modelos de optimización de redes

MODELOS DE OPTIMIZACIN DE REDES

AGENDA

Introduccin

Terminologa

Problema de la ruta ms corta

rbol de expansin mnima

Problema de flujo mximo

Problema de flujo de costo mnimo

Mtodo CPM de truques entre tiempo y costo.

DE DNDE SURGEN?

Los problemas de redes surgen en una gran variedad de situaciones como:

Las redes de transporte

Las redes elctricas

Las redes de comunicaciones que predominan en la vida diaria.

APLICACIONES:

Distribucin

Planeacin de proyectos

Localizacin de instalaciones

Administracin de recursos

Planeacin financiera

Red:

Una red consiste en un conjunto de puntos y un conjunto de lneas que unen ciertos pares de puntos.

Los puntos se llaman nodos (o vrtices).

Las lneas se llaman arcos.

TERMINOLOGA:

TERMINOLOGA:

Los arcos se etiquetan al dar el nombre de los nodos en sus puntos terminales.

Los arcos de una red pueden tener un flujo de algn tipo que pase por ellos

Arco dirigido: Si el flujo a travs de un arco se permite slo en una direccin.

siempre se pone primero el nodo de donde viene y despus el nodo hacia donde va.

TERMINOLOGA:

Otra manera de etiquetarlo es A B.

Arco no dirigido o ligadura:

Si el flujo a travs de un arco se permite en ambas direcciones.

TERMINOLOGA:

Red dirigida:

Una red que tiene slo arcos dirigidos.

Red no dirigida:

si todos sus arcos son no dirigidos.

Ejemplo:

Nodos Arcos Flujo

Cruceros Caminos Vehculos

Aeropuertos Lneas areas Aviones

Puntos de conmutacin Cables, canales Mensajes

Estaciones de bombeo Tuberas Fluidos

Centros de trabajo Rutas de manejo de materiales Trabajos

TERMINOLOGA:

Trayectoria:

Es una sucesin de arcos distintos que conectan nodos.

OBBDDT (O B D T )

Una trayectoria dirigida del nodo i al nodo j es una sucesin de arcos cuya direccin es hacia el nodo j, de manera que el flujo del nodo i al nodo j a

travs de esta trayectoria es factible.

Una trayectoria no dirigida del nodo i al nodo j es una sucesin de arcos cuya direccin (si la tiene) puede ser hacia o desde el nodo j.

TERMINOLOGA:

Ciclo:

Es una trayectoria que comienza y termina en el mismo nodo.

Red conexa:

Es una red en la que cada par de nodos est conectado.

rbol de expansin:

Es una red conexa de n nodos, que tiene exactamente n 1 arcos.

CONSTRUCCIN

E A

C

BD

CONSTRUCCIN

El primer arco puede ir en cualquier lugar de modo que conecte algn par de nodos.

E A

C

BD

CONSTRUCCIN

Cada arco nuevo debe agregarse entre un nodo que ya haya sido conectado a otros nodos y a un nuevo nodo no conectado.

E A

C

BD

CONSTRUCCIN

E A

C

BD

TERMINOLOGA:

Capacidad del arco:

La cantidad mxima de flujo que puede circular en un arco dirigido.

Nodo fuente:

Tiene la propiedad de que el flujo que sale del nodo supera al que entra a l.

Nodo demanda:

Donde el flujo que llega excede al que sale de l.

Nodo de trasbordo:

Satisface la conservacin del flujo, es decir el flujo que entra es igual al que sale.

PROBLEMA DE LA RUTA MS CORTA:

Considere una red conexa y no dirigida con dos nodos especiales llamados origen y destino.

A cada ligadura se asocia una distancia no negativa.

El objetivo es encontrar la ruta ms corta (la trayectoria con la mnima distancia total) del origen al destino.

ALGORITMO DE LA RUTA MS CORTA:

Objetivo de la n-sima iteracin: encontrar el n-simo nodo ms cercano al origen. (Este paso se repetir para n = 1, 2, . . . hasta

que el n-simo nodo ms cercano sea el nodo destino.)

Datos de la n-sima iteracin: n 1 nodos ms cercanos al origen (que se encontr en las iteraciones previas), incluida su ruta

ms corta y la distancia desde el origen. (Estos nodos y el origen se llaman nodos resueltos; el

resto son nodos no resueltos.)


Candidatos para n-simo nodo ms cercano: cada nodo resuelto que tiene conexin directa por una ligadura con uno o ms nodos no resueltos

proporciona un candidato, esto es, el nodo no resuelto que tiene la ligadura ms corta. (Los

empates proporcionan candidatos adicionales.)

Clculo del n-simo nodo ms cercano: para cada nodo resuelto y sus candidatos, se suma la distancia entre ellos y la distancia de la

ruta ms corta desde el origen a este nodo resuelto. El candidato con la distancia total ms

pequea es el n-simo nodo ms cercano (los empates proporcionan nodos resueltos adicionales),

y su ruta ms corta es la que genera esta distancia.


N

Nodos resueltos

conectados

directamente a

nodos no resueltos

Nodo

no resuelto

ms cercano

conectado

Distancia total

involucrada

n-simo nodo

ms cercano

Distancia

mnima

ltima

conexin

EJEMPLO:

O

100

A

B T

C

30

20

10

15

60

50

EJEMPLO

N

Nodos resueltos

conectados

directamente a

nodos no resueltos

Nodo

no resuelto

ms cercano

conectado

Distancia total

involucrada

n-simo nodo

ms cercano

Distancia

mnima

ltima

conexin

1 O B 30 B 30 OB

EJEMPLO:

O

100

A

B T

C

30

20

10

15

60

50

EJEMPLO

N

Nodos resueltos

conectados

directamente a

nodos no resueltos

Nodo

no resuelto

ms cercano

conectado

Distancia total

involucrada

n-simo nodo

ms cercano

Distancia

mnima

ltima

conexin

1 O B 30 B 30 OB

2 B C 30+10=40 C 40 BC

EJEMPLO:

O

100

A

B T

C

30

20

10

15

60

50

EJEMPLO

N

Nodos resueltos

conectados

directamente a

nodos no resueltos

Nodo

no resuelto

ms cercano

conectado

Distancia total

involucrada

n-simo nodo

ms cercano

Distancia

mnima

ltima

conexin

1 O B 30 B 30 OB

2 B C 30+10=40 C 40 BC

3C

O

A

A

40+15=55

100

A 55 CA

EJEMPLO:

O

100

A

B T

C

30

20

10

15

60

50

EJEMPLO

N

Nodos resueltos

conectados

directamente a

nodos no resueltos

Nodo

no resuelto

ms cercano

conectado

Distancia total

involucrada

n-simo nodo

ms cercano

Distancia

mnima

ltima

conexin

1 O B 30 B 30 OB

2 B C 30+10=40 C 40 BC

3C

O

A

A

40+15=55

100

A 55 CA

4C

B

T

T

40+50=90

30+60=90

T

T

90

90

CT

BT

EJEMPLO:

O

100

A

B T

C

30

20

10

15

60

50

OBBCCT (O B C T ) con 90OBBT (O B T ) con 90

EJERCICIO:

Usted debe hacer un viaje en auto a otra cuidad que nunca ha visitado. Estudia un plano para determinar la ruta mas corta a su destino. Segn la

ruta que elija hay otras 5 ciudades (llamadas A,B,C,D,E) por las que puede

pasar en el camino. El plano muestra los km de cada carretera que es una

conexin directa entre dos ciudades sin que otra intervenga. Estas cifras se

resumen en la siguiente tabla donde un guion indica que no hay conexin

directa sin pasas por otras ciudades.

EJERCICIO:

Ciudad Punto A Punto B Punto C Punto D Punto E Destino

Origen 40 60 50 - - -

Punto A - 10 - 70 - -

Punto B - - 20 55 40 -

Punto C 10

Punto D - - - - - 60

Punto E - - - - - 80