modélisation matematiqe

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PROGRAMMATION MATHEMATIQUE PRINCIPES ET APPLICATIONS Youssef BENADADA ENSIAS, Université Mohammed V – Souissi Rabat Ahmed ALAOUI EL HILALI FSTF, Université Sidi Mohammed Ben Abdellah Fès Edition Kawtar Print Rabat 2012

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PROGRAMMATION  MATHEMATIQUE  

PRINCIPES  ET  APPLICATIONS  

 

 

Youssef  BENADADA  

ENSIAS,  Université  Mohammed  V  –  Souissi  

Rabat  

Ahmed  ALAOUI  EL  HILALI  FSTF,  Université  Sidi  Mohammed  Ben  Abdellah  

Fès    

     

   

       

   

Edition  Kawtar  Print  -­‐  Rabat    

2012  

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ii  

Avant  Propos    

Après  le  succès  remarquable  qu’a  eu  la  Recherche  Opérationnelle  dans  le  domaine  militaire  lors  de  la   deuxième   guerre   mondiale,   c’était   au   tour   des   milieux   industriels   de   s’intéresser   à   cette  nouvelle   science.   Depuis,   la   recherche   opérationnelle   est   de   plus   en   plus   présente   dans   le  quotidien  des  gestionnaires  :  planification  de  la  production,  affectation  du  personnel,  gestion  des  stocks,   problèmes   de   transport   (routier,   ferroviaire,   aérien…),   élaboration   d’horaires…   Tous   ces  problèmes   font   appel   explicitement   ou   implicitement   à   des   techniques   de   recherche  opérationnelle.  Cet  intérêt  à  cette  science,  qui  a  été  freiné  au  début  par  la  complexité  des  calculs  et  la  lenteur  des  ordinateurs  de  la  première  génération,  a  eu  un  essor  considérable  au  cours  des  dernières  décennies  avec  la  puissance  remarquable  des  ordinateurs.  Mieux  encore,  les  décideurs  et   les   gestionnaires   disposent   désormais   de   plusieurs   logiciels   de   recherche   opérationnelle   et  d’aide  à   la  prise  de  décision,  disponibles  sur  des  ordinateurs  personnels  de  plus  en  plus  rapides.  Cependant,   ces   logiciels   ne   peuvent   profiter   vraiment   qu’à   ceux   qui   en   comprennent   les  fondements   et   les   hypothèses   avec   lesquels   ils   ont   été   conçus.   En   effet,   pour   être   en  mesure  d’utiliser  efficacement  un  logiciel  de  recherche  opérationnelle,  il  faut  bien  respecter  les  conditions  d’utilisation  et  rester  dans  les  limites  permises  pour  que  l’interprétation  des  résultats  reste  valide.  Les  utilisateurs  de  ces  logiciels  doivent  en  plus  s’assurer  que  les  modèles  mathématiques  proposés  reflètent  bien  la  réalité  des  problèmes  à  résoudre.  

L’une   des   disciplines   les   plus   exploitées   de   la   recherche   opérationnelle   est   celle   de   la  programmation  mathématique  qui  a  comme  objet  l’étude  théorique  des  problèmes  d’optimisation  ainsi   que   la   conception   et   l’utilisation   d’algorithme   de   résolution.   La   programmation  mathématique  regroupe  plusieurs  classes  de  problèmes  dont  :  

-­‐ Programmation   linéaire,   (G.B.  Dantzig  1949,   [1]),  pour   l’étude  des  problèmes  d’optimisation  de  fonctions  linéaires  sous  contraintes  linéaires.  

-­‐ Programmation   non   linéaire,   (H.W.   Kuhn   et   A.W.   Tucker   1951,   [2]),   pour   l’étude   des  problèmes  d’optimisation  non  linéaires  avec  ou  sans  contraintes.  

-­‐ Programmation   en   nombres   entiers,   (R.E.   Gomory,   1958   [3]),   pour   l’étude   des   problèmes  d’optimisation  où  les  variables  sont  astreindre  à  ne  prendre  que  des  valeurs  entières  

-­‐ Programmation   dynamique,   (R.   Bellman,   1957,   [4]),   qui   est   une   approche   générale  d’optimisation  de  problèmes  dynamiques…  

Ce   manuel   regroupe   les   principales   parties   de   ces   classes   de   problèmes   enseignées   dans   les  grandes  écoles  d’ingénieurs  et  les  facultés  des  sciences  et  techniques  au  Maroc.  La  matière  de  cet  ouvrage   provient   en   grande   partie   des   différents   cours   dispensés   par   les   auteurs,   pendant   une  vingtaine   d’années,   dans   certains   établissements   universitaires  marocains   et   particulièrement   à  l’Ecole   Nationale   Supérieure   d’Informatique   et   d’Analyse   des   Systèmes   (ENSIAS)   de   Rabat,   à   la  faculté  des  sciences  de  Tétouan  ou  la  faculté  des  sciences  et  techniques  de  Fès.  

Certains   exemples   ou   exercices   de   ce   livre   sont   des   exemples   classiques   et   peuvent   se   trouver  dans  d’autres  ouvrages,  mais  la  plupart  sont  des  exemples  ou  exercices  originaux.    

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iii  

L’objectif  de  ce  manuel  «  Programmation  Mathématique,  Principes  et  Applications  »  est  donc  de  développer   chez   l’étudiant,   certaines   habiletés   de   formulation   de   modèles   mathématiques,  d'application   de   quelques   techniques   de   recherche   opérationnelle,   d’utilisation   de   certains  logiciels  d’aide  à  la  décision  et  d’interprétation  des  résultats  obtenus.  

Ce  manuel  peut  servir  de  support  de  cours  à  la  fois  aux  élèves-­‐ingénieurs  des  grandes  écoles,  aux  étudiants  des   licences  sciences  et  techniques,  des   licences  professionnelles,  mais  aussi  étudiants  des  écoles  privés  spécialisés  en  gestion  (Cycle  normal  ou  MBA).  Il  peut  aussi  servir  d’un  guide  aux  enseignants  de  la  recherche  opérationnelle.  

Les  notions  de  mathématiques   requises  pour   la   compréhension  des  notions  présentées  dans   ce  document  est  tout  simplement  celles  d’algèbre  linéaire  du  niveau  baccalauréat.  

Une  grande  partie  de  ce  manuel  est  dédiée  à   la  modélisation  mathématique  et   la   résolution  de  modèles   linéaires   soit   graphiquement   soit   par   la   méthode   primale   ou   duale   du   Simplexe.   Vue  l’importance  de  l’analyse  de  sensibilité  un  chapitre  lui  a  été  consacré.  Une  grande  attention  a  été  donnée  à  la  résolution  des  problèmes  d’optimisation  en  nombres  entiers.  Comme  applications,  on  a   choisit  deux  problèmes  classiques  :   les  problèmes  de   transport  et   les  problèmes  d’affectation.  Enfin,  le  dernier  chapitre  a  été  réservé  à  l’initiation  à  la  programmation  non  linéaire.  

Les  critiques  et  les  propositions  des  utilisateurs  de  cet  ouvrage  seront  les  bienvenues  et  serviront,  certainement,  à  l’améliorer  pour  les  prochaines  éditions.    

Nous   tenons   à   remercier   tous   les   collègues   et   particulièrement   ceux   avec   qui   j’ai   eu   des  discussions  fructueuses  à  propos  de  cet  ouvrage  et  qui  nous  ont  fortement  encouragé  à  le  réaliser.  Qu’ils  trouvent  tous  dans  ce  travail  nos  sentiments  de  respect  et  de  considérations.  

 

Les  auteurs

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Chapitre. 1 : Programmation mathématique et modélisation     5

 

 

 

 

CHAPITRE  1  

PROGRAMMATION  MATHEMATIQUE  ET  MODELISATION  

 

 

1.1  Introduction  

La   programmation   mathématique   est   actuellement   une   branche   particulièrement   active   des  mathématiques   appliquées,   et   cela,   pour   de   nombreuses   raisons.   La   première   est   peut-­‐être   le  nombre,  la  variété,  et  l’importance  de  ses  applications  que  ce  soit  dans  les  sciences  de  l’ingénieur,  ou   dans   d’autres   domaines   des   mathématiques   appliquées.   Mais,   l’importance   de   la  programmation   mathématique   vient   aussi   du   fait   qu’elle   fournit   un   cadre   conceptuel   adéquat  pour  l’analyse  et  la  résolution  de  nombreux  problèmes  de  mathématiques  appliquées,  tels  que,  la  théorie   des   jeux,   l’analyse   numérique   et   la   programmation   combinatoire.   Sans   prétendre   être  exhaustif,  on  peut  citer  quelques  domaines  d’application  :  

-­‐  Recherche  opérationnelle  :  l’optimisation  des  systèmes  technico-­‐économiques  (planification,  économétrie,…),  les  problèmes  de  transport,  les  problèmes  d’ordonnancement,  les  problèmes  de  gestion  de  stockes,  …etc.  

-­‐  Analyse  numérique  :  l’approximation,  la  régression,  la  résolution  de  systèmes  linéaires  et  non  linéaires,   les  méthodes  numériques  liées  à  la  mise  en  œuvre  des  méthodes  d’éléments  finis,  …etc.  

-­‐  Automatique  :  l’identification  des  systèmes,  la  commande  optimale  des  systèmes,  le  filtrage,  l’ordonnancement  d’atelier,  la  commande  de  robots,  …etc.  

-­‐   Ingénierie  :   le  dimensionnement  et   l’optimisation  des   structures  et   la   conception  optimale  de   systèmes   techniques   complexes   tels   que,   les   systèmes   informatiques,   les   réseaux  d’ordinateurs,  les  réseaux  de  transport,  les  réseaux  de  télécommunication,  …etc.  

-­‐   Economie   mathématique  :   la   résolution   de   grands   modèles   macro-­‐économiques,   des  modèles  micro-­‐économiques  ou  modèles  d’entreprise,   la  théorie  de   la  décision  et   la  théorie  des  jeux.  

La  programmation  mathématique  vise   l’étude   théorique  des  problèmes  d’optimisation  ainsi  que  la  conception  et  la  mise  en  œuvre  des  algorithmes  de  résolution.  Historiquement,  l’existence  du   terme  «  programmation  »  dans   le  nom  proposé  à   cette  discipline  peut   s’expliquer  par   le   fait  que  les  premières  recherches  et  les  premières  applications  se  sont  développées  dans  le  contexte  de   l’économie   et   de   la   recherche   opérationnelle.   Très   naturellement,   la   terminologie   adoptée  

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Chapitre. 1 : Programmation mathématique et modélisation     6

reflète  bien  l’étroite  relation  existante  entre  l’activité  d’analyse  mathématique  d’un  problème  et  son  interprétation  économique.  

L’élaboration  des  concepts  fondamentaux  et   la  tendance  à   l’unification  ont  été  constamment  au  centre  des  préoccupations,  et  c’est  ainsi  que  l’histoire  de  cette  discipline  se  trouve  jalonnée  par  un  certain  nombre  de  travaux  de  synthèse  remarquables,  qui  ont  souvent  été  à  l’origine  de  courants  de  recherche  nouveaux  et  féconds.  

Mais,   avant   de   résoudre   un   problème   du  monde   de   la   gestion,   il   faut   bien   commencer   par   sa  traduction  par  des  relations  mathématiques.  Or,  selon  les  situations,  cette  traduction  reflète  plus  ou   moins   la   réalité.   Souvent   nous   sommes   obligés   d’accepter   des   compromis.   Les   relations  mathématiques  que  nous  proposons  ne  constituent  en  général  que  des  modèles  des  problèmes  considérés.  Mais   les   résultats  de  ces  modèles  permettent   souvent  aux  gestionnaires  de  prendre  des   décisions   souvent   efficaces   pour   mener   à   bien   leurs   projets.   Nous   parlons   alors   de  modélisation  mathématique  pour  caractériser  cette  traduction  d’informations.  C’est  un  processus  qui   relève   à   la   fois   de   l’art,   de   l’expérience,   de   la   culture   générale   et   des   connaissances  mathématiques.  

Dans   ce   chapitre,   avant   de   présenter   plusieurs   exemples   pédagogiques   ainsi   que   leurs  modèles  mathématiques,   nous   allons   présenter   quelques   notions   générales   de   programmation  mathématique.  Certains  de  ces  exemples  sont  des  problèmes  classiques  que  l’on  retrouve  dans  la  littérature   scientifique.   C’est   le   cas  du  problème  de   transport,   du  problème     d’affectation  ou   le  problème  du  voyageur  du  commerce.  

1.2  Préliminaires  

Les  problèmes  de  la  programmation  mathématique  se  posent  lorsqu’on  cherche  à  maximiser  (ou  minimiser)   une   fonction   à   plusieurs   variables,   appelées   fonction   objectif.   Ces   variables   sont  soumises  à  des  inéquations,  appelées  contraintes.  

Notons  par  X  un  sous  ensemble  de   .  Dans  toute  la  suite    

   

signifie  que  le  minimum  de  f  est  atteint,  c'est-­‐à-­‐dire  :  

 

et  il  existe   tel  que    

Si  f  est  non  bornée  inférieurement,  c'est-­‐à-­‐dire  si   ,  nous  adoptons  la  

convention  :  

   

Dans  ce  cas,  on  dit  que  f  n’a  pas  de  minimum  de  valeur  finie  sur  X  ou  que   le  problème  est  non-­‐borné  inférieurement.  

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Chapitre. 1 : Programmation mathématique et modélisation     7

De  même,    

   

signifie  que  le  maximum  de  f  est  atteint  c'est-­‐à-­‐dire  :  

 

et  il  existe   tel  que    

Si  f  est  non  bornée  supérieurement,  c'est-­‐à-­‐dire  si   ,  nous  adoptons  la  

convention  :  

   

Dans  ce  cas,  on  dit  que  f  n’a  pas  de  maximum  de  valeur  finie  sur  X  ou  que  le  problème  est  non-­‐borné  supérieurement.  

1.3  Programme  Mathématique  

1.3.1  Définitions  

Soient  (i=1,2,…m)  et    un  sous-­‐ensemble  de   .  

Définition  1.1  Un  programme  mathématique  est  un  problème  d’optimisation  de  la  forme  :  

     

  ou      

La  fonction  f  est  appelée  la  fonction  objectif  ou  fonction  économique.  

L’ensemble  C  et  les  conditions    sont  appelées  les  contraintes  de  (P).  

Remarques  1.1  

1) Dans   toute   la   suite   nous   ne   considérons   que   le   problème   de   type   (P)  ;   en   effet,  

,  donc    est  équivalent  à    

2) Dans  le  problème  (P),  il  n’y  a  pas  de  contraintes  d’égalités,  car  une  contrainte  de  type  h(x)  =  0  peut  être  remplacée  par  les  deux  contraintes  suivantes  :  h(x)  ≤  0  et  -­‐h(x)  ≤  0.  

Définitions  1.2  

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Chapitre. 1 : Programmation mathématique et modélisation     8

On   appelle   solution   réalisable   ou   bonne   solution   ou   solution   efficace   du   problème   (P),   tout  

vecteur    vérifiant  toutes  les  contraintes  de  (P)  :    

   

Définitions  1.3  On  appelle  domaine  réalisable  de  (P),  l’ensemble  de  toutes  les  solutions  réalisables  de  (P).  

Définitions  1.4  On  appelle  solution  optimale  ou  optimum  global  de  (P),  une  solution  réalisable  qui  minimise  f(x)  sur  l’ensemble  de  toutes  les  solutions.  

Définitions  1.5  On  dit  que    est  un  minimum  local  de  (P)  s’il  existe  un  voisinage    de    tel  que    soit  optimum  

global  du  problème  (P1)  suivant  :  

 

 

 

 

Exemple  1.1      

 

 

 

 

 

 

 

 

   Les  programmes  mathématiques  peuvent  être  classés  selon  l’espace  de  recherche  ou  la  nature  de  la  fonction  objectif  et  les  contraintes.  

1.3.2  Classification  selon  l’espace  de  recherche  

1) Si   ,  alors  nous  noterons  le  problème          

 

minimum local

minimum global

minimum local

Figure  1.1.  

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Chapitre. 1 : Programmation mathématique et modélisation     9

2) Si   ,  i=1,…,  m,  alors  (P)  s’écrit  :  

 

3) Si   et   ,  i=1,…,  m,  alors  (P)  s’écrit  :  

 

 

On  dit  qu’on  a  un  problème  sans  contraintes.  

1.3.3  Classification  selon  la  nature  de  la  fonction  objectif  et  les  contraintes  

Considérons  le  problème  suivant  :  

 

Dans  le  cas  où   et  où  f  et  les  fi,  i  =  1,  …,  m,  sont  toutes  des  applications  linéaires,  on  dit  qu’il  

s’agit  d’un  programme  mathématique  linéaire  et  on  le  note  par  (PL).  

L’importance  de  la  classe  des  modèles  linéaires  est  due,  d’une  part,  à  la  multitude  d’algorithmes  efficaces  de  résolution  qui  existent,  et  d’autre  part,  au  fait  que  les  modèles  linéaires  se  présentent  dans  la  modélisation  de  plusieurs  situations  de  gestion.    

En  général,  un  problème  de  programmation  linéaire  s’écrit  sous  la  forme  suivante  :  

 

où,   et  où    signifie  que

.  

Plus  explicitement,  un  problème  de  programmation  linéaire  s’écrit  sous  la  forme  suivante  :  

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Chapitre. 1 : Programmation mathématique et modélisation     10

     

Ce  modèle  peut  aussi  être  écrit  sous  une  forme  matricielle  :  

 

 

 

où  

Ainsi,  un  modèle  linéaire  doit  vérifier  les  conditions  suivantes  :  

1. Le  modèle  doit  avoir  une  fonction  objectif  à  minimiser  ou  à  maximiser  2. La  fonction  objectif  ainsi  que  les  membres  gauches  de  chacune  des  contraintes  doivent  être  

des  fonctions  linéaires.  3. Toutes  les  variables  doivent  être  non-­‐négatives  4. Toutes  les  contraintes  s’écrivent  avec  des  égalités  ou  avec  des  inégalités  larges.  

Nous   parlons   aussi   de  modèles   linéaires   continus.   Les   modèles   linéaires   dont   les   variables   de  décision   sont   astreintes   aux   seules   valeurs   entières   sont   appelés  modèles   linéaires   en   nombres  entiers.  (Voir  Chapitre  4).    

Si  f  et/ou  certaines  des  fi  ne  sont  pas  linéaires,  alors  nous  parlerons  de  programme  mathématique  non  linéaire.  Selon  la  nature  de  la  fonction  objectif  f  et/ou  celle  des  contraintes  fi,  plusieurs  classes  de   problèmes   de   programmation  mathématique   existent   dans   la   littérature.  Nous   citons   à   titre  d’exemples  :  

1) Si  la  fonction  objectif  f  et  les  contraintes  fi,   i  =  1,  …,  m,  sont  des  fonctions  convexes,  on  dit  qu’il  s’agit  d’un  programme  mathématique  convexe.  

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Chapitre. 1 : Programmation mathématique et modélisation     11

2) Si  f  est  une  fonction  quadratique  c'est-­‐à-­‐dire  de  la  forme  :    et   les  fi  sont  

aussi  des  fonctions  quadratiques,  on  dit  dans  cas  qu’il  s’agit  d’un  programme  mathématique  quadratique.  

3) Si  la  fonction  objectif  f  peut  s’écrire  comme  différence  de  fonctions  convexes  (fonctions  DC)  et  les  fi,   i  =  1,  …,  m,  sont  DC  et  l’espace  de  recherche  C  est  convexe,  on  dit  qu’il  s’agit  d’un  programme  mathématique  DC.  

Plusieurs  autres  types  de  programme  mathématique  non   linéaire,  existent  dans   la   littérature.  Dans   cet  ouvrage,  nous  nous   limitons  à   l’étude  des  programmes   linéaires  et   les  programmes  non  linéaires  quadratiques.  

1.4  Modélisation  Mathématique  

Avant  de  résoudre  un  problème  du  monde  de  la  gestion,  il  faut  bien  commencer  par  sa  traduction  par  des  relations  mathématiques.  La  recherche  du  modèle  mathématique  d’un  problème  revient  à  identifier  certaines  composantes  relatives  à  ce  problème  :  

1. L’ensemble  des  actions  (activités  ou  variables)  qui  s’offrent  à  l’agent  de  décision,  2. Les  contraintes  définissant  la  nature  du  système  à  l’étude,    3. L’objectif   visé   exprimé   sous   forme   d’une   fonction   mathématique   (fonction   objectif   ou  fonction  économique)  

Dans  ce  paragraphe  nous  allons  présenter   la  modélisation  mathématique  de  plusieurs  exemples  dont   certains   problèmes   classiques   se   trouvent   dans   la   littérature.   Pour   les   premiers   exemples,  nous   allons   détailler   les   différentes   étapes  de   la  modélisation   alors   que  pour   les   derniers,   nous  allons  seulement  donner  les  modèles  mathématiques  associés.  

1.4.1  Problème  du  fleuriste  

Un  fleuriste  dispose  de  45  roses,  36  tulipes  et  27  marguerites  achetées  à  M  MAD.  Il  veut  offrir  à  ses  clients  deux  types  de  bouquets  de  fleures  :  

- Type  1  :  bouquet  à  80  MAD  composé  de  10  roses,  4  tulipes  et  2  marguerites.  

- Type  2  :  bouquet  à  60  MAD  composé  de  6  roses,  6  tulipes  et  6  marguerites.  

Le  souci  du  fleuriste  est  de  déterminer  le  nombre  de  bouquets  de  chaque  type  afin  de  maximiser  son  revenu  total.  

Modélisation  Quelles   sont   les   informations  dont  doit  disposer   le   fleuriste  pour   résoudre   son  problème  ?   Il   lui  suffit  de  connaître  le  nombre  de  bouquets  à  préparer  de  chaque  type.  

(i)  Variables    Notons  par  :  

  x1  =  nombre  bouquets  à  préparer  de  type  1.  

  x2  =  nombre  bouquets  à  préparer  de  type  2.  

Les  variables  x1  et  x2  sont  dites  variables  de  décision.  

(ii)  Fonction  objectif  Quel  revenu  retirera  le  fleuriste  de  la  vente  de  tous  les  bouquets  préparés  ?  

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Chapitre. 1 : Programmation mathématique et modélisation     12

Il  s'agit  d'additionner  les  revenus  à  tirer  de  chacun  des  2  types  de  bouquets  :  

Un  bouquet  de   fleures  de   type  1  est   vendu  à  80  MAD,  donc   le   revenu  à   tirer  de   la   vente  de  x1  bouquets  de  ce  type  est  80  x1.    

De  même,  un  bouquet  de   type  2  est   vendu  à  60  MAD,  donc   le   revenu  à   tirer  de   la   vente  de  x2  bouquets  de  ce  type  est  60  x2.    

Donc,  le  revenu  total  à  tirer  de  la  vente  de  tous  les  bouquets  préparés  s'élève  à  :  

    (80  x1  +  60  x2)  MAD.  

Nous  dénoterons  ce  revenu  total  par  z  et  laisserons  implicite  l'unité  monétaire  :  

    z  =  80  x1  +  60  x2.  

Nous  cherchons  évidemment  à  rendre  le  revenu  z  aussi  grand  que  possible  en  donnant  à  x1  et  à  x2  des  valeurs  appropriées.  

Ici,   z   est   une   fonction   qui,   à   chaque   plan   de   production   (tant   de   bouquets   de   type   1,   tant   de  bouquets   de   type   2),   associe   le   nombre   de  MAD   que   le   fleuriste   toucherait   comme   recette   s'il  adoptait   ce   plan.   Cette   fonction   z,   qui   traduit   l'objectif   de   notre   problème,   s'appelle   fonction  objectif.  Et,  comme  nous  cherchons  à  rendre  z  aussi  grand  que  possible,  nous  écrivons  :  

    Maximiser  z    

où       z  =  80  x1  +  60  x2  

ce  qu’on  convient  d'abréger  généralement  comme  suit  :  

    Max  z  =  80  x1  +  60  x2.  

S'il  ne  s'agissait  pour   le  fleuriste  que  de  maximiser  z,   il   lui  suffirait  de   laisser  augmenter  x1  ou  x2  pour   que   z   prenne  une   valeur   aussi   grande  qu'il   le   souhaite.   Il   y   a   bien   sûr   des   empêchements  naturels,  appelés  contraintes,  qui  freinent  le  rêve  d'un  profit  infini.  Prenons  en  considération  tour  à  tour  chacune  des  contraintes.  

(iii)  Contraintes  Dans   cet   exemple,   nous   disposons   de   deux   types   de   contraintes,   les   Contraintes   de   non-­‐négativité  et  d'intégrité  et  les  contraintes  de  disponibilité  :    Contraintes  de  disponibilité  :    Il  faut  que  le  nombre  de  fleures  utilisés  de  chaque  catégorie  ne  dépasse  pas  leur  disponibilité  :  

- Rose  :  le  fleuriste  dispose  de  45  roses  :  

      10  x1  +  6  x2  ≤  45  

- Tulipes  :  le  fleuriste  dispose  de  36  tulipes  :  

      4  x1  +  6  x2  ≤  36  

- Marguerites:  le  fleuriste  dispose  de  27  marguerites  :  

      2x1  +  6  x2  ≤  27  

Contraintes  de  non-­‐négativité  et  d'intégrité  :    

Elles   assurent  que   le  nombre  de  bouquets   à   composer  de   chaque   type   soit   un  entier  positif   ou  nul  :    

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Chapitre. 1 : Programmation mathématique et modélisation     13

    x1,  x2  ≥  0  et  entiers.    

Le  modèle  mathématique  se  résume  ainsi  :  

     

Le  modèle  obtenu  est  un  problème  linéaire  en  nombres  entiers.  Des  méthodes  ont  été  mises  au  point   pour   «   résoudre   »   ce   genre   de  modèle,   c'est-­‐à-­‐dire   trouver   des   valeurs   des   variables   de  décision   qui,   tout   en   respectant   chacune   des   contraintes,   optimisent   la   fonction   objectif   et  constituent  donc  une  solution  optimale.  Parmi  ces  méthodes,  nous  allons  étudier,  au  chapitre  3,  la  méthode  de  résolution  graphique  et  la  méthode  du  Simplexe.  

Solution  optimale  :  x1  =  2,25  et  x2  =  3,75  ;  z  =405.  

Cette  solution  recommande  de  préparer  2,25  bouquets  du  type  1  et  3,75  bouquets  du  type  2.  Ce  plan  de  production  assurerait  au  fleuriste  un  revenu  de  405  MAD.  Si  on  savait  que  le  nombre  de  bouquets  à  préparer  de  chaque  type  doit  être  entier,  alors  on  conclura  que  cette  solution  n’est  pas  réalisable.  C’est  un  problème  de  programmation  en  nombres  entiers  dont  on  verra  au  chapitre  4  des  méthodes  de  résolution.  

1.4.2  Problème  des  bibliothèques  

Un  artiste  est  spécialisé  dans  le  design  du  meuble  de  luxe,  en  particulier  la  production  en  courtes  séries   de   deux   modèles   de   bibliothèque   muraille.   Il   s'est   engagé   à   livrer,   d'ici   5   semaines,   9  bibliothèques   du   modèle   A   et   6   bibliothèques   du   modèle   B.   Il   estime   à   10   unités   le   marché  potentiel  pour  chaque  type  de  bibliothèque.  

L’artiste  se  propose  de  consacrer  à  la  fabrication  de  ces  bibliothèques  toutes  les  heures  de  main-­‐d’œuvre   dont   il   disposera   dans   son   atelier   pendant   les   cinq   prochaines   semaines.   Chaque  bibliothèque   doit   passer   par   trois   opérations   préparation,   assemblage   et   finition.   Le   tableau  suivant  présente  les  données  afférentes  à  ce  problème  de  production  :  la  bibliothèque  du  modèle  A  y  est  appelée  A  et  la  bibliothèque  du  modèle  B  y  est  appelée  B.  

Durée  de  fabrication  d’une  bibliothèque  (en  heure)  

Opération   A   B  Nombre  d’heures  

Disponibles  

Préparation     10   8   300  

Assemblage     6   4   150  Profit  par    

bibliothèque   1450  MAD   1800  MAD    

L'objectif  que  poursuit  notre  artiste  est  de  maximiser  le  profit  qu'il  pourra  tirer,  au  cours  des  cinq  prochaines  semaines,  de  ces  2  modèles  de  bibliothèque  en  utilisant  au  mieux  les  ressources  de  son  atelier.  

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Chapitre. 1 : Programmation mathématique et modélisation     14

1.4.3  Problème  de  Transport  

Un   industriel   désire   transporter,   à   moindre   coût,   un   certain   bien   depuis   m   entrepôts   vers   n  magasins.  La  disponibilité  de  l’entrepôt  i  (1≤i≤m)  est  ai  et  la  demande  du  magasin  j  (1≤j≤n)  est  bj.  Nous  supposons  que  ai>0  et  bj>0.  Le  coût  unitaire  de  transport  de  l’entrepôt  i  vers  le  magasin  j  est  Cij.    

En  général,  le  problème  de  transport  est  résumé  par  un  tableau  de  la  forme  :    

  M1      M2  …  Mj  …    Mn   Disponibilité  E1  E2  :  Ei  :    Em  

                                         Cij  

a1  a2  :  ai  :  am  

Demande   b1          b2      …  bj    …    bn    

Le   problème   de   l’industriel   est   de   déterminer   la   quantité   à   envoyer   de   chaque   entrepôt   vers  chacun  des  magasins  de  telle  manière  que  le  coût  total  de  transport  soit  le  plus  faible  possible.  

1.4.4  Le  problème  d’Affectation  

Le   responsable   d’une   unité   de   production   désire   affecter   n   personnes   à   n   tâches.   Chaque  personne  doit  effectuer  une  et  une  seule  tâche.  Soit  Cij  le  coût  de  formation  de  la  personne  i  à  la  tâche  j.  Le  problème  d’affectation  consiste  à  trouver  la  meilleure  affectation,  c’est-­‐à-­‐dire  affecter  les   personnes   aux   tâches   de   sorte   que   la   somme   des   coûts   de   formation   soit   minimum.   Le  problème  d’affectation  est  résumé  par  un  tableau  de  la  forme  :  

  T1      T2      …  Tj  …    Tn  P1  P2     :  Pi  :  Pn  

                                     Cij  

Remarque  1.4  :    Ce   problème,   dit   Problème   Standard   d’Affectation,   peut   être   vu   comme   un   cas   particulier   du  problème  de  transport  avec  n  entrepôts  et  n  magasins,  où  ai  =  bj  =  1  et  où  Cij  représente  le  coût  de  transport  de  l’entrepôt  i  vers  le  magasin  j.  

1.4.5  Problème  de  localisation  

Dans  son  prochain  programme  d’investissement,  la  société  Cellulose  du  Maroc  désire  construire  1  ou  2  usines  et  peut-­‐être  un  entrepôt,  sachant  que  ce  dernier  ne  peut  se  trouver  que  là  où  il  y  a  une  usine.   La   compagnie  dispose  d’un  budget  d’investissement  de  15  millions  de  MAD  et   a   le   choix  entre   3   villes   pour   installer   ses   usines   et,   éventuellement,   son   entrepôt.   La   compagnie   dispose  aussi   des   estimations   du   prix   de   construction   et   de   la   valeur   nette   actualisée   (VNA)   de   chaque  

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Chapitre. 1 : Programmation mathématique et modélisation     15

usine  et  de  chaque  entrepôt  comme  c’est   indiqué  au  tableau  ci-­‐dessous.  Pour  des  raisons  socio-­‐économiques,  la  compagnie  ne  peut  pas  installer  plus  d’une  usine  dans  la  même  ville.  

Décision  Prix  de  Construction  

(en  MMAD)  VNA  (en  MMAD)  

Usine  à  Fès   6   9  Usine  à  Tanger   3   5  Usine  à  Tétouan   5   6  Entrepôt  à  Fès   1   3  Entrepôt  à  Tanger   2   4  Entrepôt  à  Tétouan   3   5  

Le  problème  du  responsable  est  de  satisfaire  les  exigences  de  la  compagnie,  tout  en  maximisant  la  valeur  nette  actualisée.  

1.4.6  Problème  d’implantation  des  dépôts  

Considérons   le   problème   d’implantation   d’un   nombre   de   dépôts   dans   un   ensemble   de   sites  potentiels  afin  de  servir  certains  clients.  Notons  par  :  

-­‐ J  :  ensemble  de  sites  potentiels  d’ouverture  de  dépôts  -­‐ I  :  ensemble  de  clients    -­‐ fj  :  coût  fixe  d’ouverture  du  dépôt  j,    -­‐ gij  :  le  gain  correspondant  à  l’approvisionnement  du  client  i  par  le  dépôt  j  (s’il  est  ouvert).  -­‐ di  :  la  demande  du  client  i  à  satisfaire  -­‐ qj  :  la  capacité  maximale  du  dépôt  j  

Le  problème  consiste  à  déterminer  :  -­‐ Quels  dépôts  ouvrir  ?  -­‐ Comment  affecter  les  clients  aux  dépôts  ?  

1.4.7  Planification  de  la  production  dans  une  entreprise  

Une  entreprise  fabrique  deux  produits  A  et  B  à  partir  de  trois  matières  M1,  M2  et  M3.  Elle  dispose  d’un  stock  de  300  tonnes  de  M1,  400  tonnes  de  M2  et  250  tonnes  de  M3.  Pour  fabriquer  une  tonne  de  A,   il   faut  une  tonne  de  M1  et  deux  tonnes  de  M2.  Pour   fabriquer  une  tonne  de  B,   il   faut  une  tonne  de  M1,  une  tonne  de  M2  et  une  tonne  de  M3.  La  vente  d’une  tonne  de  A  rapporte  un  profit  de  50  MAD,  celle  de  B,  un  profit  de  100  MAD.    Quelles  quantités  des  produits  A,  B  l’entreprise  doit-­‐elle  fabriquer  pour  maximiser  son  profit  ?  Les  données  peuvent  être  présentées  par  le  tableau  suivant  :  

 M1   M2   M3  

Profit  en  MAD    

A   1   2   0   50  B   1   1   1   100  

Stock  en  tonnes  

300   400   250    

1.4.8  Problème  d’élevage  de  volailles  

Un  éleveur  de  volailles  dispose  de  sept  types  de  grains  pour  nourrir  ses  volailles.  Chaque  type  de  grains   comporte   différentes   quantités   de   cinq   éléments   nutritifs   tels   que   spécifiées   dans   le  

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Chapitre. 1 : Programmation mathématique et modélisation     16

tableau.  L'éleveur  spécifie  également  la  quantité  mensuelle  minimale  de  chaque  élément  nutritif  requise  pour  nourrir  ses  volailles.  Le  coût  au  kilo  de  chacun  des  grains  est  spécifié.  Le  problème  de  l'éleveur   est   de   déterminer   la   quantité   de   chaque   type   de   grains   pour   satisfaire   les   quantités  minimales  requises  d'éléments  nutritifs  tout  en  minimisant  le  coût  total.  

Un  Kilo  de  Quantité  Mensuelle  

Minimale    

 G1   G2   G3   G4   G5   G6   G7    

Elément  nutritif  A    Elément  nutritif  B    Elément  nutritif  C  Elément  nutritif  D  Elément  nutritif  E  

1  2  1  3  5  

3  2  3  4  1  

2  3  2  2  4  

4  2  5  3  2  

3  1  3  2  1  

7  0  2  2  5  

4  2  0  3  2  

1250  250  900  650  450  

Coût  (MAD)  au  Kilo   36   42   54   41   35   96   29    

1.4.9  Problème  de  chargement  (sac  à  dos)  

Considérons  le  problème  du  chargement  d’un  sous-­‐ensemble  parmi  n  objets.  Chaque  objet  i  a  une  valeur  vi  et  un  poids  pi.  Le  chargement  devra  être  fait  de  manière  à  maximiser  la  valeur  totale  des  objets  sélectionnés  sans  dépasser  la  capacité  maximale  W.  

1.4.10  Problème  du  voyageur  du  commerce  (TSP)  

Le   problème   du   voyageur   de   commerce   (Travel   Salsmen   Problem,   TSP)   consiste   en   la  détermination   de   l’itinéraire   de   coût   minimal   (temps,   distance,…)   d’un   voyageur   partant   d’un  point,  visitant  (n-­‐1)  autres  points  (villes,  entrepôts,  usines,  supermarchés,  …)  et  revenant  au  même  point  de  départ.  

Ce  problème  classique  est  une  généralisation  du  problème,  plus  simple,  qui  consiste  à  trouver  le  plus  court  chemin  entre  deux  points  donnés.  

1.4.11  Problème  de  Tournée  de  Véhicule  (VRP)  

La  forme  standard  du  Problème  de  Tournée  de  Véhicule  (Vehicul  Routing  Problem,  VRP)  consiste  à  livrer,  à  moindre  coût,  des  marchandises  stockées  dans  un  endroit,  à  plusieurs  clients  (entrepôts,  entreprises,  usines,  localités,  ...etc).  Cette  distribution  va  être  réalisée  par  une  flotte  de  K  véhicules  de   capacités   différentes  mais   limitées,   placés   dans   un   entrepôt,.   Chaque   tournée   commence   et  termine  par   cet  entrepôt.  C’est  une  extension  du  problème  du  voyageur  de   commerce.  Dans   le  problème  classique,  le  nombre  de  véhicules  est  fixe,  et  le  coût  dépend  uniquement  des  kilomètres  parcourus   par   ceux-­‐ci.   L’objectif   est   de   définir   l’itinéraire   de   chaque   véhicule   de   manière   à  satisfaire   la   demande   des   clients,   ne   pas   dépasser   les   capacités   des   véhicules   et   minimiser   la  distance  totale  parcourue  par  les  véhicules.  

1.4.12  Répartition  des  services  aux  infirmières  dans  un  hôpital  

Le   docteur   Zaid   est   chargé   d’organiser   le   planning   des   infirmières   du   service   de   cardiologie   de  l’hôpital  ELGHASSANI  de  FES.  Une  journée  de  travail  dans  ce  service  est  divisée  en  douze  tranches  de   2   heures   chacune.   Les   besoins   de   personnel   varient   d’une   tranche   horaire   à   l’autre  :   par  exemple,  peu  d’infirmières  sont  nécessaires  pendant  la  nuit,  par  contre  l’effectif  doit  être  renforcé  le  matin  afin  d’assurer  les  différents  soins  à  apporter  aux  patients.  Le  tableau  donne  les  besoins  de  personnel  pour  chacune  des  tranches  horaires.  

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Chapitre. 1 : Programmation mathématique et modélisation     17

Tranches  horaires   Nombre  minimal  d’infirmières  06h  –  08h   35  08h  –  10h   40  10h  –  12h   40  12h  –  14h   35  14h  –  16h   30  16h  –  18h   30  18h  –  20h   35  20h  –  22h   30  22h  –  00h   20  00h  –  02h   15  02h  –  04h   15  04h  –  06h   15  Tableau  1.1.    :  Besoins  en  personnel  par  tranches  horaires  

Le  problème  consiste  à  trouver  le  nombre  minimal  d’infirmières  nécessaires  pour  couvrir  tous  les  besoins,  sachant  qu’une  infirmière  travaille  huit  heures  par  jour  et  qu’elle  a  droit  à  une  pause  de  deux  heures  au  bout  de  quatre  heures  de  travail.  

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Chapitre. 1 : Programmation mathématique et modélisation     18

1.5.  Exercices  

Exercice1.1  :  Problème  de  production    

Une  société  de  production  utilise  3  types  de  matière  première  M1,  M2  et  M3  pour  produire  2  biens  A  et  B.  Le  tableau  suivant  nous  donne   le  nombre  d’unités  à  ne  pas  dépasser  de  chaque  matière  première,   le   profit   unitaire   de   chaque  bien   construit   ainsi   que   le   nombre  d’unités   des  matières  premières  utilisées  dans  la  constitution  de  chaque  bien  :  

 A   B  

Nombre  d’unités  à  ne  pas  dépasser  

M1  M2  M3  

2   3  2   1  3   2.7  

180000  120000  24000  

Profit  en  MAD   6   5    

Donner  le  modèle  mathématique  de  ce  problème  d’optimisation.    Exercice1.2  :  Problème  de  production  Une   entreprise   dispose   d’une  machine   pouvant   fabriquer   deux   types   de   fil   de   cuivre   avec   une  grande  précision  :  un  fil  dont  le  diamètre  de  la  section  est  égal  à  1  mm  (fil  de  type  1)  et  un  fil  dont  le  diamètre  de  la  section  est  égal  à  2  mm  (fil  de  type  2).  La  fabrication  d’un  mètre  de  fil  de  type  1  demande  7  minutes,  et  la  fabrication  d’un  mètre  de  fil  de  type  2  demande  5  minutes.  Cette  machine   peut   fonctionner   au  maximum   120   heures   par   semaine.   Le   bénéfice   réalisé   par  l’entreprise  sur   la  vente  d’un  mètre  de  fil   type  1  et  2  est  égal,   respectivement,  à  25  et  35  MAD.  Compte  tenu  de  sa  clientèle,  cette  entreprise  peut  vendre,  chaque  semaine,  jusqu’à  500  mètres  de  fil   de   type   1   et   jusqu’à   1   000  mètres   de   fil   de   type   2   (si,   toutefois,   elle   est   en  mesure   de   les  fabriquer).   Par   ailleurs,   elle   dispose   déjà   de   commandes   hebdomadaires   de   clients   qu’elle   doit  impérativement  satisfaire  :  250  m  de   fil  de   type  1  et  350  m  de   fil  de   type  2.  Enfin   le  volume  de  matière  première,  c'est-­‐à-­‐dire    de  cuivre,  qu’elle  peut  traiter  chaque  semaine  est  égal  à  3  dm3.  On  cherche  à  déterminer  le  plan  de  fabrication  hebdomadaire  qui  maximise  le  bénéfice.      Donner  le  modèle  mathématique  de  ce  problème  d’optimisation.    Exercice  1.3  :  Problème  diététique  Il  s’agit  d’un  régime  alimentaire  garantissant  un  apport  suffisant  en  éléments  nutritifs.  On  considère  :  - n  aliments  au  prix  unitaire  de  cj  (j  =  1,  …,  n),  - m  éléments  nutritifs,  - qij  =  la  quantité  du  ième  élément  nutritif  contenue  dans  une  unité  du  jème  aliment,  - di  =  quantité  minimale  requise  de  l’élément  nutritif  i  (i  =  1,  …,  m),  Le   problème   du   responsable   est   de   déterminer   la   quantitérequise   pour   le   régime   de   chaque  aliment  j  (j  =  1,  …,  n).  Donner  le  programme  mathématique  convenable.  

Exercice  1.4  :  Problème  du  mélange  La  table  ci-­‐dessous  donne  la  composition  et  le  coût  de  9  alliages  standards  de  plomb,  zinc  et  étain.  

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Chapitre. 1 : Programmation mathématique et modélisation     19

Alliage   1     2     3     4     5     6     7     8     9  plomb  (%)  zinc  (%)  étain  (%)  

20     50     30     30     30     60     40     10     10  30     40     20     40     30     30     50     30     10  50     10     50     30     40     10     10     60     80  

coût  unitaire   7.3     6.9     7.3     7.5     7.6     6.0     5.8     4.3     4.1  

Le  but  est  de  trouver  un  mélange  des  9  alliages  qui  permet  de  fabriquer  à  coût  minimal  un  alliage  contenant  :  - 30  %  de  plomb  ;  - 30  %  de  zinc  ;  - 40  %  d’étain.  Donner  le  programme  mathématique  convenable.  

Exercice  1.5  :  Problème  du  sac  à  dos  multidimensionnel  

Considérons   le   problème   du   chargement   de   m   sacs   à   dos   de   sous-­‐ensembles   parmi   n   objets.  Chaque  objet  i  un  poids  pi  eta  une  valeur  vijs’il  est  mis  dans  le  sac  à  dos  j,  (i=1,2,…,n  et  j=1,2,…,m).  Chaque  sac  à  dos  j  a  une  capacité  vj,  (j=1,2,…,m).  Un  objet  peut  être  sélectionné  au  plus  une  fois.  Le  chargement  devra  être  fait  de  manière  à  maximiser  la  valeur  totale  des  objets  sélectionnés  sans  dépasser  la  capacité  maximale  des  sacs  à  dos.  

Donner  le  programme  mathématique  convenable.  

Etude  de  cas  n°1  :  Problème  de  coupe  de  bobines-­‐mères    

Les  papetiers   fabriquent  des  rouleaux  de  papier  dont   la   largeur  est   fixée  par   les  caractéristiques  des  machines   qu'ils   utilisent.   Ils   les   désignent   sous   le   nom   de   bobines-­‐mères.   Par   contre,   leurs  clients  réclament  des  rouleaux  de  diverses  largeurs  et  parfois  de  diverses  longueurs.  Comme  il  est  fréquent  que  ni  la  largeur  ni  la  longueur  des  bobines-­‐mères  ne  soient  des  multiples  de  celles  des  rouleaux   commandés,   les   papetiers   encourent   souvent,   pour   satisfaire   les   commandes   de   leur  clientèle,  des  pertes  de  papier  qu'ils  désignent  sous  le  nom  de  chutes.  

Supposons  que  toutes  les  bobines-­‐mères  dont  dispose  un  papetier  ont  une  largeur  de  215  cm  et  une  longueur  de  250  m,  et  qu'il  a  accepté  les  commandes  données  au  tableau  suivant  :  

Largeur  (en  cm)   Longueur  (en  cm)   Nombre  de  rouleaux  

64   250   360  

60   250   180  

35   250   180  

Comme   la   longueur   des   rouleaux   commandés   est   identique   à   celle   des   bobines-­‐mères,   il   suffit  d'assurer  la  coupe  transversale  d'un  certain  nombre  de  bobines-­‐mères.  

Quel   est   l'objectif   poursuivi   par   le   papetier   ?   S'agit-­‐il   pour   lui   de   satisfaire   les   commandes  acceptées  ?  Si  tel  était  le  cas,  il  lui  suffirait  de  tailler  tout  bonnement  un  seul  rouleau  par  bobine-­‐mère  :  les  commandes  des  clients  seraient  évidemment  satisfaites,  mais  exigeraient  720  bobines-­‐mères,   ce   qui   constituerait   un   gaspillage   de   papier.   Il   faut   se   rendre   à   l'évidence   :   l'objectif  poursuivi  n'est  pas  uniquement  de  remplir   les  commandes.  Si   le  papetier  se  propose  d'utiliser   le  moins  possible  de  bobines-­‐mères  pour  s'acquitter  des  commandes,  comment  peut-­‐il  atteindre  cet  objectif  ?  Et  s'il  cherche  plutôt  à  minimiser  les  chutes  tout  en  remplissant  les  commandes,  s'agit-­‐il  

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Chapitre. 1 : Programmation mathématique et modélisation     20

du  même  objectif,  formulé  différemment,  ou  d'un  second  objectif  totalement  distinct  du  premier  ?   Et   si   ces  objectifs   s'avèrent  distincts,   lequel   faut-­‐il   privilégier   ?  Voilà   des  questions   auxquelles  nous  vous  proposons  d'apporter  réponse.  

Mettons  nous  en  situation   :   si   le  papetier  nous  confiait   la   tâche  de  remplir   les  commandes,  que  ferions-­‐nous  ?  Commencerions-­‐nous  par  tailler  des  bobines-­‐mères  sans  avoir  arrêté  au  préalable  un  plan  de  découpe  précis  ?    

L'objectif  du  papetier  est  de  remplir  les  commandes  soit  en  minimisant  la  longueur  des  chutes,  soit  en  minimisant   le  nombre  de  bobines-­‐mères  utilisées.  Le  papetier  doit  déterminer  quels  plans  de  coupe  retenir  et  combien  de  fois  mettre  chacun  en  œuvre  de  façon  à  atteindre  l'un  ou  l'autre  de  ces  objectifs.  

1. Donner   les  différents  plans  de  coupes  possibles  engendrant  des  chutes   inférieures  à  35  cm.  On  remplira  le  tableau  suivant  en  ajoutant  les  colonnes  nécessaires.  

Largeur   1   2   …  

64   3     …  

60   0     …  

36   0     …  

Chutes   23     …  

2. Donner  le  modèle  mathématique  pour  chacun  des  cas  suivant  :  

a)  L'objectif  du  papetier  est  de  remplir  les  commandes  en  minimisant  la  longueur  des  chutes.  

b)   L'objectif   du   papetier   est   de   remplir   les   commandes   en  minimisant   le   nombre   de   bobines-­‐mères  utilisées.  

Etude  de  cas  n°2  :  Problème  de  confection  des  horaires  de  cours Le  problème  de  confection  des  horaires  de  cours  dans  les  établissements  scolaires  consiste  à  fixer  une   série   de   réunions   entre   les   enseignants   et   les   étudiants   dans   un   délai   préfixé   de   temps  (généralement  une  semaine),  en    satisfaisant  une  série  de  contraintes  de  divers  types.  Différentes  variantes  de  ce  problème  ont  été  proposées  dans  la  littérature  ;  elles  diffèrent  les  unes  des  autres  en  fonction  du  type  d'institution  concernée  (lycée,  faculté,  université  …).  Dans  cet  étude  de  cas,  nous  allons  proposer  les  différentes  classes  de  contraintes  qui  peuvent  être  prise   en   considération   telles   que   la   gestion   des   salles,   les   matières,   les   enseignants…   Ces  contraintes  sont  divisées  en  trois  catégories,  fortes,  moyennes  et  légères.  1. Contraintes  fortes  :    Contraintes   fortes  (hard   constraints),   c’est   la   catégorie   de   contraintes   qu’il   faut   absolument  satisfaire   pour   n’importe   quelle   solution   donnée   et   pour   n’importe   quel   établissement   scolaire,  car   physiquement,   ces   contraintes   ne   peuvent   pas   être   violées.   Nous   pouvons   résumer   ces  contraintes  ainsi  :  

-­‐ Un  enseignant  ne  doit  pas  enseigner  plus  qu’un  cours  à  la  fois.  -­‐ Un  étudiant  ne  doit  pas  avoir  plus  qu’un  cours  à  la  fois.  -­‐ Un  enseignant  peut  exister  dans  une  salle  au  plus.  

On  dit  qu’il  y  a  un  conflit,  lorsque  l’une  de  ces  contraintes  fortes  est  violée.    

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Chapitre. 1 : Programmation mathématique et modélisation     21

2. Contraintes  moyennes  :  Contraintes  moyennes   (medium   contraints),   est   une   catégorie   de   contraintes   qui   peuvent   être  considérées,  comme  contraintes  fortes,  pour  certains  établissements  ou  légères  pour  d’autres.  Cette  catégorie  inclue  les  contraintes  suivantes  :  

-­‐ Le  type  de  salles  (spécifique  ou  normale).  -­‐ La  capacité  des  salles.  -­‐ La  validité  des  salles.  -­‐ La  validité  des  enseignants.  

3. Contraintes  légères  :  En  plus  de  la  satisfaction  des  contraintes  fortes  et  moyennes,  il  y  a  d’autres  contraintes  appelées  contraintes  légères  (soft  constraints)  qui   influencent  sur   la  qualité  des  solutions  obtenues.  Parmi  ces  contraintes  nous  citons  :  

-­‐ Problème  de  regroupement  des  étudiants.  -­‐ Problème  de  minimisation  de  séances  isolées.  -­‐ Problème  de  minimisation  des  repos  isolés.  -­‐ Problème  de  choix  de  la  durée  d’une  séance.  -­‐ Problème  de  maximisation  du  nombre  de  jour/demi-­‐jour  de  repos.  -­‐ Problème  de  préférence  des  enseignants  (chaque  professeur  préfère  enseigner  dans  certains  temps).  

-­‐ Problème   de   minimisation   de   distances   entres   chaque   paire   de   salles   dans   lesquelles   se  déroulent  deux  cours  qui  se  suivent  et  qui  sont,  soit  assurées  par  un  même  professeur,  soit  suivies  par  deux  classes  ayant  des  étudiants  en  commun.  

-­‐ Problème  de  minimisation  de  séances  de  cours  magistraux  durant   les  après-­‐midi  (pour  des  raisons  pédagogiques).    

-­‐ Problème  de  minimisation  de  cumul  de  cours  magistraux  pour  une  même  classe  pendant  la  même  journée.  

-­‐ Problème  de  choix  d’ordre  de  séances  de  cours  (ex  :  cours  magistrale  avant  TD  ou  TP,  cours  avant  sport…).  

1) Donner   le   modèle   mathématique   en   prenant   en   considération   les   contraintes   fortes   et  moyennes  

2) Introduire  cinq  contraintes  légères  de  votre  choix  dans  le  modèle  obtenu  en  1).  

Etude  de  cas  n°3  :  Optimisation  de  la  distribution  du  GPL  en  vrac  

Considérons   le   problème   de   distribution   du   Gaz   Pétrolier   Liquéfié   (GPL),   sur   un   ensemble   de  clients   répartis   sur   un   territoire,   en   utilisant   une   flotte   hétérogène   de   camions   citernes   non  compartimentées  équipés  de  compteur  de  volume  qui  permettront  de  mesurer  la  quantité  de  gaz  livrée  à  chaque  client.  Parmi   les  clients,  nous   trouvons  des  usines,  des  hôpitaux,  des  hôtels,  des  clubs,  des  maisons,  …etc.  La  distribution  se  fait  chaque  jour  pour  servir  les  clients  ayant  effectué  une  commande  la  veille.  La  flotte  est  composée  d’un  nombre  limité  de  véhicules  mais  largement  suffisant  pour  satisfaire  toutes  les  commandes.    Un   ou   plusieurs   produits   (Butane,   Propane   ou  mélange)   sont   à   distribuer,  mais   vu   que   chaque  camion  ne  peut  transporter  qu’un  seul  produit,  on  peut  traiter  le  problème  pour  chaque  produit  indépendamment   des   autres.   Généralement   toute   la   quantité   commandée   est   disponible,   au  

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moment   de   la   planification   du   transport,   dans   des   lieux   d’enlèvement   (L.E)   qui   servent   à  l’approvisionnement  des  camions.    Contrairement  aux  cas  classiques  où  le  chargement  se  fait  au  dépôt,  notre  problème  se  caractérise  par  l’existence  d’un  dépôt  coucheur  qui  sert  pour  un  point  de  départ  et  d’arrivée  des  camions.    

On  suppose  que  les  quantités  demandées  par  les  clients  sont  statiques  dans  le  sens  où  elles  sont  connues  avant  la  construction  des  tournées,  et  que  les  camions  ne  font  pas  de  longues  tournées  qui  peuvent  dépasser  le  nombre  d’heures  de  travail  maximal.  

Le  problème  est  soumis  à  un  certain  nombre  de  contraintes  liés  au  métier  de  distribution  du  Gaz:    

i. Toute  la  quantité  demandée  par  un  client  doit  être  livrée  en  une  seule  visite,    

ii. Chaque  camion  doit  partir  plein  du  L.E  et  revenir  vide  au  dépôt  ou  à  un  L.E,    

iii. Certains  clients  n’ont  pas  d’accès  pour  les  camions  grands  porteurs,    

iv. Les  conditions  de  travail  des  chauffeurs  doivent  être  respectées,    

v. Le  voyage  d’un  camion  commence  et  se  termine  au  dépôt.    

 

L’objectif  est  de  :  

i. minimiser  la  distance  totale  parcourue,  

ii. minimiser  le  nombre  de  camions  utilisés,    

 

(1) On   suppose   qu’on   a   un   seul   lieu   d’enlèvement.   Donner,   pour   chacun   des   cas   suivants,   le  modèle  mathématique  de  ce  problème  :  

1er  cas  :  le  dépôt  coucheur  est  confondu  avec  le  lieu  d’enlèvement.  

2ème  cas  :  le  dépôt  coucheur  est  séparé  des  lieux  d’enlèvement.  

(2) Généraliser   le   modèle   lorsqu’on   un   seul   dépôt   et   plusieurs   lieux   d’enlèvement