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MODELO DO FEIXE DE TUBOS PARA A PERDA DE CARGA EM LEITOS POROSOS
A dedução da equação da perda de carga para um meio poroso baseia-se na
modelagem do leito poroso como um feixe de tubos capilares paralelos ao fluxo, pelos quais
escoa o fluido. Assim, a perda de carga no leito é igual à perda de carga do escoamento em um
dos tubos.
Perda de carga em tubulações
Pode-se definir a força de arraste que um fluido exerce sobre uma superfície sólida
como o produto de uma área característica da interface fluido-sólido e da energia cinética que
o fluido possui, relativamente ao sólido (Bird, 2004),
Nessa equação, fF é conhecido como o fator de atrito de Fanning (1877). No caso de
escoamento em uma tubulação circular, a área é a área molhada do tubo, e a força pode ser
obtida pelo produto da perda de carga pela área transversal da tubulação. A perda de carga é
entendida como a diferença de pressão, descontado o peso da coluna de fluido. A equação
fica:
Desse modo, a perda de carga pode ser calculada na forma conhecida por equação de
Fanning, onde fF é o fator de atrito de Fanning (Rotava, 49, 50):
Essa pode ser também deduzida a partir de um balanço de quantidade de movimento
para o escoamento em um tubo horizontal, em qualquer regime, considerando a tensão de
cisalhamento na superfície interna do tubo, ou a partir do trabalho para vencer a força de
arraste sólido-fluido na parede da tubulação. Darcy-Weisbach reescreveram a equação de
Fanning, introduzindo o fator de atrito de Darcy-Weisbach (Rotava, 49, 50), de modo
a reconstituir na equação o termo de energia cinética do fluido:
Observar que o cálculo da perda de carga em tubulações aplica-se para o perfil de
velocidades completamente desenvolvido, ou seja, não inclui os efeitos de entrada da
tubulação. O desenvolvimento do perfil ocorre na região de entrada, que tem o comprimento
para escoamento laminar e para turbulento (Bird, 2004).
Perda de carga em tubulações – regime laminar
O balanço diferencial de quantidade de movimento para um fluido newtoniano e
incompressível (equação de Navier-Stokes) aplicado ao escoamento em uma tubulação, em
regime laminar e permanente, devido à diferença de pressão, resulta em um perfil de
velocidades que, quando integrado, permite calcular a diferença de pressão necessária para
causar o escoamento de velocidade média v:
Essa equação é conhecida como equação de Hagen-Poiseuille (1839, 1841).
Alternativamente, como , pode-se escrever
Notar que v é a velocidade média do escoamento na tubulação e L é o seu comprimento total.
Comparando essa expressão com a equação de Darcy-Weisbach para perda de carga,
tem-se que no regime laminar. O regime laminar é válido para .
Perda de carga em tubulações – regime turbulento
Para regime turbulento, utilizam-se equações empíricas para o fator de atrito em
tubulações. Nesse regime, a perda de carga é função também da rugosidade da tubulação.
Existem diversas equações na literatura, como por exemplo, a equação de Blasius (1931) para
tubo liso,
Ou a equação de Miller para tubos rugosos,
Onde e é a rugosidade do tubo. Note-se que, para altos valores de Re, o fator de atrito
torna-se praticamente constante.
Perda de carga em tubulações – dutos não circulares
Em dutos não circulares, utiliza-se a definição de diâmetro hidráulico,
Onde A = área transversal ao escoamento
P = perímetro molhado da tubulação
Note-se que, para uma seção circular, e , de forma que .
Alternativamente, pode-se usar a definição de raio hidráulico,
De forma que e para uma seção circular, .
Dessa forma, as equações para perda de carga em dutos circulares podem ser
utilizadas para dutos não circulares, usando-se o diâmetro hidráulico no lugar do diâmetro da
tubulação. A velocidade do escoamento é a velocidade real, correspondente à seção reta real
da tubulação.
Perda de carga em meios porosos – a equação de Darcy
Em 1856 Darcy publicou um estudo clássico de percolação de água através de leitos de
areia (Darcy, 1856 ap. Sisson e Pitts, 1988), demonstrando que a vazão percolada é
proporcional ao gradiente de pressão através do leito e à viscosidade do fluido,
Nessa equação, k é a permeabilidade da matriz porosa (“condutividade hidráulica”).
Note-se que a perda de carga é diretamente proporcional à velocidade superficial e à
viscosidade do fluido, não dependendo da sua densidade. Fluxos que seguem esse modelo são
ditos darcynianos (laminares, viscosos, creeping flow).
Em 1901 Forchheimer sugeriu que a relação entre e perda de carga e o fluxo através
de um meio poroso é melhor descrito por uma função de segundo grau na velocidade
(Forchheimer, 1901). O modelo pode ser descrito pela equação seguinte (Hlushkou e Tallarek,
2006), sendo kF o coeficiente inercial:
Perda de carga em meios porosos – modelo do feixe de tubos.
Nesse modelo, a matriz porosa é tida como um feixe de tubos de pequenas dimensões
por onde escoa o fluido, de forma que a perda de carga ao longo do leito é igual à perda de
carga em um dos tubos:
P
Nessa modelagem, assume-se que:
o fluxo é dividido em um feixe de tubos capilares
os capilares são irregulares com uma área de passagem média
as distribuição de partículas no leito é uniforme
não existem caminhos preferenciais
o diâmetro das partículas que compõe o leito é pequeno em relação ao diâmetro da
tubulação
a porosidade é constante ao longo do leito, ou seja, não há variações devido à
presença das paredes ou efeitos de entrada e saída do leito
o diâmetro da tubulação é constante
Postula-se que a perda de carga no leito poroso pode ser calculada por uma relação
análoga à de Darcy-Weisbach,
Onde ft é o fator de atrito para a matriz porosa
Dv é o diâmetro volumétrico das partículas que compõe o leito
u é a velocidade superficial do fluido que atravessa o leito
Nessa definição, observa-se que o diâmetro volumétrico da partícula foi assumido
como sendo a dimensão característica do sistema. Comparando com a equação de Darcy-
Weisbach,
Onde f é o fator de atrito para o escoamento em tubulação
Dh é o diâmetro hidráulico do tubo
v é a velocidade linear do escoamento no tubo
observa-se que a definição de fator de atrito para a matriz porosa é feita utilizando o
comprimento do leito, o diâmetro das partículas e a velocidade superficial. Com essa
abordagem, pode-se deduzir uma relação a partir da qual se possa determinar ft a partir de f.
Como a perda de carga no leito poroso é igual à perda de carga em um dos tubos, igualando as
duas expressões tem-se que:
As velocidades superficial e linear estão relacionadas através do conceito de porosidade:
Como a vazão volumétrica que atravessa o sistema é constante,
Tem-se que
O diâmetro volumétrico da partícula DV é definido como o diâmetro da esfera que tem
o mesmo volume da partícula. A superfície específica é a superfície externa da partícula
dividida pelo volume da partícula,
Para uma única partícula, tem-se que
Onde DS é o diâmetro superficial da partícula (diâmetro de uma esfera que tem a
mesma superfície externa da partícula). Na última expressão, considerou-se que, para esferas,
, de forma que:
Também se pode fazer a dedução baseando-se na área superficial por volume total do
leito avT (Sisson e Pits, 682); nesse caso, a área externa total das partículas AT pode ser
calculada de duas formas,
De forma que
A equação acima pode ser usada quando se dispõe de dados da área específica por
volume de leito. O diâmetro hidráulico pode ser relacionado com a porosidade através de sua
definição,
Nessa expressão, observar que L é o comprimento do leito de partículas e que a área
molhada total é considerada como a área externa das partículas. O numerador da expressão é
identificado facilmente como a porosidade,
O denominador pode ser relacionado com a porosidade usando o conceito de área específica:
Dessa forma, o diâmetro hidráulico pode ser calculado por:
Usando a relação entre av e diâmetro volumétrico, chega-se a
Substituindo as relações entre velocidade superficial e linear, diâmetro volumétrico e
diâmetro hidráulico na relação entre os fatores de atrito,
Usando o conceito de área superficial das partículas por volume de leito, chega-se ao
mesmo resultado para as duas últimas expressões.
Para o regime viscoso (escoamento laminar), o fator de atrito do tubo é calculado por:
Notar que v é a velocidade real, linear no tubo. Já foi visto que e com a
expressão para o diâmetro hidráulico, tem-se
Porém, como ,
Substituindo o fator de atrito do tubo na expressão do fator de atrito para a matriz porosa,
Com isso, pode-se calcular a perda de carga no leito por:
Nessa dedução, é importante observar que a perda de carga passa a ser função da
viscosidade do fluido, não é mais função de sua densidade e é diretamente proporcional à
velocidade, característicos do regime viscoso (ou laminar, ou de Darcy). Comparando-se os
resultados dessa equação com dados experimentais, observou-se que ela prevê perdas de
carga abaixo da real. Para corrigir as simplificações da modelagem, principalmente devido ao
caminho tortuoso dos capilares, foi introduzida uma constante empírica na equação, no valor
de 25/12, de forma que a perda de carga no regime laminar (por unidade de comprimento de
leito) pode ser calculada por:
Essa equação é conhecida como equação de Blake-Kozeni (1922, 1927). A constante da
equação é empírica e pode assumir outros valores, de forma que pode ser genericamente
chamada de constante A. Essa equação é válida para regime laminar, onde e
(Bird, 2004).
Carman (1937) sugeriu que o comprimento real Le dos capilares é maior que o
comprimento L do leito, definindo a tortuosidade como (Du Plessis e Woudberg, 2008, pg
2584):
Dessa forma, a velocidade real do fluido no capilar é maior que a utilizada na derivação
acima, sendo:
A equação de Hagen-Poiseuille generalizada para a perda de carga em um canal de
forma arbitrária é
k0 é um fator de forma da seção transversal do capilar, sendo igual a 2 para seção
circular (recaindo nesse caso na equação anterior). Utilizando essa equação no modelo
derivado acima, observa-se que o fator surge nas equações, o que resulta na perda de carga
calculada por:
O produto é conhecido como constante de Kozeni, e Carman (1937) propôs um
valor médio de 5,0 para essa constante. A tortuosidade foi calculada partindo da suposição de
uma inclinação média dos capilares de 45o, o que resulta em:
Observar que o valor estipulado para e para correspondem a um fator de
forma dos capilares de k0 = 2,5. Dessa forma, surge a equação conhecida como de Carman-
Kozeni-Blake,
Essa equação tem a mesma forma da equação de Blake-Kozeni, com a constante
modificada para 180. Na modelagem de Karman, se forem considerados tubos capilares
circulares e paralelos ao fluxo (k0 = 2 e = 1), obtém-se a constante original 72 de Blake-
Kozeni, sendo que nesta última o fator 72 foi empiricamente modificado para 150. Note-se
que as duas constantes (150 na equação de Blake-Kozeni e 180 na equação de Karman) têm
uma componente empírica, de forma que a diferença entre elas explica-se apenas pela
diferença no conjunto dos dados experimentais utilizados para obter a constante empírica.
Para o regime inercial (turbulento), o fator de atrito em tubulações torna-se
independente do número de Reynolds, passando a ser uma constante que depende apenas da
rugosidade relativa da tubulação. Assim,
Para o valor do fator de fricção em capilares, em regime altamente turbulento, foi
sugerido o valor constante de cte=7/3. Usando a equação acima, a perda de carga pode ser
calculada por:
Observe-se que a perda de carga, nesse regime, é função da densidade do fluido e não
mais de sua viscosidade, e do quadrado da velocidade. Usando o fator de atrito sugerido
acima, a constante B torna-se 1,75, resultando na equação conhecida como de Burke-Plummer
(1928), válida para :
Ao contrário do escoamento em tubulações, onde a transição entre os regimes laminar
e turbulento se dá dentro de uma faixa estreita de número de Reynolds, a faixa de transição
em um leito poroso é mais ampla (Hlushkou e Tallarek, 2006). Os estudos de Ergun (1952)
mostraram que os dados de diversos investigadores são bem representados pela soma das
contribuições das perdas de carga nos dois regimes, tem-se uma equação que pode ser
aplicada em todos os regimes de escoamento,
Esse modelo resulta em uma equação do tipo de Forchheimer conhecida como
equação de Ergun. Notar que, em baixas velocidades, o termo u2 é pequeno e a parte viscosa
da equação predomina, enquanto que para altas velocidades, o inverso é verificado. O regime
intermediário, onde ambos os efeitos são significativos, é conhecido como regime de
Forchheimer (Hlushkou e Tallarek, 2006).
Equação de Ergun para partículas irregulares
Segundo Bird (2004), para perda de carga em leitos compostos de partículas
irregulares, a definição da área específica da partícula é calculada usando o conceito de
esfericidade, que é a relação entre a área de uma esfera de mesmo volume que a partícula e a
área externa da partícula,
Dessa forma, a área específica é calculada como:
Assim, o fator de atrito para a matriz porosa pode ser calculado por:
O fator de atrito para o tubo, com essa definição, fica:
E o fator de atrito para a matriz porosa torna-se
Substituindo na equação da perda de carga do leito, e corrigindo a constante A da
equação conforme feito para esferas, tem-se a equação para regime laminar, onde se observa
que a diferença é a esfericidade no denominador da expressão,
Para o regime turbulento, é feita uma dedução semelhante, utilizando-se o fator de
atrito para o tubo com o valor constante de 7/3 e a expressão do diâmetro volumétrico acima.
O resultado é:
Somando-se a perda de carga para o regime viscoso com a perda de carga para o
regime inercial, obtém-se a equação de Ergun adaptada para partículas irregulares,
Nessa dedução, a principal diferença em relação a partículas esféricas é o cálculo da
área específica av, onde se utilizou a esfericidade no cálculo da área externa da partícula. Note-
se que av é a grandeza principal que faz a ligação entre a expressão assumida para a perda de
carga em leitos porosos (onde a dimensão característica do sistema é tomada como o
diâmetro da partícula) e a perda de carga em tubulações (onde a dimensão característica é o
diâmetro hidráulico da tubulação). As constantes empíricas A e B da equação são iguais às
constantes para leitos de esferas.
Deve-se notar também que o produto Dv é igual ao diâmetro superficial-volumétrico
Dsv. Dessa forma, a dedução para partículas não esféricas é equivalente a escolher, como
dimensão característica do sistema particulado, o diâmetro superficial-volumétrico.
Referências:
Bird, R. B.; Stewart, W. E.; Lightfoot, E. N. Fenômenos de Transporte. Ed. LTC, 2a Edição, 2004.
Blake, F. C., Trans. Amer. Inst. Chem. Engrs., 14 (1922), 415-421
Blasius, H. Forschungsarbeiten des Ver. Deutsch. Ing. 131 (1931).
Burke, S. P.; Plummer, W. B., Ind. Eng. Chem., 20 (1928) 1196-1200
Darcy, L., Les Fontaines publiques de la ville de Dijon, Victor Delmont, Paris, 1856.
Hlushkou, D.; Tallarek, U. Transition from creeping via viscous-inertial to turbulent flow in fixed
beds. Journal of Chromatography A, 1126 (2006) 70-85
Du Plessis e Woudberg (2008), Pore-scale derivation of the Ergun equation to enhance its
adaptability and generalization, CES 63(2008) 2576-2586
Ergun, S., Chem. Eng. Prog., 48 (1952), 89-94.
Fanning, J. T., A practical treatise on hydraulic and water supply enginnering. Van Nostrand,
Nova York, 1a Ed. (1877).
Forchheimer, P. H., Z. Ver. Deutsch. Ing. 45 (1901) 1782.
Hagen, G., Ann. Phys. Chem., 46 (1839) 423-442
Kozeni, J. Sitzungsber. Akad. Wiss. Wien, Abt. IIa, 136 (1927), 271-306.
Poiseuille, J. L., Comptes Rendus, 11 (1841), 961 e 1041
Rotava, O. (2012). Aplicações Práticas em Escoamento de Fluidos, Ed. LTC, 2012.
PERDA DE CARGA EM LEITOS POROSOS CONSIDERANDO O EFEITO DA PAREDE
Segundo Metha e Hawley (1969), para sistemas onde o diâmetro do leito é pequeno
em relação ao diâmetro da partícula (citando a relação 50:1 como o limite), o raio hidráulico
do sistema, a ser usado na dedução da equação de Ergun, deve ser calculado incluindo-se a
superfície molhada da parede do leito. O raio hidráulico é definido como
A relação entre área externa e volume de uma partícula esférica é:
De forma que
Da mesma forma, a relação entre a área lateral de um cilindro e o seu volume é:
Logo,
Substituindo na definição de diâmetro hidráulico, e lembrando que a relação entre o volume
de fluido e o do leito é a porosidade,
Para um leito infinito tal como é deduzido na equação de Ergun, sem considerar as
paredes, o raio hidráulico é calculado como:
Comparando as expressões, o raio hidráulico considerando as paredes pode ser escrito como:
De forma que a relação entre o raio hidráulico de um leito infinito e de um leito finito é
o parâmetro de correção M, que depende da relação dos diâmetros da coluna e da partícula. À
medida que a relação aumenta, M aproxima-se de 1. Para um leito de porosidade 0,4 e relação
de diâmetros igual a 50, M = 1,02. Essa definição de raio hidráulico é utilizada pelos autores na
dedução da equação de Ergun, resultando no modelo adaptado.
Uma dedução semelhante pode ser feita considerando o diâmetro hidráulico. Nesse
caso, as equações a serem utilizadas são:
Nessa dedução, novamente é assumido que o produto Ptubos.L é igual à área externa
total das partículas. Já foi visto que
Além disso,
Substituindo na equação anterior,
Comparando com a equação do raio hidráulico, observa-se que , estando
consistente com a definição. Adotando o parâmetro de correção M da forma como foi feito
para o raio hidráulico, o diâmetro hidráulico pode ser expresso como:
Usando essa abordagem, a relação entre o fator de atrito para a matriz porosa e o
fator de atrito para um tubo é:
O fator de atrito para o tubo, considerando escoamento laminar e a definição de
diâmetro hidráulico, pode ser calculado por:
Substituindo, o fator de atrito para a matriz porosa fica:
Comparando com a dedução da equação de Ergun para leito infinito, observa-se que a
diferença é o termo M2 multiplicando o fator de atrito. Fazendo uma dedução semelhante
para o regime inercial, surge um fator M multiplicando a equação. Dessa forma, a equação de
Ergun adaptada para considerar o efeito parede assume a forma final desenvolvida por Mehta
e Hawley (1969),
Metha, D.; Hawley, M. C. Wall effect in packed columns. Ind. Eng. Process Design and
Development 8(2), 280-282(1969).