Redes y ArbolesRedes y ArbolesRedes y ArbolesRedes y Arboles

Introducción 1.. Los problemas de redes problemas de redes surgen en una gran

variedad de situaciones, las redes de transporte, eléctricas y de comunicaciones predominan en la vida diaria.

La representación de redes se utiliza ampliamente en áreas tan diversas como producción, distribución, planeación de proyectos, etc.

La representación en redes proporciona un panorama general muy poderoso y una ayuda conceptual para visualizar las relaciones entre las componentes de un sistema.

Introducción 2..

Muchos modelos de optimización de redes son en realidad tipos especiales de problemas de programación lineal.

Ejemplos: Problema del Transporte Problema de Asignación

Terminología de RedesTerminología de RedesTerminología de RedesTerminología de Redes

Términos ITérminos I

Nodos o vérticesNodos o vértices: Intersecciones entre líneas.

A

O B D

T

E C

Arcos o aristasArcos o aristas: Líneas.

Términos IITérminos II Arco dirigidoArco dirigido: Arco con flujo en una sola dirección.

A

B

D

E

C

Términos IIITérminos III Arco no dirigido o ligaduraArco no dirigido o ligadura: Arco con flujo en ambas direcciones.

A

B

D

E

C

Términos IVTérminos IVRed dirigidaRed dirigida: Red con todos los arcos dirigidos.

A

B

D

E

C

Términos VTérminos V Red No dirigidaRed No dirigida: Red con todos los arcos dirigidos. (se puede convertir a dirigida con doble arco dirigido en dir opuestas entre véritces).

A

B

D

E

C

Términos VITérminos VI Trayectoria entre dos nodosTrayectoria entre dos nodos: Sucesión de arcos distintos que conectan a los nodos. Puede ser dirigida o no. Trayectoria dirgida.

A

B

D

E

C

ECBA ECBA

Términos VIITérminos VII Trayectoria entre dos nodosTrayectoria entre dos nodos: Sucesión de arcos distintos que conectan a los nodos. Puede ser dirigida o no. Trayectoria no dirgida.

A

B

D

E

CDACB DACB

Términos VIITérminos VII CicloCiclo: Trayectoria que comienza y termina en el mismo modo.

A

B

D

E

C

ACBA ACBA

Términos VIIITérminos VIII Nodos conectadosNodos conectados: Nodos entre los cuales existe una trayectoria.

A

B

D

E

C

Términos IXTérminos IX Red conexaRed conexa: Red en que cada par de nodos está conectado.

A

B

D

E

C

Términos XTérminos X ArbolArbol: Red conexa sin ciclos. n nodos y n-1 arcos.

A

B

D

E

C

Términos XITérminos XI Capacidad del arcoCapacidad del arco: Cantidad máxima de flujo que puede circular en un arco dirigido. Nodo fuenteNodo fuente: El flujo que sale del nodo excede el flujo que entra a él. Nodo demanda (nodo destino)Nodo demanda (nodo destino): El flujo que llega excede a el flujo que sale. Nodo trasbordoNodo trasbordo: El flujo que sale del nodo es igual a el flujo que entra a él.

Problema de la Problema de la Ruta más cortaRuta más cortaProblema de la Problema de la Ruta más cortaRuta más corta

PlanteamientoPlanteamiento

Partimos de una red conexa y no dirigida con dos nodos especiales llamados origen y destino. A cada ligadura se le asocia una distancia no negativa.

El objetivo es encontrar la El objetivo es encontrar la ruta ruta más cortamás corta del origen al destino. del origen al destino.

Algoritmo de la Ruta más cortaAlgoritmo de la Ruta más corta

1. Objetivo de la n-esima iteración: Encontrar el n-ésimo nodo más cercano al origen.

2. Datos para la n-ésima iteración: n-1 nodos más cercanos al origen (encontrados en las iteraciones previas), incluida su ruta más corta y la distancia desde el origen. (Estos nodos y el origen se llaman nodos ressueltos, el resto son no resueltos).

Algoritmo de la Ruta más corta Algoritmo de la Ruta más corta IIII

3. Candidatos para el n-ésimo nodo más cercano: Cada nodo resuelto que tiene conexión directa por una ligadura con uno o más nodos resueltos proporciona un candidato, y éste es el nodo no resuelto que tiene la ligadura más corta. (Los empates proporcionan candidatos adicionales).

4. Cálculo del n-ésimo nodo más cercano: Para cada nodo resuelto y sus candidatos, se suma la distancia entre ellos y la distancia de la ruta más corta desde el origen a ese nodo resuelto. El candidato con la distancia total más pequeña es el n-ésimo nodo más cercano (los empates proporcionan nodos resueltos adicionales), y su ruta más corta es la que genera la distancia.

Ejemplo de Seervada ParkEjemplo de Seervada Park

Ruta 1 Ruta 2

TDEBAO TDEBAO TDBAO TDBAO

nNodos resueltos

Nodo noresuelto máscercano

Distancia total involucrada

n-ésimo nodo máscercano

Distancia Mínima

Última conexión

1 O A 2 A 2 OA2 O C 4 C 4 OC

A B 2+2=4 B 4 AB

A D 2+7=93 B E 4+3=7 E 7 BE

C E 4+4=8A D 2+7=9

4 B D 4+4=8 D 8 BDE D 7=1=8 D 8 ED

5 D T 8+5=13 T 13 DTE T 7+7=14

Solución en EXCELSolución en EXCELSolución en EXCELSolución en EXCEL

Variables de decisión

incluido está arco el si1

incluido está no arco el si0

ji

jixij

Solución en Excel SEERVADA Solución en Excel SEERVADA PARK PARK Ruta Más CortaRuta Más CortaDesde Hasta Ruta DistanciaO A 1 2O B 0 5O C 0 4A B 1 2A D 0 7B C 0 1B D 1 4B E 0 3C B 0 1C E 0 4D E 0 1D T 1 5E D 0 1E T 0 7

13DISTANCIA TOTAL

Nodos Flujo Origen /Demanda0 1 = 1A 0 = 0B 0 = 0C 0 = 0D 0 = 0E 0 = 0T -1 = -1

Problema del árbol de Problema del árbol de expansión mínimaexpansión mínima

Problema del árbol de Problema del árbol de expansión mínimaexpansión mínima

PlanteamientoPlanteamiento

Se considera una red no dirigida y conexa en la que la información dada incluye alguna medida de longitud positiva (distancia, costo, tiempo) asociada con cada ligadura.

Seleccionar un conjunto de Seleccionar un conjunto de ligaduras con la ligaduras con la longitud total longitud total más cortamás corta entre cada par de entre cada par de nodos.nodos.

A

O B D

T

E C

Red no conexa. No es árbol

A

O B D

T

E C

Red con ciclos. No es árbol de expansión

EjemploEjemploss

A

O B D

T

E C

A

O B D

2 T

E C4

52

4

7Árbol de expansión

n nodosn-1 arcos

Algunas aplicacionesAlgunas aplicaciones

Diseño de redes de telecomunicaciones. Diseño de redes de transporte par minimizar el costo toatl de proporcionar las ligaduras. Red de transmisión de energía de alto voltaje. Diseño de red de tuberías para conectar varias localidades

AlgoritmoAlgoritmo

1. Se selecciona de manera arbitraria, cualquier nodo y se conecta (es decir, se agrega una ligadura) al nodo distinto más cercano.

2. Se identifica el nodo no conectado más cercano a un nodo conectado y se conectan estos dos nodos (es decir, se agrega una ligadura entre ellos). Este paso se repite hasta que todos los nodos están conectados.

3. Si hay empates se elige cualquiera de forma arbitraria.

A

O B D

2 T

E C

5

4

7 5

4

1 3

4

1 7

2

Aplicación del algoritmo al problema de SEERVADA

A

O B D

2 T

E C

5

4

7 5

4

1 3

4

1 7

2

Aplicación del algoritmo al problema de SEERVADA. Empezando por otro nodo

Problema del flujo máximoProblema del flujo máximoProblema del flujo máximoProblema del flujo máximo

Problema del flujo máximo para Seerveda Park

A

O B D5

T

E C

7

4

3

94

1

5

41 6

2

LeyendaLeyendaOO Entrada EntradaTT Mirador Mirador

RutasRutasA-FA-F

Estaciones Estaciones de GBde GB

# # Límite sup. Límite sup. de viajesde viajes

Solución factible

A

O B D5

T

E C

7

4

3

94

1

5

41 6

2

LeyendaLeyendaOO Entrada EntradaTT Mirador Mirador

RutasRutasA-FA-F

Estaciones Estaciones de GBde GB

# # Límite sup. Límite sup. de viajesde viajes

• 5 viajes5 viajes• 1 viaje1 viaje• 1 viaje1 viaje

InvalidadaInvalidada

PlanteamientoPlanteamiento

1. Todo flujo a través de una red conexa dirigida se origina en un nodo, llamado fuente y termina en otro nodo llamado destino (O y T resp para S. Park)

2. Los nodos restantes son de transbordo (A,B,C,D,E para S. Park)

3. Se permite el flujo a través de un arco sólo en la dirección indicada por la flecha, donde la cantidad máxima de flujo está dada por la capacidad del arco.

4. El objetivo es maximizar la cantidad total de flujo de la fuente al destino. Esta cantidad se mide en cualquiera de las dos maneras equivalente, esto es, la cantidad que sale de la fuente o la cantidad que entra al destino.

AplicacionesAplicaciones1. Maximizar el flujo a través de la red de

distribución de la compañía de sus fábrica a sus clientes.

2. Maximizar el flujo a través de la red de suministros de la compañía de los proveedores a las fábricas.

3. Maximizar el flujo de petróleo por un sistema de tuberías.

4. Maximizar el flujo de agua a través de un sistema de acueductos.

5. Maximizar el flujo de vehículos por una red de trasnporte.

Solución en EXCELSolución en EXCELSolución en EXCELSolución en EXCEL

Solución en Excel SEERVADA Solución en Excel SEERVADA PARK PARK Flujo MáximoFlujo Máximo

Desde Hasta Ruta Flujo máxO A 3 <= 5O B 7 <= 7O C 4 <= 4A B 0 <= 1A D 3 <= 3B C 0 <= 2B D 4 <= 4B E 3 <= 5C E 4 <= 4D T 8 <= 9E D 1 <= 1E T 6 <= 6

14FLUJO MÁXIMO

Desde Hasta Ruta Flujo máxO A 3 <= 5O B 7 <= 7O C 4 <= 4A B 0 <= 1A D 3 <= 3B C 0 <= 2B D 4 <= 4B E 3 <= 5C E 4 <= 4D T 8 <= 9E D 1 <= 1E T 6 <= 6

14FLUJO MÁXIMO

Nodos FlujoOrigen /Demanda

0 14A 0 = 0B 0 = 0C 0 = 0D 0 = 0E 0 = 0T -14

Nodos FlujoOrigen /Demanda

0 14A 0 = 0B 0 = 0C 0 = 0D 0 = 0E 0 = 0T -14

Solución óptima

A

O B D

T

E C

73

34

4

LeyendaLeyendaOO Entrada EntradaTT Mirador Mirador

RutasRutasA-FA-F

Estaciones Estaciones de GBde GB

# # Límite sup. Límite sup. de viajesde viajes

• 7 viajes7 viajes

EjemplosEjemplosEjemplosEjemplos

Problema 8 PlanteamientoProblema 8 Planteamiento

La Wisman Candy Co. fabrica diversas golosinas. Se utilizan camiones de la compañía para entregar en forma directa los pedidos a los expendios. Determine la ruta más corta para un camión que debe hacer entregas partiendo del nodo 1 al 11.

Problema 8 pág 407 Wisman Problema 8 pág 407 Wisman Candy FormalizaciónCandy Formalización

5

1

4

3

6

7

9

8

11

7

3

2

10

4

2

6

4

10 7

3

5

42

210

6

41

1

12

4

Problema 8 Pag 407 Problema 8 Pag 407 Wisman Candy Wisman Candy Solución Solución ExcelExcel

Desde Hasta Ruta Distancia1 2 0 21 3 0 61 4 1 31 5 0 72 3 0 42 8 0 43 2 0 43 4 0 23 8 1 14 3 1 24 6 0 64 7 0 45 9 0 56 4 0 66 7 0 26 9 0 36 11 0 107 3 0 17 4 0 47 6 0 27 8 0 17 10 0 47 11 0 10

8 2 0 48 3 0 18 7 0 18 10 1 29 5 0 59 6 0 39 11 0 410 7 0 410 8 0 210 11 1 7

15DISTANCIA TOTAL

Ruta 1-4-3-8-10-11Ruta 1-4-3-8-10-11

Problema 8 Wisman Candy Problema 8 Wisman Candy Sol.Sol.

5

1

4

3

6

7

9

8

11

7

3

2

10

4

2

6

4

10 7

3

5

42

210

6

41

1

12

4

Problema 16 Carreteras de Problema 16 Carreteras de Albany pag 411Albany pag 411 ¿Cuál es el Flujo Máximo en este sistema de carreteras de Albany? (flujos de vehículos por hora en miles)

1

2

4

5

6

3

6

3

4

3

0

3

3

2

0

2

2

0

2

3

4

2 6

0

0

0

Problema 16 Carreteras de AlbanyProblema 16 Carreteras de AlbanySol EXCELSol EXCEL

Desde Hasta Ruta Distancia1 2 0 21 3 0 61 4 1 31 5 0 72 3 0 42 8 0 43 2 0 43 4 0 23 8 1 14 3 1 24 6 0 64 7 0 45 9 0 56 4 0 66 7 0 26 9 0 36 11 0 10

7 3 0 17 4 0 47 6 0 27 8 0 17 10 0 47 11 0 108 2 0 48 3 0 18 7 0 18 10 1 29 5 0 59 6 0 39 11 0 410 7 0 410 8 0 210 11 1 7

15DISTANCIA TOTAL