Modellierenam Beispiel des

‚Dosenproblems‘

Situation MathematischesModell

Lösung im ModellLösungIn der

Realität

Von der Situation zum

mathematischen Modell zur

Lösung

Brainstorming:Was muss bei der Wahl der Verpackung beachtet werden?

• Herstellungsart• Form der Dose (rund, eckig,...)

Materialverbrauch Stapeln Herstellungsprozess

Ästhetik

Gestaltung des Etiketts

• Handhabbarkeit (Öffnen, Kinder,...)• Lagerungsdichte (Transport nach Taiwan)• Dicke und Art des Materials

Ziel der Modellierung an der Dose

• Herstellungskosten möglichst gering, bzw. Gewinn möglichst hoch ansiedeln

• Möglichst kleiner Materialverbrauch bei großem Inhalt

Optimale Maße einer Konservendose herausfinden! optimales Verhältnis zwischen Radius r und Höhe h

Rechnung:V=π • r² • h O= 2 • r² • π + 2 • π • r • hh = V / r² • π = 0,84 / r² • πO= 2 • r² • π + 2 π • r • 0,84 / r² • πO= 2 • r² • π + 1,68 / rf(r)=2 • r² • π + 1,68 / rf‘(r)=4 • r • π - 1,68 / r² |geringste Oberfläche wenn f‘(r)=O

O= 4 • r • π – 1,68 / r² ________1,68 / r² = 4 • r • π => r=³ 1,68 / 4π 0,511328h= 0,84 / 0,511² • π 1,02 Verhältnis: h = 2 • r

Allgemeine Rechnung:V= r² • π • h => h= V / r² • πO= 2 • r² • π + 2 • π • r • h O= 2 • r² • π + 2 • π • r • V / r²•π = 2 • r² • π + 2 V / rf(r)= 2 • r² • π + 2 • V / rf‘(r)= 4 • r • π -2•V / r² |f‘(r)=OO= 4 • r • π – 2 • V / r²2 • V / r² = 4 • r • πV= 4•r³•π / 2 =2•r³•πh= V / r² • π = 2•r³•π /r²•π h=2r

Ergebnis

Optimale Dose – Quadratisches ProfilFALSCHEchte Dose hat Überlappungen am

VerschlussÜberlappungsmaße am Original abnehmen

Überlappungsmaße

• r2=r+0,7• h2=h+0,6

Rechnung an der 840ml-Dose

O= 2 • π • r2² + 2 • π • r • h2

O=2 • π • ( r + 0,7 )² + 2 • π • r • (h + 0,6)O=2•π•(r²+1,4•r+0,49)+2•π•r•(V/π•r²+0,6)=2•π•r²+2•π•1,4•r+2•π•V/π•r+2•π•r•0,6=2 • π • r² + 4 • π • r + 0,89 • π + 2 • V / r