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  • Optimizacin de RedesINVESTIGACIN OPERATIVA II

    Mag. Miguel Sierra

  • MODELOS DE

    OPTIMIZACION DE REDES

    Introduccin

    Terminologa. Representacin general

    Problema del rbol de expansin mnima

    Problema del flujo de costo mnimo

    Problema de la ruta ms corta

    Problema del flujo mximo

  • INTRODUCCION Una red es una coleccin de nodos y arcos

    Una red podra representar innumerables aplicaciones,

    por ejemplo, sistemas de inventarios, sistemas

    fluviales, sistemas de distribucin, precedencia y orden

    de eventos, flowcharts, etc..

    Muchas aplicaciones tienen caractersticas de flujo, por

    ello se llaman Modelos de flujo en redes

  • Representacin de modelos de flujo en redes

    [bi] : Produccin del nodo i

    [bi]= (suma de flujos que salen del nodo i suma de flujos que entran al nodo i)

    Para cada arco ij hay: (Fmax,Costo), realmente: (Fmaxij,Costoij)

    Fmax (o Fmaxij) es la capacidad mxima de flujo en cada arco

    Costo (Cij) es el costo unitario del flujo en cada arco

    Xij es el flujo que pasa por el arco k: Xij

  • Problema del rbol de expansin mnimo

    Se tienen como datos las longitudes de los arcos potenciales.

    Se desea disear una red, seleccionando los arcos adecuados, de tal forma que haya un camino entre cada par de nodos.

    El objetivo es lograr lo anterior minimizando la longitud total de los arcos elegidos.

    Ejemplos de aplicacin:

    Diseo de redes de telecomunicacin (fibra ptica)

    Diseo de redes de transporte, minimizando el costo

    Diseo de una red de tubera entre varias localidades

    Diseo de una red de cableado elctrico

    EL ALGORITMO:

    Seleccionar cualquier nodo y conectarlo al mas cercano

    Se identifica el nodo no conectado mas cercano a un nodo conectado y conectarlo.

    Repetir el paso anterior hasta unir todos los nodos. Si hay empate, romperlo en forma arbitraria.

  • 1

    2

    5

    4

    3

    5

    3

    2

    1

    4

    4

    Ejemplo del rbol de expansin mnimo

    Longitud total = 10

  • Problema de Flujo a costo mnimo

    Red dirigida

    Hay nodos fuente ([bi]> 0)

    Hay nodos demanda ([bi]< 0)

    El resto de los nodos son nodos de transbordo ([bi]= 0)

    Los flujos solo pasan en direccin de las flechas

    Se busca minimizar el costo total de enviar, a travs de la red, el suministro disponible para satisfacer la demanda.

    Aplicacin Nodo fuente Nodo transbordo Nodo demanda

    Distribucion

    de productos

    plantas de

    produccin

    almacenes consumidores

    Deshechos

    slidos

    fuentes de

    deshechos

    tratamientos rellenos

    Programacin

    de vuelos

    lugares de

    partida

    escalas lugares de

    llegada

    Ejemplos de aplicaciones

    F

    L

    U

    J

    O

    S

    ?

  • Problema de Flujo a costo mnimo.

    Equivalencia en Programacin Lineal

    Clase general de problema, que comprende, como casos especiales, a los problemas de transporte, de transbordo, de asignacin, de ruta mas corta y de flujo mximo.

    En este problema se define:

    Xij = nmero de unidades de flujo enviadas del nodo i al nodo j, a travs del arco ij.

    Fmaxij = cota superior del flujo en el arco ij

    Min Z =ijCij*Xij

    s.a.:

    j Xij - k Xki = bi una restriccin para cada nodo i flujos que salen de i - flujos que entran a i = produccin del nodo i

    Xij =0

  • Caso: Problema de Flujo a costo mnimo Un agricultor desea enviar todos los productos de su cosecha

    hacia la ciudad D. Posee dos haciendas de produccin, la A y la B. Es posible usar la localidad intermedia C. La hacienda A ha producido 3 Toneladas y la B solo 2 Toneladas de producto.

    Las capacidades de transporte entre localidades, se encuentran en la tabla superior y las costos de transportar en la tabla inferior:

    De .. a: A B C D

    A - 3 1 -

    B - - 10 4

    C - - - 3

    D - - - -

    De .. a: A B C D

    A - 5 1 -

    B - - 4 -1

    C - - - 3

    D - - - -

    Determinar como debe distribuir sus envos, de tal manera que se minimicen los costos.

    Costos

    Capacidades

  • Formulacin grfica del Problema de Flujo a costo mnimo

    Nodos: 1=A 2=B 3=C 4=D

    Formulacin como Programacin Lineal:

    Min Z = 5X12 + X13 + 4X23 X24 + 3X34

    s.a.: X12+X13 = 3

    X24+X23-X12 = 2

    X34-X13-X23 = 0

    -X24-X34 = -5

    X12

  • Problema de la ruta mas corta

    Se tienen como datos las longitudes de los arcos.

    Hay dos nodos especiales, el origen y el destino.

    El objetivo es encontrar el camino mas corto del origen al destino.

    Ejemplos de aplicacin:

    Minimizar la distancia total recorrida entre dos ciudades.

    Minimizar el tiempo total de una secuencia de actividades.

    Minimizar el costo total de una secuencia de actividades.

    LA FORMULACION:

    Se puede formular como un problema de flujo de costo mnimo:

    El origen tendra una produccin de bi=1

    El destino tendra una produccin de bi = -1

    Si la red es no dirigida, se reemplaza cada arco no dirigido por dos arcos dirigidos.

    No hay que considerar los arcos que llegan al origen, ni los que salen del destino.

    Las distancias entre los nodos ij se convertirn en unidades de costo Cij para el flujo Xij

  • Ejemplo del problema de la ruta ms corta

    1

    2

    5

    4

    3

    7

    2

    2

    1

    4

    5

    Encontrar la ruta mas

    corta desde el nodo 1

    al nodo 5

    1

    2

    5

    4

    3

    7

    2

    2

    14

    5

    [1]

    [-1]

    2

    1Como

    problema de

    Flujo de costo

    mnimo

    quedara:

  • Problema del Flujo Mximo

    El flujo se origina en un solo nodo (nodo fuente), y termina en otro nodo (nodo destino).

    Los nodos restantes son nodos de transbordo.

    Los flujos solo pasan en direccin de las flechas

    Se busca maximizar la cantidad total de flujo desde la fuente al destino.

    Ejemplos de aplicacin:

    Maximizar la distribucin de productos a los clientes

    Maximizar el flujo de petrleo a travs de tuberas.

    Maximizar el flujo de vehculos por una red de transporte.

    LA FORMULACION:

    Se puede formular como un problema de flujo de costo mnimo:

    El origen tendra una produccin de bi=V, donde V es una constante, una cota superior segura para el flujo total.

    El destino tendra una produccin de bi = -V

    Se crea un arco ficticio que va desde el nodo inicial al nodo final.

    El costo del arco ficticio es M, una cantidad constante y grande, el costo de los dems arcos es 0.

  • Formular como Problema del Flujo Mximo

    3

    4

    4

    3

    2

    2

    3

    2

    1

    2

    3

    4

    6

    5

    Los valores en los arcos son las

    capacidades de transporte.

  • Problema del Transporte

    El flujo se origina en mas de un nodo (nodos ofertas, [bi]>0), y termina en mas de un nodo (nodos demanda, bi