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1. Introdução
O setor da saúde no Brasil, em especial a saúde pública, é um sistema idealizado de forma a
atender as necessidades da população, tal como o Sistema Único de Saúde (SUS), inspirado
na estratégia organizacional de atenção primária a saúde (APS). Segundo Macinko (1998);
Starfield (2002) apud Giovanella (2009), a APS atrelada a uma boa organização “contribui
melhora da atenção com impactos positivos na sa de da população e efici ncia do sistema”.
Entretanto, o observado com os crescentes problemas urbanos, a falta de controle sobre os
vetores de doenças tropicais, ausência de saneamento básico adequado entre outros, é a
demanda pelo serviço em um ritmo de crescimento que os agentes dessa área não conseguem
acompanhar. A geração de filas nesses sistemas tornou-se um problema que tem ganhado
evidência e exigências de melhoria no atendimento das mesmas.
A formação de filas ocorre por que a demanda pelo serviço é maior do que a capacidade do
sistema em atendê-la (ARENALES, 2007). Porém, há casos em que o aumento da capacidade
de atendimento não é viável para um estabelecimento, devido à inviabilidade econômica e
limitação de espaço.
Como resultado, aqueles cujo poder aquisitivo permite a contração de um seguro saúde
migam para o serviço privado enquanto que os demais permanecem sob a espera da prestação
do serviço público gratuito. Dessa migração, surge a preocupação do dimensionamento de um
sistema que possa acomodar seus usuários que investem parte de sua renda para a garantia de
um atendimento eficiente e diferenciado.
Vale ressaltar que as filas estão presentes em diversos locais, vistas como sinônimos de
atrasos e congestionamentos. Todavia, há casos em que uma fila poderá se tornar um
elemento fundamental para venda de um bem ou serviço, podendo ser responsável por perdas
ou ganhos de capital para uma entidade. De forma a medir e avaliar os sistemas de
atendimento é aplicada a Teoria das Filas, proposta por Agner Erlang pela primeira vez
enquanto este trabalhava na Companhia Telefônica de Copenhague resolvendo problemas de
tráfego na telefonia.
Existem duas maneiras de tratar problemas de filas; a primeira é baseada na construção de
modelos analíticos para a verificação comportamento do sistema, tal como o presente artigo.
2
Já a segunda utiliza de técnicas da simulação, onde são formulados modelos computacionais
para representar o sistema a ser implantado ou a ser corrigido.
O desenvolvimento deste artigo faz referência a um estudo da formação de filas na recepção
de um hospital localizado na cidade de Belém-PA, a fim de solucionar o problema da
formação de filas. Para isso, primeiramente, fez-se a analise da coleta dos dados para
estabelecer o melhor modelo para ser utilizado na elaboração de um melhor rendimento no
setor de atendimento do hospital, e desta forma evitar constrangimento e aborrecimentos
daqueles que desejam atendimento.
2. Teoria das Filas
Segundo Melo (2014), a Teoria das Filas “se baseia no comportamento de um conjunto de
elementos que aguarda, por um tempo variável ou não, por um serviço ou ação de benefício”
e um sistema de filas “é composto de elementos que querem ser atendidos em um posto de
serviço e que, eventualmente, devem esperar até que o posto esteja disponível” (ANDRADE,
2000).
Muitos são os fatores que influenciam o sistema de atendimento e, consequentemente, a
formação e funcionamento das filas. De acordo com Andrade (2000) estes elementos são
agrupados em quatro categorias a fim de melhor estudá-los, sendo elas: forma de atendimento,
modo de chegada, disciplina da fila e estrutura do sistema.
2.1. Processo de chegada
A quantidade de clientes entrando no sistema em um determinado intervalo de tempo pode
ocorrer de forma aleatória – com os intervalos de chegadas ocorrendo de forma variável – ou
pode ser determinístico – ocorrem em intervalos de tempo exatamente iguais.
Neste estudo, trataremos de um sistema que obedece a Distribuição de Poisson por satisfazer
as duas condições do modelo: a aleatoriedade das ocorrências e a interdependência entre elas.
Logo, a probabilidade de chegadas simultâneas é praticamente zero, o número médio de
ocorrências por unidade de tempo é distribuída uniformemente sobre o intervalo considerado.
Poisson é dada por:
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onde a variável aleatória x é o número de ocorrências do evento em um intervalo, µ é a média
dos números de ocorrências por intervalo de tempo ou espaço (parâmetro de Poisson) e P(x) é
a probabilidade de x ocorrências em um intervalo de tempo.
2.2. Processo de atendimento
Representa a recepção do cliente/dado após a espera na fila feita pelo servidor para que o
serviço seja prestado. Assim como a chegada, ele pode ser determinístico ou aleatório. Este
processo depende da disponibilidade variando de acordo com o seu intervalo de tempo,
podendo ocorrer sistemas onde o canal está sempre disponível. (LEITE, 2011; MELO, 2014).
Paralelamente ao processo de chegada comportando-se como a distribuição de Poisson, o
atendimento atende a Distribuição Exponencial Negativa, onde “o n mero de ocorr ncias de
um determinado evento e explicado pela distribuição de Poisson com média λ, o intervalo
entre duas ocorr ncias segue a distribuição exponencial negativa com média 1/λ.”
(ANDRADE, 2000). A média λ é calculada por:
e a Distribuição Exponencial é dada por:
“onde μ é o inverso do ritmo de atendimento e x uma variável aleatória contínua, podendo
assumir diversos valores dentro de uma escala contínua.” (MELO, 2014).
2.3. Disciplina da fila
Trata-se da regra que define qual o próximo a ser atendido a partir da chegada. A sequência
chegada-atendimento pode ser do tipo (a) FIFO, onde o atendimento ocorre na mesma ordem
de chegada – disciplina mais utilizada em bancos, consultórios, lotéricas, restaurantes, etc; (b)
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LIFO, onde o atendimento ocorre na ordem inversa de chegada, tendo sua aplicação evidente
em sistemas de controle de estoque; (c) SIRO, quando o atendimento é feito randomicamente,
como um sorteio e (d) SPT, onde ocorre a priorização dos elementos com menor tempo de
atendimento (mais rápidos no sistema), aplicado em restaurantes no momento de preparação
de um prato.
2.4. Estrutura do Sistema
De acordo com Chase (2004), nas estruturas das filas o fluxo dos itens a serem servidos pode
seguir uma fila única, filas múltiplas ou uma mistura das duas. A escolha do formato depende
parcialmente do volume de clientes atendidos e parcialmente das restrições impostas pela
sequência que define a ordem pela qual o serviço deve ser realizado. Vale ressaltar que
geralmente assumido que os mecanismos de canais paralelos operam independentemente um
do outro.
2.5. Teste de hipótese Qui-Quadrado (2)
Este teste mede a eficiência do ajuste da distribuição, ou seja, quando a frequência observada
está próxima da frequ ncia esperada, daí o nome de ader ncia. “Os testes de ader ncia são
utilizados para avaliar afirmações feitas sobre a distribuição de valores numa população”
(STEVENSON, 1981).
Após ser realizada a distribuição de Poisson, se faz necessário conferir se o processo segue o
modelo de distribuição calculado. O teste é recomendo para 30 ou mais amostras de modo que
seja possível comparar se a frequência observada na amostra está próxima da frequência
esperada para a distribuição escolhida. Primeiramente é feito a formulação das hipóteses nula
(H0) e alternativa (H1), onde:
Em H0, as frequências observadas não diferem das esperadas em relação à
distribuição normal, ou seja, a característica em estudo da população tem distribuição
de Poisson.
Em H1, as frequências observadas diferem das esperadas em relação à distribuição
normal, ou seja, a característica em estudo da população não tem distribuição de
Poisson.
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Para obter um valor da tabela Qui-Quadrado para fins de comparação, deve-se determinar o
grau de liberdade. Conforme Stevenson (1981) “o n mero de grau de liberdade para um teste
de aderência é igual ao número k de categorias menos o número de vínculos nos dados
amostrais”.
2.6. Parâmetros e medidas de desempenho do sistema
Todo sistema possui um grau de operação e de eficiência e, para isso, se faz necessário pontos
de referência ou parâmetros do sistema. A partir da definição destes, é possível medir o
desempenho do sistema considerando a chegada, tempo de espera e o de atendimento.
Os parâmetros envolvem a taxa de utilização do sistema, a razão entre a taxa de entrada e a de
atendimento e as probabilidades de não haver usuários/elementos no sistema ou de haver n
usuários/elementos no mesmo, pontuando as probabilidades que norteiam a ocupação do
sistema. Já as medidas indicam mais diretamente o número de elementos no sistema e na fila,
além do tempo provável de espera pelo produto ou serviço. O Quadro 1 mostra os parâmetros
(1a, 2
a, 3
a e 4
a fórmulas) e medidas (as demais).
Quadro 1 – Principais indicadores e medidas de desempenho
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Fonte: Adaptado de Hillier e Lieberman (2010)
As medidas de desempenho ainda podem ser calculadas mais simplificadamente pelas
relações descritas na Tabela 1.
Tabela 1 - medidas complementares
Descrição Equação
Número médio de clientes no sistema (NS)
Número médio de clientes na fila (NF)
Fator de utilização do servidor (); c=1
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Probabilidade de existirem n clientes no
sistema (Pn)
Tempo de atendimento (TA)
Fonte: Adaptado de Hillier e Lieberman (2010)
Vale relembrar que sistemas estáveis são caracterizados por λ < µ, ou seja, ρ < 1. Quanto mais
o valor de “ρ” se aproxima de 1 a fila tende a aumentar infinitamente. Observa-se pela
expressão na sexta fórmula que, se λ = µ, ou seja, ρ = 1, o tamanho da fila é infinito.
3. Metodologia do estudo
Em um estudo realizado na recepção da ala de consultas de um hospital localizado em uma
das principais avenidas de Belém, observou-se uma considerável formação de filas. Nesse
setor, assim que os clientes entram, são informados por um aviso na parede que devem emitir
uma senha por uma máquina localizada próxima à porta e assim aguardar a vez para serem
atendidos pela recepcionista.
A espera na recepção do hospital pode ser descrita como sistema de fila única com disciplina
FIFO e um canal de processamento, no qual a atendente desempenha a função de
preenchimento de dados do paciente, pedido de autorização de realização de algum
procedimento para o convênio médico entre outras atribuições.
A coleta de dados é feita através da observação e cronometragem dos tempos de chegada e de
atendimento no balcão da recepção e posteriormente planilhados sendo agrupados em
intervalos para a análise da aderência e escolha do melhor modelo de distribuição. A fim de
observar a variabilidade desses dados em dias diferentes, a coleta de dados foi feita de
segunda à sexta-feira durante uma semana, no mesmo horário (de 13h às 15h), quando
observava-se um aumento do número de usuários entrando no sistema.
Concluída essa etapa, foi realizado o teste de aderência do Qui-Quadrado a fim de validar os
modelos. Após o cálculo do 2 para cada classe foi feita a soma, o que resultou no
2
calculado do modelo. Se este valor for menor que o valor tabelado torna-se possível aceitar o
modelo de Poisson para descrever o número de chegadas de pacientes. Foram testadas as
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hipóteses de distribuição de Poisson para o número de chegadas e Exponencial Negativa para
o tempo de atendimento. Finalizado o estudo do procedimento de chegadas é possível realizar
a análise do processo de atendimento.
4. Estudo de caso
4.1. Chegadas
Conforme a Tabela 2, é possível observar o número de clientes que chegavam em cada
cronometragem de um minuto e as frequências com que o respectivo número de chegadas
ocorre.
Tabela 2 - Frequência de chegada dos pacientes
Número de Chegadas Frequência Observada
(Oi)
0 5
1 13
2 8
3 4
λ 1,367
Total 30
Fonte: Autores (2013)
Realizando-se o tratamento dos dados, é possível construir o histograma de chegadas (Figura
1) cujo eixo das abcissas representa o número de chegadas por minuto e o eixo das ordenadas
traz as frequências com que cada número de chegadas ocorre, ou seja, em quantas
cronometragens de um minuto chega determinado número de pessoas ao sistema.
Figura 1 - Frequência do número de chegadas
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Fonte: Autores (2013)
Observando-se a configuração dos dados, é possível verificar que há uma semelhança com a
distribuição de probabilidades de Poisson. A Tabela 3 possui o número de chegadas, a
frequência observada, a frequência calculada conforme o modelo de Poisson além do teste do
“Qui-Quadrado”.
Tabela 3 - Cálculos de frequência e 2
Número de Chegadas Frequência
Observada(Oi)
Frequência
Calculada(Ei)
(Oi-Ei)/Ei
0 5 7,65 0,92
1 13 10,45 0,62
2 8 7,14 0,10
3 4 3,25 0,17
Total 30 28 1,81
Fonte: Autores (2013)
A frequência calculada resultou em P(x=0) ~ 0,2549 e o teste do Qui-Quadrado em 1,3. Neste
caso optou-se por adotar como erro 5. Ademais, sabe-se que nesta situação, há 2 graus de
liberdade, da mesma forma que o cálculo da frequência, aqui também será realizado apenas
para um evento sendo, portanto repetido para os demais, tal como:
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sendo assim possível validar o modelo de Poisson.
4.2. Atendimentos
O tempo de atendimento foi agrupado em classes com intervalo de dois minutos para cada
uma conforme a Tabela 4. De modo a visualizar mais facilmente o processo de atendimento,
gerou-se um histograma (Figura 2) o qual contém a relação entre o intervalo de tempo de
atendimento com as respectivas frequências que agruparam as cronometragens observadas no
hospital.
Tabela 4 - Frequências de tempos de atendimento
Intervalo do tempo de
atendimento
Frequência observada
(FO)
0-2 13
2-4 13
4-6 5
6-8 3
8-10 1
10-12 1
12-14 0
14 - 16 1
16 - 18 1
18 - 20 1
Soma 39
Fonte: Autores (2013)
Figura 2 - Tempo de atendimento
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Fonte: Autores (2013)
Conforme a visualização do gráfico, é possível perceber que ele se assemelha a uma
distribuição exponencial negativa. A fim de validar ou recusar este modelo como padrão para
o sistema é necessário realizar o teste do 2. Assim como já fora feito anteriormente, deve-se
calcular as frequências teóricas com base na exponencial negativa e observar se assim se o
modelo é ou não adequado para o sistema através do 2.
A frequência calculada através da exponencial negativa está exemplificada na equação
5abaixo apenas para o intervalo de 0 a 2 minutos de atendimento. Abaixo, são dispostos todos
os valores calculados de frequência (FC).
A seguir, para validar o modelo, deve-se testar a hipótese de que o modelo segue uma
distribuição exponencial negativa. Assim como nos casos anteriores, usa-se aqui o teste do
Qui-Quadrado calculado da mesma forma que no número de chegadas. A Tabela 5 dispõe o
teste do para o tempo de atendimento.
Tabela 5 – Teste 2 para tempo de atendimento
Intervalo do tempo de
atendimento
Frequência observada
(FO)
Frequência calculada
(FC)
2
0-2 13 14,42 0,14
2-4 13 9,09 1,68
4-6 5 5,73 0,09
12
6-8 3 3,61 0,10
8-10 1 2,28 0,72
10-12 1 1,43 0,13
12-14 0 0,90 0,90
14 - 16 1 0,57 0,33
16 - 18 1 0,36 1,14
18 - 20 1 0,23 2,64
Soma 39 39 7,88
Fonte: Autores (2013)
Considerando-se que a situação do atendimento possui 7 graus de liberdade e adotando-se um
erro de 5%, obtém – se o valor de 14,07 aproximadamente para o . Sabendo-se que o
calculado foi de 7,9 aproximadamente então conclui-se que por ele ser menor que o tabelado
então aceita-se a hipótese de que o processo de atendimento pode ser descrito pela
exponencial negativa.
4.3. Cálculo de parâmetros e medidas de desempenho
Após a coleta dos dados foi possível calcular o tempo médio de atendimento (TA), em
minutos por cliente, de cada paciente através da média ponderada.
Delimitados o tempo médio de atendimento de clientes (TA) bem como o número médio de
clientes no sistema por minuto (NS), deve-se encontrar relevantes parâmetros para o sistema
de filas relativos à quantidade de clientes. De posse da TA, é possível encontrar o parâmetro μ
(média da quantidade de clientes atendidos por minuto) e por conseguinte a taxa de ocupação
do sistema (ρ) (ver Tabela 6).
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Tabela 6 – Parâmetros calculados
Descrição Valor Unidade
Ritmo de chegada (λ) 1,37 pessoas/minuto
Taxa média de atendimento (μ) 0,23 minutos/pessoa
Número médio de clientes no sistema (NS) -1,20 pessoas
Número médio de clientes na fila (NF) -7,15 pessoas
Fator de utilização do servidor (p); c=1 5,94 %
Probabilidade de existirem n clientes no
sistema (Pn)
-9,48 -
Tempo de atendimento (TA) -4,35 minutos
Fonte: Autores (2013)
Nota-se que a taxa de utilização do sistema está extremamente acima de um, demonstrando
assim, que o sistema está instável, ou seja, a fila tende o infinito. Diante do valor da taxa de
utilização percebe-se que o número de pessoas que entram no sistema é cinco vezes maior que
o número de pessoas que são atendidas por ele.
4.3. Melhoramento do sistema
Diante da grande ineficiência da recepção, percebe-se a necessidade de aumentar o número de
servidores do sistema. Considerando-se que todos os novos atendentes teriam o mesmo ritmo
de atendimento de clientes e que esses últimos continuariam com o mesmo ritmo de chegada
ao sistema, montou-se a tabela 6para demonstrar como ficaria o sistema com vários
servidores.
Tabela 7 - Situação do sistema variando o número de canais
Número de
servidores
Taxa de utilização Status do sistema
1 5,92 Sistema instável
2 2,96 Sistema instável
3 1,97 Sistema instável
4 1,48 Sistema instável
5 1,18 Sistema instável
14
6 0,99 Sistema estável
7 0,85 Sistema estável
Fonte: Autores (2013)
Segundo a tabela 6, é possível observar que apenas a partir de6 servidores o sistema pode
tornar-se adequado e, portanto, capaz de atender os clientes. Contudo, nota-se que o sistema
com seis canais ainda está muito próximo da instabilidade sendo coerente, portanto,
dimensionar o sistema com sete canais de atendimento. Dimensionando o sistema para sete
atendentes, são estabelecidos na tabela 8a nova taxa de utilização do sistema, os parâmetros
relativos ao número médio de clientes na fila, tempo médio de espera na fila, número médio
de clientes no sistema, tempo médio gasto no sistema, probabilidade de estar vazio e de todos
os servidores estarem ocupados.
Tabela 8 -Variáveis do sistema idealizado com 7 servidores
Variável de interesse Valor da variável
Taxa de utilização 0,85
Probabilidade de o sistema estar vazio 0,00
Probabilidade de os canais estarem
completamente ocupados
1,00
Número médio de clientes na fila 3,88
Tempo médio de espera na fila 2,84
Número médio de clientes no sistema 9,82
Tempo médio de gasto no sistema 7,18
Fonte: Autores (2013)
5. Conclusão
A Tabela 8 demonstra que o sistema dimensionado com 7 atendentes apresenta-se estável e
portanto mais agradável ao cliente. Além de melhorar a satisfação do cliente também
corrobora para melhorar o ambiente laboral da atendente a qual está com um excesso de
trabalho na recepção do hospital.
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Aumentando-se o número de atendentes, nota-se que o tempo de espera dos clientes na fila
passa de duas horas e trinta minutos, como foi observado na recepção do hospital, para
aproximadamente três minutos. Ademais, o sistema passa a ter apenas dez clientes em média
e, a cada um desses clientes, é gasto um tempo total de sete minutos no sistema, ou seja, entre
a espera na fila e o atendimento por um dos sete canais.
A partir da coleta dos dados, da metodologia estudada e da conclusão das hipóteses abordadas
no desenvolvimento deste artigo, observou-se a incapacidade do sistema, até então utilizado.
Definiu-se um novo modelo de sistema, porém este atenderia as características detectadas no
mesmo, além de reduzir as reclamações do cliente. O novo modelo deverá conter um aumento
do número de atendentes, como estabelecido na metodologia, logo haveria necessidade de
reorganizar o layout.
REFERÊNCIAS
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30., 2010. Anais... São Carlos: ABEPRO, 2010.
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