INSTITUTO TECNOLGICO SUPERIOR DE CALKIN EN EL ESTADO DE CAMPECHE INGENIERA INDUSTRIAL Modelo multiplicativo de Winters/ Proceso estacional /Suavizacin exponencial Winters POR ING. JORGE ENRIQUE VARGAS MARTINEZ; MAD. Octubre del 2005 S Su ua av vi iz za ac ci i n n e ex xp po on ne en nc ci ia al l W Wi in nt te er rs s Ing. Jorge Enrique Vargas Martnez; MAD. 2 Modelo multiplicativo de Winters / Proceso estacional /Suavizacin exponencial Winters Varios mtodos consideran tres factores: la porcin constante de la demanda, la tendencia y la estacionalidad, se presenta el modelo multiplicativo de Winters (1960), formalmente el modelo es: donde a = porcin constantes b = pendiente de la componente de tendencia ct = factor estacional para el periodo t ct = aleatoriedad no controlable El mtodo de pronsticos consiste en estimar los parmetros del modelo y usarlos para generar el pronstico. La componente constante se estima en forma independiente de la tendencia y los factores estacionales, por lo que se llama constante no estacional.De la misma manera, el factor de tendencia debe ser independiente de los factores estacionales. Los factores estacionales se pueden ver como un porcentaje de las componentes constante y tendencia para el periodo t; si la demanda en un periodo dado de una estacin es menor que la componente de tendencia/constante, el factor estacional ser menor que uno, y si la demanda es mayor, ser mayor que uno. El nmero de factores estacionales debe ser igual al nmero de estaciones al ao. Para pronosticar, se obtienen las estimaciones iniciales de las componentes del modelo y se actualizan usando suavizamiento exponencial. Sea dt = demanda en el periodo t L = nmero de estaciones en el ao (o en otro marco de tiempo) T = Nmero de periodos de datos disponibles. St =Estimacin para el trmino constante a calculado en el periodo t Bt =Estimacin del trmino tendencia b calculado en el tiempo t. Ct = Estimacin del componente estacional para el periodo t. __ D = Demanda promedio global o = La constante para el trmino constante,| = La constante para la tendencia = La constante para los factores estacionales (Estas constantes son definidas por el pronosticador) T TBTD S|.|

\| + =21 Para comenzar el procedimiento, se necesita un valor inicial de St. Una estimacin natural es un promedio de los datos de una o ms estaciones completas. No debe usarse una parte de una estacin; si se usan slo los primeros 9 datos puede ( )t t tc bt a d c + + =S Su ua av vi iz za ac ci i n n e ex xp po on ne en nc ci ia al l W Wi in nt te er rs s Ing. Jorge Enrique Vargas Martnez; MAD. 3 obtenerse una mala estimacin porque una demanda menor o mayor en el primer trimestre no refleja la demanda promedio Cuando hay tendencia, el promedio de uno o ms aos histricos completo proporcionan una estimacin inicial de a. Este promedio incluye la demanda mas baja del principio, lo mismo que la demanda ms alta del final de los datos histricos. Para determinar la porcin constante del proceso en el tiempo T debe corregirse por tendencia. Por lo tanto, para calcular St, la estimacin de a, se necesita Bt, la estimacin de b. Se requieren al menos dos aos completos de datos para calcular Bt, con menos datos no se ver la diferencia entre la tendencia y la componente estacional. Se calcula la demanda promedio para cada uno de los dos ltimos aos y se resta el promedio del ms antiguo del promedio ms reciente. El resultado es el crecimiento en los dos aos, que debe convertirse en un crecimiento estacional dividiendo entre L, el nmero de estaciones por ao. Si se cuenta con ms de dos aos de datos, pueden usarse cualesquiera de ellos para estimar la pendiente. Si se usan el primero y el ltimo, con m aos de datos disponibles, se divide entre (m1)L en lugar de L para obtener el crecimiento por periodo. Una vez que se tienen St y Bt, una estimacin natural del factor estacional parecera ser la demanda en el periodo dividida entre el trmino constante. Sin embargo, debe corregirse por la parte de tendencia de la constante. Intuitivamente,la porcin constante del proceso en T 1 debe ser ms pequeo en Bt y ms pequeo en 2Bt en T 2. En general, una estimacin de la porcin constante del proceso para el periodo t ( t < T) es la estimacin de la constante en el tiempo T menos la estimacin de la tendencia multiplicada por el nmero de periodos, esto es, ST - BT* ( T t). Una vez hecho el ajuste por tendencia, se puede dividir la demanda real entre este valor ajustado, para obtener una estimacin del factor estacional. Se calculan los factores estacionales usando la siguiente frmula. ) ( t T B SdCT Ttt = dnde Ct, es la estimacin de ct. Se promedian los factores estacionales para la misma estacin de cada ao para eliminar el ruido. Estos factores estacionales, sin embargo, no necesariamente suman L . Para normalizarlos primero se determina R, el cociente de la duracin de la estacin entre la suma de los factores estacionales: S Su ua av vi iz za ac ci i n n e ex xp po on ne en nc ci ia al l W Wi in nt te er rs s Ing. Jorge Enrique Vargas Martnez; MAD. 4 + ==TL T ttCLR1 Esta razn se multiplica por los factores estacionales que se tienen para obtener nuevos: t tC R C =' t = TL+1, T-L+2, ., T El nmero de nuevos factores siempre es el mismo que los periodos en la estacin. Conforme se dispone de nuevos datos, se pueden actualizar las estimaciones con suavizamiento exponencial. Las constantes para el trmino constante, la tendencia y los factores estacionales se denotan por o,|, y , respectivamente. Dados ST-1, B T-1 y C T-L+1, C T-L+2, , C T-1, cuando se conoce dT se pueden determinarST, B T y C T. La estimacin del trmino constante ST ser Para actualizar la estimacin de la componente de tendencia, se usa la ecuacin. Por ltimo, los factores estacionales actualizado se estimarn con L TTTTCSdC +||.|

\|= ) 1 ( El pronstico para dentro de k periodos (k L) est dado por ( )L k T T T K TC kB S F + ++ = ( )( )1 11 + +||.|

\|=T TL TTTB SCdS o o( ) ( )1 11 + =T T T TB S S B | |S Su ua av vi iz za ac ci i n n e ex xp po on ne en nc ci ia al l W Wi in nt te er rs s Ing. Jorge Enrique Vargas Martnez; MAD. 5 Problema: Outdoor Furniture columpios. Usualmente los clientes compran ms columpios en los meses calientes que en los fros, de manera que las ventas cambian con las estaciones. Suponga que los columpios de Outdoor Furniture son muy buenos y la publicidad verbal hace que aumente el nmero de personas que los compran. Sus datos que reflejanestacionalidad y tendencia estn dados en la siguiente tabla y figura. Ao Trimestre123 1606984 2234266310 3163188212 4505964 En este caso, un ao se puede dividir en cuatro estaciones, cada una de tres meses. Por naturaleza, muchos procesos tiene algn nmero de estaciones durante un ao. Si los periodos son semanas, el ao tendra 52 estaciones. Los periodos de meses y trimestres tienen 12 y 4 estaciones en un ao, pero debe haber alguna explicacin de la estacionalidad. Los mtodos presentados aqu pueden usarse para cualquier longitud de estacin. Ejemplo: Determine los parmetros iniciales Bt y St por el mtodo estacional de Winters usando los datos de la tabla anterior. Paso 1: Se calcula el promedio para cada una de las dos ltimas estaciones de datos -Se calcula el promedio anual del ao 3. __ d3= Demanda promedio para el ao 3 d3= d9 + d10 + d11 + d12 = 84+310+212+64 =167.5 L4 dt = demanda en el periodo t L = nmero de estaciones en el ao (o en otro marco de tiempo) S Su ua av vi iz za ac ci i n n e ex xp po on ne en nc ci ia al l W Wi in nt te er rs s Ing. Jorge Enrique Vargas Martnez; MAD. 6 __ -El promedio para el segundo ao es d2= 145.5 As sucesivamente se calcula el promedio anual de ventas para los aos disponibles Ao Trimestre123 1606984 2234266310 3163188212 4505964 Promedio anual126.70145.50167.5 Promedio global146.58 -Se calcula Bt restandoel promedio para el ao 2 del promedio para el ao 3 se obtiene el crecimiento de un ao y se divide entre 4 para obtener el crecimiento por periodo. Se tiene: ____ Bt= d3 - d2 = 167.5 145.5=5.5 L4 Bt =Estimacin del trmino tendencia b calculado en el tiempo t. Paso 2: Se calcula el promedio global. __ D = 146.58 -Se calcula la estimacin inicial del trmino constante St, en el periodo 12 (total de datos para las estimaciones) seria T TBTD S|.|

\| + =215 . 521 128 . 146|.|

\| + == 176.83 La estimacin para la porcin constante St se calcul de manera que reflejara el proceso en el tiempo T. Intuitivamente,la porcin constante del proceso en T 1 debe ser ms pequeo en Bt y ms pequeo en 2Bt en T 2. Paso 3: Se calculan los factores estacionales -Para calcular una estimacin del factor estacional para el periodo 1, se divide d1 entre el trmino constante para el periodo 1. El trmino constante ajustado ser ST - BT x (12 1) = 176.83 5.5 x 11 = 116.33 S Su ua av vi iz za ac ci i n n e ex xp po on ne en nc ci ia al l W Wi in nt te er rs s Ing. Jorge Enrique Vargas Martnez; MAD. 7 Se divide d1 = 60 entre 116.33 y resulta C1 = 0.52. Este resultado se interpreta que las ventas del primer trimestre son alrededor de 52% del valor promedio. Despus se calculan los factores estacionales para el primer trimestre de los aos 2 y 3 y se hace C9 igual al promedio de los tres. Calculo de los trminos constantes ajustado Ao Trimestre123 1116.33138.33160.33 2121.83143.83165.83 3127.33149.33171.33 4132.83154.83176.83 Calculo de los factores estacionales Ao Trimestre123PromedioAjustado 10.520.500.520.51280.51 21.921.851.871.87981.88 31.281.261.241.25881.26 40.380.380.360.37310.37 Suma4.02464.02 Paso 4: Se pronostica k periodos futuros. -Clculo de d13 St =

Estimacin para el trmino constante a calculado en el periodo t St = 176.83 Bt =

Estimacin del trmino tendencia b calculado en el tiempo t. Bt = 5.5 Ct = Estimacin del componente estacional para el periodo t. C9 = 0.51 ct = aleatoriedad no controlable ct = 4 d13 = ( 176.83 + 5.5 ) * 0.51 + 4 = 97 -Si o =0.15 ; | =0.1y =0.2, se actualizan los parmetros y se pronostican los periodos 14 -17 Sea S12 = 176.83, B12= 5.5, C9 = 0.51, C10 = 1.87, C11 = 1.25 y C12 = 0.37. La nueva estimacin constante es ( )t t tc bt a d c + + =S Su ua av vi iz za ac ci i n n e ex xp po on ne en nc ci ia al l W Wi in nt te er rs s Ing. Jorge Enrique Vargas Martnez; MAD. 8 ( )( )1 11 + +||.|

\|=T TL TTTB SCdS o o S13 = o (d13/C9) + (1- o)S12 S13 =0.15 ( 97 / 0.51 ) + (1-0.15 ) x 176.83 = 0.15 (190.19) + 0.85 x 176.83 = 178.83 -Ahora se puede actualizar la componente de tendencia: B13 =| ( S13 - S12 ) + (1- |) B12

B13 =0.1 (178.83 - 176.83 ) + (1-0.1) x 5.5 = 0.1 (2) + 0.9 x 5.5 = 5.15 -Por ultimo, se puede calcular una nueva estimacin estacional para el periodo 13, que es el primer periodo. Resulta L TTTTCSdC +||.|

\|= ) 1 ( C13 = (d13 / S13 ) + ( 1- ) C9 C13 =0.2 ( 97 / 178.83) + ( 1-0.2) x 0.51 = 0.2 (0.54) + 0.8 x 0.51 = 0.516 Como al redondear C13 a 0.52 se obtiene un valor diferente, es necesario normalizar los factores estacionales. Los nuevos factores son 0.52, 1.86, 1.25 y 0.37 -Para hacer un pronstico suavizado por Winters para el periodo 14 se tendra ( )L k T T T K TC kB S F + ++ = F14 = (S13 + 1 x B13) C10 = (178.83 + 5.15) x 1.87 ~ 342.21 -De manera similar, el pronstico para el periodo 17 ser F17 = (S13 + 4 x B13) C13 = ( 178.83 + 4 x 5.15) x 0.516 ~ 102.90 En ambos casos se uso el factor estacional para el periodo correspondiente de la estacin anterior. Si se quiere pronosticar el periodo 20 ( k = 7 ), el entero ms pequeo mayor que 7/4 es 2, de manera que se usara el factor estacional,para el periodo 13 + 7 2 x 4 = 12 ( ) ( )1 11 + =T T T TB S S B | |S Su ua av vi iz za ac ci i n n e ex xp po on ne en nc ci ia al l W Wi in nt te er rs s Ing. Jorge Enrique Vargas Martnez; MAD. 9 BIBLIOGRAFA 1. Sipper Daniel / Bulfin Robert L., Planeacin y control de la produccin, 1 edicin, 1impresin, Mxico D.F., Mc. Graw Hill, Junio 1999, pp. 134 -140.