modelos matem aticos de variaci on - precálculoprecalculo.carimobits.com/material del...
TRANSCRIPT
Contenido Objetivos
Modelos Matematicos de Variacion
Carlos A. Rivera-Morales
Precalculo 1
Rivera-Morales, Carlos A. Modelos de Variacion
Contenido Objetivos
Tabla de Contenido
Objetivos
Rivera-Morales, Carlos A. Modelos de Variacion
Contenido Objetivos
Objetivos:
Discutiremos:
modelos matematicos de variacion
directainversaconjuntacombinada
aplicaciones
Rivera-Morales, Carlos A. Modelos de Variacion
Contenido Objetivos
Objetivos:
Discutiremos:
modelos matematicos de variacion
directa
inversaconjuntacombinada
aplicaciones
Rivera-Morales, Carlos A. Modelos de Variacion
Contenido Objetivos
Objetivos:
Discutiremos:
modelos matematicos de variacion
directainversa
conjuntacombinada
aplicaciones
Rivera-Morales, Carlos A. Modelos de Variacion
Contenido Objetivos
Objetivos:
Discutiremos:
modelos matematicos de variacion
directainversaconjunta
combinada
aplicaciones
Rivera-Morales, Carlos A. Modelos de Variacion
Contenido Objetivos
Objetivos:
Discutiremos:
modelos matematicos de variacion
directainversaconjuntacombinada
aplicaciones
Rivera-Morales, Carlos A. Modelos de Variacion
Contenido Objetivos
Objetivos:
Discutiremos:
modelos matematicos de variacion
directainversaconjuntacombinada
aplicaciones
Rivera-Morales, Carlos A. Modelos de Variacion
Contenido Objetivos
Modelos de Variacion
Variacion Directa:
Definicion: Si las cantidades x y y esta relacionadas mediantela ecuacion
y = kx
para alguna constante k 6= 0, entonces se dice que y varıadirectamente con x, o que y es directamente proporcionala x o que y es proporcional a x. La constante k se conocecomo constante de proporcionalidad o de variacion.
Rivera-Morales, Carlos A. Modelos de Variacion
Contenido Objetivos
Modelos de Variacion
Variacion Directa:
Definicion: Si las cantidades x y y esta relacionadas mediantela ecuacion
y = kx
para alguna constante k 6= 0, entonces se dice que y varıadirectamente con x, o que y es directamente proporcionala x o que y es proporcional a x.
La constante k se conocecomo constante de proporcionalidad o de variacion.
Rivera-Morales, Carlos A. Modelos de Variacion
Contenido Objetivos
Modelos de Variacion
Variacion Directa:
Definicion: Si las cantidades x y y esta relacionadas mediantela ecuacion
y = kx
para alguna constante k 6= 0, entonces se dice que y varıadirectamente con x, o que y es directamente proporcionala x o que y es proporcional a x. La constante k se conocecomo constante de proporcionalidad o de variacion.
Rivera-Morales, Carlos A. Modelos de Variacion
Contenido Objetivos
Modelos de Variacion
Ejemplo: Exprese el enunciado como una formula y utilice lainformacion dada para determinar la constante deproporcionalidad.
y es directamente proporcional a x. Si x = 4, entonces y = 72.
Solucion: y = kx ⇒ k =y
x⇒ k =
72
4⇒ k = 18
Modelo de variacion: y = 18 x
Rivera-Morales, Carlos A. Modelos de Variacion
Contenido Objetivos
Modelos de Variacion
Ejemplo: Exprese el enunciado como una formula y utilice lainformacion dada para determinar la constante deproporcionalidad.
y es directamente proporcional a x. Si x = 4, entonces y = 72.
Solucion: y = kx
⇒ k =y
x⇒ k =
72
4⇒ k = 18
Modelo de variacion: y = 18 x
Rivera-Morales, Carlos A. Modelos de Variacion
Contenido Objetivos
Modelos de Variacion
Ejemplo: Exprese el enunciado como una formula y utilice lainformacion dada para determinar la constante deproporcionalidad.
y es directamente proporcional a x. Si x = 4, entonces y = 72.
Solucion: y = kx ⇒ k =y
x
⇒ k =72
4⇒ k = 18
Modelo de variacion: y = 18 x
Rivera-Morales, Carlos A. Modelos de Variacion
Contenido Objetivos
Modelos de Variacion
Ejemplo: Exprese el enunciado como una formula y utilice lainformacion dada para determinar la constante deproporcionalidad.
y es directamente proporcional a x. Si x = 4, entonces y = 72.
Solucion: y = kx ⇒ k =y
x⇒ k =
72
4
⇒ k = 18
Modelo de variacion: y = 18 x
Rivera-Morales, Carlos A. Modelos de Variacion
Contenido Objetivos
Modelos de Variacion
Ejemplo: Exprese el enunciado como una formula y utilice lainformacion dada para determinar la constante deproporcionalidad.
y es directamente proporcional a x. Si x = 4, entonces y = 72.
Solucion: y = kx ⇒ k =y
x⇒ k =
72
4⇒ k = 18
Modelo de variacion: y = 18 x
Rivera-Morales, Carlos A. Modelos de Variacion
Contenido Objetivos
Modelos de Variacion
Ejemplo: Exprese el enunciado como una formula y utilice lainformacion dada para determinar la constante deproporcionalidad.
y es directamente proporcional a x. Si x = 4, entonces y = 72.
Solucion: y = kx ⇒ k =y
x⇒ k =
72
4⇒ k = 18
Modelo de variacion: y = 18 x
Rivera-Morales, Carlos A. Modelos de Variacion
Contenido Objetivos
Modelos de Variacion
Ejemplo: El periodo P de un pendulo (tiempo transcurrido enuna oscilacion completa del pendulo) varıa directamente con laraız cuadrada de la longitud l del mismo.
Exprese esta relacion escribiendo una ecuacion.
Solucion: P = k√l.
Rivera-Morales, Carlos A. Modelos de Variacion
Contenido Objetivos
Modelos de Variacion
Ejemplo: El periodo P de un pendulo (tiempo transcurrido enuna oscilacion completa del pendulo) varıa directamente con laraız cuadrada de la longitud l del mismo.
Exprese esta relacion escribiendo una ecuacion.
Solucion: P = k√l.
Rivera-Morales, Carlos A. Modelos de Variacion
Contenido Objetivos
Modelos de Variacion
Ejemplo: El periodo P de un pendulo (tiempo transcurrido enuna oscilacion completa del pendulo) varıa directamente con laraız cuadrada de la longitud l del mismo.
Exprese esta relacion escribiendo una ecuacion.
Solucion: P = k√l.
Rivera-Morales, Carlos A. Modelos de Variacion
Contenido Objetivos
Modelos de Variacion
¿Cuanto tendrıamos que modificar la longitud paraduplicar el periodo del pendulo?
Solucion: Como P = k√l ⇒ k =
P√l.
Sea l2 la nueva longitud del pendulo. Por lo tanto,2P = k
√l2
⇒ k =2P√l2
⇒ P√l
=2P√l2
- Igualando los valores de k.
⇒ 1√l
=2√l2
- Cancelando P en ambos lados.
⇒√l2 = 2
√l - Multiplicando cruzado.
⇒l2 = 4l - Cuadrando ambos lados.Por lo tanto, hay que multiplicar la longitud por 4.
Rivera-Morales, Carlos A. Modelos de Variacion
Contenido Objetivos
Modelos de Variacion
¿Cuanto tendrıamos que modificar la longitud paraduplicar el periodo del pendulo?
Solucion: Como P = k√l ⇒ k =
P√l.
Sea l2 la nueva longitud del pendulo. Por lo tanto,2P = k
√l2
⇒ k =2P√l2
⇒ P√l
=2P√l2
- Igualando los valores de k.
⇒ 1√l
=2√l2
- Cancelando P en ambos lados.
⇒√l2 = 2
√l - Multiplicando cruzado.
⇒l2 = 4l - Cuadrando ambos lados.Por lo tanto, hay que multiplicar la longitud por 4.
Rivera-Morales, Carlos A. Modelos de Variacion
Contenido Objetivos
Modelos de Variacion
¿Cuanto tendrıamos que modificar la longitud paraduplicar el periodo del pendulo?
Solucion: Como P = k√l ⇒ k =
P√l.
Sea l2 la nueva longitud del pendulo. Por lo tanto,2P = k
√l2
⇒ k =2P√l2
⇒ P√l
=2P√l2
- Igualando los valores de k.
⇒ 1√l
=2√l2
- Cancelando P en ambos lados.
⇒√l2 = 2
√l - Multiplicando cruzado.
⇒l2 = 4l - Cuadrando ambos lados.Por lo tanto, hay que multiplicar la longitud por 4.
Rivera-Morales, Carlos A. Modelos de Variacion
Contenido Objetivos
Modelos de Variacion
¿Cuanto tendrıamos que modificar la longitud paraduplicar el periodo del pendulo?
Solucion: Como P = k√l ⇒ k =
P√l.
Sea l2 la nueva longitud del pendulo. Por lo tanto,2P = k
√l2
⇒ k =2P√l2
⇒ P√l
=2P√l2
- Igualando los valores de k.
⇒ 1√l
=2√l2
- Cancelando P en ambos lados.
⇒√l2 = 2
√l - Multiplicando cruzado.
⇒l2 = 4l - Cuadrando ambos lados.Por lo tanto, hay que multiplicar la longitud por 4.
Rivera-Morales, Carlos A. Modelos de Variacion
Contenido Objetivos
Modelos de Variacion
¿Cuanto tendrıamos que modificar la longitud paraduplicar el periodo del pendulo?
Solucion: Como P = k√l ⇒ k =
P√l.
Sea l2 la nueva longitud del pendulo. Por lo tanto,2P = k
√l2
⇒ k =2P√l2
⇒ P√l
=2P√l2
- Igualando los valores de k.
⇒ 1√l
=2√l2
- Cancelando P en ambos lados.
⇒√l2 = 2
√l - Multiplicando cruzado.
⇒l2 = 4l - Cuadrando ambos lados.Por lo tanto, hay que multiplicar la longitud por 4.
Rivera-Morales, Carlos A. Modelos de Variacion
Contenido Objetivos
Modelos de Variacion
¿Cuanto tendrıamos que modificar la longitud paraduplicar el periodo del pendulo?
Solucion: Como P = k√l ⇒ k =
P√l.
Sea l2 la nueva longitud del pendulo. Por lo tanto,2P = k
√l2
⇒ k =2P√l2
⇒ P√l
=2P√l2
- Igualando los valores de k.
⇒ 1√l
=2√l2
- Cancelando P en ambos lados.
⇒√l2 = 2
√l - Multiplicando cruzado.
⇒l2 = 4l - Cuadrando ambos lados.Por lo tanto, hay que multiplicar la longitud por 4.
Rivera-Morales, Carlos A. Modelos de Variacion
Contenido Objetivos
Modelos de Variacion
¿Cuanto tendrıamos que modificar la longitud paraduplicar el periodo del pendulo?
Solucion: Como P = k√l ⇒ k =
P√l.
Sea l2 la nueva longitud del pendulo. Por lo tanto,2P = k
√l2
⇒ k =2P√l2
⇒ P√l
=2P√l2
- Igualando los valores de k.
⇒ 1√l
=2√l2
- Cancelando P en ambos lados.
⇒√l2 = 2
√l - Multiplicando cruzado.
⇒l2 = 4l - Cuadrando ambos lados.Por lo tanto, hay que multiplicar la longitud por 4.
Rivera-Morales, Carlos A. Modelos de Variacion
Contenido Objetivos
Modelos de Variacion
¿Cuanto tendrıamos que modificar la longitud paraduplicar el periodo del pendulo?
Solucion: Como P = k√l ⇒ k =
P√l.
Sea l2 la nueva longitud del pendulo. Por lo tanto,2P = k
√l2
⇒ k =2P√l2
⇒ P√l
=2P√l2
- Igualando los valores de k.
⇒ 1√l
=2√l2
- Cancelando P en ambos lados.
⇒√l2 = 2
√l - Multiplicando cruzado.
⇒l2 = 4l - Cuadrando ambos lados.
Por lo tanto, hay que multiplicar la longitud por 4.
Rivera-Morales, Carlos A. Modelos de Variacion
Contenido Objetivos
Modelos de Variacion
¿Cuanto tendrıamos que modificar la longitud paraduplicar el periodo del pendulo?
Solucion: Como P = k√l ⇒ k =
P√l.
Sea l2 la nueva longitud del pendulo. Por lo tanto,2P = k
√l2
⇒ k =2P√l2
⇒ P√l
=2P√l2
- Igualando los valores de k.
⇒ 1√l
=2√l2
- Cancelando P en ambos lados.
⇒√l2 = 2
√l - Multiplicando cruzado.
⇒l2 = 4l - Cuadrando ambos lados.Por lo tanto, hay que multiplicar la longitud por 4.
Rivera-Morales, Carlos A. Modelos de Variacion
Contenido Objetivos
Modelos de Variacion
Variacion Inversa:
Definicion: Si las cantidades x y y esta relacionadas mediantela ecuacion
y =k
x
para alguna constante k 6= 0, entonces se dice que y varıainversamente con x, o que y es inversamenteproporcional a x. La constante k se conoce como constantede proporcionalidad o de variacion.
Rivera-Morales, Carlos A. Modelos de Variacion
Contenido Objetivos
Modelos de Variacion
Variacion Inversa:
Definicion: Si las cantidades x y y esta relacionadas mediantela ecuacion
y =k
x
para alguna constante k 6= 0, entonces se dice que y varıainversamente con x, o que y es inversamenteproporcional a x.
La constante k se conoce como constantede proporcionalidad o de variacion.
Rivera-Morales, Carlos A. Modelos de Variacion
Contenido Objetivos
Modelos de Variacion
Variacion Inversa:
Definicion: Si las cantidades x y y esta relacionadas mediantela ecuacion
y =k
x
para alguna constante k 6= 0, entonces se dice que y varıainversamente con x, o que y es inversamenteproporcional a x. La constante k se conoce como constantede proporcionalidad o de variacion.
Rivera-Morales, Carlos A. Modelos de Variacion
Contenido Objetivos
Modelos de Variacion
Variacion Conjunta:
Definicion: Si las cantidades x, y y z esta relacionadasmediante la ecuacion
z = kxy
para alguna constante k 6= 0, entonces se dice que z varıaconjuntamente con x y y o que z es conjuntamenteproporcional a x y y. La constante k se conoce comoconstante de proporcionalidad o de variacion.
Rivera-Morales, Carlos A. Modelos de Variacion
Contenido Objetivos
Modelos de Variacion
Variacion Conjunta:
Definicion: Si las cantidades x, y y z esta relacionadasmediante la ecuacion
z = kxy
para alguna constante k 6= 0, entonces se dice que z varıaconjuntamente con x y y o que z es conjuntamenteproporcional a x y y.
La constante k se conoce comoconstante de proporcionalidad o de variacion.
Rivera-Morales, Carlos A. Modelos de Variacion
Contenido Objetivos
Modelos de Variacion
Variacion Conjunta:
Definicion: Si las cantidades x, y y z esta relacionadasmediante la ecuacion
z = kxy
para alguna constante k 6= 0, entonces se dice que z varıaconjuntamente con x y y o que z es conjuntamenteproporcional a x y y. La constante k se conoce comoconstante de proporcionalidad o de variacion.
Rivera-Morales, Carlos A. Modelos de Variacion
Contenido Objetivos
Modelos de Variacion
Variacion Combinada:
Definicion: Si las cantidades x, y y z esta relacionadasmediante la ecuacion
z = kx
y
para alguna constante k 6= 0, entonces se dice que z esproporcional a x e inversamente proporcional a y. Laconstante k se conoce como constante de proporcionalidado de variacion.
Rivera-Morales, Carlos A. Modelos de Variacion
Contenido Objetivos
Modelos de Variacion
Variacion Combinada:
Definicion: Si las cantidades x, y y z esta relacionadasmediante la ecuacion
z = kx
y
para alguna constante k 6= 0, entonces se dice que z esproporcional a x e inversamente proporcional a y.
Laconstante k se conoce como constante de proporcionalidado de variacion.
Rivera-Morales, Carlos A. Modelos de Variacion
Contenido Objetivos
Modelos de Variacion
Variacion Combinada:
Definicion: Si las cantidades x, y y z esta relacionadasmediante la ecuacion
z = kx
y
para alguna constante k 6= 0, entonces se dice que z esproporcional a x e inversamente proporcional a y. Laconstante k se conoce como constante de proporcionalidado de variacion.
Rivera-Morales, Carlos A. Modelos de Variacion
Contenido Objetivos
Modelos de Variacion
Variacion Combinada:
Definicion: Si las cantidades x, y y z esta relacionadasmediante la ecuacion
z = kx
y
para alguna constante k 6= 0, entonces se dice que z esproporcional a x e inversamente proporcional a y. Laconstante k se conoce como constante de proporcionalidado de variacion.
Rivera-Morales, Carlos A. Modelos de Variacion
Contenido Objetivos
Modelos de Variacion
Ejemplo: Exprese el enunciado como una formula y utilice lainformacion dada para determinar la constante deproporcionalidad.
R es conjuntamente proporcional a x y y e inversamenteproporcional a s, si x = 2, y = 3, s = 12, entonces R = 25
Solucion: R = kxy
s⇒ k =
Rs
xy⇒ k =
25× 12
2× 3⇒ k = 50
Modelo de variacion: R = 50xy
s
Rivera-Morales, Carlos A. Modelos de Variacion
Contenido Objetivos
Modelos de Variacion
Ejemplo: Exprese el enunciado como una formula y utilice lainformacion dada para determinar la constante deproporcionalidad.
R es conjuntamente proporcional a x y y e inversamenteproporcional a s, si x = 2, y = 3, s = 12, entonces R = 25
Solucion: R = kxy
s
⇒ k =Rs
xy⇒ k =
25× 12
2× 3⇒ k = 50
Modelo de variacion: R = 50xy
s
Rivera-Morales, Carlos A. Modelos de Variacion
Contenido Objetivos
Modelos de Variacion
Ejemplo: Exprese el enunciado como una formula y utilice lainformacion dada para determinar la constante deproporcionalidad.
R es conjuntamente proporcional a x y y e inversamenteproporcional a s, si x = 2, y = 3, s = 12, entonces R = 25
Solucion: R = kxy
s⇒ k =
Rs
xy
⇒ k =25× 12
2× 3⇒ k = 50
Modelo de variacion: R = 50xy
s
Rivera-Morales, Carlos A. Modelos de Variacion
Contenido Objetivos
Modelos de Variacion
Ejemplo: Exprese el enunciado como una formula y utilice lainformacion dada para determinar la constante deproporcionalidad.
R es conjuntamente proporcional a x y y e inversamenteproporcional a s, si x = 2, y = 3, s = 12, entonces R = 25
Solucion: R = kxy
s⇒ k =
Rs
xy⇒ k =
25× 12
2× 3
⇒ k = 50
Modelo de variacion: R = 50xy
s
Rivera-Morales, Carlos A. Modelos de Variacion
Contenido Objetivos
Modelos de Variacion
Ejemplo: Exprese el enunciado como una formula y utilice lainformacion dada para determinar la constante deproporcionalidad.
R es conjuntamente proporcional a x y y e inversamenteproporcional a s, si x = 2, y = 3, s = 12, entonces R = 25
Solucion: R = kxy
s⇒ k =
Rs
xy⇒ k =
25× 12
2× 3⇒ k = 50
Modelo de variacion: R = 50xy
s
Rivera-Morales, Carlos A. Modelos de Variacion
Contenido Objetivos
Modelos de Variacion
Ejemplo: Exprese el enunciado como una formula y utilice lainformacion dada para determinar la constante deproporcionalidad.
R es conjuntamente proporcional a x y y e inversamenteproporcional a s, si x = 2, y = 3, s = 12, entonces R = 25
Solucion: R = kxy
s⇒ k =
Rs
xy⇒ k =
25× 12
2× 3⇒ k = 50
Modelo de variacion: R = 50xy
s
Rivera-Morales, Carlos A. Modelos de Variacion
Contenido Objetivos
Modelos de Variacion
Ejercicio: Un carro esta viajando sobre una curva que tiene laforma de un arco circular. La fuerza F necesaria para que elcarro siga en la carretera es conjuntamente proporcional al pesow del carro y al cuadrado de su velocidad s e inversamenteproporcional al radio r de la curva.
Rivera-Morales, Carlos A. Modelos de Variacion
Contenido Objetivos
Modelos de Variacion
Ejercicio: Un carro esta viajando sobre una curva que tiene laforma de un arco circular. La fuerza F necesaria para que elcarro siga en la carretera es conjuntamente proporcional al pesow del carro y al cuadrado de su velocidad s e inversamenteproporcional al radio r de la curva.
Rivera-Morales, Carlos A. Modelos de Variacion
Contenido Objetivos
Modelos de Variacion
1 Escriba una ecuacion que represente la variacion.
2 Un carro que pesa 1000 lb viaja sobre la curva a unavelocidad de 60 mi/h. El proximo carro sobre la curva pesa2500 lb y requiere la misma fuerza que el primer carro paraevitar que salga de la curva. Determine la velocidad delsegundo carro.
Rivera-Morales, Carlos A. Modelos de Variacion