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Modelos de Otimização em Redes
Socorro RangelDMAp
Departamento de Matemática Aplicada
e-mail: [email protected]
http://www.ibilce.unesp.br/#!/departamentos/matematica-aplicada/docentes/
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Empresa de Produtos de Madeira
Problemas:
•Transporte, localização, roteamento,
entre outros.
(Wagner,1986)
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Problema do Transporte
O Presidente, Antônio Castor, da Companhia Ramos de Carvalho quer
distribuir da melhor maneira possível os recursos de madeira disponíveis em
suas reservas florestais. A madeira extraída deve ser enviada para os depósitos
situados nos estados de São Paulo, Bahia, Minas Gerais e Rio de Janeiro. Para
a próxima safra, foi feita uma estimativa de qual seria a produção de cada
reserva e a demanda de cada depósito.
Determinar um plano
de distribuição da
madeira que minimize
o custo total de
transporte.
Reservas Depósitos
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Problema do Transporte
elementos conhecidos:
– custo de transporte entre cada combinação reserva
– oferta de madeira em cada reserva
– demanda por madeira em cada depósito
elementos desconhecidos
– quanto enviar de cada reserva para cada depósito
objetivo
– Fazer o transporte da madeira ao menor custo possível
restrições
– distribuir toda a madeira disponível nas reservas, atendendo a
demanda dos depósitos.
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Restrições de oferta
Toda a safra da reserva i deve ser enviada para algum dos depósitos 1,2,3 ... n
Restrições de destino
O depósito j deve receber madeira das reservas 1,2,3, ... ou m suficientes para
atender a demanda:
Construção do Modelo:
Variáveis e Restrições
Variáveis de decisão:
Precisamos decidir quanto remeter de cada reserva i para cada depósito j:
= número de caminhões com carga total enviados da reserva i para o
depósito jijx
miOxxx iinii ,...2,1,...21 ==+++
njDxxx jnjjj ,...2,1,...21 ==+++
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Modelo de Otimização Linear
Função Objetivo fazer o transporte da madeira ao menor custo possível.
O modelo é então:
:a sujeito
min1 1
∑∑= =
=
n
i
m
j
ijij xcz
miOxxx iinii ,...,2,1,...21 ==+++
njmix
njDxxx
ij
jmjjj
,...,1;,...,1,0
,...,2,1,...21
==≥
==+++
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Problema do Transporte: Formato MPL
Solução enviada para
planilha do EXCEL
Leitura de dados em
planilha do EXCEL
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Problema do Transporte: Formato LP
\ transp.lp
\ Generated with the MPL Modeling System
\ Constraints: 7, Variables: 12, Nonzeros: 24, Density: 29 %
\
MINIMIZE
Custo_To: 464 x11 + 513 x12 + 654 x13 + 867 x14 + 352 x21 + 416 x22
+ 690 x23 + 791 x24 + 995 x31 + 682 x32 + 388 x33 + 685 x34
SUBJECT TO
of_1: x11 + x12 + x13 + x14 = 75
of_2: x21 + x22 + x23 + x24 = 125
of_3: x31 + x32 + x33 + x34 = 100
dm_1: x11 + x21 + x31 = 80
dm_2: x12 + x22 + x32 = 65
dm_3: x13 + x23 + x33 = 70
dm_4: x14 + x24 + x34 = 85
END
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Solução do Problema do Transporte
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Se Oi e Dj são inteiros então
xij é inteiro.
Matriz de restrições é
Totalmente Unimodular
(determinante = 1,-1, ou 0)
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O Problema da Designação
:a sujeito
min1 1
∑∑= =
=
n
i
m
j
ijij xcz
mixxx inii ,...,2,1,1...21 ==+++
.,...,1,,0
,...,2,1,1...21
mjix
mjxxx
ij
mjjj
=≥
==+++
Fazendo m = n , Oi =1 e Dj = 1, no
modelo do transporte, temos:
TarefasPessoas
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O Problema da Designação
Solução: emparelhamento
(matching) de menor custo.
Fazendo m = n , Oi =1 e Dj = 1, no
modelo do transporte, temos:
:a sujeito
min1 1
∑∑= =
=
n
i
m
j
ijij xcz
mixxx inii ,...,2,1,1...21 ==+++
.,...,1,,0
,...,2,1,1...21
mjix
mjxxx
ij
mjjj
=≥
==+++
TarefasPessoas
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Problema de Localização
elementos conhecidos:
– custo de transporte no percurso entre cada combinação reserva, depósito
– potencial de oferta de madeira em cada reserva
– demanda por madeira em cada depósito
– custo fixo de instalação de cada reserva
–custo variável de manutenção de cada percurso.
elementos desconhecidos
–que reservas deverão ser instaladas, e quanto enviar de cada reserva
instalada para cada depósito
objetivo a ser alcançado:
– definir as reservas a serem instaladas e fazer o transporte da madeira ao
menor custo possível
restrições
– distribuir a madeira disponível nas reservas instaladas, atendendo a
demanda dos depósitos.
O que muda no modelo do transporte considerado anteriormente?
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Construção do Modelo:
Variáveis
Variáveis de decisão:
= 1 se a reserva i for instalada, 0 c.c.
Precisamos decidir também quanto remeter de cada reserva i para cada depósito j:
= número de unidades enviadas da reserva i para o depósito j
Restrições de oferta
Só hverá oferta de material na reserva i se esta estiver instalada (yi=1), caso
contrário (yi=0), a oferta de material é zero. As restrições de oferta devem
então ser modificadas para:
ijx
iy
miyOxxx iiinii ,...2,1,...21 =≤+++
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Construção do Modelo:
Objetivo
Função Objetivo
• Além dos custos de transporte:
temos que considerar no custo total:
• o custo de instalação das reservas
• o custo de manutenção das estradas
A nova função objetivo será dada por:
∑∑= =
m
i
n
j
ijij xf1 1
∑∑= =
m
i
n
j
ijij xc1 1
∑=
m
i
ii yF1
+= ∑∑= =
m
i
n
j
ijij xcz1 1
min +∑=
m
i
ii yF1
∑∑= =
m
i
n
j
ijij xf1 1
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Modelo de otimização inteiro misto:
Problema de Localização Capacitado
Formulação I
∑∑= =
=
4
1
4
1
mini j
ijij xcz +∑=
m
i
ii yF1
+∑∑= =
m
i
n
j
ijij xf1 1
Sujeito a:
miyOxxx iiinii ,...,2,1,...21 =≤+++
njmix
miy
njDxxx
ij
i
jmjjj
,...,1;,...,1inteira,0
,...,1,1/0
,...,2,1,...21
==≥
==
==+++
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Problema de Localização Capacitado
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Problema de Localização Capacitado
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Problema de Localização Capacitado
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Problema de Localização Capacitado
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Problema de Localização Capacitado
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Problema de Localização Capacitado
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Para Saber Mais
1. Arenales, M., Armentano, V., Morabito, R. E Yanasse, H.-
Pesquisa Operacional, Elsevier, 2007.
2. Boaventura, P. O., Grafos : teoria, modelos, algoritmos,
Edgard Blucher, ; 2001.
3. Rangel, S. Introdução à construção de modelos de
otimização linear e inteira. 2. ed. São Carlos-SP: Sociedade
Brasileira de Matemática Aplicada e Computacional-
SBMAC, 2012. v. único. 82 p. (disponível em
http://www.sbmac.org.br/arquivos/notas/livro_18.pdf)
4. H. M. Wagner, Pesquisa Operacional, 1986, Prentice Hall
do Brasil Ltda, 2ª. Edição
5. Wolsey, L., Integer Programming, Ed. John Wiley & Sons,
1998.