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Modelo Logistico

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  • El modelo no lineal de crecimiento logstico: estudio y solucin

    Apellidos, nombre

    Corts Lpez, Juan Carlos; Romero Bauset, Jos Vicente;

    Rosell Ferragud, Mara Dolores; Villanueva Mic, Rafael Jacinto

    (jccortes@imm.upv.es;jvromero@imm.upv.es; drosello@imm.upv.es;rjvillan@imm.upv.es)

    Departamento Matemtica Aplicada Instituto Universitario de Matemtica Multidisciplinar

    Centro Facultad de Administracin y Direccin de Empresas

  • Resumen de las ideas clave El objetivo de este trabajo es estudiar el modelo de crecimiento logstico o de Verhulst, el cual puede considerarse la base de los modelos no lineales formulados a travs de ecuaciones diferenciales ordinarias (e.d.o.s). El trabajo motiva la introduccin del modelo logstico para superar las limitaciones del modelo de crecimiento exponencial debido a Malthus. La exposicin del modelo persigue por un lado proporcionar la interpretacin del mismo desde diferentes formulaciones equivalentes del modelo para, posteriormente, justificar matemticamente sus principales propiedades analticas, tales como la monotona y curvatura, y concluir as la forma de sigmoide que caracteriza a la solucin. Este estudio creemos que resulta particularmente formativo porque, en lugar de realizarse a partir de la expresin explcita de la solucin del modelo (la cual tambin se explica en el trabajo), se deduce a partir de la propia e.d.o. en que se basa el modelo logstico.

    1 Introduccin El estudio de modelos continuos basados en ecuaciones diferenciales ordinarias (e.d.o.s) resulta una parte fundamental de la formacin matemtica a nivel universitario, y en particular, en los estudios con intensificacin en economa donde el carcter dinmico de las variables econmicas hace muy apropiada la utilizacin de esta herramienta matemtica. En este trabajo se estudiar un modelo no lineal sencillo, denominado modelo logstico o de Verhlulst, para introducir al lector en la modelizacin dinmica del crecimiento de poblaciones. Como veremos en el desarrollo del trabajo, este modelo retiene conceptualmente muchas ideas frtiles para el estudio posterior de modelos ms complejos, lo que hace que sea un ejemplo muy adecuado para iniciarse al estudio de otros modelos continuos ms complejos. El estudio del modelo se motivar a partir de las limitaciones un modelo ms sencillo de tipo lineal, el denominado modelo exponencial o de Malthus que predice crecimiento ilimitado bajo ciertos supuestos. Posteriormente, utilizando resultados elementales sobre teora de e.d.o.s calcularemos la solucin del modelo y exploraremos sus principales propiedades tales como la monotona, curvatura y comportamiento a largo plazo.

    2 Objetivos Los principales objetivos docentes de este artculo son que el alumno sea capaz de:

    Reconocer el valor formativo de los modelos dinmicos basados en e.d.o.s as como su potencialidad y limitaciones para estudiar la compleja realidad econmica, particularizando esta crtica al modelo logstico de crecimiento de poblaciones y su estudio motivado a partir de las limitaciones del modelo exponencial.

    Estudiar los aspectos cualitativos y cuantitativos de modelos formulados a travs de e.d.o.s y discutir las propiedades que se infieren a partir, primero de su formulacin y despus de su solucin.

  • 3 El modelo continuo de crecimiento logstico o de Verhulst

    3.1 Planteamiento e interpretacin del modelo La introduccin del modelo de crecimiento logstico est motivada por el intento de mejorar el modelo continuo de crecimiento exponencial debido a T.R. Malthus (vase [1]). En el modelo malthusiano, cuyas variables son:

    p(t) : poblacin en el instante t ,

    p0 : poblacin inicial en el instante t0 ,

    constante de crecimiento relativo de la poblacin,

    se asume que la variacin de la poblacin est dada a travs del problema de valor inicial (p.v.i.) basado en una e.d.o. de primer orden lineal homognea a coeficientes constantes dado en la Ecuacin 1.

    p'(t) = p(t), t > t0 0

    p(t0) = p0

    #$%

    &%, IR y p0 > 0

    Ecuacin 1. Problema de valor inicial (p.v.i.) que define el modelo exponencial o de Malthus.

    Es sencillo ver que la solucin del modelo de Malthus est dada por la Ecuacin 2.

    p(t) =p0e

    (tt0 ) si 0,

    p0 si = 0.

    $%&

    '&

    Ecuacin 2. Dinmica de la poblacin del modelo de crecimiento dado en la Ec.1.

    En el caso en que el parmetro es positivo, el modelo predice una explosin de la poblacin a largo plazo (vase Ecuacin 3)

    limtp(t) =

    + si > 00 si < 0p0 si = 0

    $

    %&

    '&

    Ecuacin 3. Comportamiento asinttico o a largo plazo de p(t) en el modelo de Malthus.

    Este resultado est obviamente en contradiccin con el hecho de que en la prctica real ningn sistema poblacional puede crecer indefinidamente, ya que, los aforos de los ecosistemas y sus recursos son siempre limitados. Esta deficiencia del modelo exponencial motiv histricamente que se formulasen otros modelos que la superasen. Fue el matemtico belga Pierre Franois Verhulst quien pocos aos despus de Malthus introdujo en el modelo malthusiano un trmino de freno

    no lineal p(t)( )2

    siendo > 0 , y prob que el nuevo modelo explicaba

    satisfactoriamente la evolucin de numerosas poblaciones, cumpliendo adems que no explotaba a largo plazo. El modelo resultante puede verse en la Ecuacin 4. Obsrvese que en la formulacin de dicho modelo se asume > 0 , ya que el

  • modelo logstico se plantea en el caso en que el modelo exponencial no resulta satisfactorio.

    p'(t) = p(t) p(t)( )2, t > t0 0

    p(t0) = p0

    %

    &'

    (', , > 0 y p0 > 0

    Ecuacin 4. Problema de valor inicial (p.v.i.) que define el modelo logstico o de Verhulst.

    Aunque todava no hemos calculado la solucin del modelo logstico, s es posible saber su comportamiento a largo plazo, es decir, el valor de lim

    tp(t) = L , asumiendo

    la existencia de dicho lmite y, teniendo en cuenta que nos interesa justificar un comportamiento no explosivo (es decir, que L ) y al mismo tiempo, que no estamos interesados en soluciones en las que la poblacin se extingue, que corresponde al caso L = 0 (situacin que, recordemos, tambin pronostica el modelo malthusiano, pero que no conduce a ninguna contradiccin). En efecto, si tomamos lmites cuando t en la e.d.o. dada en la Ec.4 se deduce que el valor de L es L = / (vase Ecuacin 5).

    0 = L' = limtp(t)

    L

    #

    $

    %%%

    &

    '

    (((' = lim

    tp'(t) = lim

    tp(t) p(t)( )

    2#$%

    &'( = lim

    tp(t)

    L

    limtp(t)

    L

    #

    $

    %%%

    &

    '

    (((

    2

    = L L2

    0 = L L2 = L( L) L = 0 (hay extincin)

    L = > 0

    %

    &'

    ('

    Ecuacin 5. Clculo del comportamiento a largo plazo en el modelo logstico a partir de la e.d.o. dada en la Ec.4, i.e., sin conocer explcitamente su solucin.

    Esta deduccin del comportamiento del modelo a largo plazo, nos permite, suponiendo la existencia del lmite de su solucin a la largo plazo, reescribir la e.d.o. dada en la Ec. 4 de una forma equivalente que permite reinterpretar de forma muy intuitiva el modelo logstico (vase Ecuacin 6).

    p'(t) = (Lp(t))p(t), t > t0 0

    p(t0) = p0

    $%&

    '&, > 0,L =

    y p0 > 0

    Ecuacin 6. Reformulacin del modelo logstico en trminos de su comportamiento a largo plazo.

    Obsrvese que el modelo as escrito es del tipo Malthus, pero cuyo coeficiente de crecimiento relativo (denotada por en el modelo de Malthus) es ahora (t) = (Lp(t)) variable. Este coeficiente es negativo (positivo) siempre que la

    poblacin en cada instante t (no) supere al lmite mximo L

    que se puede alcanzar a largo plazo. Teniendo en cuenta el signo del segundo miembro de la e.d.o. dada en la Ec. 6, se tienen las conclusiones mostradas en la Ecuacin 7, relativas a la monotona, i.e., crecimiento/decrecimiento de la solucin.

  • Si p(t) < L p(t)>0

    >0

    (Lp(t))p(t) > 0 e.d.o.

    p '(t) > 0 p(t) crece

    Si p(t) > L p(t)>0

    >0

    (Lp(t))p(t) < 0 e.d.o.

    p '(t) < 0 p(t) decrece

    Ecuacin 7. Conclusiones acerca de la monotona de la solucin del modelo logstico a partir de la reformulacin del modelo dada en la Ec.6.

    Estas conclusiones nos indican que la poblacin disminuye (aumenta) siempre que (no) ha superado (llegado) a su lmite mximo de crecimiento. Esto refuerza, desde otro punto de vista, las diferencias significativas entre el modelo exponencial y el modelo logstico en trminos de los coeficientes y

    (t) = (Lp(t)) , respectivamente

    (vase Tabla 1).

    Modelo de Malthus Modelo de Verhulst signo de signo (t) = (Lp(t))

    Si > 0 Explosin a + Si L > p(t)(t) > 0 p(t) crece y limp(t) = Lt

    Si < 0 Extincin a 0 Si L < p(t)(t) < 0 p(t) decrece y limp(t) = Lt

    Tabla 1 Comparacin de los comportamientos entre los modelos de Malthus y Verhulst respecto de los coeficientes y

    (t) = (Lp(t)) , respectivamente.

    Posteriormente deduciremos rigurosamente las propiedades ms relevantes del comportamiento de la solucin del modelo logstico, lo que nos permitir representar grficamente dicha solucin. Con objeto de sacar mayor jugo a la interpretacin del modelo, adelantamos en la Grfica 1 dicha representacin. Suponiendo que p(t) < L , obsrvese en dicha grfica que el segundo miembro de la e.d.o. dada en la Ec. 5 indica que la variacin instantnea de la poblacin en el instante t , dada por p'(t) , es directamente proporcional (siendo la constante de proporcionalidad > 0 ) a la poblacin p(t)

    que hay en dicho instante por el aforo

    disponible: L