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  • Modlisation des coulements granulaires gravitaires

    1re cole EGRIN, 2-4 avril 2013

    R. Delannay

  • Plan du cours

    1. Introduction

    2. Des milieux trs discrets

    3. Du discret au continu

    4. Lapproche phnomnologique

  • Introduction

  • Matriaux granulaires

    A granular material is a conglomeration of discrete solid, macroscopic particles characterized by a loss of energy whenever the particles interact (Wikipedia)

    Systme athermique : (d : taille typique)

    (rapport :1 pour d = 1m, 10-12 pour d = 1mm)

    Les matriaux granulaires dont on parlera ici sont dits secs : effets capillaires,

    fluide environnant

    interactions lectrostatiques

    Van der Waals

    Ceci exclut les poudres (diamtre < 100 m).

    mgdETkB

  • On en trouve ici

    Comme ailleurs

    Migration de rgolithes sur Eros

    Astrode

  • Exemple : sable : (10% de la surface des terres merges) + sous sol + marges ocaniques

    Constituant mais aussi facteur dvolution : Stratification des roches, sables, sdiments Ensablement, dplacement des cours deau rosion (avalanches, entrainement par les eaux et le vent) Formation et dplacement des dunes

    Facteurs de risques naturels (Avalanches, sismes, glissements de terrain) provoquent dimportants dgts

    Difficults garantir la stabilit des sols

    Matriaux naturels omniprsents

  • Matriaux granulaires en coulement gravitaire

    Collection de particules solides (nombre de particules 1

  • Discret et continu

    Variables macroscopiques dcrivant ltat du systme = champs continus : champ de vitesses

    Champ de contraintes (pression, cisaillement)

    + leurs gradients, fluctuations,

    Ils correspondent des moyennes (spatiales, temporelles ou de configurations) de quantits discrtes (masses, positions et vitesses des grains).

    Le passage micro-macro est donc ncessaire aussi bien pour exploiter une exprience, que pour les modles et simulations numriques.

  • Approche phnomnologique

    Approche ab initio

    Prise en compte des conditions aux limites

    Expression des forces de contact en fonction dun nombre rduit de variables de position et de paramtres matriels

    Dformation, vitesse, masse volumique, contraintes locales Equations de bilan locales (masse, quantit de mouvement, nergie) Relations constitutives reliant contraintes et gradient de vitesse (fermeture)

    Nano

    Micro

    Continu (local)

    Interactions entre grains : rugosit, van der Waals,

    Macro (global) Champs de vitesse, contraintes,

    Relations entre paramtres de contrles et quantits macroscopiques (angle dinclinaison, dbit, paisseur dcoulement)

    Rsolution EDP

    Mcanique statistique

    Tribologie, percussion

    Loi de comportement

  • Des milieux trs discrets

  • Mthode des lments discrets (DEM)

    Plutt que de rsoudre (en les discrtisant!) des EDP continues dont la fermeture est problmatique, on peut prfrer rester lchelle discrte, calculer tout instant les positions et vitesses des grains pour en dduire les moyennes donnant les champs de vitesse etc.

    On ralise ainsi une sorte dexprience numrique qui permet aussi de tester leffet des ingrdients physiques (description des grains et des interactions entre eux, types de conditions aux limites,)

  • Historique La dynamique molculaire ( laquelle on peut rattacher la DEM) a

    t dveloppe pour simuler des systmes fluides en suivant les

    atomes ou molcules (physique statistique) B. J. Alder and T. E. Wainwright, Statistical mechanical theory of transport properties,

    Proceedings of the International Union of Pure and Applied Physics, Brussels, 1956.

    W. T. Ashurst and W. G. Hoover, Argon shear viscosity via a Lennard-Jones potential with equilibrium and nonequilibrium molecular dynamics, Phys. Rev. Lett. 31, 206 (1973).

    La mthode des lments discrets a t dveloppe de manire indpendante par P. Cundall pendant les annes 70

    P. A. Cundall, Symposium of the International Society of Rock Mechanics, Nancy, France (1971).

    P. A. Cundall, Computer model for rock-mass behavior using interactive graphics for input and output of geometrical data, U.S. Army Corps. Of Engineers, Technical Report No. MRD, 1974, p. 2074.

  • 1) Modliser les interactions entre particules en utilisant une approximation suffisamment simple pour permettre un calcul efficace , mais quand mme raliste.

    2) Intgrer les quations du mouvement Donne les positions and vitesses des particules

    3) Calculer les quantits physiques qui nous intressent

    Principe de la DEM

  • Positions initiales, orientations et vitesses

    Mise jour de la liste des particles en contact

    Calculer les force et moments sur chaque particules

    Integration des quation du mouvement pour obtenir Les nouvelles positions, vitesses et orientations

    cumuler les statistiques pour calculer les prop. de transport

    Incrment du temps: t = t + dt

    Boucle

  • Implmentation

    Ltape de paramtrisation est simple pour des sphres : position du centre (xi), rayon (Ri), orientation (oi), vitesse du centre (vi), vecteur rotation instantane (i)

    Pour trouver quelles particules sont en contact la mthode la plus simple = examiner toutes les paires de particules et calculer la distance entre elles. Trs couteux en temps (en N2).

    Mthode plus conomique : Diviser lespace en cellules virtuelles Faire la liste des grains dans chaque cellule

    Vrifier les interactions des grains lintrieur dune cellule donne et celles avec les grains des cellules voisines (26 en 3D).

    A chaque pas de temps on actualise la liste.

    Algorithme en N.

  • Interactions entre grains

    La dfinition des forces de contact est la partie la plus dlicate et la plus longue.

    Contrairement aux systmes molculaires o lnergie est conserve, la dissipation est une composante essentielle des milieux granulaires. Il est donc indispensable dutiliser des modles qui fournissent une approximation raliste des pertes dnergie

    On trouve essentiellement deux types dapproches : Les modles de particules dures (indformables) : modles Event-

    Driven et dynamique des contacts

    Les modles de particules molles : Linteraction est une fonction du recouvrement entre particules en contact, qui est sens reprsenter la dformation.

  • Interactions dissipatives

    Plusieurs mcanismes sont lorigine de la dissipation.

    On peut observer de manire lmentaire la dissipation lors dune collision : une balle qui rebondit sur le sol ne remonte pas sa hauteur initiale.

    Un autre type de dissipation est li au frottement avec glissement dun contact persistant.

    Sol lisse

    ho

    d1 d2

    h1 h2

    v

    NT ss =

  • BAABe

    vvvv

    = A B VA VB

    Avant collision

    A B BV AV

    Aprs collision

    Coefficient de restitution

    Exemple :

    Sol lisse

    ho

    d1 d2

    h1 h2

    v

    2

    21 vmmgho =

    vv

    =e

    21 2

    1 v = mmghoh

    he 12 =

    ok

    k heh2=

  • e Coefficient de restitution normal

    Coefficient de restitution tangentiel

    Coefficient de frottement

    Le modle est inspir de la solution dveloppe par R. Mindlin pour la collision de deux sphres lastiques :

    R. D. Mindlin (1949), J. Appl. Mech 16, 249; R. D. Mindlin & H. Deresiewicz (1953), J. Appl. Mech. 21, 237

    Dans le modle de Walton, la collision est instantane et les vitesses aprs collision sont dtermines par les vitesses avant collision et par 3 paramtres matriels phnomnologiques :

    Modle de collision de sphres dures 3 paramtres (Walton)

  • Collision de 2 sphres (S1 et S2)

    2121

    , ,

    vv Vitesses des centres des particules

    Vecteurs rotation instantane

    ( )2121

    rrrrn

    = Vecteur unitaire directeur de la ligne des centres (de la sphre 1 vers la sphre 2). 1r

    2r

    21 rr

    n

    Vitesse relative de la sphre 1 par rapport la sphre 2, au point dimpact (vitesse de glissement)

    ndd

    += 2

    21

    121 22

    vvvc

    ( )nncn = vv Composante normale de la vitesse

    de glissement

    ( )nnccncs == vvvvv Composante tangentielle de la

    vitesse de glissement

    Juste avant la collision

    Si : masse mi, diamtres di , position centre au moment collision

    ir

  • sv cv

    1m

    2m

    nvP

    P

    percussion exerce par S1 sur S2 (variation de quantit de mouvement au cours du choc).

    sn vv=cot : angle dincidence ss vv t Vecteur Tangent

    ( ) ( )222111 vvvv

    == mmP

    ( ) ( )222

    211

    1

    1 22 ==

    dI

    dIPn

    Ii : moment dinertie de Si (par rapport son centre)

    Le calcul des vitesses aprs impact se rduit donc celui de la percussion (3 coordonnes).

    ss vv t

    2121

    rrrrn

    =

  • La percussion correspond la force totale exerce pendant le choc. On la caractrise partir de 3 paramtres :

    - le coefficient de restitution normal : e (fraction dnergie stocke dans la dformation lastique rendue la composante normale de

    la vitesse).

    - le coefficient de restitution tangentiel :

    dpend de langle dincidence , [-1, 1] (N. Maw, J. Barber, and J. N. Fawcett, Wear 38, 101 (1976)).

    - le coefficient de frottement (contact glissant) : Traduit une dissipation par glissement+frottement.

    Paramtres matriels

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