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UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA

SEDE BOGOTÁ

Modelo numérico micromecánico del procesode fractura de estructuras fabricadas con

bambú Guadua angustifolia

Martín Estrada Mejía

Universidad Nacional de ColombiaFacultad de Ingeniería, Departamento de Ingeniería Mecánica

Bogotá, Colombia2016

Modelo numérico micromecánico del proceso defractura de estructuras fabricadas con bambú

Guadua angustifolia

Martín Estrada Mejía

Tesis presentada como requisito parcial para optar al título de:Doctor en Ingeniería - Ciencia y Tecnología de Materiales

Director:Ph.D. Dorian Luis Linero Segrera

Jurados:Diego Alexander Garzón Alvarado Universidad Nacional de Colombia - BogotáJuan Manuel Lizarazo Marriaga Universidad Nacional de Colombia - BogotáFernando Ramírez Rodríguez Universidad de los Andes

Línea de Investigación:Mecánica estructural, optimización y modelamiento de materiales

Grupo de Investigación:Análisis, diseño y materiales - GIES

Universidad Nacional de ColombiaFacultad de Ingeniería, Departamento de Ingeniería Mecánica

Bogotá, Colombia2016

A mis hijas.Sin ellas habría terminado esta tesis tres años antes,

pero estos no habrían sido los mejores años de mi vida.

Agradecimientos

En primer lugar, quiero agradecer a los miembros del jurado evaluador de esta tesis:Fernando Ramírez, Diego A Garzón y Juan M Lizarazo. Sus oportunos comentariosy preguntas durante la sesión de sustentación ayudaron a precisar y complementar eldocumento.

Agradezco a mi familia, que me apoyó y enriqueció el trabajo.

A Natalia, . . . Si se pudiera expresar el agradecimiento que tengo hacia ella, no alcan-zarían las hojas para escribirlo ni el tiempo para contarlo.

Por último, quiero agradecer especialmente al profesor Dorian Linero, con quien tengoel honor de compartir oficina. Dirigió y revisó todo el proceso con gran entusiasmo,hasta en los más pequeños detalles. Su amplio conocimiento y aptitud para el trabajofueron herramientas indispensables para la buena realización de esta tesis. También aMaria Fernanda por recibirme amablemente en su casa para trabajar.

Resumen

El Bambú Guadua angustifolia (BGA) es un material apto para la construcción graciasa su carácter compuesto, su naturaleza funcionalmente gradada, su resistencia, su formay su abundancia.

Esta tesis estudia el proceso de fractura y la respuesta estructural del Bambú Guaduaangustifolia Laminado (BGL) como material compuesto, teniendo en cuenta el compor-tamiento de su matriz y sus fibras por separado. Para ello, se plantea e implementa unmodelo numérico micromecánico en condición plana de esfuerzos y deformación infini-tesimal, en el marco del Método de los Elementos Finitos (MEF). El comportamiento delas fibras se representa a partir del modelo de plasticidad unidimensional, con una mo-dificación del parámetro de ablandamiento. La matriz responde al modelo constitutivode daño isótropo, con el cual se detecta la degradación del material durante la falla. Elcomportamiento del compuesto se determina mediante una teoría de homogenización yse implementó la metodología de la Metodología de las Discontinuidades Fuertes en elContinuo (CSDA) y el análisis de bifurcación material, para detectar la ubicación y elinstante de aparición de cada fisura en el BGL.

Se determinó que la metodologia de fibras largas con diámetro despreciable es la teoríade homogenización más apropiada y sencilla para describir el comportamiento del BGL.Lo anterior se concluyó comparando la rigidez, resistencia y energía por ablandamiento,con la teoría de mezclas clásica y los modelos de campo medio.

El comportamiento del grupo de fibras se representó a partir del modelo constitutivo delas fibras individuales, del modelo estadístico de Weibull y de una técnica propuesta defallo progresivo. Ese modelo determinó acertadamente el módulo de elasticidad inicial,el esfuerzo normal máximo y la energía de deformación por ablandamiento.

Se realizaron simulaciones numéricas de probetas fabricadas con BGL sometidas a fuerzaaxial. Se concluyó que el modelo implementado representa satisfactoriamente la respues-ta estructural y la trayectoria de fisuración de los elementos de BGL.

Palabras clave: bambú Guadua angustifolia, bambú laminado, modelo constitutivo,falla progresiva, fractura, mecánica computacional, materiales compuestos.

ix

Abstract

The Bamboo Guadua angustifolia (BGA) is a material suitable for construction due toits composite characteristics, functionally graded nature, strength, shape, and abun-dance.

In this thesis, the fracture process and the structural response of the Laminated BambooGuadua angustifolia (BGL) were studied as a composite material, taking into accountthe behavior of its matrix and its fibers separately. For this purpose, a micromechanicalnumerical model is proposed and implemented in plane stress condition and infinitesimaldeformation, following the Finite Element Method. The fibers’ mechanical behavioris determined using the one-dimensional plasticity model, by modifying the softeningparameter. The matrix responds to the isotropic damage constitutive model, whichdetects the degradation of the material during the failure. The mechanical behavior,the time of failure, and the location of each crack in the BGL are determined by ahomogenization theory, the material bifurcation analysis, and the Continuum StrongDiscontinuities Approach (CSDA).

This work concluded that the methodology of long fibers with negligible diameter is themost appropriate and simple homogenization theory to describe the behavior of BGL.This conclusion was reached by comparing this model with the classical mixing theoryand the mean field models, measuring the stiffness, strength, and fracture energy.

The behavior of the fibers group is represented by the constitutive model of the indivi-dual fibers, the Weibull statistical model, and a proposed progressive failure technique.This constitutive model accurately determined the initial elasticity modulus, the maxi-mum normal stress, and the softening energy.

BGL specimens with axial load were simulated with the proposed numerical model. Thisthesis concluded that the implemented model satisfactorily represents the mechanicalresponse and the cracking path of the BGL structural members.

Keywords: bamboo Guadua angustifolia, laminated bamboo, constitutive model, pro-gressive failure, fracture, computational mechanics, composite materials.

x

Contenido

Agradecimientos vii

Resumen ix

Abstract x

Lista de símbolos xvii

Introducción 1

1 Guadua rolliza, guadua laminada y su comportamiento mecánico 71.1 Bambú Guadua angustifolia (BGA): el bambú colombiano . . . . . . . . 71.2 El Bambú Guadua angustifolia Laminado (BGL) . . . . . . . . . . . . . 101.3 Fibras del BGA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.4 Fracción volumétrica de fibras en la pared del culmo . . . . . . . . . . . 13

2 Modelos constitutivos y mecánica de materiales 152.1 Modelos constitutivos para materiales isótropos . . . . . . . . . . . . . 15

2.1.1 Modelo de plasticidad unidimensional . . . . . . . . . . . . . . . 162.1.2 Modelo de daño continuo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.1.3 Modelo de daño para esfuerzos planos . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.2 Mecánica de materiales compuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242.2.1 Teoría de mezclas generalizada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.2.2 Teoría de mezclas clásica para materiales compuestos . . . . . . 272.2.3 Modelo de fibra con diámetro despreciable . . . . . . . . . . . . 282.2.4 Modelos de campo medio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292.2.5 Modelo de la inclusión equivalente de Eshelby . . . . . . . . . . 31

xi

2.2.6 El tensor de Eshelby . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342.2.7 Modelo Mori-Tanaka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

2.3 Representación de la fractura mediante la Metodología de las Disconti-nuidades Fuertes en el Continuo (CSDA) . . . . . . . . . . . . . . . . . 362.3.1 Localización de deformaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362.3.2 Cinemática de las discontinuidades fuertes . . . . . . . . . . . . 382.3.3 Condición de equilibrio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392.3.4 Módulo de ablandamiento regularizado . . . . . . . . . . . . . . 40

3 Modelo numérico del Bambú Guadua angustifolia Laminado (BGL) 433.1 Modelo constitutivo del BGL como material compuesto . . . . . . . . . 433.2 Modelo constitutivo del grupo de fibras de BGA . . . . . . . . . . . . . 46

3.2.1 Distribución de probabilidad en las propiedades de las fibras . . 463.2.2 Parámetros de Weibull . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 473.2.3 Modelo de falla progresiva para grupos de fibras de BGL . . . . 493.2.4 Modelo de plasticidad uniaxial para el grupo de fibras de BGL . 51

3.3 Modelo constitutivo de la matriz de BGL . . . . . . . . . . . . . . . . . 543.4 Aplicación de la CSDA al BGL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

3.4.1 Cinemática enriquecida en el material compuesto . . . . . . . . 553.4.2 Análisis de bifurcación material en el BGL . . . . . . . . . . . . 55

4 Resultados de simulaciones numéricas 594.1 Determinación del modelo de homogenización . . . . . . . . . . . . . . 594.2 Respuesta mecánica de grupos de fibras de BGL . . . . . . . . . . . . . 624.3 Simulación numérica de un ensayo a tracción de BGL . . . . . . . . . . 65

Productos derivados de la tesis 75

Referencias 77

xii

Lista de figuras

1-1 Bambú Guadua angustifolia (BGA) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91-2 Sección transversal de la pared del culmo de BGA. . . . . . . . . . . . . 101-3 Proceso esquemático de la fabricación de BGL. . . . . . . . . . . . . . . 111-4 Relación esfuerzo - deformación de fibras de BGA . . . . . . . . . . . . 121-5 Procesado de imagen para determinar la fracción volumétrica de fibras 13

2-1 Modelo de plasticidad unidimensional con endurecimiento isótropo . . . 162-2 Elementos del modelo de daño uniaxial . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202-3 Configuración del material compuesto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262-4 Configuración de un material compuesto reforzado con fibras largas en

la dirección s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292-5 Etapa i del modelo de Eshelby . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312-6 Etapa ii del modelo de Eshelby . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322-7 Etapa iii del modelo de Eshelby . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322-8 Etapa iv del modelo de Eshelby . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322-9 Etapa v del modelo de Eshelby . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332-10Bifurcación de la respuesta mecánica de un sólido que sufre ablandamien-

to por deformación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372-11 Zonas en el proceso de fractura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372-12Cuerpo continuo Ω con discontinuidad de desplazamientos S . . . . . . 382-13Representación gráfica de las funciones HS(x), ϕ(x) yMS(x) . . . . . 39

3-1 Curva Weibul del área de la sección transversal de las fibras de BGA . . 483-2 Curva Weibul de la deformación límite de las fibras de BGA . . . . . . . 483-3 Curva Weibul de la resistencia de las fibras de BGA . . . . . . . . . . . 49

xiii

3-4 Relación entre el esfuerzo normal y la deformación longitudinal en elmodelo de falla progresiva: (a) una sola fibra, (b) grupo de fibras . . . . 50

3-5 Relación esfuerzo - deformación de las fibras de BGL . . . . . . . . . . . 543-6 Esquema de la respuesta estructural de una probeta de material com-

puesto sometida a tracción. Fuente: (Linero, Oliver, & Huespe, 2006) . 56

4-1 Variación de los parámetros del material compuesto . . . . . . . . . . . 614-2 Respuesta mecánica de grupos de fibras . . . . . . . . . . . . . . . . . . 634-3 Coeficientes de variación de la respuesta de grupos de fibras de BGL: (a)

cov(σfu), (b) cov(Ef ), (c) cov(uf ). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 644-4 Probeta experimental para ensayos de tracción en BGL. . . . . . . . . . 664-5 Probeta de BGL para las simulaciones numéricas . . . . . . . . . . . . . 664-6 Respuesta estructural P/Ao Vs. δ/lo del ensayo a tracción de una probeta

de BGL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 674-7 Iso-líneas de desplazamiento en diferentes momentos del ensayo numérico 684-8 Estado final de probetas de BGL sometidas a tracción . . . . . . . . . . 69

xiv

Lista de tablas

1-1 Factores conocidos en los modelos constitutivos de la matriz y las fibras. 111-2 Propiedades mecánicas de fibras de BGA (Estrada, 2010) . . . . . . . . 121-3 Relación de aspecto de diferentes especies de bambú. . . . . . . . . . . 13

3-1 Parámetros de forma α y escala β de Weibull, mediana Me y moda Mo

para el área transversal Af , resistencia σfu y deformación límite εfu defibras de BGA. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

4-1 Medidas de dispersión de los resultados de las simulaciones de compor-tamiento longitudinal de grupos de fibras de BGA. . . . . . . . . . . . . 65

xv

Lista de símbolos

Abreviaturas

BGA Bambú Guadua angustifolia

BGL Bambú Guadua angustifolia Laminado

CDF Función de Densidad de Probabilidad Acumulativa

CSDA Metodología de las Discontinuidades Fuertes en el Continuo

MEF Método de los Elementos Finitos

Convención general de fuentes

Ejemplo Descripción

a, α, A Funciones y cantidades escalaresa, n, r VectoresB, σ Tensores de segundo ordenC, A Tensores de cuarto ordenU , V Espacios

Símbolos con letras latinas

Símbolo Descripción

a1 , a2 , a3 Ejes principalesA Tensor de concentración de deformacionesAf Tensor de concentración de deformaciones en las fibrasAfdil Tensor de concentración de deformaciones en las fibras en estado diluto

xvii


AfMT Tensor de concentración de deformaciones en las fibras de Mori y TanakaB Tensor de concentración de esfuerzosBf Tensor de concentración de esfuerzos en las fibrasb Vector de fuerzas de cuerpoAo Área transversal de referenciaAf Área transversal de fibrasAfef Área transversal efectiva de las fibrasAf Promedio del área transversal de una fibraAsp Área transversal de la probeta (specimen)C Tensor constitutivoCe Tensor constitutivo elásticoCtg Tensor constitutivo tangenteCitg Tensor constitutivo tangente del componente iCftg Tensor constitutivo tangente de las fibrasCmtg Tensor constitutivo tangente de la matriz[C]

Matriz constitutiva[Ce

]Matriz constitutiva elástica

Cijkl Componente ijkl del tensor constitutivoCij Componente ij de la matriz constitutivad Variable de dañoE Módulo de elasticidadEf Módulo de elasticidad inicial de las fibrasEtg Módulo de elasticidad tangenteEftg Módulo de elasticidad tangente de las fibrasf Función de fluencia / criterio de dañoGf Energía de fracturaGff Energía de fractura de las fibrasGmf Energía de fractura de la matrizH Módulo de endurecimiento/ablandamientoHS Función heavysideI Tensor unitario de cuarto ordenki Fracción volumétrica del material componente ikf Fracción volumétrica de las fibraskf(i) Fracción volumétrica de la fibra ikm Fracción volumétrica de la matriz

xviii


l Longitud (fibras)lo Longitud inicialMe Mediana estadísticaMo Moda estadísticaMS Función de salto unitario en la discontinuidadn Vector normal a la superficie de discontinuidadn Número de datos o de materiales componentesnf Número de fibrasnf Promedio de fibras por unidad de áreapijk Vector permutaciónQ Tensor de localizaciónQtg Tensor de localización tangenteQmtg Tensor de localización tangente de la matriz

q Variable interna tipo esfuerzor Variable interna tipo deformaciónS Tensor de EshelbySijkl Componente ijkl del tensor de EshelbyS Superficie de discontinuidads Vector dirección longitudinal de las fibrasto Vector tracción en la superficie elipsoidalt Tiempo o seudo-tiempotb Tiempo de bifurcaciónu Vector de desplazamientos[[u]] Salto o discontinuidad en la tasa de los desplazamientosV Volumen totalV i Volumen del material componente iw Punto de Gauss angularx Vector posición de un punto material

Símbolos con letras griegas


α Parámetro de forma de la distribución de WeibullαA Parámetro de forma de Weibull para el área transversalαε Parámetro de forma de Weibull para la deformación límite

xix


ασ Parámetro de forma de Weibull para la resistenciaβ Parámetro de escala de la distribución de WeibullβA Parámetro de escala de Weibull para el área transversalβε Parámetro de escala de Weibull para la deformación límiteβσ Parámetro de escala de Weibull para la resistenciaΓ Superficie del dominio del materialΓu Superficie del dominio con desplazamientos impuestosΓσ Superficie del dominio con fuerzas impuestosδ Desplazamientoδd Desplazamiento al costado derechoδS Función delta de Dirac en la superficie de discontinuidadε Tensor de deformacionesεA Tensor de deformación uniforme en el dominioεC Tensor de deformación producida por el vector tracciónε Deformaciónεe Deformación elásticaεp Deformación plásticaεfu Deformación límite de las fibrasεf(i)u Deformación límite de la fibra iεf(i) Deformación del grupo de fibras en el instante iεi Deformación del material componente iεo Deformación libre del elipsoideεij Componente ij de la deformaciónζi Punto de Gauss longitudinal en dirección iθ Inclinaciónλ Multiplicador plásticoℵ Parámetro de acoplamientoν Relación de Poissonνf Relación de Poisson de las fibrasνm Relación de Poisson de la matrizρ Densidadρf Densidad de las fibrasρm Densidad de la matrizσ Tensor de esfuerzosσef Tensor de esfuerzos efectivos

xx


σfu Resistencia de las fibrasσf(i)u Resistencia de la fibra iσf(i) Esfuerzo axial del grupo de fibras en el instante iσfef Esfuerzo efectivo de las fibrasσy Esfuerzo de fluenciaσi Esfuerzo del material componente iσij Componente ij de esfuerzoσfss Esfuerzo longitudinal de las fibrasσss Esfuerzo en la dirección de las fibrasσm Tensor de esfuerzos de la matrizφ Diámetro (fibras)ψ Energía libre de deformaciónψe Energía libre de deformación elásticaψi Energía libre de deformación del componente iΩ Dominio del materialΩf Dominio de la fibra elipsoidalΩ− Dominio antes de la discontinuidadΩ+ Dominio después de la discontinuidadΩh Dominio de la banda de concentración

Operadores

Operador Descripción

• Tasa, o cambio en el tiempo, de •• Media aritmética de •max(•) Máximo valor de •mın(•) Mínimo valor de •∑• Sumatoria de •

σ(•) Desviación estándar de •cov(•) Coeficiente de variación de •γ1(•) Oblicuidad (skewness) de •sign (•) Signo de •∂•∂x

Derivada parcial de • respecto a x

|•| Valor absoluto de •

xxi

Subíndice Descripción[•]T

Matriz transpuesta[•]−1

Matriz inversa

• ⊗ • Producto tensorial• · • Contracción tensorial• : • Doble contracción tensorial[[•]] Discontinuidad o salto de •∇ Gradiente u operador diferencialP (•) Probabilidad de que (•) ocurradet(•) Determinante de •

Subíndices

Subíndice Descripción

o Inicial o estado de referenciae Elásticoef Efectivop Plásticou Últimotg Tangentesec Secanteser En seriepar En paralelodil DiluídoMT Mori-TanaaSC Auto consistente (Self Consistent)1, 2, 3 Direcciones principalesI, II, III, IV, V EtapaS DiscontinuidadΩ Dominio del materialss Dirección sb Bifurcaciónd Extremo derecho

xxii

Superíndices

Superíndice Descripción

f Fibrasm Matrizi Iésimo componenten Enésimo componenteT Transpuesto−1 Inversoh Ancho de bandasp Probeta o espécimenS Simétrico

xxiii

Introducción

The engineering method is “the strategy for causing thebest change in a poorly understood or uncertainsituation within the available resources”

(Koen, 2003)

El Bambú Guadua angustifolia (BGA) es un material “inteligente” y apto para la cons-trucción gracias a su carácter compuesto y funcionalmente gradado, su anatomía, suforma, su abundancia y su buen comportamiento estructural en construcciones existen-tes. Actualmente la norma de diseño y construcción sismorresistente de Colombia (AIS,2010, título G) incluye las recomendaciones necesarias para construir estructuras coneste material. Esta última actualización corresponde a la primera vez que dicho ma-terial hace parte de la normativa de construcción colombiana, con lo cual se reconocesu alto potencial como material de construcción. Este es un hecho que impulsa a lacomunidad académica colombiana a explorar con profundidad la respuesta estructuralde este bambú.

A pesar de que el BGA y el Bambú Guadua angustifolia Laminado (BGL) han demos-trado ser materiales apropiados para la construcción de estructuras civiles, su compor-tamiento mecánico sigue siendo tema de investigación. Recientemente investigadorescomo Ghavami, Rodríguez, y Paciornik (2003), López y Correal (2009), Takeuchi, Ri-vera, y Rusinque (2009) y Takeuchi (2013), entre otros, han contribuido a determinarlas propiedades mecánicas de rigidez y resistencia del BGA en su configuración rolli-za y laminada, encontrando que tiene un desempeño estructural extraordinario y ungran potencial en la construcción de obras civiles. De manera separada se han realizadoestudios sobre la anatomía y la microestructura de diferentes bambúes en el mundo

1

2 Introducción

(Liese, 1985, 1992, 1998) y algunos específicamente sobre el BGA (Gritsch et al., 2004;E. C. N. Silva, Walters, & Paulino, 2006; Moreno, Trujillo, & Osorio, 2007; Osorio,Vélez, & Ciro, 2007). Estas últimas investigaciones han revelado las características dematerial compuesto y funcionalmente gradado de esta planta, las cuales influyen en sucomportamiento mecánico. Si bien el proceso de caracterización mecánica es necesariopara conocer el material, la descripción analítica o teórica de su comportamiento tam-bién cobra relevancia, pues permite predecir la respuesta estructural de construccionesreduciendo significativamente la cantidad de ensayos de laboratorio.

Las prácticas de diseño estructural daban poca o ninguna importancia a la capacidadde predecir con precisión la resistencia a la rotura de la estructura (Hinton & Soden,1998). A comienzos del siglo XX, la práctica del diseño se basaba principalmente enun enfoque de “hacer y probar” que empleaba pruebas experimentales sobre elementosestructurales, por lo que normalmente no se tiene en cuenta la presencia de diferentesmateriales constituyentes, como las fibras y la matriz, en el comportamiento estructuralde elementos fabricados con este material. En la última década esta perspectiva haempezado a cambiar, de manera que la voluntad de la industria para optimizar eldiseño de nuevos productos y explotar el rendimiento de los materiales compuestosen aplicaciones cada vez más complejas requiere modelos constitutivos refinados quepermitan realizar análisis estructurales y predicciones de falla más realistas.

El planteamiento de un modelo constitutivo que represente la respuesta mecánica delBGL con las características antes mencionadas, no es una tarea sencilla, ya que unanálisis realista de los elementos estructurales hechos de materiales compuestos comoeste requiere una descripción adecuada de las relaciones de esfuerzo-deformación nolineales en una escala micro o macroscópica. Incluso el modelado de una sola láminaresulta bastante complejo, ya que fenómenos como fracturas, delaminación, pandeo delas fibras y grandes deformaciones deberían ser considerados junto con sus interaccionesmutuas (Serpieri, 2005). El BGL es un material compuesto conformado por un conjuntode fibras largas embebidas en una matriz. En consecuencia, las técnicas empleadas enel análisis de materiales isotrópicos homogéneos no son adecuadas y aun el modeladodel material compuesto como un solo material ortotrópico puede ser insuficiente. Lamicroestructura de un compuesto reforzado con fibras largas, aunque sea pequeña encomparación con las dimensiones macroscópicas, debe pensarse como una estructura“real” y por lo tanto requiere el mismo grado de precisión y detalle analítico que la

Introducción 3

macroestructura. Sin embargo, como lo muestra, el costo computacional de un enfoquecompleto multiescala para un análisis estructural no lineal a gran escala todavía noestá al alcance de los computadores ordinarios, incluso con cálculos paralelos (Oller,2002).

Con el objetivo de diseñar métodos confiables de análisis que posean al mismo tiempouna precisión y un costo computacional razonable, han aparecido varios modelos queadoptan una solución basada en la descripción de la macroescala del material com-puesto a través de la acción combinada de materiales componentes mediante técnicasde homogenización (Oller, 2002). La característica esencial de estos métodos consisteen que evitan un análisis numérico completo en dos escalas, para lo cual se representala microescala a través de un modelo analítico asociado a un conjunto de parámetrosde cada constituyente del material compuesto (Serpieri, 2005). Así, el comportamientomecánico del material compuesto depende de las leyes constitutivas de cada materialcomponente, sus fracciones de volumen y su distribución morfológica en el interior delcompuesto.

En particular, no se han encontrado investigaciones en las que obtengan el comporta-miento del material compuesto natural BGA ni del BGL, a partir de modelos constituti-vos que representen a su matriz y sus fibras. Con la presente investigación se pretendeavanzar en el planteamiento de un modelo constitutivo para el BGL que dependa dela ley constitutiva de las fibras y la matriz como materiales constituyentes diferentes.Un modelo de material compuesto que describa correctamente al BGL contribuye aentender mejor la mecánica del material y, en futuras investigaciones, a predecir demanera precisa la respuesta estructural de construcciones fabricadas con este material.Específicamente, en esta tesis se desarrollan los siguientes objetivos específicos:

• Determinar los modelos constitutivos más adecuados para representar el comporta-miento mecánico de la matriz de lignina y las fibras de celulosa, como materialesindependientes.• Formular un modelo micromecánico de homogenización que permita calcular las pro-

piedades constitutivas equivalentes del BGL, como material compuesto conformadopor la matriz y las fibras.

4 Introducción

• Formular un modelo de fractura basado en la metodología de las discontinuidadesfuertes, que considere modelos constitutivos diferentes para cada uno de los materialescomponentes.• Desarrollar una herramienta para simular el comportamiento mecánico de elementos

fabricados con BGL, a partir de la implementación de los modelos micromecánico yde fractura en el método de los elementos finitos.• Realizar simulaciones numéricas de probetas normalizadas para verificar el modelo

numérico con resultados experimentales obtenidos por otros autores.

La observación de las formas en la naturaleza ha inspirado, en algunas ocasiones, eldiseño eficiente de las estructuras. En particular, se cree que la microestructura delbambú determina y optimiza su comportamiento mecánico, lo cual se puede verificarestudiando la acción simultánea de las fibras largas y la matriz de bambú a partir de suscomportamientos independientes, con lo cual se alimenta el proceso de homogenizaciónpara materiales compuestos. El proceso de fractura de la matriz y su comportamientoinelástico se puede representar mediante un modelo de daño enriquecido con deformacio-nes por ablandamiento y discontinuidades embebidas. Por otro lado, el comportamientoelastoplástico y la rotura de las fibras se puede expresar por medio de un modelo deplasticidad unidimensional y un esquema estadístico de fallo progresivo.

Con el fin de simular diferentes problemas mecánicos sin importar su geometría, elmodelo indicado se puede implementar en un esquema implícito no lineal del Métodode los Elementos Finitos (MEF). Por su lado, el proceso de fractura se representa me-diante la Metodología de las Discontinuidades Fuertes en el Continuo (CSDA) (Oliver,1996a).

El modelo propuesto obtiene la respuesta estructural a tracción de probetas de BGL,teniendo en cuenta el comportamiento de la matriz y las fibras que constituyen estematerial compuesto. A través de la comparación de los resultados numéricos con losensayos experimentales realizados por otros autores, se verifica la aproximación delmodelo numérico propuesto. Se plantea un modelo de homogenización para un materialcompuesto, mediante la combinación de modelos constitutivos de daño y plasticidadcon cinemática enriquecida y la simulación numérica con el método de los elementosfinitos para problemas no lineales bidimensionales. Tales técnicas son aplicadas pararesolver ensayos a tracción de probetas de BGL.

Introducción 5

La matriz del BGL no se puede extraer aisladamente de las fibras y, por lo tanto, noes posible realizar una caracterización mecánica de este componente. Esto implica queno se tienen registros de las propiedades mecánicas de este material. Por esta razón, larelación constitutiva de la matriz no se obtiene a partir de ensayos de laboratorio, sino desimulaciones numéricas, lo cual sugiere que podrían existir varios modelos constitutivosigualmente apropiados para representar el comportamiento de este componente.

Este documento tiene 4 capítulos. En el primero se describe el material concerniente aesta investigación. Se comienza presentando la anatomía del BGA, luego se explica en quéconsiste el BGL, cómo se fabrica y cuáles son las características de su microestructura.Después, se hace un recuento sobre las propiedades mecánicas de las fibras de celulosay su fracción volumétrica. El capítulo 2 presenta los elementos teóricos principales quese tienen en cuenta en la investigación. Primero se explican los modelos constitutivosclásicos de plasticidad unidimensional y de daño isótropo. Después, se describen unosmodelos de homogenización para materiales compuestos, en los cuales se tiene en cuen-ta la microestructura del material con diferentes enfoques: teoría de mezclas modelosde campo medio. Esta sección teórica termina enunciando los aspectos fundamentalesde la representación de la fractura en un continuo, mediante discontinuidades fuertesembebidas. En el capítulo 3 se recogen las características del material y los elementosteóricos de la mecánica de materiales para plantear un modelo numérico que representela respuesta mecánica de elementos estructurales fabricados con BGL. En primer lugarse muestra cómo modelar el material compuesto BGL a partir del modelo de fibra largacon diámetro despreciable. En segundo lugar, se explica detalladamente el paso porla estadística de Weibull para determinar un modelo de falla progresiva de las fibras.Dicho modelo proporciona los elementos necesarios para desarrollar un modelo de plas-ticidad unidimensional, modificado exclusivamente para representar el comportamientode BGL, el cual se puede utilizar para otros materiales naturales. En último lugar, sedetallan algunos aspectos que deben tenerse en cuenta durante la implementación dela CSDA para representar fractura en el MEF. Para terminar el documento, el capítulo4 presenta los resultados obtenidos a partir de simulaciones con los modelos plantea-dos. Primero, se explican las simulaciones que permiten escoger el modelo de fibra condiámetro despreciable para representar el compuesto BGL. Segundo, se muestran losresultados de simulaciones hechas con el modelo de falla progresiva y la evolución dela variabilidad en la respuesta mecánica de grupos de fibras con cantidades diferentes

6 Introducción

de fibras. Tercero, se propone una metodología inversa para determinar las propiedadesmecánicas de la matriz del BGL, a partir del modelo implementado en el MEF. Cabeaclarar que las propiedades mecánicas de la matriz no han sido caracterizadas aún,debido a la dificultad de los procedimientos de laboratorio necesarios.

Capítulo 1Guadua rolliza, guadua laminada y su comportamiento

mecánico

“Las propiedades de los culmos de bambú estándeterminadas por su estructura anatómica y son lascaracterísticas anatómicas del culmo las que, enúltimas, reflejan el uso final de este material.”

(Londoño, 2003)

En este capítulo se presenta el material BGL, el cual se fabrica a partir de láminas delculmo de BGA. Se explica la microestructura y otros elementos que son de utilidad encapítulos posteriores. En esta investigación se asume que existe una adherencia perfectaentre dichas láminas, por lo que el adhesivo no se tiene en cuenta en el estudio.

1.1 Bambú Guadua angustifolia (BGA): el bambú colombiano

El BGA ha sido ampliamente utilizado desde la época prehispánica en el actual territoriocolombiano (Villegas, 2003). Sin embargo, se encuentran declaraciones más precisas dealgunos viajeros de la Nueva Granada en épocas más recientes como aquella del DoctorSaffray (1948), quien afirmó a mediados del siglo XIX que

La gigantesca gramínea sirve para los usos más variados; los retoños se comencomo legumbres, o se conservan en vinagre. Por lo que hace al crecimiento essumamente rápido; cuando la planta llega a tener dos o tres pies de altura, crece

7

8 Capítulo 1. Guadua rolliza, guadua laminada y su comportamiento mecánico

ocho centímetros en veinticuatro horas. El bambú es adulto a la edad de cuatroo cinco años (. . . ). Allí donde crece el bambú, la madera es casi inútil. Nada máselegante que una casa construida con este vegetal . . . (Saffray, 1948)

El bambú es un recurso social y ambientalmente amigable. Por una parte, el BGA hacontribuido a reducir el gran déficit de viviendas en Colombia, como lo evidencia elhecho de que sea utilizado especialmente por personas de escasos recursos económicos,quienes no tienen acceso a otros materiales para resolver sus necesidades de vivienda.Por otra parte, el BGA es un recurso renovable muy apto para la explotación forestal.Ha sido clasificado como una de las 20 mejores especies de bambú en el mundo por suspropiedades, tamaño y uso. Como explica Villegas (2003),

su alta densidad por hectárea, su crecimiento precoz, su inmediata posibilidad deaprovechamiento y su enorme capacidad de renovación sin acudir a resiembras, laconvierten en la especie nativa con mayores posibilidades económicas de Colombia(Villegas, 2003, p. 10).

Dentro de la clasificación “plantas fibrosas” se encuentran tres grandes grupos: las ma-deras latifoliadas, las maderas coníferas y las plantas no maderables, entre las cualesse destacan los bambúes. En Colombia, es muy común encontrar a las plantas de BGA.Éstas son plantas que pertenecen a la familia de los pastos Poaceae y la subfamiliabambusoideae, de donde viene su parecido con otras gramíneas como el arroz, el trigoy el maíz. El BGA no solo es la especie de bambú más abundante del país, sino quecuenta con propiedades físicas y mecánicas sobresalientes con respecto a otras especies(López & Silva, 2000). Además, tiene una durabilidad extraordinaria y su velocidad decrecimiento es sorprendente, pues puede cosecharse cada cuatro o seis años, a diferenciade la mayoría de maderas, que tardan aproximadamente veinte años en alcanzar sumadurez (López & Silva, 2000).

Las partes principales del bambú son el rizoma, el culmo (o tallo), las ramas y las hojas.Para efectos prácticos, el culmo se divide en la cepa, la basa, la sobrebasa, el varillón yel copo (figura 1-1a). Mientras que la cepa y la basa son especialmente aptas para laconstrucción de viviendas, las partes altas del culmo suelen destinarse a la fabricaciónde muebles y artesanías.

En términos fisiológicos, el culmo de bambú consta de dos partes principales, comose muestra en la figura 1-1b: los entrenudos, que son secciones cilíndricas huecas con

1.1. Bambú Guadua angustifolia (BGA): el bambú colombiano 9

copo

varillón

sobrebasa

basa

cepa

rizoma

pared delculmo

diafragma

nudo

entrenudo

Pared externa

Pared interna

(a) (b) (c)

Figura 1-1 Bambú Guadua angustifolia (BGA): (a) partes de una planta, (b) partes delculmo, (c) detalle de la pared del culmo

diámetro externo de hasta 25 cm aproximadamente, y los nudos o tabiques, que puedenestar separados entre 10 y 40 cm para esta especie de bambú (Takeuchi, 2013). Lascélulas fibrosas de estas dos regiones del culmo se comportan diferente, sobre todo ensu dirección, tamaño y cantidad. En los entrenudos están orientadas en la dirección lon-gitudinal (figura 1-1c), mientras que en los nudos se encuentran en sentido transversal,lo cual facilita el transporte de nutrientes y demás sustancias a través de los diafragmasnodales (Liese, 1985).

La microestructura del bambú, mostrada en la figura 1-2, indica que la sección trans-versal del culmo está compuesta por la pared externa, la pared interna, el parénquima(o tejido parenquimático) y los haces vasculares. El parénquima se compone principal-mente de células de lignina y hemicelulosa. Por su parte, cada haz vascular contieneel sistema conductivo (dos vasos, el xilema y el protoxilema) y los haces o grupos defibras. Las fibras están compuestas por cadenas de celulosa cuya unidad básica es la glu-cosa, la cual se polimeriza formando cadenas de macromoléculas alargadas de celulosa(Takeuchi, 2013). A partir de este punto se utiliza la palabra “fibra” para referirse a unhaz de fibras, debido a su reducido tamaño y su trabajo en conjunto. Así, para efectosde la mecánica del material, todo este sistema anatómico se reduce a dos materialescomponentes: fibras y matriz.

En las figuras 1-1c y 1-2 se observa que las fibras son paralelas y que el culmo exhibeuna proporción de fibras significativamente mayor hacia la pared externa que hacia la


interna. Lo anterior supone la forma eficiente de soportar las cargas de viento y depeso propio durante su crecimiento. En consecuencia, el culmo de todas las especies debambú tiene una estructura microscópica funcionalmente gradada (Amada, Ichikawa,Munekata, Nagase, & Shimizu, 1997; Amada & Untao, 2001; Ghavami et al., 2003;Takeuchi, 2013).

Pare

d e

xte

rna

Pare

d inte

rna

Parénquima Haz vascular

Figura 1-2 Sección transversal de la pared del culmo de BGA.

1.2 El Bambú Guadua angustifolia Laminado (BGL)

El culmo de bambú guadua en su estado natural o rollizo tiene, pues, una forma cilín-drica naturalmente optimizada para soportar las cargas a las cuales se somete la plantadurante su crecimiento y vida adulta. Sin embargo, la mayoría de construcciones cuen-tan con elementos estructurales que no están sometidos a un régimen de cargas similaral de las plantas en la naturaleza. Asímismo, su forma cilíndrica no es siempre la másapropiada para los elementos estructurales de una construcción. Además, no es raroque la magnitud de las cargas en las construcciones requiera elementos conformadoscon más de un culmo de bambú, y las dimensiones del elemento pueden llegar a serdemasiado grandes. Así, pues, los elementos estructurales con configuraciones diferen-tes a la aglomeración de varios culmos pueden ser más eficaces en su labor estructural.Como respuesta a esta situación, algunos investigadores y trabajadores del bambú hanpropuesto diferentes metodologías para transformar la materia prima y obtener páneleslaminados, elementos macizos, elementos prensados, fibras prensadas y esterillas pren-sadas, entre otras opciones (Xiao, Yang, & Shan, 2013; Xiao, 2016; Zhou, Xiao, Shan,& She, 2010; Zhou, 2010; CIMOC, 2010).

Entre todas las opciones que se han experimentado, la que se utiliza con mayor fre-cuencia es el BGL. Ello probablemente se debe a que esta configuración no deteriora

1.2. El Bambú Guadua angustifolia Laminado (BGL) 11

Corte longitudinal del culmo

Pulido de láminas Pegado y prensado

Figura 1-3 Proceso esquemático de la fabricación de BGL.

la matriz ni las fibras, a la vez que permite conservar sus propiedades físicas y mecá-nicas. El proceso general de fabricación del BGL consiste en cortar longitudinalmentesectores de un culmo, pulirlos para convertirlos en láminas de caras planas paralelas y,finalmente, pegarlas y prensarlas, como se esquematiza en la figura 1-3.

Los elementos estructurales de BGL, al igual que la pared del culmo de BGA, cuentancon fibras largas paralelas a su eje longitudinal, las cuales se encuentran repartidasde manera aproximadamente uniforme en la sección transversal. Dado que el adhesivogarantiza la adherencia entre las láminas (Correal & Ramírez, 2010), su capacidadmecánica depende únicamente del material.

La respuesta mecánica del compuesto BGL está supeditada a las propiedades de lamatriz y las fibras como sus participaciones volumétricas, sus módulos de elasticidad,sus resistencias a la tracción y sus energías de fractura, entre otras. La tabla 1-1 presentalos factores conocidos hasta el momento, los cuales sirven como punto de partida paralas simulaciones que se realizan en la tesis.

Tabla 1-1 Factores conocidos en los modelos constitutivos de la matriz y las fibras.

Material Propiedad Valor Unid. Ref.Matriz Densidad ρm 0.71 g/cm3 (Moreno, Trujillo, & Osorio,

2007)Relación de Poisson νm 0.35 (Marklund, 2007)

Fibras Densidad ρf 1.44 g/cm3 (Moreno, Trujillo, & Osorio,2007)

Relación de Poisson νf 0.20 (Marklund, 2007)Módulo elástico Ef 38500 MPa (Estrada, 2010)Resistencia a la tracción σfu 460 MPa (Estrada, 2010)Relación de aspecto l/φ 148.00 (Dagilis, 1999)


1.3 Fibras del BGA

El BGA está conformado por un importante porcentaje de fibras paralelas entre nudos,cuyas propiedades mecánicas son determinantes para el comportamiento del materialcompuesto. El proceso de extracción permite aislar haces de fibras de la matriz delignina.

Los resultados de la caracterización mecánica de 80 fibras de BGA realizada por Estrada(2010) se presentan en la tabla 1-2.

Tabla 1-2 Propiedades mecánicas de fibras de BGA (Estrada, 2010)

Prop. Dim. Mínimo Máximo Media Dev. St. Oblicuidadx mın(x) max(x) x σ(x) γ1(x)

lo (mm) 12.5600 32.3200 22.3210 4.7229 -0.0548Af (mm2) 0.0031 0.0585 0.0175 0.0115 1.5663εfu (-) 0.0029 0.0427 0.0158 0.0105 0.8498σfu (MPa) 187.6100 1151.9000 461.7900 227.9400 0.9742

La longitud y el área de cada fibra pueden exhibir una gran variabilidad a causa de latécnica que se utilice para su extracción y por la naturaleza de la microestructura delBGA. Por su parte, la variación de la resistencia y la deformación límite se deben a que elbambú es un material natural. La figura 1-4 indica la relación de esfuerzo-deformaciónuniaxial de algnas de las fibras de BGA ensayadas, donde se observa un comportamientolineal elástico hasta alcanzar un unbral de resistencia de esfuerzo σfu y de deformaciónεfu, a partir del cual se rompe la fibra de forma frágil.

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.030

100

200

300

400

500

600

700

800

900

Deformacion,

Esfu

erzo

últi

mo,

Figura 1-4 Relación esfuerzo - deformación de fibras de BGA

En la tabla 1-3 se presentan las relaciones de aspecto l/φ de algunas especies de bam-bú reportadas por otros investigadores, en donde l es la longitud y φ el diámetro de

1.4. Fracción volumétrica de fibras en la pared del culmo 13

las fibras. Allí se puede ver que las fibras de bambú, en general, pueden ser conside-radas como fibras largas. Este carácter de fibra larga permite simplificar los modelosmicromecánicos que se utilicen para homogeneizar el material.

Tabla 1-3 Relación de aspecto de diferentes especies de bambú.

Especie l/φ Ref.Bambusa vulgaris 240 (Dagilis, 1999)Guadua angustifolia 148 (Dagilis, 1999)Phyllostachys pubenses 140 (Dagilis, 1999)Yunnanicus 136.4 (Feng, Wang, & Guo, 2003)Whangee 140.5 (Feng, Wang, & Guo, 2003)Valki 142 (Ray, Mondal, Das, & Ramachandrarao, 2005)Promedio 150 - 250 (Liese, 1992)

1.4 Fracción volumétrica de fibras en la pared del culmo

La sección transversal de BGA tiene un alto número de fibras alineadas axialmente. Sufracción volumétrica kf se determina mediante el procesamiento de imágenes, utilizandoel alto contraste entre el color de las fibras de celulosa y la matriz de lignina. En primerlugar, una imagen de la sección transversal de la pared del culmo se desatura paraobtener una imagen en escala de grises; segundo, los bordes se encuentran con un filtrode diferencias gaussiano; por último, se aplica un umbral de color negro con el fin deobtener una imagen en la que todas las fibras están conformadas por pixeles negros yla región de la matriz por pixeles blancos. La figura 1-5a muestra la imagen original deuna probeta de BGA de laboratorio y la procesada. La figura 1-5b, para una probetade BGL.

(a) (b)

Figura 1-5 Procesado de imagen para determinar la fracción volumétrica de fibras: (a)sección transversal de BGA, (b) sección transversal de BGL


Después de contar los pixeles negros en las imágenes procesadas, la fracción volumétricade fibras en cada probeta se determina como la relación entre el número de pixeles negrosy el número total de pixeles de la imagen:

kf =# pixeles negros# pixeles totales

(1-1)

En la figura 1-5 se puede notar que la gradación de fibras se “pierde” en las probetasde BGL, lo cual permite asumir que este material compuesto posee una distribución defibras uniforme en su sección transversal. Se calcula la fracción volumétrica de fibras en20 probetas de BGL, obteniendo valores de kf entre 0.395 y 0.420.

El área total de las fibras Af en la sección transversal es aproximadamente igual ala fracción volumétrica kf multiplicada por el área de la probeta Asp. Suponiendo unvalor promedio del área de la sección transversal de una fibra Af , se deduce el númeropromedio de fibras por unidad de área nf , así:

nf = kf(Asp

Af

)(1

Asp

)=kf

Af(1-2)

En particular, el área promedio de las fibras mostradas en la tabla 1-2 es de Af =

0.0175 mm2 y la fracción volumétrica promedio kf = 0.4075. Por lo tanto, en las pro-betas de BGL hay, en promedio, 23.286 fibras en un mm2.

Capítulo 2Modelos constitutivos y mecánica de materiales

“Studying a material from only the largest of scales islike studying a pocket watch with only a hammer;neither method will likely show us why things behaveas they do.”

(Orowan, 1944)

En este capítulo se presentan los principales elementos teóricos que se tienen en cuentapara el desarrollo de la tesis. Primero, está la formulación de los modelos constitutivosclásicos para materiales isótropos, después se comentan algunos modelos de homogeni-zación para materiales compuestos y se termina con el planteamiento de la metodólogíade las discontinuidades fuertes, como metodología para representar el fenómeno de frac-tura.

2.1 Modelos constitutivos para materiales isótropos

Es común considerar que los componentes de un material compuesto tienen un compor-tamiento mecánico isótropo (Oller, 2014). Esto implica que las propiedades mecánicasde cada componente son independientes de la dirección o que un sólido de este materialtiene infinitos planos de simetría. Dicho comportamiento mecánico se puede representartradicionalmente mediante un modelo constitutivo de daño o de plasticidad.

15

16 Capítulo 2. Modelos constitutivos y mecánica de materiales

2.1.1 Modelo de plasticidad unidimensional

La teoría de la plasticidad explica el comportamiento mecánico de un material, inclu-yendo su proceso de falla después de superar su límite elástico. En este modelo se defineel comportamiento de aquellos materiales que fallan por medio de un proceso de fluen-cia, en el que mantienen una deformación permanente después de ser descargados en sutotalidad. Dicha deformación se conoce como deformación permanente o deformaciónplástica. La figura 2-1 presenta los elementos principales del modelo de plasticidad quese describe en esta sección.

(a) (b)

Figura 2-1 Modelo de plasticidad unidimensional con endurecimiento isótropo: (a)relació esfuerzo - deformación, (b) curva de endurecimiento/ablandamiento

La hipótesis principal de los modelos de plasticidad consiste en que la deformación ε sepuede descomponer en una parte elástica εe y otra plástica εp (Simo, 1998; de Souza,Peric, & Owen, 2008)

ε = εe + εp (2-1)

donde la deformación elástica se define como εe = ε−εp. La energía libre de deformaciónestará también descompuesta de la siguiente manera:

ψ(εe, r) =(εe)

2E

2+ ψp(r) (2-2)

y la ley constitutiva para el esfuerzo axial está dada por

2.1. Modelos constitutivos para materiales isótropos 17

σ =∂ψ

∂εe= Eεe = E (ε− εp) (2-3)

El dominio elástico está delimitado por el esfuerzo de fluencia σy. Este efecto se expresacon la definición de un criterio de fluencia, de la siguiente forma:

f(σ, q) = |σ| − q (2-4)

En ningún estado de carga se permite que el nivel de esfuerzos en el material sea mayoral esfuerzo de fluencia actual q(r). Es decir, los esfuerzos admisibles deben estar dentrode su dominio elástico o directamente en la superficie de fluencia. De allí que f(σ, q) ≤ 0.Para esfuerzos que se encuentran dentro del dominio elástico solo existen variacionesen la deformación elástica, mientras que los niveles de esfuerzo que se encuentran en lasuperficie de fluencia pueden generar descarga elástica o carga plástica. El criterio defluencia toma los siguientes valores:

f(σ, q)

< 0, εp = 0 carga elástica

= 0, εp = 0 descarga elástica

= 0, εp 6= 0 carga plástica

(2-5)

Las ecuaciones anteriores establecen el momento en que las fibras inician el régimenplástico. En el presente modelo la deformación plástica εp es positiva en tensión ynegativa en compresión. Así, la regla de flujo se define de la siguiente manera:

εp = λ sign (σ) (2-6)

en donde λ ≥ 0 es el multiplicador plástico y satisface la condición λf = 0. Por último,la evolución de la deformación plástica εp depende del progreso de la variable internaq(r), la cual establece una ley de ablandamiento de la forma

q(r) =∂q(r)

∂r︸︷︷︸H

r, q(r) = qo +Hr (2-7)


en donde qo = σy y H es el módulo de ablandamiento.

La variable interna r describe la deformación plástica acumulada durante toda la his-toria de carga y está definida como

r =

∫ t

0

|εp| dt (2-8)

La evolución en el tiempo de esta variable se conoce como el multiplicador plástico yestá dado por

r = |εp| = λ (2-9)

La tasa del criterio de fluencia con respecto al tiempo f(t) no puede ser positiva, puesesto implicaría que f(t = ∆) > 0 en algún momento, lo cual viola la condición deadmisibilidad f ≤ 0. Entonces la condición de consistencia se define como

λ > 0 ⇒ f = 0

f < 0 ⇒ λ = 0

λf = 0 (2-10)

Al considerar la condición de consistencia y la ley de endurecimiento, la derivada de lafunción de fluencia resulta igual a:

f(σ, r) = sign (σ) σ −Hr = 0 (2-11)

Con la combinación de la expresión anterior, la derivada de la ley constitutiva de laecuación 2-3 y las ecuaciones 2-6 y 2-9, el multiplicador plástico toma la siguienteforma:

λ =E

H + Esign (σ) ε =

E

H + E|ε| (2-12)

En cualquier momento durante el cual se produzca deformación plástica, la relaciónincremental entre el esfuerzo y la deformación corresponde a:


σ = Etgε (2-13)

donde Etg es el módulo de elasticidad tangente. Al combinar la expresión anteriorcon la derivada de la ecuación (2-3), la ecuación (2-6) y el multiplicador plástico, seobtiene:

Etg =EH

E +H(2-14)

Las ecuaciones desarrolladas comprenden la definición del modelo de plasticidad unidi-mensional con endurecimiento/ablandamiento isótropo. El cuadro 2-1 resume las ecua-ciones de dicho modelo.

Cuadro 2-1 Modelo de plasticidad unidimensional

Energía libre ψ =(εe)

2E

2+ ψp (2-15)

Descomposición de la deformación ε = εe + εp (2-16)Ecuación constitutiva σ = Eεe = E (ε− εp) (2-17)

Criterio de fluencia f(σ, q) = |σ| − q (2-18)Regla de flujo εp = λ sign (σ) (2-19)

Ley de endurecimiento r = λ, q = σy +Hr, q = Hr (2-20)

Multiplicador plástico λ =E

H + E|ε| (2-21)

Criterio carga/descarga f ≤ 0, λ ≥ 0, λf = 0 (2-22)

Módulo de elasticidad tangente Etg =

E , descargaEH

E +H, carga inelástica

(2-23)

2.1.2 Modelo de daño continuo

La mecánica de daño en el medio continuo describe la pérdida progresiva de la integridaddel material, debida a la aparición de fisuras, defectos o vacíos. Estos cambios en lamicroestructura conducen, en la escala macro, a la degradación de la rigidez del material(Jirasek, 2000). Los modelos de daño utilizan variables internas que caracterizan laorientación y densidad de los microdefectos en el material, lo cual se representa a


continuación con el modelo de daño isótropo (Oliver, Cervera, Oller, & Lubliner, 1990;Simo & Ju, 1987; Oliver, Huespe, Pulido, & Chaves, 2002). Los elementos del modelode daño que se describe en este trabajo se representan esquemáticamente en en la figura2-2.

(a) (b)

Figura 2-2 Elementos del modelo de daño uniaxial: (a) relación esfuerzo - deformación,(b) curva de endurecimiento, ablandamiento

En este modelo se considera que el material tiene un comportamiento mecánico isótropodurante el proceso de daño. Se define una variable escalar d que representa el nivel dedaño en el material, independientemente de la dirección, así:

d = 1− q(r)

r(2-24)

donde q y r son variables internas asociadas al esfuerzo y a la deformación, respec-tivamente. La energía específica libre, dejando de lado los efectos térmicos, se asumecomo

ψ(ε, q) = (1− d(q))ψo, ψo =1

2ε : Ce : ε (2-25)

de donde la ley constitutiva elástica se obtiene como:

σ =∂ψ

∂ε= (1− d)Ce : ε (2-26)

y el tensor de esfuerzos efectivos σef está dado por


σef = Ce : ε =1

1− dσ (2-27)

La expresión anterior se puede combinar con la ecuación (2-24), para obtener la relaciónde esfuerzos en función de las variables internas del material, así:

σ =q

rσef (2-28)

Luego, el dominio elástico y la superficie de daño se definen por medio de la funciónescalar f(ε, r) ≤ 0, en donde la variable interna de deformación r controla el tamañodel dominio elástico. Esta función determina el estado de deformación admisible delmaterial y, con umbrales de resistencia en compresión y tracción iguales, puede definirsede la siguiente manera (Oliver, Huespe, Blanco, & Linero, 2006; Dias, Oliver, & Huespe,2012):

f(ε, r) =√ε : Ce : ε− r, ro = r|t=0 =

σu√E

(2-29)

La expresión anterior incluye la norma escalar de la deformación, la cual define un do-minio elástico acotado en todas sus direcciones. Esto implica que el material se deteriorabajo la acción de esfuerzos de tensión o de compresión.

El umbral de daño q(r) se plantea de manera análoga a la regla de flujo del modelode plasticidad unidimensional. Para esto se define la ley de evolución r = λ, en dondeλ = 0 durante la carga y descarga elástica y λ > 0 durante la evolución del daño. Eneste modelo, λ se conoce como el parámetro de consistencia de daño y permite platearlas condiciones de carga/descarga:

f ≤ 0, λ ≥ 0, λf = 0 (2-30)

Por su lado, la curva de ablandamiento se define como


q(r) =∂q(r)

∂r︸︷︷︸H

r, q(r) = ro +H (r − ro) (2-31)

El operador constitutivo tangente es el tensor de cuarto orden que relaciona el incre-mento del esfuerzo con el incremento de las deformaciones (σ = Ctg : ε). En el modelode daño descrito, con igual degradación en tensión y compresión, este tensor toma lasiguiente forma:

Ctg =

(1− d)Ce =

q

rCe , λ = 0

q

rCe −

q −Hr(r)3 σef ⊗ σef , λ > 0

(2-32)

En el cuadro 2-2 se resume el modelo descrito.

Cuadro 2-2 Modelo de daño

Energía libre de Helmholtz ψ(ε, r) = [1− d(r)]ψo (2-33)

Energía libre elástica ψo(ε) =1

2(ε : C : ε) (2-34)

Ecuación constitutiva σ = ∂εψ(ε, r) = (1− d)C : ε (2-35)

Variable de daño d = 1− q(r)

r(2-36)

Ley de evolución r = λ , r ≥ ro =σu√E

(2-37)

Criterio (función) de daño f(ε, r) :=√ε : C−1 : ε− r (2-38)

Criterio carga/descarga f ≤ 0 , λ ≥ 0 , λf = 0 (2-39)Condición de consistencia λf = 0 (2-40)

Regla de endurecimiento q = H(r) r , H(r) =∂q

∂r(2-41)

Tensor constitutivo tangente Ctg = (1− d)C− q −Hrq2r

σ ⊗ σ (2-42)

2.1.3 Modelo de daño para esfuerzos planos

La condición de esfuerzos planos se utiliza en los análisis cuya condición de cargasestablece que los esfuerzos no nulos actúan en un solo plano y los esfuerzos relacionados


con la tercera dimensión son cero. Considerando un estado de esfuerzos en el planodefinido por las direcciones 1 y 2, el tensor de esfuerzos es igual a:

σ =

σ11 σ12 0

σ21 σ22 0

0 0 0

(2-43)

Esta definición del tensor de esfuerzos no evita, sin embargo, que las componentes dela deformación en la dirección 3 sean también nulas. Estas componentes se derivandirectamente de la ley elástica en tres dimensiones

σ11

σ22

0

σ12

0

0

=

C11 C12 C13 0 0 0

C21 C22 C23 0 0 0

C31 C32 C33 0 0 0

0 0 0 C44 0 0

0 0 0 0 C55 0

0 0 0 0 0 C66

ε11

ε22

ε33

ε12

ε23

ε13

(2-44)

de donde

ε13 = ε23 = 0, ε33 = − ν

1− ν(ε11 + ε22) (2-45)

Dado que existen varios términos nulos en la ecuación constitutiva, se puede reescribirde la forma reducida, así:

σ11

σ22

σ12

=

C11 C12 0

C21 C22 0

0 0 C44

ε11

ε22

ε12

(2-46)

donde las componentes del esfuerzo y la deformación se pueden expresar en notaciónmatricial, así:


σ → [σ] =[σ11 σ22 σ12

]T(2-47)

ε → [ε] =[ε11 ε22 ε12

]T(2-48)

Este modelo de daño describe el proceso de degradación de las propiedades mecánicas deun sólido ante la imposición de fuerzas o desplazamientos. Las ecuaciones que gobiernanel modelo de daño continuo isótropo en condición plana de esfuerzo se exponen en elcuadro 2-3.

Cuadro 2-3 Modelo de daño para efuerzos planos

Energía libre de Helmholtz ψ = (1− d(r))ψo (2-49)

Energía libre elástica ψo =1

2[ε]T [Ce] [ε] (2-50)

Ecuación constitutiva [σ] = (1− d) [Ce] [ε]︸︷︷︸[σ]

=q

r[σ] (2-51)

Variable de daño d = 1− q

r(2-52)

Ley de evolución r = λ, r ∈ [ro,∞) (2-53)

Criterio de daño f =

√[ε]T [Ce] [ε]− r (2-54)

Criterio carga/descarga f ≤ 0, λ ≥ 0, λf = 0 (2-55)

Ley de endurecimiento q = Hr, qo = ro =σu√E

(2-56)

2.2 Mecánica de materiales compuestos

La mecánica de los materiales compuestos tiene como objetivo determinar las propieda-des mecánicas macroscópicas equivalentes del material, partiendo del conocimiento delas propiedades mecánicas de los materiales de cada fase. En este procedimiento tam-bién intervienen las propiedades geométricas del refuerzo y su distribución, así comoalgunas condiciones de interacción entre refuerzo y matriz (Daniel & Ishai, 2006).

Además de las propiedades macroscópicas, los estudios de modelos micromecánicosproporcionan ecuaciones constitutivas que se utilizan para el análisis de elementos fa-

2.2. Mecánica de materiales compuestos 25

bricados con el material modelado bajo diferentes solicitaciones estructurales (Segu-rado, 2004). En escalas pequeñas, estas teorías permiten modelar el comportamientode fenómenos locales, como la generación de fisuras o la interacción entre dos o máspartículas.

Existen diferentes modelos micromecánicos para representar el comportamiento de losmateriales compuestos. A continuación se mencionan algunos de ellos.

2.2.1 Teoría de mezclas generalizada

La teoría de mezclas fue planteada inicialmente por Truesdell y Toupin (1960) y poste-riormente impulsada por Oller, Neamtu, y Oñate (1995), Car, Oller, y Oñate (2000). Sebasa en el principio de interacción entre las fases de un material compuesto, suponiendoque en cada volumen infinitesimal de un compuesto solo participan un número finito desustancias componentes o fases, cada sustancia participa en el comportamiento del com-puesto en la misma proporción de su volumen relativo denominado fracción volumétrica,todos los componentes tienen compatibilidad cinemática y el volumen ocupado por cadacomponente es significativamente menor que el volumen total del compuesto.

Así, la teoría de mezclas permite estudiar el comportamiento de un compuesto a travésde la mecánica del medio continuo. En cada punto material, cada componente i contri-buye con su propia ley constitutiva de manera proporcional a su fracción de volumenki, definida como:

ki =V i

V, (2-57)

en donde V i es el volumen del componente i y V el volumen total del compuesto.

Neamtu, Oller, y Oñate (1997) realizaron una generalización de la teoría de mezclas,descrita a partir de un campo de deformaciones que considera por separado el aporte enserie (figura 2-3a) y en paralelo (figura 2-3b), de acuerdo con la dirección de la carga,mediante una suma ponderada, de la forma:

ε = (1− ℵ) εpar + ℵεser (2-58)


en donde ℵ es un parámetro escalar de acoplamiento en serie-paralelo.

(a) (b)

Figura 2-3 Configuración del material compuesto: (a) en serie, (b) en paralelo

εpar y εser son los tensores de deformaciones en paralelo y serie, respectivamente, loscuales están dados por

εpar =1

n

n∑i=0

εi , εser =n∑i=0

εi (2-59)

Reemplazando las ecuaciones anteriores en la ecuación 2-58 se obtiene la siguiente ex-presión para la deformación:

ε = (1− ℵ)

[1

n

n∑i=0

εi

]+ ℵ

[n∑i=0

εi

]=

[1

n(1− ℵ) + ℵ

] n∑i=0

εi (2-60)

La densidad de energía libre de un compuesto con el campo de deformaciones anteriorestá dada por (Car et al., 2000)

ψ (ε, r) = (1− ℵ)

[n∑i=0

kiψi(ε, ri

)]︸︷︷︸

ψpar

+ℵ

[1

n

n∑i=0

kiψi(ε, ri

)]︸︷︷︸

ψser

(2-61)

en donde ψpar y ψser son las energías libres en paralelo y en serie, respectivamente. Laecuación constitutiva del compuesto surge después de aplicar el teorema de Coleman ala desigualdad de Clasius-Duhem (Car et al., 2000), de manera que el tensor de esfuerzoses


σ =∂ψ (ε, θ, r)

∂ε=

[(1− ℵ) + 1

nℵ

1n

(1− ℵ) + ℵ

] n∑i=0

kiσi (2-62)

y el tensor constitutivo tangente del compuesto es igual a la variación del tensor deesfuerzos con respecto al tensor de deformaciones, de la forma

Ctg =∂σ

∂ε=∂2ψ (ε, θ, r)

∂ε⊗ ε=

(1− ℵ) + 1nℵ[

1n

(1− ℵ) + ℵ]2 n∑

i=0

kiCi (2-63)

Esta teoría depende de las propiedades mecánicas y de la fracción volumétrica de cadauno de sus componentes. Además, requiere la calibración del parámetro de acoplamientoℵ mediante ensayos experimentales del compuesto.

2.2.2 Teoría de mezclas clásica para materiales compuestos

La teoría de mezclas clásica asume que todas los componentes hacen una contribuciónde esfuerzos análoga a un sistema en paralelo (figura 2-3b), es decir, que todos loscomponentes tienen el mismo campo de deformaciones en cada punto. De ello se derivala siguiente condición de compatibilidad para pequeñas deformaciones:

ε = ε1 = · · · = εi = · · · = εn, (2-64)

en donde εi es el tensor de deformaciones infinitesimales en el componente i, ε en elmaterial compuesto y n el número de fases implicadas.

La densidad de energía libre de un material compuesto está dada por la suma ponde-rada de las contribuciones de energía de cada una de las fases, teniendo en cuenta suparticipación volumétrica. Es decir,

ψ (ε, r) =n∑i=0

kiψi[ε, ri

](2-65)

en donde ψi es la energía libre y ri son las variables internas del modelo constitutivode la fase i.


La ecuación constitutiva del compuesto surge después de aplicar el teorema de Cole-man (Coleman, 1967) a la desigualdad de Clasius-Duhem considerando temperaturaconstante (Maugin, 1992; Car et al., 2000), con lo cual el tensor de esfuerzos es

σ =∂ψ (ε, r)

∂ε=

n∑i=0

ki∂ψi (εi, ri)

∂ε=

n∑i=0

kiσi, (2-66)

y el tensor constitutivo tangente del compuesto constituye la variación del tensor deesfuerzos con respecto a la variación del tensor de deformaciones (Willam, 2002), de laforma

Ctg =∂σ

∂ε=∂2ψ (ε, r)

∂ε⊗ ε=

n∑i=0

kiCitg, (2-67)

siendo Citg el tensor constitutivo tangente del componente i. En consecuencia, la teoríade mezclas clásica, la cual parte de la hipótesis de que el campo de deformaciones esigual en todos los componentes, es válida únicamente para compuestos cuyas partes seencuentren trabajando en una situación análoga a la de los circuitos en paralelo (Caret al., 2000).

2.2.3 Modelo de fibra con diámetro despreciable

Una simplificación del modelo anterior permite representar el comportamiento de ma-teriales compuestos reforzados con fibras orientadas en una sola dirección y diámetrosustancialmente menor que el tamaño de la sección transversal, despreciando la contri-bución transversal de las fibras a la rigidez del material compuesto. El resultado es unmaterial compuesto cuyas propiedades constitutivas perpendiculares a la dirección delas fibras son iguales a las de la matriz. Esta aproximación se denomina modelo de fibracon diámetro despreciable (Dvorak & Bahei-El-Din, 1982).

Este modelo establece que la deformación longitudinal de las fibras εfss es igual a lacomponente del tensor de deformación de la matriz en la dirección s, mostrada en lafigura 2-4. Asimismo, indica que el tensor de esfuerzo en el material compuesto es lasuma ponderada del tensor de esfuerzo en la matriz y el tensor proyectado del esfuerzoσfss de las fibras.


fibras

matriz

Figura 2-4 Configuración de un material compuesto reforzado con fibras largas en ladirección s

εfss = s · εm · s , σ = kmσm + kfσfss (s⊗ s) (2-68)

donde σ es el tensor de esfuerzo del material compuesto y km = 1 − kf y kf son lasfracciones volumétricas de la matriz y las fibras, respectivamente. Finalmente, el tensorconstitutivo tangente del compuesto es:

Ctg =∂σ

∂ε= kmCmtg + kf (s⊗ s) (s⊗ s)Ef

tg (2-69)

donde el término de la derecha indica que las fibras aportan rigidez al compuesto ensentido longitudinal, pero se desprecia su contribución en la dirección transversal. Deallí, el concepto de fibra con diámetro despreciable.

2.2.4 Modelos de campo medio

Los modelos de campo medio suponen que el cambio en los esfuerzos y deformacionesde un material compuesto se puede representar por la suma de las medias volumétricasde esfuerzo o deformación (σi o εi, respectivamente) de cada material componente. Deesta manera se tiene que, dentro de un volumen característico V en el que coexisten nmateriales aleatoriamente distribuidos con volumen V i, las propiedades medias de estosmateriales componentes se calculan como

σi

=1

V i

∫V iσi dV y ε

i=

1

V i

∫V iεi dV (2-70)

donde V =∑n

i=0 Vi.


El cambio de los esfuerzos y las deformaciones medias o efectivas (σ y ε) en el materialcompuesto se obtiene sumando el cambio de los esfuerzos y las deformaciones de cadacomponente (calculados con la ecuación 2-70), en el volumen representativo:

σ =n∑i=0

kiσi y ε =

n∑i=0

kiεi (2-71)

en donde ki representa la fracción de volumen del componente i, es decir ki = V i/V .A esta operación se le conoce como homogenización. De manera inversa, el cambiode los esfuerzos y deformaciones medias de cada componente se obtiene a partir delas propiedades efectivas, por medio de los tensores de concentración de esfuerzos ydeformación, denominados Ai y Bi, respectivamente.

σi

= Bi : σ y εi

= Ai : ε (2-72)

con∑i kiA

i =∑kiB

i = I, en donde I es el tensor unitario de cuarto orden.

En consecuencia, la ley constitutiva de un material componente i del material homogé-neo se puede expresar como

σi

= Citg : εi, (2-73)

donde Citg es el tensor constitutivo tangente de cuarto orden de la fase i. Esto resulta degran utilidad para resolver el problema de las propiedades efectivas, ya que al combinarlas ecuaciones 2-71 y 2-72 se puede escribir la ley constitutiva tangente para el materialcompuesto de la siguiente forma:

σ = Ctg : ε → Ctg =N∑i=0

kiCitg : Ai (2-74a)

ε = (Ctg)−1 : σ → (Ctg)

−1 =N∑i=0

ki(Citg)−1

: Bi (2-74b)


Las propiedades efectivas del material compuesto se obtienen al conocer los tensores deconcentración Ai y Bi, en función de la microestructura del volumen representativo quese está estudiando.

A continuación se explica el modelo de la inclusión equivalente de Eshelby, con el quese calcula el tensor de concentración de deformaciones Ai para una inclusión elipsoidaldentro de una matriz de material elástico lineal. Después se expone el modelo de Mori-Tanaka, que es uno de los más utilizados en el estudio de propiedades efectivas demateriales compuestos.

2.2.5 Modelo de la inclusión equivalente de Eshelby

Algunos modelos para obtener los tensores de deformación y esfuerzo asociados a unmaterial compuesto están basados en el trabajo de Eshelby (1957), el cual define una in-clusión elástica en forma elipsoidal denominada refuerzo embebida en un medio elásticoinfinito denominado matriz. La región elipsoidal Ω que está dentro del medio elásticocambia de forma y genera esfuerzos dentro y fuera de ella. Este procedimiento se explicaen las siguientes 5 etapas.

En la etapa i se recorta y se retira una inclusión de forma elipsoidal Ωf de un materialisótropo elástico lineal, denominado matriz1, como se indica en la figura 2-5. La zonaΩf , una vez afuera del medio, se deja deformar libremente (εo) sin la acción de ningúnesfuerzo, lo cual puede estar asociado a deformaciones por cambio de temperatura o defase, entre otros.

Figura 2-5 Etapa i delmodelo de Eshelby

Cf = Cm

εfI = εo ; εmI = 0

σfI = 0 ; σmI = 0

En la etapa ii se aplica un vector tracción to en la superficie Ω, de manera que lainclusión recupere su forma original. Luego, se introduce nuevamente la inclusión en

1La matriz y las inclusiones se representan en la ecuaciones como los componentes m y f , respec-tivamente, debido a que las inclusiones se referirán más adelante a las fibras de refuerzo.


su medio y se adhieren las superficies de inclusión y matriz sin retirar las accionesexternas.

Figura 2-6 Etapa ii delmodelo de Eshelby

Cf = Cm

εfII = 0 ; εmII = 0

tfo = −nf · σfo ; σfo = Cf : εo

σfII = σfo ; σmII = 0

Durante la etapa iii se retira el vector tracción de la superficie de contacto para que elmaterial no esté afectado por agentes externos. Este efecto es equivalente a aplicar elmismo vector tracción, pero en sentido contrario, sobre la superficie Ω.

Figura 2-7 Etapa iii delmodelo de Eshelby

Cf = Cm

εfIII = εmIII = εC 6= 0

σfIII = Cm : (εC − εo)

σmIII = Cm : (εC)

→ σfIII = σmIII − σo

En este punto la inclusión y la matriz se deforman hasta un punto de equilibrio, enel cual el vector tracción sobre la superficie Ω es igual dentro y fuera de la inclusión.La configuración de referencia se toma en el estado final de la etapa ii, puesto que elesfuerzo y la deformación en la matriz son cero (0) y la geometría de la inclusión es laoriginal (la que tenía antes de su deformación libre de esfuerzos).

En la etapa iv se aplica una deformación uniforme εA al medio y se expresan los tensoresde esfuerzo en la matriz y la inclusión, en función de la historia de deformaciones quehan tenido. Cabe recordar que en este momento la inclusión y la matriz aún estáncompuestas del mismo material.

Figura 2-8 Etapa iv delmodelo de Eshelby

Cf = Cm

εfIV = εmIV = εC + εA

σfIV = Cm : (εC + εA − εo)

σmIV = Cm : (εC + εA)


En la etapa v, se reemplaza la inclusión por otra que tenga propiedades mecánicasdiferentes a las de la matriz y la misma forma de la inclusión original.

Figura 2-9 Etapa v delmodelo de Eshelby

Cf 6= Cm

εfV = εmV = εC + εA

σfV = Cf : (εC + εA)

σmV = Cm : (εC + εA)

Finalmente, la etapa iv, conformada por una matriz y una inclusión del mismo materialy con deformación inicial libre de esfuerzos es equivalente a la v, la cual tiene una matrizy una inclusión de material diferente sin deformación inicial. Por lo tanto,

tfIV = tfV ∧ εfIV = εfV

nf · σfIV = nf · σfV → σfIV = σfV

Cm : (εC + εA − εo) = Cf : (εC + εA)

Cm :(εfV − εo

)= Cf :

(εfV

)⇒ Cm : εo =

(Cm − Cf

): εfV (2-75)

Dado el tensor de Eshelby, que relaciona la deformación libre de esfuerzos de la inclusiónequivalente con la deformación en la etapa iii (Eshelby, 1957), las deformaciones sepueden escribir de la forma

εo = S : εC → εC = S−1 : εo = S−1 :(εfV + εA

)(2-76)

El tensor de concentración de deformaciones Afdil se obtiene de la siguiente forma2:

2El subíndice dil se refiere a un problema de material compuesto diluido, puesto que se asume quelas inclusiones vecinas están lo suficientemente alejadas como para no afectar el comportamiento de lainclusión de estudio (Segurado, 2004).


εfV =[I + S : (Cm)−1 :

(Cf − Cm

)]−1︸︷︷︸Af

: εA

Afdil =

[I + S : (Cm)−1 :

(Cf − Cm

)]−1(2-77)

y el tensor de concentración de esfuerzos de la forma

Bf = Cf : Af :(Cf)−1

Bfdil = Cf :

[I + S : (Cm)−1 :

(Cf − Cm

)]−1: (Cm)−1 . (2-78)

La deformación εo representa la deformación libre de esfuerzos de una inclusión deforma-da virtual o imaginaria, la cual, en presencia del campo de deformaciones εA aplicado,podría reemplazar la inclusión real sin alterar el estado de esfuerzos o desplazamientosen ninguna parte de la matriz. Esta inclusión deformada imaginaria se llama ‘inclusiónequivalente’ (Eshelby, 1957).

Al reemplazar el tensor de concentración de deformaciones Af en la ecuación 2-74a seobtiene la siguiente expresión, con la cual se encuentra el tensor constitutivo de uncompuesto con dos componentes a partir de sus tensores constitutivos elásticos:

C = Cm + kf(Cf − Cm

): Af

dil (2-79)

2.2.6 El tensor de Eshelby

No existe una manera analítica de plantear explícitamente los componentes del ten-sor de cuarto orden de Eshelby (Sijkl) para el caso de un compuesto reforzado conelipsoides generales incluidas en una matriz isótropa, por lo que deben ser calculadosnuméricamente. Una manera de hacerlo consiste en calcular una integral de superfi-cie parametrizada en la superficie de una esfera unitaria (Meraghni, Desrumaux, &Benzeggagh, 2002):


Sijkl = 18πCmnkl

∫ +1

−1Dζ3

∫ 2π

0

[Gimjn

(ζ)

+Gjmin

(ζ)]dw (2-80)

Gijkl(ζ) =ζkζlNij(ζ)

D(ζ), ζ i = ζi

ai(2-81)

ζ1 = cosw√

1− ζ23 , ζ2 = sinw

√1− ζ2

3 , ζ3 = ζ3

D(ζ) = pmnlKm1Kn2Kl3 , Nij(ζ) = 12piklpjmnKkmKln , Kij = Cikjlζkζ l

En las ecuaciones anteriores, a1, a2 y a3 son los tres ejes principales de las elipsoides encoordenadas cartesianas, pijk es el vector permutación y Cijkl son las componentes deltensor constitutivo de la matriz. w y ζi son dos puntos de Gauss de posición angular ycoordenada longitudinal, respectivamente.

2.2.7 Modelo Mori-Tanaka

El modelo de Mori y Tanaka (1973) se basa en el concepto de la inclusión equivalentede Eshelby y considera un medio efectivo afectado por inclusiones que están en unlugar cercano al lugar de aplicación de la deformación. Este modelo fue replanteadoposteriormente por Benveniste (1987) para encontrar el tensor de concentración de ladeformación de la inclusión Af

MT por interpolación entre los tensores correspondientesde concentración del caso diluido Af

dil. En este método se asume que la deformaciónpromedio en las inclusiones se aproxima por la solución de una sola inclusión en unamatriz infinita y que las propiedades del medio que rodea a la inclusión son precisamentela respuesta al problema de Eshelby. La solución de este problema da lugar al tensorde concentración de deformaciones de Mori-Tanaka, que tiene la forma

AfMT = Af

dil :(kmI + kfAf

dil

)−1

(2-82)

y el tensor de concentración de esfuerzos

BfMT = Bf

dil :(kmI + kfBf

dil

)−1

(2-83)


Finalmente, el tensor constitutivo de un compuesto reforzado con inclusiones elipsoi-dales como fibras, discos o esferas, resulta de reemplazar el tensor de concentración dedeformaciones de Mori-Tanaka Af

MT en la ecuación 2-74a, así:

C = Cm + kf(Cf − Cm

): Af

MT (2-84)

2.3 Representación de la fractura mediante la Metodología de

las Discontinuidades Fuertes en el Continuo (CSDA)

La Metodología de las Discontinuidades Fuertes en el Continuo (CSDA) describe elcomportamiento elástico, el mecanismo de fallo estructural, el proceso de fractura y elcolapso general de una estructura, mediante la introducción de un campo discontinuode los desplazamientos admisibles que genera la localización de las deformaciones yrepresenta la fisuración del material (Oliver, 1996a; Oliver et al., 2006).

2.3.1 Localización de deformaciones

La homogeneidad del material descrita en la mecánica clásica del medio continuo nocorresponde al comportamiento real en la vecindad de una fisura abierta. Las defor-maciones continuas aumentan hasta llegar a un cierto nivel en el que aparece una altaconcentración de las mismas en una zona específica. Mientras esto ocurre el resto delmaterial se relaja reduciendo su nivel de deformación (Oller, 2001). Al presentarse estefenómeno de localización de la deformación, la respuesta mecánica global toma una rutadiferente a la respuesta homogénea3, lo cual se conoce como ‘bifurcación material’. Lafigura 2-10 muestra de forma esquemática este comportamiento.

Durante el proceso de carga, después de pasar el punto de bifurcación indicado enla figura 2-10, existen múltiples soluciones al problema, dependiendo del ancho y laposición de la zona localizada (Bazant & Planas, 1998). En la práctica, el menor defectoen el material causa cambios en su respuesta mecánica hacia una solución localizadamás estable (Crisfield, 1998). La formación de fisuras es un proceso gradual de tres

3El término ‘homogénea’ se refiere a la solución del problema sin que haya una localización dedeformaciones.

2.3. Representación de la fractura mediante la Metodología de las Discontinuidades Fuertesen el Continuo (CSDA) 37

Solución homogénea(NO localizada)

Solución localizada

Punto de bifurcación

Deformación localizada

Deformación uniforme

Figura 2-10 Bifurcación de la respuesta mecánica de un sólido que sufre ablandamientopor deformación

etapas (Dias et al., 2012). Dichas etapas ocurren, por lo general, en diferentes zonassimultáneamente (figura 2-11):

Falla difusa

Discontinuidaddébil

Discontinuidadfuerte

Figura 2-11 Zonas en el proceso de fractura

• Zona de falla difusa: Corresponde a la iniciación del fenómeno de disipación de laenergía de fractura. A pesar de que existe una deformación mayor en esta región, loscampos de deformaciones y desplazamientos permanecen suaves y continuos.• Zona de discontinuidad débil: La zona de falla se vuelve más angosta y el campo

de deformaciones presenta una discontinuidad. El desplazamiento en esta banda au-menta rápidamente, mostrando un salto aparente entre los dos lados de la banda delocalización de deformaciones.• Zona de discontinuidad fuerte: La zona de falla continúa adelgazándose hasta ter-

minar en una banda de ancho nulo. El campo de deformaciones es discontinuo y noacotado (tiende a infinito) en el punto que representa la banda de discontinuidad y,en consecuencia, los desplazamientos presentan un salto real.


2.3.2 Cinemática de las discontinuidades fuertes

La CSDA establece un salto en el campo del desplazamiento del material sobre la su-perficie de fallo, lo cual genera valores no acotados en el campo de las deformaciones,como se vio en la sección 2.3.1.

[ ]

[ ]

Figura 2-12 Cuerpo continuo Ω con discontinuidad de desplazamientos S

Se define Ω como el dominio de un cuerpo (figura 2-12) que contiene una discontinuidadfuerte en una superficie S definida por el vector normal n, la cual divide el cuerpo en losdominios Ω− y Ω+ antes y después de la discontinuidad, respectivamente. La derivadatemporal del campo de los desplazamientos u en un punto material x y en un tiempot está definida por (Oliver, Huespe, & Samaniego, 2003):

u(x, t) = u(x, t) +MS(x) [[u]] (x, t) (2-85)

en donde u es la parte continua y [[u]] el salto de la tasa del desplazamiento en lasuperficie S. Para la ecuación anterior se define la función de salto unitarioMS(x) =

HS(x) − ϕ(x), en donde HS(x) es la función Heavyside y ϕ(x) una función continuaarbitraria limitada por una banda angosta Ωh en la superficie S. La función Heavysidey la función continua ϕ(x) por fuera de la banda Ωh está dada por las siguientesexpresiones:

HS(x) =

0 ∀x ∈ Ω−

1 ∀x ∈ Ω+ϕ(x) =

0 ∀x ∈ Ω−\Ωh

1 ∀x ∈ Ω+\Ωh(2-86)

Para mayor claridad, su representación gráfica se presenta en la figura 2-13.


Figura 2-13 Representación gráfica de las funciones HS(x), ϕ(x) yMS(x)

La variación de la deformación se obtiene a partir de la aplicación de un operador gra-diente simétrico sobre el campo de la tasa de desplazamientos, de manera que el campode las deformaciones puede ser expresado con la suma de una parte compatible debidaa la tasa del desplazamiento en el continuo y otra enriquecida en términos del salto dela tasa del desplazamiento, como se muestra a continuación (Oliver, 1996b).

ε = ∇Su = ∇Su− (∇ϕ⊗ [[u]])S︸︷︷︸ε

+ (δSn⊗ [[u]])S︸︷︷︸[[ε]]

(2-87)

en donde δS es la función delta de Dirac actuando en la discontinuidad S y el término[[ε]] la diferencia entre las tasas de deformación dentro y fuera de la discontinuidad S,así:

[[ε]] = εΩ+\S − εS = δS (n⊗ [[u]])S (2-88)

El subíndice Ω±\S indica que la cantidad (•)Ω±\S se evalúa en un punto dentro deldominio Ω± pero fuera de la superficie S.

2.3.3 Condición de equilibrio

El cuerpo Ω está delimitado por su superficie ∂Ω = Γu ∪ Γσ, en donde Γu correspondeal contorno con desplazamientos u∗ impuestos y Γσ con tracciones t∗ impuestas4, comose indica en la figura 2-12. Se define el vector v normal a Γ dirigido hacia afuera y lasfuerzas de cuerpo b. Una vez el cuerpo Ω tiene una discontinuidad de los desplazamientosen la superficie S con vector normal n, las ecuaciones de equilibrio y las condiciones de

4En la literatura es común encontrar estas cantidades como condiciones “esenciales” y “naturales”,respectivamente.


continuidad de tracciones para el cuerpo Ω se pueden plantear como se muestra en elcuadro 2-4.

Cuadro 2-4 Condiciones de equilibrio y continuidad de tracciones.

Equilibrio interno ∇ · σ + b = 0 ∀x ∈ Ω (2-89)Tracciones impuestas σ · v = t∗ ∀x ∈ Γσ (2-90)

Desplazamientos impuestos u = u∗ ∀x ∈ Γu (2-91)Continuidad externa del vector tracción σΩ−\S · n = σΩ+\S · n ∀x ∈ S (2-92)Continuidad interna del vector tracción σΩ−\S · n = σS · n ∀x ∈ S (2-93)

La continuidad interna de esfuerzos sobre S, expresada en la ecuación (2-93), solo sesatisface si los valores de esfuerzo son acotados. Por esta razón, y a pesar del carácter noacotado de las deformaciones en S, la CSDA permite evaluar un campo de esfuerzos aco-tado con el mismo modelo constitutivo del continuo, dentro y fuera de la discontinuidad(Oliver et al., 2003; Linero, Oliver, & Huespe, 2007).

2.3.4 Módulo de ablandamiento regularizado

El modelo constitutivo que rige el comportamiento mecánico de los materiales debe seradaptado para que permita calcular esfuerzos acotados cuando se aplica al campo dedeformaciones no acotadas de la ecuación (2-85). Para ello, el módulo de ablandamientocontinuo H debe ser regularizado en términos de un módulo de ablandamiento discretoH (Oliver et al., 2006), de la forma:

1

H= δS

1

H(2-94)

en donde δS es la función delta de Dirac en la superficie de la discontinuidad. Igualmentela variable interna r de los modelos constitutivos se regulariza a través de una variableinterna acotada r, así:

r = δS r (2-95)


El módulo de ablandamiento regularizado H es un valor escalar que depende de laspropiedades mecánicas y de fractura del material, de acuerdo con el tipo de modeloconstitutivo. Dicho módulo para los modelos constitutivos de plasticidad y daño tradi-cionales, se puede expresar como sigue.

Hf

=

(σfy)2

2Gff

Modelo de plasticidad

(σmu )2

2EmGmf

Modelo de daño(2-96)

Capítulo 3Modelo numérico del Bambú Guadua angustifolia Lami-

nado (BGL)

“... the ‘mission’of micro-macro mechanics is todetermine relationships between the microstructure andthe macroscopic response or ‘structural property’ of amaterial, using models on the microscale that are assimple as possible”

(Zohdi & Wriggers, 2005)

En este capítulo se presentan los aspectos específicos del modelo constitutivo del BGL.El proceso de homogenización del material compuesto BGL se define con el modelo defibra con diámetro despreciable. La relación constitutiva de las fibras de una secciónde BGL se plantea como un modelo que permite trabajar el grupo de fibras como unmaterial homogéneo, con el propósito de facilitar la implementación en el MEF. Y,finalmente, el comportamiento de la matriz se representa con el modelo de daño isótropotradicional.

3.1 Modelo constitutivo del BGL como material compuesto

El BGL es un material compuesto constituido por un conjunto de láminas de BGA

pegadas y prensadas, cuya microestructura está conformada por una matriz de ligninay un grupo de fibras largas paralelas entre sí y de orientación definida s. En este

43

44 Capítulo 3. Modelo numérico del Bambú Guadua angustifolia Laminado (BGL)

trabajo se supone que las láminas de BGA están perfectamente adheridas, asegurandoun comportamiento monolítico del material compuesto. El comportamiento de la matrizde lignina se representa con un modelo constitutivo de daño bidimensional, en el cualel tensor de esfuerzos σm y el tensor constitutivo tangente Cmtg se obtienen a partir deltensor de deformación εm y de las variables internas rm. En cambio, el comportamientodel paquete de fibras se describe con el modelo de plasticidad unidimensional definidoa partir del modelo de falla progresiva que se propone. En el modelo de las fibras, elesfuerzo normal σfss y el módulo de elasticidad tangente Ef

tg se calcula a partir de ladeformación longitudinal εfss y de las variables internas rf , mientras que la resistenciay la rigidez en la dirección transversal se desprecia.

El modelo constitutivo del material compuesto BGL se basa en la teoría de mezclasclásica para sistemas en paralelo y el modelo de fibra con diámetro despreciable, des-critos en los apartados 2.2.2 y 2.2.3. En este modelo el esfuerzo y la rigidez se obtienende la suma ponderada de los esfuerzos y las rigideces de sus componentes a través desus fracciones volumétricas, mientras que la deformación del compuesto, las fibras y lamatriz es común. El tensor de la tasa de deformación de la matriz εm es igual al tensorde la tasa de deformación del material compuesto ε, a la vez que la tasa de deformacióndel grupo de fibras εfss es igual a la componente de deformación del material compuestoεss en la dirección s, es decir:

εm = ε (3-1)

εfss = s · ε · s (3-2)

Por su lado, el tensor de la tasa de esfuerzos del material compuesto σ es igual a lasumatoria de los productos entre el coeficiente de participación volumétrica y el tensorde la tasa de esfuerzo de cada material componente, de la forma:

σ = km σm + kf (s⊗ s) σfss (3-3)

donde kf y km = 1− kf son los coeficientes de participación volumétrica de las fibras yde la matriz, respectivamente. Por otra parte, el tensor (s⊗s) σfss corresponde a la tasa

3.1. Modelo constitutivo del BGL como material compuesto 45

del tensor de esfuerzo generada por σfss, siendo este último la componente del vectortracción en dirección s que actúa sobre un plano de normal s.

Las ecuaciones constitutivas de la matriz y las fibras se escriben en términos de las tasasde esfuerzo y de deformación, así:

σm = Cmtg : ε (3-4)

σfss = Eftg εss (3-5)

La ecuación constitutiva del material compuesto se define como la relación entre lostensores de las tasas de esfuerzo y de deformación, de la forma:

σ = Ctg : ε (3-6)

Después de sustituir las ecuaciones 3-4 y 3-5 en la ecuación 3-3, reemplazar las ecua-ciones 3-1 y 3-2 e igualar el resultado con la expresión anterior, se obtiene el tensorconstitutivo tangente del material compuesto Ctg, expresado de la forma:

Ctg = kmCmtg + kf (s⊗ s) ⊗ (s⊗ s) Eftg (3-7)

Las ecuaciones tensoriales anteriores se pueden expresar en notación matricial para lacondición de esfuerzos planos, así:

[σ] = km [σm] + kf [S] σfss (3-8)

[Ctg] = km[Cmtg

]+ kf [S] [S]T Ef

tg (3-9)

Las matrices [σ] y [σm] contienen los componentes de la tasa de esfuerzos en el com-puesto y la matriz, respectivamente. Corresponden a [σ] = [σ11 σ22 σ12]T y [σm] =

[σm11 σm22 σ

m12]T . Asimismo, el producto tensorial s⊗ s es equivalente a la matriz columna


[S] = [s21 , s

22 , s1s2]

T . Los tensores constitutivos tangentes de cuarto orden Ctg y Cmtg serepresentan mediante matrices cuadradas [Ctg] y

[Cmtg

]de tamaño 3× 3.

3.2 Modelo constitutivo del grupo de fibras de BGA

3.2.1 Distribución de probabilidad en las propiedades de las fibras

La dispersión en las propiedades mecánicas de las fibras proviene, en parte, de loserrores de medición en el laboratorio, pero, sobre todo, de las características naturalesdel material. La dispersión de la resistencia a la tracción se corresponde con los hallazgosde otros autores en ensayos con fibras naturales diferentes (Baley, 2002; Biagiotti, Fiori,Torre, López, & Kenny, 2004; Andersons, Sparnins, Joffe, & Wallstrom, 2005; Wang &Xia, 1998).

A continuación, se presenta la distribución de probabilidad de Weibull (Weibull, 1939)utilizada para describir el área de la sección transversal Af y la deformación límiteεfu de fibras de BGA en función de su probabilidad de falla. La Función de Densidadde Probabilidad Acumulativa (CDF) de la distribución de Weibull clásica que describeestas dos propiedades está dada por:

P (Af ) = 1− exp

[−(Af

βA

)αA], P (εfu) = 1− exp

[−(εfuβε

)αε](3-10)

donde αA y αε son los parámetros de forma y βA y βε los de escala para el área transversaly la deformación límite. La resistencia σfu de las fibras, en cambio, depende de susección transversal. Por lo tanto, se utiliza una distribución de probabilidad de Weibullmodificada (Weibull, 1939; Andersons et al., 2005) para representar la resistencia de lasfibras de BGA. La probabilidad de que una fibra determinada haya fallado está dadapor la siguiente distribución Weibull modificada:

P(σfu, A

f)

= 1− exp

[−(Af

Ao

σfuβσ

)ασ](3-11)

en donde Ao es un área transversal de referencia, tomada como el valor promedio, y elfactor de escala βσ es una medida de la resistencia característica de las fibras. El factorde forma ασ define la variabilidad de los datos, haciendo que los datos se encuentren

3.2. Modelo constitutivo del grupo de fibras de BGA 47

concentrados en una franja angosta para datos poco dispersos y una más ancha paradatos con alta dispersión. El valor de este parámetro se encuentra, en general, entre 1 y6 para fibras naturales y entre 5 y 15 para fibras sintéticas (Trujillo et al., 2014).

3.2.2 Parámetros de Weibull

En general, los parámetros α y β de los modelos de Weibull clásico y modificado seencuentran con una linealización de la CDF, de la forma

ln [− ln (1− P (x))]︸︷︷︸Y

= α︸︷︷︸A

ln (x)︸︷︷︸X

−α ln (β)︸︷︷︸B

(3-12)

siendo x la variable analizada (Af , εfu o σfu).

Ahora el problema reside en estimar el valor de la probabilidad P (x), de manera que losdatos experimentales se describan correctamente por los parámetros α y β. El valor dela probabilidad se estima con el índice de probabilidad (Zafeiropoulos & Baillie, 2007),para lo cual se utiliza la siguiente función:

P (x) =i− 0.5

n(3-13)

en donde n es el número de datos e i es el rango del iésimo dato. Finalmente, losparámetros de forma y escala se obtienen a partir de una regresión lineal de Y = AX+B.Esto garantiza encontrar un buen ajuste de la distribución de probabilidad del áreatransversal Af , la resistencia σfu y la deformación límite εfu a partir de los ensayosexperimentales de las fibras, tomadas de la tesis de maestría de Estrada (2010).

Las figuras 3-1a, 3-2a y 3-3a muestran el ajuste por regresión lineal de la ecuación 3-12. En las curvas Q-Q se registra la probabilidad (o los cuantiles) calculada a partir dela distribución teórica de Weibull contra la que se obtiene para los datos de los ensayosexperimentales. En las figuras 3-1b, 3-2b y 3-3b se presentan dichas curvas para lastres variables de estudio, en las cuales se puede determinar gráficamente la diferenciaentre la distribución de probabilidad de Weibull teórica y los datos obtenidos (Af , εfu oσfu) de los ensayos experimentales de Estrada (2010). Algunos de los datos más bajosno están cerca de la curva de regresión lineal. Sin embargo, este hecho no genera un


efecto significativo en la distribución de probabilidad. A partir de pruebas estadísticassencillas, se determina que las curvas Q-Q muestran una línea de regresión con pendientecercana a uno y la concentración de los valores de las tres variables, determinada conla prueba de curtosis, es inferior a 3. Las pruebas anteriores conducen a rechazar unadistribución bimodal, con dos modos que sugieren dos poblaciones separadas, en favorde una de tipo unimodal, para la cual se asocian todos los datos a una sola poblaciónestadística.

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

-6 -5.5 -5 -4.5 -4 -3.5 -3 -2.5

Y =

ln(-ln

(1-p

))

X = ln(A)

testsregression

Dat

os e

xper

imen

tale

s

Distribución teórica Weibull

0.05

0.04

0.03

0.02

0.01

00.050.040.030.020.010

(a) (b)

Figura 3-1 Área transversal Af de las fibras de BGA: (a) Regresión lineal, (b) Curva Q-Q

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

-6 -5.5 -5 -4.5 -4 -3.5 -3

Y =

ln(-ln

(1-p

))

X = ln(ε)

testsregression

Dat

os e

xper

imen

tale

s

Distrobución teórica Weibull

0.05

0.04

0.03

0.02

0.01

00.050.040.030.020.010

(a) (b)

Figura 3-2 Deformación límite εfu de las fibras de BGA: (a) Regresión lineal, (b) CurvaQ-Q

Para la muestra estudiada, los coeficientes A y B de la regresión lineal, los parámetrosde forma y escala de Weibull, la mediana y la moda de las propiedades indicadasanteriormente se resumen en la tabla 3-1.


-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

4 4.5 5 5.5 6 6.5 7

Y =

ln(-ln

(1-P

))

ln(Ai σi / Ao)

testsregression

Dat

os e

xper

imen

tale

s

Distribución teórica Weibull

1200

1000

800

600

400

0120010008006004000

200

200

(a) (b)

Figura 3-3 Resistencia a la tracción σfu de las fibras de BGA: (a) Regresión lineal, (b)Curva Q-Q

Tabla 3-1 Parámetros de forma α y escala β de Weibull, mediana Me y moda Mo parael área transversal Af , resistencia σfu y deformación límite εfu de fibras de BGA.

Prop. Dim. A B α β Me Mo

Ai (mm2) 2.0124 7.9427 2.0124 0.019316 0.016100 0.013730εfu (-) 1.6917 6.8443 1.6917 0.017496 0.014088 0.010312σfu (MPa) 1.3236 -8.6298 1.3236 678.56 514.43 234.10

3.2.3 Modelo de falla progresiva para grupos de fibras de BGL

Las fibras embebidas en la matriz de una porción delimitada de BGL se representancomo un grupo (o paquete) de fibras paralelas y de igual longitud. Cada fibra estáconformada por muchas fibrillas individuales con diámetros entre 10 y 20µm, aglome-radas estrechamente entre sí, como se muestra en las figuras 1-1 y 1-2 en la página9. El comportamiento de una fibra está representado por la relación uniaxial entre elesfuerzo normal σf(i) y la deformación longitudinal εf(i). Esta relación es lineal has-ta que el esfuerzo normal alcanza la resistencia σf(i)

u de la fibra con una deformaciónlongitudinal εf(i)

u . Después, el esfuerzo normal es nulo, mientras que la deformación lon-gitudinal continúa incrementándose como se muestra en la figura 3-4a y en la siguienteecuación.

σf(i) =

Eεf(i) , 0 ≤ εf(i) ≤ εf(i)u

0 , εf(i) ≥ εf(i)u

(3-14)


En esta tesis se propone un modelo de falla progresiva que represente la relación cons-titutiva del grupo de fibras dentro de un elemento de BGL. Este modelo se basa en lateoría de mezclas clásica para sistemas en paralelo (Truesdell & Toupin, 1960) y enuna distribución de probabilidad de Weibull que describe la resistencia, la deformaciónlímite y el área de la sección transversal de cada fibra.

Se supone que la deformación longitudinal de todas las fibras εf(i), ∀ i ∈ [1, . . . , nf ]

es la misma y que el esfuerzo axial del grupo σf es igual a la suma ponderada de losesfuerzos de todas las fibras σf(i), es decir,

εf(i) = εf(1) = εf(2) = · · · = εf(i) = · · · = εf(nf) (3-15)

σf = kf(1)σf(1) + kf(2)σf(2) + · · ·+ kf(i)σf(i) + · · ·+ kf(nf)σf(nf) (3-16)

donde kf(i) es la fracción volumétrica de la fibra i. Por lo tanto kf(i) = Af(i)/Af , siendoAf(i) el área transversal de la fibra i y Af es la suma del área de la sección transversalde todas las fibras que constituyen el grupo.

(a) (b)

Figura 3-4 Relación entre el esfuerzo normal y la deformación longitudinal en el modelode falla progresiva: (a) una sola fibra, (b) grupo de fibras

El modelo de falla progresiva para un grupo definido de nf fibras consta de las siguientesetapas:

• Inicialmente, se generan valores aleatorios de área transversal Af(i), deformación lími-te longitudinal εf(i)

u y de esfuerzo axial último σf(i)u para cada fibra i. Estos valores son

calculados mediante la distribución de probabilidad de Weibul, con los parámetrosde forma y escala obtenidos en la sección 3.2.2.


• Se ordenan y numeran las fibras de acuerdo con el valor de la deformación límite εf(i)u

de menor a mayor, es decir, εf(1)u < ε

f(2)u < . . . < ε

f(nf)u .

• Se aplica una deformación longitudinal al grupo de fibras igual a la deformación límitede la primera fibra, es decir, εf = ε

f(1)u . Por lo tanto, todas las fibras están sometidas

a εf(1)u , como lo indica la ecuación 3-15.

• Se calcula el esfuerzo normal de cada fibra σf(i), mediante la ecuación constitutiva3-14, para una deformación longitudinal εf(i) = ε

f(1)u .

• Se obtiene el esfuerzo normal del grupo de fibras σf , como lo establece la teoría demezclas para sistemas en paralelo, mediante la ecuación 3-16.• Se aplica una nueva deformación longitudinal del grupo igual a la deformación límite

de la siguiente fibra. Después, se repiten las últimas tres etapas, hasta alcanzar ladeformación límite de la última fibra.

El algoritmo 3-1 describe el modelo de falla progresiva que se propone en este trabajo.El paso de carga i + 1 en el proceso de falla del grupo de fibras de BGL correspondea un instante en el que las fibras contadas desde la 1 hasta la i se encuentran rotas, ylas fibras desde la i+ 1 hasta la nf mantienen todavía su comportamiento elástico. Lafunción wblrnd(β, α) es un procedimiento que genera valores aleatorios que respondenestadísticamente a una distribución de Weibull.

Las parejas de valores de deformación longitudinal y esfuerzo normal(εfi , σ

fi

), desde

la etapa de carga i = 1 hasta nf , describen el comportamiento mecánico del grupode fibras de BGL para una simulación. Sin embargo, la respuesta obtenida para cadasimulación es diferente, debido a la asignación de valores aleatorios de las propiedadesmecánicas de las fibras.

3.2.4 Modelo de plasticidad uniaxial para el grupo de fibras de BGL

A partir del modelo de falla progresiva descrito en la sección anterior y del modelode plasticidad uniaxial resumido en el cuadro 2-1, se propone el siguiente modelo deplasticidad particular para representar la respuesta mecánica del grupo de fibras deBGL.


Algoritmo 3-1 Modelo de falla progresiva de grupos de fibras de BGL

Input: Parámetros Weibull: βA, αA, βε, αε, βσ, ασ, número de fibras: nfOutput: Comportamiento mecánico del grupo de fibras

% Asignar propiedadesfor i = 1, nf doAf(i) ← wblrnd(βA, αA)

εf(i)u ← wblrnd(βεf , αεf )

σf(i)u ← wblrnd(βσf , ασf , A

f(i))

Ef(i) = σf(i)u /ε

f(i)u

end forAf =

∑Af(i)

for i = 1, nf dokf(i) = Af(i)/Af

end for% Ordenar ascendentemente y calcular el esfuerzoεf(1)u < ε

f(2)u < . . . < ε

f(nf)u

for i = 1, nf doεfi = ε

f(i)u (ecuación 3-15)

σf(i) = f(εfi ) (ecuación 3-14)

σfi =∑n

j=1 kf(j)σf(j) (ecuación 3-16)

Efsec = σfi /εfi

end for

El área efectiva del grupo se reduce desde Afef = Af hasta Afef = 0. A partir dela relación entre el esfuerzo nominal1 σf y el esfuerzo efectivo2 σfef , σ

fAf = σfefAfef ,

se obtiene la relación escalar Afef/Af que determina la integridad del material. En

consecuencia, el nivel de degradación del material está dada por 1− Afef/Af .

Los elementos estructurales de BGL tienen secciones transversales con dimensiones“grandes”. Este echo garantiza la existencia de una gran cantidad de fibras en la seccióntransversal y, en consecuencia, permite el siguiente desarrollo. La probabilidad de fallade un grupo de fibras con área transversal promedio P

(σfef , A

f = Ao

)es igual al por-

centaje de fibras cuya resistencia σfu es igual o menor al esfuerzo efectivo σfef aplicadoal elemento de BGL. Dicho de otro modo, es el porcentaje de fibras rotas en función

1Fuerza por unidad de área inicial de la sección transversal Af

2Fuerza por unidad de área efectiva Afef


del esfuerzo efectivo. Esto es precisamente el nivel de degradación del material definidopreviamente. De esta manera se tiene que:

1− Afef/Af = P

(σfef

)= 1− exp

[−

(σfefβσ

)ασ](3-17)

y, por lo tanto, el módulo de elasticidad secante del grupo de fibras se puede obtenerde la siguiente forma:

σf = σfefAfefAf

= σfef exp

[−

(σfefβσ

)ασ]= Efεf exp

[−

(σfefβσ

)ασ]

⇒ Efsec =

σf

εf= Ef exp

[−

(σfefβσ

)ασ](3-18)

donde σfef = Efεf es el esfuerzo efectivo y Ef el módulo de elasticidad inicial del grupode fibras. Así, el esfuerzo longitudinal en el grupo de fibras σf se determina en todomomento como

σf = Efsecε

f (3-19)

Además, el módulo de elasticidad tangente de las fibras Eftg se obtiene como la primera

derivada del esfuerzo nominal, dada por

Eftg =

∂σ

∂ε= Ef

[1− α

(σfefβσ

)ασ]exp

[−

(σfefβσ

)ασ](3-20)

Por lo tanto, al tener en cuenta el módulo de elasticidad tangente establecido en elcuadro 2-1 para el proceso de carga inelástico, se tiene que el módulo de ablandamientoparticular para el modelo de plasticidad de las fibras de BGL se calcula como


Hf =

Ef − ασEf

(Efεf

βσ

)ασexp

(Efεf

βσ

)ασ+ ασ

(Efεf

βσ

)ασ− 1

(3-21)

Los parámetros Weibull de forma y escala, asociados a la resistencia, son ασ = 1.3236

y βσ = 678.56 MPa, como se indicó en la tabla 3-1.

La figura 3-5 presenta un resultado gráfico del modelo desarrollado en este apartado.Resulta interesante notar en la figura 3-5 (y más adelante en la 4-2) que el momentoen que las fibras comienzan a reducir su capacidad estructural, corresponde a la modaMo de la deformación o, lo que es lo mismo, la deformación límite más frecuente enel material. Es de esperarse, entonces que este nivel de deformación marque un hitoimportante en la respuesta mecánica del BGL.

0

50

100

150

200

250

300

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07

Fibras guadua

Figura 3-5 Relación esfuerzo - deformación de las fibras de BGL

3.3 Modelo constitutivo de la matriz de BGL

La estructura del BGA y el BGL muestra un grupo de fibras embebidas en una matriz delignina. Algunas investigaciones han aislado las fibras de la matriz con la intención deestudiar su comportamiento (Amada et al., 1997; Das & Chakraborty, 2007; Deshpande,Rao, & Rao, 2000; Estrada, 2010; Feng, Wang, & Guo, 2003; Okubo, Fujii, & Thosten-son, 2009; K. M. M. Rao & Rao, 2007). Sin embargo, la matriz se degrada totalmente

3.4. Aplicación de la CSDA al BGL 55

durante este proceso, imposibilitando la obtención de probetas de este componente.En la literatura científica consultada no se reporta una caracterización mecánica dela matriz del BGA. En el proceso de producción del BGL no se modifica la estructurainterna de la matriz y las fibras. Por lo tanto, las características mecánicas de amboscomponentes son las mismas en el BGA y en el BGL.

A partir de la observación del proceso de fisuración de la matriz en los ensayos, principal-mente, de tracción y flexión en el BGL, en esta tesis se supone que el comportamientomecánico de la matriz de lignina se puede representar mediante un modelo de dañocontinuo con umbrales diferenciales de resistencia a la tracción y la compresión (Oliveret al., 1990; Simo & Ju, 1987). El daño continuo en el material se le atribuye al rompi-miento de las cadenas de polímeros durante el proceso de carga. Así, el punto materialcuyas cadenas de lignina se encuentran rotas presenta un cierto nivel de deterioro, elcual se representa con la variable de daño.

3.4 Aplicación de la CSDA al BGL

3.4.1 Cinemática enriquecida en el material compuesto

La ecuación 2-87 describe la tasa de deformaciones del elemento expresada como lasuma de una parte acotada y una no acotada. Al tener un tensor de deformacionesigual para todos los materiales componentes, la parte acotada y la no acotada de latasa de deformación para la matriz y las fibras estará dada, respectivamente, por

εm = ε + (δSn⊗ [[u]])S (3-22)

εfss = s · ε · s +δS (s · n) (s · [[u]]) (3-23)

recordando que [[u]] es la tasa del salto del vector de desplazamiento y δS es el delta deDirac, el cual se activa cuando se presenta una discontinuidad en el punto material.

3.4.2 Análisis de bifurcación material en el BGL

El análisis de bifurcación material determina el momento cuando empieza un procesoen el cual el campo de deformaciones se incrementa en un punto, mientras que en su ve-


cindad se disminuye. Esto ocurre conservando la continuidad de tracciones y exhibiendola formación de una discontinuidad débil del sólido. Este análisis permite identificar ladirección de la superficie de discontinuidad. Por ejemplo, una barra sometida a tracciónpuede tener el comportamiento que se esquematiza en la figura 3-6, bajo la mirada delanálisis de bifurcación.

Fisuras distribuidas

Fisuralocalizada

Figura 3-6 Esquema de la respuesta estructural de una probeta de material compuestosometida a tracción. Fuente: (Linero, Oliver, & Huespe, 2006)

En los ensayos experimentales de tracción con probetas de BGL se perciben dos etapasde fisuración, posteriores al régimen elástico del material. Primero se presenta una etapade aparición de microfisuras distribuidas uniformemente, la cual se estabiliza gracias ala capacidad mecánica de las fibras. Luego, se tiene una etapa de fallo localizado enuna banda estrecha, la cual lleva rápidamente al colapso definitivo del material, comose esquematiza en la figura 3-6. Este comportamiento ha sido reportado para otrosmateriales compuestos conformados por fibras largas de mayor resistencia y ductilidadque la matriz, las cuales se encuentran distribuidas uniformemente (Hsueh, 2000; Hu,1996; Kontou, Spathis, & Georgiopoulos, 2014; Lamus, 2014; Linero, Oliver, & Huespe,2006; Liu, Sun, & Ju, 2005; Mishnaevskyjr & Brondsted, 2009; Moorthy & Ghosh, 1998;Saraz, Varón, & Herrera, 2007; Staiger & Tucker, 2008; Trujillo et al., 2014).

En materiales compuestos cuyas fibras se distribuyen uniformemente, la dirección y elinstante de bifurcación están determinados por las propiedades mecánicas de todos loscomponentes (Linero et al., 2006). El criterio clásico de bifurcación establecido por Hill(1962) se plantea de la forma

Qtg(t,n) · [[u]] = 0 (3-24)

3.4. Aplicación de la CSDA al BGL 57

siendo Qtg(t,n) el tensor de localización, definido como:

Qtg(t,n) = n · Ctg · n (3-25)

De acuerdo con la cinemática establecida para el elemento con discontinuidades fuertes,el salto no nulo de la tasa de desplazamientos [[u]] 6= 0, es una condición suficiente parala existencia de una discontinuidad. Por lo tanto, el tensor de localización Qtg debe sernulo en el instante tb y en la dirección nb, tal que:

Qtg(tb,nb) = 0 → det[Qtg(tb,nb)

]= 0 (3-26)

Al sustituir la ecuación 3-7 en la ecuación 3-25 el tensor de localización del materialcompuesto se puede expresar en términos de sus materiales componentes, así:

Qtg(t,n) = kmQmtg + kfEf

tg (n · s)2 (s⊗ s) (3-27)

en donde el tensor de localización tangente de la matriz Qmtg para la matriz, represen-

tada con un modelo de daño en condición de esfuerzos planos, está dado por (Hill,1962):

Qmtg =

qm

rmQm −

[qm −Hmrm

(rm)3

][(rm)2

φ

(tm ⊗ tA

)+ φ2

(tm ⊗ tm

)](3-28)

y el tensor de localización elástico de la matriz Qm está definido para estados planosde esfuerzos y deformación, como:

Qm =Em

1− (νm)2

[(1 + νm

2

)(n⊗ n) +

(1− νm

2

)1

]esf. plano (3-29)

Qm =Em

(1 + νm) (1− νm)

[(1

2

)(n⊗ n) +

(1− 2νm

2

)1

]def. plana (3-30)


El instante tb de bifurcación y la dirección nb de la discontinuidad se determinan me-diante la búsqueda de los valores mínimos del determinante de Qtg con respecto a nen cada instante de seudo-tiempo. Cuando det

[Qtg(t,n)

]= 0 los valores de t y n co-

rresponden al instante de bifurcación tb y a la dirección de la discontinuidad nb (Lineroet al., 2006).

Capítulo 4Resultados de simulaciones numéricas

“... solutions to partial differential equations, of evenlinear material models, at infinitesimal strains,describing the response of small boddies containing afew heterogeneities are still open problems. In short,complete solutions are virtually impossible.”

(Zohdi & Wriggers, 2005)

En esta sección se explican las simulaciones numéricas realizadas con los modelos desa-rrollados. Primero, el modelo de homogenización se define con simulaciones de los mo-delos de Mori-Tanaka y mezclas en el rango lineal del material. Segundo, se presentanresultados sobre la respuesta mecánica de grupos de fibras de BGL, mediante el mo-delo de falla progresiva. Tercero, se presentan simulaciones realizadas con el MEF deun ensayo a tracción en probetas de BGL, con las cuales se encuentran y ajustan losparámetros que definen el modelo constitutivo de la matriz.

4.1 Determinación del modelo de homogenización

En esta sección se aplican cuatro modelos de homogenización para representar un mate-rial compuesto, reforzado con fibras largas paralelas a la dirección de la carga. Entre losmodelos de mezclas clásico en paralelo, de mezclas generalizado, de fibra despreciable yde Mori-Tanaka, se escoge el más apropiado y simple. El BGL es un material compuesto

59

60 Capítulo 4. Resultados de simulaciones numéricas

similar al indicado anteriormente, en el cual las fibras exhiben una relación de aspectoentre su longitud y diámetro l/φ del orden de 150 (Dagilis, 1999).

La respuesta mecánica del compuesto BGL depende directamente de las propiedades delas fibras y la matriz. Esto se refleja en el cálculo del tensor constitutivo del compuesto,para lo cual intervienen la rigidez y la fracción volumétrica de los dos componentes.En el cuadro 4-1 se resumen las expresiones para calcular el tensor constitutivo de unmaterial compuesto por matriz y fibras, establecidas en la sección 2.2.

Cuadro 4-1 Tensor constitutivo para diferentes modelos micromecánicos

Mori-Tanaka C = Cm + kf(Cf − Cm

): AfMT (4-1)

Mezclas generalizado C =(1− ℵ) + 1

nℵ[1n (1− ℵ) + ℵ

]2 [(1− kf)Cm + kfCf

](4-2)

Mezclas clásico en paralelo C =(

1− kf)Cm + kfCf (4-3)

Fibra despreciable C =(

1− kf)Cm + kf (s⊗ s)⊗ (s⊗ s)Ef (4-4)

La componente del tensor constitutivo que relaciona al esfuerzo y la deformación en ladirección s, se denomina módulo de elasticidad Ess del compuesto en la dirección s. Seobtiene de las ecuaciones anteriores, así:

Mori-Tanaka µ = C1122, λ = C1111 − 2µ, → Ess =µ (3λ+ 2µ)

λ+ µ(4-5)

Mezclas generalizado Ess =(1− ℵ) + 1

nℵ[

1n

(1− ℵ) + ℵ]2 (1− kf)Em

ss + kfEfss (4-6)

Mezclas en paralelo Ess =(1− kf

)Emss + kfEf

ss (4-7)

Fibra despreciable Ess =(1− kf

)Emss + kfEf

ss (4-8)

En la figura 4-1a se presenta la relación entre el módulo de elasticidad Ess en la direccións del material compuesto y la fracción volumétrica de fibras kf , para relaciones deaspecto l/φ entre 1 y 100, las cuales fueron calculados con el modelo de Mori-Tanaka.Allí se nota que el aporte del refuerzo no es representativo para kf que se encuentren

4.1. Determinación del modelo de homogenización 61

(a)

0.6

0.8

1

1.2

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10 0.2 0.4 0.6 0.8 1(b)

Figura 4-1 Variación de los parámetros del material compuesto: (a) módulo deelasticidad E Vs. kf , (b) Parámetro de acoplamiento ℵ Vs. kf

por debajo de 0.4, cuando su forma es la de esferas (l/φ = 1). Sin embargo, a medidaque la relación l/φ aumenta, y el refuerzo comienza a tomar la forma de fibra larga,se evidencia que la relación entre la rigidez del compuesto y la fracción volumétrica defibras tiende a ser lineal. La ecuación de la línea recta observada es de la forma Ess =

Emss+

(Ef − Em

ss

)kf , la cual es igual a Ess =

(1− kf

)Emss+kfEf

ss. Este resultado indicaque, para materiales compuestos reforzados con fibras largas, el modelo de Mori-Tanakaarroja el mismo resultado que la teoría de mezclas clásica para sistemas en paralelo.En consecuencia, se escoge la teoría de mezclas para representar el BGL, reduciendo elcosto computacional sin sacrificar la precisión.

Ahora, se aplica la teoría de mezclas generalizada y se obtiene la relación entre el pa-rámetro ℵ y la fracción volumétrica kf , para diferentes relaciones de aspecto l/φ. En lafigura 4-1b se presentan los resultados. Se observa un cambio continuo de dicho pará-metro en función de las dos variables controladas en las simulaciones, pero, sobre todo,se identifica que los materiales compuestos con l/φ ≥ 100 mantienen el parámetro deacoplamiento constante en un valor de ℵ = 0.6457 para toda kf . El BGL se consideraun compuesto reforzado con un solo grupo de fibras, con lo cual es una mezcla de 2fases: la matriz y el grupo de fibras. Luego, un caso particular de la teoría de mezclasgeneralizada, en el cual se tienen n = 2 fases y un parámetro de acoplamiento cons-tante ℵ = 0.6457, la ecuación 4-6 para Ess corresponde exactamente a la ecuación 4-7del modelo de mezclas clásico para refuerzo en paralelo (Estrada, Linero, & Ramírez,2011).


La componente del tensor constitutivo asociada al esfuerzo en la dirección perpendiculara s, depende de la rigidez de la matriz y las fibras en esta dirección. Sin embargo, larigidez transversal del conjunto de fibras en el BGL es tan baja que se considera nulacomparada con la rigidez de la matriz. Lo anterior simplifica las ecuaciones del tensorconstitutivo del material compuesto al modelo de fibra con diámetro despreciable.

En consecuencia, se elige el modelo de fibra con diámetro despreciable para representarel comportamiento del BGL, recordando que la relación de aspecto de las fibras de BGA

es mayor a 100.

4.2 Respuesta mecánica de grupos de fibras de BGL

El propósito del modelo de falla progresiva es obtener una relación constitutiva quesea representativa del grupo de fibras en un elemento de BGL. Para esto se realizan660 simulaciones, haciendo 20 repeticiones de 33 grupos con diferente número de fibrasutilizando el algoritmo 3-1. Las figuras 4-2a, b, c y d muestran la relación entre σf yεf de las 20 repeticiones para cuatro de los 33 grupos: con 40, 200, 1.000 y 5.000 fibras,respectivamente. Estas curvas advierten que la dispersión de la respuesta mecánica delgrupo disminuye cuando el número de fibras contenidas aumenta.

En la figura 4-2 se observa que la relación entre el esfuerzo y la deformación de 20repeticiones en grupos de pocas fibras, como 40 y 200, muestra una alta dispersión delesfuerzo máximo y el comportamiento pos-pico. En cambio, para grupos con 1000 fibras,tal dispersión se reduce notoriamente. Finalmente, las 20 curvas obtenidas para el grupocon nf = 5000 fibras (figura 4-2d) exhiben una dispersión muy baja, lo cual permitiríautilizar una curva media como representativa de este grupo. En una sección transversalrelativamente pequeña con respecto al tamaño de un elemento estructural de BGL, haymás de 4000 fibras, lo cual garantiza una buena aproximación de la relación esfuerzoVs. deformación del grupo. Por ejemplo, utilizando el número de fibras por unidad deárea en el BGL nf = 23.286 fib/mm2 determinado en la sección 1.4, las probetas paraun ensayo a tracción de BGL con área transversal de Asp = 100 mm2, tendrían un pocomás de 2300 fibras.

El esfuerzo máximo alcanzado σfu, el módulo inicial del grupo de fibras Ef y la densidadde energía de deformación del grupo uf son indicadores del comportamiento del grupo

4.2. Respuesta mecánica de grupos de fibras de BGL 63

0

50

100

150

200

250

300

350

400

450

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04 0.045 0.05

σ(s) (M

Pa)

ε(s)

40 fibras/grupo

0

50

100

150

200

250

300

350

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06

σ(s) (M

Pa)

ε(s)

200 fibras/grupo

0

50

100

150

200

250

300

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08

σ(s) (M

Pa)

ε(s)

1000 fibras/grupo

0

50

100

150

200

250

300

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07

σ(s) (M

Pa)

ε(s)

5000 fibras/grupo

(a) (b)

(c) (d)

Figura 4-2 Respuesta mecánica de 20 repeticiones para 4 de los 33 grupos de fibrassimulados: (a) nf = 40, (b) nf = 200, (c) nf = 1000, (d) nf = 5000

de fibras en cada simulación. σfu se determina encontrando el valor de esfuerzo máximodurante cada repetición de los 33 grupos de fibras. El módulo de elasticidad Ef inicialdel grupo de fibras se determina como la pendiente de la regresión lineal de todaslas parejas de valores

(εf , σf

)del primer tramo creciente de la curva, para las cuales el

esfuerzo longitudinal σf se encuentra entre el 0 y el 50% de σfu. Por su parte, la densidadde energía de deformación uf , que proporciona información sobre el comportamientopos-pico del grupo de fibras, es el área bajo toda la curva de esfuerzo Vs. deformaciónen cada simulación.

El coeficiente de variación del esfuerzo máximo cov(σfu), del módulo de elasticidadcov(Ef ) y de la densidad de energía de deformación cov(uf ), en las 20 repeticiones de


cada grupo, son medidas de la dispersión de la respuesta mecánica. En consecuencia,se calculan dichos coeficientes de variación para los 33 grupos de fibras. Los resultadospara las tres variables descritas, presentes en la figura 4-3, muestran que la dispersiónse reduce cuando el número de fibras aumenta. Esto permite establecer que los gruposcon aproximadamente 1500 fibras, o más, presentan resultados con cov(σfu) y cov(uf )

inferiores a 5%. Mientras que, en cuanto al módulo de elasticidad, se requieren gruposde más de 4000 fibras para obtener un cov(Ef ) inferior a 5%.

10-2

10-1

100

100 101 102 103 104

regresiontests

10-2

10-1

100

100 101 102 103 104

regresiontests

10-2

10-1

100

100 101 102 103 104

regresiontests

(a) (b) (c)

Figura 4-3 Coeficientes de variación de la respuesta de grupos de fibras de BGL: (a)cov(σfu), (b) cov(Ef ), (c) cov(uf ).

Para las repeticiones del grupo de 5000 fibras se obtiene, por un lado, una resistenciapromedio del grupo alrededor de σfu = 258.93 MPa, la cual ocurre a la deformación longi-tudinal determinada por su moda 0.0103. También se obtienen el módulo de elasticidadinicial promedio Ef

= 42.96 GPa y la densidad de energía de deformación promediouf = 5.10 MJ/m3, calculados como se explicó previamente. En la tabla 4-1 se presen-tan los resultados de las medidas de dispersión del esfuerzo máximo cov(σfu), el módulode elasticidad inicial cov(Ef ) y la densidad de energía de deformación cov(uf ) paraalgunos de los 33 grupos de fibras simulados con el algoritmo 3-1.

Los anteriores hallazgos permiten proponer un modelo analítico que represente el com-portamiento mecánico del grupo de fibras contenido en un elemento de BGL. Ese modelose basa en el modelo de plasticidad unidimensional, considerando que la evolución de suparámetro de endurecimiento/ablandamiento Hf está determinada por una expresiónproveniente del modelo estadístico de falla progresiva indicado en la ecuación 3-21. Laevolución del parámetro Hf se ve reflejada en la respuesta global como una primerazona de endurecimiento, asociada a valores de deformación inferiores a su moda Mo. Apartir de esa deformación, el módulo Hf es negativo, lo cual se refleja en una zona deablandamiento en la respuesta global de las fibras.

4.3. Simulación numérica de un ensayo a tracción de BGL 65

Tabla 4-1 Medidas de dispersión de los resultados de las simulaciones decomportamiento longitudinal de grupos de fibras de BGA.

Grupo nf σfu cov(σfu) Ef

cov(Ef ) uf cov(uf )( MPa) % ( GPa) % ( MJ/m3) %

7 40 323.7 19.29 36.08 22.93 5.07 18.1113 100 308.7 18.91 37.21 51.64 5.50 17.7518 200 272.8 10.44 36.04 10.80 4.93 11.0224 500 263.0 8.36 33.17 9.88 5.07 9.7729 1000 270.7 6.35 30.88 11.49 5.29 7.2031 3000 258.7 4.67 41.76 3.90 5.12 2.7033 5000 258.9 3.42 42.96 3.73 5.10 4.38

En esta tesis se representa el comportamiento mecánico del grupo de fibras de BGL conun modelo de plasticidad modificado con un parámetro de ablandamiento Hf variable(Estrada, Linero, & Ramírez, 2013). Las propiedades mecánicas y estadísticas que de-finen dicho modelo son: el módulo de elasticidad inicial Ef , y los parámetros de formaασ y escala βσ de Weibull. La resistencia del grupo de fibras no interviene como pará-metro del modelo, dado que el módulo de endurecimiento actúa continuamente desdeel comienzo de la aplicación de cargas.

4.3 Simulación numérica de un ensayo a tracción de BGL

Los modelos descritos anteriormente se implementan en un esquema incremental nolineal del MEF, con el fin de representar numéricamente la respuesta mecánica del BGL.El comportamiento a la tracción del BGL se simula como un material compuesto re-forzado con fibras largas, orientadas paralelamente a la dirección de la aplicación de lacarga.

En esta sección se describe la simulación numérica de un ensayo experimental de pro-betas de BGL sometidas a tracción en la dirección de sus fibras. Tales ensayos fueronrealizados por el grupo de investigación en estructuras de la Universidad de los An-des (CIMOC, 2010; López & Correal, 2009). En la figura 4-4 se presenta un esquemade la probeta, la cual fue cargada a tracción siguiendo los lineamientos de la normaASTM-D143 (ASTM, 2009). A partir de la instrumentación del ensayo, se cuenta conlos registros de la carga aplicada P y el desplazamiento relativo δ entre dos puntosubicados en la zona central distanciados lo = 25 mm.


Deformímetro

Figura 4-4 Probeta experimental para ensayos de tracción en BGL.

El ensayo numérico se considera como un problema plano de esfuerzos, cuyo dominio sedivide en 1008 elementos triangulares lineales. En la sección reducida de la probeta seencuentran elementos de menor tamaño, como se indica en la figura 4-5b. Se restringenlos desplazamientos del extremo izquierdo de la probeta y se impone un desplazamientoincremental δd en el extremo derecho.

(a) (b)

Figura 4-5 Probeta de BGL para las simulaciones numéricas: (a) probeta completa, (b)ampliación de una zona del cuello

La suma de las fuerzas reactivas en el extremo derecho corresponde a la carga aplicadaP , y el desplazamiento relativo en la zona central se obtiene como la diferencia entre losdesplazamientos de los dos nudos respectivos. Como se ha indicado anteriormente, ladistribución de fibras en el BGL es uniforme, por lo cual se mantiene una participaciónvolumétrica de fibras constante en toda la probeta. De acuerdo a lo calculado en lasección 1.4 su magnitud es kf = 0.4.

El grupo de fibras se representa con el modelo de plasticidad desarrollado con módulode elasticidad Ef = 43 GPa, y parámetros de forma y escala de Weibull iguales aασ = 1.3236 y βσ = 678.56 MPa, respectivamente. Por su parte, el comportamiento de lamatriz obedece a un modelo de daño bidimensional, cuyas propiedades mecánicas comoel módulo de elasticidad Em, la resistencia última σmu y el módulo de ablandamientoHm no se conocen previamente.

En consecuencia, se plantea la solución de un problema inverso para determinar laspropiedades mecánicas de la matriz de BGL. Los parámetros se determinan comparandola respuesta numérica y experimental de una probeta de BGL sometida a tracción en la


dirección de las fibras. El módulo de elasticidad y la resistencia de la matriz se calculandependiendo de la magnitud del esfuerzo máximo alcanzado en el BGL y del nivel deparalelismo entre las curvas numérica y experimental, obteniendo los siguientes valores:Em = 900 MPa, σfu = 160 MPa.

En las simulaciones se observa que la energía de fractura de la matriz no afecta con-siderablemente la respuesta pos-pico del BGL. Esto se debe posiblemente a que el BGL

tiene una alta participación volumétrica de fibras, las cuales son significativamente másrígidas que la matriz. De esa manera se presenta un mecanismo de falla en el que lamatriz se mantiene dentro de su rango elástico hasta el momento en que las fibras al-canzan su esfuerzo máximo. En ese instante se desata un proceso acelerado de fallaglobal, debido al ablandamiento del grupo de fibras, y a que la deformación se localizarápidamente. Por lo tanto, el proceso de daño de la matriz no se alcanza a detectardurante el aumento de la carga. En las simulaciones la modificación de esta variableno produce ningún cambio de la respuesta mecánica de la probeta. Luego, se suponeuna energía de fractura de la matriz de lignina de Gm

f = 0.2 kJ ·m−2, según valoresreportados para lignina extraída de muestras de madera (Barthelat, Yin, & Buehler,2016).

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012 0.014 0.016

experimentalnumerica

(a)

(b)(c)

Figura 4-6 Respuesta estructural P/Ao Vs. δ/lo del ensayo a tracción de una probeta deBGL


La respuesta estructural del ensayo se representa mediante la relación entre la cargaaplicada P dividida entre el área de la sección transversal reducida de la probeta Ao, yel cociente entre el desplazamiento relativo δ y su separación lo = 25 mm.

La figura 4-6 presenta dicha respuesta estructural obtenida en el ensayo experimental yen la simulación numérica con el modelo propuesto, después de encontrar los parámetrosconstitutivos de la matriz. Los resultados experimentales muestran saltos durante suetapa no lineal, lo cual se debe a posibles fallas por defectos locales del material. Lacurva de los resultados numéricos, sin embargo, evoluciona de manera suave, gracias ala homogeneidad teórica del material en toda la probeta.

Inicio de fisura transversal

(a)

(b)

(c)

Fisuras longitudinales

Apertura de fisura transversal

Figura 4-7 Iso-líneas de desplazamiento en diferentes momentos del ensayo numérico:(a) concentración del desplazamiento en la zona de reducción de sección transversal; (b)comienzo de localización de la deformación en el cuello de la sección transversal; (c)

localización completa en el cuello de la sección transversal

La concentración de líneas de igual desplazamiento indica un aumento localizado de ladeformación. Además, representa la formación de una fisura en el material compuestoBGL.

En la figura 4-7 se presentan los resultados de las iso-líneas de desplazamiento corres-pondientes a los tres momentos indicados en la figura 4-6 con las letras (a), (b) y (c).La figura 4-7a evidencia una concentración de la deformación en las regiones dondecomienza la reducción del área transversal de la probeta. Esto sugiere la existencia decuatro fisuras en la dirección longitudinal de la probeta. A pesar de ello, las fibras tie-nen aún suficiente resistencia y estabilizan el problema, lo cual permite aumentar lacarga. La figura 4-7b corresponde al momento en el cual se detecta una localizaciónde la deformación en la sección del cuello de la probeta. Este instante coincide con elmomento exacto en el que el ensayo alcanza su carga máxima (figura 4-6). Esta locali-zación se presenta debido a que una gran cantidad de fibras han perdido su capacidad


estructural, lo cual corresponde con un δ/lo igual a la moda de la deformación calculadaen la sección 3.2.4. A partir de este instante, la deformación se incrementa rápidamenteen este lugar, debido a que las fibras tienen cada vez menos capacidad y la matriz esmuy débil para estabilizar el problema. La figura 4-7c muestra la aparición definitivade una fisura transversal abierta, representada por una franja completa de deformaciónlocalizada.

A partir de estos resultados se identifican dos tipos de mecanismos de falla en la probetasimulada con el modelo propuesto: fisuras longitudinales en la zona de transición de lasección transversal y una fisura transversal a la dirección de las fibras en la secciónreducida.

En los ensayos experimentales de tracción en BGL, realizados por otros investigadores(López & Correal, 2009; Takeuchi, 2013), se observan los mismos dos tipos de falla queseñala el modelo numérico propuesto. En la figura 4-8 se presentan los estados finalesde las probetas a tracción que fallaron por los dos mecanismos descritos.

(a)

(b)

Figura 4-8 Estado final de probetas de BGL sometidas a tracción: (a) falla longitudinalen la reducción de sección y (b) falla transversal en el cuello de la probeta

Fuente: (Takeuchi, 2013)

Conclusiones y trabajos futuros

El comportamiento mecánico del Bambú Guadua angustifolia Laminado (BGL) depen-de de los materiales componentes en su interior. La microestructura de fibras largasalineadas longitudinalmente en la pared del culmo, que se obtiene naturalmente desdelas plantas de Bambú Guadua angustifolia (BGA), determina el carácter de materialcompuesto reforzado en una sola dirección.

La representación numérica del comportamiento mecánico del BGL requiere tener encuenta la microestructura y diferencias de sus componentes. Su condición de materialcompuesto natural exige tener en cuenta el aporte estructural de las fibras y la matrizpor separado. Esto con el fin de que el modelo numérico posea elementos que permitandetectar los comportamientos vistos en los ensayos físicos. En el desarrollo de estatesis se concluyó que el comportamiento estructural global y el proceso de fracturade elementos de BGL, bajo condición plana de esfuerzos y deformación infinitesimal,se puede representar mediante un modelo numérico implementado en el Método delos Elementos Finitos (MEF), considerando no linealidad del material. Este método, elcual permite representar la geometría de un elemento estructural a partir de mallas deelementos finitos triangulares lineales, combina diferentes modelos específicos para cadacomponente del material, como se indica a continuación:

• El comportamiento del BGL, como material compuesto, se obtuvo a partir de lateoría de mezclas clásica y la simplificación de fibra con diámetro despreciable. Esteprocedimiento depende de los modelos constitutivos y las fracciones volumétricas dela matriz y del grupo de fibras.• El comportamiento unidimensional del grupo de fibras se representó mediante un mo-

delo constitutivo de plasticidad unidimensional con ablandamiento variable, obtenidoa partir de una metodología de falla progresiva de las fibras individuales.

71


• El comportamiento bidimensional de la matriz, incluyendo su deterioro, se representómediante un modelo constitutivo de daño continuo.• La ubicación de cada fisura en el BGL se estableció a partir de la localización del campo

de las deformaciones mediante la Metodología de las Discontinuidades Fuertes en elContinuo (CSDA). Asimismo, el instante de formación y la dirección de propagaciónde la fisura se obtuvo a partir del análisis de bifurcación material.

El modelo numérico propuesto se desarrolló durante tres etapas, en las cuales inter-vienen los componentes del modelo a diferentes escalas. A partir de los resultados, sedeterminaron los modelos específicos para cada componente del modelo global. A con-tinuación se explican dichas etapas y se indican las conclusiones encontradas en cadauna de ellas.

En la primera etapa se determinó la teoría de homogenización de materiales compuestosreforzados con fibras largas, más apropiada y sencilla para describir el comportamientodel BGL, comparando algunas de sus propiedades mecánicas. De lo anterior se concluyóque la metodología de fibra con diámetro despreciable muestra la misma rigidez, resis-tencia y energía por ablandamiento, que otros modelos más complejos, como la teoríade mezclas clásica y la de campo medio. También, se demostró que la metodología defibra con diámetro despreciable es un caso especial de la teoría de mezclas generalizaday del modelo de Mori-Tanaka, cuando el material está compuesto por una matriz y ungrupo de fibras largas y paralelas, como en el BGL.

En una segunda etapa, se construyó un modelo de plasticidad analítico para representarel comportamiento axial del grupo de fibras, a partir del modelo constitutivo de lasfibras individuales, del modelo estadístico de Weibull y de una técnica propuesta defallo progresivo de fibras individuales. De esta parte de la tesis, se obtuvieron dosconclusiones. Primero, se encontró que, a pesar de la gran variabilidad en la rigidez yla resistencia de las fibras individuales de BGL, la respuesta mecánica de un grupo defibras reduce notoriamente su dispersión cuando el número de fibras es mayor a 1500.Segundo, que el modelo de plasticidad unidimensional modificado con ablandamientovariable representa correctamente la respuesta estructural de grupos compuestos por ungran número de fibras, teniendo en cuenta la micromecánica de cada fibra componente.Ese modelo determinó acertadamente el módulo de elasticidad inicial, el esfuerzo normalmáximo y la energía de deformación por ablandamiento.


Finalmente, en la tercera etapa, se implementaron los modelos formulados y desarrolla-dos en el MEF, lo cual permitió realizar simulaciones numéricas de probetas fabricadascon BGL sometidas a cargas estáticas. A partir de esta etapa se concluyó que el modeloimplementado para esta tesis representa satisfactoriamente la respuesta estructural y latrayectoria de fisuración de los elementos de BGL. Se verificó el funcionamiento correctodel modelo numérico mediante la simulación del ensayo experimental de una probetaa tracción, en el cual la concentración de líneas con igual desplazamiento simula lalocalización de la deformación y, en consecuencia, la formación de una fisura. Además,los resultados de la simulación numérica muestran que la carga máxima soportada porla probeta ocurre para un nivel de deformación equivalente a la moda estadística de ladeformación de las fibras, obtenida en el modelo de falla progresiva. A partir de estose concluye que las fibras determinan, en gran parte, el comportamiento estructural delBGL. Por último, en esta etapa se determina la energía de fractura de la matriz me-diante varias simulaciones y se concluye que la variación de este parámetro no modificasignificativamente la respuesta estructural de la probeta.

Las características biológicas, físicas y mecánicas del BGL han sido investigadas conrelativa profundidad por diferentes académicos, pero aún existen vacíos para entendercon mayor detalle el comportamiento mecánico de este material compuesto.

A continuación se enuncian algunos temas que podrían ayudar a la mejor comprensiónde la mecánica del BGL en futuros trabajos de investigación.

La composición física y química, así como el comportamiento mecánico de la inter-faz entre las fibras y la matriz es un interrogante que aún no ha sido resuelto. Paraello se debe superar la dificultad para fabricar las probetas y realizar los ensayos delaboratorio.

Otra propuesta nace de la observación en ensayos de caracterización mecánica del BGL.La falla por compresión longitudinal en probetas exhibe un aparente pandeo de lasfibras. Este comportamiento implica una complejidad adicional en la descripción delfenómeno, lo cual no se conoce todavía con exactitud. Los modelos numéricos querepresentan el comportamiento mecánico de este material podrían completarse para estecaso particular. Así, es posible tener un solo modelo que simule la respuesta mecánicade elementos de BGL bajo comportamientos de inestabilidad geométrica.


Una tercera propuesta es la validación de este modelo mediante la simulación numéricade vigas y muros de BGL sometidas a flexión y cortante, considerando un comporta-miento elástico lineal bajo estados de compresión.

Finalmente, se propone utilizar el modelo de falla progresiva, desarrollado en esta tesis,en otros materiales compuestos que se encuentren reforzados con una cantidad impor-tante de fibras largas.

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