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Modelação, Identificação e Controlo Digital 2-Modelos em Controlo por Computador

Alexandre Bernardino IST-Secção de Sistemas e Controlo

38

Modelos de Perturbações

As perturbações existentes num sistema impôem limitações fortes no

desempenho dos sistemas de controlo.

Sistema

Pertub. à

entrada

Pertub.

internas Pertub. à

saída

Ruído de

sensor

u y

medição



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Redução das Perturbações

• Redução da fonte:

o utilizar sensores com menor ruído e utilizar actuadores com menor fricção, zonas mortas, etc...

o proteger efeitos externos (temperatura, ruído electromagnetico, vibrações mecânicas).

o alterar o período de amostragem para melhorar a representação do sistema.

• Redução por feedback local

o Quando as perturbações não podem ser reduzidas na fonte, podemos tentar regulá-las por malhas

de controlo locais. Ex: controlo de um actuador para reduzir os efeitos de carga, estabilização de

uma fonte de alimentação para evitar perturbações electricas no equipamento.

• Redução por feedforward

o Se a perturbação pode ser medida, gera-se um sinal de controlo para anular seu efeito.

• Redução por predição

o Se a perturbação não pode ser medida directamente, podemos tentar predizer valores futuros de

sinais que representam o efeito das perturbações e gerar controlos adequados



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Perturbações Aditivas

Em sistemas lineares, e efeito combinado das perturbações de um sistema pode ser

modelado como uma perturbação aditiva na saída do sistema:

( ) ( ) ( ) ( )i

y k g i u k i v k∞

=−∞

= ⋅ − +∑

G(q)

v(k)

y(k) u(k)

Resposta impulsiva do sistema



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Perturbações determinísticas por troços

Há casos em que existe um conhecimento à priori da natureza da perturbação, embora possamos

não conhecer os instantes da sua ocorrência. Ex: variações de carga num manipulador robótico,

rajadas de vento numa parabólica, ondulação num navio, etc.

Este tipo de perturbações pode ser modelado por sinais do tipo escalão, rampa, sinusoide,

actuando em instantes de tempo e com intensidades desconhecidas.

( ) , com prob.

( ) 0, com prob. 1-

e k r

e k

µµ

= =

H(q) e(k) v(k)

Perturbações impulsivas: H(q) = 1

Perturbações escalão: H(q) = q/(q-1)

Perturbações rampa: H(q) = hq/(q-1)2

Perturbações sinusoidais: H(q) = q sin(hw)/(q2 -2q cos(hw) + 1)



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Perturbações Estocásticas

De modo a permitir representar um conjunto mais completo de tipos de perturbação, recorre-se a

modelos estocásticos.

O modelo de formação da perturbação é idêntico ao caso anterior mas o sinal e(k) é tomado como

“ruído branco”.

Neste contexto, os sinais são caracterizados através de funções estatísticas tais como a média e

a covariância. Teremos que rever os conhecimentos de estatística !

H(q) e(k) – Ruído branco v(k) – Ruído branco filtrado



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Caracterização das Perturbações

Função média: ( ) { }( )m k E v k= E{.} – valor esperado

Função de covariância: ( ) { }( ) ( )vR E v k v kτ τ= +

Espectro: ( ) ( ) jv vR e ωτ

τ

ω τ+∞

−

=−∞

Φ = ∑



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Ruído Branco

Define-se ruido branco como uma sequência de variáveis aleatórias independentes, de

média nula e identicamente distribuidas (processo estacionário).

A função de covariância do ruído branco é dada por:

2 , 0( )

0, 1, 2,...k

r kk

σ ==

= ± ±

O seu espectro é:

( ) 2 ,φ ω σ ω= ∀



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O ruído branco corresponde à noção de sinal sem memória. O seu espectro

é plano e a sua autocorrelação um impulso (discreto):

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

-5 0 5 10 15 20 25

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

Atraso

Au

toco

rre

laçã

o

10

-210

-110

010

110

-1

100

101

frequency (rad/sec)

SPECTRUM output # 1



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As figuras anteriores foram

obtidas com o seguinte

procedimento (MATLAB 5.3 e

System Ident. Toolbox)

% Ficheiro WN1.m

% Ruído branco em tempo discreto:

% Sinal no tempo, espectro e autocorrelação

%Sinal de ruído branco em tempo discreto

randn;

u=randn(5000,1);

plot(u);

xlabel('Tempo discreto');

ylabel('Ruído');

pause

% Determinação da autocorrelação

Ru=covf(u,21);

for i=1:21;

tau(i)=i-1;

end;

bar(tau,Ru);

xlabel('Atraso')

ylabel('Autocorrelação');

grid

pause

% Determinação do espectro

G=spa(u,10);

bodeplot(G);



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Descrição de sistemas com perturbações estocásticas

H(q)

G(q)

e(t)

u(t) y(t)+

+

ν(t)

No tempo: y t G q u t H q e t( ) ( ) ( ) ( ) ( )= +

Na frequência: G e j( )ω; ( )v ωΦ

Componentes Determinísticas Componentes Estocásticas



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Estruturas de Sistemas Actuados por Ruído Branco

Estrutura Média Deslizante (Moving Average - MA)

1( ) ( ) ( 1) ( )ny k e k c e k c e k n= + − + + −…

Estrutura Autoregressiva (AR)

1( ) ( 1) ( ) ( )ny k a y k a y k n e k+ − + + − =…

e(k)

v(k) y(k)

e(k)

v(k) y(k)

( )C q

1( )A q



49

Estrutura ARMA

1 1( ) ( 1) ( ) ( ) ( 1) ( )n ny k a y k a y k n e k c e k c e k n+ − + + − = + − + + −… …

e(k)

v(k) y(k)

( )( )

C qA q



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Estrutura ARX

X – Entrada Externa (exogenous input)

1 0( ) ( 1) ( ) ( ) ... ( ) ( )n my k a y k a y k n b u k d b u k d m e k+ − + + − = − + + − − +…

e(k)

( )( )

B qA q

v(k) y(k) u(k) x(k)

1( )A q



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Estrutura ARMAX

1

0 1

( ) ( 1) ( )

( ) ... ( ) ( ) ( 1) ... ( )n

m n

y k a y k a y k n

b u k d b u k d m e k c e k c e k n

+ − + + − =

= − + + − − + + − + + −

…

e(k)

( )( )

B qA q

v(k) y(k) u(k) x(k)

( )( )

C qA q



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Propagação de covariâncias e espectros em SLITS

2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

j j jy u u

juy u

H e H e H e

H e

ω ω ω

ω

φ ω φ ω φ ω

φ ω φ ω

−= =

=

H(q)

y(k) u(k)

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

y un l

yu un

r h n r n l h l

r h n r n

τ τ

τ τ

+∞ +∞

=−∞ =−∞

+∞

=−∞

= − +

= −

∑ ∑

∑



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Exemplo: propagação de Ruído Branco numa Estrutura AR

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

Tempo discreto

Ruí

do

-5 0 5 10 15 20 25-2

-1

0

1

2

3

4

5

Atraso

Au

toco

rre

laçã

o

10-2

10-1

100

101

10-2

10-1

100

101

102

frequency (rad/sec)

SPECTRUM output # 1

C qA q

qq q

( )( ) . .

=− +

2

2 15 0 7

e(k) y(k)



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% Ficheiro CN1.m

% Ruído filtrado em tempo discreto:

% Sinal no tempo, espectro e autocorrelação

%Sinal modelo ARMA (ARMAX com u=0)

randn;

e=0.7*randn(5000,1);

u=zeros(5000,1);

model1=poly2th([1 -1.5 0.7],[0],[1 0 0]);

y=idsim([u e],model1);

plot(y(1:100));

xlabel('Tempo discreto');

ylabel('Ruído');

pause

% Determinação da autocorrelação

Ry=covf(y,21);

for i=1:21;

tau(i)=i-1;

end;

bar(tau,Ry);

xlabel('Atraso')

ylabel('Autocorrelação');

grid

pause

% Determinação do espectro

Gy=spa(y,10);

bodeplot(Gy);



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Teorema da Factorização Espectral

Os sinais com espectros ( )v ωΦ racionais em cos( )ω podem ser obtidos pela

passagem de ruído branco por um sistema linear, estável e de fase mínima,

conveniente. Esta classe de sinais admite pois a descrição

( ) ( ) ( )v k H q e k=

Ruído branco de variância σ2

Operador de impulso linear

tal que 22( ) ( )jH e ω

ν ω σΦ =



56

Podemos factorizar o espectro de v(k) em: 2( ) ( ) ( )j jH e H eω ω

ν ω σ −Φ =

Fazendo z = ejω, podemos representar a equação anterior com a TZ:

2 1( ) ( ) ( )F z H z H zσ −=

F(z) contém polos e zeros em pares recíprocos: para cada polo ou zero

fora do círculo unitário, existe outro dentro do círculo unitário. Escolhendo

apenas os polos e zeros estáveis, obtém-se um filtro estável e de fase

mínima H(z) que gera o espectro desejado, se actuado com ruído branco.



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Nota 1: Qualquer processo estacionário pode ser gerado por um sistema com polos e

zeros dentro do círculo unitário actuado por ruído branco (estrutura ARMA no caso

geral)

Nota 2: A função de transferência inversa do processo também tem polos e zeros

dentro do círculo unitário. O sistema inverso vai permitir obter os valores da entrada

por observação dos valores da saída. Isto vai facilitar certos problemas de identificação

e controlo.

H-1(q)

e(k) y(k)



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Exercícios

1 - Determinar a função de covariância e o espectro do processo ARMA y(k), tal que:

( ) 0.7 ( 1) ( ) 0.5 ( 1)y k y k e k e k− − = − −

onde e(k) é ruído branco de média nula variância unitária.

2 – Admita que se pretende gerar um sinal y(k) com espectro:

1( )

1.36 1.2cosyφ ωω

=+

Determine um filtro estável que produza o sinal desejado para entrada ruído branco de variância unitária.

3 – Seja y(k) um processo estocástico gerado por ruído branco e(k) através de um filtro estável e de fase

mínima H(q).

a) Mostre que a covariância e espectro de y(k) não se alteram com atrasos arbitrários no sinal de ruído.

b) Mostre que é sempre possível obter um filtro causal que inverta o processo estocástico.

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