Modelos de distribuição de erros

Variabilidade

• Ruído – coisa ruim! No caminho entre os dados e conclusões.

• Tradicionalmente: assume variação normal ou transformada em normal.

• Não deu? Não paramétrica• Porém... Não permite conclusões quantitativas.• Atualmente instrumentos computacionais para

lidar com a variabilidade e ajuste de parâmetros.

Teoria de probabilidades

• Para entender a parte estocástica dos modelos na ecologia : propriedades da teoria probabilística.

• Para definir uma probabilidade: definimos espaço de amostragem, de onde vem todas as possibilidades. A probabilidade de um evento A é a frequência que ele ocorre no espaço todo. Prob A

Probabilidade de ocorrência de A ou B éP(AUB) = P(A)+P(B) – P(A∩B)

A B

• Se A e B são mutuamente exclusivosP(A ou B) = P(A)+P(B)Ex: ser estudante da disciplina e saber de cor a fórmula da distribuição gamaUsamos se queremos saber se uma resposta está dentro de certa variaçãoP(3≤ X ≤5) = P(3)+P(4)+P(5)

A B

• A soma de todas as possibilidades é 1

A B

• Probabilidade condicional de A, dado B P(A|B) A acontecer se B acontecer.P(A∩B)/P(B)Probabilidade condicional de conhecer a formula da normal se for estudante da disciplina.P(conhecedor e estudante)/P(estudante)

• Probabilidade incondicional de A• P(A) = P(A|B) + P(A|não B).

• Se a condicional é igual a incondicional, dizemos que A e B são independentes (proporção dos conhecedores na disciplina é igual à proporção no resto do mundo)

• o que implica:• P(A)=P(A∩B)/P(B)• P(A∩B)=P(A) x P(B)• A probabilidade de ocorrência combinada de eventos

independentes é o produto de suas probabilidades

Exemplo da predação de sementes. Cada fruto da planta com uma semente

• Prob(predador visitar a planta)= V• Prob(predar alguma das N sementes)= 0 a N • (N+1 possibilidades)• Se ele visitou e a probabilidade de predar é a

mesma (uniforme) para cada número predado (0 a N):

• (predar x sementes|predador visitar) = 1/(N+1)• (soma 1)

0,1,2....N (N+1) possibilidades

Se visitou, a probabilidade de pegar um numero x de sementes é 1/(N+1)

Zero sementes predadas x= 0

Não visitou: 1-V

Visitou V e não comeu : 1/(N+1)

Probabilidade incondicional conjunta

Alguma semente predada x>0

Visitou V

E comeu 1/(N+1)

V/(N+1)

Probabilidade incondicional conjunta

Como resultado esperamos:

Complicando

Se ele tiver uma probabilidade de escolher se pega ou não cada uma das sementes do experimento depois de experimentar (probabilidade não uniforme de cada valor de x).

Probabilidade de x serem pegas: px N-x não são pegas com probabilidade (1-p)N-x

Prob(x)=Predar uma (p) E outra (p) E outra (p)... (xis vezes) p.p.p.... = px

A outras (N-x) terão probabilidade 1-p de não serem predadas(1-p).(1-p).(1-p)... (N-x vezes)

Probabilidade proporcional a px . (1-p)N-x

Complicando um pouco mais

• Se ele experimenta e decide, temos que levar em conta todas as combinações de experimentações e predações

x=2, N=5

X

X

Opção 1

XXX

X

Opção 2

XX

Opção 3

Opção 4....

Todas as combinações de x predações em N possibilidades: = N!/x!(N-x)!

• Se as sementes são idênticas probabilidades iguais p - Distribuição binomial:

• Probabilidade condicional de x predados: todas as combinações de x predações em N possibilidades vezes as probabilidades de suas ocorrências.

• N!/x!(N-x)! . px . (1-p)N-x

Para x=0 e x>0

Distribuições de probabilidades• - Conjunto ordenado de uma sequencia de

probabilidades • Distribuição de probabilidades descrita por uma

função de distribuição – • Formula que diz a probabilidade de encontrarmos

um valor em experimento ou em uma variável aleatória X.

• f(x) = Prob(X=x)• Função de distribuição acumulada: Probabilidade

de valores serem menores ou iguais a x • F(x) = Prob(X ≥x)

Exemplo de uma função discreta: binomial

• Probabilidade de 3 sucessos em séries de 5 tentativas, com probabilidade individual p=0.7

• Densidade probabilística• f(x)=N!/(x!(N-x)! . px . (1-p)N-x • f(3)=5!/(3!(5-3)!.0,73.(1-0,7)5-3=0,3087 (dbinom)• Probabilidade acumulada• F(3) = f(0)+f(1)+f(2)+f(3) = 0,47178 (pbinom)

Distribuições contínuas, ex: normal com média 14,4 e desvio 1

Área sobre a curva de distribuição

Área obtida por integração da função até o ponto

Média – expectativa de uma distribuição, expectativa da variável aleatória X

• Se dados estão tabulados, posso usar as frequencias f(x) de cada valor, multiplicado pelo mesmo

Somo os produtos das probabilidades pelos valores

• No caso de distribuições contínuas, podemos usar em subdivisões ∆x no lugar dos valores:

∆x

Tomando ∆x tendendo a zero (função contínua) teremos a área exata:

Expectativas de funções da variável aleatória X: momentos.

Expectativa de X2

2º momento: Componente da variância

Momentos maiores

• 3º momento – E(x-E(x))3 – assimetria em torno da mediana

• 4º momento - E(x-E(x))4 – medida de curtose

• Difícil de comparar variância com média, pois estão em unidades diferentes. Raiz da variância – desvio, mesma unidade da média.

• Coeficiente de variação:• Relação entre o desvio padrão e a média –

medida de dispersão em torno da média.

Distribuições úteis

• 1. Discretas

Distribuição binomial

• N tentativas em cada amostra com chance de sucesso p. Probabilidade de x sucessos

Distribuição de Poisson• Distribuição de acertos, encontros, contagens, etc em um

dado tempo, espaço, armadilha, unidade de esforço amostral.

• Quando a distribuição é aleatória, média = variância, frequência descrita por distribuição de Poisson.

Binomial negativa

• Muitas maneiras de descrever, uma interessante – séries de distribuições de poisson, com média variando no espaço/tempo. (na verdade, a média dos Poisson seguindo uma distribuição gama).

• Boa para modelar dados com agregação, onde a média de acertos, contagens, etc é muito menor que a variância.

• Parâmetro de agregação K., quanto maior K menos agregado e mais próximo de uma poisson.

Definição

• Séries de tentativas binárias independentes, com probabilidade de sucesso p. Número de obtenho antes de um sucesso.

• 2. Distribuições Contínuas

Normal

• Teorema do limite central. Muitas distribuições (binomial, poisson, gama) se aproximam da normal em algum limite.

• Média e variância indepedendentes (diferente de poisson e binomial).

Gama

• Definição: numero de tentativas até que certo numero de eventos ocorra.

• Gama (forma = 3, escala=2), numero de tentativas até que ocorram 3 eventos, quando a média de sucesso de cada tentativa é um sucesso a cada 2 tentativas.

• Definida para números positivos.• Para forma elevados, se torna simétrica e

próxima à normal.

• Parâmetro 1/escala ajusta a média e a variância.

• Admite variâncias grandes, assimetrias, necessariamente positiva, pode ser pensada como uma binomial negativa continua.

• Uma parametrização escala = var/media• Forma= média2/variância

Quais distribuições descrevem melhor os dados:

• Experimento de remoção de ovos, com um ovo em cada réplica.

• Medida de abundância de uma espécie capturada em armadilhas de queda, alocadas aleatoriamente, quando a distribuição da espécie é aleatória no espaço amostrado.

• Idem, porém a distribuição da espécie é agregada no espaço e as armadilhas aleatoriamente dispostas

• Medidas de nitrogenio no solo em torno das armadilhas, quando sua média é 25 mg/dm3solo e desvio igual a 18 mg/dm3solo.

• Medidas de potássio quando a média é 25 mg/dm3solo e o desvio é igual a 97 mg/dm3solo