modelos cuantitativos capítulo 7 primera parte programación lineal método gráfico 7.1 - 7.8...
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Modelos Modelos CuantitativosCuantitativos
Modelos Modelos CuantitativosCuantitativos
Capítulo 7 Primera ParteCapítulo 7 Primera ParteProgramación LinealProgramación LinealMétodo Gráfico 7.1 - 7.8Método Gráfico 7.1 - 7.8
Capítulo 7 Primera ParteCapítulo 7 Primera ParteProgramación LinealProgramación LinealMétodo Gráfico 7.1 - 7.8Método Gráfico 7.1 - 7.8
7.1 Un problema simple 7.1 Un problema simple de maximizaciónde maximización
7.1 Un problema simple 7.1 Un problema simple de maximizaciónde maximización
Características de los problemas de Programación Lineal
El objetivo es la maximizaciónmaximización o minimizaciónminimización de alguna cantidad. Todos los problemas presentan restriccionesrestricciones.
Problema de las bolsas de golf 1..1..
Departamentos:Departamentos:1.1. Corte y teñido.Corte y teñido.
2.2. Costura.Costura.
3.3. Terminado.Terminado.
4.4. Inspección y Embalaje.Inspección y Embalaje.
Se producirán dos tipos de bolsas: Estándar con utilidad de 10 dólares y de Lujo con utilidad de 9 dólares.
Problema de las bolsas de golf ..2....2..
Tiempo de producción (horas)
ProductoCorte y teñido
CosturaTerminad
o
Inspección Embalaje
Bolsa Estándar 7/107/10 1/21/2 11 1/101/10
Bolsa de Lujo 11 5/65/6 2/32/3 1/41/4
Hrs. disponibles en los prox. 3 meses
603603 600600 708708 135135
Problema de las bolsas de golf ..3..3
El problema de la compañía Par es determinar cuántas bolsas estándares y cuántas bolsas de lujo deben fabricar con objeto de maximizarmaximizar la contribución a las utilidades.
7.2 Función Objetivo7.2 Función Objetivo7.2 Función Objetivo7.2 Función Objetivo
Función Objetivo
Variables de decisiónx1 = número de bolsas estándares fabricadas
x2 = número de bolsas de lujo fabricadas
Función ObjetivoContribución a las utilidades totales
z = 10 x1 + 9 x2
Utilizando max como abreviatura de maximizar,
el objetivo de Par se plantea de la siguiente manera
max z = max 10 x1 + 9 x2
7.3 Restricciones7.3 Restricciones7.3 Restricciones7.3 Restricciones
Restricciones
Corte y Teñido
Costura
Terminado
Inspección y embalaje
No negatividad 0,
1354
1
10
1
7083
21
6006
5
2
1
630110
7
21
21
21
21
21
xx
xx
xx
xx
xx
7.4 Planteamiento 7.4 Planteamiento matemáticomatemático
7.4 Planteamiento 7.4 Planteamiento matemáticomatemático
Planteamiento matemático del problema como un modelo de Programación Lineal
0,
1354
1
10
1
7083
21
6006
5
2
1
630110
7
a sujeta ,910max
21
21
21
21
21
21
xx
xx
xx
xx
xx
xx
0,
1354
1
10
1
7083
21
6006
5
2
1
630110
7
a sujeta ,910max
21
21
21
21
21
21
xx
xx
xx
xx
xx
xx
Problema
Ahora se requiere encontrar la combinación de productos (x1 y x2) que satisfaga todas las restricciones y, al mismo tiempo, dé un valor de la función objetivo que sea mayor o igual a un valor dado por cualquiera otra solución factible.
Semántica de la Programación Lineal
Programación: elegir curso de acción Lineal: en el modelo matemático están presentes sólo funciones lineales.
7.5 Solución gráfica7.5 Solución gráfica7.5 Solución gráfica7.5 Solución gráfica
Gráfica de los puntos de solución
200
400
600
800
1000 1200
200
400
600
800
1000
1200
Cantidad de bolsas
de lujo
X1
X2
Cantidad de bolsas estándares
(200, 800)
Un punto solución con x1=200 x2=800
(400, 300)
Un punto solución con x1=400 x2=300
-200
-200
Restricciones de no negatividad
200
400
600
800
1000 1200
200
400
600
800
1000
1200
Cantidad de bolsas
de lujo
X1
X2
Cantidad de bolsas estándares
-200
-200
La recta de restricción de corte y teñido
200
400
600
800
1000 1200
200
400
600
800
1000
1200
Can
tid
ad
de b
ols
as d
e
lujo
X1
X2
Cantidad de bolsas estándares
-200
-200
(0, 630)
(900,0)
(600, 500)
(200, 200)
7/10x1 + 1x
2 = 630
C. y T.
Criterio para determinar los puntos factibles de solución.
Si un punto de solución determinado no es factible, entonces todos los demás puntos de solución que se encuentran al mismo lado de la recta de restricción tampoco son factibles. Si un punto de restricción específico es factible, entonces son factibles todos los demás puntos de solución que están al mismo lado de la recta de restricción. Por ello es necesario evaluar la función restrictiva sólo para un punto solución y determinar en cuál de los dos lados de la recta de restricción se encuentra la región factible (región de todos los puntos factibles de solución).
Soluciones factibles para la restricción de corte y teñido (C. y T.) representadas mediante la región sombreada
200
400
600
800
1000 1200
200
400
600
800
1000
1200
Can
tid
ad
de b
ols
as d
e
lujo
X1
X2
Cantidad de bolsas estándares
-200
-200
7/10x1 + 1x
2 = 630
C. y T.
200
400
600
800
1000 1200
200
400
600
800
1000
1200
Can
tid
ad
de b
ols
as d
e
lujo
X1
X2
Cantidad de bolsas estándares
-200
-200
(0, 720)
(1200,0)
1/2x1 + 5/6x
2 = 600
C.
Soluciones factibles para la restricción de costura (C.) representadas mediante la región sombreada
200
400
600
800
1000 1200
200
400
600
800
1000
1200
Can
tid
ad
de b
ols
as d
e
lujo
X1
X2
Cantidad de bolsas estándares
-200
-200
(0, 1062)
(708,0)
1x1 +
2/3x2 =
708
T.
Soluciones factibles para la restricción de terminado (T.) representadas mediante la región sombreada
200
400
600
800
1000 1200
200
400
600
800
1000
1200
Can
tid
ad
de b
ols
as d
e
lujo
X1
X2
Cantidad de bolsas estándares
-200
-200
(0, 540)
(1350,0)
1/10x1 + 1/4x
2 = 135
I. Y E.
1400
Soluciones factibles para la restricción de inspección y embalaje (I. y E.) representadas mediante la región sombreada
200
400
600
800
1000 1200
200
400
600
800
1000
1200
Can
tid
ad
de b
ols
as d
e
lujo
X1
X2
Cantidad de bolsas estándares
-200
-200
I. Y E.
1400
Gráfica con la combinación de las restricciones y que muestra la región de soluciones factibles para el problema de Par Inc.
T.
C.
C. y T.
Región Factible
200
400
600
800
1000 1200
200
400
600
800
1000
1200
Can
tid
ad
de b
ols
as d
e
lujo
X1
X2
Cantidad de bolsas estándares
-200
-200
1400
Región de soluciones factibles para el problema de Par Inc.
Región Factible
200
300
400
500 600
200
300
400
500
600
Can
tid
ad
de b
ols
as d
e
lujo
X1
X2
Cantidad de bolsas estándares
700
Recta de utilidades de $1 800 para el problema de Par Inc.
100
100
(0, 200)
(180,0)
Recta de utilidades10x1 + 9x2 = 1800
200
300
400
500 600
200
300
400
500
600
Can
tid
ad
de b
ols
as d
e
lujo
X1
X2
Cantidad de bolsas estándares
700
Rectas de utilidades seleccionadas para elproblema de Par Inc.
100
100
10x1 +
9x2 =
1800
10x1 +
9x2 =
3600
10x1 +
9x2 =
5400
200
300
400
500 600
200
300
400
500
600
Can
tid
ad
de b
ols
as d
e
lujo
X1
X2
Cantidad de bolsas estándares
700
Rectas de utilidades seleccionadas para elproblema de Par Inc.
100
100
10x1 + 9x
2 = 7668
Línea de utilidad máxim
aSolución óptima
(540,252)
200
300
400
500 600
200
300
400
500
600
Can
tid
ad
de b
ols
as d
e
lujo
X1
X2
Cantidad de bolsas estándares
700
Rectas de utilidades seleccionadas para elproblema de Par Inc.
100
100
10x1 + 9x
2 = 7668
Línea de utilidad máxim
aSolución óptima
(540,252)
Resumen del procedimiento gráfico de solución para problemas de maximización
1. Elaborar una gráfica de los puntos solución factible para cada una de las restricciones.
2. Determinar la región factible identificando los puntos solución que satisfacen en forma simultánea todas las restricciones.
3. Trazar una recta de la función objetivo para un caso concreto.
4. Desplazar rectas de función objetivo paralelas en dirección de los valores más altos de la función objetivo hasta que llegue el momento en el que un mayor alejamiento haga que la recta, menos un punto, quede por completo fuera de la región factible
5. Un punto solución factible que se encuentre sobre la recta de la función objetivo y que tenga el mayor valor, es una solución óptima.
Variables de Holgura 1..
Requisitos de los tiempos de producción según solución óptima
embalajey inspección para horas 117)252(4
1)540(
10
1
terminadopara horas 708)252(3
2)540(1
costura para horas 480)252(6
5)540(
2
1
y teñido corte para horas 630)252(1)540(10
7
embalajey inspección para horas 117)252(4
1)540(
10
1
terminadopara horas 708)252(3
2)540(1
costura para horas 480)252(6
5)540(
2
1
y teñido corte para horas 630)252(1)540(10
7
Variables de Holgura ..2
Cualquier capacidad no utilizada, u ociosa, para una restricción de < o igual se la denomina holgura.
Los resultados anteriores muestran a los administradores que la producción de 540 estándares y 252 bolsas de lujo requeriría de todo el tiempo disponible de acabado (708 horas), y que dejarán de utilizarse 120 horas del tiempo de costura, (600-480) y 18 horas de tiempo de inspección y embalaje (135-117). Estas horas de tiempo no utilizado serían la holguraholgura de los dos departamentos.
Variables de Holgura ..3
Las variables que se añaden para representar la capacidad de holgura se llaman variables de holguravariables de holgura. Cómo la capacidad no utilizada no contribuye a las utilidades, tienen coeficiente cero en la función objetivo.
Programa Lineal en Forma Estándar
0,,,,,
13514
1
10
1
70813
21
60016
5
2
1
6301110
7
a sujeta ,0000910max
432121
421
321
221
121
432121
ssssxx
sxx
sxx
sxx
sxx
ssssxx
0,,,,,
13514
1
10
1
70813
21
60016
5
2
1
6301110
7
a sujeta ,0000910max
432121
421
321
221
121
432121
ssssxx
sxx
sxx
sxx
sxx
ssssxx
En los casos en que los programas lineales están formulados de manera que todas las restricciones se expresan como igualdades, se dice que está escrito de forma estándar.
Valores de las variables de holgura para el problema de Par Inc.
RestricciónRestricciónValor de la Valor de la variable de variable de
holguraholgura
Corte y teñidoCosturaTerminadoInspección y embalaje
s1 = 0
s2 =120
s3 = 0
s4 = 18La restricción “Costura” es una restricción redundanteporque no afecta la región factible y por tanto tampoco afecta la solución óptima.
7.6 Puntos extremos y 7.6 Puntos extremos y la solución óptimala solución óptima
7.6 Puntos extremos y 7.6 Puntos extremos y la solución óptimala solución óptima
Replanteamiento del problema 1..
Supóngase que se reduce la contribución a las utilidades de las bolsas estándares de Par Inc. de $10 a $5 por bolsa, al mismo tiempo que la contribución a las utilidades de las bolsas de lujo y todas las restricciones permanecen constantes.
Replanteamiento del problema ..2
0,
1354
1
10
1
7083
21
6006
5
2
1
630110
7
a sujeta
,95max
21
21
21
21
21
21
xx
xx
xx
xx
xx
xx
0,
1354
1
10
1
7083
21
6006
5
2
1
630110
7
a sujeta
,95max
21
21
21
21
21
21
xx
xx
xx
xx
xx
xx
200
300
400
500 600
200
300
400
500
600
Can
tid
ad
de b
ols
as d
e
lujo
X1
X2
Cantidad de bolsas estándares
700
Solución óptima para el problema Par Inc., con una función objetivo de 5x1+9x2
100
100
5x1 + 9x
2 = 5280
Línea de utilidad máxima
Solución óptima(x1 = 300, x2 = 420)
5x1 + 9x
2 = 2700
200
300
400
500 600
200
300
400
500
600
Can
tid
ad
de b
ols
as d
e
lujo
X1
X2
Cantidad de bolsas estándares
700
Los cinco puntos extremos de la región factible (o de factibilidad) para el problema de Par, Inc.
100
100
Región Factible
7.7 Un problema sencillo 7.7 Un problema sencillo de minimizaciónde minimización
7.7 Un problema sencillo 7.7 Un problema sencillo de minimizaciónde minimización
Problema de M&D Chemicals
Dos productos 1 y 2 cuya producción total debe ser cuando menos 350. Se debe satisfacer también un pedido de un cliente importante de 125 galones del producto 1. El producto 1 requiere de 2 horas de tiempo de procesamiento por galón, en tanto que el producto 2 requiere de una hora de procesamiento por galón y existen disponibles 600 horas de tiempo de procesamiento para el siguiente mes.
El objetivo de M&D es satisfacer los requicitos anteriores incurriendo en un costo de producción mínimo. Los costos de producción son de $2 por galón de producto 1 y de $3 por galón del producto 2.
Planteamiento del problema
x1 = número de galones del prod. 1 fabricados
x2 = número de galones del prod. 2 fabricados
0,
ntoprocesamie de Tiempo 60012
Total Producción35011
1 producto del Demanda1251
a sujeta
,32min
21
21
21
1
21
xx
xx
xx
x
xx
0,
ntoprocesamie de Tiempo 60012
Total Producción35011
1 producto del Demanda1251
a sujeta
,32min
21
21
21
1
21
xx
xx
xx
x
xx
Región factible para el problema de M&D
100
200
300
400
500 600
100
200
300
400
500
600
Galo
nes d
el P
rod
ucto
2
X1
X2
Galones del Producto 1
-100
-100
Tie
mpo d
e P
roce
sam
iento
ProducciónM
ínim
o x
1 =125
2x1 +
1x2 =
600
1x1 + 1x
2 = 350
Resolución gráfica para el problema de M&D
100
200
300
400
500 600
100
200
300
400
500
600
Galo
nes d
el P
rod
ucto
2
X1
X2
Galones del Producto 1
-100
-100
2x1 + 3x
2 =
1200
2x1 + 3x
2 =
800Solución óptima
(x1 = 250, x2 = 100)
Resumen del procedimiento gráfico de solución para problemas de minimización
1. Elaborar una gráfica de los puntos solución factible para cada una de las restricciones.
2. Determinar la región factible identificando los puntos solución que satisfacen en forma simultánea todas las restricciones.
3. Trazar una recta de la función objetivo para un caso concreto.
4. Desplazar rectas de función objetivo paralelas en dirección de los valores más bajos de la función objetivo hasta que llegue el momento en el que un mayor alejamiento haga que la recta, menos un punto, quede por completo fuera de la región factible
5. Un punto solución factible que se encuentre sobre la recta de la función objetivo y que tenga el menor valor, es una solución óptima.
Variables excedentes
Cualquier cantidad en exceso que corresponda a una restricción de > o igual se la denomina excedente.
En el problema de M&D obsérvese que se
satisface la restricción que exige satisfacer la demanda del producto 1, con x1 = 250 galones. De hecho, la elaboración del productor excede su nivel mínimo en 125 galones
Programa Lineal en Forma Estándar del problema de M&D
0,,,,
600112
350111
12511
a sujeta
,00032min
32121
321
221
11
32121
sssxx
sxx
sxx
sx
sssxx
0,,,,
600112
350111
12511
a sujeta
,00032min
32121
321
221
11
32121
sssxx
sxx
sxx
sx
sssxx
Valores de las variables de holgura para el problema de M&D Chemicals con la solución óptima encontrada
RestricciónRestricciónValor de la Valor de la variable de variable de
holguraholgura
Demanda del producto 1Producción totalTiempo de Procesamiento
s1 = 125
s2 =0
s3 = 0
Programa Lineal con los tres tipos de restricciones
0,
311
1313
1231
a sujeta
,22min
21
21
21
21
21
xx
xx
xx
xx
xx
0,
311
1313
1231
a sujeta
,22min
21
21
21
21
21
xx
xx
xx
xx
xx
7.8 Casos Especiales7.8 Casos Especiales7.8 Casos Especiales7.8 Casos Especiales
Casos Especiales
Soluciones óptimas alternativas No factibilidad No acotamiento
Soluciones óptimas alternas 1..
Supongamos que la utilidad proveniente de la bolsa estándar ha disminuido a $6.30. La función objetivo modificada se convierte en
6.3 x1 + 9 x2
200
300
400
500 600
200
300
400
500
600
Can
tid
ad
de b
ols
as d
e
lujo
X1
X2
Cantidad de bolsas estándares
700
100
100
Soluciones óptimas alternas ..2
6.3x1 + 9x
2 =
3780 6.3x1 + 9x
2 =
5670
(x1 = 300, x2 = 420)
(x1 = 540, x2 = 252)
200
300
400
500 600
200
300
400
500
600
Can
tid
ad
de b
ols
as d
e
lujo
X1
X2
Cantidad de bolsas estándares
700
100
100
No factibilidad para las restricciones de producción de 360 bolsas de lujo y 500 estándares como mínimo.
Puntos que satisfacen las restricciones de los departamentos
Puntos que satisfacen los requisitos mínimos de solución
x2
mínimox
1
mín
imo
Recursos que se requieren para fabricar 500 bolsas estándares y 360 bolsas de lujo.
Operación Recursos mínimos que se requieren (horas)
Recursos disponibles (horas)
Recursos adicionales
que se necesitan (horas)
Corte y T. 7/10(500) + 1(360)
= 710 630630 8080
Costura1/2(500) + 5/6(360)
= 550 600600 NingunoNinguno
Terminado
1/2(500) + 5/6(360)
= 550 708708 3232
Inspección y embalaje
1/2(500) + 5/6(360)
= 550 135135 55
No acotamiento
La solución de un problema de programación lineal es no acotada si el valor de la solución puede ser infinitamente grande, sin violar ninguna de las restricciones. A esta condición se la podría denominar “utopía gerencial”. Si ocurriera tal condición en un problema de maximización de utilidades, sería un hecho que los administradores pudieran lograr utilidades ilimitadas. Significa el problema ha sido mal planteado y se ha omitido alguna restricción importante.
Ejemplo de No Acotamiento
0,
51
21
a sujeta
,1020max
21
2
1
21
xx
x
x
xx
0,
51
21
a sujeta
,1020max
21
2
1
21
xx
x
x
xx
10
15
20
25 30
10
15
20
25
30
Can
tid
ad
de b
ols
as d
e
lujo
X1
X2
Cantidad de bolsas estándares
35
5
5
No acotamiento