Modelo de Gerenciamento de Risco Cambial para

Dívida Pública

2

1 - INTRODUÇÃO

Recentemente, algumas crises econômicas ocorridas com as chamadas

economias emergentes, como a Crise Argentina e a Russa, realçaram a

importância de um programa de administração do passivo do setor público. No

contexto de uma economia globalizada, onde ocorrem intensos fluxos de

capitais, guiados muitas vezes por expectativas de desempenho econômico

futuro, uma eficiente administração do passivo pode ser um importante

elemento de sinalização para o mercado. Dessa forma, a administração do

passivo do setor público vem tendo ampliados sua importância e seu

reconhecimento.

Outro tema que vem recebendo uma quantidade cada vez maior de atenção ao

longo dos últimos anos é o do gerenciamento do risco. Existe uma percepção

generalizada de que, em virtude de uma crescente integração entre os

mercados, as unidades econômicas estão atualmente expostas a um risco

financeiro maior do que há algumas décadas. O crescimento do mercado de

derivativos pode ser visto como uma conseqüência da busca por maior

proteção contra riscos, embora as operações com esses ativos possam ser

também causa do aumento do risco potencial ao qual estão expostas as

unidades econômicas.

O presente trabalho aborda ambos os temas. Procura-se desenvolver um

modelo de administração de passivos do setor público, calcado no

3

gerenciamento do risco. Especificamente estaremos abordando a questão do

risco cambial.

É interessante notar que, embora a administração de ativos seja uma das

áreas da ciência das finanças que mais se desenvolveram nos últimos 15 ou

20 anos, a administração de passivos não obteve, nesse período, o mesmo

grau de atenção e desenvolvimento. A literatura sobre administração de

passivo é comparativamente mais escassa.

Existe um razoável volume de textos sobre administração de passivos que são

aplicáveis à realidade das empresas. Tais trabalhos discutem a estrutura ótima

de capital da empresa em função de seus ativos, receitas, etc. Nesta literatura

é possível obter-se importante conceitos, mas os modelos são claramente

inadequados à realidade de um país.

Existe também uma literatura aplicada à administração do passivo do setor

público que estuda o papel do endividamento, interno e externo, no

desenvolvimento econômico. Esta literatura, de enfoque macroeconômico,

analisa a dinâmica do endividamento e sua relação com crescimento do

produto, exportações, reservas internacionais, etc. Geralmente as análises

concentram-se na questão da dívida externa, ou seja, estuda-se como se

aproveitar a poupança externa e, ao mesmo tempo evitar uma crise cambial.

Existe uma boa quantidade de artigos analisando as crises de endividamento

ocorridas na América Latina, Europa Oriental e Ásia. Nessa abordagem, dívida

4

externa é definida como qualquer dívida de um residente junto a um não-

residente.

Este artigo apresenta uma abordagem alternativa. Entende-se que a

administração do balanço de pagamentos é função do Banco Central através

de seu Departamento de Administração das Reservas Internacionais. Ao

Tesouro cabe a política fiscal. Busca-se então elaborar um modelo onde a

variável relevante seja o fluxo de pagamentos do Tesouro. Mais

especificamente, o modelo aqui proposto está baseado no gerenciamento do

risco associado aos pagamentos decorrentes de compromissos denominados

em moedas estrangeiras, a serem realizados pelo Tesouro Nacional.

Este artigo está dividido em seis seções e três apêndices. A próxima seção

descreve a “filosofia” do modelo, sua fundamentação teórica e a sua estrutura.

A terceira seção explica a forma de implementação do modelo e discutem-se

as diversas alternativas de obtenção dos dados primários. A quarta seção

apresenta os resultados obtidos para uma carteira de 21 títulos denominados

em três moedas: dólar, euro e iene. Obviamente o modelo pode ser facilmente

aplicado a uma carteira com maior número de títulos e moedas. A seção cinco

apresenta as conclusões e naturalmente discute possíveis extensões e

aperfeiçoamentos do sistema proposto. Finalmente a sexta seção apresenta as

referências bibliográficas.

O apêndice A resume os principais aspectos da distribuição normal de duas

partes, que é uma importante alternativa para a modelagem dos dados. O

5

apêndice B descreve a distribuição t de Student, decomposição de Choleski e

suas relações matemáticas com as correlações encontradas em diversas

partes da modelagem. Finalmente o apêndice C fornece o enunciado preciso

do Lema de Ito, um resultado tradicional do cálculo estocástico.

6

2 - DESCRIÇÃO DO MODELO

2.1 Conceitos Subjacentes

O modelo aqui proposto visa a medir o risco cambial ao qual está sujeito o

Tesouro Nacional em função da composição da sua dívida denominada em

moedas estrangeiras.

A palavra risco deve ser entendida aqui dentro do seu conceito usual em

finanças, qual seja, de variação ou desvio padrão de resultados esperados. A

expressão risco cambial também possui um significado bastante intuitivo. Uma

unidade econômica incorre em risco cambial quando possui ou possuirá, ativos

ou passivos cujos valores deverão ser convertidos na moeda relevante para a

unidade, a uma taxa de câmbio desconhecida.

O Tesouro Nacional incorre em risco cambial como decorrência da sua dívida

denominada em moedas diferentes do real. Ou seja, geram risco cambial a

dívida contraída no exterior, bem como a emissão de títulos internos indexados

ao valor do dólar (NTN-D).

Uma variação no valor da moeda nacional frente às demais moedas altera o

valor da dívida denominada em moeda estrangeira frente aos valores

expressos em reais como o produto interno, por exemplo. Na literatura esse

tipo de risco é denominado de risco de tradução (translation risk). No caso de

7

um país, a conseqüência prática desse tipo de evento é a alteração dos

índices usualmente adotados para se medir a saúde financeira da economia.

Um outro tipo de risco cambial é aquele usualmente denominado de risco de

transação (transaction risk), que poderíamos denominar, alternativamente, de

risco de fluxo de caixa. Para o passivo do Tesouro Nacional denominado em

moedas estrangeiras, o valor dos pagamentos futuros, sejam de principal ou

de juros, embora geralmente conhecidos na sua moeda original, só terão seus

valores em reais conhecidos na data do efetivo pagamento.

Uma apreciação do real frente às moedas de denominação da dívida reduz os

pagamentos em reais a serem feitos pelo Tesouro. Por outro lado, uma

depreciação da moeda nacional eleva esses pagamentos.

O modelo ora proposto preocupa-se exatamente com esse descasamento: as

receitas fiscais do Tesouro Nacional encontram-se em reais, enquanto que o

valor de alguns pagamentos depende do valor do Real frente às moedas

estrangeiras.

O risco considerado relevante é a volatilidade dos fluxos de caixa em reais.

Desta forma conhecer as probabilidades associadas as taxas cambiais em

diversos momentos no futuro, ou seja conhecer o processo estocástico,

indexado pelo tempo, dos vetores aleatórios das taxas de câmbio das três

moedas listadas acima, torna-se ferramenta fundamental para o planejamento

das captações em moeda estrangeira.

8

Por outro lado, o modelo não considera a variação em reais no valor do

estoque da dívida. O cálculo do valor de um ativo ou passivo pelas condições

vigentes de mercado é denominado de marcação a mercado (mark to market).

Trata-se de um conceito extremamente relevante no caso da administração de

ativos, pois o mark to market fornece o valor de uma carteira caso ela fosse

liquidada nas condições de mercado vigentes. Porém, no caso de

administração do passivo, especialmente soberano, esse conceito é menos

relevante, já que um devedor, diferentemente de um administrador de ativos,

usualmente não têm como liquidar seu portfólio. Por esse motivo, para o

devedor, em termos práticos, o mais importante é conhecer a distribuição dos

valores a serem efetivamente desembolsados.

2.2 Fundamentação Teórica

O modelo supõe que cada taxa de câmbio descreva um processo estocástico

unidimensional conhecido como movimento browniano geométrico. Este

processo estocástico com tempo contínuo é dado por:

. .dS S dt S dzµ σ= + , onde:

S representa o preço do ativo, neste caso a taxa de câmbio;

µ representa o drift;

σ representa a volatilidade;

9

t representa o tempo;

z representa um processo de Wiener, isto é, dz dtε= , onde ε indica uma

distribuição normal padrão. As diversas distribuições normais padrão são

independentes.

Aplicando o lema de Ito ao processo ( , ) ln( )G S t S= tem-se:

( ) ( )2

2ln( ) .dG d S dt dzσµ σ= = − +

Portanto trata-se de um processo de Wiener generalizado, isto é, da forma:

. .dx a dt b dz= + , com ,a b são constantes reais.

Desta forma pode ser provado que:

( ) ( )( ) ( )( )21

0

21 0 1 02ln ~ , .S

S N t t t tσµ σ− − −

Como é tradicional em cálculo estocástico se considera a capitalização

contínua. Logo tem-se ( )1

00,1 ln SSR =

, onde 0,1R representa o retorno obtido entre

os tempos 0t = e 1t = .

Portanto os retornos se distribuem conforme variáveis aleatórias normais, com

médias proporcionais ao intervalo de tempo e desvios padrões proporcionais a

raiz quadrada do tempo. Matematicamente:

10

( ) ( ) ( )( )2 20,1 1 0 1 02~ , .R N t t t tσµ σ− − −

2.3 Estrutura do Modelo

O modelo aqui discutido foi implantado através de um sistema de planilhas

eletrônicas, que produz o referido processo estocástico. A metodologia

empregada está dividida em três partes (ou etapas), o que facilita sua

compreensão, bem como a verificação da consistência interna e de possíveis

erros. Além disso alguns testes de robustez podem ser implementados

separadamente em cada parte do sistema. Este procedimento permite futuros

aperfeiçoamentos nas partes do sistema que se julgar mais conveniente.

2.2.1 Primeira Etapa: Cálculo dos Dados Básicos

Na primeira parte da modelagem obtêm-se os chamados dados básicos que

indicarão a tendência (drift), a volatilidade e as correlações associadas as três

moedas que compõem a dívida externa brasileira. Mais precisamente, as

variáveis de interesse são os retornos associados as variações cambiais das

moedas em questão.

Estes números são extraídos de dados históricos (chamados também de dados

crus), de expectativas das taxas de câmbio dadas pelo mercado ou

diretamente introduzidos no sistema.

11

Os dados básicos serão os parâmetros das simulações estocásticas

(simulações de Monte-Carlo) a serem realizadas na segunda etapa.

Para se achar as correlações entre os retornos associados as três taxas de

câmbio utilizam-se sempre os dados históricos. Por outro lado, pode-se

escolher entre as seguintes quatro alternativas para o cálculo das volatilidades

dos retornos e de seus drifts:

1) Dados históricos supondo distribuições normais dos retornos associados as

variações cambiais. Os estimadores são a média e a variância amostral.

2) Dados históricos supondo distribuições distribuição normal-de-duas-partes

(N2P) dos retornos. (Esta distribuição de probabilidade é assimétrica e

generaliza a normal. Maiores detalhes são dados no apêndice A.) Neste caso

são calculados os estimadores de máxima verossimilhança (EMV).

3) Cenários Macroeconômicos. Neste caso são inicialmente entrevistados

cinco especialistas em taxas de câmbio. Com um nível de confiança

preestabelecido (que é arbitrário, mas usualmente 95% ou 99%), pergunta-se

aos especialistas quais os valores máximos e mínimos que as taxas de câmbio

vão estar um ano a frente, com aquele nível de confiança. Pergunta-se

também quais os valores mais prováveis (moda da distribuição) que as

moedas estarão em um ano.

12

A seguir calculam-se os retornos relativos a estas variações nas taxas de

câmbio com relação ao seu valor atual. Estes retornos (máximo, mínimo e valor

mais provável) são modeladas segundo uma distribuição normal-de-duas-

partes (N2P).

Desta forma se extraem as volatilidades e os drifts associados as três taxas de

câmbio que estão sendo consideradas.

4) Livre entrada dos dados básicos (parâmetros a serem utilizados nas

simulações estocásticas).

2.2.2 Segunda Etapa: Simulações Estocásticas

Esta fase consiste no núcleo do modelo, ou seja, no processo gerador dos

vetores aleatórios de dimensão três que descreverão as probabilidades das

taxas de câmbio atingirem determinado nível.

Com base neste processo estocástico a próxima etapa irá explicitar as

distribuições de probabilidade do valor dos pagamentos da dívida externa,

bem como vai se poder ver as distribuições relativas a um determinado título

ou relativas a um determinado período de tempo.

13

3 - IMPLEMENTAÇÃO DO MODELO

A seguir os procedimentos computacionais envolvidos na implementação do

sistema serão brevemente explicados.

Na primeira etapa da modelagem devem ser extraídos os dados básicos. Esse

conjunto de números é definido pela matriz de correlações (histórica) entre

retornos associados a portfolios comprados nas três moedas, pelos drifts e

pelas volatilidades dos retornos dos referidos portfolios.

Como se sabe, para o cálculo da matriz de correlações entre os retornos

associados a investimentos nas três moedas serão sempre utilizadas as

correlações históricas nos últimos dois anos.

Porém para o cálculo do drift e da volatilidade de cada moeda, vários

procedimentos podem ser utilizados. A seguir eles estão detalhados.

3.1 Dados Históricos (supondo normalidade)

Nesta alternativa, que é a mais usualmente empregada em sistemas deste

tipo, são extraídas as médias e volatilidades históricas dos retornos de acordo

com os estimadores de média amostral e variância amostral. Estes

estimadores são não-viesados (supondo-se que a verdadeira população é

distribuída normalmente) e de máxima verosimilhança, o que são duas

características desejáveis.

14

Pode-se argumentar sobre a forte hipótese que se está introduzindo:

normalidade. Entretanto grande parte da teoria das finanças está construída

com este tipo de hipótese. Além disso muitos testes empíricos já foram

realizados com bons resultados.

3.2 Dados Históricos (estimativa de máxima verossimilhança supondo

uma distribuição de probabilidade N2P)

Aqui se utiliza uma distribuição que generaliza a normal. Desta forma tenta-se

capturar a assimetria dos retornos, bem como o caráter platocúrtico

característico da distribuição N2P e dos mercados cambiais. No apêndice A

mostra-se como são definidos os estimadores de máxima verossimilhança de

uma distribuição N2P.

Numericamente os resultados são próximos da estimação supondo-se

normalidade. Deste forma esta opção representa um pequeno refinamento do

procedimento mais tradicional (que supõe normalidade).

3.3 Expectativas do Mercado

Para se extrair as expectativas de mercado será adotado um procedimento que

tenta capturar a opinião de 5 especialistas em taxas de câmbio e adotar uma

“espécie de média”. Mais precisamente tem-se o seguinte algoritmo:

15

Inicialmente fixa-se arbitrariamente um nível de confiança . Tipicamente =

95%. Este valor deve ser adequado para que os especialistas tenham uma boa

sensibilidade ao trabalhar com ele.

Em seguida para cada entrevistado e para cada moeda fixada utilizam-se os

seguintes procedimentos:

Com base na cotação cambial atual e das 3 previsões relativas aos valores

mínimo, máximo e mais provável, doravante chamado de moda, da taxa de

câmbio um ano à frente, calculam-se os três retornos anuais correspondentes.

Depois disso acham-se os três parâmetros (entre eles a moda µ ) definidores

de uma distribuição de probabilidade ~ 2X N P tal que:

( )( )

( )

12

12

P X mín

Moda X

P X máx

α

α

µ

−

+

≤ =

= ≤ =

Observa-se que usualmente tem-se:

95%α = ⇒

12

12

2,5%

97,5%

α

α

−

+

=

=

Em seguida calculam-se a média (drift) e a variância desta distribuição, em

termos anuais. As fórmulas do valor esperado e da variância desta distribuição

estão explicitadas no apêndice A.

16

Nossas médias (drifts) e nossas variâncias (volatilidades) anuais,

correspondentes as três moedas serão dadas, respectivamente, pelas médias

aritméticas dos drifts e variâncias dos cinco entrevistados.

As variâncias semanais relativas a cada moeda serão dadas pelas variâncias

anuais divididas pela raiz quadrada de 52.

Os drifts semanais serão dados pela fórmula:

( )521 1semanal anualµ µ+ = +

3.4 Livre Entrada

Nesta alternativa pode-se entrar livremente no sistema com quaisquer valores

numéricos para os drifts e as volatilidades.

A grande vantagem desta alternativa é a enorme flexibilidade que ela oferece.

A desvantagem é o fato de se estar entrando com parâmetros completamente

arbitrários, podendo-se deste modo alterar os resultados finais de forma

relevante.

17

3.5 Implementação das Simulações Estocásticas

Uma simulação estocástica é construída da seguinte forma: a partir do sorteio

segundo uma variável aleatória conhecida verifica-se qual a evolução do

sistema em um pequeno (e arbitrário) intervalo de tempo. No presente caso o

intervalo de tempo foi de um mês. Fazendo este “sorteio” repetidamente,

sempre tomando como ponto de partida (input) de uma etapa o resultado da

anterior (output da etapa anterior) tem-se um caminho aleatório, ou uma

realização do processo estocástico. Esta realização do processo será

chamada também de um path.

Repete-se este procedimento um grande número de vezes. No presente

sistema foram considerados 1000 paths. O ideal é que sejam realizados 10000

ou mais paths. Porém, devido as limitações computacionais o número 1000 foi

escolhido.

A seguir descreveremos o algoritmo que fornece a estrutura de sorteios em

distribuições normais padrão tri-variadas com uma matriz, ρ , de correlações

preestabelecida. Tal matriz terá, por hipótese, coeficientes reais, será

quadrada de ordem 3, simétrica e positiva definida.

Os referidos sorteios estão relacionados aos choques estocásticos que

ocorrerão ao longo de cada um dos 1000 paths. Vai-se agora construir os

choques estocásticos em um determinado período futuro fixado.

18

Considere a matriz 3 1000xX , formada por sorteios, supostamente independentes,

de uma normal padrão. Nesta matriz cada linha está relacionada a cada uma

das três moedas. Assim na primeira linha tem-se o dólar, na segunda o euro e

na terceira o iene.

A j-ésima coluna representa o vetor (matriz 3 x 1000) choque estocástico

relativo ao j-ésimo caminho aleatório.

Inicialmente considera-se cada linha da matriz 3 1000xX como um vetor linha. Ou

seja:

, 1, 2, 3iX i∀ =

Sejam os vetores linha , 1, 2, 3iY i∀ = obtidos dos vetores iX pela subtração da

média seguida da divisão de cada coordenada pelo desvio padrão amostral.

Matematicamente tem-se 1, 2,3i∀ = :

10001

,10001

i i jj

Xµ=

= ∑

( )1000 2

1,1000 1

1i i j i

j

Xσ µ−=

= −∑

,

,i j i

i

X

i jYµ

σ−=

19

Dessa forma se constrói a matriz 3 1000xY que terá por finalidade garantir

números aleatórios normalmente distribuídos com média 0 e variância 1 -

N~(0,1). A grande maioria dos geradores de números aleatórios normalmente

distribuídos, que na verdade são pseudo-aleatórios, acabam não fornecendo

variáveis com média igual a 0 e variância igual a 1 precisamente, no entanto

podemos conseguir a N~(0,1) aplicando a transformação que nos leva a matriz

3 1000xY descrita acima. Pode ser provado facilmente que a correlação entre

duas linhas quaisquer da matriz 3 1000xX é igual a correlação entre as linhas

correspondentes da matriz 3 1000xY .

Também é muito importante salientar que a transformação aplicada em 3 1000xX

para se obter 3 1000xY não afeta a normalidade dos sorteios. De fato como tem-se

, ,,

i j i

i

X i j ii j

i i

XY

µσ

µσ σ

−= = − então pode ser verificado que cada coeficiente da matriz

3 1000xY será assintoticamente normal, pois o primeiro termo do lado direito da

expressão é uma variável aleatória normal sob uma v.a. que converge para 1,

enquanto que o segundo termo é uma distribuição t de Student com 999 graus

de liberdade. Como se sabe quando o número de graus de liberdade é

superior à 30 na distribuição t de Student tem-se uma distribuição muito

próxima da normal.

20

Seja portanto

12 13

12 13

13 13

1

1

1

e e

e e e

e e

ρ ρρ ρ ρ

ρ ρ

= a matriz de correlações obtidas entre as 3

séries numéricas consideradas (vetores linha da matriz 3 1000xX ou 3 1000xY ).

Mesmo tendo-se realizado os sorteios de forma independente as correlações

encontradas provavelmente serão não triviais.

Desta forma irá se proceder de forma a retirar tais correlações dos vetores

linha , 1, 2, 3iY i∀ = . Para tanto utiliza-se uma decomposição de Choleski de

modo a fazer uma correção nestes sorteios iniciais com a finalidade de se ter

uma distribuição descorrelacionada.

Com esta intuito faz-se a decomposição de Choleski .e te eL Lρ = , ou seja:

12 13 11 11 12 13

12 23 12 22 22 23

13 23 13 23 33 33

1 0 0

1 0 0

1 0 0

e e e e e e

e e e e e e

e e e e e e

d d d d

d d d d

d d d d

ρ ρρ ρρ ρ

= ⋅

A matriz 3 1000xZ que tem linhas descorrelacionadas será calculada por:

1.eZ L Y−=

A idéia matemática deste procedimento inicial é ortogonalizar os vetores linha.

21

Em seguida aplica-se outra transformação linear para introduzir as correlações

teóricas já calculadas na primeira etapa do sistema de gerenciamento de risco

cambial.

Seja portanto a matriz ρ , de correlações históricas, dada por:

12 13

12 23

13 23

1

1

1

ρ ρρ ρ ρ

ρ ρ

=

Considera-se novamente uma decomposição de Choleski . tL Lρ = , ou seja:

12 13 11 11 12 13

12 23 12 22 22 23

13 23 13 23 33 33

1 0 0

1 0 0

1 0 0

d d d d

d d d d

d d d d

ρ ρρ ρρ ρ

= ⋅

A matriz 3 1000xW que tem os sorteios normais padrão tri-variados com

correlações definidas por ρ será dada pela equação:

.W L Z=

Do ponto de vista matemático esta etapa corresponde a se aplicar uma

transformação linear aos 3 vetores linha (que formam um conjunto ortogonal)

da matriz 3 1000xZ de modo que eles tenham produtos internos (intuitivamente

pode-se pensar nos produtos internos como sendo os ângulos entre os

vetores) preestabelecidos.

22

O coração da modelagem consiste na simulação de Monte-Carlo multivariada.

Para cada uma das 3 moedas, utilizam-se as 1000 trajetórias aleatórias, cada

trajetória sendo composta de 60 períodos mensais.

A primeira planilha do sistema sorteia, de acordo com distribuições normais

padrão, 180.000 valores (observa-se facilmente que 180.000 = 1.000 x 60 x 3).

Esse número ocorre porque deseja-se ter 1000 trajetórias (paths), cada uma

delas com 60 períodos mensais, ou seja 5 anos, e contemplando 3 moedas

distintas; a saber o dólar, o euro e o iene.

Conhecendo-se as trajetórias aleatórias para os preços das 3 moedas, torna-

se bastante simples a tarefa de obter os valores em reais dos pagamentos

associados a um título específico ou à carteira total. A partir daí obtemos a

distribuição dos valores em reais a serem pagos pelo Tesouro Nacional.

23

4 - RESULTADOS

O objetivo desta seção do trabalho é mostrar, a partir da geração de taxas de câmbio

futuras, a distribuição de probabilidades de pagamentos semestrais em Reais a serem

feitos pelo Tesouro Nacional considerando uma determinada carteira de dívida.

O Tesouro Nacional possui um passivo externo denominado em diferentes moedas,

sendo as principais dólar, euro, e iene. O presente trabalho concentrou-se na análise

de uma carteira de 21 títulos1 de dívida externa de responsabilidade do Tesouro

Nacional. O gráfico abaixo nos dá uma idéia do percentual da dívida analisada em

relação ao total da dívida externa securitizada.

Conforme podemos ver, a dívida considerada nos cálculos que se seguirão

representa mais da metade da dívida externa na forma de títulos de responsabilidade

do Tesouro Nacional. Cabe-se ressaltar que os cálculos feitos neste trabalho aplicam-

1 A carteira de dívida externa analisada foi composta com os seguintes títulos: Bônus Globais 04, 06, 07, 08, 09, 20, 24, 27,

30 e 40; Samurais 03, 06 e 07 e os Euros 02, 03, 04, 05, 06, 07, 10 e 11.

D í v i d a A n a l i s a d a x D í v i d a n ã o a n a l i s a d a

4 7 %

5 3 %

D í v i d a S e c u r i t i z a d a N ã o A n a l i s a d a

D í v i d a S e c u r i t i z a d a A n a l i s a d a

T o t a l D ív id a S e c u r i t i z a d a : U S D 5 6 b i lh õ e s

24

se a qualquer dívida que o Tesouro Nacional possa ter em moeda estrangeira.

Apenas a título de simplificação, restringimos a carteira de dívida considerada.

Utilizando séries históricas das taxas de câmbio diárias de dólar, euro e iene contra o

real no período compreendido entre 09/04/1999 a 10/10/20012, obtivemos as

estimativas dos parâmetros mensais para as volatilidades e correlações que serviram

como entrada de dados na geração das 1000 taxas de câmbio futuras mensais de

cada moeda. A metodologia adotada, portanto, foi a descrita no item 3.1 – Dados

históricos supondo normalidade.

O horizonte de análise foi de 5 anos divididos mensalmente, e por intermédio do

método de simulação de Monte-Carlo obtivemos 60.000 previsões de taxas de câmbio

para cada moeda, 1000 previsões para cada mês, perfazendo-se um total de 180.000

previsões quando contabilizamos as três moedas em questão nos 60 meses.

A título de ilustração, apresentamos abaixo as previsões obtidas para o dólar, euro e

iene. A taxa de câmbio está expressa de modo a representar quantos reais seriam

necessários para comprarmos uma unidade de moeda estrangeira. As linhas mais

fortes nos gráficos que seguem representam a tendência de apreciação ou

depreciação das moedas frente ao Real. A tendência é determinada pelas médias

(drifts) obtidas dos dados históricos e por qualquer outro método descrito. Em nossa

análise, consideramos médias (drifts) iguais a zero para as três taxas de câmbio em

2 Não consideramos um período maior de análise maior pelo fato do Euro só ter sido criado no início de 1999, e

ainda expurgamos também o período logo após a mudança de regime cambial no país, fevereiro de 1999, pois tal

período demonstrou incerteza acentuada no mercado, o que gerou uma volatilidade anormal.

25

questão. Desta forma não teríamos nenhuma perspectiva de apreciação ou

depreciação. Esta premissa serve para simplificarmos a análise. Outras médias (drifts)

poderiam ser usadas, dependendo do critério do pesquisador.

As previsões para o dólar em 5 anos estão representadas pelo gráfico a seguir.

Em relação ao Real/Euro, as previsões em 5 anos estão demostradas no que segue

abaixo.

U S D F X P a t h s

1 , 1 0

1 , 6 0

2 , 1 0

2 , 6 0

3 , 1 0

3 , 6 0

4 , 1 0

4 , 6 0

5 , 1 0

5 , 6 0

6 , 1 0

0,00

0,25

0,50

0,75

1,00

1,25

1,50

1,75

2,00

2,25

2,50

2,75

3,00

3,25

3,50

3,75

4,00

4,25

4,50

4,75

5,00

T e m p o ( A n o s )

E U R F X P a t h s

0 ,60

1 ,60

2 ,60

3 ,60

4 ,60

5 ,60

6 ,60

7 ,60

8 ,60

0,00

0,25

0,50

0,75

1,00

1,25

1,50

1,75

2,00

2,25

2,50

2,75

3,00

3,25

3,50

3,75

4,00

4,25

4,50

4,75

5,00

T e m p o ( A n o s )

26

Quanto a taxa de câmbio Real/Iene obtivemos as seguintes previsões em 5 anos

conforme gráfico abaixo.

Conforme podemos ver, aparentemente a maior volatilidade estaria na variável

Real/Dólar, pois conforme vimos pelos gráficos, o cone é mais aberto para esta

variável, o que significa dizer que valores mais altos ou mais baixos para esta taxa de

câmbio poderiam ser obtidos. Valores mais altos são considerados desfavoráveis,

pois implicariam um desembolso maior em Reais quando do pagamento da dívida

externa.

Finalmente, mostramos a distribuição de probabilidades dos desembolsos em reais

que o Tesouro Nacional realizaria no primeiro semestre de 2002, considerando-se o

fluxo de caixa dos títulos analisados e as previsões das taxas de câmbio obtidas pela

simulação de Monte-Carlo.

JPY FX Paths

0,005

0,015

0,025

0,035

0,045

0,055

0,065

0,00

0,25

0,50

0,75

1,00

1,25

1,50

1,75

2,00

2,25

2,50

2,75

3,00

3,25

3,50

3,75

4,00

4,25

4,50

4,75

5,00

Tempo (Anos)

27

O que chamamos de Worst Case seriam os desembolsos acima de 4,9 bilhões de

Reais, obtidos adotando-se um intervalo de confiança de 95% para a distribuição

acima.

Poderíamos adotar a metodologia do CaR (Cost at Risk) para análise de passivos,

poderíamos estabelecer um benchmark de forma a termos um valor máximo de

desembolso para nossa carteira de dívida dadas as distribuições de probabilidades

subjacentes as taxas de câmbio e aos desembolsos em Reais. Dado que geramos

previsões para as taxas de câmbio futuras com distribuições de probabilidades que

Distribuição dos Desembolsos em Reais - 1Sem./2001

0,0%

1,0%

2,0%

3,0%

4,0%

5,0%

6,0%

7,0%

8,0%

9,0%

2.94

0.25

8

3.12

9.42

5

3.35

6.42

5

3.58

3.42

5

3.81

0.42

5

4.03

7.42

5

4.26

4.42

5

4.49

1.42

5

4.71

8.42

5

4.94

5.42

5

5.17

2.42

5

5.39

9.42

5

5.62

6.42

6

5.85

3.42

6

Milhões - Reais

Worst Case (95%) - 4,897,513.74

Média: 4,127,0385.39DP: 442,912.46

28

seguem uma distribuição normal e distribuição de probabilidades de desembolsos em

Reais, poderíamos encontrar qualquer valor para os percentis daquelas distribuições,

o que não nos limitaria, portanto, apenas ao nível de confiança de 95% arbitrado.

Uma extensão do trabalho aqui apresentado seria a definição de um portfolio ótimo de

dívida para o Tesouro Nacional considerando toda a metodologia aqui descrita.

29

5 - CONCLUSÕES

Deve-se estar claro que este sistema gera como resultado distribuições de

probabilidade e não valores determinísticos. A forma de apresentação dos

resultados lembra bastante a da metodologia denominada de VaR (Value at

Risk). O modelo não permite afirmar qual será a despesa futura do Tesouro

com uma determinada carteira de títulos denominados em moedas

estrangeiras, mas sim que as despesas apresentam uma certa probabilidade

de serem menores (ou maiores) do que um determinado valor.

Uma extensão bastante natural desse tipo de modelagem é a busca de uma

carteira ótima dentro de uma perspectiva de custo e retorno. A análise desse

tipo de relação é análoga à relação entre risco e retorno de uma carteira de

ativos. Pode-se construir uma fronteira eficiente que represente a relação de

troca entre variações no risco e variações no custo esperado. Uma vez

definido o nível máximo de risco aceitável, pode-se definir a carteira de custo

mínimo.

Outra extensão natural do modelo diz respeito à incorporação do risco

decorrente das taxas de juros. São bastante comuns os compromissos

externos atrelados a taxas de juros flutuantes. Tais compromissos apresentam,

portanto, uma fator adicional de risco, pois a taxa futura de juros também é

desconhecida. Por outro lado pode-se perceber empiricamente que o impacto

de variações nos juros nas despesas com as dívidas em moeda estrangeira

30

tende a ser menor do que o impacto decorrente de variações nas taxas de

câmbio.

Uma limitação da modelagem aqui proposta diz respeito ao prazo para o qual

são realizadas as previsões. Pode-se obter previsões consistentes para as

taxas de câmbio para prazos de até dois anos. Para prazos de até cinco anos

a confiabilidade também é considerada boa, porém não se recomenda o uso

em períodos superiores a esse. Diferentemente das taxas de juros que

tendem a apresentar um padrão histórico, as taxas de câmbio não costumam

apresentar padrões minimamente regulares.

Finalmente, observou-se que, para a ampliação do modelo e implementação

de processos de otimização, são necessários recursos superiores aos

disponíveis nos atuais computadores pessoais.

31

6 - REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

MARDIA, K.V., KENT, J.T., BIBBY, J.M. Multivariate Analysis. Academic

Press, 1979.

JOHNSON, R.A., WICHERN, D.W. Applied Multivariate Statistical Analysis,

Prentice Hall, 1998.

HULL, John. Options, Futures and Other Derivative Securities, Prentice

Hall, 1989.

WILMOTT, Paul. Derivatives: The Theory and Practice of Financial

Engineering. John Wiley and Sons, 1998.

RETIRADO PELA ESAF RIELLA, G., BLASS, R.S. A Distribuição Normal de

Duas Partes: Algumas Extensões Working Paper Series. Banco Central do

Brasil, 2001.

JORION, Philippe. Value at Risk, BM&F, 1999.

32

APÊNDICE A - A Distribuição Normal de Duas Partes (N2P)

A distribuição Normal de Duas Partes (N2P) é definida a partir de três

parâmetros e generaliza a distribuição normal.

É dito que X é uma variável aleatória com distribuição N2P, com parâmetros µ,

σ1 e σ2 se a função densidade de probabilidade de X é dada por:

( )( )

( )

( )( )

>

−−

+

=+

<

−−

+

=

.,2

exp2

,,2

,,2

exp2

)(

22

2

21

21

21

2

21

,, 21

µσ

µ

σσπ

µσσπ

µσ

µ

σσπ

σσµ

xx

x

xx

xf

onde:

µ é a moda da distribuição de probabilidade N2P;

σ1 é o desvio padrão da normal que define a N2P quando x<µ;

σ2 é o desvio padrão da normal que define a N2P quando x>µ.

Valor esperado e variância de uma N2P

Seja a variável aleatória ),,(2~ 21 σσµPNX com µ=EX . Então pode ser

provado que:

33

( )12

2σσ

πµµ −+=

Portanto 12 σσµµ >⇔> , ou seja, se a distribuição for assimétrica à direita.

Além disso, a variância de X é dada por:

])[( 2EXXEXVar −=

logo, ( ) 212

12

21 σσσσ

π+−⋅

−=XVar

Estimadores de máxima verossimilhança (EMV)

Seja X uma v.a. com distribuição ),,(2 21 σσµPN .

Supondo inicialmente que o parâmetro µ esteja fixado, pode-se demonstrar

que a função de verossimilhança será dada por:

2

22

2

2

12

1

2121 )(2

1)(

2

1)ln(),( ∑∑ −−−−+−= µ

σµ

σσσσσ ii xxNl

Onde ∑1

representa a soma sobre o conjunto dos pontos ix tal que µ≤ix e

∑2

representa a soma sobre o conjunto dos pontos ix tal que µ≥ix .

A EMV do parâmetro µ será o valor deste parâmetro que minimiza a função:

1 13 3

2 2

1 2

( ) ( ) ( )i ix xλ µ µ µ = − + − ∑ ∑

34

Conhecido o valor de µ , as EMV dos parâmetros 1σ e 2σ são:

2 1 13 3 3

2 2 2 211

1 1 2

2 1 13 3 3

2 2 2 212

2 1 2

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

i i iN

i i iN

x x x

x x x

σ µ µ µ

σ µ µ µ

= − − + −

= − − + −

∑ ∑ ∑

∑ ∑ ∑

35

APÊNDICE B - Decomposição de Choleski e Correlações, Distribuição t de

Student

No contexto deste trabalho, a idéia da seguinte decomposição é ajudar a

sortear vetores segundo uma distribuição normal multivariada (neste caso tri-

variada, embora a extensão para mais dimensões seja imediata).

Ira-se decompor uma matriz de correlações. Lembra-se que tal tipo de matriz

sempre terá as propriedades de ser quadrada, com todos os elementos da

diagonal principal sendo um, simétrica, positiva definida e com todos os

coeficientes sendo números reais.

Teorema: Considere uma matriz quadrada 3x3 com coeficientes reais,

simétrica, positiva definida e com diagonal principal um:

12 13

12 23

13 23

1

1

1

ρ ρρ ρ ρ

ρ ρ

=

Então a decomposição de Choleski garante que existe uma matriz L ,

triangular inferior e com coeficientes reais, tal que:

. tL Lρ = , ou seja,

12 13 11 11 12 13

12 23 12 22 22 23

13 23 13 23 33 33

1 0 0

1 0 0

1 0 0

d d d d

d d d d

d d d d

ρ ρρ ρρ ρ

= ⋅

36

Para se demonstrar tal resultado deve-se multiplicar as duas matrizes da

direita e igualar os coeficientes com os respectivos coeficientes da matriz da

esquerda. Calculam-se os valores ijd através da resolução do sistema de

equações resultante.

A hipótese de se ter a matriz ρ positiva definida garante que neste algoritmo

nunca há divisões por zero, nem vai-se ter uma raiz quadrada negativa. Desta

forma os valores ijd estão bem definidos (sempre existem e são únicos). Ao se

resolver o sistema de equações tem-se:

L =( )( )2

23 12 1323 12 13221212

212 12

213 13 11

1 0 0

1 0

1 ρ ρ ρρ ρ ρ

ρρ

ρ ρ

ρ ρ −−

−−

− − − ;

( )( )23 12 13

212

223 12 13

212

12 13

212 1

213 1

1

0 1

0 0 1

tL ρ ρ ρ

ρ

ρ ρ ρ

ρ

ρ ρ

ρ

ρ

−

−

−

−

= − − −

Distribuição t de Student

Sejam as variáveis aleatórias independentes 2~ (0,1), ~ ( )X N Y nχ . Logo diz-

se que a variável aleatória ~ ( )

Yn

XT t n=

tem distribuição t de Student com n

graus de liberdade.

Sejam ( )

1

1

22 11

1

n

jnj

n

jnj

X X

S X X

=

−=

=

= −

∑

∑ a média e a variância amostrais ( jX

são

independentes, identicamente distribuídas).

37

Pode ser provado que 2,X S são variáveis aleatórias independentes e que

,

,i j i

i

X

i jYµ

σ−=

é ~ ( 1)

nXT t n

S= −

assintoticamente.

38

APÊNDICE C - Lema de Ito

Seja o processo estocástico x definido pela equação ( , ) ( , )dx a x t dt b x t dz= + ,

onde dz dtε= representa um processo de Wiener. Neste caso diz-se que x

descreve um processo de Ito.

Seja ( , )G G x t= um processo estocástico dependente de x . Então o lema de

Ito garante que:

( ) ( )2 2

22G G b G Gx t xx

dG a dt b dz∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂∂

= + + +

Aplicação: o modelo aqui apresentado utiliza o processo estocástico definido

pela equação . .dS S dt S dzµ σ= + .

Seja ( , ) ln( )G S t S= .

Logo ao se derivar esta função obtém-se:

2

2 21 1; 0;G G G

S S t S S∂ ∂ ∂ −∂ ∂ ∂

= = =.

Desta forma fica claro que:

( ) ( )2

2ln( ) .dG d S dt dzσµ σ= = − +

39