modélisation et simulation numérique d’écoulements ... · gradient thermique ⇒tension...

56
1 Postdoc au PPMD : Laboratoire de Physicochimie des Polymères et des Matériaux Disperses – ESPCI Financement : Projet Européen Napoleon Modélisation et simulation numérique d’écoulements comportant des singularités intervenant aux jonctions ou interfaces entre différentes phases ou matériaux

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Page 1: Modélisation et simulation numérique d’écoulements ... · Gradient thermique ⇒Tension superficielle ⇒Cisaillement : ... Report de la singularit ... 10−3 s s s s s s s s

1

Postdoc au PPMD :Laboratoire de Physicochimie des Polymères et des Matériaux Disperses – ESPCIFinancement : Projet Européen Napoleon

Modélisation et simulation numérique d’écoulements comportant des singularités

intervenant aux jonctions ou interfaces entre différentes phases ou matériaux

Page 2: Modélisation et simulation numérique d’écoulements ... · Gradient thermique ⇒Tension superficielle ⇒Cisaillement : ... Report de la singularit ... 10−3 s s s s s s s s

2

De nombreux écoulements sont affectés par des singularités de vitesse (ou de champs dérivés), Cavité entraînée, Ligne de contact mobile, Écoulements thermocapillaires (pont liquide) …

Singularité discontinuité d’un champ ou d’une de ses dérivées (à l’ordre n)

Singularités de contact solide/fluide

Ligne de contact mobiled’

gravité

Écoulementvisqueux

d

Pont liquide

Écoulementvisqueux

Gradientthermique

Fluxthermique

Écoulement visqueux

Cavité entraînée (coin)

Singularité de vitesse Singularité de vitesse Singularité de Vorticité

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3

Singularités et spectral

Activité de recherche effectuée au LIMSI durant ma thèse

Groupe Dynamique des Transfert et Instabilités (aujourd’hui Convection et Rotation).

Directeur de thèse : Claudine Dang-Vu Delcarte Professeur Paris XI Orsay

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4

Outils numériques

• Discrétisation spatiale par collocation spectrale Chebyshev

• Discrétisation temporelle Adams-Bashforth/Euler retardé ordre 2

• Formulation en variables primitives : vitesse/pression

• Découplage vitesse pression par la méthode de projection/diffusion :

• Gestion de conditions de Robbins avec coefficients constants :

• Gestion de conditions de Robbins avec coefficients variables par un

algorithme itératif (ECCOMAS 2001) :

• Gestion de conditions mixtes en dérivées par un algorithme direct

( J. Comput. Phys. 2004) :

)(. τγβα =∂∂+n

uu

)()().( τγτβτα =∂∂+n

uu

)(.2

2

τγβτ

α =∂∂+

∂∂

n

uu

0→⋅∇N

Vr

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5

Prise en compte de conditions aux limites

fauu =−∆

)(τγη

βα =∂∂+ u

u

équation de Helmholtz

conditions aux limites mixtes non uniformes

équation séparable + conditions aux limitesne dépendant que de

× × × × × × × × × ×

η∂∂u

)()()( τγη

τβτα =∂∂+ u

u × × × × × × × × × ×

ητβ

∂∂u

)(

×

×

×

×

u)(τα

conditions aux limites mixtes

conditions aux limitesdépendant de et :couplage des directions

algorithme itératif Congrès ECOMMAS CFD 2000application à la cavité entraînée : glissement variable

)(2

2

τγη

βτ

α =∂∂+

∂∂ uu conditions aux limites

mixtes en dérivées(uniformes) × × × × × × × × × ×

η∂∂u

×

×

×

×

2

2

τα

∂∂ u

×

×

algorithme direct J. Comput. Physics 2004

Viscosité d’interface + glissement Congrès ISTP14 2003

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6

Écoulements thermocapillaires

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7

0)( <∂= uVRot z

r

0)( ≥∂= vVRot x

r

Singularité de vorticité du modèle thermocapillaire

Gradient thermique ⇒ Tension superficielle ⇒ Cisaillement : θθσ xxzu −∂∝∂∝∂ )(

0≠∂ uz

0=∂ uz

0=u

⇐ θxz Mau ∂−=∂ .et

-

+

zone devorticité positive

zone devorticité négative

0<∂ θx

Cisaillement non-nul dans le coin

• le long de la surface libre, les C.L. imposent :

• le long des parois verticales,les C.L. n’autorisent que :

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8

X

Z

-1 -0.5 0 0.5 1-0.5

-0.25

0

0.25

0.5

Coin froidCisaillment Maximum

0.00E+00

Vorticité

Modèle singulier de canalMa = 1500, Pr = 1.Canal thermocapillaire

,x

Maz

u

∂∂−=

∂∂ θ

,0=v .0=∂∂z

θ

==

0

0

v

u

2

1=θ

==

0

0

v

u

2

1−=θ

,0=u ,0=v .0=∂∂z

θ

Température

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9

Caractéristiques de la singularité

Profil de vitesse

Sur lasurface libre

• forts gradients de vitesse

• sauts de vorticité dans les coins

• la divergence ne décroît pas

10

100

1000

10 100 1000

Infin

ite n

orm

of D

iv V

Number of Chebyshev modes

Max |Div V|

Profil de vorticité

X-1 -0.5 1

-dU

/dz

-1 -0.5 0 1

-15000

-10000

-5000

0

5000

0.5

Oscillations parasites

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10

• forts gradients de vitesse

• sauts de vorticité dans les coins

• la divergence ne décroît pas

Modèle de canal non filtré

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11

Régularisation polynômiale

VMaxr

⋅∇Ω

1e-006

1e-005

0.0001

0.001

0.01

0.1

1

10 100 1000

Nor

me

infin

ie d

e D

iv V

Nombre de modes Chebyshev N

Pr Ma Nreg

0,01 500 2

aN-3.98

0,01 500 4

1 1500 4

aN-3.99

100 500 4

aN-3.97

aN-3.99

La divergencedecroît en N-4

Ma = 1500, Pr = 1, Nreg= 4, Nx = Nz = 150.

,)1( 22Nregxx

Maz

u −∂Θ∂−=

∂∂

,0=w .0=∂Θ∂z

==

0

0

w

u

2

1=Θ

==

0

0

w

u

2

1−=Θ

,0=u ,0=w .0=∂Θ∂z

Température

X

Z

-1 -0.5 0 0.5 1-0.5

-0.25

0

0.25

0.5

Fonction de courant

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12

Conditions aux limites

Interfacial viscosity + slip conditionspublished in ISTP14 2003 Symposium proceedings

)(1wuuls

z

u −=∂∂ −

wulsÉquilibre entre le cisaillement et le défaut de vitesse du au glissement

Conditions de glissement (Navier)

Régularisation de la ligne de contact mobile.

Glissement :Dussan: J. Fluid Mech., 774, pp. 665-684, (1976).

Modèle d’interface et glissement :Shikhmurzaev: Int. J. Multiphase flow, 19 , p. 589, (1993).

Dérivées tangentielle et normale associées

)(2

2

xz

u

x

u γβα =∂∂+

∂∂

Taux de contractionde l’interface

algorithme spectral directJ. Comput. Physics 2004

Simulation numérique avec les C.L. étendues :Régnier, Parmentier, Lebon, and Platten: Int. J. Heat Mass Transfer, 1438, pp. 2539-2548 (1995);

Viscosité interfaciale :Scriven: Chemical Engineering Science, 12, pp. 98-108, (1970);

Boussinesq: Annales de chimie et de physique, 29, pp. 349-362, (1913).

2

2

x

uVi

xMa

z

u

∂∂+

∂∂−=

∂∂ θ

Condition de Marangoni étendue

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13

Régularisation par glissement

VPr.pDt

VD rrr

∆+∇−=0=u

θxz Mau ∂−=∂ .0=∂ uz

vlsvx1−−=∂

Le glissement n’agit pas sur la bonne composante

0<∂ θx

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14

Viscosité interfaciale

recirculation

0=v 00

0.=∂⇒

=∂=∇

uv

Vx

z

rr

0=∂ uxVPr.p

Dt

VD rrr

∆+∇−=

0=u

uViMau xxz2.. ∂+∂−=∂ θ

0=∂ uz

θxxx Vi

MaupPr ∂=∂=∂− 21

courbure + divergence nulle

0<∂ θx

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15

X

Z

-1 -0.5 0 0.5 1-0.5

-0.25

0

0.25

0.5

Coin froidCisaillement maximum

Viscosité d’interface

0.00E+00

Fonction de courant

Vorticité

Ma = 1500, Pr = 1, Vi = 10-1.

,2

2

x

uVi

xMa

z

u

∂∂+

∂∂−=

∂∂ θ

,0=v .0=∂∂z

θ

==

0

0

v

u

2

1=θ

==

0

0

v

u

2

1−=θ

,0=u ,0=v .0=∂∂z

θ

Température

X

Z

-1 -0.5 0 0.5 1-0.5

-0.25

0

0.25

0.5

X

Z

0.9 0.925 0.95 0.975 10.4

0.425

0.45

0.475

0.5

0.00E+00

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16

Report de la singularité

Profil de vitesse

• gradients de vitesse adoucis

• vorticité améliorée

• la divergence ne décroît pas

Sur lasurface libre

10

100

1000

10 100 1000

Infin

ite n

orm

of

Div

V

Number of Chebyshev modes

Max |Div V|

Profil de vorticité

X-1 -0.5 0 0.5 1

-4000

-3000

-2000

-1000

2000

1000

0

-dU

/dz

Oscillations parasites

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17

Divergence non nulle

0=v

0≠∂ ux

0.0

0≠∇⇒

=∂≠∂

Vv

u

z

xrr

avec du glissement

0≠∂ vzet 0. =∇V

rr

vlv sx1−=∂

VpDt

VD rrr

∆+∇−= Pr

0=u

uViTMau xxz2.. ∂+∂−=∂

0=∂ uz

TVi

Maup xxx ∂=∂=∂− 21Pr

uv xz −∂=∂ ⇒⇒⇒⇒

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18

X

Z

0.9 0.925 0.95 0.975 10.4

0.425

0.45

0.475

0.5

X

Z

-1 -0.5 0 0.5 1-0.5

-0.25

0

0.25

0.5

Viscosité d’interface et glissement

0.00E+00

VorticitéCoin froid

Cisaillement maximum

Ma = 1500, Pr = 1, Vi = 1, ls = 5.10-3.

,2

2

x

uVi

xMa

z

u

∂∂+

∂∂−=

∂∂ θ

,0=v .0=∂∂z

θ

vx

vls =

∂∂

0=u

2

1=θ

,uz

uls =

∂∂

,0=v .0=∂∂z

θ

Température

vx

vls −=

∂∂

2

1−=θ

0=u

Fonction de courant

X

Z

-1 -0.5 0 0.5 1-0.5

-0.25

0

0.25

0.5

0.00E+00

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19

Plus de regularité

Profil de vitesseProfil de vorticité

• gradients de vitesse adoucis

• vorticité régularisée

• la divergence decroît en ~ N-2

0.1

1

10

100

10 100 1000

Infin

ite n

orm

of

Div

V

Number of Chebyshev modes

Max |Div V|y = 10.2 x N^-1.96

Sur lasurface libre

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20

Conclusions

• Singularité indépendante de l’angle imposé

• Qualification des propriétés de régularisation de différents modèles physiques

• Identification d’un modèle levant la singularité de vorticité des écoulements

thermocapillaires confinés

• Sens et ordre de grandeur des échelles locales données par le modèle

• Nécessité de confirmations expérimentales

• Autres hypothèses à discuter : écoulement compressible, fluide non-newtonien

• Publications : JCP 2004 et EJMBF 2008 (à paraître)

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21

Cavité entraînée

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22

Fonction de courant

Cavité entraînée régularisée

X

Z

-0.5 -0.25 0 0.25 0.5-0.5

-0.25

0

0.25

0.5

X

Z

-0.5 -0.25 0 0.25 0.5-0.5

-0.25

0

0.25

0.5

,)1( 22nxu −= .0=v

,0=u

.0=v

,0=u

.0=v

,0=u .0=v

Re= 2000, n = 16

Vorticité

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23

Comportement de la divergence

0

0.25

0.5

0.75

1

0.95

1

2

1

40− 1

4− 1

2

uN

Position horizontale x sur le couvercle

N = 1

N = 2

N = 3

N = 4

N = 8

N = 16

10−6

10−5

10−4

10−3

10−2

10−1

1

0 50 100 150 200 250D

iv=

max

Ω

|∇·~ V|

Nombre de modes Chebyshev N

Nreg

1

rs

rs rs

rs

rs

rs

rs

rs

rs

rsrs rs rs

rsrs

rsrs

rsrs

rsrs

rsrs

rs

2

+

++ +

++

++

++

++

++ + + + + + + + + +

+

3

rs

rs

rs

rsrs

rs

rs

rs

rs

rs

rs

rs

rs

rs

rs

rs

rsrs rs rs rs rs rs

rs

4

++

++ + +

++

++

++

++

++

++

++ + + +

+

8

bc

bc

bc

bc

bc bc bcbc

bcbc

bc

bc

bc

bc

bc

bc

bc

bcbc

bcbc

bc

bc

bc

16

utut

ut

ut

ut

ut

ut ut

ut ut utut

utut

utut

utut

utut

utut

ut

ut

Polynôme de régularisation Évolution de la divergence

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24

Cavité entraînée glissante

Fonction de courant Vorticité

Re= 1500, ls = b/L = 10-2

X

Z

-0.5 -0.25 0 0.25 0.5-0.5

-0.25

0

0.25

0.5

X

Z

-0.5 -0.25 0 0.25 0.5-0.5

-0.25

0

0.25

0.5

,1=∂∂+z

ulsu .0=v

.0=∂∂+x

vlsv

,0=u

.0=∂∂−x

vlsv

,0=u

,0=∂∂−z

ulsu .0=v

Page 25: Modélisation et simulation numérique d’écoulements ... · Gradient thermique ⇒Tension superficielle ⇒Cisaillement : ... Report de la singularit ... 10−3 s s s s s s s s

25

0

100

200

300

400

500

600

700

0 50 100 150 200 250

Div

=m

ax

Ω

|∇·~ V|

Nombre de modes Chebyshev N

ls10−3

rs

rs

rs

rs

rs

rs

rsrs

rsrs rs rs rs rs rs rs rs rs rs rs rs rs rs

rs

10−2

+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +

+

10−1

rs rs rs rs rs rs rs rs rs rs rs rs rs rs rs rs rs rs rs rs rs rs rs

rs

La singularité est toujours présente

etn

vvls

∂∂= τ

τ /n

v

∂∂ τ

τv⇒ tendent vers zero dans les coins à la même vitesse.

n

vvls

∂∂−= τ

τ /)1( ne s’annule pas dans les coins !⇒

Parois fixes :

Couvercle :

τv

Évolution de la divergence

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26

Glissement « étendu »

∞→b

0=∂∂=z

uu

b bU

UU Glissement fonction de la contrainte :

Thompson, Troian: Nature, 389 , pp. 360-362, (1997).

Craig, Neto, Williams : Phys. Rev. Lett., 87 5, pp. 054504(1-4), (2001).

∂∂=z

ufb

b dépend du cisaillement :

Simplification du modèle :

)1(' 211 Nxbb −= −−

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27

Cavité entraînée glissement non uniforme

1e-005

0.0001

0.001

0.01

0.1

1

10

100

1000

10 100 1000

Nombre de modes Chebyshev $N$

$l_s$$10^-1$$10^-2$$10^-3$$10^-4$

VMaxr

⋅∇Ω

Page 28: Modélisation et simulation numérique d’écoulements ... · Gradient thermique ⇒Tension superficielle ⇒Cisaillement : ... Report de la singularit ... 10−3 s s s s s s s s

28

Profils de vitesse pariétaux

-0.4

-0.35

-0.3

-0.25

-0.2

-0.15

-0.1

-0.05

0

0.05

$\fracA_L2$$\fracA_L4$$0$$-\fracA_L4$$-\fracA_L2$

$Z$

$l_s$$10^-1$$10^-2$$10^-3$$10^-4$

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

$\frac12$$\frac14$$0$$-\frac14$$-\frac12$

$X$

$l_s$$10^-1$$10^-2$$10^-3$$10^-4$

-0.16

-0.14

-0.12

-0.1

-0.08

-0.06

-0.04

-0.02

0

0.02

$\frac12$$\frac14$$0$$-\frac14$$-\frac12$

$X$

$l_s$$10^-1$$10^-2$$10^-3$$10^-4$

-0.02

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

$\fracA_L2$$\fracA_L4$$0$$-\fracA_L4$$-\fracA_L2$

$Z$

$l_s$$10^-1$$10^-2$$10^-3$$10^-4$

couvercle

mur droit

fond

mur gauche

Page 29: Modélisation et simulation numérique d’écoulements ... · Gradient thermique ⇒Tension superficielle ⇒Cisaillement : ... Report de la singularit ... 10−3 s s s s s s s s

29

1414

14

X

Z

-0.5 -0.25 0 0.25 0.5-0.5

-0.25

0

0.25

0.5 21111111111987654321

14

1414

1

X

Z

-0.5 -0.25 0 0.25 0.5-0.5

-0.25

0

0.25

0.5 11111987654321

1414

14

X

Z

-0.5 -0.25 0 0.25 0.5-0.5

-0.25

0

0.25

0.5 21111111111987654321

1414

14

X

Z

-0.5 -0.25 0 0.25 0.5-0.5

-0.25

0

0.25

0.5

Écoulements à Re = 1500

ls = 10-4ls = 10-3

ls = 10-1ls = 10-2

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30

Conclusions

• Le glissement de Navier ne suffit pas à régulariser

• Utilisation d’un glissement étendu (condition mixte non uniforme)

• La longueur de glissement joue le rôlr d’une longueur de filtrage pour les

petites échelles

• Publications : Actes d’ECCOMAS CFD 2000 et un article en cours de

rédaction

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31

Ligne de contact mobile :démouillage d’un solide

Activité de recherche effectuée en Israël Technion à Haïfa département de génie chimique

Responsable : Len Pismen, Professeur émerite

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32

Instabilités de ligne de contact mobile

formation de gouttes

formation de doigts

Lipson & Leiserson

Oron, Davis, Bankoff Sur, Witelski, Behringer

plan incliné plaque se retirant d’un bain

évaporation d’eau sur du mica

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33

Approximation de lubrification :équation de diffusion du 4èmeordre

+ évaporation 3)(

3hhk =

mobilité du film

dhps edQhQh −− −= 2)( 2γ

potentiel de Sharma

1h0

0.005

0.01

0.015

0.02

0 5 10 15 20 25

)( 1hbhs +×µ)( is hbh+×µ)(hγ

2hih

[ ] )()(. 01 µµβµη −−∇−∇−=∂ −

4434421

rr

rJ

t hkh )('20 hh γσµ +∇−=

potentiel chimique

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34

h

référentiel en mouvement

Passage au référentiel mobile

[ ] )()(. 02 µµεµ −−

∂∂+∇−∇−=∂x

hchkht

rr

),,( tyctxhh −=

)('2 hh γµ +−∇= hehh −− −= χγ 2)( 2

L

l

T

T

L

l ==ε

8)4(3 24 ee ≤≤ χ

)()(

)(3 ±

∞±±±

±∞

±±±

−=∂

−=∂

hhh

hhh

xxx

x

λλ

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35

Conclusions

• Pas d’instabilité observée avec notre code 2D

• Pas d’instabilité observée avec un code de stabilité linéaire 1D Fourier (mode

à mode)

• Etude analytique de la stabilité du front sous l’approximation de

quasistationarité

• Domaine d’existence de la bistabilité très limité, calcul numérique couteux

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36

Digitation visqueuse dans les fluides rhéofluidifiants

Activité de recherche effectuée au Laboratoire de Physique de la Matière Condensée de l’Ecole Polytechnique

Responsables : Mathis Plapp, Hervé Henry chercheurs CNRS

Collaboration : Anke Lindner, Laboratoire PMMH à l’ESPCI, maître de conférences Paris VII

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37

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38

Viscous fingering in Hele-Shaw Cell

W

b

x

y

V0

L =L/W

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39

Fluides non newtoniens

Solution de PEO Ignès-Mullol et al.

Suspensions d’argile Van Damme et al.

Cristaux liquides

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40

Modèle d’interface discontinue

Interface discontinue : Ben Amar,Corvera-Poiré

2,12,122,112

PVb

∇=−rrµ

02,1 =⋅∇ Vrr ⇒⇒⇒⇒ 02,1 =∆P

Conditions à l’interface :

nPb

nPb

Un

rrrr⋅∇−=⋅∇−= 2

2

2

11

2

1212 µµ

+=−

2112

11

rrPP σ

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41

Modèle de champ de phase pour les fluides newtoniens

Basé sur la formulation de R. Folch et al.de la loi de Darcy en Hele-Shawet sur la généralisation de C. Misbah et al.qui s’applique à Stokes

φτφφκφφφφτ ∇⋅−∇+∇+−=∂rrr

VWWt )(2223

Loi de Darcy continue (prend les 2 fluides en compte)

⇒⇒⇒⇒ SP =∇⋅∇

µ

rrφσκµ ∇−∇=−

rrrPV

b2

12

0=⋅∇ Vrr tension de surface

Modèle de champ de phase advecté

2

1

2

121

φµφµµ −++=

Interpolation of fluids properties

φφκ

∇∇∇−= r

rr.⇒⇒⇒⇒ S

P =∇⋅∇µ

rrφσκµ ∇−∇=−

rrrPV

b2

12

0=⋅∇ Vrr tension de surface

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42

unn

r⋅++−∝ ˆκκv

φτφφκφφφφτ ∇⋅−∇+∇+−=∂rrr

VWWt )(2223

Ginzburg-Landau non conservée annule advection

W

vn

Champ de phase advecté

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43

Formulation adimensionnée

⇒⇒⇒⇒xcBpvcrrrr φφκφ +∇−∇=+− )1(

0=⋅∇ vrr

xc

c

cB

c

p rrr

rr

r⋅

+∇−

+∇⋅∇=

+∇⋅∇

φφ

φφκ

φ 111

0212 VW

σ=

( ) nxcBpvcrrrrr ⋅+∇−∇=+− φφκφ)1(

Equation de Poisson pour la pression

Conditions aux limites

µµ

µµµµ ∆=

+−= 2

21

21c

(1)

φc+⋅∇1

)1(r

)1(×∇r

Redonne Folch et al.ψω −

r

Donne la formulation vitesse-pression

• extension au problème 3D de Darcy ou Navier-Stokes• extension aux fluides rhéofluidifiants

• formulations potentielles en 3D difficiles à résoudre

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44

Quelques résultats en newtonien

−2.5 −2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5−0.5

−0.4

−0.3

−0.2

−0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

B=0.005 C=0.9 =0.02 x= y=0.01

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45

0.5

0.55

0.6

0.65

0.7

0.75

0.8

0.85

0.9

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12

’Can_1x5_100x500_eps_2oEm2_Co9.dat’ u 1:3’Can_1x5_100x500_eps_2oEm2_Co99.dat’ u 1:3

’Can_1x5_100x500_eps_2oEm2_Co999.dat’ u 1:3

0.5

0.55

0.6

0.65

0.7

0.75

0.8

0.85

0.9

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12

λ

B

c =0.9, ε = 0.020c =0.9, ε = 0.016c =0.9, ε = 0.010

Influence de l’épaisseur d’interface Influence du contraste de viscosité

BB

Courbes de sélection

W

ldoigt=λ

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46

Modèle de champ de phase pour les fluides rhéofluidifiants

⇒⇒⇒⇒φσκµ ∇−∇=−

rrrPV

b2

12

0=⋅∇ Vrr S

P =∇⋅∇µ

rr

Basé sur la formulation de M. Shelley et al.De la loi de Darcy’s en Hele-Shaw pour les rhéofluidifiants.

Loi de Darcy continue

2

1

2

1)( 21

φµφµµ −++∇= Pf

Fluide rhéofluidifiant général (1)

⇒⇒⇒⇒ SP

P =∇

∇⋅∇)(µ

rr

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47

Forme adimensionnée

⇒⇒⇒⇒xBpvrrrr

)()( φζφκφχ +∇−∇=−

0=⋅∇ vrr

xBp rr

rr

rr

⋅∇−∇⋅∇=∇⋅∇)(

)(

)()( φχφζ

φχφκ

φχ

( ) nxBpvrrrrr ⋅+∇−∇=− )()( φζφκφχ

Equation de Poisson pour la pression

Conditions aux limites

(1)

2

1)1)(1)((1)(

φφφχ ++−∇++= cpfc

2

1)1)(1)((1)()(

φφφχφξ ++−∇+=−= cpfc

De même que M. Shelley, on utilise une viscosité rhéofluidifiante effective : 2

2

1

1)(

p

ppf

∇+

∇+=∇

α

0µµα ∞=

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48

Viscosité effective sans dimension

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49

Variation du contraste de viscosité

C’

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50

Quelques résultats en rhéofluidifiant

−2.5 −2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5−0.5

−0.4

−0.3−0.25

−0.2

−0.1

0

0.1

0.2 0.250.3

0.4

0.5

−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2

−0.4

−0.3

−0.2

−0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2

−0.4

−0.3

−0.2

−0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

B=0.005 C=0.99 =0.02 x= y=0.01=0.99

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51

Courbes de sélection

0.4

0.45

0.5

0.55

0.6

0.65

0.7

0.75

0.8

0.85

0.9

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12

newtonianalpha=0.9alpha=0.3

alpha=0.15

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52

Conclusions

• Modélisation quantitative de l’instabilitée de Saffman-Taylor dans un canal

• Mise au point d’une formulation en champ de phase pour les fluides

rhéofluidifiants

• Comparaisons avec les expériences de Anke Lindner en cours

• Extension aux fluides viscoélastiques

• Extension aux géométries circulaires

• Passage au problème de Darcy 3D

• Publications : un article en cours de rédaction sur les résultats obtenus en

rhéofluidifiant

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53

Modélisation de matériaux adhésifs

Activité de recherche effectuée au Laboratoire de Physicochime des Polymères et des Matériaux Dispersés de l’ESPCI

Responsables :

PPMD-ESPCI Costantino Creton, directeur de recherche CNRS

PMC-Polytechnique Mathis Plapp, Hervé Henry, chercheurs CNRS

Collaboration : Anke Lindner, PMMH - ESPCI, maître de conférences Paris VII

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54

Propriétés méchaniques des Adhésifs

Polymère 1(fluide viscoélastique1)

Polymère 2(fluide viscoélastique 2)

Microstructure

Réponse au cisaillementRéponse à l’étirement

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55

Ecoulement de Stokes à deux phases viscoélastiques

2,12,12,12,1 )( Pv spt ∇−+⋅∇=∂rrr σσρ 0=⋅∇ v

rr

( )Tppp vv

rrrr ∇+∇=+∇

ησστ

vvv ppT

pptprrrrrr ∇⋅−⋅∇−∇⋅+∂=

∇σσσσσ

( )Tss vv

rrrr ∇+∇=ησ

Modèle Oldroyd B

Conditions aux limites

21 vvrr =

nIdPnIdPn spsp

rrr)()()( 21222111 κκσσσσ +−−+⋅=−+⋅

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Conclusions

• Dans la continuité du projet Saffman-Taylor

• Utilisation du champ de phase pour les viscoélastiques du type Oldroyd-B