp continuu.

5.5 EDP Black Scholes

Extindem ın aceasta sectiune procedura de evaluare a pretului de la optiuni de cumparare sivanzare europene la orice tip de derivat financiar de tip european, adica o variabila aleatoareFT -masurabila. In principiu formula Feynman-Kac, prezentata ın continuare, exprima solutiaunei ecuatii cu derivate partiale de tip parabolic drept media conditionata a unui procesguvernat de o miscare Browniana.

Teorema 5.17. Fie W o miscare Browniana 1−dimensionala definita pe un camp de probabili-tate (Ω,F ,P) . Pentru o functie masurabila Borel h : R→ R, definim functia u : R× [0, T ]→ R,

u (x, t) = EP(e−r(T−t)h (WT ) |Wt = x

), ∀ (x, t) ∈ R× [0, T ] . (5.18)

Presupunem ca ∫ +∞

−∞e−ax

2 |h (x) |dx <∞

pentru o constanta a > 0. Functia u este definita pentru 0 < T − t < 1/2a , x ∈ R si arederivate de orice ordin. In particular, u ∈ C2,1 (R× (0, T )) si satisface EDP:

−∂u∂t

(x, t) =1

2

∂2u

∂x2(x, t)− ru (x, t) , ∀ (x, t) ∈ R× (0, T ) ,

cu conditia terminala u (x, T ) = h (x) , ∀x ∈ R.

Demonstratie. Vezi Karatzas & Shreve [3].


Rezultatul principal al acestei sectiuni este prezentat ın cele ce urmeaza.

Teorema 5.18. Fie g : R→ R o functie masurabila Borel astfel ıncat variabila aleatoare X =g (ST ) este P∗−integrabila. Atunci, pretul de arbitraj, ın modelul de piata MBS , al derivatuluifinanciar X (cu maturitatea T ) este dat de πt (X) = v (St, t), unde functia v : R+× [0, T ]→ Rverifica EDP Black-Scholes:

∂v

∂t+

1

2σ2s2∂

2v

∂s2+ rs

∂v

∂s− rv = 0, ∀ (s, t) ∈ (0,∞)× (0, T ) , (5.19)

cu conditia terminala v (s, T ) = g (s) .

Demonstratie. Obtinem (5.19) din formula de evaluare la risc neutru. Pretul πt (X) satisface

πt (X) = EP∗(e−r(T−t)g (ST ) |FSt

)= v (St, t) (5.20)

pentru o functie v : R+ × [0, T ]→ R. In plus

πt (X) = EP∗(e−r(T−t)g (f (W ∗T , T )) |FW ∗t

),

unde f : R× [0, T ]→ R este o functie strict pozitiva, data prin

f (x, t) = S0eσx+(r−σ2/2)t, ∀x ∈ R.

Notamu (t, x) = EP∗

(e−r(T−t)g (f (W ∗T , T )) |W ∗t = x

).

Conform teoremei anterioare, u (x, t) satisface ecuatia cu derivate partiale

− u′t (x, t) =1

2u′′xx (x, t)− ru (x, t) , ∀ (x, t) ∈ R× (0, T ) , (5.21)

cu conditia terminala u (x, T ) = g (f (x, T )) .

Din formulele (5.18) si (5.20) obtinem ca

u (x, t) = v (f (x, t) , t) , ∀ (x, t) ∈ R× [0, T ] .

Prin urmare,u′t (x, t) = v′s (s, t) f ′t(x, t) + v′t (s, t) ,

unde am considerat s := f(x, t) ∈ (0,+∞). Mai mult,

u′x(x, t) = v′s (s, t) f ′x(x, t)

si deciu′′xx(x, t) = v′′ss(s, t)

(f ′x(x, t)

)2+ v′s(s, t)f

′′xx(x, t).

Pe de alta parte, din formula de definire a functiei f , avem ca

f ′x(x, t) = σf(x, t), f ′′xx(x, t) = σ2f(x, t), f ′t(x, t) =

(r − 1

2σ2

)f(x, t),

ceea ce conduce lau′t(x, t) = s

(r − 1

2σ2)v′s(s, t) + v′t (s, t) si

u′′xx(x, t) = σ2s2v′′ss(s, t) + σ2sv′s(s, t).

Substituind ın ecuatia (5.21) si rearanjand termenii obtinem EDP Black Scholes (5.19).


Modelul studiat poate fi extins pentru situatii ın care dobanda la vedere, respectiv volatil-itatea, sunt variable, dar deterministe. De asemenea, el poate fi utilizat si pentru evaluareapretului optiunilor europene ce au active suport care platesc dividende pe perioada de viata aderivatului financiar. In acest cadru se pot obtine formule explicite ale pretului daca dividen-dele reprezinta un procent cunoscut din pretul activului suport.

Desi modelul de evaluare Black–Scholes nu reflecta identic realitatea din pietele financiare,el este des folosit ın practica deoarece permite calcularea cu usurinta a preturilor si expliciteazaprecis relatiile dintre varabilele care caracterizeaza sistemul. Unele voci chiar afirma ca modelulBlack-Scholes nu este o reprezentare fidela a modului de functionare a pietelor financiare, ınsa,tocmai faptul ca toti cei implicati ”gandesc Black-Scholes” le confera functionalitate. Cu toateca ın practica indicele de volatilitate ce apare ın ecuatia ce caracterizeaza dinamica activuluiprimar nu este constant, rezultatele oferite de modelul Black-Scholes sunt frecvent utilizate,ele dovedindu-se eficiente la stabilirea corecta strategiilor de hedging ce permit minimizareaexpunerii la risc a investitorilor. Instrumentele esentiale utilizate pentru evitarea expunerii larisc (risk management) sunt prezentate ın sectiunea urmatoare.

5.6 Indici de senzitivitate ai modelului Black-Scholes

Indicii de senzitivitate (the Greeks) sunt instrumente importante pentru managementul riscu-lui. Fiecare indice este o masura a senzitivitatii portofoliului investitorului la mici variatii aleunor parametri ai activelor primare. Indicii modelului Black-Scholes sunt usor de calculat, eifiind utili ın special celor care sunt implicati ın contracte ce tranzactioneaza derivate financiare,dandu-le astfel posibilitatea sa-si protejeze contra riscului din piata portofoliile. Principaliiindici folositi pentru hedging sunt: delta, theta, vega (masoara modificari generate de mo-mentul de maturitate si volatilitate), rho (masoara senzitivitatea la fluctuatiile dobanzilor),gamma (masoara senzitivitatea pretului optiunilor ın raport cu modificarea pretului activuluide baza). Prezentam ın cele ce urmeaza cateva elemente descriptive ce caracterizeaza indiciiprezentati anterior.

1. Delta

(∆ =

∂v

∂S

)Indicele ∆ masoara rata de schimb a valorii optiunii ın raport cu modificarea pretuluiactivului de baza. Chiar daca delta va avea valori situate ıntre 0 si 1 pentru un longcall (sau/si un short call) si ıntre 0 si −1 pentru un long put (sau/si un short put)aceste valori sunt rareori prezentate ca procente ale numarului de actiuni ce fac obiectulcontractului de tranzactionare. Suma ıntre valorile absolute ale indicilor delta ai unuicall si un put european (ce au acelasi activ suport negrevat de dividende, acelasi momentde maturitate si acelasi pret de exercitare) este egala cu 1.

2. Vega

(ν =

∂v

∂σ

)Indicele ν masoara senzitivitatea la volatilitate activului suport al optiunii. El esteexprimat ın mod uzual drept suma de bani (pe unitatea de actiune de activ suport) pecare valoarea optiunii o castiga sau o pierde atunci cand volatilitatea creste sau scadecu 1%. Acest indice este important de urmarit de catre trader-ul optiunii, ın specialın piete financiare foarte volatile deoarece strategiile de tranzactionare pot fi gestionatepentru neexpunerea la risc a investitorului prin intermediul acestui instrument.

3. Theta

(θ = −∂v

∂t

)Indicele θ masoara senzitivitatea valorii derivatului financiar pe parcursul trecerii timpu-lui (time decay). Valoarea sa este, de obicei, reprezentata sub forma valoare/an. In mod


uzual se divizeaza rezultatul la numarul de zile din an pentru a se ajunge la suma peunitatea de activ suport pe care optiunea o pierde pe zi. Theta este ıntotdeauna negativpentru un long call/put si pozitiv pentru un short call/put.

4. Rho

(ρ =

∂v

∂r

)Indicele ρ masoara senzitivitatea valorii optiunii la modificari ale dobanzilor la vedereale activului fara risc din piata. In marea majoritate a situatiilor valoarea derivatuluifinanciar este putin sensibila la aceste modificari, ceea ce face ca acest indice se senzi-tivitate sa nu fie unul prea des utilizat. Rho se exprima prin suma pe unitatea de activsuport pe care pretul optiunii o castiga sau o pierde atunci cand obanda la vedere pentruactivul sigur creste sau scade cu 1%.

5. Gamma

(Γ =

∂∆

∂S=∂2v

∂S2

)Indicele Γ masoara rata de modificare a indicelui ∆ ın raport cu schimbarile de pret aleactivului suport. Gamma este un instrument important deoarece atunci cand un traderdoreste sa realizeze un delta-hedging eficient pentru un portofoliu el ıncearca sa anulezeindicele gamma al acestuia. In acest fel se asigura ca strategia de protectie la risc va fieficienta pentru o varietate mare de schimbari ale pretului activului suport al derivatuluifinanciar.

Tabelele de mai jos ofera formulele explicite ale indicilor de senzitivitate, ın functie de:pretul activului suport S, pretul de exercitare K, dobanda la vedere (spot) r, dividendeleanuale q platite de activul suport si volatilitatea σ.

Optiune call europeana

Valoare e−q(T−t)SN(d1)− e−r(T−t)KN(d2)

Delta e−q(T−t)N(d1)

Vega Se−q(T−t)N(d1)√T − t

Theta −e−q(T−t)SN(d1)σ

2√T − t

− rKe−r(T−t)N(d2) + qSe−q(T−t)N(d1)

Rho K(T − t)e−r(T−t)N(d2)

Gamma e−q(T−t)N(d1)

Sσ√T − t

Optiune put europeana

Valoare e−r(T−t)KN(−d2)− e−q(T−t)SN(−d1)

Delta −e−q(T−t)N(−d1)

Vega Ke−r(T−t)N(d2)√T − t

Theta −e−q(T−t)SN(d1)σ

2√T − t

+ rKe−r(T−t)N(−d2)− qSe−q(T−t)N(−d1)

Rho −K(T − t)e−r(T−t)N(−d2)

Gamma e−q(T−t)N(d1)

Sσ√T − t


Exemplul 5.1. Codul Matlab prezentat de functia VisualizeGreeks urmatoare calculeaza sireprezinta grafic evolutia indicilor de senzitivitate anteriori pentru un call european cu pretulde exercitare K = 50 si momentul de maturitatea T ∈ [0, 5]. In fereastra ce se deschidela lansarea programului se poate selecta vizualizarea evolutiei fiecaruia dintre cei cinci indicide senzitivitate. Posibilitatile de reprezentare sunt de tip Supratata (Fig.1 - Fig.5), Retea siReprezentare 2D.

Programul furnizeaza valorile indicilor de senzitivitate, valori ce pot fi vizualizate ın Fig.1- Fig.5.

Fig.1 - Indicele ∆.

Fig.2 - Indicele ν.

Fig.3 - Indicele θ.


Fig.4 - Indicele ρ.

Fig.5 - Indicele Γ.

Capitolul 6Piete de instrumente financiare cu venit fix

6.1 Obligatiuni financiare cu venit fix, nepurtatoare de divi-dende. Modelul matematic

Fie (Ω,F ,P,F) un camp de probabilitate filtrat, cu filtrarea F = (Ft)t≤T ∗ satisfacand conditiileuzuale, iar T ∗ este un moment terminal fixat. Toate procesele considerate vor fi definite peacest camp de probabilitate.

Definitia 6.1. O obligatiune neplatitoare de dividente, cu maturitatea T (numita si T-bond)este un contract ce garanteaza detinatorului sau plata unei unitati monetare la momentul dematuritate T . Pretul activului financiar la momentul t va fi notat cu B (t, T ).

Evident, B (t, t) = 1, oricare ar fi t ∈ [0, T ]. Presupunem, de asemenea, ca procesulstochastic al pretului B (t, T ), t ∈ [0, T ] este adaptat filtrarii ∨ieste strict pozitiv, iar B (t, T )este continuu diferentiabil ın variabila T .

Definitia 6.2. 1. Dobanda forward pentru intervalul [T1, T2] , vazuta la momentul t, estedefinita de

R (t;T1, T2) := − lnB (t, T2)− lnB (t, T1)

T2 − T1.

2. Dobanda spot pentru perioada [T1, T2] este definita prin

R (T1, T2) := R (T1;T1, T2) .

3. Dobanda instantanee forward, cu maturitatea T , la momentul t este definita prin

f (t, T ) := −∂ lnB (t, T )

∂T.

4. Dobanda instantanee pe termen scurt (short-term interest rate) la momentul t estedefinita prin

r (t) := f (t, t) .

Definitia 6.3. Procesul ce da structura contului de economii (money account process) este

B (t) := e∫ t0 r(s)ds.

72

Capitolul 6. Piete de instrumente financiare cu venit fix 73

Lema 6.4. Pentru orice t ≤ s ≤ T , au loc reprezentarile

(a) B (t, T ) = B (t, s) e−∫ Ts f(t,u)du

(b) B (t, T ) = e−∫ Tt f(t,s)ds.

Demonstratie. Avem, ın mod evident, pentru prima formula:

e−∫ Ts f(t,u)du = e

−∫ Ts

(− ∂ lnB(t,u)

∂udu)

= elnB(t,u)|u=Tu=s = elnB(t,T )−lnB(t,s) = elnB(t,T )B(t,s)

=B (t, T )

B (t, s), de unde

B (t, T ) = B (t, s) e−∫ Ts f(t,u)du.

Pentru cea de a doua formula este suficient sa consideram s = t si sa tinem cont de faptul caB (t, t) = 1.

In cele ce urmeaza vom considera W = (W1, ...,Wd) o miscare Browniana d−dimensionalasi filtrarea F cea generata de catre W . Dinamicile diferitelor tipuri de procese utilizate suntdefinite ın cele ce urmeaza.

• dinamica dobanzii instantanee pe termen scurt (short-rate):

dr (t) = a (t) dt+ b (t) dWt (6.1)

• dinamica pretului obligatiunii:

dB (t, T ) = B (t, T ) [m (t, T ) dt+ v (t, T ) dWt] (6.2)

• dinamica dobanzii forward:

df (t, T ) = α (t, T ) dt+ σ (t, T ) dWt (6.3)

Presupunem ca toate functiile coeficient (driftul si difuzia) care apar ın EDS introduseındeplinesc conditiile standard de regularitate ce asigura existenta si unicitatea solutiilor EDSde mai sus.

Propozitia 6.5. (i) Daca B (t, T ) este guvernat de catre ecuatia (6.2), atunci pentru di-namica dobanzii forward avem:

df (t, T ) = α (t, T ) dt+ σ (t, T ) dWt,

unde coeficientii α si σ sunt dati de catreα (t, T ) = vT (t, T ) v (t, T )−mT (t, T )

σ (t, T ) = −vT (t, T ) ,

unde prin vT si mT am ınteles derivatele partiale ale functiilor v si m ın raport cuvariabila T .

(ii) Daca f (t, T ) este guvernat de catre ecuatia (6.3), atunci dobanda short-rate satisface:

dr (t) = a (t) dt+ b (t) dWt,


unde coeficientii a s b sunt dati de catrea (t) = fT (t, T ) + α (t, t)

b (t) = σ (t, t) .

(iii) Daca f (t, T ) este guvernat de catre ecuatia (6.3), atunci B (t, T ) satisface

dB (t, T ) = B (t, T )

r (t) +A (t, T ) +

1

2||S (t, T ) ||2

dt+B (t, T )S (t, T ) dWt,

unde

A (t, T ) := −∫ T

tα (t, s) ds si S (t, T ) := −

∫ T

tσ (t, s) ds.

Demonstratie. (i) Pentru a demonstra primul punct aplicam formula lui Ito ecuatiei cedefineste dinamica dobanzii forward. Pretul obligatiunii este dat de catre o EDS liniara,deci aceasta admite o solutie explicita:

B (t, T ) = B (0, T ) ev(t,T )Wt+(m(t,T )− 12v2(t,T ))t.

De aici, prin logaritmare, obtinem

lnB (t, T ) = lnB (0, T ) +

[v (t, T )Wt +

(m (t, T )− 1

2v2 (t, T )

)t

].

Efectuam derivarea partiala ın raport cu variabila T si avem

−∂ lnB (t, T )

∂T= −∂ lnB (0, T )

∂T+ [−vT (t, T )Wt + (−mT (t, T ) + v (t, T ) vT (t, T )) t] .

La ultimul pas obtinem ca

d

(−∂ lnB (t, T )

∂T

)= −vT (t, T )︸︷︷︸

σ(t,T )

dWt + (−mT (t, T ) + v (t, T ) vT (t, T ))︸︷︷︸α(t,T )

dt,

adicadf (t, T ) = σ (t, T ) dWt + α (t, T ) dt.

(ii) Scriem, pentru ınceput, dinamica dobanzii forward sub forma integrala

f (t, t) = r (t) =(3)f (0, t) +

∫ t

0α (s, t) ds+

∫ t

0σ (s, t) dWs. (6.4)

Regularitatea coeficientilor α si σ ne permite urmatoarea scriere sub forma integrala

α (s, t) = α (s, s) +

∫ t

sαT (s, u) du

σ (s, t) = σ (s, s) +

∫ t

sσT (s, u) du.


Inseram ultimele doua reprezentari ın formula (6.4) si obtinem

r (t) = f (0, t) +

∫ t

0α (s, s) ds+

∫ t

0

∫ t

sαT (s, u) duds

+

∫ t

0σ (s, s) ds+

∫ t

0

∫ t

sσT (s, u) dudWs.

Schimbam ordinea de integrare, ajustam noile capete de integrare si identificam coeficientiispecificati in enuntul teoremei.

E : =

∫ t

0

∫ t

sαT (s, u) duds+

∫ t

0

∫ t

sσT (s, u) dudWs

=

∫ t

0

∫ u

0αT (s, u) dsdu+

∫ t

0

∫ u

0σT (s, u) dWsdu.

Diferentiind, obtinem, considerand ın definitia lui f (t, T ) , T = t,

dE =

∫ t

0αT (s, t) ds+

∫ t

0σT (s, t) dWs = fT (t, t) .

Prin urmare,

dr (t) = α (t, t) dt+ σ (t, t) dWt + fT (t, t) dt

= (α (t, t) + fT (t, t))︸︷︷︸a(t)

dt+ σ (t, t)︸︷︷︸b(t)

dWt

(iii) Din definitia ratei forward, putem scrie procesul pretului obligatiunii astfel:

B (t, T ) = eZ(t,T ),

unde

Z (t, T ) = −∫ T

tf (t, s) ds.

Scriem (6.3) sub forma integrala si obtinem

f (t, s) = f (0, s) +

∫ t

0α (u, s) du+

∫ t

0σ (u, s) dWu.

Inseram aceasta reprezentare ın formula procesului Z si avem

Z (t, T ) = −∫ T

tf (0, s) ds−

∫ t

0

∫ T

tα (u, s) dsdu−

∫ t

0

∫ T

tσ (u, s) dsdWu.


Despartim integralele de mai sus pe subintervale si schimbam din nou ordinea de inte-grare, ca la punctul precedent. Obtinem astfel:

Z (t, T ) = −∫ T

0f (0, s) ds−

∫ t

0

∫ T

uα (u, s) dsdu−

∫ t

0

∫ T

uσ (u, s) dsdWu

+

∫ t

0f (0, s) ds+

∫ t

0

∫ t

uα (u, s) dsdu+

∫ t

0

∫ t

uσ (u, s) dsdWu

= Z (0, T )−∫ t

0

∫ T

uα (u, s) dsdu−

∫ t

0

∫ T

uσ (u, s) dsdWu

+

∫ t

0f (0, s) ds+

∫ t

0

∫ s

0α (u, s) duds+

∫ t

0

∫ s

0σ (u, s) dWuds.

Ultima linie din calculul anterior reprezinta chiar forma integrala a dinamicii ratei for-ward (6.3) pe intervalul [0, s]. Deoarece

r (s) = f (s, s) ,

aceasta linie este egala cu ∫ t

0r (s) ds.

Prin urmare, obtinem

Z (t, T ) = Z (0, T ) +

∫ t

0r (s) ds−

∫ t

0

∫ T

uα (u, s) dsdu−

∫ t

0

∫ T

uσ (u, s) dsdWu.

Utilizam formulele de definire ale cantitatilor

A (t, T ) := −∫ T

tα (t, s) ds si S (t, T ) := −

∫ T

tσ (t, s) ds,

ceea ce conduce la

dZ (t, T ) = [r (t) +A (t, T )] dt+ S (t, T ) dWt.

Aplicam acum formula lui Ito procesului stochastic

B (t, T ) = eZ(t,T )

si rezulta

dB (t, T ) =

[eZ(t,T ) (r (t) +A (t, T )) +

1

2eZ(t,T )||S (t, T ) ||2

]dt+ eZ(t,T )S (t, T ) dWt,

adica

dB (t, T ) = B (t, T )

r (t) +A (t, T ) +

1

2||S (t, T ) ||2

dt+B (t, T )S (t, T ) dWt,

ceea ce finalizeaza demonstratia teoremei.


6.2 Determinarea pretului obligatiunilor si masuri martingale

Definitia 6.6. O masura de probabilitate P∗ ∼ P (definita pe spatiul masurabil (Ω,F)) esteo masura martingala pentru piata de obligatiuni daca, pentru orice 0 ≤ T ≤ T ∗, procesulactualizat

B (t, T )

B (t)este o P∗ martingala.

Prin B (t) am notat contul bancar fara risc (sau contul de economii), ce a fost considerat canumerarul ın raport cu care se calculeaza valoarea actualizata la momentul t a obligatiuniifinanciare. Vom presupune ca exista o astfel de masura martingala echivalenta, P∗.

Propozitia 6.7. Fie un T -derivat financiar X. Pretul sau (fair price) la orice moment0 ≤ t ≤ T , va fi dat de catre formula de evaluare la risc neutru (risk-neutral valuationformula):

πt (X) = B (t)EP∗(

X

B (T )|Ft)

= EP∗(Xe−

∫ Tt r(s)ds|Ft

),

unde r (t) este dobanda instantanee pe termen scurt.

In particular, procesul pretului unei obligatiuni nepurtatoare de dividente, cu data de ma-turitate T este

B (t, T ) = EP∗(e−∫ Tt r(s)ds|Ft

).

6.2.1 Modele de dobanzi pe termen scurt (short-term rate models)

Consideram modelul dobanzii pe termen scurt de tipul

dr (t) = a (t, r (t)) dt+ b (t, r (t)) dWt, (6.5)

coeficientii de drift si de difuzie sunt suficienti de regulati, iar W este o miscare Browniana1-dimensionala.

Vom presupune ca are loc formula (6.5) sub masura de probabilitate P. Orice masura deprobabilitate echivalenta va fi data de catre densitatea Girsanov:

L (t) = e−∫ t0 γ(u)dWu−

1

2

∫ t0 γ

2(u)du, 0 ≤ t ≤ T.

Presupunem acum ca γ este de forma

γ = λ (t, r (t)) ,

cu λ o functie suficient de neteda ın ambele variabile. Vom folosi notatia P∗ (λ) pentru asugera dependenta masurii de probabilitate P∗ ∼ P de densitatea λ.

Conform Teoremei lui Girsanov rezulta ca

W := W +

∫λdt

este o P∗ miscare Browniana, iar ın aceasta situatie, dinamica procesului r sub masura deprobabilitate P∗ este data de

dr (t) = a (t, r (t))− b (t, r (t))λ (t, r (t)) dt+ b (t, r (t)) dWt.

Consideram acum un T -derivat financiar oarecare

X = Φ (r (T )) , Φ : R→ R+ .


Aplicam formula de evaluare la risc neutru si obtinem

F (t, r (t)) = EP∗(λ)

[e−∫ Tt r(u)duΦ (r (T )) | Ft

],

functia F : [0, T ∗]× R→ R fiind solutie a EDP:

Ft (t, r) + (a (t, r)− b (t, r)λ (t, r))Fr (t, r) +1

2b2 (t, r)Frr (t, r)− r (t)F (t, r) = 0,

sau, pe scurt,

Ft + (a− bλ)Fr +1

2b2Frr − rF = 0,

cu conditia finalaF (T, r) = Φ (r) , ∀r ∈ R.

Presupunem ca procesul pretului B (t, T ) unei T -obligatiuni (sau T -bond) este determinat de

B (t, T ) = F (t, r (t) ;T ) ,

cu conditia finala F (T, r;T ) = 1.

Propozitia 6.8. (Ecuatia de structura) Fie un T -derivat financiar de forma X = Φ (r (T )).Pretul de arbitraj al acestui derivat financiar va fi dat de catre

πt (X) = F (t, r (t)) ,

unde functia F este solutia EDP

Ft + aFr +1

2b2Frr − rF = 0, (6.6)

cu conditia terminala F (T, r) = Φ (r).

In particular, preturile T -bond-urilor sunt date de

B (t, T ) = F (t, r (t) ;T ) ,

functia F satisfacand ecuatia (6.6), cu conditia finala F (T, r;T ) = 1.

Consideram acum ca dorim sa evaluam pretul unui Call European cu maturitatea S sipretul de exercitare K, avand ca activ suport un T -bond. Prin urmare, functia de plata este

X = (B (S, T )−K)+ = maxB (S, T )−K, 0.

Pretul dat de B (t, T ) = F (t, r;T ) se obtine rezolvand EDP considerata mai sus. Din formulade evaluare la risc neutru obtinem

πt (X) = G (t, r) ,

unde functia G verifica

Gt + aGr +b2

2Grr − rG = 0,

cu conditia finalaG (S, r) = maxF (S, r;T )−K, 0, ∀r ∈ R.

Problema ce apare consta ın stabilirea unor coeficienti de drift si de difuzie convenabili, caresa permita rezolvarea sau simularea solutiei EDP ce apare ın determinarea preturilor.


Definitia 6.9. Daca pretul obligatiunilor este dat de

B (t, T ) = eA(t,T )−B(t,T )r, 0 ≤ t ≤ T,

cu A si B functii deterministe, spunem ca modelul poseda o structura afina.

Exemple clasice de modele de dobanzi pe termen scurt sunt date reprezentate de:

• modelul Vasicekdr = (α− βr) dt+ γdWt

• modelul Cox-Ingersoll-Ross

dr = (α− βr) dt+ γ√rdWt

• modelul Ho-Leedr = α (t) dt+ γdWt

• modelul Hull-White 1 (extensie a modelului Vasicek)

dr = (α (t)− β (t) r) dt+ γ (t) dWt

• modelul Hull-White 2 (extensie a modelului Cox-Ingersoll-Ross)

dr = (α (t)− β (t) r) dt+ γ (t)√rdWt

6.2.2 Clasa modelelor Heath-Jarrow-Morton

Pentru modelarea structurii dobanzii, Heath Jarrow si Morton au propus luarea ın consideratiea ıntregii dinamici a dobanzii forward ca variabila de stare. Mai precis, pentru orice T ≤ T ∗

arbitrar, fixat, dinamica dobanzii forward instantanee, notata cu f (t, T ) satisface EDS

df (t, T ) = α (t, T ) dt+ σ (t, T ) dWt, (6.7)

unde W este o miscare Browniana d-dimensionala ın raport cu masura de probabilitate P, iarα si σ sunt procese stochastice adaptate cu valori ın R, respectiv Rd. Pentru orice data dematuritate T conditia initiala, la momentul 0, atasata ecuatiei anterioare este determinata decatre valoarea curenta, observata emipiric a dobanzii forward.

Specificarea familiei de dobanzi forward

f (t, T ) ; T > 0

este echivalenta cu cunoasterea ıntregii familii

B (t, T ) ; T > 0

a preturilor obligatiunilor. Chiar mai mult, are loc urmatoarea reprezentare a procesuluipretului obligatiunilor:

dB (t, T ) = B (t, T ) [m (t, T ) dt+ S (t, T ) dWt],

unde

m (t, T ) = r (t) +A (t, T ) +1

2||S (t, T ) ||2,


iar

A (t, T ) = −∫ T

tα (t, s) ds si S (t, T ) = −

∫ T

tσ (t, s) ds.

Studiem care sunt conditiile ce trebuie impuse coeficientilor pentru a asigura existenta uneimasuri martingale echivalente, ın raport cu un numerar convenabil ales. In acest fel vom puteaobtine ca modelul de piata de obligatiuni considerata este fara arbitraj.

Putem considera drept numerar ın piata considerata un cont bancar (cont de economii)fara risc, pe care ıl vom nota cu B, si a carui reprezentare este

B (t) = e∫ t0 f(u,u)du = e

∫ t0 r(u)du.

Trebuie determinata o masura de probabilitate echivalenta astfel ıncat valoarea actualizata

Z (t, T ) =B (t, T )

B (t)

sa fie o martingala, pentru orice 0 ≤ T ≤ T ∗. Vom numi aceasta masura de probabilitatemasura martingala de risc neutru (risk-neutral martingale measure), pentru a pune astfel ınevidenta faptul ca ea depinde de numerarul ales ın raport cu care se face actualizarea.

Teorema 6.10. Presupunem ca dinamica familiei de dobanzi forward este data prin EDS(6.7). Atunci exista o masura martingala de risc neutru daca si numai daca exista un processtochastic adaptat λ (t) ce verifica

(i)∫ T

0 ||λ (t) ||2dt <∞, P− a.s. si E (L (T )) = 1, unde

L (t) = e−∫ t0 λ(u)dWu− 1

2

∫ t0 ||λ(u)||2du. (6.8)

(ii) Pentru toti 0 ≤ T ≤ T ∗ si pentru toti t ≤ T , are loc

α (t, T ) = σ (t, T )

∫ T

tσ (t, s) ds+ σ (t, T )λ (t) .

Demonstratie. Deoarece ne situam ıntr-un cadru Brownian, stim ca orice masura de proba-bilitate echivalenta Q ∼ P este data de catre densitatea Girsanov (6.8). Mai precis, aplicandformula lui Ito se poate verifica ca exponentiala Doleans a lui Ut := −

∫ t0 λ (u) dWu, care este

tocmai procesul L (t), este solutia unica a EDS

dL (t) = L (t)λ (t) dWt = L (t) dUt,

cu conditia initiala L (0) = 1. Prin urmare, procesul L (t) = exp−∫ t

0 λ (u) dWu − 12

∫ t0 ||λ (u) ||2du

este o martingala continua, iar daca este satisfacuta si conditia Novikov :

EP(

exp

1

2

∫ T

0||λ (s) ||2ds

)<∞,

atunci, definind procesul stochastic W =(W1, ..., Wd

),

Wi (t) := Wi (t) +

∫ t

0λi (s) ds, pentru 0 ≤ t ≤ T si i = 1, 2, ..., d,


acesta este o miscare Browniana d−dimensionala ın raport cu masura de probabilitate Q ∼ P(definita pe (Ω,FT )), a carei derivata Radon-Nikodym este

dQdP

= L (T ) .

Aplicam formula lui Ito si obtinem ca dinamica procesului Z (t, T ), considerata sub masurade probabilitate echivalenta Q este data de:

dZ (t, T ) = Z (t, T )

[A (t, T ) +

1

2||S (t, T ) ||2 − S (t, T )λ (t)

]dt+ Z (t, T )S (t, T ) dWt, (6.9)

W fiind o Q-miscare Browniana. Intr-adevar, pentru simplitatea prezentarii omitand argu-mentul dublu (t, T ), avem

dZ = B−1t dB =

1

BtB [mdt+ SdWt] +BdB−1

t

= Z [mdt+ SdWt]− rBB−1t dt

= Z [mdt+ SdWt]− rZdt = Z

[(r +A+

1

2||S||2

)dt+ SdWt

]− rZdt

= Z

[(r +A+

1

2||S||2

)dt+ S

(dWt − λ (t) dt

)]− rZdt

= Z

[A+

1

2||S||2 + Sλ (t)

]dt+ ZSdWt + rZdt− rZdt

= Z

[A+

1

2||S||2 + Sλ (t)

]dt+ ZSdWt.

Pentru ca Z sa fie o Q-martingala trebuie ca termenul de drift din (6.9) sa fie zero, adicaobtinem ca

A (t, T ) +1

2||S (t, T ) ||2 = S (t, T )λ (t) .

Derivand ın raport cu variabila T si tinand cont de formule lui A si S, obtinem

−α (t, T )− σ (t, T )S (t, T ) = −σ (t, T )λ (T ) ,

adica ceea ce trebuia demonstrat.

Teorema 6.11. (Heath-Jarrow-Morton) Presupunem ca Q este masura martingala de riscneutru pentru piata de obligatiuni si ca dinamica, sub Q, a dobanzii forward este data prin

df (t, T ) = α (t, T ) dt+ σ (t, T ) dWt,

unde W este o Q-miscare Browniana. Atunci avem:

(i) conditia Heath-Jarrow-Morton pentru coeficientul de drif:

α (t, T ) = σ (t, T )

∫ T

tσ (t, s) ds, 0 ≤ t ≤ T ≤ T ∗, Q− a.s (6.10)

(ii) dinamica pretului, sub Q, a pretului obligatiunilor

dB (t, T ) = B (t, T ) r (t) dt+B (t, T )S (t, T ) dWt,

unde S este dat de S (t, T ) = −∫ Tt σ (t, s) ds.


6.2.3 Masuri martingale forward de risc neutru

In anumite situatii este mai util a se utiliza pretul obligatiunii B (t, T ∗) drept numerar ınraport cu care se face actualizarea. In aceasta situatie ar trebui determinata o masura deprobabilitate Q∗, echivalenta cu P, astfel ıncat procesul

Z∗ (t, T ) =B (t, T )

B (t, T ∗), ∀t ∈ [0, T ]

sa fie o martingala sub Q∗ pentru toti T ≤ T ∗. Vom numi aceasta masura de probabilitatemasura martingala forward de risc neutru (forward risk-neutral martingale measure). In acestcadru nu utilizam un cont de economii, iar existenta unei masuri martingale Q∗ va garanta canu exista oportunitati de arbitraj ıntre obligatiuni cu diferite momente de maturitate. Tehnicautilizata pentru determinarea conditiilor encesare si suficiente pentru o astfel de masura mar-tingala urmeaza aceeasi pasi ca si ın situatia contului de economii.

Pretul obligatiunilor presupunem ca este guvernat de EDS

dB (t, T ) = B (t, T ) [m (t, T ) dt+ S (t, T ) dWt],

coeficientii m si S fiind definiti anterior. Aplicam formula lui Ito procesului

Z∗ (t, T ) =B (t, T )

B (t, T ∗)

si obtinemdZ∗ (t, T ) = Z∗ (t, T ) [m (t, T ) dt+ (S (t, T )− S (t, T ∗)) dWt] ,

unde m (t, T ) = m (t, T )−m (t, T ∗)− S (t, T ∗) (S (t, T )− S (t, T ∗)).

Chiar mai mult, pentru procesele B (t, T ) si B (t, T ∗) avem solutii explicite, date de

B (t, T ) = B (0, T ) e∫ t0 S(u,T )dWu+

∫ t0 (m(u,T )− 1

2S2(u,T ))du

B (t, T ∗) = B (0, T ∗) e∫ t0 S(u,T ∗)Wu+

∫ t0 (m(u,T ∗)− 1

2S2(u,T ∗))du,

de unde obtinem

Z∗ (t, T ) =B (t, T )

B (t, T ∗)=

B (0, T )

B (0, T ∗)×

exp∫ t

0 (S (u, T )− S (u, T ∗)) dWu +∫ t

0

[(m (u, T )−m (u, T ∗))− 1

2 (S (u, T )− S (u, T ∗))2]du×

exp∫ t

0 S (u, T ∗) (S (u, T )− S (u, T ∗)) du.

Prin urmare, procesul Z∗ (t, T ) =B (t, T )

B (t, T ∗)verifica EDS

dZ∗ (t, T ) = Z∗ (t, T ) [m (t, T ) dt+ (S (t, T )− S (t, T ∗)) dWt] ,

unde an notat m (t, T ) = m (t, T )−m (t, T ∗)− S (t, T ∗) (S (t, T )− S (t, T ∗)).

Din nou, orice masura martingala Q∗ este data de catre densitatea Girsanov L (t) de tipulcelei definite anterior. Prin urmare, coeficientul de drift al procesului Z∗ (t, T ), atunci candeste considerat sub masura Q∗, este dat de

m (t, T )− (S (t, T )− S (t, T ∗)) γ (t) ,


γ fiind functia corespunzatoare lui L (t). Pentru ca Z∗ (t, T ) sa fie o martingala sub Q∗ enecesar ca acest coeficient sa fie egal cu zero, ceea ce conduce, ınlocuindu-l pe m cu definitiasa, la

(A (t, T )−A (t, T ∗)) +1

2

(||S (t, T ) ||2 − ||S (t, T ∗) ||2

)= (S (t, T ∗) + γ (t)) (S (t, T )− S (t, T ∗)) .

Scriind ın terminologia coeficientilor dinamicii dobanzii forward, identitatea anterioara capataforma simplificata∫ T ∗

Tα (t, s) ds+

1

2

∥∥∥∥∥∫ T ∗

Tσ (t, s) ds

∥∥∥∥∥2

= γ (t)

∫ T ∗

Tσ (t, s) ds.

Derivam ın raport cu T si obtinem

α (t, T ) + σ (t, T )

∫ T ∗

Tσ (t, s) ds = γ (t)σ (t, T ) .

An demonstrat, prin urmare, urmatorul rezultat.

Teorema 6.12. Presupunem ca familia dobanzilor forward este data de EDS (6.7). Atunci ex-ista o masura martingala forward de risc neutru daca si numai daca exista un proces stochasticadaptat γ (t) ce satisface (6.8), astfel ıncat,

α (t, T ) = σ (t, T ) (S (T, T ∗) + γ (t)) , 0 ≤ t ≤ T ≤ T ∗.

6.3 Determinarea pretului si acoperirea la risc pentru derivatefinanciare cu active suport obligatiuni

Presupunem ca dinamica dobanzii forward, scrisa sub o masura martingala de risc neutru, este

df (t, T ) = α (t, T ) dt+ σ (t, T ) dWt, f (0, T ) = f (0, T ) .

Restrangem clasa modelelor presupund ca volatilitatea dobanzii forward este determinista.Conditia HJM pentru drift (6.10) si forma integrala a dobanzii forwardconduc la

f (t, t) = r (t) = f (0, t) +

∫ t

0(−σ (u, t)S (u, t)) du+

∫ t

0σ (u, t) dWu,

ceea ce arata ca dobanda pe termen scurt are o lege de probabilitate Gaussiana. ConformTeoremei Heath-Jarrow-Morton rezulta ca dinamica, sub Q, a pretului obligatiunii este datade

dB (t, T ) = B (t, T )r (t) dt+ S (t, T ) dWt

.

Pentru a determina pretul optiunilor ce au ca active suport obligatiuni neplatitoare decupoane utilizam tehnica schimbarii numererului. Sa consideram, pentru exemplificare, ooptiune de call european, notata cu C, ce are ca activ suport o T ∗-obligatiune, maturitateaoptiunii fiind T , iar pretul sau de exercitare K. Avem de a face deci cu T -derivatul financiar

X = (B (T, T ∗)−K)+ . (6.11)


Pretul derivatului financiar la momentul t = 0 este dat de

C (0) = B (0, T ∗)Q∗ (A)−KB (0, T )QT (A) ,

undeA = ω | B (T, T ∗) > K

si QT , respectiv Q∗ sunt T -, respectiv T ∗- masuri martingale forward de risc neutru.

Procesul

Z (t, T ) :=B (t, T ∗)

B (t, T )

are urmatoarea dinamica sub Q (omitem la scriere argumentul si utilizam notatia S∗ pentruS (t, T ∗))

dZ = Z[S (S − S∗) dt− (S − S∗) dWt

],

adica un coeficient de varianta determinist.

Pe de alta parte,

Q∗ (B (T, T ∗) ≥ K) = Q∗(B (T, T ∗)

B (T, T )≥ K

)= Q∗

(Z (T, T ) ≥ K

).

Deoarece Z (t, T ) este o QT martingala, cu dinamica, sub QT ,

dZ (t, T ) = −Z (t, T ) [S (t, T )− S (t, T ∗)] dW Tt ,

obtinem ca, sub QT (notam din nou S = S (t, T ) si S∗ = S (t, T ∗)),

Z (T, T ) =B (0, T ∗)

B (0, T )exp

−∫ T

0(S − S∗) dW T

t −1

2

∫ T

0(S − S∗)2 dt

,

cu W T o QT -miscare Browniana. Integrala stochastica din exponentiala este un proces Gaus-sian, de medie zero si varianta

Σ2 (T ) =

∫ T

0(S (t, T )− S (t, T ∗))2 dt.

Avem, prin urmare,

QT (B (T, T ∗) ≥ K) = QT(Z (T, T )

)= N (d2) ,

unde

d2 =

ln

(B (0, T )

KB (0, T ∗)

)− 1

2Σ2 (T )√

Σ2 (T ).

In mod analog, pentru primul termen

Z∗ (t, T ) =B (t, T )

B (t, T ∗)

are dinamica, sub Q,

dZ∗ = Z∗[S∗ (S∗ − S) dt+ (S − S∗) dWt

]


si are tot coeficientul de varianta determinist. Prin urmare,

Q∗ (B (T, T ∗) ≥ K) = Q∗(

1

B (T, T ∗)≤ 1

K

)= Q∗

(Z∗ (T, T ) ≤ 1

K

).

Sub masura Q∗, Z∗ (t, T ) este un proces martingal ce satisface EDS

dZ∗ (t, T ) = Z∗ (t, T ) [S (t, T )− S (t, T ∗)] dW ∗t ,

de unde

Z∗ (T, T ) =B (0, T )

B (0, T ∗)exp

∫ T

0(S − S∗) dWt −

1

2

∫ T

0(S − S∗)2 dt

.

Din nou, avem o variabila aleatoare cu aceeasi varianta ın exponentiala, Σ2 (T ), ca si ın cazulanterior, de unde rezulta ca

Q∗ (B (T, T ∗) ≥ K) = N (d1) ,

unded1 = d2 +

√Σ2 (T ).

Prin urmare, am obtinut urmatorul rezultat.

Teorema 6.13. Pretul unei optiuni de call european definita de (6.11) este dat de

C (0) = B (0, T ∗)N (d2)−KB (0, T )N (d1) ,

functiile d1 si d2 fiind definite anterior.

6.3.1 Contracte Swaps

Printr-un derivat financiar swap ıntelegem un derivat financiar caracterizat de:

• un moment fixat t - momentul initierii contractului;

• momentele echidistante T0 < T1 < ... < Tn , cu Ti+1 − Ti = δ;

• o dobanda prespecificata R;

• o suma nominala K.

Un contract swap cu K si R fixati consta ıntr-o succesiune de plati, ın care suma platitala momentul Ti+1, i = 0, ..., n− 1 este data de

Xi+1 = Kδ (L (Ti, Ti)−R) .

Dobanda flotanta pe intervalul [Ti, Ti+1], observata la momentul Ti, o vom nota cu L (Ti, Ti);ea este o dobanda simpla, ce este definita prin

B (Ti, Ti+1) =1

1 + δL (Ti, Ti).


Ne intereseaza existenta unei masuri martingale de risc neutru. Folosind formula de evaluarela risc neutru (putem considera, fara a restrange generalitatea, K = 1) obtinem

π (t, S) =n∑i=1

EQ[e−∫ Tt r(s)dsδ (L (Ti, Ti)−R)

∣∣∣Ft]=

n∑i=1

EQ[EQ[e−∫ TiTi−1

r(s)ds∣∣∣∣Fti]

× e−∫ Tt r(s)ds

(1

B (Ti−1, Ti)− (1 + δR)

)∣∣∣∣Ft]=

n∑i=1

(B (t, Ti−1)− (1 + δR)B (t, Ti)) = B (t, T0)−n∑i=1

ciB (t, Ti) ,

unde ci = δR, i = 1, ..., n− 1 si cn = 1 + δR. Prin urmare, un swap este o combinatie liniarade obligatiuni ce nu platesc cupoane pe parcursul perioadei lor de viata.

Capitolul 7Analiza riscului ın pietele financiare

In cele ce urmeaza vom considera un camp de probabilitate (Ω,F ,P), pe care vom definiprocesele stochastice ce vor aparea pe parcursul expunerii.

Definitia 7.1. Spunem ca Xt; t ≥ 0 un proces stochastic cu cresteri independente, dacapentru toate intervalele disjuncte (ai, bi],

Xb1 −Xa1 , Xb2 −Xa2 , ..., Xbn −Xan

sunt variabile aleatoare independente.Variabila aleatoare Xbi −Xai se va numi cresterea lui Xın intervalul (ai, bi].

Definitia 7.2. Xt; t ≥ 0 este un proces cu cresteri stationare daca

FXt+h−Xt (x) este independent de t,

adica daca toate cresterile intervalelor de aceeasi lungime au aceeasi functie de repartitie.

7.1 Procese Markov

Procesele Markov sunt o clasa particulara a proceselor cu cresteri independente. Repartitiavariabilelor procesului viitor depinde doar de ultima valoare cunoscuta a procesului. Aceastaproprietate este cunoscuta si sub numele de conditia Markov:

P[Xtm+1 ≤ xm+1, ..., Xtn ≤ xn | Xt1 = x1, ...Xtm = xm

](7.1)

= P[Xtm+1 ≤ xm+1, ..., Xtn ≤ xn | Xtm = xm

],

pentru sirul de momente

t1 < t2 < ... < tm < tm+1 < ... < tn .

Legea de probabilitate care guverneaza un proces Markov (ce primeste doar o multime numarabilade valori) este descrisa de probabilitatile de transfer:

P [Xt = ak | Xt′ = aj ] = pj,k(t′, t), t′ ≤ t.

87

Capitolul 8. Analiza riscului ın pietele financiare 88

Probabilitatilor de transfer li se impune a avea urmatoarele proprietati de continuitate:

(a) pj,k (t′, t) este continua pentru toate perechile (t′, t) ;

(b) limτ→t

pj,k (t, τ) = pj,k (t, t) =

1, daca j = k0, daca j 6= k.

Probabilitatile de transfer se numesc stationare daca

pj,k(t′, t)

= pj,k(t′ + h, t+ h

), pentru orice h > 0.

7.2 Descrierea intuitiva a riscului si a notiunilor auxiliare

Industria asigurarilor exista deoarece oamenii doresc sa plateasca un pret pentru a fi asigurati,un pret care este mai mare decat solicitarile lor de despagubire asteptate. Ca urmare, asig-uratorul colecteaza o prima care este mai mare decat valoarea asteptata a solicitarilor dedespagubire.

Sa presupunem ca prin solicitare de despagubire vom ıntelege efectul elementului derisc, guvernat de ıntamplare si care implica o paguba si pierderea unei anumite sume de bani(lichizi sau derivate financiare), care poate fi asigurata.

Sa consideram un portofoliu de riscuri care sunt asigurate de catre un anumit asigura-tor. Portofoliul poate contine un singur risc sau cateva riscuri. Riscurile produc solicitari dedespagubire si platesc prime catre asiguratorul care, la randul lui, va acoperi solicitarile dedespagubire. Deci, pe scurt, un risc este

• platitor de prime

• producator de solicitari de despagubire

Prin urmare, un risc poate fi descris de o pereche de functii (Pt, St), unde

• Pt = prima dobandita ın intervalul de timp (0, t]

• St = suma valorilor solicitarilor de despagubire suportate ın intervalul (0, t].

De fapt, pentru analiza matematica a riscului, doar diferenta functiilor anterioare, Pt−Steste esentiala. Asiguratorul este interesat de balanta dintre primele si platile solicitarilor totalede despagubire. Ambele functii Pt si St pot fi functii aleatoare (procese stochastice) sau functiicare nu depind de elementul aleator (procese deterministe). De obicei, se considera ca Pt esteindepenta de hazard si St este stochastica.

Sa presupunem ca Pt este o functie determinista. Altfel, daca Pt ar fi stochastica (depindeexplicit de experienta ınregistrata pentru solicitarile de despagubire pana la momentul de timpt), atunci, putem defini functiile noi

P ∗ (t) := E [Pt] ,

S∗ (t) := St − Pt + E [Pt] ,

Prin urmare, vom aveaP ∗ (t)− S∗ (t) = Pt − St,


iar procesul P ∗ (t) este acum deterministic. Putem preupune deci, ın cele ce urmeaza, ca Pteste o functie determinista, pe care o vom numi functia de prima a riscului.

Procesul aleator St va fi numit procesul solicitarilor de despagubire acumulat (sauprocesul de risc) si va fi caracterizat prin:

• procesul numarului solicitarilor de despagubire Nt, care reprezinta numarul so-licitarilor de despagubire produse pana la momentul de timp t,

• valoarea solicitarii de despagubire Yt, asociata solicitarii de despagubire de la mo-mentul de timp t.

Solicitarile de despagubire acumulate pana la momentul t pot fi reprezentate de sumaaleatoare

St =∑ti∈At

Yti ,

unde

At = multimea aleatoare a momentelor de timp ın care se produc

solicitarile de despagubire, pana la momentul de timp t

= multimea punctelor de discontinuitate ale procesului numarului

solicitarilor de despagubire Nt, care nu se situeaza la dreapta lui t.

Prin urmare, suma

St =∑ti∈At

Yti

este aleatoare ın doua sensuri:

• are un numar aleator de termeni Yti , care este determinat de catre multimea At,

• fiecare termen Yti din suma este o variabila aleatoare.

7.3 Procesul numarului solicitarilor de despagubire – Mode-larea matematica

Vom defini procesul numarului solicitarilor de despagubire ca fiind un proces stochastic Nt; t ≥0, unde Nt reprezinta numarul solicitarilor de despagubire ın intervalul de timp (0, t].

Multimea At, introdusa anterior, ın definitia procesului solicitarilor de despagubire acu-mulat St, poate fi obtinuta prin intermediul procesul Nt :

At = punctele de discontinuitate ale lui Nτ , τ < t .

Vom presupune ca doar un singur eveniment de solicitare de despagubire poate sa seproduca ıntr-un moment de timp. Mai precis, solicitarile de despagubire simultane sunt con-siderate ca fiind un singur eveniment de solicitare de despagubire.

Sa presupunem acum ca Nt; t ≥ 0 este un proces Markov . Intuitiv, aceasta ınseamna canumarul total de solicitari de despagubire ınregistrat ın trecut este important, daca este con-siderat numarul viitor de solicitari de despagubire (numarul viitor de solicitari de despagubiredepinde de numarul total de solicitari de despagubire care s-au produs ın trecut), dar nu esteimportant atunci cand aceste solicitari de despagubire s-au produs ın trecut.


Vom descrie legea de probabilitate a procesului numarului solicitarilor de despagubireNt; t ≥ 0 cu ajutorul probabilitatilor de transfer

pn,n+k (t, t+ h) .

Aceasta ınsemna capn,n+k (t, t+ h) ∈ [0, 1] ,

∞∑k=0

pn,n+k (t, t+ h) = 1

sipn,n+k (t, t+ h) = P [Nt+h = n+ k | Nt = n] ,

adica probabilitatea producerii a k solicitari de despagubire ıntre momentele de timp t (ex-clusiv) si t + h (inclusiv), cu conditia ca deja s-au produs n solicitari de despagubire pana lamomentul de timp t (inclusiv). Nt este numarul solicitarilor de despagubire ın intervalul detimp (0, t], iar Nt+h este numarul solicitarilor de despagubire ın intervalul de timp (0, t+ h].

Observatia 7.3. Avempn,m(t, t+ h) = 0, pentru m < n.

Intr-adevar, deoarece m < n, si, avand ın vedere natura procesului numarului de solicitari dedespagubire, vom avea ca

pn,m(t, t+ h) = P [Nt+h = m | Nt = n] = 0.

Observatia 7.4. In mod evident, are loc identitatea

pn,n(t, t) = 1.

Vom presupune ın cele ce urmeaza ca urmatoarea limita exista, pentru toti t > 0 sin = 1, 2, ..., si definim functia λn (t) astfel

λn(t) = limh→0

pn−1,n(t, t+ h)

h. (7.2)

Sirul (λn)n∈N se numeste sirul intensitatilor procesului numarului solicitarilor de despagubire(λn este intensitatea solicitarii de despagubire cu numarul n (transfer de la n−1 la n solicitaride despagubire)).

Relatiile (7.2) sugereaza, intuitiv, ca, ın cazul intervalelor mici de timp, probabilitateaproducerii unei solicitari de despagubire este proportionala cu lungimea acestor intervale.

Remarcam faptul ca, ın cazul probabilitatilor de transfer stationare, intensitatile nu maidepind de timp. Reamintim ca o probabilitate de transfer sa numeste stationara, daca

pj,k(t′, t)

= pj,k(t′ + τ, t+ τ

), pentru toti τ > 0.

Deci, din (7.2) rezulta ca

λn(t+ τ) = limh→0

pn−1,n(t+ τ, t+ h+ τ)

h= lim

h→0

pn−1,n(t, t+ h)

h= λn(t),

pentru toti τ > 0.


Daca cunoastem aceste intensitati, putem calcula toate probabilitatile de transfer folosindsistemul de ecuatii diferentiale (liniare) ale lui Kolmogorov. Avem, pentru t < s

∂

∂spn,m (t, s) = −λm+1 (s) pn,m (t, s) + λm (s) pn,m−1 (t, s) , m ≥ n+ 1,

∂

∂spn,n (t, s) = −λn+1 (s) pn,n (t, s) ,

(7.3)

cu conditiile la frontiera

pn,m (t, s) =

1, pentru s = t, m = n0, pentru s = t, m 6= n.

(7.4)

Observam ca sistemul are un caracter recursiv, iar t joaca rolul unui parametru. Solutiilesistemului anterior sunt

pn,n (t, s) = exp

−∫ s

tλn+1 (τ) dτ

,

si, pentru m ≥ n+ 1,

pn,m (t, s) =

[∫ s

tλm (τ) pn,m−1 (t, τ) · exp

∫ τ

tλm+1 (r) dr

dτ

]· exp

−∫ s

tλm+1 (τ) dτ

.

In particular, obtinem ca pn,m (t, s) sunt nenegative pentru o multime arbitrara de λm (s) ,m = 1, 2, ..., ce sunt nenegative, si, ın plus, ele sunt diferentiabile ın t si s.

Trebuie verificat daca are loc

∞∑m=n

pn,m (t, s) = 1, pentru toti n = 1, 2, ..., t > 0 si s ≥ t.

Fie

Sn,k (t, s) =

k∑m=n

pn,m (t, s) .

Este evident ca Sn,k (t, s) sunt nenegative si monoton crescatoare ın raport cu k, fiind o sumacu termeni nenegativi. Prin urmare, exista limita lim

k→∞Sn,k (t, s) . Introducem notatia

Sn (t, s) := limk→∞

Sn,k (t, s) .

Din sistemul (7.3), vom avea ca

∂

∂spn,n (t, s) = −λn+1 (s) pn,n (t, s) ,

∂

∂spn,n+1 (t, s) = −λn+2 (s) pn,n+1 (t, s) + λn+1 (s) pn,n (t, s) ,

∂

∂spn,n+2 (t, s) = −λn+3 (s) pn,n+2 (t, s) + λn+2 (s) pn,n+1 (t, s) ,

...

∂

∂spn,k (t, s) = −λk+1 (s) pn,k (t, s) + λk (s) pn,k−1 (t, s)


si, adunand aceste egalitati, reducand termenii egali din suma telescopica obtinuta, vom aveaca

∂

∂sSn,k (t, s) = −λk+1 (s) pn,k (t, s) . (7.5)

Din (7.4) obtinem conditia la frontiera

Sn,k (t, s) = 1, pentru s = t. (7.6)

In plus, avem ca0 ≤ Sn,k (t, s) ≤ 1, pentru toti n, k, t, s ≥ t.

Prin urmare,0 ≤ Sn (t, s) ≤ 1, pentru toti n, t, s ≥ t,

adica,∞∑m=n

pn,m (t, s) ≤ 1, pentru toti n = 1, 2, ..., t > 0, s ≥ t.

Distingem doua cazuri:

a) Sn (t, s) = 1, pentru toti n, t, s : cazul normal;

b) Sn (t, s) < 1, pentru cel putin o combinatie n, t, s : cazul numarului exploziv al so-licitarilor de despagubiri.

Intuitiv, b) se refera la situatia ın care, cu o probabilitate pozitiva, un numar infinit desolicitari de despagubire va aparea ıntr-un interval finit de timp.

Teorema 7.5. Cazul normal Sn (t, s) = 1, pentru toti n, t, s, are loc daca si numai daca seria

∞∑m=1

1

λm

este divergenta, unde λm, m = 1, 2, ..., sunt frecventele solicitarilor de despagubire nenegative,care nu depind de timp.

Demonstratie. Integrand (7.5) si folosind conditia la frontiera (7.6), vom obtine ca (t = 0 sivom scrie doar Sn,k (s) ın loc de Sn,k (0, s) si pn,k (τ) ın loc de pn,k (0, τ))

Sn,k (s) = 1− λk+1

∫ s

0pn,k (τ) dτ. (7.7)

Sirul (Sn,k (s))k∈N este nenegativ si monoton crescator ın raport cu k, deci, λk+1

∫ s0 pn,k (τ) dτ

descreste monoton ın raport cu k catre o functie pozitiva µ (s); prin urmare,

1 ≥ λk+1

∫ s

0pn,k (τ) dτ ≥ µ (s) (7.8)

si obtinem estimarea ∫ s

0pn,k (τ) dτ ≥ 1

λk+1µ (s) ,

pentru toti k ≥ n. Avand ın vedere ca

Sn,k (τ) =k∑

m=n

pn,m (τ) ,


obtinem ca ∫ s

0Sn,k (τ) dτ ≥ µ (s)

(1

λn+1+

1

λn+2+ ...+

1

λk+1

), (7.9)

pentru toti k. Pe de alta parte, din (7.7), avem ca Sn,k (τ) ≤ 1, pentru orice τ ∈ [0, s], ceea ceconduce la ∫ s

0Sn,k (τ) dτ ≤ s.

Daca∞∑

m=n+1

1

λm

diverge, conform cu (7.9), µ (s) este obligat sa convearga la zero, ceea ce conduce, conform(7.7), la faptul ca

limk→∞

Sn,k (s) = 1,

adica Sn (s) = 1.

Reciproc, sa presupunem, prin reducere la absurd, ca seria

∞∑m=1

1

λm

este convergenta. Din (7.8), vom avea ca∫ s

0Sn,k (τ) dτ

def. Sn,k(τ)=

k∑m=n

∫ s

0pn,m (τ) dτ

(8), prima inegalitate

≤k∑

m=n

1

λm+1, (7.10)

care este marginita, deoarece∑ 1

λmconverge. Daca, considerand t = 0,

Sn (τ) = limk→∞

Sn,k (τ) = 1,

conform teoremei de convergenta dominata, trecand la limita ın (7.10) pentru k → ∞, vomobtine ca

s ≤∞∑m=n

1

λm, pentru toti s,

ceea ce este fals. Deci Sn,k (τ) nu poate converge la 1. Demonstratia este astfel ıncheiata.

7.4 Intervalul ıntre aparitii ale solicitarilor de despagubire

Fie Nt; t ≥ 0 un proces al numarului solicitarilor de despagubire, unde Nt este numarulsolicitarilor de despagubire ın intervalul (0, t]. O notiune importanta ın descrierea procesuluinumarului solicitarilor de despagubire este intervalul ıntre aparitii, care va fi definit ın cele ceurmeaza.

Fiecarei realizari aleatoare (functii test) a procesului numarului solicitarilor de despagubireıi vom asocia un sir dupa cum urmeaza:

W1 (Nt; t ≥ 0) = momentul de timp cand apare primul eveniment de

solicitare de despagubire ın realizarea Nt; t ≥ 0,


.........

Wn (Nt; t ≥ 0) = momentul de timp cand apare al n-lea eveniment de

solicitare de despagubire ın realizarea Nt; t ≥ 0.

Pe scurt, Wn este timpul de aparitie a solicitarii de despagubire cu numarul n. Deci, (Wn)n∈Nformeaza un sir de variabile aleatoare. Diferenta

Tn = Wn+1 −Wn

se numeste interval ıntre aparitii ale solicitarilor de despagubire (ıntre aparitia so-licitarii de despagubire cu numarul n si aparitia solicitarii de despagubire cu numa rul n+ 1),iar Wn se numeste timpul de asteptare al solicitarii de despagubire cu numarul n.

Observam ca

Wn =n−1∑k=0

Tn ,

deci, este evident faptul ca timpul de asteptare si intervalul ıntre aparitii ale solicitarilor dedespagubire se determina reciproc.

Propozitia 7.6. Avem ca

Tn > t daca si numai daca NWn+t −NWn = 0,

pentru toti n = 1, 2, ...

Demonstratie. Intr-adevar,NWn+t −NWn = 0,

este echivalent cu NWn = NWn+t, care ınsemna ca ın intervalul (Wn,Wn + t] nu este niciuneveniment de solicitare de despagubire, adica Wn+1 > Wn + t, ceea ce implica Tn > t.

Propozitia 7.7. Urmatoarea egalitate are loc:

P [Tn > t | Wn = wn] = exp

−∫ wn+t

wn

λn+1 (τ) dτ

. (7.11)

Demonstratie. Cum timpul de asteptare corespunzator solicitarii de despagubire numarul neste wn rezulta ca Nwn = n si avem

1− P [Tn ≤ t | Wn = wn] = P [Tn > t | Wn = wn]

= P [NWn+t −NWn = 0 | Wn = wn]

= P [NWn+t = n | Wn = wn] = P [Nwn+t = n | Nwn = n]

= pn,n (wn, wn + t)

cf. ec. Kolmogorov= exp

−∫ wn+twn

λn+1 (τ) dτ.


Obtinem deci ca

P [Tn ≤ t | Wn = wn] = 1− exp

−∫ wn+t

wn

λn+1 (τ) dτ

,

adica intervalul de timp ıntre aparitii ale solicitarilor de despagubire Tn este repartizat exponentialcu intensitatea λn+1 (t).

Propozitia 7.8. Urmatoarea egalitate are loc:

P [Tn > t | Wn = wn, Tn > s] = P [Tn > t− s | Wn = wn + s] , t > s > 0.

Demonstratie. Folosind (7.11) si formula probabilitatilor conditionate, vom avea ca

P [Tn > t | Wn = wn, Tn > s] =P [Tn > t, Tn > s | Wn = wn]

P [Tn > s | Wn = wn]

t≥s=P [Tn > t | Wn = wn]

P [Tn > s | Wn = wn]

=

exp

−∫ wn+t

wn

λn+1 (τ) dτ

exp

−∫ wn+s

wn

λn+1 (τ) dτ

= exp

−∫ wn+t

wn+sλn+1 (τ) dτ

= exp

−∫ wn+s+(t−s)

wn+sλn+1 (τ) dτ

= P [Tn > t− s | Wn = wn + s] .

Aceasta relatie arata ca intervalul ıntre aparitii ale solicitarilor de despagubire nu arememorie, adica, daca nu se mai ınregistreaza nicio solicitare ulterioara de despagubire pana lamomentul de timp Wn + s, atunci repartitia viitoare va fi aceeasi ca si ın cazul cand ultimasolicitare de despagubire, cu numarul n, a aparut la momentul de timp Wn + s.

Teorema 7.9. Daca intensitatile de frecventa ale solicitarilor de despagubire sunt indepen-dente de timp, atunci intervalele ıntre aparitii ale solicitarilor de despagubire sunt independentede momentele de timp ın care apar solicitarile de despagubire.

Demonstratie. Folosind (7.11) si independenta de timp a intensitatilor de frecventa ale so-licitarilor de despagubire (λn+1 (τ) = λn+1, pentru orice τ ∈ [wn, wn + t]), vom avea

P [Tn > t | Wn = wn] = exp

−∫ wn+t

wn

λn+1 (τ) dτ

= e−λn+1·t,

care este independenta de wn.

DeciP [Tn > t | Wn = wn] = P [Tn > t] .

In plus, avem urmatorul rezultat.


Teorema 7.10. Daca intensitatile de frecventa ale solicitarilor de despagubire sunt indepen-dente de timp, atunci intervalele ıntre aparitii ale solicitarilor de despagubire sunt stochasticindependente.

Demonstratie. Folosind faptul ca, pentru s > t > 0,

P [Tn+1 > s | Tn > t] =P [Tn+1 > s, Tn > t]

P [Tn > t]

si teorema anterioara, vom obtine ca

P [Tn+1 > s, Tn > t] = P [Tn+1 > s, Tn > t | Wn = wn]

= P [Tn+1 > s | Tn > t, Wn = wn] · P [Tn > t | Wn = wn] .

In plus, pentru prima probabilitate din membrul drept,

Tn = Wn+1 −Wn > t si Wn = wn (adica Nwn = n)

implica Wn+1 > wn + t.

In consecinta,

P [Tn+1 > s, Tn > t] = P [Tn+1 > s | Wn+1 > wn + t] · P [Tn > t | Wn = wn]

= P [Tn+1 > s] · P [Tn > t] .

Demonstratia foloseste pe Tn si Tn+1. In cazul a k intervale ıntre aparitii ale solicitarilor dedespagubire, demonstratia este similara.

Sa subliniem faptul ca aceste rezultate au fost obtinute impunand ipoteza ca intensitatilede frecventa ale solicitarilor de despagubire sunt independente de timp.

7.5 Procesul omogen al numarului de solicitari de despagubire;timpul operational

Definitia 7.11. Daca intensitatile de frecventa ale solicitarii de despagubire λn (t) sunt in-dependente de timpul t, atunci procesul numarului solicitarilor de despagubire Nt; t ≥ 0 senumeste omogen.

Acesta definitie este echivalenta cu urmatoarea: Procesul numarului solicitarilor de despagubireNt; t ≥ 0 este omogen daca probabilitatile de transfer pn,m (t, t+ h) sunt independente det, pentru toti n, m si h. Aceasta caracterizare spune ca probabilitatile individuale de transferdepind doar de lungimea intervalului de timp pentru transfer, dar nu si de pozitia lui.

Urmatoarea teorema prezinta o alta caracterizare a procesului omogen al solicitarilor dedespagubire.

Teorema 7.12. Procesul numarului solicitarilor de despagubire este omogen daca si numaidaca

pn,n (t1, t2) = e−cn(t2−t1), pentru 0 ≤ t1 ≤ t2, (7.12)

pentru anumite constante cn, alese convenabil.


Demonstratie. Daca procesul numarului solicitarilor de despagubire este omogen, adica dacaλn (t) = λn, atunci

pn,n (t1, t2) = exp

−∫ t2

t1

λn+1 (τ) dτ

= e−λn+1(t2−t1),

deci, (7.12) are loc cu cn = λn+1.

Reciproc, daca (7.12) are loc, atunci,

limh→0

1− pn,n (t, t+ h)

h= lim

h→0

1− e−cnh

h= cn.

Pe de alta parte, deoarece

pn,n (t, t+ h) + pn,n+1 (t, t+ h) = 1,

din definitia lui λn+1 (t) rezulta ca

limh→0

1− pn,n (t, t+ h)

h= lim

h→0

pn,n+1 (t, t+ h)

h= λn+1 (t) .

Prin urmare, λn+1 (t) = cn este independenta de timp. Demonstratia este astfel ıncheiata.

In cele ce urmeaza, vom arata ca procesul numarului solicitarilor de despagubiri neomogenpoate fi facut omogen.

Fie Nt; t ≥ 0 un proces al numarului solicitarilor de despagubire si ρ (t) o functiecrescatoare, care depinde de timp, astfel ıncat ρ (0) = 0. Definim un proces Mτ , ın raport cutimpul ρ, Mτ , τ ≥ 0, prin

Mτ = Nρ−1(τ) si ρ−1 (τ) = inftt; ρ (t) = τ.

Definitia 7.13. Functia ρ (t) se numeste timp operational daca procesul Mτ este omogen ınraport cu timpul ρ.

Vom prezenta ın continuare un rezultat de existenta pentru timp operational.

Teorema 7.14. Un timp operational pentru procesul numarului solicitarilor de despagubireexista daca si numai daca intensitatile de frecventa sunt de forma

λn (t) = λn · γ (t) , (7.13)

pentru toti n = 1, 2, ... si t > 0.

Demonstratie. Pentru ınceput, presupunem ca (7.13) are loc. Definim

ρ (t) :=

∫ t

0γ (s) ds,

si vom demonstra ca procesul Mτ este omogen ın raport cu timpul dat de functia ρ. Fie

τ1 ≤ τ2 si ti = ρ−1 (τi) , i = 1, 2.


Vom avea

pMn,n (τ1, τ2) = pn,n (t1, t2)ec. Kolmogorov

= exp

−∫ t2

t1

λn+1 (t) dt

= exp

−λn+1

∫ t2

t1

γ (t) dt

= exp

−λn+1

(∫ t2

0γ (t) dt−

∫ t1

0γ (t) dt

)= exp −λn+1 [ρ (t2)− ρ (t1)]= e−λn+1(τ2−τ1).

Concluzia se obtine aplicand un rezultat anterior.

Reciproc, fie τ = ρ (t) un timp operational. Atunci, conform teoremei anterioare, pentrut1 = 0 si t2 = τ ,

pMn,n (0, τ) = e−cnτ , pentru toti τ ≥ 0, (7.14)

pentru anumite constante cn. Pe de alta parte, avand ın vedere formula de transformare atimpului data de functia ρ, avem

pMn,n (0, τ) = pn,n (0, t) = exp

−∫ t

0λn+1 (s) ds

, (7.15)

cu t = ρ−1 (τ) . Din (7.14) si (7.15) obtinem

cnτ =

∫ t

0λn+1 (s) ds,

deci,

cnρ (t) =

∫ t

0λn+1 (s) ds, (7.16)

pentru t ≥ 0, t = ρ−1 (τ) .

Diferentiind relatia (7.16) vom obtine ca

cnρ′ (t) = λn+1 (t) ,

deci formula (7.13) are loc cu

λn+1 = cn si γ (t) = ρ′ (t) .

Demonstratia este, prin urmare, ıncheiata.

Bibliografie

[1] Bielecki, T; Jeanblanc, M; Rutkowski M. - Introduction to Mathematics of Credit RiskModeling, Stochastic Models in Mathematical Finance, CIMPA-UNESCO-MOROCCOSchool, Marrakech, Morocco, April 9-20, 2007

[2] Bremaud, P. - An Introduction to Probabilistic Modeling, Springer-Verlag, 1988

[3] Cox, J.C.; Ross. S.A. - The valuation of options for alternative stochastic processes, J.Finan. Econom. 3, pp. 145-166, 1976

[4] Evens, L. - An introduction to stochastic differential equations, Department of Mathemat-ics, UC Berkeley, preprint

[5] Hull, J. C. - Options, Futures and Other Derivatives, 4th ed., Prentice Hall, 1999

[6] Karatzas, I.; Shreve, S.E. - Brownian motion and Stochastic Calculus, Springer-Verlag,N.Y,. 1998

[7] Malliaris, A. G. - Ito’s calculus in financial decision making, SIAM Review 25, pp. 481–496, 1983

[8] Merton, R. C. - Theory of Rational Option Pricing, Bell Journal of Economics and Man-agement Science 4 (1), pp. 141–183, 1973

[9] Musiela, M; Rutkowsi, M. - Martingale Methods in Financial Modelling, second edition,Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 2005

[10] Oksendal, B. K. - Stochastic Differential Equations: An Introduction with Applications,4th ed., Springer-Verlag, 1995

99

modele stochastice în evaluarea derivatelor financiareeduard/matematici_financiare.pdf ·...

Documents