www.nr.no

Modellering av avhengighet

www.nr.no

Anvendelser

► I mange anvendelser av finans og forsikring er en interessert er det viktig å kunne måle avhengighet mellom ulike stokastiske variable, f.eks:▪ For å bestemme risikoen til en finansportefølje

▪ For å bestemme totalt framtidig skadebeløp aggregert opp over mange forretningsområder.

▪ For å bestemme den totale risikoen til en bank eller et forsikringsselskap.

► Veldig ofte er en også interessert i de mest ekstreme hendelsene som kan inntreffe.

www.nr.no

Endringer i ulike aksjemarkeder

MSCI

OS

EB

X

-0.20 -0.15 -0.10 -0.05 0.0 0.05 0.10

-0.3

-0.2

-0.1

0.0

0.1

Månedlige data for MSCI og OSEBX for perioden feb 1983 – november 2008

Jan 2008

Sep 2008

Okt 2008

www.nr.no

Ulike risikotyper for bank

Kredittap

Vita

l-ta

p

0 20000 40000 60000 80000

05

00

01

00

00

15

00

02

00

00

Risikotype 1

Ris

ikoty

pe 2

www.nr.no

Endringer i ulike oljepriser

Brent

HS

FO

-0.15 -0.10 -0.05 0.0 0.05 0.10

-0.1

0-0

.05

0.0

0.0

5

www.nr.no

Værskader i Frankrike 1990-2000

www.nr.no

Korrelasjonsmatrise

► Vanligvis knytter en sammen ulike variable med en korrelasjonsmatrise.

► Dette kan ha noen uheldige konsekvenser, spesielt hvis man er interessert i ekstreme hendelser.

► Vi skal komme tilbake til dette, men først skal vi se nærmere på hva den korrelasjonen man vanligvis beregner egentlig måler…

www.nr.no

Korrelasjon

► Korrelasjon måler lineær samvariasjon mellom par av variable.

► Korrelasjonen varierer mellom -1 og 1.

► En positiv korrelasjon betyr at variablene varierer i takt.

► En negativ korrelasjon betyr at de varierer i utakt.

► Hvis korrelasjonen er –1 eller 1 er en av variablene en lineær funksjon av den andre.

www.nr.no

Eksempler

I alle disse figurene er korrelasjonen 0.7. Ser figurene like ut?

www.nr.no

Copula

► Det er ikke nok å kjenne marginalfordelingene til hver variabel og korrelasjonsmatrisen.

► Man må også kjenne den såkalte avhengighets-strukturen.

► Avhengighetsstrukturen kalles på fagspråket en copula.

Store Norske Leksikon:

Copula betyr bånd, forbindelse, brukes i grammatikken om former av verbet å være som forbinder subjekt og predikatsord eller ledd.

www.nr.no

IAA (2004)

Hentet fra Executive Summary, s. 6

www.nr.no

Basel (2010)

www.nr.no

Har fått skylden for finanskrisen

www.nr.no

00

.51

1.5

22

.53

Z

får vi…

Dette er en “ukjent”, men lovlig multivariat fordeling definert ved hhv. en beta- og en lognormal marginalfordeling og Gaussisk copula.

Verdi

Te

tth

et

0 5000 10000 15000

0.0

0.0

00

10

.00

020

.00

030

.00

040

.00

050

.00

06 Kreditt

Verdi

Te

tth

et

0 2000 4000 6000 8000

0.0

0.0

00

20.0

00

40.0

00

60.0

00

80.0

01

00.0

01

20.0

01

4 Operasjonell

og multipliserer med produktet av disse to marginalfordelingene

beta-fordeling lognormal fordeling

Copula + marginalfordelinger

Hvis vi tar denne copulaen….

01

23

45

Z

www.nr.no

Fleksibilitet

► Ved å variere marginalfordelingene og copulaen kan man få veldig mange ulike multivariate fordelinger.

► Det betyr at man har en mye større fleksibilitet enn det man har ved bruk av velkjente multivariate fordelinger.

► Man kan definere marginalene og copulaen uavhengig av hverandre og allikevel være sikret å få en ekte fordeling.

www.nr.no

Alle problemer løst?

► Betyr dette at alle problemer er løst, og at det ikke er noe mer å forske på?

► Nei….

► I to dimensjoner finnes det mange ulike copulaer å velge mellom.

► I flere dimensjoner er imidlertid utvalget sterkt begrenset.

www.nr.no

Par-copula konstruksjoner

► Vi har i SFIen forsøkt å løse dette problemet ved å introdusere en ny type av multivariate copulaer som vi kaller par-copula-konstruksjoner.

► Ideen er å splitte opp en multivariat copula i et produkt av bivariate copulas.

www.nr.no

Par-copula-konstruksjon (PCC)

En 7-dim. PCC består av -6 nivåer -21 bivariate copulaer.

Hver linje i figuren korresponderer med en bivariat copula.

www.nr.no

Eksempel I: Markedspriser

EUR3M

USD3M

NIBOR3M

Pengem.

Gov. bonds.

NIBOR5Y

HTM

Hedgefond

Int. stocks

No. stocks

FINX

Real estate

GBPEURYEN

USD

Int. bonds

USD5Y

EUR5Y

Øverste tre i PCCen tilpasset til variablene som definerer DnB NORs markedsrisiko.

www.nr.no

Eksempel II: Nedbørsdata

Daglige data fra 01.01.90 til 31.12.06 (2065 observ.)

www.nr.no

Datasett

V

S

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

S

N

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

N

H

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

F(V|S)

F(N

|S)

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

F(S|N)

F(H

|N)

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

F(V|SN)

F(H

|SN

)

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

CVS CSN CNH

CVN|S CSH|N CVH|SN

Nivå I

Nivå IIINivå II

Mesteparten av avhengigheten i dataene er blitt modellert på nivå I.

Det betyr at PCCen kan forenkles fra å være et produkt av 6 copulaer til kun å være et produkt av 3 stykker.

www.nr.no

J. Financial Econometrics, 2009

The potential of PCCs have been emphasized here:

….we may want to model sub-sets of risk factors according to differentdependency structures .. An ideal framework foraccomplishing this is the pair-copula formulation.