modelo de regresión lineal múltiple en forma...

Modelo de Regresión Lineal Múltiple en Forma

Matricial.Dr. Víctor Aguirre

Guión 9. Dr. V. Aguirre 2

Propósito

Escribir el MRLM usando la notación matricial.Presentar las ecuaciones normales en forma matricial.Presentar los supuestos matricialmente.Elaborar las propiedades estadísticas del EMC de manera matricial.


El modelo para las observaciones individuales.

1tX...XXY 1r1r12211101 =+++++= εββββ

2tX...XXY 2r2r22221102 =+++++= εββββ

ntX...XXY nnrr2n21n10n =+++++= εββββ

...


El modelo para las observaciones individuales en forma matricial.

ó εβ += XY

=

n

2

1

Y...YY

Y

=

nr2n1n

r22221

r11211

X...XX1.........X...XX1X...XX1

X

=

n

2

1

...ε

εε

ε

=

r

1

0

...β

ββ

β

n x (r+1)

βX)X|Y(E =


Ejemplo. Y=PNB Agrícola Taiwán.

t Año 1 L K PNBAGR1 1958 1 275.5 17803.7 16607.72 1959 1 274.4 18096.8 17511.33 1960 1 269.7 18271.8 20171.24 1961 1 267 19167.3 20932.95 1962 1 267.8 19647.6 204066 1963 1 275 20803.5 20831.67 1964 1 283 22076.6 24806.38 1965 1 300.7 23445.2 26465.89 1966 1 307.5 24939 27403

10 1967 1 303.7 26713 28628.711 1968 1 304.7 29957 29904.512 1969 1 298.6 31585.9 27508.213 1970 1 295.5 33474.5 29035.514 1971 1 299 34821.8 29281.515 1972 1 288.1 41794.3 31535.8

2r15n

==


Matriz XT .

=

nrr2r1

2n2212

1n2111T

X...XX.........X...XXX...XX1...11

X(r+1) x n

=

nr2n1n

r22221

r11211

X...XX1.........X...XX1X...XX1

X



1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1L 275.5 274.4 269.7 267 267.8 275 283 300.7 307.5 303.7 304.7 298.6 295.5 299 288.1K 17803.7 18096.8 18271.8 19167.3 19647.6 20803.5 22076.6 23445.2 24939 26713 29957 31585.9 33474.5 34821.8 41794.3

En el ejemplo:

dim(X)=15x3,

dim(XT)=3x15.


Matriz XTX.

=

nr2n1n

r22221

r11211

nrr2r1

2n2212

1n2111T

X...XX1............X...XX1X...XX1

X...XX.........X...XXX...XX1...11

XX

dim(XTX)=(r+1)x(r+1)


Matriz XTX.

∑∑∑∑

∑∑∑∑

∑∑∑∑

∑∑∑

====

====

====

===

n

1t

2tr

n

1ttr2t

n

1ttr1t

n

1ttr

n

1ttr2t

n

1t

22t

n

1t2t1t

n

1t2t

n

1ttr1t

n

1t2t1t

n

1t

21t

n

1t1t

n

1ttr

n

1t2t

n

1t1t

X...XXXXX

............

XX...XXXX

XX...XXXX

X...XXn


Matriz XTX (r=2) y Ecuaciones Normales.

=

∑∑∑

∑∑∑

∑∑

===

===

==

n

1t

22t

n

1t2t1t

n

1t2t

n

1t2t1t

n

1t

21t

n

1t1t

n

1t2t

n

1t1t

T

XXXX

XXXX

XXn

XX

=

∑

∑

∑

∑∑∑

∑∑∑

∑∑

=

=

=

===

===

==

n

1tt2t

n

1tt1t

n

1tt

2

1

0

n

1t

22t

n

1t2t1t

n

1t2t

n

1t2t1t

n

1t

21t

n

1t1t

n

1t2t

n

1t1t

YX

YX

Y

ˆ

ˆˆ

XXXX

XXXX

XXn

β

ββ


Ecuaciones Normales y EMC r arbitrario.

YXˆXX TT =β

( )

entonces Si

YXXXˆ0)XXdet(T1T

T

−=

≠

β



XtX XtY15 4310.2 382598 371030

4310.2 1241590.88 1.11E+08 107449075.9382598 110881793.1 1.05E+10 9907284470

det(XtX) 2.13285E+13

XtX Inversa Beta gorro35.48865 -0.135310839 0.000136 -28068.4495

-0.135311 0.0005298 -6.64E-07 147.94133460.000136 -6.63573E-07 2.16E-09 0.403556741


Supuestos del Modelo en forma Matrcial.

S1:

S2 & S3

S4:

S5:

ββ X)X|Y(E =∋∃

I)X|Y(Cov 2σ=

0)XXdet( T ≠

)I,X(N~X|Y 2σβ


Propiedades Estadísticas del EMC.

Proposición 10Bajo los supuestos S1 a S4

ββ =)s'X|ˆ(E)a

1T2 )XX()s'X|ˆ(Cov)b −=σβ


Demostración Proposición 10.

( )[ ]( )( ) ββ

β

==

=

=

−

−

−

XXXX

)XY(EXXX

XYXXXE)X|ˆ(E

T1T

T1T

T1T

|

| a)

( )[ ]( ) ( )[ ]( ) ( )( ) ( ) ( ) 1T21

I

TT1T2

1T2T1T

T1TT1T

T1T

XXXXXXXX

XXX)I(XXX

XXX)XY(CovXXX

XYXXXCov)X|ˆ(Cov

−−−

−−

−−

−

==

=

=

=

σσ

σ

β

43421

|

| a)


Modelo Ajustado

Modelo de regresión ajustado, estima a E(Y|X)

Valores ajustados para t=1,...,n

Residuos

rr110 Xˆ...XˆˆY βββ +++=

n,...,1tYYˆ ttt =−= para ε

trr1t10t Xˆ...XˆˆY βββ +++=



Beta gorro-28066.51 147.9332 0.403568

Año 1 L K PNBAGR Y gorro Residuo Residuo^21958 1 275.5 17803.7 16607.7 19874.16 -3266.459 106697541959 1 274.4 18096.8 17511.3 19829.72 -2318.419 5375068.51960 1 269.7 18271.8 20171.2 19205.06 966.1415 933429.361961 1 267 19167.3 20932.9 19167.04 1765.862 3118269.51962 1 267.8 19647.6 20406 19479.22 926.78 858921.181963 1 275 20803.5 20831.6 21010.83 -179.228 32122.6821964 1 283 22076.6 24806.3 22708.08 2098.219 4402521.91965 1 300.7 23445.2 26465.8 25878.83 586.9724 344536.61966 1 307.5 24939 27403 27487.63 -84.62937 7162.13011967 1 303.7 26713 28628.7 27641.42 987.2798 974721.41968 1 304.7 29957 29904.5 29098.54 805.9586 649569.271969 1 298.6 31585.9 27508.2 28853.53 -1345.328 1809906.31970 1 295.5 33474.5 29035.5 29157.12 -121.621 14791.6691971 1 299 34821.8 29281.5 30218.62 -937.1199 878193.741972 1 288.1 41794.3 31535.8 31420.05 115.7452 13396.947

SCE 30082365sigma gorro ^2 2506863.8


Estimación de

Note que

Sea

Definimos

2σ

∑=

=n

1t

2tˆSCE ε

1rnSCEˆ 2

−−=σ

2tt )X|(Var)X|Y(Var σε ==


Estimación de

Proposición 11Bajo los supuestos 1 a 4 es un

estimador insesgado de .

Demostración: Fuera del alcance del curso.

=error estándar de la regresión

2σ

2σ2σ

σ



Nota: Excel no proporciona la matriz de Varianza-Covarianza del EMC.

XtX Inversasigma gorro^2 35.48864685 -0.135310839 0.000136

2506864 -0.135310839 0.0005298 -6.64E-070.000135618 -6.63573E-07 2.16E-09

beta gorro Var-Cov error std-28068.449 88965202.25 -339205.8369 339.9752 9432.13667147.94133 -339205.8369 1328.136696 -1.663488 36.44360980.4035567 339.975191 -1.663488131 0.005411 0.07356129



ANÁLISIS DE VARIANZA

Grados de libertad

Suma de cuadrados

Promedio de los

cuadrados FValor crítico

de FRegresión 2 302523575 151261787.7 60.33905426 5.474E-07Residuos 12 30082365 2506863.748Total 14 332605940

Coeficientes Error típico Estadístico t Probabilidad Inferior 95% Superior 95%Intercepció -28068.44949 9432.1367 -2.97583151 0.01157507 -48619.31 -7517.58945L 147.9413346 36.44361 4.059458856 0.001583241 68.537531 227.3451378K 0.403556741 0.0735613 5.485993093 0.000139355 0.2432805 0.563833026

modelo de regresión lineal múltiple en forma...

Documents