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Objetivos e BibliografiaIntrodução
Conceitos de ProbabilidadeVariável Aleatória
Conceitos básicos de amostragemDistrbuições AmostraisIntervalo de Confiança
Teste de Hipótese
Modelos de Probabilidade e Inferencia Estatística
Ulisses U. dos Anjos
Departamento de EstatísticaUniversidade Federal da Paraíba
Período 2013.1
Ulisses U. dos Anjos Modelos de Probabilidade e Inferencia Estatística
Objetivos e BibliografiaIntrodução
Conceitos de ProbabilidadeVariável Aleatória
Conceitos básicos de amostragemDistrbuições AmostraisIntervalo de Confiança
Teste de Hipótese
Sumário1 Objetivos e Bibliografia2 Introdução3 Conceitos de Probabilidade
Propriedades de uma medida de probabilidadeProbabilidade CondicionalTestes Diagnósticos
4 Variável AleatóriaDistribuições de Probabilidade para Variáveis AleatóriasDiscretasDistribuições de Probabilidade para Variáveis AleatóriasContínuas
5 Conceitos básicos de amostragemTipos de estudosTipos de AmostragemPrincipais planos de amostragem probabilística
6 Distrbuições AmostraisMédiaProporçãoVariância
7 Intervalo de ConfiançaMédiaProporçãoVariância
8 Teste de HipóteseVisão GeralComponentes de um Teste de HipóteseTestes ParamétricosTeste para MédiaTeste para VariânciaTeste para Proporção
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Objetivos e BibliografiaIntrodução
Conceitos de ProbabilidadeVariável Aleatória
Conceitos básicos de amostragemDistrbuições AmostraisIntervalo de Confiança
Teste de Hipótese
Objetivos
Revisar, aprofundar e ampliar os conceitos de probabilidade einferência estatística dos mestrandos, visando sua utilização nasdissertações e servindo como base para outras disciplinas doprograma.
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Objetivos e BibliografiaIntrodução
Conceitos de ProbabilidadeVariável Aleatória
Conceitos básicos de amostragemDistrbuições AmostraisIntervalo de Confiança
Teste de Hipótese
Bibliografia
DANIEL, w. w. Biostatics: A Foundation for Analysis in theHealth Sciences. 9
oEd.. Wiley, 2009.
TRIOLA, M. F. Introdução à Estatística. Livros Técnicos eCientíficos Editora, 2005.ARANGO, H. G. Bioestatística: teórica e computacional. 2a
edição. Rio de Janeiro: Guanabara Koogan, 2005.
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Conceitos de ProbabilidadeVariável Aleatória
Conceitos básicos de amostragemDistrbuições AmostraisIntervalo de Confiança
Teste de Hipótese
Objetivo da Probabilidade
Fornecer o arcabouço teórico para o estudo dos fenômenos ouexperimentos aleatórios.Criar modelos teóricos que reproduzam de maneira razoável adistribuição de freqüências dos fenômenos ou experimentosaleatórios. Tais modelos são chamados modelos probabilísticos.
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Conceitos básicos de amostragemDistrbuições AmostraisIntervalo de Confiança
Teste de Hipótese
Experimento aleatório
Definição: Um experimento que pode fornecer diferentesresultados, muito embora seja repetido toda vez da mesmamaneira, é chamado experimento aleatório.Característica de um experimento aleatório:Imprevisibilidade: o resultado do experimento não pode serconhecido a priori, mesmo se repetido sobre iguais condições;
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Teste de Hipótese
Espaço amostral e evento
Espaço amostral: é o conjunto de todos os resutados de umexperimento aleatório. Notação: Ω
Evento: É um subconjunto do espaço amostral;Os subconjuntos de Ω serão denotados por letras latinasmaiúsculas (A,B,C,. . . );Diz-se que "‘ocorre o evento A"’ quando o resultado doexperimento aleatório for um elemento de A;O espaço amostral Ω e o conjunto vazio ∅ também sãoeventos, em que Ω é o evento certo e ∅ é o evento impossível.
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Teste de Hipótese
Operações básicas entre conjuntos
A ∪ B =ω ∈ Ω : ω ∈ A ou ω ∈ B ou ω ∈ A, ω ∈ B
, é a
união de A e B;
ExemploSuponha que iremos sortear de uma lista de casais que se casaramhá 30 anos atrás e verificar quais deles estão vivos. Considere osseguintes eventos: A =A mulher estar viva e B =O homem estarvivo. Então o evento pelo menos um estar vivo é dado por A ∪ B
A ∩ B =ω ∈ Ω : ω ∈ A, ω ∈ B
, é a intersecção de A e B;
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Teste de Hipótese
Operações básicas entre conjuntos
ExemploConsiderando o exemplo anterior, então o evento ambos estaremvivos é dado por A ∩ B.
Ac =ω ∈ Ω : ω /∈ A
, deste modo segue que Ac = Ω− A é
o complementar de A, do mesmo modo Bc = Ω− B é ocomplementar de B ;
ExemploConsiderando o exemplo anterior, então o evento o homem estarvivo pode ser representado por Ac , logo nesse caso específicoB = Ac e A = Bc .
A− B =ω ∈ Ω : ω ∈ A, ω /∈ B
, deste modo segue que
A− B = A ∩ Bc é a diferença entre A e B ;
ExemploConsiderando o exemplo anterior, então o evento apenas a mulherestar viva é dado por A− B. Do mesmo modo, o evento apenas ohomem estar vivo é dado por B − A.
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Teste de Hipótese
Operações básicas entre conjuntos
A∆B =ω ∈ Ω : ω ∈ A, ω /∈ B ou ω /∈ A, ω ∈ B
, deste
modo segue que A∆B = (A ∩ Bc) ∪ (Ac ∩ B) é a diferençasimétrica entre A e B ;
ExemploConsiderando o exemplo anterior, então o evento somente ohomem ou a mulher estar vivo pode ser representado por A∆B.
A e B são disjuntos(mutuamente exclusivos) se e somente seA ∩ B = ∅;
ExemploConsiderando o exemplo anterior, então os eventos A e B não sãodisjuntos pois ambos podem estar vivos.
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Teste de Hipótese
Partição de um evento
Seja A um subconjunto de Ω. Então A1, . . . ,An formam umapartição de A se e somente se Ai ∩ Aj = ∅ para todo i 6= j e∪n
i=1Ai = A.Deste modo, se A = Ω então A1, . . . ,An formam uma partiçãode Ω se e somente se Ai ∩ Aj = ∅ para todo i 6= j e∪n
i=1Ai = Ω.
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Teste de Hipótese
Leis de De Morgan
Sejam A1, . . . ,An tal que Ai ⊂ Ω para todo i, então:(i) (∪n
i=1Ai )c = ∩n
i=1Aci .
Interpretação: o complementar da ocorrência de pelo menosum dos eventos é a não ocorrência de todos os eventos;
(ii) (∩ni=1Ai )
c = ∪ni=1A
ci .
Interpretação: o complementar da ocorrência de todos oseventos é a não ocorrência de pelo menos um dos eventos.
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Teste de Hipótese
Função indicadora
Seja A ⊂ Ω, então
IA(ω) =
1 se ω ∈ A0 se ω /∈ A
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Teste de Hipótese
σ-Álgebra
Uma classe F de subconjuntos de Ω é denominada uma σ-álgebrase ela satisfaz:
(F1) Ω ∈ F ;(F2) Se A ∈ F então Ac ∈ A;(F3) Se Ai ∈ F para todo i ≥ 1 então
⋃∞i=1 Ai ∈ F ;
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Teste de Hipótese
Propriedades de uma medida de probabilidadeProbabilidade CondicionalTestes Diagnósticos
Definição Clássica de Probabilidade
Seja (Ω,F) um espaço finito de eventos equiprováveis. Assim, paratodo A ∈ F tem-se que,
P(A) =#A#Ω
em que # é o número de elementos do conjunto.
ExemploConsidere o experimento aleatório de lançar duas moedas. Nessecaso o espaço amostral é dado porΩ =
(c , c), (c , r), (r , c), (r , r)
. Seja A=Obtenção de faces iguais.
Portanto, A =
(c , c), (r , r). Deste modo,
P(A) =24
= 0, 5.Ulisses U. dos Anjos Modelos de Probabilidade e Inferencia Estatística
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Teste de Hipótese
Propriedades de uma medida de probabilidadeProbabilidade CondicionalTestes Diagnósticos
Definição frequentista de Probabilidade
Seja Ω um espaço amostral de um experimento aleatório. Seja nrepetições independentes de um experimento aleatório e nA onúmero de ocorrências do evento A ⊂ Ω. Então, a probabilidade deA é dada por,
P(A) = limn→∞
nA
n= p
ObservaçãoA lei dos grandes números garante a convergência sobre certascondições do limite acima, em que 0 ≤ p ≤ 1.
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Teste de Hipótese
Propriedades de uma medida de probabilidadeProbabilidade CondicionalTestes Diagnósticos
Definição axiomática de Probabilidade
Seja (Ω,F) um espaço mensurável. Então uma funçãoP : F → [0, 1] é uma probabilidade se,
(P1) P(Ω) = 1;(P2) Para todo A ∈ F tem-se P(A) ≥ 0;(P3) P é σ-aditiva, isto é, se A1,A2, . . . , são dois a dois
disjuntos então,
P
( ∞⋃n=1
An
)=∞∑
n=1
P(An).
em que⋃∞
n=1 An = A1 ∪ A2 ∪· · ·.
ObservaçãoNote que de um modo geral a medida de probabilidade P nãoprecisa assinalar uma probabilidade para todo evento em Ω, masapenas para os eventos em F . A trinca (Ω,∈ F ,P) é denominadoespaço de probabilidade
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Propriedades de uma medida de probabilidadeProbabilidade CondicionalTestes Diagnósticos
Propriedades
Seja (Ω,F ,P), então para todo A ∈ F e B ∈ F , tem-se que:P(Ac) = 1− P(A);P(∅) = 0;P é uma função não decrescente, isto é, para todo A,B ∈ Ftal que A ⊆ B tem-se que P(A) ≤ P(B);Para todo A,B ∈ F tal que A ⊆ B tem-se queP(B − A) = P(B)− P(A);Para todo A,B ∈ F arbitrários tem-se que:
P(A−B) = P(A)−P(A∩B) e P(B−A) = P(B)−P(A∩B).
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Teste de Hipótese
Propriedades de uma medida de probabilidadeProbabilidade CondicionalTestes Diagnósticos
Propriedades
Para todo A ∈ F tem-se que 0 ≤ P(A) ≤ 1;Para todo A,B ∈ F arbitrários tem-se que:
P(A ∪ B) = P(A) + P(B)− P(A ∩ B).
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Propriedades de uma medida de probabilidadeProbabilidade CondicionalTestes Diagnósticos
ARANGO, Exemplo 5.5, P. 144
Considere os dados abaixo que mostram 15 indivíduos classificadosquanto às variáveis obesidade e sedentarismo.
Indivíduo 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10Obesidade n n s n s s n n n s
Sedentarismo s n s s n s n s s s
Indivíduo 11 12 13 14 15Obesidade n n s n n
Sedentarismo n n s n s
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Propriedades de uma medida de probabilidadeProbabilidade CondicionalTestes Diagnósticos
ARANGO, Exemplo 5.5, P. 144
Considere os seguintes eventos: A=indivíduo obeso e B= indivíduosedentário. Supondo que essa amostra e representativa dapopulação de estudo, calcule(estime) a probabilidade de:
O indivíduo ser obeso;TabelaO indivíduo ser sedentário;TabelaO indivíduo ser obeso e sedentário;TabelaO indivíduo ser obeso ou sedentário;TabelaO indivíduo não ser obeso e nem sedentário;Tabela
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Problema
Seja (Ω,F ,P) o espaço de probabilidade para um determinadoexperimento aleatório. Suponha que tenhamos a priori algumainformação a respeito do resultado do experimento aleatório. Noexemplo anterior, suponha que um indivíduo é sorteadoaleatoriamente e que recebemos a informação que o indíviduo éobeso. Nessas condições qual a probabilidade do indívíduo sersedentário? Tabela
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Definição
Seja (Ω,F ,P) um espaço de probabilidade. Seja B ∈ F um eventotal que P(B) > 0. Então a probabilidade condicional, dado oevento B, é uma função denotada por P(.|B) e definida para todoA ∈ F como segue,
P(A|B) =P(A ∩ B)
P(B). (1)
em que P(A|B) é chamada a probabilidade condicional de A dadoB.
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Testes Diagnósticos
São testes que tem como objetivo identificar um evento deinteresse.Medidas para avaliar um teste: Sensibilidade(s),Especificidade(e), Valor Preditivo Positivo(VPP), ValorPreditivo Negativo(VPN), Falso Positivo(FP) e FalsoNegativo(FN).
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Avaliação do Teste
Resultado do TestePositivo Negativo
Ocorrência do EventoSim a bNão c d
Consideremos os seguintes eventos:D+=Ocorrência do evento de interesse;D−=Não ocorrência do evento de interesse;T+=Teste positivo;T−=Teste negativo;
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Sensibilidade e Especificidade
Sensibilidade(s): É a probabilidade do teste dar positivo dadoque ocorreu o evento de interesse, isto é,
s = P(T+|D+) =P(T+ ∩ D+)
P(D+)=
aa + b
Especificidade(e): É a probabilidade do teste dar negativodado que não ocorreu o evento de interesse, isto é,
s = P(T−|D−) =P(T− ∩ D−)
P(D−)=
dc + d
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Sensibilidade e Especificidade
Valor Preditivo Positivo(VPP): É a probabilidade do evento deinteresse ocorrer dado que o teste deu positivo, isto é,
VPP = P(D+|T+) =P(T+ ∩ D+)
P(T+)=
p × sp × s + (1− p)× (1− e)
em que p = P(D+) é a prevalência do evento de interesse;Valor Preditivo Negativo(VPN): É a probabilidade do eventode interesse não ocorrer dado que o teste deu negativo, isto é,
VPN = P(D−|T−) =P(T− ∩ D−)
P(T−)=
(1− p)× ep × (1− s) + (1− p)× e
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Propriedades de uma medida de probabilidadeProbabilidade CondicionalTestes Diagnósticos
Regra do Produto
Sejam A e B eventos em F tal que,
P(A) > 0 e P(B) > 0
então,P(A ∩ B) = P(A)P(B|A) = P(B)P(A|B).
ExemploConsiderando o Exemplo 5.5, ARANGO, calcule a probabilidade doindivíduo ser obeso e sedentário utilizando a regra do produto.Tabela
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Propriedades de uma medida de probabilidadeProbabilidade CondicionalTestes Diagnósticos
Probabilidade Total
Sejam Ai , i = 1, . . . , n uma partição de Ω com P(Ai ) > 0 paratodo i = 1, . . . , n. Então, para todo B ∈ F tem-se que,
P(B) =n∑
i=1
P(Ai )P(B|Ai ).
ExemploConsiderando o Exemplo 5.5, ARANGO, calcule a probabilidade doB =indivíduo ser obeso, considerando a partição A =o indivíduo ésedentário e Ac =o indivíduo não é sedentário.Tabela
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Teorema de Bayes
Seja Ai , i = 1, . . . , n uma partição de Ω com P(Ai ) > 0 paratodo i = 1, . . . , n. Então, para todo B ∈ F para o qual P(B) > 0tem-se que,
P(Aj |B) =P(Aj)P(B|Aj)∑ni=1 P(Ai )P(B|Ai )
ExemploConsiderando o Exemplo 5.5, ARANGO, calcule a probabilidade doindivíduo não ser sedentário dado que B =indivíduo é obeso,considerando a partição A =o indivíduo é sedentário e Ac =oindivíduo não é sedentário.Tabela
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Distribuições de Probabilidade para Variáveis Aleatórias DiscretasDistribuições de Probabilidade para Variáveis Aleatórias Contínuas
Definição
É uma função X : Ω→ R que associa a cada elemento do espaçoamostral um valor na reta(um valor numérico). Assim, para cadaω ∈ Ω tem-se que X (ω) = x ∈ R.
ObservaçãoA função X deve ser unívoca, isto é, para cada ω ∈ Ω deve haverapenas um X (ω) associado. Entretanto, diferentes valores de ωpodem levar a um mesmo valor de X .
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Distribuições de Probabilidade para Variáveis Aleatórias DiscretasDistribuições de Probabilidade para Variáveis Aleatórias Contínuas
Variável Aleatória: Exemplo
ExemploConsidere o procedimento de selecionar uma amostra de umapopulação U de tamanho N. Considere a variável X=altura, assimpor exemplo, X (ω1) = 1, 79, X (ω17) = 1, 98 em que ω1 e ω17 são oprimeiro e o décimo sétimo elemento da amostra.
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Distribuições de Probabilidade para Variáveis Aleatórias DiscretasDistribuições de Probabilidade para Variáveis Aleatórias Contínuas
Tipos de Variáveis Aleatórias
Discreta: Uma variável aleatória X é discreta se o número devalores que X possa assumir for enumerável. Ex: Altura, peso,etc.Contínua: Uma variável aleatória X é contínua se o número devalores que X possa assumir for não enumerável. Ex: númerode filhos, faixa etária, etc.
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Distribuições de Probabilidade para Variáveis Aleatórias DiscretasDistribuições de Probabilidade para Variáveis Aleatórias Contínuas
Variável Aleatória: Distribuição de Probabilidade
A distribuição de probabilidade de uma variável aleatória Xdiscreta é uma função que atribui probabilidade a cada um dosvalores xi de X , isto é,
PX (xi ) = P(X = xi ) = P(ω ∈ Ω : X (ω) = xi)para todo i ∈ 1, 2, . . . , n, n ∈ N e e satisfaz as condições:(i) 0 ≤ P(X = xi ) ≤ 1 e (ii)
∑ni=1 P(X = xi ) = 1. Esta
função é denominada Função de Probabilidade ou FunçãoMassa de Probabilidade(fmp);A distribuição de probabilidade de uma variável aleatória Xcontínua é dada por,
f (x) =dF (x)
dxpara todo x ∈ R e satisfaz as condições: (i) f (x) ≥ 0 paratodo x ∈ R; e (ii)
∫∞−∞ f (x)dx = 1. Esta função é denominada
Função Densdidade de Probabilidade(fdp).
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Distribuições de Probabilidade para Variáveis Aleatórias DiscretasDistribuições de Probabilidade para Variáveis Aleatórias Contínuas
Variável Aleatória: Função de Distribuição
Seja X uma variável aleatória, então sua função de distribuição édefinida como,
F (x) = P(X ≤ x).
F é também conhecida como função de distribuição acumulada deX .
Caso discreto: F (x) =∑
xi≤x PX (xi ) =∑
xi≤x P(X = xi )
Caso Contínuo: F (x) =∫ x−∞ f (t)dt
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Distribuições de Probabilidade para Variáveis Aleatórias DiscretasDistribuições de Probabilidade para Variáveis Aleatórias Contínuas
Independência de Variáveis Aleatórias
Sejam X1, . . . ,Xn, n variáveis aleatórias. Então X1, . . . ,Xn sãoindependentes se:
F (x1, . . . , xn) =n∏
i=1
Fi (xi )
em que F é a função de distribuição acumulada conjunta deX1, . . . ,Xn e Fi é a função de distribuição acumulada de Xi .
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Distribuições de Probabilidade para Variáveis Aleatórias DiscretasDistribuições de Probabilidade para Variáveis Aleatórias Contínuas
Valor Esperado de uma Variável Aleatória
O valor esperado de variável aleatória X , denotado por E (X ) ou µ,é para o caso em que X é discreta,
µ = E (X ) =∑
x∈ΩX
xP(x)
e para o caso em que X é contínua
µ = E (X ) =
∫ ∞−∞
xf (x)dx
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Distribuições de Probabilidade para Variáveis Aleatórias DiscretasDistribuições de Probabilidade para Variáveis Aleatórias Contínuas
Propriedades
Seja c ∈ R uma constante, então E (c) = c ;Seja h uma função uma função mensurável, então paraY = h(X ) tem-se: se X for uma variável aleatória discreta,
E (Y ) =∑
x∈ΩX
h(x)P(x)
e, se X for uma variável aleatória for contínua então,
E (Y ) =
∫ ∞−∞
h(x)f (x)dx .
Sejam X1, . . . ,Xn n variáveis aleatória então
E
(n∑
i=1
Xi
)=
n∑i=1
E (Xi ).
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Variância de uma Variável Aleatória
A variância da variável aleatória X , denotado por Var(X ) ou σ2 é
Var(X ) = E((X − E (X ))2) = E (X 2)−
[E (X )
]2.
Se X for discreta,
Var(X ) =∑
x∈ΩX
x2P(X = x)−
∑x∈ΩX
xP(X = x)
2
e se X for contínua
Var(X ) =
∫ ∞−∞
x2f (x)dx −[∫ ∞−∞
xf (x)dx]2
.
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Propriedades
Var(c) = 0;Var(X ± c) = Var(X );Var(cX ) = c2Var(X );Sejam X1, . . . ,Xn n variáveis aleatória independentes, então,
Var
(n∑
i=1
Xi
)= Var(X1) + · · ·+ Var(Xn)
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Distribuições de Probabilidade para Variáveis Aleatórias DiscretasDistribuições de Probabilidade para Variáveis Aleatórias Contínuas
Distribuição Binomial
Seja A um evento de interesse. Então uma variável aleatória X queconta o número de vezes que o evento A ocorre em n repetiçõesindependentes de um experimento de Bernoulli(um experimento quesó possui dois resultados possíveis), possui função de probabilidade,
P(X = x) =
(nx
)px × (1− p)n−x se x = 0, 1, 2, . . . , n
0 caso contrário
Em que p = P(A).
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Distribuição Binomial
Diz-se que tal variável possui distribuição Binomial com parâmetrosn e p e denota-se por:
X ∼ bin(n, p)
Tem-se para essa variável que µ = E (X ) = p e σ2 = Var(X ) = np.
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Exemplo
A taxa de imunização de uma vacina é 80%. Se um grupo de 20pessoas são vacinadas,
(a) Qual a probabilidade que 15 fiquem imunizadas?(b) Qual o número esperado de pessoas que serão imunizadas?
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Distribuição de Poisson
Seja X uma variável aleatória que conta o número de ocorrência deum determinado evento A por unidade (tempo, comprimento, área,volume, etc), então a função de probabilidade de X é dada por,
P(x) =
e−λλx
x! se x = 0, 1, . . . , 0 caso contrário
Esta função é chamada de distribuição de Poisson. Notação:X ∼ P(λ)Tem-se para essa variável que µ = E (X ) = σ2 = Var(X ) = λ.
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Distribuição Normal
Dizemos que uma v.a. X tem distribuição normal com média µ evariância σ2 se sua função densidade de probabilidade é dada por
f (x) =1√2πσ2
exp(−(x − µ)2
2σ2
)para todo x ∈ R, em que E (X ) = µ e Var(X ) = σ2. Notação:X ∼ N(µ, σ2).
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Distribuição Normal: Características
Moda = mediana = média;A função tem dois pontos de inflexão, um em x = µ− σ eoutro em x = µ+ σ, em que σ é o desvio padrão de X ;A curva é simétrica em torno de x = µ, isto implica que dadoum a ∈ R tem-se que f (µ− a) = f (µ+ a), logoF (µ− a) = PX (X ≤ µ− a) = PX (X ≥ µ+ a) = 1− F (µ+ a)se µ = 0 então F (−a) = 1− F (a).
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Distribuição Normal
Problema: Dificuldade no cálculo de PX . Existem tabelas apenaspara X ∼ N(0, 1).Solução: Fazendo a transformação,
Z =X − µσ
⇒ Z ∼ N(0, 1)
Assim,
P(X ≤ x) = P(Z ≤ z) = P(Z ≤ x − µ
σ
)
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Distribuição t-Student “Padrão”
Dizemos que uma v.a. X tem distribuição t com ν graus deliberdade se sua função densidade de probabilidade é dada por
f (x) =1√νπ
Γ(ν+12
)Γ(ν2
) (1 +
x2
ν
)− ν+12
para todo x ∈ R. Notação: X ∼ tν . Tem-se ainda que E (X ) = 0para ν > 1 e
Var(X ) =ν
ν − 2para ν > 2.
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Distribuição t-Student: Características
Moda = mediana = média = 0;A curva é simétrica em torno do 0, isto implica que dado uma ∈ R tem-se que f (−a) = f (+a), logo P(≤ −a) = P(≥ a);quando os graus de liberdade aumentam a distribuição tν seaproxima da distribuição normal com média zero e variância 1.
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Distribuição Qui-quadrado
Dizemos que uma v.a. X tem distribuição Qui-quadrado com νgraus de liberdade se sua função densidade de probabilidade é dadapor
f (x) =1
Γ(ν2
)2
ν2x
ν2−1e−
x2
para todo x ≥ 0. Notação: X ∼ χν . Tem-se ainda que E (X ) = νe Var(X ) = 2ν.
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Distribuição F
Dizemos que uma v.a. X tem distribuição F com ν1 e ν2 graus deliberdade se sua função densidade de probabilidade é dada por
f (x) =Γ(ν1+ν2
2
)Γ(ν12
)Γ(ν22
) (ν1
ν2
) ν12 x
ν1−22(
1 + ν1ν2x) ν1+ν2
2
para todo x ≥ 0. Notação: X ∼ Fν1,ν2 . Tem-se ainda queE (X ) = ν2
ν2−2 .
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Tipos de estudosTipos de AmostragemPrincipais planos de amostragem probabilística
Objetivo
Amostragem é o procedimento utilizado na obtenção da amostra,que deve ser de tal forma que a amostra obtida seja representativada população de interesse.
ExemploQuando alguém está adoçando uma xícara de café ele primeirocoloca um pouco de açucar, mistura bem e depois prova(coletauma amostra) para verificar se precisa ou não mais açucar. Noteque, o processo de mexer bem antes de provar é umprocedimento(plano) amostral intuítivo.
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Tipos de estudosTipos de AmostragemPrincipais planos de amostragem probabilística
População ou População alvo
É o conjunto de todos os seres, objetos ou informações que estãosob investigação.Notação: Um população de tamanho N será denotada porU˜ = (1, . . . ,N).
Exemplo
Um grupo de pesquisadores desejam analisar a influência de fatoressociodemográficos, físicos e mentais sobre a mobilidade de idosos,pessoas com 60 anos ou mais, residentes no município de SantaCruz, Rio Grande do Norte. Neste caso a população são todas aspessoas com 60 anos ou mais residentes no município de SantaCruz.
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População de estudo
É o conjunto de todos os seres, objetos ou informações que podemser incluídas no estudo. Teoricamente, o mesmo que a populaçãoalvo, porém muitas vezes diferente.
ExemploNo Exemplo anterior suponha que a pesquisa tenha sido realizadadurante um determinado mês do ano, e que neste mêspossívelmente algumas das pessoas desta população poderiam nãoestar na cidade e deste modo não poderiam ser incluídas napesquisa. Deste modo, neste caso, a população alvo é diferente dapopulação de estudo.
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Amostra
É o conjunto dos elementos selecionados de uma população.Notação: Uma amostra de tamanho n será denotada pors˜=
(k1, . . . , kn
)para ki ∈ U˜ .
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Unidade amostral
São os elementos alvo da pesquisa. Podem ser pessoas,animais,objetos, domicílios, empresas, etc. Deve ser definida noinício da investigação de acordo com o interesse do estudo. Émuito importante que a unidade elementar seja claramentedefinida, para que o processo de coleta e análise tenha sempre umsignificado preciso e uniforme.
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Variáveis
É uma característica qualitativa ou quantitativa que observamos emcada unidade amostral. Ex.: altura, sexo, peso, idade, classe social,etc.Notação: As variáveis são usualmente denotadas pelas letrasmaiúsculas X ,Y ,Z ,W .
Em um população U˜ = (1, . . . ,N), o conjunto de valores queessas variáveis assumem são denotadas porx˜ = (x1, x2, . . . , xN);Em uma amostra s˜=
(k1, . . . , kn
), os valores que essas
variáveis podem assumir são denotadas porX˜ = (X1,X2, . . . ,Xn) em que cada Xi pode assumir qualquervalor xu, para u ∈ U˜ e xu ∈ x˜.
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Parâmetro
Uma medida numérica que descreve alguma característica de umapopulação.
ExemploPeso médio ao nascer de crianças na cidade de João Pessoa,proporção de mulheres com câncer de mama na Paraíba.
Notação: Utiliza-se usualmente letras gregas,µ, σ2, τ para sedenotar parâmetros. Entretanto, existem exceções, por exemplo,para o parâmetro proporção utiliza-se p.
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Estimador
É qualquer função dos elementos X1, . . . ,Xn da amostra X˜ , queassume valores em Θ(espaço paramétrico), em que Θ é o conjuntode todos os valores que o parâmetro θ pode assumir.Notação: Usualmente utiliza-se µ, σ2, p para se denotarparâmetros. Entretanto, existem exceções, por exemplo, para oparâmetro µ utiliza-se X .
Exemplo
Seja X˜ = (X1,X2, . . . ,Xn) uma amostra, então um estimador paraa média populacional µ para essa amostra é dada por:
X =X1 + . . .+ Xn
n.
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Estimativa
É o valor observado de um estimador após a amostra ser coletada.
Exemplo
Considere a seguinte amostra da variável X , X˜ = (5, 3, 4, 2, 6),então
X =5 + 3 + 4 + 2 + 6
5= 4.
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Cadastro amostral
Lista das unidades da população de pesquisa de onde a amostraserá extraída. Nem sempre aplicável.
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Tipos de estudos: Estudos Observacionais
Se caracterizam pela não intervenção do pesquisador sobre osdados do estudo. Dessa maneira, nos estudos observacionaisobservamos e medimos características específicas, mas nãotentamos modificar os elementos objeto do estudo.
ExemploEm uma pesquisa na qual se quer estudar algum aspecto de umgrupo de alcoólatras, não há a possibilidade de induzir um grupo atornar-se alcoólatra, então o estudo é observacional e inclui o grupoque já era alcoólatra e um grupo de não alcoólatras como grupocontrole.
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Tipos de estudos: Estudos Experimentais
Nos estudos experimentais, o pesquisador designa os indivíduos daamostra aos grupos por processo aleatório, aplicamos umtratamento diferente a cada grupo e observamos seu efeito noselementos da amostra.
ExemploNo artigo “Impacto da multimistura no estado nutricional depré-escolares matriculados em creches. Rev. Nutr. [online]. 2006,vol.19, n.2, pp. 169-176.”, coletou-se uma amostra de 135 criançasna faixa etária de um a seis anos. As crianças foram divididasaleatóriamente em três grupos: intervenção 1 (GI1 n=48),intervenção 2 (GI2 n=45) e controle (GC n=42), recebendo 5g e10g de multimistura e placebo, respectivamente. O estadonutricional das crianças em estudo foi avaliado antes e após asuplementação.
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Tipos de Amostragem: Amostragem Probabilística
É o procedimento pelo qual se utilizam mecanismos aleatórios deseleção dos elementos de uma amostra, atribuindo a cada elementouma probabilidade de pertencer a amostra.
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Tipos de Amostragem: Amostragem não Probabilística
É o procedimento pelo qual se utiliza alguma mecanismo aleatóriode seleção, mas sem conhecer a probabilidade de cada elementofazer parte da amostra ou não se utilizam mecanismos aleatórios deseleção dos elementos de uma amostra, tais como: amostrasintencionais, nas quais os elementos são escolhidos com o auxílio deespecialistas; amostras de voluntários, onde as pessoas é que seapresentam para participar do estudo.
ObservaçãoA grande vantagem da amostra probabilística é medir a precisão daamostra obtida, baseando-se apenas no resultado contido naprópria amostra.
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Amostragem aleatória(AA)
Procedimento pelo qual cada elemento da população tem a mesmachance(probabilidade) de ser selecionada.
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Amostragem aleatória simples(AAS)
Procedimento pelo qual uma amostra de tamanho n é selecionadade tal forma que cada amostra possível de tamanho n tem a mesmachance(probabilidade) de ser selecionada. Esse plano amostralsubdivide-se ainda em dois outros: Amostragem aleatória simplescom reposição(AASCR) e Amostragem aleatória simples semreposição(AASSR).
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Amostragem sistemática
É realizada quando os elementos da população estão ordenados e aseleção dos elementos da amostra é feita periodicamente ousistematicamente.
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Amostragem estratificada
Esse procedimento consiste em dividir a população emsub-populações (estratos). Estratos são divisões de acordo comalgum critério, por exemplo: sexo, faixa etária, estado civil, assimdentro de cada estrato teremos uma maior homogeneidade. Dessaforma, para uma população com N unidades amostrais e d estratoscom tamanhos N1, . . . ,Nd , tem-se que
∑di=1 Ni = N, portanto
teremos os seguinte coeficiente de proporcionalidade ci = NiN .
Deste modo, para uma amostra de tamanho n devemos selecionaruma AAS de tamanho ni = ci × n de cada estrato.
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Amostragem por conglomerado
Neste procedimento cada unidade amostral é um grupo(conglomerado) de elementos. Conglomerados são partesrepresentativas da população, por exemplo, dividimos um bairro emquarteirões. Assim cada quarteirão é uma unidade amostral. Destemodo, selecionamos uma AAS dos quarteirões para depoisproceder-se o levantamento dos dados de todos os elementos doConglomerado.
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Erros de amostragem
Erro amostral(E). é a diferença entre o resultado amostral eo verdadeiro resultado da população. Tais erros resultam dasflutuações amostrais devidas ao acaso.Erro não amostral. ocorre quando os dados amostrais sãocoletados ou registrados incorretamente. Exemplos de errosnão amostrais: seleção de uma amostra por conveniência, usode um instrumento de medida defeituoso, digitação incorretados dados, etc.
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MédiaProporçãoVariância
Amostra Aleatória
Uma amostra aleatória de tamanho n de uma variável aleatória Xcom função distribuição F , é um vetor X˜ = (X1,X2, . . . ,Xn) emque as componentes Xi são independentes e possuem distribuiçãoF .
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MédiaProporçãoVariância
Estatística
É qualquer função dos elementos X1, . . . ,Xn da amostra X˜ cujadistribuição de probabilidade não depende de parâmetrosdesconhecidos.
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MédiaProporçãoVariância
Distribuição Amostral: Definição
A Distribuição de todos os valores possíveis que podem serassumidos por uma estatística, calculados a partir de amostras demesmo tamanho selecioanadas aleatóriamente de uma mesmapopualção, é chamada de Distribuição Amostral da estatística.
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MédiaProporçãoVariância
Distribuição Amostral: Objetivos
Permitir responder questões probabilisticas sobre estatisticasamostrais;fornecer a teoria necessária para fazer válidos os procedimentosda inferência estatística.
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MédiaProporçãoVariância
Distribuição Amostral da Média: Exemplo 5.3.1-Daniel
Suponha que temos uma população de cinco crianças que sãopacientes em um centro comunitário de saúde mental e a variávelde interesse é a idade delas, assim,
x˜ = (6, 8, 10, 12, 14).
A média populacional é,
µ =6 + 8 + 10 + 12 + 14
5= 10
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MédiaProporçãoVariância
Distribuição Amostral da Média: Exemplo 5.3.1-Daniel
e a variância populacional,
σ2 =(6− 10)2 + (8− 10)2 + · · ·+ (14− 10)2
5= 8
Desejamos obter a distribuição amostral da média, baseadoem amostras de tamanho 2, selecionadas dessa populaçaocom reposição.
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MédiaProporçãoVariância
Distribuição Amostral da Média: Exemplo 5.3.1-Daniel
6 8 10 12 146 (6,6) (6,8) (6,10) (6,12) (6,14)X 6 7 8 9 108 (8,6) (8,8) (8,10) (8,12) (8,14)X 7 8 9 10 1110 (10,6) (10,8) (10,10) (10,12) (10,14)X 8 9 10 11 1112 (12,6) (12,8) (12,10) (12,12) (12,14)X 9 10 11 12 1314 (14,6) (14,8) (14,10) (14,12) (14,14)X 10 11 12 13 14
Table: Todas as posíveis amostras de tamanho 2 da população comreposição Ulisses U. dos Anjos Modelos de Probabilidade e Inferencia Estatística
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MédiaProporçãoVariância
Distribuição Amostral da Média: Amostras com reposição
X 6 7 8 9 10 11 12 13 14Frequência 1 2 3 4 5 4 3 2 1
Freq. Rel(Prob.) 125
225
325
425
525
425
325
225
125
Distribuição Amostral da Média para n=2
6 7 8 9 10 11 12 13 14
01
23
45
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MédiaProporçãoVariância
Distribuição Amostral da Média: Amostras com reposição
Deste modo, tem-se que o valor esperado de X é
E (X ) =14∑
x=6
xP(X = x) = 6× 125
+7× 225
+· · ·+13× 225
+14× 125
= 10
e a variancia de X é
Var(X ) =14∑
x=6
(x − E (X )
)2P(X = x)
= (6− 10)2 × 125
+ · · ·+ (14− 10)2 × 125
= 4.
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MédiaProporçãoVariância
Distribuição Amostral da Média: Amostras com reposição
Agora note queE (X ) = µ
e
Var(X ) = 4 =82
=σ2
nem que n é o tamanho da amostra.
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MédiaProporçãoVariância
Distribuição Amostral da Média: Amostras sem reposição
X 7 8 9 10 11 12 13Frequência 2 2 4 4 4 2 2
Freq. Rel(Prob.) 220
220
420
420
420
220
220
Distribuição Amostral da Média para n=2, sem reposição
7 8 9 10 11 12 13
01
23
4
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MédiaProporçãoVariância
Distribuição Amostral da Média: Amostras sem reposição
Deste modo, tem-se que o valor esperado de X é
E (X ) =13∑
x=7
xP(X = x) = 7× 220
+ · · ·+ 13× 220
= 10
e a variancia de X é
Var(X ) =13∑
x=7
(x − E (X )
)2P(X = x)
= (7− 10)2 × 220
+ · · ·+ (13− 10)2 × 220
= 3.
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Conceitos de ProbabilidadeVariável Aleatória
Conceitos básicos de amostragemDistrbuições AmostraisIntervalo de Confiança
Teste de Hipótese
MédiaProporçãoVariância
Distribuição Amostral da Média: Amostras sem reposição
Agora note queE (X ) = µ
e
Var(X ) = 3 =82× 5− 2
5− 1=σ2
n× N − n
N − 1em que n é o tamanho da amostra e N é o tamanho da populacão.
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MédiaProporçãoVariância
Distribuição Amostral da Média
Seja X1, . . . ,Xn uma amostra aleatória da variável X ∼ N(µ, σ2)então,
X ∼ N(µ;σ2
n
).
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Teorema Central do Limite
Seja Xn, n ≥ 1 uma seqüência de variáveis aleatóriasindependentes e identicamente distribuídas, com média µ evariancia σ2 <∞. Então, para Sn =
∑ni=1 Xn, tem-se
Sn − E (Sn)√Var (Sn)
=Sn − nµσ√n
d−→ N(0, 1)
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Distribuição Amostral da Média
Seja X1, . . . ,Xn uma amostra aleatória da variável X , com média µe variância σ2 <∞. Então pelo Teorema Central do Limite(TCL)segue que a distribuição da média amostral será aproximadamentenormal com média µ e variância σ2
n , isto é,
X a∼ N(µ;σ2
n
).
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Exemplo
Suponha que em uma certa população, o tamanho do crânio é umavariável aleatória com distribuição aproximadamente normal commédia 185,6 mm e desvio padrão 12,7 mm. Qual é a probabilidadeque em uma amostra aleatória de tamanho 10 desta população amédia amostral seja maior que 190 mm?
P(X > 190
)= P
(Z >
190− 185, 612,7√
10
)= P(Z > 1, 1) = 1− Φ(1, 1) = 0, 1357.
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Distribuição Amostral da Diferença de Médias
Sejam X11, . . . ,X1n1 e X21, . . . ,X2n2 amostras das variáveisaleatórias X1 ∼ N(µ1, σ
21) e X2 ∼ N(µ2, σ
22) então,
X 1 − X 2 ∼ N(µ1 − µ2;
σ21
n1+σ2
2n2
);
Se as populações não forem normais então pelo TCL segue que,
X 1 − X 2a∼ N
(µ1 − µ2;
σ21
n1+σ2
2n2
);
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Distribuição Amostral da Diferença de Médias - Exemplo5.4.2-Daniel
Suponha que o tempo médio de visita domiciliar realizado porenfermeiras dos PSF’s, considerando um certo tipo de paciente foiestimado em 45 minutos com um desvio padrão de 15 minutos epara um segundo tipo de paciente o tempo médio de visitadomiciliar foi estimado em 30 minutos com um desvio padrão de 20minutos. Se uma enfermeira visitar aleatoriamente 35 pacientes doprimeiro tipo e 40 do segundo tipo, qual a probabilidade que otempo de visita médio entre os dois grupos de pacientes sejasuperior a 20 minutos?
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Exemplo 5.4.2-Daniel - Solução
Tem-se que,
X 1 − X 2 ∼ N(45− 30;
152
35+
202
40
)Logo,
P(X 1 − X 2 > 20) = P
Z >20− 15√152
35 + 202
40
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Distribuição Amostral da Proporção
Seja uma amostra aleatória (X1, . . . ,Xn) em que Xi ∼ ber(p). Umestimador para o parâmetro p é dado por,
p =X1 + · · ·+ Xn
n.
Logo, do Teorema Central do Limite, segue que, para n grande, pterá distribuição aproximadamente normal com média p e variânciap(1−p)
n .
ObservaçãoA aproximação será boa se n ×min(p, 1− p) > 5.
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Exemplo
Suponha que em uma determinada população de mulheres grávidasno seu terceiro mês, 90% tiveram algum cuidado pré-natal. Se umaamostra aleatória de 200 mulheres dessa população é selecionada,qual a probabilidade que a proporção amostral das mulheres quetiveram algum cuidado pré-natal seja no máximo 0,85?
P(p ≤ 0, 85) = P
Z ≤ 0, 85− 0, 90√0,9×0,1
200
= P(Z ≤ −2, 36)
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Distribuição Amostral da diferença da Proporção
Seja X11, . . . ,X1n1 e X21, . . . ,X2n2 , amostras das variáveisaleatórias X1 ∼ ber(p1) e X2 ∼ ber(p2), os estimadores para osparâmetros p1 e p2 são dados por,
p1 =X11 + · · ·+ X1n1
n1e p2 =
X21 + · · ·+ X2n2
n2.
Logo, do Teorema Central do Limite, segue que, para n grande,p1 − p2 terá distribuição aproximadamente normal com médiaµp1−p2 = p1 − p2 e variância σ2
p1−p2= p1(1−p1)
n1+ p2(1−p2)
n2.
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Distribuição Amostral da Variância
Seja X1, . . . ,Xn uma amostra aleatória da variável X ∼ N(µ, σ2),então,
(n − 1)S2
σ2 ∼ χ2n−1
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MédiaProporçãoVariância
Exemplo
Vinte e quatro animais com deficiencia de vitamina D foram dividosem dois grupos de mesmo tamanho. O grupo 1 foi recebeu umadieta que fornecia vitamina D enquanto que o grupo dois não tinhaem sua dieta vitamina D. Ao final do período do experimento foramdeterminados os níveis de cálcio sérico obtendo os seguintesresultados:
Grupo X (mg/100ml) S1 11,1 1,52 7,8 2.0
Assuma que as populações são normais e as variancias são iguais aσ2 = 2, 56. Verifique se e razoável que as variancias σ2
1 e σ22 sejam
iguais a 2,56.Ulisses U. dos Anjos Modelos de Probabilidade e Inferencia Estatística
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MédiaProporçãoVariância
Exemplo
Visto que,11× Si
σ2i
∼ χ211
então, como s21 = 1, 52 < 2, 56 então
P(S2
1 ≤ 1, 52) = P(χ2
11 ≤11× 1, 52
2, 56
)= P(χ2
11 ≤ 9, 667969) = 0, 4395
e como s22 = 22 > 2, 56 então
P(S2
2 ≥ 22) = P(χ2
11 ≥11× 42, 56
)= P(χ2
11 ≥ 17, 1875) = 0, 1025
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Distribuição Amostral da razão de Variâncias
Sejam X11, . . . ,X1n1 e X21, . . . ,X2n2 amostras das variáveisaleatórias X1 ∼ N(µ1, σ
21) e X2 ∼ N(µ2, σ
22) então,
U =(n1 − 1)S2
1σ2
1∼ χ2
n1−1 e V =(n2 − 1)S2
2σ2
2∼ χ2
n2−1
logo,U
n1−1V
n2−1
=
S21σ2
1
S22σ2
2
∼ Fn1−1,n1−1
Observação
É usual fazer a razão da maior variância sobre a menor, entretantoveremos adiante no exemplo que não faz diferença.
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Exemplo
Vinte e quatro animais com deficiencia de vitamina D foram dividosem dois grupos de mesmo tamanho. O grupo 1 foi recebeu umadieta que fornecia vitamina D enquanto que o grupo dois não tinhaem sua dieta vitamina D. Ao final do período do experimento foramdeterminados os níveis de cálcio sérico obtendo os seguintesresultados:
Grupo X (mg/100ml) S1 11,1 1,52 7,8 2.0
Assuma que as populações são normais. Verifique se é razoável queas variancias sejam iguais?
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Exemplo
Visto que,S2
1σ2
S22σ2
=S2
1S2
2∼ F12−1,12−1
então, como S21 = 1.52 < 22 = S2
2 , isto é, tem-se que
P(F11,11 ≤
1.52
22
)= 0, 1771
ou, suponha agora que S21 = 22 > 1.52 = S2
2 , assim
P(F11,11 ≥
22
1, 52
)= 0, 1771
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Intervalo de Confiança
Um intervalo de confiança é um intervalo de valores utilizado paraestimar o verdadeiro valor de um parâmetro populacional (θ).
DefiniçãoSeja X = (X1, . . . ,Xn) uma amostra aleatória da variável X ∼ F ec1(X) e c2(X) estatísticas tais que,
P(c1(X) < θ < c2(X)) = 1− α, 0 < α < 1
Então o intervalo aleatório(c1(X), c2(X)
)chama-se Intervalo de
Confiança de 100(1− α)% para (θ).
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Intervalo de Confiança
De um modo geral, estamos interessados em encontrar um intervaloda forma
(θ− E ; θ+ E
), em que θ é o estimador de um parâmetro
de interesse θ e E é a margem de erro ou erro de precisão.Todo intervalo de confiança está associado a um nível de confiança100(1− α)% que é a probabilidade de que o intervalo contenha overdadeiro valor do parâmetro, isto é,
P(θ − E < θ < θ + E
)= 1− α, 0 < α < 1
Logo, α será a probabilidade de que o intervalo não contenha overdadeiro valor do parâmetro.
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Intervalo de Confiança
Em cada caso há o interesse de se construir um uma região deestimação ótima, isto é, fixado um nível de confiança, desejamosencontrar um intervalo que tenha a menor amplitude possível.Observando um grande número de amostras de tamanho n e seuscorrespondentes intervalos espera-se que em média uma proporção100(1− α)% desses intervalos contenham o verdadeiro valor doparâmetro.Notação: IC
(θ ; (1− α)%
)=(c1(X) , c2(X)
)
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Intervalo de Confiança para a Média - Caso 1 - Variânciaconhecida
Suposições:1 X = (X1, . . . ,Xn) uma amostra iid(independente e
identicamente distribuída);2 população com distribuição normal com média µ e Variânciaσ2 conhecida; ou uma amostra grande n ≥ 30 com Variânciaσ2 conhecida ou não, aí nesse caso substitui-se σ2 por S2.
Nessas condições, segue que,
X − µσ√n∼ N(0, 1)
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Intervalo de Confiança para a Média - Caso 1 - Variânciaconhecida
Deste modo, a margem de erro é dada por,
E = zα2
σ√n
logo,
IC(µ ; (1− α)%
)=
(X − zα
2
σ√n
; X + zα2
σ√n
)
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MédiaProporçãoVariância
Intervalo de Confiança para a Média - Caso 2 - VariânciaDesconhecida
Suposições:1 X = (X1, . . . ,Xn) uma amostra iid(independente e
identicamente distribuída);2 população com distribuição normal com média µ e Variânciaσ2 desconhecida;
Nessas condições, segue que,
X − µS√n
∼ tn−1
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MédiaProporçãoVariância
Intervalo de Confiança para a Média - Caso 2 - VariânciaDesconhecida
Deste modo, a margem de erro é dada por,
E = t(n−1 , α2 )S√n
logo,
IC(µ ; (1− α)%
)=
(X − t(n−1 , α2 )
S√n
; X + t(n−1 , α2 )S√n
)
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MédiaProporçãoVariância
Intervalo de Confiança para a diferença de Médias - Caso 1 -Variâncias conhecidas
Suposições:1 X1 = (X11, . . . ,X1n1) e X2 = (X21, . . . ,X2n2) amostras
iid(independente e identicamente distribuída) provenientes depopulações independentes;
2 populações com distribuição normal, com médias µ1 e µ2 eVariâncias σ2
1 e σ22 conhecidas; ou amostras grandes n ≥ 30
com Variâncias conhecidas ou não.Nessas condições, segue que,
(X 1 − X 2)− (µ1 − µ2)√σ2
1n1
+σ2
2n2
∼ N (0, 1) ;
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MédiaProporçãoVariância
Intervalo de Confiança para a diferença de Médias - Caso 1 -Variâncias conhecidas
Deste modo, a margem de erro é dada por,
E = zα2
√σ2
1n1
+σ2
2n2
Logo, o intervalo de confiança IC(µ1 − µ2 ; (1− α)%
)é dado por,(X 1 − X 2)− zα
2
√σ2
1n1
+σ2
2n2
, (X 1 − X 2) + zα2
√σ2
1n1
+σ2
2n2
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MédiaProporçãoVariância
Intervalo de Confiança para a diferença de Médias - Caso 2 -Variâncias desconhecidas e iguais
Suposições:1 X1 = (X11, . . . ,X1n1) e X2 = (X21, . . . ,X2n2) amostras
iid(independente e identicamente distribuída) provenientes depopulações independentes;
2 populações com distribuição normal, com médias µ1 e µ2 eVariâncias σ2
1 e σ22 desconhecidas e iguais.
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MédiaProporçãoVariância
Intervalo de Confiança para a diferença de Médias - Caso 2 -Variâncias desconhecidas e iguais
Nessas condições, segue que,
(X 1 − X 2)− (µ1 − µ2)√S2
pn1
+S2
pn2
∼ tn1+n2−2
em que,
S2p =
(n1 − 1)S21 + (n2 − 1)S2
2n1 + n2 − 2
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MédiaProporçãoVariância
Intervalo de Confiança para a diferença de Médias - Caso 2 -Variâncias desconhecidas e iguais
A margem de erro é dada por,
E = tn1+n2−2,α2
√S2
p
n1+
S2p
n2
logo,
IC(µ1 − µ2 ; (1− α)%
)=((X 1 − X 2)− E , (X 1 − X 2) + E
)
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MédiaProporçãoVariância
Intervalo de Confiança para a diferença de Médias - Caso 3 -Variâncias desconhecidas e diferentes
Quando não é possivel concluir que as variancias são iguais então,
(X 1 − X 2)− (µ1 − µ2)√S2
1n1
+S2
2n2
não tem distribuição tn1+n2−2. A solução proposta por Cochranconsiste em calcular,
t′α2
=w1tn1−1,α2
+ w2tn2−1,α2w1 + w2
em que wi =S2
ini.
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MédiaProporçãoVariância
Intervalo de Confiança para a diferença de Médias - Caso 3 -Variâncias desconhecidas e diferentes
Deste modo, a margem de erro é dada por,
E = t′α2
√S2
1n1
+S2
2n2
Assim, o intervalo de confiança IC(µ1 − µ2 ; (1− α)%
)é dado por,(X 1 − X 2)− t
′α2
√S2
1n1
+S2
2n2
, (X 1 − X 2) + t′α2
√S2
1n1
+S2
2n2
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MédiaProporçãoVariância
Intervalo de Confiança para a Proporção
Seja uma amostra aleatória (X1, . . . ,Xn) de Xi ∼ ber(p). Então,pelo TCL segue que a margem de erro aproximada é dada por,
E = zα2
√p(1− p)
n
Logo,
IC(p ; (1− α)%
)=
(p − zα
2
√p(1− p)
n; p + zα
2
√p(1− p)
n
)
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MédiaProporçãoVariância
Intervalo de Confiança para a diferença de Proporções
Seja X11, . . . ,X1n1 e X21, . . . ,X2n2 , amostras das variáveisaleatórias X1 ∼ ber(p1) e X2 ∼ ber(p2), então pelo TeoremaCentral do Limite, segue que, para n grande, a margem de erroaproximada é dada por,
E = zα2
√p1(1− p1)
n1+
p2(1− p2)
n2
logo,
IC(p1 − p2 ; (1− α)%
)= ((p1 − p2)− E ; (p1 − p2) + E )
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MédiaProporçãoVariância
Intervalo de Confiança para a Variância
Suposições: Suposições:1 X = (X1, . . . ,Xn) uma amostra iid(independente e
identicamente distribuída);2 população com distribuição normal com média µ e Variânciaσ2.
Nessas condições segue que,
(n − 1)S2
σ2 ∼ χ2n−1
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MédiaProporçãoVariância
Intervalo de Confiança para a Variância
Logo,
χ2n−1,α2
<(n − 1)S2
σ2 < χ2n−1,1−α
2
portanto,(n − 1)S2
χ2n−1,α2
> σ2 >(n − 1)S2
χ2n−1,1−α
2
Assim, um IC(σ2 ; (1− α)
)é dado por,(
(n − 1)S2
χ2n−1,1−α
2
,(n − 1)S2
χ2n−1,α2
)
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MédiaProporçãoVariância
Intervalo de Confiança para a razão de Variâncias
Suposições:1 X1 = (X11, . . . ,X1n1) e X2 = (X21, . . . ,X2n2) amostras
iid(independente e identicamente distribuída) provenientes depopulações independentes;
2 populações com distribuição normal, com médias µ1 e µ2 eVariâncias σ2
1 e σ22.
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MédiaProporçãoVariância
Intervalo de Confiança para a razão de Variâncias
Nessas condições, segue que,
S21σ2
1
S22σ2
2
∼ Fn1−1,n1−1
logo,
IC(σ2
1σ2
2; (1− α)
)=
S21
S22
Fn1−1,n2−1,1−α2
,
S21
S22
Fn1−1,n2−1,α2
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Teste de Hipótese
Visão GeralComponentes de um Teste de HipóteseTeste para MédiaTeste para VariânciaTeste para Proporção
Motivação
Um Jornal na Cidade St. Paul, Mineápolis, o Star Tribunepatrocinou uma pesquisa destinada a revelar as opiniões sobre o usode câmeras fotográficas para flagrar os motoristas que passam osinal vermelho e depois são notificados pelo correio sobre a infraçãocometida. Os pesquisadores entrevistaram 829 adultos deMinnesota, e verificaram que 51% se opunham à essa novalegislação que aprovará o uso dessas câmeras.Baseado nessas informações, podemos concluir que há evidênciaamostral suficiente para apoiar a afirmativa que a maioria de todosos adultos de Minnesota, isto é, p > 0, 5 são contra a novalegislação?
Ulisses U. dos Anjos Modelos de Probabilidade e Inferencia Estatística
Objetivos e BibliografiaIntrodução
Conceitos de ProbabilidadeVariável Aleatória
Conceitos básicos de amostragemDistrbuições AmostraisIntervalo de Confiança
Teste de Hipótese
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Visão Geral
O objetivo de um teste de hipótese é fornecer umametodologia(procedimento) que nos permita verificar se os dadosamostrais trazem evidências que apóiem ou não uma hipóteseestatística formulada. Assim sendo, a formulação de um teste dehipótese estatístico inicia-se com a afirmação de uma hipóteseestatística.
Definição (Hipótese Estatística)
É usualmente uma conjectura a respeito de um parâmetropopulacional.
Para cada situação existem dois tipos de hipótese estatística: ahipótese nula denotada por H0 e a hipótese alternativa denotadapor H1
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Teste de Hipótese
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Regra do evento raro
Se sob uma dada suposição, a probabilidade de um evento observadofor excepcionalmente pequena, concluímos que a suposição provavel-mente não é verdadeira.
Guiados por esta regra, iremos por a prova as hipóteses estatisticasformuladas e decidir se os dados amostrais podem facilmenteocorrer por acaso ou são altamente improváveis de ocorrer poracaso.
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Teste de Hipótese
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Teste Paramétrico ou Teste Não Paramétrico
Teste Paramétrico: Exige suposições sobre a distribuição deprobabilidade das variáveis de interesse.Teste Não Paramétrico: Não exige suposições sobre adistribuição de probabilidade das variáveis de interesse. Por estemotivo são em geral chamados de testes livres de distribuição.Principal vantagem do teste Não Paramétrico: Podem seraplicados a uma maior variedade de situações, pois possuemsuposições mais fracas que os testes Paramétricos;Principal desvantagem do teste Não Paramétrico: São menoseficientes que os testes Paramétricos, pois para uma dada situaçãoem que as suposições do teste Paramétrico são satisfeitas, um testeNão Paramétrico equivalente precisaria de uma amostra maior parater um erro tipo I e tipo II equivalentes ao do método Paramétrico.
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Teste de Hipótese
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Hipótese Nula e Alternativa
Hipótese Média Proporção VariânciaNula(H0) µ1 = µ2 p1 = p2 σ2
1 = σ22
Alternativa(H1) µ1 6= µ2 p1 6= p2 σ21 6= σ2
2
Nula(H0) µ1 ≤ µ2 p1 ≤ p2 σ21 ≤ σ2
2Alternativa(H1) µ1 > µ2 p1 > p2 σ2
1 > σ21
Nula(H0) µ1 ≥ µ2 p1 ≥ p2 σ21 ≥ σ2
2Alternativa(H1) µ1 < µ2 p1 < p2 σ2
1 < σ21
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Teste de Hipótese
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Resultados em um Teste de Hipótese
Em um teste de hipótese, existem apenas quatro resultadospossíveis:
H0 é verdadeira H0 é falsaRejeitar H0 Erro tipo I Decisão corretaNão Rejeitar H0 Decisão correta Erro tipo II
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Teste de Hipótese
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Estatística do Teste
É um valor calculado a partir dos dados amostrais e é usada para setomar a decisão sobre a rejeição da hipótese nula.Note que como seu valor depende da amostra, então pode-seconcluir que ela é uma variável aleatória, logo possui distribuição deprobabilidade.Será essa distribuição de probabilidade que utilizaremos para tomara decisão de rejeitar ou não a hipótese H0.
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Teste de Hipótese
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Nível de significância e Beta do Teste
Nível de significância: É a probabilidade de se cometer o errotipo I, é denotado por α, isto é,
P(Erro tipo I) = α = P(Rejeitar H0|H0 é verdadeira).
Beta do Teste: É a probabilidade de não rejeitar H0 quando ela éfalsa, isto é,
β = P(Erro tipo II) = P(Não Rejeitar H0|H0 é falsa)
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Poder do teste e p-valor
Poder do teste: É a probabilidade de rejeitar H0 quando ela éfalsa, esta probabilidade é o complentar da probabilidade de secometer o erro tipo II, isto é,
Poder do Teste = 1− P(Não Rejeitar H0|H0 é falsa)
= P(Rejeitar H0|H0 é falsa).
Nível descritivo ou p-valor do teste: É a probabilidade deocorrer valores da Estatística do teste, mais extremos que o valorobservado, sob a hipótese que H0 é verdadeira.
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Cálculo do p-valor
Seja X = (X1, . . . ,Xn) uma amostra aleatória de tamanho n, T (X)uma estatística que possui uma distribuição de probabilidade P eT (x) o valor da estatística dado os valores observadosx = (x1, . . . , xn. Uma maneira prática de se determinar o eventoque se deseja calcular, para o caso de duas amostras, é o seguinte:Seja θ1 e θ2 os estimadores dos parâmetros θ1 e θ2, então:
1 Se θ1 > θ2 tem-se que
p-valor = P(T (X) > T (x)
∣∣∣H0 é verdadeira)
;
2 Se θ1 < θ2 tem-se que
p-valor = P(T (X) < T (x)
∣∣∣H0 é verdadeira)
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Cálculo do p-valor - Exemplo
Exemplo 1: Considere que T (X) ∼ N(0, 1), θ1 < θ2 eT (x) = −1, 25 então da tabela da distribuição Normal tem-se que:
p-valor = P(T (X) < −1, 25
)= 0, 1056;
Exemplo 2: Considere que T (X) ∼ t11, θ1 > θ2 e T (x) = 1, 363então da tabela da distribuição t tem-se que:
p-valor = P(T (X) > 1, 363
)= 0, 10;
Exemplo 3: Considere que T (X) ∼ F7, 10, θ1 > θ2 eT (x) = 3, 9498 então da tabela da distribuição F tem-se que:
p-valor = P(T (X) > 3, 9498
)= 0, 025.
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Região Crítica para Estatística com distribuição Normal
É o conjunto de valores da Estatística do teste para o qual ahipótese deve ser rejeitada, também chamada de região de rejeição.A região crítica dependerá da hipótese alternativa e da distribuiçãode probabilidade de cada Estatística.
Distribuição de probabilidade da Estatística: Z ∼ N(0, 1)
Hipótese Região CríticaH1 : θ1 6= θ2
(−∞,−zα
2
]∪[zα
2,∞)
H1 : θ1 > θ2 [zα,∞)H1 : θ1 < θ2 (−∞,−zα]
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Região Crítica para Estatística com distribuição t
Distribuição de probabilidade da Estatística: T ∼ tν
Hipótese Região CríticaH1 : θ1 6= θ2
(−∞,−tν,α2
]∪[tν,α2 ,∞
)H1 : θ1 > θ2 [tν,α,∞)H1 : θ1 < θ2 (−∞,−tν,α]
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Região Crítica para Estatística com distribuição χ2
Distribuição de probabilidade da Estatística: χ2 ∼ χ2ν
Hipótese Região CríticaH1 : θ1 6= θ2
(0, χ2
ν,α2
]∪[χ2ν,α2
,∞)
H1 : θ1 > θ2[χ2ν,α,∞
)H1 : θ1 < θ2
(0, χ2
ν,α
]
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Região Crítica para Estatística com distribuição F
Distribuição de probabilidade da Estatística: F ∼ Fν1,ν2
Hipótese Região CríticaH1 : θ1 6= θ2
(0,Fν1,ν2,α2
]∪[Fν1,ν2,α2 ,∞
)H1 : θ1 > θ2 [Fν1,ν2,α,∞)H1 : θ1 < θ2 (0,Fν1,ν2,α]
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Critério de Decisão
Seja X = (X1, . . . ,Xn) uma amostra aleatória de tamanho n eT (X) uma estatística, então o critério de decisão é:
1 Utilizando a Região Crítica: Se T (X) ∈ RC rejeita-se ahipótese H0, caso contrário não rejeita-se a hipótese H0;
2 Utilizando p-valor: Se p-valor≤ α rejeita-se a hipótese H0,caso contrário não rejeita-se a hipótese H0. Esta é a regra doevento raro.
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Comparação de Médias - Duas populações independentes
Estatística do Teste:
Estatística: Z =X 1 − X 2√σ2
1n1
+σ2
2n2
∼ N(0, 1)
Suposição: Populações Normais e Variâncias Conhecidas
Estatística: Z =X 1 − X 2√
S21
n1+
S22
n2
∼ N(0, 1)
Suposição: Amostras Maiores que 30
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Exemplo
Considere os seguintes resultados, referentes a duas amostrasaleatórias independentes, de populações com distribuição Normal:
Amostra 1 Amostra 2n1 = 8 n2 = 7
X 1 = 104 X 2 = 106σ1 = 8, 4 σ2 = 7, 6
Qual o valor da Estatística do Teste? E o p-valor?
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Teste de Hipótese
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Exemplo
Considere os seguintes resultados, referentes a duas amostrasaleatórias independentes, de populações com distribuiçãodesconhecida:
Amostra 1 Amostra 2n1 = 80 n2 = 70X 1 = 104 X 2 = 106S1 = 8, 4 S2 = 7, 6
Qual o valor da Estatística do Teste?
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Teste de Hipótese
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Componentes de um Teste de Hipótese: Estatística do TesteComparação de Médias - Duas populações independentes
Estatística: T =X 1 − X 2√
S2p
n1+
S2p
n2
∼ tn1+n2−2
em que,
S2p =
(n1 − 1)S21 + (n2 − 1)S2
2n1 + n2 − 2
Suposição: Populações Normais e Variâncias Desconhecidas eiguais
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Teste de Hipótese para comparação de Médias
Considere os seguintes resultados, referentes a duas amostrasaleatórias independentes, de populações com distribuição Normal evariâncias desconhecidas e iguais:
Amostra 1 Amostra 2n1 = 8 n2 = 7
X 1 = 104 X 2 = 106S1 = 8, 4 S2 = 7, 6
Qual o valor da Estatística do Teste?
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Comparação de Médias - Duas populações independentes
Estatística: T′
=X 1 − X 2√
S21
n1+
S22
n2
Distribuição Desconhecida
Suposição: Populações Normais e Variâncias Desconhecidas ediferentesO problema dessa estatística é o desconhecimento de suadistribuição. Várias metodologias foram propostas para sedeterminar o p-valor e os quantis dessa estatística.
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Comparação de Médias - Duas populações independentes
Cochran and Cox (1957) propôs uma metodologia para calcularaproximadamente o valor crítico da estatística,
t′α =
tn1−1,αS2
1n1
+ tn2−1,αS2
2n2
S21
n1+
S22
n2
(2)
Note que desta maneira o valor crítico é uma valor entre tn1−1,α etn2−1,α. A maneira mais simples de se determinar o p-valor e osquantis dessa estatística é assumir que T
′ ∼ tmin(n1−1, n2−1), isto é,considerar a pior situação. Nessas condições a hipótese H0precisará de mais evidencias para ser rejeitada que a condiçãoproposta por Cochran and Cox (1957).
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Teste de Hipótese para comparação de Médias
Considere os seguintes resultados, referentes a duas amostrasaleatórias independentes, de populações com distribuição Normal evariâncias desconhecidas e diferentes:
Amostra 1 Amostra 2n1 = 8 n2 = 7
X 1 = 104 X 2 = 106S1 = 8, 4 S2 = 7, 6
Qual o valor da Estatística do Teste?
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Comparação de Médias - Duas populações dependentes
Este teste é conhecido também como teste para amostrasemparelhadas.
Estatística: T =DSD√
n
∼ tn−1
em que,
Di = X1i − X2i ; D =
∑ni=1 Di
ne S2
D =
∑ni=1(Di − D)2
n − 1
Suposição: Populações normais. Se essa suposição não forverdadeira, mas a amostra for maior que 30 então a estatística seráa Z ∼ N(0, 1).
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Teste de Hipótese para comparação de Médias
Considere os seguintes resultados, referentes a duas amostrasaleatórias emparelhadas, de populações com distribuição Normal:
Amostra 1 Amostra 2 Di = X1i − X2i6,0 5,4 0,605,0 5,2 -0,207,0 6,5 0,506,2 5,9 0,306,0 6,0 0,006,4 5,8 0,60
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Teste de Hipótese para comparação de Médias
Assim, calculando as estimativas dos parâmetros,
D =0, 60 + (−0, 20) + . . .+ 0, 60
6=
1, 86
= 0, 30
S2D =
(0, 60− 0, 30)2 + . . .+ (0, 60− 0, 30)2
5− 1=
0, 565
= 0, 112
logo, SD =√0, 112 = 0, 335
Qual o valor da Estatística do Teste?
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Componentes de um Teste de Hipótese: Estatística do TesteComparação de Variâncias - Duas populações independentes
Suposição: Populações normais.
Estatística: F =S2
1S2
2∼ Fn1−1,n2−1
ExemploConsidere as seguintes informações: n1 = 8, n2 = 7, S1 = 8, 4 eS2 = 7, 6. Sendo assim, a estatística do teste é dada por,
F =8, 47, 6≈ 1, 11
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Comparação de proporções - Duas populações independentes
Suposição: Amostras grandes. Nesse caso,
n1 × p1(1− p1) ≥ 5 e n2 × p2(1− p2) ≥ 5
Como p1 e p2 não são conhecidos utilizar suas estimativas p1 e p2.
Estatística: Z =p1 − p2√
p(1−p)n1
+ p(1−p)n2
∼ N(0, 1)
em que,
p1 =x1
n1, p1 =
x2
n2e p =
x1 + x2
n1 + n2
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Comparação de proporções - Duas populações independentes
Considere os seguintes resultados, referentes a duas amostrasaleatórias: Deseja-se testar a hipótese que motoristas negros sãoparados pela polícia em proporção maior que motoristas brancos.Assim, realizou-se um experimento em que 1.600 motoristas foramselecionados, 200 negros e 1400 brancos, as seguintes informaçõesforam coletadas:
n1 = 200, x1 = 24; n2 = 1400, x2 = 147
Qual o valor da Estatística do Teste?
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