modelos dinÁmicos, moelos no lineales, … · distinguirse de las otras ecuaciones del modelo o de...

y x x x ut t t k kt t= + + + +β β β1 1 2 2 ....

y X ut t t= +β

CAPITULO IV

MODELOS MULTIECUACIONALES

1. INTRODUCCIÓN

En el modelo básico de regresión y para cualquier punto muestral t tenemos:

expresándolo en matrices nos da:

donde,escalar del valor de la variable endógena en el punto t. yt ⇒vector fila 1 x K de los valores de todas las exógenas en el puntoXt ⇒t.

vector columna K x 1 de parámetros del modelo.β ⇒u escalar de la variable aleatoria en el punto t.⇒

Para el conjunto de todos los valores muestrales ( t = 1, 2, ..., T), lacorrespondiente expresión matricial, es:

siendo,Y vector columna T x 1 de valores de la endógena.⇒X matriz T x K de valores de las exógenas. ⇒

vector columna K x 1 de parámetros del modelo.β ⇒U vector columna T x 1 de las perturbaciones aleatorias.⇒

En el contexto de un modelo multiecuacional con g variables endógenas y kexógenas (o predeterminadas), una ecuación cualquiera que incluyese todas las variablesy en la que la endógena cuyo comportamiento quisiésemos explicar fuera (ecuaciónh-ésima) adopta la siguiente expresión:

considerando nulo el coeficiente de en el segundo miembro, es decir, .

En forma matricial resulta:

108

donde,vector fila de los valores de todas las endógenas en el punto t. ⇒vector columna de los valores de los parámetros de las variables⇒endógenas del modelo.vector fila de los valores de todas las exógenas en el punto t.⇒vector columna de los parámetros de las variables exógenas del⇒modelo.

Para el conjunto de todos los valores muestrales ( t=1,2,...,T), puede expresarsela misma ecuación matricialmente de la siguiente forma:

siendo,vector columna de todos los valores muestrales de la variable⇒endógena h.

Y matriz de todos los valores muestrales de las variables endógenas⇒del modelo, excepto la variable h.

vector columna de los valores de los parámetros de las variables⇒endógenas del modelo.

X matriz de todos los valores muestrales de las exógenas del modelo.⇒vector columna de los parámetros de las variables exógenas del⇒modelo.

vector columna de las perturbaciones aleatorias.⇒

Para el modelo en su conjunto, referido a todos los valores muestrales, laexpresión matricial será:

que viene a ser la FORMA ESTRUCTURAL del modelo, pasamos al primermiembro y nos queda:

sacamos factor común Y por la derecha, tenemos:

despejándose las g endógenas del sistema de g ecuaciones, da:

109

viene a ser la FORMA REDUCIDA del modelo.

1.1. TIPOS DE MODELOS MULTIECUACIONALES

Los modelos multiecuacionales se clasifican:

1º Modelos Recursivos (o en cadena causal (Wold) o recurrente)

Cada variable endógena depende, además de las variables predeterminadasespecíficas de cada ecuación, de otras endógenas, pero sin que existan relacionesrecíprocas de causalidad; así:

o sea, influye sobre , pero no se da la relación de causalidad inversa, de sobre . Es adecuado el procedimiento de estimación de los mínimos cuadradosordinarios, porque los términos de error de las ecuaciones están incorrelacionadasentre sí.

2º Modelos Bloque Recursivo o Bloque Recurrente

Las ecuaciones pueden repartirse en grupos tales que entre ellas surelación es de carácter recursivo; ejemplo:

la tercera ecuación (un bloque) determina a partir de y (otro bloque),sobre las que no influye, aunque éstas si lo hagan simultáneamente entre sí. Si elprimer bloque está identificado, estas ecuaciones pueden estimarse utilizando latécnica de los mínimos cuadrados en dos etapas y para el segundo bloque espreciso utilizar el procedimiento de los mínimos cuadrados ordinarios.

3º Modelos interdependientes o de ecuaciones simultáneas

Existen relaciones causales múltiples entre todas las variables endógenasdel sistema. Ejemplo:

110

La simultaneidad de ecuaciones no permite un tratamiento aislado de cadauna de las ecuaciones. En este caso, que existe correlación entre los términos deerror de varias ecuaciones, es conveniente proceder a una estimación conjunta deparámetros. El método adecuado de estimación depende de la identificación decada ecuación del modelo.

4º Modelos de ecuaciones aparentemente no relacionadas

Se trata típicamente de ecuaciones similares referidas a diversas partes deun total (por ejemplo, tasas de actividad por grupos de sexo y edad, demanda dediferentes productos, etc.), que impide una independencia total entre lasperturbaciones de cada ecuación y las de las restantes del sistema. Ejemplo:

Los modelos de ecuaciones aparentemente no relacionadas (Seeminglyunrelated equations) presentan correlación entre los términos de error de lasecuaciones del modelo; por lo tanto, el método adecuado de estimación esmínimos cuadrados trietápicos.

Si las perturbaciones de cada ecuación no están relacionadas entre sí (estánincorrelacionadas) no existirá, evidentemente, ninguna relación entre las tresecuaciones; entonces la estimación minimocuadrática ordinaria es perfectamenteapropiada.

2. ESPECIFICACIÓN DE UN MODELO MULTIECUACIONAL

En el proceso de construcción de un modelo multiecuacional es convenienterealizar un diagrama causal, esto es, un grafo en el que mediante flechas se indicancuáles son las variables causa y cuáles las efecto o explicadas (endógenas). Lasperturbaciones aleatorias son variables latentes o no observables, de naturaleza aleatoria,que influyen sobre las variables endógenas y que se representan dentro de un círculopara indicar que no son medibles directamente. Las interrelaciones entre las variablespredeterminadas, o entre las perturbaciones aleatorias se representan mediante líneas queunen las variables relacionadas.

Las variables endógenas son aquellas a las que apunta alguna flecha en undiagrama causal, y las predeterminadas son aquellas variables medibles de las que partealguna flecha pero a las que no apunta ninguna.

El modelo se formula a partir del diagrama causal, y, si las relaciones son lineales,

111

( )r I g− =Γ

Y Y X U= + +Γ Β

( )E uh = 0

( )Var u Ih h T= σ 2

( )u N Ih h T∈ 0 2,σ h = 1,2,...,g

( )Var ut = ∑ t = 1,2,...,T

resulta la forma estructural, así:

Antes de proceder a la estimación de los parámetros estructurales, es necesariopresuponer que se cumplen una serie de hipótesis a priori o unas condiciones por partedel modelo para que sean válidas las distintas técnicas estadísticas de estimación y decontrastes diagnósticos. Las hipótesis a priori sobre cada ecuación son idénticas a las quese formulan sobre los elementos de un modelo uniecuacional y las hipótesis sobre elmodelo en su conjunto, se refieren a la compatibilidad del sistema y a las relaciones entrelas perturbaciones aleatorias de distintas ecuaciones.

1º Hipótesis sobre las variables predeterminadas,

C Las variables exógenas no son variables aleatorias y están medidassin error.

C No existe multicolinealidad entre éstas.

2º Hipótesis sobre los parámetros estructurales,

C Los parámetros estructurales son constantes para todas lasobservaciones.

C Las ecuaciones del modelo son compatibles entre sí, o sea esposible hallar la forma reducida a partir de la estructural, lo queexige que:

3º Hipótesis sobre las perturbaciones aleatorias,

C Para cada ecuación, las perturbaciones deben ser centradas:

de varianza constante y sin autocorrelación:

y su distribución debe ser Normal, es decir:

C Entre las perturbaciones de la misma observación t-ésima pero de

las g ecuaciones pueden existir relaciones, pero éstas debenmantenerse constantes en todas las observaciones. La matriz decovarianzas:

112

σh2 h = 1,2,...,g

no depende de t y es de dimensión g x g; su diagonal principal estáformada por las varianzas:

de las perturbaciones de cada ecuación. Esta hipótesis se denominade homocedasticidad entre ecuaciones.

4º Hipótesis sobre la identificabilidad del modelo,

Para poder estimar las distintas ecuaciones es necesario imponer algunasrestricciones sobre las matrices de parámetros estructurales y . Estasα βrestricciones se denominan condiciones de identificabilidad, y se deben cumplirpara que los parámetros sean estimables a partir de los datos e interpretableseconómicamente.

Pueden existir en el modelo ecuaciones de definición (identidades), éstasse consideran eliminadas, por sustitución, a efectos metodológicos.

Sólo en el caso de los modelos recursivos, la matriz será diagonalindicando precisamente la ausencia de autocorrelación entre los términos de errorde ecuaciones diferentes; también se caracterizan por tener una matriz triangular indicativa de las relaciones en cadena causal.

2.1. IDENTIFICACIÓN

La identificación constituye un paso previo a la estimación del modelo.

El modelo visto antes, sólo tiene su verdadero sentido si unas ecuaciones puedenmatemáticamente distinguirse de las otras o, en términos econométricos, si todas lasecuaciones son identificables.

2.1.1. INTUITIVO

Tenemos el Modelo de Mercado, donde cada una de sus ecuaciones son funciónlineal del precio, es decir:

Vemos que con T pares de valores de las cantidades y precios a que se hace cadatransacción en el mercado , no es posible determinar ninguna de las dosecuaciones, ya que sólo se dispone de una nube de puntos que pueden corresponder a unpunto de equilibrio de oferta y demanda, con las desviaciones producidas por los efectos

113

de las perturbaciones aleatorias y .

Un ajuste estadístico a dicha nube de puntos nos proporciona una estimaciónúnica de una función que es una combinación lineal de las dos anteriores y que carecede toda significación económica.

En general, una ecuación de un modelo no es identificable si no puededistinguirse de las otras ecuaciones del modelo o de cualquier combinación lineal de lasmismas. En el ejemplo planteado, la función demanda y la función oferta no sedistinguen, por lo tanto, no están identificadas.

La inclusión de una variable exógena en una sola de las dos ecuaciones delmodelo permite identificar a una de las ecuaciones (aquella que la excluye).

Ejemplo:

Añadimos la variable renta o ingreso ( I ) en la función demanda.

Disponemos de una nube de puntos dispuesta aleatoriamente alrededor dediferentes puntos de equilibrio obtenidos para los distintos niveles de renta diferenciadas,lo que permite identificar la función de oferta. En términos econométricos, tal situaciónse califica de exactamente identificada y el modelo está no identificado porque lafunción demanda no está identificada.

Si añadiésemos ahora una nueva variable exógena a la segunda ecuación,tendríamos para resolver exactamente el sistema de relaciones entre ambos tipos deparámetros; es decir, se identifica la función demanda. En términos econométricos, talsituación se califica de exactamente identificada y el modelo esta exactamenteidentificado porque la función oferta sigue estando exactamente identificada por nohaber cambiado.

Si aún seguimos añadiendo nuevas variables exógenas diferentes en ambasecuaciones, iríamos disponiendo de nuevos motivos de " identificación ", nuevos signosde identidad, en forma tal que en el sistema de relaciones entre parámetros habría másecuaciones que incógnitas. En términos econométricos, tales situaciones se califican desobreidentificada, referidas bien al modelo en su conjunto, bien a cada una de susecuaciones.

Podemos adelantar que en la práctica econométrica:

1º Sólo en modelos muy reducidos (Ej. dos ecuaciones) pueden darse situacionesreales de no identificación, y ésta puede resolverse no limitándose a una relación

114

entre tan sólo las variables endógenas. Basta en todas estas situaciones con añadirnuevas variables exógenas o endógenas desplazadas, diferentes para cadaecuación, para eliminar la falta de identificación.

2º En modelos con un número relativamente elevado de ecuaciones, la situación reales prácticamente siempre de sobreidentificación, ya que unas ecuaciones sediferencian de otras por la exclusión de un gran número de variables distintas. Noobstante, el problema planteado es importante desarrollarlo en todas susimplicaciones teóricas, ya que tiene decisivas incidencias en la elección de losmétodos de estimación a utilizar en los modelos de ecuaciones simultáneas.

2.1.2. MEDIANTE LA CORRESPONDENCIA DE PARÁMETROS ENTRE LA FORMAESTRUCTURAL Y LA FORMA REDUCIDA

El problema de si podemos determinar las ecuaciones estructurales, siendoconocida la forma reducida, recibe el nombre de problema de identificación.

Pero, hay que decir que el conocimiento de los parámetros estructurales no esabsolutamente necesario cuando el propósito primordial es la predicción, porque esposible obtener pronósticos directamente a partir de las ecuaciones de la forma reducida.

Diremos:

1º Que una ecuación está no identificada si no hay forma de estimar todos losparámetros estructurales a partir de la forma reducida.

2º Una ecuación está identificada si es posible obtener valores para los parámetrosa partir del sistema de ecuaciones de la forma reducida

El procedimiento consiste: en primer lugar, obtener la forma reducida del modelo:

donde,

resulta un sistema de ecuaciones con G x K ecuaciones y G x (G+K) incógnitas. Ensegundo lugar hay que resolver este sistema de ecuaciones.

EJEMPLO : Se tiene el siguiente modelo de mercado:

115

matricialmente es:

despejando las variables endógenas, se tiene:

calculando la inversa, nos da:

efectuando las operaciones, tenemos la forma reducida del modelo:

o, expresada así:

resolviendo las relaciones entre los parámetros estructurales y los parámetros de la formareducida, se obtiene:

116

Para encontrar los dos parámetros que faltan se tiene que resolver el siguientesistema de dos ecuaciones:

matricialmente se expresa:

despejando las incógnitas:

resolviendo tenemos:

simplificando:

se obtiene los dos últimos parámetros, a saber:

117

La demanda y la oferta están exactamente identificada porque solamente se haobtenido un solo valor para sus coeficientes estructurales; por lo tanto, el modelo de

mercado está exactamente identificado.

2.1.3. SEGÚN LAS RESTRICCIONES SOBRE LOS PARÁMETROS ESTRUCTURALESDE LA ECUACIÓN

Partiendo de la forma estructural del modelo:

dejamos solamente en el segundo miembro las perturbaciones:

se puede reescribir:

donde,A matriz de (G+K) x G de todos lo coeficientes estructurales.⇒Z vector de 1 x (G+K) de observaciones de todas las variables.⇒

La i - ésima ecuación se puede escribir como:

donde es la i - ésima columna de A.

Generalmente, la teoría económica impone restricciones sobre los elementos de , esto se expresa:

donde es la matriz de restricciones de la primera ecuación; siendo el orden de lamatriz de R x ( G + K ) y R es el número de restricciones de la ecuación.

118

También habrá restricciones sobre que surjan a partir de las relaciones entrelos coeficientes estructurales y los coeficientes de la forma reducida, esta relación seexpresa:

post-multiplicando la ecuación por , nos queda:

matricialmente sería:

se reescribe:

donde,A matriz de (G+K) x G de todos lo coeficientes estructurales.⇒W matriz de K x (G+K) de observaciones de todas las⇒

variables.

La i - ésima ecuación se puede escribir como:

donde es la columna i de la matriz A.

Combinando las restricciones de la i - ésima ecuación ( 3 ) con la i - ésimaecuación de la relación ( 4 ), se obtiene:

donde, vector de (G+K) x 1 de todos lo coeficientes estructurales de la⇒

primera ecuación.

matriz de (K+R) x (G+K) de todos los coeficientes de la forma⇒

reducida y de las restricciones de la primera ecuación.

Si es conocida entonces la matriz es conocida; luego, tenemos un sistema

de ecuaciones con K+R ecuaciones y G+K incógnitas. Por lo tanto, para la identificación

119

1 La mormalización consiste en simplificar el modelo expresando el coeficiente de la variable endógenadependiente con el valor de uno.

de la primera ecuación se requiere que el rango de la matriz sea G+K-1. Es decir:

esto es suficiente para determinar los coeficientes de la primera ecuación de forma única,porque ésta está normalizada1.

La dificultad es que se requiere la construcción de la matriz , que incluso paramodelos pequeños es complicada. Entonces es necesario tener una condición equivalenteen términos de los coeficientes estructurales, así:

1º Como tiene K+R filas, una condición necesaria para que se cumpla es:

simplificando:

"El número de restricciones a priori no debe ser menor que el número deecuaciones del modelo menos uno".

S i solamente se tiene restricciones de exclusión, entonces las restricciones son:

donde,R número de restricciones de la ecuación.⇒G número de variables endógenas corrientes del modelo.⇒g número de variables endógenas corrientes incluidas en la⇒

ecuación.K número de variables exógenas y endógenas rezagadas del⇒

modelo.k número de variables exógenas y endógenas rezagadas⇒

incluidas en la ecuación.

Reemplazando en la condición necesaria y reordenando, y la condiciónnecesaria se transforma:

120

"El número de variables excluidas de la ecuación debe ser como mínimo tangrande como el número de ecuaciones del modelo menos uno".

Simplificando G en ambos lados de la desigualdad, nos queda:

"El número de variables predeterminadas (exógenas y endógenas rezagadas)excluidas de la ecuación debe ser como mínimo tan grande como el número devariables endógenas incluidas menos 1".

A la condición necesaria se le conoce como condición de orden para laidentificabilidad. Con frecuencia, para modelos grandes esta es la únicacondición que se aplica, puesto que la aplicación de la de rango se hace difícil,si no es imposible.

2º La condición de rango o condición suficiente se puede establecer como:

Cuando las restricciones son todas del tipo de exclusión, la i - ésimacolumna de es un vector de ceros y las restantes G - 1 columnas constande los coeficientes de las otras ecuaciones estructurales de las variables que noaparecen en la primera ecuación.

Si la condición de orden da igualdad y la condición de rango se cumple(existe una sola submatriz cuadrada de orden G - 1), entonces la primera ecuaciónesta exactamente identificada.

Si la condición de orden es R > G - 1 y la condición de rango se cumple(hay más de una submatriz cuadrada de orden G - 1), entonces la primeraecuación esta sobreidentificada.

Si la condición de orden es R > G - 1 y la condición de rango no se cumple(no existe ninguna submatriz cuadrada de orden G - 1), entonces la primeraecuación no esta identificada.

Si la condición de orden es R < G - 1 no se cumple (no existe ningunasubmatriz cuadrada de orden G - 1), entonces la primera ecuación no estaidentificada.

EJEMPLO:

1º RESTRICCIONES DE EXCLUSIÓN

Significa que ciertas variables no aparecen en determinadas

121

ecuaciones. Replantemos el modelo de mercado de la siguiente forma:

Despejando las perturbaciones del modelo y expresandolomatricialmente, nos da:

en forma general, es:

sujeto a las restricciones siguientes:

La identificación se realiza ecuación por ecuación, en este modelose tiene dos variables endógenas (Q y P), tres variables exógenas (1, I yW) y cada ecuación tiene una sola restricción ; elprocedimiento es el siguiente:

Primera ecuación.- En primer lugar, se verifica la condición de orden:

122

Nos indica que es probable que la ecuación este exactamenteidentificada. Debemos confirmar esta conclusión con la condicion derango, primero obtenemos la matriz:

A continuación, aplicamos la condición:

Por lo tanto, concluimos que la demanda está exactamenteidentificada.

Segunda ecuación.- En primer lugar, se verifica la condición de orden:

Nos indica que es probable que la oferta este exactamenteidentificada. Debemos confirmar esta conclusión con la condicion derango, primero obtenemos la matriz:


123

Por lo tanto, concluimos que la oferta está exactamenteidentificada.

Como todas las ecuaciones del modelo están exactamenteidentificada, entonces el modelo de mercado está exactamenteidentificado.

2º RESTRICCIONES LINEALES HOMOGÉNEAS

Son las que afectan a dos o más coeficientes de la ecuación.Consideremos el modelo de mercado siguiente:

La matriz de coeficientes A sigue siendo la misma y la restricciónlineal homogénea se considera, así:

Luego la matriz de restricción queda:

La identificación se realiza ecuación por ecuación, en este modelose tiene dos variables endógenas (Q y P), tres variables exógenas (1, I yW); el procedimiento es el siguiente:


124

Nos indica que es probable que la ecuación este sobreidentificada.Debemos confirmar esta conclusión con la condición de rango, primeroobtenemos la matriz:


Por lo tanto, concluimos que la demanda está sobreidentificada.


Nos indica que es probable que la oferta este exactamenteidentificada. Debemos confirmar esta conclusión con la condición derango, primero obtenemos la matriz:


125


Como todas las ecuaciones del modelo están identificada, entoncesel modelo de mercado está identificado.

3º RESTRICCIONES LINEALES NO HOMOGÉNEAS

Son las que afectan a dos o más coeficientes de la ecuación y sondiferentes de cero. Consideremos el modelo de mercado siguiente:

La matriz de coeficientes A sigue siendo la misma y la restricciónlineal homogénea se considera, así:

Luego la matriz de restricción queda:

La identificación se realiza ecuación por ecuación, en este modelose tiene dos variables endógenas (Q y P), tres variables exógenas (1, I yW); el procedimiento es el siguiente:


Nos indica que es probable que la ecuación este exactamenteidentificada. Debemos confirmar esta conclusión con la condición de

126

rango, primero obtenemos la matriz:


Por lo tanto, concluimos que la demanda está exactamenteidentificada.


Nos indica que es probable que la oferta este sobreidentificada.Debemos confirmar esta conclusión con la condición de rango, primeroobtenemos la matriz:


Por lo tanto, concluimos que la oferta está sobreidentificada.

Como todas las ecuaciones del modelo están identificada, entonces

127

el modelo de mercado está identificado.

2.1.4. CUANDO SE TIENE IDENTIDADES EN EL MODELO

Las identidades por sí mismas no plantean problema de identificación puesto que,en general, los coeficientes se conocen y hecho normalmente son la unidad.

Se puede formular dos procedimientos a seguir:

1º Todas las identidades aparecen en forma explícita en el modelo.

2º Las identidades se pueden sustituir en las otras ecuaciones estructurales, por loque se reduce de forma efectiva el tamaño del modelo.

La eliminación de las identidades no cambia ninguna de las conclusiones enrelación a la identificabilidad de cualquier ecuación de comportamiento o cualquier otraestructural tanto en su forma original como en la revisada.

EJEMPLO:

1º MODELO DE MERCADO

Se tiene 3 variables endógenas ( ( cantidad demandada ), (cantidadofrecida), ( precio ) ) y 2 variables exógenas (1 (intercepto ), ( rentao ingreso ) ) y la matriz de coeficientes (A) es:


128

Nos indica que es probable que la oferta esta exactamenteidentificada. Debemos confirmar esta conclusión con la condición derango:

Por lo tanto, concluimos que la oferta este exactamenteidentificada.


Nos indica que la demanda no está identificada. La tercera ecuaciónes una identidad no es necesario identificarla.

Como solo una de las ecuaciones del modelo está identificada,entonces el modelo de mercado no está identificado.

2º MODELO DE MERCADO TRANSFORMADO

Se tiene 2 variables endógenas ( ( cantidad demandada ) y (precio) ) y 2 variables exógenas ( 1 ( intercepto ), ( renta o ingreso ) )y la matriz de coeficientes ( A ) es:


129

Nos indica que es probable que la oferta este exactamenteidentificada. Debemos confirmar esta conclusión con la condición derango:



Nos indica que la demanda no está identificada.

Como solo una de las ecuaciones del modelo está identificada,entonces el modelo de mercado no está identificado.

2.1.5. CUANDO SE TIENE RESTRICCIONES SOBRE LOS PARÁMETROSESTRUCTURALES ENTRE ECUACIONES

Hay casos en los que la teoría económica sugiere restricciones entre ecuaciones.

Estas restricciones también pueden servir para asegurar la identificabilidad.

La imposición de restricciones entre ecuaciones requiere que cada ecuación esténormalizada, pues en caso contrario la restricción es ambigua.

La identificabilidad se puede examinar por los siguientes métodos:

1º Empleando la relación entre los parámetros estructurales y los de la formareducida.

2º Investigando el conjunto de estructuras transformadas admisibles que satisfaganla restricción.

130

EJEMPLO: MODELO DE MERCADO

1º Expresando el modelo matricialmente:

despejando las variables endógenas, nos da:

resolviendo se tiene:

nos da la forma reducida, que en términos generales se expresa:

resolviendo las relaciones entre los parámetros estructurales y losparámetros de la forma reducida, se obtiene:

Para encontrar los dos parámetros que faltan se tiene que resolver

131

el siguiente sistema de dos ecuaciones:

matricialmente se expresa:

despejando las incógnitas:

resolviendo tenemos:

se puede expresar:

simplificando:

se obtiene los dos últimos parámetros, a saber:

132

2 La matriz de transformación admisible es la matriz que nos permite transformar el modelo cumpliendolas restricciones del mismo.

La demanda y la oferta están exactamente identificada porquesolamente se ha obtenido un solo valor para sus coeficientes estructurales;por lo tanto, el modelo de mercado está exactamente identificado.

2º Expresando el modelo de demanda y oferta matricialmente de la siguienteforma:

Hacemos la identificación del modelo analizando la matriz detransformación admisible2, esta se define:

Se premultiplica el modelo por la matriz de transformaciónadmisible, así:

realizando las operaciones nos da:

Los coeficientes del modelo transformado debe satisfacer lasmismas restricciones que el modelo original, luego tenemos:

133

1º el coeficiente de la variable ingreso en la oferta es nulo:

2º las condiciones de normalización del modelo:

3º la restricción entre ecuaciones:

reemplazando los valores de f11 y f12 nos queda:

Compatibilizando esta ecuación con la segunda condición denormalización se obtiene:

Por lo tanto, la matriz de transformación admisible es:

y es la única que se ha obtenido, entonces el modelo de mercado estáexactamente identificado.

134

2.1.6. CUANDO SE TIENE RESTRICCIONES SOBRE LA MATRIZ DE VARIANZA-COVARIANZA

Supongamos que consideramos restricciones a la matriz de varianzas y

covarianzas de las perturbaciones de las G ecuaciones estructurales, ésta se expresa:

Estas restricciones también pueden servir para asegurar la identificabilidad.

La imposición de restricciones entre ecuaciones requiere que cada ecuación esténormalizada, pues en caso contrario la restricción es ambigua.

La identificabilidad se puede examinar por los siguientes métodos:

1º Empleando la relación entre los parámetros estructurales y los de la formareducida.

2º Investigando el conjunto de estructuras transformadas admisibles que satisfaganla restricción.

EJEMPLO: MODELO DE MERCADO

sujeto a:

1º Expresando el modelo matricialmente:

despejando las variables endógenas, nos da:

135

resolviendo se tiene:

nos da la forma reducida, que en términos generales se expresa:

Tenemos el siguiente sistema de ecuaciones:

resolviendo las relaciones entre los parámetros estructurales y losparámetros de la forma reducida, podemos obtener:

Ahora trabajamos con las perturbaciones de la forma reducida dela siguiente forma:

1.- La varianza de la perturbación de la primera ecuación de la formareducida, es:

considerando los valores de la matriz de varianzas y covarianzas,nos queda:

136

2.- La varianza de la perturbación de la segunda ecuación de la formareducida, se expresa:

reemplazando las restricciones de la matriz de varianzas ycovarianzas, nos da:

3.- La covarianza entre la perturbación de la primera y segundaecuación de la forma reducida, es:

empleando las restricciones de la matriz de varianzas ycovarianzas, nos da:

Si juntamos todas las ecuaciones obtenidas, excepto lacorrespondiente a B2, tenemos:

Se tiene un sistema de ecuaciones con 6 ecuaciones y 6incógnitas que tiene solución única, por lo tanto,la demanda y la oferta están exactamente identificada porque solamente

137

se obtiene un solo valor para sus coeficientes estructurales; por lo tanto,el modelo de mercado está exactamente identificado.

2º Expresando el modelo matricialmente de la siguiente forma:

Hacemos la identificación del modelo analizando la matriz detransformación admisible, esta se define:

Se premultiplica el modelo por la matriz de transformaciónadmisible, así:

realizando las operaciones nos da:

Los coeficientes del modelo transformado debe satisfacer lasmismas restricciones que el modelo original, luego tenemos:

1º el coeficiente de la variable ingreso en la oferta es nulo:

138

2º las condiciones de normalización del modelo:

Por lo tanto, la matriz de transformación admisible queda:

La matriz de varianza - covarianza de las perturbaciones de laestructura transformada es:

Es decir:

Considerando la restricción de la matriz de varianza - covarianza,se tiene:

Se tenía:

Por lo tanto, la matriz de transformación admisible es:

y es la única que se ha obtenido, entonces el modelo de mercado estáexactamente identificado.

139

3 Johnston, J. pág. 538 - 539. Pulido San Román, Antonio pág. 382 - 387.

3. MÉTODOS DE ESTIMACION

Los métodos de estimación se utilizan para cuantificar los parámetrosestructurales de un modelo basándose en los valores de las variables endógenas yexógenas del modelo.

Se clasifican de la siguiente forma:

1º Enfoque Directo

Se estima ecuación por ecuación, sin distinguir entre exógenas yendógenas y sin considerar la existencia de otras variables del modelo y no de laecuación. Tenemos el método de mínimos cuadrados ordinarios.

2º Enfoque de Información Limitada

La estimación es ecuación por ecuación, pero distinguiendo entreexógenas y endógenas y considerando la existencia de otras variables del modelo.Se denomina de información limitada porque considera qué variables estánincluidas en la ecuación y cuáles excluidas de ella, pero pertenecientes al modelo.Se tiene mínimos cuadrados indirectos, mínimos cuadrados bietápicos, mínimoscuadrados de clase k y máxima verosimilitud con información limitada.

3º Enfoque de Información Completa

Estimación del modelo en su conjunto e información total sobreespecificación de todas las ecuaciones. Tenemos mínimos cuadrado trietápicosy máxima verosimilitud con información completa.

3.1. MÍNIMOS CUADRADOS INDIRECTOS3

Es una técnica con información limitada que puede ser usada para obtenerestimaciones consistentes de una ecuación exactamente identificada.

Comprende dos pasos:

1º La estimación de los parámetros de la forma reducida utilizando mínimoscuadrado ordinario.

2º La estimación de los parámetros de la forma estructural y utilizando lasrelaciones entre estos parámetros y los parámetros de la forma reducida y lasrestricciones de la identificación.

140

Supongamos que se pretende estimar la primera ecuación del modelo deecuaciones simultáneas:

donde,y vector de observaciones, T x 1, de la variable endógena⇒

dependiente. matriz de observaciones, T x (G1-1), de las demás variables⇒

endógenas corrientes incluidas en la ecuación.vector, (G1-1) x 1, de los coeficientes estructurales⇒correspondientes a las variables de .matriz de observaciones, T x k1, de las variables predeterminadas⇒o exógenas que aparecen en la ecuación.vector, k1 x 1, de coeficientes relacionados con .⇒vector, T x1, de perturbaciones de la ecuación.⇒

Es inconveniente aplicar mínimos cuadrados ordinarios porque las variables de están correlacionados con .

Podemos rescribir la forma estructural de la primera ecuación de la siguiente

forma:

matricialmente sería:

y si consideramos las variables excluidas de la ecuación, se tiene:

sujeto a: y .

El modelo multiecuacional en su forma estructural sería:

141

donde,Y matriz de observaciones, T x G, de las variables endógenas⇒

corrientes del modelo.matriz, G x G, de los coeficientes de las variables endógenas del⇒modelo.matriz, K x G, de los coeficientes de las variables exógenas y/o⇒predeterminadas del modelo.

X matriz de observaciones, T x K, de las variables exógenas y/o⇒predeterminadas del modelo.

U vector, T x G, de las perturbaciones de cada ecuación del modelo.⇒

La forma reducida del modelo multiecuacional es:

donde,Y matriz de observaciones, T x G, de las variables endógenas⇒

corrientes del modelo.matriz, K x G, de los coeficientes de la forma reducida⇒correspondientes a las variables de X.

X matriz de observaciones, T x k, de las variables exógenas o⇒predeterminadas del modelo.

V vector, T x G, de las perturbaciones de la forma reducida.⇒

El primer paso del método de mínimos cuadrados indirectos consiste en estimarpor mínimos cuadrados ordinarios los coeficientes de la forma reducida, así:

verificaremos la propiedad del estimador, es decir:

concluimos que el estimador de mínimo cuadrado ordinario de la forma reducida esinsesgado. Asimismo, el estimador de mínimos cuadrados ordinarios de los coeficientesde la forma reducida es el estimador de mínima varianza.

En el segundo paso, primero requerimos obtener la relación de los coeficientesde la forma estructural y los coeficientes de la forma reducida, de la siguiente forma:

despejando Y se llega a la forma reducida:

donde:

142

que viene a ser la relación que existe entre los coeficientes de la forma estructural y loscoeficientes de la forma reducida.

Se puede expresar de la siguiente manera:

empleando las estimaciones de la forma reducida ( primer paso ) se tiene:

y para los coeficientes estimados de la primera ecuación puede escribirse:

premultiplicando por la inversa de la matriz de segundo momento de las variablesexógenas, tenemos:

como:

obtenemos los productos de matrices así:

Reemplazando en la ecuación ( 1 ) los producto de la matrices y los vectores de loscoeficientes de la primera ecuación, obtenemos:

multiplicamos las matrices y sabemos que los coeficientes de las variables endógenas y

143

exógenas excluidas de la ecuación son cero, resultando:

reordenando, obtenemos el sistema de ecuaciones siguiente:

matricialmente:

solucionando el sistema de ecuaciones normales, obtenemos los estimadores de mínimoscuadrados indirectos de los parámetros estructurales:

El estimador de mínimos cuadrados indirectos de los parámetros estructurales essesgado porque es una función no lineal de las estimaciones de la forma reducida delmodelo; pero es consistente porque es una función continua del estimador de mínimoscuadrados ordinarios de la forma reducida, que es consistente.

EJEMPLO: Consideremos el mercado del arroz:

Primero estimamos la forma reducida del modelo, el comando a usar para estimarla primera ecuación es el siguiente:

LS LOG(Q) C LOG(I) LOG(SC)

y nos da:

144

LS // Dependent Variable is LOG(Q)Sample: 1970 1996 Included observations: 27 ============================================================ Variable Coefficien Std. Error t-Statistic Prob.============================================================ C -6.456057 1.009296 -6.396595 0.0000

LOG(I) 0.471472 0.142853 3.300412 0.0030 LOG(SC) 1.096387 0.073695 14.87732 0.0000 ============================================================

R-squared 0.943998 Mean dependent var 10.53843 Adjusted R-squared 0.939331 S.D. dependent var 0.348788 S.E. of regression 0.085910 Akaike info criter-4.804465 Sum squared resid 0.177134 Schwarz criterion -4.660483 Log likelihood 29.54894 F-statistic 202.2774 Durbin-Watson stat 0.489152 Prob(F-statistic) 0.000000 ============================================================

para la segunda ecuación, el comando es:

LS LOG(P) C LOG(I) LOG(SC)

y el computador, nos muestra:

LS // Dependent Variable is LOG(P) Sample: 1970 1996 Included observations: 27 ============================================================ Variable CoefficienStd. Errort-Statistic Prob. ============================================================ C -271.6388 66.63900 -4.076273 0.0004 LOG(I) 13.35560 9.431877 1.416007 0.1696 LOG(SC) 12.54997 4.865742 2.579251 0.0165 ============================================================R-squared 0.426972 Mean dependent var-12.32868 Adjusted R-squared 0.379220 S.D. dependent var 7.199230 S.E. of regression 5.672244 Akaike info criter 3.575609 Sum squared resid 772.1845 Schwarz criterion 3.719591 Log likelihood -83.58206 F-statistic 8.941394 Durbin-Watson stat 0.444570 Prob(F-statistic) 0.001253 ============================================================

Por último, se emplea la relación entre los parámetros estructurales y losparámetros de la forma reducida para obtener los estimadores de los parámetrosestructurales, ésta es:

de aquí se deduce:

145

4 Johnston, J. pág. 576 -593.Pindyck, Robert y Rubinfeld, Daniel pág. 345 -349.Pulido San Román, Antonio pág. 389 -394.

3.2. MÍNIMOS CUADRADOS BIETAPICOS4

Este método forma parte de los que hemos denominado de información limitada,ya que el método se aplica ecuación a ecuación y sólo exige conocer la lista de variablespredeterminadas del modelo, pero no la especificación concreta de todas las restantesecuaciones.

El procedimiento consta:

1º La estimación de los parámetros de la forma reducida utilizando mínimoscuadrado ordinario, luego se obtiene la estimación de las variables endógenas.

2º Estimar por mínimos cuadrados ordinarios los parámetros de la forma estructural y sustituyendo las variables endógenas explicativas por las estimacionesobtenidas en la primera etapa.

La forma estructural de la primera ecuación del modelo es:


dependiente. matriz de observaciones, T x (G1 - 1), de las demás variables⇒

endógenas corrientes incluidas en la ecuación.vector, (G1-1) x 1, de los coeficientes estructurales⇒correspondientes a las variables de .matriz de observaciones, T x k1, de las variables predeterminadas⇒

146

o exógenas que aparecen en la ecuación.vector, k1 x 1, de coeficientes relacionados con .⇒vector, T x 1, de perturbaciones de la ecuación.⇒

En la primera etapa estimamos la regresión siguiente:

aplicando mínimos cuadrados ordinarios se obtiene:

a continuación calculamos la predicción de las variables endógenas explicativas de laprimera ecuación, resultando:

Para la segunda etapa se estima la ecuación transformada siguiente:

utilizando las ecuaciones normales de mínimos cuadrados ordinarios, se tiene:

debemos obtener otra forma que contenga únicamente las matrices de las observacionesreales. Sabemos que:

considerando el supuesto:

empleando lo mencionado anteriormente podemos simplificar la siguiente expresión:

Considerando este resultado y las estimaciones de la variable endógenaexplicativa de la primera etapa, las ecuaciones normales de la segunda etapa se puedenreescribir:

147

resolviendo el sistema de ecuaciones se obtienen los estimadores de mínimos cuadradosbietápicos, que son:

Para demostrar que los estimadores de mínimos cuadrados bietápicos son

consistentes, reemplazamos el supuesto:

en la forma estructural del modelo, se tiene:

agrupando las variables explicativas y los coeficientes en matrices, obtenemos:

se expresa de la siguiente forma:

aplicando mínimos cuadrados ordinarios se obtiene el estimador de mínimos cuadradosbietápicos, así:

reemplazando y, queda:

considerando el supuesto , la expresión anterior se reduce:

aplicando límite probabilístico:

148

y el estimador de mínimos cuadrados bietápicos será consistente si:

uno de los supuestos del modelo es que X no están correlacionadas en el límite con lasperturbaciones, entonces se tiene:

Sabemos que la forma reducida estimada es:

reemplazando en el primer límite probabilístico tenemos:

Como los mínimos cuadrados ordinarios dan estimaciones consistentes de loscoeficientes de la forma reducida, por lo tanto, el estimador de mínimos cuadradosbietápicos es consistente.

La matriz de varianza asintótica es:

reemplazando , nos queda:

lo podemos expresar de la siguiente forma:

introduciendo el límite probabilístico, nos da:

considerando que y sustituyendo en la expresión anterior, nosqueda:

149

Es el de mínima variancia de entre todos los estimadores de variablesinstrumentales que utilizan como instrumentos combinaciones lineales de las variablespredeterminadas del modelo.

EJEMPLO : Existen varias formas de aplicar en el Eviews el método de mínimoscuadrados en dos etapas.

1º ESTIMAR EL MODELO ETAPA POR ETAPA

En la primera etapa estimamos la forma reducida del modelo y generamosla variable endógena estimada, así:

Primera ecuación:LS LOG(Q) C LOG(I) LOG(SC)

con la ecuación abierta se ejecuta : Procs Forecast QE y Static Ok.⇒ ⇒ ⇒

Segunda ecuación: LS LOG(P) C LOG(I) LOG(SC)

con la ecuación abierta se ejecuta : Procs Forecast PE y Static Ok.⇒ ⇒ ⇒

Para la segunda etapa se estima el modelo transformado (sustituyendo lasvariables endógenas explicativas por las estimaciones de la primera etapa) de lasiguiente forma:

Primera ecuación: LS LOG(Q) C LOG(PE) LOG(I)

el computador nos muestra:

LS // Dependent Variable is LOG(Q)Sample: 1970 1996 Included observations: 27 ============================================================ Variable Coefficien Std. Error t-Statistic Prob. ============================================================ C 17.27477 1.659509 10.40956 0.0000 LOG(PE) 0.087362 0.005872 14.87732 0.0000 LOG(I) -0.695296 0.196755 -3.533807 0.0017============================================================R-squared 0.943998 Mean dependent var 10.53843Adjusted R-squared 0.939331 S.D. dependent var 0.348788S.E. of regression 0.085910 Akaike info criter-4.804465Sum squared resid 0.177134 Schwarz criterion -4.660483Log likelihood 29.54894 F-statistic 202.2774Durbin-Watson stat 0.489152 Prob(F-statistic) 0.000000============================================================

150

Segunda ecuación:

LS LOG(Q) C LOG(PE) LOG(SC)

nos da:

LS // Dependent Variable is LOG(Q) Sample: 1970 1996 Included observations: 27 ============================================================ Variable Coefficien Std. Error t-Statistic Prob.============================================================ C 3.133192 2.343432 1.337010 0.1938 LOG(PE) 0.035301 0.010696 3.300412 0.0030 LOG(SC) 0.653354 0.184887 3.533807 0.0017============================================================R-squared 0.943998 Mean dependent var 10.53843Adjusted R-squared 0.939331 S.D. dependent var 0.348788S.E. of regression 0.085910 Akaike info criter-4.804465Sum squared resid 0.177134 Schwarz criterion -4.660483Log likelihood 29.54894 F-statistic 202.2774Durbin-Watson stat 0.489152 Prob(F-statistic) 0.000000============================================================

2º ESTIMACION MEDIANTE EL COMANDO DE EVIEWS

Primera ecuación:

TSLS LOG(Q) C LOG(P) LOG(I) @ C LOG(I) LOG(SC)

o se ejecuta:

Quick Estimate Equation TSLS Equation Specification: LOG(Q)⇒ ⇒ ⇒C LOG(P) LOG(I) , Instrument list: C LOG(I) LOG(SC) Ok.⇒

El resultado es:

TSLS // Dependent Variable is LOG(Q) Sample: 1970 1996 Included observations: 27 Instrument list: C LOG(I) LOG(SC) ============================================================ Variable Coefficien Std. Error t-Statistic Prob.============================================================ C 17.27477 8.554325 2.019419 0.0547 LOG(P) 0.087362 0.030269 2.886148 0.0081 LOG(I) -0.695296 1.014222 -0.685546 0.4996============================================================R-squared -0.488048 Mean dependent var 10.53843Adjusted R-squared -0.612052 S.D. dependent var 0.348788S.E. of regression 0.442844 Akaike info criter-1.524635Sum squared resid 4.706665 Schwarz criterion -1.380653F-statistic 7.612638 Durbin-Watson stat 0.602571Prob(F-statistic) 0.002753 ============================================================

151

Segunda ecuación:

TSLS LOG(Q) C LOG(P) LOG(SC) @ C LOG(I) LOG(SC)

o se ejecuta:

Quick Estimate Equation TSLS Equation Specification: LOG(Q)⇒ ⇒ ⇒C LOG(P) LOG(SC), Instrument list: C LOG(I) LOG(SC) Ok.⇒

obtenemos:

TSLS // Dependent Variable is LOG(Q) Sample: 1970 1996 Included observations: 27 Instrument list: C LOG(I) LOG(SC) ============================================================ Variable Coefficien Std. Error t-Statistic Prob.============================================================ C 3.133192 4.270803 0.733631 0.4703 LOG(P) 0.035301 0.019493 1.810969 0.0827 LOG(SC) 0.653354 0.336948 1.939035 0.0643============================================================R-squared 0.813997 Mean dependent var 10.53843 Adjusted R-squared 0.798497 S.D. dependent var 0.348788S.E. of regression 0.156568 Akaike info criter-3.604094Sum squared resid 0.588323 Schwarz criterion -3.460113F-statistic 60.90219 Durbin-Watson stat 0.963343Prob(F-statistic) 0.000000 ============================================================

3º ESTIMACION MEDIANTE UN SISTEMA DE ECUACIONES

La estimación mediante un sistema de ecuaciones nos proporciona la covarianciaentre la perturbación de una ecuación con respecto a otra ecuación del modelo,lo que nos permite analizar la correlación que existe entre las perturbaciones entreecuaciones del modelo. El Eviews nos puede proporcionar esta informaciónporque nosotros le proporcionamos la especificación del modelo multiecuacional,a diferencia de los dos casos anteriores que solamente se le proporciona laespecificación de una ecuación del modelo.

Debemos crear un sistema de ecuaciones con la siguiente instrucción:

Objects New Objects System Ok se escribe:⇒ ⇒ ⇒ ⇒

INST C LOG(I) LOG(SC)LOG(Q) = C(1) + C(2) * LOG(P) + C(3) * LOG(I)LOG(Q) = C(4) + C(5) * LOG(P) + C(6) * LOG(SC)

Name Ok Estimate Two - Stage Least Squares la pantalla⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒nos muestra:

152

5 Pindyck, Robert y Rubinfeld, Daniel pág. 351 -354.

System: SYS1 Estimation Method: Two-Stage Least Squares Sample: 1970 1996 Instruments: C LOG(I) LOG(SC) ============================================================ Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.============================================================ C(1) 17.27477 8.554325 2.019419 0.0490 C(2) 0.087362 0.030269 2.886148 0.0058 C(3) -0.695296 1.014222 -0.685546 0.4963 C(4) 3.133192 4.270803 0.733631 0.4667 C(5) 0.035301 0.019493 1.810969 0.0764 C(6) 0.653354 0.336948 1.939035 0.0584============================================================Determinant residual covariance 0.000282 ============================================================Equation: LOG(Q) = C(1) + C(2) * LOG(P) + C(3) * LOG(I) Observations: 27 ------------------------------------------------------------R-squared -0.488048 Mean dependent var 10.53843Adjusted R-squared -0.612052 S.D. dependent var 0.348788 S.E. of regression 0.442844 Sum squared resid 4.706665 Durbin-Watson stat 0.602571 ============================================================Equation: LOG(Q) = C(4) + C(5) * LOG(P) + C(6) * LOG(SC) Observations: 27 ------------------------------------------------------------R-squared 0.813997 Mean dependent var 10.53843 Adjusted R-squared 0.798497 S.D. dependent var 0.348788 S.E. of regression 0.156568 Sum squared resid 0.588323 Durbin-Watson stat 0.963343 ============================================================

3.3. MÁXIMA VEROSIMILITUD CON INFORMACIÓN LIMITADA5

Este enfoque fue desarrollado por Anderson y Rubin, la aplicación del métodosólo exige conocer, aparte de la especificación de la ecuación que se va a estimar, quévariables predeterminadas aparecen en las otras ecuaciones del modelo, al igual que conlos mínimos cuadrados bietápicos.

El enfoque de máxima verosimilitud con información limitada consiste enmaximizar la función de verosimilitud para las variables endógenas sujeto a la restricciónde que el modelo tenga solución.

El desarrollo matemático del método es largo y complicado, pero se puededemostrar que en definitiva se reduce a hallar los coeficientes de las variables endógenasque minimicen un cociente de variancias.

Asumamos que queremos estimar la primera ecuación del modelo de ecuaciones

simultáneas:

153


dependiente. matriz de observaciones, T x (G1-1), de las demás variables⇒

endógenas corrientes incluidas en la ecuación.vector, (G1-1) x 1, de los coeficientes estructurales⇒correspondientes a las variables de .matriz de observaciones, T x k1, de las variables predeterminadas⇒o exógenas que aparecen en la ecuación.vector, k1 x 1, de coeficientes relacionados con .⇒vector, T x 1, de perturbaciones de la ecuación.⇒

despejando la perturbación, tenemos:

matricialmente, sería:

la rescribimos, así:

definimos que es el vector de combinación lineal de las variables endógenasque aparecen el la ecuación, entonces la expresión queda:

o, así:

Calculamos la suma de cuadrados de los residuos de la primera ecuación y nosda:

donde,

154

reemplazando el valor de Z y sacando factor común, tenemos:

se puede rescribir:

donde es una matriz de residuos de la regresión.

Ahora regresionamos Z respecto a todas las variables exógenas y predeterminadas(X) y calculamos la suma de cuadrados de los residuos, obteniendose:

se reemplaza Z y se simplifica, quedando:

reexpresandolo, sería:

donde es una matriz de residuos de la regresión.

El Principio de la razón mínima de variancias sugiere que la estimación de se elija de modo que conserve esta reducción en la suma de los cuadrados de los residuoslo más pequeña posible, es decir, que minimice la razón:

la segunda suma de cuadrados no será superior a la primera, porque la segunda regresióncontiene todas las variables explicativas de la primera regresión ( ) más el conjunto( ); por lo tanto, .

Para minimizar se obtiene la derivada parcial de respecto a :

simplificando:

155

6 Johnston, J. pág. 593 -599.Pulido San Román, Antonio pág. 400 -406.

igualando a cero la derivada parcial y simplificando, nos da:

Este sistema de ecuaciones tiene una solución no trivial, si se cumple la ecuaciónsiguiente:

resolviendo esta ecuación se obtiene el estimador de .

Este resultado se sustituye en (2) y se reemplaza , nos queda:

se obtiene el estimador de .

Reemplazamos en la ecuación (1) el valor de Z y nos da:

Con las ecuaciones (3) y (4) calculamos los estimadores de máxima verosimilitud

con información limitada, los cuales son sesgados y consistentes por la misma razón queel estimador de mínimos cuadrados en dos etapas.

3.4. MÍNIMOS CUADRADOS TRIETAPICOS6

Las tres etapas que justifican el nombre del método son:

1º La estimación de los parámetros de la forma reducida utilizando mínimoscuadrado ordinario, luego se obtiene la estimación de las variables endógenas.

2º Estimar por mínimos cuadrados ordinarios los parámetros de la forma estructural y sustituyendo las variables endógenas explicativas por las estimacionesobtenidas en la primera etapa.

156

3º La estimación por mínimos cuadrados generalizados del sistema utilizando comovariables instrumentales la matriz de todas las predeterminadas con la matriz decovarianzas de las perturbaciones previamente estimada a través de los residuosde mínimos cuadrados en dos etapas.

Utilizamos para expresar el conjunto de las g ecuaciones para todos los valoresmuestrales, la notación:

donde,Y vector de observaciones, T x G, de las variables endógenas. Así:⇒

vector, G x G, de los coeficientes estructurales correspondientes a⇒las variables de Y. Tenemos:

X matriz de observaciones, T x K, de las variables ⇒predeterminadas o exógenas que aparecen en la ecuación.Expresado:

± vector, K x G, de coeficientes relacionados con X. Representado:

157

U ± vector, T x G, de perturbaciones de la ecuación. Así:

Esta notación no recoge las restricciones de nulidad de parámetros en cadaecuación y no resulta útil para una formulación generalizada de los estimadores de unmodelo.

Para posibilitar determinadas operaciones matriciales, se ha propuesto lautilización de matrices definidas como variables "apiladas" unas encima de otras y quees habitual caracterizar con un asterisco.

El modelo multiecuacional se puede rescribir:

es decir:

utilizando las matrices con variables apiladas, para las T observaciones muestralesdisponibles, el modelo multiecuacional quedaría expresado:

donde,Y* vector de observaciones, (TxG) x 1, de las variables endógenas.⇒

Así:

158

a* vector, K* x 1, de los coeficientes estructurales correspondientes a⇒las variables de Y y X. Siendo K* el número total de parámetrosno nulos del sistema, es decir:

El vector sería:

159

Z* la matriz de observaciones de las variables explicativas, distinta⇒para cada ecuación según las restricciones a priori del modelo, esconveniente expresarla en forma de matriz diagonal de orden (TxG)x K*. Expresado:

la matriz Z también se puede escribir de la siguiente forma:

U* vector, (TxG) x 1, de perturbaciones de la ecuación. Así:⇒

Definamos la matriz de covarianzas de las perturbaciones aleatorias de diferentesecuaciones que incluya para cada caso las T valores constantes:

160

todas las submatrices tienen como factor común , sacándolo nos queda:

el resultado es un producto Kronecker que se obtiene multiplicando cada elemento de lamatriz de la izquierda por la matriz entera de la derecha.

Ahora estamos en condiciones de plantear el método de mínimos cuadradostrietápicos. Este procedimiento realiza una estimación conjunta de todos los parámetrosdel modelo, en lugar de ecuación a ecuación. Es decir, se tiene en cuenta la correlaciónexistente entre las endógenas explicativas de una ecuación y las perturbaciones aleatoriasno sólo de ésa, sino también de las restantes ecuaciones ( ).

Cuando la matriz es diagonal no existe forma de mejorar la eficiencia demínimos cuadrados bietápicos, pero para el caso general un planteamiento más profundoteóricamente se presenta con los estimadores de mínimos cuadrados trietápicos , quepresentarán varianzas asintóticas tanto más reducidas con relación a mínimos cuadradosbietápicos cuanto mayor sea la correlación entre las perturbaciones de las diferentesecuaciones.

Los estimadores de mínimos cuadrados en tres etapas pueden obtenersealternativamente como:

1º Estimación de Mínimos cuadrados generalizados del modelo en su conjuntopreviamente premultiplicada por la matriz X*’. El modelo transformado quedaría:

161

la matriz de covarianza de las perturbaciones sería:

el estimador de mínimos cuadrados generalizados es:

reemplazando obtenemos el estimador de mínimos cuadrados trietápicos:

2º Estimación de Variables instrumentales, se considera una matriz de variablesinstrumentales de la siguiente forma:

el estimador de variables instrumentales es:

reemplazando se obtiene el estimador de mínimos cuadrados en tres etapas:

3º Estimación en tres etapas, cuyas dos primeras coincidirían con las de mínimoscuadrados en dos etapas, y la tercera consistiría en la estimación de la matriz a partir de los residuos de la etapa anterior y aplicación de mínimos generalizadospara estimar los parámetros.

El estimador de mínimos cuadrados en dos etapas es:

la matriz de covarianzas es y se obtiene el estimador de mínimos cuadradosen tres etapas siguiente:

EJEMPLO:

Se crea un sistema de ecuaciones siguiendo el siguiente procedimiento:

162

7 Johnston, J. pág. 599 - 601.Pindyck, Robert y Rubinfeld, Daniel pág. 355 - 356.Pulido San Román, Antonio pág. 407 - 410.


INST C LOG(I) LOG(SC)LOG(Q) = C(1) + C(2) * LOG(P) + C(3) * LOG(I)LOG(Q) = C(4) + C(5) * LOG(P) + C(6) * LOG(SC)

Name Ok Estimate Three - Stage Least Squares la pantalla nos⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒muestra:

System: SYS2 Estimation Method: Three-Stage Least Squares Sample: 1970 1996 Instruments: C LOG(I) LOG(SC) ============================================================ Coefficient Std. Errort-Statistic Prob. ============================================================ C(1) 17.27477 8.065095 2.141918 0.0373 C(2) 0.087362 0.028538 3.061222 0.0036 C(3) -0.695296 0.956217 -0.727132 0.4707 C(4) 3.133192 4.026551 0.778133 0.4403 C(5) 0.035301 0.018378 1.920822 0.0607 C(6) 0.653354 0.317678 2.056657 0.0452 ============================================================Determinant residual covariance 0.000282 ============================================================Equation: LOG(Q) = C(1) + C(2) * LOG(P) + C(3) * LOG(I) Observations: 27 ------------------------------------------------------------R-squared -0.488048 Mean dependent var 10.53843 Adjusted R-squared -0.612052 S.D. dependent var 0.348788 S.E. of regression 0.442844 Sum squared resid 4.706665 Durbin-Watson stat 0.602571 ============================================================Equation: LOG(Q) = C(4) + C(5) * LOG(P) + C(6) * LOG(SC) Observations: 27 ------------------------------------------------------------R-squared 0.813997 Mean dependent var 10.53843 Adjusted R-squared 0.798497 S.D. dependent var 0.348788 S.E. of regression 0.156568 Sum squared resid 0.588323 Durbin-Watson stat 0.963343 ============================================================

3.5. MÁXIMA VEROSIMILITUD CON INFORMACIÓN COMPLETA7

En el modelo de regresión generalizado, caracterizado por una matriz de

covarianzas no escalar, para u ~ N( 0, ), la función logarítmica de verosimilitud es:

obteniéndose de aquí los estimadores de mínimos cuadrados generalizados.

El modelo multiecuacional en su forma estructural es:

163

y Z a u* * * *= +

con u* ~ N( 0, ), la función logarítmica de verosimilitud de las perturbaciones es:

Existe una dificultad teórica adicional en el planteamiento de la función amaximizar, ya que ésta debe hacerse para las variables endógenas y no para lasperturbaciones aleatorias, es decir, sobre las variables transformadas.

Sabemos que la función de densidad es:

donde, J(y*) es el determinante Jacobiano de la transformación, definido sobre la matrizde derivadas parciales de u* respecto a y*.

En un modelo multiecuacional se puede verificar que el Jacobiano es la potenciaT- ésima del determinante de los coeficientes de las variables endógenas del modelo, esdecir:

reemplazando en la función de densidad, se tiene:

Aplicando logaritmos a la función de densidad, nos queda:

ahora sustituimos la función logarítmica de verosimilitud resultando:

el método de máxima verosimilitud con información completa consiste en maximizar estafunción, es decir:

generalmente el resultado son relaciones no lineales que afectan simultáneamente a todaslas ecuaciones del modelo y que no pueden resolverse conjuntamente con la estimación

164

de , al menos en forma analítica.

La dificultad de resolución del caso general ha llevado al desarrollo de diversasaplicaciones del cálculo numérico para la optimización de sistemas no lineales.

Si triangular y diagonal el método se simplifica a tal punto de que nos llevaa unos estimadores que coinciden a los mínimos cuadrados ordinarios.

EJEMPLO:

Se crea un sistema de ecuaciones siguiendo el siguiente procedimiento:


INST C LOG(I) LOG(SC)LOG(Q) = C(1) + C(2) * LOG(P) + C(3) * LOG(I)LOG(P) = C(4) + C(5) * LOG(Q) + C(6) * LOG(SC)

Name Ok Estimate Full Information Maximun Likelihood la⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒pantalla nos muestra:

System: UNTITLED Estimation Method: Full Information Maximum Likelihood (Marquardt) Sample: 1970 1996 Included observations: 27 Total system (balanced) observations 54 Convergence achieved after 82 iterations ============================================================ Coefficient Std. Errort-Statistic Prob. ============================================================ C(1) 8.741497 1.170212 7.470013 0.0000 C(2) 0.074163 0.028098 2.639471 0.0112 C(3) 0.332937 0.132536 2.512050 0.0154 C(4) -192.7177 81.67943 -2.359440 0.0224 C(5) 0.369662 0.063454 5.825698 0.0000 C(6) 14.70918 6.690139 2.198637 0.0328 ============================================================Log Likelihood 1.159558 Determinant residual covariance 0.106812 ============================================================Equation: LOG(Q) = C(1) + C(2)*LOG(P) + C(3)*LOG(I) Observations: 27 R-squared -0.118954 Mean dependent var 10.53843 Adjusted R-squared -0.212200 S.D. dependent var 0.348788 S.E. of regression 0.384015 Sum squared resid 3.539227 Durbin-Watson stat 0.597556 ============================================================Equation: LOG(P) = C(4) + C(5)*LOG(Q) + C(6)*LOG(SC) Observations: 27 R-squared 0.382789 Mean dependent var-12.32868 Adjusted R-squared 0.331354 S.D. dependent var 7.199230 S.E. of regression 5.886864 Sum squared resid 831.7241 Durbin-Watson stat 0.430471 ============================================================

modelos dinÁmicos, moelos no lineales, … · distinguirse de las otras ecuaciones del modelo o de...

Documents